TEMA 6: FUNKSIONI LINEAR. BARAZIMI DHE JOBARAZIMI LINEAR

Njësia 5: BARAZIMI LINEAR ME NJË NDRYSHORE Faqe e librit 154-156

Nëse 𝑀 𝑑ℎ𝑒 𝑁 janë dy shprehje algjebrike dhe nëse vetëm njëri prej tyre

përmban të panjohur, atëherë barazimi 𝑀 = 𝑁 quhet barazim algjebrik.

p.sh. për 𝑀 = 𝑥2 − 2 dhe 𝑁 = 2𝑥−13 , barazimi 𝑥2 − 2 = 2𝑥−13 është barazim

algjebrik.

Nëse te barazimi i dhënë 𝑀 𝑑ℎ𝑒 𝑁 e panjohura zëvendësohet me një

numër të përcaktuar real 𝑎 dhe pas kësaj ai barazim bëhet barazim

i vërtetë numerik, atëherë për numrin 𝑎 themi se është zgjidhje

ose rrënjë e barazimit të dhënë.

Të gjitha zgjidhjet e një barazimi e përbëjnë bashkësinë e zgjidhjeve

të atij barazimi. Disa barazime kanë më shumë zgjidhje, por ka

barazime të cilët bashkësinë e zgjidhjeve e kanë bashkësi boshe.

Rrjedhim 1: Secili anëtarë i barazimit mund të kalojë prej njërës anë në tjetrën

por me shenjë të kundërt.

Rrjedhim 2: Nëse në të dy anët e barazimit ka anëtarë të njejtë atëherë ato mund

të largohen (të anulohen).

Përkufizim: Dy barazime në një bashkësi të përkufizuar janë ekuivalente nëse

bashkësitë e zgjidhjeve të tyre janë të barabarta.

Sh1: Zgjidhni barazimet 2𝑥 + 2 = 5 − 𝑥 dhe 4𝑥 + 5 = 10 − 𝑥.

Zgjidhje:

2𝑥 + 2 = 5 − 𝑥 ⇒ 2𝑥 + 𝑥 = 5 − 2 ⇒ 3𝑥 = 3 /: 3 ⇒ 𝑥 = 1

4𝑥 + 5 = 10 − 𝑥 ⇒ 4𝑥 + 𝑥 = 10 − 5 ⇒ 5𝑥 = 5 /∶ 5 ⇒ 𝑥 = 1

Disa veti të barazimeve ekuivalente:

1. Nëse në anën e majtë dhe të djathtë të barazimit 𝑀 = 𝑁 shtojmë

një numër të njejtë ose shprehje 𝑝 e cila është e definuar në të

njejtën bashkësi fitohet barazim ekuivalent me barazimin e dhënë.

2. Nëse të dy anët e barazimit 𝑀 = 𝑁 shumëzohen ose pjesëtohen

me një numër të njejtë 𝑎 ≠ 0, fitohet barazim ekuivalent me

barazimin e dhënë.

Nëse pasi të rregullohet barazimi algjebrik 𝑀 = 𝑁 fitohet barazim me

vetëm një të panjohur të rendit të parë, atëherë ai barazim quhet barazim

linearë me një të panjohur, i cili mund të sillet në formën 𝑎𝑥 = 𝑏 ku 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ.

Sh2: Zgjidhe barazimin 5𝑥 = 2𝑥 + 9.

Zgjidhje:

5𝑥 = 2𝑥 + 9

5𝑥 − 2𝑥 = 9

3𝑥 = 9 /: 3

𝑥 = 3.

Varësisht nga vlerat e numrave realë 𝑎 𝑑ℎ𝑒 𝑏 në barazimin 𝑎𝑥 = 𝑏,

kemi:

1. Nëse 𝑎 ≠ 0, atëherë barazimi ka një zgjidhje 𝑥 = 𝑏𝑎.

2. Nëse 𝑎 = 0 ⋀ 𝑏 ≠ 0, atëherë barazimi nuk ka zgjidhje d.m.th. është

abstrakt.

3. Nëse 𝑎 = 0 ⋀ 𝑏 = 0, atëherë barazimi është i formës 0 ⋅ 𝑥 = 0, pra

ka pakufi shumë zgjidhje.

Sh3: Zgjidhni barazimet:

a) 2𝑥 − 3 = 𝑥 + 6 ; 𝑏) 2𝑥 − 1 = 3 + 2𝑥 ; 𝑐) 𝑥 − 3 = 2𝑥 − 3 − 𝑥. Zgjidhje:

a) 2𝑥 − 3 = 𝑥 + 6 b) 2𝑥 − 1 = 3 + 2𝑥 𝑐) 𝑥 − 3 = 2𝑥 − 3 − 𝑥

2𝑥 − 𝑥 = 6 + 3 2𝑥 − 2𝑥 = 3 + 1 𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 = 3 − 3

d.m.th. 𝑥 = 9 d.m.th. 0 ⋅ 𝑥 = 4 d.m.th. 0 ⋅ 𝑥 = 0

Vëreni se barazimi 2𝑥 − 3 = 𝑥 + 6 ka një zgjidhje, barzimi 2𝑥 − 1 = 3 + 2𝑥 nuk

ka zgjidhje, kurse barazimi 𝑥 − 3 = 2𝑥 − 3 − 𝑥 ka pakufi shumë zgjidhje.

Detyrë për nxënësit: fq. 156 Detyra 1) dhe 2).

Profesor i lëndës së Matematikës:

Florime Hamidi Muharemi

TEMA 6: FUNKSIONI LINEAR. BARAZIMI DHE JOBARAZIMI LINEAR

Njësia 6: DETYRA QË KTHEHEN NË BARAZIME LINEARE

Faqe e librit 156-157

Disa lloje barazimesh, për shembull barazimet thyesore algjebrike, me

transformime elementare mund të kthehen në formën 𝑎𝑥 = 𝑏.

Sh1: Zgjidhni barazimin 2𝑥+3 − 3𝑥−2 = 0.

Zgjidhje:

Duhet të caktohet bashkësia e përkufizimit për barazimin. Në këtë rast, për 𝑥 + 3 = 0 𝑑ℎ𝑒 𝑥 − 2 = 0 barazimi nuk ka kuptim, pra 𝑥 = −3 𝑑ℎ𝑒 𝑥 = 2.

D.m.th. barazimi është përkufizuar për 𝑥 ∈ ℝ ∖ {−3, 2}.

2𝑥+3 − 3𝑥−2 = 0

2𝑥+3 = 3𝑥−2 [shfrytëzojmë formulën nëse

𝑎𝑏 = 𝑐𝑑 ⇔ 𝑎 ⋅ 𝑑 = 𝑏 ⋅ 𝑐] fitojmë:

2 ∙ (𝑥 − 2) = 3 ∙ (𝑥 + 3)

2𝑥 − 4 = 3𝑥 + 9

2𝑥 − 3𝑥 = 4 + 9

−𝑥 = 13 /∙ (−1)

𝑥 = −13 është zgjidhje e barazimit, sepse i takon bashkësisë së përkufizimit të

barazimit.

Sh2: Zgjidhni barazimin 2𝑥−5𝑥+3 + 1+3𝑥𝑥2+6𝑥+9 = 2.

Zgjidhje:

Barazimi nuk ka kuptim për 𝑥 + 3 = 0, pra 𝑥 = −3. D.m.th. barazimi është përkufizuar për 𝑥 ∈ ℝ ∖ {−3}.

2𝑥−5𝑥+3 + 1+3𝑥𝑥2+6𝑥+9 = 2

2𝑥−5𝑥+3 + 1+3𝑥(𝑥+3)2 = 2 /∙ (𝑥 + 3)2

(𝑥+3)2(2𝑥−5)𝑥+3 + (𝑥+3)2(1+3𝑥)(𝑥+3)2 = 2 ∙ (𝑥 + 3)2

(𝑥 + 3)(2𝑥 − 5) + 1 + 3𝑥 = 2(𝑥 + 3)2

2𝑥2 + 𝑥 − 15 + 1 + 3𝑥 = 2(𝑥2 + 6𝑥 + 9) 2𝑥2 + 4𝑥 − 14 = 2𝑥2 + 12𝑥 + 18

4𝑥 − 12𝑥 = 18 + 14

−8𝑥 = 32 /: (−8)

𝑥 = −4 është zgjidhje e barazimit.

Sh3: Zgjidhni barazimin 2𝑥+1 + 𝑥+1𝑥−1 = 𝑥2𝑥2−1.

Zgjidhje:

Barazimi nuk ka kuptim për 𝑥 + 1 = 0 𝑑ℎ𝑒 𝑥 − 1 = 0, pra 𝑥 = −1 𝑑ℎ𝑒 𝑥 = 1. D.m.th. barazimi është përkufizuar për 𝑥 ∈ ℝ ∖ {−1,1}.

2𝑥+1 + 𝑥+1𝑥−1 = 𝑥2𝑥2−1 [𝑥2 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)]

2𝑥+1 + 𝑥+1𝑥−1 = 𝑥2𝑥2−1 /∙ (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

2(𝑥 − 1) + (𝑥 + 1)2 = 𝑥2

2𝑥 − 2 + 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 𝑥2

4𝑥 = 1 /: 4

𝑥 = 14 është zgjidhje e barazimit.

Sh4: Caktoni zgjidhen e barazimit 8𝑥2−2𝑥+1 + 9𝑥−37𝑥3−𝑥2−𝑥+1 − 71−𝑥2 = 0.

Zgjidhje:

Që të caktojmë SHVP duhet secilin emërues ta zbërthjemë në shumëzues linearë:

8𝐴 + 9𝑥−37𝐵 − 7𝐶 = 0

𝐴 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 1) = (𝑥 − 1)2,

𝐵 = 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 + 1 = 𝑥2(𝑥 − 1) − (𝑥 − 1) = (𝑥2 − 1)(𝑥 − 1) = = (𝑥 − 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) = (𝑥 − 1)2(𝑥 + 1), 𝐶 = 1 − 𝑥2 = 𝑥2 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1). Prej ku rrjedh se 𝑆𝐻𝑉𝑃 (𝐴, 𝐵, 𝐶 ) = (𝑥 − 1)2(𝑥 + 1), dhe fitojmë:

8(𝑥−1)2 + 9𝑥−37(𝑥−1)2(𝑥+1) − 7(𝑥−1)(𝑥+1) = 0 /∙ (𝑥 − 1)2(𝑥 + 1), 𝑥 ∉ {−1,1}, ose

8(𝑥 + 1) + 9𝑥 − 37 − 7(𝑥 − 1) = 0

8𝑥 + 8 + 9𝑥 − 37 − 7𝑥 + 7 = 0

10𝑥 − 22 = 0

10𝑥 = 22 /: 2

5𝑥 = 11 𝑥 = 115 = 2 15 është zgjidhje e barazimit.

Detyrë për nxënësit: fq. 157 Detyra 1), 2), 3) dhe 4).

Profesor i lëndës së Matematikës:

Florime Hamidi Muharemi

DETYRA PËR USHTRIME 1

1. Të zgjidhen barazimet:

a) 2 − 5𝑥 = 12;

b) 𝑥 − (2 − 𝑥) = 3𝑥 + 6;

c) 3 − 2(𝑥 − 1) = 2𝑥 − 3(𝑥 + 2). 2. Kontrolloni a janë barazimet ekuivalente:

a) 1+2𝑥𝟑 = 4𝑥−1𝟓 𝑑ℎ𝑒 10𝑥 − 12𝑥 = −8;

b) 𝑥2 + 𝑥3 = 5𝑥6 + 1 𝑑ℎ𝑒 6𝑥 − 5𝑥 = 6.

3. Zgjidhni barazimet:

a) 𝑥−12 = 3𝑥 − 1−𝑥2 ;

b) 2𝑥3 − 5 = 3𝑥−152 ;

c) 2+𝑥3 = 2 − 𝑥−45 .

4. Caktoni zgjidhjen e barazimeve:

a) 1𝑥−4 + 1𝑥−5 = 2𝑥−3 ;

b) 2𝑥−12𝑥+1 + 84𝑥2−1 = 2𝑥+12𝑥−1 ;

c) 3(1+𝑥)2 = 5(1−𝑥)2 − 21−𝑥2 .

Profesor i lëndës së Matematikës:

Florime Hamidi Muharemi

TEMA 6: FUNKSIONI LINEAR. BARAZIMI DHE JOBARAZIMI LINEAR

Njësia 7: ZBATIMI I BARAZIMEVE LINEARE Faqe e librit 158-159

Në këtë pjesë do të vërejmë disa shembuj zgjidhja e të cilëve merret nga përpilimi

i barazimeve lineare me një ndryshore.

Sh1: Numri 48 të ndahet në dy pjesë, ashtu që njëra pjesë të jetë tre herë më e

madhe se tjetra.

Zgjidhje:

Le të jetë pjesa më e vogël 𝑥, atëherë pjesa më e madhe do të jetë 3𝑥. Prej këtu rrjedh barazimi 𝑥 + 3𝑥 = 48 ⇔ 4𝑥 = 48 ⇔ 𝑥 = 12. Pra njëra pjesë është 12, kurse tjetra 36.

Sh2: Babai tani ka 53 vjet, kurse i biri 17 vjet. Pas sa vjetësh babai do të jetë tre

here më i vjetër se i biri?

Zgjidhje:

Pas 𝑥 vjetësh babai do të jetë tre herë më i vjetër se i biri.

Nga kushti i detyrës kemi:

tani pas 𝑥 vjetësh

Babai 53 53 + 𝑥

I biri 17 17 + 𝑥

ose

53 + 𝑥 = 3(17 + 𝑥)

𝑥 − 3𝑥 = 51 − 53

−2𝑥 = −2 d.m.th 𝑥 = 1. Pra, pas një viti babai do të jetë tre herë më i vjetër se i biri.

Sh3: Një udhetar u nis për rrugë duke lëvizur me shpejtësi 30 𝑘𝑚 në ditë. Pas 6

ditësh pas tij u nis një udhëtarë tjetër dhe pas 9 ditësh e arrin udhëtarin e parë.

Me çfarë shpejtësie mesatare udhëtoi udhëtari i dytë?

Zgjidhje:

Meqë të dy udhëtarët kanë kaluar rrugë të njejtë, nga kushtet e detyrës

fitojmë:

𝑆1 = 𝑆2 ose 30 ⋅ (6 + 9) = 𝑉 ⋅ 9

30 ⋅ 15 = 𝑉 ⋅ 9

450 = 𝑉 ⋅ 9 d.m.th. 𝑉 = 50.

Pra udhëtari i dytë lëvizte me shpejtësi mesatare prej 50 𝑘𝑚 në ditë.

Sh4: Dy gypa së bashku mbushin një pishinë për 6 orë. Gypi i parë mund ta mbush

vetë pishinën për 10 orë. Për sa orë gypi i dytë do të mund ta mbushë vetë

pishinën?

Zgjidhje:

Për një orë gypi i parë do ta mbush 110 e pishinës, i dyti për

1𝑥, kurse

bashkarisht 16 e pishinës. Sipas kësaj, kemi:

110 + 1𝑥 = 16 /⋅ 30𝑥

3𝑥 + 30 = 5𝑥

−2𝑥 = −30 /: (−2)

𝑥 = 15. Sipas kësaj gypi i dytë vetë do ta mbush pishinën për 15 orë.

Sh5: Krahu i trekëndëshit barakrahës është për 6 𝑐𝑚 më i gjatë se gjatësia e

lartësisë së bazës. Caktoni gjatësinë e krahut nëse gjatësia e bazës është 36 𝑐𝑚.

Zgjidhje: C

𝑏2 = ℎ2 + (𝑎2)2

𝑏2 = (𝑏 − 6)2 + (362 )2 b h

𝑏2 = 𝑏2 − 12𝑏 + 36 + 182

12𝑏 = 360 /: 12

𝑏 = 30 Pra, krahu është 30 𝑐𝑚. A 𝑎2 𝐂1 B

Detyrë për nxënësit: fq. 159 Detyra 1) dhe 2).

Profesor i lëndës së Matematikës: Florime Hamidi Muharemi

TEMA 6: FUNKSIONI LINEAR. BARAZIMI DHE JOBARAZIMI LINEAR

Njësia 8: JOBARAZIMET LINEARE ME NJË NDRYSHORE

Faqe e librit 160-162

Nëse dy shprehje algjebrike 𝑀 𝑑ℎ𝑒 𝑁 me një ndryshore, lidhen me

ndonjërën nga shenjat >, <, ≥ 𝑜𝑠𝑒 ≤, për shembull 𝑀 < 𝑁, quhet

jobarazim linearë me një ndryshore.

Bashkësia e vlerave të ndryshores për të cilat jobarazimi 𝑀 < 𝑁 kthehet në

jobarazim numerik të vërtetë, quhet zgjidhje e jobarazimit.

Sh1: Shkruani në formë të intervalit bashkësinë e zgjidhjeve të jobarazimeve:

a) 𝑥 ≥ 3 ; 𝑏) 𝑥 ≤ −2 ; 𝑐) 2𝑥 > 4. Zgjidhje:

a) 𝑥 ≥ 3 ⇒ 𝑥 ∈ [3, +∝); b) 𝑥 ≤ −2 ⇒ 𝑥 ∈ (−∝, −2]; c) 2𝑥 > 4 /: 2 ⇒ 𝑥 > 2 ⇒ 𝑥 ∈ (2, +∝).

Përkufizim: Për dy bashkësi themi se janë ekuivalente, nëse kanë bashkësi

zgjidhjesh të barabarta.

Sh2: Zgjidhni jobarazimet:

a) 3𝑥 − 2 > 4 + 𝑥; 𝑏) 2𝑥 − 1 < 3𝑥 − 4. Zgjidhje:

a) 3𝑥 − 2 > 4 + 𝑥 b) 2𝑥 − 1 < 3𝑥 − 4

3𝑥 − 𝑥 > 4 + 2 2𝑥 − 3𝑥 < 1 − 4. 2𝑥 > 6 −𝑥 < −3 /∙ (−1)

𝑥 > 3. 𝑥 > 3.

Vërejmë se jobarazimet e dhëna kanë bashkësi zgjidhjesh të njejta, d.m.th. janë

ekuivalente.

Disa veti të jobarazimeve ekuivalente:

1. Nëse të dy anëve të jobarazimit 𝑀 < 𝑁 u shtojmë një numër të

njejtë ose shprehje racionale 𝑝 nga bashkësia e përkufizimit të të

panjohurës, fitohet jobarazim ekuivalent me jobarazimin e dhënë.

2. Nëse të dy anët e jobarazimit shumëzohen ose pjesëtohen me një

numër të njejtë 𝑎 > 0, fitohet jobarazim ekuivalent me jobarazimin e

dhënë.

3. Nëse të dy anët e jobarazimit shumëzohen me një numër 𝑎 < 0,

atëherë ndërron shenja e krahasimit.

Sh3: Zgjidhni jobarazimin 4𝑥 − 2 < 3𝑥 + 3. Zgjidhje:

Të dy anëve të jobarazimit ua shtojmë shprehjen −3𝑥 + 2, kemi:

4𝑥 − 2 < 3𝑥 + 3

4𝑥 − 2 + (−3𝑥 + 2) < 3𝑥 + 3 + (−3𝑥 + 2)

𝑥 < 5 dhe zgjidhja është 𝑥 ∈ (−∝ ,5).

Sh4: Duke u bazuar në vetitë e mësipërme, kontrolloni ekuivalencën e

jobarazimeve 𝑥−52 − 5𝑥−36 > 3 𝑑ℎ𝑒 − 12 − 2𝑥 > 18.

Zgjidhje:

𝑥−52 − 5𝑥−36 > 3 −12 − 2𝑥 > 18

6(𝑥−5)−2(5𝑥−3)12 > 3 −2𝑥 > 18 + 12

6𝑥−30−10𝑥+6)12 > 3 −2𝑥 > 30 /: (−2)

−4𝑥−2412 > 3 𝑥 < 15.

−4𝑥 − 24 > 36

−4𝑥 > 36 + 24

−4𝑥 > 60 /: (−4)

𝑥 < 15.

Pra, jobarazimet e dhëna kanë bashkësi zgjidhjesh të njejta, d.m.th. janë

ekuivalente.

Secili jobarazim i cili mund të sillet në formën 𝑎𝑥 > 𝑏 𝑜𝑠𝑒 𝑎𝑥 < 𝑏, 𝑘𝑢 𝑎,𝑏 ∈ ℝ, quhet jobarazim linear me një ndryshore.

Sh5: Zgjidhni jobarazimin 𝑥−43 − 𝑥+32 + 176 < 0.

Zgjidhje:

Duke i zbatuar vetitë e përmendura kemi:

𝑥−43 − 𝑥+32 + 176 < 0 /∙ 6

2(𝑥 − 4) − 3(𝑥 + 3) + 17 < 0

2𝑥 − 8 − 3𝑥 − 9 + 17 < 0

−𝑥 < 0 /∙ (−1)

𝑥 > 0. Pra, zgjidhje e jobarazimit është intervali 𝑥 ∈ (0, +∝). Në boshtin numerik është ngjyrosur pjesa e cila nuk i takon intervalit 𝑥 ∈ (0, +∝).

-1 0 1

Detyrë për nxënësit: fq. 162 Detyra 1) dhe 2).

Profesor i lëndës së Matematikës:

Florime Hamidi Muharemi

DETYRA PËR USHTRIME 2

1. Shuma e dy numrave është 47, Në qoftë se numrin e parë e pjestojmë me

të dytin, fitohet herësi 2 dhe mbetja 5 .Të caktohen këto numra.

Udhëzim: Të shfrytëzohet barazia 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟, 𝑘𝑢 𝑎 = 𝑥 𝑑ℎ𝑒 𝑏 = 47 − 𝑥. 2. Numri 38 të ndahet në dy pjesë, në mënyrë që gjysma e numrit më të

vogël të jetë për 4 herë më e madhe një e katërta e numrit më të madh.

Të caktohen keto numra.

3. Shuma e shifrave të një numri dyshifrorë është 12. Në qoftë se këtij numri i

shtohet numri 18 fitohet një numër me të njejtat shifra, me renditje të

anasjelltë. Cili është numri që kërkohet?

Udhëzim: E shënojmë me 𝑥 shifrën e dhjetësheve, atëherë 12 − 𝑥 do të jetë shifra e njësheve.

Nga kushti i detyrës kemi barazimin 10𝑥 + 12 − 𝑥 + 18 = 10(12 − 𝑥) + 𝑥 .

4. Babi ka 40 vjet kurse i biri 12. Para sa vitesh babai ishte pesë herë më i

vjetër se i biri?

5. Tridhjetë punëtorë e kryejnë një punë për 60 ditë. Kanë filluar të punojnë

20 punëtorë dhe pas 10 ditëve në punë, kanë ardhur dhe 5 punëtorë. Për sa

ditë do të kryhet puna?

6. Shkruani në formë të intervalit bashkësinë e zgjidhjeve të jobarazimeve:

a) 𝑥 ≥ 1; b) 𝑥 < 2; c) 𝑥 ≤ −3

7. Të provohet nëse jobarazimet janë ekuivalente:

a) 𝑥 − 2 < 3 𝑑ℎ𝑒 𝑥 < 5; b) 2𝑥 + 1 < 𝑥 + 1 𝑑ℎ𝑒 2𝑥 < 𝑥; c) 𝑥 < 0 𝑑ℎ𝑒 − 𝑥 > 0?

8. Të zgjidhen jobarazimet:

a) 3 − 2𝑥 < 2 − 3𝑥; b) 𝑥 − (2 − 𝑥) < 3𝑥 + 7; c) (𝑥 − 3)2 < 𝑥(𝑥 + 1); d)

𝑥−52 > 3 − 2−3𝑥6 ; e) 𝑥 − 2+𝑥3 > 2𝑥−34 − 5−𝑥6 .

Profesor i lëndës së Matematikës:

Florime Hamidi Muharemi