Tema1 - Introducción a Los Sistemas de Control

7/13/2019 Tema1 - Introduccin a Los Sistemas de Control

1/110

TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACINAUTOMTICAAUTOMTICA

Regulacin Automtica

TEMA 1TEMA 1INTRODUCCIN A LOS SISTEMASINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS

DE CONTROLDE CONTROL


2/110



3/110


ContenidoContenido

1.1. INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.2.2. SEALES.SEALES.3.3. SISTEMAS.SISTEMAS.4.4. ECUACIN DE CONVOLUCIN.ECUACIN DE CONVOLUCIN.5.5. SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES.SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES.

6.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE.TRANSFORMADA DE LAPLACE.7.7. REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.8.8. DIAGRAMA DE LO!UES.DIAGRAMA DE LO!UES.".". DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.


4/110


ContenidoContenido




5/110


1.1. INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.

INTRODUCCIN

La Automtica o Control (automtico) de Sistemas trata de regular, con la mnima intervencinhumana, el comportamiento dinmico de un sistema mediante rdenes de mando.

El Control Automtico a diferencia de la umica, la !sica, la "eologa# no posee unametodologa$ien esta$lecida.

El Control Automtico al igual %ue otras ciencias de la ingeniera actual trata con sistemascomplejos. &or ello el Control Automtico pertenece a la 'eora de Sistemas.

Qu es la Ingeniera de Control?

Es un enfo%ue interdisciplinario para el control de sistemas dispositivos. Com$ina reas comoElctrica, Electrnica, *ecnica, umica, +ngeniera de &rocesos 'eora *atemtica entre otros.

La metodologa para las ciencias de la 'eora de Sistemas an no est $ien esta$lecida, sinem$argo una herramienta fundamental es el concepto de modelo.

Qu es un modelo?

Se trata de una construccin a$stracta (con-unto de reglas) con una serie de o$-etivos

/ 0escri$ir el sistema en cuestin

/ 0eterminar lo %ue se puede hacer con l

/ 0eterminar cmo alcan1ar o$-etivos

La 'eora de Sistemas no trata directamente con el mundo real sino con modelos del mundo realo$tenidos a partir de las ciencias $sicas. Estos modelos pueden ser tanto !sicos, *atemticoscomo "rficos.


6/110



DEFINICIONES

TEORA DE LA REGULACIN AUTOMTICA O DE CONTROL DE SISTEMAS:Es la ciencia que se dedica al estudio del comportamiento dinmico de los sistemas yal diseo de estrategia de control para que dichos sistemas se comporten de la formams conveniente y autnoma posi!le"

SISTEMA:

Con#unto de elementos fsicos o a!stractos relacionados entre s con el entorno$ de

forma que las variaciones en determinadas magnitudes entre ellos puedan modificarlos de los dems o viceversa"

VARIABLES DEL SISTEMA:

%aria!les que definen el comportamiento de un sistema" &u naturale'a define elcarcter del sistema( mecnico$ !iolgico$ econmico$ etc)

VARIABLE DE SALIDA:

%aria!le que interesa controlar del sistema" VARIABLE DE ENTRADA:

%aria!le manipula!le o no$ que afecta a la salida del sistema"

SEAL DE CONTROL Se2al usada por el controlador para adecuar la salidaa una referencia dada.

PERTURBACIN Se2al medi$le o no, %ue afecta a la salida %ue no

podemos o %ueremos manipular.


7/110



DEFINICIONES

PROCESO:

Es la evolucin que sufre el sistema que queremos controlar"

PLANTA:

Es el dispositivo fsico donde se va a dar el proceso * motor$ horno$ reactor$ caldera$ )+"

MODELADO DEL SISTEMA MODELO MATEMTICO:

&e utili'a para estudiar la planta y tener de este modo una serie de ecuacionesmatemticas que descri!en al sistema"

,os modelos caracteri'arn a los sistemas seg-n el tipo que estos sean.

/ SISTE!AS EST"TICOS #Ec$aciones Alge%&aicas'No p&esentan cam%ios ni e(ol$ciones de s$ estado) La salida del sistema pe&manececonstante si la ent&ada tam%i*n lo es)

/ SISTE!AS DIN"!ICOS #Ec$aciones Di+e&enciales'&resenta algn cam$io o evolucin de su estado en un tiempo. La salida puedeevolucionar con el tiempo ante una entrada constante.

SISTEMAENTRADAS! SALIDAS!

"ERTUR#ACIONES!


8/110



ES$UEMA DEL "ROCESO DE O#TENCIN DEL MODELO MATEM%TICO

PARTIENDO DE UN ANLISIS BASADO EN LA EXPERIMENTACIN SE DEFINEN LASECUACIONES.

COMPROMISO:

Si&temaF'&ico Real

Observacin del

comportamiento

del Sistema

Revisin del Modelo

Matemtico

ModeloModeloMatemticoMatemtico

Aparatos de

Medida

SIMULACIN

Aparato deClculo

Prediccin del

comportamiento

del Sistema

COM"ARACIN

FI

MAL

#IEN

/recisin 0 Comple#idad del 1odelo

Coste


9/110



ECUACIONES DIFERENCIALES

SE ESTUDIARN LOS SISTEMAS DINMICOS MODELIZADOS MATEMTICAMENTEPOR ECUACIONES DIFERENCIALES.

LAS ECUACIONES DIFERENCIALES SE PODRN REPRESENTAR DE DOS MANERAS:

REPRESENTACIN E,TERNA #TEOR-A CL"SICA DE CONTROL'

Se conocen las (a&ia%les de ent&ada . salida)

REPRESENTACIN INTERNA #TEOR-A !ODERNA DE CONTROL'Se conocen las (a&ia%les de ent&ada . salida/ pe&o tam%i*n se conoce el estado inte&nodel sistema # Variab!" #! E"$a#%')

=++ yyby

SISTEMAEstado!"#$"%$&"n'

ENTRADA!

ySALIDA! Sistema de Ecuaciones

Diferenciales

SISTEMAENTRADA! SALIDA!

y
http://tema1%20-%20definicion%20variables%20de%20estado.ppt/http://tema1%20-%20definicion%20variables%20de%20estado.ppt/http://tema1%20-%20definicion%20variables%20de%20estado.ppt/


10/110



SISTEMAS DE CONTROL EN LA(O A#IERTO ) LA(O CERRADO

&A' DOS T(CNICAS DIFERENTES PARA CONTROLAR UN SISTEMA) ' SUSCARACTERSTICAS SON COMPLETAMENTE DIFERENTES* SISTE!AS DE CONTROLEN LA0O ABIERTO 1 SISTE!AS DE CONTROL EN LA0O CERRADO.

+, LOS SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO ABIERTO

/ S%- a/!%" !- %" 0/a!" a !-$ra#a a "i"$!1a #! 0%-$r% a0$2a #ir!0$a1!-$!"%br! ! #i"3%"i$i4% /! 0%-$r%a ! 3r%0!"% "i- $!-!r !- 0/!-$a -i-5/-ai-#i0a0i6- "%br! "i ! 4a%r #! a "ai#a #! 3r%0!"% !" a #!"!a#a.

/ N% $i!-! a 0a3a0i#a# #! 0%rr!5ir "/" !rr%r!".

/ S! !"3!ra /! a "ai#a "!a a #!"!a#a 3!r% -% "! 1i#!.

/ S! /$ii7a 18" /! -a#a !- "i"$!1a" "!-0i%") !"$ab!" % "i- 3!r$/rba0i%-!".

/ La !9a0$i$/# #! "i"$!1a #!3!-#! #! a 0aibra0i6-.

CONTROLADORENTRADA! "LANTA * "ROCESO SALIDA!


11/110




, LOS SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO CERRADO

/ S%- a/!%" !- %" 0/a!" a "ai#a #! 3r%0!"% "! 1i#! 0%-$i-/a1!-$! ; "!0%13ara 0%- a !-$ra#a a "i"$!1a #! 0%-$r%) #a-#% /-a "!?0i!" #! 0%-$r%ar.

/ E "i"$!1a !- a7% 0!rra#% !" 18" i-"!-"ib! a a" 3!r$/rba0i%-!" ; a a"4aria0i%-!" #! 3ar81!$r%" #! "i"$!1a) /! !- a7% abi!r$% .

/ S%- 18" 0%13!=%" /! %" "i"$!1a" !- a7% abi!r$%) a -!0!"i$ar #! "!-"%r!" ;$ra-"#/0$%r!" 3ara 5!-!rar a "!


12/110




/ E" -!0!"ari% ! !"$/#i% #! a !"$abii#a# #! "i"$!1a r!"/$a-$!) ;a /! ar!ai1!-$a0i6- 1%#i>i0a #! >%r1a i13%r$a-$! a #i-81i0a #! "i"$!1a.

/ E 0%-$r%a#%r "! #i"!


13/110


ContenidoContenido




14/110


2.2. SEALES.SEALES.

INTRODUCCIN

UNA SEALES TODO SOPORTE DE IN:OR!ACIN) SE DE:INE CO!O UNA CANTIDAD:-SICA ;UE 6AR-A CON EL TIE!PO/ EL ESPACIO O CUAL;UIER OTRA 6ARIABLE O6ARIABLES INDEPENDIENTES) !ATE!"TICA!ENTE/ DESCRIBI!OS UNA SEAL CO!OUNA :UNCIN DE UNA O !"S 6ARIABLES INDEPENDIENTES)

EN PARTICULAR/ UNA SEAL ES TODO :EN!ENO :-SICO SUSCEPTIBLE DE SERPROCESADO !EDIANTE SISTE!AS !EC"NICOS/ EL


15/110


2.2. SEALES.SEALES.

CLASIFICACIN DE SE,ALES

EN BASE A LA VARIACIN

SEAL DETER!INISTA: C$ando a p&io&i conocemos el (alo& de la se5al pa&a c$al7$ie&(alo& de la (a&ia%le independiente) Po& lo tanto son se5ales p&edeci%les . tend&9n $nmodelo matem9tico # toda se5al 7$e se p$eda e>p&esa& mediante $na ec$aci8nanaltica es dete&minista ')

SEAL ALEATORIA # ESTOC"STICA ': C$ando a p&io&i no podemos sa%e& o p&edeci&el (alo& 7$e toma&9 la misma en $n dete&minado instante de tiempo) No tienen $nmodelo matem9tico . solamente se p$eden ca&acte&i2a& estadsticamente # pa&9met&osp&o%a%ilsticos ')

Las se5ales 7$e no cam%ian con el tiempo se denominan !"$a0i%-aria". -% !"$a0i%-aria"a las 7$e si lo ?acen)

Toda se5al contiene in+o&maci8n/ . no&malmente s$ele se& aleato&ia a$n7$e nosot&os noscent&a&emos en las S!el')


16/110


2.2. SEALES.SEALES.


POR SU NATURALEZA

CONTINUA: C$ando la se5al toma (alo& pa&a c$al7$ie& (alo& de la (a&ia%leindependiente)

DISCRETA: C$ando la se5al toma (alo&es e>cl$si(amente en ente&os de la (a&ia%leindependiente # m$est&as ') Tam%i*n se les denomina sec$encias)

SEGN ENERGA O POTENCIA

SEAL DE ENER4-A :INITA P!ED

SEAL DE POTENCIA :INITA ENER4-A

V. I-#!3!-#i!-$! V. D!3!-#i!-$!

S!


17/110


2.2. SEALES.SEALES.


SEGN SIMETRA

SI!ETR-A PAR

+ #>' + #>'

SI!ETR-A I!PAR

+ #>' + #>' o + #>' + #>'

Toda se5al se p$ede descompone& en dos pa&tesF $na pa&te pa& . la ot&a impa&=

>#t' >p#t' G >i#t'

SEGN SU PERIODICIDAD

SEALES PERIDICAS: Son a7$ellas 7$e se &epiten a lo la&go del tiempo)

>#t' >#t G T' H //J/K3

SEALES APERIDICAS: No se &epiten a lo la&go del tiempo)

>#t' >#t G T' H //J/K3

7 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6

5

4

3

2

2

3

4

*

4 3 2 2 3 4

2

3

4

5

*


18/110


2.2. SEALES.SEALES.

TRANSFORMACINES DE LA +ARIA#LE INDE"ENDIENTE

INVERSIN

Consiste en in(e&ti& la se5al &especto del o&igen de la (a&ia%le) Pa&a ello aplica&emos $nat&ans+o&maci8n de la (a&ia%le t t )

DESPLAZAMIENTO

RETARDO= La se5al se despla2a t?acia de&ec?as) T&ans+o&mamos t t t )

tt

x(t)

tt1 t2

x(-t)

t-t1-t2

x(t)

tt1 t2

x(t-to)

tto+t1to to+t2

+ttt


19/110


2.2. SEALES.SEALES.


ADELANTO= La se5al se despla2a t?acia i27$ie&das) T&ans+o&mamos t t G t )

DESPLAZAMIENTO DE LA SEAL INVERTIDA

Se aplica pa&a la se5al >#t') Se despla2a al &e(*s de la se5al sin in(e&ti&)

RETARDO= La se5al se despla2a t?acia i27$ie&das) T&ans+o&mamos t t t

)

x(t)

tt1 t2

x(t+to)

t-to+t1-to -to+t2

+ +ttt

x(-t)

t-t1-t2

x(-t-to)

t-to-t1 -to-to-t2

+ttt


20/110


2.2. SEALES.SEALES.


ADELANTO= La se5al se despla2a t?acia de&ec?as) T&ans+o&mamos t t G t )

ESCALADO

Consiste en aplica& $na t&ans+o&maci8n de la (a&ia%le t aMt ?aciendo 7$e la d$&aci8n de la

se5al a$mente o dismin$.a segn el (alo& de aQ)

Si a la d$&aci8n de la se5al se &ed$ce po& ese (alo& aQ) Esto es ?ace& $nacomp&esi8n)

Si a la d$&aci8n de la se5al se ?ace aQ (eces ma.o&) Esto es ?ace& $na

e>pansi8n)

x(-t)

t-t1-t2

x(-t+to)

tto-t1 toto-t2

+ +ttt

G C


21/110


2.2. SEALES.SEALES.


CO!PRESIN=

E,PANSIN=

tat

x(t)

tt1 t2

x(at)

tt2/at1/a

#>a

x(t)

tt1 t2

x(at)

tat2at1

tat#


22/110


2.2. SEALES.SEALES.

"RO"IEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES

LA INVERSIN ' EL ESCALADO CUMPLEN LA PROPIEDAD CONMUTATIVA.

1 si lo ?acemos en el o&den in(e&so 7$eda lo mismo)

x(t)

tt1 t2

x(-t)

t-t1-t2

x(-at)

t-t2/a -t1/a

x(t)x(-t)

INVER

TIMOS

ESCA

LAMOS(com

presin)

tat#>a

tt

x(t)

tt1 t2

x(-at)

t-t2/a -t1/a

x(t)x(at)

ESCA

LAMOS(com

presin)

#>ax(at)

tt2/at1/a

tat ttINVER

TIMOS

TEMA 1TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACIN


23/110


2.2. SEALES.SEALES.


EL ESCALADO CON EL DESPLAZAMIENTO NO CUMPLEN LA PROPIEDADCONMUTATIVA.

1 si lo ?acemos en el o&den in(e&so NO 7$eda lo mismo)

x(t)

tt1 t2

x(t)x(at)

ESCA

LAMOS(compresin)

#>ax(at)

tt2/at1/a

tat tottDESLA

!AMOS

x(at-ato)

tto+t2/ato+t1/ato

x(t)

tt1 t2

x(t)

x(t-t0) x(at-t0)

tottDESLA

!AMOS

x(t-to)

tto+t2to+t1to

x(at-to)

t(to+t2)/a(to+t1)/ato/aESCA

LAMOS(com

presin)

#>a

tat

TEMA 1TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACIN


24/110


2.2. SEALES.SEALES.


DESPLAZAMIENTO CON SEALES DE SIMETRA PAR 9@$, 9@$, .

>#tt' es despla2a& >#t' ?acia la de&ec?a #&et&asa&' pe&o >#tGt' tam%i*n lo es po& se&pa&)

>#tGt' es despla2a& >#t' ?acia la i27$ie&da #adelanta&' pe&o >#tt' tam%i*n lo es po& se&pa&)

DESPLAZAMIENTO CON SEALES DE SIMETRA IMPAR 9@$, 9@$, .

>#tt' es despla2a& >#t' ?acia la de&ec?a #&et&asa&' pe&o >#tGt' tam%i*n lo es po& se&impa&)

>#tGt' es despla2a& >#t' ?acia la i27$ie&da #adelanta&' pe&o >#tt' tam%i*n lo es po&se& impa&)

x(t) = x(-t)

t

x(t) = -x(-t)

t



25/110


2.2. SEALES.SEALES.

SE,ALES #%SICAS CONTINUAS

ESCALN UNITARIO.

P%#!1%" %3!rar 0%- !"$a "!


26/110


2.2. SEALES.SEALES.


Ta1bi- "! 3%#r8 i-4!r$ir) ; /!5% #!"3a7ar) a0ia a #!r!0a % i7/i!r#a.

' $a1bi- "! 3/!#! a3i0ar /- !"0aa#%) 3!r% $!-i!-#% !- 0/!-$a /! 3%r 1/0% /!a 0%13ri1a % a !93a-#a) "i!13r! !13i!7a !- H @ % !- $%, ; a0aba !- @ % !- ,.

u(at) = u(t)

t

1

u(-t)

t

1

u(-t+to)

t

1

to

u(-t-to)

t

1

-to

tt + +ttt +ttt

o

$(at) % $(t)



27/110


2.2. SEALES.SEALES.


IMPULSO UNITARIO. S! ! a1a $a1bi- D!$a #! Dira0 ; !" /-a "!i0a1!-$!.

E" /-a "!


28/110


2.2. SEALES.SEALES.


S! %b$i!-! #! a0!r /- ?1i$! #! /- 3/"% r!0$a-5/ar) 0/;a 8r!a 4a! +. D! a? /! ! 8r!a % 3!"% #! a @$, 4a5a +.

A3i0a-#% a" 0ara0$!r?"$i0a") "ab!1%" /!:

p(t)

t

1 / a

a / 2-a / 2

( ) ( )tpt+

lim

=

##

%% ==

Area

a %

( ) ( )+

==+

+

#'tt'tt

( ) ( )

=t

't$ ( ) ( )

=

tt

'ttp'ttp++

limlim



29/110


2.2. SEALES.SEALES.


' a a i-$!5ra #! 3@$, #! 8r!a + ! a1ar!1%" /3@$, #%-#!:

A3i0a-#% /- ?1i$! a /3@$, a0i!-#% /! a $i!-#a a 0!r%) 0%-"!5/ir!1%" ! !"0a6-/-i$ari%.

" t # * $

p(t) % & (t + *) * # t # *

& t , *

Up(t)

t

1

a / 2-a / 2

(1/a)t +1/2

a %

t

lim Up(t)a-->o

u(t)

t

1

-acemos .$e " As/ conse0$imos $(t)



30/110


2.2. SEALES.SEALES.


P%r % /! "! #!1/!"$ra /!:

C%1% ;a "! a 0%1!-$a#% a-$!" a @$, -% !9i"$! !- a r!ai#a#) !" /-a r!3r!"!-$a0i6-a-a?$i0a /! -%" a;/#a 1/0% a 1a-!=ar ; >%r1ai7ar "!


31/110


2.2. SEALES.SEALES.


/ PESO DE LA #t' / @)

Si m$ltiplicamos la #t' po& $n escala&/ se dice 7$e ese es s$ peso o 9&ea) Esto es $nap&opiedad 7$e no oc$&&a con el escal8n $nita&io .a 7$e el 9&ea siemp&e (ale )

(t) % (t)

Esta es $na manera 'e i'enti1icar por .$e n2mero o 1$ncin se m$3tip3ica a 3a

'e3ta4

TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLINTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL REGULACINREGULACIN


32/110


2.2. SEALES.SEALES.


/ ESCALADO)

Las #t' son se5ales 7$e se escalan de +o&ma especial)

Podemos llega& a s$pone& 7$e #Ht' #t' po&7$e si t tiende a el (alo& de la delta (ale/ pe&o ?a. 7$e tene& c$idado) 6eamos=

Si H &eali2amos $na comp&esi8n) Si H &eali2amos $na e>pansi8n)

p(kt)

t

1 / a

a / 2k-a / 2k

p(t / k)

t

1 / a

ak / 2-ak / 2( ) ( )tpt

+lim

=

a %

55Area

##

%% ==

,

, #

%% 5

5Area ==

( ) ( )t5

5t #

= ( ) ( )t5

5t #

=

A.$/

tampoco

6a3e &7 esta

6e87 e3 6a3or

.$e co0e es

594

( )t55

t ,

, =

( )t55

t ,

, =

A:ora e3 peso

no 6a3e &7 sino

.$e :a

cambia'o a &5

(no .$e'a 3o

mismo)4

p(kt)

a / 2k a / 2k



33/110


2.2. SEALES.SEALES.


/ PRODUCTO DE UNA SEAL POR UNA #t' )

DE:INICIN= El p&od$cto de $na se5al con $na Delta de Di&ac esF $na #t' en la mismaposici8n de esa #t'/ c$.o peso es el (alo& 7$e toma la +$nci8n >#t' en la posici8n de las$sodic?a #t')

t

x(t)

kd(t)

t

;(t)(t)% ;(")(t)

"

x(t).d(t)

t

k

-



34/110


2.2. SEALES.SEALES.


/ INTE4RAL DEL PRODUCTO DE UNA SEAL POR UNA #t' )

1 si la #t' est9 despla2ada=

( E3 inter6a3o p$e'e ser c$a3.$iera mientras este 'entro 3a(t))( ) ( ) =

'ttt;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =++

+

+

+

+

+

+

+ 'ttt;'tt;'ttt;

( ) ( ) ( ) cte;'tt; ==+

+++

+

( ) ( ) ( ) ( ) ( )++++

+

t;'ttt;'tttt;t

t

== +



35/110


2.2. SEALES.SEALES.


Nos +ijamos entonces 7$e el &es$ltado es el (alo& de la +$nci8n en la posici8n de la #t')

CONCLUSIN= Toda se5al p$ede e>p&esa&se en +$nci8n de la #t')

>#' es el (alo& de >#t' donde est9 la delta/ #t ')

Como la +$nci8n Delta es pa& #t ' # t')

1 se coge como (a&ia%le ?aciendo 7$e la cantidad 7$e se despla2a sea t)

Pa&a (e&lo mejo& ?acemos t t=

( Di1erenciamos 1rente a )( ) ( ) ( )

= 't;t;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )###### t;'tt;'tt;'t;t; =+=+==



36/110


2.2. SEALES.SEALES.


PULSO RECTANGULAR.

/ ESCALADO)

( )t

#=Area

x(t)

1/2-1/2

1

t#=D$racin

x(t)

T/2-T/2

1

t

T

t

TArea=

TD$racin=

&TCOMRESI


37/110


2.2. SEALES.SEALES.


/ DESPLA0A!IENTO #CON E,PANSIN')

/ !ULTIPLICACIN POR UN ESCALAR)

x(t)

62

1

t4

.

.t

.tt>'esp3a8ase$e0oL

>e;pan'eserimero

.tt

x(t)

1/2-1/2

5

t

( )t/

/=Area

#=D$racin



38/110

TEMA 1 TEMA 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROLO UCC OS S S S CO O REGULACINREGULACINAUTOMTICAAUTOMTICA

2.2. SEALES.SEALES.


PULSO TRIANGULAR.

/ ESCALADO)

( )t

#=Area

%=D$racin

T

t

TArea=

TD$racin %=

&TCOMRESI


39/110

TEMA 1 REGULACINAUTOMTICAAUTOMTICA

2.2. SEALES.SEALES.


/ DESPLA0A!IENTO #CON E,PANSIN 1 !ULTIPLICACIN POR UN ESCALAR')

%

3.

t

3tt>'esp3a8ase$e0oL

>e;pan'eserimero

%tt

4=Area

.=D$racin

x(t)

84

4

t6



40/110

AUTOMTICAAUTOMTICA

2.2. SEALES.SEALES.


SEAL RAMPA.

SEAL PARABLICA.

t

x(t)

t

x(t)

( ) tt; =

( ) %tt; =



41/110

AUTOMTICAAUTOMTICA

2.2. SEALES.SEALES.


SEAL EXPONENCIAL COMPLEA.

U- -21!r% 0%13!=% "! 3/!#! r!3r!"!-$ar #! >%r1a !93%-!-0ia:

/ SI cQ 1 aQ SON REALES)

( ) atect; = Cayc'on'e

?eccb?a +

c>0

c0

c0

ca +


42/110

AUTOMTICAAUTOMTICA

2.2. SEALES.SEALES.


/ SI cQ 1 aQ SON CO!PLEVOS)

Nos inte&esa pone& as pa&a los c9lc$los=

+?@ra

ecc?

+=

=

p$3sacin3aes@

amp3it$'3aaa1ectanryc

+

( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

+++=

=+++=

=== ++

t@ec?t@ec

t@?t@ec(E$3er)ricatri0onomten1ormaonien'o

eeceeeceect;

rtrt

rt

t?@rtt?@?rtt?@r?

++

++

sincos

sincos5

+++

arte Rea3 arte Ima0inaria

TEOREMA DE EBLER

sincos ?e? +=



43/110

AUTOMTICAAUTOMTICA

2.2. SEALES.SEALES.


Se p$eden &ep&esenta& g&9+icamente tanto la pa&te &eal/ como la pa&te imagina&ia=

[Re x(t)]

Desfase|c|

|c|

t

[Im x(t)]

|c|

|c|

t

||

||

[Re x(t)]

Desfase

|c|

|c|

||

||

I

[Im x(t)]

|c|

t

|c|

+>r

+


44/110

AUTOMTICAAUTOMTICA

2.2. SEALES.SEALES.


/ SI cQ ES REAL 1 aQ I!A4INARIO PURO)

S! 3/!#! #!1%"$rar /! /-a "!%r1a:

( ) ( ) ( )[ ]t@c?t@cect; t?@ ++ sincos+ +==

arte Rea3 arte Ima0inaria

TEOREMA DE EBLER

sincos ?e? +=

( ) ( )

( )

{ }

( ) ( )

( ) ( ) ( ){ }( ) ( )

?

eAeAeAt@At;

eAeA

eAt@At;

t?@t?@t?@

t?@t?@t?@

%Imsin

%Recos

++

+

++

+

+

+

+++

+++

+=

+

+=



45/110

AUTOMTICAAUTOMTICA

ContenidoContenido

1.1. INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.2.2. SEALES.SEALES.3.3. SISTEMAS.SISTEMAS.4.4. ECUACIN DE CONVOLUCIN.ECUACIN DE CONVOLUCIN.5.5. SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES.SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES.6.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE.TRANSFORMADA DE LAPLACE.7.7. REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.8.8. DIAGRAMA DE LO!UES.DIAGRAMA DE LO!UES.".". DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.



46/110

AUTOMTICAAUTOMTICA

3.3. SISTEMAS.SISTEMAS.

CLASIFICACIN ) "RO"IEDADES DE LOS SISTEMAS

NUESTRO OBVETI6O ES EL DE CONOCER EL CO!PORTA!IENTO DE LOS SISTE!AEN DI:ERENTES SITUACIONES/ 1 C!O/ LA INTERACCIN ENTRE SUS PARTESDETER!INAN SU E6OLUCIN TE!PORAL)

POR EL !O!ENTO DE:INIRE!OS A UN SISTE!A CO!O UNA CAVA NE4RA CON UNAO 6ARIAS ENTRADAS 1 CON UNA O 6ARIAS SALIDAS/ DE !ANERA ;UE LAS SALIDASSON UNA RESPUESTA CAUSAL A LOS CA!BIOS EN LA ENTRADA)

LA WNICA RESTRICCIN ;UE I!PONE!OS ES LA DE CAUSALIDAD) UN SISTE!A ESCAUSAL SI SU SALIDA EN CUAL;UIER INSTANTE DE TIE!PO DEPENDE SOLO DELOS 6ALORES DE ENTRADA EN EL !O!ENTO PRESENTE 1 PASADO/ PERO NO DE6ALORES :UTUROS DE LA ENTRADA)

LOS SISTE!AS CU!PLIRAN UNA SERIE DE PROPIEDADES 1 EN BASE A ESTAS SEOBTIENE UNA CLASI:ICACIN DE ELLOS)

PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS

/ CAUSALIDAD

/ LINEALIDAD

/ ESTABILIDAD

/ INVARIANZA TEMPORAL



47/110

AUTOMTICAAUTOMTICA


CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS

SEGN SU NATURALEZA

EST"TICOS : No p&esentan cam%ios ni e(ol$ciones de s$ estado) La salida del sistemape&manece constante si la ent&ada tam%i*n lo es)

SISTE!AS DIN"!ICOS: P&esenta algn cam%io o e(ol$ci8n de s$ estado en $ntiempo) La salida p$ede e(ol$ciona& con el tiempo ante $na ent&ada constante)

SEGN EL NMERO DE VARIABLES

!ONO6ARIABLES #ESCALARES': Se t&ata de sistemas 7$e poseen $na ent&ada . $nasalida # simple inp$t/ o$tp$t SISO ')

!ULTI6ARIABLES: Se t&ata de sistemas 7$e poseen (a&ias ent&adas . salidas# m$ltiple inp$t/ o$tp$t !I!O ')

SEGN EL TIPO DE SEAL

CONTINUOS: Todas las se5ales son contin$as en el tiempo)

DISCRETOS: Las se5ales del sistema s8lo est9n de+inidas en instantes disc&etos detiempo)



48/110

AUTOMTICAAUTOMTICA



SEGN SU COMPORTAMIENTO DINMICO

Segn el compo&tamiento din9mico 7$e el sistema posea/ este p$ede se& LINEAL o NOLINEAL) El sistema se&9 lineal si c$mple con la condici8n de i-!ai#a#) Pa&a ello tend&9 7$ec$mpli&=

SUPERPOSICIN O ADITI6IDAD

XO!O4ENEIDAD O ESCALADO

EN GENERAL:

Sx1(t) + x2(t) y1(t) + y2(t)y1(t) = S{x1(t)}

y2(t) = S{x2(t)}

SaJx(t) aJy(t) y(t) = S{x(t)}

S!a"Jx"(t) !a"#y"(t) y"(t) = S{x"(t)}



49/110

AUTOMTICAAUTOMTICA



SEGN SU ESTABILIDADUn sistema es ESTABLE si apa&tando las (a&ia%les de s$ p$nto de e7$ili%&io/ estas ($el(ennat$&almente a *ste/ . es INESTABLE si di(e&gen de *l sin &eto&no)

En los sistemas esta%les/ ante toda ent&ada acotada la salidaY&esp$esta es tam%i*n acotada)

SEGN SU INVARIANZA TEMPORAL

Un sistema es IN6ARIANTE con &especto al tiempo c$ando la &esp$esta del sistema nodepende del instante en el 7$e se le apli7$e la e>citaci8n o ent&ada) Esto signi+ica 7$e/ si seaplica al sistema $na e>citaci8n pa&tic$la& . se o%tiene $na &esp$esta/ si se aplica la mismae>citaci8n $n tiempo desp$*s/ se o%tiene la misma &esp$esta/ despla2ada el mismo tiempo7$e se despla28 la e>citaci8n)

Lo ante&io& implica +sicamente 7$e las ca&acte&sticas del sistema no cam%ian en el tiempo)S$ &esp$esta cam%ia dependiendo de la e>citaci8n 7$e se le apli7$e . la din9mica inte&nadel sistema mismo/ pe&o la +o&ma en 7$e &esponde a $na e>citaci8n pa&tic$la& es siemp&e lamisma/ independiente del instante de tiempo en 7$e se le apli7$e)

tty

tCt;

citaciones . s$s co&&espondientes&esp$estas=

K9@

, ; K

"%- 0%-"$a-$!" a i5/a /! Ka ; K$H.

/ 3a"ar?a "i a "i"$!1a "! ! a3i0a 0%1% !90i$a0i6- /-a "/1a #! 1/0%"i13/"%" 0%1% ! #!"0ri$% !- ! 2$i1% 0a"%

Dado 7$e el sistema es lineal e in(a&iante en el tiempo/ la &esp$esta se&a $na s$ma de las&esp$estas a cada $no de los imp$lsos 7$e contiene la e>citaci8n)

( )

( )( )

( ) ( )

t;

tt

ta

t

E;citacin

o

( )

( )( )

( ) ( )

t:;

tt:

ta:

t:

Resp$esta

o



55/110

AUTOMTICAAUTOMTICA

4.4. ECUACIN DE CONVOLUCIN.ECUACIN DE CONVOLUCIN.

LA CON+OLUCIN DE LA E.CITACIN ) LA RES"UESTA AL IM"ULSO

La d$&aci8n de $n imp$lso tiende a ce&o/ es deci&/ p$de se& conside&ado como $nadi+e&encial) La s$ma de di+e&enciales es $na integ&al/ entonces/ se tend&a lo sig$iente=

La integ&al 7$e &ep&esenta la &esp$esta del sistema es $na I-$!5ra #! C%-4%/0i6-) Estainteg&al &ep&esenta la con(ol$ci8n de la &esp$esta al imp$lso . la e>citaci8n aplicada)

La e>citaci8n es tam%i*n $na con(ol$ci8n de la se5al aplicada . la +$nci8n Delta de Di&ac) Lacon(ol$ci8n de c$al7$ie& se5al . la +$nci8n imp$lso $nita&io da como &es$ltado la mismase5al=

Entonces/ la &esp$esta de $n sistema lineal e in(a&iante en el tiempo a $na e>citaci8ngene&al es la con(ol$ci8n de la e>citaci8n aplicada . la &esp$esta al imp$lso del sistema=

( ) ( )

( ) ( )

't;

t;

E;citacin

( ) ( )

( ) ( )

't:;

t:;

Resp$esta

( ) ( ) ( )t;'t; =

( ) ( ) ( )

= 't:;ty



56/110

AUTOMTICAAUTOMTICA

4.4. ECUACIN DE CONVOLUCIN.ECUACIN DE CONVOLUCIN.

"RO"IEDADES DE LA CON+OLUCIN

NOTACIN MATEMTICA:

CLCULO DE LA INTEGRAL DE CONVOLUCIN.

/ Se deja 7$ieta la >#' la ?#' la mo(e&emosQ)/ Se in(ie&te ?#')

/ Se despla2a en (alo& de tQ)

/ !o(emos en el tiempo ?#G t' . m$ltiplicamos las dos +$nciones)

/ Se calc$la la integ&al en el inte&(alo)

LA CONVOLUCIN CUMPLE LAS SIGUIENTES PROPIEDADES.

/ CON!UTATI6A)

/ ASOCIATI6A)

/ DISTRIBUTI6A RESPECTO DE LA SU!A)

/ ELE!ENTO NEUTRO)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )t:t;'t:;ty ==

%DE&'DE&'

/TRANSLACIONES)

/DERI6ACIN)

/3

http://www.jhu.edu/~signals/convolve/index.htmlhttp://www.jhu.edu/~signals/convolve/index.htmlhttp://www.jhu.edu/~signals/convolve/index.html


57/110

AUTOMTICAAUTOMTICA

ContenidoContenido




58/110

AUTOMTICAAUTOMTICA

5.5. SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES.SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES.

ECUACIN DIFERENCIAL LINEAL CON COEFICIENTES CONSTANTES

DESDE EL CO!IEN0O DE LA ERA INDUSTRIAL 1 EN A6ANCE CONSTANTE A !EDIDA;UE AU!ENTABA EL CONOCI!IENTO DE LAS LE1ES :-SICAS ;UE RI4EN LANATURALE0A/ PUDO SER POSIBLE LA REPRESENTACIN !ATE!"TICA DE LOSSISTE!AS O !ODELOS DEL !IS!O)

EL PRI!ER PASO EN EL PROCESO DE !ODELADO/ ES PODER SEPARAR AL SISTE!A;UE NOS INTERESA DEL !EDIO E,TERIOR DE:INIENDO UN BORDE O L-!ITE) ELSISTE!A SE CONECTA CON EL !EDIO E,TERIOR A TRA6


59/110

AUTOMTICAAUTOMTICA

5.5. SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES.SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES.

ECUACIN DIFERENCIAL LINEAL CON COEFICIENTES CONSTANTES

LA REPRESENTACIN 4ENERAL DE UN SISTE!A L)T)I # SISO ' EN TIE!PO CONTINUOSE REALI0A NOR!AL!ENTE A TRA6


60/110

AUTOMTICAAUTOMTICA

ContenidoContenido




61/110

AUTOMTICAAUTOMTICA

6.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE.TRANSFORMADA DE LAPLACE.

INTRODUCCIN

UNA XERRA!IENTA ;UE SE UTILI0A EN EL DISEO DE CONTROL CL"SICO ESPRECISA!ENTE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE)

CO!O XE!OS 6ISTO/ EN EL ESTUDIO DE LOS PROCESOS ES NECESARIOCONSIDERAR !ODELOS DIN"!ICOS # !ODELOS DE CO!PORTA!IENTO 6ARIABLERESPECTO AL TIE!PO ' 1 ESTO TRAE CO!O CONSECUENCIA EL USO DEECUACIONES DI:ERENCIALES RESPECTO AL TIE!PO PARA REPRESENTAR!ATE!"TICA!ENTE EL CO!PORTA!IENTO DE UN PROCESO)

LA TRANS:OR!ADA DE LAPLACE ES UNA XERRA!IENTA !ATE!"TICA !U1 WTILPARA EL AN"LISIS DE SISTE!AS DIN"!ICOS LINEALES)

PER!ITE RESOL6ER ECUACIONES DI:ERENCIALES LINEALES !EDIANTE LATRANS:OR!ACIN EN ECUACIONES AL4EBRAICAS :ACILITANDO SU ESTUDIO)

AL APLICAR LAPLACE PASA!OS DEL DE!ONIO TE!PORAL #t' AL DO!INIODENO!INADO LAPLACIANO #s'/ CUANDO SE TIENE LA SOLUCIN DE LA ECUACINSE APLICA UNA ANTITRANSFORMADA DE LAPLACE PARA 6OL6ER AL DO!INIOTE!PORAL 1 OBTENER EL RESULTADO EN :UNCIN DEL TIE!PO)

Ec-Di/e0encial

Ec-Alge0aica

TRANSFORMADALA"LACE

Solucin Ec-Di/e0encial

ANTITRANSFORMADALA"LACE



62/110

AUTOMTICAAUTOMTICA


DEFINICIN DE LA TRANSFORMADA DE LA"LACE

S!a >@$, /-a >/-0i6- #!>i-i#a 3ara $ H) "/ Tra-">%r1a#a #! La3a0! "! #!>i-! 0%1%:

D%-#! " !" /-a 4ariab! 0%13!=a:

N%$a0i6-:

'tet1sFt1L st

== + '!'!'8!9

{ }! ' ! '$1 t F s=L

{ }

{ }

! ' ! '$

! ' ! '$ etc2

y t G s

; t = s

=

=

L

L

2?@s +=

Parte Ima:inariaParte Real

&'D*'

,.&E/'

%% @s +=

=

@arct0s



63/110

AUTOMTICAAUTOMTICA


DEFINICIONES ) E2EM"LOS

S! #i0! /! a Tra-">%r1a#a #! La3a0! #! >@$, !9i"$! "i a i-$!5ra 0%-4!r5!. S! %b"!r4a /! a Tra-">%r1a#a #! La3a0! !" /-a i-$!5ra i13r%3ia* /-% #! "/"

?1i$!" !" i->i-i$%.

E #%1i-i% #! a TL !" ! 0%-=/-$% #! %" 4a%r!" #! K" 3ara %" 0/a!" !9i"$! ai-$!5ra i13r%3ia.

S! a1a ab"0i"a #! 0%-4!r5!-0ia a -21!r% r!a K"0 #!>i-i#% 3%r:

EEMPLOS.

La i-$!5ra /! #!>i-! a TL -% 0%-4!r5! -!0!"aria1!-$!. P%r !=!13% !"$a" >/-0i%-!"-% $i!-!- TL) ;a /! -% 0%-4!r5!-:

La" 0%-#i0i%-!" "/>i0i!-$!" /! 5ara-$i7a- a !9i"$!-0ia #! a TL "%- /! >@$, "!a0%-$i-/a a $r%7%" ; /! "!a #! %r#!- !93%-!-0ia.

t# %te

( ){ }t1L'omsc in1=



64/110

AUTOMTICAAUTOMTICA


CONDICIONES SUFICIENTES DE E.ISTENCIA DE LA TL

CONTINUIDAD A TRO0OS Si $na +$nci8n es contin$a a t&o2os en $n inte&(alo ce&&ado/ es integ&a%le en dic?o

inte&(alo .a 7$e +#t' posee a lo s$mo $n nme&o +inito de discontin$idades simples # desalto +inito ')

ORDEN E,PONENCIAL

Se dice 7$e $na +$nci8n es de o&den e>ponencial si e>iste $na constante aQ .constantes positi(as !Q . tQ con t t tal 7$e=

TEOREMA DE EXISTENCIA

Para /-a >/-0i6- >@$, a 0%-$i-/i#a# a $r%7%" a"!5/ra "/ i-$!5ra0i6-) ; ! %r#!-!93%-!-0ia i-#i0a /! "/ 3r%#/0$% 3%r !"$ !"$8 a0%$a#%. E"$a" #%" 0%-#i0i%-!" "%-"/>i0i!-$!" 3ara /! !9i"$a a Tra-">%r1a#a #! La3a0! #! /-a >/-0i6-.

E" #!0ir) >@$, !" #! %r#!- !93%-!-0ia !- ! i->i-i$%:

'$+;$


65/110

AUTOMTICAAUTOMTICA


TA#LA DE TRANSFORMADAS DE LA"LACE

f(t) (s)

( )t #

At %s

A

( ) %as

A

+atet

ate

as +#

%%

+stsin

%% +ss

tcos

f(t) (s)

te at sin( ) %%

++ as

( ) +tcos

( ) +tsin%%

cossin

++

s

s

( )ass +

#

( )at

ea

##

( )atn et

n

#

?#

#

( ) nas +#

%%

sincos

+

s

s

nAt#

?+

ns

nA

As

A

( )[ ]t

eta

+ +# ( )%+

+

+s

as

te at cos( ) %% ++

+as

as

( ) #?

++ nasn

atn et



66/110

AUTOMTICAAUTOMTICA

"RO"IEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LA"LACE

TRANSFORMADA DE FUNCIONES PERIDICASS$pongamos 7$e +#t' es $na +$nci8n pe&i8dica de pe&iodo T) Entonces=

Donde :#s' es la t&ans+o&mada de Laplace de la +$nci8n +#t' so%&e el p&ime& pe&iodo . ce&o+$e&a)


{ } '!#

#'!'! # sF

et1LsF

sT==

=

T

st 'tt1esF+

# '!'!

t t

T



67/110

AUTOMTICAU O C


LINEALIDADSi c . cJ son constantes/ +#>' . +J#>' son +$nciones c$.as t&ans+o&madas de Laplace son:#s' . :J#s'/ &especti(amente/ entonces=

La t&ans+o&mada de Laplace es $n ope&ado& lineal)

DESPLAZAMIENTO TEMPORAL

DESPLAZAMIENTO FRECUENCIAL


'!'!'8!'!9 %%##%%## sFcsFct1ct1cL +=+

'!'8!9

'!'8!9

+

+sFett1L

sFt1L

st

=

=

'!'8!9

'!'8!9

asFt1eL

sFt1L

at +=

=



68/110

U O C


ESCALADO EN EL TIEMPO

DERIVADA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LAS DERIVADAS DE UNA FUNCIN

La t&ans+o&mada de Laplace de la de&i(ada de $na +$nci8n est9 dada po&=


=

=

a

sF

aat1L

sFt1L

#'8!9

'!'8!9

{ }'!'!

'8!9'!

tt1LsF

t1LsF

==

'+!'!'8!,9 1ssFt1L = ( 'on'e 1(") es e3 6a3or 'e 1(t) en t % " )

'+!,'+!'!'8!,,9%

1s1sFst1L ='+!'+!,'+!'!'8!9 '#!%#'! = nnnnn 11s1ssFst1L



69/110


TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA INTEGRAL DE UNA FUNCIN

TEOREMA DEL VALOR FINAL

Si e>iste/ entonces=

TEOREMA DEL VALOR INICIAL

El (alo& inicial +#' de la +$nci8n +#t' c$.a T&ans+o&mada de Laplace es :#s'/ es=

INTEGRAL DE CONVOLUCIN


{ }s

sFt1L

s'$$1L

t '!'8!9

#'!

+==

'!lim t1t

'!lim'!lim + ssFt1 st =

'!lim'!lim'+!+

ssFt11 st == +

'!'!'8!9'8!9'8!@'!9 %#%#%# sFsFt1Lt1Lt1t1L ==



70/110

LA TRANSFORMADA IN+ERSA DE LA"LACE

4RACIAS A LAS PROPIEDADES DE LA DERI6ACIN 1 LA LINEALIDAD DE LA TLPODE!OS CON6ERTIR UNA ECUACIN DI:ERENCIAL EN UNA ECUACINAL4EBRAICA)

SI RESOL6E!OS LA ECUACIN AL4EBRAICA 1 ENCONTRA!OS LA TRANS:OR!ADAIN6ERSA DE LAPLACE DE LA SOLUCIN/ 1#S'/ ENCONTRARE!OS LA SOLUCIN DELA ECUACIN DI:ERENCIAL)

AL PROCESO IN6ERSO DE ENCONTRAR +#t' A PARTIR DE :#s' SE LE CONOCE CO!OTRANS:OR!ADA IN6ERSA DE LAPLACE O ANTITRANS:OR!ADA DE LAPLACE 1 SEOBTIENE !EDIANTE=


+

==i

i

st t'sesFi

t1sFL

+$'!

%

#'!'8!9

#

3 determina un contorno vertical en

el 4lano com4le5o6 tomado de tal

manera 7ue todas las sin8ularidades

de (s) 7ueden a su i97uierda:;

Re!s'

Im!s'



71/110

CONDICIONES DE E.ISTENCIA

E,ISTE UN PROBLE!A AL TRABAVAR CON LA TRANS:OR!ADA IN6ERSAF PUEDE NOSER NICA)

ES POSIBLE ;UE LQ >@$, LQ 5@$, / SIENDO >@$,

5@$,)

DOS :UNCIONES ;UE DI:IERAN SLO EN UN PUNTO DE DISCONTINUIDAD TIENENLA !IS!A TRANS:OR!ADA) POR LO ;UE SE PUEDE LLE4AR A PENSAR ;UE SEPUEDEN ELE4IR IN:INITAS :UNCIONES)

DE TODAS LAS :UNCIONES POSIBLES XABR" SOLO UNA ;UE SEA CONTINUA # ATRO0OS ' :RENTE A LAS DE!"S ;UE SER"N DISCONTINUAS/ PARA H ) .

AUN AS- TENDR" ;UE CU!PLIR LAS CONDICIONES DE EXISTENCIA=

EN LA PR"CTICA A LA XORA DE CALCULAR ANTITRANS:OR!ADAS DE LAPLACEAPLICARE!OS LAS PROPIEDADES DE LA TRANS:OR!ADA DE LAPLACE 1 SEUTILI0AR"N TABLAS)


%r1a#a":

P%r % /! "! 4! /! a r!"3/!"$a a i13/"% !- ! #%1i-i% $ra-">%r1a#% !":

( ) ( ) ( )t:t;ty =

( ) ( ) ( )s-s=sG =

( ) ( )

( )s=sG

s- =



83/110

7.7. REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.

RE"RESENTACIN E.TERNA

E"$a &@", !" a F/-0i6- #! Tra-">!r!-0ia #! "i"$!1a !- ! #%1i-i% #! La3a0!. E- a T!%r?a #! a R!5/a0i6- A/$%18$i0a "! ! 0%-%0! 0%12-1!-$! 3%r G@", ; "/

0%rr!"3%-#i!-$! 4a%r !- ! #%1i-i% #! $i!13% 5@$, !" a F/-0i6- #! P%-#!ra0i6- !- !#%1i-i% #! $i!13% @ % /! a-$!" #!-%1i-8ba1%" @$, ,.

D! !"$! 1%#%) ; 3ar$i!-#% #! a" !0/a0i%-!" #i>!r!-0ia!" /! #!"0rib!- a /- "i"$!1aL.T.I ) $raba=a-#% !- ! #%1i-i% La3a0ia-%) "!r!1%" 0a3a0!" #! #!>i-ir ! 4a%r #! a

:UNCIN DE TRANS:ERENCIA $a-$% !- La3a0! 0%1% !- ! $i!13% @ a3i0a-#%a-$i$ra-">%r1a#a" ,.

;5&6g5t6

?(s)

x(t)

@(s)

y(t)

( ) ( )

( )

[ ][ ]nn

nn

mm

mm

asasasa

bsbsbsb

s=

sGsH

++++++++

==

#

#

#+

#

#

#+

222

222



84/110



CARACTERSTICAS Solo es aplica%le a sistemas desc&itos po& ec$aciones di+e&enciales lineales in(a&iantes en el

tiempo)

Es $na desc&ipci8n ent&ada salida del compo&tamiento del sistema)

Depende de las ca&acte&sticas del sistema . no de la magnit$d . tipo de ent&ada)

No p&opo&ciona in+o&maci8n ace&ca de la est&$ct$&a inte&na del sistema

A las &aces del n$me&ado& se les denomina los 0!r%"del sistema)

La E0/a0i6- Cara0$!r?"$i0ade $n sistema L)T)I se de+ine como la ec$aci8n 7$e se o%tieneal ig$ala& a ce&o el polinomio del denominado& de la :$nci8n de T&ans+e&encia) Contiene todala in+o&maci8n so%&e las ca&acte&sticas de la &esp$esta nat$&al #imp$lso' del sistema)

Las &aces de esta ec$aci8n son los3%%"del sistema)

!ediante los ce&os . los polos se de+ini&9 si el sistema es esta%le o inesta%le como se (e&9m9s adelante)

Un sistema +sico es &eali2a%le si los a iQ . %iQ son nme&os &eales . nm # tiene ig$al oma.o& nme&o de polos 7$e de ce&os ') Esto esF es ca$sal . esta%le)



85/110



MATRIZ DE TRANSFERENCIAEs la e>tensi8n del concepto :$nci8n de T&ans+e&encia a los sistemas m$lti(a&ia%les) Engene&al/ el sistema esta&9 acoplado/ es deci&/ cada salida se (e&9 in+l$ida po& cada $na delas ent&adas/ po& lo 7$e se aplica el teo&ema de s$pe&posici8n)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )s=sHs=sHsGs=sHs=sHsG

##%%%

%%###

+= +=

;15&6?1(s)

?2(s) ;


86/110


RE"RESENTACIN INTERNA

ENTRE LAS :OR!AS DE !ODELAR UN SISTE!A !ATE!"TICA!ENTE SEENCUENTRA LA DE DESCRIBIR AL SISTE!A !EDIANTE LA REPRESENTACIN DE6ARIABLES DE ESTADO)

BUSCAR UN !ODELO !ATE!"TICO ES ENCONTRAR UNA RELACIN !ATE!"TICAENTRE LAS SALIDAS 1 LAS ENTRADAS DEL SISTE!A) EN PARTICULAR LAREPRESENTACIN INTERNA #REPRESENTACIN POR 6ARIABLES DE ESTADO'RELACIONAR"N !ATE!"TICA!ENTE LAS SALIDAS CON LAS ENTRADAS A TRA6


87/110



A;U- CONSIDERA!OS ;UE 9/ ; 1 / SON 6ECTORES # COLU!NAS ' DE -/ 3 1 1CO!PONENTES RESPECTI6A!ENTE) ESTA :OR!A DE REPRESENTACIN ES 6"LIDAPARA LOS SISTE!AS CONT-NUOS NOLINEALES 1 6ARIANTES EN EL TIE!PO EN:OR!A 4ENERAL)

SI EL SISTE!A ES IN6ARIANTE EN EL TIE!PO/ LAS :UNCIONES > 1 5 DEVAN DEDEPENDER E,PL-CITA!ENTE DEL TIE!PO=

SI EL SISTE!A REPRESENTADO POR LAS ECUACIONES/ ES UN SISTE!A LINEAL/ LADEPENDENCIA DE E ;/ PASA A SER LINEAL=

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) Sa3i'a'eEc$acint$t;0ty

Esta'o'eEc$acint$t;1t;

$

$

==

;

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sa3i'a'eEc$acint$tDt;tCty

Esta'o'eEc$acint$tt;tAt;

+=+=



88/110



Donde A es $na mat&i2 de n>n/ B es $na mat&i2 de n>m # n +ilas > m col$mnas '/ C es $namat&i2 de p>n/ . D $na mat&i2 de p>m/ 7$e p$eden se& dependientes del tiempo)

SI ADE!"S DE LINEAL/ EL SISTE!A ES IN6ARIANTE EN EL TIE!PO/ LAS !ATRICESA/B/ C1 DDEVAN DE DEPENDER DEL TIE!PO=

En gene&al la dimensi8n de los (ecto&es /e ;p$ede se& c$al7$ie&a) Si en pa&tic$la& am%osse &ed$cen a $n escala& #p m ' el sistema se denomina SISO #singleinp$t singleo$tp$t') En el caso 7$e am%as dimensiones +$esen ma.o&es a la $nidad/ el sistema sedenomina MIMO#m$ltipleinp$t m$ltipleo$tp$t')

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) Sa3i'a'eEc$acint$Dt;Cty

Esta'o'eEc$acint$t;At;

+=

+=

$b$b;a;a;a;

$b$b;a;a;a;

$b$b;a;a;a;

mnmnnnnnnn

mmnn

mmnn

++++++=

++++++=++++++=

222222

222222

222222

##%%##

%#%#%%%%#%#%

#####%#%####



89/110



Del estado se calc$la la salida del sistema)

$;A; +=

+

=

mnm

m

m

nnnnnn

n

n

n $

$

$

b

b

b

b

b

b

;

;

;

aaa

aaa

aaa

;

;

;

%

#

%

#

#

%#

##

%

#

%#

%%%%#

##%##

%

#

222

222

222

222

222

222

ENTRADA$

INSTANTEBNENESTADO;

OSTERIORESTADO;

5

5

5

$'$';c;cy

$'$';c;cy

mpmpnpnpp

mmnn

+++++=

+++++=

222222

222222

####

#########



90/110



EEMPLOS

$D;Cy +=

+

=

m'm

m

m

pnpnpp

n

n

p $

$

$

'

'

'

'

'

'

;

;

;

ccc

ccc

ccc

y

y

y

%

#

%

#

#

%#

##

%

#

%#

%%%%#

##%##

%

#

222

222

222

222

222

222

ENTRADA$

INSTANTEBNENESTADO;

SALIDAy

5

5

5



91/110



SISTEMAS PROPIOS ' ESTRICTAMENTE PROPIOS

Pa&a $n sistema SISO/ 7$e sea lineal/ la &elaci8n ent&e la ent&ada . la salida p$ededesc&i%i&se mediante $na ec$aci8n di+e&encial o&dina&ia/ de la sig$iente +o&ma=

Donde ;@r,es la de&i(ada tempo&al r*sima de la salida ;con &especto al tiempo/ . /@,es lade&i(ada tempo&al *sima de la ent&ada /con &especto del tiempo)

En sistemas +sicos &eales se da siemp&e 7$e res ma.o& o ig$al 7$e ) Si +$e&a lo cont&a&io/

n$nca se pod&a de+ini& ;en +$nci8n de /p$es no se&a ca$sal) A los sistemas en 7$e res ma.o& o ig$al a se los denomina3r%3i%") En el caso en 7$e r

es ma.o& 7$e #no ca%e la posi%ilidad de 7$e sean ig$ales' se los denomina !"$ri0$a1!-$!3r%3i%")

Se p$ede demost&a& 7$e en los casos 7$e el sistema es est&ictamente p&opio/ no e>istet&ansmisi8n di&ecta/ . la mat&i2 Dse ?ace n$la en esos casos)

( ) ( ) ( ) ( ) $b$b$b$byayayay ...

.

r

p

r +++=++++

+##

#+#

#

# 222222



92/110



DETERMINACIN DE LA DESCRIPCIN EXTERNA A PARTIR DE LA INTERNA

Sea el sistema &ep&esentado po& las ec$aciones de estado . de salida sig$ientes=

Dado 7$e la &ep&esentaci8n inte&na as$me 7$e las condiciones iniciales son n$las/ si seaplica la t&ans+o&mada de Laplace se o%tiene=

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )t$Dt;Cty

t$t;At;

+=+=

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )sBDs=CsG

sBs=Ass=

+=+=

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )sBAsIs=

sBs=AsI

sBs=Ass=I

=

=+=

#

( ) ( ) ( ) ( )sBDsBAsICsG += #

( )

( ) ( ) ( ) DAsICsH

sB

sG +== #

(1)

(2)



93/110



RECORDAR=

teDeterminan

A'?$ntoIn6ersa

t

=

ticoCaracter/so3inomioAsI

ticaCaracter/s8MatriAsI

5

5

( ) ( ) DAsI

AsIA'?CsH

t

+

=

( ) ( ) ( )nn&nn sssasasAsI =+++= 222222 %##

Estos son los valores 4ro4ios de la matri9 Son los 4olos:



94/110

ContenidoContenido

1.1. INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.2.2. SEALES.SEALES.3.3. SISTEMAS.SISTEMAS.4.4. ECUACIN DE CONVOLUCIN.ECUACIN DE CONVOLUCIN.5.5. SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES.SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES.6.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE.TRANSFORMADA DE LAPLACE.

7.7. REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.8.8. DIAGRAMA DE LO!UES.DIAGRAMA DE LO!UES.".". DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.


8 G O! S


95/110

8.8. DIAGRAMA DE LO!UES.DIAGRAMA DE LO!UES.

DIA;RAMA DE #LO$UES> CONCE"TO

UNA :OR!A ES;UE!"TICA DE REPRESENTAR LOS SISTE!AS DE CONTROL ES ATRA6


96/110


ELEMENTOS #%SICOS DE UN DIA;RAMA DE #LO$UES

BLOUE FUNCIONAL# O SI!PLE!ENTE BLO;UE '

Es $n sm%olo 7$e &ep&esenta $n componente de $n sistema/ 7$e (iene ca&acte&i2ado po& s$:$nci8n de T&ans+e&encia 4#s')

PUNTO DE SUMA O COMPARACIN

Se &ep&esenta po& $na ci&c$n+e&encia/ a la 7$e llegan se5ales 7$e p$eden se& s$madas o&estadas dependiendo del signo)

PUNTO DE BIFURCACIN

Se &ep&esenta po& $n p$nto en el 7$e la se5al p&osig$e a lo la&go de (a&ias t&a.ecto&ias ?acia(a&ios destinos)

;5&6?(s) @(s)

?1(s)

?2(s)

3

?1(s) ?

2(s)

?1(s)

?1(s)

?1(s)


88 DIAGRAMA DE LO!UESDIAGRAMA DE LO!UES


97/110


REDUCCIN O AL;E#RA DE #LO$UES

SON T


98/110



MOVIMIENTO DE UN PUNTO DE BIFURCACIN &ACIA ADELANTE

DIA4RA!A ORI4INAL DIA4RA!A E;UI6ALENTE

MOVIMIENTO DE UN PUNTO DE BIFURCACIN &ACIA ATRS


;5&6?(s) @(s)

?(s)

;5&6?(s) @(s)

1 ?;5&6

?(s)

;5&6?(s) @(s)

@(s)

;5&6?(s) @(s)

;5&6 @(s)




99/110



MOVIMIENTO DE UN PUNTO DE SUMA &ACIA ADELANTE


MOVIMIENTO DE UN PUNTO DE SUMA &ACIA ATRS


;5&6?(s) @(s)

B(s)

3

;5&6?(s) @(s)

;5&6

3

B(s)

;5&6?(s) @(s)

B(s)

3

;5&6?(s) @(s)

B(s)

3

1 ?;5&6




100/110



BLULE DE REALIMENTACIN


;5&6 ?1=;5&6@5&6

?(s) @(s)3

4;5&6?(s) @(s)

@5&6

E(s)

C(s)

( )

( ) ( ) Re1erenciasRs=

ErrorsE

===

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )sRsHs-sHsG

sGs-sRsHsG

sGs-sRsEsEsHsG

=+=

= =

#

( )( )

( )( ) ( )s-sHsH

sR

sG

+=

#

( )( ) ( ) ( )s-sHsEs

=

( )( )

( )sHsE

sG=

uncin de

ransferencia en *a9o

errado

uncin de

ransferencia en *a9o

,ierto

uncin de

ransferencia en

amino Directo



101/110

ContenidoContenido

1.1. INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS AUTOMTICOS.2.2. SEALES.SEALES.3.3. SISTEMAS.SISTEMAS.4.4. ECUACIN DE CONVOLUCIN.ECUACIN DE CONVOLUCIN.5.5. SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES.SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES.6.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE.TRANSFORMADA DE LAPLACE.

7.7. REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.REPRESENTACIN MATEMTICA DE LOS SISTEMAS.8.8. DIAGRAMA DE LO!UES.DIAGRAMA DE LO!UES.".". DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.


"" DIAGRAMA DE FLU#O DE SEALDIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL


102/110

".". DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.DIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.

DIA;RAMA DE FLU2O DE SE,AL> CONCE"TO

EL DIAGRAMA DE BLOQUES ES TIL PARA LA REPRESENTACIN GRFICA DESISTEMAS DE CONTROL DINMICO Y SE UTILIZA EXTENSAMENTE EN EL ANLISIS YDISEO DE SISTEMAS DE CONTROL.

OTRO PROCEDIMIENTO ALTERNATIVO PARA REPRESENTAR GRFICAMENTESISTEMAS DE CONTROL DINMICOS, ES EL MTODO DE LOS DIAGRAMAS DEFLUJO DE SEAL, ATRIBUIDO A S.J. MASON.

UN DIAGRAMA DE FLUJO DE SEAL ES UN DIAGRAMA QUE REPRESENTA UNCONJUNTO DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES SIMULTNEAS.

Como sabemos, los sistemas lineales e invariantes en el tiempo vienendesritos por e!aiones di"ereniales #!e nos permiten relaionar laentrada $ o entradas % del sistema on la salida $ o salidas % del mismo&

'ara poder apliar el m(todo del dia)rama de *!+o de seal al an-lisisde sistemas de ontrol, primero .a/ #!e trans"ormar las e!aionesdi"ereniales lineales en e!aiones al)ebraias en 0s1&

Solo de este modo se podr- representar el sistema de ontrol din-mioen !esti2n mediante el dia)rama de *!+o de seal&




103/110


DIA;RAMA DE FLU2O DE SE,AL> CONCE"TO

DESCRIPCIN

El diag&ama de +l$jo de se5al consiste en $na &ed en la c$al los nodos est9n conectado po&&amas con di&ecci8n . sentido)

Cada nodo &ep&esenta $na (a&ia%le del sistema . cada &ama conectada ent&e dos nodos/acta como $n m$ltiplicado& de se5al)

La se5al +l$.e solamente en $n sentido) El sentido del +l$jo de se5al se indica po& $na +lec?a$%icada en la &ama . el +acto& de m$ltiplicaci8n apa&ece a lo la&go de la &ama)

El g&9+ico de +l$jo de se5al despliega el +l$jo de se5ales de $n p$nto de $n sistema a ot&o .da las &elaciones ent&e las se5ales)

x1

x2 xF

xG

xH

a b

c

'&

7/

%.7

7#%

;;

;b;';

;c;a;

=

+=

+=




104/110


DIA;RAMA DE FLU2O DE SE,AL> DEFINICIONES

NODO

Un nodo es $n p$nto 7$e &ep&esenta $na (a&ia%le o se5al)

TRANSMITANCIA

Es la ganancia ent&e dos nodos # o +$nci8n de t&ans+e&encia ent&e dos nodos ')

RAMA

Una &ama es $n segmento de lnea con di&ecci8n . sentido/ 7$e $ne dos nodos) La gananciade $na &ama es $na t&ansmitancia)

NODO DE ENTRADA O FUENTE

Un nodo de ent&ada o +$ente es $n nodo 7$e s8lo tiene &amas 7$e salen) Esto co&&esponde a$na (a&ia%le independiente)

NODO DE SALIDA O SUMIDEROUn nodo de salida o s$mide&o es $n nodo 7$e s8lo tiene &amas de ent&ada) Estoco&&esponde a $na (a&ia%le dependiente)

NODO MIXTO

Nodo mi>to es $n nodo 7$e tiene tanto &amas 7$e llegan/ como &amas 7$e salen)




105/110


DIA;RAMA DE FLU2O DE SE,AL> DEFINICIONES

CAMINO O TRA'ECTO

Es $n &eco&&ido de &amas conectadas en el sentido de las +lec?as de las &amas) Si no se c&$2aningn nodo m9s de $na (e2/ el camino o t&a.ecto es a%ie&to) Si el camino o t&a.ecto +inali2aen el mismo nodo del c$al pa&ti8/ . no c&$2a ningn ot&o m9s de $na (e2/ es $n camino ot&a.ecto ce&&ado)

LAZO

Un la2o es $n camino o t&a.ecto ce&&ado)

GANANCIA DE LAZO

La ganancia de la2o es el p&od$cto de las ganancias de &amas de $n la2o)

LAZOS DISUNTOS

Son disj$ntos los la2os 7$e no tienen ningn nodo comn)

TRA'ECTO O CAMINO DIRECTO

Es el camino o t&a.ecto de $n nodo de ent&ada a $n nodo de salida/ sin c&$2a& ningn nodom9s de $na (e2)

GANANCIA DE TRA'ECTO DIRECTO

Es el p&od$cto de las ganancias de &ama de $n camino o t&a.ecto di&ecto)




106/110


AL;E#RA DEL DIA;RAMA DE FLU2O DE SE,AL

#% ;a; =

%7

#%

;b;;a;

= = #7;ba; =

7#%

%7

;c;a;

;b;

+=

=

7#7 ;bc;ab; +=




107/110


DIA;RAMA DE FLU2O DE SE,AL DE SISTEMAS LINEALES

EEMPLO

777%7%#7#7

%%7%7%%%#%#%

##7#7%#%####

;a;a;a;

b;a;a;a;

b;a;a;a;

++=

+++=

+++=

entra'a4'e6ariab3esson

sa3i'a4'e6ariab3es son;;;

%#

7%#

$

$$




108/110


DIA;RAMA DE FLU2O DE SE,AL DE SISTEMAS DE CONTROL




109/110


DIA;RAMA DE FLU2O DE SE,AL DE SISTEMAS DE CONTROL


"". DIAGRAMA DE FLU#O DE SEALDIAGRAMA DE FLU#O DE SEAL.


110/110


FRMULA DE ;ANANCIA DE MASON

EN !UCXOS CASOS PR"CTICOS SE DESEA DETER!INAR LA RELACIN ENTRE UNA6ARIABLE DE ENTRADA 1 UNA 6ARIABLE DE SALIDA EN EL 4R":ICO DE :LUVO DESEAL) LA 4ANANCIA ENTRE UN NODO DE ENTRADA 1 UN NODO DE SALIDA ES LA4ANANCIA TOTAL O :UNCIN DE TRANS:ERENCIA/ ENTRE ESOS DOS NODOS)

LA :R!ULA DE GANANCIA DE MASON/ APLICABLE A LA 4ANANCIA TOTAL/ ES=

= 5 55#

5 e& la ;anancia del "3&imo Camino Di0ecto-

e& el Dete0minante del Diag0ama-

- 13 5&uma de toda& la& ganancia& de laBo& indi7iduale&6=5&uma de lo& 90oducto& de la&ganancia& de toda& la& 9o&ile& cominacione& de do& laBo& ue no &e tocan635&uma de lo&90oducto& de ganancia& de toda& la& 9o&ile& cominacione& de t0e& laBo& ue no &e tocan6=---

++=

n tsr.m .mn

LLLLLL $

#

Documents

Tema1 - Introducción a Los Sistemas de Control