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Elasticidad y ampliacin de resistencia de materiales
1
rea de Mecnica de Medios Continuos y
Marcos Garca Gonzlez [email protected]
Teora de Estructuras
Tema 8: Energa de def ormacin y teoremas energticos
Referencia bibliogrfica:
Leccin 19, 20 y 29
TENSIONES Y DEFORMACIONES EN MATERIALES ELSTICOS
D.Jos Antonio Gonzlez Taboada
Grado de Ingeniera de Tecnologas Industriales - Curso 3
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8. Energa de deformacin. Potencial interno
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Si a un sistema elstico en estado inicial neutro (todas las
tensiones son
nulas en todos los puntos) se le aplican acciones exteriores que
crezcan
infinitamente lento desde cero hasta su valor final, a este modo
de
aplicacin se llama APLICACIN ESTTICA (sistema conservativo)
de las acciones, por lo que la transformacin es reversible:
Wext=Uint
Si la aplicacin no fuese lenta, no existira el
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8. Energa de deformacin. Caso general
3
La energa es una funcin cuadrtica con lo que se rompe la
linealidad.
Ej. Energa cintica
Pcpo superposicin
Energa ( slo si
son solicitaciones
distintas)
Deformaciones
(siempre)
La energa de deformacin debida a cada una de las solicitaciones
vale:
La energa de deformacin debida a
la accin simultnea de varias
solicitaciones es:
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8. Energa de deformacin. Caso general
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UTC es UTA+ UTB
UTC es = UTA+ UTB
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8. Energa de deformacin. Teorema de Clapeyron
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Acciones (fuerzas pares)
Desplazamientos totales del punto de aplicacin de dicha
accin(flechas giros respectivamente)
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8. Energa de deformacin. Ejemplos
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Ejemplo 1
Determinar en la estructura de la figura la energa interna
almacenada por el
mtodo general y comprobar dicho resultado por Clapeyron
NOTA: despreciar la energa del cortante frente a la del momento
flector
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8. Energa de deformacin. Ejemplos
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Ejemplo 2
Determinar en la estructura de la figura la energa interna
almacenada por el
mtodo general y comprobar dicho resultado por Clapeyron
NOTA: despreciar la energa del cortante frente a la del momento
flector
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Ejercicio
8
Despreciando los efectos del cortante, se pide determinar en la
mnsula de la
figura 1:
1)El giro de A y la flecha de B correspondientes a las dos
acciones utilizando los
teoremas de Mohr
2)La energa interna de deformacin utilizando las expresiones
generales de la misma
en funcin de las solicitaciones
3)La energa interna por Clapeyron
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8.Teorema de Reciprocidad o de Maxwell-Betti
9
PMMMPPMPMMPPTOTAL
INDIRECTODIRECTOTOTAL
PMPWWWW
WWW
2
1
2
1
Si tuviramos dos acciones, M y P, el trabajo exterior realizado
valdra:
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Ejercicio
10
Despreciando los efectos del cortante, se pide determinar en la
mnsula de la
figura 1 el trabajo realizado por las acciones exteriores
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8. Teorema de Reciprocidad o de Maxwell-Betti
11
Ejemplo 3
Comprobar el cumplimiento del teorema de
Maxwell-Betti en la estructura de la figura y
determinar el trabajo exterior realizado por
las acciones exteriores
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8. Teorema de Reciprocidad o de Maxwell-Betti
12
Ejemplo 3
EI
ML
EI
PLMAYPAZ 2
;2
22
EI
MLPPW
MAYPM 2..
2
PMMP WW
Teorema de
Maxwell-Betti
EI
PLMMW
PAZMP 2..
2
MPMMPPTOTAL
INDIRECTODIRECTOTOTAL
WWWW
WWW
INTERNAAPAAEXTERIOR UEI
PLM
EI
MLM
EI
PLPMMPW
2.
2
1
3.
2
1.
2
1.
2
1 23
Igual cantidad que se haba obtenido anteriormente
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Ejercicio
13
Determinar el valor y sentido del giro de la seccin B y la
flecha en el
centro de la viga utilizando el teorema de Maxwell-Betti
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8. Teorema de Reciprocidad o de Maxwell-Betti
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0.. jkji
ki RF
Acciones
exteriores que
tengamos
Corrimientos en el sistema
con carga unidad(b) en
direccin y sentido de la
accin
Corrimientos en el sistema
con carga unidad(b) en
direccin y sentido de las
reacciones
Reacciones
hiperestticas
que tengamos
Trabajo indirecto entre las
acciones y las reacciones es
cero por no haber
desplazamiento
Caso particular de aplicacin del teorema para el clculo de
reacciones
hiperestticas
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15
Determinar la reaccin en A utilizando el teorema de
Maxwell-Betti
8. Teorema de Reciprocidad o de Maxwell-Betti
Ejemplo 4
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8.Teorema de Castigliano
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K
KF
U
K- Corrimiento total del punto K en direccin y sentido de la
accin FKF K-Fuerza exterior, carga momento, aplicada en K
Teorema directo de Castigliano
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17
Determinar la flecha vertical de A y el giro de A utilizando el
teorema de
Castigliano, despreciando los efectos del cortante frente a los
del momento
flector y sabiendo que M=3PL
8.Teorema de Castigliano
Ejemplo 5
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8. Teorema de Castigliano. Integrales de Mohr
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K
KF
U
Castigliano
Energa interna
Las cuentas sern ms sencillas primero derivando y luego
integrando
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19
Determinar la flecha vertical de A y el giro de A utilizando
Castigliano por
Integrales de Mohr, despreciando los efectos del cortante frente
a los del
momento flector y sabiendo que M=3PL
8. Teorema de Castigliano. Integrales de Mohr
Ejemplo 6
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20
Determinar el giro de la seccin A utilizando Castigliano por
Integrales
de Mohr, despreciando los efectos del cortante frente a los del
momento
flector.
8. Teorema de Castigliano. Integrales de Mohr
Ejemplo 7
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21
Determinar la flecha de la seccin B utilizando Castigliano por
Integrales
de Mohr, despreciando los efectos del cortante frente a los del
momento
flector.
Datos: P= 1000kp
L=5m
E=2.105 Mpa
Perfil IPE 160
8. Teorema de Castigliano. Integrales de Mohr
Ejemplo 8
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22
Determinar el giro de A y B utilizando Castigliano por
Integrales de
Mohr, despreciando los efectos del cortante frente a los del
momento
flector.
8. Teorema de Castigliano. Integrales de Mohr
Ejemplo 9
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23
Determinar el giro de A utilizando Castigliano por Integrales de
Mohr,
despreciando los efectos del cortante frente a los del momento
flector.
Datos: M= 1kN.m
L=5m
E=2.105 Mpa
Perfil IPN 80
8. Teorema de Castigliano. Integrales de Mohr
Ejemplo 10
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Ejercicio
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Datos: P= 5kN
L=2m
E=2.105 Mpa
Perfil IPE 160
La viga ABCD de la figura de seccin constante est empotrada
en su lado izquierdo A, apoyada en el derecho D y tiene una
rtula en la seccin B. Recibe en C, punto medio entre B y D,
una carga vertical P dirigida hacia abajo. Despreciando el
efecto
del esfuerzo cortante, se PIDE:
a) Valor y sentido del desplazamiento vertical de la seccin
C, utilizando el teorema de Castigliano (Integrales de Mohr)
b) Valor y sentido del giro de la seccin infinitamente
prxima
por la derecha a la rtula B, utilizando el teorema de
reciprocidad de Maxwell-Betti
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8. Principio de trabajos virtuales. Generalidades
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Trabajo interno negativo ya
que el desplazamiento es
contrario a la fuerza interna
Trabajo externo creado por las
acciones exteriores y las
reacciones. El de las
reacciones es normalmente =0
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8. Principio de trabajos virtuales. Generalidades
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CONVENIO: Pondremos con las magnitudes correspondientes al
estado congruentes de desplazamientos
Ecuacin general de principio de trabajos virtuales:
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8. Principio de trabajos virtuales. Desplazamientos
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Ejemplo 11
Determinar la flecha y el giro de la
seccin A por el P.T.V.
NOTA: despreciar los efectos del cortante
Se plantea una accin unidad (si es un
giro un momento; si es una flecha una carga) correspondiente en
la
seccin que se pretende determinar. El
signo final del resultado determinar la
direccin
Clculo de la flecha de A:
W=F. W=M.
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8. Principio de trabajos virtuales. Clculo reacciones
hiperestticas
28
Ejemplo 12
1. Determinar la reaccin en A utilizando el principio de
trabajos virtuales
2. Determinar el giro de A por el mismo mtodo
NOTA: despreciar los efectos del esfuerzo cortante
