Teme master radova - Matematika - pmf.ni.ac.rs master radova... · Izometrijske transformacije su razne vrste simetrija (osna simetrija, centralna simetrija, ravanska simetrija),

Univerzitet u Nišu Prirodno-matematički fakultet

Departman za matematiku

T E M E

MASTER RADOVA NA MASTER AKADEMSKIM STUDIJAMA :

MATEMATIKA

U Nišu, 22.2.2012. godine

- 1 -

Naslov master rada

Bulove algebre

Mentor

dr Snežana Ilić

Studijski program

Matematika

Modul

Kratak sadržaj rada

Iako svoju najvažniju ulogu Bulove algebre imaju u Logici i Računarstvu, one su uspostavile jaku vezu sa problemima Topologije, Teorije mera, Funkcionalne analize,.. .

Parcijalno uredjen skup (A,≤) je mreža ako za svaka dva elementa postoji supremum i infimum. Na mreži se definišu operacije i . Za

a,bA: a b=inf ,a b , a b=sup ,a b . Na taj način je definisana

algebra (A, , ), za koju kažemo da je pridružena mreži (A,≤).

Za tvrdjenje u jeziku mreža, d označava njegovo dualno tvrdjenje dobijeno zamenom simbola , redom simbolima , . Važi sledeća teorema, Princip dualnosti: Ako tvrdjenje važi u svakoj mreži, tada važi i dualno tvrdjenje d .

Mreža koja zadovoljava jedan od identiteta: x (y z)=(x y) (x z) ili x (y z)=(x y) (x z) je distributivna. Mreža A je kompletna ako svaki neprazan podskup od A ima supremum i infimum. Neka je A mreža koja ima najmanji element 0, najveći 1 i aA. Za element bA kažemo da je komplement od a ako je a b=0 i a b=1. Ako svaki element ima komplement, kažemo da je A mreža sa komplementiranjem.

Algebarska struktura (B,+, ,-,0,1) u kojoj su operacije + i asocijativne i komutativne, važe distributivni zakoni i zakon apsorpcije jedne operacije prema drugoj, x+(-x)=1 i x (-x)=0 je Bulova algebra. Bulove algebre su distributivne mreže sa komplementiranjem. Za Bulove algebre, takodje, važi princip dualnosti formulisan za mreže, s tim što se ovde vrši i zamena simbola 0, 1 jednog drugim.

Uvodi se pojam Bulovog prstena, atoma, atomične Bulove algebre, podalgebre Bulove algebre generisane podskupom, homomorfizma, kongruencije, ideala, filtra, ultrafiltra, proizvoda Bulovih algebri i proučavaju se njihove osobine. Veoma važna veza se uspostavlja izmedju Bulovih algebri i jedne klase topoloških prostora. Svaka Bulova algebra se može potopiti u kompletnu Bulovu algebru. Posebna pažnja posvećena je problemu nalaženja najmanje takve kompletne Bulove algebre, kao i konstrukciji slobodne Bulove algebre.

Spisak reprezentative literature

1. Ž. Perović: Bulove algebre, Prosveta Niš, 1998. 2. S. Roman: Lattices and Ordered Sets, Springer

Predlog članova komisije 1. dr Snežana Ilić, 2. dr Miroslav Ćirić, 3. dr Vladimir Pavlović.

- 2 -

Naslov master rada

Grupe kretanja. Izometrijske transformacije i njihove grupe

Mentor

dr Snežana Ilić

Studijski program

Matematika

Modul


Veliku i veoma značajnu klasu raznovrsnih konačnih i beskonačnih grupa čine grupe “kretanja“ ( grupe kongruencija) geometrijskih figura. Kretanjem (ili kongruentnim preslikavanjem) date geometrijske figure F naziva se takvo premeštanje figure F (u prostoru ili u ravni) kojim se figura F prevodi u samu sebe, tj. preslikava na samu sebe. Najprostije grupe kretanja su grupe rotacija pravilnih poligona u ravni. Ako bi se posmatralo preslikavanje n-tougla na sebe u prostoru, tada bi se pobrojanim rotacijama dodale i tzv. refleksije poligona, tj. rotacije za ugao π oko ose simetrije poligona. Neka je u prostoru ili u ravni data figura F. Razmotrimo sva preslikavanja te figure na nju samu, tj. sva kretanja (u prostoru ili u ravni) kojima se ta figura prevodi u sebe. Kao proizvod g 1 g 2 dvaju

kretanja g 1 i g 2 definisaćemo kretanje koje je rezultat uzastopno

izvedenih, najpre, kretanja g 1 a zatim kretanja g 2 . Skup svih takvih

kretanja figure F sa definisanom operacijom množenja obrazuje grupu. Grupe kretanja pravilnih poligona su konačne. Upoznaćemo i druge konačne grupe kretanja, naime grupe kretanja nekih poliedara (pravilne piramide, pravilne bipiramide, pravilnog tetraedra, kocke, oktaedra, ikosaedra i dodekaedra). Primer beskonačne grupe kretanja je grupa svih kretanja prave u bilo kojoj ravni kojoj ta prava pripada. Drugi primer je grupa svih preslikavanja kruga na sebe u njegovoj ravni. Kretanja koja prevode datu figuru u podudarnu figuru nazivamo izometrijskim transformacijama. Izometrijske transformacije su razne vrste simetrija (osna simetrija, centralna simetrija, ravanska simetrija), rotacija i translacija kao i, razume se, raznovrsne kombinacije istih. Naš cilj je da upoznamo geometrijska svojstva izometrijskih transformacija i njihovih grupa.


1. P.S. Aleksandrov: Uvod u teoriju grupa, Privredna štampa, Beograd, 1982.; 2. N. Božović, Ž. Mijajlović: Uvod u teoriju grupa, Naučna knjiga, Beograd, 1983.;

Predlog članova komisije

1. dr Snežana Ilić, 2. dr Ljubica Velimirović, 3. dr Vladimir Pavlović.

- 3 -

Naslov master rada

Univerzalna algebra

Mentor

dr Snežana Ilić

Studijski program

Matematika

Modul


Pojam grupe, prstena i polja se ovde ponovo razmatraju, ali sa apstraktnijeg nivoa, odnosno sa stanovišta univerzalnih algebarskih struktura. Na ovaj način se omogućava da se kompaktno prikažu pojedine oblasti algebre i izbegne u osnovi nepotrebno ponavljanje definicija ključnih pojmova kod konkretnih algebarskih struktura. I što je važnije, student može da stekne uvid u suštinske algebarske pojmove i konstrukcije, zajedničke svim algebarskim strukturama (kao, na primer, pojmovi i konstrukcije: term, algebarski zakon, algebarski varijetet, homomorfizam, proizvod algebri, kongruencija i količnička algebra).

Neka je A neprazan skup. Algebarska struktura ili algebra je svaka uredjena n-torka A =(A,f 1 ,f 2 ,...,f k ,a 1 , a 2 ,...,a m ) gde su n,k i m prirodni

brojevi, n=k+m+1, f 1 ,f 2 ,...,f k operacije skupa A i a 1 , a 2 ,...,a m A.

Najznačajnija klasifikacija algebri je prema jeziku, tj. prema broju i vrsti algebarskih operacija i konstanti koje učestvuju u njihovoj definiciji.

Razne osobine algebarskih struktura izražavaju se algebarskim zakonima. Algebarski zakoni su, zapravo, posebna vrsta formula zapisanih na jeziku razmatrane algebre. Algebarsku strukturu održavaju specijalna preslikavanja-homomorfizmi. Posledica ove činjenice je da homomorfne slike čuvaju mnoge algebarske osobine polazne algebre. Proizvod algebri, Dekartov stepen algebre, podalgebra generisana podskupom i količnička algebra su primeri konstrukcije novih algebri.

Algebarski varijeteti predstavljaju jednu moguću klasifikaciju algebri datog jezika. S druge strane, mnoge značajne klase algebri ne mogu se u tom formalizmu na pogodan način predstaviti. Ne postoji algebarska teorija koja opisuje tačno klasu svih algebarskih polja. Isto tako ima važnih primera algebri na kojima su definisane odredjene relacije koje su u vezi sa operacijama date algebre (na primer, uredjena polja). Takve proširene strukture nisu obuhvaćene formalnom definicijom algebre. Stoga su razvijeni formalni sistemi koji, izmedju ostalog, dopuštaju izučavanje i takvih primera algebarskih struktura. Jedan od tih formalizama, kojim ćemo se baviti, je teorija modela. Smatra se da je teorija modela oblast smeštena izmedju algebre i logike. Jedan deo ove oblasti zasnovan je na predikatskom računu.


1. Ž. Mijajlović: Algebra 1. deo, Milgor 1993.; 2. S. Burris, H. P. Sankappanavar: A Course in Universal Algebra, Springer-Verlag, New York Heidelberg Berlin.


1. dr Snežana Ilić, 2. dr Jelena Ignjatović, 3. dr Vladimir Pavlović.

- 4 -

Naslov master rada

Primena nekih programskih paketa za vizualizaciju u geometriji

Mentor

Ljubica Velimirović

Studijski program

Matematika

Modul


U radu bi se razmatrali programski paketi tipa CAD vezani za vizualizaciju. Posebno se analizira upotreba i znacaj CAD paketa u konstruktivnoj geometriji.


1. Michael Hofer, Andreas Asperl Geometry in the CAAD Curriculum 2. S. Minčić, Lj. Velimirović, Diferencijalna geometrija krivih i površi,

PMF Niš, 2006 3. Lj. Velimirović, P. Stanimirović, M. Zlatanović, Geometry of Curves

and Surfaces with Mathematica, Faculty of Science and Mathematics, University of Nis


1.Ljubica Velimirović 2.Svetozar Rančić 3.Milan Zlatanović

- 5 -

Naslov master rada

Poliedri i njihova površina i zapremina

Mentor


Studijski program

Matematika

Modul


U radu bi se razmatrali poliedri ,različiti načini izračunavanja površine i zapremine, kao i varijacija tih veličina s obzirom na deformacije


1. S. Minčić, Lj. Velimirović, Differential Geometry of Curves and

Surfaces (in Serbian), Faculty of Science and Mathematics, University of Nis, 2006

2. M. Stanković, Osnovi geommetrije, PMF u Nišu, Niš, 2006 3. I Kh Sabitov, The volume of a polyhedron as function of its metric,

Fund prikl mat 2 1235-1246 4. V.A. Alexandrov, How one can crush a milk carton in such a way as

to enlarge its volume


1.Ljubica Velimirović 2.Milan Zlatanović 3.Vladimir Pavlović

- 6 -

Naslov master rada

Moderna diferencijalna geometrija povrsi nulte srednje krivine

Mentor


Studijski program

Matematika

Modul


U radu bi se razmatrala klasifikacija s obzirom na srednju krivinu. Specijalno se analiziraju površi nulte sredne krivine. Analizirao bi se način nastajanja ovih površi kao i vrste minimalnih površi.


1. Robert Osserman, Survey on Minimal Surfaces A Gray Modern

Differential Geometry of Curves and Sufaces Bocca Roton, 1998. 2. Lj. Velimirović, P. Stanimirović, M. Zlatanović, Geometry of curves

and surfaces using program package MATHEMATICA, Faculty of Sciences and Mathematics, 2010


1.Ljubica Velimirović 2.Milan Zlatanović 3.Svetozar Rančić

- 7 -

Naslov master rada

Numeričko rešavanje običnih diferencijalnih jednačina

Mentor

Jelena Manojlović

Studijski program

Master akademske studije matematike

Modul


U radu se razmatraju osnovne numeričke metode za rešavanje Košijevih problema DJ prvog reda. Biće opisani postupci konstrukcije jednokoračnih metoda, linearnih višekoračnih metoda (Adams–Bashforth–ove i Adams–Moulton–ove metode), prediktor-korektor metoda i metoda Runge-Kuta, kao i njihova osnovna svojstva: red tačnosti, konzistencija, nula-stabilnost, konvergencija, numerička stabilnost i dokazana Fundamentalna teorema numeričke analize - Teorema Dahlquist-a. Primenom programskog paketa Mathematica metodi se mogu medjusobno uporediti u primenama na različite Košijeve probleme DJ prvog reda, sisteme diferencijalnih jednačina i diferencijalne jednačine višeg reda, pri čemu se posebna pažnja poklanja u primenama na tkz. krute probleme.


1. Arieh Iserles, A first course in numerical analysis of differential

equation, Cambridge University Press, 1996. 2. Leon Lapidus, John H. Seinfeld, Numerical solution of ordinary

differential equations, Academic Press, INC. (London) LTD., 1971 3. M.K. Kadalbajoo, Numerical solutions to ODE, Department of

Mathematics, IIT Kanpur, Online lectures


1. Jelena Manojlović 2. Miljana Jovanović 3. Marko Petković

- 8 -

Naslov master rada

Oscilatornost linearnih i polulinearnih diferencijalnih jednačina drugog reda

Mentor

Jelena Manojlović

Studijski program

Master akademske studije matematike

Modul


U radu se razmatra kvalitativna sličnost i razlika linearnih i polulinearnih DJ drugog reda razmatrajući:

Šturmovu teoriju (Pikonov identitet, teoreme o razdvajanju nula, teorema poređenja, ciklična teorema);

konjugovanost jednačine, dominantna i recesivna rešenja metode teorije oscilatornosti (varijacioni princip, Rikatijevu

tehniku i teoriju upoređenja); kriterijume oscilatornosti i neoscilatornosti (Wong, Kamenev,

Philos, Hile, Hartman tipa).


1. O. Došly, P. Rehak: Half-linear differential equations, Elsevier 2005. 2. Ravi P. Agarwal, Said R. Grace, Donal O'Regan: Oscillation theory

for second order linear, half-linear, superlinear and sublinear dynamic equations, Kluwer Academic Publishers, 2002.


1. Jelena Manojlović 2. Svetlana Janković 3. Miljana Jovanović

- 9 -

Naslov master rada

Reprezentacije C*-algebri

Mentor

Dragan Đorđević

Studijski program

Matematika

Modul


Izučavaju se fundamentalni pojmovi u C*-algebrama. Posebno, istraživanje se odnosi spektralna svojstva elemenata C*-algebri, Gelfandovu reprezentaciju komutativnih C*-algebri, pozitivne linearne funkcionale, aproksimativne jedinice, kao i konstrukciju Gelfanda-Naimarka –Segala. Ispitivaće se ekstermne tačke jedinične kugle u C*-algebri.


1. W. Arveson, An invitation to C*-algebras, Springer-Verlag, Berlin –

Heidelberg – New York, 1976. 2. B. Blackadar,Operator algebras: theory of C*-algebras and von

Neumann algebras, Springer-Verlag, Berlin – Heidelberg, 2006. 3. K. R. Davidson, C*-algebras by example, Fields Institute of

Monographs, 1996. 4. M. Takesaki, Theory of operator algebras I, Springer-Verlag, Berlin –

Heidelberg – New York, 2002.


1. Dragan Đorđević 2. Vladimir Rakočević 3. Dragana Cvetković Ilić

- 10 -

Naslov master rada

Matrične nejednakosti

Mentor

Dragan Đorđević

Studijski program

Matematika

Modul


Upoređivaće se samokonjugovane matrice u odnosu na prirodno uređenje. Razmatraće se razne nejednakosti u vezi sa stepenima matrica. Ispitivaće se nejednakosti u vezi sa singularnim vrednostima matrica, kao i nejednakosti u vezi sa normama matrice. Obradiće se varijatne nejednakosti Janga, Heldera, Minkovskog, kao i uopštenja odnosa između aritmetičke i geometrijske sredine.


1. R. Bhatia, Matrix analysis, Springer-Verlag, New York, 1996. 2. F. Hiai, H. Kosaki, Means of Hilbert space operators, Springer-

Verlag, Berlin – Heidelberg – New York, 2003. 3. R. Horn, C. R. Johnson, Topics in matrix analysis, Cambridge

University Press, Cambridge, 1990. 4. X. Zhan, Matrix inequalities, Springer-Verlag, Berlin – Heidelberg –

New York, 2002.


1. Dragan Đorđević 2. Dijana Mosić 3. Nebojša Dinčić

- 11 -

Naslov master rada

Mera i integral na topološkim prostorima

Mentor

Dragan Đorđević

Studijski program

Matematika

Modul


Izučavaće se reprezentacije linearnih funkcionala na lokalno kompatnom Hausdorfovom prostoru. Prikazaće se osobine mere Hara na kompaktnim grupama. Posebna pažnja posvetiće se teoremi Stouna-Vajerštrasa. Ispitivaće se operatori između Lebegovih prostora.


1. N. Dinculeanu, Integration on locally compact spaces, Noordhof

International Publishing, Leyden, 1974. 2. S. Kantorovitz, Introduction to modern analysis, Oxford University

press, New York, 2003. 3. A. W. Knapp, Advanced real analysis, Birkhauser, Boston – Basel –

Berlin, 2005. 4. L. Nachbin, The Haar integral, D. Van Nostrand, Princeton – New

Jersey, 1965. 5. W. Rudin, Real and complex analysis, Mc Grow Hill, New York,

1987.


1. Dragan Đorđević 2. Dragana Cvetković Ilić 3. Vladimir Pavlović

- 12 -

Naslov master rada

Riman-Stiltjesov integral vektorskih funkcija

Mentor

Dragan Đorđević

Studijski program

Matematika

Modul


Izučavaće se osobine Riman-Stiltjesovog integrala vektorske funkcije u odnosu na skalarnu funkciju. U skladu sa tim, od interesa su vektorske funkcije ograničen varijacije, kao i primene u funkcionalnoj analizi. Osobine integrala vektorskih funkcija biće upoređene sa odgovarajućim osobinama integrala skalarnih funkcija.


1. T. Apostol, Mathematical analysis, Adisson – Wesley, Reading,

Massachusetts, 1974. 2. S. Kurepa, Funkcionalna analiza: elementi teorije operatora, Školska

knjiga, Zagreb, 1980. 3. W. Rudin, Principles of mathematical analysis, 4. F. E. Burk, A garden of integrals, The Mathematical Assotiation of

America, 2007.


1. Dragan Đorđević 2. Snežana Živković Zlatanović 3. Dijana Mosić

- 13 -

Naslov master rada

Spektralna teorija ograničenih linearnih operatora

Mentor

Dragana Cvetković Ilić

Studijski program

Matematika

Modul


U okviru ove teme kandidat bi osim osnovnih osobina spektra ograničenih linearnih operatora i klasifikacije spektra, izložio i najvažnije rezultata u vezi sa spektrom kompaktnih, samoadjungovanih i unitarnih operatora kao i njihovu spektralnu dekompoziciju i definiciju odgovarajucih spektralnih integrala.


1. V. Rakočević, Funkcionalna analiza, Naučna knija, 1994. 2. S. Kurepa, "Funkcionalna analiza, Elementi teorije operatora",

Zagreb 1981. 3. M. Schechter, Principles of functional analzsis, Hn Wiley & Sons,

1978.


1. Dragana Cvetković Ilić 2. Dragan Đorđević 3. Snežana Živković Zlatanović

- 14 -

Naslov master rada

Banachove algebre i funkcionalni račun u Banachovim algebrama

Mentor


Studijski program

Matematika

Modul


U ovom radu bi bili izloženi osnovni rezultati iz teorije Banachovih algebri sa specijalnim osvrtom na Banachovu algebru B(X) ograničenih linearnih operatora na prostoru X. Takođe bi bila izučavana invertibilnost elemenata Banachove algebre kao i osnovni elementi funkcionalnog računa u Banachovim algebrama.


1. V. Rakočević, Funkcionalna analiza, Naučna knija, 1994. 2. Svetozar Kurepa, Funkcionalna analiza, Elementi teorije operatora,

Zagreb 1981. 3. R. Meise, D. Vogt , Introduction to Functional Analysis, Oxford

University 4. Press, Oxford, 1997. 5. R. Walter, Functional Analysis, McGraw-Hill Book Company, New

York, 1973. 6. R. Douglas, Banach algebra techniques in operator theore, Springer,

1997.


1. Dragana Cvetković Ilić 2. Vladimir Rakočević 3. Dragan Đorđević

- 15 -

Naslov master rada

Hardy-evi prostori i Toeplitz operatori

Mentor


Studijski program

Matematika

Modul


U okviru ove teme kandidat bi izučavao osobine Hardy-evih prostora sa

kojima nije imao prilike da se susretne tokom studija ( HHH , , 21 ), egzistenciju maksimalnih ideala na ovim prostorima kao i određenih podalgebri. Takođe bi izložio i osnovne osobine Toeplitzovih operatora

definisanih na Hardy-evom prostoru 2H .


1. R. Douglas, Banach algebra techniques in operator theore,

Springer, 1997. 2. K. Zhu, Operator theory in function spaces, American

Mathematical Society, 1961. 3. Böttcher, B. Silbermann, Analysis of Toeplitz operators, Springer,

2001.


1. Dragana Cvetković Ilić 2. Vladimir Rakočević 3. Dragan Đorđević

- 16 -

Naslov master rada

Generalisani inverzi matrica

Mentor


Studijski program

Matematika

Modul


Ova tema bi predstavljala nastavak Teorije generalisanih inverza, u specijalnom slučaju na skupu matrica čije je delove eventualno kandidat imao prilike da čuje u okviru predmeta Uopšteni inverzi matrica. Naime, kandidat bi detaljnije izučavao rešavanje jednačina korišćenjem uopštenih inverza kao i perturbacionu analizu Moore-Penroseovog i Drazinovog inverza matrica.


1. Ben-Israel and T. N. E. Greville, Generalized Inverses: Theory and

Applications, 2nd Edition, Springer Verlag, New York, 2003. 2. S. L. Campbell, C. D. Meyer, Generalized Inverse of Linear

Transformations, Pitman, London, 1979; Dover, New York, 1991. 3. G. Wang, Y. Wei, S. Qiao, Generaliyed Inverses: Theory and

Computations, Science Press, 2006.


1. Dragana Cvetković Ilić 2. Dijana Mosić 3. Nebojša Dinčić

- 17 -

Naslov master rada

Uređeni poluprsteni, dioidi i primene

Mentor

Dr Miroslav Ćirić

Studijski program

Matematika

Modul


Polugrupe, monoidi, uređeni monoidi, poluprsteni, uređeni poluprsteni, dioidi, aditivno-idempotentni poluprsteni, inkline, linearni sistemi nad dioidima, matrični račun nad dioidima, tranzitivno zatvorenje i konvergencija stepena, sopstvene vrednosti i sopstveni vektori, primena u rešavanju optimizacionih problema.


1. M. Gondran, M. Minoux, Graphs, Dioids and Semirings – New

Models and Algorithms, Springer, Berlin, 2008.


1. Dr Miroslav Ćirić 2. Dr Snežana Ilić 3. Dr Ljubiša Kočinac

- 18 -

Naslov master rada

MAX-PLUS algebre i primene

Mentor

Dr Miroslav Ćirić

Studijski program

Matematika

Modul


Max-plus i min-plus algebre, linearni sistemi nad max-plus algebrama, matrice nad max-plus algebrama, sopstvene vrednosti i sopstveni vektori, primene: sinhronizacija, kombinatorna optimizacija.


1. P. Butkovič, Max-linear Systems: Theory and Algorithms, Springer,

London, 2010.


1. Dr Miroslav Ćirić 2. Dr Snežana Ilić 3. Dr Ljubiša Kočinac

- 19 -

Naslov master rada

Fazi relacije, fazi relacijske jednačine i primene

Mentor

Dr Jelena Ignjatović

Studijski program

Matematika

Modul


Uređeni skupovi, mreže i Bulove algebre, reziduirane mreže, trougaone norme na realnom jediničnom intervalu, fazi skupovi, fazi relacije, kompozicija i reziduali fazi relacija, tranzitivno zatvorenje, fazi kvazi-uređenja, fazi ekvivalencije, linearne fazi re-lacijske jednačine i nejednačine, sopstveni fazi skupovi fazi relacija, primene fazi relacijskih jednačina i nejednačina.


1. R. Belohlavek, V. Vychodil, Fuzzy Equational Logic, Springer, Berlin-

Heidelberg, 2005.

2. G. J. Klir, B. Yuan, Fuzzy Sets and Fuzzy Logic, Theory and Application, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1995.


1. Dr Jelena Ignjatović 2. Dr Snežana Ilić 3. Dr Ljubiša Kočinac

- 20 -

Naslov master rada

Reziduirane mreže i primene

Mentor

Dr Jelena Ignjatović

Studijski program

Matematika

Modul


Uređeni skupovi, mreže i Bulove algebre, reziduirane mreže, trougaone norme na realnom jediničnom intervalu, BL-algebre, Heyting-ove algebre, MV-algebre, Gödel-ove algebre, osnovne fazi strukture, viševrednosne (fazi) logike bazirane na rezidui-ranim mrežama, aproksimativno rezonovanje.


1. R. Belohlavek, Fuzzy Relational Systems: Foundations and Principles, Kluwer, New York, 2002.

2. R. Belohlavek, V. Vychodil, Fuzzy Equational Logic, Springer, Berlin-Heidelberg, 2005.


1. Dr Jelena Ignjatović 2. Dr Snežana Ilić 3. Dr Ljubiša Kočinac

- 21 -

Naslov master rada

Ekstremne Laplasove sopstvene vrednosti grafova

Mentor

Dr Dragan Stevanović

Studijski program

Matematika

Modul


Laplasova matrica grafa G sa n čvorova je nn matrica L čiji dijagonala sadrži stepene čvorova grafa, a nedijagonalni elementi su jednaki -1 ili 0, u zavisnosti od toga da li su odgovarajući čvorovi susedni ili ne. Matrica L je pozitivno semidefinitna i 0 je uvek njena najmanja sopstvena vrednost. Neka je zato 2 najmanja pozitivna sopstvena

vrednost L, a n najveća sopstvena vrednost matrice L. U teoriji

kompleksnih mreža pokazano je da je mogućnost sinhronizacije fizičkih procesa na mrežama proporcionalna odnosu n /2 . Rad na ovoj temi

će obuhvatiti pregled postojećih rezultata i tehnika dokazivanja gornjih i donjih granica za 2 i n , kao i proučavanje ponašanja odnosa n /2

u pojedinim modelima mreža. Spisak reprezentative literature

1. A.E. Brouwer, W.H. Haemers, Spectra of Graphs, Universitext Vol.

396, Springer, 2012. 2. P.V. Mieghem, Graph Spectra for Complex Networks, Cambridge

University Press, 2011. 3. F.M. Atay, T. Biyikoglu, J. Jost, Synchronization of networks with

prescribed degree distributions, IEEE Transactions on Circuits and Systems I, 53 (2006) 92--98.

4. F.M. Atay, T. Biyikoglu, J. Jost, Network synchronization: Spectral versus statistical properties, Physica D, 224 (2006), 35--41.

5. F.M. Atay, T. Biyikoglu, Graph Operations and Synchronization of Complex Networks, Physical Review E 72 (2005), 016217.


1. Dr Dragan Stevanović 2. Dr Ljubiša Kočinac 3. Dr Dragana Cvetković Ilić

- 22 -

Naslov master rada

Spektralni momenti i mere centralnosti

Mentor

Dr Dragan Stevanović

Studijski program

Matematika

Modul


U procesima koji se odvijaju u biološkim i socijalnim mrežama, mera centralnosti treba da pokaže koliko je koji čvor mreže ''bitan'' za odvijanje tog procesa. Mere centralnosti se mogu definisati pomoću raznih svojstava čvora, a jedan određeni tip takvih mera se definiše pomoću broja zatvorenih šetnji koje prolaze kroz dati čvor, i usko je

povezan s tzv. Estradinim indeksom, koji je jednak i

ie , gde su

n ,...,1 sopstvene vrednosti matrice susedstva grafa. Rad na ovoj temi

će obuhvatiti pregled postojećih primena Estradinog indeksa i odgovarajućih mera centralnosti na probleme iz bioloških i ekoloških nauka, kao i proučavanje veza između ovih mera centralnosti i drugih svojstava čvorova grafa.


1. D. Cvetković, P. Rowlinson, S. Simić, An Introduction to the Theory

of Graph Spectra, London Mathematical Society Student Texts 75, Cambridge University Press, 2009.

2. P.V. Mieghem, Graph Spectra for Complex Networks, Cambridge University Press, 2011.

3. E. Estrada, O. Bodin, Using network centrality measures to manage landscape connectivity, Ecological Applications 18 (2008), 1810-1825.

4. E. Estrada, D.J. Higham, N. Hatano, Communicability betweenness in complex networks, Physica A: Stat. Mech. Appl. 388 (2009), 764-774.

5. E. Estrada, N. Hatano, Communicability graph and community structures in complex networks, Appl. Math. Comput. 214 (2009), 500--511.


1. Dr Dragan Stevanović 2. Dr Ljubiša Kočinac 3. Dr Dragana Cvetković Ilić

- 23 -

Naslov master rada

Homomorfizmi i Fredholmova teorija

Mentor

Snežana Živković-Zlatanović

Studijski program

Matematika

Modul


U ovom radu se izučava Harteova generalizacija Fredholmove teorije za ograničene linearne operatore na Banachovom prostoru, na teoriju u opštim Banachovim algebrama. Harteova generalizacija je motivisana Atkinsonovom teoremom prema kojoj je ograničen linearan operator na Banachovom prostoru Fredholmov ako i samo ako je njegova klasa ekvivalencije invertibilan elemenat u Banachovoj algebri B(X)/K(X) gde je B(X) Banachova algebra ograničenih linearnih operatora na X, a K(X) ideal kompaktnih operatora u B(X). Prema Harteovoj definiciji, elemenat a algebre A je Fredholmov u odnosu na homomorhizam T:A→B ako je Ta invertibilan elemenat u algebri B. U okviru ove teme izučavaju se i T- Weylovi i T- Browderovi elementi, perturbacione klase i komutativne perturbacione klase ovih skupova kao i spektri indukovani ovim skupovima.


1. R.E. Harte, Fredholm theory relative to a Banach algebra

homomorphism, Math. Zeit. 179 (1982) 431-436 2. R.E. Harte, Invertibility and singularity, Dekker 1988. 3. R. Heymann, Fredholm theory in general Banach algebras, M.Sc.

Thesis, Stellenbosch University (2010). 4. S.Č. Živković-Zlatanović, D. S. Đorđević and R.E. Harte, Ruston,

Riesz and perturbation classes, J. Math. Anal. Appl. 389(2012), 871-886.


1. Vladimir Rakočević 2. Dragan Đorđević 3. Snežana Živković-Zlatanović

- 24 -

Naslov master rada

Operatorske veličine u Fredholmovoj teoriji

Mentor


Studijski program

Matematika

Modul


U okviru ove teme izučavaju se razne operatorske veličine koje karakterišu pojedine podskupove skupa semi-Fredholmovih operatora, kao i razne mere nekompaktnosti opratora, mere ne-stroge-singularnosti i mere ne-stroge-kosingularnosti operatora. Izlažu se i rezultati o asimptotskom ponašanju ovih operatorskih veličina i njihovoj vezi sa esencijalnim spektrima, kao i perturbacioni rezultati za neke podskupove skupa semi-Fredholmovih operatora.


1. R.R. Akhmerov, M.I. Kamenskij, A.S. Potapov, A.E. Rodkina, B.N.

Sadovskij, Measures of noncompactness and condensing Operators (in Russian), Nauka, Novosibirsk, 1986.

2. V. Rakočević, Funkcionalna analiza, Naučna knjiga, Beograd, 1994. 3. V. Müller, Spectral theory of linear operators and spectra systems in

Banach algebras, Birkhäuser 2007. 4. Martinon, Cantidades operacionales en teoria de Fredholm, Doctoral

thesis, University of La Laguna,1989. 5. Martinon, Operational quantities, Comment. Math. Univ. Carolinae

38,3 (1997), 471-484. 6. S. Živković, Mere nekompaktnosti i teorija operatora, Magistarski

rad, Univerzitet u Nišu, Filozofski fakultet, 1995.


1. Vladimir Rakočević 2. Dragan Đorđević 3. Snežana Živković-Zlatanović

- 25 -

Naslov master rada

Semi-Fredholmovi operatori

Mentor


Studijski program

Matematika

Modul


U okviru ove teme izučavaju se ograničeni gornji i donji semi-Fredholmovi operatori. Za ograničen lineran operator na Banachovom prostoru kažemo da je gornji semi-Fredholmov ako je njegovo jezgro konačne dimenzije, a slika zatvoren potprostor, dok, za ograničen lineran operator na Banachovom prostoru kažemo da je donji semi-Fredholmov ako je njegova slika konačne kodimenzije. U ovom radu izučavaju se i sledeći podskupovi skupa semi-Fredholmovih operatora: gornji i donji Weylovi, gornji i donji semi-Browderovi operatori, a takodje i odgovarajući podskupovi relativno regularnih operatora, tj. levi i desni Fredholmovi, Weylovi i Browderovi operatori. Osim toga, izučavaju se i spektri indukovani ovim skupovima operatora.


1. S.R. Caradus, W.E. Pfaffenberger and B. Yood, Calkin algebras

and algebras of operators on Banach spaces, Dekker 1974. 2. M. Schechter, Principles of Functional Analysis, Academic Press,

New York, 1971. 3. V. Müller, Spectral theory of linear operators and spectral

systems in Banach algebras, Birkhäuser 2007. 4. P. Aiena, Fredholm and local spectral theory with applications to

multipliers, Kluwer (2004). 5. R.E. Harte, Invertibility and singularity, Dekker 1988. 6. S. Živković-Zlatanović, V. Rakočević and D. Đorđević, Fredholm

theory.


1. Vladimir Rakočević 2. Dragana Cvetković-Ilić 3. Snežana Živković-Zlatanović

- 26 -

Naslov master rada Iterativne metode za nalaženje nepokretne tačke

Mentor

Dr Dejan Ilić

Studijski program

Matematika

Modul


U radu bi se razmatrale razne iterativne metode za nalaženje nepokretne tačke i upoređivale njihove brzine konvergencije. Akcenat bi bio stavljen na iteracije Krasnoselskog, Manna i Ishikawe.


1. R. Agarwal, Fixed Point Theory and Applications, Cambridge

University Press, 2001 2. V. Berinde, Iterative Approximation of Fixed Points, Springer, 2002 3. M. Khamsi, W. Kirk, An Introduction to Metric Spaces and Fixed

Point theory, JOHN WILEY & SONS, INC. 2001


1. Dr Vladimir Rakočević 2. Dr Dejan Ilić 3. Dr Vladimir Pavlović

- 27 -

Naslov master rada

Nepokretne tačke za kontraktivna preslikavanja lokalnog tipa u tački

Mentor

Dr Dejan Ilić

Studijski program

Matematika

Modul


U ovom radu sistematizovali bi se rezultati do kojih su došli V. Sehgal, L. Guseman, Ray i Rhoades, a koji se odnose na neprekidna preslikavanja kompletnog metričkog prostora na sebe, sa kontraktivnom iteracijom u svakoj tački prostora. Takođe, razmatrali bi se rezultati Lj. Ćirića kao i rezultati novijeg datuma vezani za navedenu problematiku.



University Press, 2001 2. Lj. Ćirić, Some recent results in metrical fixed point theory, Beograd,

2003. 3. M. Khamsi, W. Kirk, An Introduction to Metric Spaces and Fixed

Point theory, JOHN WILEY & SONS, INC. 2001



- 28 -

Naslov master rada Nepokretne tačke za parove preslikavanja

Mentor

Dr Dejan Ilić

Studijski program

Matematika

Modul


Proučavanja zajedničke nepokretne tačke za parove preslikavanja koja zadovoljavaju određene kontraktivne uslove datiraju još od 1976. godine. Prve rezultete dali su G. Jungck, K. Das i K. Naik. U ovom radu bi se razmatrala uopštenja njihovih rezultata na konusnim i parcijalnim metričkim prostorima.



University Press, 2001 2. W. Kirk, B. Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory, Kluwer

Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 2001



- 29 -

Naslov master rada

algebre Borelovih skupova

Mentor

Vladimir Pavlović

Studijski program

Matematika

Modul


Ako je ),( X topološki prostor onda za elemente algebre

)(),( XPXB generisane sa kažemo da su Borelovi skupovi

prostora ),( X . Tema ovog rada su upravo familije ),( XB , sa specijalnim osvrtom na slu\v caj separabilnih kompletno metrizabilnih topologija . Neke od jedinica koje bi bile obrađene su: Borelova hijerarhija; standardni Borelovi prostori; analitički skupovi; veza sa kategorijama Baire-a; Borelovi skupovi i mere; teoreme o selekciji i uniformizaciji; teoreme Ramsey-tipa; neke igre na topološkim prostorima.

Spisak reprezentativne literature

1. Alexander S. Kechris, Classical Descriptive Set Theory, Graduate

Texts in Mathematics 156, Springer-Verlag, 1995. 2. S.M. Srivastava, A Course on Borel Sets, Graduate Texts in

Mathematics 180, Springer, 1998.


1. Ljubiša Kočinac 2. Radoslav Dimitrijević 3. Vladimir Pavlović

- 30 -

Naslov master rada

Aritmetika ordinala i kardinala

Mentor

Vladimir Pavlović

Studijski program

Matematika

Modul


U prvom delu ovog rada biće date osnovne definicije i činjenice vezane za predikatske račune prvog reda i pojam formalnog dokaza. Zatim će biti prezentovani konkretan formalan jezik i ZFC sistem aksioma posredstvom kojih će teorija skupova ovde biti zasnovana. Nakon definicije i izvođenja elementarnih osobina dobrih uređenja, ordinala i kardinala, kao i kofinalnosti kardinala i njihove podele na regularne i singularne, prelazi se na definisanje funkcija rekurzijom po ordinalima. Zatim se definišu i obrađuju osnovne operacije (sabiranje, množenje i stepenovanje) nad ordinalima i kardinalima; biće izvedene neke od fundamentalnih formula aritmetike kardinala. Posebna pažnja će biti poklonjena važnosti aksiome izbora za pojedine od prezentovanih rezultata.


1. Kenneth Kunen, Set Theory - An Introduction to Independence

Proofs, North-Holland, 1980. 2. Thomas Jech, Set Theory, Springer, 2002. 3. Andras Hajnal and Peter Hamburger, Set Theory, Cambridge

University Press, 1999.


1. Ljubiša Kočinac 2. Dušan Ćirić 3. Vladimir Pavlović

- 31 -

Naslov master rada

Prsteni neprekidnih funkcija

Mentor

Vladimir Pavlović

Studijski program

Matematika

Modul


Ovaj rad je posvećen pitanju u kojoj meri i na koji način algebarske osobine prstena )(XC neprekidnih realnoznačnih funkcija i topološke

osobine potpuno regularnog prostora X na kome su one definisane utiču jedne na druge. Između ostalog biće razmatrani: odnos između ideala prstena )(XC i z -filtera (tj. filtera nul skupova) prostora X ; topologija Stone-a na skupu svih maksimalnih ideala; rezultat o homeomorfnosti kompaktnih prostora čiji su prsteni neprekidnih funkcija izomorfni; karakterizacija maksimalnih ideala prstena )(XC posredstvom kompaktifikacija Stone-Čech-a.


1. Leonard Gillman, Meyer Jerison, Rings of Continuous Functions,

Van Nostrand, Princeton, 1960. 2. Ryszard Engelking, General Topology, Revised edition, Springer,

1989.


1. Snežana Ilić 2. Ljubiša Kočinac 3. Vladimir Pavlović

- 32 -

Naslov master rada

Poenkareov model hiperboličke geometrije

Mentor

Dr Milan Zlatanović

Studijski program

Matematika

Modul


U uvodnom delu rada, pored istorijskog razvoja Hiperboličke geometrije, potrebno je navesti osnovne aksiome, definicije i teoreme vezane za Hiperboličku geometriju.

Potencija tačke u odnosu na krug omogućuje da se u ravni E2 uvede inverzija. Takodje, u prostoru je potrebno uvesti i objasniti inverziju u odnosu na sferu.

Posmatrajmo gornju poluravan Euklidske ravni y>0. Tačke u Hiperboličkoj ravni definišemo kao Euklidske tačke, a prave linije su svi polukrugovi ortogonalni na x−osu, tj. polukrugovi sa centrom na x−osi i Euklidske poluprave ortogonalne na x−osu. x−osu nazivamo granicom ili apsolutom Hiperboličke ravni. Ovakav model se naziva Poenkareov poluravanski model. Pretpostavljajući neprotivurečnost Euklidske geometrije, može se pokazati da na ovakvom modelu važe sve aksiome Hiperboličke geometrije.

Posmatrajmo sada Euklidski krug, bez granične kružnice i nazvaćemo ga apsoluta. Tačke u ovom modelu definišemo kao Euklidske tačke, a prave kao prečnike kruga i kao delove kružnica ortogonalne na dati krug. Na ovaj način se definiše Poenkareov disk model. Može se pokazati da na ovakvom modelu važe sve aksiome Hiperboličke geometrije, što je i neophodno da se pokaže u radu.

Po analogiji, moguće je u prostoru definisati Poenkareov poluprostorni i sferni modeli. Na primer, Poenkareov sferni model je unutrašnjost jedinične sfere koju nazivamo apsoluta. Prave tog modela su lukovi krugova normalnih na apsolutu i prečnici apsolute. Ravni su delovi sfera normalnih na apsolutu i veliki krugovi apsolute.


1. D. Lopandić, Osnovi i elementi geometrije Lobačevskog sa zbirkom

rešenih zadataka - skripta, Beograd, 1970. 2. Z. Lučić, Euklidska i hiperbolička geometrija, Matematički fakultet,

Beograd, 1994. 3. M. Prvanović, Neeuklidske geometrije, PMF u Novom Sadu, Novi

Sad, 1974. 4. M. Stanković, Osnovi geometrije, PMF u Nišu, Niš, 2006. 5. R. Tošić, Zbirka rešenih zadataka iz neeulidske geometrije, PMF u

Novom Sadu, Novi Sad, 1971.


1. Dr Ljubica Velimirović 2. Dr Vladimir Pavlović 3. Dr Milan Zlatanović

- 33 -

Naslov master rada

Karakteristične krive i površi u hiperboličkoj geometriji

Mentor

Dr Milan Zlatanović

Studijski program

Matematika

Modul


U uvodnom delu rada potrebno je osvrnuti se na istorijski pregled neeuklidskih geometrija, zatim navesti Hilbertov sistem aksioma. Jedan deo rada će se odnositi na aksiomu Lobačevskog i njene posledice. U ravni L2 se definišu karakteristične krive, i to: cikl, oricikl i ekvidistanta. Potrebno je svaku od ovih krivih ispitati i dati odgovarajuće osobine koje za njih važe.

Posmatrajući snopove pravih u L3, moguće je definisati površi kao što su: sfera, orisfera i ekvidistantna površ. Za svaku od ovih površi važe odgovarajuće osobine. Treba napomenuti da je na orisferi moguće uvesti Euklidsku geometriju, tj. važe sve aksiome Euklidske geometrije. Pod unutrašnjom geometrijom površi podrazumeva se skup svih onih osobina njenih figura, koje se dobijaju sredstvima same površi, ne pozivajući se na okolni prostor u koji je ta površ smeštena. Kao što smo i rekli, unutrašnja geometrija orisfere je Euklidska geometrija, dok je unutrašnja geometrija ekvidistantne površi Hiperbolička geometrija.


1. D. Lopandić, Osnovi i elementi geometrije Lobačevskog sa zbirkom

rešenih zadataka - skripta, Beograd, 1970. 2. Z. Lučić, Euklidska i hiperbolička geometrija, Matematički fakultet,

Beograd, 1994. 3. M. Prvanović, Neeuklidske geometrije, PMF u Novom Sadu, Novi

Sad, 1974. 4. M. Stanković, Osnovi geometrije, PMF u Nišu, Niš, 2006. 5. R. Tošić, Zbirka rešenih zadataka iz neeulidske geometrije, PMF u

Novom Sadu, Novi Sad, 1971.


1. Dr Ljubica Velimirović 2. Dr Vladimir Pavlović 3. Dr Milan Zlatanović

Documents

Teme master radova - Matematika - pmf.ni.ac.rs master radova... · Izometrijske transformacije su razne vrste simetrija (osna simetrija, centralna simetrija, ravanska simetrija),