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Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Tensorformalismus - KlassischeTensoranalysis
Olaf Kintzel
Lehrstuhl für Statik und DynamikRuhr-Universität Bochum
Numerische Strukturdynamik, 7. Dezember 2006
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
1 Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung
2 Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
3 Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor
4 Invertierung eines vierstufigen Tensors
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist ein Tensor ?
Ein Tensor 0. Stufe ist ein Skalar T ∈ R
Ein Tensor 1. Stufe ist ein Vektor t ∈ V = R3
Ein Tensor 2. Stufe T ∈ Lin(V→ V) transformiert einen Vektor aufeinen anderen Vektor
Ein Tensor 4. Stufe TTT ∈ Lin(T→ T) transformiert einen Tensorzweiter Stufe auf einen anderen Tensor zweiter Stufe
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist ein Tensor ?
Ein Tensor 0. Stufe ist ein Skalar T ∈ R
Ein Tensor 1. Stufe ist ein Vektor t ∈ V = R3
Ein Tensor 2. Stufe T ∈ Lin(V→ V) transformiert einen Vektor aufeinen anderen Vektor
Ein Tensor 4. Stufe TTT ∈ Lin(T→ T) transformiert einen Tensorzweiter Stufe auf einen anderen Tensor zweiter Stufe
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist ein Tensor ?
Ein Tensor 0. Stufe ist ein Skalar T ∈ R
Ein Tensor 1. Stufe ist ein Vektor t ∈ V = R3
Ein Tensor 2. Stufe T ∈ Lin(V→ V) transformiert einen Vektor aufeinen anderen Vektor
Ein Tensor 4. Stufe TTT ∈ Lin(T→ T) transformiert einen Tensorzweiter Stufe auf einen anderen Tensor zweiter Stufe
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Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist ein Tensor ?
Ein Tensor 0. Stufe ist ein Skalar T ∈ R
Ein Tensor 1. Stufe ist ein Vektor t ∈ V = R3
Ein Tensor 2. Stufe T ∈ Lin(V→ V) transformiert einen Vektor aufeinen anderen Vektor
Ein Tensor 4. Stufe TTT ∈ Lin(T→ T) transformiert einen Tensorzweiter Stufe auf einen anderen Tensor zweiter Stufe
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Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
W i r h a b e n e i n e n T e n s o r s ( S p a n n u n g s t e n s o r ? )G e g e b e n s e i e i n b e l i e b i g e r E i n h e i t s v e k t o r n ( F l ä c h e n n o r m a l e ? )
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Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
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Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
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W i r h a b e n d i e f o l g e n d e T r a n s f o r m a t i o n : t = s n !
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Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
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Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
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Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
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Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
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Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
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Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
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Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
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Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
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Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
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Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
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Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
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D i e e i n f a c h s t e D a r s t e l l u n g v o n k ö n n t e l a u t e n : = t ns s
= t i n j i i i js t i = t i i n i = n i i i i i j = d i j
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M a n k a n n a u c h s c h r e i b e n : = : ( n n ) = n n
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V o r s i c h t ! ! D e r T e n s o r s b e s i t z tn u r e i n e u n a b h ä n g i g e K o m p o n e n t e ! !
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D i e a l l g e m e i n s t e D a r s t e l l u n g v o n l a u t e t : = S t i n js s i , j3
w o b e i d a s S p a t p r o d u k t [ n 1 , n 2 , n 3 ] = 0 u n d [ t 1 , t 2 , t 3 ] = 0 ( l i n e a r u n a b h ä n g i g ) !
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D i e a l l g e m e i n s t e D a r s t e l l u n g v o n l a u t e t : = S t i n js s i , j3
w o b e i d a s S p a t p r o d u k t [ n 1 , n 2 , n 3 ] = 0 u n d [ t 1 , t 2 , t 3 ] = 0 ( l i n e a r u n a b h ä n g i g ) !
D i e ( n 1 , n 2 , n 3 ) u n d ( t 1 , t 2 , t 3 ) b i l d e n j e e i n e B a s i s i m R 3
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
i 2i 1
i 3
D i e a l l g e m e i n s t e D a r s t e l l u n g v o n l a u t e t : = S t i n js s i , j3
w o b e i d a s S p a t p r o d u k t [ n 1 , n 2 , n 3 ] = 0 u n d [ t 1 , t 2 , t 3 ] = 0 ( l i n e a r u n a b h ä n g i g ) !
D e r T e n s o r t n h ä t t e b e i t = t 1 u n d n = n 1 d i e K o m p o n e n t e n z e r l e g u n g :
s = ( ) b z g l . t i n j
1 0 00 0 00 0 0
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
i 2i 1
i 3
D i e a l l g e m e i n s t e D a r s t e l l u n g v o n l a u t e t : = S t i n js s i , j3
w o b e i d a s S p a t p r o d u k t [ n 1 , n 2 , n 3 ] = 0 u n d [ t 1 , t 2 , t 3 ] = 0 ( l i n e a r u n a b h ä n g i g ) !
s h a t 9 v o n e i n a n d e r u n a b h ä n g i g e E i n t r ä g e ! !
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Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
i 2i 1
i 3
D i e a l l g e m e i n s t e D a r s t e l l u n g v o n l a u t e t : = S t i n js s i , j3
w o b e i d a s S p a t p r o d u k t [ n 1 , n 2 , n 3 ] = 0 u n d [ t 1 , t 2 , t 3 ] = 0 ( l i n e a r u n a b h ä n g i g ) !
D a n n w ä r e d i e S p u r v o n : t r ( ) = : ( n 1 n 1 + n 2 n 2 + n 3 n 3 ) = : ( t 1 t 1 + t 2 t 2 + t 3 t 3 ) = : Is ss
ss
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Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?
i 2i 1
i 3
D i e a l l g e m e i n s t e D a r s t e l l u n g v o n l a u t e t : = S t i n js s i , j3
w o b e i d a s S p a t p r o d u k t [ n 1 , n 2 , n 3 ] = 0 u n d [ t 1 , t 2 , t 3 ] = 0 ( l i n e a r u n a b h ä n g i g ) !
D a n n w ä r e d i e S p u r v o n : t r ( ) = : ( n 1 n 1 + n 2 n 2 + n 3 n 3 ) = : ( t 1 t 1 + t 2 t 2 + t 3 t 3 ) = : Is ss
s
D i e S p u r e i n e s T e n s o r s ( S u m m e d e r H a u p t d i a g o n a l e n ) i s t e i n e I n v a r i a n t e , d . h .u n a b h ä n g i g v o n d e r W a h l e i n e s K o o r d i n a t e n s y s t e m s .
s
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Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist eine Koordinatentransformation ?
W a s i s t e i n e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n ?
Q
i 2i 1
i 3
e 1 e 2
e 3
e i = Q i i
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Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist eine Koordinatentransformation ?
W a s i s t e i n e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n ?
A n g e n o m m e n , e 1 = i 2 , e 2 = i 3 u n d e 3 = i 1 :W i e s e h e d a n n Q a u s ?
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Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Was ist eine Koordinatentransformation ?
W a s i s t e i n e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n ?
A n g e n o m m e n , e 1 = i 2 , e 2 = i 3 u n d e 3 = i 1 :W i e s e h e d a n n Q a u s ?A n t w o r t : Q = e i i i = e 1 i 1 + e 2 i 2 + e 3 i 3 = i 2 i 1 + i 3 i 2 + i 1 i 3
Q = ( ) b z g l . i i i j0 00 000 11 1
Q = ( ) b z g l . e i i j00
0 0 00 1 1 1
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Was ist eine Koordinatentransformation ?
W a s i s t e i n e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n ?A n g e n o m m e n , d i e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n s e i : e i = G i j i j i i = ( G j i ) e j = ( G ) i j e j- 1 - 1
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Was ist eine Koordinatentransformation ?
W a s i s t e i n e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n ?A n g e n o m m e n , d i e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n s e i : e i = G i j i j i i = ( G j i ) e j = ( G ) i j e j- 1 - 1
W i e s e h e d a n n Q a u s ?
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Was ist eine Koordinatentransformation ?
W a s i s t e i n e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n ?A n g e n o m m e n , d i e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n s e i : e i = G i j i j i i = ( G j i ) e j = ( G ) i j e j- 1 - 1
W i e s e h e d a n n Q a u s ? A n t w o r t : Q = G i j i j i i = ( G j i ) e i e j- 1
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Was ist eine Koordinatentransformation ?
W a s i s t e i n e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n ?A n g e n o m m e n , d i e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n s e i : e i = G i j i j i i = ( G j i ) e j = ( G ) i j e j- 1 - 1
W i e s e h e d a n n Q a u s ? A n t w o r t : Q = G i j i j i i = ( G j i ) e i e j- 1
W e l c h e E i g e n s c h a f t h a t G i j ?
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Was ist eine Koordinatentransformation ?
W a s i s t e i n e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n ?A n g e n o m m e n , d i e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n s e i : e i = G i j i j i i = ( G j i ) e j = ( G ) i j e j- 1 - 1
W i e s e h e d a n n Q a u s ? A n t w o r t : Q = G i j i j i i = ( G j i ) e i e j- 1
A n g e n o m m e n , w i r h ä t t e n f o l g e n d e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n :
i 1
e 1i 2e 2
i 3 = e 3
RR - 1
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Was ist eine Koordinatentransformation ?
W a s i s t e i n e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n ?A n g e n o m m e n , d i e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n s e i : e i = G i j i j i i = ( G j i ) e j = ( G ) i j e j- 1 - 1
W i e s e h e d a n n Q a u s ? A n t w o r t : Q = G i j i j i i = ( G j i ) e i e j- 1
A n g e n o m m e n , w i r h ä t t e n f o l g e n d e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n :
i 1
e 1i 2e 2
i 3 = e 3
RR - 1
w
e i = R ( w ) i ii i = R - 1 ( w ) e i
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Was ist eine Koordinatentransformation ?
W a s i s t e i n e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n ?A n g e n o m m e n , d i e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n s e i : e i = G i j i j i i = ( G j i ) e j = ( G ) i j e j- 1 - 1
W i e s e h e d a n n Q a u s ? A n t w o r t : Q = G i j i j i i = ( G j i ) e i e j- 1
A n g e n o m m e n , w i r h ä t t e n f o l g e n d e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n :
i 1
e 1i 2e 2
i 3 = e 3
RR - 1
w
e i = R ( w ) i ii i = R - 1 ( w ) e i = R ( - w ) e i
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Was ist eine Koordinatentransformation ?
W a s i s t e i n e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n ?A n g e n o m m e n , d i e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n s e i : e i = G i j i j i i = ( G j i ) e j = ( G ) i j e j- 1 - 1
W i e s e h e d a n n Q a u s ? A n t w o r t : Q = G i j i j i i = G j i i i i j = ( G j i ) e i e j- 1
A n g e n o m m e n , w i r h ä t t e n f o l g e n d e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n :e i = R ( w ) i ii i = R - 1 ( w ) e i = R ( - w ) e i
D a w = | w | e 3 = | w | i 3 j e w e i l s d i e a l l e i n i g e B e s t i m m u n g s g r ö ß ef ü r R u n d R - 1 i s t , m ü s s e n d i e M a t r i z e n G j i u n d ( G j i )i n d e n j e w e i l i g e n K o o r d i n a t e n s y s t e m e n ü b e r e i n s t i m m e n ! !
- 1
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Was ist eine Koordinatentransformation ?
W a s i s t e i n e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n ?A n g e n o m m e n , d i e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n s e i : e i = G i j i j i i = ( G j i ) e j = ( G ) i j e j- 1 - 1
W i e s e h e d a n n Q a u s ? A n t w o r t : Q = G i j i j i i = G j i i i i j = ( G j i ) e i e j- 1
A n g e n o m m e n , w i r h ä t t e n f o l g e n d e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n :e i = R ( w ) i ii i = R - 1 ( w ) e i = R ( - w ) e i
D a w = | w | e 3 = | w | i 3 j e w e i l s d i e a l l e i n i g e B e s t i m m u n g s g r ö ß ef ü r R u n d R - 1 i s t , m ü s s e n d i e M a t r i z e n G j i u n d ( G j i )i n d e n j e w e i l i g e n K o o r d i n a t e n s y s t e m e n ü b e r e i n s t i m m e n ! !
- 1
- 1A l s o G j i = ( G ) i j o d e r ( G ) i j = ( G ) i j - 1TOlaf Kintzel Tensorformalismus
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Was ist eine Koordinatentransformation ?
W a s i s t e i n e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n ?A n g e n o m m e n , d i e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n s e i : e i = G i j i j i i = ( G j i ) e j = ( G ) i j e j- 1 - 1
W i e s e h e d a n n Q a u s ? A n t w o r t : Q = G i j i j i i = G j i i i i j = ( G j i ) e i e j- 1
A n g e n o m m e n , w i r h ä t t e n f o l g e n d e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n :e i = R ( w ) i ii i = R - 1 ( w ) e i = R ( - w ) e i
D a w = | w | e 3 = | w | i 3 j e w e i l s d i e a l l e i n i g e B e s t i m m u n g s g r ö ß ef ü r R u n d R - 1 i s t , m ü s s e n d i e M a t r i z e n G j i u n d ( G j i )i n d e n j e w e i l i g e n K o o r d i n a t e n s y s t e m e n ü b e r e i n s t i m m e n ! !
- 1
- 1A l s o G j i = ( G ) i j o d e r ( G ) i j = ( G ) i j o d e r Q T = Q - 1- 1TOlaf Kintzel Tensorformalismus
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Was ist eine Koordinatentransformation ?
W a s i s t e i n e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n ?A n g e n o m m e n , d i e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n s e i : e i = G i j i j i i = ( G j i ) e j = ( G ) i j e j- 1 - 1
W i e f i n d e t m a n d i e M a t r i x G i j ?
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Was ist eine Koordinatentransformation ?
W a s i s t e i n e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n ?A n g e n o m m e n , d i e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n s e i : e i = G i j i j i i = ( G j i ) e j = ( G ) i j e j- 1 - 1
W i e f i n d e t m a n d i e M a t r i x G i j ?A n t w o r t : e i = G i j i j | i k
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Was ist eine Koordinatentransformation ?
W a s i s t e i n e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n ?A n g e n o m m e n , d i e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n s e i : e i = G i j i j i i = ( G j i ) e j = ( G ) i j e j- 1 - 1
W i e f i n d e t m a n d i e M a t r i x G i j ?A n t w o r t : e i = G i j i j | i k
e i i k = G i j i j i k = G i j d j k = G i k
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Was ist eine Koordinatentransformation ?
Z u s a m m e n f a s s u n g :I s t Q e i n e r e i n e S t a r r k ö r p e r r o t a t i o n , s o g i l t : e i = Q i iQ O r t h m i t Q T = Q - 1 u n d d e t ( Q ) = 1 d a Q ( w ) m i t w R 3 h a t Q 3 u n a b h ä n g i g e K o m p o n e n t e n
F ü r e i n e b e l i e b i g e T r a n s f o r m a t i o n g i l t z . B . :g i = F G i m i t F I s o , F h a t 9 u n a b h ä n g i g e K o m p o n e n t e n
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Was ist eine Koordinatentransformation ?
Z u s a m m e n f a s s u n g :I s t Q e i n e r e i n e S t a r r k ö r p e r r o t a t i o n , s o g i l t : e i = Q i iQ O r t h m i t Q T = Q - 1 u n d d e t ( Q ) = 1 d a Q ( w ) m i t w R 3 h a t Q 3 u n a b h ä n g i g e K o m p o n e n t e n
F ü r e i n e b e l i e b i g e T r a n s f o r m a t i o n g i l t z . B . :g i = F G i m i t F I s o , F h a t 9 u n a b h ä n g i g e K o m p o n e n t e nW a s b e d e u t e t I s o ? I s o = I s o m o r p h i s m u s = E i n s - z u - E i n s - A b b i l d u n g = b i j e k t i v e A b b i l d u n g
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Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Wir führen drei Tensorprodukte ein :
Eijkl = (A⊗B)ijkl
Eijkl = (A �× B)ijkl
Eijkl = (A×B)ijkl
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Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Wir führen drei Tensorprodukte ein :
Eijkl = (A⊗B)ijkl
Eijkl = (A �× B)ijkl
Eijkl = (A×B)ijkl
Wir führen drei verschiedene Regeln zur doppelten Kontraktion ein :
(E : F)ijkl = EijmnFmnkl
(E q aF)ijkl = EimnlFmjkn
(E a qF)ijkl = EmjknFimnl
Olaf Kintzel Tensorformalismus
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Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Wir führen drei Tensorprodukte ein :
Eijkl = (A⊗B)ijkl
Eijkl = (A �× B)ijkl
Eijkl = (A×B)ijkl
Wir führen drei verschiedene Regeln zur doppelten Kontraktion ein :
(E : F)ijkl = EijmnFmnkl
(E q aF)ijkl = EimnlFmjkn
(E a qF)ijkl = EmjknFimnl
(E q aF)R = ER : FR (E : F)L = EL q aFLOlaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Symmetrie-Operationen :
(Eijkl)T = Ejilk (Eijkl)D = Eklij
(Eijkl)ti = Eikjl (Eijkl)dl = Ejikl
(Eijkl)to = Eljki (Eijkl)dr = Eijlk
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Symmetrie-Operationen :
(Eijkl)T = Ejilk (Eijkl)D = Eklij
(Eijkl)ti = Eikjl (Eijkl)dl = Ejikl
(Eijkl)to = Eljki (Eijkl)dr = Eijlk
Ein Tensor 4. Stufe erfüllt kleine Symmetrie, wenn :E = Eti = Eto oder E = Edl = Edr
Ein Tensor 4. Stufe erfüllt große Symmetrie, wenn :E = ET oder E = ED
Ein Tensor 4. Stufe ist supersymmetrisch, wenn :E = Eti = Eto = ET oder E = Edl = Edr = ED
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
(A⊗B) : (C⊗D) = (B : C)A⊗D
(A⊗B) r b(C⊗D) = (AC)⊗ (DB)
(A⊗B) b r(C⊗D) = (CA)⊗ (BD)
(A⊗B) : (C×D) = A⊗ (DT BT C) (A×B) : (C⊗D) = (ACT BT )⊗D
(A⊗B) r b(C×D) = (ACB)×D (A×B) r b(C⊗D) = A× (CT BDT )
(A⊗B) b r(C×D) = C× (AT DBT ) (A×B) b r(C⊗D) = (CAD)×B
(A×B) : (C×D) = (AD) 2× (BC)
(A×B) r b(C×D) = (B : C)A×D
(A×B) b r(C×D) = (A : D)C×B
(A⊗B) : (C 2× D) = A⊗ (CT BD) (A 2× B) : (C⊗D) = (ACBT )⊗D
(A⊗B) r b(C 2× D) = (AC) 2× (DB) (A 2× B) r b(C⊗D) = (ADT ) 2× (CT B)
(A⊗B) b r(C 2× D) = (CBT ) 2× (AT D) (A 2× B) b r(C⊗D) = (CA) 2× (BD)
(A 2× B) : (C 2× D) = (AC) 2× (BD)
(A 2× B) r b(C 2× D) = (ADT )⊗ (CT B)
(A 2× B) b r(C 2× D) = (CBT )⊗ (AT D)
(A×B) : (C 2× D) = (AD)× (BC) (A 2× B) : (C×D) = (AC)× (BD)
(A×B) r b(C 2× D) = A× (DBT C) (A 2× B) r b(C×D) = (ACT B)×D
(A×B) b r(C 2× D) = (CAT D)×B (A 2× B) b r(C×D) = C× (BDT A)
Tabelle 1: Doppelte Uberschiebungen von Tensoren vierter Stufe.
1
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
(A⊗B)T = AT ⊗BT (A⊗B)D = B⊗A
(A×B)T = B×A (A×B)D = BT ×AT
(A 2× B)T = B 2× A (A 2× B)D = AT 2× BT
(A⊗B)ti = A 2× B (A⊗B)dl = AT ⊗B
(A×B)ti = A×BT (A×B)dl = B 2× A
(A 2× B)ti = A⊗B (A 2× B)dl = B×A
(A⊗B)to = BT 2× AT (A⊗B)dr = A⊗BT
(A×B)to = AT ×B (A×B)dr = A 2× B
(A 2× B)to = BT ⊗AT (A 2× B)dr = A×B
(A⊗B)t = BT ⊗AT (A⊗B)d = AT ⊗BT
(A×B)t = AT ×BT (A×B)d = B×A
(A 2× B)t = BT 2× AT (A 2× B)d = B 2× A
Tabelle 1: Transpositionsoperationen angewendet auf Tensoren vierter Stufe.
1
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
E i n h e i t s t e n s o r e n 4 . S t u f e( I I ) ( I I ) ( I I )
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
E i n h e i t s t e n s o r e n 4 . S t u f e
( I I ) : A = A
( I I ) A = A( I I ) A = A
( I I ) ( I I ) ( I I )
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
E i n h e i t s t e n s o r e n 4 . S t u f e
( I I ) : A = A
( I I ) A = A( I I ) A = A
( I I ) : A = A T
( I I ) A = A T
( I I ) A = A T
( I I ) ( I I ) ( I I )
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
E i n h e i t s t e n s o r e n 4 . S t u f e
( I I ) : A = A
( I I ) A = A( I I ) A = A
( I I ) : A = A T
( I I ) A = A T
( I I ) A = A T
( I I ) : A = t r ( A )
( I I ) A = t r ( A )
( I I ) A = t r ( A )
( I I ) ( I I ) ( I I )
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Vergleich mit der Notation von Itskov (2000, 2002)
Itskov 2000, CMAME 189, S. 419-438"On the theory of fourth-order tensors and their application incomputational mechanics"
Itskov 2002, ZAMM 82, S. 535-544"The derivative with respect to a tensor: Some theoretical aspectsand applications"
(A⊗B) : (C⊗D) = (AC)⊗ (DB)(A×B) : (C×D) = (B : C)A×D(A⊗B) : (C×D) = (ACB)×D(A×B) : (C⊗D) = A× (CTBDT )
(A×B)R = A⊗B
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Vergleich mit der Notation von Itskov (2000, 2002)
Itskov 2000, CMAME 189, S. 419-438"On the theory of fourth-order tensors and their application incomputational mechanics"
Itskov 2002, ZAMM 82, S. 535-544"The derivative with respect to a tensor: Some theoretical aspectsand applications"
(A⊗B) : (C⊗D) = (AC)⊗ (DB) → (A⊗B) q a(C⊗D)(A×B) : (C×D) = (B : C)A×D → (A×B) q a(C×D)(A⊗B) : (C×D) = (ACB)×D → (A⊗B) q a(C×D)(A×B) : (C⊗D) = A× (CTBDT ) → (A×B) q a(C⊗D)
(A×B)R = A⊗B → (A×B)R = A⊗B, (A⊗B)L = A×B
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Vergleich mit der Notation von Itskov (2000, 2002)
Itskov 2000, CMAME 189, S. 419-438"On the theory of fourth-order tensors and their application incomputational mechanics"
Itskov 2002, ZAMM 82, S. 535-544"The derivative with respect to a tensor: Some theoretical aspectsand applications"
nur zwei Tensorprodukte (⊗,×)keine Unterscheidung von doppelten Kontraktionsregeln (dieRegel (:) bekommt praktisch eine neue Bedeutung, was verwirrt)neben (· · · )R fehlt die inverse Operation (· · · )L
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Vergleich mit der Notation von Rosati (2000)
Rosati 2000, IJSS 37, S. 3457-3477"A novel approach to the solution of the tensor equationAX + XA = H"
(A⊗B)C = (B ·C)A(A �× B)C = ACBT
(A �× B)(C �× D) = (AC) �× (BD)(A �× B)(C⊗D) = (ACBT )⊗D(A⊗B)(C �× D) = A⊗ (CTBD)
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Vergleich mit der Notation von Rosati (2000)
Rosati 2000, IJSS 37, S. 3457-3477"A novel approach to the solution of the tensor equationAX + XA = H"
(A⊗B)C = (B ·C)A → (A⊗B) : C(A �× B)C = ACBT → (A �× B) : C(A �× B)(C �× D) = (AC) �× (BD) → (A �× B) : (C �× D)(A �× B)(C⊗D) = (ACBT )⊗D → (A �× B) : (C⊗D)(A⊗B)(C �× D) = A⊗ (CTBD) → (A⊗B) : (C �× D)
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Ableitungsregeln
Die Ableitung nach einem zweistufigen Tensor nach demDifferentiationskalkül lautet in Komponentenschreibweise :
∂Aij
∂Akl= δikδjl
Überführt in die Absolutschreibweise gilt :
∂Aij
∂Akl= Iiklj
oder
∂A∂A = ∂AT
∂AT = I⊗ I ∂AT
∂A = ∂A∂AT = I �× I
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Ableitungsregeln
In Verbindung mit dem neuen Tensorprodukt ( q a) gilt die Produktregel:
Bsp.: F(D) = AB(D)
∆F = (A,D B + AB,D ) q a∆D
Früher galt üblicherweise :
∂Aij
∂Akl= Iijkl
Dann ist die Produktregel nicht erfüllt :
∆F = (A,D B + AB,D ) : ∆D ist falsch !
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Ableitungsregeln
In Verbindung mit dem neuen Tensorprodukt ( q a) gilt die Produktregel:
Bsp.: F(D) = AB(D)
∆F = (A,D B + AB,D ) q a∆D
Bei Spuren gilt :
tr(F) = tr(AB) = AB : I = AB q aI = AB a qI = I q aAB
∂tr(F)∂D
= (A,D B + AB,D ) a qI
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Sonderfälle der Tensorableitung
Ableitung nach der Inversen
A−1A = I⇒ A−1,AA + A−1A,A = 0
⇔ A−1,A = −A−1(I⊗ I)A−1 = −A−1 ⊗A−1
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Sonderfälle der Tensorableitung
Ableitung nach der Inversen
A−1A = I⇒ A−1,AA + A−1A,A = 0
⇔ A−1,A = −A−1(I⊗ I)A−1 = −A−1 ⊗A−1
analog für A,A−1 :
A,A−1 = −A⊗A
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Sonderfälle der Tensorableitung
Ableitung nach einem symmetrischen Tensor (A = AT ) :
∂F(A)∂A = F(A),A q a1
2 (A,A +A,AT )
∂F(A)∂A = F(A),A q a1
2 (I⊗ I + I �× I) = F(A),A q aSS : Symmetrietransformationstensor 4. Stufe !!
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Sonderfälle der Tensorableitung
Ableitung nach einem symmetrischen Tensor (A = AT ) :
∂F(A)∂A = F(A),A q a1
2 (A,A +A,AT )
∂F(A)∂A = F(A),A q a1
2 (I⊗ I + I �× I) = F(A),A q aSS : Symmetrietransformationstensor 4. Stufe !!
analog für einen schiefsymmetrischen Tensor (A = −AT ) :
∂F(A)∂A = F(A),A q a1
2 (I⊗ I− I �× I) = F(A),A q aAA : Antimetrietransformationstensor 4. Stufe !!
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Sonderfälle der Tensorableitung
F(A) = ψ(A) F(A)
F(A),A = ψ(A) F,A + F(A)× ψ(A),A
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Sonderfälle der Tensorableitung
F(A) = ψ(A) F(A)
F(A),A = ψ(A) F,A + F(A)× ψ(A),A
F (A) = A : B
F (A),A = A,A a qB + A q aB,A
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Sonderfälle der Tensorableitung
F(A) = ψ(A) F(A)
F(A),A = ψ(A) F,A + F(A)× ψ(A),A
F (A) = A : B
F (A),A = A,A a qB + A q aB,ABei der doppelten Kontraktion gilt die Produktregel nicht !
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Beispiele
F (A) = tr(A3) :
F (A),A = I q a((I⊗ I)A2 + A(I⊗ I)A + A2(I⊗ I))
= I q a(I⊗A2 + A⊗A + A2 ⊗ I)
= 3 A2T
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Beispiele
F (A) = tr(A3) :
F (A),A = I q a((I⊗ I)A2 + A(I⊗ I)A + A2(I⊗ I))
= I q a(I⊗A2 + A⊗A + A2 ⊗ I)
= 3 A2T Regel : tr(An),A = n (An−1)T
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Beispiele
F (A) = tr(A3) :
F (A),A = I q a((I⊗ I)A2 + A(I⊗ I)A + A2(I⊗ I))
= I q a(I⊗A2 + A⊗A + A2 ⊗ I)
= 3 A2T Regel : tr(An),A = n (An−1)T
F (A) = tr(A3)tr(A2)
F (A),A = 3 A2T tr(A2) + tr(A3) 2 AT
F (A),(A×A) = 6 (A2T ×AT + AT ×A2T )
+3 tr(A2) (AT �× I + I �× AT ) + 2 tr(A3) I �× I
Es gilt : F (A),(A×A) = (F (A),(A×A) )T (große Symmetrie !!)
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Beispiele
F(A) = A tr(A2) + AT tr(A3) :
F(A),A = tr(A2) I⊗ I + tr(A3) I �× I + 2 A×AT + 3 AT ×A2T
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Beispiele
F(A) = A tr(A2) + AT tr(A3) :
F(A),A = tr(A2) I⊗ I + tr(A3) I �× I + 2 A×AT + 3 AT ×A2T
F(A) = dev(A)
F(A) = A− 13 tr(A) I
F(A),A = I⊗ I− 13 I× I
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Beispiele
F(A) = A tr(A2) + AT tr(A3) :
F(A),A = tr(A2) I⊗ I + tr(A3) I �× I + 2 A×AT + 3 AT ×A2T
F(A) = dev(A)
F(A) = A− 13 tr(A) I
F(A),A = I⊗ I− 13 I× I
A = AT : F(A),A = S− 13 I× I
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Beispiele
F(A) = (dev(A))3 :
F(A),A =((dev(A))2 ⊗ I + dev(A)⊗ dev(A) + I⊗ (dev(A))2) q adev(A),A
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Beispiele
F(A) = (dev(A))3 :
F(A),A =((dev(A))2 ⊗ I + dev(A)⊗ dev(A) + I⊗ (dev(A))2) q adev(A),A
F(A),A =((dev(A))2⊗I+dev(A)⊗dev(A)+I⊗(dev(A))2) q a(I⊗I− 1
3 I×I)
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Beispiele
F(A) = (dev(A))3 :
F(A),A =((dev(A))2 ⊗ I + dev(A)⊗ dev(A) + I⊗ (dev(A))2) q adev(A),A
F(A),A =((dev(A))2⊗I+dev(A)⊗dev(A)+I⊗(dev(A))2) q a(I⊗I− 1
3 I×I)
F(A),A =(dev(A))2⊗ I+ dev(A)⊗dev(A) + I⊗ (dev(A))2− (dev(A))2× I
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Vergleich mit der Notation von Itskov (2000, 2002)
Itskov 2000, CMAME 189, S. 419-438"On the theory of fourth-order tensors and their application incomputational mechanics"
Itskov 2002, ZAMM 82, S. 535-544"The derivative with respect to a tensor: Some theoretical aspectsand applications"
A,A = IAT,A = A,AT = I t = T
sym(A),A = 12 (I + T) = I s
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Vergleich mit der Notation von Itskov (2000, 2002)
Itskov 2000, CMAME 189, S. 419-438"On the theory of fourth-order tensors and their application incomputational mechanics"
Itskov 2002, ZAMM 82, S. 535-544"The derivative with respect to a tensor: Some theoretical aspectsand applications"
A,A = I → A,A = I⊗ IAT,A = A,AT = I t = T → AT
,A = A,AT = I �× Isym(A),A = 1
2 (I + T) = I s → sym(A),A = 12 (I⊗ I + I �× I) = S
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Vergleich mit der Notation von Itskov (2000, 2002)
Itskov 2000, CMAME 189, S. 419-438"On the theory of fourth-order tensors and their application incomputational mechanics"
Itskov 2002, ZAMM 82, S. 535-544"The derivative with respect to a tensor: Some theoretical aspectsand applications"
durch Beschränkung auf zwei Tensorprodukte kann T nichtexplizit dargestellt werdenkeine Behandlung der Ableitung nach einemschiefsymmetrischen zweistufigen Tensor, obwohl eigentlichvollkommen analog
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Oftmals muss ein Tensor vierter Stufe invertiert werden !
Wie geht das ?
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Oftmals muss ein Tensor vierter Stufe invertiert werden !
Wie geht das ?
Ein sehr einfaches Beispiel ist : (A⊗B)
Hier muss die Inverse lauten : (A⊗B)−1 = A−1 ⊗B−1
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Oftmals muss ein Tensor vierter Stufe invertiert werden !
Wie geht das ?
Ein sehr einfaches Beispiel ist : (A⊗B)
Hier muss die Inverse lauten : (A⊗B)−1 = A−1 ⊗B−1
denn (A−1 ⊗B−1) q a(A⊗B) = A−1A⊗BB−1 = I⊗ I
bzw. (A⊗B) q a(A−1 ⊗B−1) = AA−1 ⊗B−1B = I⊗ I
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Nicht immer ist das so offensichtlich !
Kann man auf Anhieb (durch Nachdenken !!) keine Inverse finden, sohilft oftmals nur die Holzhammer-Methode !!
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Die wenig elegante Lösung
Y = A q aX⇒ y = Ax als Matrizen
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Die wenig elegante Lösung
Y = A q aX⇒ y = Ax als Matrizen
y =(Y11 Y22 Y33 Y12 Y21 Y13 Y31 Y23 Y32
)Tx =
(X11 X22 X33 X12 X21 X13 X31 X23 X32
)T
A1111 A1221 A1331 A1121 A1211 A1131 A1311 A1231 A1321
A2112 A2222 A2332 A2122 A2212 A2132 A2312 A2232 A2322
A3113 A3223 A3333 A3123 A3213 A3133 A3313 A3233 A3323
A1112 A1222 A1332 A1122 A1212 A1132 A1312 A1232 A1322
A2111 A2221 A2331 A2121 A2211 A2131 A2311 A2231 A2321
A1113 A1223 A1333 A1123 A1213 A1133 A1313 A1233 A1323
A3111 A3221 A3331 A3121 A3211 A3131 A3311 A3231 A3321
A2113 A2223 A2333 A2123 A2213 A2133 A2313 A2233 A2323
A3112 A3222 A3332 A3122 A3212 A3132 A3312 A3232 A3322
︸ ︷︷ ︸
= A (reguläre 9× 9-Matrix)
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Die wenig elegante Lösung
Y = A q aX⇒ y = Ax als Matrizen
y =(Y11 Y22 Y33 Y12 Y21 Y13 Y31 Y23 Y32
)Tx =
(X11 X22 X33 X12 X21 X13 X31 X23 X32
)T
A1111 A1221 A1331 A1121 A1211 A1131 A1311 A1231 A1321
A2112 A2222 A2332 A2122 A2212 A2132 A2312 A2232 A2322
A3113 A3223 A3333 A3123 A3213 A3133 A3313 A3233 A3323
A1112 A1222 A1332 A1122 A1212 A1132 A1312 A1232 A1322
A2111 A2221 A2331 A2121 A2211 A2131 A2311 A2231 A2321
A1113 A1223 A1333 A1123 A1213 A1133 A1313 A1233 A1323
A3111 A3221 A3331 A3121 A3211 A3131 A3311 A3231 A3321
A2113 A2223 A2333 A2123 A2213 A2133 A2313 A2233 A2323
A3112 A3222 A3332 A3122 A3212 A3132 A3312 A3232 A3322
︸ ︷︷ ︸
= A (reguläre 9× 9-Matrix)
Aus A−1 folgt wiederum A−1 !!Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Die wenig elegante Lösung
Y = A q aX⇒ y = Ax als MatrizenY = YT und X = XT sind symmetrisch, A ist supersymmetrisch !!
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Die wenig elegante Lösung
Y = A q aX⇒ y = Ax als MatrizenY = YT und X = XT sind symmetrisch, A ist supersymmetrisch !!
y =(Y11 Y22 Y33
√2Y12
√2Y13
√2Y23
)Tx =
(X11 X22 X33
√2X12
√2X13
√2X23
)T
A1111 A1221 A1331
√2 A1121
√2 A1131
√2 A1231
A2112 A2222 A2332
√2 A2122
√2 A2132
√2 A2232
A3113 A3223 A3333
√2 A3123
√2 A3133
√2 A3233√
2 A1112
√2 A1222
√2 A1332 2 A1122 2 A1132 2 A1232√
2 A1113
√2 A1223
√2 A1333 2 A1123 2 A1133 2 A1233√
2 A2113
√2 A2223
√2 A2333 2 A2123 2 A2133 2 A2233
︸ ︷︷ ︸
= A (reguläre 6× 6-Matrix)
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Die wenig elegante Lösung
Y = A q aX⇒ y = Ax als MatrizenY = YT und X = XT sind symmetrisch, A ist supersymmetrisch !!
y =(Y11 Y22 Y33
√2Y12
√2Y13
√2Y23
)Tx =
(X11 X22 X33
√2X12
√2X13
√2X23
)T
A1111 A1221 A1331
√2 A1121
√2 A1131
√2 A1231
A2112 A2222 A2332
√2 A2122
√2 A2132
√2 A2232
A3113 A3223 A3333
√2 A3123
√2 A3133
√2 A3233√
2 A1112
√2 A1222
√2 A1332 2 A1122 2 A1132 2 A1232√
2 A1113
√2 A1223
√2 A1333 2 A1123 2 A1133 2 A1233√
2 A2113
√2 A2223
√2 A2333 2 A2123 2 A2133 2 A2233
︸ ︷︷ ︸
= A (reguläre 6× 6-Matrix)
Aus A−1 folgt wiederum A−1 !!
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Die elegante Lösung
Dass es auch anders geht, zeigt folgendes Beispiel :
Angenommen, wir haben die Gleichung :
σσσn+1 = σσσn + ∆γ(cn− b (δ σσσn+1 + (1− δ) (σσσn+1 : n) n))
Kann man hier nach σσσn+1 auflösen?
Die Gleichung sieht irgendwie kompliziert aus !!
Wie geht das ?
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Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Die elegante Lösung
Dass es auch anders geht, zeigt folgendes Beispiel :
Angenommen, wir haben die Gleichung :
σσσn+1 = σσσn + ∆γ(cn− b (δ σσσn+1 + (1− δ) (σσσn+1 : n) n))
Kann man hier nach σσσn+1 auflösen?
Die Gleichung sieht irgendwie kompliziert aus !!
Antwort :
S q aσσσn+1 = σσσn + ∆γ cn− (b δ∆γ S + b (1− δ) ∆γ n× n) q aσσσn+1
Wir nehmen außerdem mal an, σσσ und n seien symmetrisch !!
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Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Die elegante Lösung
Dass es auch anders geht, zeigt folgendes Beispiel :
Angenommen, wir haben die Gleichung :
σσσn+1 = σσσn + ∆γ(cn− b (δ σσσn+1 + (1− δ) (σσσn+1 : n) n))
Daraus folgt :
((1 + b δ∆γ) S + b (1− δ) ∆γ n× n) q aσσσn+1 = σσσn + ∆γ cn
Das hat schon einmal geklappt !!
Wie findet man aber jetzt die Inverse ??
Geht das überhaupt ?
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Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Die elegante Lösung
Dazu schreiben wir erstmal :
E = a0 S + a1 n× n
Für die Inverse von E muss gelten :
E q aE−1 = S oder auch E−1 q aE = S
Für E−1 machen wir den Ansatz :
E−1 = c0 A⊗B + c1 C �× D + c2 E× F
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Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Die elegante Lösung
Das führt auf das Gleichungssystem :
a0 c012 (A⊗B + A �× B) + a0 c1
12 (C⊗D + C �× D)
+(a0 c2 E×F+a1 c0 n×ATnBT +a1 c1 n×DnTC+a1 c2 n×F (n : E)
= 12 (I⊗ I + I �× I)
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Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Die elegante Lösung
Das führt auf das Gleichungssystem :
a0 c012 (A⊗B + A �× B) + a0 c1
12 (C⊗D + C �× D)
+(a0 c2 E×F+a1 c0 n×ATnBT +a1 c1 n×DnTC+a1 c2 n×F (n : E)
= 12 (I⊗ I + I �× I)
Wir nehmen nun an :
c0 = c1 und A = B = C = D = I sowie E = F = n !!
Das führt auf die folgenden zwei Gleichungen :
2 a0 c0 = 12 a1 c0 + c2 (a0 + a1 (n : n)) = 0
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Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Die elegante Lösung
Das führt auf das Gleichungssystem :
a0 c012 (A⊗B + A �× B) + a0 c1
12 (C⊗D + C �× D)
+(a0 c2 E×F+a1 c0 n×ATnBT +a1 c1 n×DnTC+a1 c2 n×F (n : E)
= 12 (I⊗ I + I �× I)
Folglich lautet die Lösung für E−1:
E−1 = 1a0
S− a1
a20+a1 a0 (n : n) n× n
oder :
E−1 = 11+b δ∆γ S− b (1−δ)∆γ
(1+b δ∆γ)2+(1+b δ∆γ)(b (1−δ)∆γ) (n : n) n× n
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Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Die elegante Lösung
Damit lautet die Lösung :
σσσn+1 = σσσn+∆γ cn1+b δ∆γ −
b (1−δ) ∆γ ((σσσn : n) n+c∆γ (n : n) n)
(1+b δ∆γ)2+(1+b δ∆γ)(b(1−δ)∆γ) (n : n)
Für n : n = 1 gilt darüber hinaus :
σσσn+1 = σσσn+∆γ cn1+b δ∆γ −
b (1−δ) ∆γ ((σσσn : n) n+c∆γn)
(1+b δ∆γ)(1+b∆γ)
Geht doch !!
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Vorteil des vorliegenden Tensorformalismus :
Durch Einführung von drei Tensorprodukten ist jeder vierstufigerTensor darstellbarEntgegen einer anderen Notation A⊗B, A ⊗B, A ⊗B (nachSteinmann & Co.) sind die Produkte A⊗B, A �× B, A×B leichtauseinanderzuhalten. Die gewählten Notationen sind konsistent(siehe z.B. ROSATI 2000, ITSKOV 2000,2002)Einführung von zwei neuen doppelten Kontraktionsregeln, wobei(:) klassisch ist, ( q a) der doppelten Kontraktionsregel nachITSKOV entspricht (dort mit (:) bezeichnet) und ( a q) tatsächlichneu ist
Dies erlaubt mehr gegenseitige Kombinationen. Z.B. :A q aB = B a qA
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Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Vorteil des vorliegenden Tensorformalismus :
Durch Einführung von drei Tensorprodukten ist jeder vierstufigerTensor darstellbarEntgegen einer anderen Notation A⊗B, A ⊗B, A ⊗B (nachSteinmann & Co.) sind die Produkte A⊗B, A �× B, A×B leichtauseinanderzuhalten. Die gewählten Notationen sind konsistent(siehe z.B. ROSATI 2000, ITSKOV 2000,2002)Einführung von zwei neuen doppelten Kontraktionsregeln, wobei(:) klassisch ist, ( q a) der doppelten Kontraktionsregel nachITSKOV entspricht (dort mit (:) bezeichnet) und ( a q) tatsächlichneu ist
Dies erlaubt mehr gegenseitige Kombinationen. Z.B. :A q aB = B a qA
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Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Vorteil des vorliegenden Tensorformalismus :
Durch Einführung von drei Tensorprodukten ist jeder vierstufigerTensor darstellbarEntgegen einer anderen Notation A⊗B, A ⊗B, A ⊗B (nachSteinmann & Co.) sind die Produkte A⊗B, A �× B, A×B leichtauseinanderzuhalten. Die gewählten Notationen sind konsistent(siehe z.B. ROSATI 2000, ITSKOV 2000,2002)Einführung von zwei neuen doppelten Kontraktionsregeln, wobei(:) klassisch ist, ( q a) der doppelten Kontraktionsregel nachITSKOV entspricht (dort mit (:) bezeichnet) und ( a q) tatsächlichneu ist
Dies erlaubt mehr gegenseitige Kombinationen. Z.B. :A q aB = B a qA
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Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Vorteil des vorliegenden Tensorformalismus :
Durch Einführung von drei Tensorprodukten ist jeder vierstufigerTensor darstellbarEntgegen einer anderen Notation A⊗B, A ⊗B, A ⊗B (nachSteinmann & Co.) sind die Produkte A⊗B, A �× B, A×B leichtauseinanderzuhalten. Die gewählten Notationen sind konsistent(siehe z.B. ROSATI 2000, ITSKOV 2000,2002)Einführung von zwei neuen doppelten Kontraktionsregeln, wobei(:) klassisch ist, ( q a) der doppelten Kontraktionsregel nachITSKOV entspricht (dort mit (:) bezeichnet) und ( a q) tatsächlichneu ist
Dies erlaubt mehr gegenseitige Kombinationen. Z.B. :A q aB = B a qA
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Vorteil der neu eingeführten Operationen für dieTensorableitung:
Behandlung aller Sonderfälle der Tensorableitung (Ableitungnach einem symmetrischen, schiefsymmetrischen oder inversenzweistufigen Tensor) klar und mit einfacher NotationDie alte (:) und neue Konvention ( q a, a q) wird simultan behandelt.Die Operationen (· · · )R und (· · · )L führen eine Darstellung in dieandere über
LiteraturO.Kintzel & Y. Basar 2006, ZAMM 86, No. 4, S. 291-311
"Fourth-order tensors - tensor differentiation with applications tocontinuum mechanics. Part I: Classical tensor analysis"
Olaf Kintzel Tensorformalismus
Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Vorteil der neu eingeführten Operationen für dieTensorableitung:
Behandlung aller Sonderfälle der Tensorableitung (Ableitungnach einem symmetrischen, schiefsymmetrischen oder inversenzweistufigen Tensor) klar und mit einfacher NotationDie alte (:) und neue Konvention ( q a, a q) wird simultan behandelt.Die Operationen (· · · )R und (· · · )L führen eine Darstellung in dieandere über
LiteraturO.Kintzel & Y. Basar 2006, ZAMM 86, No. 4, S. 291-311
"Fourth-order tensors - tensor differentiation with applications tocontinuum mechanics. Part I: Classical tensor analysis"
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Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe
Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors
Vorteil der neu eingeführten Operationen für dieTensorableitung:
Behandlung aller Sonderfälle der Tensorableitung (Ableitungnach einem symmetrischen, schiefsymmetrischen oder inversenzweistufigen Tensor) klar und mit einfacher NotationDie alte (:) und neue Konvention ( q a, a q) wird simultan behandelt.Die Operationen (· · · )R und (· · · )L führen eine Darstellung in dieandere über
LiteraturO.Kintzel & Y. Basar 2006, ZAMM 86, No. 4, S. 291-311
"Fourth-order tensors - tensor differentiation with applications tocontinuum mechanics. Part I: Classical tensor analysis"
Vielen Dank für ihre Aufmerksamkeit !!
Olaf Kintzel Tensorformalismus