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UNNE – Facultad de Ingeniería Física III

Ing. Arturo R. Castaño Año 20051 de 18

UNID D IX: REL TIVID D ESPECI L

Postulados de Einstein. Dilatación del tiempo. Contracción de

longitudes. Transformación de LORENZ. Energía relativista.

Índice

Introducción ......................................................................................................... 2Velocidad de la luz .............................................................................................. 2

Transformación Galilena ..................................................................................... 4

Transformación de Lorentz.................................................................................. 5

Nueva visión del espacio y del tiempo ................................................................ 9

Dilatación del tiempo ......................................................................................... 10

Contracción de la longitud ................................................................................. 12

La suma de velocidades .................................................................................... 14Cantidad de movimiento y energía .............................. ...................................... 16

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Introducción

Nuestra experiencia diaria, en la que se basa la intuición, esta basada en la observación de

objetos de tamaño medio que se mueven lentamente. Diremos que un objeto se mueve

lentamente cuando su velocidad es muy pequeña comparada con la velocidad de la luz en el

vacío. Cuando un objeto se mueve a una velocidad comparable a la velocidad de la luz se dice

que el objeto se mueve relativisticamente. No es habitual tener experiencias con objetos que se

mueven a tan altas velocidades.

En 1905 Albert Einstein inicio una revoluci ón conceptual con su formulaci ón de la Teor ía de la

Relatividad. Este teor ía cambio la noci ón de especio y tiempo, como as í tambi én las de materia y

energ ía.

En palabras de Einstein “este universo de ideas es tan poco independiente de la naturaleza denuestras experiencias como lo son las ropas de la forma del cuerpo humano. Esto es

particularmente cierto en nuestro conceptos del tiempo y del espacio ”. Veremos algunas

caracter ísticas de la f ísica de lo muy r ápido, muchos de los conceptos f ísicos b ásicos deben

modificarse. Debemos cambiar la forma de pensar sobre el tiempo y el espacio.

Las ideas de Einstein se originan en los trabajos y experiencias previas de otros cient íficos

respecto temas como la medici ón de la velocidad de la luz, las experiencias de Michelson-Morley,

las discusiones sobre el éter y las ideas de Lorentz. Sus esfuerzos estaban encaminados a

armonizar la teor ía electromagn ética de Maxwell con la mec ánica basada en los principios de

Newton. El nombre de relatividad se debe a que la teor ía trata sobre la correlaci ón de las

observaciones hechas por observadores en movimiento relativo uniforme.

Velocidad de la luz

Hasta fines del siglo XIX se supon ía que el espacio, vaci ó de materia, estaba lleno de “éter ”. Los

f ísicos supon ían que las vibraciones de este hipot ético éter estaban relacionadas con la luz de la

misma forma que las vibraciones del aire estaban relacionadas con el sonido. En esa época exist ía

una gran pol émica sobre la forma que los cuerpos se mov ían a trav és del éter y como este

movimiento afectaba la velocidad de la luz medida desde la tierra. Una de estas discusiones se

centraba en que si el éter sobre el que se mov ía la luz y que se supon ía que transmit ía todas las

fuerzas era est ático o era arrastrado por los cuerpos al moverse. Por otro lado la teor ía sosten ía

que las ondas electromagn éticas necesitaban un medio para poder desplazarse, este medio, el

éter, deb ía tener caracter ísticas tales que las ondas pudieran transmitir a gran velocidad, por otro

lado se ten ía que poder medir la velocidad de desplazamiento de los planetas a trav és del éter y

adem ás se ten ía que verificar que no ten ía influencia en el movimiento de los planetas, ya que las

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leyes de Newton, dadas por validas, que lo explicaban no lo ten ían en cuenta. El éter tambi én se

necesitaba para dar una referencia a la velocidad de la luz ( )c .

En principio cualquier sistema que se moviera con respecto al éter, la velocidad de la luz ser ía

mayor o menos de acuerdo con la suma usual de velocidades. Para una fuente de luz que semueve en el mismo sentido que el rayo de luz ser á:

Velocidad de la fuente de luz

Fuente emisora de luz

Observador

Velocidad de la luz

( )C

( )v El rayo de luz se aproximar á al observador a una velocidad vcV f += Para el caso de que la fuente de luz se alejar á ser á:

Fuente emisora de luz

Velocidad de fuente de luz

Velocidad de la luz

Observador

( )v

( )C

En este caso, como la fuente de luz se aleja del observador, el rayo de luz se aproximar á al

observador a una velocidad vcV f −= Suponiendo que el éter es estacionario, podemos decir que la luz se propaga por el éter con

velocidad c . Si la tierra se mueve a trav és del éter con velocidad v sin perturbarlo, entonces lavelocidad de la luz con respecto a la tierra deber á depender de la direcci ón de la propagaci ón de la

luz, como vemos en los dibujos anteriores. Este tipo de consideraciones generaban una gran

pol émica a fines del siglo pasado y fueron muchos los cient íficos que se dedicaban a pensar

distintos tipos de experimentos a fin de probar estas teor ías. Albert Michelson (1852-1931)

conjuntamente con Edward Morley (1838-1923), comenzaron en 1881 una memorable serie de

experimentos para medir de la luz en diferentes direcciones con respecto a la Tierra, para lo cual

utilizo un tipo especial de interfer ómetro para observar la interferencia de la luz.

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Michelson y Morley esperaban determinar as í la velocidad de la Tierra con respecto al éter.

Repitieron sus experimentos varias veces, durante muchos a ños. Se trabajo y perfecciono por

mucho tiempo, y encontraron, dentro de la precisi ón de sus mediciones, que la velocidad de la luz

con respecto a la Tierra era la misma en todas las direcciones.

De acuerdo con la transformaci ón galileana de velocidades, ning ún cuerpo puede tener la mismavelocidad con respecto a dos observadores en movimiento relativo uniforme. En este caso se

supone que un observador se encuentra en reposo relativo respecto a éter y el otro en la Tierra.

Una posible explicaci ón de este resultado experimental ser ía que la Tierra arrastra al éter con ella,

del mismo modo que arrastra a la atm ósfera. Por lo tanto, cerca de la superficie terrestre el éter

deber ía estar en reposo con respecto a ésta y la velocidad de la luz deber ía ser c en todas lasdirecciones. Esta explicaci ón resulta bastante improbable puesto que el arrastre del éter deber ía

manifestarse en otros fen ómenos conectados con la velocidad de la luz, que no se han

observados. Cuando se buscaron posibles explicaciones una dada por Lorentz, dec ía que todo

parec ía indicar que un cuerpo en movimiento se contra ía en direcci ón del movimiento. Los

resultados negativos del experimento de Michelson-Morley llevaron a Einstein a descartar el

concepto de la existencia del éter. En su lugar propuso como ley universal de la naturaleza que la

velocidad de la luz es un invariante f ísico y tiene el mismo valor para todos los observadores que

est én en movimiento relativo uniforme ”

Por lo tanto la velocidad de la luz debe ser independiente del movimiento elativo del emisor y del

receptor.

Esta constancia de la velocidad de la luz en los distintos sistemas produce un efecto devastador

en la relatividad galileana, pues el hecho de que la velocidad de la luz sea invariante est á en claracontradicci ón con la formula galileana para la transformaci ón de velocidad. Podemos afirmar

entonces que las transformaciones galileanas y nuestras ideas del espacio y tiempo contenidas en

dichas transformaciones son incorrectas.

Sin embargo debemos dejar en claro, que las transformaciones galileanas, aunque incorrectas,

proporcionan una explicaci ón adecuada a nuestra experiencia cotidiana. Solo cuando se tiene

velocidades altas es cuando las caracter ísticas inusuales o singulares del espacio y tiempo son

perceptibles. No obstante, cuando estas caracter ísticas son perceptibles, pueden llegar a ser

tremendamente chocantes.

Transformación Galilena

Hasta casi el principio de nuestro siglo, la transformaci ón galileana, cuyo nombre se debe a

Galileo Galilei fue considerada como el reflejo del espacio y el tiempo. Esta transformaci ón

proporciona una interpretaci ón adecuada del movimiento relativo a velocidades normales sobre la

tierra, trenes, aviones, sat élites, etc.

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Para dos sistemas de referencias, uno movi éndose con respecto al otro a una velocidad v , podemos resumir estas transformaciones como:

vt x x −=′ y y =′

z z =′ t t =′

Estas son las transformaciones que usamos en la vida diaria. Pero estas transformaciones no se

cumplen a velocidades cercanas a la velocidad de la luz.

Transformación de Lorentz

En 1905 Einstein propuso a nueva visi ón del espacio-tiempo y una nueva teor ía de la relatividad

que hoy en d ía llamamos teor ía especial de la relatividad. Dicha teor ía es especial, o mejor dicho

restringida, en el sentido de que solamente trata sistemas de referencias inerciales y no trata la

gravitaci ón. As í, los sistemas de referencias m ás generales y la conexi ón con la gravedad se

consideran en la teor ía general de la relatividad.

Einstein desarrollo su teor ía a partir de dos postulados: el primer postulado es el principio de

relatividad, que tiene un lugar en cualquier teor ía que pretenda tener un significado f ísico: Las

leyes de la naturaleza tienen la misma forma matem ática en todos los sistemas de referenciales

inerciales. El segundo postulado reconoce formalmente la invarianza de la velocidad de la luz en

el vac ío: La velocidad de la luz en el vac ío es la misma para todos los sistemas de referencias

inerciales.

Primero al desarrollar la teor ía especial debemos determinar la transformaci ón que conecta

sistemas de referencias inerciales en movimiento relativo. Esta transformaci ón tiene que

reemplazar a la transformaci ón galileana, que es incorrecta. Sin embargo, puesto que la

transformaci ón galileana es adecuada para bajas velocidades, podemos guiarnos por algunas de

sus caracter ísticas. En particular, las ecuaciones de transformaci ón correctas deben reducirse a la

transformaci ón galileana en el l ímite de las bajas velocidades.

Consideramos la transformaci ón que conecta a dos sistemas de referencia en movimiento relativo,

con velocidad relativa constante v a lo largo de los ejes x x ′ , llamamos a uno Sistema enreposo S y al otro Sistema en movimiento S ′ . Suponemos que los observadores O yO ′ asociados a estos sistemas de referencias hacen que 0=′= t t en el instante que losdos sistemas de coordenadas coinciden.

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vt ( )t z y x ,,,

( )t z y x ′′′′ ,,,

Z Z ′

Y Y ′

X X ′,

En la figura se ve la relaci ón entre ambos sistemas para un instante posterior, desde la perspectiva

del observador O .Cada observador asignar á sus coordenadas espacio tiempo a los distintos sucesos. El observador

O asigna el conjunto ( ) x y zt ,,, , mientras que el observador O ′ asigna el conjunto( ) x y zt ′′′′ ,,, al mismo suceso. Debemos ver la transformaci ón que conecta ambosconjuntos de coordenadas.

Si el espacio-tiempo es homog éneo y que existe una correspondencia un ívoca para los

observadores, consideramos solo transformaciones lineales. El origen de O ′ se mueve a lo largodel eje x positivo con velocidad v respecto a O , as í que la ecuaci ón de x ′ en funci ón delas cantidades sin movimiento debe ser proporcional a vt x − . De este modo, un suceso quetiene lugar en 0=′ x , origen del sistema en movimiento, ocurre en vt x = . Estaecuaci ón de transformaci ón puede escribirse como

( )vt x x −=′ γ ( )1 Donde γ es independiente de las coordenadas espacio-tiempo del suceso.Del mismo modo podemos expresar x en funci ón de x ′ como ( )t v x x ′+′= γ ( )2

La cantidad γ debe ser la misma en las dos ecuaciones, pues de acuerdo con el principio de larelatividad, no debemos singularizar un observador con respecto a otro. Para todos los

observadores las descripciones de la naturaleza son igualmente validas. El valor de γ nocaracteriza a uno u otro observador, pero si relaciona a los dos observadores entre si.

Como ocurre con la transformaci ón galileana, todas las coordenadas correspondientes a los ejes

perpendiculares a la direcci ón del movimiento relativo de los sistemas, deber ían ser iguales, nos

queda: y y ′= z z ′=

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( ) ( )⇒

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −−

−=

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −−

−=′′

c

v

vc

ct

v

t

vt ct t t c

2

2

2

2 11

1

γ

γ

γ

γ γ

γ

( ) ( ) ⇒−=⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −−⇒

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −−

−= vccv

c

cv

vcc 2

2

2

2

11

11

γ

γ

γ

γ

( ) ⇒⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ −=−=⇒−=+−

2

22

2

22

2

2

2

22 11γ γ γ

γ

γ γ

γ

vc

vc

vc

vvcv

cv

cc

⇒

−==−=⇒−=⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −=

2

22

2

2

222

2

2

2

1

11

111

11

c

vcv

cv

vc

v γ γ γ γ

2

2

1

1

cv−

=γ En funci ón de la expresi ón obtenida podemos escribir las ecuaciones

correspondientes a la Transformaci ó n de Lorentz .

( )2

2

1cv

vt xvt x x

−

−=−=′ γ

2

2

2

2

2

1

1

cv

cvxt

xv

t t −

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −−=′γ

γ γ

z z =′ y y =′

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Este tipo de transformaci ón se denomina transformaci ón de Lorentz, en honor de H.A. Lorentz ,

quien intento explicar el resultado negativo del experimento de Michelson-Morley en t érminos de

una contracci ón de longitudes en un factor 2

21

cv−

, sin embargo, fue Einstein quien

primero obtuvo esta transformaci ón a partir de los postulados de la relatividad especial. Puesto

que las ecuaciones de transformaci ón que contienen x′ , t ′ , x y t son bastantes extensas, amenudo se las escribe como:

( )vt x x −=′ γ ⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −=′

2cvx

t t γ con2

21

1

cv−

=γ

Nueva visión del espacio y del tiempo

Es un hecho a destacar el que la velocidad de la luz en el vac ío sea independiente de los

movimientos relativos de los sistemas inerciales de referencia en que se mida dicha velocidad. As í

dos observadores que miden la velocidad de la luz obtienen el mismo valor aun estando en

movimiento relativo, uno con respecto al otro, a alta velocidad.

Un examen de las ecuaciones correspondientes a la transformaci ón de Lorentz muestra que

debemos alterar el concepto de tiempo absoluto o universal, independientemente del concepto del

espacio. A partir de la ecuaci ón⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −=′

2cvx

t t γ vemos que el valor del tiempo asignado

t ′ a un suceso por el observador O ′ depende no solamente del tiempo t sino tambi én de lacoordenada x asignada a dicho suceso por el observador O . No podemos mantener unadistinci ón muy definida entre el espacio y el tiempo consider ándolos como conceptos separados.

En lugar de tener tres coordenadas espaciales ( ) z y x ,, y un tiempo separado t paracaracterizar un suceso, hay ahora cuatro coordenadas espacio-tiempo ( )t z y x ,,, , que serelacionan a trav és de la transformaci ón de Lorentz. Desde un punto de vista matem ático el tiempo

puede tratarse como si e alg ún modo fuese una cuarta dimensi ón espacial.

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As í podemos llegar a demostrar que la transformaci ón de Lorentz que conecta a los sistemas de

referencia se aproxima a la transformaci ón galileana en el l ímite de las bajas velocidades relativas

cv

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Pero un observador o′ que se este moviendo con una velocidad relativa v ve la situación deotra manera

S Espejo

D

2 x1 x

v

Para él, el rayo de luz hizo el camino que indica la figura siguiente, y el tiempo que demora ser á:

D

2

t c

Δ

2

t v

Δ

( ) 222222 2

4 vc

Dt t vc D −=Δ⇒Δ−= Pero hemos visto que

t c Dc D

t ′Δ=⇒=′Δ 22 Reemplazando nos queda

⇒⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ Δ+=⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ Δ 22

2

22t

v Dt

c

⇒Δ+=Δ

44

222

22 t v D

t c

⇒Δ−Δ=

44

22

222 t v

t c D

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2

22222

1

12

c

vt

vc

t c

vc

Dt

−

′Δ−

′Δ=−

=Δ

La consecuencia m ás importante es que los dos observadores discrepan en el tiempo transcurrido.

La interpretaci ón de este resultado para el observador que esta en reposo es que el reloj m óvil se

atrasa. Este efecto de prolongaci ón del tiempo de un reloj m óvil se denomina dilataci ón del tiempo.

Este an álisis es independiente del mecanismo del reloj, de modo que todos los procesos f ísicos en

un sistema m óvil suceden con menor rapidez. El reloj biol ógico, asociado con el proceso de

envejecimiento no deber ía ser una excepci ón. Este caso se conoce como la paradoja de los

gemelos y fue y es motivo de permanentes discusiones.

Contracción de la longitud

Para medir una longitud, normalmente comparamos la separaci ón espacial entre dos puntos

extremos con alg ún tipo de patr ón como puede ser una regla. Es sencillo f ácil medir la longitud de

un objeto en su sistema en reposo (sistema de referencia en el que el objeto permanece en

reposo).

Supongamos que el objeto es una varilla que se encuentra en reposo en el sistema de referencia

de O ′ y que la longitud de dicha varilla es paralela al eje x′ , no consideramos las otrascoordenadas.

Y ′

Z ′ X ′

O ′

( )11 , t x ′′ ( )22 , t x ′′

( )21 t t ′≠′

Se observa la posici ón de un extremo de la varilla, suceso en( )11 , t x ′′ , y luego la del otro,

suceso en ( )22 , t x ′′ , a continuaci ón se obtiene la longitud 120 x x L ′−′=′ , midiendo ladistancia entre ambos extremos con la regla.

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A diferencia de lo anterior, medir la longitud de un objeto que se est á moviendo no resulta tan f ácil

de llevar a cabo. Con respecto al observador O , la varilla y el sistema de referencia O ′ semueven a lo largo del eje x positivo con velocidad v

Y ′

Z ′ X ′

O ′

( )11 , t x ( )22 , t x

( )21 t t ′=′

v

Podemos determinar la longitud determinando simult áneamente (en el sistema de referencia del

observador O los extremos 1 x y 2 x del objeto, de forma que la longitud de la varilla m óviles la distancia entre sus puntos extremos observados simult áneamente, 12 x x L −= Comparamos L y 0 L ′ usando la primera ecuaci ón de la Transformaci ón de Lorentz,obteniendo:

( ) ( )[ ]1212120 t t v x x x x L −−−=′−′=′ γ Pero como los extremos fueronobservados por O simult áneamente, tenemos 012 =− t t

Quedando entonces( )[ ]

2

212120

1 cv

L L x x x x L

−

==−=′−′=′ γ γ

Despejando el valor de L , la longitud de la varilla m óvil en la direcci ón de su velocidad

obtenemos:γ

0220 1

Lcv L L

′=−=

La longitud de un objeto m óvil, en la direcci ón de su movimiento, se obtiene dividiendo su longitud

en reposo 0 L ′ por γ . Como 1>γ , tenemos que 0 L L ′<

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En consecuencia, existe un acortamiento, o contracci ón, de la longitud de un objeto en la direcci ón

de su movimiento. Conforme mayor es la velocidad del objeto, el factor γ es tambi én mayor, y lalongitud se contrae m ás. El an álisis es v álido para la medida llevada a cabo por el observador O

de la longitud de cualquier objeto m óvil, incluyendo la propia regla del observador O′

.El observador O ′ tambi én discrepa de las medidas llevadas a cabo por el observador O .Para ver esto, supongamos que se invierten los papeles de los dos observadores, de modo que

ahora O ′ mide la longitud de un objeto m óvil, objeto que est á en reposo con respecto alobservador O . El resultado es que la longitud L ′ del objeto m óvil se contrae, con respecto a

su longitud en reposo 0 L , en un factor 22

1cv−

, es decir,

γ

0220 1

Lcv L L =−=′

As í pues, ambos observadores concluyen que la longitud de un objeto m óvil se contrae.

La suma de velocidades

Aunque resulta adecuada a bajas velocidades, la f órmula galileana para transformar velocidades,

vuu x x −=′ , no es correcta cuando las velocidades son altas. Por tanto, debemosreconsiderar la transformaci ón de las componentes de la velocidad usando la transformaci ón de

Lorentz.

Supongamos que los sucesos 1 y 2 corresponden a observaciones en la posici ón de unapart ícula. La componente x de la velocidad de la part ícula seg ún el observador O es:

( )( )1212

t t x x

t u x x −

−=ΔΔ=

Igualmente, el observador O ′ expresa la componente x′ de la velocidad de la part ículacomo:

( )( )12

12

t t x x

u x ′−′′−′=′

Usando ahora estas ecuaciones y las ecuaciones de la transformaci ón

de Lorentz transformamos el numerador y el denominador de esta expresi ón,

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( )( )

( ) ( )[ ]( ) ( )

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −−−

−−−=′−′′−′=′

212

12

1212

12

12

c

x xvt t

t t v x xt t x x

u xγ

γ

Dividiendo numerador y denominador por ( )12 t t − , y cancelando el factor com ún γ

Tenemos

( ) ( )[ ]( )

( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡

−−−

−−−=′

12

122

1212

1t t

x xcv

vt t x xu x

y como

( )( )12

12

t t x x

u x −−=

Nos queda⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −

−=′

21 cvu

vuu

x

x x

Esta transformaci ón de Lorentz de velocidades sustituye al resultado galileano. En el l ímite de

velocidades bajas,12

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Cantidad de movimiento y energía

En nuestra vida cotidiana no observamos efectos relativistas como puede ser la contracci ón de la

longitud o la dilataci ón del tiempo. Los objetos de tama ño normal que hay a nuestro alrededor nose mueven con suficiente rapidez como para que estos efectos sean observables. Por otra parte

tampoco hemos estado en contacto con otro observador que se mueva en relaci ón a nosotros con

una velocidad comparable a la velocidad de la luz. Los objetos que viajan a velocidades

comparables a la velocidad de la luz son part ículas de tama ño at ómico y subat ómico. As í, por

ejemplo, los electrones del tubo de una pantalla de televisi ón son acelerados a velocidades

cercanas a c21

. Al tratar con dichas part ículas generalmente hacemos énfasis en su cantidad

de movimiento y su energ ía.Junto con la revisi ón de nuestras nociones del espacio y del tiempo, debemos ahora modificar las

definiciones de algunas cantidades din ámicas para que puedan ser útiles. En este sentido los

conceptos de cantidad de movimiento y energ ía deber ían definirse de tal manera que ambas

magnitudes se conserven en un sistema aislado. As í por ejemplo, en la colisi ón de dos part ículas,

la cantidad de movimiento ganada por una de ellas deber á ser igual a la cantidad de movimiento

perdida por la otra. Adem ás, la definici ón modificada de esta magnitud deber ía reducirse a nuestra

definici ón original, mv p = , para cv

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cambiar en un sistema. Einstein demostr ó que hay una forma de energ ía asociada con la masa y

defini ó la energ í a total E de una part ícula de masa m y velocidad v como:

2

2

2

2

1mc

cv

mc E γ =−

=

Esta definici ón de la energ ía total de una part ícula tiene tambi én como resultado la conservaci ón

de la energ ía en un sistema aislado. (El t érmino «energ ía total de una part ícula », no incluye la

energ ía potencial, que debe sumarse separadamente.)

De acuerdo con esta energ ía total de una part ícula no es cero aunque la part ícula est é en reposo

si hacemos 0=v resulta que 2mc E = . Esta es la energ ía de una part ícula cuando est á en reposo, y se denomina energ ía asociada a la masa en reposo de la part ícula. Existen procesos

en los que var ía la suma de las masas en reposo de las part ículas de un sistema aislado. Dicho

cambio mΔ puede ser positivo o negativo como consecuencia de las transformaciones deenerg ía que ocurren en el sistema. El cambio en energ ía asociada a la masa,

2mc E Δ=Δ , se equilibra con cambios en otros tipos de energ ía, de forma que la energ íatotal se conserva.

La inclusi ón de la energ ía asociada a la masa en reposo dentro del balance total de energ ía,

generaliza la ley de conservaci ón de la energ ía, y esta forma generalizada a menudo se denomina

ley la conservaci ón de la energ í a total.

La conversi ón de la energ ía total asociada a la masa en otras formas de energ ía que se observa

en los procesos nucleares de fusi ón y fisi ón, ha tenido y tiene consecuencias pol íticas, econ ómicas

y militares bien conocidos por todos y que constituyen un tema pol émico.

Cuando un sistema no est á aislado, su energ ía cambia, aumentando o disminuyendo en una

cantidad. A partir de2mc E Δ=Δ , podemos interpretar 2c

E m Δ=Δ como elcambio en la masa del sistema.

Es decir aumentar la energ ía del sistema es equivalente a aumentar la masa inercial del mismo,

este resultado se conoce a menudo como equivalencia entre masa y energ ía.

La energ ía asociada a la masa en reposo,2mc E = es la energ ía total de una part ícula en

reposo. Cuando la part ícula se mueve, su energ ía total es mayor, y la energ ía adicional que esta

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part ícula posee debido a su movimiento se define como la energ í a cin é tica K de la part ícula. Sirestamos

2mc de la energ ía total de una part ícula, llegamos a la definici ón modificada de laenerg ía cin ética de una part ícula

2mc E K −= o bien( ) 2222 1 mcmcmcmc E K −=−=−= γ γ

Se puede demostrar en forma sencilla que la f órmula de la energ ía cin ética2

21

mvK = essolamente v álida a bajas velocidades.

Cuando la velocidad de la part ícula se aproxima a la velocidad de la luz, la ra íz cuadrada en la

ecuaci ón se aproxima a cero y es decir ∞→γ , la energ ía cin ética tiende a infinito. Vemosnuevamente que ninguna part ícula puede tener velocidad superior a la de la luz, pues tendr ía que

ganar una energ ía cin ética infinita y esto no es posible.

Tengamos presente que cuando la part ícula est á en reposo se tiene una cantidad de movimiento

igual a cero, 0= p y una energ ía 2mc E =

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