Teorema de Gelfand - Naimark para Álgebras de Banach

Universidad Mayor de San Andrés

Facultad de Ciencias Puras y Naturales

Carrera de Matemática

Teorema de Gelfand - Naimark paraÁlgebras de Banach Conmutativas

(Análisis Funcional)

Proyecto de Grado presentado para la obtención

del Título de Licenciatura en Matemática

Autor: Jhonny Mamani Ramos

Tutor: M. Sc. Camilo D. Moreira Dorado

La Paz - Bolivia

2018

Universidad Mayor de San Andrés

Facultad de Ciencias Puras y Naturales

Carrera de Matemática

Teorema de Gelfand - Naimark paraÁlgebras de Banach Conmutativas

(Análisis Funcional)

Proyecto de Grado presentado para la obtención

del Título de Licenciatura en Matemática

Autor: Jhonny Mamani Ramos

Tutor: M. Sc. Camilo D. Moreira Dorado

La Paz - Bolivia

2018

Agradecimientos

Agradezco principalmente a mis padres Alejandro y Marcela por acompañarme durante todo

mi trayecto estudiantil, quien con sus consejos han sabido guiarme para culminar mi carrera

profesional.

A mis hermanos Rogelio y Alex de quienes recibí apoyo cuando mas lo necesité.

A la Universidad Mayor de San Andrés y en especial a la Carrera de Matemática que me

formó profesionalmente.

A los Profesores Efrain Cruz, Porfirio Suñagua, Camilo Moreira, Javier Guachalla y Ramiro

Choque quienes me apoyaron brindándome su tiempo y conocimiento, en el desarrollo de mi

formación profesional.

A mis amigos, por sus palabras de ánimo que siempre confiaron en mí: Juan Ramiro Ticona,

Edwin Ticona, Jose Luis Laura, Tanit Aneu, Adalberto Roque y Wilber Apaza.

Y gracias a los que me brindaron ayuda en este proyecto.

Jhonny Mamani Ramos

i

Resumen

Este trabajo consiste en la demostración del Teorema de Gelfand-Naimark (Corach & Andru-

chov, 1997) en el contexto de las Álgebras de Banach conmutativas.

La idea de Gelfand fue el de extender la teoría espectral de Riesz a un álgebra normada ar-

bitraria con unidad, imitando la definición de Riesz para el álgebra L(E) de los endomorfismos

continuos de un espacio de Banach. Gelfand define el espectro de un elemento en un álgebra

de Banach y recupera los resultados principales de la teoría de Riesz, y con la colaboración de

M. Naimark comenzó el estudio de lo que hoy se conoce como C∗− álgebras.

En este trabajo se utilizará el método teórico: Hipotético-Deductivo para mostrar los resul-

tados, ya que la matemática es una ciencia que ha alcanzado determinado desarrollo teórico-

metodológico, en donde la hipótesis cumple una función importante.

Se estudiará con mucho detalle las demostraciones de diferentes resultados de álgebras de

Banach, álgebras de Banach conmutativas y C∗− álgebras. Las principales definiciones y re-

sultados que serán de mucha utilidad en la demostración del teorema central son: el espectro

de un elemento en un álgebra de Banach, el espectro de un álgebra de Banach, los elementos

hermitianos, la transformada de Gelfand, las topologías débiles; si ∆ es el espectro de un ál-

gebra de Banach, entonces ∆ es un espacio de Hausdorff compacto y C(∆) es una subálgebra

cerrada con unidad que separa puntos.

ii

Índice general

Agradecimientos i

Resumen ii

1. INTRODUCCIÓN 1

2. ÁLGEBRAS DE BANACH 6

2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2. Ejemplos de álgebras de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3. Homomorfismos complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4. Elementos regulares y singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5. Espectro de un elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. ÁLGEBRAS DE BANACH CONMUTATIVAS 23

3.1. Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2. Álgebra cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4. El espectro de caracteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.5. La transformada de Gelfand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4. C∗−ÁLGEBRAS Y TEOREMA DE GELFAND-NAIMARK 37

4.1. Involuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2. C∗−álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3. Distintas clases de elementos en un C∗−álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.4. Teorema de Gelfand-Naimark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

iii

iv

5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 49

A. Teorema de Stone-Weierstrass 51

A.1. El Teorema de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

A.2. El Teorema de Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1INTRODUCCIÓN

En este trabajo se tratará la teoría de Gelfand para álgebras de Banach conmutativas; se con-

siderarán las C∗− álgebras y se estudiará con mucho detalle el Teorema de Gelfand-Naimark

que básicamente establece que cualquier C∗− álgebra conmutativa con unidad puede verse

como el C∗− álgebra que consta de las funciones continuas con valores en el campo complejo

C definidas en un espacio compacto.

Según (Varela, s. f.) la teoría de la álgebras de Banach es más o menos reciente; a su pe-

riodo de gestación están vinculados los nombres de A. D. Michal, R. S. Martin, M. Nagumo,

K. Yosida, J. von Neumann, N. Wiener, M. H. Stone y otros.

El nacimiento de las teorías se localiza en 1941 con la aparición del famoso artículo de I.

M. Gelfand Normierte Ringe donde se empieza a hacer uso sistemático de la teoría elemental

de ideales en el estudio de estas álgebras.

Antes de Gelfand, que es el fundador de la teoría de álgebras de Banach, había algunos do-

cumentos que tratan con el estudio de una multiplicación adicional en un espacio de Banach

(Nayumo, Yosida, von Neumann y otros) sin desarrollar a través de una teoría general.

Tras sus trabajos en Teoría Espectral, von Neuman se mostró sumamente interesado en

continuar el estudio de las subálgebras involutivas de L(E), dotadas de ciertas restricciones

topológicas. En una serie de artículos (uno de los más importantes es: Fundamentos Mate-

máticos de la Mecánica Cuántica) que, con la colaboración parcial de F. Murray, publicó a

partir de 1935, desarrolló gran parte de su programa, estableciendo las base y muchos de los

resultados fundamentales de lo que hoy conocemos como álgebras de von Neumann.

Sorprendentemente, según (Bombal, 2003) los resultados de von Neumann aparecieron cin-

co años antes de que se definieran los conceptos elementales de la teoría general de álgebras

normadas, creación del matemático ruso I. Gelfand en 1941. La idea general de Gelfand fue

extender la teoría espectral de Riesz a un álgebra normada arbitraria A, con unidad e: imitan-

do la definición de Riesz para el álgebra L(E) de los endomorfismos continuos de un espacio de

1

2

Banach. Gelfand define el espectro de un elemento x ∈ A. Si A es completa, se recupera los

resultados principales de la teoría de Riesz. Gelfand consideró también el conjunto de todos

los caractéres de A, que con la topología inducida por la topología débil del dual de A, es un

conjunto compacto (el espectro de A) y lo identificó con el conjunto de ideales maximales de

A. Un poco más tarde, en colaboración con M. Naimark, comenzó el estudio de lo que hoy se

conoce como C∗− álgebras; las álgebras unitarias y conmutativas de este tipo resultan ser iso-

métricas al álgebra de funciones continuas sobre su espectro (teorema de Gelfand - Naimark).

Este resultado permitió dar una nueva interpretación de la teoría espectral de Hilbert, Riesz

y von Neumann para operadores normados N sobre un espacio de Hilbert E.

Según (Cabra, 2014) durante las últimas décadas ha existido un gran interés en el estudio

de las álgebra de Banach, una de las estructuras subyacentes del análisis funcional, en la cual

relacionamos dos de los conceptos más fuertes de la matemática, los espacios de Banach y las

álgebra de Banach.

La teoría de álgebras de Banach, es una nueva teoría general notable, ya que une zonas

distintas de las matemáticas, proporcionando nuevas conexiones entre el análisis funcional y el

análisis clásico, tiene una expansión como también en unas pocas lineas, atrayendo la atención

de la comunidad matemática.

El nombre de álgebra de Banach según (Rudin, 1991) se da actualmente a toda álgebra

normada completa (sobre C) que verifica la desigualdad ‖xy‖ 6 ‖x‖ ‖y‖ (es decir, el producto

es continuo), y donde se supone la existencia de un elemento identidad e, tal que xe = ex = x

y ‖e‖ = 1. Ejemplos de álgebras de Banach son el espacio L(H) y el espacio de las funciones

continuas con valores complejos sobre un espacio topológico compacto X con la norma del

supremo. La relación entre estos dos ejemplos es la parte de la teoría de álgebras de Banach

que se dedica a la teoría espectral.

La teoría de Gelfand sobre álgebras de Banach conmutativas depende de tres conceptos

fundamentales: homomorfismos complejos, ideales maximales y espectros. Un homomorfismo

complejo es una funcional lineal multiplicativo no nulo. En completa analogía con la teoría

espectral en espacios de Hilbert, Gelfand define el espectro σ(x) de un elemento x ∈ A en un

álgebra de Banach A como el conjunto {λ ∈ C : x− λe no es inversible}.

Gelfand y Naimark (Averson, 2002) probaron que el álgebra de Banach conmutativa C(∆)

se caracteriza por la presencia de una involución (la conjugación compleja). En general una

involución en un álgebra A es una aplicación ∗ : A→ A que verifica

(i) (x∗)∗ = x

(ii) (λx)∗ = λx∗

(iii) (xy)∗ = y∗x∗

(iv) (x+ y)∗ = x∗ + y∗

3

El Teorema de Gelfand-Naimark básicamente establece que cualquier C∗− álgebra conmu-

tativa con unidad puede verse como el C∗− álgebra que consta de las funciones continuas con

valores en C definidas en un espacio topológico compacto ∆.

Para el planteamiento del Teorema Central (Teorema de Gelfand-Naimark) se recurrirá de

varias definiciones y resultados que se pueden encontrar en (Rudin, 1991) de entre los más

destacados se cita los siguientes:

Sea A un álgebra de Banach conmutativo con elemento unidad. Se llama caracter de A

toda forma lineal h sobre A tal que para todo x, y ∈ A, h(xy) = h(x)h(y). El conjunto de

todos los caracteres de A se llama espectro de A y se denota por SpectA = ∆.

Por otro lado el espectro de un elemento en un álgebra de Banach A está definido como

σ(x) = {λ : x − λe es singular}, x ∈ A. Si A es conmutativa, cada λ ∈ σ(x) es de la forma

λ = h(x) para algún h ∈ ∆.

Todo núcleo de un caracter h es un ideal maximal, ya que A/ker (h) es isomorfo a C y

recíprocamente si A es conmutativa, A/M es isomorfo a C y por lo tanto M es el núcleo de

un caracter de A.

Por otro lado, según (Varela, s.f.), se tiene lo siguiente: sea A un álgebra de Banach

conmutativa con elemento unidad, se define la siguiente aplicación:

: A→ C(∆)

x 7→ x =(h(x)

)h∈∆

Considerando a C(∆) provista de su estructura de álgebra producto, la aplicación es un

homomorfismo de álgebras cuyo núcleo es la intersección de todos los ideales maximales de A.

Ahora se caracteriza la imagen A ⊂ C(∆) de A por esta aplicación.

Al conjunto ∆ se dota de la topología débil∗ para la cual la función

x : ∆→ C

h 7→ x(h) = h(x)

es continua, cualquiera que sea x ∈ A. Con esta topología una vecindad de h0 ∈ ∆ es la

intersección finita de conjuntos de la forma

{h ∈ ∆/ |h(a) − h0(a)| < ǫ}

para algún a ∈ A y ǫ > 0.

Dicha topología sobre ∆ es la inducida por la topología débil∗ del dual de A.

4

El espacio vectorial complejo C(∆) tiene estructura de C∗− álgebra. Con el producto usual

de funciones complejas

xy(h) = x(h)y(h)

como producto algebraico es un álgebra asociativa, compleja, unital y conmutativa. La opera-

ción ∗ está dada por la operación de conjugación compleja

x∗(h) = x(h)

con la norma del supremo.

Por tanto el teorema de Gelfand-Naimark establece lo siguiente:

Teorema de Gelfand-Naimark. Si A es un C∗−álgebra conmutativa con unidad, la trans-

formada de Gelfand es un isomorfismo isométrico de A en C(∆) con ∆ compacto en C, que

tiene la propiedad adicional de que

h(x∗) = h(x), para todo x ∈ A, h ∈ ∆

o equivalentemente (x∗) = x, para todo x ∈ A.

El contexto en el que será presentado el teorema de Gelfand-Naimark son C∗−álgebras.

El objetivo del presente trabajo es el estudio riguroso de la demostración del Teorema de

Gelfand-Naimark en el contexto de las álgebras de Banach conmutativas con unidad.

La demostración del Teorema de Gelfand-Naimark consta de dos partes. En la primera parte

se demostrará que la transformada de Gelfand es una isometría y en la segunda parte se

demostrará que la transformada de Gelfand es un isomorfismo.

La demostración de la isometría se llevará a cabo en cuatro etapas: en la primera etapa

se mostrará que si x ∈ A y x = x∗, entonces σ(x) ∈ R. En la segunda etapa se mostrará que

cualquier elemento x ∈ A tiene una descomposición única en parte real y parte imaginaria.

En la tercera etapa se mostrará que la transformada de Gelfand conserva la involución y en

la cuarta etapa se mostrará que la transformada de Gelfand es una isometría.

La demostración del isomorfismo consta de dos etapas, la sobreyectividad y la inyectavidad

de la transformada de Gelfand teniendo en cuenta que la transformada de Gelfand es un

homomorfismo. La demostración que requiere muchos resultados matemáticos es la etapa de

la sobreyectividad.

Este trabajo es destinado principalmente a los que poseen gran familiaridad con el análisis

funcional, y algunas nociones básicas de Topología General y conocimientos de los principales

resultados de Análisis Complejo como el Teorema de Liouville, homomorfismos complejos y

otros.

5

En el capítulo 2 se verá las principales definiciones y resultados de álgebras de Banach

junto con algunos ejemplos generalmente más utilizados. Luego se verá una introducción al

estudio de los homomorfismos complejos. Además de eso se estudiará los elementos regulares

y singulares en un álgebra de Banach. En el capítulo 2, se verá una sección destinada a la

teoría espectral en álgebras de Banach, que posee resultados bastante enriquecedores, como el

Teorema de Gelfand-Mazur, y el Teorema de la Fórmula de Radio Espectral.

En el capítulo 3 se abordará el estudio a las álgebras de Banach conmutativas. Haciendo

un breve estudio sobre lo que son Ideales y el álgebra cociente. En este capítulo se continuará

estudiando los homomorfismos complejos en este caso en las álgebras cociente. También se

verá la Teoría de Gelfand y sus principales resultados.

En el capítulo 4 se abordará el estudio de las C∗− álgebras. Introduciendo el capítulo con

la teoría de involuciones. Se verá las distintas clases de elementos en un C∗− álgebra y muchos

resultados. Para la sección 4.4, en donde se demuestra el Teorema de Gelfand-Naimark, se

aconseja al lector estar familiarizado o al menos leer el Teorema de Stone-Weiertrass que se

encuentra en el apéndice de este trabajo.

2ÁLGEBRAS DE BANACH

2.1. Introducción

En este capítulo se estudiará las definiciones y principales resultados en álgebras de Banach

que formarán la base fundamental para los siguientes capítulos. Se considerarán álgebras sobre

el campo complejo C, hay varias razones para restringir nuestra atención a álgebras de Banach

sobre el campo complejo, a pesar de las álgebras de Banach reales; una de las razones es que

las funciones holomorfas juegan un papel importante en los fundamentos del análisis funcional,

estos serán observados en el Teorema 2.5.1 y se hace aún más evidente en el cálculo simbólico.

En este capítulo se demostrará un resultado clave que es el Teorema Gelfand-Mazur, que

será fundamental en teorías posteriores.

Definición 2.1.1. Un álgebra compleja A (o simplemente álgebra) es un C−espacio vectorial

dotado de un producto algebraico · : A × A → A para el cual dados x, y, z ∈ A y α ∈ C se

cumplen las siguientes propiedades:

1. (xy)z = x(yz)

2. x(y + z) = xy+ xz

3. (x+ y)z = xz + yz

4. (αx)y = α(xy) = x(αy)

Definición 2.1.2. Un álgebra con unidad, es un álgebra A, que satisface la propiedad: existe

un elemento diferente de cero en el álgebra A, denotado por e y llamado elemento identidad,

tal que:

ex = xe = x, para todo x ∈ A (2.1)

Definición 2.1.3. V es un espacio vectorial normado si existe una función ‖ ‖ : V → R que

cumple:

6

2.1. INTRODUCCIÓN 7

1. ‖x‖ > 0

2. ‖x‖ = 0 si y solo si x = 0

3. ‖x+ y‖ 6 ‖x‖ + ‖y‖

4. ‖λx‖ = |λ| ‖x‖

para cada x, y ∈ V y λ ∈ C.

Definición 2.1.4. Se dice que A es un álgebra normada si existe una función ‖ ‖ : A → R

que cumple las mismas propiedades de un espacio vectorial normado, y además la desigualdad

multiplicativa.

1. ‖xy‖ 6 ‖x‖ ‖y‖ 2. ‖e‖ = 1

para cada x, y ∈ A y e ∈ A.

Nota.- A veces la propiedad 2. es excluida. Un álgebra normada que satisface esta propiedad es llamada unital.

Definición 2.1.5. Un espacio vectorial normado V es completo si cada sucesión de Cauchy

en V converge a un elemento de V. Estos espacios se llaman espacios de Banach.

Definición 2.1.6. Se dice que A es un álgebra de Banach, si es un espacio de Banach que

además es un álgebra compleja con unidad e, y en donde la estructura multiplicativa está

relacionada con la norma por:

(i) ‖xy‖ 6 ‖x‖ ‖y‖, para todo x, y ∈ A

(ii) ‖e‖ = 1, para e ∈ A.

Equivalentemente se dice que un álgebra de Banach es un espacio de Banach que además

es un álgebra normada con unidad.

Está claro que existe a lo mucho un e ∈ A que satisface (2.1). En efecto, si existiese algún

e ′ ∈ A que satisfaga (2.1), entonces e ′ = e ′e = e.

En la definición de un álgebra de Banach se cumple ‖e‖ = 1 cuando el álgebra tiene unidad.

Supóngase que B verifica las condiciones de un álgebra de Banach, pero no tiene elemento

unidad. Sea B1 el conjunto de todos los pares ordenados (α, b), donde α ∈ C y b ∈ B.

Es decir:

B1 ={(α, b) : α ∈ C, b ∈ B

}

Definiendo las operaciones en B1 por:

(α, b) + (β, c) := (α+ β, b+ c),

(α, b) · (β, c) := (αβ, αc+ βb+ bc)

y ‖(α, b)‖ := |α|+ ‖b‖,


para todo b, c ∈ B y α, β ∈ C.

Entonces B1 es un álgebra de Banach con unidad.

Veamos que B1 es un álgebra compleja.

Sean x, y, z ∈ B1 y λ ∈ C

x = (α, b), y = (β, c), z = (γ, d) con α, β, γ ∈ C y b, c, d ∈ B

1.

(xy)z =((α, b)(β, c)

)(γ, d)

= (αβ, αc+ βb+ bc)(γ, d)

=(αβγ, αβd+ γ(αc+ βb+ cd) + (αc+ βb+ bc)d

)

= (αβγ, αβd+ γαc+ γβb+ γbc+ αcd+ βbd+ bcd)

= (αβγ, αβd+ αγc+ αcd+ βγb+ bβd+ bγc+ bcd)

=(αβγ, α(βd+ γc+ cd) + βγb+ b(βd+ γc+ cd)

)

= (α, b)(βγ, βd+ γc+ cd)

= (α, b)((β, c)(γ, d)

)

= x(yz),

luego (xy)z = x(yz).

2.

x(y + z) = (α, b)((β, c) + (γ, d)

)

= (α, b)(β+ γ, c+ d)

=(α(β+ γ), α(c+ d) + (β+ γ)b+ b(c+ d)

)

= (αβ+ αγ, αc+ αd+ βb+ γb+ bc+ bd)

= (αβ+ αγ, αc+ βb+ bc+ αd+ γb+ bd)

= (αβ, αc+ βd+ bc) + (αγ, αd+ γb+ bd)

= (α, b)(β, c) + (α, b)(γ, d)

= xy + xz,

luego x(y+ z) = xy + xz.


3.

(x+ y)z =((α, b) + (β, c)

)(γ, d)

= (α+ β, b+ c)(γ, d)

=((α+ β)γ, (α+ β)d+ γ(b+ c) + (b+ c)d

)

= (αγ+ βγ, αd+ βd + γb+ γc+ bd+ cd)

= (αγ, αd+ γb+ bd) + (βγ, βd+ γc+ cd)

= (α, b)(γ, d) + (β, c)(γ, d)

= xz + yz,

luego (x+ y)z = xz + yz.

4.

(λx)y =(λ(α, b)

)(β, c)

= (λα, λb)(β, c)

= (λαβ, λαc+ λβb+ λbc)

= (αλβ, αλc+ λβb+ λbc)

= (α, b)(λβ, λc)

= (α, b)(λ(β, c)

)

= x(λy),

por otro lado,

λ(xy) = λ((α, b)(β, c)

)

= λ(αβ, αc+ βb+ bc)

= (λαβ, λαc+ λβc+ λbc)

= (λαβ, λαc+ βλb+ λbc)

= (λα, λb)(β, c)

=(λ(α, b)

)(β, c)

= (λx)y,

luego (λx)y = λ(xy) = x(λy).

Por tanto B1 es un álgebra compleja.


Falta ver la estructura multiplicativa, es decir, (i) ‖xy‖ 6 ‖x‖ ‖y‖ y (ii) ‖e‖ = 1.

Sean x, y ∈ B1, x = (α, b), y = (β, c), α, β ∈ C y b, c ∈ B.

(i)

‖xy‖ = ‖(α, b)(β, c)‖

= ‖(αβ, αc+ βb+ bc)‖

= |αβ|+ ‖αc+ βb+ bc‖

6 |α| |β|+ ‖αc‖+ ‖βb‖+ ‖bc‖

= |α| |β|+ |α| ‖c‖+ |β| ‖b‖+ ‖b‖ ‖c‖

= (|α|+ ‖b‖)(|β|+ ‖c‖)

= ‖(α, b)‖ ‖(β, c)‖

= ‖x‖ ‖y‖,

luego ‖xy‖ 6 ‖x‖ ‖y‖.

(ii) Sea e = (1, 0), entonces para todo x = (α, b) ∈ B1

ex = (1, 0)(α, b)

= (1 · α, 1 · b+ 0 · α+ 0 · b)

= (α, b)

= x.

De forma análoga se obtiene xe = x, además

‖e‖ = ‖(1, 0)‖ = |1| + ‖0‖ = 1 .

Por lo tanto B1 así definida es un álgebra de Banach con unidad (1, 0). Además la aplicación

x 7→ (0, x) es un isomorfismo isométrico de B sobre un subespacio de B1.

Este resultado nos permite en la mayoría de los casos trabajar con álgebras con unidad.

Proposición 2.1.1. La multiplicación en un álgebra de Banach es continua.

Demostración. Sea A un álgebra de Banach, en A supongamos que xn → x y yn → y

veamos que xnyn → xy. Como xn → x en A, entonces dado ǫ1 > 0, existe n1 ∈ N tal que

n > n1 ⇒ ‖xn − x‖ < ǫ1.

De la misma manera si yn → y en A, entonces, dado ǫ2 > 0, existe n2 ∈ N tal que


n > n2 ⇒ ‖yn − y‖ < ǫ2.

Veamos lo siguiente:

‖xnyn − xy‖ = ‖xn(yn − y) + (xn − x)y‖

6 ‖xn‖ ‖yn − y‖+ ‖xn − x‖ ‖y‖

La desigualdad anterior es una consecuencia directa de la desigualdad triangular. Además

como xn es convergente, entonces está acotada, es decir, ‖xn‖ 6 c, donde c es un número

positivo, luego podemos controlar ‖yn − y‖ tomando por ejemplo ǫ2 = ǫ/2c, pues yn es

convergente. Así mismo podemos controlar ‖xn − x‖ tomando por ejemplo ǫ1 = ǫ/2c, pues

xn es convergente, y por último ‖y‖ es una constante que es menor o igual que c con lo que

finalmente se concluye que

‖xnyn − xy‖ < c · (ǫ/2c) + (ǫ/2c) · c = ǫ

luego la multiplicación en A es continua.

Proposición 2.1.2. Si A es un álgebra de Banach con unidad e. Entonces existe una norma

||| · ||| en A, equivalente a la norma original, tal que (A, ||| · |||) es un álgebra de Banach con

unidad |||e||| = 1.

Demostración. Para cada x ∈ A, si Lx denota el operador lineal Lx : A→ A tal que

Lx(y) = xy, y ∈ A.

Si Lx = Lx ′ se sigue que Lxe = Lx ′e, entonces x = x ′. De ahí x 7→ Lx es una aplicación

inyectiva de A en el conjunto de operadores lineales en A.

Ahora,

‖Lx(y)‖ = ‖xy‖ 6 ‖x‖ ‖y‖, para y ∈ A

que implica que Lx es acotado, y ‖Lx‖ 6 ‖x‖. Se define |||x||| = ‖Lx‖. Entonces,

|||x||| 6 ‖x‖, para cualquier x ∈ A.

Por otro lado:

|||x||| = ‖Lx‖

= sup{‖Lx(y)‖ : ‖y‖ 6 1

}

= sup{‖xy‖ : ‖y‖ 6 1

}

> ‖xy ′‖, donde y ′ =e

‖e‖

=‖x‖

‖e‖.

2.2. EJEMPLOS DE ÁLGEBRAS DE BANACH 12

De ahí, ‖x‖/‖e‖ 6 |||x||| 6 ‖x‖, para todo x ∈ A, que muestran que las dos normas ||| · ||| y ‖ · ‖

son equivalentes.

Además, para cualquier x, y ∈ A.

|||xy||| = ‖Lxy‖

= ‖LxLy‖

6 ‖Lx‖ ‖Ly‖

= |||x||| |||y||| .

Además |||e||| = ‖Le‖ = 1.

Así, A con la norma ||| · ||| es un álgebra de Banach.

2.2. Ejemplos de álgebras de Banach

En esta sección se menciona algunos ejemplos de álgebras de Banach, en donde todos estos

espacios son espacios de Banach. En cada caso se muestra la operación producto y el elemento

unidad.

Ejemplo 2.2.1. Sea X un espacio topológico compacto. Se define

C(X) :={f : X→ C; f continua

}

con las operaciones clásicas de adición y multiplicación por escalar, C(X) es un espacio de

Banach con la norma definida por

‖ · ‖ : C(X) → R

f 7→ supx∈X

∣∣f(x)∣∣ .

Se define en C(X) la siguiente operación:

(f · g

)(x) = f(x) · g(x)

que está bien definida con lo que C(X) es un álgebra compleja, que posee la unidad 1 ∈ C(X)

donde 1(x) = 1 para todo x ∈ X. Como

‖f · g‖ = supx∈X

∣∣f(x)g(x)∣∣

= supx∈X

|f(x)| · |g(x)|

6 supx∈X

|f(x)| · supx∈X

|g(x)|

= ‖f‖ · ‖g‖.

2.2. EJEMPLOS DE ÁLGEBRAS DE BANACH 13

Y además ‖1‖ = 1.

Por tanto C(X) es un álgebra de Banach.

Ejemplo 2.2.2. Sea B un espacio de Banach, entonces el conjunto β(B) de todos los opera-

dores en B, es decir, lineales y continuos, es un álgebra de Banach, con la norma usual.

En efecto, el Teorema de Completitud según (Corach & Andruchov, 1997) afirma que si B

es un espacio normado con B 6= 0, entonces el espacio β(B) es un espacio de Banach si y solo

si B es un espacio de Banach.

Por el teorema de completitud β(B) es un espacio de Banach. β(B) es un álgebra compleja

con identidad ya que cumple con los axiomas de un espacio vectorial y el operador identidad

(I(x) = x) es continuo y lineal.

Falta ver la estructura multiplicativa, es decir: (i) ‖TS‖ 6 ‖T‖ ‖S‖ y (ii) ‖I‖ = 1, donde

T y S son operadores en β(B), I es el operador identidad en β(B).

‖T‖ = sup{‖T(x)‖ : ‖x‖ 6 1

}.

Veamos,

(i)

‖TS‖ = sup{‖(TS)(x)‖ : ‖x‖ 6 1

}

= sup{‖T(S(x))‖ : ‖x‖ 6 1

}

6 sup{‖T‖ ‖S(x)‖ : ‖x‖ 6 1

}

= ‖T‖ sup{‖S(x)‖ : ‖x‖ 6 1

}

= ‖T‖ ‖S‖,

(ii)

‖I‖ = sup{‖I(x)‖ : ‖x‖ 6 1

}

= sup{‖x‖ : ‖x‖ 6 1

}

= 1 .

Así, β(B) es un álgebra de Banach.

Ejemplo 2.2.3. Sea C(K) el espacio de Banach de todas las funciones complejas continuas

en un espacio no vacío de Hausdorff compacto K, con la norma del supremo. Se define la

multiplicación en la forma habitual: (fg)(p) = f(p)g(p). Esto hace que C(K) sea un álgebra

de Banach, la función constante 1 es el elemento unidad. Si K es un conjunto finito, que

consiste de n puntos, entonces C(K) es simplemente Cn. En particular, cuando n = 1, se

obtiene la más simple álgebra de Banach, a saber C con el valor absoluto como norma.

2.3. HOMOMORFISMOS COMPLEJOS 14

Ejemplo 2.2.4. L1(R) =

{

f : R → C tal que∫

R

|f| <∞

}

el producto en este espacio se lla-

mará convolución y se denotará por ∗. Se define de la siguiente manera:

(f ∗ g)(s) =

∫

R

f(s− t)g(t)dt .

La operación es simétrica, asociativa y distributiva con respecto a la suma.

Veamos la estructura multiplicativa.

‖f ∗ g‖L ′ =

∫

R

|(f ∗ g)(s)|ds

=

∫

R

∣∣∣∣∫

R

f(s− t)g(t)dt

∣∣∣∣ ds

6

∫

R

∫

R

|f(s− t)g(t)|dt ds

=

∫

R

∫

R

|f(s− t)| |g(t)|dsdt

=

∫

R

|g(t)|

∫

R

|f(s− t)|dsdt

=

∫

R

|g(t)| ‖f‖L ′dt

= ‖g‖L ′‖f‖L ′ .

Por lo que L1(R) es un álgebra de Banach.

2.3. Homomorfismos complejos

Esta sección está dedicado al estudio de los homomorfismos complejos y a los elementos in-

versibles en un álgebra de Banach. Dichos conceptos serán fundamentales en lo que sigue. Se

mostrarán importantes propiedades sobre lo que son los homomorfismos complejos y elementos

inversibles en un álgebra de Banach.

Definición 2.3.1. Sea A un álgebra compleja y φ : A→ C una funcional lineal en A que no

es identicamente 0. Si

φ(xy) = φ(x)φ(y)

para todo x ∈ A e y ∈ A, entonces φ se llama un homomorfismo complejo en A.

Definición 2.3.2. Un elemento x ∈ A se dice que es inversible si tiene una inversa en A, es

decir, si existe un elemento x−1 ∈ A tal que:

x−1x = xx−1 = e


donde e es el elemento unidad de A.

No existe x ∈ A que tenga más de una inversa, ya que yx = e = xz, entonces

y = ye = y(xz) = (yx)z = ez = z .

Lema 2.3.1. Sea A un álgebra de Banach, x ∈ A y ‖x− 1‖ < 1, entonces x es inversible.

Demostración. La serie∞∑

i=0

(1− x)i converge (es de Cauchy por la hipótesis) y además

∞∑

i=0

(1− x)i − x

∞∑

i=0

(1− x)i = (1− x)

∞∑

i=0

(1− x)i

= lımn→∞

n∑

i=0

(1− x)(1− x)i

= lımn→∞

n∑

i=1

(1− x)i

=

∞∑

i=0

(1− x)i − 1

entonces x∞∑

i=0

(1− x)i = 1 y análogamente

(∞∑

i=0

(1− x)ix = 1

).

Luego∞∑

i=0

(1− x)i es inversa de x.

Además se puede acotar ‖x−1‖ 61

1− ‖x − 1‖, pues

‖x−1‖ = lımn→∞

∥∥∥∥∥n∑

i=0

(1− x)i

∥∥∥∥∥

6 lımn→∞

n∑

i=0

‖1− x‖i

=1

1− ‖1− x‖.

Lema 2.3.2. En un álgebra de Banach A, si x, y ∈ A, x es inversible y ‖x − y‖ <1

‖x−1‖;

entonces y es inversible.

Demostración. Si x es inversible y ‖x− y‖ <1

‖x−1‖, entonces

‖1− x−1y‖ = ‖x−1(x− y)‖ 6 ‖x−1‖ ‖x− y‖ < 1

entonces por el lema 2.3.1 x−1y es inversible con lo cual y tiene que ser inversible.


Proposición 2.3.1. Si φ es un homomorfismo complejo en un álgebra compleja A con unidad

e, entonces φ(e) = 1 y φ(x) 6= 0 para cada x ∈ A inversible.

Demostración. Para algunos y ∈ A, φ(y) 6= 0

φ(y) = φ(ye) = φ(y)φ(e)

resulta que φ(e) = 1.

Si x es inversible, entonces

φ(x)φ(x−1) = φ(xx−1) = φ(e) = 1

luego φ(x) 6= 0.

Teorema 2.3.1. Sea A un álgebra de Banach con unidad, x ∈ A y ‖x‖ < 1, entonces:

(a) e− x es inversible

(b) ‖(e− x)−1 − e− x‖ 6‖x‖2

1− ‖x‖

(c) |φ(x)| < 1 para cada homomorfismo complejo φ en A.

Demostración. (a) Como ‖x‖ < 1, los elementos

sn = e+ x + x2 + · · ·+ xn

forman una sucesión de Cauchy en A, como A es completo, existe s ∈ A tal que sn → s,

además xn → 0 y

sn(e− x) = sn − snx = e+ x + x2 + · · ·− x− x2 − x3 − · · ·− xn+1 = e− xn+1

de forma similar (e− x)sn = e− xn+1, luego sn(e− x) = e− xn+1 = (e− x)sn.

Si sn(e− x) = e− xn+1 y aplicando el límite cuando n→ ∞, se tiene

lımn→∞

sn(e− x) = lımn→∞

(e− xn+1)

(lımn→∞

sn

)(e− x) = lım

n→∞e− lım

n→∞xn+1

s(e − x) = e− 0

s(e − x) = e

la continuidad de la multiplicación implica que s es la inversa de e− x.

2.4. ELEMENTOS REGULARES Y SINGULARES 17

(b)

‖(e− x)−1 − e− x‖ = ‖s− e− x‖

=

∥∥∥∥∥∞∑

n=0

xn − e− x

∥∥∥∥∥

=

∥∥∥∥∥∞∑

n=2

xn

∥∥∥∥∥

6

∞∑

n=2

‖x‖n + ‖e‖+ ‖x‖ − ‖e‖− ‖x‖, pues ‖xn‖ 6 ‖x‖n

=

∞∑

n=0

‖x‖n − ‖e‖− ‖x‖

=1

1− ‖x‖− (1+ ‖x‖)

=1− (1+ ‖x‖)(1− ‖x‖)

1− ‖x‖

=1− (1− ‖x‖2)

1− ‖x‖

=‖x‖2

1− ‖x‖.

(c) Sea λ ∈ C, |λ| > 1, luego ‖λ−1x‖ < 1 por (a) se tiene que e − λ−1x es inversible, por la

Proposición 2.3.1 con e− λ−1x inversible, se tiene que:

1− λ−1φ(x) = φ(e− λ−1x) 6= 0

de ahí φ(x) 6= λ, luego |φ(x)| < 1.

Las partes (a) y (c) del teorema anterior son quizá los más ampliamente utilizados en la

teoría de álgebras de Banach, (c) implica que todo homomorfismo complejo de álgebras de

Banach son continuas.

2.4. Elementos regulares y singulares

Definición 2.4.1. Sea A un álgebra de Banach con elemento unidad y x ∈ A. Si x tiene

inverso en A, se dice que x es regular en caso contrario x es singular.

Definición 2.4.2. Sea A un álgebra de Banach, se denotará por G = G(A) el conjunto de los

elementos regulares de A.

2.5. ESPECTRO DE UN ELEMENTO 18

Sea G el conjunto de los elementos regulares de A, entonces la aplicación G → G tal que

x 7→ x−1 es continua, en efecto,

‖x−1 − a−1‖ = ‖x−1(a− x)a−1‖ 6 ‖x−1‖ ‖a− x‖ ‖a−1‖

además x = a− b = a(1− a−1b) donde b = a− x, así que si ‖b‖ < ‖a−1‖−1 entonces

x−1 = (1− a−1b)−1a−1,

la existencia de (1− a−1b)−1 está asegurada por ‖b‖ < ‖a−1‖−1, mas aún

‖x−1‖ 6∥∥(1− a−1b)−1

∥∥ ∥∥a−1∥∥ 6

(1− ‖a−1‖ ‖b‖

)−1‖a−1‖

con esto queda establecido que ‖x−1 − a−1‖ es arbitrariamente pequeño cuando ‖x − a‖ es

suficientemente pequeño.

Proposición 2.4.1. El conjunto G(A) de los elementos regulares en A es abierto.

Demostración. Si x ∈ G(A), h ∈ A y ‖x− h‖ <1

‖x−1‖, entonces

1 > ‖x−1‖ ‖x− h‖ > ‖1− x−1h‖

luego x−1h está en G(A), de ahí h = x(x−1h) está en G(A), entonces la bola de radio 1/‖x−1‖

con centro en x está contenida en G(A).

2.5. Espectro de un elemento

Esta sección está dedicado al estudio del espectro y el radio espectral de un elemento en un

álgebra de Banach. Se demostrarán varios resultados. El Teorema que destaca en esta sección

es el Teorema de Gelfand - Mazur que básicamente relaciona un álgebra de Banach y el álgebra

compleja, dicho Teorema será fundamental para la demostración del Teorema 3.4.1.

Definición 2.5.1. Sea x un elemento de un álgebra de Banach A, se define el espectro de x,

por el siguiente subconjunto del plano complejo

σ(x) ={λ : x − λe es singular

}.

El complemento de σ(x) es el conjunto resolvente de x que consiste de todos los λ ∈ C para

los que x− λe es regular.

Proposición 2.5.1. Si A es un álgebra de Banach, para λ ∈ σ(x) se tiene |λ| 6 ‖x‖.


Demostración. Supongamos que |λ| > ‖x‖, luego∥∥∥xλ

∥∥∥ < 1 lo cual aseguraría que

x − λe = −λ(e−

x

λ

)

es regular, contraria a la hipótesis. Por tanto |λ| 6 ‖x‖.

Sea A un álgebra de Banach, entonces σ(xn) =(σ(x)

)npara todo x ∈ A.

En efecto, dado un número complejo se consideran sus n raíces n−ésimas λ1, λ2, . . . , λn,

entonces

xn − λe = (x− λ1e)(x− λ2e) · · · (x− λne) .

De manera que xn−λe es singular si y solo si x−λie es singular para algún i, de donde resulta

la identidad propuesta. Más generalmente se tiene σ(p(x)

)= p

(σ(x)

)para todo polinomio p

con coeficientes complejos, es decir µ pertenece a σ(p(x)

)si y solo si µ es de la forma µ = p(λ)

para algún λ ∈ σ(x). En efecto, sea λ ∈ σ(x). Consideramos el siguiente polinomio q en la

indeterminada t, q(t) = p(t) − p(λ).

Como q(λ) = 0, entonces q es de la forma

q(t) = α(t− λ)(t− λ1) · · · (t− λn)

donde α, λ1, λ2, . . . , λn ∈ C.

Por hipótesis x − λe es singular, por consiguiente

q(x) = α(x− λe)(x− λ1e) · · · (x − λne) = p(x) − p(λ)e

es singular, es decir, p(λ) ∈ σ(p(x)

).

Recíprocamente, sea µ ∈ σ(p(x)

).

Considerando el polinomio q(t) = p(t) − µ en la indeterminada t y denotando por

C1,C2, . . . ,Cm sus raíces, entonces

p(x) − µ = q(x) = β(x − C1e)(x− C2e) · · · (x− Cme) para algún β ∈ C

y por consiguiente existe λi, 1 6 i 6 m, tal que x− Cie es singular, esto es, µ de la forma

µ = p(Ci) con Ci ∈ σ(x) .

Definición 2.5.2. Sea A un álgebra de Banach y x ∈ A. Se define el radio espectral ρ(x) de

x mediante la fórmula

ρ(x) = sup{|λ| : λ ∈ σ(x)

}.

En virtud de la Proposición 2.5.1, si A es un álgebra de Banach, ρ(x) 6 ‖x‖ para todo x ∈ A.


Teorema 2.5.1. Para todo elemento x de un álgebra de Banach A con elemento unidad se

tiene:

(i) σ(x) es un subconjunto compacto y no vacío.

(ii) El radio espectral ρ(x) satisface

ρ(x) = lımn→∞

‖xn‖1/n .

Demostración. (i) σ(x) es compacto, debido a que está acotado por ‖x‖ y es cerrado, pues

el conjunto de los elementos regulares es abierto en A.

Ahora supongamos que σ(x) fuera vacío, en este caso x − λe sería regular para todo

λ ∈ C.

Sea L una forma lineal acotada sobre A, se define

f(λ) = L((x − λe)−1

).

Esta es una función compleja de variable compleja analítica en todo punto del plano.

Para ver que f es analítica se verifica quedf

dλ= L

((x − λe)−2

)haciendo uso de la

continuidad de la inversa de x. Además lım|λ|→∞ f(λ) = 0, así por el Teorema de Liouville

f es idénticamente igual a 0. En particular 0 = f(0) = L(x−1). Esto es absurdo puesto

que existe una forma lineal acotada L sobre A tal que L(x−1) 6= 0. Por consiguiente

σ(x) es no vacío.

(ii) Supongamos que λ ∈ σ(x). Entonces λn ∈ σ(xn) por lo tanto |λn| 6 ‖xn‖.

Esto demuestra que ρ(x) 6 lım ınf ‖xn‖1/n.

Falta demostrar que ρ(x) > lım sup ‖xn‖1/n.

Para cada forma lineal acotada L sobre A se define de nuevo

f(λ) = L((x − λe)−1

)

esta función es analítica en C\σ(x). Por otra parte si |λ| > ‖x‖, esto es si∥∥∥xλ

∥∥∥ < 1,

entonces

(x− λe)−1 = −1

λ−

∞∑

n=1

xn

λn+1, de donde f(λ) = −

L(1)

λ−

∞∑

n=1

L(xn)

λn+1.

Pero{λ : |λ| > ρ(x)

}⊂ C\σ(x), por consiguiente la serie que representa a f(λ) para

|λ| > ‖x‖ también la representa para |λ| > ρ(x). En particular la sucesión

{L(xn)

λn+1

}

es

acotada para cualquier L que se haya tomado. Por el Teorema de Banach-Steinhaus se


deduce que la sucesión

{xn

λn+1

}

es también acotada para todo λ tal que |λ| > ρ(x). Se ha

demostrado que si |λ| > ρ(x), entonces existe una constante K tal que ‖xn‖ 6 Kλn+1 para

todo n. Se concluye que lım sup ‖xn‖1/n 6 ρ(x). Por lo tanto ρ(x) = lımn→∞ ‖xn‖1/n .

Teorema 2.5.2 (Gelfand - Mazur). Si A es un álgebra de Banach y además es un álgebra de

división, entonces A es isométricamente isomorfa al álgebra C de los números complejos.

Demostración. Dado x ∈ A, por el teorema anterior σ(x) es no vacío. Si λx ∈ σ(x), por

definición x− λxe es singular. Ya que A es un álgebra de división, se tiene que x− λxe = 0 de

ahí x = λxe, además para λ 6= λx se tiene x− λe = λxe− λe que es regular. Así, σ(x) consiste

de exactamente de un número complejo λx para cada x en A.

La aplicación ψ : A→ C definida por x 7→ ψ(x) = λx es un isomorfismo.

En efecto, sean x, y ∈ A y α ∈ C

(i)

λxe = x

αλxe = αx, α ∈ C

αλxe = λαxe

αλx = λαx

αψ(x) = ψ(αx) .

(ii)

λx+ye = x+ y

(λx + λy)e = λx+ye

λx + λy = λx+y

ψ(x) +ψ(y) = ψ(x+ y) .

(iii)

λxye = xy

⇒ λxλye = λxye

λxλy = λxy

ψ(x)ψ(y) = ψ(xy) .

luego ψ es un homomorfismo.


Inyectividad. Sean x, y ∈ A.

Si ψ(x) = ψ(y) ⇒ λx = λy ⇒ λxe = λye⇒ x = y.

Sobreyectividad. ∀λ ∈ C, ∃x ∈ A.

Sea x = λe, entonces ψ(x) = ψ(λe) = λψ(e) = λ · 1 = λ.

Luego ψ(x) = λ.

Por tanto ψ : A→ C definido por ψ(x) = λx es un isomorfismo, que también es una isometría,

ya que ‖λx‖ = ‖λxe‖ = ‖x‖ para cada x ∈ A.

3ÁLGEBRAS DE BANACH CONMUTATIVAS

Este capítulo está dedicado al estudio de las álgebras de Banach conmutativas. Se verá que

hay una correspondencia biunívoca entre ideales maximales y caracteres. Siempre el núcleo de

un carácter es un ideal maximal, puesto que si h(x) 6= 0, x ∈ A y h ∈ ∆; entonces e − xh(x)

pertenece al núcleo de h, y e =(e − x

h(x)

)+ e

h(x)x. Además, como los caracteres son en

particular funciones lineales, su núcleo es un ideal maximal.

Teniendo un ideal propio cerrado, se construirá el espacio cociente y con esto la función

cociente provista de una estructura de espacio normado. También se tratará el estudio de las

transformadas de Gelfand.

3.1. Ideales

Definición 3.1.1. Un álgebra de Banach conmutativa es un álgebra de Banach A que cumple:

xy = yx, para todo x, y ∈ A.

Definición 3.1.2. Un subconjunto J de un álgebra compleja conmutativa A es un ideal si

(a) J es un subespacio vectorial de A

(b) xy ∈ J para todo x ∈ A, y ∈ J.

Un ideal J se llama propio si J 6= A.

Si A tiene elemento unidad e, J es un ideal propio de A si y solo si e /∈ J.

Definición 3.1.3. Un ideal maximal de A es un ideal propio de A que no está contenido en

ningún ideal distinto de sí mismo. Es decir, un ideal M en un álgebra de Banach conmutativa

A se llama maximal si M 6= A y si J es cualquier ideal tal que M ⊂ J ⊂ A, entonces M = J

o J = A.

23

3.1. IDEALES 24

Definición 3.1.4. Una subálgebra de Banach de un álgebra de Banach A es una subálgebra

cerrada de A que contiene la unidad.

Proposición 3.1.1. Ningún ideal propio de A contiene elementos inversibles de A.

Demostración. Sea J un ideal propio de A y x ∈ A, con x inversible. Supongamos que x ∈ J,

entonces xx−1 = e ∈ J (⇒⇐).

Por tanto un ideal propio no contiene elementos inversibles.

Proposición 3.1.2. Si J es un ideal de A, entonces J (la clausura métrica) es también un

ideal de A.

Demostración. Dado x ∈ J, existe una sucesión (xn)n∈N ⊂ J tal que x = lımn→∞ xn, entonces

ax = lımn→∞ axn ∈ J, ∀a ∈ A.

Por otra parte, como la clausura de un subespacio es un subespacio, solo basta ver que

J 6= A.

Dado a ∈ J, ‖e − a‖ > 1, pues sino, a sería inversible y entonces ‖e − b‖ > 1, ∀b ∈ J,

entonces e /∈ J.

Para la demostración del siguiente Teorema, se utiliza el Lema de Zorn, que indica: todo

conjunto ordenado no vacío e inductivo tiene un elemento maximal.

Teorema 3.1.1. Si A es un álgebra de Banach conmutativa con unidad, entonces todo ideal

propio de A está contenido en un ideal maximal de A.

Demostración. Sea J un ideal propio de A. Sea X el conjunto de los ideales propios de A que

contienen a J, ordenado por inclusión. Como X no es vacío (J es un elemento suyo), al ver que

es inductivo el lema de Zorn nos dirá que X posee un elemento maximal, que claramente será

el ideal postulado en el enunciado. Sea pues {It}t∈T una cadena de X, y sea I =⋃

t∈T It, se

demostrará que I está en X, lo que acabará la demostración ya que I es claramente una cota

superior del conjunto {It}t∈T . Se trata pues de ver que I es un ideal propio de A que contiene

a J. Es obvio que I contiene a J, y también es claro que e /∈ I pues los It son ideales propios.

Solo queda ver que I es un ideal.

Claramente I 6= φ, y si a, a ′ ∈ I, entonces existen t, t ′ ∈ T tales que a ∈ It y a ′ ∈ It ′.

Como {It}t∈T está linealmente ordenado, podemos suponer que It ′ ⊂ It y entonces cualquier

combinación lineal de a y a ′ está en It y por lo tanto en I. Esto prueba que I es un ideal y

termina la demostración.

Teorema 3.1.2. Sea A un álgebra de Banach conmutativo con unidad y J un ideal maximal

de A, entonces J es cerrado.

3.2. ÁLGEBRA COCIENTE 25

Demostración. Como J es un ideal maximal de A, entonces J no contiene elementos inversibles,

luego J 6= A.

Ya que J ⊆ A\G(A). Ahora, G(A) es abierto, luego A\G(A) es cerrado, entonces

J ⊆ J ⊆ A\G(A)

en particular J 6= A. J es un ideal que contiene a J, y J = J, ya que J es un ideal maximal.

Por lo tanto J es cerrado.

3.2. Álgebra cociente

La idea principal de esta sección es obtener a partir de un álgebra de Banach dada, otras

álgebras factorizando por ideales propios. La razón por la que no se trabaja con subálgebras

en lugar de ideales propios, es porque factorizando un álgebra por subálgebras ya no cumpliría

la estructura de un álgebra de Banach, es por esta razón que se trabaja con ideales propios

cerrados, que sea cerrado en el siguiente sentido: sea A un álgebra de Banach y J un ideal en

A, dado x ∈ A, si existe una sucesión (xn) en J tal que xn → x, entonces x ∈ J.

Sea A un álgebra de Banach conmutativo, J un ideal propio cerrado en A y π : A→ A/J

la función cociente, provista de una estructura de espacio normado para la norma

‖π(x)‖ = ınf{‖x + y‖ : y ∈ J

}.

Teorema 3.2.1. Si X es un espacio normado y V un subespacio cerrado de X, entonces el

espacio cociente X/V es un espacio normado con respecto a la norma cociente definido por:

‖π(x)‖ = ınf{‖x+ v‖ : v ∈ V

}.

Demostración. (i) Si π(x) = 0 en X/V, para x ∈ V y v = −x ∈ V, se tiene

‖π(x)‖ = ınf{‖x+ v‖ : v ∈ V

}= 0 .

Si ‖π(x)‖ = 0, entonces existe una sucesión {vn} en V tal que ‖x + vn‖ → 0 cuando

n→ ∞, luego −vn → x en X, ya que V es cerrado x ∈ V y π(x) = 0 en X/V.

Por lo tanto ‖π(x)‖ = 0 si y solo si π(x) = 0.

(ii) Para λ ∈ C, λ 6= 0 y x ∈ X se tiene

‖π(λx)‖ = ınf{‖λx+ v‖ : v ∈ V

}

= ınf{‖λx+ λv ′‖ : v ′ ∈ V

}

= |λ| ınf{‖x+ v ′‖ : v ′ ∈ V

}

= |λ| ‖π(x)‖ .

3.2. ÁLGEBRA COCIENTE 26

(iii) Para cualquier x, y ∈ X se tiene

‖π(x) + π(y)‖ = ınf{‖x + y + v‖ : v ∈ V

}

= ınf{‖x + y + v+w‖ : v,w ∈ V

}

6 ınf{‖x + v‖ + ‖y+w‖ : v,w ∈ V

}

= ‖π(x)‖+ ‖π(y)‖ .

Así el espacio cociente X/V es un espacio normado.

Teorema 3.2.2. Si X es un espacio de Banach y V es un subespacio cerrado de X, entonces

el espacio cociente X/V es un espacio de Banach.

Demostración. Sea {π(xn)}∞n=1 una sucesión de Cauchy en X/V, se puede extraer una subsu-

cesión {π(xnk)}∞k=1 de ella tal que

∥∥π(xnk) − π(xnk+1

)∥∥ =

∥∥π(xnk− xnk+1

)∥∥ < 1

2k.

Se construirá una sucesión de Cauchy en X de la siguiente manera: sea v1 = 0, por la definición

de la norma cociente existe v2 ∈ V tal que

∥∥xn1− xn2

+ v2∥∥ 6

∥∥π(xn1− xn2

)∥∥+ 1

2< 1 .

Se puede elegir v ∈ V tal que

∥∥xn2− xn3

+ v∥∥ 6

∥∥π(xn2− xn3

)∥∥+ 1

22,

si v3 = v2 − v se obtiene

∥∥(xn2+ v2) − (xn3

+ v3)∥∥ 6

∥∥π(xn2− xn3

)∥∥+ 1

22<1

2.

Continuando de esta manera se construye una sucesión {vn}∞n=1 ⊂ V tal que

∥∥(xnk+ vk) − (xnk+1

+ vk+1)∥∥ 6

∥∥π(xnk− xnk+1

)∥∥ + 1

2k<

1

2k−1.

Entonces {xnk+ vk}

∞n=1 es una sucesión de Cauchy en X, y como X es completo, converge a

algún punto x0 ∈ X.

Por otra parte, π(xnk) = π(xnk

+ vk) converge a π(x0). Como {π(xn)}∞n=1 es de Cauchy,

converge al mismo límite que su subsucesión y luego X/V es completo.

3.3. HOMOMORFISMOS 27

3.3. Homomorfismos

Teorema 3.3.1. Sea A un álgebra de Banach conmutativa, J un ideal propio cerrado en A y

π : A→ A/J la función cociente. Entonces A/J es un álgebra de Banach.

Demostración. De los Teoremas 3.2.1 y 3.2.2 se tiene que A/J es un espacio de Banach, para

completar la demostración solo falta mostrar que A/J es un álgebra compleja y la desigualdad

multiplicativa.

Definamos las operaciones en A/J por:

(i) π(x+ y) = π(x) + π(y)

(ii) π(αx) = απ(x)

(iii) π(xy) = π(x)π(y)

con x, y ∈ A y α ∈ C.

Sean π(x) = π(x ′) y π(y) = π(y ′) esto es x ′ − x ∈ J, y ′ − y ∈ J. Y las identidades:

Si x ′ + y ′ − (x+ y) = (x ′ − x) + (y ′ − y) ∈ J, entonces π(x ′ + y ′) = π(x+ y).

Si αx ′ − αx = α(x ′ − x) ∈ J, entonces π(αx ′) = π(αx).

Si x ′y ′ − xy = x ′y ′ − xy ′ + xy ′ − xy = (x ′ − x)y ′ + x(y ′ −y) ∈ J, entonces π(x ′y ′) = π(xy).

Por lo tanto las operaciones están bien definidas.

Con las operaciones definidas en A/J, A/J es un álgebra compleja.

Definamos la norma cociente por:

‖π(x)‖ = ınf{‖x + y‖ : y ∈ J

}.

Afirmación, ‖π(x)‖ 6 ‖x‖. En efecto

‖π(x)‖ = ınf{‖x+ y‖ : y ∈ J

}6 ‖x+ y‖; ∀y ∈ J,

en particular (puesto que J es un subespacio), tomando y = 0 resulta ‖π(x)‖ 6 ‖x‖, luego π

es continua.

Supongamos que xi ∈ A (i = 1, 2) y δ > 0, entonces

‖xi + yi‖ 6 ‖π(xi)‖+ δ, (i = 1, 2) (1)

para algún yi ∈ J, por la definición de la norma cociente, ya que (x1+y1)(x2+y2) ∈ x1x2+J,

3.3. HOMOMORFISMOS 28

se tiene

‖π(x1x2)‖ = ınf{‖x1x2 + y‖ : y ∈ J

}

6 ınf{‖x1x2 + x1y2 + y1x2 + y1y2‖ : y1, y2 ∈ J

}

= ınf{‖(x1 + y1)(x2 + y2)‖ : y1, y2 ∈ J

}

6 ınf{‖x1 + y1‖ ‖x2 + y2‖ : y1, y2 ∈ J

}

6 ‖x1 + y1‖ ‖x2 + y2‖

de manera que (1) implica la desigualdad multiplicativa.

‖π(x1)π(x2)‖ 6 ‖π(x1)‖ ‖π(x2)‖ (2)

Por último, si e es el elemento unidad de A, entonces π(x)π(e) = π(xe) = π(x), luego π(e)

es la unidad de A/J.

Si A es conmutativa y x ∈ A no pertenece a ningún ideal maximal de A, entonces x es

inversible, en efecto, xA = A, pues de otra manera J = xA contiene a x y está contenido en

un ideal maximal de A, lo cual es absurdo.

Ahora, para x ∈ A existen dos casos, el primero x ∈ J y el segundo x /∈ J.

Si x ∈ J, entonces π(x) = 0⇔ ‖π(x)‖ = 0.

Si x /∈ J, entonces x es inversible,

luego existe x−1 ∈ A tal que π(x)π(x−1) = π(xx−1) = π(e) = 1, entonces π(x) 6= 0 y como el

espacio cociente es un espacio normado, π(x) 6= 0⇔ ‖π(x)‖ 6= 0.

Luego por (2) se tiene:

‖π(x)π(e)‖ 6 ‖π(x)‖ ‖π(e)‖

‖π(x)‖ 6 ‖π(x)‖ ‖π(e)‖

⇒ ‖e‖ = 1 6 ‖π(e)‖ .

Por otro lado ‖π(x)‖ 6 ‖x‖, para cada x ∈ A (‖π(e)‖ 6 ‖e‖), por lo tanto ‖π(e)‖ = 1, luego

A/J es un álgebra de Banach.

Teorema 3.3.2. Sea f : A→ B un homomorfismo de álgebras y sea K ={r ∈ A/f(r) = 0B

}.

Entonces K es un ideal en el álgebra A.

Demostración. K 6= ∅, pues 0A ∈ K.

Si a, b ∈ K, entonces f(a− b) = f(a) − f(b) = 0B − 0B = 0B. Por tanto a− b ∈ K.

Si r ∈ A y a ∈ K⇒ f(ra) = f(r)f(a) = f(r) · 0B = 0B. Por tanto ra ∈ K.

3.4. EL ESPECTRO DE CARACTERES 29

De modo similar ar ∈ K. Por lo tanto K es un ideal en A.

El ideal del teorema anterior se llama núcleo del homomorfismo.

Teorema 3.3.3. Sea f : A→ B un homomorfismo de álgebras con núcleo K, entonces K = {0A}

si y solo si f es inyectiva.

Demostración. Suponiendo que K = {0A}. Sea f(a) = f(b), como f es homomorfismo

f(a− b) = f(a) − f(b) = 0B.

Por tanto a− b ∈ K = {0A}. Luego a− b = 0A, así a = b, entonces f es 1 − 1.

Recíprocamente, si f es 1 − 1. Sea c ∈ K ⇒ f(c) = 0B también f(0A) = 0B por tanto

f(c) = f(0A), como f es 1 − 1, entonces c = 0A. Por lo tanto K = {0A}.

Teorema 3.3.4. Sea I un ideal en el álgebra A. Entonces la aplicación π : A→ A/I dada por

π(r) = r+ I, r ∈ A es un homomorfismo sobreyectivo con (módulo) Núcleo I.

NOTA. π es llamado “homomorfismo natural” de A en A/I.

Demostración. π es sobreyectiva, ya que dada cualquier clase r+ I en A/I, π(r) = r+ I.

Además

π(r+ s) = (r+ s) + I = (r+ I) + (s+ I) = π(r) + π(s)

π(rs) = rs+ I = (r+ I)(s+ I) = π(r)π(s)

y

kerπ ={r ∈ A/π(r) = 0A + I

}

={r ∈ A/r+ I = 0A + I

}

={r ∈ A/r ≡ 0A (mod I)

}

={r ∈ A/r− 0A ∈ I

}

={r ∈ A/r ∈ I

}

= I. �

3.4. El espectro de caracteres

Definición 3.4.1. Si A es un álgebra de Banach conmutativa (es decir, el producto es con-

mutativo) se llamará espectro de A (ahora se denotará por ∆) al siguiente conjunto de A∗ (A∗

es el dual de A).

∆ ={h : A→ C es un homomorfismo de álgebras; h(e) = 1

}.

3.4. EL ESPECTRO DE CARACTERES 30

A sus elementos los denominamos caracteres.

La parte (a) del siguiente teorema es uno de los hechos fundamentales de este capítulo.

En el conjunto ∆ que aparece más adelante se dará una topología. El estudio de las álgebras

de Banach conmutativas, entonces en gran medida se deducirá al estudio de la más familiar

(y más especial) objeto, es decir, álgebras de funciones complejas continuas en ∆ con suma

y multiplicación puntuales. Sin embargo la definición 3.4.1 tiene interesantes consecuencias

concretas, incluso sin la introducción de esta topología.

Teorema 3.4.1. Si A es un álgebra de Banach conmutativo con unidad, y si ∆ es el conjunto

de todo homomorfismo complejo de A, entonces:

(a) Cada ideal maximal de A es el núcleo de algún h ∈ ∆.

(b) Si h ∈ ∆, el núcleo de h es un ideal maximal de A.

(c) Un elemento x ∈ A es inversible en A si y solo si h(x) 6= 0 para cada h ∈ ∆.

(d) Un elemento x ∈ A es inversible en A si y solo si x no radica en un ideal propio de A.

(e) λ ∈ σ(x) si y solo si h(x) = λ para algún h ∈ ∆.

Demostración. (a) Si M es un ideal maximal de A. Entonces M es cerrado (Teorema 3.1.2)

y A/M es por consiguiente un álgebra de Banach. Escogiendo x ∈ A, x /∈M, y

J ={ax+ y : a ∈ A, y ∈M

}. (3.1)

Entonces J es un ideal en A que es más grande que M, ya que x ∈ J (con a = e, y = 0).

Así, J = A, y ax + y = e para algunos a ∈ A, y ∈ M. Si π : A → A/M es la función

cociente, se deduce que

π(ax+ y) = π(e)

π(ax) + π(y) = π(e)

π(a)π(x) + 0 = π(e)

π(a)π(x) = π(e)

para cada elemento distinto de cero π(x) del álgebra de Banach A/M es por lo tanto

invesible en A/M. Por el teorema de Gelfand - Mazur existe un isomorfismo j de A/M

en C con h = j ◦ π, entonces h ∈ ∆ y M = ker (h).

(b) Si h ∈ ∆, entonces h−1(0) = kerh ={x : h(x) = 0

}es un ideal en A que es maximal,

porque este tiene codimensión 1.

3.5. LA TRANSFORMADA DE GELFAND 31

(c) Si x es inversible en A y h ∈ ∆, entonces

h(x)h(x−1) = h(xx−1) = h(e) = 1

por lo que h(x) 6= 0. Si x no es inversible, entonces el conjunto{ax : a ∈ A

}no contiene

a e, por lo tanto es un ideal propio que se encuentra en un maximal (Teorema 3.1.1) y

por lo que h(x) = 0 para algunos h ∈ ∆, debido a (a).

(d) Supongamos que x radica en un ideal propio I de A, luego como x es inversible, existe

y tal que xy = e, xy ∈ I⇒ e ∈ I (⇒⇐).

Recíprocamente, por la proposición 3.1.1 ningún ideal propio contiene elemento inversi-

ble.

(e) Aplicaremos (c), λ ∈ σ(x), entonces λe− x no es inversible

h(λe− x) = 0

λh(e) − h(x) = 0

λ = h(x).

Recíprocamente, h(x) = λ para algunos h ∈ ∆

λ− h(x) = 0

λh(e) − h(x) = 0

h(λe− x) = 0

por (c) λe− x no es inversible. Luego λ ∈ σ(x).

3.5. La transformada de Gelfand

Para un álgebra cualquiera A, si h es un carácter de A y x un elemento cualquiera de A,

entonces x−h(x)e resulta no inversible, pues pertenece al núcleo de h y entonces h(x) ∈ σ(x).

Recíprocamente, si λ ∈ σ(x), entonces x−λe no es inversible y por lo tanto pertenece al núcleo

de algún h, de ahí sigue que λ = h(x).

Podemos encontrar exactamente quien es ‖x‖∞:

‖x‖∞ = sup{|x(h)| : h ∈ ∆

}

= sup{|h(x)| : h ∈ ∆

}

= sup{|λ| : λ ∈ σ(x)

}


esta cantidad se conoce como radio espectral del elemento x que viene definido

ρ(x) := sup{|λ| : λ ∈ σ(x)

}

Antes de definir la transformada de Gelfand, se definirá un espacio dual, una topología

débil y una topología débil∗.

Definición 3.5.1 (Espacio dual). Sea (A, ‖ ‖A) un espacio normado. Entonces el espacio

vectorial de todas las funciones lineales continuas f : A → C tiene una estructura natural de

espacio normado, con la norma definida como

‖f‖ = supx∈A

‖x‖A=1

|f(x)| .

Este espacio se denomina A∗, el espacio dual de A.

Definición 3.5.2. Sea A un espacio normado y A∗ su dual. La topología débil en A denotada

por σ(A,A∗) o simplemente por w, es la topología que tiene como base local de x0 ∈ A a los

conjuntos de la forma

V(x0, f1, f2, . . . , fk, ǫ) =

k⋂

i=1

{x ∈ A : |fi(x) − fi(x0)| < ǫ

}

con f1, f2, . . . , fk ∈ A∗ y ǫ > 0.

Entonces un conjunto U ⊂ A es débilmente abierto, o w abierto, si y solo si para todo

x0 ∈ U existen f1, f2, . . . , fk ∈ A∗ y ǫ > 0 tales que

V(x0, f1, f2, . . . , fk, ǫ) ⊂ U .

Definición 3.5.3. Sean A un espacio normado y A∗ su dual. La topología débil estrella en

A∗, denotado por σ(A∗, A) o simplemente por w∗ es la topología que tiene como base local de

f0 ∈ A∗ a los conjuntos de la forma

V(f0, x1, x2, . . . , xk, ǫ) =

k⋂

i=1

{f ∈ A∗ : |f0(xi) − f(xi)| < ǫ

}

con x1, x2, . . . , xk ∈ A y ǫ > 0.

Definición 3.5.4. Sea A un álgebra de Banach conmutativo con unidad. Sea ∆ el espectro de

A, la fórmula:

x(h) = h(x), (h ∈ ∆)

que asigna a cada x ∈ A una función

x : ∆→ C

llamamos a x la transformada de Gelfand de x.


Al conjunto ∆ se dota de la topología débil∗ para la cual la función

x : ∆→ C

h 7→ x(h) = h(x), con x ∈ A y h ∈ ∆

es continua, cualquiera que sea x ∈ A. Con esta topología una vecindad de h0 ∈ ∆ es la

intersección de conjuntos de la forma

{h ∈ ∆ : |h(x) − h0(x)| < ǫ

}

para algún x ∈ A y ǫ > 0.

Sea A el conjunto de todo x, A ⊂ C(∆) el álgebra de todas las funciones complejas

continuas en ∆.

La función x es continua (tomando a ∆ con la topología σ(A∗, A) de A∗).

∆ equipado con su toplogía de Gelfand, generalmente se llama el espacio de los ideales

maximales del espacio A.

Definición 3.5.5. Sea A un álgebra de Banach conmutativa con unidad. El radical de A,

denotado por radA, es la intersección de todos los ideales maximales de A.

Definición 3.5.6. Sea A un álgebra de Banach conmutativa con unidad. Si radA = {0}, A se

llama semisimple.

Teorema 3.5.1. Sea A un álgebra de Banach conmutativa con unidad e:

(i) e es la función identidad (e(h) = 1, ∀h ∈ ∆).

(ii) x = 0 si y solo x ∈ ∩{h−1(0) : h ∈ ∆

}= ∩

{ideales maximales de A

}.

(iii) Si h1 6= h2 ⇒ ∃x ∈ A : x(h1) 6= x(h2).

Demostración. (i) ∀h ∈ ∆ se da: e(h) = h(e) = 1.

(ii)

x = 0⇔ x(h) = 0, ∀h ∈ ∆

⇔ h(x) = 0, ∀h ∈ ∆

⇔ x ∈ h−1(0), ∀h ∈ ∆ .

(iii) Si h1 6= h2, entonces para cualquier x ∈ A se cumple h1(x) 6= h2(x), luego existe x ∈ A

tal que x(h1) 6= x(h2).


Teorema 3.5.2. Sea ∆ el espacio de los ideales maximales de un álgebra de Banach A con-

mutativo con unidad.

(i) La transformada de Gelfand es un homomorfismo de A sobre un subálgebra A de C(∆)

y además es continua.

(ii) Para cada x ∈ A, el rango de x es el espectro σ(x). De ahí ‖x‖∞ = ρ(x) 6 ‖x‖.

Demostración. (i) Supongamos x ∈ A, y ∈ A, α ∈ C y h ∈ ∆, entonces

➀ (αx)(h) = h(αx) = αh(x) = αx(h).

➁ (x+ y)(h) = h(x+ y) = h(x) + h(y) = x(h) + y(h) = (x+ y)(h).

➂ (xy)(h) = h(xy) = h(x)h(y) = x(h)y(h) = (xy)(h).

Así, la transformada de Gelfand es un homomorfismo.

Es continua, ya que

‖x‖∞ = sup{|x(h)| : h ∈ ∆

}

= sup{|h(x)| : h ∈ ∆

}

= sup{|λ| : λ ∈ σ(x)

}

6 ‖x‖ .

Por tanto ‖x‖∞ 6 ‖x‖.

Luego x es continua.

(ii) Decir que λ está en el rango de x significa que λ = x(h) = h(x) para algunos h ∈ ∆. Por

(e) del teorema 3.4.1, esto ocurre si y solo si λ ∈ σ(x).

Además, como ρ(x) := sup{|λ| : λ ∈ σ(x)

}, tenemos que ρ(x) 6 ‖x‖, por otro lado

‖x‖∞ 6 ‖x‖ y ‖x‖∞ = ρ(x).

Por tanto, ‖x‖∞ = ρ(x) 6 ‖x‖.

Teorema 3.5.3. Sea A un álgebra de Banach conmutativo con unidad y sea x ∈ A. Entonces

son equivalentes los siguientes:

(i) σ(x) = {0}.

(ii) x está contenido en algún ideal maximal de A.

(iii) x = 0.


(iv) lımn→∞

‖xn‖1/n = 0.

Demostración. (i) ⇒ (ii). Por hipótesis σ(x) = {h(x) : h ∈ ∆} = 0. Cuando ∀h ∈ ∆, x ∈ kerh

y por tanto x está contenido en algún ideal maximal de A.

(ii) ⇒ (iii). Sea J un ideal maximal de A, se tiene J es el núcleo de algún carácter, luego existe

h ∈ ∆ tal que J = kerh. Si x está contenido en algún ideal maximal de A, ahora

x ∈ kerh, h ∈ ∆⇒ h(x) = 0, h ∈ ∆

⇒ x(h) = h(x) = 0, h ∈ ∆

⇒ x = 0.

(iii) ⇒ (iv). Por hipótesis x = 0, entonces h(x) = 0, h ∈ ∆; además σ(x) = {h(x) : h ∈ ∆}.

⇒ sup{|λ| : λ ∈ σ(x)

}= 0

⇒ lımn→∞

‖xn‖1/n = 0 .

(iv) ⇒ (i). Por hipótesis lımn→∞ ‖xn‖1/n = 0.

⇒ sup{|λ| : λ ∈ σ(x)

}= 0

⇒ σ(x) ={h(x) : h ∈ ∆

}= {0}

⇒ σ(x) = 0 .

Lema 3.5.1. Si A es un álgebra de Banach conmutativo con unidad y

r = ınf‖x2‖

‖x‖2, s = ınf

‖x‖∞‖x‖

(x ∈ A, x 6= 0), (1)

entonces s2 6 r 6 s.

Demostración. Ya que‖x‖∞‖x‖

> ınf‖x‖∞‖x‖

= s, entonces ‖x‖∞ > s‖x‖.

Como

‖x‖ > ‖x‖∞ (2)

se tiene que ‖x2‖ > ‖x2‖∞ = ‖x‖2∞ > s2‖x‖2, para cada x ∈ A. Así, s2 6 r.

Ya que ‖x2‖ > r‖x‖2 para cada x ∈ A. Por inducción sobre n se puede mostrar que

‖xm‖ > rm−1‖x‖m (m = 2n, n = 1, 2, 3, . . .) (3)

extrayendo raíz m− ésima en (3) y haciendo m → ∞ y por la fórmula de radio espectral se

tiene:

‖xm‖1/m > r(m−1) 1m‖x‖m( 1

m ) .


ρ(x) = lımm→∞

‖xm‖1/m > lımm→∞

r1−1m‖x‖ = r‖x‖

Por tanto ‖x‖∞ = ρ(x) > r‖x‖, de ahí r 6 s.

Luego s2 6 r 6 s.

Teorema 3.5.4. Sea A un álgebra de Banach conmutativo con unidad, y x ∈ A. La transfor-

mada de Gelfand es una isometría si y solo si ‖x2‖ = ‖x‖2 para cada x ∈ A.

Demostración. En la terminología de lema 3.5.1 si la transformada de Gelfand es una isome-

tría, entonces s = 1 por lo que r tiene que ser 1, por tanto se cumple ‖x2‖ = ‖x‖2.

Recíprocamente, si ‖x2‖ = ‖x‖2 ∀x ∈ A ⇒ ‖x2k

‖ = ‖x‖2k

∀x ∈ A ⇒ ‖x2k

‖1

2k = ‖x‖ ⇒

ρ(x) = ‖x‖.

Por lo que ‖x‖∞ = ρ(x) = ‖x‖.

4C∗−ÁLGEBRAS Y TEOREMA DE

GELFAND-NAIMARK

4.1. Involuciones

Definición 4.1.1. Dada un álgebra A sobre C se llama involución de A a una aplicación de

A en A que lleva cada elemento x ∈ A en x∗ ∈ A, tal que para todo x ∈ A, y ∈ A y λ ∈ C se

cumple:

(i) (x∗)∗ = x

(ii) (x + y)∗ = x∗ + y∗

(iii) (λx)∗ = λx∗

(iv) (xy)∗ = y∗x∗

Observe que si A tiene elemento unidad e, entonces e∗ = e, ya que xe∗ = (ex∗)∗ = (x∗)∗ = x

para todo x ∈ A. De forma análoga e∗x = x para todo x ∈ A.

4.2. C∗−álgebras

Definición 4.2.1. Un álgebra de Banach A provista de una involución que satisface:

‖x∗x‖ = ‖x‖2, para todo x ∈ A.

A recibe el nombre de C∗−álgebra.

Si A es un C∗−álgebra, entonces para cada x ∈ A, se tiene ‖x∗‖ = ‖x‖.

En efecto, ‖x∗‖ ‖x‖ > ‖x∗x‖ = ‖x‖2, por lo tanto ‖x∗‖ > ‖x‖, de igual manera

‖x‖ = ‖(x∗)∗‖ > ‖x∗‖ .

37

4.3. DISTINTAS CLASES DE ELEMENTOS EN UN C∗−ÁLGEBRA 38

En razón de que (x− λe)∗ = x∗ − λe para cada que λ ∈ C, se deduce σ(x∗) = σ(x).

Si X es un espacio compacto y C(X) el álgebra de todas las funciones continuas de X en el

campo complejo C. Tal espacio dotado de la norma:

‖f‖ = sup{|f(x)| /x ∈ X

}

para todo f ∈ C(X).

Se define la multiplicación en tal espacio como:

(f · g)(x) = f(x) · g(x), para todo f, g ∈ C(X)

cuya involución viene dada por f∗(x) = f(x).

Luego C(X) es un C∗− álgebra.

Veamos, para todo f, g ∈ C(X), x ∈ X y λ ∈ C se tiene:

(i) f∗∗(x) = f∗(x) = f(x) = f(x).

(ii) (f+ g)∗(x) = (f+ g)(x) = f(x) + g(x) = f∗(x) + g∗(x).

(iii) (λf)∗(x) = (λf)(x) = λf∗(x).

(iv)(f(x) g(x)

)∗=(f(x) g(x)

)= f(x)g(x) = g(x) f(x) = g∗(x) f∗(x).

Además,

‖f∗ f‖ = sup{|(f∗ f)(x)| / x ∈ X

}

= sup{|f∗(x) f(x)| / x ∈ X

}

= sup{|f(x) f(x)| / x ∈ X

}

= sup{|f(x)|2/ x ∈ X

}

=(sup{|f(x)|/x ∈ X}

)2

= ‖f‖2 .

4.3. Distintas clases de elementos en un C∗−álgebra

Las distintas clases de elementos que se describen a continuación definen aspectos geométricos

y topológicos del espacio asociado al C∗−álgebra, por sus propiedades algebraicas juegan un

papel importante en esta teoría.


1. Elementos normales. Sean A un C∗− álgebra y x ∈ A. El elemento x es normal si

x∗x = xx∗ .

2. Elementos hermitianos o auto-adjunto. Sean A un C∗− álgebra y x ∈ A. El elemento x

es hermitiano si

x = x∗ .

Los elementos hermitianos algebraicamente son un caso particular de elementos nor-

males. Más adelante se verá que cualquier elemento x del C∗−álgebra puede escribirse

como

x = u+ iv con u y v hermitianos.

3. Elementos unitarios. Sean A un C∗− álgebra y x ∈ A. El elemento x es unitario si

cumple

x−1 = x∗ .

4. Proyectores. Sea A un C∗− álgebra. El elemento p ∈ A es un proyector si cumple

p2 = p∗ = p .

Teorema 4.3.1. Sean A un álgebra de Banach con una involución y x ∈ A, entonces:

(a) x + x∗, i(x − x∗) y xx∗ son hermitianos.

(b) La unidad e es hermitiano.

(c) x es inversible en A si y solo si x∗ es inversible en A, en ese caso (x∗)−1 = (x−1)∗.

(d) λ ∈ σ(x) si y solo si λ ∈ σ(x∗).

Demostración. (a) (x+ x∗)∗ = x∗ + (x∗)∗ = x∗ + x = x + x∗.(i(x− x∗)

)∗= −i(x− x∗)∗ = −i(x∗ − (x∗)∗) = −i(x∗ − x) = i(x− x∗)

(xx∗)∗ = (x∗)∗x∗ = xx∗.

Por tanto x+ x∗, x+ x∗, i(x− x∗) y xx∗ son hermitianos.

(b) Por (a), ya que e∗ = ee∗, luego e es hermitiano.


(c) Si x es inversible, entonces

(xx−1)∗ = e∗ = e

⇒ (x−1)∗x∗ = e

⇒ (x−1)∗ = (x∗)−1 .

Si x∗ es inversible, entonces(x∗(x∗)−1

)∗= e

((x∗)−1

)∗(x∗)∗ = e

((x∗)−1

)∗x = e

(((x∗)−1

)∗)−1x−1 = e

((((x∗)−1

)∗)−1x−1)∗

= e

(x−1)∗((

((x∗)−1)∗)−1)∗

= e .

Por otro lado(((x∗)−1

)∗)−1= x . . . . . . (1).

Luego por (1), (x−1)∗x∗ = e⇒ (x−1)∗ = (x∗)−1.

(d) Si λ ∈ σ(x) ⇒ x − λe no es inversible.

⇒ (x− λe)∗ = x∗ − λe∗

= x∗ − λe no es inversible (por (c))

entonces λ ∈ σ(x∗).

Recíprocamente, si λ ∈ σ(x∗) ⇒ x∗ − λe no es inversible.

⇒ (x∗ − λe)∗ = (x∗)∗ − λ(e∗)∗

= x− λe no es inversible

entonces λ ∈ σ(x).

Teorema 4.3.2. Si x es un elemento auto-adjunto de un C∗−álgebra A, entonces

‖x‖∞ = ρ(x) = ‖x‖ .

En ese caso, significa que la transformada de Gelfand es un homomorfismo isométrico.

Demostración. Sea x un elemento auto-adjunto de A (x = x∗).

De hecho, ‖x‖2 = ‖x∗x‖ = ‖x2‖, resulta que ‖x‖2n

= ‖x2n

‖.

Usando la fórmula del radio espectral, se tiene

ρ(x) = lımn→∞

‖x2n

‖1/2n

= ‖x‖

como ‖x‖∞ = sup{|λ| : λ ∈ σ(x)

}= ρ(x), entonces ‖x‖∞ = ρ(x) = ‖x‖.

4.4. TEOREMA DE GELFAND-NAIMARK 41

4.4. Teorema de Gelfand-Naimark

El Teorema de Gelfand-Naimark, básicamente establece que cualquier C∗− álgebra conmuta-

tiva puede verse como el C∗− álgebra que consta de las funciones continuas con valores en C

definidas en un espacio topológico, cuando el C∗− álgebra tiene una unidad, este espacio to-

pológico es compacto. A continuación se detalla la estructura de esta C∗− álgebra que consta

de las funciones continuas con valores en C.

Considerando un espacio topológico compacto ∆, sea C(∆) el espacio de las funciones

continuas x : ∆ → C. En particular cualquier función constante es una función continua, de

modo que C(∆) siempre es no vacío. Además dados h1, h2 ∈ ∆, existe una función x tal que

x(h1) 6= x(h2), es decir, hay suficientes funciones continuas, esto nos permite distinguir los

puntos de ∆.

El espacio vectorial complejo C(∆) tiene estructura de C∗− álgebra. Con el producto usual

de funciones complejas

(xy)(h) = x(h)y(h)

como producto algebraico es un álgebra asociativa, compleja, con unidad (e(h) = 1 es la

unidad) y conmutativa.

La operación ∗ está dada por la operación de conjugación compleja

(x∗)(h) = (x)(h) .

Con la norma del supremo, es un álgebra de Banach.

Definición 4.4.1. Se define la bola unitaria cerrada del dual de A como:

BA∗ ={f ∈ A∗ : ‖f‖ 6 1

}con A un álgebra de Banach.

Teorema 4.4.1. Sea A un álgebra de Banach y h : A → C un homomorfismo no nulo.

Entonces h es continua.

Demostración. Primero notemos que h(eAb) = h(beA) = h(b) = h(b)h(eA) = h(eA)h(b) y

como tal h(eA) = eC.

Dado x ∈ A, x − h(x)eA ∈ ker (h) y como ker (h) es un ideal, está claro que x − h(x)eA

no es inversible (caso contrario e ∈ ker (h) de este modo, h = 0).

Así, h(x) ∈ σ(x), y como tal |h(x)| 6 ‖x‖. De este modo |h(x) − h(y)| 6 ‖x− y‖, luego h

es continua.

Nótese que por el teorema anterior ∆ ⊂ BA∗ = {f ∈ A∗ : ‖f‖ 6 1}. Así, el espectro

de un álgebra es un subconjunto de la bola unitaria cerrada del dual A∗. Por el teorema

Banach-Alaoglu, BA∗ es compacta con la topología débil ∗.


Teorema 4.4.2 (Teorema de Gelfand-Naimark). Si A es un C∗−álgebra conmutativa con uni-

dad, la transformada de Gelfand es un isomorfismo isométrico de A en C(∆) con ∆ compacto

en C, que tiene la propiedad adicional de que

h(x∗) = h(x), para todo x ∈ A, h ∈ ∆

o equivalentemente

(x∗) = x, x ∈ A

Demostración. La demostración del teorema consta de dos partes. En la primera parte se

demostrará que la transformada de Gelfand es una isometría, la demostración de la isometría

se llevará a cabo en cuatro etapas: en la primera etapa se mostrará que si x ∈ A y x = x∗,

entonces σ(x) ∈ R. En la segunda etapa se mostrará que cualquier elemento x de A tiene una

descomposición única en parte real y parte imaginaria, es decir, x = u + iv con u = u∗ y

v = v∗. En la tercera etapa se mostrará que la transformada de Gelfand conserva la involución

y en la cuarta etapa ya con los resultados de las etapas anteriores se mostrará que la trans-

formada de Gelfand es una isometría.

En la segunda parte se mostrará que la transformada de Gelfand es un isomorfismo, para

la demostración del isomorfismo se requiere ver que la transformada de Gelfand es un homo-

morfismo biyectivo; en el capítulo 3, sección 3.5, Teorema 3.5.2 se mostró que la transformada

de Gelfand es un homomorfismo. Por tanto, se completará la demostración en dos etapas: en

la primera etapa se mostrará que la transformada de Gelfand es sobreyectiva y en la segunda

etapa se mostrará que la tranformada de Gelfand es inyectiva. De esa manera se concluirá con

la demostración del Teorema de Gelfand-Naimark.

PRIMERA PARTE

Etapa 1. Si x ∈ A y x = x∗, entonces σ(x) ∈ R.

En efecto, sea λ0 = h(x) = α+ iβ ∈ σ(x) con α, β ∈ R.

Sea k un número real cualquiera y y = x+ ike, entonces y∗ = x − ike.

Luego, se tiene que

λ = h(y) = h(x+ ike), h ∈ ∆

= h(x) + ikh(e)

= α+ iβ+ ik

= α+ i(β+ k)

entonces λ = α+ i(β+ k) ∈ σ(y) y λ = α− i(β+ k) ∈ σ(y∗).

Por otro lado, se tiene y · y∗ = x2 + k2e.


Por lo que ‖yy∗‖ = ‖x2 + k2e‖ 6 ‖x2‖+ ‖k2‖ = ‖x‖2 + k2, por otro lado

λλ = |λλ| = |λ|2 = α2 + β2 + k2 + 2kβ 6 ‖y‖2 = ‖yy∗‖ 6 ‖x‖2 + k2 .

Por lo tanto,

α2 + β2 + k2 + 2kβ 6 ‖x‖2 + k2

α2 + β2 + 2kβ 6 ‖x‖2

para todo número real k, lo cual es absurdo si β 6= 0, pues, α2 + β2 = |λ|2 6 ‖x‖2, entonces

β = 0⇒ λ0 = h(x) = α+ iβ = α ∈ R .

Etapa 2. Veamos que x ∈ A puede escribirse de manera única en la forma x = u+ iv, con u

y v hermitianos.

En efecto, definiendo

u =1

2(x+ x∗) y v =

1

2i(x− x∗)

se tiene que u y v son hermitianos y,

u+ iv =1

2(x+ x∗) + i

(1

2i(x− x∗)

)

=1

2x +

1

2x∗ +

1

2x−

1

2x∗

= x

entonces x = u+ iv.

Recíprocamente si x = u+ iv donde u y v son hermitianos, entonces x∗ = u− iv, de donde

x + x∗ = 2u⇒ u =1

2(x+ x∗)

x − x∗ = 2iv⇒ v =1

2i(x− x∗)

Veamos la unicidad. Suponiendo que x = u ′ + iv ′ es otra representación de x, si w = v − v ′,

entonces w y iw son hermitianos, pues w∗ = (v − v ′)∗ = v∗ − (v ′)∗ = v− v ′ = w con v y v ′

hermitianos por otro lado,

(iw)∗ = i(v− v ′)∗ = −iv∗ + i(v ′)∗ = −iv+ iv ′ = u − u ′ .

son hermitianos.

De modo que iw = (iw)∗ = −iw∗ = −iw, entonces

iw = −iw⇒ 2iw = 0⇒ w = 0⇒ v− v ′ = 0 .


De forma análoga se concluye que u− u ′ = 0.

Ahora, como x = u + iv y x = u ′ + iv ′, entonces

x − x = u + iv− u ′ − iv ′

0 = (u− u ′) + i(v− v ′) = 0+ i0

esto sucede si y solo si u = u ′ y v = v ′.

Etapa 3. La transformada de Gelfand conserva la involución.

En efecto, considerando x = u + iv, con u y v hermitianos.

Luego,

h(x∗) = h(u− iv) = h(u) − ih(v) = h(u) + ih(v) = h(x) .

Por lo tanto, h(x∗) = h(x).

Además, x(h) = h(x) = h(x∗) = (x∗)(h).

Entonces x = (x∗).

Etapa 4. La transformada de Gelfand es una isometría.

En efecto,

‖x‖2 = ‖x∗x‖

= ρ(x∗x), con x∗x hermitiano

= sup{|h(x∗x)|, h ∈ ∆

}, por definición de radio espectral

= sup{|(x∗x)(h)|, h ∈ ∆

}, fórmula de la transformada de Gelfand

= ‖x∗x‖∞, definición de la norma del supremo

= ‖x∗x‖∞, la transformada de Gelfand es un homomorfismo

= ‖xx‖∞, etapa 3

= ‖x‖2∞, x ∈ C .

Por tanto la transformada de Gelfand es una isometría.

SEGUNDA PARTE

Etapa 1. La transformada de Gelfand es sobreyectiva.

Para la demostración de esta etapa, se requiere los conocimientos del Teorema de Stone-

Weierstrass versión compleja que se describe en el apéndice de este trabajo, ya con los resul-

tados del Teorema de Stone-Weierstrass se probará la sobreyectividad.

Por lo que para la demostración de la sobreyectividad de la transformada de Gelfand:

K : A→ C(∆)

x 7→ K(x) = x


se mostrará que K(A) = C(∆), y con esto se estaría probando la sobreyectividad.

Por lo tanto de acuerdo al teorema de Stone-Weierstrass, se requiere ver los siguientes:

(i) ∆ es un espacio de Hausdorff,

(ii) ∆ es un espacio compacto,

(iii) K(A) ⊂ C(∆) es una subálgebra cerrada con 1,

(iv) K(A) ⊂ C(∆) separa puntos,

(v) La propiedad de que si f ∈ K(A), entonces f ∈ K(A).

Veamos:

(i) ∆ es un espacio de Hausdorff.

En efecto, una vecindad de h0 ∈ ∆ es la intersección de conjuntos de la forma

{h ∈ ∆ : |h(xi) − h0(xi)| < ǫ, i = 1, 2, . . . , n

}

con x1, x2, . . . , xn ∈ A, ǫ > 0.

Ahora, sean h1, h2 ∈ ∆.

Si h1 6= h2, entonces existe x ∈ A tal que h1(x) 6= h2(x).

Si tomamos δ =1

2|h1(x) − h2(x)|, ahora

N1 ={h ∈ ∆ : |h(x) − h1(x)| < δ

}

y

N2 ={h ∈ ∆ : |h(x) − h2(x)| < δ

}

son entornos de h1 y h2 respectivamente que son disjuntos.

Veamos que N1 y N2 son disjuntos.

En efecto, supongamos que ∃h ′ ∈ N1 ∩N2, entonces h ′ ∈ N1 ∧ h ′ ∈ N2.

Por lo que:

Si h ′ ∈ N1 ⇒∣∣h ′(x) − h1(x)

∣∣ < δ

y

si h ′ ∈ N2 ⇒∣∣h ′(x) − h2(x)

∣∣ < δ


Ahora, por otro lado

∣∣h1(x) − h2(x)∣∣ =

∣∣h1(x) + h′(x) − h ′(x) − h2(x)

∣∣

=∣∣(h1(x) − h

′(x))+(h ′(x) − h2(x)

)∣∣

6∣∣h1(x) − h

′(x)∣∣ +∣∣h ′(x) − h2(x)

∣∣

< δ+ δ = 2δ,

entonces∣∣h1(x) − h2(x)

∣∣ < 2δ (⇒⇐).

Por consiguiente, N1 y N2 son disjuntos.

Por tanto ∆ es de Hausdorff.

(ii) ∆ es un espacio compacto.

En efecto, por el teorema 3.4.1 f ∈ ∆ es continuo, entonces

∆ ⊂ BA∗ ={f ∈ A∗ : ‖f‖ 6 1

}.

Así, el espectro de un álgebra de Banach es un subconjunto de la bola unitaria cerrada

del dual A∗ de A.

Para la demostración se requiere del siguiente teorema:

Teorema. (Banach-Alouglu) Para todo espacio normado X, la bola BX∗ es w∗ compacta

y en consecuencia todo subconjunto norma cerrado y acotado de X∗ es w∗ compacto.

Fetter, H. y Gamboa de Buen, B. [8]

Por el teorema de Banach-Alauglu BA∗ es w∗ compacta, es decir, es compacta con la

topología débil∗.

Por (i) A∗ con la topología débil∗ es de Hausdorff, solo basta probar que ∆ es un subes-

pacio cerrado de BA∗ para concluir que ∆ es compacto.

Sea f un elemento de la adherencia de ∆. Por demostrar:

(1) f(xy) = f(x)f(y), x ∈ A, y ∈ A.

(2) f(e) = 1.

Obsérvese que (2) es necesario; en otro caso f podría ser el homomorfismo nulo, que no

pertenece a ∆.

Dada una sucesión {fn}n∈N en ∆ tal que fn → f con f ∈ A∗, se tiene que ∀x, y ∈ A,

fn(xy) → f(xy) o sea lımn→∞ fn(xy) = f(xy).

Por otro lado,

lımn→∞

fn(xy) = lımn→∞

(fn(x)fn(y)

)= lım

n→∞fn(x) lım

n→∞fn(y) = f(x) f(y)


Por la unicidad del límite

f(xy) = f(x)f(y)

esto prueba (1).

Para (2) es suficiente observar que

f(e) = lımn→∞

fn(e) = 1 .

Por tanto ∆ es compacto.

(iii) K(A) ⊂ C(∆) es una subálgebra cerrada con 1.

En efecto,

K : A→ C(∆)

x 7→ K(x) = x.

Sea {fn}nN ∈ K(A) tal que fn → f con(fn = K(gn)

), gn ∈ A

{fn}N es de Cauchy

{gn}N es de Cauchy

entonces gn → g con A un álgebra de Banach

⇒ f = lım fn = lımK(gn) = K(g) .

entonces f ∈ K(A).

Luego K(A) es cerrada.

Por otro lado K(e) = e es la función identidad.

Veamos, ∀h ∈ ∆ se da: e(h) = h(e) = 1.

(iv) K(A) ⊂ C(∆) separa puntos.

En efecto, si h1 6= h2 en ∆, entonces existe x ∈ A tal que

h1(x) 6= h2(x) ⇔ x(h1) 6= x(h2) .

Por tanto K(A) separa puntos.

(v) Si f ∈ K(A), entonces f ∈ K(A).

En efecto, sea

f = K(x) ∈ K(A), x ∈ A

f = K(x) = K(x∗) ∈ K(A), x∗ ∈ A

Luego por todo lo demostrado concluimos que K(A) = C(∆).

Por lo tanto queda demostrado la sobreyectividad.


Etapa 2. La transformada de Gelfand es inyectiva.

K : A→ C(∆)

x 7→ K(x) = x.

En efecto, por isometría se tiene la propiedad ‖x‖ = ‖x‖∞, x ∈ A.

Sea K(x) = K(y) con x, y ∈ A, entonces

K(x) − K(y) = 0

K(x− y) = 0.

Luego,

‖K(x) − K(y)‖∞ = ‖K(x− y)‖∞

= ‖x− y‖,

de donde ‖x− y‖ = 0, esto es x = y.

Por tanto, K es inyectiva.

Por todo lo demostrado en ambas partes concluimos que la transformada de Gelfand es un

isomorfismo isométrico de A en C(∆).

5CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

El objetivo del presente trabajo es el estudio riguroso de la demostración del Teorema de

Gelfand-Naimark en álgebras de Banach conmutativas. Con el propósito de llevar a su fin

tal objetivo se ha analizado la demostración minuciosamente, de forma que cada concepto o

razonamiento no se ha pasado por alto sin antes haberlo comprendido y así se ha conseguido

justificar adecuadamente cada detalle de la demostración.

Además de eso se han estudiado con detalle las demostraciones de otros resultados en

los capítulos anteriores, de entre los más sobresalientes podemos mencionar el teorema de

Gelfand-Mazur que nos dice que un álgebra de Banach que además es un álgebra de división

es isométricamente isomorfa al álgebra C de los números complejos.

En el segundo capítulo resalta el teorema 3.4.1. en este teorema ya se utiliza muchos

conceptos, sobre lo que son: un ideal maximal, el espectro de un álgebra de Banach, el espectro

de un elemento de un álgebra de Banach y los homomorfimos. Los resultados más sobresalientes

del teorema 3.4.1 son: cada ideal maximal de A es el núcleo de algún h ∈ ∆ y λ ∈ σ(x) si y

solo so h(x) = λ para algún h ∈ ∆.

En el capítulo cuatro un resultado importante que aportó mucho para la demostración del

teorema de Gelfand-Naimark es el teorema 4.3.2 que indica que si x ∈ A es hermitiano con A

un C∗− álgebra, se tiene que ‖x‖∞ = ρ(x) = ‖x‖.

Sobra decir que el análisis funcional y sobre todo que la teoría de espacios de Banach,

ha estado presente continuamente a lo largo del trabajo y de la prueba. El estudio de dicha

prueba ha ayudado sin duda a consolidar todos esos conceptos. Por otro lado cabe destacar que

gracias a este trabajo he descubierto el importante papel que desempeña el Análisis Funcional

en las álgebras de Banach.

Para poder probar muchos aspectos del Teorema de Gelfand-Naimark se ha recurrido a

teoremas muy importantes del Análisis funcional como ser el teorema de Stone-Weiertrass y

el teorema de Banach-Alouglu.

49

50

Por otro lado, para poder desarrollar algunos resultados en las álgebras de Banach se

recurrió a conceptos muy importantes de la topología, como son las topologías débil y débil∗.

El resultado del Teorema de Gelfand-Naimark en el contexto de las álgebras de Banach

conmutativas (Rudin, 1991), se recomienda para un nuevo proyecto de grado la demostración

del teorema espectral en donde se aplica el teorema de Gelfand-Naimark, en el cual se tendrá

que abordar temas como los operadores de un espacio de Hilbert.

ATeorema de Stone-Weierstrass

A.1. El Teorema de Weierstrass

El Teorema de Weierstrass establece que cada función continua sobre un intervalo [a, b] de R

puede ser aproximada uniformemente por polinomios o, dicho de otro modo, que los polinomios

constituyen una familia uniformemente densa de C[a, b].

Teorema A.1.1 (Weierstrass). Si [a, b] es cualquier intervalo finito, entonces los polinomios

son densos en CR[a, b].

Demostración. Por cambio de variable, supongamos que [a, b] =[− 1

4, 14

]. Sea f ∈ C

([− 1

4, 14

])

y consideremos la siguiente extensión de f a todo R:

g(x) =

f(x) |x| 6 14

0 |x| > 14

lineal si −126 x 6 −1

4o bien 1

46 x 6 1

2

Evidentemente, g : R → C es continua y acotada, y entonces Sn ∗ g → g uniformemente en

cualquier intervalo finito, en particular en[− 1

4, 14

].

Pero además

Sn ∗ g(x) = αn

∫ 12

− 12

[1− (x − t)2

]n· g(t)dt

es un polinomio de grado 6 2n en x, y el cambio de variable inicial (claramente lineal) no

afecta este hecho.

Definición A.1.1. Sea X un espacio compacto Hausdorff, y C(X) el álgebra de todas las

funciones continuas f : X → C, dotada con la norma del supremo. Una subálgebra compleja

B ⊂ C(X) es un subespacio de C(X) cerrado con respecto al producto

(fg)(x) = f(x)g(x), (A.1)

51

A.1. EL TEOREMA DE WEIERSTRASS 52

es decir, que si f, g ∈ B entonces fg ∈ B.

Llamaremos CR(X) al R− subespacio de las funciones a valores reales. Una subálgebra real

B ⊂ CR(X) es un R− subespacio cerrado con respecto (A.1).

En cualquier caso, una subálgebra cerrada es una subálgebra (real o compleja) cerrada con

respecto a la norma supremo (resp. de C(X) o CR(X))

Notar que todo ideal de la C− álgebra C(X) es una subálgebra compleja, pero la recíproca

no es necesariamente cierta, y lo mismo vale para subálgebras reales, con respecto a la R−

álgebra CR(X).

Definición A.1.2. Un subconjunto S ⊂ CR(X) es un reticulado si para toda f, g ∈ S, f∧ g =

mın{f, g} y f∨ g = max{f, g} están en S.

Llamando 1 a la función de X en C que vale idénticamente uno, claramente 1 ∈ CR(X).

Lema A.1.1. Cualquier subálgebra cerrada B ⊂ CR(X) con 1 ∈ B es un reticulado.

Demostración. Como f∨ g = 12|f− g|+ 1

2(f+ g), f∧ g = −

[(−f)∨ (−g)

], basta probar que

si f ∈ B, entonces |f| ∈ B. Podemos suponer que ‖f‖∞ 6 1 sin pérdida de generalidad, y por

el Teorema A.1.1 existe una sucesión Pn ∈ C[−1, 1] de polinomios de manera que Pn(t) → |t|

uniformemente en [−1, 1]. Consideremos la composición Pn(f): como B es un álgebra con

1 ∈ B, Pn(f) ∈ B para todo n ∈ N. Pero entonces, como X es compacto e im (f) ⊂ [−1, 1]

∥∥Pn(f) − |f|∥∥∞= sup

x∈X

∥∥Pn(f)(x) − |f|(x)∥∥

= maxx∈X

∣∣Pn(f)(x) − |f|(x)∣∣

= maxx∈X

∣∣(Pn ◦ f)(x) − (|t| ◦ f)(x)∣∣

6 maxt∈[−1,1]

∣∣Pn(t) − |t|∣∣

=∥∥Pn(t) − |t|

∥∥[−1,1]

→n→∞ 0.

Como B es cerrado, se deduce que |f| ∈ B.

Definición A.1.3. Diremos que un álgebra B ⊂ CR(X) (o B ⊂ C(X)) separa puntos si, dados

x 6= y en X, existe f ∈ B con f(x) 6= f(y).

El siguiente es el último paso en la demostración de Stone Weierstrass para álgebra con

unidad:

A.2. EL TEOREMA DE STONE-WEIERSTRASS 53

Teorema A.1.2 (Kakutani-Krein). Sea X un espacio compacto Hausdorff. El único reticualdo

S ⊂ CR(X) que es un subespacio cerrado, contiene al elemento 1 y separa puntos de X es todo

CR(X).

Demostración. Como S es cerrado, basta probar que es denso en CR(X). Para ello, dada

h ∈ CR(X) y ǫ > 0, debemos entontrar f ∈ S tal que ‖h− f‖∞ < ǫ. Supongamos que podemos

mostrar, para cada x ∈ X, una función fx ∈ S tal que fx(x) = h(x) y h 6 fx + ǫ. Entonces

para cada x ∈ X, existe por la continuidad de h− fx un entorno Ux de x tal que

h(y) > fx(y) − ǫ ∀y ∈ Ux .

Como {Ux}x∈X es un cubrimiento abierto de X, y X es compacto, existe un subcubrimiento

finito {Ux}i=1,...,n. Entonces f = fx1∧ fx2

∧ · · ·∧ fxncumple automáticamente

f(y) + ǫ = mıni{fxi

+ ǫ} 6 h(y) ∀y ∈ X

y además, como cada y ∈ Uxipara algún i, entonces vale

f(y) − ǫ 6 fxi(y) − ǫ 6 h(y),

lo que termina de probar que ‖h− f‖∞ǫ.

Falta entonces encontrar una fx con las propiedades mencionadas. Dados x 6= y en X, como

S separa puntos, existe f ′xy ∈ S tal que f ′xy(x) 6= f′xy(y) (o sea f ′xy(x) − f

′xy(y) 6= 0).

Consideramos la función

fxy =

(h(x) + h(y)

)f ′xy − h(x)f ′xy(y) + h(y)f

′xy(x)

f ′xy(x) − f′xy(y)

Como 1 ∈ S, fxy ∈ B. Además, fxy(x) = h(x), y fxy(y) = h(y). De ésta última condición se

deduce que para cada y ∈ X existe una entorno Vy de y tal que |h(z) − fxy(z)| 6 ǫ si z ∈ Vy.

En particular, fxy(z) + ǫ > h(z) para z en Vy. Un argumento similar al del párrafo anterior

nos permite hallar un cubrimiento {Vyj}j=1,...,m de X de manera que fxyj(z) + ǫ > h(z) para

todo j = 1, . . . ,m si z ∈ Vyj. Si tomamos fx = fxy1

∨ fxy2∨ · · ·∨ fxym

, entonces claramente

fx(x) = h(x), y además, para todo z ∈ X, z ∈ Vyjpara algún j y entonces

fx(z) + ǫ = maxj

{fxyj(z) + ǫ} > h(z) .

A.2. El Teorema de Stone-Weierstrass

Teorema A.2.1 (Stone-Weierstrass versión real). Sea X un espacio compacto Hausdorff, y

B una subálgebra cerrada de CR(X), que separa puntos y contiene a la función 1. Entonces

B = CR(X).


Demostración. Por el Lema A.1.1, B es un reticulado. Por el Teorema A.1.2, B es todo CR(X).

Teorema A.2.2 (S-W versión compleja). Sea X un espacio compacto Hasudorff, y B ⊂ C(X)

una subálgebra (compleja) cerrada con 1, que separa puntos, y con la propiedad de que si f ∈ B,

entonces f ∈ B. Entonces B = C(X).

Demostración. Toda función g ∈ C(X) puede escribirse en forma única como

g = Re(g) + iIm(g), (A.2)

donde Re(g) = g+g2

e Im(g) = g−g2

son dos funciones a valores reales. La desigualdad

∣∣Re(g)(x) − Re(g)(y)∣∣2 6

∣∣Re(g)(x) − Re(g)(y)∣∣2 +

∣∣Im(g)(x) − Im(g)(y)∣∣2

6∣∣g(x) − g(y)

∣∣

prueba que Re(g) ∈ CR(X). Lo mismo vale para Im(g). Como B es un C− espacio vectorial,

basta probar la inclusión CR(X) ⊂ B para deducir que g ∈ B.

Para ello, tomemos f ∈ B, y escribámosla como en la ecuación A.2. La condición (f ∈ B ⇒

f ∈ B) nos dice que necesariamente Re(f), Im(f) ∈ B. Consideremos el subconjunto de B

definido por

B ={g : g = Re(f) ó g = Im(f) para alguna f ∈ B

},

y tomemos A = R(B) la subálgebra (real) generada por B; como B es un subálgebra compleja

(en particular real), se deduce que A ⊂ B: probaremos que A = CR(X).

Evidentemente, A es un R− espacio vectorial, y de su definición se deduce trivialmente que

A es en realidad una subálgebra de CR(X). Obviamente, 1 ∈ A, y además dados x 6= y en X,

como B separa puntos, existe f ∈ B tal que f(x) 6= f(y). Entonces necesariamente Re(f)(x) 6=

Re(f)(y) o bien Im(f)(x) 6= Im(f)(y), es decir, que A separa puntos. Si probamos que A es

un subespacio cerrado de CR(X), por el Teorema A.2.1 podremos concluir que A = CR(X).

Para ello tomemos un punto límite f0 ∈ A, y veamos que está en A. Como existe una

sucesión de funciones {fn} ⊂ A tal que ‖fn − f0‖∞ →n 0, si Im(f0) 6= 0, entonces el límite en

‖fn − f0‖2∞ = sup

x∈X

∣∣fn(x) − f0(x)∣∣2

= supx∈X

{|Re(fn)(x) − Re(f0)(x)|

2 + |Im(f0)(x)|2}

= supx∈X

{|Re(fn)(x) − Re(f0)(x)|

2}+ sup

x∈X

{|Im(f0)(x)|

2}

> ‖Im(f0)‖2∞


no puede ser nunca nulo (notar que hemos utilizado que el supremo de la suma es la suma

de los supremos, ya que todos los términos son positivos). Entonces Im(f0) ≡ 0, y por ende

f0 ∈ A.

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