Sobre álgebras topológicasEncuentro Nacional de Jóvenes investigadores en

Matemáticas

Reyna María Pérez-Tiscareño

2 de Diciembre, 2015

Universidad Autónoma MetropolitanaUnidad Iztapalapa

1) Introducción2) Diferentes tipos de álgebras topológicas3) Sobre mi trabajo de investigación

1938- Se comienza el estudio de las álgebras topológicas.

Un álgebra E es un espacio vectorial sobre el campo K con unamultiplicación, · : E × E → E que satisface que para todax, y, z ∈ E y λ ∈ K

x(y + z) = xy + xz

(y + z)x = yx + zx

λ(xy) = x(λy) = (λx)y.

DefiniciónUn álgebra topológica es un álgebra que es un espaciovectorial topológico y la multiplicación de anillo esseparadamente continua, es decir, los operadores x 7→ xy paracada y fija en el álgebra y y 7→ xy para cada x fija en el álgebrason continuos.

DefiniciónUn espacio vectorial normado E es un espacio vectorial sobreel campo K (K = R o K = C) con una función ‖ · ‖ : E → R a laque se le llama norma y que satisface las siguientespropiedades:

1) ‖x‖ ≥ 0 para toda x ∈ E y ‖x‖ = 0 solo si x = 0.2) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖.3) ‖λx‖ = |λ|‖x‖, con λ ∈ K.

Un espacio de Banach es un espacio vectorial normado que escompleto (toda sucesión de Cauchy (con respecto a la métricad(x, y) = ‖x− y‖) en E es convergente).

DefiniciónUn álgebra de Banach es un álgebra asociativa E sobre elcampo de los números reales o complejos que es un espaciode Banach y tal que para toda x, y ∈ E ‖xy‖ ≤ ‖x‖‖y‖.

(A, ‖ · ‖)

(A, {‖ · ‖α : α ∈ Λ})

(A, ‖ · ‖)

(A, {‖ · ‖α : α ∈ Λ})

DefiniciónUna seminorma en un espacio vectorial E sobre el campo K esuna función p : E → R que satisface las siguientes condiciones:

1) p(x) ≥ 0 para toda x ∈ E

2) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), x, y ∈ E

3) p(λx) =| λ | p(x), λ ∈ K.

DefiniciónUn álgebra localmente convexa A es un álgebra topológica quees un espacio localmente convexo; en este caso su topologíaes dada por una familia de seminormas {‖ · ‖α : α ∈ Λ} quesatisfacen que para toda α ∈ Λ existe β ∈ Λ, tal que

‖xy‖α 6 ‖x‖β‖y‖β

para toda x, y ∈ A.

Para un álgebra localmente convexa metrizable A, existe unasucesión de seminormas (‖ · ‖n)∞n=1 que definen su topología ysatisfacen:

‖xy‖n 6 ‖x‖n+1‖y‖n+1

para toda x, y ∈ A.

DefiniciónUn álgebra A multiplicativa convexa (m-convexa) es un álgebralocalmente convexa cuya topología esta definida por unafamilia de seminormas {‖ · ‖α : α ∈ Λ} tal que

‖xy‖α 6 ‖x‖α‖y‖α

para toda x, y ∈ A y α ∈ Λ.

Ejemplo

Sea X un espacio topológico y denotamos por C(X), el algebrade funciones continuas de X en C (las operaciones sondefinidas puntualmente). A continuación se define para todosubconjunto compacto K de X una seminorma submultiplicativasobre C(X),

pK(f ) = supx∈K| f (x) | donde f ∈ C(X)

(C(X), {pK}) es un álgebra m-convexa.

(A, ‖ · ‖)

(A, {‖ · ‖α : α ∈ Λ})

(A, {pα(·) : α ∈ Λ})

(A, ‖ · ‖)

(A, {‖ · ‖α : α ∈ Λ})

(A, {pα(·) : α ∈ Λ})

DefiniciónUn álgebra localmente seudoconvexa A es un álgebratopológica que es un espacio localmente seudoconvexo; eneste caso A tiene una base U = {Uλ : λ ∈ Λ} de vecindades decero que consiste de conjuntos balanceados (µUλ ⊂ Uλ

cuando | µ |6 1) y conjuntos seudoconvexos (Uλ + Uλ ⊂ µUλ

para µ > 2).

La topología de un álgebra localmente seudoconvexa es dadapor una familia de kλ seminormas homogeneasP = {pλ : λ ∈ Λ} (pλ(µa) = |µ|kλpλ(a)), donde kλ ∈ (0, 1] paracada λ ∈ Λ y a ∈ A.

Ejemplo

El álgebra A de funciones reales continuas, cuya familia deseminormas es dada por:

‖ f ‖n= sup−n≤x≤n

| (f (x))1n |

es un álgebra localmente seudoconvexa.

Cuandoinf{kλ : λ ∈ Λ} = k > 0,

se dice que E es un álgebra localmente k-convexa.

DefiniciónUn álgebra topológica A se dice que es un álgebra topológicacompleta si como espacio vectorial topológico es completo.

Un álgebra de Fréchet es un álgebra topológica metrizable ycompleta.

• Álgebras normadas (N)• Álgebras de Banach(B)• Álgebras localmente convexas (LC)• Álgebras localmente acotadas (LB)• Álgebras localmente seudoconvexas (LP)• Álgebras de Gelfand-Mazur (GM)• Álgebras de Fréchet (F)

Límites inductivos de álgebras

Sea I un conjunto dirigido (no vacío) con el orden parcial ” 6 ”.Entonces, para toda α, β ∈ I existe γ ∈ I tal que α 6 γ y β 6 γ.Sea (Eα)α∈I una familia de álgebras y para toda α, β ∈ I conα 6 β sea

fβα : Eα → Eβ

un homomorfismo que satisface las siguientes propiedades:1) fαα = idEα para toda α ∈ I.2) fγα = fγβ ◦ fβα para toda α, β, γ ∈ I tal que α 6 β 6 γ.La familia (Eα)α∈I con los mapeos fβα definidos anteriormentees llamada un sistema inductivo de álgebras y es denotado por(Eα, fβα).

Límites inductivos de álgebras

Sea E0 =∑

α Eα (una unión ajena) y sean x, y ∈ E0 (entoncesx ∈ Eα y y ∈ Eβ) son equivalentes (x ∼ y) si existe γ ∈ I tal queα 6 γ, β 6 γ y

fγα(x) = fγβ(y).

El conjunto cociente (E0/ ∼) es llamado el límite inductivo (olímite directo) del sistema inductivo (Eα, fβα) y será denotadopor lim−→Eα.

Límites inductivos de álgebras

Para toda α ∈ I sea iα : Eα → E0 la inclusión y π : E0 → E0/ ∼el mapeo cociente. Entonces,

fα = π ◦ iα : Eα → E = lim−→Eα para toda α ∈ I

Se prueba queE =

⋃α∈I

fα(Eα).

Además, fβ ◦ fβα = fα cuando α 6 β y fα(Eα) ⊆ fβ(Eβ) para todaα, β ∈ I con α 6 β.

Límites inductivos de álgebras

Las operaciones algebraicas en lim−→Eα son definidas comosigue: para toda x, y ∈ E (entonces x ∈ fα(Eα) y y ∈ fβ(Eβ) paraalguna α, β ∈ I) existe γ ∈ I tal que x = fγ(xγ) y y = fγ(yγ) paraalguna xγ , yγ ∈ Eγ .

x+y = fγ(xγ+yγ), λx = fγ(λxγ) para cada λ ∈ K y xy = fγ(xγyγ).

Con respecto a estas operaciones algebraicas el límiteinductivo lim−→Eα es un álgebra.

Límites inductivos de álgebras topológicas

Si se consideran límites inductivos de álgebras topológicas(Eα, τα), se asume que los homomorfismos fβα : Eα → Eβ

(α, β ∈ I, α 6 β) son continuos y se le da al límite inductivoE = lim−→Eα la topología final τlim−−→Eα

inducida por los

homomorfismos fα.

Límites inductivos de álgebras localmenteseudoconvexas Eα

Como la topología τlim−−→Eαsobre E no necesariamente es

localmente seudoconvexa, se define sobre E la topología finallocalmente seudoconvexa como la topología τ dada por unabase de vecindades de x ∈ E

Lx = {x + U : U es absolutamente seudoconvexo en E y

f−1α (U) ∈ Nτα}

donde, Nτα denota el conjunto de vecindades de cero en Eα.(E, τ) es un álgebra localmente seudoconvexa. Además τ es latopología localmente seudoconvexa más fina sobre E tal que fαes continua para toda α ∈ I .

Γk(U) =

={ n∑

ν=1

µνuν : n ∈ N, u1, ···, un ∈ U y µ1, ···, µn ∈ K conn∑

ν=1

| µν |k6 1}

para todo subconjunto U de E y k ∈ (0, 1].Al conjunto Γk(U) se le llama la cerradura absolutamentek-convexa de U en E.Un subconjunto U ⊂ E es llamado absolutamenteseudoconvexo si U = Γk(U) para alguna k ∈ (0, 1].

Límite inductivo localmente

seudoconvexo de álgebras localmente

seudoconvexas

LFpg-á lgebras, LFp-á lgebras,

k-LFg-á lgebras, k-LF-á lgebras

Q-LFpg-álgebras, Q-LFp-á lgebras

. . . de sucesiones de á lgebras loca lmente

pseudoconvexas

Cuando el límite inductivo E = lim−→Eα satisface1. E =

⋃Eα y

2. Para toda α, β ∈ I existe γ ∈ I tal que Eα ⊆ Eγ y Eβ ⊆ Eγ .Usaremos la notación lim−→Eα en lugar de

⋃−→

Eα.

DefiniciónUna LF-álgebra (LFg-álgebra) es un álgebra topológica (E, τ)tal que a

E =⋃−→

(Eα, τα)

y toda (Eα, τα) es una F-álgebra .Además, una álgebra topológica (E, τ) es un LF-álgebra si Ees un límite inductivo de una sucesión creciente de F-álgebras(En, τn) tal que

E =⋃n∈N

En,

τ coincide con la topología de límite inductivo mas fina sobre Eque hace continuos a los mapeos canónicos y la topología deEn+1 restringida a En coincide con τn para toda n ∈ N.

aLa topología τ en E coincide con la topología de límite inductivo más finadefinida por los mapeos canónicos fα de Eα a E para toda α ∈ I.

Proposición

Sea (E, τ) un álgebra localmente seudoconvexa para la cual Ees un límite inductivo de F-álgebras localmente seudoconvexas(Eα, τα). Entonces, (E, τ) es un LFpg-álgebra.

Propiedades de las LFpg-álgebras y LFp-álgebras

1) Sea (E, τ) un LFpg-álgebra y J un ideal bilateral cerradoen E. Entonces, el álgebra cociente E/J con la topologíacociente τ es un LFpg-álgebra.

2) Sean (Eα, τα) y (Eβ, τβ) k-LF-álgebras (completas) paraalguna k ∈ (0, 1], entonces (Eα × Eβ, τ) donde τ denota latopología producto es una k-LF-álgebra (completa)

3) Para toda k-LF-álgebra completa (E, τ), k ∈ (0, 1], launitarización E ×K de E en la topología producto es unk-LF-álgebra completa.

Si A es un álgebra de Banach con unidad, entonces el conjuntode elementos invertibles de A es abierto.

Un álgebra topológica con unidad, A se dice que es Q-álgebrasi el conjunto de elementos invertibles de A es abierto.

Si A es un álgebra de Banach con unidad, entonces el conjuntode elementos invertibles de A es abierto.

Un álgebra topológica con unidad, A se dice que es Q-álgebrasi el conjunto de elementos invertibles de A es abierto.

Límite inductivo de Q-álgebras

DefiniciónUn álgebra topológica (E, τ) es una Q-álgebra si el conjuntoQinvE de elementos casi-invertibles a (cuando E es un álgebraunitaria, entonces el conjunto InvE de elementos invertibles) deE es abierto en la topología τ .

aUn elemento a de un álgebra A es casi-invertible , si existe un elementob ∈ A tal que a + b = ab.

DefiniciónSea E un álgebra sobre C y a ∈ E. El espectro de a, spE(a), esdefinido por

spE(a) ={λ ∈ C \ {0} :

aλ6∈ QinvA

}∪ {0}

y el radio espectral de a, ρE(a), por

ρE(a) = sup{|λ| : λ ∈ spE(a)}.

Límite inductivo localmente seudoconvexo deQ-álgebras localmente seudoconvexas

Sea (E, τ) un álgebra localmente seudoconvexa sobre C talque E =

⋃−→

Eα, (Eα, τα) son Q-álgebras localmente

seudoconvexas y τ es la topología de límite inductivolocalmente seudoconvexa. Si alguno de los siguientespropiedades se cumplen:

(1) QinvEα ∈ τ para cada α ∈ I;(2) El radio espectral de Eα, ρEα , es una seminorma sobre

Eα para cada α ∈ I;(3) I tiene un elemento mínimo α0 y fβα0 es un mapeo

abierto para cada β ∈ I,

entonces (E, τ) es Q-álgebra.

Se tiene que el límite inductivo localmente convexo de unafamilia numerable de álgebras normadas es un álgebralocalmente m-convexa.

Se prueba un resultado análogo en el caso de límite inductivok-convexo de álgebras kn-normadas.

¡Gracias!