UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA AMÉRICAFACULTAD DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN Y

ELECTRÓNICA

FECHA: 30 de junio del 2007NIVEL: 4to. “A” ElectrónicaALUMNO: Christian Tapia

TEMA: Teorema de la divergencia

DESARROLLO

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

Este Teorema es otra importante herramienta que utilizaremos tanto para el desarrollo teórico, como para determinar campos eléctricos.

La definición de divergencia, puede escribirse de la siguiente manera,

El primer miembro es simplemente el producto de la divergencia de E por un elemento de volumen muy pequeño, mientras que el segundo miembro es el flujo saliente de E por la(s) superficie(s) que delimitan el elemento de volumen ∆τ.

Fig 19. Flujo saliente del elemento ∆τ

Escribamos la expresión anterior para el elemento de volumen ∆τ de la figura [19], descomponiendo la integral de superficie en seis operaciones, tendremos,

(123)

Supongamos ahora que dividamos un volumen V0, encerrado por una superficie S0, como el de la figura [20], en elementos diferenciales de volumen dτ y para cada uno de ellos, escribamos una expresión como la (123). Luego sumemos todos los primeros miembros de las expresiones obtenidas, el resultado no será otro que la siguiente integral,

(124)

Sumemos ahora, todos los segundos miembros de las expresiones mencionadas. Como puede verse en la figura [20], para dos elementos contiguos, el flujo saliente por el lado en común, será igual pero con signo opuesto. Esto significa que los únicos flujos salientes que no se anularan serán aquellos a través de lados que pertenezcan a la superficie externa S0.

Fig 20. Elementos de volumen contiguos.

De lo anterior se desprende, que la mencionada suma de los segundos miembros, será la siguiente integral de superficie,

(125)

por lo tanto tenemos que,

(126)

Donde S0 es la superficie que encierra al volumen V0. Este resultado, es conocido como el Teorema de la divergencia y nos permite la conversión de un integral de volumen en un integral de superficie y viceversa

Debido a la similaridad matemática que tiene el campo eléctrico con otras leyes físicas, el teorema de Gauss puede utilizarse en diferentes problemas de física gobernados por leyes inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia, como la gravitación o la intensidad de la radiación. Este teorema recibe el nombre de ley de Gauss y constituye también la primera de las ecuaciones de Maxwell.

Ejemplo de aplicación

Esfera de radio 2

Hallar el flujo del campo: a través de la

superficie esférica:

Resolución:

Sea , esto quiere decir que tiene derivadas parciales de primer orden continuas. Por la ecuación de la esfera se sabe que el radio: .

Entonces:

Luego:

El teorema de la divergencia (o teorema de Gauss), nos permite transformar integrales de superficie en integrales de volumen ( y viceversa). En el caso particular de tres dimensiones podemos expresarlo como:

BIBLIOGRAFIA:

• http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_divergencia• www.answermath.com