TEORIA-2-2013_-Medidas_centrales

ESTADSTICAyPROBABILIDADESPROFESORA: Mg. Alicia Chiok G. de Taipe e-mail: [email protected]

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Mg.Alicia Chiok G-de Taipe e-mail:[email protected]


Son indicadores estadsticos que resumen todos los datos en un slo nmeroSe obtienen a travs de frmulas

Se utiliza solo para variables cuantitativas

Por lo tanto: son valores que representan a un conjunto de datos.

Son llamados tendencia central, ya que se ubican generalmente en el centro de la distribucin de los datos. DEFINICIN:MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALMg.Alicia Chiok G-de Taipe e-mail:[email protected]


PRINCIPALES MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 1. Media Aritmtica 2. Mediana 3. Moda MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALMg.Alicia Chiok G-de Taipe e-mail:[email protected]


1. MEDIA ARITMTICA: XIndicador estadstico que representa a un conjunto de datos cuantitativos Se usa : Para datos homogneosEs conocido como: Promedio REPRESENTACION: X, M(X)MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALMg.Alicia Chiok G-de Taipe e-mail:[email protected]


1.1Frmulas para la Media aritmtica

a) Pocos datos (datos sin tabular):Se obtiene de la suma de todos los datos, dividido entre el nmero total de ellos.

Variables CD,CCMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALMg.Alicia Chiok G-de Taipe e-mail:[email protected]


Ejemplos de Clculo de la Media

a) Pocos datos (datos sin tabular):Los datos corresponden a X= nmero de ingenieros de un grupo de empresas de cableados: X: 5 6 7 5 4 6 4 3 10 5 3

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALCada empresa en promedio tiene 5 ingenieros. Mg.Alicia Chiok G-de Taipe e-mail:[email protected]


1.2 Frmulas de Clculo de la Media

b) Datos tabulados :Se obtiene como la suma de los productos de los valores que toma la variable por su respectiva frecuencia absoluta simple, dividido entre el nmero total de datos.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALVariables CD,CCMg.Alicia Chiok G-de Taipe e-mail:[email protected]


Ejemplos de Clculo de la Media

b) Datos Tabulados :CD NUMERO DE PROYECTOS DE EMPRESAS DE INGENIEROSCada empresa tiene en promedio 1 proyectoMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL = 74 / 56 = 1.32 proyecto 1 proyecto FUENTE: COLEGIO DE INGENIEROS

N Proy=X f=Emp.X f0 10 01 20202 18363 818TOTAL 56=n 74


1.3 Frmulas de Clculo de la Mediac) Datos tabulados (con intervalos):CCSe obtiene de la suma de los productos de las marcas de clase por su frecuencia, dividido entre el nmero total de ellos. X: marca de clase= semisuma de lmites de intervalos

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALVariables CD,CCMg.Alicia Chiok G-de Taipe e-mail:[email protected]


INGENIEROS SEGN SUELDOS MENSUALES (MILES DE $)FUENTE:Oficina Personal-Empresa RYLMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALEjemplo de Clculo de la Media

Datos Tabulados :CC = 93 / 30 = 3.10 miles $ = 3,100 $Cada ingeniero tiene en promedio un sueldo mensual de 3100 $

SUELDOSXfX f2.0 2.5 2.25 2 4.502.5 3.0 2.75 8 22.003.0 3.5 3.25 17 55.253.5 4.0 3.75 3 11.25TOTALES 30=n 93.00


1.4 CASOS PARA USAR LA MEDIA:1. Los datos son homogneos2.No hay presencia de valores extremos en la Variable X 3. Las Distribuciones de Frecuencia tienen intervalos de amplitud constante

XMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALMg.Alicia Chiok G-de Taipe e-mail:[email protected]


1.5 PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMTICA 1.- La media de una constante M (a) = a 2. Si multiplicamos o dividimos todas las observaciones por un mismo nmero, la media queda multiplicada o dividida por dicho numero M (a X) = a M(X)MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALMg.Alicia Chiok G-de Taipe e-mail:[email protected]


1.5.Propiedades de la media aritmtica

3.Si le sumamos o restamos a todos los datos un mismo nmero, la media quedar sumada o restada en dicha cantidad. M (X +- a) = M(X) +- a 4.La media de la suma de dos variables M(X + Y) = M(X) + M(Y)



Se utiliza cuando se tienen los datos en varios grupos, que pueden ser de diferente tamao n1,n2,n35. MEDIA PONDERADA:MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL1.5.Propiedades de la media aritmtica:



2. MEDIANA: Md (X) Es un indicador estadstico que divide al conjunto de datos en dos partes iguales. Se usa :Datos son heterogneosREPRESENTACION: Md(X)MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL~Mg.Alicia Chiok G-de Taipe e-mail:[email protected]


Geomtricamente la mediana se encuentra en el valor X que divide al histograma en dos partes de reas iguales. Mg.Alicia Chiok G-de Taipe e-mail:[email protected]


Md = x( n+1)/2Md =(1/2)*(x n/2+x (n+2)/2 )a) Datos sin Tabular ( pocos datos )Procedimiento:i) Ordenar los datos en forma crecienteii) Observar el nmero de datos (n) y elegir:

* Si n es par :

* Si n es impar :MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL2.1Frmulas de Clculo de la MedianaMg.Alicia Chiok G-de Taipe e-mail:[email protected]


Ejemplos de Clculo de la Mediana

a) Pocos datos (datos sin tabular):Los siguientes datos corresponden al numero de ingenieros de un grupo de empresas de telefona: 4 5 8 5 9 2 8 9 7 3 6 SOLUCINProcedimiento: 2 3 4 5 5 6 7 8 8 9 9

n= 11 (n+1)/2=(11+1)/2=6 : x6 = 5,Md= 6 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL El 50% de las empresas tienen menos de 6 ingenierosEl 50% de las empresas tienen mas de 6 ingenierosMg.Alicia Chiok G-de Taipe e-mail:[email protected]


Md = xjMd = (xj + xj-1) / 2

b) Mediana para Datos tabulados Procedimiento:i) Calcular las frecuencias acumuladas F ii) Encontrar n/2iii) Ubicar Fj tal que Fj - 1 < n/2 < Fj

CD* Si Fj-1 < n/2 : MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL * Si Fj-1 = n/2 : donde: xj = Valor de x correspondiente a Fj xj-1 = Valor de x correspondiente a Fj-1 Mg.Alicia Chiok G-de Taipe e-mail:[email protected]


Ejemplos de Clculo de la Mediana

b) Datos Tabulados:CD INGENIEROS SEGN NUMERO DE SOFTWARE QUE DOMINANMd = xjEl 50% de los ingenieros dominan menos de un soft y el otro 50% dominan mas de un softwareMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Md = 1 softn/2 = 15Fj=19FUENTE:Oficina Personal-Empresa ICC

NSoft=XfF0 331 16192 10293 130TOTAL 30


Md = L jc) Mediana para Datos tabulados (con intervalos):CCProcedimiento:i) Calcular las frecuencias acumuladas F ii) Encontrar n/2iii) Ubicar Fj inmediato mayor a n/2 CC * Si F j -1 < n/2:

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL* Si F j -1 = n/2: donde:L j = lmite real inferior de Fj cj = Amplitud del Intervalo que corresponde a Fj Mg.Alicia Chiok G-de Taipe e-mail:[email protected]


SUELDO MENSUAL(miles $) DE INGENIEROSMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALEjemplos de Clculo de la Mediana

b) Datos Tabulados con intervalos :CC = 3.15 miles $ = 3,150 soles

n/2 = 15 , Fj= 27, Fj-1=10, Lj= 3Fuente:Empresa ing. Asoc

SUELDOSXIng. (f)FMenos de 2.5 2.25 222.5 3.0 2.75 8103.0 3.5 3.25 17273.5 4.0 3.75 330TOTAL 30


1.- Los datos no son homogneos, es decir la Variable X tiene valores extremos2.2. CASOS PARA USAR LA MEDIANA:2.- Los lmites de intervalos no estn definidosMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALMg.Alicia Chiok G-de Taipe e-mail:[email protected]


PROPIEDADES DE Md 1. Es nica. 2. Los valores extremos no tienen efectos importantes sobre la mediana, lo que si ocurre con la media.Mg.Alicia Chiok G-de Taipe e-mail:[email protected]


3. MODA: MoREPRESENTACION: Mo (X) SE USA: Para Datos CualitativosCuando se pida el dato mas repetido o mas frecuente MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALMg.Alicia Chiok G-de Taipe e-mail:[email protected]


3. MODA

La moda es el valor de la variable que tenga mayor frecuencia absoluta, la que ms se repite, es la nica medida de centralizacin que tiene sentido estudiar en una variable cualitativa, pues no precisa la realizacin de ningn clculo. Por su propia definicin, la moda no es nica, pues puede haber dos o ms valores de la variable que tengan la misma frecuencia siendo esta mxima. En cuyo caso tendremos una distribucin bimodal o polimodal segn el caso.Mg.Alicia Chiok G-de Taipe e-mail:[email protected]


Mo = dato que ms se repiteMo = Xi con mayor f3.1 Frmulas de Clculo de la ModaMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALa) Datos cualitativosb) Datos Tabulados sin intervalos(por observacin)(por observacin)* CD :Mg.Alicia Chiok G-de Taipe e-mail:[email protected]


Lmo = lmite real inferior con mayor frecuencia 1 = diferencia de > f y la anterior a ella 2 = diferencia de > f y la posterior a ellaCJ = amplitud del intervalo con mayor frecuenciaMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALc) Datos Tabulados con intervalo: CC * CC :Mg.Alicia Chiok G-de Taipe e-mail:[email protected]


3.2. Casos en que se recomienda usar la Moda:b1 .- Los Datos son Cualitativos

b2. Cuando se solicita el dato que ms se repiteb3.Cuando se solicita el valor ms frecuenteMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALMg.Alicia Chiok G-de Taipe e-mail:[email protected]


MEDIDAS DE DIVISIN DE DATOS



Cuartiles, deciles y percentiles Un conjunto de puntajes o mediciones puede dividirse en un cierto nmero de partes iguales mediante la seleccin de valores que correspondan a una posicin determinada en dicho conjunto.

Por ejemplo, la mediana divide a un conjunto de valores dados en dos partes iguales, y su posicin es, en consecuencia, a la mitad del mismo. De manera que 50% de los puntajes quedan a uno u otro lado valor estadstico.MEDIDAS DE DIVISIN DE DATOSMg.Alicia Chiok G-de Taipe e-mail:[email protected]


Cuartiles, deciles y percentiles

En general, se llaman cuantiles (o "cuantilas") a estos valores con posicin divisora determinada. Pueden considerarse los siguientes cuantiles, adems de la mediana:a) cuartil (o "cuartila")b) decil (o "decila")c) percentil o centil (o "centila")que son respectivamente, los cuantiles que corresponden a la divisin en 4, 10, y 100 partes iguales del conjunto dado.

MEDIDAS DE DIVISIN DE DATOSMg.Alicia Chiok G-de Taipe e-mail:[email protected]


1. C u a r t i l e s ( Q i ) , i = 1, 2, 3Son tres nmeros iguales que dividen a los datos, en 4 partes iguales, cada una con el 25 % de los datos.

Procedimiento : Similar al de la mediana (Md) pero en vez de n/2 se considera (i*n)/4.

Fj-1

GRAFICAMENTE CUARTILESMEDIDAS DE DIVISIN DE DATOSMg.Alicia Chiok G-de Taipe e-mail:[email protected]


2. D e c i l e s ( Di ) , i = 1, 2, 3, ...9Son 9 nmeros que dividen a los datos en 10 partes iguales,cada uno con el 10 % de los datos.

*Procedimiento : Similar al de la MEDIANA ( Md ) pero en lugar de n/2, se considera ( i*n)/10

Fj-1

GRAFICAMENTE DECILESMEDIDAS DE DIVISIN DE DATOSMg.Alicia Chiok G-de Taipe e-mail:[email protected]


3. P e r c e n t i les ( Pi ) , i = 1, 2, 3, ...99 Son 99 nmeros que dividen a los datos en 100 partes iguales, cada una con el 1 % de los datos.

Procedimiento : similar a la MEDIANA ( Md ) pero en lugar de n/2 se considera (i*n)/100

Fj-1

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