Teoria Das Estruturas 2 -

1

T E O R I A D A S E S T R U T U R A S 2

C E N T R O U N I V E R S I T R I O E S T C I O R A D I A L D E S O P A U L O

C U R S O D E G R A D U A O E M E N G E N H A R I A C I V I L

P R O F . A L E X A N D R E A U G U S T O M A R T I N S

6 P E R O D O

2 0 1 3 / 2 S

AU

LA 6

0

4.0

9.20

13

2

M T O D O D A S F O R A S

3

SISTEMTICA DO MTODO DAS FORAS:

DETERMINAO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO SISTEMA ESTRUTURAL;

ESCOLHA DE UM SISTEMA BSICO DE CLCULO;

TRAADO DOS DIAGRAMAS, NO SISTEMA BSICO, SEPARADAMENTE PARA O

CARREGAMENTO EXTERNO E PARA OS VALORES UNITRIOS DAS INCGNITAS;

OBTENO DE TODOS OS COEFICIENTES i,j (DESLOCAMENTOS);

RESOLUO DAS EQUAES CANNICAS COM A DETERMINAO DAS

VARIVEIS HIPERESTTICAS;

CLCULO DOS ESFOROS FINAIS E TRAADO DOS DIAGRAMAS FINAIS.

4

G R A U D E H I P E R E S T A T I C I D A D E CASO 1: PRTICOS PLANOS

5

CONSIDERAES GERAIS

DIZ-SE QUE OS ESFOROS EM EXCESSO, NO EQUILBRIO DE UMA ESTRUTURA EM

BARRAS, SO HIPERESTTICOS OU REDUNDANTES ESTTICOS E QUE O NMERO

DESSAS REDUNDNCIAS FORMA O GRAU DE INDETERMINAO ESTTICA OU GRAU

DE HIPERESTATICIDADE

O GRAU DE HIPERESTATICIDADE PODE SER DETERMINADO PELA FRMULA:

g = [NMERO DE INCGNITAS DO PROBLEMA ESTTICO]

[NMERO DE EQUAES DE EQUILBRIO]

6

CONSIDERAES GERAIS

AS INCGNITAS DO PROBLEMA DO EQUILBRIO ESTTICO DEPENDEM DOS VNCULOS

DE APOIO DA ESTRUTURA E DA EXISTNCIA DE CICLOS FECHADOS DE BARRAS (OU

ANIS);

CADA COMPONENTE DE REAO DE APOIO UMA INCGNITA, ISTO , AUMENTA EM

UMA UNIDADE O GRAU DE HIPERESTATICIDADE.

C L A S S I F I C A O D O S M O D E L O S E S T R U T U R A I S

GRAU DE HIPERESTATICIDADE CONSEQUNCIA

g < 0 CONDIO SUFICIENTE PARA O MODELO SER HIPOSTTICO E INSTVEL

g = 0 CONDIO NECESSRIA PARA O MODELO SER ISOSTTICO E ESTVEL

g > 0 CONDIO NECESSRIA PARA O MODELO SER HIPERESTTICO E ESTVEL

7

ATENO:

O GRAU DE HIPERESTATICIDADE DE MODELOS ISOSTTICOS E HIPERESTTICOS NO

SUFICIENTE PARA CARACTERIZAR A ESTABILIDADE DA ESTRUTURA, POIS APENAS

CONTABILIZA O NMERO DE INCGNITAS DO PROBLEMA DO EQUILBRIO ESTTICO E

O NMERO DE EQUAES DE EQUILBRIO;

NEM TODO PRTICO COM REAES EM NMERO IGUAL AO DO DE EQUAES DE

EQUILBRIO DA ESTTICA ISOSTTICO;

NEM TODO PRTICO COM REAES EM NMERO SUPERIOR A ESSAS EQUAES,

HIPERESTTICA.

8

EXEMPLO:

ESTE PRTICO TRAZ TRS COMPONENTES DE REAO DE APOIO QUE SO VERTICAIS,

NO EXISTINDO, PORM, NENHUM VNCULO QUE IMPEA O MOVIMENTO

HORIZONTAL. SE UMA FORA NESSE SENTIDO FOR APLICADA, A EQUAO GLOBAL DE

EQUILBRIO NA DIREO HORIZONTAL NO FICA SATISFEITA.

PRTICO HIPOSTTICO!

D

B A

E F

C

l1 l2

VA

D

B A

E F

C

VB VC

9

GRAU DE HIPERESTATICIDADE EM PRTICOS PLANOS:

DEVE-SE VISUALIZAR O PRTICO DE FORMA GLOBAL, NO SEPARANDO-O PELAS

RTULAS (QUANDO PRESENTES);

O NMERO DE INCGNITAS CALCULADO PELA SEGUINTE FRMULA:

NMERO DE INCGNITAS DO PROBLEMA ESTTICO =

[(NMERO DE COMPONENTES DE REAES DE APOIO) + (NMERO DE ANIS) . 3]

UM ANEL INTRODUZ TRS VARIVEIS (OU INCGNITAS) PARA O PROBLEMA DO

EQUILBRIO ESTTICO;

OU SEJA, CADA ANEL DE UM PRTICO PLANO AUMENTA EM TRS UNIDADES O GRAU

DE HIPERESTATICIDADE.

10

GRAU DE HIPERESTATICIDADE EM PRTICOS PLANOS:

PARA AS EQUAES DE EQUILBRIO ESTTICO, DEVE-SE CONSIDERAR AS TRS

EQUAES TRADICIONAIS QUE GARANTEM O EQUILBRIO GLOBAL DA ESTRUTURA

(FX = 0; FY = 0; E M = 0), ALM DAS EQUAES PROVENIENTES DE LIBERAES DE

CONTINUIDADE INTERNA DA ESTRUTURA;

TEM-SE ENTO:

NMERO DE EQUAES DE EQUILBRIO =

(3 EQUAES DO EQUILBRIO GLOBAL) + (NMERO DE EQUAES GERADAS PELAS

ARTICULAES INTERNAS)

11

RESUMINDO:

GRAU DE HIPERESTATICIADE =

[(NMERO DE COMPONENTES DE REAES DE APOIO) + (NMERO DE ANIS . 3]

[3 + (NMERO DE EQUAES VINDAS DE ARTICULAES INTERNAS)]

12

EXEMPLO 1:

CLCULO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO PRTICO

PLANO E DEFINIO DA SUA SITUAO DE EQUILBRIO:

g =

[(NMERO DE COMPONENTES DE REAES DE APOIO)+

(NMERO DE ANIS . 3]

[3 + (NMERO DE EQUAES VINDAS DE ARTICULAES

INTERNAS)]

g = [(2 + 2 + (0 . 3] [3 + (1)]

g = 4 4

g = 0

PORTANTO, ESTE PRTICO ISOSTTICO

C

A

D E

B

l1 l2

HA

VA

HB

VB

13

EXEMPLO 2:



g =


(NMERO DE ANIS . 3]


INTERNAS)]

g = [(2 + 1 + (1 . 3] [3 + (1)]

g = 6 4

g = 2

PORTANTO, ESTE PRTICO HIPERESTTICO

C

A

D

B

l1

HA

VA

VB

14

EXEMPLO 3:



g =


(NMERO DE ANIS . 3]


INTERNAS)]

g = [(2 + 2 + (1 . 3] [3 + (1)]

g = 7 4

g = 3


C A

D E

B

l1 l2

F

HA

VA

HB

VB

15

EXEMPLO 4:



g =


(NMERO DE ANIS . 3]


INTERNAS)]

g = [(2 + 2 + (2 . 3] [3 + (2)]

g = 10 5

g = 5


C

A

D E

B

l1 l2

F

HA

VA

HB

VB

16

EXEMPLO 5:



g =


(NMERO DE ANIS . 3]


INTERNAS)]

g = [(2 + 1 + (1 . 3] [3 + (3)]

g = 6 6

g = 0

PORTANTO, ESTE PRTICO ISOSTTICO

C

A

D

B

l1 l2

HA

VA VB

17

EXEMPLO 6:



g =


(NMERO DE ANIS . 3]


INTERNAS)]

g = [(2 + 2 + 2 + (0 . 3] [3 + (1)]

g = 6 4

g = 2


D

B A

E

F

C

l1 l2

G

HA

VA

HB

VB

HC

VC

18

1 . G R A U D E H I P E R E S T A T I C I D A D E CASO 2: SISTEMAS ABERTOS

19

ATENO:

O GRAU DE HIPERESTATICIDADE DE MODELOS ISOSTTICOS E HIPERESTTICOS NO

SUFICIENTE PARA CARACTERIZAR A ESTABILIDADE DA ESTRUTURA, POIS APENAS

CONTABILIZA O NMERO DE INCGNITAS DO PROBLEMA DO EQUILBRIO ESTTICO E

O NMERO DE EQUAES DE EQUILBRIO;

NEM TODA VIGA COM REAES EM NMERO IGUAL AO DO DE EQUAES DE

EQUILBRIO DA ESTTICA ISOSTTICA;

NEM TODA VIGA COM REAES EM NMERO SUPERIOR A ESSAS EQUAES,

HIPERESTTICA.

20

EXEMPLO 1:

VIGA HIPOSTTICA!

ISSO ACONTECE PORQUE H TRS REAES DE APOIO E QUATRO REAES DE

EQUILBRIO LINEARMENTE INDEPENDENTES ENTRE SI: TRS EQUAES DE EQUILBRIO

DA VIGA COMO UM TODO E UMA EQUAO DE MOMENTO NULO, DEVIDO RTULA

INTERNA, NO CENTRO DA BARRA.

P

A B

l1 l2

P

HA

VA VB

A B

21

EXEMPLO 2:

NESTE CASO, AINDA QUE EXISTAM TRS REAES DE APOIO E TRS DE EQUILBRIO, AS

REAES HA E HB INDICADAS SO COLINEARES, NO RESTRINGINDO, PORTANTO,

ROTAES INFINITESIMAIS DE CORPO RGIDO EM TORNO DA EXTREMIDADE ESQUERDA,

NA QUAL SE LOCALIZA O APOIO FIXO.

VIGA HIPOSTTICA!

P

A B

l1 l2

P

HA

VA

HB

A B

22

EXEMPLO 3:

ESTA SITUAO MOSTRA, EM UM PRIMEIRO MOMENTO, UMA SITUAO DE

HIPERASTICIDADE. CONTUDO, MESMO HAVENDO QUATRO REAES DE APOIO

VERTICAIS E TRS EQUAES DE EQUILBRIO ESTTICO, NO EXISTEM RESTRIES

QUANTO AOS DESLOCAMENTOS HORIZONTAIS, O QUE TORNA A ESTRUTURA INSTVEL.

VIGA HIPOSTTICA!

A

l1 l2 l3 l5 l6

B C D

P

l4

A B C D

P

VA VB VC VD

23

PARA SISTEMAS ABERTOS, A DETERMINAO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE, E

CONSEQUENTE OBTENO DE SISTEMAS BSICOS, RELATIVAMENTE SIMPLES, OU

SEJA:

O GRAU DE HIPERESTATICIDADE PODE SER DETERMINADO PELA FRMULA:

g = [NMERO DE COMPONENTES DE REAES DE APOIO]


24

EXEMPLO 4:



g =

[(NMERO DE COMPONENTES DE REAES DE APOIO)

(NMERO DE EQUAES DE EQUILBRIO)]

g = [(2 + 2) 3]

g = 4 3

g = 1

PORTANTO, ESTE ESTRUTURA HIPERESTTICA

P

A

B

l1

l2

VB

VA

HA

HB

25

EXEMPLO 5:

CLCULO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO PRTICO PLANO E DEFINIO DA SUA SITUAO DE EQUILBRIO:

g = [(2 + 3) 3]

g = 5 3

g = 2


P l1

l4

l2

l5 l6 l3

A

C

D

E

B

VA

HA

VB

HB

MB

g =

[(NMERO DE COMPONENTES DE REAES DE APOIO)

(NMERO DE EQUAES DE EQUILBRIO)]

26

EM HAVENDO ARTICULAES (RTULAS) INTERNAS AO SISTEMA ABERTO, TEM-SE

QUE, EM UM N ONDE CONCORREM b BARRAS, O GRAU DE INDETERMINAO

REDUZIDO (b 1) VEZES, EM FUNO DA INTRODUO DE UMA ARTICULAO.

PORTANTO, O GRAU DE HIPERESTATICIDADE EM SISTEMAS ABERTOS

DETERMINADO POR MEIO DA FRMULA:

g = [NMERO DE COMPONENTES DE REAES DE APOIO] [NMERO DE EQUAES DE

EQUILBRIO] [GRAU DE INDETERMINAO J REDUZIDO]

27

EXEMPLO 6:

A B

C



g =

[NMERO DE COMPONENTES DE REAES DE APOIO]


[GRAU DE INDETERMINAO J REDUZIDO]

g = [(3 + 2 + 2) 3 (3 1)]

g = 7 3 2

g = 2


MA

VA

HA

VC

HC

VB

HB

28

P l1

l4

l2

l5 l6 l3

A

C

D

E

B

VA

HA

VB

HB

MB

EXEMPLO 5:

CLCULO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO PRTICO PLANO E DEFINIO DA SUA SITUAO DE EQUILBRIO:

g = [(2 + 3) 3 (2 1)]

g = 5 3 1

g = 1


g =

[NMERO DE COMPONENTES DE REAES DE APOIO]


[GRAU DE INDETERMINAO J REDUZIDO]

29

S I S T E M A B S I C O

30

NESTE MTODO, OS CLCULOS SO EFETUADOS A PARTIR DE UM SISTEMA BSICO

(OU PRINCIPAL), DERIVADO DO SISTEMA EM ESTUDO;

O SISTEMA BSICO UMA SITUAO ESTATICAMENTE DETERMINADA, ISTO ,

ISOSTTICA, OBTIDA POR MEIO DA SUPRESSO DE VNCULOS INTERNOS OU

EXTERNOS, SEMPRE SUPERABUNDANTES, DE FORMA A QUE NO HAJA PREJUZO DA

ESTABILIDADE GEOMTRICA DA ESTRUTURA;

POSSVEL TER DIVERSOS SISTEMAS BSICOS PARA UM MESMO SISTEMA REAL, O

QUE NO DEIXA DE SER UM INCONVENIENTE!;

DEVE-SE ESCOLHER, PORTANTO, O SISTEMA BSICO QUE CONDUZA A CLCULOS OS

MAIS SIMPLES POSSVEL. ISTO FEITO ANALISANDO-SE OS SISTEMAS BSICOS,

ESPECIALMENTE APS A OBTENO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE.

31

A B

L

SISTEMA HIPERESTTICO

EXEMPLO 1:

32

SISTEMA ISOSTTICO (BSICO)

X1 = ?

A B

L

33

X2 = ?


A B

L

34

EXEMPLO 2:

A B

L / 2

C

L / 2


35

EXEMPLO 2:

X1 = ?

A B

L / 2

C

L / 2


36

EXEMPLO 2:

X2 = ?

A B

L / 2

C

L / 2


37

EXEMPLO 3:

L1 L2

C

A

E

B

F G

D


38

EXEMPLO 3:

L1 L2

C

A

E

B

F G

D


X1 = ?

X2 = ?

X4 = ?

X3 = ?

39

EXEMPLO 3:

L1 L2

C

A

E

B

F G

D


X2 = ?

X4 = ?

X6 = ?

X5 = ?

40

EXEMPLO 4:



g =


(NMERO DE ANIS . 3]


INTERNAS)]

g = [(2 + 3 + 3 + (0 . 3] [3 + (0)]

g = 8 3

g = 5


C

A

D E

B

L1 L2

F

HA

VA

HB

VB

HC

VC

MB

MC

41

L1 L2

C

A

D E

B

F

42

L1 L2

C

A

D E

B

F

X8 = ?

X7 = ?

X6 = ?

X4 = ? X3 = ?

43

L1 L2

C

A

D E

B

F

X2 = ?

X1 = ? X5 = ?

X4 = ? X3 = ?

44

P R I N C P I O D A S U P E R P O S I O

45

NO MTODO DAS FORAS UTILIZADO COM MUITA FREQUNCIA O PRINCPIO DA

SUPERPOSIO;

ESSE PRINCPIO PODE SER ADOTADO SEMPRE QUE HAJA RELAES LINEARES ENTRE

AS AES E OS DESLOCAMENTOS. ISSO ACONTECE PARA AS SEGUINTES HIPTESES:

VALIDADE DA LEI DE HOOKE: O MATERIAL DE QUE FEITA A ESTRUTURA

ELSTICO, E EXISTE UMA PROPORO ENTRE O ESFORO E O DESLOCAMENTO;

PEQUENOS DESLOCAMENTOS DA ESTRUTURA, OS CLCULOS PODEM SER

BASEADOS NAS DIMENSES ORIGINAIS DAS PEAS;

NO EXISTE INTERAO ENTRE OS EFEITOS AXIAL E FLETOR NOS MEMBROS, OU

SEJA, O EFEITO DAS FORAS AXIAIS DESPREZVEL NA FLEXO DAS BARRAS;

SATISFEITAS AS HIPTESES ACIMA, ASSUME-SE QUE A ESTRUTURA LINEARMENTE

ELSTICA (E ISSO CONSIDERADO NO MTODO DAS FORAS).

46

A B

L

P

M

f

B

47

COM MUITA FREQUNCIA USADA A CORRESPONDNCIA ENTRE AO E

DESLOCAMENTO;

NO CASO ANTERIOR, TEM-SE:

f CORRESPONDE AO GERADA PELA FORA P; E

REFERE-SE AO EFEITO OCASIONADO PELA PARTICIPAO DO MOMENTO

M.

ATENO:

f E NO FORAM CAUSADOS UNICAMENTE EM FUNO DE P E DE M

(RESPECTIVAMENTE), MAS, SIM, PELA AO CONJUNTA DE AMBOS OS

ESFOROS EXTERNOS!

48

E Q U A E S C A N N I C A S

49

AS EQUAES NOS MTODOS DAS FORAS (OU EQUAES CANNICAS) SO

EQUAES QUE LEVAM EM CONTA A COMPATIBILIDADE GEOMTRICA DA PEA EM

ESTUDO;

ELAS EXPRIMEM RELAES LINEARES ENTRE AO E DESLOCAMENTO;

DE UM MODO GERAL, PODE-SE ESCREVER:

= K . A

ONDE:

= DESLOCAMENTO;

A = AO; E

K = FLEXIBILIDADE, OU SEJA, DESLOCAMENTO PRODUZIDO POR UMA AO

ORDINRIA.

50

C

A

D

B

51

X2

X1

X3

C

A

D

B

52

10

20

30

C

A

D

B

53

21

11

31

X1

B

C

A

D

B

54

22

12

32

X2

C

A

D

B

55

23

13

33

X3

C

A

D

B

56

C O N T I N U A . . .

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