Teoria dei giochi Eliminazione iterata delle strategie strettamente dominate Eliminazione iterata delle strategie strettamente dominate Il diritto di proprietà

Teoria dei giochiTeoria dei giochi

Eliminazione iterata delle Eliminazione iterata delle strategie strettamente strategie strettamente

dominatedominateIl diritto di proprietàIl diritto di proprietà

Concetti baseConcetti base

Un problema di scelta razionale in Un problema di scelta razionale in condizioni di iterazione strategica (GIOCO) condizioni di iterazione strategica (GIOCO) può essere descritto in termini matematici può essere descritto in termini matematici precisi mediante la forma estesa oppure la precisi mediante la forma estesa oppure la forma strategica.forma strategica.

Un gioco in forma strategica identifica i Un gioco in forma strategica identifica i giocatorigiocatori, le , le strategie strategie di ognuno di essi e i di ognuno di essi e i payoffpayoff associati a ogni situazione sociale, associati a ogni situazione sociale, che rappresentano l’utilità di ogni giocatore che rappresentano l’utilità di ogni giocatore di trovarsi in quella particolare situazione di trovarsi in quella particolare situazione sociale.sociale.


SOLUZIONE DI UN GIOCOSOLUZIONE DI UN GIOCO

Con il termine soluzione di un gioco si Con il termine soluzione di un gioco si intendono le strategie dei giocatori e le intendono le strategie dei giocatori e le

corrispondenti situazioni sociali che sono corrispondenti situazioni sociali che sono compatibili con alcune ipotesi compatibili con alcune ipotesi

riguardanti l’intelligenza e la razionalità riguardanti l’intelligenza e la razionalità dei giocatori, nonché il loro grado di dei giocatori, nonché il loro grado di conoscenza delle caratteristiche del conoscenza delle caratteristiche del

gioco stesso.gioco stesso.


A seconda dei requisiti di conoscenza o A seconda dei requisiti di conoscenza o razionalità in possesso dei diversi giocatori razionalità in possesso dei diversi giocatori

esiste una classificazione che individua esiste una classificazione che individua quattro concetti base di quattro concetti base di soluzionesoluzione::

le strategie che sopravvivono le strategie che sopravvivono all’eliminazione iterata delle strategie all’eliminazione iterata delle strategie strettamente dominatestrettamente dominate

le strategie razionalizzabilile strategie razionalizzabili l’equilibrio di Nash (o equilibrio strategico)l’equilibrio di Nash (o equilibrio strategico) l’equilibrio correlatol’equilibrio correlato


dominatedominate

Mostriamo con un esempio come si Mostriamo con un esempio come si applica il concetto di soluzione e applica il concetto di soluzione e

successivamente diamo una definizione successivamente diamo una definizione generale e spieghiamo in che senso generale e spieghiamo in che senso l’esito così ottenuto rappresenta la l’esito così ottenuto rappresenta la

scelta razionale in condizioni di scelta razionale in condizioni di interazione strategica. A tal proposito interazione strategica. A tal proposito

consideriamo il seguente gioco in forma consideriamo il seguente gioco in forma strategica:strategica:

Forma strategicaForma strategica

sinistrasinistra destradestra

altoalto 3,3,22 2,2,66

centrocentro 4,4,44 3,3,33

bassobasso 6,6,55 1,1,33

Il giocoIl gioco

Abbiamo un gioco in forma strategica Abbiamo un gioco in forma strategica di cui considereremo dapprima il di cui considereremo dapprima il giocatore giocatore II e in particolare e in particolare confronteremo due strategie di tale confronteremo due strategie di tale giocatore: per esempio giocatore: per esempio altoalto e e centro.centro.

Vogliamo vedere se Vogliamo vedere se II preferisce preferisce altoalto oppure oppure centrocentro, dobbiamo però tener , dobbiamo però tener conto di quello che conto di quello che II crede farà crede farà II.II.

PreferenzePreferenze Le preferenze del giocatore Le preferenze del giocatore II tra tra altoalto e e centrocentro

per ogni possibile strategia del giocatore per ogni possibile strategia del giocatore II II sono:sono:

• se se IIII gioca gioca sinistrasinistra, , II ottiene 3 giocando ottiene 3 giocando altoalto e 4 e 4 giocando giocando centrocentro. Quindi se . Quindi se IIII gioca sinistra, gioca sinistra, II preferisce strettamente preferisce strettamente centrocentro in quanto 4 > 3. in quanto 4 > 3.

• Se Se IIII gioca gioca destradestra, , II ottiene 2 giocando ottiene 2 giocando altoalto e 3 e 3 giocando giocando centrocentro. Quindi se . Quindi se IIII gioca gioca destradestra, , II preferisce strettamente preferisce strettamente centrocentro in quanto 3 > 2. in quanto 3 > 2.

Strategia strettamente Strategia strettamente dominatadominata

Possiamo notare che qualunque cosa faccia il Possiamo notare che qualunque cosa faccia il giocatore giocatore IIII, , II preferisce sempre preferisce sempre centrocentro rispetto rispetto

ad ad altoalto: diremo a tal proposito che per il giocatore : diremo a tal proposito che per il giocatore I I la strategia la strategia altoalto è STRETTAMENTE DOMINATA è STRETTAMENTE DOMINATA

dalla strategia dalla strategia centrocentro..

Si dice che per un certo giocatore, una Si dice che per un certo giocatore, una strategia è strettamente dominata se ne strategia è strettamente dominata se ne

esiste un’altra che assicura al giocatore in esiste un’altra che assicura al giocatore in esame un payoff più elevato qualunque sia esame un payoff più elevato qualunque sia la strategia adottata dagli altri giocatori.la strategia adottata dagli altri giocatori.


Il concetto di strategia strettamente Il concetto di strategia strettamente dominata viene dimostrato confrontando di dominata viene dimostrato confrontando di volta in volta due volta in volta due strategiestrategie, e non è sempre , e non è sempre vero che una di esse è strettamente dominata vero che una di esse è strettamente dominata dall’altra.dall’altra.

Consideriamo a tale proposito le strategie Consideriamo a tale proposito le strategie centrocentro e e bassobasso per il giocatore per il giocatore II e replicando e replicando il procedimento visto in precedenza, andiamo il procedimento visto in precedenza, andiamo a vedere le preferenze del giocatore a vedere le preferenze del giocatore II tra tra centrocentro e e bassobasso per ogni possibile strategia del per ogni possibile strategia del giocatore giocatore II.II.


se se IIII gioca gioca sinistrasinistra, , II preferisce strettamente preferisce strettamente bassobasso rispetto a rispetto a centrocentro, in quanto 4 < 6., in quanto 4 < 6.

se se IIII gioca gioca destradestra, , II preferisce strettamente preferisce strettamente centrocentro rispetto a rispetto a bassobasso in quanto 3 > 1. in quanto 3 > 1.

In questo caso , le preferenze del giocatore In questo caso , le preferenze del giocatore II dipendono da quello che egli crede che faccia dipendono da quello che egli crede che faccia

il giocatore il giocatore IIII..

Di conseguenza, la strategie Di conseguenza, la strategie centrocentro non è non è strettamente dominata dalla strategia strettamente dominata dalla strategia bassobasso

per il giocatore per il giocatore II, così come , così come bassobasso non è non è strettamente dominata da strettamente dominata da centrocentro..


Analogamente si può dimostrare che Analogamente si può dimostrare che altoalto non è strettamente dominata da non è strettamente dominata da bassobasso, ,

così come così come bassobasso non è strettamente non è strettamente dominata da dominata da altoalto..

Quindi:Quindi: per il giocatore per il giocatore II altoalto è l’unica strategia è l’unica strategia

strettamente dominata (dalla strategia strettamente dominata (dalla strategia centro)centro)

il giocatore il giocatore IIII non ha strategie non ha strategie strettamente dominatestrettamente dominate


Un giocatore intelligente e Un giocatore intelligente e razionale che conosca la razionale che conosca la

struttura del gioco non giocherà struttura del gioco non giocherà mai una strategia strettamente mai una strategia strettamente

dominata.dominata.


dominatedominate Ipotizziamo ora che ogni giocatore non solo sia Ipotizziamo ora che ogni giocatore non solo sia

intelligente, razionale e conosca la struttura intelligente, razionale e conosca la struttura del gioco, ma sappia anche che ogni giocatore del gioco, ma sappia anche che ogni giocatore

sa che tutti sono intelligenti, razionali e sa che tutti sono intelligenti, razionali e conoscono la struttura del gioco... e così via conoscono la struttura del gioco... e così via

ad infinitum, ad infinitum, cioè ipotizziamo che la struttura cioè ipotizziamo che la struttura del gioco e l’intelligenza e la razionalità dei del gioco e l’intelligenza e la razionalità dei

giocatori sianogiocatori siano conoscenza comune. conoscenza comune.

Vediamo ora come, nell’esempio in esame, Vediamo ora come, nell’esempio in esame, tale ipotesi implichi tale ipotesi implichi l’eliminazione iteratal’eliminazione iterata

delle delle strategie strettamente dominate.strategie strettamente dominate.


dominatedominate Stabilito che Stabilito che II non giocherà mai non giocherà mai alto, se alto, se IIII è intelligente, razionale e è intelligente, razionale e conosce la struttura del gioco, sa conosce la struttura del gioco, sa

che che II non giocherà mai non giocherà mai altoalto. Quindi . Quindi IIII si disinteresserà completamente si disinteresserà completamente

della strategia della strategia altoalto da parte di da parte di II. Ma . Ma a causa dell’ipotesi di conoscenza a causa dell’ipotesi di conoscenza

comune, comune, II sa che sa che IIII si disinteresserà si disinteresserà della strategia della strategia altoalto..

Ciò ci permette di ELIMINARE la Ciò ci permette di ELIMINARE la STRATEGIA ALTO dal problema di STRATEGIA ALTO dal problema di

scelta razionale, in quanto è scelta razionale, in quanto è conoscenza comune che non varrà conoscenza comune che non varrà

giocata.giocata.

sinistsinistrara

destrdestraa

altoalto 3,3,22 2,2,66

centrcentroo

4,4,44 3,3,33

bassbassoo

6,6,55 1,1,33

sinistsinistrara

destrdestraa

centrcentroo

4,4,44 3,3,33

bassbassoo

6,6,55 1,1,33


dominatedominate L’eliminazione della strategia L’eliminazione della strategia altoalto ha fatto si ha fatto si

che, nella nuova versione del gioco, il che, nella nuova versione del gioco, il giocatore giocatore IIII abbia una strategia abbia una strategia strettamente strettamente

dominatadominata. Vediamo come considerando le . Vediamo come considerando le preferenze tra le sue strategie per ogni preferenze tra le sue strategie per ogni

possibile strategia del giocatore possibile strategia del giocatore II::

Se Se II gioca gioca centrocentro, , IIII preferisce strettamente preferisce strettamente sinistrasinistra rispetto a rispetto a destradestra, in quanto 4 > 3., in quanto 4 > 3.

Se Se II gioca gioca bassobasso, , IIII preferisce strettamente preferisce strettamente sinistrasinistra rispetto a rispetto a destradestra, in quanto 5 > 3., in quanto 5 > 3.


dominatedominate Di conseguenza, qualunque sia la Di conseguenza, qualunque sia la strategia adottata del giocatore strategia adottata del giocatore II, il , il

giocatore giocatore IIII preferirà sempre preferirà sempre sinistrasinistra rispetto a rispetto a destradestra..

Quindi nel nuovo gioco Quindi nel nuovo gioco destradestra è una è una strategia strettamente dominata per il strategia strettamente dominata per il

giocatore giocatore IIII: questo significa che giocherà : questo significa che giocherà sinistra.sinistra.


dominatedominate Per l’ipotesi di conoscenza comune Per l’ipotesi di conoscenza comune

dell’intelligenza e razionalità dei giocatori dell’intelligenza e razionalità dei giocatori e della struttura del gioco, la strategia e della struttura del gioco, la strategia destradestra di di IIII può essere ELIMINATA dal può essere ELIMINATA dal

gioco, in quanto è conoscenza comune che gioco, in quanto è conoscenza comune che non verrà giocata. non verrà giocata.

Nel nuovo gioco Nel nuovo gioco centrocentro per per II è è strettamente dominata dall’strategia strettamente dominata dall’strategia bassobasso..

Possiamo dunque procedere Possiamo dunque procedere all’eliminazione della strategia all’eliminazione della strategia centrocentro per il per il giocatore giocatore II e ottenere la versione finale del e ottenere la versione finale del

gioco.gioco. Si ottiene così un’unica soluzione del Si ottiene così un’unica soluzione del

gioco: gioco: II gioca gioca bassobasso, , IIII gioca gioca sinistrasinistra e il e il payoffpayoff è (6,5). è (6,5).

sinistsinistrara

centrcentroo

4,4,44

bassbassoo

6,6,55

sinistsinistrara

bassbassoo

6,6,55

SoluzioneSoluzioneELIMINAZIONE ITERATAELIMINAZIONE ITERATA

Dato un gioco in forma strategica, si individua una Dato un gioco in forma strategica, si individua una strategia strettamente dominata. Si elimina tale strategia strategia strettamente dominata. Si elimina tale strategia

e, di conseguenza, tutti i payoff associati all’utilizzo di e, di conseguenza, tutti i payoff associati all’utilizzo di quella strategia. Si scrive la nuova forma strategica del quella strategia. Si scrive la nuova forma strategica del

gioco e si ripete il procedimento fino a quando per tutti i gioco e si ripete il procedimento fino a quando per tutti i giocatori non esistono più strategie strettamente giocatori non esistono più strategie strettamente

dominate.dominate. Le strategie che sopravvivono all’eliminazione iterata Le strategie che sopravvivono all’eliminazione iterata delle strategie strettamente dominate sono tutte e sole le delle strategie strettamente dominate sono tutte e sole le strategie compatibili con l’ipotesi di conoscenza comune strategie compatibili con l’ipotesi di conoscenza comune

dell’intelligenza e razionalità dei giocatori e della dell’intelligenza e razionalità dei giocatori e della struttura del gioco.struttura del gioco.

Il dilemma del Il dilemma del prigionieroprigioniero

Consideriamo ora un noto esempio facilmente Consideriamo ora un noto esempio facilmente risolvibile mediante eliminazione iterata della risolvibile mediante eliminazione iterata della

strategie strettamente dominate: strategie strettamente dominate: il il Dilemma del Prigioniero.Dilemma del Prigioniero.

La teoria dei giochi si è spesso dimostrata in La teoria dei giochi si è spesso dimostrata in grado di spiegare in modo semplice e grado di spiegare in modo semplice e sufficientemente rigoroso alcuni importanti sufficientemente rigoroso alcuni importanti fenomeni politici, sociali e economici..fenomeni politici, sociali e economici..

Uno degli esempi classici di applicazione del Uno degli esempi classici di applicazione del Dilemma del prigioniero è l’esistenza del Dilemma del prigioniero è l’esistenza del diritto di proprietàdiritto di proprietà..

DefinizioneDefinizione

EFFICIENZA NEL SENSO DI PARETOEFFICIENZA NEL SENSO DI PARETO

• Una situazione sociale è Una situazione sociale è efficiente nel senso di Pareto se non esiste alcuna situazione che se non esiste alcuna situazione che è preferita debolmente da tutti i giocatori e è preferita debolmente da tutti i giocatori e strettamente da almeno uno di essi.strettamente da almeno uno di essi.

• Una situazione è Una situazione è efficiente nel senso do Pareto se non è possibile migliorare la se non è possibile migliorare la situazione di qualcuno senza peggiorare , situazione di qualcuno senza peggiorare , nello stesso tempo, quella di qualcun altro.nello stesso tempo, quella di qualcun altro.

Diritto di proprietàDiritto di proprietà

SITUAZIONESITUAZIONE

Bosco isolato in cui vivono soltanto due Bosco isolato in cui vivono soltanto due individui, entrambi cacciatoriindividui, entrambi cacciatori

cacciatore Acacciatore A

ATTORI PRINCIPALIATTORI PRINCIPALI

cacciatore B cacciatore B

Il giocoIl gioco

Un giorno i due cacciatori, al ritorno dalla caccia Un giorno i due cacciatori, al ritorno dalla caccia si incontrano. Hanno la possibilità di assumere si incontrano. Hanno la possibilità di assumere

due atteggiamenti diversi:due atteggiamenti diversi:

CACCIATORE ACACCIATORE A

AGGRESSIVO PACIFICOAGGRESSIVO PACIFICO sottrae prede e fa rispetta il diritto disottrae prede e fa rispetta il diritto di

schiavo B B di allontanarsi schiavo B B di allontanarsi con con

prede prede

Il giocoIl gioco

CACCIATORE BCACCIATORE B

AGGRESSIVO PACIFICO AGGRESSIVO PACIFICO

sottrae prede e fa rispetta il sottrae prede e fa rispetta il diritto didiritto di

schiavo A A di schiavo A A di allontanarsi allontanarsi

con predecon prede

SoluzioniSoluzioni Il gioco prevede quattro possibili situazioni Il gioco prevede quattro possibili situazioni

sociali:sociali:

1)1) Entrambi i giocatori assumono Entrambi i giocatori assumono atteggiamento aggressivo: STATO DI atteggiamento aggressivo: STATO DI GUEURRA (G).GUEURRA (G).

2)2) Cacciatore A aggressivo e cacciatore B Cacciatore A aggressivo e cacciatore B pacifico: A riduce B in SCHIAVITU’ (SA).pacifico: A riduce B in SCHIAVITU’ (SA).

3)3) Cacciatore B aggressivo e cacciatore A Cacciatore B aggressivo e cacciatore A pacifico: B riduce A in SCHIAVITU’ (SB).pacifico: B riduce A in SCHIAVITU’ (SB).

4)4) Entrambi assumono un atteggiamento Entrambi assumono un atteggiamento pacifico: STATO DI PACE, viene rispettato il pacifico: STATO DI PACE, viene rispettato il diritto di proprietà (DP).diritto di proprietà (DP).

Forma strategicaForma strategica

GiocatoreGiocatore

BB

aggressivaggressivoo

pacificopacifico

GiocatorGiocatoree

AA

aggressivaggressivoo

G,GG,G SB,SBSB,SB

pacificopacifico SA,SASA,SA DP,DPDP,DP

Preferenze Preferenze à laà la Hobbes Hobbes Per descrivere le preferenze dei due Per descrivere le preferenze dei due

giocatori ipotizziamo che i due cacciatori giocatori ipotizziamo che i due cacciatori rispondano alla descrizione degli uomini fatta rispondano alla descrizione degli uomini fatta dal filosofo inglese Thomas Hobbes. Egli dal filosofo inglese Thomas Hobbes. Egli considera il cosiddetto considera il cosiddetto stato di natura stato di natura nel nel quale:quale:

• non esistono forme di coordinamento sociale non esistono forme di coordinamento sociale tra gli individui, non esistono cioè né norme tra gli individui, non esistono cioè né norme vincolanti né convenzioni socialivincolanti né convenzioni sociali

• gli uomini sono naturalmente guidati da un gli uomini sono naturalmente guidati da un amore per la libertà e dal dominio sugli altriamore per la libertà e dal dominio sugli altri

Struttura preferenzeStruttura preferenze

GIOCATORE A SB > DP > G > SAGIOCATORE A SB > DP > G > SA

GIOCATORE B SA > DP > G > SBGIOCATORE B SA > DP > G > SB

Le preferenze possono essere scritte mediante Le preferenze possono essere scritte mediante due funzioni di utilità:due funzioni di utilità:

A: UA: UAA U UAA(SB) > U(SB) > UAA(DP) > U(DP) > UAA(G) > U(G) > UAA(SA)(SA)

B: UB: UBB U UBB(SA) > U(SA) > UBB(DP) > U(DP) > UBB(G) > U(G) > UBB(SB)(SB)

SoluzioneSoluzione

Ipotizziamo ora che i due cacciatori decidano Ipotizziamo ora che i due cacciatori decidano (simultaneamente e indipendentemente) come (simultaneamente e indipendentemente) come

comportarsi in un mondo in cui non esiste una società comportarsi in un mondo in cui non esiste una società che imponga loro di rispettare il diritto di proprietà. che imponga loro di rispettare il diritto di proprietà.

Possiamo facilmente notare che la strategia Possiamo facilmente notare che la strategia Pacifico Pacifico è è STRETTAMENTE DOMINATA per il giocatore A:STRETTAMENTE DOMINATA per il giocatore A:

• se B è se B è aggressivoaggressivo, A preferisce a sua volta in modo , A preferisce a sua volta in modo aggressivoaggressivo piuttosto che in modo pacifico, in quanto piuttosto che in modo pacifico, in quanto preferisce la guerra rispetto a diventare schiavo preferisce la guerra rispetto a diventare schiavo dell’altrodell’altro

• se B è se B è pacificopacifico, A preferisce comportarsi in modo , A preferisce comportarsi in modo aggressivoaggressivo perchè preferisce che l’altro sia un suo perchè preferisce che l’altro sia un suo schiavo rispetto a tornare a casa ciascuno con le sue schiavo rispetto a tornare a casa ciascuno con le sue predeprede

SoluzioneSoluzione Qualunque sia il comportamento di B, il cacciatore Qualunque sia il comportamento di B, il cacciatore

A preferisce essere aggressivo.A preferisce essere aggressivo. Qualunque sia il comportamento di A, il cacciatore Qualunque sia il comportamento di A, il cacciatore

B preferisce essere aggressivo.B preferisce essere aggressivo.

Possiamo quindi concludere che, se i due individui Possiamo quindi concludere che, se i due individui sono intelligenti, razionali, conoscono la struttura sono intelligenti, razionali, conoscono la struttura

del gioco e hanno preferenze à la Hobbes, si del gioco e hanno preferenze à la Hobbes, si comportano in modo aggressivo.comportano in modo aggressivo.

L’esito sociale di un comportamento razionale è lo L’esito sociale di un comportamento razionale è lo ““stato di guerra universalestato di guerra universale” teorizzato da Hobbes.” teorizzato da Hobbes.

ConclusioniConclusioni

L’esempio appena visto ha una struttura L’esempio appena visto ha una struttura identica a quella del identica a quella del Dilemma del prigionieroDilemma del prigioniero

L’esito associato a un comportamento L’esito associato a un comportamento cooperativo da parte di entrambi i giocatori è cooperativo da parte di entrambi i giocatori è

migliore per tutti e due rispetto all’esito migliore per tutti e due rispetto all’esito associato a un comportamento non cooperativo, associato a un comportamento non cooperativo,

ma l’incentivo (individuale) a comportarsi in ma l’incentivo (individuale) a comportarsi in modo non cooperativo conduce a un ESITO modo non cooperativo conduce a un ESITO

INEFFICIENTE.INEFFICIENTE.

ConclusioniConclusioni

Come abbiamo visto nell’esempio, nel Come abbiamo visto nell’esempio, nel Dilemma del prigioniero, l’esito derivante dal Dilemma del prigioniero, l’esito derivante dal comportamento individuale non è efficiente comportamento individuale non è efficiente nel senso di Pareto, in quanto esiste un’altra nel senso di Pareto, in quanto esiste un’altra soluzione sociale che è preferita strettamente soluzione sociale che è preferita strettamente da entrambi i giocatori.da entrambi i giocatori.

Il Dilemma del prigioniero è diventato famoso Il Dilemma del prigioniero è diventato famoso nella letteratura economica proprio perché nella letteratura economica proprio perché illustra il possibile conflitto tra quello che è illustra il possibile conflitto tra quello che è ottimo per il singolo individuo e quello che è ottimo per il singolo individuo e quello che è ottimo per la società.ottimo per la società.

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Teoria dei giochi Eliminazione iterata delle strategie strettamente dominate Eliminazione iterata delle strategie strettamente dominate Il diritto di proprietà