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TEORIA DEL CAMPO MAGNETICO 1) Multiplicación de vectores 1.1) Introducción Hasta el momento, estamos familiarizados con la multiplicación entre escalares, la cual se realiza mediante las reglas conocidas. Hay muchos ejemplos de magnitudes que surgen como productos entre otras dos. En "Electricidad", podemos mencionar la caída de tensión a través de una resistencia., la carga eléctrica que circula por un circuito, entre otras. Del mismo modo es posible multiplicar vectores, obteniendo nuevas magnitudes físicas. Como los vectores tienen magnitud, dirección y sentido, obviamente las reglas pára la realización de los productos no podrán ser las mismas que la de las de la multiplicación entre escalares. El objetivo, pues de este párrafo es establecer estas nuevas reglas. Los productos que pasaremos a estudiar son definiciones que resultan útiles para la aplicación en el campo de la Física, En base a esta idea, podemos establecer tres clases de productos de vectores. 1.2) Multiplicación de un vector por un escalar Tiene un significado sencillo. El producto de un escalar k y un vector A, se escribe k.A y se lo define como un nuevo vector de igual dirección que A, módulo "k veces " el de A y el mismo sentido si k>0 y sentido contrario si k<0. Como ejemplo, podemos mencionar a la fuerza que aparece sobre una partícula cargada inmersa en un campo eléctrico ( F= q.E ). 1.3) Multiplicación de dos vectores entre sí Existen dos posibilidades. La primera ,es que dicho producto dé, como consecuencia un escalar y la segunda es que dé otro vector. 1.3a) Producto escalar entre vectores El producto escalar entre vectores a y b, se lo escribe ( a.b ) dando como resultado un escalar, cuyo valor es: a b a. . cos==== b ϕϕϕϕ Es decir que resulta igual al producto de los módulos de los dos vectores por el coseno que forman ambos vectores. Es de hacer notar que entre dos vectores pueden definirse dos ángulos, según el sentido de giro elegido. Para el producto escalar se adopta el menor de los dos. Como los módulos de los vectores son escalares, su producto también lo será, mientras que el coseno de un ángulo también lo es, de forma tal que el resultado indicado es un escalar. La interpretación gráfica o geométrica , es que el resultado del producto escalar entre dos vectores constituye el producto del módulo de uno de ellos por la componente o proyección del otro en la dirección del primero. lo vemos en el dibujo sig.

2

2

a

b

φφφφ

|a|.|b|.cos φφφφ Son muchas también las magnitudes que surgen de los productos escalares entre vectores. Podemos mencionar como ejemplo el trabajo de una fuerza, como producto de la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento, como lo vemos en la fig. sig.

A

Fd

Bd

Trabajo de una fuerza

d es el vector desplazamiento, cuyo módulo es la distancia que se ha movido el carrito, mientra que su dirección y sentido son los del movimiento. El trabajo realizado por la fuerza para mover el carrito es: W dAB ==== ====F d F. . .cosϕϕϕϕ

F

d

φ

Otra magnitud que resulta del producto escalar entre dos vectores es y que ya vimos es el flujo de un vector, en ese caso el flujo del campo eléctrico. recordando, decíamos que el flujo es el producto de la componente normal a la superficie, por el área de dicho elemento de superficie: ∆Φ∆Φ∆Φ∆Φ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆==== ====E S E. . .cosS ϕϕϕϕ

|a| |b| cos ϕ

3

3

Elemento de sup

E

∆∆∆∆ S

φ

|E| cos φφφφ

Veremos más adelante, en el curso que la potencia en alterna es también un producto escalar. 1.3.b)Producto vectorial entre vectores El producto vectorial entre dos vectores es otro vector, escribiéndose :C a b==== ×××× . El módulo de este vector se lo define así: c ==== a b. .sen ϕϕϕϕ Para definir la dirección se lo hace en forma perpendicular al plano formado por ambos vectores, mientras que para determinar el sentido podemos imaginar un tornillo derecho, cuyo eje sea perpendicular al plano formado por los vectores ay b y de tal forma que gire desde a hacia b, o sea el ángulo φφφφ que forman los dos vectores. Otra forma de verlo es imaginando un eje perpendicular al plano formado por ay b y que pase por el origen común a ambos. Se cierran los dedos de la mano derecha alrededor de ese eje, como empujando el vector a hacia el b con la punta de los dedos, haciéndolo girar el más pequeño de los ángulos que forman y conservando el dedo pulgar extendido; la dirección y sentido del dedo pulgar coinciden con los del vector. Este último método de obtener la dirección y el sentido del producto vectorial se denomina regla de la mano derecha. Según la definición anterior debe quedar claro que el producto vectorial no goza de la propiedad conmutativa, ya que (((( ))))abba ××××−−−−====×××× , pues el sentido de a b×××× , es opuesto al de b a×××× .

a

b

c

a

b

c

φφφφφφφφ

Elemento de superficie

4

4

Insisto en el hecho que, aunque estas definiciones parezcan arbitrarias (de hecho las son), se las toman de este modo pues son útiles en las aplicaciones de la Física. También son muchas las magnitudes físicas que surgen del producto vectorial entre dos vectores. Como ejemplo conocido por el lector , podemos mencionar el momento de una fuerza respecto de un punto

.

MFO = F * P

OP

F

Momento de la fuerza F respecto del punto O

En "Magnetismo", aparecen muy frecuentemente los productos vectoriales, ya que gran parte de esas magnitudes tienen dicho origen. Finalmente conviene destacar que, en el producto escalar , si ambos vectores son perpendiculares, el resultado es nulo, ya que: 0b.a0cos90o ====⇒⇒⇒⇒==== . Por su parte, para el producto vectorial, si ambos vectores son paralelos, el resultado será nulo, ya que: sen 0 0 0o a b==== ⇒⇒⇒⇒ ×××× ==== 2) Campo magnético 2.1) Introducción La ciencia del magnetismo surge ante la evidencia que ciertas piedras naturales (magnetita) atraen al hierro. La palabra magnetismo, deviene de una región del Asia Menor, llamada Magnesia, donde se encontraban en abundancia dichas piedras. La Tierra misma es un gran imán natural, cuyo efecto sobre la aguja magnética es bien conocido. Sin embargo, los efectos magnéticos, no sólo están presentes en los materiales naturales. En el año 1820, Hans Cristian Oersted (1777-1851) observó la relación que vincula al magnetismo con la Electricidad, que hasta ese momento, se las consideraba como ciencias totalmente independientes. En efecto, Oersted, observó experimentalmente que la brújula o aguja magnéticas, sufre una desviación en presencia de un conductor recorrido por una corriente eléctrica. Es decir que la corriente eléctrica da origen a un campo magnético. Esta afirmación casi obvia para nosotros en la actualidad, dio origen en aquella época a la teoría del Electromagnetismo. Muchos investigadores se dedicaron al estudio de esta disciplina, siendo Michael Faraday (1791-1867), uno de los más destacados, mientras que la síntesis del Electromagnetismo la obtuvo James Clerk Maxwell (1831-1879) a través de sus célebres ecuaciones , las cuales dan una estructura matemática a la teoría electromagnética.

5

5

2.2) Definición de la magnitud "Inducción Magnética" Supongamos tener un conductor recorrido por una corriente de carga eléctrica, de intensidad I (c.c) , dejando de lado las fuerzas de origen gravitatorio, no aparecerán fuerzas de otra índole sobre dicho conductor. Si ahora, el mismo conductor, recorrido por la corriente, lo ubicamos en una zona cercana a un imán, es decir dentro de un campo magnético, se observará que sobre el conductor aparecerá una fuerza que será perpendicular al plano formado `por el conductor y el campo. Esto último lo mostramos en la fig. sig., en la cual los puntitos indican las "puntas de las flechas" del campo magnético.

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

B

F

I

Conductor con corriente dentro de un campo magnético

Observemos que F siempre es normal (perpendicular) al plano conductor - campo, como dijimos ya, esto da la idea que la fuerza es un vector que surge de un producto vectorial entre un vector con dirección y sentido del de la corriente y el campo magnético. Si el conductor estuviera sujeto mediante conexiones flexibles, se vería que se desplazará en dirección y sentido de F, la cual permite la verificación experimental de la aparición de dicha fuerza transversal y también podrá medirse su módulo mediante una balanza. Como la corriente, como sabemos, la corriente en el conductor está formada por una gran cantidad de pequeñas cargas (electrones) en movimiento. Sobre ellas aparecen fuerzas que las desvían transversalmente. Por lo tanto, si sobre una carga eléctrica en movimiento con velocidad "v", obra una fuerza "F" que la desvía transversalmente, podemos afirmar que existe un campo magnético en ese punto. Si se varía la dirección de la velocidad, lo que equivale a variar la orientación del conductor, si bien permanecerá normal a él, su módulo variará. Todo esto pone de manifiesto, como intuíamos al principio, que la fuerza puede expresarse como el producto vectorial entre dos vectores. Por lo tanto, una pequeña fuerza dF , sobre una carga dq, será: d dq BF v==== ××××. . Esta expresión se conoce con el nombre de Fuerza de Lorentz y sirve como ecuación de definición del vector inducción magnética. Para el caso del conductor, podemos definir un vector en dirección y sentido de la corriente, es decir en el sentido y dirección del movimiento de las cargas, al que llamaremos "l". La velocidad de las cargas será:

v B dqdt

dl B==== ⇒⇒⇒⇒ ==== ×××× ==== ××××dldt

dF dq dldt

..pero dqdt

i==== , de manera que finalmente queda:

dF i dl B==== ××××. , expresión de la fuerza de Lorentz, para el caso de un conductor inmerso en un campo magnético, el que transporta una corriente "i".

6

6

Surge por tanto que el vector inducción magnética es la más importante de las magnitudes asociadas al campo magnético y se pone en evidencia cuando sobre una carga en movimiento aparece una fuerza transversal al movimiento. 2.3)Unidad de la inducción magnética Analizando la expresión de la fuerza de Lorentz para el caso del conductor con corriente, resulta que el módulo del elemento de fuerza dF, será dF ==== i dl B. . sen ϕϕϕϕ , donde φφφφ es el ángulo formado por los vectores dl y B; si los suponemos perpendiculares como en el ejemplo del conductor, resulta: φ φ φ φ =90° por lo que senφφφφ= 1,por lo tanto, la fuerza que aparecerá sobre la totalidad del conductor, valdrá F ==== iL B , que puede escribirse

:F iLB B FiL

==== ⇒⇒⇒⇒ ==== y la unidad será BFL

NA m

Wbm

T==== ==== ==== ====. 2

La unidad definida ,para el sistema MKS, recibe el nombre de Weber por metro cuadrado o Tesla. sin embargo, también suele usarse aún la unidad del sistema CGS, que es el Gauss, siendo la equivalencia : 1T = 10kG. Nota: El efecto del campo magnético sobre una carga eléctrica en movimiento, puede también observarse a través del "tubo de rayos catódicos", en el cual se aplica un campo magnético que al actuar producirá una fuerza transversal que desviará el haz transversalmente sobre la pantalla. Este principio se aplica a la desviación magnética de los tubos de TV. 2.3) Flujo magnético Se lo define del modo acostumbrado, suponiendo una superficie elemental inmersa en un campo magnético de inducción B. Esa superficie quedará especificada por un vector ∆∆∆∆S normal a ella. El producto de la componente del vector inducción en la dirección del vector superficie por el módulo del mismo vector será el flujo de la inducción a través de la superficie. En otras palabras, el flujo de inducción es el producto escalar del mismo vector por el vector superficie. En forma matemática queda: ∆Φ∆Φ∆Φ∆Φ ∆∆∆∆B B S==== . . Por su parte, la unidad del flujo magnético es el Weber (Wb), pues:

ΦΦΦΦ ==== ==== ====B S Wbm

Wb. 2

3.1) Experiencia de erstedOOOested Como dijimos anteriormente, el físico danés Oested, fue quién descubrió la interacción entre la electricidad y el magnetismo. La experiencia realizada por él, fue la sig.: supongamos un conductor recorrido por una corriente eléctrica. En torno de él, ponemos agujas magnéticas (brújulas). Observaremos que, ante el paso de la corriente eléctrica, las brújulas se alinean en torno al conductor, como se indica en la fig.. Esto indica que la corriente en el conductor dio origen a un campo magnético alrededor del mismo conductor.

7

7

En el dibujo anterior, el punto en el centro de la circunferencia indica que la corriente es saliente. El experimento anterior también puede realizarse mediante limaduras de hierro, las que al alinearse alrededor del conductor pondrán en evidencia la presencia del campo magnético creado por la corriente eléctrica. Una manera de determinar el sentido del campo magnético es recurrir a la mano derecha. Con el pulgar extendido en el sentido de la corriente, el resto de los dedos cerrados alrededor del conductor darán la dirección y el sentido de las líneas de campo campo. y, consecuentemente del propio campo B, ya que éste es siempre tangente a las mismas líneas. Ya que mencionamos aquí a las lineas de campo, conviene aclarar que ellas son siempre cerradas, ya que en la Naturaleza no existen polos magnéticos aislados, como ocurre con las cargas eléctricas.

B

Línea de campo magnético.

Corriente saliente

3.2) Ley de Ampere También surge empíricamente y podemos expresarla matemáticamente del modo sig.:

B l iC

. ∆∆∆∆ ====∑∑∑∑ µµµµ 0 . En palabras se enunciará de la forma sig.: Sea un conductor cualquiera recorrido por una corriente i. Tomemos ahora una línea o camino cerrado que contenga en su interior al conductor. La suma de los productos escalares del vector inducción por cada elemento de línea (considerado como vector tangente a ella), es proporcional a la intensidad de corriente que transporta el conductor. La constante de proporcionalidad "µµµµ0", recibe el nombre de permeabilidad magnética absoluta del vacío.

El valor que adopta en el sistema MKS es:µµµµ 074 10==== ×××× ==== ==== ====−−−−ΠΠΠΠ ΩΩΩΩVs

Ams

mHenry

mHm

8

8

Bdl

iTrayectoria cerrada

3.2.2) Aplicación de la ley de Ampere Tratemos, mediante la ley de Ampere, de calcular el campo creado por un conductor rectilíneo infinito a una distancia "r" de su centro. Apreciaremos la sencillez del método. Consideremos una trayectoria o camino cerrado alrededor de un conductor. La forma de esta trayectoria puede ser cualquiera, pero por comodidad y conveniencia, usaremos una circunferencia.

Trayectoria cerrada

i

B∆∆∆∆ l

r

En virtud del experimento de Oersted, sabemos que las líneas de campo son concéntricas al conductor, mientras que el campo es tangente a ellas. También, el elemento de trayectoria en este caso es un arco de circunferencia, cuyo vector representativo será tangente a la misma circunferencia. Por lo tanto, los vectores B y ∆∆∆∆l son colineales o paralelos, de forma tal que para cada elemento de trayectoria se cumplirá: lB0coslBcoslBl.B ∆∆∆∆====°°°°∆∆∆∆====ϕϕϕϕ∆∆∆∆====∆∆∆∆ , por lo tanto

queda: B l B lCC

. ∆∆∆∆ ∆∆∆∆==== ∑∑∑∑∑∑∑∑ , además, como lo demuestra la práctica, el módulo del vector inducción

sólo dependerá de la distancia al conductor, por lo cual B, será uniforme a lo largo de toda la circunferencia, tomada como trayectoria. Esto permite escribir: B l B l

CC∆∆∆∆ ∆∆∆∆==== ∑∑∑∑∑∑∑∑ .Además,

observamos que la suma a lo largo de la circunferencia de los pequeños elementos de longitud, es la propia longitud de la circunferencia, entonces:

9

9

(((( ))))r2BlBC

ππππ====∆∆∆∆∑∑∑∑ .Queda, finalmente:22

00ππππ µµµµ µµµµππππ

rB i B ir

==== ⇒⇒⇒⇒ ==== . Concluimos que la magnitud de la

inducción magnética es inversamente proporcional a la distancia al conductor. Nota: Las sumatorias anteriores a través de la línea cerrada “C”, es en realidad una integral de línea, de manera que la expresión quedará ∫∫∫∫ µµµµ==== ild.B 0

3.3)Fuerza entre dos conductores con corriente. En el párrafo 2.2), hemos establecido que sobre un conductor con corriente inmerso dentro de un campo magnético aparece una fuerza. Por otra parte, según el experimento de Oersted, se ha comprobado que en el espacio en el que se encuentra un conductor recorrido por corriente, aparece un campo magnético. Es de pensar entonces, que cuando hay dos conductores cercanos , recorridos por corriente, aparecerá sobre cada uno de ellos una fuerza que tenderá a desplazarlos. Analicemos pues el caso de dos conductores paralelos:.

Bb

Fa

Fb

Ba

d

iaib

Fuerza entre conductores paralelos con corriente

Conductor "a"Conductor "b"

El alambre "a" creará un campo magnético cuya inducción en el lugar donde se encuentra el conductor "b" será Ba. La dirección y sentido de él estarán dados por la regla de la mano derecha. El módulo

será, según la ley de Amper por B id

aa==== µµµµ

ππππ0

2. Por otra parte, la fuerza sobre el conductor "b" valdrá

F B i Lb a b==== , por lo tanto, reemplazando la primera en la segunda, queda:

F i i Ld

ba b==== µµµµππππ

0

2. vemos que la fuerza entre conductores es proporcional al producto de las corrientes y será

mayor cuanto más pequeña sea la distancia que separa a los mismos conductores. Esta expresión se usa para definir la unidad de intensidad de corriente eléctrica (Amper), como aquélla que al establecerse en conductores separados un metro de distancia, aparece sobre ellos una fuerza de por unidad de longitud de :

2 10 7×××× −−−− Nm

3.4) Solenoide

10

10

Llamamos solenoide a un alambre largo arrollado en forma de hélice apretada. También el largo del arrollamiento, deberá ser mucho más grande que el diámetro.

El dibujo que representa a un solenoide de espiras espaciadas, sugiere dos cosas importantes: a) El campo entre conductores se anula por tener para cada conductor sentidos contrarios. b) Dentro del solenoide, lejos de los alambres B es paralelo al eje del solenoide. También se observa que el campo en el interior del solenoide es mucho mayor que en el exterior. Podemos pues suponer que el campo fuera del solenoide es despreciable, fundamentalmente cuando cuando la longitud es mucho mayor que el diámetro (solenoide infinito). En el caso del de un solenoide de espiras rectangulares y muy juntas, estas hipótesisse aproximan más a la realidad. Calculemos el campo dentro del solenoide. Para ello analicemos un solenoide idealizado de espiras rectangulares, adyacentes, como el indicado en la fig. siguiente.

ab

c

d

Cálculo del campo dentro de un solenoide

h

Líneas de campo

Apliquemos la ley de Ampera la trayectoria a-b-c-d B l B l B l B B la b b b

Cc c d d. . . . .∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆==== ++++ ++++ ++++∑∑∑∑

Vemos en el dibujo, que la trayectoria b y la d, son perpendiculares a los vectores inducción magnética, de manera que los productos escalares, según esos caminos serán nulos. En el camino a, el campo es nulo por estar fuera del solenoide, de manera que el producto escalar correspondiente también lo será.

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En cambio, en la trayectoria c, el campo tiene cierto valor no nulo y el mismo sentido y dirección que dicha trayectoria, convirtiéndose en el único término no nulo de la ecuación correspondiente a la ley de Ampere. puede escribirse, entonces:B l B l B hc c c c c. .∆∆∆∆ ∆∆∆∆==== ==== . Resulta pues: Bh i==== µµµµ 0 , pero i i N==== 0 , donde I0 es la intensidad de la corriente que entra en el solenoide, es decir la que se establece

en una espira, siendo N el número de espiras. Reemplazando, resulta:Bh i N B i Nh

==== ⇒⇒⇒⇒ ====µµµµ µµµµ0 0

0 0 .

Si h es la longitud el tramo considerado, entonces N/h es el número de espiras por unidad de longitud. Observemos que el campo B es proporcional a la corriente y al número de espiras por unidad de longitud. Por otra parte, conviene destacar que si el solenoide no es ideal, habrá que aplicar algún coeficiente de corrección, de carácter empírico, que deberá tener en cuenta la relación entre longitud y diámetro, ya que la expresión anterior adolecerá de cierto error. 4) Inductancia 4.1) Definición Cuando analizamos el tema de capacitores, definimos la capacitancia como la relación entre la carga eléctrica almacenada y la tensión aplicada entre las placas. En forma análoga se define la inductancia, parámetro característico de un inductor , como la relación entre el flujo concatenado por la bobina y la intensidad de la corriente que le da origen. Veamos cómo deberá expresarse esta definición en términos matemáticos. Sea ΦΦΦΦB el flujo de inducción creado por la corriente en el interior del solenoide. Este flujo pasará por cada una de las espiras del mismo, es decir, cada espira concatenará o enlazará a ese flujo. Por lo tanto, el flujo concatenado por todo el solenoide, será la suma de los flujos concatenados por cada espira; como esos flujos son iguales, resultará ΦΦΦΦ ΦΦΦΦtotal BN==== . Por lo tanto podrá expresarse simbólicamente de sig. modo a la inductancia o coeficiente autoinducción:

L Ni

B==== ΦΦΦΦ0

.

La unidad de la autoinducción será: Li

WbA

NmA

JA

wsA

VAsA

VsA

s HB

==== ==== ==== ==== ==== ==== ==== ==== ====ΦΦΦΦ ΩΩΩΩ2 2 2 2 ,

llamado Henry. Pero, por ser una unidad grande, en Electrónica, suelen usarse con más frecuencia los submúltiplos mH y µµµµH. 4.2) Cálculo de la inductancia de un solenoide En el parágrafo 3.4, de este apunte, hemos

calculado el campo dentro del solenoide, obteniéndose la expresión:B i Nh

Nh

n B i n==== ==== ⇒⇒⇒⇒ ====µµµµ µµµµ0 00 0; ,

donde n, representa al número de espiras por unidad de longitud. Vimos, por otra parte que el flujo magnético es , por definición: ∆Φ∆Φ∆Φ∆Φ ∆∆∆∆B B S==== . , por lo tanto el flujo total a través de la superficie transversal, dentro del solenoide será:ΦΦΦΦ ∆∆∆∆B

SB S==== ∑∑∑∑ . . Para nuestro caso los vectores inducción y superficie, son paralelos, de manera

que el producto escalar se convierte en un producto común, según se observa en la figura sig.

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Suponiendo que el diámetro del solenoide es mucho más pequeño que su longitud, podemos aceptar que el campo en el interior del solenoide es uniforme. Por lo dicho antes, podrá escribirse: ΦΦΦΦ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆B

SSSB S B S B S BS==== ==== ==== ====∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ . . En general y para nuestro estudio en particular

aceptaremos como válida la expresión anterior para el flujo magnético. Según lo anterior, puede escribirse: ΦΦΦΦB i nS==== µµµµ 0 0 y según la definición de inductancia

queda:L Ni

SnN SNl

B==== ==== ====ΦΦΦΦ0

00

2

µµµµµµµµ . Como dijimos, si el solenoide es real, es decir no infinito ni

tampoco el diámetro pequeño comparado con el largo. será necesario introducir un coeficiente de corrección empírico. En términos generales, considerando a l como la longitud del solenoide y a b

como el coeficiente de corrección , podrá escribirse:L N Sl

b====µµµµ 0

2

, expresión válida para cualquier tipo

de solenoide, siempre que se elija correctamente el coeficiente b. Debe quedar claro que , como en el caso de la capacitancia, la inductancia es un parámetro que depende sólo de las características geométricas (longitud, área, coeficiente de corrección) y del material, a través de la permeabilidad magnética relativa µµµµ, que para el caso del aire vale 1. 4.3) Inductancia mutua Si bien el flujo magnético creado por un inductor, puede ser concatenado por él mismo, también podrá ser enlazado por otro circuito o bobina. Para tener en cuenta este fenómeno, será necesario definir otro coeficiente o factor llamado coeficiente de inducción mutua o indutancia mutua. Analicemos para ello la fig. sig.:

i

ΦΦΦΦ m

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Supongamos tener dos bobinas, las cuales no tienen ninguna unión conductiva , es decir no hay conductor alguno que conecte ambos circuitos. Admitamos que no hay corriente alguna sobre la bobina 2, mientra que se establece la corriente i1 sobre el inductor 1. Debido a la corriente I1 sobre la bobina 1 creará un flujo que será concatenado por la bobina 2, al cual llamaremos flujo mutuo ΦΦΦΦM. por lo tanto el flujo total concatenado por el inductor 2 será:

N M2ΦΦΦΦ . Por lo tanto definimos a la inductancia mutua como:M Ni

M Ni

M M12

2

121

1

2==== ==== ====ΦΦΦΦ ΦΦΦΦ .

Podríamos entonces decir que el coeficiente de inducción mutua es la relación entre el flujo concatenado por un circuito producido por otro y la corriente en este último circuito. Puede demostrarse además que M M12 21==== . El hecho que un circuito pueda concatenar el flujo creado por otro circuito, constituye el principio de funcionamiento del transformador. De ahí su gran importancia. 5) Magnetismo y materiales 5.1)Ley de Gauss para el campo magnético Cuando tratamos el tema de campo electríco, hablamos de cargas aisladas. Podemos tener pues carga eléctrica positiva por un lado y negativa por otro lado; de hecho, esto ocurre en un capacitor. La ley de Gauss para la electrostática puede escribirse del sig.

modo: E S qS

. ∆∆∆∆ ====∑∑∑∑ εεεε 0.

Es decir que el flujo de E a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga encerrada en ella. Sin embargo, cuando del campo magnético se trata, ocurre lo contrario. Supongamos cortar un imán; ocurre que por más chicos que sean los trocitos en los que separamos a dicho imán, siempre aparecerán los dos polos Norte y Sur. Inclusive, aunque lleguemos a una partición del orden de las dimensiones del átomo, si esto fuera posible, también las partículas seguirán comportándose como pequeños imanes (dipolos magnéticos atómicos), conservando ambos polos. Resumiendo, debe quedar claro que no pueden existir polos magnéticos aislados. Matemáticamente esto se expresa mediante la ley de Gauss para el campo magnético: B S

S. ∆∆∆∆ ====∑∑∑∑ 0.

Es decir que el flujo total del vector inducción a través de una superficie cerrada es nulo. Esto se debe a que la cantidad de las líneas de campo que entran en dicha superficie es igual a la cantidad de las líneas que salen de la superficie cerrada.

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5.1) Propiedades magnéticas de la materia En el parágrafo 3.1, analizamos la experiencia de Oersted, donde se pone de manifiesto que una corriente eléctrica da origen a un campo magnético. Es decir, cargas en movimiento originan campos magnéticos. Por lo tanto, como en un átomo, hay partículas eléctricas que se mueven, constantemente, cada una de esas partículas dará nacimiento a un campo magnético, ya que dichas partículas tendrán las características de un dipolo magnético. En virtud de lo anterior, es natural pensar que la materia presenta propiedades magnéticas, las cuales pasaremos a estudiar a continuación. Los materiales, según sus propiedades magnéticas pueden clasificarse en tres tipos:

a) Diamagnéticos b) Paramagnéticos

b) Ferromagnéticos c)

a) Materiales diamagnéticos Supongamos un material que , en principio, no posee propiedades magnéticas. Por lo tanto, como las cargas en movimiento crean campos magnéticos (ley de Ampere-experiencia de Oersted), es de suponer que los electrones de los átomos de ese material, se mueven en órbitas totalmente aleatorias, de manera que el campo promedio sea nulo. Cuando a ese material se le aplica un campo externo, se altera el movimiento (la velocidad) de los electrones, ya que se crean fuerzas transversales al movimiento, de manera que estas cargas en movimiento, crean ahora un pequeño campo neto que se opone al campo aplicado. Esto hace que el campo dentro del material, sea menor que en el exterior.

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Se cree que este fenómeno, ocurre en todos los materiales, pero es totalmente despreciable en la mayoría de ellos, salvo en el caso del bismuto, donde se aprecia más notablemente, llegando aún a ser repelido por un imán intenso. Para concluir, podemos decir que el diamagnetismo, es un fenómeno por el cual el campo magnético dentro de un material es inferior que en el exterior. Tratemos de dar una interpretación gráfica a lo anterior, para quien le interese profundizar el tema. En la figura A, se observan dos electrones girando en sentidos contrarios. No existe campo externo aplicado. Las fuerzas centrípetas están originadas por la atracción electrostática de los núcleos , siendo la velocidad tangencial, la misma para ambas partículas.

vo vo-e -e

Fe Fe

Fig. A

ωο ωοωο ωοωο ωοωο ωο En la fig. B, observamos cómo, al aplicar un campo de inducción externo, Bext aparece una fuerza transversal a v1 sobre el electrón , dada por la regla de la mano izquierda o de los productos vectoriales. Esta fuerza, se suma a la fuerza electrostática, la cual no se altera, suponiendo, como ocurre en la realidad, que la órbita no cambia. por lo tanto, la fuerza centrípeta actual, es mayor que sin la

aplicación de Bext. Como F m vr

v vc ==== ⇒⇒⇒⇒ >>>>2

1 0 y también, como v r==== ⇒⇒⇒⇒ >>>>ωωωω ωωωω ωωωω1 0 , pudiéndose

escribir :ωωωω ωωωω ωωωω1 0==== ++++ ∆∆∆∆ . En la fig. B, se observa un fenómeno similar, pero aquí el campo externo hace disminuir la velocidad angular a un valor ωωωω ωωωω ωωωω2 0==== −−−− ∆∆∆∆ . Cada uno de los electrones (cargas en movimiento o corrientes microscópicas), darán origen a campos internos con los sentidos indicados en la fig., saliente en "B" y entrante en "C".Pero, al ser distintas las velocidades angulares (corrientes distintas), darán origen a campos con intensidades distintas. El campo saliente es mayor que el entrante, de manera que el campo neto interno, se opone al campo externo. Como conclusión, en el interior del material, el campo es menor que en el exterior.

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b)Paramagnéticos Como dijimos en a), los átomos con electrones giratorios, es decir con cargas en movimiento o corrientes microscópicas, se comportan como pequeños imanes, pero que se encuentran orientados al azar. Sin embargo, al aplicarle un campo externo, algunos de estos átomos (pequeños imanes), se orientarán en el sentido de ese campo, de manera que en el material se incrementará el campo de inducción Sin embargo, este efecto magnético es débil, ya que el efecto de las vibraciones de la red cristalina ( choques), hace que muchos de los átomos (pequeños imancitos), pierden la orientación respecto del campo aplicado. Se trata de materiales que poseen propiedades magnéticas débiles. Podemos encontrar entre ellos a elementos como el manganeso (Mn) y algunos elementos de transición o tierras raras. c)Ferromagnéticos Hay materiales tales como el hierro (Fe), níquel (Ni), cobalto (Co) y sus aleaciones , en los cuales existe un fenómeno de acoplamiento muy intenso entre los átomos adyacentes, de manera que se produce un alto grado de alineamiento con un campo externo aplicado. Es decir, todas la corrientes microscópicas, contribuyen a intensificar el campo magnético que las orienta. El resultado final de todo esto, es que el campo magnético en el interior del material, es muchísimo más intenso que el aplicado, si estuviéramos en el aire o en el vacío. Esta particularidad es la que hace que los materiales ferromagnéticos sean especialmente útiles en la costrucción de transformadores y otra máquinas eléctricas, donde es necesario establecer flujos magnéticos elevados. Finalmente, también suele hablarse de materiales no magnéticos, que son aquéllos materiales que no poseen propiedad magnética alguna, es decir no son ni diamagnéticos, ni ferromagnéticos, ni paramagnéticos. Como ejemplo de estos materiales, se puede mencionar el cobre, el aluminio, bronce, etc Las propiedades magnéticas de los materiales, se ponen de manifiesto, matemáticamente a través de la permeabilidad magnética relativa, que es un parámetro inherente al material. Materiales diamagnéticos µµµµr<1 Materiales paramagnéticos µµµµr>1

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Materiales ferromagnéticos µµµµr>>1 Materiales no magnéticos µµµµr=1 5.3) Ley de Ampere aplicada a los materiales B l i

C. ∆∆∆∆ ====∑∑∑∑ µµµµ 0 representa la ley de Amper aplicada

en el vacío, donde el símbolo C en la sumatoria, significa que éstas la tomamos a través de una trayectoria cerrada. Si queremos aplicar la ley de Amper a un material, deberemos hacer uso de la permeabilidad magnética relativa, como sigue: B l ir

C. ∆∆∆∆ ====∑∑∑∑ µµµµ µµµµ0 . Sin embargo, conviene definir un

nuevo vector magnético, llamado intensidad de campo magnético, que depende sólo de la corriente y

no el material, es decir:H Br

====µµµµ µµµµ0

. Entonces, la ley de Amper para materiales podrá escribirse así:

H l iC

. ∆∆∆∆ ====∑∑∑∑ , donde observamos que H, sólo depende de la corriente.

La unida de la intensidad de campo magnético es: HIL

Am

==== ====

5.4) Circuitos magnéticos y ley de Hopkinson Llamamos circuito magnético a todo camino cerrado, que puede ser recorrido por líneas de campo magnético. Por ejemplo, el núcleo de un transformador constituye un circuito magnético. Analicemos entonces un circuito de ese tipo.

Tomamos como trayectoria parala ley de Amper la longitud media del núcleo lm.Entonces

H l NiC

. ∆∆∆∆ ====∑∑∑∑ , como tenemos una bobina de N espiras, es por ello que debemos multiplicar por N en la expresión de la ley de Amper, ya que equivale a tener N corrientes. Como H y ∆∆∆∆l coinciden en dirección y sentido, resulta:

H l H l H l Hl Ni H Nil

mC mCC

. ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆==== ==== ==== ==== ⇒⇒⇒⇒ ====∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ . Como B H B Nil

rr

m==== ⇒⇒⇒⇒ ====µµµµ µµµµ µµµµ µµµµ

00 . Por otra

parte, el flujo valdrá:ΦΦΦΦ ==== BS .Reemplazando valores queda:ΦΦΦΦ ΦΦΦΦ==== ⇒⇒⇒⇒ ====µµµµ µµµµ

µµµµ µµµµ

0

0

r

m m

r

NiSl

Nil

S

. Llamando al

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producto Ni, fuerza magnetomotriz y definiendo a: ℜℜℜℜ ==== lS

m

rµµµµ µµµµ0 como la reluctancia del circuito quedará

la expresión final de la ley de Hopkinson:ΦΦΦΦ ====ℜℜℜℜ

Fmm , conocida también como ley de Ohm Magnética,

por su analogía con la ley homónima para los circuitos eléctricos. 5.5) Pérdidas de potencia. Histéresis Supongamos tener un material ferromagnético, el cual no ha sido magnetizado nunca, es decir un material virgen. Usaremos para magnetizarlo, un circuito como el sig.:

Pongamos la llave en la posición I, luego, partiendo de un valor muy bajo de corriente, la vamos incrementando, subiendo el cursor del reóstato Rv. Según el párrafo 5.3, definimos la intensidad de

campo magnético H, siendo Hl Ni H Nil

mm

==== ⇒⇒⇒⇒ ==== , resulta que al aumentar I, aumentará H.

Midamos también la inducción magnética en el material. Para cada valor de H, tendremos un valor de B, de manera que será posible trazar una curva B-H, del material, es decir B= f (H). Como vimos B Hr==== µµµµ µµµµ0 , de manera que podríamos suponer que esa variación es lineal, sin embargo, µµµµr, varía con el valor del campo H. Aumentamos el valor de H hasta llegar a H1, donde la curva se aplana (disminuye la pendiente). Todo el tramo comprendido entre H=0 y H=H1, se llama curva virgen o de primera imantación. Cuando la curva se aplana, se dice que se llegó a la zona de saturación, y el hierro no admite un valor mayor de la inducción, al que llamaremos Bs.(inducción de saturación), a pesar de aumentar H. Comencemos ahora a bajar el campo H. Sorprendentemente, la curva no bajará según la línea 0-1, sino que lo hará por otro camino, adoptando valores superiores de B para iguales valores de H que los de la curva virgen.. Esto ocurre porque los dipolos magnéticos de los átomos se orientan según el campo magnético aplicado , con lo cual se refuerza la inducción magnética. Se trata del tramo 1-2.

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Al segmento 0-2 se lo llama magnetismo remanente Br. El nombre deviene del hecho que con H=0, existe una inducción no nula. En ese punto, el material se comporta como un imán permanente., debido a que cierta cantidad de dipolos se mantienen orientados, aún sin la existencia del campo aplicado. Siguiendo con el trazado de la curva, pasemos ahora la llave a la posición 2. Se invierte el sentido de la corriente y, consecuentemente, el del campo H. Los dipolos atómicos orientados previamente, tienden a perder la orientación. Esto se logra en el punto 3 de la curva, allí se anula la inducción magnética, desapareciendo el magnetismo remanente. El segmento 0-3 recibe el nombre de fuerza coercitiva, pues, en forma coactiva , lleva al material a la desmagnetización. En ese punto, el material no presenta magnetismo alguno. Si seguimos aumentando la corriente, llegamos al punto de saturación negativo, 4, con -H y -Bs. Si disminuimos nuevamente el módulo del campo, se llegará nuevamente a un punto, 5, para el cual, a pesar de ser nula la intensidad del campo, tenemos cierta induccción remanente Br. Invirtiendo ahora la posición de la llave, volvemos a tener un campo H positivo, que al llegar al punto 6, adquirirá el valor suficiente para anular a -Br. Finalmente, si seguimos aumentando H, crece otra vez B, pero, observamos ahora que crece con valores menores que los de la curva d primera imantación. Esto se debe a que hay que reorientar a los dipolos que lo estaban en sentido contrario. Las curva descripta 1-2-3-4-5-6-1, recibe el nombre de ciclo de histéresis. El nombre deriva del hecho que el material recuerda su historia magnética. Hay que destacar que para llevar al material a describir el ciclo de histéresis, es necesario gastar cierta energía., dada por el área del ciclo; esta energía constituye lo que se llama pérdidas por histéresis y es una de las causas del calentamiento de los transformadores. La otra causa la veremos más adelante.

6) Ley de inducción de Faraday

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Surge de experimentos realizados por Michael Faraday en Inglaterra en 1831 y por Joseph Henry en los Estados Unidos, alrededor de la misma época. Se trata de una de las leyes fundamentales de la Física y constituye una de las cuatro ecuaciones de Maxwell del Electromagnetismo. El experimento es muy sencillo y consiste en disponer de una espira, cerrada a través de un galvanómetro o instrumento muy sensible.. Normalmente, sería de esperar que el instrumento, no sufriera desviación alguna , ya que no existe fuente de tensión alguna.. Sin embargo, si introducimos un imán recto en la bobina, con el polo norte dirigiéndose hacia ella, ocurre algo inesperado. Mientras el imán se está moviendo, se observa que la aguja del galvanómetro se mueve . Se pone entonces de manifiesto que aparece una corriente en la espira cerrada, lo que implica que debe existir en ese momento una tensión o fuerza electromotriz inducida (fem). Si el imán permanece quieto no veremos movimiento alguno de la aguja. Finalmente si ahora alejamos el imán de la espira, nuevamente el galvanómetro acusará un pasaje de corriente, pero ahora de sentido contrario. Si usáramos el extremo del imán correspondiente al polo sur, la experiencia resulta similar a l anterior, pero con todos los sentidos exactamente al revés. Se concluye de lo anterior, que lo que interesa es el movimiento relativo entre imán y espira. Las fems inducidas son de gran importancia tecnológica, pues ellas permiten la existencia de los aparatos eléctricos presentes en la vida moderna.

Otro experimento realizado por Faraday, consistió en colocar dos espiras cercanas una de la otra, de manera que exista cierto acoplamiento. Las espiras permanecían quietas. Sin embargo se observó que al cerrar el interruptor, el galvanómetro acusó momentáneamente un paso de corriente. Una vez estabilizada la corriente en la otra espira, deja de observarse movimiento del galvanómetro.

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Nuevamente, al abrir el interruptor, volvía a acusar un paso de corriente por el galvanómetro, pero en sentido contrario al primer caso. Insisto que a pesar de usarse una batería poderosa, no se observó movimiento alguno en el galvanómetro, mientras se estaba en régimen estacionario. No había modificación en el galvanómetro mientras no se producía cambio en la corriente. Es decir que la fem inducida está asociada a la variación de la corriente y no a la magnitud de la corriente misma. Esa fem inducida es mayor cuanto mayor es la rapidez de la variación de la corriente. ¿Cuál es el factor común entre ambos experimentos? Faraday intuyó que se trataba de la variación en el flujo de inducción concatenado por la espira.

6.2) Formulación de la ley de Faraday Esa variación de flujo, puede ser ocasionada tanto por un imán en movimiento, como por una corriente variable en un conductor o espira.

Matemáticamente, Faraday expresó su ley del sig. modo:e ddt

==== ΦΦΦΦ , donde e es la fuerza electromotriz

inducida y ddtΦΦΦΦ , es la derivada del flujo concatenado por la espira respecto del tiempo (velocidad de

variación) del flujo. Esta expresión permite determinar el módulo de la fem. El sentido de dicha fem, lo analizaremos en el párrafo sig. Según lo visto en el párrafo 4.1, el flujo concatenado por una bobina, puede expresarse como

ΦΦΦΦ ΦΦΦΦ ΦΦΦΦBc BN e N d

dt==== ⇒⇒⇒⇒ ==== .Mientras que recordando la definición de inductancia, podemos escribir

L Ni

N Li e L didt

BB==== ⇒⇒⇒⇒ ==== ⇒⇒⇒⇒ ====ΦΦΦΦ ΦΦΦΦ .

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Esta última expresión es mucho más útil para trabajar con circuitos que la anterior que se adecua más para el estudio de los campos, ya que constituye otra de las ecuaciones de Maxwell. 6.3) Ley de Lenz Heinrich Friedrich Lenz, dedujo esta ley en 1834, partiendo del principio de conservación de la energía. podemos enunciarla en forma concisa del sig. modo: "La corriente inducida aparece en el sentido opuesto a la causa que la produjo" Analicemos el caso de la espira y el imán. Supongamos acercar el polo norte del imán a la espira. mientras movemos el imán, se producirá una corriente inducida en la espira. el sentido de esa corriente deberá oponerse al aumento en el flujo concatenado por la espira al acercar el polo norte del imán. Por lo tanto, el sentido de dicha corriente inducida, será el indicado en la fig. sig.

Desde el punto de vista cualitativo, en virtud de la conservación de la energía, podemos expresar lo sig.: al acercar l polo norte a la espira, estamos aumentando el flujo concatenado por la misma, en consecuencia, deberá aparecer una corriente inducida que cree un campo tal que trate de rechazar al imán, ya que como la corriente que se establece en la espira, da origen a pérdidas de energía por efecto Joule , por lo tanto el agente externo que mueve el imán, deberá realizar cierto trabajo, cuyo valor será exactamente el mismo que el de la energía perdida por calentamiento en la espira. Para que el agente externo realice trabajo, deberá vencer la fuerza que le opone la espira. Hasta aquí hablamos de corrientes, pero qué sucede si la espira permanece abierta. bueno, aparecerá una fem inducida , cuyo sentido será el correspondiente al de la corriente que aparecería si la espira estuviera cerrada. Matemáticamente expresamos la ley de Lenz, aplicando un signo menos, más bien conceptual, a la ley de Faraday

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e ddt

L didt

==== −−−− ==== −−−−ΦΦΦΦ

6.4) Pérdidas de potencia por corrientes parásitas o de Foucault En cualquier material de conductividad finita sobre el cual aparece un flujo magnético variable, se generará una fem inducida en virtud de la ley de Faraday- Lenz y , consecuentemente una corriente inducida. Estas corrientes ocasionarán en el material pérdidas de potencia por efecto Joule. Esta es la otra causa del calentamiento de los transformadores y otras máquinas eléctricas. Es por este motivo que se usa una aleación de hierro con un pequeño porcentaje de silicio comprendido, normalmente entre el 1%y 3%. El silicio, aumenta la resistividad del material, con lo cual disminuyen las pérdidas por corrientes de Foucault. También se lamina al núcleo con este motivo, ya que las chapas apiladas tienen una resistencia de contacto, acrecentando la resistencia total del núcleo, siendo ésta mucho mayor que la que tendría si el núcleo fuera macizo. Generación de una fuerza electromotriz senoidal Supongamos una espira que gira con velocidad angular constante dentro de un campo magnético permanente, según se ve en la fig.

Hagamos un diagrama vectorial para analizar la orientación de los vectores inducción y superficie.

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El flujo magnético concatenado por la espira giratoria será :ΦΦΦΦ ==== B S. . Según el diagrama de vectores, podemos escribir ΦΦΦΦ ==== ====B S BScos cosαααα αααα . Pero, como la espira se mueve con velocidad angular constante (movimiento circular uniforme), entonces el ángulo girado será una función lineal del tiempo, es decir αααα ωωωω==== t , donde ωωωω es la pulsación o velocidad angular del movimiento circular. En consecuencia, puede escribirse la expresión del flujo en función del tiempo o flujo instantáneo del sig. modo:φφφφ ωωωω( ) cost BS t==== , de manera que si aplicamos ahora la ley de Farady-Lenz, resulta lo

sig.:e ddt

BS d tdt

BS t==== ==== ==== −−−−φφφφ ωωωω ωωωω ωωωω(cos ) ( sen ) , de lo que se deduce finalmente el valor de la fem

inducida como e t BS t( ) sen==== −−−− ωωωω ωωωω y llamando $ ( ) $senV BS e t V t==== −−−− ⇒⇒⇒⇒ ==== −−−−ωωωω ωωωω . Por otra parte, es interesante observar que S Lr==== 2 , por lo tanto, $V BLr==== 2 ωωωω y, recordando movimiento circular, ωωωωr v==== es la velocidad tangencial. Por lo tanto, $V BLv==== 2 . La tensión inducida es , en cualquier caso, proporcional a la velocidad del movimiento relativo entre espiras y campo magnético. Es además interesante observar el sentido de la fem; si la espira estuviese cerrada, el sentido de la corriente debería ser tal que creara un campo que reforzara al flujo del imán, en la parte superior, ya que el flujo está en esa región en disminución. De esta forma, la corriente debería ser entrante en la parte superior, siguiendo el sentido indicado por la flecha en el dibujo. Suele usarse otra "regla de la mano derecha" para determinar el sentido de la fem inducida. Por la palma de la mano derecha ingresa el vector inducción ; el dedo pulgar a 90° del resto de los dedos, habrá que ponerlos en el sentido de la velocidad; los dedos restantes definen la dirección y el sentido de la fem inducida. También vale la pena analizar la relación entre el flujo concatenado por la espira y las tensión inducida. Vemos que en la posición horizontal, la espira concatena la mayor cantidad de líneas de campo, (el flujo enlazado es máximo), sin embargo, la tensión es mínima para ese instante, debido a que la variación del flujo es allí también mínima. Lo contrario ocurre cuando la espirase encuentra en posición

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vertical; el flujo es mínimo, pero su variación es máxima, de manera que en ese instante es máxima la tensión inducida. Hay pues un desfasje entre el flujo concatenado por la espira y la tensión inducida. La tensión adelanta 90° respecto del flujo concatenado por la espira. Gráficamente, resulta lo sig.

Variación del flujo y de la tensión

t(s)

-1

-0.5

0

0.5

1e(t)

Φ