Teoria della relatività-5 17 dicembre 2012

Trasformazionie dell’energia e della QM

Trasformazione della densita` di corrente e di carica

Invarianza delle eqq. di Maxwell

Trasformazioni dei campi E e B tra sistemi inerziali

Tensore del campo elettromagnetico

22

Trasformazioni di p e E

• Si può dimostrare che le tre componenti della QM e l’energia si trasformano come le tre coordinate e il tempo

x

zz

yy

xx

vpEE

pp

pp

Ec

vpp

'

'

'

'2

33

Trasformazioni di p e E

• Introducendo la variabile p0=E/c, e dette p1=px, p2=py, p3=pz, abbiamo la forma più simmetrica

• Nello spazio-tempo la quaterna (p0, p1, p2, p3) è un 4-vettore e le TdL ne trasformano le componenti tra loro, in particolare ‘mescolano’ QM ed energia

33

22

101

100

'

'

'

'

pp

pp

ppp

ppp

44

Trasformazioni di j e • Si può dimostrare che anche le tre componenti del

vettore densità di corrente j e la densità di carica formano un 4-vettore dello spazio-tempo

• Le eqq. di trasformazione sono quindi

jx ' jx v jy ' jy

jz ' jz

' v

c 2 jx

5

Invarianza delle eqq. di Maxwell

• Dal principio di relatività possiamo concludere che le eqq. di Maxwell devono avere la stessa forma in ogni sistema di riferimento inerziale, devono cioè essere invarianti

• Vediamo come da questa affermazione possiamo ricavare le leggi di trasformazione dei campi E e B tra due sistemi inerziali

6

Invarianza delle eqq. di Maxwell

• Per invarianza intendiamo che se nel sistema S sono presenti i campi E e B e le eqq. sono

• allora nel sistema S’ sono presenti i campi E’ e B’, e le eqq. devono essere

'

E '

B '

t '

'

E '' 0

'

B '0

J '0 0

E '

t'

'

B '0

E

B

t

E 0

B 0

J 0 0

E

t

B 0

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Trasformazioni di E e B• Per semplicità consideriamo le eq. in cui non

compaiono e J, e usiamo le componenti cartesiane

• Nella trasformazione di coordinate, dobbiamo scoprire come esprimere gli operatori differenziali e la derivata rispetto al tempo

E z

y

E y

z

Bx

t

Bx

x

By

y

Bz

z0

E x

z

E z

x

By

t

E y

x

E x

y

Bz

t

8

Trasformazioni di E e B• Vediamo come si trasforma la derivata rispetto a x

• Dalle trasformazioni di Lorentz

• Ne segue

• Allo stesso modo si trova

x

x '

x

x'

y'

x

y '

z'

x

z'

t'

x

t'

y'

x

z'

x0

t '

x

v

c 2

x'

x

x

x '

v

c 2

t'

y

y '

z

z'

t

t '

vx'

9

Trasformazioni di E e B• L’eq. di Faraday diviene

• E l’eq. di Gauss per B

E z

y '

E y

z'

Bx

t ' v

Bx

x '

Bx

x '

v

c 2

Bx

t '

By

y '

Bz

z'0

E x

z'

E z

x '

v

c 2

E z

t'

By

t' v

By

x '

E y

x '

v

c 2

E y

t '

E x

y '

Bz

t' v

Bz

x '

10

Trasformazioni di E e B• Raggruppiamo i termini nella componente y dell’eq. di

Faraday

• E imponiamo la condizione di invarianza alla componente y’ del sistema S’

• Dal confronto delle due eqq. ne segue

zyyzx E

c

vB

tvBE

xz

E2'''

E 'xz'

E 'zx'

B'yt '

B'y By v

c 2 E z

E 'x E x

E 'z E z vBy

11

Trasformazioni di E e B• Possiamo ripetere il calcolo per la componente z

• E imporre la condizione di invarianza alla componente z’ del sistema S’

• Dal confronto delle due eqq. ne segue

B'z Bz v

c 2 Ey

E 'x E x

E 'y E y vBz

E y

x '

v

c 2

Ey

t '

Ex

y '

Bz

t' v

Bz

x '

E 'yx'

E 'xy'

B'zt '

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Trasformazioni di E e B• Infine dalla componente z della legge di Faraday

e dalla legge di Gauss

• troviamo la legge di trasformazione di Bx

B'x Bx

E z

y '

E y

z'

Bx

t ' v

Bx

x '

Bx

x '

v

c 2

Bx

t '

By

y '

Bz

z'0

1313

Trasformazioni di E e B

• Riassumendo

• Cioè le componenti del campo E in S dipendono sia dalle componenti di E’ che di B’ in S’

• Idem per le componenti del campo B

yzz

zyy

xx

vBEE

vBEE

EE

'

'

'

yzz

zyy

xx

Ec

vBB

Ec

vBB

BB

2

2

'

'

'

1414

Relazioni tra E e B• L’esempio classico della relazione tra un campo E e un

campo B in due sistemi di riferimento è quello di una particella carica a distanza r da un filo percorso da corrente

• Mettiamoci nel sistema S in cui il filo e` fermo, c’è una corrente i dovuta a elettroni e una particella (q>0) in moto con velocità v rispetto al filo

• In S c’è campo magnetico e una forza magnetica radiale

F m q

v

B qvB ˆ r

Fm qv0

2ir

B

0

2ir

ˆ

i-

v

B

FmS

1515

Relazioni tra E e B• Il filo è elettricamente neutro, quindi la densità degli

elettroni (in moto) e quella degli ioni positivi (fermi) è uguale e contraria

• Mettiamoci ora nel sistema S’ in moto parallelamente al filo con velocità v, di modo che la particella risulti (anche se per un solo istante) ferma

• In S’ non c’è campo magnetico e neppure forza magnetica

0

i’S’

1616

Relazioni tra E e B

• Vediamo qual è la densità di carica nel filo• Dalle eqq. di trasformazione di j e , moltiplicando

per la sezione del filo, otteniamo

i' i v

' v

c 2 i

ajc

vaa

ajaj

ajaj

avajaj

x

zz

yy

xx

2'

0'

0'

'

1717

Relazioni tra E e B

• Per la carica positiva e negativa avremo rispettivamente le densità

• e in totale una densità negativa per il filo

• In S’ esiste quindi un campo elettrico e una forza elettrica radiale diretta verso il filo

' v

c 2 i

' v

c 2 i

'' ' v

c 2 i

v

c 2 i v

c 2 i

F 'e q

1

2 0

'

rˆ r

i’F’e

S’

1818

Relazioni tra E e B

• Sostituiamo il valore della densità di carica

• Cioè mentre in S c’è un campo magnetico, ma non un campo elettrico e quindi c’è solo una forza magnetica Fm, in S’ c’è un campo elettrico, ma non un campo magnetico, e quindi c’è solo una forza elettrica F’e

• Queste due forze: Fm (in S) e F’e (in S’) si corripondono mediante le eqq. di trasformazione delle forze (che non abbiamo ricavato) e che nel nostro caso si riducono al fattore motiplicativo

F 'e q1

2 0

'r

q1

2 0

vc 2

ir

q

12 0

00vir

qv0

2ir

qvB Fm

1919

Tensore del campo e.m.

• In relatività l’intima relazione tra i campi E e B viene resa palese

• Si può infatti pensare alle tre componenti del campo E e alle tre di B come le sei componenti di un unico ente più complesso, il quadri-tensore (antisimmetrico) del campo elettromagnetico

0 E x E y E z

E x 0 Bz By

E y Bz 0 Bx

E z By Bx 0