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Teoría electromagnética de
Einstein-Proca
Antonio Arroyo Polonio
Teoría electromagnética de Einstein-Proca
Antonio Arroyo Polonio
Memoria del Trabajo Fin de Máster.
Máster en Física y Matemáticas (FisyMat)
Universidad de Granada.
Tutorizado por:
Prof./Dr. Bert Janssen
2 teoría electromagnética de einstein-proca
A child of �ve would understand this. Send someone to fetch a child of �ve.
Groucho Marx
3
Antes de nada, me gustaría agradecer a Bert todo el trabajo (que no ha sido poco)
que ha dedicado a enseñarme tantos rincones de la teoría de la relatividad general.
A Castelo y José que se han interesado activamente por mi trabajo y con los que he
discutido algunos de mis resultados. Además de por supuesto a mi familia y otros
amigos sin los cuales muchas más cosas a parte de este trabajo nunca hubieran sido
posibles.
4 teoría electromagnética de einstein-proca
Figura 1:
Índice general
English Abstract 1
1. Introducción 3
2. Teoría de Maxwell 7
2.1. Carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2. Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3. Teoría de Proca 15
3.1. Carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2. Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4. Teoría de Einstein-Maxwell 21
4.1. Introducción. Relatividad general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2. Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3. Agujero negro con carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5. Teoría de Einstein-Proca 29
5.1. Agujero Proca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
ii teoría electromagnética de einstein-proca
6. Aproximación asintótica. Régimen del campo débil 35
6.1. Agujero negro con carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2. Carga de Proca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7. Conclusiones 45
Abstract
In this work, we will try to understand Alexandru Proca’s theory of electromag-
netism. Here, the electromagnetic �elds have a mass associated. We will see that this
theory is a generalization of conventional electromagnetism; the di�erences between
both theorys will become clear when analyzing the particular solutions of the equa-
tions of motion. Because of its simplicity, we will study wave solutions and spherically
symmetric solutions.
Key words: Proca, electromagnetism, wave, charge.
1 Introducción
Este trabajo tendrá como �nalidad el estudio de la teoría de Proca en el marco de
la relatividad general. Para ello nos serviremos de principios variacionales. Primero,
de�niremos una acción que describa nuestro sistema físico y derivaremos sus ecuacio-
nes de movimiento; debido al carácter no lineal de la teoría de la relatividad general es
prácticamente imposible encontrar soluciones generales. Por ello, impondremos con-
diciones adicionales al sistema, tales como ciertas simetrías que deberá cumplir. De
esta forma, podremos encontrar soluciones particulares que nos ayuden a entender la
física de esta teoría.
En la teoría del electromagnetismo acoplada a la gravedad (lo que se llama teoría
de Einstein-Maxwell) tenemos la siguiente acción asociada
S = ∫ d4x√
|g|( R2k− 14F ��F��
)
, (1.1)
donde g es la métrica, R el escalar de curvatura. F�� es el tensor de Faraday que tiene
la siguiente forma
F �� =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 E1 E2 E3−E1 0 B3 −B2−E2 −B3 0 B1−E3 B2 −B1 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
, (1.2)
donde Ei es la expresión del campo eléctrico y Bi la del campo magnético en ciertas
coordenadas. Proca introduce un nuevo término a la acción, el cual hace que los cam-
pos electromagnéticos adquieran masa. Esto, hace que la física cambie por completo.
Así, la nueva acción que plantea Proca es
S = ∫ d4x√
|g|(
R2k− 14F ��F�� +
12
(mℏ
)2A�A�
)
. (1.3)
4 teoría electromagnética de einstein-proca
A�es el tensor potencial electromagnético que tiene la siguiente forma
A� =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
�A1
A2
A3
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
, (1.4)
donde � es el potencial escalar y Ailas componentes del potencial vector expresado
en ciertas coordenadas. La masa m sería una nueva constante universal que se corres-
ponde con la masa del fotón en esta teoría. En [7] se ha establecido un umbral para
la masa del fotón m ≤ 6 × 10−17 eV . De aquí en adelante asociaremos esta masa al
campo electromagnético en sí, por ser una interpretación más acorde a la �losofía de
la relatividad general. A esta teoría la llamaremos Einstein-Proca y es la tratada al
�nal de este trabajo donde se generalizará el agujero negro con carga.
Empezaremos repasando el electromagnetismo convencional en el espacio plano,
la teoría de Maxwell. Deduciremos las soluciones de carga puntual y de onda por
ser fáciles de resolver. Como es bien conocido, la carga puntual tiene un potencial
de largo alcance. Por otra parte, las ondas tienen dos polarizaciones transversales a
la propagación de esta y se mueven a la velocidad de la luz. También, recalcaremos
conceptos como la libertad gauge de la teoría.
Realizaremos un estudio equivalente al mencionado para la teoría de Proca en
espacio plano, lo que llamaremos simplemente teoría de Proca. Veremos que aquí no
tenemos libertad gauge pero la ecuación de movimiento nos impone una ligadura
equivalente al gauge de Lorentz, lo que llamaremos la ligadura de Lorentz. La carga
puntual aquí no tiene un potencial de largo alcance y concentra más la energía en
su entorno. Por otro lado, las ondas tienen una nueva polarización y su relación de
dispersión (la relación entre la frecuencia y el número de ondas w = f (k)) es no
lineal. Esto implica que la velocidad de la onda depende de la frecuencia de esta y que
es sublumínica.
Tras esto, acoplaremos el campo electromagnético a la gravedad. Lo cual, consiste
en darle dinámica a la geometría espacio-temporal y hacer que el contenido energético
del sistema actúe sobre esta. A esta teoría como ya hemos mencionado se le llamará
Einstein-Maxwell y su acción correspondiente es la (1.1).
Comenzaremos con una introducción a la teoría de la relatividad general, primero
presentaremos las ecuaciones de Einstein, interpretando su signi�cado y recalcando
propiedades suyas como la divergencia nula del tensor de Einstein. Tras esto, estu-
diaremos la solución estática y con simetría esférica no trivial de esta teoría, lo que
1. introducción 5
es el agujero negro con carga. A esta se le llama la solución de Reissner-Nordström y
presenta una singularidad en la geometría espacio-temporal, esto es, un punto cuya
curvatura y densidad energética divergen.
En el siguiente paso haremos el mismo estudio que el mencionado pero añadire-
mos a la acción el término de Proca. A esta teoría, como ya hemos mencionado, se
le llamará Einstein-Proca y su acción asociada es (1.3). Aquí, plantearemos las ecua-
ciones de movimiento y haremos un test de consistencia para comprobar que son
correctas.
Tras esto, buscaremos una solución estática y con simetría esférica en esta teo-
ría. Sería la generalización del agujero negro con carga ya que apagando la masa del
campo electromagnético m = 0 obtenemos la solución de Reissner-Nordström. Lla-
maremos a esta solución carga de Proca. Veremos que el sistema de ecuaciones que
describe la carga de Proca es demasiado complejo para encontrar una solución analí-
tica.
Es por ello que trataremos de encontrar una solución aproximada para la carga
de Proca. Usaremos para ello lo que se denomina expansión del campo débil. En esta
aproximación, nuestra métrica será la de Minkowski sumada a una pequeña pertur-
bación que consideraremos solo a orden lineal g�� = ��� + �ℎ�� , donde � << 1. Se
deducirán nuevas ecuaciones de movimiento más simples, de forma que su solución
sea más accesible.
De esta forma, entenderemos de forma aproximada el campo creado por la carga
de Proca y como esta in�uye en la geometría espacio-temporal. Mientras más nos
alejemos de la carga, la aproximación ganará en precisión. Esto es debido a que la
solución es asintóticamente plana, con lo cual el espacio-tiempo tenderá a ser plano
al aumentar la distancia a la carga.
2 Teoría de Maxwell
Presentamos en este punto la teoría clásica del electromagnetismo escrita de forma
covariante. La acción asociada es
S = −∫ d4x14F��F
�� . (2.1)
Donde hemos omitido el término de fuentes electromagnéticas j� ya que vamos a
estudiar soluciones de vacío.
El tensor de Faraday (F ��), por de�nición, cumple la identidad de Bianchi
���� )�F� = 0, (2.2)
donde ���� es el tensor de Levi-Civita en 4 dimensiones. Esta, es la expresión cova-
riante de las ecuaciones homogéneas de Maxwell. De esta forma, de�ne la forma del
tensor de Faraday en función de A�. Básicamente esta identidad es la que contiene la
relación entre los potenciales electromagnéticos A�y los campos F ��
F�� = )�A� − )�A�. (2.3)
En este punto vamos a deducir la ecuación de movimiento a partir de la ecuaciones
de Euler-Lagrange
)�
(
��(
)�A�)
)
− ��A�
= 0, (2.4)
donde es el Lagrangiano asociado a la acción 2.1. Su solución es bien conocida
y corresponde a la forma covariante de expresar las ecuaciones inhomogéneas de
Maxwell
)�F�� = 0. (2.5)
8 teoría electromagnética de einstein-proca
Así, vemos que la identidad de Bianchi, junto con la ecuación de movimiento en
esta teoría son, en el fondo, las ecuaciones de Maxwell escritas de forma covariante.
Podemos comprobar que esta teoría es invariante gauge, esto es, bajo la siguiente
transformación de los potenciales electromagnéticos
A� → A′� = A� + )�Λ. (2.6)
Los campos electromagnéticos no sufren cambio alguno
F �� → F ′�� = )�A′� − )�A′� = )�A� − )�A� + )�)�Λ − )�)�Λ = F �� .
Esto indica que tenemos libertad a la hora de elegir los potenciales que describen
nuestra física. Es decir, dos potenciales matemáticamente diferentes podrían describir
el mismo sistema si guardan la relación 2.6. Mientras, la expresión de los campos
electromagnéticos únicamente depende de la información física del sistema.
2.1 Carga puntual
El hecho de que la carga puntual sea una solución de vacío radica en el hecho de
que podemos tomar un espacio-tiempo vacío con una topología no trivial. Esto es, le
quitamos un punto al espacio-tiempo que es donde se encontraría la carga, esta es una
zona puntual con una densidad energética que diverge (energía �nita en un volumen
nulo). Este argumento se aplicará a demás soluciones estáticas con simetría esférica.
Situamos la carga en el centro de coordenadas de un sistema de referencia comóvil
a ella y usamos las coordenadas esféricas. Cuando no hay �ujo de carga en un siste-
ma electromagnético clásico nos encontramos con un sistema electrostático. Esto es,
tendremos únicamente un campo eléctrico estático. Además, el campo será radial a la
carga y su intensidad solo dependerá de la distancia a esta. La elección más natural de
gauge en electrostática es el de Coulomb (∇A⃗ = 0) ya que anula el potencial vector
(A⃗ = 0). Así, los tensores potencial electromagnético 1.4 y de Faraday 1.2 cumplirán
que
At = �(r) Frt = −E(r). (2.7)
La relación entre ellos nos la da la forma del tensor de Faraday 2.3, de forma que
−E = )r� ≡ �′. (2.8)
2. teoría de maxwell 9
Con esto, hemos deducido de forma covariante una relación fundamental en la elec-
trostática que es E⃗ = −∇�, donde en nuestro caso ∇ esta en coordenadas esféricas.
Introduciendo los tensores ahora en la ecuación de movimiento 2.5, se tiene que
∇2�(r) = 0.
Esta de aquí es la ecuación de Poisson, que describe toda la electrostática. Aunque,
al apagar el término de fuentes electromagnéticas (j� = 0) nos encontramos con la
ecuación de Laplace cuya solución no trivial es
� = Qr. (2.9)
Tenemos así la expresión del potencial creado por una carga puntual donde la cons-
tante de integración Q es la carga en sí. Por otra parte, el campo eléctrico asociado
es
E = Qr2. (2.10)
Este pequeño cálculo sirve para introducir la �losofía que tomaremos para las
posteriores resoluciones de sistemas estáticos y con simetría esférica. Vemos prime-
ro como hemos deducido las ecuaciones de movimiento del sistema a partir de las
ecuaciones de Euler-Lagrange. Tras esto, hemos impuesto condiciones previas a la
solución en función de las simetrías del problema. Por último, alimentamos las ecua-
ciones de movimiento introduciendo el A�condicionado y resolvemos el sistema de
ecuaciones diferenciales.
2.2 Ondas
La teoría del electromagnetismo admite soluciones de ondas en el vacío. Esto es,
no hay necesidad de ningún medio para la propagación de energía electromagnética.
Al tener libertad gauge en esta teoría podemos �jar el llamado gauge de Lorentz
)�A� = 0. (2.11)
Este hará que los cálculos sean más cómodos y que la interpretación física de los
resultados sea más directa.
En este gauge 2.11, la ecuación de movimiento 2.1 se reduce a
)�)�A� = 0, (2.12)
10 teoría electromagnética de einstein-proca
donde vamos a introducir la solución de onda plana monocromática (la onda tiene
asociada una única longitud de onda y frecuencia)
A� = �eik�x� . (2.13)
�y k� son los tensores polarización y propagación correspondientemente. Estos son
constantes en principio arbitrarias. �contiene la información sobre las amplitudes
de cada una de las polarizaciones de la onda. Por otra parte tenemos el tensor
k� =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
wk1
k2
k3
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
, (2.14)
donde w es la frecuencia angular y ki son cada uno de los componentes del vector de
onda en cierta base. Este expresa la dirección de propagación, la frecuencia de la onda
y el número de ondas.
Introduciendo esta solución en la ligadura impuesta por la elección de gauge 2.11
tenemos que ambos tensores son perpendiculares entre ellos
�k� = 0. (2.15)
Esta ligadura disminuye en uno los grados de libertad del tensor polarización, de for-
ma que pasamos de 4 grados de libertad iniciales a 3.
Imponiendo ahora que se cumpla la ecuación de movimiento 2.12 tenemos que
k�k� = 0. (2.16)
La condición que aquí se satisface indica el tensor k� es de tipo luz, con lo cual la onda
tiene una relación de dispersión lineal y esta se propaga a velocidad constante (la de
la luz, la cual hemos normalizado c = 1).
Podemos comprobar que a pesar de haber �jado el gauge de Lorentz 2.11, todavía
tenemos libertad gauge. Dicho de otro modo, podemos realizar ciertas transformacio-
nes gauge (A� → A′� = A� + )�Λ) manteniendo que )�A� = 0 = )�A′�. Tomando
Λ = iΛ0eik�x�
vemos como transforma A�
A� → A′� =(
� − Λ0k�)
eik�x� = ′�eik�x� .
Comprobamos que A′� cumple efectivamente el gauge de Lorentz 2.11 ya que su vec-
tor polarización ′�es normal al tensor propagación 2.15. Visto explícitamente
′�k� =(
� − Λ0k�)
k� = 0.
2. teoría de maxwell 11
Como tenemos esta libertad extra gauge, podemos reducir una vez más en uno los
grados de libertad de �. De 4 grados de libertad que teníamos en un principio solo
2 son físicos, los demás los podemos eliminar mediante elecciones gauge.
Vamos ahora a estudiar un caso concreto. Suponemos una onda que se propaga a
través del eje z en su sentido positivo. La forma del tensor k� en este caso es
k� =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
w00kz
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Dado que este vector es de tipo luz 2.16 y que hemos elegido para la propagación el
sentido positivo del eje z, tenemos que las componentes de k� cumplen que
w = kz ≡ k. (2.17)
Tenemos que la relación de dispersión es claramente lineal. Así, la velocidad de grupo
de la onda
vg =)w)k
= 1 (2.18)
es igual a su velocidad de fase
vf =wk= 1 (2.19)
que es la de la luz.
Teniendo además en cuenta que los tensores polarización y propagación son nor-
males 2.15, las componentes de �cumplen que
t = z.
Hacemos ahora el cambio de gauge A� → A′� = A�+)�(
iΛ0eik�x�)
, el cual mantiene
el gauge de Lorentz �jo
x → ′x = x − Λ0kx = x
y → ′y = y − Λ0ky = y
z → ′z = z − Λ0kz = z − Λ0k.
Donde si ponemos Λ0 = k−1z ⇐⇒ ′z = 0 quedándonos al �nal con que la forma
del tensor amplitud ′�es
′� =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0x
y
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
12 teoría electromagnética de einstein-proca
Para resaltar los 2 grados de libertad que tenemos en el tensor amplitud renom-
braremos los componentes libres que representan las amplitudes de cada una de las
polarizaciones transversales de la onda electromagnética, x = ∥ y y = =. Así,
la solución general para esta onda electromagnética es una combinación lineal de cada
polarización. En coordenadas transversales la expresión es
A� = ∥��xe
ik�x� +=��y e
ik�x� . (2.20)
Para un conocimiento más profundo de la onda vamos a determinar su helicidad,
nos serviremos para ello de este caso particular. La helicidad se calcula viendo como
se transforman las polarizaciones de la onda bajo un giro en el eje de propagación.
Usaremos para ello de las coordenadas circulares que presentamos a continuación en
el siguiente cambio
R =1√
2
(
∥ + i=)
, L =1√
2
(
∥ − i=)
. (2.21)
La forma de la onda en estas coordenadas se expresa de la siguiente forma
A� = R
(
��x − i��y
√
2eik�x�
)
+L
(
��x + i��y
√
2eik�x�
)
.
Aplicamos una rotación al sistema en torno al eje z, realizamos la operación en
coordenadas transversales (∥, =)
A� =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0∥=0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
eik�x� → A′� =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0′
∥′
=0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
eik�x� = ��A� =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1 0 0 00 cos� sen� 00 −sen� cos� 00 0 0 1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0∥=0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
eik�x�
(2.22)
′∥ = cos�∥ + sen�= , ′
= = −sen�∥ + cos�=
y traducimos el resultado a coordenadas circulares:
R → ′R =
1√
2
(
cos�∥ + sen�= + i(
−sen�∥ + cos�=))
= ei�R
Un calculo análogo se puede hacer para L. Agrupando el resultado de aplicar
esta rotación al sistema se tiene que
R → ′R = ei�R
2. teoría de maxwell 13
L → ′L = e−i�L
En general, para cualquier onda plana rotada a lo largo de su eje de propagación,
sus polarizaciones sufren la transformación
→ ′ = eiℎ�. (2.23)
Por de�nición, ℎ es la helicidad de la polarización. Así, en nuestro caso, vemos que
nuestra onda tiene como valores para la helicidad ℎ = −1, 1. Esta se puede interpretar
como el número cuántico correspondiente a la tercera componente del espín (m) que
puede tomar 2s+1 valores, siendo s el espín de la partícula. Así, el espín de esta onda
es s = 1 donde m toma dos posibles valores.
Las ondas electromagnéticas en la teoría de Maxwell tienen una relación de dis-
persión lineal 2.17, de forma que su velocidad es la de la luz. Además, tienen dos
polarizaciones que son transversales a la dirección de propagación 2.20. Veremos que
estas propiedades están estrechamente ligadas al hecho de que la onda no lleve nin-
guna masa asociada.
3 Teoría de Proca
En este capitulo vamos a tratar todo lo hecho en el anterior, también en espacio
plano aunque añadiendo el término que incorporó Proca a la acción. Como ya se ha
comentado, este añade una constante universal a la teoría, lo que sería la masa del
campo electromagnético.
Veremos que esta masa tiene repercusiones importantes en las distintas solucio-
nes particulares. La velocidad de las ondas es sublumínica y estas tienen una nueva
polarización. La carga puntual tiene un potencial de corto alcance y concentra más su
energía eléctrica en su entorno.
La expresión que tiene la acción en esta teoría es
S = ∫ d4x(
−14F��F
�� + 12
(mℏ
)2A�A
�)
. (3.1)
El tensor de Faraday seguirá cumpliendo la identidad de Bianchi 2.2, con lo cual su
expresión será la misma F�� = )�A� − )�A�.
En esta teoría, la ecuación equivalente a la de Maxwell 2.5 se le denomina ecuación
de Proca y puede deducirse mediante la ecuación de Euler-Lagrange 2.4, donde en este
caso el Lagrangiano sera el correspondiente a la acción 3.1. Así, la ecuación de Proca
es
)�F�� +
(mℏ
)2A� = 0. (3.2)
Notamos que esta ecuación de movimiento no es invariante bajo transformaciones
gauge, ya que tiene el tensor potencial electromagnético A�asilado.
Sin embargo, a pesar de ser esta una teoría sin invariancia gauge, esta ecuación
de movimiento nos impone una ligadura. Si derivamos la ecuación de Proca
)�
(
)�F�� +
(mℏ
)2A� = 0
)
16 teoría electromagnética de einstein-proca
y notamos que el intercambio de indices � ↔ � es simétrico para las derivadas y
antisimétrico para el tensor de Faraday tenemos que
)�A� = 0. (3.3)
La expresión matemática es equivalente al gauge de Lorentz 2.11. Sin embargo, hay
una diferencia fundamental y es que en la teoría de Maxwell elegimos ese gauge por
comodidad. En la teoría de Proca es una ligadura que se impone. A esta la llamaremos
la ligadura de Lorentz.
3.1 Carga puntual
Como se ha hecho anteriormente, vamos a buscar una solución estática y con
simetría esférica en esta teoría. Deberá de ser una generalización de lo calculado en
electromagnetismo. Así que apagando el término de Proca (m = 0) deberíamos de
obtener el mismo resultado de antes.
Debido a que las condiciones de simetría son idénticas a la carga puntual del ca-
pítulo anterior vamos a imponer las mismas condiciones a los tensores A�y F ��
2.7,
recordamos además su relación dada por la forma del tensor de Faraday 2.8.
La ligadura de Lorentz se cumple de forma automática )�A� = )t�(r) = 0 y la
ecuación de movimiento 3.2 impone que
−∇2� +(mℏ
)2� = 0. (3.4)
Reexpresamos el potencial electrostático como � = f (r)r
, alimentando la ecuación de
Proca 3.4 con este y expresando el Laplaciano (∇2) en coordenadas esféricas tenemos
que
−d2fdr2
+(mℏ
)2f (r) = 0 ⇐⇒ f (r) = Qe−
(
mℏ
)
r + Ce(
mℏ
)
r.
La primera constante de integraciónQ corresponde a la carga de la partícula, mientras
que la otra C no es física ya que implicaría el aumento del potencial y de la intensidad
de campo eléctrico con la distancia, llegando a diverger para r →∞.
Así, la forma del potencial y el campo eléctrico es
� = Qre−
(
mℏ
)
r, E = Qre−
(
mℏ
)
r(
r−1 +(mℏ
))
. (3.5)
3. teoría de proca 17
Apagando la masa del campo electromagnéticom = 0 volvemos a la solución de carga
puntual de la teoría de Maxwell 2.9 2.10. Este potencial tiene la misma expresión que
el de Yukawa, el cual trata de explicar la interacción fuerte entre protones y neutrones
dentro del núcleo atómico.
Comprobamos que el potencial es de corto alcance. Esto es, tiene un decaimiento
mucho más pronunciado que el de r−1 debido a la presencia del término exponencial
que establece cual es el alcance de la interacción
d = ℏm. (3.6)
Vemos que cuando m → 0 ⇐⇒ d → ∞ como ocurre en la teoría de Maxwell. Así, si
tenemos dos cargas puntuales que se encuentren a una distancia mucho mayor que
la característica de la interacción (d), estas no se in�uirían entre ellas de modo que se
encontrarían aisladas.
Por otra parte, el hecho de que la intensidad del campo eléctrico tenga el mismo
decaimiento exponencial hace que la densidad de energía del campo eléctrico dismi-
nuya de igual forma con el radio
�E =12�0E
2 ∝ e−2(
mℏ
)
r
donde �0 es la constante dieléctrica del vacío. Luego en esta teoría tenemos más con-
centrada la energía eléctrica en torno a las partículas cargadas.
A grandes rasgos podemos interpretar lo que hemos obtenido aquí como que la
energía electromagnética se encuentra más condensada y aislada que en la teoría de
Maxwell. Esto restringiría el comportamiento colectivo de los sistemas electromag-
néticos a distancias del orden del alcance de interacción 3.6.
3.2 Ondas
Existen varias diferencias fundamentales entre las ondas de la teoría de Maxwell
y las de Proca. Estas se harán claras haciendo una serie de cálculos análogos a los del
capítulo anterior. El hecho de no tener libertad gauge y la presencia del término de
Proca serán los factores decisivos que las diferenciaran.
18 teoría electromagnética de einstein-proca
Partiendo de la solución de onda plana monocromática 2.13 alimentamos la ecua-
ción de Proca 3.2 con esta, de forma que tenemos que
k�k� =(mℏ
)2. (3.7)
En la teoría de Maxwell teníamos que m = 0, así el vector de onda era de tipo luz
k�k� = 0. Aquí, vemos que es de tipo temporal; esto se traduce en el hecho de que la
relación de dispersión de la onda es no lineal y que la propagación de esta es sublu-
mínica.
Por otra parte, imponiendo que se cumpla la ligadura de Lorentz 3.3 sobre la onda
plana tenemos que
�k� = 0. (3.8)
Esto es, otra vez los tensores polarización y propagación son ortogonales. Además,
como antes, esta ligadura reduce en 1 el número de grados de libertad de �pasando
de 4 a 3. La diferencia con el caso anterior es que ahora no tenemos más libertad gauge
de modo que esta onda tendrá 3 polarizaciones.
Ahora vamos a estudiar el caso concreto de la onda plana propagándose en el
sentido positivo del eje z. El tensor propagación (k�) tendrá la misma forma que en el
caso anterior
k� =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
w00k
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Imponemos primero la condición derivada de la ecuación de movimiento 3.7 de
forma que tenemos
k�k� = w2 − k2 =(mℏ
)2⇐⇒ w = +
√
k2 +(mℏ
)2. (3.9)
Esta de aquí es la relación de dispersión de las ondas electromagnéticas en la teoría
de Proca. Vemos que su carácter no es lineal, con lo cual la velocidad de fase vf y la
de grupo vg en general no coincidirán. La velocidad de grupo es la que se corresponde
con la velocidad física del contenido energético de la onda, su expresión es
vg =)w)k
= kw=
√
1 −(
m∕ℏw
)2
≤ 1 = c. (3.10)
3. teoría de proca 19
Vemos que conforme aumentamos la frecuencia de la onda más se aproxima su
velocidad a la de la luz. Por otra parte existe una frecuencia de corte
wc = m∕ℏ (3.11)
donde la velocidad de grupo y el número de onda son nulos. Por debajo de esta, vg y
k se vuelven imaginarios. En este caso, la onda se vuelve una onda dispersiva. Esto
es, conforme se propaga decae su amplitud de forma exponencial. Este efecto es el
que ocurre con las ondas electromagnéticas convencionales cuando se propagan por
dieléctricos que van absorbiendo su energía. La solución en este caso es
A� = �eiwte−kz. (3.12)
Imponiendo ahora que la onda plana (A� = ′�eik�x� ) cumpla la ligadura de Lo-
rentz 3.3. Esto es, que los tensores propagación y polarización sean ortonormales 2.15
tenemos que
z = wkt = vft. (3.13)
Esta de aquí es la única ligadura que cumple el tensor polarización, con lo cual pode-
mos tomar como parámetros independientes de sus componentes t = m,x = ∥,y y = = . De esta forma su expresión vectorial es
� =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
m∥=vfm
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Como ya se ha anticipado, la onda es una combinación lineal de tres polarizaciones
A� = =(
��xeik�x�
)
+∥
(
��y eik�x�
)
+m(
��t eik�x� + vf��z e
ik�x�)
. (3.14)
Vemos que además de las polarizaciones transversales propias de las ondas elec-
tromagnéticas sin masa tenemos una nueva polarización que combina la componente
longitudinal y la temporal. Ahora vamos a ver los posibles valores de la helicidad
que presenta esta solución. Haciendo otra vez el cambio de variable para pasar de la
polarización transversal a la circular 2.21 donde la expresión de la onda es
A� = R
(
��x − i��y
√
2eik�x�
)
+L
(
��x + i��y
√
2eik�x�
)
+m(
��t eik�x� + vf��z e
ik�x�)
.
20 teoría electromagnética de einstein-proca
Aplicamos una rotación al sistema respecto al eje z en las coordenadas transver-
sales de forma análoga a 2.22
A� =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
m∥=
mvf
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
eik�x� → A′� =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
′m
′∥
′=
′mvf
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
eik�x� = ��A� =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1 0 0 00 cos� sen� 00 −sen� cos� 00 0 0 1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
m∥=
mvf
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
eik�x�
′∥ = cos�∥ + sen�=, ′
= = −sen�∥ + cos�=, ′m = m.
Esta rotación traducida a las coordenadas circulares se expresa como sigue:
R → ′R =
1√
2
(
cos�∥ + sen�= + i(
−sen�∥ + cos�=))
= ei�R.
Obtenemos el mismo resultado para las polarizaciones transversales que en la teo-
ría de Maxwell, esto era de esperar ya que estas polarizaciones en sí no han cambiado.
Por otro lado, vemos que la nueva polarización m es invariante bajo rotaciones en
el eje z de forma trivial ya que sus componentes no varían con esta transformación.
Podemos agrupar el resultado de aplicar esta rotación al sistema
R → ′R = ei�R
L → ′L = e−i�L
m → ′m = m.
.
Vemos que en este caso la helicidad puede tomar como valores ℎ = −1, 0, 1. El
hecho de que esta onda admita una helicidad nula esta en íntima relación con la nueva
polarización y la masa (m > 0) de esta.
4 Teoría de Einstein-Maxwell
A partir de este punto, acoplaremos el electromagnetismo a la geometría espacio-
temporal que tendrá dinámica propia. Empezaremos este capítulo con una ligera in-
troducción a la relatividad general para a�anzar ciertos conceptos. Después deriva-
remos las ecuaciones de movimiento de la acción de Einstein-Maxwell y hallaremos
una solución con simetría esférica y estática, el agujero negro cargado.
4.1 Introducción. Relatividad general
La teoría de la relatividad general acopla cualquier forma de energía a la geometría
espacio-temporal. Este acoplo se expresa en las denominadas ecuaciones de Einstein,
que como veremos se pueden deducir a partir de principios variacionales
G�� ≡ R�� −12Rg�� = −kT�� (4.1)
con k = 8�GN . Para indagar más profundamente en el tema se recomienda acudir a
[1] y [4]. Se pueden reexpresar estas ecuaciones usando para ello su traza
g��(
R�� −12Rg�� = −kT��
)
⇐⇒ R = kT .
Así, tenemos la siguiente forma de escribirlas que será más práctica a la hora de rea-
lizar los cálculos pertinentes
R�� = −k(
T�� −12T g��
)
. (4.2)
Al tensorG�� se le llama tensor de Einstein y contiene la información relacionada
con la geometría espacio-temporal. Este, depende del tensor de Ricci (R��); de su con-
tracción, el escalar curvaturaR y de la métrica g�� . En el fondo, como trabajamos con
22 teoría electromagnética de einstein-proca
la conexión de Levi-Civita todos estos tensores únicamente dependen de la métrica
que contendrá toda la información sobre la curvatura espacio-temporal.
El tensor energía-impulso (T��) es el que contiene toda la información sobre la
distribución energética en el espacio-tiempo. Para una mayor comprensión del tensor
se recomienda acudir a [1] y [5] donde se tratan además varios ejemplos. La igualdad
entre estos tensores (a parte de la constante) describe la estrecha relación que hay
entre energía y geometría.
Cualquier expresión energética en un espacio-tiempo dinámico cambia la geome-
tría de este curvándolo (alejándolo de su con�guración menos energética, el espacio
plano o de Minkowski). La curvatura en sí contiene energía, es por ello que curvatura
y energía se retroalimentan entre ellas. Un re�ejo de esto es que las ecuaciones di-
ferenciales derivadas de las ecuaciones de Einstein no son lineales. La gravedad, por
su parte es una manifestación de los cambios en la geometría y a su vez se entiende
como la atracción que sienten distintas fuentes energéticas cualquiera.
El contenido energético in�uye en la geometría espacio-temporal. A su vez, esta
in�uye en el contenido energético. Es por ello que se puede entender que la energía
interactúa entre sí misma sirviéndose para ello de la geometría del espacio-tiempo
que la contiene.
La divergencia del tensor de Einstein es nula ∇�G�� = 0, esto es debido al uso
de la conexión de Levi-Civita. Este hecho se puede deducir contrayendo la segun-
da identidad de Bianchi y esta a su vez, se deduce aplicando la identidad de Jacobi
(
[[
∇�,∇�]
,∇ ]
+[[
∇� ,∇ ]
,∇�]
+[[
∇ ,∇�]
,∇�]
= 0) a un vector contravariante.
La identidad de Jacobi es una relación básica que indica que las derivadas covariantes
son elementos de un álgebra de Lie.
Por otra parte, hay un argumento físico que refuerza esta idea y es que, se com-
prueba inmediatamente a través de las ecuaciones de Einstein que
∇�G�� = 0 ⇐⇒ ∇�T
�� = 0.
El hecho de que la divergencia del tensor energía-impulso sea nula implica que se
conserva la energía y la cantidad de movimiento en el universo (o en general en sis-
temas físicos aislados). Estos son principios físicos fundamentales. Podemos utilizar
este resultado como test de consistencia para comprobar que nuestra ecuación de mo-
vimiento es correcta.
4. teoría de einstein-maxwell 23
4.2 Ecuaciones de movimiento
Pasamos ahora a la deducción de las ecuaciones de movimiento para la teoría de
Einstein-Maxwell, recordamos que la acción asociada a esta es
S = ∫ d4x√
|g|( R2k− 14F ��F��
)
. (4.3)
En esta acción es posible aplicar el principio variacional tanto al tensor potecial elec-
tromagnético (para las ecuaciones de Maxwell) como a la métrica, que nos proporcio-
nará las ecuaciones de Einstein de esta teoría.
La ecuación de Maxwell se deduce a partir de la misma ecuación de Euler-Lagragange
utilizada en capitulos anteriores 2.4. En este caso, el lagrangiano es el asociado a la
acción 4.3. Con esto, la ecuación de Maxwell en espacio curvo es
∇�F�� = 0. (4.4)
Para la deducción de las ecuaciones de Einstein tenemos que aplicar el principio
variacional a la métrica. La ecuación de Euler-Lagrange asociada a esta es
)�)�
(
��(
)�)�g��)
)
− )�
(
��(
)�g��)
)
+ �� (g��)
= 0. (4.5)
Obviamente, el lagrangiano que se introduce es otra vez el asociado a la acción de
nuestra teoría 4.3. Finalmente, las ecuaciones de Einstein son
R�� −12Rg�� = −k
(
g��14F��F
�� − F��F ��
)
. (4.6)
Es inmediato comprobar, atendiendo a la expresión general de las ecuaciones de Eins-
tein 4.1 que el tensor energía-impulso tiene la siguiente forma
T�� = g��14F��F
�� − F��F �� . (4.7)
En este punto, realizamos el test de consistencia para comprobar que la ecuación
4.6 es correcta. Se calcula la divergencia del tensor energía-impulso
∇�T�� = 1
4∇� (F��F
��) − ∇� (F��F��) = F ��∇�F�� = 0.
La divergencia del tensor energía-impulso es nula siempre y cuando se cumpla la
ecuación de Maxwell. Es por ello que decimos que la divergencia es nula en la capa
de masas.
24 teoría electromagnética de einstein-proca
4.3 Agujero negro con carga
En este punto, vamos a buscar una solución particular para estas ecuaciones. Im-
pondremos que el sistema tenga simetría esférica y que sea estático, las mismas con-
dicionas que tomamos antes en espacio plano para las cargas puntuales. En este caso,
la complejidad del problema es mucho mayor debido a que debemos de determinar la
métrica del espacio-tiempo. Impondremos una serie de condiciones sobre esta aten-
diendo a las simetrías del sistema, a esto se le llama �jar un Ansatz.
El hecho de que el sistema sea estático indica que hay unas coordenadas donde
la métrica no depende del tiempo. Por otra parte, resultará mas cómodo el uso de
las coordenadas esféricas donde la forma de la métrica únicamente dependerá de la
distancia a la singularidad. Además, tenemos invariancia ante inversión temporal (t→−t). Esto es debido a que el sistema es estático y el sentido del tiempo no in�uye en
él. Así tenemos la forma de la métrica que se adecua a estas condiciones
ds2 = g��dx�dx� = e2A(r)dt2 − e2B(r)dr2 − r2dΩ22. (4.8)
La expresión matricial es
g�� =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
e2A 0 0 00 −e2B 0 00 0 −r2 00 0 0 −r2sen2�
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Vamos a ocuparnos en primera instancia de calcular todo lo relativo a la parte
geométrica del problema. Esto es, el cálculo del tensor de Ricci que depende de los
símbolos de Christo�el y estos a su vez de la métrica. Sus expresiones son
R�� = )�Γ��� − )�Γ��� + Γ
���Γ
��� − Γ
���Γ
��� (4.9)
à �� =12g �
(
)�g�� + )�g�� − )�g��)
. (4.10)
Realizando los calculos pertinentes tenemos que las componentes no nulas de los sím-
bolos de Christo�el son
Γrtt = e2(A−B)A′ Γttr = A
′ Γrrr = B′
Γ�r� = r−1 Γ'r' = r
−1 Γr�� = −re−2B
Γ'�' = tg−1� Γr'' = −rsen
2�e−2B Γ�'' = −sen�cos�.
4. teoría de einstein-maxwell 25
Así mismo, las componentes no nulas del tensor de Ricci son
Rtt = −e2(A−B)(
A′′ + A′2 − A′B′ + 2r−1A′)
Rrr = A′′ + A′2 − A′B′ − 2r−1B′R�� = e−2B (r(A′ − B′) + 1) − 1R'' = sen2�R��.
En este punto nos centramos en los cálculos relacionados con el contenido energé-
tico del espacio-tiempo. Vamos a imponer las mismas condiciones sobre el tensor de
Faraday y el del potencial electromagnético que teníamos en la carga puntual. Recor-
damos que elegíamos el gauge de Coulomb por comodidad, de forma que la condición
que tenían que cumplir se expresaba en 2.7.
En el espacio curvo la expresión de la identidad de Bianchi que cumple el tensor
de Faraday es la siguiente
���� ∇�F� = 0 ⇐⇒ F�� = ∇�A� − ∇�A�.
Donde recordamos que en es espacio plano se usaba una derivada parcial en vez de
una covariante. Esta de aquí es la expresión más general de la identidad de Bianchi
para el tensor de Faraday. Notamos sin embargo, que la expresión de este tensor es en
el fondo la misma de antes 2.3
F�� = ∇�A� − ∇�A� = )�A� − Γ���A� −(
)�A� − Γ���A�
)
= )�A� − )�A�.
Durante todo este trabajo nos valdrá la expresión 2.3 para de�nir el tensor de Faraday.
Por ello seguirá valiendo la relación 2.8 entre el campo eléctrico y el potencial escalar.
Introduciendo esta condición en la ecuación de Maxwell 4.4 tenemos que
0 = ∇�F�t = 1
√
|g|)r(
√
|g|�′(r))
⇐⇒ )r(
r2e−(A+B)�′)
= 0.
Integrando esta ecuación diferencial tenemos que su solución es
E = −�′ = Qr2e−(A+B), (4.11)
donde la constante de integración Q es proporcional a la carga de nuestro sistema.
Calculamos ahora la forma explicita del tensor energía impulso (T��) y su con-
tracción (T ), su expresión venia dada por 4.7. Sustituyendo los valores de F�� y A� se
tiene
26 teoría electromagnética de einstein-proca
Ttt =12e−2B�′2
Trr = −12e−2A�′2
T�� =12r2e−2(A+B)�′2
T'' = sen2�T��T = g��T �� = 0.
Lo tenemos todo dispuesto para para plantear las ecuaciones de Einstein 4.2 re-
sultando el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales
e2(A−B)(
A′′ + A′2 − A′B′ + 2r−1A′)
= −k2e−2AQ
2
r4
A′′ + A′2 − A′B′ − 2r−1B′ = k2e2BQ
2
r4
e−2B(
1 + r(A′ − B′))
− 1 = −k2Q2
r2. (4.12)
Resolviendo este sistema de ecuaciones para A y B nos queda que
e2A = 1 + −2Mr
+ kQ2
2r2, A = −B, (4.13)
donde −2M es una constante de integración proporcional a la masa de nuestro siste-
ma.
Recordando la forma de la métrica 4.8, tenemos que la solución es
ds2 =(
1 + −2Mr
+ kQ2
2r2
)
dt2 −(
1 + −2Mr
+ kQ2
2r2
)−1
− r2dΩ22. (4.14)
Las dos constantes de integración que nos ha aparecido, como ya hemos comentado,
están relacionadas con la carga Q y la masa M del agujero negro.
Por otra parte, el campo eléctrico creado por este tiene la misma expresión que el
de la carga puntual 2.10
E = −Frt =Qr2.
El término−2Mr
está presente en la solución de Schwarzschild (agujero negro sin
carga). Este decae más lentamente que el término de carga (kQ2
2r2). Alejándonos lo su-
�ciente del agujero negro, donde podemos calcular el límite Newtoniano, se puede
4. teoría de einstein-maxwell 27
identi�car este término con el potencial gravitatorio de una masa puntual clásico
�N =Mr
.
Por otro lado, vemos que el campo eléctrico depende del signo de la cargaQ como
se esperaría también en la teoría de Maxwell. Así, cargas con signos iguales se atraen
electromagnéticamente y las que tiene signos diferentes se repelen. Sin embargo, en
la métrica vemos que aparece Q2. Esto implica que una partícula de prueba neutra
puede sentir la atracción gravitatoria generada por la energía eléctrica de la carga,
pero nunca puede llegar a conocer el signo de esta.
Por último vamos a hacer un análisis sobre las posibles singularidades de esta
solución. En principio, cualquier zona espacio-temporal donde se anule la métrica o
diverja es susceptible de ser una singularidad. Sin embargo, también es posible que
simplemente se trate de una singularidad de las coordenadas (no física). Para compro-
bar que una singularidad es física podemos mirar los invariantes de curvatura; estos
son escalares formados a partir de contracciones del tensor de Riemann (R ���� ). Si un
invariante de curvatura es singular en algún punto esta singularidad será física.
Nuestros candidatos a singularidades son
r = 0 y 1 − 2Mr+ kQ2
2r2= 0.
Vamos a comprobar que el primero es una singularidad física analizando el siguiente
invariante
R��R�� = k2T��T �� = k2
Q4
r8.
Como podemos comprobar diverge para r = 0, luego esta zona es una singularidad
espacio-temporal. En un solo punto se concentra una energía �nita de forma que la
curvatura y la densidad energética divergen aquí. El segundo candidato no es una
singularidad física. Esto es, podemos hacer un cambio de coordenadas oportuno de
forma que deje de ser una singularidad.
5 Teoría de Einstein-Proca
En este capítulo estudiaremos el electromagnetismo de Proca en un espacio-tiempo
dinámico. Aquí, los campos electromagnéticos llevan asociada una masa y la geo-
metría espacio-temporal tiene su propia dinámica. Se buscará una solución para la
denominada carga de Proca, esta generaliza por una parte la solución de Reissner-
Nordström (el agujero negro cargado). Y por otra, la carga puntual en la teoría de
Proca.
Comenzaremos por deducir las ecuaciones de movimiento a partir de la acción
asociada a la teoría usando para ello las ecuaciones de Euler-Lagrange. Recordamos
que la forma de la acción es
S = ∫ d4x√
|g|(
R2k− 14F ��F�� +
12
(mℏ
)2A�A�
)
. (5.1)
La primera ecuación de movimiento, la cual sería equivalente a las ecuaciones de
Maxwell, se deduce tomando la ecuación de Euler-Lagrange 2.4. A esta ecuación de
movimiento se le denomina la ecuación de Proca en espacio curvo y tiene la siguiente
forma
∇�F�� +
(mℏ
)2A� = 0. (5.2)
Vemos que esta se reduce a la de la teoría de Einstein-Maxwell 4.4 si apagamos el
término de Proca m = 0. También, existe una semejanza con la ecuación de Proca
en espacio plano 3.2, donde en este caso tenemos que la derivada es covariante. Así,
comprobamos como naturalmente la teoría de Einstein-Proca generaliza a las teorías
anteriores.
Como ocurría con la teoría de Proca, esta ecuación hace que la teoría no sea in-
variante gauge. Vemos que en ella existe un término A�aislado. Así, aplicando una
transformación gauge 2.6 la ecuación de Proca cambia.
30 teoría electromagnética de einstein-proca
Ademas, otra vez, como ocurría en la teoría de Proca en espacio plano, la ecuación
5.2 impone una condición al tensor potencial electromagnético. Derivando esta
∇�
(
∇�F�� +
(mℏ
)2A� = 0
)
(5.3)
y notando que el intercambio de indices � ↔ � es simétrico para las derivadas y
antisimétrico para el tensor de Faraday tenemos que
∇�A� = 0. (5.4)
Llamaremos a esta condición la ligadura de Lorentz, en analogía con lo que pasaba en
espacio plano 3.3.
La otra ecuación de movimiento se deduce aplicando el principio variacional a
la métrica, recordamos que la ecuación de Euler-Lagrange es 4.5. De tal forma que
introduciendo el Lagrangiano asociado a la acción 5.1 tenemos que las ecuaciones de
Einstein de esta teoría son
R��−12Rg�� = −kg��
(
14F��F
�� − 12
(mℏ
)2A�A
�)
−k(mℏ
)2A�A�+kF��F �
� . (5.5)
Podemos ver que esta ecuación tiene la estructura de las ecuaciones de Einstein
4.1. Identi�cando el tensor energía-impulso tenemos que su expresión es
T�� = g��
(
14F��F
�� − 12
(mℏ
)2A�A
�)
+(mℏ
)2A�A� − F��F �
� . (5.6)
Apagando la masa de los campos electromagnéticos m = 0 volvemos a la expresión
del tensor energía-impulso en la teoría de Einstein-Maxwell 4.7.
Realizamos el mismo test de consistencia que en el capítulo anterior para com-
probar la veracidad de esta ecuación. Comprobaremos que la divergencia del tensor
energía-impulso es nula en la capa de masas
∇�T�� = 1
4∇� (F��F
��)− 12
(mℏ
)2∇� (A�A
�)+(mℏ
)2∇� (A�A
�)−∇� (F��F��) =
= F ��(
∇�F�� +(mℏ
)2A�
)
−(mℏ
)2A�∇�A
� = 0.
Vemos que la divergencia es nula cuando, efectivamente el campo cumple la ecuación
de movimiento (divergencia nula en la capa de masas) y además este obedece a la
ligadura impuesta (ligadura de Lorentz).
5. teoría de einstein-proca 31
5.1 Agujero Proca
Como anteriormente se hizo, vamos a buscar una solución estática y con simetría
esférica para esta teoría. El tratamiento en este caso sera análogo a lo ya hecho pero
con diferentes ecuaciones de movimiento. Podemos imaginarnos que esta solución
presentará una singularidad, como en el caso de la solución de Reissner-Nordström.
Por otra parte, por lo estudiado en la teoría de Proca. Esperamos que el potencial
eléctrico sea de corto alcance y que además la energía electromagnética se concentre
más en regiones próximas a la singularidad.
La métrica más general para el estudio de sistemas físicos estáticos y con simetría
esférica ya se discutió en el capítulo anterior 4.8.
Por otra parte, el tensor de Ricci al depender únicamente de la métrica también
tendrá la misma forma que en el capítulo anterior, recordamos que es
Rtt = −e2(A−B)(
A′′ + A′2 − A′B′ + 2r−1A′)
Rrr = A′′ + A′2 − A′B′ − 2r−1B′R�� = e−2B (r(A′ − B′) + 1) − 1R'' = sen2�R��.
Vamos a realizar los cálculos relacionados con el contenido energético del espacio-
tiempo. Imponemos otra vez las mismas condiciones sobre los tensores A�y F ��
2.7.
La relación entre el potencial y el campo vienen determinados como siempre por la
forma del tensor de Faraday 2.3. Recordamos que esta relación era 2.8.
La ligadura de Lorentz 5.4 podemos comprobar que con estas condiciones se cum-
ple de forma automática
0 = ∇�A� = 1
√
|g|)�
(
√
|g|A�)
=)t(
eA+Br2sen�At(r))
eA+Br2sen�= 0.
Introducimos el campo en la ecuación de Proca (la cual corresponde con la primera
ecuación de movimiento)
0 = ∇�F�t +
(mℏ
)2At = 1
√
|g|)r(
√
|g|�′(r))
+(mℏ
)2e−2A�(r) ⇐⇒
⇐⇒ )r(
r2e−(A+B)�′)
=(mℏ
)2r2eB−A�. (5.7)
32 teoría electromagnética de einstein-proca
Comprobamos que esta ecuación en el espacio plano (apagando A = 0 y B = 0), se
corresponde con la ecuación para el potencial en la teoría de Proca 3.4. En este caso,
la solución no es tan inmediata debido a que no conocemos la métrica (A y B).
Calculamos ahora la forma explicita del tensor energía impulso (T��) y su con-
tracción (T ). Su expresión la recalcamos en 5.6. Sustituyendo los valores de F�� y A�tenemos que
Ttt =12
(
e−2B�′2 +(mℏ
)2�2)
Trr = −12e−2A�′2
T�� =12r2e−2(A+B)�′2
T'' = sen2�T��T = g��T �� = −e−2A
(mℏ
)2�2.
En este punto todo está listo para plantear las ecuaciones de Einstein 4.1. Así,
tenemos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales para la métrica y el potencial
e2(A−B)(
A′′ + A′2 − A′B′ + 2r−1A′)
= k2
(
(mℏ
)2�2 − e−2B�′2
)
A′′ + A′2 − A′B′ − 2r−1B′ = k2
(
e2(B−A)(mℏ
)2�2 + e−2A�′2
)
e−2B(
1 + r(A′ − B′))
− 1 = k2r2(
e−2A(mℏ
)2�2 − e−2(A+B)�′2
)
. (5.8)
Reagrupando estas ecuaciones y uniendo la deducida en la primera ecuación de
movimiento 5.7, tenemos planteado el sistema de ecuaciones diferenciales que deben
de cumplir nuestras funciones incógnita (A(r), B(r), �(r))
)r(
r2e−(A+B)�′)
=(mℏ
)2r2eB−A�
A′ + B′ = k4re2(B−A)
(mℏ
)2�2
e−2B (1 + r(A′ − B′)) − 1 = k2r2(
e−2A(mℏ
)2�2 − e−2(A+B)�′2
)
.
5. teoría de einstein-proca 33
Este es un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas. Notamos en primera
instancia que no tenemos una relación tan simple entreA yB como la que teníamos en
Reissner-Nordström 4.13. Se ha llegado a resolver mediante métodos numéricos en [2]
y [3]. Sin embargo, no se ha encontrado una expresión analítica de la solución debido a
su complejidad. Estas ecuaciones esconden la forma del potencial electrostático creado
por el agujero Proca y la curvatura del espacio-tiempo inducida por este.
6 Aproximación asintótica. Régimendel campo débil
Vista la di�cultad para encontrar una solución exacta, se ha optado por buscar una
aproximada. Trataremos de entender el comportamiento del potencial electromagné-
tico y la forma en que la carga de Proca curva el espacio-tiempo en zonas su�ciente-
mente alejadas de esta. Ya que no estudiamos la totalidad del sistema, no podremos
saber si este tiene singularidades. Es decir, podemos imaginarnos que si exista esta
singularidad al tratarse esta solución de una generalización del agujero negro carga-
do pero no podemos demostrarlo matemáticamente.
Vamos a considerar lo que se denomina el régimen del campo débil, descrito en
[1]. Nuestra métrica será la de Minkowski más una pequeña perturbación que consi-
deraremos únicamente a orden lineal
g�� = ��� + �ℎ�� , (6.1)
donde � << 1.
Denominaremos a la métrica de Minkoswki (���) como la métrica de base. A ℎ��la llamaremos perturbación métrica y g�� será la métrica total. La aproximación lineal
implica que en las diferentes ecuaciones que deduciremos a partir de las ecuaciones
de Einstein no consideraremos los términos proporcionales a �2. Un ejemplo de esto
lo podemos ver en la forma contravariante de la métrica que es
g�� = ��� − �ℎ�� .
Esto es, contrayendo la métrica consigo misma tendremos que
��� ≡ g��g�� = (��� − �ℎ��)(
��� + �ℎ��)
= ��� +�(
���ℎ�� − ℎ�����)
+�2ℎ��ℎ�� = ��� .
36 teoría electromagnética de einstein-proca
En la última igualdad hemos despreciado el término proporcional a �2. Además, se ha
contraído la perturbación métrica con ���. Esto es debido en el fondo a la misma idea,
la forma correcta de contraer cualquier tensor es mediante la métrica total. Sin embar-
go, vemos que como la perturbación métrica es considerada a orden lineal, tenemos
lo siguiente
g��(
�ℎ��)
= � (��� − �ℎ��)ℎ�� = ���(
�ℎ��)
− �2ℎ��ℎ�� = ���(
�ℎ��)
.
Otra vez, se ha despreciado el término proporcional a �2. Así, de forma efectiva, los
tensores considerados a orden lineal (los acompañados por �) se contraen con la mé-
trica de base.
Denominaremos a los tensores de curvatura y los símbolos de Chrisfo�el asocia-
dos a la métrica base de la siguiente forma → Γ �� , R�� = 0, R = 0. Los tensores
de curvatura en el espacio plano son nulos, pero los símbolos solo lo son si usa-
mos coordenadas cartesianas. Resaltaremos por otra parte los tensores de curvatura
y los símbolos de Christo�el de la métrica total para diferenciarlos de los anteriores
→ Γ̃ �� , R̃�� , R̃.
Vamos a ver la expresión que tienen los símbolos de Christo�el y los tensores de
curvatura de la métrica total en función de los de la métrica base, estos están expre-
sados en [1] y son
Γ̃ �� =12g �
(
)�g�� + )�g�� − )�g��)
= à �� +�2
(
∇�ℎ � + ∇�ℎ
� − ∇
ℎ��)
, (6.2)
R̃�� = R�� +12�(
∇�∇�ℎ�� + ∇�)�ℎ − ∇�∇�ℎ�� − ∇�∇�ℎ
��
)
, (6.3)
R̃ = R + �(
∇�∇�ℎ − ∇�∇�ℎ�� − ℎ��R��
)
. (6.4)
La métrica de base (���) es una solución exacta conocida. Sus ecuaciones de Eins-
tein son triviales
0 = R�� −12R��� = −kT�� = 0.
La perturbación que le hacemos a esta métrica tiene que interpretarse físicamen-
te como un pequeño cambio en el contenido de energía del espacio-tiempo. Esto es;
partiendo del espacio plano vacío, introducimos una pequeña cantidad de conteni-
do energético que solo afecte hasta primer orden a la métrica total. El cambio en el
contenido energético se expresa a través del tensor energía-impulso
0 = T�� → T̃�� = T�� + �t��.
6. aproximación asintótica. régimen del campo débil 37
El tensor t�� se llamara perturbación energía-impulso. Vemos que esta considerado
solo a orden lineal (al llevar un �) con lo cual este se contraerá con ��� .
Por otra parte, las ecuaciones de Einstein del sistema en su totalidad son
G̃�� = R̃�� −12R̃g�� = −kT̃�� . (6.5)
Tomamos esta ecuación solo a orden lineal en �, en acuerdo con el régimen del campo
débil. Para ello usaremos las expresiones 6.2, 6.3 y 6.4. Tenemos con ello que
∇�∇�ℎ�� −∇�)�ℎ−∇�∇�ℎ�� −∇�∇�ℎ
�� = k
(
���t + ℎ��T − ���ℎ��T�� − 2t��)
. (6.6)
Denominaremos a estas ecuaciones como las ecuaciones de Einstein linealizadas. El
término de la derecha contiene las fuentes para la perturbación métrica (ℎ��). Vemos
que no solo las perturbaciones del tensor energía-momento (t��) in�uyen en esta.
Observamos que el segundo y tercer término de la derecha contienen tanto ℎ�� como
a T �� . De esta manera, existe una interacción entre el contenido base de energía y la
métrica perturbada. A esto se le llama retroacción y es consecuencia de la no linealidad
de la teoría de la relatividad. Sin embargo, en nuestro caso este término es nulo ya que
no hay contenido inicial de energía (T�� = 0).
Existe degeneración en la forma de las perturbaciones métricas. Esto es, distin-
tas con�guraciones para ℎ�� pueden representar la misma situación física. La causa
de esto a grandes rasgos radica en que nuestra teoría es invariante bajo cambios de
coordenadas. Así, se puede demostrar [1] que la geometría del espacio-tiempo es in-
variante bajo la siguiente transformación
ℎ�� → ℎ′�� = ℎ�� + ∇�v� + ∇�v� (6.7)
siendo v� un tensor arbitrario. Esto recuerda a la libertad gauge del electromagnetismo
y tanto es así que a esta transformación se le llama transformación gauge en gravedad
linealizada. Hay una elección de gauge que nos simpli�ca las ecuaciones de Einstein
linealizadas 6.6. A este se le llama gauge de Einstein y se expresa
∇�ℎ�� − 1
2)�ℎ = 0. (6.8)
De esta manera, las ecuaciones de Einstein linealizadas nos queda como
12∇�∇�ℎ�� − R����ℎ
�� + 12R �� ℎ�� +
12R �� ℎ�� =
38 teoría electromagnética de einstein-proca
= −k(
t�� −12���t +
12���ℎ
��T�� −12ℎ��T
)
.
En nuestro caso particular esta ecuación se reduce a
∇�∇�ℎ�� = k(
���t − 2t��)
. (6.9)
En este punto, debemos de elegir un Ansatz para la métrica. Por una parte, de-
bemos de concederle su�ciente libertad a esta como para que pueda ser solución de
la carga de Proca. Por otra parte, nos vemos obligados a utilizar el gauge de Einstein
6.8 para que las ecuaciones de Einstein linealizadas tengan una expresión tan sencilla
6.9. Es por ello que debemos de darle una forma a ℎ�� tal que este gauge no imponga
unas condiciones demasiado fuertes. De forma intuitiva, buscamos un Ansatz lo su-
�cientemente complejo como para que la métrica pueda expresar nuestro sistema y
que además esta se "moldee" al gauge de Einstein.
La forma de la perturbación métrica elegida esta inspirada en las coordenadas
isótropas. Donde para la solución de Schwarzschild (agujero negro sin carga) en la
aproximación del campo débil cumplen automáticamente el Gauge de Einstein. La
forma de la métrica en la solución de Schwarzschild es
ds2 =(
1 − 2Mr
)
dt2 −(
1 − 2Mr
)−1dr2 − r2dΩ22.
donde haciendo la aproximación para el campo débil (r >> 2M ) se expresa como
ds2 =(
1 − 2Mr
)
dt2 −(
1 + 2Mr
)
dr2 − r2dΩ22. (6.10)
Esta de aquí, sería la solución para el agujero negro en la aproximación lineal que
estamos tratando.
Haciendo el siguiente cambio de variable
r̃ = 12
(
r −M +√
r (r − 2M))
≃ r −M,
donde en la última igualdad hemos utilizado la aproximación del campo débil r >>2M . Se tiene que la métrica se puede reexpresar en las denominadas coordenadas
isótropas
ds2 =(
1 − 2Mr̃
)
dt2 −(
1 + 2Mr̃
)
�ijdxidxj . (6.11)
Como dijimos, la métrica 6.10 es una solución del régimen del campo débil. Es
por ello que podemos interpretar la forma de 6.11 como si la métrica total fuera la de
6. aproximación asintótica. régimen del campo débil 39
Minkowski más una perturbación métrica
ds2 = g��dx�dx� =(
��� + ℎ��)
dx�dx�. (6.12)
Igualando 6.11 y 6.12 tenemos la siguiente expresión para la perturbación métrica que
expresa la solución de Schwarschild
ℎtt = −2Mr̃, ℎij = �ij
−2Mr
, ℎti = 0.
Además, se comprueba efectivamente que esta cumple con el gauge de Einstein 6.8.
Presentamos la forma de la métrica (Ansatz) que hemos tomado para resolver las
ecuaciones de Einstein linealizadas
ds2 = g��dx�dx� =(
��� + ℎ��)
dx�dx� =(
1 + ℎtt)
dt2 +(
−�ij + ℎij)
dxidxj .(6.13)
Por el momento solo hemos puesto como hipótesis sobre la perturbación métrica que
ℎit = 0. El gauge de Einstein 6.8 impone la siguiente condición sobre 6.13
)j
(
ℎij +�ij2(
ℎtt − �mnℎmn)
)
= 0. (6.14)
6.1 Agujero negro con carga
Para probar que esta forma de la métrica es consistente vamos a solucionar las
ecuaciones de Einstein linealizadas para el agujero negro con carga.
Como nuestra métrica de base es la de Minkowski, la solución para la ecuación de
movimiento correspondiente a las ecuaciones de Maxwell es la misma que en caso del
espacio plano 2.9. Por otra parte, la forma del tensor de Faraday 2.3 nos da la relación
entre el potencial y el campo que expresado en coordenadas cartesiadas es
Fit = �ikxk
r�′. (6.15)
En este punto calculamos la expresión de la perturbación del tensor energía im-
pulso (t��) y su contracción (t), su forma explícita es
t�� = ���14F��F
�� − F��F �� . (6.16)
Sustituyendo ahora los valores de F�� y A�
40 teoría electromagnética de einstein-proca
ttt =12�′2 = 1
2Q2r−4
tti = 0
tij = �′2(�ij2− r−2�ik�jlxkxl
)
= Q2r−4(�ij2− r−2�ik�jlxkxl
)
t = 0.
Planteamos ahora las ecuaciones de Einstein linealizadas 6.9. Como estamos en
coordenadas cartesianas y la métrica de base es la de Minkowski, las derivadas cova-
riantes son en realidad derivadas parciales
)�)�ℎ�� = k
(
���t − 2t��)
. (6.17)
Expresando las ecuaciones por componentes se tiene que
∇2ℎtt = kQ2r−4
∇2ℎij = 2kQ2r−4(�ij2− r−2�ik�jlxkxl
)
.
Resolviendo las ecuaciones diferenciales tenemos la siguiente forma para la pertur-
bación métrica
ℎtt = C1 +C2r+ kQ2
2r2(6.18)
ℎij = C ′1 +
C ′2
r�ij +
kQ2
2r2
(
�ij −13�ik�jlxkxl
r2
)
. (6.19)
Donde si comparamos este resultado con la métrica de la solución de Reissner-
Nordström 4.14 tenemos que C1 = C ′1 = 0 y C2 = C ′
2 = −2M . Además, esta pertur-
bación métrica cumple con el gauge de Einstein 6.14.
Así, tenemos que la métrica del agujero negro con carga linealizado es la siguiente
ds2 =(
1 − 2Mr+ kQ2
2r2
)
dt2−
(
�ij
(
1 + 2Mr− kQ2
2r2
)
+ 13kQ2
2r2�ik�jlxkxl
r2
)
dxidxj .
(6.20)
Este resultado, a pesar de contener menos información que la métrica exacta del aguje-
ro negro cargado 4.14, tiene una expresión más compleja. Esto es resultado de utilizar
coordenadas isótropas y cartesianas.
6. aproximación asintótica. régimen del campo débil 41
6.2 Carga de Proca
Por último, vamos a tratar de resolver las ecuaciones de Einstein linealizadas para
la carga de Proca. Con esto, concluiremos nuestro estudio de la teoría de Einstein-
Proca.
La relación entre el potencial y el campo es la misma que en la sección anterior
6.15. Por otra parte, como tenemos de base la métrica de Minkowski, la primera ecua-
ción de movimiento se corresponde con la ecuación de Proca en espacio plano 3.2
cuya solución recordamos que era
� = Qre(
mℏ
)
r. (6.21)
Expresamos la perturbación del tensor energía-impulso que en esta teoría tiene la
siguiente expresión
t�� = ���
(
14F��F
�� − 12
(mℏ
)2A�A�
)
+(mℏ
)2A�A� − F��F �
� .
Sustituyendo el campo y el potencial eléctrico (F�� , A�)
ttt =12Q2
r2e−2
(
mℏ
)
r(
2(
mℏ
)2+ 2
(
mℏ
)
r−1 + r−2)
tti = 0
tij =�ij2Q2
r2e−2
(
mℏ
)
r(
2(
mℏ
)2+ 2
(
mℏ
)
r−1 + r−2)
− Q2
r2e−2
(
mℏ
)
r �ikxk�jlxl
r2(
r−1 +(
mℏ
))2
t = −(
mℏ
)2 Q2
r2e−2
(
mℏ
)
r.
Planteamos ahora las ecuaciones de Einstein linealizadas para este sistema. Re-
cordamos que al utilizar coordenadas cartesianas estas ecuaciones se simpli�caban a
6.17. Expresándola por componentes tenemos que
∇2ℎtt = kQ2r−2e−2(
mℏ
)
r[
(mℏ
)2+((m
ℏ
)
+ r−1)2]
(6.22)
∇2ℎij = kQ2r−2e−2(
mℏ
)
r(
r−1 +(mℏ
))2(
�ij − 2�ik�jlxkxl
r2
)
. (6.23)
42 teoría electromagnética de einstein-proca
Estas ecuaciones de aquí son más difíciles de resolver, para hacerlo, nos apoyare-
mos en los resultados previamente obtenidos. Esto es, vamos a imaginarnos que ℎtttiene la siguiente forma funcional
ℎtt =−2Mr
+ kQ2
2r2f (r), (6.24)
donde vemos que poniendo f (r) = 1 volvemos a la solución del agujero negro car-
gado. Sustituyendo esta expresión en 6.22 tenemos una ecuación diferencial que debe
de cumplir f (r)
r2
(
fr
)′′
= e−2(
mℏ
)
r[
2(mℏ
)2+((m
ℏ
)
+ r−1)2]
.
Resolviendo esta ecuación diferencial, se tiene que la forma funcional de f (r) es
f (r) = C1r + C2r2 + e−2
(
mℏ
)
r +(mℏ
)
re−2(
mℏ
)
r + 2(mℏ
)2r2Ei
(
−2(mℏ
)
r)
(6.25)
donde Ei(x) es la integral exponencial que tiene la siguiente forma
Ei(x) = ∫
x
−∞
et
tdt. (6.26)
La forma de la componente ℎtt de la perturbación métrica la obtenemos introdu-
ciendo esta solución en 6.24. Donde anulamos las constantes de integración C1 = 0 =C2 para que al apagar la masa del campo electromagnético m = 0 volvamos a obtener
la solución 6.18
ℎtt = −2Mr+ kQ
2
2r2e−2
(
mℏ
)
r + kQ2
2r
(mℏ
)
e−2(
mℏ
)
r + kQ2(mℏ
)2Ei
(
−2(mℏ
)
r)
. (6.27)
Este resultado es similar al de [6] donde se usa también una aproximación. Resaltan
aquí que el hecho de que los nuevos términos de 6.27 sean positivos esta en acorde
con los resultados numéricos encontrados en [2] y [3].
Vemos que este resultado es consistente. Su�cientemente alejados del agujero Pro-
ca ℎtt(r→ +∞) = 0, esto es consecuencia de que el espacio es asintóticamente plano.
Por otra parte apagando la masa del campo electromagnético (m = 0) volvemos a
la solución de Reissner-Nordström. Vemos además que el agujero Proca in�uye más
fuertemente en el espacio-tiempo cercano a él. Esto se re�eja en el alto decaimiento
con el radio (r) de los términos que contienen las exponenciales y la integral exponen-
cial. Ya comentamos esta particularidad que tienen las cargas puntuales en la teoría
de Proca cuando se realizo el cálculo en espacio plano.
6. aproximación asintótica. régimen del campo débil 43
Para la resolución de ℎij se ha propuesto la siguiente forma funcional
ℎij = −2Mr�ij + �ij
kQ2
2r2f1(r) − f2(r)
kQ2
6r4�ik�jlx
kxl, (6.28)
donde vemos que poniendo f1(r) = f2(r) = 1 volvemos a la solución del agujero negro
cargado. Alimentando la ecuación de movimiento 6.23 con esta expresión tenemos que
f1(r) y f2(r) deben de satisfacer las siguientes ecuaciones diferenciales
∇2f1 + 2f1r−2 = 2e−2
(
mℏ
)
r((m
ℏ
)
+ r−1)2,
∇2f2 + 12f2r−2 = 12e−2
(
mℏ
)
r((m
ℏ
)
+ r−1)2.
La solución de estas ecuaciones diferenciales consta de 14 términos totalmente in-
tratables. Debido a esto, no se ha podido comprobar si verdaderamente esta solución
cumple con el Gauge de Einstein.
Vemos que en la generalización del agujero negro cargado de la teoría de Einstein-
Maxwell a la carga Proca de la teoría de Einstein-Proca hay un gran salto de comple-
jidad. En la solución de Reissner-Nordström, teniamos una relación muy directa entre
gtt y grr dada por 4.13. En el caso de la carga de Proca tenemos que no hay una relación
tan trivial entre A(r) y B(r). Realmente, poco podemos asegurar de las soluciones de
este capítulo. No se ha comprobado si esta solución cumple con el gauge de Einstein
6.14. Sin embargo, la forma de ℎtt 6.27 esta muy en acorde con lo que hemos deducido
a lo largo de este trabajo, luego no hay razón para descartar este resultado.
7 Conclusiones
Hemos analizado las diferencias entre la teoría clásica de Maxwell y la de Proca
tanto en el espacio plano de Minkowski como en la teoría de la relatividad general
donde el espacio-tiempo tiene dinámica propia. Queda claro que el hecho de incorpo-
rar masa al campo electromagnético tiene repercusiones importantes en la física de
los sistemas electromagnéticos.
Básicamente hemos analizado dos tipos de sistemas, las ondas electromagnéticas
en el espacio plano y las partículas cargadas aisladas. El análisis de estas soluciones es
lo que nos ha permitido entender como se comportan estos sistemas cuando su campo
tiene asociada una masa m.
La primera diferencia entre las ondas electromagnéticas con masa y las conven-
cionales es que su relación de dispersión no es lineal. Efectivamente, la relación de
dispersión que se cumple en la teoría de Proca es
w =√
k2 +(mℏ
)2.
Esta se reduce a la relación lineal de la teoría de Maxwell haciendo m = 0, con lo cual
la solución es consistente. La relación de dispersión indica que la velocidad de la onda
es
v =
√
1 −(
m∕ℏw
)2
≤ 1 = c.
Existe una dependencia de esta con la frecuencia, así para frecuencias altas la veloci-
dad tiende a la velocidad de la luz c. Por otra parte, tenemos una frecuencia de corte
wc =mℏ
donde la velocidad de la onda y el número de onda son nulos. Además, por
debajo de esta la onda se vuelve evanescente. Esto es, su amplitud decrece de forma
exponencial con la distancia. Luego, en la teoría de Proca si un fotón sufre un fuerte
corrimiento al rojo terminará por disiparse en el vacío.
46 teoría electromagnética de einstein-proca
La energía de una onda cuya frecuencia sea inferior a la de corte no se sabe claro
donde acabaría. En este caso, esta claro que la amplitud de la onda decae exponencial-
mente. Luego una posibilidad es que la onda se deslocalice de forma similar a como
lo hacen las partículas cuánticas (como el electrón). Otra posibilidad sería que esta
energía se transmita al espacio-tiempo curvándolo. Visto que el cálculo se realiza en
el espacio plano solo se trata de una hipótesis.
Por otra parte, cuando incorporamos masa a las ondas electromagnéticas estas
adquieren una nueva polarización. Esta, tiene helicidad nula y es una combinación
entre las componentes longitudinal y temporal de la onda. Así, la expresión para una
onda plana propagándose en el sentido positivo del eje z es
A� = =(
��xeik�x�
)
+∥
(
��y eik�x�
)
+m(
��t eik�x� + vf��z e
ik�x�)
.
Para ondas de alta frecuencia, la velocidad de fase vf = v−1g tiende a 0. Con lo cual la
nueva polarización sería únicamente temporal. Por otro lado, en la frecuencia de corte,
vf diverge. Esto haría que la componente longitudinal de la onda también diverja si
la nueva polarización no es nula m ≠ 0. Vemos que en general, mientras más alta
es la frecuencia de la onda en la teoría de Proca más se asemeja esta a las ondas
electromagnéticas convencionales.
Las cargas puntuales son el otro sistema físico tratado. El estudio realizado en el
espacio plano indica que el potencial electrostático de la carga en la teoría de Proca
es de corto alcance y además coincide con el de Yukawa. Este describe la interacción
fuerte entre protones y neutrones en el núcleo atómico y tiene la siguiente forma
� = Qre−
(
mℏ
)
r,
dondeQ se corresponde con la carga. Vemos que el término exponencial nos de�ne un
alcance para la interacción electrostática d = ℏ∕m. Partículas cargadas que se sitúen
mucho más lejos que esta distancia no sienten interacción electromagnética entre
ellas. Así, esta distancia nos de�ne el tamaño de los entornos donde podría existir un
comportamiento colectivo de carácter electromagnético.
Otra consecuencia de la existencia de este término exponencial es que la ener-
gía electrostática en la teoría de Proca se encuentra más condensada en torno a la
partícula cargada. Esto lo podemos notar explícitamente viendo que tiene un fuerte
decaimiento con la distancia
�E =12�E2 ∝ e−2
(
mℏ
)
r.
7. conclusiones 47
En esta teoría del electromagnetismo, las cargas puntuales se encuentran más aisladas
y su energía esta más condensada.
En el siguiente paso, hemos tratado las cargas puntuales en el contexto de la rela-
tividad general. Estas en principio, serán singularidades espacio-temporales. Sin em-
bargo, el único argumento que tenemos a favor de esto es que en la teoría de Einstein-
Maxwell lo son y la teoría de Einstein-Proca la generaliza.
En el caso de la solución de Reissner-Nordström, vemos que el potencial electros-
tático es el mismo que en el espacio plano. Por otra parte, la energía electromagnética
de esta carga curva el espacio tiempo de forma independiente al signo de esta, ya que
la métrica depende siempre de Q2. Se comprueba además que la energía electrostá-
tica tiene menos alcance que la energía proveniente de la masa del agujero negro (la
primera decae como1r2
y la segunda como1r).
Por último, hemos buscado una aproximación asintótica para la carga de Proca.
Donde la componente gtt de la métrica es
gtt = 1 −2Mr+ kQ2
2r2e−2
(
mℏ
)
r + kQ2
2r
(mℏ
)
e−2(
mℏ
)
r + kQ2(mℏ
)2Ei
(
−2(mℏ
)
r)
.
Hay un gran salto de complejidad cuando consideramos masa en el campo electro-
magnético a la hora de estudiar soluciones estáticas y con simetría esférica. Vemos
otra vez, como es lógico, que la forma de curvar el espacio tiempo no depende del
signo de la carga. Por otra parte, como ocurría en el espacio plano con la carga pun-
tual, el alcance del efecto en el espacio-tiempo de esta carga es todavía menor que en
la solución de Reissner-Nordström. Así, se refuerza el argumento de que las cargas en
la teoría de Proca concentran más su energía y, por lo tanto, disminuye el alcance del
efecto de esta en el espacio-tiempo.
Bibliografía
[1] B. Janssen . Teoría de la Relatividad General. 2017
[2] Yuri N. Obukhov and Eugen J. Vlachynsky . Einstein–Proca model: sphericallysymmetric solutions. 1999
[3] D. Kramer, H. Stephani, E. Herlt, M. MacCallum . Exact Solutions of Einstein’sField Equations. 1980
[4] Sean Caroll . Spacetime andGeometry. An Introduction to General Relativity. 2004
[5] Steven Weinberg . Gravitation and Cosmology. Principles and Applications of theGeneral Theory of Relativity. 1972
[6] Chris Vuille, James Ipser, Je� Gallagher . Einstein-Proca Model, Micro Black Ho-les, and Naked Singularities. 2002
[7] L.-C. Tu, J. Luo, G.T. Gillies . Challenging Photon Mass: from Scalar QuantumElectrodynamics to String Theory. 2014
