MECANICA DE FLUIDOS

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UNIDAD II FUERZAS HIDROSTATICAS

En las secciones anteriores se estudiaron las variaciones de presin dentro de un fluido en reposo.

La accin de sta presin da como resultado la existencia de fuerzas distribuidas sobre cualquier superficie

finita que se encuentre en contacto con el fluido. Sin embargo desde el punto de vista del anlisis esttico de

tales superficies donde se necesita considerar las reacciones externas a las fuerzas de presin, conviene

reemplazar stas por una fuerza resultante equivalente.

En sta seccin se determinar la magnitud de la fuerza resultante lo mismo que su lnea de accin (Centro de

Presiones).

FUERZAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS HORIZONTALES

Una superficie plana en posicin horizontal dentro de un fluido en reposo, se encuentra sujeta a una presin

constante. La magnitud de la fuerza que acta sobre un diferencial (dA) de una sola cara de la superficie es: dAPdF

Dado que las fuerzas diferenciales (dF) son todas paralelas entre s y del mismo signo, una suma escalar

(Integral) de tales fuerzas da como resultado la magnitud de la resultante as:

AhFhPperoAPFdAPdF

La direccin de la resultante es perpendicular a la superficie y dirigida hacia ella si la presin es positiva.

Para determinar su lnea de accin, es decir el punto de la superficie para el cual el momento de la fuerza

distribuida respecto a cualquier eje que pase por dicho punto sea cero, se puede seleccionar arbitrariamente

un par de ejes (x, y) que contengan la superficie tal como se muestra a continuacin.

Como el momento de resultante (PA) es igual al momento del sistema de fuerzas distribuidas (P dA) respecto a

cualquier eje.

Analizando para eje "Y" obtenemos: A

1 dAXPXPA X1= Distancia de la resultante al eje Y

Eliminando P (Constante) y despejando X1 obtenemos: A

1 dAXA

1X

h P

P

F

F

P

P

Y

X

y

x dA

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Pero esta expresin, es tambin la de la coordenada del centroide de la figura ( X ). Se concluye entonces que

para una superficie horizontal sujeta a la presin de un fluido en reposo, la resultante pasa a travs del

centroide de la superficie.

A

dAXA

1X

A

dAYA

1Y

La expresin A

dAX se denomina "Momento de un rea respecto al eje "Y" por lo tanto:

AXdAX AYdAY

FUERZAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS INCLINADAS

La magnitud de la fuerza resultante sobre una superficie plana inclinada se puede determinar por medio de

tres procedimientos:

1. Por integracin

2. Por formulas

3. Utilizando el concepto de "Prisma de Presiones"

Los dos primeros mtodos tienen gran relacin, ya que el segundo es una aplicacin de resultados obtenidos a

partir del primero.

METODO DE FORMULAS

"La magnitud de la fuerza hidrosttica total sobre cualquier superficie plana es igual al producto del

rea de la superficie por la presin unitaria en su centro de gravedad". Para demostrar lo anterior analicemos la siguiente figura:

La traza AB representa una superficie plana inclinada formando un ngulo con la horizontal.

La interseccin del plano del rea y de la superficie libre se tomara como eje "X", mientras que el eje "Y"

estar en el plano de la superficie, cortando la superficie libre en el punto "O", de acuerdo a lo anterior el

plano "X , Y" contiene a la superficie analizada.

Si se considera un diferencial de rea (dA) de forma que todas sus partculas estn situadas a la misma

profundidad "h" por debajo de la superficie libre del lquido. La fuerza que acta sobre el dA ser: dAhdAPdF

Integrando: dAhF de la figura: dAysenAdsenyFsenyh

Por definicin de momento de un rea: senYAFAYdAy

De la figura: CGhhsenY Por tanto: AhF cg

h h

dF

F

A

B

o

o

Y Y

Ycp

X

Y

Y cp

X

c

p

dy

cg

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CENTRO DE PRESION

Es el punto de la superficie plana en que acta la fuerza hidrosttica resultante y tiene coordenadas

(Xcp , Ycp). Para determinar las coordenadas del centro de presin, se toman los momentos de la resultante

respecto a los ejes X , Y y se igualan a los momentos de las fuerzas diferenciales respecto a los mismos ejes.

MOMENTO RESPECTO A EJE "X"

dA)seny(dAhdF:peroYdFYF cp

A)senY(AhF

Sustituyendo: dAysenY)AsenY( 2cp despejando: YAdAy

Y

2

cp

Pero dAy2 es el "Momento de Inercia" de la superficie plana respecto al eje "x" (Ix).

Por tanto: YA

IY xcp De Teorema de Steiner (Ejes Paralelos): AYII

2xx

Sustituyendo: YAY

IY

AY

AYIY

x

cp

2x

cp

Tambin: AY

IYY

xcp (Excentricidad)

Dado que xI es siempre positivo, la diferencia ( YYcp ) resulta tambin siempre positiva, de lo que se

concluye que el centro de presiones se encontrara en todos los casos por debajo del centro de gravedad de la

superficie plana analizada.

MOMENTO RESPECTO A EJE "Y"

Considerando dA= dx dy XdFXF cp

De anlisis anterior: AsenYF

dAsenYdF

Sustituyendo: dAYXsenX)AsenY( cp Despejando: AYdAXY

Xcp

Pero AdXY representa el "Producto de Inercia" de la superficie plana respecto a los ejes X , Y (Ixy),

sustituyendo: AY

IX

xy

cp , De Teorema de Steiner: AYXII yxxy

Sustituyendo: XAY

IX

AY

AYXIX

yx

cp

yx

cp

Siempre que uno de los ejes respecto a los cuales se considera el producto de inercia, sea eje de simetra, el

producto de inercia valdr cero, para este caso: XXcp .

En el caso ms general, dado que yxI puede ser positivo negativo, el centro de presiones se puede encontrar

a uno u otro lado del eje Y centroidal

PRISMA DE PRESIONES

Un mtodo alternativo para determinar la magnitud y localizacin de la fuerza hidrosttica resultante sobre

una superficie plana, se basa en el concepto del PRISMA DE PRESIONES.

La base de este prisma esta constituida por la superficie plana en estudio y su altura en cada punto queda

determinada por la presin ( h ), de acuerdo con una escala adecuada.

"La magnitud de la fuerza resultante es igual al volumen del prisma de presiones y su lnea de accin

pasa por el centro de gravedad del prisma".

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Analizando la fuerza que acta sobre un dA tenemos: dAhdAPdF

Pero h es la altura del prisma dVdAh .

dv = Diferencial de volumen del prisma de presiones.

dVdF integrando: VFdVdF

LOCALIZACIN

Igualando el momento de la resultante a la suma de momentos producidos por las fuerzas diferenciales

respecto a un eje obtenemos:

PARA EJE "Y"

AAA

cp dAhXdAPXdFXFX

Despejando: A

cp dAhXF

1X pero: VF Tambin: dVdAh

Por tanto: A

cp dVXV

1X

Esta expresin es igual a la que obtendramos al tomar el momento de primer orden de un volumen respecto a

un plano, la cual nos proporciona la distancia a que se encuentra el centro de gravedad del volumen.

Del mismo modo para el eje "X": A

cp dVYV

1Y

Del anlisis anterior se concluye que Xcp y Ycp son las distancias al centroide del prisma de presiones y en

consecuencia la lnea de accin de la fuerza resultante pasa por el centro de gravedad del mismo.

FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS

Cuando se estudian superficies curvas sumergidas en lquidos en reposo, las fuerzas diferenciales (dF) tienen

diferentes direcciones, por tanto es ms conveniente analizar las componentes horizontal y vertical de la

fuerza total que acta sobre dicha superficie, que la fuerza resultante.

COMPONENTE HORIZONTAL

"La componente horizontal de la fuerza de presin sobre una superficie curva es igual a la fuerza de presin que acta en la proyeccin de la superficie sobre un plano vertical perpendicular a la direccin

de la componente".

h1

h2

P1 = h1

P2 = h2

F

AhF F

h1

h2

h

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Para demostrar lo anterior analicemos la siguiente figura:

En la figura se muestra una superficie curva (AB) sumergida, la cual puede tener cualquier longitud

perpendicular al plano de la figura.

El rea CB es la proyeccin de AB sobre un plano horizontal, mientras que el rea CA es la proyeccin de AB

sobre un plano vertical. Se puede hacer un estudio de las fuerzas que actan sobre el cuerpo de fluido ABC,

las fuerzas Rx y Ry por estar actuando sobre superficies planas se pueden calcular por los mtodos estudiados

anteriormente, W es el peso del volumen de fluido ABC y acta a travs del centroide de ese volumen.

Para mantener el equilibrio, la F en cualquier direccin y la M en cualquier punto deben ser igual a cero.

De acuerdo a lo anterior obtenemos: Fx = 0 xx RF

Donde Rx es la fuerza sobre la superficie plana formada por la proyeccin de la superficie curva AB en un

plano vertical de proyeccin (CA).

De la M=0 deducimos que la lnea de accin de Fx coincide con la de Rx, la cual por ser una fuerza sobre una

superficie plana, pasa por el centro de presiones de la proyeccin CA, con lo que se demuestra la definicin

dada inicialmente.

COMPONENTE VERTICAL

"La componente vertical de la fuerza de presin sobre una superficie curva es igual al peso del volumen de liquido (Real Imaginario) que se encuentra verticalmente sobre la superficie curva extendindose

hasta la superficie libre del fluido".

La componente vertical pasa por el centro de gravedad del volumen de fluido.

Para su demostracin analicemos las fuerzas verticales que actan sobre la superficie curva AB mostrada en

la figura anterior.

De equilibrio: + yyy RWF0F

Si Ry y W se conocen, la magnitud de Fy se puede determinar mediante la relacin anterior.

La ubicacin de la componente vertical se puede determinar tomando momentos respecto a cualquier punto

conveniente como A, B, C.

Cuando se tiene lquido por debajo de una superficie curva tal como se muestra en la siguiente figura y se

conoce la presin en algn punto, por ejemplo "0", se puede construir una superficie libre imaginaria S S a

una distancia P/ arriba de "0" de manera que el producto del peso especfico y la distancia vertical a

cualquier punto de depsito sea igual a la presin en ese punto.

w D

e

l

m

i

s

m

o

m

o

d

o

p

a

r

a

e

l

e

j

e

"

X

":

A

cp dVYV

1Y

D

e

l

a

n

li

s

i

s

a

n

t

e

r

i

o

r

FX

FY

RX

RY

A

B C

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El peso del volumen imaginario de lquido encima de la superficie curva resulta igual a la componente vertical

de la fuerza de presin sobre la superficie.

Al trazar la superficie imaginaria, debe tenerse cuidado que el lquido imaginario sea del mismo peso

especfico que el lquido en contacto con la superficie curva; de otra manera la distribucin de presiones no

quedara representada correctamente. Con un lquido imaginario encima de la superficie, la presin en ambas

caras es igual, pero las fuerzas diferenciales en la direccin vertical son de signos opuestos, por lo tanto el

sentido de la componente vertical de la fuerza para este caso resulta al revs.

En algunos casos el lquido confinado se encuentra por encima de la superficie curva de inters, debindose

entonces agregar sustraer un lquido imaginario para construir la superficie libre.

EMPUJE Y FLOTACION

En la seccin anterior se analiz el mtodo para determinar las componentes verticales de las fuerzas de

presin hidrosttica sobre las superficies.

A continuacin se demostrara que la fuerza ascendente que acta sobre un cuerpo sumergido en un fluido es

simplemente el resultado de dos fuerzas hidrostticas verticales, una la componente ascendente de la presin

total ejercida por el fluido sobre la superficie inferior del cuerpo, y la otra la componente descendente de la

presin total ejercida por el fluido sobre la superficie superior. Como la presin unitaria aumenta con la

profundidad, la componente ascendente es mayor que la descendente; por lo tanto la resultante es una fuerza

ascendente de flotacin llamada "EMPUJE".

PRINCIPIO DE ARQUIMIDES

"Todo cuerpo sumergido total parcialmente en un lquido sufre un empuje vertical hacia arriba igual al

peso del volumen de lquido desplazado". Para demostrar lo anterior analicemos la siguiente figura:

S S

A B

0

P

C

B

D

F E

F1

F2

A X

O

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La fuerza vertical hacia arriba que acta sobre la superficie inferior del cuerpo est dada por el peso del

lquido real imaginario que se encuentra por encima de ABC, es decir el peso del lquido que ocupa el rea

ABCEFA. De la misma manera la fuerza vertical hacia abajo sobre la cara superior ADC, es igual al peso del

lquido que ocupa el rea ADCEFA.

La diferencia entre las dos fuerzas es la resultante dirigida hacia arriba, igual al peso del lquido del rea

ABCD desplazado por el slido, expresado matemticamente: dB VEF

FB = E = Fuerza de flotacin Empuje

Vd = Volumen de lquido desplazado

= Peso especfico del lquido

La formula anterior es vlida para cuerpos total parcialmente sumergidos como se indica en la figura

siempre que "Vd" sea el volumen efectivo de lquido desplazado.

Para determinar la lnea de accin de la fuerza de flotacin, se toman momentos con respecto a un eje "0" y se

igualan al momento de la resultante:

dVXV1

XXVdVX

Donde X es la distancia desde el eje hasta la lnea de accin

Esta distancia es igual a la coordenada del centroide del volumen; por tanto el Empuje acta a travs del

centroide del volumen de fluido desplazado, el cual se conoce como "Centro de Flotacin".

Al resolver problemas que traten de cuerpos flotantes cuerpos totalmente sumergidos en fluidos en reposo,

se suele considerar al cuerpo como un cuerpo libre y dibujar el diagrama correspondiente indicando todas las

fuerzas que intervienen. El peso del cuerpo se dibuja actuando a travs del centro de gravedad y la accin del

fluido se representa mediante el empuje.

De lo anteriormente expuesto se puede deducir que todo cuerpo sumergido en un fluido est siempre

sometido a la accin de por lo menos dos fuerzas que tienen direccin opuesta, el peso "W" hacia abajo y la

fuerza de empuje "E" hacia arriba.

La fuerza resultante (R) de la diferencia de las dos fuerzas antes mencionadas se denomina "Peso Aparente

de Cuerpo Peso Sumergido". EWR

CONSIDERACIONES

1) Si )0R(EW El cuerpo se hunde.

2) Si )0R(EW El cuerpo est en equilibrio en el interior de lquido.

3) Si )0R(EW El cuerpo flota y sale a la superficie hasta que el peso de fluido de un volumen

igual al volumen sumergido iguale al peso del cuerpo, lo que se conoce como

FLOTACION.