teorie elektronických obvodů funkce.pdf · Pierre Simon de Laplace, 1812 formální zavedení operátoru ()f t s f t dt d dt d ... je-li obvodovou funkcí impedance jedná se o

teorie elektronických obvodů

Jiří Petržela

obvodové funkce

Obr. 1: Definice dvojbranu, dvojbran jako přenosový článek.

obvod jako dvojbran

dvojbranem rozumíme elektronický obvod mající dvě brány (vstupní a výstupní)

dvojbranem může být zesilovač, pasivní i aktivní filtr, tranzistor v některém zapojení, přenosový článek, atd.

teorie elektronických obvodů obvodové funkce

dvojbran je obecně nelineární

pro malé signály ho můžeme linearizovat v okolípracovního bodu

linearizace prvků obvodu je základním krokem pro aplikaci střídavé analýzy v programech řady Spice

nelinearita je v některých případech nezbytnálinearizací prvků můžeme znemožnit některým obvodům jejich správnou funkci


základní popisy linearizovaných dvojbranů

• impedanční maticí

• admitanční maticí22212122121111 IzIzUIzIzU &&&& +=+=

22212122121111 UyUyIUyUyI &&&& +=+=

• dopředně kaskádní maticí22222112122111 IaUaIIaUaU &&&& −=−=


• zpětně kaskádní maticí

12212121121112 IbUbIIbUbU &&&& +=−+=

základní popisy linearizovaných dvojbranů

• hybridní sério-paralelní maticí22212122121111 UhIhIUhIhU &&&& +=+=

• hybridní paralelně-sériovou maticí22212122121111 IcUcUIcUcI &&&& +=+=

popis dvojbranu rozptylovou maticí

používá se v oblasti velmi vysokých kmitočtů, výhodnézejména z hlediska měření


outdo

indo

outod

outdo

indo

inod UsUsUUsUsU 22211211 &&&& +=+=

kaskádními parametry lze popsat i neregulární dvojbrany

hodnoty jednotlivých parametrů lze získat výpočtem, uvažujeme-li některou z bran naprázdno nebo nakrátko

chceme-li dvojbranové parametry odvodit z obecnéimpedanční nebo admitanční matice, je potřeba tyto specifické podmínky brát při výpočtu v úvahu

mezi jednotlivými skupinami parametrů existují vztahy pro jejich přepočet, jsou uvedeny v tabulkách



Tab. 1: Vzájemný přepočet vybraných čtyřpólových parametrů.

základní obvodové funkce

• přenos napětí (na výstupu naprázdno nebo se zátěží ZZ)


inoutU UUK /=

• přenos proudu (na výstupu nakrátko nebo se zátěží ZZ)inoutI IIK /−=

• vstupní impedance nebo admitance (při výstupu naprázdno, nakrátko nebo se zátěží)

inininininin UIYIUZ // ==

základní obvodové funkce

• výstupní impedance nebo admitance (na vstupu naprázdno nebo se zátěží ZG)

outoutoutoutoutout UIYIUZ // ==

• přenosová impedance(na výstupu naprázdno nebo se zátěží ZZ)

inoutT IUZ /=

• přenosová admitance(na výstupu nakrátko nebo se zátěží ZZ)

inoutT UIY /=



obvodové funkce odvozené z kaskádní matice

• vstupní a výstupní impedance dvojbranu

1121

1222

2221

1211

aZaaZa

ZaaaZaZ

g

gout

lin &&&

&&&&

&&

&&&&+

+=

++

=

• přenos napětí a proudu dvojbranu

22211211

11aZa

KYaa

Kl

Il

U &&&&

&&&&

+=

+=

• přenosová imitance dvojbranu

lYaaIUZ

&&&&

&&

22211

221

1+

==

Obr. 2: Náhradní schémata při popisu dvojbranu různými parametry.



Obr. 3: Náhradní obvody s jedním zdrojem proudu.

1221

12223

122

12111

yyS

yyY

yYyyY

&&&

&&&

&&

&&&

−=

+=

−=

+=

1221

21223

212

12111

yyS

yyY

yYyyY

&&&

&&&

&&

&&&

−=

+=

−=

+=

1221

12223

122

21111

yyS

yyY

yYyyY

&&&

&&&

&&

&&&

−=

+=

−=

+=


Obr. 4: Náhradní obvody s jedním zdrojem napětí.

1221

12223

122

12111

zzZ

zzZ

zZ

zzZ

&&&

&&&

&&

&&&

−=

−=

=

−=

2112

21223

212

21111

zzZ

zzZzZ

zzZ

&&&

&&&

&&

&&&

−=

−=

=

−=

1221

12223

122

21111

zzZ

zzZzZ

zzZ

&&&

&&&

&&

&&&

−=

−=

=

−=


Laplaceova transformace

Pierre Simon de Laplace, 1812

formální zavedení operátoru

( ) ( )tfstftd

dtd

dp ⋅≡⇒≡

takže platí

( ) xsyxy

ys

xdtyx

sxyxy

nn ≡⇒=

≡⇒=

≡⇒=

∫1

&


Obr. 5: Vyjádření časového průběhu signálu operátorovým obrazem.


pomocí elementárních časových průběhů signálů lze složit složitější průběhy, ale jednoduší je dosazení do definičního vztahu LT

lineární obvod působí na signál derivačními a integračními procesy snadný popis operátorovým počtem



integrální transformace používaná při řešení obyčejných diferenciálních rovnic

v elektronice využijeme pro řešení spojitých systémů, například odezvy nebo přechodové jevy

funkce reálné proměnné funkce komplexní proměnné

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }{ }tfLTLTtfdtetftfLTsF st 1

0

−∞

− === ∫

obraz funkce originál funkce v čase


( ) ( ) ( ) ( )sGbsFatgbtfa ⋅+⋅⋅+⋅

vybrané vlastnosti Laplaceovy transformace

• linearita

• tlumení( ) ( )asFtfeat −

• konvoluce( )( ) ( ) ( )sGsFtgf ⋅*

• posunutí( ) ( )sFeatf as−−


Obr. 6: Příklad LT tlumení a posunutí pro harmonické buzení, Mathcad.


obvodová funkce

F(s) lze vypočítat pomocí algebraických doplňků admitačnímatice obvodu, viz přednáška 5

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }sYLTtYsXsFsY 1−=⇒=

kde Y(s) je obraz odezvyX(s) je obraz buzeníF(s) je obvodová funkceLT-1 je inverzní Laplaceova transformaceY(t) časový průběh výstupního signálu


odezva obvodu na Diracův impuls (impulsní odezva)

( ) ( ) 1000

=≠=∞

= sXtt

tX

odezva obvodu na jednotkový skok (přechodová odezva)

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧= −

ssFLTtY 1

( ) ( ) ( ){ } ( ){ }sFLTsXsFLTtY 11 −− =⋅=

( ) ( )s

sXtt

tX 10001

=<≥

=

Obr. 7: Aplikace LT pro zjištění odezvy obvodu na budicí signály, Mathcad.


Obr. 8: Dvojbran při zpracování harmonického signálu.

kmitočtové charakteristiky

u lineárního dvojbranu vyvolá harmonické buzení X(ω) harmonickou odezvu Y(ω)

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )[ ]ωϕωϕωϕ

ωϕ

ωω

ωω

ωωω 12

1

2−=== j

j

j

eXY

eXeY

XYF&

&&

komplexní amplituda vstupního signálu

komplexní amplituda výstupního signálu

druhy kmitočtových charakteristik

modulová fázová (argumentová) hodograf

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]ωωωω ωϕ FjFeFF j &&&& ImRe +==


Obr. 9: Souvislost jednotlivých druhů kmitočtových charakteristik.

výpočet kmitočtových charakteristik

• modulová charakteristika

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]22 ImRe ωωωω KKKK +== &

• zisk v dB( ) ( )ωω Kk log20=

• argumentová charakteristika

( ) ( )[ ]( )[ ]ωωωϕ

KKarctg&

&

ReIm

=


kmitočtové charakteristiky racionální lomené funkce

• modulová charakteristika

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]22

22

ImRe

ImRe

ωω

ωωω

ωωω

DD

NNK

DNK

&&

&&&

&

&&

+

+==

• zisk v dB( ) ( ) ( ) ( )ωωωω DNKk log20log20log20 −==

• argumentová charakteristika

( ) ( )[ ]( )[ ]

( )[ ]( )[ ]ωω

ωωωϕ

DDarctg

NNarctg

&

&

&

&

ReIm

ReIm

−=


• reálná nebo imaginární část přenosu napětí se používámálo, například pro vyšetřování stability podle Nyquistova kritéria, viz přednáška 11

obdobným způsobem jsou definovány impedančníkmitočtové charakteristiky

výslednou modulovou charakteristiku lze rozložit na dílčífunkce, používá se například při kaskádní syntéze filtrů


( )( )

( )∏∏

=

ll

kk

jF

jFFjF

ω

ωω 0

nebo v dB( )[ ] [ ] ( )[ ] ( )[ ]∑∑ −+=

ldBl

kdBkdBdB jFjFFjF ωωω 0

konečný výsledek se získá součtem nebo rozdílem dílčích kmitočtových charakteristik v dB

podobně pro výslednou argumentovou charakteristiku platí( ) ( ) ( )∑∑ −+=

ll

kk jjj ωϕωϕϕωϕ 0

a opět se jedná o součet nebo rozdíl dílčích fázových charakteristik


zobecnění obvodových funkcí

formální náhrada( ) ( )sFjFjj =⇒+→ ωωσω

podíl Laplaceových obrazů odezvy a buzení je racionálnílomenou funkcí

( ) ( )( ) n

n

mm

sbsbsbsbbsasasasaa

sXsYsF

++++++++++

==......

33

2210

33

2210



tuto funkci lze rozložit na součin kořenových činitelů

( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )n

mn

k

kk

m

j

jj

pspspspszszszszsF

sb

sasF

−−−−−−−−

==

∑

∑

=

=

......

321

3210

0

0

zde zm jsou nulové body obvodové funkce a pn jsou její póly

( )( )

( ) ( )( )

( )∏∏

∏∏

−

−=

−

−=

jj

kk

jj

kk

pj

zjFjF

ps

zsFsF

&

&&

ω

ωω 00

znalost počtu, polohy (hodnoty) nulových bodů a pólůdávají ucelený pohled na vlastnosti a chování obvodu

migrace (rychlost změny polohy) nulových bodů a pólůnaznačují citlivost obvodu na změnu jeho parametrů

z rozložení pólů a nulových bodů lze sestrojit aproximaci průběhu kmitočtových charakteristik


kmitočtové korektory v audio technice

kompenzace nul a pólů ke zvýšení stability obvodu

Obr. 10: Výpočet kmitočtových charakteristik pro obecný přenos, Mathcad.


konečný kmitočetlogaritmické

měřítko

počítání s nulou

převod na stupně

nulový bod v počátku

• přenos

( ) ωω jKjK 0=

• modulová kmitočtová charakteristika( ) ( ) ( ) ( )ωωωω log20log20 00 +== KkKK

( ) sKsK 0=

• kmitočtová charakteristika


• argumentová charakteristika( ) 2/0 πϕωϕ +=

y=b+axrovnice přímky


Obr. 11: Odvození průběhů kmitočtových charakteristik, nulový bod v počátku.

je-li obvodovou funkcí impedance jedná se o induktor

( )

( ) 0

1

0

1

10

−=

−=

∑=

ωω

ωω

jKjK

zjKjK i

i

( ) ( )( ) ∑∑

==

==1

1

1

1 0ReIm

ii i

i arctgzzarctg ωωϕ

Obr. 12: Hodograf, modulová a fázová kmitočtová charakteristika pro přenosovou funkci s nulou v počátku, program Mathcad.


re K(jω)im K(jω)frekvence

pól v počátku

• přenos

( ) ωω jKjK /0=

• modulová kmitočtová charakteristika( ) ( ) ( ) ( )ωωωω log20log20/ 00 −== KkKK

• argumentová charakteristika( ) 2/0 πϕωϕ −=

( ) sKsK /0=



y=b-axrovnice přímky


Obr. 13: Odvození průběhů kmitočtových charakteristik, pól v počátku.

( )

( ) 0/

1

0

1

1

0

−=

−=

∑=

ωω

ωω

jKjK

pjKjK

ii

( ) ( )( ) ∑∑

==

−=−=1

1

1

1 0ReIm

ii i

i arctgpparctg ωωϕ

je-li obvodovou funkcí impedance jedná se o kapacitor


Obr. 14: Hodograf, modulová a fázová kmitočtová charakteristika pro přenosovou funkci s pólem v počátku, program Mathcad.


reálný záporný nulový bod

• přenos

( ) 1/1 zjjK ωω +=

• modulová kmitočtová charakteristika

( ) ( ) ( )122

1 log20log20 zzk −+= ωω

• argumentová charakteristika( ) ( )1/ zarctg ωωϕ =

( ) ( ) ( )10111 //1 zsKzzszssK +=+=+=




Obr. 15: Odvození kmitočtových charakteristik, reálný záporný nulový bod.

( )

( ) 10

1

10 1

zjKjK

zjKjK i

i

−=

−=

∑=

ωω

ωω

( ) ( )( ) ∑∑

==

==1

1 1

1

1 ReIm

ii i

i

zarctg

zzarctg ωωϕ

obvodové funkceteorie elektronických obvodů

Obr. 16: Hodograf, modulová a fázová kmitočtová charakteristika pro přenosovou funkci s reálnou zápornou nulou, program Mathcad.


reálný kladný nulový bod

• přenos

( ) 1/1 zjjK ωω −=


( ) ( ) ( )122

1 log20log20 zzk −+= ωω

• argumentová charakteristika( ) ( )1/ zarctg ωωϕ −=

( ) ( ) 111 //1 zszzssK −=−=




Obr. 17: Odvození průběhů kmitočtových charakteristik, kladná nula.

( )

( ) 10

1

10 1

zjKjK

zjKjK i

i

−=

−=

∑=

ωω

ωω

( ) ( )( ) ∑∑

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==

1

1 1

1

1 ReIm

ii i

i

zarctg

zzarctg ωωϕ


Obr. 18: Hodograf, modulová a fázová kmitočtová charakteristika pro přenosovou funkci s reálnou kladnou nulou, program Mathcad.


( )( )( ) ( )

4/1

32

1

πϕωϕωω

ω

−=−=

=

=

=

arctgkK

z


přenosy a fázové posuvy na význačném kmitočtu

• reálná záporná nula

• reálná kladná nula( )( )( ) ( )

4/1

32

1

πϕωϕωω

ω

===

=

=

arctgkK

z

reálný záporný pól

• přenos

( ) ( ) 11/1 −+= pjjK ωω

• modulová kmitočtová charakteristika( ) ( ) ( ) 2/12

1222

11 /1log20/log20 −+=+= pppk ωωω

• argumentová charakteristika( ) ( )1/ parctg ωωϕ −=

( ) ( ) ( )111

1 //1 psppssK +=+= −




Obr. 19: Odvození průběhů kmitočtových charakteristik, záporný pól.

( )

( ) 10

1

1

0

/

1

pjKjK

pjKjK

ii

−=

−=

∑=

ωω

ωω

( ) ( )( ) ∑∑

==

−=−=1

1 1

1

1 ReIm

ii i

i

parctg

zzarctg ωωϕ


Obr. 20: Hodograf, modulová a fázová kmitočtová charakteristika pro přenosovou funkci s reálným záporným pólem, program Mathcad.


reálný kladný pól

• přenos

( ) ( ) 11/1 −−= pjjK ωω


( ) ( ) ( ) 2/121

22211 /1log20/log20 −

+=+= pppk ωωω

• argumentová charakteristika( ) ( )1/ parctg ωωϕ =

( ) ( ) ( ) ( )10111

1 ///1 psKspppssK −=−=−= −




Obr. 21: Odvození průběhů kmitočtových charakteristik, kladný pól.

( )

( ) 10

1

1

0

/

1

pjKjK

pjKjK

ii

−=

−=

∑=

ωω

ωω

( ) ( )( ) ∑∑

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=−=

1

1 1

1

1 ReIm

ii i

i

parctg

zzarctg ωωϕ


Obr. 22: Hodograf, modulová a fázová kmitočtová charakteristika pro přenosovou funkci s reálným kladným pólem, program Mathcad.


( )( )( ) ( )

4/1

32/1

1

πϕωϕωω

ω

==−=

=

=

arctgkK

p

přenosy a fázové posuvy na význačném kmitočtu

• reálný záporný pól

• reálný kladný pól


( )( )( ) ( )

4/1

32/1

1

πϕωϕωω

ω

−=−=

−=

=

=

arctgkK

p

komplexně sdružené nulové body v levé polorovině

• přenos

( ) ( )( ) ( )21

21212

21

21

nnnnsnns

nnnsnssK +++

=++

=


( ) 22

222

2,12

ψσψσσψσ

++++

=⇒±=sssKjn

• nulové body budeme předpokládat komplexní, σ<0

( ) 22

222 2ψσ

σωωψσω+

+−+=

jjK


( ) 222

2ωψσ

σωωϕ−+

= arctg

• argumentová kmitočtová charakteristika


( ) ( ) 2211 nssKnssK +=+=• dva nezávislé přenosy s jednou komplexní nulou

( ) ( ) ( ) ( )ψωσωψωσω −+=++= jjKjjK 21

• kmitočtové charakteristiky

( ) ( )22

222222 4ψσ

ωσωψσω

++−+

=jK



( ) ( ) ( ) ( )222

221 ψωσωψωσω −+=++= jKjK

• modulové kmitočtové charakteristiky

( ) ( )σψωωϕ

σψωωϕ −

=+

= arctgarctg 21

• argumentové kmitočtové charakteristiky


Obr. 23: Odvození průběhů kmitočtových charakteristik, komplexní nuly.

Obr. 24: Hodograf pro celkovou a modulové kmitočtové charakteristiky dílčích přenosových funkcí s jednou komplexní nulou, program Mathcad.



Obr. 25: Modulové kmitočtové charakteristiky dílčích přenosových funkcívyšších jakostí s jednou komplexní nulou, program Mathcad.


komplexně sdružené póly v levé polorovině

• přenos( ) ( )( )[ ] ( )[ ]2121

221 /1/1 ppsppspspssK +++=++=


( ) ( )2222,1 2/1 ψσσψσ +++=⇒±= sssKjp

• póly budeme předpokládat komplexní, σ<0

( ) ( )σωωψσω 2/1 222 jjK +−+=

( )


( ) 222222 4/1 ωσωψσω +−+=jK



( ) 222

2ωψσ

σωωϕ−+

−= arctg

• argumentová kmitočtová charakteristika

( ) ( ) ( ) ( )2211 /1/1 pssKpssK +=+=• dva nezávislé přenosy s jedním komplexním pólem

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]ψωσωψωσω −+=++= jjKjjK /1/1 21

• kmitočtové charakteristiky

( ) ( )

( ) ( )222

221

/1

/1

ψωσω

ψωσω

−+=

++=

jK

jK

• modulové kmitočtové charakteristiky


( ) ( )σψωωϕ

σψωωϕ −

−=+

−= arctgarctg 21

• argumentové kmitočtové charakteristiky

Obr. 26: Odvození průběhů kmitočtových charakteristik, komplexní póly.


Obr. 27: Hodograf pro celkovou a modulové kmitočtové charakteristiky dílčích přenosových funkcí s jedním komplexním pólem, program Mathcad.



dolní propust RLC druhého řádu

• obvodovou funkcí je přenos napětí naprázdno

( )1

12 ++

=CRsLCs

sK

Obr. 28: RLC dolní propust druhého řádu.


( )ωω

ωjCRLC

jK+−

= 211


Obr. 29: Hodografy pro přenosovou funkci dolní propusti druhého řádu, program Mathcad.

velké ztráty malé ztráty


Obr. 30: Modulové a fázové kmitočtové charakteristiky pro přenosovou funkci dolní propusti druhého řádu, program Mathcad.


horní propust RC prvního řádu


( ) ( )CRsssK/1+

=

Obr. 31: Derivační článek.


( ) ( )CRjjjK

/1+=

ωωω

• modulová a fázová kmitočtová charakteristika

( )( ) 22/1 ω

ωω+

=CR

jK

( )


( )ωωωϕ 22

0RCarctgarctg −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Obr. 32: Odvození průběhů kmitočtových charakteristik, derivační článek.


Obr. 33: Hodograf, modulová a fázová kmitočtová charakteristika pro derivační článek, program Mathcad.


Obr. 34: Modulová a fázová kmitočtová charakteristika pro RC horní propust v logaritmických souřadnicích, program Mathcad.



paralelní rezonanční obvod

• obvodovou funkcí je vstupní impedance dvojpólu

( )1/2 ++

=RsLLCs

sLsZ

Obr. 35: Paralelní rezonanční obvod.

( )• kmitočtová charakteristika

RLjLCLjjK

/1 2 ωωωω+−

=


Obr. 36: Modulové a fázové kmitočtové charakteristiky pro impedanci paralelního rezonančního obvodu, program Mathcad.



pásmová zádrž se sériovým rezonančním obvodem


( ) ( ) 11

212

22

+++++

=CsRRLCs

CsRLCssK

Obr. 37: Pásmová zádrž s paralelním rezonančním obvodem.

( ) ( )


CRRjLCCRjLCjK

212

22

11

++−+−

=ωω

ωωω


Obr. 38: Modulové a fázové kmitočtové charakteristiky pro pásmovou zádrž druhého řádu, program Mathcad.

re K(jω)im K(jω)

frekvence


laboratorní úloha 1 - zpětná vazba a kompenzace

stabilita invertujícího zesilovače zatíženého kapacitorem kaskáda elementárních přenosových článků

Obr. 39: Vyšetřování stability zesilovače zatíženého kapacitorem.

Obr. 40: Střídavá analýza zesilovače zatíženého kapacitorem, celková a dílčímodulová kmitočtová charakteristika, program Pspice.


obrazové parametry dvojbranu

obrazové impedance dvojbranu zjistíme při opačné bráněnaprázdno a nakrátko

( ) ( ) ( ) ( )∞∞ == outoutinin ZZZZZZ &&&&&&002001

výsledné obrazové impedance

1121

122202

2221

121101 aa

aaZaaaaZ

&&

&&&&&

&&& ==


při zátěži dvojbranu obrazovou impedancí platí

0102 ZZZZ inl&&&& =⇒=

a naopak0201 ZZZZ outg&&&& =⇒=


odvození Z01 z kaskádních parametrů

( )22

12

01

10

2aa

IUZ

Uin &

&& ===

( )21

11

222221

212211

1

1

22

limaa

IaUaIaUa

IUZ

UU

in &

&

&&

&&& =−−

==∞→

∞→

∞

vlastnosti reciprocitního dvojbranu

( )

1det21122112 === AYYZZ &&&&

vlastnosti podélně souměrného dvojbranu

221122112211 AAYYZZ &&&&&& ===


21

22

2

2

21

22

02

2

1aa

II

aa

IUZ

Iout &

&

&

&& ==−

==

∞

( )

odvození Z02 z kaskádních parametrů

11

12

2

2

11

12

02

20

1aa

II

aa

IUZ

Uout &

&

&

&& ==−

==

vlastnosti příčně souměrného dvojbranu nemají na parametry vliv

přenos výkonu dvojbranem


Obr. 41: Struktura podélně a příčně souměrného dvojbranu.

( )11

221

2

1

IUIUKKG

PPG iu &&

&&&&& −=== −

vlastnosti se nezmění po záměně vstupu a výstupu

při harmonickém buzení bude

( ) jabIU

IUGg +=−

==22

11ln21ln

21

&&

&&&&

kde b je míra útlumu v dB

22

11log10IUIUb =

dříve byl jednotkou Np (Neper), přičemždBNpNpdB 636.81115.01 ==


děkuji za pozornost

Documents

teorie elektronických obvodů funkce.pdf · Pierre Simon de Laplace, 1812 formální zavedení operátoru ()f t s f t dt d dt d ... je-li obvodovou funkcí impedance jedná se o