Embed Size (px)
Citation preview
UNIVERZITET U BEOGRADU
GRAĐEVINSKI FAKULTET
ODSEK ZA GEODEZIJU I GEOINFORMATIKU
BRANKO S. BOŽIĆ
TEORIJA GREŠAKA
GEODETSKIH MERENjA
Beograd, 2020
TEORIJA GREŠAKA GEODETSKIH MERENjA
Autor:
Branko S. Božić
Izdavač
Građevinski fakultet, Univerzitet u Beogradu
Bulevar Kralja Aleksandra 73/I, 11000 Beograd
Za izdavača
Prof. dr Vladan Kuzmanović, dipl.građ.inž.
Recenzija
Korice
Štampa
Tiraž: ? primeraka
ISBN:
PREDGOVOR
Materijal je prvenstveno namenjen studentima akademskih studija geodezije i
geoinformatike na Odseku za geodeziju i geoinformatiku Građevinskog fakulteta u
Beogradu. Celokupni materijal iz oblasti računa izravnanja podeljen je u tri dela. Prvi deo
obuhvata Teoriju grešaka geodetskih merenja. Sastoji se iz sedam poglavlja, pripreman
je po ugledu na nekoliko izdanja domaćih i stranih autora iz ove oblasti i predstavlja
kompilaciju više različitih izdanja. Kao izvori korišćeni su: Adjustment computations –
statistics and least squares in surveying and GIS, autora Paul R. Wolfa i Charles D.
Ghilanija koja se koristi kao literatura na univerzitetima u Berkeley i Wisconsin-Medison
(oba u SAD). Prvo izdanje navedene knjige izašlo je 1968. godine, drugo 1980, i treće 1997.
godine. Pored navedenog udžbenika, u pripremi ovog materijala korišćena je i druga
literatura, i to: deveto izdanje Advanced Engineering Mathematics od Erwina Kreyziga iz
2006. godine, Račun izravnanja – knjiga 1, teorija grešaka merenja od prof. dr Gligorija
Perović iz 1988. godine, Observations and Least Squares od Edward M. Mikhaila (Purdue
University) i F.Ackermana (Stuttgart University), izdanje iz 1971. godine, kao i neki drugi
materijali dostupni putem Interneta.
Teorija grešaka geodetskih merenja obuhvata sledeća poglavlja: 1) Osnovni pojmovi o
merenju, 2) Teorija verovatnoće, 3) Matematička statistika 4) Intervalske ocene nepoznatih
parametara merenja jednake preciznosti i testiranje hipoteza, 5) Prostiranje slučajnih grešaka
pri realizaciji indirektnih merenja, 6) Tačkaste ocene nepoznatih parametara prilikom
merenja nejednake preciznosti i 7) Regresija. Na kraju su date neophodne tabele za računanja
vrednosti funkcija raspodela slučajnih promenljivih nekoliko najčešće korišćenih zakona
raspodela.
Druga celina obuhvata probleme izravnanja merenja u 1D, 2D i 3D mrežama, analizu
tačnosti merenja i dobijenih ocena nepoznatih parametara, uopštene modele linearne
regresije, primene metode najmanjih kvadrata pri rešavanju problema transformacija,
probleme izravnanja sa uslovima među nepoznatim, način rešavanja problema te vrste i
osnove teorije pouzdanosti geodetskih merenja sa prikazom osnovnih postavki metoda
otkrivanja grubih grešaka u rezultatima geodetskih merenja.
Treća celina obuhvata nešto složeniji sadržaj kao što su problemi definisanja koordinatnih
sistema i geodetskih datuma, problemi singulariteta, testiranja hipoteza, metode otkrivanja
grubih grešaka u rezultatima merenja, koncept pouzdanosti i modele ocena komponenata
varijansi i kovarijansi.
Ukupan materijal prilagođen je po sadržaju i obimu novom programu studija, koji je
usklađen sa zahtevima novog sistema školovanja – Bolonjskom konceptu.
Beograd, 01.04.2020. Autor
SADRŽAJ
1. OSNOVNI POJMOVI O MERENjU ................................................................. 17 1.1 Pojam merenja i značaj statističke obrade merenja ................................................ 17 1.2 Značajne cifre ......................................................................................................... 19 1.2.1 Zaokruživanje brojeva ............................................................................................ 19 1.2.2 Pravila o broju značajnih cifara primenjena na aritmetičke operacije .................... 20 1.3 Grafičko predstavljanje podataka merenja ............................................................. 21 1.4 Matematički model ................................................................................................. 25 1.5 Direktna i indirektna merenja ................................................................................. 26 1.6 Izvori grešaka merenja ........................................................................................... 27 1.7 Podela grešaka merenja prema prirodi uticaja ........................................................ 28 1.8 Preciznost i tačnost merenja ................................................................................... 29 1.9 Broj suvišnih merenja i izravnanje ......................................................................... 30 1.10 Metod najmanjih kvadrata ...................................................................................... 30
2. TEORIJA VEROVATNOĆE .............................................................................. 33 2.1 Verovatnoća slučajnog događaja i pojam raspodele ............................................... 33 2.1.1 Verovatnoća slučajnog događaja ............................................................................ 33 2.1.2 Elementi kombinatorike ......................................................................................... 38 2.1.3 Funkcija raspodele i funkcija gustine verovatnoća ................................................. 41 2.2 Višedimenzionalne raspodele, marginalna i uslovna raspodela i nezavisnost
slučajnih promenljivih ............................................................................................ 46 2.2.1 Marginalna raspodela ............................................................................................. 48 2.2.2 Nezavisnost slučajnih promenljivih........................................................................ 49 2.3 Očekivane vrednosti slučajne promenljive, varijansa, momenti i korelacija ......... 49 2.3.1 Očekivana vrednost slučajne promenljive .............................................................. 49 2.3.2 Varijansa slučajne promenljive .............................................................................. 50 2.3.3 Kovarijansa i korelacija .......................................................................................... 51 2.3.4 Momenti ................................................................................................................. 52 2.3.5 Matrica težina ......................................................................................................... 55 2.4 Raspodela verovatnoća ........................................................................................... 55 2.4.1 Rapodele diskretnih slučajnih promenljivih – Binomna, Poasonova i
hipergeometrijska raspodela ................................................................................... 55 2.4.2 Raspodele kontinuirane slučajne promenljive - normalna, studentova,
Pirsonova i Fišerova raspodela ............................................................................... 59
3. TAČKASTE OCENE MERENjA JEDNAKE PRECIZNOSTI ...................... 82 3.1 Uvod ....................................................................................................................... 82 3.2 Uzorak i populacija................................................................................................. 83 3.3 Tačkaste ocene nepoznatih parametara .................................................................. 84 3.3.1 Statistike uzorka za ocenu mera položaja ............................................................... 85 3.3.2 Statistike uzorka za ocenu mera disperzije ............................................................. 87 3.3.3 Kriterijumi izbora ocenjivača i metode ocena ........................................................ 93
4. INTERVALSKE OCENE .................................................................................... 98 4.1 Uvod ....................................................................................................................... 98 4.2 Interval poverenja srednje vrednosti populacije ..................................................... 99 4.3 Definisanje veličine uzorka .................................................................................. 103
4.4 Interval poverenja varijanse populacije ................................................................ 106 4.5 Interval poverenja količnika dve varijanse populacije ......................................... 107 4.6 Ocene iz parova merenja ...................................................................................... 109
5. TESTIRANjE HIPOTEZA ................................................................................ 115 5.1 Testiranje hipoteza o pripadnosti pojedinih elemenata osnovnom skupu ............ 117 5.1.1 Analiza homogenosti rezultata merenja pri poznatom standardnom odstupanju . 117 5.1.2 Analiza homogenosti rezultata merenja pri nepoznatom standardnom
odstupanju ............................................................................................................ 120 5.2 Testiranje hipoteza o srednjoj vrednosti populacije ............................................. 124 5.2.1 Testiranje saglasnosti srednje vrednosti pri poznatom .................................... 125 5.2.2 Testiranje saglasnosti srednje vrednosti pri nepoznatom ................................ 125 5.3 Testiranje hipoteza o homogenosti serija merenja................................................ 127 5.3.1 Testiranje homogenosti serija merenja primenom Fišerove raspodele ................. 127 5.3.2 Testiranje homogenosti serija merenja primenom Bartletovog testa.................... 132 5.3.3 Testiranje homogenosti serija merenja primenom Levenovog testa .................... 133 5.4 Testiranje hipoteze o saglasnosti varijanse populacije ......................................... 134 5.5 Testiranje hipoteze o količniku dve varijanse populacije ..................................... 136 5.6 Testiranje hipoteza o saglasnosti raspodela .......................................................... 137 5.6.1 Testiranje hipoteze o saglasnosti raspodela pomoću χ2 testa ............................... 137 5.6.2 Testiranje hipoteze o saglasnosti raspodela testom Jestremskijeva ...................... 141 5.6.3 Testiranje hipoteze o saglasnosti raspodela testom Kolmogorova ....................... 142 5.6.4 Testiranje hipoteze o saglasnosti raspodela testom Kolmogorov – Smirnova ..... 144
6. PROSTIRANjE SLUČAJNIH GREŠAKA ...................................................... 147 6.1 Zakoni prostiranja slučajnih grešaka .................................................................... 147 6.2 Određivanje grešaka argumenata ako je poznata greška funkcije ........................ 153 6.2.1 Optimalno rešenje ................................................................................................. 154 6.2.2 Približno rešenje ................................................................................................... 156 6.3 Prostiranje slučajnih grešaka merenja horizontalnih uglova ................................ 157 6.3.1 Uticaj greške očitavanja limba na preciznost merenja horizontalnog ugla .......... 158 6.3.2 Uticaj greške viziranja na preciznost merenja horizontalnog ugla ....................... 160 6.3.3 Uticaj greške centrisanja signala na preciznost merenja horizontalnog ugla ....... 162 6.3.4 Uticaj greške centrisanja instrumenta na preciznost merenja horizontalnog ugla 163 6.3.5 Uticaj greške nagiba alhidadine ose na preciznost merenja horizontalnog ugla .. 166 6.4 Ocena saglasnosti uglovnog nezatvaranja poligona sa očekivanom vrednošću ... 169 6.5 Prostiranje slučajnih grešaka merenja dužina ....................................................... 170 6.6 Prostiranje slučajnih grešaka u poligonskom vlaku ............................................. 171 6.6.1 Standardna odstupanja ocena koordinatnih razlika .............................................. 171 6.6.2 Standardno odstupanje ocene direkcionog ugla poligonske strane ...................... 172 6.6.3 Standardno odstupanje ocena uglovnog i linearnog nezatvaranja poligona ......... 173 6.6.4 Standardno odstupanje ocene linearnog nezatvaranja umetnutog poligonskog
vlaka ..................................................................................................................... 177 6.7 Prostiranje slučajnih grešaka u nivelmanu ........................................................... 179 6.7.1 Analiza grešaka merenja visinskih razlika geometrijskim nivelmanom .............. 180 6.7.2 Analiza grešaka merenja visinskih razlika trigonometrijskim nivelmanom ......... 186
7. TAČKASTE OCENE MERENjA NEJEDNAKE PRECIZNOSTI ............... 189 7.1 Uvod ..................................................................................................................... 189
7.2 Aritmetička sredina rezultata merenja nejednake preciznosti .............................. 191 7.3 Odnos između težina i standardnih grešaka ......................................................... 193 7.4 Statistike merenja nejednake preciznosti .............................................................. 193 7.4.1 Standardna greška i standardno odstupanje .......................................................... 193 7.4.2 Standardna greška i standardno odstupanje pojedinog rezultata merenja
određene težine i opšte aritmetičke sredine .......................................................... 194 7.5 Težine merenja uglova ......................................................................................... 195 7.6 Težine merenja visinskih razlika .......................................................................... 196
8. REGRESIJA ....................................................................................................... 200 8.1 Regresiona analiza ................................................................................................ 200 8.2 Intervali poverenja ocena parametara regresije .................................................... 208 8.3 Korelaciona analiza .............................................................................................. 209 8.4 Test značajnosti koeficijenta korelacije ................................................................ 210 8.5 Primena regresije pri analizi trenda površi ........................................................... 211
DODATAK A – Tablice raspodela ................................................................................. 202
DODATAK B – Opis nekih funkcija Microsoft Excel aplikacije ................................ 222
SEMINARSKI RAD ........................................................................................................ 228
LITERATURA ................................................................................................................ 230
17
1. OSNOVNI POJMOVI O MERENjU
1.1 Pojam merenja i značaj statističke obrade merenja
Merenja predstavljaju osnovu geodetskog premera. Na merenjima počivaju računanja
položaja i dimenzija objekata, teritorije i drugih struktura u trodimenzionalnom prostoru. U
geodeziji se direktno mere različite geometrijske (uglovi, dužine, visinske razlike, pravci,
...) i fizičke (sila gravitacije,...) veličine koje zahtevaju analizu i prethode brojnim
računanjima s ciljem dobijanja posebnih pokazatelja prostornog položaja geometrijskih i
fizičkih elemenata (parametara). Dakle, geodetski premer se može definisati i kao proces
upravljanja podacima od njihovog prikupljanja do finalne prezentacije, u grafičkom ili
digitalnom obliku.
Izrazi merenje i opažanje često se poistovećuju. U praksi se koriste da opišu operaciju ili
proces, ali i njen ishod. Ako taj pojam analiziramo u kontekstu obrade merenja ili izravnanja,
tada se ishodi ili bolje rečeno numerički ishodi (rezultati) češće nazivaju opažanjima.
Na prvi pogled, pojam merenja deluje jednostavno, jer se lako može razumeti ili opisati
merenje dužina, uglova i sl. Međutim, pažljiviji pristup otkriva da operacija merenja nije
prosta i zapravo sadrži niz bitnih elementarnih postavki koje ukazuju na fundamentalne
karakteristike merenja, a to su:
- Merenje uvek označava izvođenje nekih fizičkih elementarnih radnji (priprema
teodolita, centrisanje, horizontiranje, ispitivanje uslova i sl.);
- Ishod merenja je rezultat koji reprezentuje merenu veličinu (na primer, 123.24 m
predstavlja rezultat merenja dužine i predstavlja odnos merene veličine i jedinice
mere);
- Merenja se uvek realizuju instrumentima (ugao merimo teodolitom, dužinu sa
elektrooptičkim daljinomerom, visinsku razliku nivelirom, i sl.);
- Merenja se uvek oslanjaju na standarde (jedinice mere; na primer, merenje dužine
jeste njeno poređenje sa jedinicom mere koja predstavlja standard za merenje
dužina);
- Merene veličine su često teorijski koncepti koji nemaju realno značenje, već
predstavljaju geometrijske apstrakcije (na primer, dužina ili ugao nisu realni
objekti); i
- Rezultat merenja ima smisao merenja samo ukoliko je vezan za teorijski koncept
(merena veličina mora biti opisana, dužine i uglove u trouglu merimo da bi sračunali
koordinate temena – geodetskih tačaka).
Prema Međunarodnom rečniku izraza i termina (ISO, 1993) cilj merenja je da se odredi
vrednost merene veličine. Da bi odredili vrednost ili ocenili najverovatniju vrednost merene
veličine, neophodno je adekvatno specificirati: 1) merenu veličinu, 2) metodu merenja, i 3)
proceduru merenja. Rezultat merenja jeste samo jedna aproksimacija ili ocena vrednosti
merene veličine. S obzirom da nije moguće odrediti tačnu vrednost, svaka ocena poseduje
izvesnu nesigurnost. U praktičnim primenama, specifikacija merene veličine svodi se na
18
definisanje zahteva tačnosti merenja. Zahtevima tačnosti se definišu sve okolnosti pod
kojima dobijena vrednost ocene predstavlja jedinstvenu vrednost merene veličine. Na
primer, da bi neku dužinu u realnim uslovima mogli oceniti sa milimetarskom tačnošću,
procedura merenja mora obuhvatiti niz uslova pod kojima se zahtevana tačnost može
realizovati. Potrebno je definisati tip instrumenta, temperaturne uslove, broj merenja, način
obrade merenja i sl. Vrlo često, rezultat merenja izvodimo na osnovu serije merenja neke
veličine pod određenim uslovima - uslovima ponovljivosti. Ako se ima u vidu da se prilikom
ponavljanja merenja, usled uticaja različitih izvora grešaka uslovi merenja menjaju, rezultat
merenja ne može biti konstantna, već promenljiva veličina. Da bi se jedna ovakva pojava
predvidela i njen uticaj kontrolisao, neophodno je definisati matematički model kojim se
transformiše skup ponovljenih opažanja u rezultat merenja, pri čemu se mora voditi računa
o svim uticajnim veličinama na konačnu ocenu. Nije uvek moguće tačno poznavati veličine
pojedinih uticaja na ocenu merene veličine, tako da su varijacije ponovljenih merenja
normalne, a veličina varijacije ili nesigurnost ocene obavezno mora biti sastavni deo
matematičkog modela.
Obrada i analiza merenja ne mogu se zamisliti bez primene statistike. Statistika predstavlja
deo primenjene matematike i s pravom se još naziva matematikom primenjenom nad
podacima merenja. Ona izučava tri osnovne oblasti: a) populaciju, b) varijacije elemenata
populacije i c) metode redukcije podataka. U svom originalnom značenju, statistika sugeriše
na proučavanje ljudske populacije kao dela političke zajednice. Međutim, metode koje
koristi nemaju ništa sa političkom prirodom čoveka. Populacija je dakle samo jedna
apstrakcija na osnovu koje se izvode određeni zaključci o njenim karakteristikama.
Koncepcija statistike da proučava varijacije jeste prirodan ishod posmatranja elemenata
populacije. Neka populacija pojedinačnih uzoraka identičnih po svim aspektima može se
kompletno opisati jednim elementom ili ograničenim brojem elemenata. Svaka populacija
koja predstavlja predmet statističkog istraživanja, uvek u izvesnom smislu poseduje
varijabilnost elemenata koji je sačinjavaju. Međutim, varijacije nisu same sebi cilj
istraživanja, već neželjeni problemi koji prate određene važne pokazatelje populacije kao što
je, na primer, srednja vrednost. Proučavanje varijacija neminovno vodi ka konceptu
raspodela frekvencija. Ideja raspodela frekvencija primenljiva je kako na populacije tako i
na ograničen skup elemenata. Analiza varijacija vodi ne samo merenju iznosa ili broja
događaja, već i ka zaključcima kvalitativnog karaktera. Od posebne su važnosti analize
simultanih varijacija dve ili više promenljivih, poznatije pod nazivom korelacije ili
kovarijanse.
Treći važan aspekt statistike, jeste praktična potreba da se redukuje obim elemenata
(rezultata merenja) na osnovu kojih se izvlače relevantni zaključci. Naime, prilikom
realizacije geodetskih merenja bilo bi nelogično, neefikasno, pa i nemoguće izvesti
neograničen broj merenja. Broj merenja se mora svesti na razumnu meru, a da pri tome u
malom uzorku budu sačuvane sve prisutne relevantne informacije koje neograničen broj
merenja sadrži. To je čisto praktični razlog i potreba koju je statistika u stanju da zadovolji.
Vrlo je čest slučaj, da merenja sadrže veći broj informacija od zahtevanog broja. Zadatak
statistike jeste i u tome da podatke redukuje tako da irelevantni podaci budu isključeni,
odnosno da sve irelevantne informacije izoluje.
19
1.2 Značajne cifre
Izraz značajna cifra se koristi da u nekom broju ukaže na cifre od posebnog značaja.
Značajna cifra može biti bilo koja u nizu brojeva 1, 2, 3, ..., 9. I nula je značajna cifra, osim
u slučaju kada se njome fiksira decimalni zarez. Na primer, broj 0.00456 sadrži tri značajne
cifre, dok broj 45.601 sadrži pet značajnih cifara.
Prilikom računanja, često koristimo brojeve koji su matematički egzaktni i brojeve koji
predstavljaju rezultat merenja (direktnih ili indirektnih) i u sebi sadrže greške. Matematički,
egzaktni brojevi su apsolutni i sadrže samo neophodan broj značajnih cifara. Na primer, ako
množimo neku veličinu sa 2, broj 2 je u tom slučaju apsolutna i egzaktna veličina.
Rezultat merenja nikada nije egzaktna veličina. Dužina merena pantljikom jeste primer
direktnog merenja. Ukoliko se dužina meri približno, može se registrovati rezultat od, na
primer 16 m. Ukoliko se dužina želi preciznije izmeriti, vrednost bi bila, na primer 15.96 m,
ili još preciznije 15.958 m. Nijedna od tri navedena rezultata ne predstavlja potpuno tačnu
vrednost dužine, iako vrednosti sadrže dve, četiri i pet značajnih cifara, respektivno. Može
se konstatovati sledeće – broj značajnih cifara u direktno merenoj veličini vezan je za odluku
o preciznosti merenja.
Indirektno merena veličina se dobija iz rezultata merenja jedne ili više direktno merenih
veličina koje stoje u nekom matematičkom odnosu sa indirektnim rezultatom. Broj značajnih
cifara kod direktnih merenja je evidentan. Na primer, ukoliko merimo dužinu pantljikom od
50 m, vrednost rezultata merenja iznosiće 32.34 m. Kada se dužina meri indirektno, broj
značajnih cifara je nešto teže odrediti. Na primer, neka je dužina između dve tačke veća od
50 m, i neka je ona dobijena direktnim merenjima koja iznose 20.13 m i 31.11 m, što ukupno
iznosi 51.24 m. Ukoliko se dužina meri pantljikom dužine 50.00 m, dobiće se cela dužina
pantljike i deo jednak 1.24 m, što ukupno iznosi 51.24 m. Ukupna dužina izražena je sa četiri
značajne cifre, iako jedna od dve merene dužine sadrži tri značajne cifre. Ovaj primer
ilustruje da broj značajnih cifara u pojedinoj direktno opažanoj veličini ne kontroliše
preciznost veličine dobijene njihovim sabiranjem.
1.2.1 Zaokruživanje brojeva
Neka su 27 i 13.1 tačni brojevi. Njihov količnik iznosi 27:13.1 = 2.061068702... . Zaokružiti
dobijenu vrednost podrazumeva odbacivanje određenog broja cifara sa desne strane. Na
primer, zaokružena vrednost količnika može biti 2.06 ili 2.0611, i sl. Prilikom zaokruživanja
treba voditi računa da se time izazove najmanja moguća greška i izvodi se poštujući sledeće
pravilo:
Zaokružiti broj na n značajnih cifara znači odbaciti sve cifre s desna do n -
tog mesta. Ukoliko je odbačena cifra na )1( n -om mestu manja od polovine
jedinice n -tog mesta, cifra na n - tom mestu ostaje nepromenjena. Ukoliko
je odbačena cifra veća od jedinice n -tog mesta, cifra na n - tom mestu se
povećava za 1. Ukoliko je odbačena cifra jednaka polovini n - te cifre, n -ta
cifra se ne menja ukoliko je parna, a ukoliko je neparna povećava se za 1.
20
1.2.2 Pravila o broju značajnih cifara primenjena na aritmetičke operacije
Pravilo sabiranja
Saberimo vrednosti niza brojeva 131.32, 213.6, 53.954 i 8.9462 od kojih je svaki značajan
na nivou poslednje cifre. Pravilo sabiranja zahteva da se sabirci prethodno zaokruže na jednu
decimalu više od sabirka sa najmanjim brojem decimala.
PRIMER 1.2.2-1: Nad nizom datih brojeva 131.32, 213.6, 53.954 i 8.9462 primeniti pravilo sabiranja. 131.32 213.6 53.95 8.95 407.82 ili 407.8
Odbacivanje suvišnih cifara pre sabiranja, s jedne strane omogućuje eliminisanje grešaka
kojima su ti brojevi (rezultati merenja) opterećeni, a sa druge strane redukuje se ukupna
greška njihovog zbira. Konačni rezultat se na kraju zaokružuje na broj decimala sabirka sa
najmanjim brojem decimalnih mesta (u našem primeru to je sabirak sa jednim decimalnim
mestom). Na sličan način tretiraju se pojedini rezultati merenja prilikom računanja srednje
vrednosti (sredine).
Pravilo oduzimanja
Oduzimanju jednog približnog broja od drugog približnog broja (mogu biti rezultati
merenja) prethodi njihovo zaokruživanje na jednak broj decimalnih mesta.
PRIMER 1.2.2-2:
REŠENJE: Razlika brojeva 420.6 i 7.464 iznosi 420.6 – 7.5 = 413.1
Greške usled nepravilnog oduzimanja dva broja su najveće kada su oni bliski jedan drugom.
U takvim prilikama, često se dobijaju pogrešni rezultati i iz tog razloga treba biti veoma
obazriv i dobro proceniti prirodu računske operacije.
Pravilo množenja i deljenja
Kod množenja i deljenja, tačniji brojevi se zaokružuju na jednu značajnu cifru više u odnosu
na broj koji je najmanje tačan. Rezultat treba izraziti sa istim brojem značajnih cifara kao i
najmanje tačan broj.
PRIMER 1.2.2-3: Nad datim brojevima 34.912 i 863.4 primeniti pravilo množenja, odnosno 56.3 i koren iz 5, pravilo i deljenja.
REŠENJE:
a) Pravilo množenja: (34.91) . (863.4) = 30 141.294, odnosno 30 140 = 3.014 x 104
21
b) Pravilo deljenja: 5
3.56, s obzirom da je 5 tačan broj, 236.25 se zaokružuje na četiri
značajne cifre, jednu više od manje tačnog broja 56.3. Količnik iznosi 2.25236.2
3.56 i ima
isti broj značajnih cifara kao i 56.3.
1.3 Grafičko predstavljanje podataka merenja
Podaci merenja mogu se predstaviti numerički i grafički. Na jednostavnom primeru jednog
uzorka merenja, ilustrovaće se oba načina. Neka je izmereno n = 14 rezultata merenja jednog
ugla, pri čemu je za ovu analizu dovoljno prikazati samo sekunde:
49 44 47 41 49 46 51 50 38 49 47 59 43 49
Predstavimo rezultate merenja u rastućem nizu:
38 41 43 44 46 47 47 49 49 49 49 50 51 59
Prikažimo dati skup grafički i pokušajmo na osnovu takvog prikaza doći do korisnih
informacija o njemu. Postoji više načina prikaza, ali ćemo istaći samo njih nekoliko.
Jedan od najjednostavnijih prikaza u teoriji je poznat kao stablo-list prikaz (stem-and-leaf
plot). Pokažimo ukratko na čemu se ovaj prikaz zasniva. Podelimo dati skup na pet grupa,
35-39, 40-44, 45-49, 50-54 i 55-59. Cifre desetica u datom nizu iznose 3, 4, 4, 5, 5 i formiraju
tzv. stablo. Prvi tzv. list jeste cifra 8 koja predstavlja rezultat 38. Drugi list je 134, koji
reprezentuje 41, 43 i 44, itd.
1 3 8
4 4 134
11 4 6779999
13 5 01
14 5 9
Broj pojava određenog rezultata predstavlja apsolutnu frekvenciju. Tako, apsolutna
frekvencija pojave 38 iznosi 1, od 49 iznosi 4, itd. Prva kolona označava kumulativnu
apsolutnu frekvenciju = zbir apsolutnih frekvencija pojave prethodnih rezultata. Tako, na
primer, 11 u prvoj koloni označava da ima jedanaest vrednosti koje ne prelaze 49. Podelom
kumulativnih apsolutnih frekvencija sa n (n = 14) dobijamo kumulativne relativne
frekvencije.
Ukoliko je broj podataka značajan, umesto opisanog načina koristi se histogram, odnosno
histogram frekvencija. Histogram je grafički prikaz koji pokazuje raspored frekvencija
slučajnih veličina. Da bi se kreirao histogram, podaci se dele na klase određene širine. Iako
ne postoje univerzalna pravila definisanja širine klasa, generalno u praksi se koristi od 5 do
20 klasa. Na primer, skup od 30 rezultata podelićemo na 5 do 6 klasa, a skup od 100 rezultata
na 15 do 20 klasa. Generalno, manji skup podataka deli se na manji broj klasa i obratno.
22
Neki autori, navode izraz za računanje broja klasa k u zavisnosti od broja merenja n (na
primer, Perović u 1984 predlaže izraz oblika nk log5 ).
Širina klase histograma dobija se podelom ukupnog raspona sa brojem klasa. Na primer,
ako se za skup podataka (Tabela 1.3-1) formira 7 klasa, širina svake klase iznosiće
6.0/7=0.857 ili 0.86. Prvi interval (klasa) formira se tako što se najmanjoj vrednosti rezultata
doda širina klase. Prvi interval je od 20.1 do (20.1 + 0.86) = 20.96, drugi od 20.96 do (20.96
+ 0.86) = 21.82, itd. (Tabela 1.3-2).
Tabela 1.3-1: Rastući niz skupa merenja
Tabela 1.3-2: Tabela frekvencija
Interval klase
(1) Frekvencija klase (2)
Relativna frekvencija
klase (3)
20.10 – 20.96 2 2/50 = 0.04
20.96 – 21.82 3 3/50 = 0.06
21.82 – 22.67 8 8/50 = 0.16
22.67 – 23.53 13 13/50 = 0.26
23.53 – 24.38 11 11/50 = 0.22
24.38 – 25.24 6 6/50 = 0.12
25.24 – 26.10 7 7/50 = 0.14
= 50/50 = 1
Nakon kreiranja širine klase, određuje se broj rezultata merenja u svakoj klasi ili frekvencija
klase (kolona 2 u Tabeli 1.3-2). Podelom frekvencije klase sa ukupnim brojem rezultata
merenja dobija se relativna frekvencija klase (kolona 3 u Tabeli 1.3-2). Zbir relativnih
frekvencija svih klasa uvek iznosi 1. Relativna frekvencija klase pogodna je za procentualni
prikaz merenja. Na primer, interval klase od 21.82 do 22.67 sadrži 16% (0.16100%) od
ukupnog uzorka merenja.
Histogram se konstruiše kao graf sa frekvencijama klasa ili relativnim frekvencijama na
apcisi. Na slici 1.3-1 prikazan je histogram sa relativnim frekvencijama.
Histogrami iste razmere po apcisi i ordinati direktno mogu poslužiti upoređenju dva skupa
podataka. Veća preciznost skupa podataka rezultiraće komparativno višim pravougaonicima
20.1 20.5 21.2 21.7 21.8
21.9 22.0 22.2 22.3 22.3
22.5 22.6 22.6 22.7 22.8
22.8 22.9 22.9 23.0 23.1
23.1 23.2 23.2 23.3 23.4
23.5 23.6 23.7 23.8 23.8
23.8 23.9 24.0 24.1 24.1
24.2 24.3 24.4 24.6 24.7
24.8 25.0 25.2 25.3 25.3
25.4 25.5 25.9 25.9 26.1
23
u centru histograma i relativno nižim na krajevima histograma. Manje precizni podaci
proizvode širi raspon apscisnih vrednosti i niže pravougaonike u centru histograma.
Sumirajući osnovne karakteristike, histogram pruža:
- Analizu simetrije rezultata oko centralne vrednosti;
- Uvid u raspon ili rasturanje rezultata merenja;
- Uvid u frekvenciju pojave određenih rezultata merenja; i
- Uvid u zvonastost koja ukazuje na preciznost merenja.
Slika 1.3-1: Histogram frekfencija
U premeru, oblik histograma opisuje efekte promene operatera, fizičkih uslova ili
instrumenata. Na taj način se može utvrditi da li su realizovana merenja raspoređena po
zakonu normalne raspodele ili nisu.
Pored histograma, podaci merenja se grafički mogu prikazati i pomoću kombinacije linija i
geometrijskih figura (boxplot). Jedan takav grafički prikaz zahteva da se prethodno odrede
minimalna vrednost skupamin
x , donja kvartalna tačka L
q , srednja kvartalna tačka M
q ,
gornja kvartalna tačka U
q i maksimalna vrednost skupa xmax. Pre nego što na jednom
primeru ilustrujemo ovu metodu, neophodno je definisati kvartalne tačke. Donja i gornja
kvartalna tačka jesu vrednosti koje se nalaze u sredini dela skupa ispod i iznad medijane1,
respektivno. Medijana se još naziva i srednja kvartalna tačka. Razlika LU
qq naziva se
međukvartalni raspon. A sada, na jednom primeru, ilustrovaće se ova vrsta prikaza.
Neka imamo dva skupa od 15 rezultata merenja (n = 15) jedne promenljive X.
1 Medijana je definisana u 3.4.1.2. Rezultat koji se nalazi u sredini skupa. Ako skup sadrži paran broj, medijana
je poluzbir dva susedna rezultata koja se nalaze u sredini skupa.
20.1 20.96 21.82 22.67 23.53 24.38 25.24 26.10
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
24
1 skup 38 41 43 44 46 47 47 49 49 49 49 55 56 59 61
xmin 38
qM= 49
qL 44
qU 55
xmax= 61 2 skup 44 46 47 48 49 50 51 52 55 56 56 56 57 57 57
xmin= 44
qM= 52
qL 48
qU 56
xmax= 57
65
xmax
60 xmax
qU qU
55 qM
50 qM qL
qL xmin
45
xmin
40
35
30
1. Serija 2. Serija
Slika 1.3-2: Boxplot
Na osnovu prikazanih rezultata, može se zaključiti da je pravougaonik drugog skupa kraći,
čime ukazuje na veći kvalitet merenja. Takođe, u drugom skupu M
q je bliže sredini
pravougaonika, što ukazuje na veću simetričnost raspodele. Konačno, xmax je bliže U
q , o
čemu ćemo nešto više reći u daljem tekstu prilikom definisanja pojma, rezultat koji odskače,
("gruba greška" ili outlier).
Rezultat koji odskače ili se značajno razlikuje po svom intenzitetu od ostalih rezultata (eng.
outlier) jeste takav rezultat za koji se na osnovu određenih pretpostavki kaže da ne pripada
datom skupu. On ukazuje da se u proceduri prikupljanja podataka nešto ne predviđeno
dogodilo. U terminologiji kvartalnih tačaka, za neki rezultat se kaže da ne pripada preostalim
elementima, ako je njegova vrednost najmanje 1.5 puta veća ili manja od međukvartalne
25
razlike LU
qq . U našem primeru, međukvartalna razlika prve serije iznosi 11, a druge 8,
što znači da su za prvu seriju neprihvatljivi rezultati manji od 44-16.5=27.5 i veći od
55+16.5=71.5, a u drugoj seriji, rezultati manji od 48-12 = 36 i veći od 56+12 = 68. Uvidom
u rezultate merenja, vidi se da ni u jednoj seriji nema sumnjivih rezultata.
1.4 Matematički model
S obzirom da obrada podataka merenja predstavlja generalno kvantitativni problem, logično
je da njegovo rešavanje podrazumeva korišćenje matematičkog modela. Model se definiše
kao teorijski sistem (apstraktni koncept) kojim se opisuje fizička situacija ili skup nekih
događaja. Često nije kompletan, ali se od njega očekuje da obuhvati osnovne osobine koje
su cilj i predmet analize. Kako model ima ograničenu nameru, njegova postavka ima široko
značenje, odnosno najčešće ne postoji samo jedan model, već se ista situacija može opisati
sa više modela.
Matematički model se sastoji iz dva dela: funkcionalnog modela i stohastičkog modela.
Funkcionalni model opisuje deterministička svojstva fizičke situacije ili događaja koji
posmatramo. Kada se god merenja planiraju, funkcionalni model se bira tako da reprezentuje
fizičku veličinu ili zamišljeni sistem kojem će se pridružiti realizovana merenja. Merenja se
zapravo i realizuju da bi se odredili parametri odabranog modela. U premeru, primer
geometrijskog modela bio bi trougao u ravni koga u Euklidovom prostoru karakterišu tri
ugla, tri temena, tri strane i na primer orijentacija u odnosu na odabrani koordinatni sistem.
U većini slučajeva neka fizička veličina Y se ne meri direktno, već se određuje iz n drugih,
direktnih merenja n
XXX ,...,,21
, koristeći funkciju
),...,,(21 n
XXXfY . (1.4-1)
Veličine n
XXX ,...,,21
se nazivaju ulaznim veličinama, dok je Y izlazna veličina. Kao
ulazne veličine možemo smatrati direktna merenja, koja zavise od niza različitih uticaja,
uključujući i sistematske uticaje, čime se model dopunski usložnjava. Funkcija f se može
odrediti eksperimentalno ili analitički. U širem smislu, f treba shvatiti kao funkciju koja
sadrži sve parametre koji doprinose značajnosti ocene nesigurnosti rezultata merenja.
Skup rezultata merenja n
XXX ,...,,21
posmatramo kao:
- veličine čije se vrednosti i ocene nesigurnosti dobijaju direktno iz realizovanih
merenja (serija merenja, ranijih merenja i sl.; ocena tipa A); i
- veličine čije se vrednosti i ocene nesigurnosti dobijaju iz ranijih merenja pod istim
uslovima ili na osnovu teorijskih pretpostavki (ne iz realnih merenja; ocena tipa B).
Ocene veličina Y u oznaci y dobijaju se na osnovu ocena n
xxx ˆ,...,ˆ,ˆ21
od n vrednosti
fizičkih veličina n
XXX ,...,,21
. Odnosno, vrednost izlazne veličine (koju često nazivamo
ocenom) glasi
26
)ˆ,...,ˆ,ˆ(ˆ21 N
xxxfy . (1.4-2)
Stohastički model opisuje nedeterminističke ili stohastičke (po verovatnoći) osobine
promenljivih koje reprezentuju opažanja. Poznata je činjenica da merenja prate različiti
izvori grešaka koje nije moguće u potpunosti kontrolisati. Usled nepredvidivih uticaja,
rezultati merenja variraju i neizbežan su pratilac merenja. Sa praktične tačke gledišta, veoma
je teško oceniti statističke osobine merenja. Jedan od načina je merenjem iste veličine u više
serija ili poređenjem izvedenih merenja sa ranijim, izvedenim pod istim skupom uslova.
Međutim, dosta česta pojava je da se statističke osobine merenja približno definišu. Na
primer, često ćemo prilikom obrade merenja tvrditi da su nezavisna i istih težina. Dakle,
stohastičkim modelom smatraće se ukupnost pretpostavki o statističkim osobinama
promenljivih. Klasična teorija najmanjih kvadrata (metoda ocene nepoznatih parametara) ne
specificira eksplicitno pojam stohastičkog modela. Umesto njega, koriste se izrazi greške
opažanja ili osobine grešaka opažanja. Oba modela, sastavni su delovi matematičkog modela
kojim se povezuju rezultati merenja i merene veličine i ne treba ih od njega odvajati.
1.5 Direktna i indirektna merenja
Merenje predstavlja instrumentalno određivanje vrednosti (rezultat merenja) merene
veličine (geometrijska apstrakcija) u odnosu na dati standard ili jedinicu merenja. Merenje
se izražava kao broj jedinica mere (realan broj puta jedinica mere). Na primer, dužinu
izražavamo brojem kilometara.
Rezultat merenja neke fizičke veličine X povezan je jedinicom mere relacijom
ENX , (1.5-1)
gde je N - merni broj, a E - merna jedinica.
Proces merenja obuhvata ocenu odnosa vrednosti merene veličine (dužine, vremena, mase i
dr.) i veličine odgovarajuće merne jedinice. Na primer, ako kažemo da dužina iznosi 9 m, to
predstavlja ocenu dužine nekog objekta relativno u odnosu na jedinicu dužine, a to je u ovom
slučaju jedan metar. Osim kada zbrajamo neke događaje (na primer kada sabiramo broj
automobila koji pređe preko nekog mosta i sl.) i gde nam je zbir egzaktan, svako merenje
predstavlja ocenu koja poseduje izvesnu nesigurnost.
Prema Peroviću (Perović, 1988) merenje je složen proces koji podrazumeva:
- objekat merenja (fizička veličina i sl.),
- subjekat merenja (opažač),
- instrument i pribor za merenje, i
- spoljašnju sredinu.
Skup navedenih faktora naziva se kompleks uslova merenja ili uslovi merenja. Dva skupa
merenja smatraju se merenjima iste tačnosti ukoliko su realizovana pod približno istim
uslovima. Odnosno, u toku njihove realizacije ni jedan od napred navedenih uslova nije
27
značajno menjan (isti objekat, isti opažač, instrument istih karakteristika i u sličnom
spoljašnjem ambijentu). Nasuprot tome, dva skupa merenja koja nisu realizovana pod istim
uslovima (bilo koji od elemenata da je značajno promenjen) nazivamo merenjima različite
tačnosti. Dakle, podela merenja po tačnosti posledica je uticaja kompleksa uslova pri
merenju neke fizičke veličine. Primer merenja iste tačnosti je merenje horizontalnih uglova
od strane istog opažača (opažač istih sposobnosti), instrumentom istih karakteristika, istom
metodom merenja i u sličnim atmosferskim uslovima. Ukoliko je prilikom merenja izmenjen
neki od uslova (instrument drugih karakteristika, druga metoda merenja i sl.) tada kažemo
da su merenja različite tačnosti.
Indirektna merenja se realizuju kada nije moguće ili nije praktično koristiti direktna merenja.
U tim slučajevima, do vrednosti merene veličine dolazi se putem matematičkih operacija
nad direktnim merenjima (na primer, ugao se realizuje kao razlika direktnih merenja
pravaca, veličina Y u izrazu 1.3-1 je primer indirektnog merenja).
S obzirom na matematički odnos između direktnih i indirektnih merenja, prirodno je da se
greške direktno merenih veličina prenose na indirektna merenja. Prenošenje grešaka poznato
je kao prostiranje, prenošenje ili prenos grešaka, o čemu će biti više reči u narednim
poglavljima.
1.6 Izvori grešaka merenja
Nekoliko bitnih karakteristika merenja od posebne je važnosti, i to:
- Ne postoji tačan rezultat merenja;
- U svakom merenju prisutne su greške;
- Tačna vrednost merene veličine nikada nije poznata; i
- Tačne vrednosti prisutnih grešaka nisu poznate.
Navedene tvrdnje ilustrovaće se sledećim primerom. Neka je ugao meren limbovom
podelom sa najmanjim podeokom od jednog stepena. U tom slučaju ugao se može očitati na
deseti deo stepena. Sa limbom minutne podele, ugao se može očitati na deseti deo minute,
itd. Drugim rečima, bez obzira kolika je rezolucija merila, merena veličina se uvek može
bolje oceniti. U navedenom primeru, preciznost je zavisila samo od podele merila (limba).
Međutim, na preciznost utiču i drugi faktori, kao što su konstrukcija instrumenta, spoljašnji
uslovi kao i sposobnosti operatora. Naravno, savršenija konstrukcija instrumenta, bolji
uslovi okruženja i iskustvo operatora povećaće pouzdanost merenja i približiti je istinitoj
vrednosti, ali se nikada neće sa njom poklopiti.
Po definiciji, greška predstavlja razliku merene ( x ) i istinite ( ) vrednosti, odnosno
xe . (1.6.1)
Prema poreklu tri su osnovna izvora grešaka merenja: 1) instrument, 2) spoljašnji uslovi i 3)
operator.
Greške instrumentalnog karaktera nastaju usled nesavršenosti konstrukcije instrumenata ili
nezadovoljenja uslova osnovnih osa instrumenta (na primer, podela limba u teodolitu ili
28
totalnoj stanici nije savršena i uvek je prisutna bilo da se radi manuelnom ili digitalnom
načinu čitanja).
Greške spoljašnjih uslova nastaju kao posledica promena uslova okruženja (na primer,
temperature, vetra, pritiska, gravitacionog polja, magnetskog polja i sl.).
Greške operatora nastaju usled ograničenih psiho-fizičkih i bioloških sposobnosti operatora
prilikom viziranja, očitavanja mikrometra, centrisanja libele i sl. Veličine grešaka zavise
kako od individualnih sposobnosti operatora tako i uticaja mikroprilika u neposrednom
okruženju operatora.
1.7 Podela grešaka merenja prema prirodi uticaja
Sa sigurnošću se može tvrditi da je svako merenje opterećeno greškama, bez obzira da li je
uzrok čitanje podele, nestabilnost uslova okruženja ili nesavršenost konstrukcije
instrumenta. Neke greške koje nastaju kao posledica fizičkih karakteristika ponavljaju se,
što znači da imaju sistematski karakter. Za neke druge greške, to se ne može reći, tj. potpuno
su slučajnog karaktera. Prema karakteru uticaja, greške merenja možemo podeliti na
sistematske i slučajne. Ali pre njihovog bližeg određenja, neophodno je definisati greške
za koje se često koristi naziv grube (mistakes, blunders, gross errors).
Grube greške nastaju usled nepažnje operatora. One se zapravo i ne smatraju greškama u
pravom smislu i moraju se eliminisati iz opažanja. Neki primeri takvih grešaka su
zaboravnost operatora da u totalnu stanicu unese vrednost adicione konstante prilikom
merenja dužina ili nespretno čitanje temperature, pogrešno čitanje limba ili permutacija
cifara prilikom upisivanja u zapisnik (umesto 13.34, upisano 31.34 i sl.).
Sistematske greške se ponašaju u skladu sa fizičkim zakonima i mogu se predvideti. Neki
sistematski uticaji se mogu otkloniti poštovanjem procedure merenja (na primer, u
nivelmanu se uticaj refrakcije i zakrivljenost može otkloniti jednakošću dužina zadnje i
prednje letve i sl.). Neke se pak otklanjaju na osnovu poznatih funkcionalnih odnosa
(matematičkih formula - uticaj refrakcije kod trigonometrijskog nivelmana i sl.). Znajući
zakone njihovog delovanja, sistematske greške se mogu smanjiti ili potpuno otkloniti
(Perović, 1988):
- Randomizacijom (merenje u dva položaja durbina, čitanje na dijametralnim
delovima podele limba, pomeranjem limba između girusa, i dr.);
- Izvođenjem merenja pod određenim kompleksom uslova (podizanjem vizure iznad
terena u nivelamnu, dovođenje letve u vertikalan položaj, merenjem u određenim
vremenskim uslovima i dr.);
- Uvođenjem popravki (adiciona i multiplikaciona konstanta, i dr;
Napomena: uvođenje popravke za sistematski uticaj ima smisla ako je taj uticaj
veći od trećine standardnog odstupanja); i
- Metodom obrade rezultata merenja (posebno izravnanje uglova i koordinatnih
razlika u poligonskom vlaku, i dr).
29
Nakon eliminisanja grubih i sistematskih grešaka u rezultatima merenja sadržane su samo
slučajne greške. Generalno, one su posledica uticaja operatora, nesavršenosti konstrukcije
instrumenta ili promena u atmosferi. Po intenzitetu su male i različitog znaka. Ne ponašaju
se po nekoj zakonitosti i nad njima se može primeniti teorija verovatnoće. Primeri grešaka
ove vrste su: greška centrisanja, greška centrične libele prilikom dovođenja u vertikalnost
nivelmanske letve, greške očitavanja limba i sl. Slučajne greške nije moguće izbeći i uvek
su prisutne u merenjima.
1.8 Preciznost i tačnost merenja
Usled prisustva grešaka, ponovljena merenja istih veličina često imaju različite vrednosti.
Nesaglasnost (descrepancy) se definiše kao algebarska razlika dva rezultata merenja iste
veličine. Ukoliko je nesaglasnost ponovljenih merenja mala, generalno se može zaključiti da
su u merenjima prisutne (najverovatnije) samo greške male po intenzitetu. Takvim
merenjima se daje veće poverenje i smatraju se preciznijim. Međutim, preciznija merenja ne
znači i tačnija.
Preciznost se definiše kao međusobna konzistentnost (bliskost) rezultata merenja i
zasnovana je na veličini njihove međusobne nesaglasnosti. Stepen preciznosti zavisi od
stabilnosti uslova okruženja u toku realizacije merenja, kvaliteta instrumenta i veštine
opažača.
Tačnost se definiše kao apsolutna bliskost merenja sa istinitom vrednošću. Kako istinita
vrednost merenja ne može biti poznata, ni tačnost nikada nije poznata.
Razlika između preciznosti i tačnosti može se ilustrovati na primeru merenja dužina.
Zamislimo da je neka dužina izmerena štapom pet puta, pantljikom i elektrooptičkim
daljinomerom - EOD (Tabela 1.7-1). Aritmetička sredina datih skupova iznosi 172, 168.16
i 168.13, respektivno. Na osnovu rezultata merenja vidi se da iako su srednje vrednosti
merenja elektrooptičkim daljinomerom i merenja pantljikom bliske, EOD merenja imaju
manju međusobnu nesaglasnost (veću bliskost). To ukazuje na veću preciznost EOD
merenja, ali to ne znači da su EOD merenja tačnija. Na primer, ukoliko je konstanta
reflektora pogrešno uneta, što izaziva sistematsku grešku, to će prisustvo značajne
sistematske greške u rezultatima EOD merenja značiti manju tačnost. Kako je nesaglasnost
merenja štapom značajna, nije logično tvrditi da je srednja vrednost merenja štapom jednako
tačna kao srednja vrednost merenja sa EOD. Međutim, srednja vrednost merenja štapom
može biti tačnija ukoliko je u merenjima pantljikom i EOD prisutna značajna sistematska
greška.
Tabela 1.8-1: Rezultati merenja dužina (m)
Merenje Štap Pantljika EOD
1 172 168.18 168.134
2 164 168.09 168.125
3 177 168.13 168.129
4 189 168.39 168.166
5 158 168.02 168.115
30
1.9 Broj suvišnih merenja i izravnanje
Kao što je već istaknuto, merenja prate različiti izvori grešaka. Grube i sistematske greške
se mogu i moraju eliminisati, dok su slučajne greške neizbežne i mogu se na neki način
kontrolisati. Jedan od načina jeste merenjem iste veličine više puta. Dvostruko merenje
dužine omogućuje ostvarivanje jednog suvišnog merenja. Jedno je dovoljno, a drugo iako
višak, od velike je važnosti. Jednostavno upoređenje ta dva rezultata govori o njihovoj
međusobnoj saglasnosti (nesaglasnosti) i ukazuje na eventualno prisustvo grešaka u jednom
od rezultata ili u oba. Dalje, suvišno merenje omogućuje ocenu konačne vrednosti
izravnanjem merenja što statistički doprinosi kvalitetnijoj oceni u odnosu na korišćenje samo
jednog rezultata. U slučaju da su dva merenja jednake preciznosti, izravnata vrednost
predstavlja njihovu sredinu.
Primer jednog suvišnog merenja jeste merenje sva tri ugla u trouglu. Ukoliko su merena dva
ugla, zna se da je treći dopuna do 180, tako da treći nije neophodno meriti. Merenje trećeg
ugla omogućuje ocenu kvaliteta merenja i statističku ocenu merenih veličina. Uz
pretpostavku o jednakoj preciznosti merenja sva tri ugla, izravnanjem se praktično ostvaruje
uslov da njihov zbir bude 180, odnosno razlika se podjednako raspoređuje na sva tri
merenja.
Geodeta uvek nastoji da obezbedi više od neophodnog broja merenja, iz dva razloga:
- radi kontrole grešaka i donošenja odluke o prihvatljivosti odgovarajućeg rezultata i
- da omogući primenu izravnanja i objektivnu ocenu preciznosti rezultata merenja.
1.10 Metod najmanjih kvadrata
Metod ili princip najmanjih kvadrata prvi put se pominje 1806. godine u delu Nouvelles
methodes pour la determination des orbites des cometes koje je objavio Legendre (1752-
1833). Iako je nije publikovao, ova metoda je bila poznata Gauss-u (1777-1855) još 1794.
godine, kao studentu Univerziteta u Gottingenu koji podstaknut raspravom tek 1809. godine
u svom delu Theoria motus corporum coelestium ukratko pored zakona o verovatnoći
grešaka neposrednih merenja izlaže svoje viđenje značaja metode najmanjih kvadrata.
Legandre 1810. godine objavljuje dopunu teorije metode, ali je nije, za razliku od Gausa,
praktično koristio. Godine 1812, Laplace (1749-1827) u računu verovatnoće posvećuje celo
jedno poglavlje metodi najmanjih kvadrata, a Gauss 1821. godine u svom delu Theoria
combinationis observatorionum minimis obnohiae detaljno izlaže metodu, a 1826. je
posebnim dodatkom dopunjuje.
Lagandre-Gaussov princip najmanjih kvadrata matematički se izražava kao
n
i
ixx
1
2 min)( . (1.10-1)
Prema (1.10-1) sledi da najverovatnijoj vrednosti x neke merene veličine i
x odgovara
minimalna vrednost zbira kvadrata grešaka dobijenih merenjem ove veličine. Očigledno, da
31
se traženjem ekstremuma funkcije (1.10-1) može odrediti srednja vrednost ili najverovatnija
vrednost merene veličine. Teorija grešaka primenjena na neposredna merenja naziva se
računom izravnanja.
U geodetskom premeru suvišna merenja su uvek dobrodošla jer omogućuju izravnanje.
Izravnanjem se ostvaruje uvid u prisustvo grešaka merenja i povećava preciznost nepoznatih
veličina zbog kojih se merenja i realizuju (koordinate, visine i sl.). Nakon izravnanja, sva
merenja su popravljena tako da su u potpunosti konzistentna i u okviru geodetske mreže
zadovoljavaju zadati geometrijski uslov.
Četiri osnovne prednosti MNK su od posebnog značaja, i to:
Spada u najstrože od svih postojećih metoda;
Jednostavan je za primenu;
Omogućava strogu analizu tačnosti; i
Omogućuje prethodnu analizu tačnosti i planiranje merenja.
Metod najmanjih kvadrata zasnovan je na teoriji verovatnoće dok ostale metode nisu u tom
pogledu tako rigorozne. Postavljanje uslova da suma proizvoda kvadrata reziduala rezultata
merenja i njihovih težina mora biti minimalna, omogućuje identifikovanje skupa grešaka
merenja sa najvećom verovatnoćom pojavljivanja. Takođe, izravnanje čini rigoroznim i
činjenica da ono obuhvata različite vrste merenja (dužine, uglove, azimute, zenitne i
vertikalne uglove, visinske razlike i GPS merenja). Osim toga, u zavisnosti od relativne
pouzdanosti koja zavisi od preciznosti merenja, izravnanje omogućuje i uvođenje relativnih
težina merenja.
Do pojave savremenih računara, obrada merenja najčešće nije bila stroga. Upotreba
kompjutera omogućila je primenu najstrožijih postupaka obrade merenja. Za razliku od
približnih metoda koje su davale različite konačne rezultate, metod najmanjih kvadrata u
najstrožem smislu obezbeđuje jedinstvene ocene, nezavisno od toga ko vrši obradu,
odnosno postupak izravnanja je jedinstven. Posebna vrednost izravnanja po metodi
najmanjih kvadrata jeste da je nakon obrade, moguća kompletna statistička analiza kvaliteta
dobijenih ocena. U zavisnosti od veličine i raspodela grešaka primenjuju se različiti testovi
kojima se utvrđuje da li se dobijeni rezultati nalaze u granicama dozvoljenih tolerancija,
odnosno da li se neka merenja moraju ponoviti. Ukoliko se u merenjima otkriju grube greške,
takva se merenja ponavljaju. Metod najmanjih kvadrata omogućuje ocenu preciznosti
izravnatih veličina koja se izražava, na primer elipsama grešaka ili elipsama poverenja, o
čemu će biti više reči u predmetima oblasti računa izravnanja.
MNK je od velike koristi i prilikom planiranja merenja. Naime, za određen oblik geodetske
mreže i tačnosti merenja, može se unapred analizirati određeni plan opažanja. Variranjem
oblika figura u geodetskoj mreži, plana i preciznosti merenja može se doći do optimalne
varijante koja zadovoljava zahteve tačnosti i ekonomičnosti premera.
32
Pitanja za proveru znanja
1. Karakteristike merenja, specifikacija merene veličine, rezultat merenja, veličina
uzorka
2. Zadaci statistike
3. Grafičko predstavljanje podataka merenja, stablo-list, histogram, boxplot
4. Matematički model
5. Proces merenja, merenja iste i različite preciznosti, iIndirektna i direktna merenja
6. Greške merenja, prenos grešaka
7. Podela grešaka merenja prema poreklu i prema prirodi uticaja
8. Preciznost i tačnost merenja
9. Značaj suvišnih merenja u geodeziji
10. Princip najmanjih kvadrata
33
2. TEORIJA VEROVATNOĆE
Od XVII veka kada su postavljene osnove verovatnoće pa do danas, teorija verovatnoće je
predmet interesovanja naučnih radnika različitih profila. Njena velika aktuelnost u
savremenom društvu jeste posledica njene značajne pomoći u potpunijem sagledavanju
različitih problema nauke. Iako je važnost verovatnoće sve manje sporna, neprekidno se
vode diskusije oko njenih teorijskih osnova. Teorija verovatnoće je posebno značajna u
statističkom zaključivanju, koje počiva na njenim osnovama. U ovom poglavlju ukazaće se
na neke koncepte verovatnoće i njene matematičke osnove od bitnog značaja u savremenoj
statističkoj teoriji. Moze se reći da su dva glavna razloga doprinela pojavi interesovanja za
verovatnoću i razvoju njenih matematičkih osnova. Prvi je proizišao iz matematičkih
problema u igrama na sreću. Švajcarski matematičar Bemuli u XVIII veku je postavio
teorijske osnove verovatnoće, kao jedne od matematičkih disciplina. Nešto kasnije, razvoj
se pokazao u radovima Laplasa i njegovim strogo determinističkim pogledima. Po njemu,
verovatnoća je sastavni deo nauke o prirodi u čijoj osnovi je sistematsko proučavanje sredine
i njenih promena koje se odražavaju u ponovljenim merenjima. U razvitku teorije
verovatnoće vredan je i Gausov doprinos kroz radove vezane za primenu zakona normalne
raspodele grešaka meranja. Drugi razlog interesovanja za verovatnoću proizišao je iz
osiguranja protiv rizika, koje se praktikovalo u trgovini u italijanskim gradovima u periodu
renesanse.
Bez obzira na diskusije o računu verovatnoće i njegovoj interpretaciji, njegova formalna
osnova nije diskutabilna. Ipak, kad se primenjuje račun verovatnoće u statističkim
istraživanjima, interpretacija modela i rezultata ne sme da se posmatra kao nešto odvojeno.
Osnovni zadatak teorije verovatnoće jeste da obezbedi matematičke modele koji obuhvataju
probleme gde slučajni efekti dominiraju. Tu pre svih spadaju problemi prognoziranja,
kvaliteta industrijskih proizvoda, cena nepokretnosti, izvesnosti pojave određenih vrednosti
merenja i sl.
2.1 Verovatnoća slučajnog događaja i pojam raspodele
2.1.1 Verovatnoća slučajnog događaja
Eksperiment je procedura čiji krajnji rezultat predstavljaju vrednosti koje su deo skupa svih
mogućih ishoda. Eksperiment predstavlja proces merenja ili opažanja koji se može
realizovati u laboratoriji, fabrici ili u prirodi. Skup svih mogućih ishoda nekog eksperimenta
se naziva skup elementarnih događaja i označava se sa S. Događaj A predstavlja podskup
skupa S i sadrži sve elementarne događaje koji imaju svojstvo kojim se A definiše. Događaj
S je siguran (ili izvestan) događaj, a prazan podskup (u oznaci , tj. skup bez elemenata) je
nemoguć događaj.
Kada se u jednom pokušaju realizacije eksperimenta dogodi željeni ishod 1
x tada je Ax 1
(1
x je jedan elemenat iz skupa A), odnosno kaže se da se desio događaj A. Tako, na primer,
kada se bacanjem kocke dobije 3, može se reći da se desio događaj A - neparan broj. Polazeći
od osnovnih zakona verovatnoće, često su nam potrebni pojedini karakteristični odnosi
34
između događaja (podskupova) A, B, C, ..., iz skupa S. Tako, uniju skupova A i B
označavamo kao BA i čine je svi elementi iz skupa A ili B, odnosno oba skupa. Presek
skupova A i B, u oznaci BA čine zajednički elementi dva skupa. Ukoliko dva skupa
nemaju zajedničkih elemenata, matematički se to opisuje kao:
BA ,
gde označava prazan skup (skup ili uzorak bez elemenata).
PRIMER 2.1.1-1: Unija i presek dva skupa
Skup 3,2,1A
Skup 6,5,4B
Skup 7,5,4C
BA 7,6,5,4CB
5,4CB
Za takve skupove se kaže da su međusobno nezajednički (ekskluzivni, isključivi) jer nemaju
zajedničkih elemenata (mutually, exclusive ili disjoint). Na primer, prilikom bacanja kocke,
nemoguće je da se istovremeno desi i paran i neparan broj ili da se prilikom bacanja novčića
dobiju glava i pismo, istovremeno. Komplement CA skupa A, podskupa skupa S, čine
elementi iz skupa S koji nisu u A. Kao posledicu, imamo da je:
SAAAA CC , .
PRIMER 2.1.1-2: Bacanje kocke.
Skup 5,3,1A – neparni brojevi
Skup 6,4,2B – parni brojevi
Unije i preseci više skupova A1, A2, ..., Am definišu se na sličan način, kao:
m
j
mjAAAA
1
21...
,
odnosno:
m
m
j
jAAAA ...
21
1
.
Rad sa skupovima, često se ilustruje pomoću Venovih2 dijagrama.
2 John Venn (1834-1923), engleski matematičar.
SAABA CC 6,5,4,3,2,1,
35
PRIMER 2.1.1-3: Venov dijagram.
Skup 3,2,1A
Skup 5,4,3A
3BA
5,4,3,2,1BA
Klasična definicija verovatnoće
Po klasičnoj (tzv. Laplasovoj) definiciji, koncept verovatnoće nekog događaja vezuje se za
frekvenciju pojave tog događaja, odnosno, verovatnoća se definiše kao odnos broja željenih
ishoda nekog događaja i ukupnog broja mogućih ishoda. Osnovne pretpostavke koje se
usvajaju prilikom primene klasične definicije verovatnoće jesu da je prostor skupa S
ograničen i da su svi ishodi ovog skupa jednako verovatni. Na primer, prilikom jednog
bacanja kocke, ako je željeni događaj da se dobije broj dva, tada broj pozitivnih ishoda iznosi
1, ukupan broj mogućih ishoda je 6, a verovatnoća da se dogodi broj 2 (ili bilo koji drugi
broj) iznosi 1/6. Generalno, ukoliko je broj pozitivnih ishoda m, a negativnih ishoda n, tada
verovatnoća pozitivnih ishoda iznosi nmmPm
, a verovatnoća negativnih ishoda tog
događaja iznosi nmnPn
.
Definicija - Ukoliko prostor skupa S jednog eksperimenta sadrži ograničen broj jednako
verovatnih ishoda, tada verovatnoća P(A) događaja A iznosi:
SishodamogucihsvihbrojUkupan
AdogadjajapojavebrojUkupanAP )( . (2.1.1-1)
Na osnovu ove definicije sledi da je 1)( SP .
Napred navedena definicija, iako se u praksi dosta koristi, nije pogodna, posebno ukoliko se
radi o skupovima kontinuiranih slučajnih promenljivih, kada je broj elemenata skupa
praktično neograničen i kada su verovatnoće pojave pojedinih događaja različite. Da bi se
došlo do opštije definicije verovatnoće, verovatnoća se povezuje sa pojmom relativne
frekvencije. Ako je apsolutna frekvencija pojave nekog događaja A, )(Af , jednaka broju
njegovog pojavljivanja m u broju pokušaja n, tada relativnu frekvenciju pojave događaja A
u oznaci )(Afrel
definišemo kao:
n
AfAf
rel
)()( . (2.1.1-2)
Ukoliko se događaj A nije desio, tada je 0)( Af , a ukoliko se samo isti događaj
permanentno dešava, tada je nAf )( . Kada pomenuta dva ekstrema podelimo sa n, dobija
se relacija:
1 2
3
4 5
36
1)(0 Afrel
. (2.1.1-3)
Ukoliko su A i B dva međusobno jedinstvena (ekskluzivna) događaja (nemaju zajedničkih
elemenata), tada je apsolutna frekvencija njihove unije jednaka zbiru apsolutnih frekvencija
od A i B. Deljenjem sa n, sledi da je relativna frekvencija pojave dva nezavisna događaja
jednaka:
)(),()()( BABfAfBAfrelrelrel
. (2.1.1-4)
Opšta definicija verovatnoće
U današnjoj statistici, navedeni koncept verovatnoće kao očekivane frekvencije više nije u
upotrebi. Umesto njega, verovatnoća se razmatra kao nezavisan koncept vezan za statističke
događaje, a njena svojstva se definišu aksiomatski. Da bi se objasnio novi pristup, prvo se
treba upoznati sa pojmom slučajna promenljiva i slučajan događaj.
Verovatnoća i statistički događaji (eksperimenti) su povezani, bilo da su realni ili hipotetički.
Slučajan događaj se definiše kao ishod statističkog eksperimenta (merenje ugla, dužine,
visinske razlike, bacanje kocke i sl.) i predstavlja neki podskup skupa S. Od posebne važnosti
su oni eksperimenti koji maksimalno respektuju princip slučajnosti, odnosno kod kojih su
ishodi događaja nepredvidivi. Ukoliko slučajan događaj ima više ishoda, događaju se
pridružuje stohastička ili slučajna promenljiva koju ćemo označiti sa X . Slučajna
promenljiva X se definiše kao jedinstvena realna funkcija koja svakom slučajnom događaju
Ss dodeljuje realni broj sX (Koch, 1997).
PRIMER 2.1.1-4:
Novčić se baca dva puta. Neka je slučajna promenljiva X broj registrovanih pisama. Kako
je GGGPPGPPS ,,, onda je 2PPX , 1PGX , 1GPX , 0GGX . Znači
sledi da slučajna promenljiva uzima 3 moguće vrednosti i to: 0, 1, 2.
Slučajna promenljiva može biti diskretna i kontinuirana. U diskretne slučajne promenljive
spadaju one čiji se skup vrednosti unapred zna, odnosno one koje uzimaju vrednosti iz skupa
elementarnih ishoda koji je konačan. Na primer, prilikom bacanja kocke poznat je skup
mogućih vrednosti (od 1 do 6). Za razliku od diskretne slučajne promenljive, kontinuirana
slučajna promenljiva nije tako jasno predvidiva, odnosno nemoguće je tačno definisati
moguće vrednosti. Na primer, ukoliko merimo neku dužinu bilo kojim instrumentom više
puta, ne može se sa sigurnošću očekivati da će vrednosti merenja dužina biti identične (ne
može se definisati skup svih mogućih ishoda). Što je instrument veće preciznosti, veća je i
verovatnoća pojave razlike i obrnuto.
PRIMER 2.1.1-5:
1) Bacanje kocke: S=[1, 2, 3, 4, 5, 6] 2) Merenje dužine: S su vrednosti u određenom intervalu koji se ne može sa sigurnošću
unapred predvideti.
37
Definicija - Opšta definicija verovatnoće uključuje osnovnu (prvu) definiciju, a prethodne
tri tvrdnje (2.1.1-2, 2.1.1-3 i 2.1.1-4) tretira kao aksiome. U definisanom prostoru skupa S,
događaju A koji je podskup od S, može se pridružiti broj P(A), kao verovatnoća od A, takav
da važe sledeći aksiomi verovatnoće:
- Za svako A iz S važi 1)(0 AP ;
- Ukupan prostor S ima verovatnoću 1)( SP ;
- Za dva međusobno jedinstvena događaja A i B važi )()()( BPAPBAP ;
- Ukoliko je S neograničen skup, tada važi ....)()(...)(2121 APAPAAP
Osnovne teoreme verovatnoće
Teorema 1: Pravilo komplementarnosti
Za događaj A i njegov komplement AC u prostoru događaja S važi odnos
)(1)( APAP C .
Teorema 2: Pravilo sabiranja međusobno jedinstvenih događaja
Za više jedinstvenih događaja A1, A2,..., Am u polju događaja S, važi izraz
)(...)()()...(2121 mm
APAPAPAAAP .
Teorema 3: Pravilo sabiranja slobodnih događaja
Za dva događaja A i B u prostoru događaja, važi sledeći odnos
)()()()( BAPBPAPBAP .
PRIMER 2.1.1-6: U polju događaja S – bacanje kocke:
a) Naći verovatnoću komplementarnog događaja od događaja A – neparni brojevi
5,3,1A
6
3)( AP ,
6
3)(1)( APAP C
.
b) Naći verovatnoću da prilikom bacanja kocke bude paran ili neparan broj
5,3,1A
6,4,2B
16
3
6
3)( BAP
c) Naći verovatnoću da prilikom bacanja kocke dobije se neparan broj ili broj manji od 4.
Događaj 5,3,1A – neparan broj
Događaj 3,2,1B – broj manji od 4
3
2
6
2
6
3
6
3)()()()( BAPBPAPBAP .
38
Uslovna verovatnoća i nezavisnost događaja
Često se u praksi pojavljuje potreba pronalaženja verovatnoće pojave nekog događaja B, a
pod uslovom da se pre njega već pojavio neki događaj A. Tu vrstu verovatnoće nazivamo
uslovnom verovatnoćom događaja B ukoliko se prethodno dogodio događaj A (ili uslovna
verovatnoća od B za dato A) i označavamo kao P(B\A). U ovom slučaju A služi kao novi
(redukovani) prostor događaja, dok je verovatnoća deo od P(A) i korespodentna je preseku
BA , odnosno:
)((
AP
B)P(AA)\BP
. (2.1.1-5)
Slično, uslovna verovatnoća od A za dato B glasi:
)B(P
B)P(AB)\A(P
. (2.1.1-6)
Teorema 4 – Pravilo množenja
Ukoliko su A i B dva događaja u prostoru događaja S i ako su P(A)≠0 i P(B)≠0, tada je:
B)\APP(B)A)\BPAPBAP (()()( (2.1.1-7)
Ukoliko su događaji A i B međusobno nezavisni, tada je:
P(B)APBAP )()( . (2.1.1-8)
Ukoliko je P(A) ≠ 0 i P(B) ≠ 0 i ukoliko su događaji A i B međusobno nezavisni, tada je:
)((),(( BPA)\BPAPB)\AP , (2.1.1-9)
što znači da verovatnoća pojave A ne zavisi od B i obrnuto.
Nezavisnost je pojam koji zavisi od verovatnoće. Ne treba mešati nezavisnost i isključivost.
Ako su dva događaja A i B isključivi, onda su oni nezavisni samo ako je verovatnoća bar
jednog od tih događaja jednaka 0.
2.1.2 Elementi kombinatorike
Kombinatorika je deo matematike koji se bavi problemima povezivanja elemenata datog
skupa na više različitih načina pri čemu se formiraju novi skupovi. Primena kombinatorike
prilikom rešavanja problema iz verovatnoće je značajna, naročito za potrebe prebrojavanja
svih mogućih ishoda nekog eksperimenta.
39
Funkcija faktorijel
Po definiciji, faktorijel nenegativnog celog broja n (svi pozitivni celi brojevi i nula) je
proizvod svih pozitivnih brojeva manjih ili jednakih n (u oznaci n! ). Prema usvojenoj
konvenciji, važi odnos:
1!0 .
Vrednost faktorijela se može sračunati kao:
n!1)(n!n )1( .
Ukoliko je n veliko, u praktičnim primenama koristi se Stirlingova formula oblika:
n
e
nn2!n
. (2.1.2-1)
Tabela 2.1.2-1: Relativna greška računanja vrednosti faktorijela pomoću Stirlingove
formule
n! Po formuli Tačna vrednost Relativna greška
4! 23.5 24 2.1%
10! 3598696 3628000 0.8%
20! 242279 ·1018 2432902008176640000 0.4%
Binomni koeficijenti
Koeficijenti binoma definišu se sledećim izrazom:
),0(,)1()1(
)!(!
!celobrojnakn
!k
knnn
knk
n
k
n
. (2.1.2-2)
Numerator poseduje k faktora. Važe sledeći odnosi:
10
0,1
0
olnspecija
n. (2.1.2-3)
Za elemente skupa celih brojeva n i k, iz (2.1.2-3) sledi simetrija:
).0(, nkzakn
n
k
n
(2.1.2-4)
Permutacije, kombinacije i varijacije
Permutacije, kombinacije i varijacije primenjuju se prilikom pronalaženja verovatnoće
pojave nekog slučajnog događaja. Permutacije datih elemenata se definišu kao njihova
40
specifična uređenost. Na primer, za tri elementa a, b i c postoji 3! = 1 · 2 · 3 = 6 permutacija:
abc, acb, bac, bca, cab i cba.
Teorema 1 – Broj permutacija
a) Klasa svih elemenata od n različitih elementa skupa. Broj permutacija klase od svih
elemenata, n različitih elemenata skupa, iznosi n321!n , (čita se n
faktorijel);
b) Klase srodnih elemenata. Ukoliko se n datih elemenata deli na c različitih klasa
srodnih elemenata unutar pojedine klase, tada je broj permutacija jednak
!n!n!n
!n
c
21
, gde je nnnnc ...
21, a
jn je broj elemenata u j-toj klasi.
Za razliku od permutacija gde je redosled elemenata odabranih klasa bio fundamentalan, kod
kombinacija to nije slučaj. I kod kombinacija, razlikujemo dva slučaja: 1) kombinacije od n
elemenata, od kojih se istovremeno bira k različitih elemenata bez ponavljanja, i 2)
kombinacije od n elemenata, od kojih se istovremeno bira k različitih elemenata, sa
ponavljanjem. Na primer, od slova a, b, c, tri su kombinacije od dva slova bez ponavljanja
(ab, ac i bc) i šest kombinacija sa ponavljanjem (ab, ac, bc, aa, bb, cc).
Teorema 2 – Broj kombinacija
Broj različitih kombinacija klase k od n različitih elemenata, bez ponavljanja iznosi
k
knnn
k)!-n!k
!n
k
n
21
)1()1(
(
, a sa ponavljanjem iznosi
k
kn 1.
Varijacije predstavljaju način izdvajanja k elemenata nekog datog skupa, pri čemu se mora
voditi računa o redosledu izdvojenih elemenata. Ukoliko je k izdvojenih elemenata jednako
broju elemenata datog skupa tada govorimo o permutacijama. Na primer, od slova a, b, c
broj varijacija bez ponavljanja je šest (ab, ba, ac, ca, bc, cb), a broj varijacija sa ponavljanjem
je devet (ab, bc, ac, ca, bc, cb, aa, bb, cc).
Teorema 3 – Broj varijacija
Neka je .,...,,21 n
aaaA Varijacija bez ponavljanja k-te klase skupa A je svaka uređena k-
torka različitih elemenata skupa A. Broj svih varijacija bez ponavljanja klase k od n
elemenata datog skupa A iznosi !
!
kn
n
, a sa ponavljanjem iznosi kn .
PRIMER 2.1.2-1: Koliko kombinacija od pet elemenata možemo formirati od 10 rezultata merenja.
REŠENJE:
2525
678910
5
10
5
10
!5!!
!
.
41
2.1.3 Funkcija raspodele i funkcija gustine verovatnoća
Raspodela verovatnoća ili jednostavnije raspodela, pokazuje verovatnoće pojave događaja
jednog eksperimenta. Veličinu koju u okviru eksperimenta merimo ili opažamo označićemo
sa X i ona, kao što je već napred istaknuto, jeste slučajna promenljiva (ili stohastička
promenljiva) jer na njenu vrednost u narednom eksperimentu utiču samo slučajni efekti.
Ukoliko su slučajne promenljive brojive (brojanje automobila koji pređu preko mosta,
bacanje kocke i sl.) tada se radi o diskretnim slučajnim promenljivim i njihovoj raspodeli.
Ukoliko je slučajna promenljiva takva da se do njene vrednosti dolazi merenjem (ugao,
dužina, visinska razlika, ...), tada govorimo o kontinuiranoj slučajnoj promenljivoj i njenoj
raspodeli. U oba slučaja, raspodela od X određuje se na osnovu funkcije raspodele (još se
naziva i kumulativnom funkcijom raspodele):
)()( xXPxF , (2.1.3-1)
koja za svaki realan broj x, definiše verovatnoću da je slučajne promenljiva X uzela vrednost
manju ili jednaku x.
Označimo sa X slučajnu promenljivu korespondentnu vrednostima bacanja jedne kocke, a sa
x1, x2, ...,xn označimo moguće ishode. Pokušajmo dodeliti verovatnoće pojave mogućih
vrednosti ishoda eksperimenta (bacanje kocke) tako što ćemo svakom ishodu xj dodeliti
nenegativan broj p(xj), tako da važi sledeća jednakost
1 2 6( ) ( ) ... ( ) 1p x p x p x . (2.1.3-2)
Funkcija ( )jp x predstavlja funkciju raspodele slučajne promenljive X i označavaćemo je
sa ( )F x . U slučaju bacanja kocke, svaki događaj teorijski ima istu verovatnoću pojave koja
iznosi 1/6. Izraz 2
( 4)3
P X označava verovatnoću da vrednost slučajne promenljive ne
bude veća od 4 (odnosno, verovatnoća da prilikom bacanja kocke dobijemo vrednosti 1, 2,
3 ili 4) i iznosi 2/3.
Definicija - Slučajna promenljiva X jeste realna funkcija definisana u prostoru događaja S
prilikom realizacije jednog eksperimenta. Za bilo koji realan broj a, verovatnoća pojave
iznosi )( aXP što podrazumeva da je X definisano sa a. Slično, za bilo koji interval I,
verovatnoća )( IXP podrazumeva da je X definisano u datom intervalu I. Na osnovu
(2.1.3-1) sledi fundamentalna formula verovatnoće za određeni interval bxa ,
)()()( aFbFbXaP . (2.1.3-3)
koja predstavlja verovatnoću da se vrednost slučajne promenljive nalazi u intervalu (a,b].
42
Diskretna slučajna promenljiva i njena raspodela verovatnoća
Po definiciji, slučajna promenljiva X i njena raspodela su diskretni ukoliko X obuhvata
ograničen broj, odnosno brojivu količinu vrednosti x1,x2,x3,... koje nazivamo mogućim
vrednostima, sa pozitivnim verovatnoćama njihove pojave
),...,(),(),(332211
xXPpxXPpxXPp dok je verovatnoća da se nemoguće
vrednosti nađu u tom intervalu I, )( IXP jednaka nuli.
Raspodela diskretne slučajne promenljive X određena je funkcijom gustine verovatnoća
)(xf od X, koja se definiše kao:
x ostale za
jxxzapxf
jj
0
,...)2,1()( . (2.1.3-4)
Na osnovu (2.1.3-3) određuju se vrednosti funkcije raspodele F(x), kao zbir:
xx xx
jj
j j
pxfxF )()( , (2.1.3-5)
gde za bilo koje x, sabiramo sve verovatnoće pj za svako xj manje ili jednako od x. Funkcija
spada u tzv. step funkcije sa skokovitim usponima veličine pj za vrednosti xj od X.
PRIMER 2.1.3-1: Neka je X slučajna promenljiva pri bacanju kocke sa mogućim vrednostima 1,2,3,4,5,6 i verovatnoćom pojave svakog događaja koja iznosi 1/6. Na osnovu datih vrednosti, konstruisati funkcije gustine i raspodele.
PRIMER 2.1.3-2: Neka je slučajna promenljiva X=zbir događaja pri bacanju dve kocke. Skup mogućih događaja izgleda 2 (1+1), 3,4 ..., 12 (6+6) i ima ih ukupno 6 x 6 =36. Verovatnoća pojedinog zbira iznosi 1/36. Naglasimo da zbir 2 čine ishodi (1,1), X=3 čine (1,2) i (2,1); X=4, (1,3), (2,2) i (3,1), itd. Stoga f(x)=P(X=x) i F(x) = P(X≤x) imaju sledeće vrednosti:
f(x)
1/6
0 6
0 6
1/2
1
F(x)
x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
f(x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
F(x) 1/36 3/36 6/36 10/36 15/36 21/36 26/36 30/36 33/36 35/36 36/36
1 2 3 4 5
x
x
43
PRIMER 2.1.3-3 (Koch,1988): Neka je metalna novčanica bačena tri puta. Sračunati verovatnoću pojave prednje strane (glave) novčanice iz tri bacanja.
REŠENjE: Slučajnu promenljivu koja predstavlja broj pojave prednje strane označimo sa X. Ukupan broj mogućih događaja iznosi 23=8. Ostvaren broj pojave željenog događaja
može biti
xx
3)3,2,1,0( , a verovatnoća njegove pojave kao
32
3
)(
x
xXP za
)3,2,1,0(x , gde je 8
1)3(
8
3)2(
8
3)1(,
8
1
2
0
3
)0(3
P ,P ,P P . Odnosno, shodno
(2.1.3-1) sledi:
8
7)2()1()0()3()3(
8
4)1()0()2()2(
8
1)0()1()1(,0)0()0(
xPxPxPxPF
xPxPxPF
xPxPF xPF
ODGOVOR:
8
7)3()2()1( PPP
2/8
4/8
6/8
1
F(x)
-1 1 2 3 4
x
9/36
18/36
27/36
36/36
F(x)
f(x
) 1/6
x
x
44
Kontinuirana slučajna promenljiva i njena raspodela verovatnoća
Kontinuiranu (neprekidnu) slučajnu promenljivu srećemo u eksperimentima u kojima
obavljamo određena merenja (dužina, uglova i sl.). Po definiciji, slučajna promenljiva X i
njena raspodela su po prirodi kontinuirani, ukoliko je funkcija raspodele F(x) definisana kao:
x
dvvfxF )()( , (2.1.3-6)
(oznaku v koristimo jer je gornja granica integrala označena sa x), pri čemu je f(x) funkcija
gustine verovatnoća. Kako su verovatnoće definisane aksiomatski kao ograničene vrednosti
između 0 i +1 ( )10 P , funkcija )(xF zadovoljava sledeće granične uslove:
0)(lim
xFx
i 1)(lim
xFx
. (2.1.3-7)
Slika 2.1.3-1: Funkcija raspodele verovatnoća kontinuirane slučajne promenljive
Diferenciranje (2.1.3-5) definiše odnos između f(x) i F(x), kao:
)()( xFxf , (2.1.3-8)
za svako x, za koju je f(x) kontinuirano.
Slika 2.1.3-2: Odnos funkcije raspodele i funkcije gustine verovatnoća kontinuirane
slučajne promenljive
Fundamentalni izraz za računanje verovatnoće pojave slučajne promenljive u određenom
intervalu glasi:
1
F(x)
x
nagib je f(xo) površina je F(xo) f(x)
f(xo)
F(x)
F(xo)
45
b
a
dvvfaFbFbXaP )()()()( (2.1.3-9)
Verovatnoća da će slučajna promenljiva X po vrednosti biti manja od 1
x iznosi:
1
)()()()()(111
x
dvvfxFFxFxXP , (2.1.3-10)
odakle sledi da je 0)( F .
Slika 2.1.3-3: Funkcija gustine verovatnoća
Verovatnoća da će slučajna promenljiva X po vrednosti biti veća od 1
x iznosi:
1
)()(1)()()(111
x
drrfxFxFFXxP . (2.1.3-11)
Shodno (2.1.3-10), 1)( F , (slika 2.1.3-1).
Na osnovu prethodnih razmatranja mogu se formirati dva uslova koja karakterišu funkciju
gustine verovatnoća )(xf :
- 0)( xf , za svako x ; i
-
1)( dxxf , s obzirom da je broj vrednosti x neograničen i da površina ispod
krive gustina mora biti jednaka 1.
Da bi funkcija imala karakter funkcije gustine verovatnoća, prethodna dva kriterijuma
moraju biti ispunjena.
x1 x2
f(x)
x
46
PRIMER 2.1.3-4: Neka je funkcija gustine oblika )1(75.0)( 2xxf definisana u intervalu
11 x , dok je van intervala njena vrednost jednaka nuli. Naći verovatnoće
)2
1
2
1( XP i )2
4
1( XP . Naći 95.0)( xXP .
REŠENJE: Na osnovu (2.1.3-6) sledi da je 0)( xF za 1x .
x
xxdvvxF1
32 25.075.05.0)1(75.0)( za 11 x
Isto tako, 1)( xF za 1x , na osnovu čega i shodno (2.1.3-9) sledi
21
21
2 %75.68)1(75.0)2
1()
2
1()
2
1
2
1( dvvFFXP
1
41
2 %764.31)1(75.0)4
1()2()2
4
1( dvvFFXP
95.025.075.05.0)()( 3 xxxFxXP , na osnovu čega se dobija da je 73.0x .
2.2 Višedimenzionalne raspodele, marginalna i uslovna raspodela i nezavisnost
slučajnih promenljivih
Koncept opisan u (2.1) uključuje samo jednu slučajnu promenljivu. U većini praktičnih
situacija susrećemo se sa modelima kod kojih je broj promenljivih veći od jedne. U slučaju
dve slučajne promenljive X i Y , govorimo o dvodimenzionalnoj funkciji raspodele ),( yxF
. Verovatnoća da će slučajna promenljiva X po vrednosti biti manja od x , a Y manja od
y , iznosi:
),(),( yYxXPyxF . (2.2-1)
Kao i u jednodimenzionalnom slučaju, ako sa ),( yxf označimo dvodimenzionalnu funkciju
gustine verovatnoća i ako pretpostavimo da se radi o kontinuiranoj diferencijabilnoj funkciji,
tada je:
.),(),(),(
),(2
x y
dvduvufyxF sa ,yx
yxFyxf (2.2-2)
Kao u slučaju jednodimenzionalne funkcije, vrednosti verovatnoća se nalaze u intervalu
10 P , jer je:
0),(lim
yxFyx
, 1),(lim
yxFyx
. (2.2-3)
47
Verovatnoća da se vrednosti dve slučajne promenljive X i Y nađu između 1
x i 2
x , i 1
y i
2y , iznosi:
2
1
2
1
),();(2121
y
y
x
x
dvduvufyYyxXxP . (2.2-4)
Geometrijska interpretacija zajedničke dvodimenzionalne raspodele gustine verovatnoća
može se prikazati slično jednodimenzionalnom (Slika 2.2-1). Verovatnoća pojave slučajnih
promenljivih X i Y u intervalu ),(21
xx i ),(21
yy jednaka je zapremini tela koga formiraju
površ ),( yxf , ravan ),( yx i vertikalne ravni 2121
,,, yyyyxxxx .
Kod n-dimenzionalnog slučaja, n slučajnih promenljivih sadržan je u vektoru slučajnih
promenljivih X oblika:
T
nXXXX ,...,,
21 . (2.2-5)
Za dati vektor, n – dimenzionalna funkcija raspodele gustina verovatnoća )(xf glasi:
),...,,()(21 n
xxxfxf , (2.2-6)
a njoj korespodentna funkcija kumulativne raspodele izgleda:
),...,,()(21 n
xxxFxF . (2.2-7)
Slika 2.2-1: Raspodela gustine verovatnoća dvodimenzionalne promenljive
Verovatnoća da n – dimenzionalni vektor slučajne promenljive X bude po vrednosti manji
od x iznosi:
....),...,,(...),...,,(
)()(
1 2
21212211
x x
nn
x
nn
n
dududuuuufxXxXxXP
xXPxF
(2.2-8)
x1 x2
y2
y1
f(x,y)
x
y f(x,y)
48
Iako navedeni izrazi pokazuju izvesno uopštavanje jednodimenzionalnog slučaja,
dvodimenzionalni i n - dimenzionalni slučajevi su značajno različiti i kao takvi generišu
pojavu novih koncepata, među kojima su: marginalna raspodela, uslovna raspodela,
nezavisnost i korelisanost. Svi napred navedeni novi koncepti nemaju nikakve veze sa
jednodimenzionalnim slučajem.
2.2.1 Marginalna raspodela
Marginalna raspodela se definiše iz n – dimenzionalne raspodele (za 2n ), ignorisanjem
raspodele jedne ili više komponenti vektora slučajne promenljive X . Na primer,
dvodimenzionalna zajednička raspodela od X i Y može se redukovati u
jednodimenzionalnu od X , ignorisanjem njenog odnosa sa Y . Tehnički, to se realizuje
birajući u izrazima (2.2-1) i (2.2-2) za Y gornju graničnu vrednost y . Dakle, funkcija
marginalne raspodele od X jednaka je verovatnoći da slučajna promenljiva X ima
vrednosti manje od 1
x , a Y manje od , odnosno:
dvduvufYxXPxFxFx
m),(),(),()( . (2.2.1-1)
Za funkcije marginalne raspodele od X i Y, )(xFm
i )(yFm
, važi:
),(lim)(),,(lim)( yxFyF yxFxFxmym
. (2.2.1-2)
Funkcija gustine verovatnoća ),( yxf se redukuje u marginalan oblik na sledeći način:
dvvufxfm
),()( , (2.2.1-3)
na osnovu koje se dobija funkcija marginalne raspodele od X oblika:
x
mmxXPdxxfxF )()()( . (2.2.1-4)
Odnosno, za dve slučajne promenljive X, Y uslovna funkcija gustine glasi:
)(
),()/(
yf
yxfyxf
m
, (2.2.1-5)
gde je )(yfm
marginalna funkcija gustine slučajne promenljive Y.
49
2.2.2 Nezavisnost slučajnih promenljivih
Neka je ),( yxF funkcija zajedničke kumulativne raspodele dve slučajne promenljive X i
Y i neka su )(xF i )( yF funkcije marginalne kumulativne raspodele od X i Y . Za dve
slučajne promenljive X i Y kaže se da su nezavisne ukoliko važi sledeći odnos:
)()(),(),()(),( yfxfyxf odnosno yFxFyxFmmmm
. (2.2.2-1)
Koncepti nezavisnosti i uslovne raspodele su međusobno direktno vezani. Ukoliko su dve
slučajne promenljive X i Y nezavisne, uslovna raspodela od Y za dato X ista je za bilo
koju vrednost od X i obrnuto, što se simbolično može prikazati kao:
)()()(
)()(
)(
),()|( yfyf
xf
yfxf
xf
yxfxyf
m
m
mm
m
. (2.2.2-2)
Koncepti marginalne, uslovne raspodele i korelacije ilustrovaće se kasnije na primeru
dvodimenzionalne slučajne promenljive.
2.3 Očekivane vrednosti slučajne promenljive, varijansa, momenti i korelacija
Raspodela i funkcije gustina slučajne promenljive X karakterišu parametri na osnovu kojih
se ostvaruje uvid u ponašanje promenljive. U narednom izlaganju definisaće se parametri i
način njihove ocene.
2.3.1 Očekivana vrednost slučajne promenljive
Očekivana vrednost ili očekivanje slučajne promenljive X , u oznaci )(XE ili x
, ukoliko
postoji, definiše se kao prosečna (srednja) vrednost svih mogućih vrednosti slučajne
promenljive i računa se kao:
n
i
iixxPxXE
1
)()( , (2.3.1-1)
gde je )(i
xP verovatnoća njene pojave. Za kontinuiranu slučajnu promenljivu X funkcije
gustine )(xf , očekivana vrednost glasi:
dxxfxXEx
)()( . (2.3.1-2)
Očekivana vrednost ima sledeća svojstva:
50
YEXEYXE
XEXEE
()()(
)())((
,)( ccE , (2.3.1-3)
)()( XcEcXE ,
gde je c konstanta.
Ukoliko su dve slučajne promenljive X i Y nezavisne, tada je
)()()( YEXEYXE , (2.3.1-4)
odnosno:
22 ))(()( XEXE . (2.3.1-5)
PRIMER 2.3.1-1: Ukoliko je X = broj pojave glave pri jednom bacanju novčića, tada su moguće vrednosti od X, X=0 i X=1, sa verovatnoćama P(X=0) = 1/2 i P(X=1)=1/2. Na
osnovu (2.3.1-1) 2
1
2
11
2
10 , dok je varijansa shodno (2.3.2-2) jednaka
4
1
2
1)
2
11(
2
1)
2
10( 222 .
2.3.2 Varijansa slučajne promenljive
Neka je )(Xg definisana kao:
22 )())(()(
xXXEXXg . (2.3.2-1)
Očekivana vrednost funkcije )(Xg , tj. očekivana vrednost kvadrata odstupanja vrednosti
slučajne promenljive od njenog matematičkog očekivanja, naziva se varijansom slučajne
promenljive X i definiše se kao:
j
xxxfxXEXEXgEX )()())(())(()var( 222
, odnosno
dxxfxXEXEXgEXxx
)()())(())(()var( 222 , (2.3.2-2)
gde je )(xf funkcija gustine slučajne promenljive X . Pozitivni kvadratni koren varijanse
naziva se standardno odstupanje i označava se kao x
, dok se pozitivni i negativni koren
varijanse u teoriji izravnanja naziva srednjom kvadratnom greškom (Koch,1988). Varijansa
i standardno odstupanje predstavljaju mere disperzije (rasturanja) slučajne promenljive oko
srednje vrednosti.
51
Uvažavajući pravila vezana za očekivanu vrednost, drugi oblik izraza za varijansu glasi:
2222
22
22222
))(()()(
)()(2)(
2)())((
XEXEXE
EXEXE
XXEXEXEXE
x
xx
xxxx
. (2.3.2-3)
2.3.3 Kovarijansa i korelacija
Slično varijansi jedne slučajne promenljive, za dve slučajne promenljive definiše se
kovarijansa. Dve slučajne promenljive X i Y koje imaju zajedničku funkciju gustine
),( yxf , definišu funkciju oblika:
))(())(()((),(yx
YXYEYXEXYXh . (2.3.3-1)
Kovarijansa između X i Y definiše se kao očekivana vrednost funkcije ),( YXh , ili
))((),(),cov(yxxy
YXEYXhEYX , (2.3.3-2)
odnosno, u slučaju kontinuirane slučajne promenljive:
dydxyxfyxyxxy
),())(( . (2.3.3-3)
U matričnom obliku, izraz (2.3.3-3) se može predstaviti i kao:
2
,
,
2
,
yyx
yxx
yxK . (2.3.3-4)
Kao što varijansa slučajne promenljive izražava varijacije njene raspodele (stepen rasturanja
slučajne promenljive), kovarijansa opisuje međusoban odnos dve slučajne promenljive.
Kovarijansa nije pogodna kao mera odnosa dve promenljive yx, , jer njena vrednost zavisi
od jedinica mere promenljivih (Perović,1988). Da bi se taj nedostatak otklonio, njihov
međusobni odnos ili korelisanost izražava se koeficijentom korelacije, u oznaci , i računa
se pomoću izraza oblika:
yxyx
xy
xy
YEYXEXE
))(())((, (2.3.3-5)
gde su x
i y
standardna odstupanja od X i Y , respektivno. Koeficijenti korelacije ij
mogu se urediti tako da formiraju korelacionu matricu )(ij
R oblika:
52
1...
............
...1
...1
21
221
112
nn
n
n
R . (2.3.3-6)
Može se napisati sledeća jednakost:
FKFRx , gde je )/1,...,/1(
1 ndiagF . (2.3.3-7)
Korelisanost dve slučajne promenljive opisuje njihovu međusobnu linearnu zavisnost i ne
treba je mešati sa stohastičkom zavisnošću ili nezavisnošću koja se definiše saglasno
konceptu uslovnih raspodela. Korelisanost i stohastička zavisnost nisu isto, iako se često u
praksi izjednačavaju. Tačno je da je kovarijansa xy
uvek jednaka nuli kada su slučajne
promenljive X i Y međusobno nezavisne. Međutim, generalno, obrnut slučaj ne važi, tj.
nulta kovarijansa ne izaziva neophodno stohastičku nezavisnost. Kod višedimenzionalne
normalne raspodele, nulta kovarijansa dovoljan je uslov stohastičke nezavisnosti.
Pouzdanost određivanja koeficijenta korelacije je značajna ukoliko je broj merenja dovoljno
respektivan. Tako, Perović (1988) predlaže da broj merenja mora biti veći od 50. Koeficijent
korelacije može imati vrednosti u intervalu 11 xy
, pri čemu apsolutna vrednost
koeficijenta bliža 1 pokazuje veći zavisnost između promenljivih dok vrednost koeficijenta
jednaka 0 pokazuje da su slučajne promenljive nekorelisane.
2.3.4 Momenti
Koncepti srednja vrednost, varijansa i kovarijansa su specijalni slučajevi opštijeg koncepta
poznatog pod imenom statistički momenti. Očekivana vrednost opšte funkcije kcXXg )()( gde je c konstanta koja može, a ne mora biti jednaka nuli, naziva se
statističkim momentom k -tog reda slučajne promenljive X (ili, skraćeno k -ti momenat od
X ) oko vrednosti c , odnosno:
))(( k
kcXEm . (2.3.4-1)
Koristeći izraze vezane za očekivanu vrednost (2.3.1-1) i (2.3.1-2), za 0c , sledi:
n
i
i
k
i
k
kxPxXEm
1
)()( , (2.3.4-2)
za diskretnu slučajnu promenljivu, i
dxxfxXEm kk
k)()( , (2.3.4-3)
53
za kontinuiranu slučajnu promenljivu.
Klasa momenata definisana sa (2.3.4-1) uključuje tzv. centralne momente koji su u praksi
od posebne važnosti. U ovoj grupi momenata za nas su od posebnog značaja momenti kod
kojih konstanta c ima vrednost:
)(XEcx , (2.3.4-4)
tako da centralni momenti predstavljaju očekivanja u odnosu na srednju vrednost, ili:
k
kXEXEm )( . (2.3.4-5)
Ukoliko obratimo pažnju na definiciju varijanse može se videti da ona predstavlja specijalan
slučaj jednačine (2.3.4-5), pri čemu je 2k . Dakle, varijansa 2
x slučajne promenljive X
predstavlja centralni momenat drugog reda, odnosno 2
2 mx .
Različiti momenti slučajne promenljive X definišu osobine njene funkcije gustina. Ukoliko
je funkcija gustina simetrična u odnosu na prvi momenat x
XEm )(1
, svi neparni
centralni momenti su jednaki nuli, odnosno 0k
m , za neparno k . Nasuprot tome, ukoliko
su neparni centralni momenti različiti od nule, njihove vrednosti ukazuju na stepen
asimetričnosti ili spljoštenosti fukcije gustina.
Za slučaj dvodimenzionalnog vektora slučajnih promenljivih, tri su centralna momenta
drugog reda od posebne važnosti. Ako sa 10
m i 01
m označimo prve momente promenljivih
X i Y respektivno, tada pomenuti centralni momenti izgledaju:
222
1020))(()(
xxXEmXEm varijansa od X
222
0102))(()(
yyYEmYEm varijansa od Y (2.3.4-6)
xyyx
YXEmYmXEm )))((())((011011
kovarijansa od X i Y .
U opštem slučaju, za n - dimenzionalni vektor slučajnih promenljivih X , centralni momenti
drugog reda slede iz međusobnog odnosa elemenata vektora u svim kombinacijama. Tako
definisani momenti se mogu urediti u okviru matrice koju nazivamo matricom centralnih
momenata drugog reda, varijans-kovarijacionom matricom ili najjednostavnije
kovarijacionom matricom. Simbolično, takva jedna matrica je kvadratnog oblika i ima
sledeće forme:
2
2
2
...
............
...
...
...
............
...
...
21
2212
1211
21
22212
12111
nnn
n
n
nnnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxx
mmm
mmm
mmm
KM , (2.3.4-7)
jer je
54
.))(()(((
))(())((
ij
ji
xxiijj
jjiixx
mXEXXEXE
XEXXEXEm
(2.3.4-8)
Matrica xx
K je kvadratna, simetrična matrica i odnosi se na n -dimenzionalni vektor
slučajnih promenljivih X . Za dva ( n , m )-dimanzionalna vektora slučajnih promenljivih X
i Y respektivno, može se formirati pravougaona matrica kovarijansi xyK dimenzija nxm
(bez varijansi).
Momenti trećeg i četvrtog reda koriste se za određivanje asimetrije i spljoštenosti krivih
raspodela frekvencija i verovatnoća. Asimetrija krivih raspodela definiše se odnosom
momenata:
22
3
3
mm
m ili
3
3
3
m, (2.3.4-9)
koji je poznat kao koeficijenat asimetrije. U primenama, kao merilo asimetrije, koristi se i
odnos:
3
2
2
3
1
m
m , (2.3.4-10)
koji se naziva prvi Pearson-ov koeficijent.
Ako je 03 asimetrija ne postoji i kriva raspodele je simetrična. Za 0
3 asimetrija je
desna ili pozitivna, u suprotnom, za 03 , asimetrija je leva ili negativna. Na osnovu
eksperimentalnih iskustava se može reći da asimetričnost krivih raspodela ukazuje na
prisustvo sistematskih uticaja.
Krive empirijskih raspodela i kada su potpuno simetrične mogu se razlikovati od normalne
krive raspodele po tome, što mogu biti više ili manje spljoštene. Kao merilo spljoštenosti
krivih raspodela služi odnos momenata:
2
2
4
4
m
m ili
4
4
4
m, (2.3.4-11)
koji je poznat pod nazivom koeficijent spljoštenosti krivih raspodela ili drugi Pearson-ov
koeficijent.
Za krivu normalne raspodele 34 , dok je za spljoštenu krivu raspodele 3
4 , a za
izduženu 34 . Razlika između koeficijenta spljoštenosti neke krive raspodele i
koeficijenta spoljoštenosti krivih normalne raspodele:
55
34
4
4
m , (2.3.4-12)
predstavlja koeficijent ekscesa krive raspodele. Kod normalne raspodele, eksces je jednak
nuli. Izdužena kriva ekscesa ukazuje na prisustvo većeg broja malih vrednosti slučajne
veličine na račun srednjih i većih vrednosti, dok spljoštena kriva ukazuje na prisustvo većeg
broja srednjih na račun malih vrednosti.
2.3.5 Matrica težina
Neka je n
XXx ,...,1
, 1n vektor slučajne promenljive, a x
K njegova kovarijaciona
matrica. Tada:
1
xKcP , ( )constc , (2.3.5-1)
nazivamo matricom težina, a njene dijagonalne elemente ii
p od )(ij
pP težinama slučajne
promenljive Xi. Ukoliko je ),...,( 22
1 nxdiagK , težine
iip od Xi slede iz:
2
i
ii
cp
. (2.3.5-2)
2.4 Raspodela verovatnoća
Funkcije raspodele frekvencija i verovatnoća slučajnih veličina koje se dobijaju opažanjima
obično su manje ili više nepravilnog oblika što zadaje izvesne poteškoće pri njihovoj analizi.
Problem se uprošćava tako što se empirijske raspodele obično zamenjuju teorijskim, koji ih
najbolje aproksimiraju i zovemo ih modelima raspodela. U primenama postoji više teorijskih
raspodela. Kao i kod slučajnih promenljivih koje mogu biti diskretne (prekidne) i
kontinuirane (neprekidne), tako se i raspodele dele na diskretne i kontinuirane. Od
diskretnih, najčešće se sreću binomna ili Bernulijeva raspodela, Poasonova raspodela i
hipergeometrijska raspodela, a od kontinuiranih normalna, studentova, Pirsonova i Fišerova.
2.4.1 Rapodele diskretnih slučajnih promenljivih – Binomna, Poasonova i
hipergeometrijska raspodela
2.4.1.1 Binomna raspodela
Binomnu raspodelu susrećemo, najčešće u teoriji igara. Osnovni problem glasi – koliko puta
će se neki događaj dogoditi u n nezavisnih pokušaja, a da pri svakom pokušaju verovatnoća
pojave događaja A bude ista, P(A) = p. Funkcija gustine verovatnoća binomne ili Bernulijeve
(Jacob Bernoulli, 1654-1705) raspodele glasi:
56
xnx qpx
nxf
)( , (2.4.1.1-1)
gde je n broj nezavisnih pokušaja, a X = x označava da se događaj A dogodio x puta, a q
= 1 - p. Srednja vrednost binomne raspodele definiše se kao:
pn , (2.4.1.1-2)
dok je varijansa jednaka:
qpn 2 . (2.4.1.1-3)
Ukoliko je p = q =1/2, tada je srednja vrednost jednaka n/2, varijansa n/4, a funkcija gustine
glasi:
n
x
nxf
2
1)( . (2.4.1.1-4)
Dakle, Bernulijeva raspodela zavisi od dva parametra n i p.
PRIMER 2.4.1.1-1: Sračunati verovatnoću dobijanja najmanje dva puta broj šest pri četiri bacanja kocke.
REŠENJE: .4,6
5,6
1)()( nqšestbrojPAPp Najmanje dva puta dobiti šest
znači da je pozitivan događaj kada se šestica dogodi 2, 3 ili sva četiri puta. Tada je
%2.131296
171
6
1
4
4
6
5
6
1
3
4
6
5
6
1
2
4)4()3()2(
2322
fffP
Napomena: Funkcija );_;;_( cumulativesbabilityprotrialssnumberBINOMDIST u
okviru aplikacije Microsoft Excel pruža mogućnost rešavanja ovog problema. Parametri funkcije su:
- number_s je broj pozitivnih (uspešnih) ishoda;
- trails je broj nezavisnih pokušaja;
- probability_s predstavlja verovatnoću pojavljivanja željenog ishoda;
- cumulative uzima vrednosti TRUE ili FALSE i predstavlja logičku vrednost kojom se definiše oblik funkcije; ukoliko se uzme vrednost TRUE, funkcija vraća kumulativnu funkciju raspodele koja predstavlja verovatnoću da će se dogoditi najviše number_s uspešnih ishoda; ukoliko se uzme vrednost FALSE funkcija vraća funkciju gustine verovatnoća diskretne slučajne promenljive koja predstavlja verovatnoću da se dogodilo tačno number_s uspešnih ishoda.
57
Problem je moguće rešiti na sledeći način:
%2.13100);6
1;4;1();6
1;4;4( TRUEBINOMDISTTRUEBINOMDISTP , ili
%.2.13100)];6
1;4;4(
);6
1;4;3();6
1;4;2([
FALSEBINOMDIST
FALSEBINOMDISTFALSEBINOMDISTP
2.4.1.2 Poasonova raspodela
Poasonova raspodela je posledica graničnog slučaja binomne raspodele, odnosno pri 0p
i n , tada np teži konstantnoj vrednosti. Funkcija gustine verovatnoća glasi:
e
xxf
x
!)( , (x = 0,1,...). (2.4.1.2-1)
Kod Poasonove raspodele srednja vrednost i varijansa su jednaki:
2 . (2.4.1.2-2)
Poasonova raspodela se koristi za aproksimaciju binomne s parametrima n i p kada je n
veliko, a p malo (na primer, 100n i 05.0p ). Za parametar Poasonove raspodele
uzimamo np .
PRIMER 2.4.1.2-1: Ukoliko je verovatnoća pojave defektnog proizvoda p=0.01, sračunati verovatnoću da u 100 proizvoda broj defektnih bude veći od 2.
REŠENJE: Komplementarni događaj glasi AC : ne veći broj od dva proizvoda je defektno.
Koristeći Binomnu raspodelu sa 1 np , verovatnoća iznosi
%06.9299.001.02
10099.001.0
1
10099.0
0
100)( 98299100
CAP
Kako je p veoma malo, može se primeniti Poasonova raspodela sa 101.0100 np ,
tada je shodno (2.4.1.2-1),
%97.91)!2
1
!1
1
!0
1()2()1()0()(
210
1 efffAP C, odnosno %03.8)( AP , dok je
prema binomnoj raspodeli %94.7)( AP .
Napomena: Funkcija );;( cumulativemeanxPOISSON u okviru aplikacije Microsoft Excel
pruža mogućnost rešavanja ovog problema. Parametri funkcije predstavljaju:
- x broj događaja za koji želimo da izračunamo verovatnoću (mora biti ≥0);
58
- mean očekivani broj događaja ( np );
- cumulative uzima vrednosti TRUE ili FALSE i predstavlja logičku vrednost kojom se određuje oblik funkcije raspodele verovatnoća; ukoliko se uzme TRUE vrednost, funkcija vraća kumulativnu Poasonovu verovatnoću da će broj slučajnih događaja (u ovom slučaju pojava defektnog proizvoda) biti između 0 i x, uključujući i x; ukoliko se uzme FALSE vrednost, funkcija vraća funkciju Poasonove gustine verovatnoća da će broj slučajnih događaja biti tačno x.
Problem je moguće rešiti na sledeći način:
%.03.8);1;2(1)( TRUEPOISSONAP
2.4.1.3 Hipergeometrijska raspodela
Hipergeometrijska raspodela se primenjuje kada se izvučen element (kuglica i sl.) više ne
vraća u početni skup, tako da je narušena nezavisnost pojave, što nije bio slučaj sa prethodna
dva slučaja (realizovani događaji su vraćani nazad). Kod hipergeometrijske raspodele,
funkcija gustine verovatnoća ili verovatnoća pojave nekog događaja x puta u n pokušaja
glasi:
n
N
xn
MN
x
M
xf )( , (x = 0,1, ..., n), (2.4.1.3-1)
gde je N ukupan broj elemenata, M broj željenih događaja, x broj dešavanja željenog
događaja u n pokušaja (početna verovatnoća pojave željenog događaja je p = M/N, a
nenegativnog q = 1 - p = 1 - M/N).
Srednja vrednost glasi:
N
Mn , (2.4.1.3-2)
a varijansa:
)1(
))((2
2
NN
nNMNnM. (2.4.1.3-3)
PRIMER 2.4.1.3-1: Iz uzorka od 10 elemenata koji sadrži tri nekorektna elementa, treba izvući dva. Definisati funkciju verovatnoće slučajne promenljive X = broj željenih
elemenata.
59
REŠENJE: N =10, M = 3, N – M = 7 i n = 2. a) Eksperiment sa ponavljanjem (vraćanjem) – binomna raspodela
).,,1,0(,1)( nxN
M
N
M
x
nxf
xnx
09.0)2(,42.0)1(,49.0)0(,10
7
10
32)(
2
fffx
xf
xx
b) Eksperiment bez ponavljanja (vraćanja) – hipergeometrijska raspodela
Saglasno (2.4.1.3-1)
07.045
3)2(,47.0
45
21)1()0(,
2
10
2
73)(
fff
xxxf
.
Napomena: Funkcija
)_;_;_;_( populationnumberspopulationsamplenumberssampleTHYPGEOMDIS
u okviru aplikacije Microsoft Excel pruža mogućnost rešavanja ovog problema, u slučaju bez ponavljanja. Parametri funkcije predstavljaju:
- sample_s je broj pozitivnih izvučenih ishoda (x);
- number_sample je broj izvlačenja (n);
- population_s je broj svih elemenata koji su predmet intersovanja u skupu (M);
- number_population je ukupan broj elemenata skupa (N).
Problem je moguće rešiti na sledeći način:
,47.0)10;3;2;1()1(,47.0)10;3;2;0()0( THYPGEOMDISf THYPGEOMDISf
.07.0)10;3;2;2()2( THYPGEOMDISf
2.4.2 Raspodele kontinuirane slučajne promenljive - normalna, studentova,
Pirsonova i Fišerova raspodela
2.4.2.1 Normalna raspodela
Od svih raspodela, jednodimenzionalna normalna raspodela se najčešće koristi u statističkoj
teoriji i primeni. Normalna raspodela, često se naziva Gausovom raspodelom, po imenu
Karla Fridriha Gausa3 koji ju je prvi primenjivao prilikom obrade vlastitih merenja. Važnost
3 Carl Friedrich Gauss (30. april 1777 – 23. februar 1855) je nemački matematičar i naučnik koji je svojom
genijalnošću zadužio svet u mnogim oblastima, uključujući – teoriju brojeva, analizu, diferencijalnu geometriju,
60
normalne raspodele u prirodnim i društvenim naukama sledi iz centralne granične teoreme
koja tvrdi da će zbir
n
i ix
1od n nezavisnih promenljivih
nxxx ,...,,
21 biti asimptotski
normalno raspoređen kada n . Od izuzetnog je značaja u statistici, jer se veliki broj
statističkih testova zasniva na pretpostavkama o normalnosti raspodela verovatnoća pojave
rezultata merenja. U teoriji verovatnoće, normalna raspodela se javlja kao granična
raspodela više familija raspodela kontinuiranih i diskretnih slučajnih promenljivih.
Slika 2.5.2.1-1 : Carl Friedrich
Gauss (1777 - 1855)
Za slučajnu promenljivu X kaže se da pripada normalnoj raspodeli sa parametrima X i 2
X
, u oznaci X N(X, 2
X ), ukoliko njena funkcija gustine f(x) glasi:
xzaexf X
Xx
X
2
2
2
)(
2
1)( . (2.4.2.1-1)
geodeziju, magnetizam, astronomiju i optiku. Često ga nazivaju princom matematike i najvećim matematičarem.
Rođen je u Brunswicku, u današnjoj Donjoj Saksoniji – nemačkoj pokrajini kao sin jedinac nižebrazovanih
roditelja koji su pripadali nižem staležu ljudi toga doba. Prema legendi, njegov dar postao je očigledan već u
trećoj godini života kada je već počeo ispravljati finansijske proračune svoga oca. Zabeležena je još jedna
anegdota iz doba osnovne škole. Na pitanje svim đacima Gausovog učitelja ko će najbrže sabrati brojeve od 1
do 100, Gaus je dao odgovor samo za par sekundi. Do rešenja Gaus je došao sabiranjem dijametralno suprotnih
cifara (1+100=101, 2+99=101, ...) pa je odmah zaključio da je zbir jednak 50 x 101 =5050. Zbog svoje
genijalnosti dobija stipendiju i odlazi na školovanje na Technische Universitat Braunschweig od 1792. do 1795.,
a nakon toga od 1795. do 1798. provodi na Univerzitet u Göttinenu. Još u vreme dok je studirao za njega se
vezuju mnoga otkrića u oblasti matematike. U svojoj disertaciji 1799. godine daje dokaz fundamentalne teoreme
algebre. 1807. postaje profesor astronomije i direktor astronomske opservatorije u Göttinenu, gde je ostao do
kraja svog života. 1810. godine povezuje mrežu Hanovera sa Danskim koordinatnim sistemom, uvodeći u svoja
merenja po prvi put heliotrope koristeći Sunce kao izvor svetlosti, sistem ogledala i mali teleskop za opažanje.
Umire u Göttinenu (Hanover) 1855. godine. Nakon smrti, Gausov bliski prijatelj Rudolf Wagner je sačuvao
Gausov mozak. Težina mozga je iznosila 1492 grama, a površina celebralnog dela je iznosila 219588 cm2.
61
Slika 2.4.2.1-1 Funkcije gustine verovatnoća različitih normalnih raspodela
(CBACBA
>> i )
Osnovne osobine funkcije gustine verovatnoća normalne raspodele bile bi sledeće:
- Funkcija gustine je simetrična u odnosu na srednju vrednost;
- Srednja vrednost je ujedno moda i medijana;
- Prevojne tačke funkcije su udaljene za vrednost od srednje vrednosti;
- Funkcija gustine asimptotski se približava nuli kada x ;
- Verovatnoća da promenljiva X bude u intervalu između vrednosti 1
x i 2
x
definisana je funkcijom gustine verovatnoća, osom x i granicama intervala 1
xx
i 2
xx . Verovatnoće za neke tipične vrednosti intervala iznose:
9973.033
9545.022
6827.0
xxx
xxx
xxx
xP
xP
xP
- Apcise korespodentne intervalima verovatnoća 0.90, 0.95 i 0.99 iznose:
99.0576.2576.2
95.0960.1960.1
90.0645.1645.1
xxx
xxx
xxx
xP
xP
xP
- Verovatnoća da slučajna promenljiva ima vrednost manju od iznosi 0.5.
Funkcija f(x) predstavlja verovatnoću pojave greške u intervalu (x, x + dx), gde je dx
beskonačno mala vrednost. Verovatnoća pojave greške ekvivalentna je površini oivičenoj
krivom sa gornje strane, apcisom sa donje i vrednostima ordinata x = x i x = x + dx (slika
2.4.2.1-2, šrafirana površ). Ukupna površina ispod krive normalne raspodele reprezentuje
ukupnu verovatnoću koja iznosi 1. Za X = 0:
A
B
C
x
f(x)
62
(2.4.2.1-2)
Slika 2.4.2.1-2: Kriva normalne raspodele
Ako f(x) izjednačimo sa y i diferenciramo po x, dobija se sledeća jednakost:
2
2
2
2
2
1X
x
X
ex
dx
dy, (2.4.2.1-3)
gde je:
.2
yx
dx
dy
X
(2.4.2.1-4)
Drugi izvod od (2.4.2.1-2) po x glasi:
222
2
XX
y
dx
dyx
dx
yd
. (2.4.2.1-5)
Zamenom (2.4.2.1-4) u (2.4.2.1-5) dobija se jednakost:
,24
2
2
2
xx
yy
x
dx
yd
(2.4.2.1-6)
koja se može pojednostaviti tako da glasi:
(2.4.2.1-7)
.2
1)(
2
2
2 X
x
X
exf
.12
2
22
2
XX
xy
dx
yd
f(x)
μ x x+dx x
63
Slika 2.4.2.1-3: Kriva normalne raspodele grešaka
Prvi izvod funkcije (2.4.2.1-2) definiše ekstremne vrednosti funkcije. U izrazu (2.4.2.1-4)
0/ dxdy , za 0x ili 0y , što znači da je kriva simetrična u odnosu na y osu i
asimptotski se približava x osi kada y 0.
Drugi izvod funkcije ukazuje na promenu nagiba funkcije, odnosno određuje prevojne tačke
koje se definišu izjednačavanjem drugog izvoda funkcije sa nulom. Tako, ako izraz (2.4.2.1-
7) izjednačimo sa nulom, dobijaju se prevojne tačke u x .
Na osnovu izraza (2.5.2.1-2), za 0x , 10 e dobija se izraz oblika:
2
1
X
y , (2.4.2.1-8)
koji definiše centralnu ordinatu krive, inverzno proporcionalne od . Na osnovu izraza
(2.4.2.1-8) može se zaključiti da merenja sa malim imaju veće centralne ordinate, tj. pojava
grešaka manjih po intenzitetu je veća, a samim time su i merenja preciznija. Dakle, shodno
(2.4.2.1-8), preciznost merenja je u direktnoj vezi sa veličinom parametra i otuda se on i
koristi kao mera preciznosti skupa merenja.
Ukoliko je X slučajna promenljiva normalne raspodele sa srednjom vrednošću x
i
varijansom 2
x , može se definisati ekvivalentna promenljiva normalne raspodele z koju
nazivamo standardizovanom slučajnom promenljivom:
/)(xz , (2.4.2.1-9)
za koju je z
= 0 i 2
z =1. Zamenom z u (2.4.2.1-1), dobija se funkcija gustine verovatnoća
standardizovane slučajne promenljive f(z) oblika:
2
2
2
1)(
z
ezf
. (2.4.2.1-10)
f(x)
x
f(x)
64
Slika 2.4.2.1-4: Funkcija kumulativne raspodele
Funkcija raspodele F(z) naziva se funkcijom raspodele standardizovane slučajne
promenljive i definisana je izrazom:
dzezFFt z
z
2
2
2
1)( . (2.4.2.1-11)
PRIMER 2.4.2.1-1: Merenjem dužine pet puta dobijeni su sledeći rezultati: 36.7, 37.0, 36.9, 36.8 i 37.2. Odrediti Gausovu krivu normalne raspodele i ordinate ove krive za vrednosti dobijene merenjem.
REŠENjE:
a) računanje srednje vrednosti i standardnog odstupanja: 19.0
92.36
x
x
Zamenom u 2.4.2.1-1, dobija se 2)92.36(85.131.2)( xexf , odnosno, tražene ordinate
Gausove krive iznose:
71.0
72.1
09.2
92.1
07.1
5
4
3
2
1
y
y
y
y
y
Napomena: Funkcija );_;;( cumulativedevdardstanmeanxNORMDIST u okviru
aplikacije Microsoft Excel pruža mogućnost rešavanja ovog problema. Parametri funkcije predstavljaju:
- x je vrednost za koju je potrebno odrediti normalnu raspodelu;
- mean je srednja vrednost raspodele ( ));( merenja svihAVERAGEx
- standard_dev predstavlja standardno odstupanje raspodele
1 F(z)
z
0.5
1 2 3 -3 -2 -1
65
( ));( merenja svihSTDEVx
- cumulative uzima vrednosti TRUE i FALSE i predstavlja logičku vrednost kojom se određuje oblik funkcije; ukoliko se uzme TRUE vrednost, NORMDIST funkcija prikazuje vrednosti kumulativne funkcije raspodele (F(x)); ukoliko se uzme FALSE vrednost, funkcija prikazuje vrednosti funkcije gustine verovatnoća (f(x)).
Problem je moguće rešiti na sledeći način:
,07.1);19.0;92.36;7.36(1
FALSENORMDISTy…,
.72.0);19.0;92.36;2.37(5
FALSENORMDISTy
Za bilo koji skup merenja koja pripadaju normalnoj raspodeli, verovatnoća pojave slučajne
promenljive može se sračunati integracijom funkcije raspodela gustina. Verovatnoća da
slučajna promenljiva z bude manja od neke zadate vrednosti t jednaka je:
)()( tFtzPz
. (2.4.2.1-12)
Slika 2.4.2.1-5: Jednostrani interval
Površina ispod krive gustina za vrednosti z između a i b iznosi:
)()()( aFbFbzaPzz
, (2.4.2.1-13)
a shodno (2.4.2.1-9):
aF
bFbzaP )( ,
gde je
xFdzeF
z z
z
2
2
2
1 poznata kao Laplace-ova funkcija.
66
Slika 2.4.2.1-6: Obostarni interval
Ukoliko su granice integracije istog intenziteta i suprotnog znaka (-a = b = t ), tada je:
)()()()( zDtFtFtzPzz
. (2.4.2.1-14)
S obzirom na simetričnost normalne raspodele, sledi:
)()( tzPtzP , za t > 0, (2.4.2.1-15)
pa kako je ukupna verovatnoća jednaka 1, važi sledeći odnos:
)()(1 tFtFzz . (2.4.2.1-16)
PRIMER 2.4.2.1-2: Naći verovatnoću da će standardizovana slučajna promenljiva biti u
intervalu od do 1.68.
REŠENjE: Ova vrednost se može odrediti na osnovu tabele Vrednosti funkcije raspodele
F(z) standardizovane slučajne promenljive ili na osnovu izraza (2.4.2.1-11).
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0.9 0.81594 0.81859 0.82121 0.82381 0.82639 0.82894 0.83147 0.83398 0.83646
1.0 0.84134 0.84375 0.84614 0.84849 0.85083 0.85314 0.85543 0.85769 0.85993
1.1 0.86433 0.86650 0.86864 0.87076 0.87286 0.87493 0.87698 0.87900 0.88100
1.2 0.88493 0.88686 0.88877 0.89065 0.89251 0.89435 0.89617 0.89796 0.89973
1.3 0.90320 0.90490 0.90658 0.90824 0.90988 0.91149 0.91309 0.91466 0.91621
1.4 0.91924 0.92073 0.92220 0.92364 0.92507 0.92647 0.92785 0.92922 0.93056
1.5 0.93319 0.93448 0.93574 0.93699 0.93822 0.93943 0.94062 0.94179 0.94295
1.6 0.94520 0.94630 0.94738 0.94845 0.94950 0.95053 0.95154 0.95254 0.95352
1.7 0.95543 0.95637 0.95728 0.95818 0.95907 0.95994 0.96080 0.96164 0.96246
Napomena 1: Ovo je deo tablice, cela tablica nalazi se u Prilozima (Tabela 1b).
67
U prvoj (t) koloni se registruje vrednost 1.6, a u prvom redu 8. U preseku uočenog reda i kolone očita se vrednost 0.95352 na osnovu koje se računa verovatnoće pojave
standardizovane slučajne promenljive normalne raspodele u intervalu od do 1.68 i koja
iznosi 0.95352 100 = 95.352%. Verovatnoća da je t veće od 1.68 iznosi 1 -95.352% = 4.648% (slika 2.4.2.1-4).
Napomena 2: Funkcija )(zNORMSDIST u okviru aplikacije Microsoft Excel pruža
mogućnost rešavanja ovog problema. Parametar funkcije z predstavlja vrednost za koju treba odrediti raspodelu, odnosno verovatnoću. Ova funkcija se primenjuje za potrebe određivanja standardizovane normalne kumulativne funkciju raspodele.
Problem je moguće rešiti na sledeći način:
.953521.0)68.1()( NORMSDISTzF
Kako je funkcija gustine verovatnoća standardizovane slučajne promenljive simetrična u odnosu na srednju vrednost, a kumulativna funkcija raspodele predstavlja površinu ispod funkcije gustine verovatnoća za neko dato z (Slika 2.1.3-2), što ujedno predstavlja i verovatnoću da ta slučajna promenljiva uzme vrednost manju ili jednaku z, vrednost verovatnoće da slučajna promenljiva uzme vrednost veću od z=1.68 bi se primenom ove funkcije odredila na sledeći način:
.046479.0)68.1()( NORMSDISTzF
Zamena (2.4.2.1-16) u (2.4.2.1-14) daje:
1)(2)( tFtzPz
. (2.4.2.1-17)
Slika 2.4.2.1-7: Granice simetričnog intervala
Prethodni izraz predstavlja verovatnoću da standardizovana slučajna promenljiva uzme
vrednost koja je manja od –t i veća od t.
-z +z
+ t - t
f(z)
68
Vrednost funkcije kumulativne raspodele se može sračunati sa tačnošću od 1x10-5 na osnovu
polinoma oblika (Abramovitz and Stogen, 1972 u Koch,1988):
0,
)2(
)(1)(
2
1
3
3
2
212
2
zзаkakaka
etFz
z (2.4.2.1-18)
gde su: )1(
1
zpk
,
p=0.33267,
a1= 0.4361836,
a2= - 0.1201676,
a3= 0.9372980.
PRIMER 2.4.2.1-3 (Koch,1988): Pomoću izraza (2.4.2.1-18) sračunati verovatnoću da slučajna promenljiva bude u intervalu z , (t = 1).
REŠENjE:
))1,0;1(1()1,0;1(
2
1)(
1
1
2
2
1
2
FFdzezPz
,
odnosno, 683.0)( zP , ili 68.3%.
Osim računski, do podataka integracije može se doći i tabelarno, rešavanjem izraza (2.4.2.1-
9) po nekoj od metoda numeričke integracije uz uslove z = 0 i z2 = 1 (Dodatak A- tabela
1b). U levoj koloni pomenute tabele, shodno slici 2.4.2.1-4, t je izraženo u jedinicama .
Zaglavlje tabele (1. red, sa vrednostima od 0 do 9) reprezentuje drugo decimalno mesto od
t. Tabela prikazuje površine ispod krive gustine verovatnoća normalne raspodele
standardizovane slučajne promenljive u granicama od do t.
Verovatnoća pojave standardne greške
Problem određivanja verovatnoće pojave standardne greške podrazumeva računanje
površine koju ograničavaju funkcija gustine verovatnoća slučajne promenljive normalne
raspodele, apscisa x i prave - i + .
Na osnovu napred izvedenih izraza, može se odrediti verovatnoća pojave slučajne
promenljive, koja je korespodentna površini ispod krive normalne raspodele oivičene
različitim granicama ( n). Kod standardizovane slučajne promenljive, kod koje je 2=1,
sledi da je t = -1 ( = -1) i t = +1 ( = 1), pa u Dodatku A – Tabela 1b, za t = -1 očitamo
vrednost 0.15866, a za t = +1 vrednost 0.84134. Shodno (2.4.2.1-13) površina intervala
između - i + iznosi:
68268.015866.084134.0)1()1()( zz
FFzP .
69
Na osnovu prethodne jednakosti može se zaključiti da se od ukupnog broja merenja 68.3%
nalazi u intervalu od - do +. Odnosno, u skupu merenja koja se pokoravaju zakonu
normalne raspodele, verovatnoća pojave greške u intervalu bilo kog pojedinačnog
rezultata merenja iznosi 68.3%.
Slika 2.4.2.1-8: Intervali raspodele verovatnoća slučajne promenljive
Greška sa verovatnoćom pojave od 50% (50% verovatna greška)
Verovatna greška definisana je intervalom koji je korespodentan verovatnoći od ½ ili 50% i
predstavlja . Verovatnoća pojave greške u navedenom intervalu jednaka je verovatnoći
pojave greške izvan njega. Vrednost verovatne greške se dobija množenjem standardnog
odstupanja sa odgovarajućom t vrednošću kvantila. Vrednost kvantila predstavlja polovinu
širine intervala oko srednje vrednosti slučajne promenljive normalne raspodele na njenom
grafiku funkcije f(x). Kako je verovatnoća 50% verovatne greške ½, vrednost leve strane
izraza (2.4.2.1-16) iznosi 0.50, a t vrednost se određuje shodno (2.4.2.1-17) na sledeći način:
)(75.0
)(25.1
1)(25.0)(
tF
tF
tFtzP
z
z
z
. (2.4.2.1-19)
Slika 2.4.2.1-9: Intervali raspodele verovatnoća slučajne promenljive sa prikazom
intervala 50% verovatne greške
U Tabeli 1b (Dodatak A) verovatnoća 0.75 se nalazi između t vrednosti 0.67 i 0.68 (
7517.0)68.0(;7486.0)67.0( FF ) tako da se konačna t vrednost dobija interpolacijom:
0045.04516.001.0,4516.07486.07517.0
7486.075.0
67.068.0
t
t,
-0.6745σ 0.6745σ
70
pa je t vrednost konačno jednaka t = 0.67 + 0.0045 = 0.6745.
Za bilo koji skup merenja, vrednost 50% verovatne greške, u oznaci E50, računa se kao:
6745.050
E . (2.4.2.1-20)
Greška sa verovatnoćom pojave od 95% (95%. verovatna greška)
Slično kao u prethodnom slučaju, 95%. verovatna greška, u oznaci E95 definiše granice
unutar kojih se teorijski koncentriše 95% opažanja i često se u praksi koristi za prikaz
kvaliteta dobijenih ocena. Slično kao kod 50%. greške, t vrednost se računa kao:
)(975.0
)(295.1
1)(295.0)(
tF
tF
tFtzP
z
z
z
. (2.4.2.1-21)
U Tabeli 1b (Dodatak A) za verovatnoću 0.975, t vrednost iznosi 1.96.
Za bilo koji skup merenja, 95%. verovatna greška, u oznaci E95, računa se kao:
96.195
E . (2.4.2.1-22)
Greška sa verovatnoćom pojave od n% (n%. verovatna greška)
Pored navedenih procenata koji se sreću prilikom definisanja granica tačnosti merenja, često
se koriste i neke druge vrednosti. Posebno valja istaći E99.7 koja se naročito koristi pri analizi
prisustva grubih grešaka ili rezultata merenja koji protivureče pretpostavci o međusobnoj
saglasnosti sa ostalim rezultatima. Do vrednosti n%. verovatne greške dolazi se množenjem
standardnog odstupanja sa odgovarajućim multiplikatorom do kojih se dolazi na način
opisan u prethodnim poglavljima. Vrednosti multiplikatora za različite vrednosti procenata
pojave i način računanja n%. verovatne greške prikazani su u tabeli 2.4.2.1-1.
Tabela 2.4.2.1-1: Procentne greške
Oznaka Multiplikator
Procenat
verovatne
greške
E50 0.6745 50
E90 1.6449 90
E95 1.96 95
E99 2.576 99
E99.7 2.965 99.7
E99.9 3.29 99.9
71
Primena grešaka sa n%. verovatnoćom pojave
Standardne greške kao i greške ostalih verovatnoća pojave koriste se prilikom analize
kvaliteta merenja. Obično se projektnim zadatkom navode zahtevi kvaliteta dobijenih ocena
tako što se definišu 90%, 95% ili neki drugi procenat granice pojave grešaka.
U praksi, najčešće se pored standardne greške koristi 95%. greška koja se još naziva i dva
sigma (2) greška (1.96∙ ≈ 2∙). Veće procentne vrednosti koriste se prilikom testiranja
rezultata merenja na prisustvo grubih grešaka. Generalno, svaki rezultat koji od srednje
vrednosti odstupa više od 3 tretira se kao rezultat koji ne pripada datom skupu (protivureči
homogenosti skupa) i odbacuje se jer po pretpostavci sadrži grešku veću od očekivane.
Shodno Tabeli 2.4.2.1-1, odbacivanje rezultata merenja usvajajući kriterijum 3, znači da u
skupu merenja usvajamo 99.7% rezultata merenja, a odbacujemo 0.3% (3 merenja od 1000).
PRIMER 2.4.2.1-4: Neka je standardno odstupanje pojedinog merenja neke fizičke veličine
dato i iznosi σ=3: A) sračunati verovatnu grešku koja će se desiti u jednom u dva merenja, B) verovatnoću da pojedinačan rezultat merenja odstupi od istinite vrednosti za iznos veći
od 6, C) verovatnoću da srednja vrednost iz devet rezultata merenja odstupi od istinite vrednosti
za iznos od 1.5.
REŠENjE:
A) Verovatnoća pojave verovatne greške u dva merenja iznosi 50%, što znači da je
t
t5.0
ili
t
25.01 , tj.
t
75.0 . Na osnovu tablica standardizovane slučajne promenljive
normalne raspodele može se videti da z leži između 0.6 i 0.7, odnosno z =0.6745, tj.
6745.0
xz . Na osnovu date jednakosti sledi da očekivana vrednost razlike iznosi
236745.0 x . Kod merenja jednake pouzdanosti, umesto standardnog
odstupanje često se koristi izraz verovatna greška koja se računa na osnovu izraza oblika
16745.0
2
n
xx.
B) Za veličinu odstupanja pojedine vrednosti od 6 x sledi 23
6
xz , tako
da je
2
9772.0 ili
0.2
0228.01 . Odnosno, verovatnoća da pojedini rezultat bude izvan
intervala od -6 do +6 iznosi 0456.00228.02 ili %.6.4
C) Standardno odstupanje sredine iz devet rezultata merenja iznosi 0.13
0.3
9
x.
Za veličinu odstupanja od 1.5 sledi 5.11
5.1
x
xz , odnosno
5.1
9332.0 ili
72
5.1
0668.01 , pa je verovatnoća da srednja vrednost iz devet rezultata merenja odstupi
od istinite vrednosti za iznos od 1.5.jednaka 1336.00668.02 ili %.4.13
PRIMER 2.4.2.1-5: Ako je X standardizovana slučajna promenljiva normalne raspodele, odrediti sledeće verovatnoće: P(X ≤ 2.44), P(X ≤ - 1.16), P(X ≥ 1) i P(1.0 ≤ X ≤ 1.8).
REŠENJE: P(X ≤ 2.44) = 0.9926 = 99.3% P(X ≤ - 1.16) = 1 - F(1.16) =1 – 0.8770=0.1230 = 12.3% P(X ≥ 1) = 1 – P(X ≤ 1) = 1 – 0.8413 = 0.1587 P(1.0 ≤ X ≤ 1.8) = F(1.8) – F(1.0) = 0.9641 – 0.8413 = 0.1228
Napomena: Ove verovatnoće se mogu odrediti i primenom funkcije )(zNORMSDIST na
način prikazan u Primeru 2.4.2.1-2.
PRIMER 2.4.2.1-6: Neka je X slučajna promenljiva normalne raspodele sa srednjom vrednošću 0.8 i varijansom 4. Odrediti sledeće verovatnoće: P(X ≤ 2.44), P(X ≥ 1) i P(1.0 ≤ X ≤ 1.8). REŠENJE
a) P(X ≤ 2.44) = F(2.44) = %807939.0)82.0(2
8.044.2
FF
b) P(X ≥ 1) = 1 – P(X ≤ 1) = 1 - 4602.05398.012
8.01
F
c) P(1.0 ≤ X ≤ 1.8) = F(1.8) – F(1.0) = 0.6915 – 0.5398 = 0.1517
Napomena: Funkcija );_;;( cumulativedevdardstanmeanxNORMDIST u okviru aplikacije
Microsoft Excel pruža mogućnost određivanja ovih verovatnoća. Probleme je moguće rešiti na sledeći način:
a) 7939.0);2;8.0;44.2()44.2( TRUENORMDISTxP
b) 4602.0);2;8.0;1(1)1(1)1( TRUENORMDISTxPxP
c) 1516.0);2;8.0;1();2;8.0;8.1()8.11( TRUENORMDISTTRUENORMDISTxP
PRIMER 2.4.2.1-7: Neka je X slučajna promenljiva normalne raspodele sa srednjom vrednošću 5 i varijansom 0.04. Za zadatu verovatnoću P=95%, odrediti dozvoljeno odstupanje (graničnu vrednost) slučajne promenljive X.
REŠENJE:
73
Na osnovu veze između normalne i standardizovane normalne raspodele, vrši se transformacija slučajne promenljive normalne raspodele X u slučajnu promenljivu standardizovane normalne raspodele z.
39.5,61.4
96.12.0
5,95.01
2.0
52
2.0
5
2.0
5%,95)(
FFF XP
PRIMER 2.4.2.1-8: Ukoliko je realizovano merenje slučajne promenljive X čija srednja vrednost iznosi 2 m, a standardno odstupanje 0.008 m:
a) Naći verovatnoću da rezultat merenja bude izvan dozvoljenih granica tolerancije (2 ± 0.02) m;
b) Naći granice tolerancije tako da samo 4% rezultata bude izvan njih.
REŠENJE:
a) %8.9898758.000621.099379.0
)5.2()5.2(008.0
00.298.1
008.0
00.202.2)02.298.1(
FFFFXP
Odgovor: 1-98.8%=1.2%.
Napomena: Funkcija );_;;( cumulativedevdardstanmeanxNORMDIST u okviru
aplikacije Microsoft Excel pruža mogućnost određivanja ove verovatnoće. Problem je moguće rešiti bez transformacije slučajne promenljive u slučajnu promenljivu standardizovanog normalnog rasporeda i to na sledeći način:
%2.1)02.298.1(0124.099379.0100621.0
);008.0;2;02.2(1);008.0;2;98.1(
)02.298.1(
xxP
TRUENORMDISTTRUENORMDIST
xxP
b) )22(96.0 cXcP ili )2(98.0 cXP , pa je
0164.0,054.2008.0
2298.0
c
cF
Napomena: Funkcija )_;;( devdardstanmeanyprobabilitNORMINV u okviru aplikacije
Microsoft Excel pruža mogućnost određivanja ovih graničnih vrednosti. Kao i u prethodnom slučaju i ovde je problem moguće rešiti bez transformacije u standardizovanu normalnu raspodelu. Kako je potrebno odrediti granice tolerancije, tj. širinu intervala oko srednje vrednosti, tako da 4% rezultata bude izvan njih, to podrazumeva da je 96% rezultata unutar tih granica. Iz ovoga sledi da je donja granica određena sa
9836.1)008.0;2;02.0(1
NORMINVx,
74
dok je gornja granica određena sa
0164.2)008.0;2;98.0(2
NORMINVx.
Dalje sledi da je ukupna širina intervala jednaka ,03286.012 xx a da je tolerancija
jednaka polovini ove vrednosti, tj. jednaka je 0.0164
2.4.2.2 Pirsonova 2 raspodela
Neka su n
XXX ,..,,21
, n nezavisnih slučajnih promenljivih, od kojih svaka pripada
normalnoj raspodeli sa srednjom vrednošću 0 i varijansom 1. Tada, zbir njihovih kvadrata
definiše slučajnu promenljivu, u oznaci 2 oblika:
22
2
2
1
2 ...nn
XXX , (2.4.2.2-1)
koja pripada hi-kvadrat raspodeli, u oznaci 2 (chi square) sa f stepeni slobode.
Funkcija gustine slučajne promenljive 2 glasi:
22
2
2 )()(xf
nnexcxff
, za 0x , (2.4.2.2-2)
pri čemu je:
0)( xf za 0x ,
gde je:
22
1
2f
Г
cfn
, f je broj stepeni slobode, a Г je gama funkcija.
Centralni momenti 2 raspodele su:
- srednja vrednost: fEn )( 2 , i
- varijansa: fn
2)( 22 .
Zavisno od dimenzija uzorka n, formu 2 raspodele prvi je definisao Karl Pearson4 davne
1900. godine. 2 kvadrat (hi-kvadrat) raspodela koristi se prilikom testiranja saglasnosti
4 Karl Pearson je rođen u Londonu 27. marta 1857. godine. Izučavao je matematiku na Kembridžskom
Univerzitetu. 1884. godine postaje profesor primenjene matematike i mehanike na Londonskom univerzitetu. Od
1891. Pearson je počeo da razvija novi interes za biometriju, gde je dao izuzetan doprinos razvitku novih
statističkih metoda, uključujući korelaciju. U narednih deset godina intenzivnog bavljenja ovom problematikom
značajan je njegov doprinos statistici, uključujući metod momenata, Pirsonov sistem krivih, korelaciju i Hi-
kvadrat test. Zajedno sa Weldonom i Galtonom smatra se osnivačem biometrike. Umro je aprila 1936. godine.
75
varijanse populacije i varijanse uzorka (pri čemu se i redudantnost uzorka mora uzeti u
obzir). Neka je iz populacije koja pripada normalnoj raspodeli izdvojen slučajni uzorak od
n opažanja x1, x2, …, xn sa srednjom vrednošću i varijansom 2. Po definiciji, statistika:
2
2
sfT 2 , (2.4.2.2-3)
pokorava se zakonu 2 raspodele sa f = (n-1) stepeni slobode, dok su ostale veličine ranije
definisane. Grafik funkcije 2 raspodele prikazan je na slici 2.4.2.2-1. U dodatku A – Tabela
3, za različit broj stepeni slobode (od 1 do 200) prikazane su vrednosti 2 funkcije.
Da bi se odredila površina ispod krive, desno od naznačene granice (šrafirani deo na slici
2.4.2.2-1), neophodno je iz tablica 2 raspodele za odgovarajući broj stepeni slobode i
određenu verovatnoću odrediti vrednost procentne tačke (kvantila) u oznaci 2
f, .
Slika 2.4.2.2-1: 2 raspodela
PRIMER 2.4.2.2-1: Za odabranu vrednost nivoa značajnosti = 0.01 i broj stepeni f=10,
odrediti vrednost kvantila 2 .
REŠENjE: Iz tablica 2 raspodele(206. strana) za date vrednosti, tražena vrednost iznosi
23.21. To znači da se 1% površine ispode krive 2 raspodele, f=10 nalazi desno od 23.2
Napomena: Funkcija )_;( freedomesdegreyprobabilitCHIINV u okviru aplikacije
Microsoft Excel pruža mogućnost određivanja vrednosti kvantila hi-kvadrat raspodele. Parametri funkcije su verovatnoća (probability) i broj stepeni slobode (degrees_freedom).
2092.23)10;01.0( CHIINVx,
f/α 0.1 87/ 0.025 0.01 0.005 0.001
7 12.02 14.07 16.01 18.48 20.28 24.32
8 13.36 15.51 17.53 20.09 21.96 26.12
9 14.68 16.92 19.02 21.67 23.59 27.88
10 15.99 18.31 20.48 23.21 25.19 29.59
11 17.28 19.68 21.92 24.72 26.76 31.27
2,f
76
PRIMER 2.4.2.2-2: Za f=10, odrediti vrednost kvantila 2 raspodele tako da površina ispod
krive od 0 do vrednosti kvantila 2 iznosi 1% od ukupne površine ispod krive.
REŠENjE: = (1 - 0.01)=0.99, tako da je iz tablica odgovarajuća vrednost procentne tačke (kvantila) jednaka 2.56 (vidi tablicu iz rešenja prethodnog zadatka).
Napomena: Funkcija )_;( freedomesdegreyprobabilitCHIINV omogućava određivanje
vrednosti kvantila Hi-kvadrat raspodele. Parametri funkcije su verovatnoća (probability) i broj stepeni slobode (degrees_freedom). Kako se verovatnoća kod Hi-kvadrat raspodele
odnosi na površinu ispod krive desno od vrednosti kvantila, tj. od 2 do +∞, da bi se odredila tražena vrednost kvantila potrebno je preračunati verovatnoću. To znači da
tražena vrednost kvantila odgovara verovatnoći jedankoj = 1 - 0.01=0.99, pa sledi da je vrednost kvantila, za broj stepeni slobode f=10, jednaka:
.5582.2)10;99.0( CHIINVx
Usled nesimetričnosti funkcije raspodele, procentne tačke donje (leve) granice računaju se
koristeći tablične vrednosti za gornju granicu. Veličinu površine ispod krive gustine
verovatnoća (od nula vrednosti) do neke vrednosti 2 računa se tako što se tablična vrednost
oduzme od 1 (sledi iz činjenice da je ukupna površina ispod krive od 0 do beskonačnosti
jednaka 1).
U radu sa skupovima slučajnih promenljivih (merenja), 2 raspodele se koristi prilikom
definisanja raspona (intervala) u kojem treba očekivati varijansu populacije. Interval se
definiše na osnovu:
- Nivoa poverenja - ;
- Varijanse skupa - ; i
- Broja stepeni slobode skupa - f .
2.4.2.3. Studentova raspodela (t raspodela)
Neka su n
XXX ,..,,21
, n nezavisnih slučajnih promenljivih, od kojih svaka pripada
normalnoj raspodeli sa srednjom vrednošću i standardnim odstupanjem . Slučajna
promenljiva, u oznaci t , oblika:
ns
xt
, (2.4.2.3-1)
sa
n
k
kx
nx
1
1 i
n
k
kxx
ns
1
22
1
1, ponaša se po zakonu studentove raspodele koja se
još naziva i t raspodelom.
77
Formulaciju t raspodele ili studentove raspodele, prvi put je dao William Sealy Gosset5
1908. godine, još kao radnik Guinnes pivare u Dablinu. Nastala je kao potreba da se definiše
standardno odstupanje uzorka u situaciji kada je nepoznato standardno odstupanje
populacije. Studentova raspodela se koristi prilikom testiranja saglasnosti srednje vrednosti
populacije i srednje vrednosti uzorka (u zavisnosti od redudantnosti = broj stepeni slobode
= f) uzorka. Raspodela je u pogledu simetričnosti krive gustine verovatnoća slična
normalnoj. Osnovna razlika između njih je u nameni. Normalna raspodela se primenjuje na
celokupnu populaciju, dok se t raspodela prvenstveno primenjuje na uzorak čiji broj
elemenata nije veći od 30.
Ukoliko sa Z označimo standardizovanu promenljivu normalne raspodele, a sa 2 slučajnu
promenljivu 2 raspodele sa f stepeni slobode, pri čemu su dve promenljive međusobno
nezavisne, tada se po definiciji, statistika (2.4.2.3-1) može napisati u obliku:
f
Zt
2 . (2.4.2.3-2)
Slika 2.4.2.3-1: Kriva gustina t raspodele
Vrednosti funkcije t raspodele za odgovarajući broj stepeni slobode date su u Dodatku A –
Tabela 2. Na osnovu definisanog broja stepeni slobode f i nivoa značajnosti , iz tabele se
može odrediti odgovarajuća t vrednost (korespodentna vrednosti = površini ispod krive
5 Wiiiam Sealy Gosset (13. Jun 1876 – 16.Oktobar 1937), poznatiji pod pseudonimom Student, bio je hemičar i
statističar. Rođen je u Engleskoj. Pre nego što je započeo studije iz oblasti hemije i matematike u Oksfordu,
završio je koledž u Vinčesteru. Studije je završio 1899. godine, nakon čega se zapošljava u čuvenoj pivari Arthur
Guinness&Son. Znanja iz statistike stekao je u čuvenoj biometrijskoj laboratoriji Karla Pearsona 1906/1907.
Nadimak Student dobio je zahvaljujući jednom od njegovih prethodnika koji je objavio rad sa podacima iz
recepture izrade posebne vrste piva, nakon čega je Guinness zabranio svim svojim radnicima bilo kakvo dalje
publikovanje radova. Kako Gosset nije mogao objavljivati pod svojim imenom, počeo je da koristi pseudonim
Student, po čemu je i raspodela koji je on prvi predložio i dobila naziv Studentova raspodela. Bio je savremenik
K. Pearsona i R.A. Fishera i sa njima je često sarađivao. Neki smatraju da je t Student-ova statistika u stvari
Fišerova kreacija, ali je sasvim izvesno da je Gosset zaslužan za statistiku )1(/ ntz . Naime, poznato je
da je Fišer uveo t formu prilikom izrade teorije vezane za stepene slobode i ujedno je zaslužan za primenu t
raspodele u oblasti regresije. Iako uvedeni od strane drugih autora i studentizovani reziduali nose naziv po
Student-u, otuda što je ideja ocene standardnog odstupanja u izravnanju centralna i u konceptu problema koji
vodi ka primeni Studentove raspodele.
78
raspodele između vrednosti t i ). U statistici, generalno, zadovoljavamo se sa nivoom
značajnosti od 0.0005 do 0.4, tako i da su za te vrednosti tablice i kreirane.
Kao što je napred već istaknuto, t raspodela se koristi pri definisanju intervala prostiranja
srednje vrednosti populacije kojoj uzorak pripada, zavisno od srednje vrednosti uzorka (
x ), varijanse uzorka ( 2s ) i broja stepeni slobode uzorka ( f ).
PRIMER 2.4.2.3-1: Naći t vrednost za = 0.025 i f =15. REŠENjE: t = 2.131.
Napomena 1: ovo je deo tablice, cela tablica nalazi se u Prilozima (jednostrani test).
Može se zaključiti da se 2.5% ( = 0.025) površine ispod krive raspodele gustina nalazi desno od t = 2.131, za broj stepeni slobode uzorka f=15. Usled simetričnosti raspodela, važi
i sledeći zaključak - 2.5% površine ispod krive raspodele nalazi se izmeću - i – 2.131.
Napomena 2: Funkcija )_;( freedomdegyprobabilitTINV u okviru aplikacije Microsoft
Excel omogućava određivanje vrednosti kvantila t raspodele. Parametri funkcije su verovatnoća (probability) i broj stepeni slobode (deg_freedom). Parametar verovatnoće se odnosi na dvostrani test, tj. jednaka je verovatnoći P(|X| > t) = P(X < -t or X > t). Da bi se odredio kvantil jednostranog testa, prilikom primene ove funkcije potrebno je datu verovatnoću pomnožiti sa 2, pri čemu sledi:
.1314.2)15;025.0*2( TINVx
2.4.2.4 Fišerova raspodela (F raspodela)
Neka su m
XXX ,..,,21
i n
YYY ,..,,21
dva skupa nezavisnih slučajnih promenljivih koje
pripadaju normalnoj raspodeli, svaki sa srednjom vrednošću 0 i varijansom 1. Neka je zbir
kvadrata slučajnih promenljivih u oba skupa jednak:
m
i
imXXXX
1
222
2
2
1
2
1... . (2.4.2.4-1)
n
i
inYYYY
1
222
2
2
1
2
2... .
Ako su 2
1 i 2
2 dve nezavisne slučajne promenljive koje pripadaju hi-kvadrat raspodeli sa
1f i
2f stepeni slobode, tada se po definiciji statistika:
f/α 0.100 0.750 0.050 0.025
12 1.356 1.538 1.782 2.179
13 1.350 1.530 1.771 2.160
14 1.345 1.523 1.761 2.145
15 1.341 1.517 1.753 2.131
16 1.337 1.512 1.746 2.120
17 1.333 1.508 1.740 2.110
79
2
2
2
1
2
1
f
fF
, (2.4.2.4-2)
ponaša po zakonu Fišerove6 raspodele. Za zadati nivo značajnosti i broja stepeni slobode, u
Dodatku A – Tabela 4, prikazane su vrednosti kvantila F raspodele. Za razliku od napred
navedenih raspodela, F raspodela poseduje posebne tabele za svaku od vrednosti nivoa
značajnosti . Da bi ilustrovali način korišćenja tabele F raspodele, poslužiće primer 2.4.2.4-
1.
F raspodela se koristi radi utvrđivanja pripadnosti
dva skupa istoj populaciji. Na primer, ako su
varijanse dva skupa 2
1s i 2
2s . Ukoliko dve varijanse
reprezentuju varijanse iste populacije, očekivana
vrednost količnika varijansi populacija E( 2
2
2
1 )
treba da je jednaka 1 ( 2
2
2
1 ), a interval količnika
definiše se F raspodelom.
Slika 2.4.2.4-2: Ronald Fisher
6 Ronald Fisher (1890-1962) je bio jedan od vodećih naučnika 20. veka koji je dao značajan doprinos razvoju
statistike, biologije i genetike. Rođen je u Londonu 17. februara 1890. godine. Otac mu je bio uspešni aukcionar
tako da je ceo svoj život proveo vrlo komformno. Od malih nogu je pokazao svoje zanimanje prema matematici.
1912. godine je diplomirao na koledžu u Kembridžu iz oblasti matematike. Studiranje je nastavio u oblasti
biometrike gde se upoznao i sa Leonardom Darvinom, sinom Čarlsa Darvina čija je finansijska, intelektualna i
emotivna podrška značajno doprinela Fišerovom daljem radu. Nakon diplomiranja, Fišer je promenio nekoliko
zanimanja, a značajno vreme je proveo i na jednoj istraživačkoj farmi u Kanadi. Loš vid ga je spasao učešća u
Prvom svetskom ratu. Više puta se susretao sa K. Pirsonom. Posle Kanade se vraća u London, a od 1943 kao
profesor vraća se u Kembridž i postaje šef odseka za genetiku. Poslednje tri godine svog života proveo je u
Adelajdu (Australija) kao istraživač u okviru jedne naučne misije Komonvelta.
80
Slika 2.4.2.4-1: F raspodela gustina
PRIMER 2.4.2.4-1: Za =0.01 i broj stepeni slobode varijanse 2
1s koji iznosi f1= 5 kao i
varijanse 2
2s sa f2= 10, iz tablica F raspodele naći vrednost kvantila (procentne tačke).
REŠENjE: F = 5.64.
Vrednost F = 5.64 označava levu granicu (desna granica se nalazi u beskonačnosti, slika 2.4.2.4-1) ispod krive F raspodele kojom je definisana šrafirana površina 1%, od ukupne površine ispod krive koja po definiciji iznosi 1.
Napomena 1: Ovo je deo tablice, a cela tablica nalazi se u Prilozima.
Napomena 2: Funkcija )2_;1_;( freedomdegfreedomdegyprobabilitFINV u okviru
aplikacije Microsoft Excel omogućava određivanje vrednosti kvantila F raspodele.
F(,f1,f2)
Tabela 4: Tablice F raspodele za α=0.010
f1 f2 1 2 3 4 5 6 7
1 4052.2 4999.5 5403.4 5624.6 5763.6 5859.0 5928.4
2 98.50 99.00 99.17 99.25 99.30 99.33 99.36
3 34.12 30.82 29.46 28.71 28.24 27.91 27.67
4 21.20 18.00 16.69 15.98 15.52 15.21 14.98
5 16.26 13.27 12.06 11.39 10.97 10.67 10.46
6 13.75 10.92 9.78 9.15 8.75 8.47 8.26
7 12.25 9.55 8.45 7.85 7.46 7.19 6.99
8 11.26 8.65 7.59 7.01 6.63 6.37 6.18
9 10.56 8.02 6.99 6.42 6.06 5.80 5.61
10 10.04 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39 5.20
11 9.65 7.21 6.22 5.67 5.32 5.07 4.89
81
Parametri funkcije su verovatnoća (probability) i broj stepeni slobode oba skupa čije varijanse se upoređuju (deg_freedom1 i deg_freedom2).
.6363.5)10;5;01.0( FINVx
Pitanja za proveru znanja
1. Klasična i opšta definicija verovatnoće.
2. Slučajan događaj.
3. Binomni koeficijenti. Razlika između permutacija, kombinacija i varijacija.
4. Slučajna promenljiva.Veza između slučajnog događaja i slučajne promenljive.
Diskretna i kontinuirana slučajna promenljiva.
5. Funkcija raspodele slučajne promenljive.
6. Odnos između funkcije raspodele i funkcije gustine verovatnoće slučajne promenljive.
7. Verovatnoća pojave vrednosti slučajne promenljive u zadatom intervalu.
8. Kriterijumi koje treba da ispuni funkcija gustine verovatnoća.
9. Dvodimenzionalna funkcija raspodele.
10. Marginalna raspodela slučajne promenljive.
11. Nezavisnost slučajnih promenljivih.
12. Očekivana vrednost slučajne promenljive.
13. Varijansa i standardno odstupanje slučajne promenljive.
14. Kovarijansa i korelacija. Veza između korelisanosti i stohastičke nezavisnosti.
15. Statistički momenti, varijansa i kovarijaciona matrica.
16. Matrica težina.
17. Binomna, Poasonova i hipergeometrijska raspodela.
18. Normalna raspodela.
19. Veza između preciznosti merenja i standardnog odstupanja.
20. Standardizovana normalna raspodela.
21. Verovatnoća pojave slučajne promenljive normalne raspodele pri jednostranom i
dvostranom intervalu.
22. Interval poverenja.
23. Hi-kvadrat raspodela.
24. Studentova raspodela.
25. Fišerova raspodela.
82
3. TAČKASTE OCENE MERENjA JEDNAKE PRECIZNOSTI
3.1 Uvod
U verovatnoći se polazi od pretpostavke da se sistem ponaša po poznatom matematičkom
modelu. Ukupnost elemenata koje treba proučiti i nivo zahtevanih informacija vezanih za
njih, naziva se populacijom. Da bi se ispitale sve karakteristike populacije, zbog velikog
obima bilo bi nepraktično analizirati sve njene elemente. Iz tog razloga, iz populacije se
izdvaja jedan ograničen broj rezultata merenja, koga nazivamo uzorkom i nad kojim se
izvode dalje analize. Analizom uzorka, dolazi se do zaključaka i donose tvrdnje o populaciji
kojoj analizirani uzorak po pretpostavci pripada. Metod izbora uzorka i njegove veličine
utiče na pouzdanost izvedenih zaključaka. Očigledno, što je veći uzorak to će zaključci biti
pouzdaniji. Nije ni malo lak zadatak odabrati reprezentativni uzorak. Brojni problemi
izazivaju izbor nereprezentativnog uzorka koji neće dati realne zaključke. Prilikom izbora
adekvatnog uzorka, mora se voditi računa da elementi budu odabrani po principu slučajnosti,
što podrazumeva da svaki elemenat populacije ima istu šansu da postane elemenat uzorka.
Navedena tvrdnja je ekvivalentna sledećoj – elementi uzorka moraju biti međusobno
nezavisni i slučajno odabrani.
U okviru teorije verovatnoće, definisani su matematički modeli procesa izazvanih slučajnim
uticajima. U matematičkoj statistici, ili skraćeno statistici, u okviru realne stvarnosti vrši se
provera definisanih modela. To se gotovo po pravilu realizuje preko uzorka slučajne
promenljive, koga čini podskup osnovnog skupa koga smo nazvali populacijom. Statistika
može biti teorijska i primenjena. Teorijska (matematička) bavi se razvojem, izvođenjem i
dokazivanjem statističkih teorema, pravila i sl. Dok primenjena statistika podrazumeva
primenu teorema, formula, pravila i zakona pri rešavanju praktičnih problema.
Definicija – Statistika je naučni metod koji se koristi za prikupljanjue, prikazivanje, analizu i interpretaciju podataka s ciljem donošenja statističkih zaključaka.
Čak i u najjednostavnijim slučajevima, skup elementarnih događaja tretiramo kao slučajan
uzorak hipotetički neograničene populacije vrednosti slučajne promenljive nastalih pod
istim nivoom faktora. Statističku raspodelu verovatnoća takve populacije moguće je utvrditi
pomoću matematičke specifikacije koja podrazumeva definisanje izvesnog broja
parametara, karakteristika populacije. Kada bismo bili u stanju da tačno specificiramo neku
populaciju, lako bi bilo definisati i bilo koji njen uzorak. Kako to objektivno nije moguće,
jedino što možemo jeste da sa određenom verovatnoćom ocenimo njene parametre. Takve
ocene se nazivaju statistikama i definišu se na osnovu uzorka rezultata merenja. Vrednost ili
važnost takvih ocena, značajno raste ukoliko smo u stanju da sračunamo veličinu ili prirodu
grešaka koje ih prate. Ova vrsta pitanja ili problema predstavlja bazu razvoja tzv. testova
značajnosti na osnovu kojih se utvrđuje saglasnost podataka sa pretpostavljenim
vrednostima. Osim toga, često je neophodno testirati i adekvatnost hipotetičkih pretpostavki
o populaciji na osnovu čega je zasnovan i sam metod redukcije podataka. Problemi redukcije
podataka dele se na tri tipa: 1) problemi specifikacije koji utiču na izbor matematičke forme
populacije, 2) problemi ocene koji podrazumevaju izbor metode računanja, forme uzorka i
statistike, i 3) problemi raspodela koji uključuju matematičku dedukciju tačne prirode
83
raspodele slučajnih promenljivih kod ocena parametara i ostalih statistika dizajniranih tako
da potvrde ili odbace validnost specifikacija (test adekvatnosti modela - goodness of fit i sl.).
Odluke koje se donose na osnovu statističkih metoda nazivaju se procenama ili prognozama.
U okviru ovog predmeta, uglavnom će težište biti dato na primenjenu statistiku, koja može
biti deskriptivna i inferencijalna (statističko zaključivanje). Deskriptivna statistika
podrazumeva metode prikupljanja, selekcije, prikazivanja i opisivanja podataka pomoću
tabela, grafikona i sumarnih pokazatelja, dok inferencijalna obuhvata statističke metode koji
nam pomažu da na osnovu rezultata uzorka dođemo do zaključaka o karakteristikama
populacije (osnovnog skupa).
3.2 Uzorak i populacija
U statistici, fizičkoj situaciji ili procesu se konceptualno pristupa uz pomoć (hipotetičkog)
funkcionalnog modela. Elementi modela su slučajne promenljive za koje se pretpostavlja da
pripadaju određenoj (poznatoj) raspodeli. Pod statističkim događajima (na primer, merenja)
podrazumeva se realizacija slučajnih promenljivih. Nezavisno od broja ponavljanja,
realizacija slučajnih promenljivih je uvek dimenzionalno ograničena i naziva se
jedinstvenim imenom – uzorak.
Definicija – Uzorak je odabrani deo populacije formiran s ciljem izvođenja određene analize.
Usled vremenskih i finansijskih ograničenja, u statističkoj analizi koriste se uzorci relativno
manjih dimenzija, odnosno umesto celokupne populacije, izdvaja se samo jedan ograničen
broj elemenata. U premeru, svaki put kada merimo uglove, dužine ili visinske razlike, mi
zapravo formiramo uzorke određene populacije. Kakav je odnos populacije i uzorka?
Najkraće rečeno - populacija predstavlja skup neograničenog broja merenja neke fizičke
veličine, dok je uzorak ograničeni skup merenja (na određeni način odabran podskup
podataka neke populacije). Uzorak može biti slučajan i neslučajan.
Definicija – Slučajnim uzorkom naziva se uzorak dobijen tako da svaki element populacije ima unapred poznatu verovatnoću biranja (ostvarivanja, pojave i sl.).
Primer slučajnog uzorka može biti merenje pravaca, dužina ili visinskih razlika u više serija
(girusa).
Definicija – Reprezentativni uzorak jeste onaj uzorak koji u značajnoj meri karakteriše osnovni skup ili populaciju.
Formiranje uzorka ima za cilj utvrđivanje raspodela verovatnoća ili parametara raspodele.
Na osnovu reprezentativnog uzorka merenja mogu se oceniti:
- Raspodela frekvencija;
- Statistike uzorka za ocenu položaja (srednja vrednost, medijana, moda i dr.);
- Statistike uzorka za ocenu disperzije (varijansa i kovarijansa); i
- Momenti prvog, drugog, trećeg i dr. redova.
84
U zavisnosti od vremena u kojem su prikupljeni, rezultati mogu biti u vidu strukturnih ili u
vidu vremenskih serija. Strukturne serije čine rezultati merenja prikupljeni u istom
vremenskom trenutku (u istom kompleksu uslova ili istim uslovima) dok su vremenske serije
podaci o jednoj promenljivoj u različitim vremenskim trenucima.
Prilikom formiranja uzoraka generišemo slučajne brojeve. Dva su osnovna načina
formiranja jednog uzorka iz jedne populacije, i to:
- Sa ponavljanjem, odnosno kada događaj koji se prethodno slučajno dogodio
vraćamo nazad u polje svih mogućih događaja i ponovo realizujemo eksperiment; i
- Bez ponavljanja, kada događaj koji se već dogodio ne vraćamo nazad u polje svih
mogućih događaja jedne populacije.
Do slučajnih brojeva dolazi se i preko tzv. generatora slučajnih brojeva koji su sastavni deo
ozbiljnijih matematičkih programskih paketa (Maple, Matematika, Excel, i dr.).
PRIMER 3.2-1: Pomoću programskog paketa Excel, generisati niz slučajnih brojeva. U meniju Tools, odabere se opcija Data Analysis, a u okviru nje Random Number Generation. U polju Number of Variables uneti broj kolona u koje će se smestiti ukupan broj promenljivih. Ako se ništa ne unese, program popunjava sva selektovana polja. Dalje je neophodno uneti broj promenljivih, njihovu očekivanu vrednost, varijansu i tip raspodele. Na primer, ako unesemo 10 slučajnih brojeva, sa očekivanjem 0 i varijansom 1 i odaberemo Normalnu raspodelu, i selektujemo 10 kolona, dobiće se sledeće vrednosti slučajnih brojeva. Zadnje dve vrste prikazuju srednju vrednost i varijansu svakog uzorka.
3.3 Tačkaste ocene nepoznatih parametara
Pre prelaska na pojedine numeričke pokazatelje kvaliteta rezultata merenja i praktične izraze
za njihovo računanje, definisaćemo određene pojmove koji se koriste prilikom izvođenja
pojedinih ocena.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-0.343 1.796 -0.049 -1.400 -1.372 -0.282 0.931 -1.389 -0.515 -1.293
0.019 1.279 -0.383 -1.045 0.553 -0.150 0.443 -0.824 1.651 -1.303
0.628 -0.204 0.208 1.246 0.554 -1.650 -1.651 -0.402 -1.806 -0.360
-0.474 0.745 0.155 0.926 -0.278 -0.246 -0.221 -0.977 -0.514 2.490
-0.764 -0.608 0.049 -0.579 1.330 0.019 -1.200 -1.749 0.328 -0.121
0.465 -2.055 -1.332 0.276 -0.479 0.131 1.087 -1.243 0.447 -1.267
0.941 1.437 -0.294 0.133 -0.050 0.448 1.050 -0.021 -0.956 -0.087
0.716 -0.536 2.020 1.321 -0.722 -0.562 -0.292 0.628 -1.807 0.635
-0.340 -1.081 0.624 -2.234 -1.318 -0.525 -0.749 0.340 1.174 -1.003
0.071 0.066 0.098 2.015 -0.738 -0.633 0.869 0.535 0.124 0.135
0.092 0.084 0.110 0.066 -0.252 -0.345 0.027 -0.510 -0.187 -0.217
0.330 1.501 0.716 1.849 0.749 0.323 0.995 0.725 1.338 1.365
85
- Istinita vrednost ( ) jeste teorijska vrednost ili tačna vrednost7.
- Greška () je razlika merene i istinite vrednosti. S obzirom na prirodu istinite
vrednosti i greška je teorijska kategorija. Istinita vrednost reprezentuje aritmetičku
sredinu populacije pod uslovom da su sva ponovljena merenja iste preciznosti.
Greška se može opisati izrazom oblika ii
x , gde su i
x - rezultati merenja, i
- greške merenja, a - istinita vrednost merene veličine.
- Najverovatnija vrednost merene veličine, u oznaci x , jeste vrednost zasnovana na
rezultatima merenja sa najvećom verovatnoćom pojave. Generalno, računa se iz
uzorka merenja i ukoliko su merenja iste preciznosti, predstavlja prostu sredinu ili
srednju vrednost.
- Rezidual, u oznaci v , predstavlja razliku između rezultata merenja i njene
najverovatnije vrednosti. Koristi se u izravnanju, s obzirom da je cilj izravnanja
dobijanje najverovatnijih vrednosti nepoznatih parametara. U praksi, često se
umesto izraza rezidual pogrešno upotrebljava izraz greška ili popravka iako između
njih u teorijskom smislu postoji jasna razlika. Matematički izraz za rezidual glasi:
ii
xxv , (3.3-1)
gde je i
v rezidual i-tog merenja i
x , a x je najverovatnija vrednost nepoznate
veličine.
- Broj stepeni slobode predstavlja broj merenja neke fiziče veličine iznad
neophodnog broja merenja kojom se vrednost merene veličine određuje. Broj
stepeni slobode jednak je broju suvišnih (redudantnih) merenja. Na primer, ukoliko
se ugao meri tri puta, dva merenja su suvišna jer se vrednost merene veličine može
definisati iz samo jednog rezultata merenja. Značaj suvišnih merenja u analizi
merenja je veliki. Ona omogućuju da se primeni izravnanje i tako sračuna
najverovatnija vrednost merene veličine i oceni njena preciznost.
Kao što smo napred istakli, na osnovu podataka merenja mogu se sračunati odgovarajući
reprezenti koji služe za analizu preciznosti (kvaliteta, nesigurnosti) merenja, i to:
- Statistike8 uzorka za ocenu mera položaja (mere centralne tendencije);
- Statistike uzorka za ocenu mera disperzije.
3.3.1 Statistike uzorka za ocenu mera položaja
Za ocenu mera položaja uzorka vrednosti slučajne promenljive X (merenja) koriste se
sledeće statistike:
- Srednja vrednost;
- Medijana;
- Moda; i
- Sredina raspona.
7 Tačna vrednost nikada nije poznata. 8 Statistika predstavlja numerički opis kojim se ocenjuje parametar neke raspodele
86
3.3.1.1 Srednja vrednost
Za skup od n merenja (x1, x2, …, xn) slučajne promenljive X , srednja vrednost predstavlja
prosečnu vrednost merenja ili aritmetičku sredinu. Srednja vrednost, u oznaci x , računa se
kao:
n
x
x
n
i
i 1 . (3.3.1.1-1)
U praksi, simbol x se koristi da opiše sredinu uzorka, a reprezentuje sredinu populacije.
Ako sa X simbolički označimo slučajnu promenljivu, tada je njeno matematičko
očekivanje, u oznaci E, jednako )(XE , što se dokazuje na sledeći način:
nn
xExExEn
xxxEn
xn
EXEnni
1
)(...)()(1
)...(11
)(2121
3.3.1.2 Medijana
Medijana je sredina uzorka prethodno uređenog po rastućem nizu. Polovina rezultata uzorka
je iznad, a polovina ispod vrednosti medijane. Ukoliko uzorak sadrži paran broj elemenata,
sredina dva rezultata koja se nalaze sa obe strane srednje tačke reprezentuje medijanu.
Za podatke prikazane u Tabeli 3.3.2.1-1, medijana se nalazi između vrednosti 23.4 i 23.5.
Kako je u datom primeru broj merenja paran, medijana se računa kao sredina dve susedne
vrednosti bliske srednjoj tački, odnosno jednaka je sredini između 25. i 26. rezultata merenja
uređenog skupa od 50 rezultata, tj. jednaka je sredini između vrednosti 23.4 i 23.5 i iznosi
23.45.
3.3.1.3 Moda
U skupu podataka moda (modus) je rezultat koji se najčešće pojavljuje. Retko se koristi u
premeru jer tipičan skup merenja ne sadrži respektivan broj podataka. U uzorku malih
dimenzija, nekoliko različitih vrednosti može se pojaviti sa istom frekvencijom tako da moda
nije jednoznačna (ne postoji), a time je i kao mera kvaliteta položajne ocene manje
prihvatljiva.
3.3.1.4 Sredina raspona
Ukoliko od maksimalne oduzmemo minimalnu vrednost merenja u nekom skupu rezultata
merenja dobija se raspon merenja. Vrednost merenja koja se nalazi u sredini naziva se
sredina raspona ili midrange. Ona se koristi, ali ne tako često, kao mera položaja datog skupa
i računa se kao aritmetička sredina zbira najmanjeg i najvećeg rezultata merenja u datom
skupu. U skupu vrednosti prikazanih u Tabeli 3.3.2.1-1, sredina raspona se računa kao
(20.1+26.1)/2=23.1.
87
3.3.2 Statistike uzorka za ocenu mera disperzije
U statistike uzorka za ocenu mera disperzije spadaju:
- Raspon uzorka;
- Srednje (prosečno) odstupanje;
- Varijansa;
- Standardna greška i standardno odstupanje; i
- Kovarijansa uzorka.
3.3.2.1 Raspon uzorka
Pretpostavimo da je jednosekundnim instrumentom očitavan (meren) neki pravac 50 puta
(Tabela 3.3.2.1-1). Čitanja predstavljaju skup podataka. Kako podatke organizovati tako da
se na osnovu njih mogu direktno izvesti određeni zaključci? Jedno od pitanja je svakako i to
– da li su prikupljeni podaci reprezentativni kada je u pitanju instrument ili operator koji ih
je sakupio? Kojim statističkim načinima je moguće reprezentovati i analizirati dati skup?
Jedan od brzih numeričkih metoda analize podataka jeste raspon rezultata ili raširenost
uzorka (dispersion). Raspon uzorka se definiše kao razlika maksimalne i minimalne
vrednosti i na izvestan način ukazuje na preciznost podataka. Prema podacima u Tabeli
3.3.2.1-2, najmanja vrednost je 20.1, a najveća 26.1. i to znači da raspon rezultata merenja
iznosi 26.1-20.1=6.0. Dobijeni raspon se može upoređivati sa rasponima drugih srodnih
skupova, ali je od male važnosti ukoliko su skupovi različitog obima. Tako, na primer, da li
bi skup od 100 rezultata merenja raspona 8.5 mogao biti pouzdaniji od skupa prikazanog u
Tabeli 3.3.2.1-1?
3.3.2.2 Srednje (prosečno) odstupanje
Srednje odstupanje jeste sledeća mera disperzije. Spada u grube ocene i još se naziva
prosečnom greškom. Definiše se kao aritmetička sredina apsolutnih vrednosti odstupanja od
bilo koje mere položaja, mada najčešće od srednje vrednosti. Srednje odstupanje S od
srednje vrednosti x uzorka od n opažanja računa se kao:
Табела 3.3.2.1-2: Uzorak merenja
20.1 20.5 21.2 21.7 21.8
21.9 22.0 22.2 22.3 22.3
22.5 22.6 22.6 22.7 22.8
22.8 22.9 22.9 23.0 23.1
23.1 23.2 23.2 23.3 23.4
23.5 23.6 23.7 23.8 23.8
23.8 23.9 24.0 24.1 24.1
24.2 24.3 24.4 24.6 24.7
24.8 25.0 25.2 25.3 25.3
25.4 25.5 25.9 25.9 26.1
Табела 3.3.2.1-1: Uzorak merenja
22.7 25.4 24.0 20.5 22.5
22.3 24.2 24.8 23.5 22.9
25.5 24.7 23.2 22.0 23.8
23.8 24.4 23.7 24.1 22.6
22.9 23.4 25.9 23.1 21.8
22.2 23.3 24.6 24.1 23.2
21.9 24.3 23.8 23.1 25.2
26.1 21.2 23.0 25.9 22.8
22.6 25.3 25.0 22.8 23.6
21.7 23.9 22.3 25.3 20.1
88
n
i
ixx
nS
1
1. (3.3.2.2-1)
3.3.2.3 Varijansa
Varijansa predstavlja vrednost kojom se definišu preciznost nekog skupa podataka.
Varijansa se može odnositi na populaciju ili na uzorak.
Varijansa populacije se odnosi podjednako na sve vrednosti jedne populacije i računa se kao
srednja vrednost kvadrata grešaka, tj.
n
n
i
i
1
2
2. (3.3.2.3-1)
Varijansa uzorka odnosi se na pojedini rezultat ograničenog skupa podataka. Predstavlja
nepomerenu ocenu varijanse populacije definisane sa (3.3.2.3-1) i računa se kao:
1
1
2
2
n
v
s
n
i
i
. (3.3.2.3-2)
Algebarska sredina grešaka u skupu podataka se ne može koristiti kao indikator preciznosti.
Razlog je taj što su slučajne greške pozitivne i negativne vrednosti, tako da je njihova
algebarska sredina jednaka nuli, a što se može ilustrovati sledećim izrazom:
n
i
n
i
n
i
n
i
iii
n
i
inxxx
1 1 1 11
)( ,
odnosno:
n
i
i
n
i
i
n
i
n
i
i
i
n
i
ixx
n
x
nx111
1
1
0 .
Slično, može se dokazati da je srednja vrednost svih reziduala jednog skupa podataka takođe
jednak nuli.
Vrednost varijanse može se sračunati na još jedan način, bez računanja reziduala. Naime,
izraz (3.3.2.3-2) se može napisati u sledećem obliku:
1
)(1
2
2
n
xx
s
n
i
i
. (3.3.2.3-3)
Ako zbir razvijemo, dobija se izraz oblika:
89
22
2
2
1
2 ...1
1n
xxxxxxn
s
.
Kada u prethodnom izrazu zamenimo x sa
n
i inx
1 dobiće se izraz:
22
2
2
1
2 ...1
1n
iiix
n
xx
n
xx
n
x
ns ,
odnosno:
2
2
2
22
2
2
11
2
2
2
...22
1
1
n
i
n
i
iiii
xn
xx
n
x
xn
xx
n
xx
n
xx
n
x
ns .
Sređivanjem prethodnog izraza i uzimajući u obzir da se 2
1
n
i inx pojavljuje n puta
dobija se izraz oblika:
22
2
2
121
2
2 ...)...(21
1nn
iixxxxxx
n
x
n
xn
ns ,
ili
22
2
2 2
1
1ii
ixx
nn
xn
ns .
Ukoliko u prethodnom izrazu faktorizujemo i pregrupišemo pojedine članove, dobija se
sledeći izraz:
22222 1
1
112
1
1iiii
xn
xn
xnn
xn
s .
Množenjem poslednjeg člana u prethodnom izrazu sa nn / dobija se:
2
22
1
1
n
xnx
ns
i
i.
Konačno, ako x zamenimo sa nxi dobiće se konačan oblik izraza za računanje varijanse
uzorka:
90
1
22
2
n
xnxs
i. (3.3.2.3-4)
Pomoću izraza (3.3.2.3-4), varijansa pojedinog merenja i standardno odstupanje pojedinog
merenja se mogu sračunati direktno iz podataka merenja.
Može se jasno uočiti da je imenilac u izrazu (3.3.2.3-2) jednak 1n , dok imenilac u izrazu
za računanje varijanse populacije (izraz 3.3.2.3-1) iznosi n . Pojednostavljeno objašnjenje
navedene razlike sastoji se u tome da je jedno merenje neophodno prilikom računanja x ,
dok se preostalih 1n merenja koristi prilikom računanja varijanse. Pokušajmo to pokazati
izvođenjem izraza (3.3.2.3-2).
Posmatrajmo uzorak od n elemenata neke populacije sa srednjom vrednošću i
standardnom greškom i neka je i
x rezultat merenja iz pomenutog uzorka. Važi odnos:
xxxxxxiii
,
gde je x greška ili odstupanje srednje vrednosti uzorka od srednje vrednosti
populacije. Kvadriranjem prethodne jednakosti dobija se sledeći izraz:
xxxxxiii 2222
.
Sabiranjem svih merenja u uzorku, dobija se:
n
i
i
n
i
i
n
i
ixxnxxx
1
2
1
2
1
2
2 .
Saglasno definiciji od x , sledi:
,01111
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
ixxxnxxx
odakle se dobija sledeći izraz:
2
1
2
1
2
nxxxn
i
i
n
i
i.
Ukoliko se na više uzoraka primeni slična operacija, leva strana poslednjeg izraza (po
definiciji za 2 ) teži ka
2n . Slično, srednja vrednost od 22 xnn teži proizvodu od
n i varijanse od x , s obzirom da reprezentuje odstupanje srednje vrednosti uzorka od
srednje vrednosti populacije. Kao posledica toga, nnn 22 gde je n2 varijansa od
x kada n . Na osnovu svega može se izvesti sledeći odnos:
91
2
1
22
n
i
ixxn ,
odnosno:
2
1
2
1
nxxn
i
i,
odakle sledi:
21
2
2
1
n
xx
s
n
i
i
.
Drugim rečima, za veliki broj slučajnih uzoraka, srednja vrednost od
n
i inxx
1
2
1 teži
ka 2 , na osnovu čega se može izvesti zaključak da je 2s nepomerena ocena varijanse
populacije.
3.3.2.4 Standardna greška i standardno odstupanje
Standardna greška, u oznaci , definiše se kao pozitivni i negativni kvadratni koren
varijanse populacije, tj.
n
n
i
i
1
2
. (3.3.2.4-1)
Još jednom se ističe da su i varijansa populacije i standardna greška neodredive veličine, jer
istinite vrednosti nisu poznate. Samim tim i greške će se smatrati neodredivim veličinama.
Za standardnu grešku važi pravilo da 68.3% merenja jedne populacije leži u intervalu od
do . Očigledno, što je veća standardna greška, skup rezultata merenja je
rašireniji, odnosno merenja su nepreciznija.
Standardno odstupanje (još se naziva i eksperimentalno standardno odstupanje), u oznaci
s , definiše se kao pozitivni kvadratni koren varijanse uzorka. Odnosi se na pojedini rezultat
merenja i računa se na osnovu izraza oblika:
1
1
2
n
v
s
n
i
i
, (3.3.2.4-2)
gde je s standardno odstupanje, ( 1n ) je broj stepeni slobode, a
n
i iv
1
2 zbir kvadrata
reziduala. Standardno odstupanje je ocena standardne greške populacije. S obzirom da se
standardna greška ne može odrediti, standardno odstupanje predstavlja praktičnu meru
92
preciznosti uzorka rezultata merenja. Slično ranije iznetoj tvrdnji, u uzorku rezultata merenja
68.3% teorijski leži u intervalu od sx do sx .
S obzirom da su sva merenja opterećena greškama i srednja vrednost nije izuzetak.
Standardno odstupanje srednje vrednosti rezultata merenja jednog uzorka odnosi se na sva
merenja u uzorku i računa se kao:
n
ss
x . (3.3.2.4-3)
Kada n , tada 0x
s . Drugim rečima, kada se veličina uzorka po brojnosti elemenata
približava populaciji, sračunata srednja vrednost teži istinitoj sredini .
Na osnovu standardnog odstupanja jednog merenja može se sa sigurnošću oceniti preciznost
uzorka merenja samo u slučaju ako je ona izračunata iz značajno velikog broja merenja.
Međutim, kako je broj merenja ograničen, izraz (3.3.2.4-2) daje samo jednu ocenu
preciznosti realizovanih merenja, čija sigurnost raste sa porastom broja merenja.
Može se reći, da iako istinitu vrednost ne možemo dobiti merenjem, ona u nekim slučajevima
ipak može biti poznata. Na primer, poznata je vrednost zbira uglova u trouglu, četvorouglu
i sl. Takođe, vrednost neke fizičke veličine može biti određena takvim preciznim
instrumentom da se greška može smatrati beznačajnom u odnosu na grešku nekog drugog
manje preciznog instrumenta. U takvim situacijama, ovako određena vrednost može se
smatrati praktično istinitom vrednošću merene veličine. Na ovaj način definisana istinita
vrednost, može se samo uslovno smatrati istinitom.
Pri određivanju približne vrednosti nekog broja ili reprezenta nekog uzorka rezultata
merenja neke fizičke veličine, neophodno je voditi računa o nekoliko bitnih elemenata. Ako
je nesigurnost (standardno odstupanje) određivanja vrednosti fizičke veličine između jedne
i deset jedinica poslednje cifre rezultata, onda su sve cifre, osim poslednje cifre tog rezultata
tačne, pa se poslednja cifra pri zaokruživanju može odbaciti. Međutim, ukoliko je standardno
odstupanje manje od jedinice poslednje cifre, onda je poslednja cifra značajna i kao takva se
zadržava.
U primenama, pouzdanost standardnog odstupanja jednog merenja može se oceniti
veličinom:
,)1(2
n
s (3.3.2.4-4)
koja predstavlja standardno odstupanje same vrednosti standardnog odstupanja jednog
merenja (Nenadović, 1988).
Za ocenu preciznosti standardnog odstupanja jednog merenja pri ograničenom broju
merenja, obično se uvodi uslov da pouzdanost standardnog odstupanja ne prelazi k -ti
deo standardnog odstupanja s , tj.
93
sk
1 , (3.3.2.4-5)
gde se k1 obično izražava u procentima tako da se s može smatrati dovoljno pouzdanom
ocenom (1/k ~25%).
Na sličan način može se sračunati i pouzdanost standardnog odstupanja srednje vrednosti:
)1(2
n
sX . (3.3.2.4-6)
3.3.2.5 Kovarijansa
U poglavlju 2.3.3. data je definicija kovarijanse. Praktičan izraz za računanje kovarijanse
definisaćemo na sledeći način. Neka je dat uzorak (skup) od n parova vrednosti
),(),...,,(),,(2211 nn
yxyxyx vektora slučajnih promenljivih )~,~( yx . Kovarijansa uzorka
definiše se kao:
yyxxn
si
n
i
ixy
11
1, (3.3.2.5-1)
gde su x i y srednje vrednosti pojedinog uzorka.
PRIMER 3.3.2.5-1: Na osnovu dva niza datih vrednosti, oceniti njihovu kovarijansu.
REŠENjE: Shodno izrazu 3.3.2.5-1 sledi
.37.0xy
s
Napomena: Funkcija )2;1( arrayarrayCOVAR , kao i alatka Covariance u okviru
komande Data Analysis u okviru aplikacije Microsoft Excel nude mogućnost računanja jedino kovarijanse populacije pa se ne mogu primenjivati prilikom računanja kovarijanse uzorka (što je bio slučaj u ovom primeru).
3.3.3 Kriterijumi izbora ocenjivača i metode ocena
Izvođenje zaključaka o parametrima raspodela verovatnoća na osnovu statistika uzoraka
naziva se ocenjivanjem. Statistika uzorka koja se koristi za ocenjivanje odgovarajućeg
17.5 19
17.81 19.34
18.12 19.68
18.43 20.02
18.74 20.36
19.05 20.7
94
parametra naziva se ocenjivačem, sračunati rezultat naziva se ocenom ili, preciznije,
tačkastom ocenom.
Primeri ocenjivača su srednja vrednost uzorka x , varijansa uzorka 2
xs i kovarijansa uzorka
xys . Oni predstavljaju ocenjivače parametara raspodela
xyx ,, 2 , respektivno. Sa
stanovišta statistike, sve izvedene vrednosti iz opažanja predstavljaju ocene odgovarajućih
parametara raspodele. S obzirom da se ocene mogu dobiti na više različitih načina,
neophodno je uvesti određene kriterijume koji unapred garantuju kvalitet ocenjivanja.
Najvažnija su četiri kriterijuma, i to:
- Konzistentnost;
- Nepomerenost;
- Minimalna varijansa; i
- Efikasnost i dovoljnost.
3.3.3.1 Kriterijumi izbora ocenjivača
Za ocenjivač se kaže da je konzistentan ukoliko verovatnoća da će ocenjivač p težiti
parametru p , kada n konvergira ka 1, odnosno 1)ˆ(lim
ppPn
. Za takav
ocenjivač se kaže da u verovatnoći konvergira ka svom parametru.
Kod uzoraka malih dimenzija, konzistentnost koja se vezuje za granični slučaj kada n
nije od bitne važnosti.
Od ocenjivača se očekuje da obezbedi nepomerene ocene. To znači da očekivana vrednost
statistike uzorka treba biti identična svom parametru p , za bilo koje n , ili ppE )ˆ( .
Ukoliko važi jednakost samo za n , kaže se da je ocenjivač asimptotski nepomeren.
Na slici 3.3.3.1-1, ilustrovana su tri različita ocenjivača od p . Prva dva su nepomerena, dok
je treći pomeren. Sistematski uticaj (bias) označava razliku između parametra i očekivane
vrednosti ocenjivača. Definiše se kao ppEbias )ˆ( i još se naziva sistematski efekat ili
sistematska greška. Povećanjem broja merenja neće se otkloniti sistematski efekti.
Minimalna varijansa ocene predstavlja sledeći kriterijum izbora ocenjivača. Na slici 3.3.3.1-
1 vidi se da je varijansa od 1
p manja od varijanse ocene od 2
p , dok je varijansa od 3
p ,
najmanja. Kada bi se uzeo samo kriterijum minimalne varijanse, odabrala bi se ocena 3
p .
Međutim, imajući u vidu da je ocena od 3
p pomerena, jasno je od kolike je važnosti
kriterijum nepomerenosti.
Slika 3.3.3.1-1 jasno ukazuje i na odnos tačnosti i preciznosti. Oblik funkcije (raširenost)
raspodele ukazuje na preciznost, tako da je 2
p najnepreciznija ocena, a 3
p najpreciznija. Sa
druge strane, ako smo tačnost definisali kao bliskost ocene istinitoj vrednosti, tada su sa slike
3.3.3.1-1, ocene 1
p i 2
p jednako tačne, ali nisu precizne kao 3
p . Opet, ocena 3
p je
najpreciznija, iako je najmanje tačna. Dakle, razlika između preciznosti i tačnosti jeste u
eventualnom prisustvu sistematskog efekta. Preciznost podrazumeva prisustvo samo
slučajnih efekata, dok tačnost podrazumeva prisustvo slučajnih i sistematskih uticaja.
95
Slika 3.3.3.1-1: Pomereni ocenjivač
Nepomereni ocenjivač koji zadovoljava kriterijum minimalne varijanse naziva se još i
efikasnim ocenjivačem. Tako, ukoliko je varijansa od 1
p manja nego varijansa od 2
p , a 1
p
i 2
p su ocenjivači od p , tada je ocena 1
p efikasnija, a efikasnost ocene 2
p iznosi )/( 2
ˆ
2
ˆ 21 ppss
. Za ocenjivač se kaže da je dovoljan (sufficient) ukoliko uključuje sve raspoložive
informacije o parametru koga ocenjuje.
3.3.3.2 Metode ocena (ocenjivanja) parametara
Za ocenu parametara postoji više metoda. Ocenjivači koji poseduju sve četiri nabrojane
karakteristike nazivaju se najboljim ocenjivačima (best estimators). Neki od kriterijuma su
po prirodi asimptotski, pa u tom slučaju za njih se kaže da su ocenjivači sa asimptotskom
normalnom raspodelom pri n . U praktičnim primenama statističkog ocenjivanja iz
uzoraka, da bi se odabrao najbolji metod nije nužno proveravati zadovoljavanje pomenutih
kriterijuma. Za pojedine metode se generalno zna koja svojstva poseduju.
Najčešće se koriste sledeće metode:
- Metoda momenata;
- Metoda maksimalne verodostojnosti; i
- Metoda najmanjih kvadrata.
Kod metode momenata, k-ti momenat uzorka oblika:
k
ikx
nm
1, (3.3.3.2-1)
definiše ocenu k-tog momenta raspodela verovatnoća. Jedan od primera jeste srednja
vrednost. Ako (3.3.3.2-1) primenimo na drugi centralni momenat, dobijaju se asimptotski
nepomereni ocenjivači za varijansu i kovarijansu.
(1)
(2)
(3)
Sistematski efekat (bias)
96
Metoda maksimalne verodostojnosti se veoma često koristi u statistici. Prilikom ocena
parametara ova metoda obezbeđuje maksimalnu verovatnoću. Ukoliko su slučajne
promenljive i
x nezavisne i iste raspodele, tada vektor slučajnih promenljivih ),...,,(21 n
xxx
poseduje zajedničku funkciju gustina oblika:
n
mimnppxfppxxL ),...,;(),...,;,...,(
111, (3.3.3.2-2)
koja se naziva funkcijom verodostojnosti. Gustine )(i
xf su funkcije nepoznatih parametara
mpp ,...,
1 koji su sa vrednostima iz uzorka povezane sa ),...,(
niixxgp . Ocene
ip od
ip
dobijaju se maksimiziranjem funkcije L . Maksimiziranje se ostvaruje uz uslove:
0
p
L ili 0
ln
p
L, (3.3.3.2-3)
čijim rešavanjem se dobijaju ocenjivači parametara i
p koje nazivamo ocenjivačima
maksimalne verodostojnosti. Značajna osobina ove metode jeste obavezno poznavanje
funkcije raspodele slučajne promenljive o kojoj je reč. Za ilustraciju primene metode
maksimalne verodostojnosti prilikom izvođenja ocenjivača za srednju vrednost ili varijansu,
čitalac se upućuje na brojnu literaturu (na primer, Mikhail and Ackerman, 1971, Koch, 1988
i dr.).
Treća metoda koja se najčešće primenjuje prilikom ocena parametara jeste metoda
najmanjih kvadrata (least squares method). Metod najmanjih kvadrata (u daljem tekstu
MNK) više od 200 godina se koristi u mnogim naukama. Iako ju je Carl Friedrich Gauss
poznavao još od 1794. godine, Legendre je ovu metodu prvi koristio još 1805. godine. Njima
dvojici treba pridružiti još i Laplace, čiji je doprinos razvoju metode takođe značajan,
posebno u teorijskom smislu.
Kod MNK, za razliku od metode maksimalne verodostojnosti, kod ocene parametara nije
neophodno saznanje o tipu raspodele kojoj opažanja pripadaju. Međutim, kada je reč o
definisanju intervala poverenja ili testiranju hipoteza vezanih za određene parametre takav
zaključak ne važi, tj. važno je poznavanje raspodele promenljivih. Ukoliko opažanja
pripadaju normalnoj raspodeli i ukoliko su nezavisna, ocene po MNK su identične kao u
slučaju primene metode maksimalne verodostojnosti. Rešenje po MNK metodi dobija se uz
kriterijum minimizacije sume kvadrata reziduala, o čemu će biti detaljnije govora u
narednom kursu računa izravnanja. Detaljnije o MNK metodi čitalac može naći u (Mickhail
and Ackerman, 1971; Perović, 2006; i dr.).
Pitanja za proveru znanja
1. Populacija i uzorak.
2. Greška, najverovatnija vrednost, rezidual, broj stepeni slobode.
3. Ocene mera položaja.
4. Ocene mera disperzije.
5. Raspon uzorka, srednje (prosečno) odstupanje.
97
6. Varijansa.
7. Standardna greška.
8. Standardno odstupanje.
9. Standardno odstupanje srednje vrednosti.
10. Ocena pouzdanosti standardnog odstupanja pojedinog merenja i standardnog
odstupanja srednje vrednosti.
11. Kovarijansa dve slučajne promenljive.
12. Ocenjivanje i ocenjivači.
13. Kriterijumi kvaliteta ocenjivača.
14. Preciznost i tačnost.
15. Najbolji ocenjivač.
16. Metode ocena.
98
4. INTERVALSKE OCENE
4.1 Uvod
Ocene srednje vrednosti, varijanse i kovarijanse slučajnih promenljivih iz uzorka merenja
spadaju u tzv. tačkaste ocene, jer je svaki rezultat jedna realizacija vrednosti parametra. Za
razliku od tačkastih ocena, kada iz uzoraka definišemo intervale poverenja, tada govorimo
o intervalskim ocenama.
U tabeli 4.1-1 data je populacija ograničenog tipa od 100 rezultata merenja neke fizičke
veličine. Srednja vrednost i varijansa date populacije iznose =19.9 i 2 =8.5, respektivno.
Ako iz tabele po principu slučajnog uzorka izdvojimo 10 vrednosti, moguće je sračunati
srednju vrednost i varijansu. Ne može se očekivati da će ponovljene statistike biti identične
prvobitnim. Takođe, moguće je odabrati više skupova po 10 rezultata, sračunati statistike i
ponovo konstatovati da one nisu potpuno identične. Međutim, ukoliko osnovni skup od 10
vrednosti budemo postepeno povećavali (tabela 4.1-2), ocene srednjih vrednosti i varijansi
će se približavati vrednostima parametara "populacije". Srednja vrednost x i varijansa 2s ,
budući da se računaju na osnovu slučajnih promenljivih i same su slučajne promenljive.
Naime, iako su uzorci istih dimenzija, ocene parametara su različite, što znači da i one same
sadrže u sebi greške. Da bi ilustrovali navedenu tvrdnju, iz Tabele 4.1-1 izdvojićemo uzorke
od po 10 vrednosti (Tabela 4.1-3).
Tabela 4.1-1: Elementi populacije (100 vrednosti) 19.1 19.3 19.7 20.1 19.5 19.2 19.3 19.7 20.1 19.5
19.4 18.4 19.1 20.3 19.5 19.4 18.4 19.1 20.3 19.5
19.3 18.9 19.2 19.3 18.8 19.1 18.9 19.8 19.9 29.8
18.7 18.4 18.3 19.7 20.1 17.7 18.4 18.3 19.7 21.1
19.5 19.3 19.3 21.2 21.2 19.1 19.1 19.3 21.2 21.2
15.7 19.2 18.9 23.1 18.3 17.7 19.2 18.6 29.1 18.3
18.3 20.2 18.2 21.2 19.5 18.3 20.2 15.8 21.2 19.5
19.5 21.4 17.7 19.5 19.3 6.1 25.1 17.7 19.9 28.3
19.9 28.1 19.7 28.5 18.7 19.9 23.1 19.7 18.5 28.7
18.2 20.1 21.2 19.3 18.2 18.2 21.1 20.2 19.7 18.9
Sračunate su srednje vrednosti i varijanse za svaki uzorak. Posmatrajući vrednosti sračunatih
ocena može se uočiti njihova različitost, a što je i očekivano sudeći prema ranije iznetim
zapažanjima o osobinama slučajnih promenljivih. S obzirom na promenljivost parametara,
nameće se pitanje – kakva je pouzdanost dobijenih ocena?
Logičan odgovor bi bio – veće poverenje ima uzorak sa manjom varijansom. Ako
posmatramo Tabelu 4.1-3, sudeći po vrednosti varijanse ispostavilo bi se da prvi uzorak ima
najpouzdaniju ocenu srednje vrednosti. Međutim, kao što se vidi, srednja vrednost petog
uzorka je bliža po vrednosti oceni srednje vrednosti populacije.
99
Tabela 4.1-2: Vrednosti parametara za različite veličine uzorka
Br.el. x 2s
10 18.8 1.5
20 19.5 5.3
30 19.4 3.8
40 19.9 5.3
50 19.8 4.4
60 19.4 6.9
70 19.5 6.6
80 19.4 6.1
90 19.6 6.5
100 19.9 8.5
Kada posmatramo neki uzorak, vrlo važno pitanje jeste i njegov obim (dimenzija). Na
primer, statistike sračunate iz uzorka od 30 elemenata su pouzdanije od statistika dobijenih
iz uzorka od pet elemenata, čak i ako su im varijanse približne. U statistici, povezanost
između uzoraka, njihovog obima, srednje vrednosti i varijanse, od posebnog su značaja i
pripadaju teoriji raspodela uzorka (sampling distribution theory).
Tabela 4.1-3: Pet uzoraka po 10 slučajno odabranih elemenata x 2s
19.1 19.3 19.7 20.1 19.5 19.2 19.3 19.7 20.1 19.5 19.6 0.1 Uzorak 1
19.4 18.4 19.1 20.3 19.5 19.4 18.4 19.1 20.3 19.5 19.3 0.4 Uzorak 2
19.3 18.9 19.2 19.3 18.8 19.1 18.9 19.8 19.9 29.8 20.3 11.3 Uzorak 3
18.7 18.4 18.3 19.7 20.1 17.7 18.4 18.3 19.7 21.1 19.0 1.1 Uzorak 4
19.5 19.3 19.3 21.2 21.2 19.1 19.1 19.3 21.2 21.2 20.0 1.0 Uzorak 5
4.2 Interval poverenja srednje vrednosti populacije
U prethodnim poglavljima istaknuta je primena standardizovane normalne raspodele pri
predikciji intervala kojem pripada srednja vrednost populacije. Interval se definiše na osnovu
srednje vrednosti uzorka i standardnog odstupanja rezultata merenja koji mu pripadaju. Kako
je već istaknuto ranije, normalna raspodela obuhvata čitavu populaciju, dok uzorci merenja
po svojim osobinama, pogotovo malih dimenzija, mogu značajno varirati od normalne
raspodele. Kao posledica toga došlo je, na primer, do pojave studentove raspodele. Ukoliko
je uzorak dovoljno veliki (generalno, preko 30 rezultata) tada obe raspodele daju isti rezultat.
Međutim, ukoliko je uzorak manji od 30, preporučuje se primena studentove raspodele.
Da bi izrazili interval poverenja srednje vrednosti populacije na osnovu jednog uzorka
rezultata merenja koji se ponašaju po zakonu normalne raspodele sa očekivanjem i
varijansom n2 , neophodno je sračunati srednju vrednost uzorka x . Kada
standardizovanu slučajnu promenljivu normalne raspodele )()( nxz zajedno sa
(2.4.2.2-3) uvrstimo u (2.4.2.3-2) dobiće se sledeći izraz:
100
ns
x
s
nx
fsf
nx
f
zt
/
//
/
222. (4.2-1)
Da bi se na osnovu srednje vrednosti i varijanse datog uzorka odredio interval poverenja
srednje vrednosti populacije kojoj uzorak pripada, neophodno je definisati verovatnoću
intervala (1-). Na primer, za 95% interval poverenja (nešrafirana površ na slici 4.2-1),
verovatnoće levo i desno od granica intervala iznose po 0.025, sa obe strane. Za zadatu
verovatnoću i broj stepeni slobode, iz tablica studentove raspodele određuje se vrednost
kvantila t/2,f.
Razmotrimo način definisanja veličina intervala poverenja srednje vrednosti populacije u
slučaju kada nije poznata varijansa populacije. Da bi smo došli do rešenja problema,
posmatrajmo uzorak rezultata merenja srednje vrednosti x i varijanse 2s . Tvrdnja o
verovatnoći veličine intervala (definiše površinu ispod krive raspodele) glasi:
1,2/ f
ttP . (4.2-2)
Zamenom (4.2-1) u (4.2-2) dobija se izraz oblika:
1,2/ f
tns
xP , (4.2-3)
koji kada se vrednost u zagradi sredi, konačno glasi:
1
,2/,2/
n
stx
n
stxP
ff . (4.2-4)
Slika 4.2-1: Interval poverenja t raspodele
Dakle, ako su dati x , f
t,2/
, n i s , na osnovu (4.2-4) sledi da (1-) interval prostiranja
srednje vrednosti populacije , koji se još zove i nivo poverenja, glasi:
+ t
- t
/2 /2 P=1-
101
n
stx
n
stx
ff ,2,2 , (4.2-5)
gde 2
t predstavlja kvantil studentove raspodele za broj stepeni slobode f i nivo
značajnosti .
PRIMER 4.2-1: Neka je jedna dužina merena u seriji od 20 rezultata i neka srednja vrednost iz 20 rezultata merenja iznosi 130.452 m. Ukoliko je standardno odstupanje
mms 3.2 , odrediti 95% interval poverenja srednje vrednosti populacije. Uporediti
dobijeni interval sa intervalom definisanim po normalnoj raspodeli.
REŠENjE: S obzirom da je broj stepeni slobode 19f , iz tablica Studentove raspodele
za 19 stepeni slobode i 025.02/ određujemo vrednost kvantila 093.2025.0,19t
Dvostrani test
Napomena: Kompletna tablica nalazi se na 205. strani.
Interval poverenja definiše se kao
453.130451.130
20
3.2093.2452.130
20
3.2093.2452.130
.
Odnosno, sa 95% verovatnoćom se nalazi u intervalu ,025.0
n
stx ili
1.1452.13020
3.2093.2 x .
Ukoliko bi se radilo o skupu većih dimenzija (n>30), tada iz tablica normalne raspodele, za 95%, vrednost kvantila iznosi 1.96, pa bi interval bio nešto uži, i glasi
0.1452.13020
3.296.1 x
.
f/α 0.2 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005
17 1.333 1.508 1.740 2.110 2.458 2.898 3.222
18 1.330 1.504 1.734 2.101 2.445 2.878 3.197
19 1.328 1.500 1.729 2.093 2.433 2.861 3.174
20 1.325 1.497 1.725 2.086 2.423 2.845 3.153
21 1.323 1.494 1.721 2.080 2.414 2.831 3.135
t/α 0.100 0.075 0.05 0.025 0.0125 0.005 0.0025
Jednostrani test
102
U prethodnom primeru ilustrovan je slučaj kada nije poznata varijansa populacije. Međutim,
ukoliko je varijansa populacije poznata, u tom slučaju interval poverenja srednje vrednosti
populacije računa se na sledeći način:
nzx
nzx
22. (4.2-6)
Za 05.0 iz tablica normalne raspodele uzima se vrednost kvantila 96.12
z , pa
obostrani interval poverenja srednje vrednosti populacije, za poznatu vrednost standardnog
odstupanja pojedinog rezultata merenja izgleda:
95.096.196.1
nx
nxP . (4.2-7)
Pored dvostranog intervala poverenja, ponekad je neophodno definisati jednostrani interval
koji glasi:
1
nzxP . (4.2-8)
PRIMER 4.2-2: Neka je jedna dužina merena osam puta n = 8 i neka je srednja vrednost
jednaka cmx 3.19 . Ukoliko je varijansa populacije normalne raspodele poznata i iznosi 22 20.0 cm , za verovatnoću od 95% odrediti obostrani i jednostrani interval poverenja
srednje vrednosti populacije .
REŠENjE: Obostrani interval:
96.1975.0)(95.01)(295.0)(171242
z zF zF
n
xZ zZzP
)-...(
95.0)69.1991.18(
8
20.096.13.19
8
20.096.13.19
cmcmP
Jednostrani interval:
95.0)36.10(
95.0)8
20.0645.11.10(
cmP
P
103
4.3 Definisanje veličine uzorka
Često je u premeru neophodno odrediti koliko puta treba meriti neku veličinu da bi zahtevi
preciznosti bili zadovoljeni. U praksi nije uvek moguće proces merenja i veličinu uzorka
apsolutno iskontrolisati. Iz tog razloga umesto jedne, meri se više serija, pri čemu broj
rezultata u seriji ne mora biti isti. Što je broj elemenata u seriji merenja veći, to je interval
poverenja uži. Raspon u kojem se pri određenoj verovatnoći nalazi srednja vrednost
populacije , definiše se kao:
n
stx
2/ . (4.3-1)
Neka je I polovina intervala u kojem se nalazi srednja vrednost populacije. Tada, na osnovu
(4.3-1) sledi:
n
stI
2/ , (4.3-2)
odnosno:
2
2/
I
stn , (4.3-3)
gde je n broj ponavljanja merenja, I je očekivana polovina intervala poverenja, 2/
t je
kvantil studentove raspodele za broj stepeni slobode f , a s je standardno odstupanje
pojedinog merenja dobijeno ocenom iz uzorka (serije merenja, ...). S obzirom da broj
merenja, a time i broj stepeni slobode nisu unapred poznati, izraz (4.3-3) se modifikuje tako
što uvodimo standardnu slučajnu promenljivu normalne raspodele z i njoj korespodentnu
vrednost kvantila 2/
z :
2
2/
I
zn , (4.3-4)
gde je - unapred data vrednost standardnog odstupanja, n - broj ponavljanja, a 2/
z
-
kvantil normalne raspodele, dok je I očekivana polovina intervala poverenja.
PRIMER 4.3-1: Odrediti broj merenja koji je korespodentan 95% intervalu poverenja koji
iznosi 42 I . Dati podaci: Standardno odstupanje pojedinog merenja ugla iznosi 6.2 .
REŠENjE: Prema zahtevima, za 95% interval poverenja, definisana je polovina intervala
koja iznosi I 2 . Za zadatu verovatnoću, iz tablica normalne raspodele z vrednost iznosi 1.96.
104
Kada date vrednosti zamenimo u (4.3-4) dobija se 49.62
6.296.12
n . Kako dobijena
vrednost nije paran broj, a s obzirom na metodu merenja, zaključujemo da merenja treba obaviti iz 8 ponavljanja (četiri pri KL i četiri pri KD = četiri girusa)).
Do veličine uzorka može se doći i na osnovu izraza (3.3.2.4-4) i (3.3.2.4-5) (Nenadović,
1988). Da bi se sračunata vrednost standardnog odstupanja mogla smatrati pouzdanom za
svaku vrednost k broj merenja iznosi:
2
2
11 kn . (4.3-5)
Za svako n može se odrediti odgovarajuća vrednost k i . Tako, na primer, da greška
određivanja standardnog odstupanja jednog merenja ne pređe 25% svoje vrednosti,
neophodan broj merenja mora biti 9n ( 242
11 n ), odnosno mera pouzdanosti (shodno
3.3.2.4-4) iznosi 4 .
Izraz 4.3-5 se može primeniti i na Primeru 4.3-1. Naime, željena vrednost standardnog
odstupanja merenja u više girusa prema uslovima zadatka je manja za oko 23% u odnosu na
standardno odstupanje merenja ugla u jednom girusu ((2.6-2)/2.6)*100%), što znači da je
k=4.3, pa kada se primeni izraz 4.3-5 sledi da broj merenja ne treba da bude manji od 10 (
23.42
11 n =10), (ili 5 girusa). Broj girusa je nešto veći jer je i procenat dozvoljene
razlike dva standardna odstupanja manji (23% umesto 25%).
PRIMER 4.3-2: Na osnovu datog skupa podataka merenja ugla:
A) oceniti srednju vrednost ugla
B) oceniti standardno odstupanje pojedinog rezultata
C) oceniti standardno odstupanje srednje vrednosti ugla
D) odrediti približnu vrednost merenja
E) koliko puta treba meriti ugao da bi standardno odstupanje srednje
vrednosti bilo manje od 0.5.
REŠENjE:
A) 12.34 x
B) 47.2 s sa 6f
Xi
34.56
34.35
31.33
32.56
37.23
38.21
31.23
105
C) 40.1 X
s
D) s obzirom na napred navedeno pravilo, približna vrednost ugla bi bila 34, jer je
standardno odstupanje oko 3 što znači da jedinice sekundi u srednjoj vrednosti merenja nisu pouzdane. U ovakvim prilikama, besmisleno je izražavati srednju vrednost u stotim od sekunde, već se u praksi primenjuje pravilo da se rezultat prikaže na jednu cifru niže od
značajne cifre. U tom slučaju, srednja vrednost merenja ugla iznosila bi 2.34 x .
E) odnos broja merenja shodno (3.3.2.4-3) može se odrediti kao 4
2
X
X
n
n, što
znači da bi se tačnost povećala za polovinu svoje prethodne vrednosti potrebno je realizovati četvorostruko više merenja, odnosno 2874 merenja.
Napomena: U okviru aplikacije Microsoft Excel instaliranjem Analysis ToolPak-a, aktivira se komanda Data Analysis, koja omogućava analizu skupova podataka. Pokretanjem ove komande i odabirom alatke Descriptive Statistics moguće je odrediti statistike uzorka , kao i intervale poverenja za željenu verovatnoću. Nakon pokretanja alatke Descriptive Statistics pokreće se prozor koji sadrži:
-Input Range – selekcija uzorka čije statistike je potrebno odrediti,
-Grouped By - označiti da li su podaci uzorka raspoređeni u kolonu ili vrstu (Column ili Row),
-Output Range – selekcija polja koje predstavlja gornji desni ugao tabele u kojoj će se prikazati rezultati,
-Summary Statistics – aktivacija ove opcije podrazumeva određivanje sumarnih statistika uzorka (srednja vrednost, standardno odstupanje, varijansa, standardna greška, medijana, noda, raspon,…),
-Confidence Level for Mean – aktivacija ove opcije podrazumeva određivanje intervala poverenja za srednju vrednost uzorka i to za verovatnoću unetu u polje pored (predefinisana (default) vrednost je 95%),
-Kth Largest – aktivacija ove opcije omogućuje izdvajanje iz uzorka najveće vrednosti (ukoliko je u polje pored unet broj 1), druge najveće (ukoliko je u polje pored unet broj 2), itd.,
-Kth Smallest - aktivacija ove opcije omogućuje izdvajanje iz uzorka najmanje vrednosti (ukoliko je u polje pored unet broj 1), druge najmanje (ukoliko je u polje pored unet broj 2), itd.
U konkretnom primeru, statistike uzorka određene primenom ove alatke date su u tabeli ispod.
106
4.4 Interval poverenja varijanse populacije
Definisanje intervala poverenja varijanse populacije zasniva se na primeni 2 raspodele. Iz
tablica 2 raspodele određuju se vrednosti gornje granice intervala (površina ispod krive
raspodele od 2
do ) tj.
22P , (4.4-1)
za dati broj stepeni slobode f . Za razliku od normalne ili studentove raspodele, 2
raspodela nije simetrična. Da bi se definisala donja granica intervala neophodno je odrediti
vrednost kvantila 2
1 za
12
1
2P . Konačno:
12
2/
22
2/1P , (4.4-2)
pri čemu se vrednosti 2
2/1 i 2
2/ uzimaju iz tablica 2 raspodele.
Zamenom (2.4.2.2-3) u (4.4-2) dobija se izraz oblika:
2
2
2/
22
2
2/12
2/2
2
2
2/1
1
sfsfP
sfP , (4.4-3)
ili
12
2/1
2
2
2
2/
2 sfsfP . (4.4-4)
Column1
Mean (srednja vrednost) 34.21
Standard Error (standardna greška) 1.04
Median (medijana) 34.35
Mode (moda) #N/A
Standard Deviation (standardno odstupanje) 2.74
Sample Variance (varijansa uzorka) 7.53
Range (raspon) 6.98
Minimum (najmanja vrednost) 31.23
Maximum (najveća vrednost) 38.21
Sum (suma) 239.47
Count (broj elemenata uzorka) 7
Largest(1) (najveća vrednost) 38.21
Smallest(1) (najmanja vrednost) 31.23
Confidence Level (95,0%) (interval poverenja) 2,54
107
Konačno, (1-)∙100%. dvostrani interval poverenja varijanse populacije 2 glasi:
2
2/1
2
2
2
2/
2
sfsf. (4.4-5)
Jednostrani interval definiše se direktno iz izraza (4.4-1).
PRIMER 4.4-1: Na osnovu uzorka od 22 merenja jedne dužine ostvarena je preciznost
izražena standardnim odstupanjem od mm5.1 . Odrediti 95% interval poverenja za
varijansu populacije.
REŠENjE: Za interval poverenja od 95% i 21 stepen slobode, iz tablica 2 raspodele,
odgovarajuće vrednosti kvantila glase 28.102
975.0
2
2/1
, odnosno 48.352
025.0
2
2/
.
Na osnovu (4.4-5), interval varijanse populacije glasi
60.433.128.10
)5.1()122(
48.35
)5.1()122( 2
2
2
2
2
2/1
2
2
2
2/
2
sfsf
Dakle, za verovatnoću od 95%, varijansa populacije nalazi se u intervalu od 1.33 do 4.60.
Napomena: Kvantili 2 raspodele za zahtevanu verovatnoću i broj stepeni slobode mogu
se odrediti primenom funkcije )_;( freedomesdegreyprobabilitCHIINV (Primer 2.4.2.2-
1).
4.5 Interval poverenja količnika dve varijanse populacije
Ukoliko su dva skupa merenja realizovana po principu slučajnog uzorka i ukoliko pripadaju
normalnoj raspodeli, tada je raspodela količnika dve varijanse populacije 2
2
2
1 poznata,
odnosno ponaša se po osobinama Fišerove raspodele ili:
2
2
2
1
2
1
f
fF
. (4.5-1)
Zamenom (2.4.2.2-3) u (4.5-1) dobija se izraz oblika:
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
22
1
2
1
2
11
/
/
)//(
)//(
s
s
s
s
fsf
fsfF . (4.5-2)
Da bi definisali interval poverenja količnika dve varijanse, mora se odrediti donja i gornja
granica intervala iz tablica F raspodele za određenu verovatnoću i broj stepeni slobode. S
obzirom da tablice ne poseduju vrednosti donje granice, do istih se dolazi posredno.
108
Naime,
12
21
,,
,,1
1
ff
ffd
FFF
, (4.5-3)
gde je d
F donja granica (kvantil F raspodele). Jednakost kojom se izražava verovatnoća
intervala poverenja količnika dve varijanse koje pripadaju istoj populaciji glasi:
1)(2121 ,,2/,,2/1 ffff
FFFP ,
odnosno:
.111
)(
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
dg
gdgdgd
Fs
s
s
s
FP
Fs
s
s
sFPF
s
sFPFFFP
(4.5-4)
Zamenom (4.5-3) u (4.5-4) dobija se izraz oblika:
.11
11
12
21
2121
,,2/2
2
2
1
2
2
2
1
,,2/
2
2
2
1
,,2/1
2
2
2
1
2
2
2
1
,,2/
2
2
2
1
ff
ff
ffff
Fs
s
Fs
sP
Fs
s
Fs
sP
(4.5-5)
Dakle, na osnovu (4.5-5) sledi da (1-) interval poverenja količnika 2
2
2
1 izgleda:
12
21
,,2/2
2
2
1
2
2
2
1
,,2/
2
2
2
11
ff
ff
Fs
s
Fs
s
. (4.5-6)
U (4.5-6) može se uočiti da je kod gornje (desne) granice intervala obrnut redosled broja
stepeni slobode (2
f je u brojiocu, a 1
f u imeniocu).
Izraz (4.5-6) ima značajnu primenu pri analizi izravnanja geodetskih mreža. Naime, prilikom
izravnanja date tačke definišu položaj i orijentaciju nove horizontalne mreže. Ukoliko je broj
datih tačaka veći od minimalno neophodnog broja, tada one moraju biti međusobno
konzistentne. U protivnom, dolazi do deformacija i praktično date tačke kvare merenjima
postignutu tačnost. Da bi se izolovale date tačke koje nisu saglasne po tačnosti sa ostalim
datim tačkama, prvo se realizuje izravnanje sa minimalno neophodnim brojem datih tačaka
(minimally constrained adjustment), (u slučaju poligonskog vlaka, minimalno neophodan
broj datih uslova definišu jedna data tačka i azimut jedne strane). Nakon navedenog
izravnanja, sve date tačke se uključuju u novo izravnanje. Ukoliko je ocena varijanse iz
izravnanja sa minimalno neophodnim brojem datih tačaka 2
1s saglasna sa ocenom varijanse
109
iz izravnanja sa svim datim tačkama 2
2s , tada su date tačke međusobno konzistentne. Dakle,
uslov konzistentnosti datih tačaka glasi 1)( 2
2
2
1ss .
PRIMER 4.5-1: Neka je horizontalna geodetska mreža izravnata sa neophodnim minimalnim brojem datih tačaka i neka je pri 20 stepeni slobode dobijena ocena varijanse
1.12
1s . Nakon toga, mreža je izravnata sa svim datim tačkama i pri 26 stepeni slobode
ocenjena referentna varijansa iz izravnanja iznosi 8.22
1s . Može li se izvesti zaključak (pri
intervalu poverenja od 95%) da date tačke nisu međusobno konzistentne?
REŠENjE: Uočavamo veću vrednost varijanse i nju označavamo sa 2
1s , što znači da je broj
stepeni slobode u brojiocu 26, a u imeniocu 20. Iz tablica F raspodele, odredićemo vrednost kvantila za zadatu verovatnoću i dati broj stepeni slobode.
- donja granica: 38.220,26,025.0,,2/ 21
FF
ff
- gornja granica: 28.226,20,025.0,,2/ 12
FF
ff
Shodno (4.5-6), 95% interval poverenja količnika dve varijanse iznosi
77.1428.21.1
8.2
38.2
1
1.1
8.272,2
2
2
2
2
2
1
2
2
Pri verovatnoći od 95%, interval količnika dve varijanse iznosi od 2.72 do 14.77. S
obzirom da interval ne sadrži vrednost 1, može se zaključiti da je 12
2
2
1 , tako da je pri
verovatnoći od 95% , 2
2
2
1 . Na osnovu iznetih pokazatelja može se reći da date tačke
nisu međusobno konzistentne ili da su u opažanjima sadržane neotkrivene sistematske greške. Da bi se sistematski uticaji isključili, pre opažanja instrumenti za merenje se moraju ispitati i otkloniti svaka sumnja na prisustvo sistematskih efekata.
Napomena: Funkcija )2_;1_;( freedomdegfreedomdegyprobabilitFINV u okviru
aplikacije Microsoft Excel nudi mogućnost računanja kvartila F raspodele (Primer 2.4.2.4-
1).
4.6 Ocene iz parova merenja
Neka sun
xxx ,...,,21
i ''
2
'
1,...,,
nxxx parovi merenja isti fizičke veličine. Sa
id označimo
njihove razlike:
iiixxd . (4.6-1)
Ocena preciznosti razlike i
d pri merenjima iste preciznosti realizuje se na osnovu izraza
oblika:
110
n
ds
d
2
, (4.6-2)
pri čemu je 22 2xd
ss . Standardno odstupanje pojedinog merenja računa se kao:
n
dss d
x
22
2
(4.6-3)
U obradi parova merenja, često se koristi sredina 2
'
ii
i
xxx
sa standardnim odstupanjem
koje iznosi:
n
dsss dx
x
2
2
1
22. (4.6-4)
Matematičko očekivanje od i
d , ukoliko nema sistematskih uticaja, iznosi 0)( i
dE . U
protivnom, matematičko očekivanje neći biti jednako nuli, odnosno '
11)(
idE . Kao
kriterijum značajnosti prisustva sistematskih uticaja koristi se (Golubev, 2005):
n
dd
5.2 (4.6-5)
ili nešto stroži kriterijum koji glasi dd 25.0 .
Ukoliko je uslov zadovoljen, ocena tačnosti se realizuje na osnovu izraza (4.6-2), (4.6-3) i
(4.6-4).
Ukoliko uslov (4.6-5) nije zadovoljen, tada je ˆii
de , gde je n
d ocena
sistematskog uticaja. Tada, ocena tačnosti se realizuje na osnovi izraza oblika:
.1
2
n
es
d (4.6-6)
Analogno (4.6-3) i (4.6-4):
)1(22
2
n
ess d
x, (4.6-7)
i
111
12
1
22
2
n
esss dx
x. (4.6-8)
PRIMER 4.6-1: Data su merenja visinskih razlika napred-nazad. Sračunati standardna odstupanja pojedinih merenja i srednje vrednosti.
Shodno kriterijumu (5) dobija se
0.1910
245.220 ,
na osnovu čega zaključujemo da je sistematski uticaj značajan, nakon čega se isti mora uzeti u obzir, tj.
mm n
d00.2
10
20ˆ
.
Shodno (7), standardno odstupanje visinske razlike u jednom položaju nivelira dobija se kao:
mm n
ess d
x41.1
18
36
)1(22
2
.
Visinska
razlika Stanica 1 Stanica 2 d(mm) e e2
1 1.273 1.270 3 1 1
2 0.987 0.988 -1 -3 9
3 1.069 1.065 4 2 4
4 0.542 0.542 0 -2 4
5 0.768 0.766 2 2.2E-14 4.83E-28
6 0.895 0.891 4 2 4
7 1.166 1.167 -1 -3 9
8 1.304 1.302 2 2.2E-14 4.83E-28
9 1.198 1.194 4 2 4
10 0.484 0.481 3 1 1
-d = -2 -8 36
+d= 22 8
d = 20
IdI= 24.00
= 2 mm
112
Standardno odstupanje sredine dva čitanja iznosi mm s
s x
x00.1
2
41.1
2 .
U praktičnim uslovima, susrećemo se često sa merenjima čija tačnost nije uvek ista, odnosno
ix i
jx za ji su različite preciznosti, dok su
ix i
ix iste preciznosti. Tada je težina razlike
para merenja različite preciznosti jednaka:
iiidPPPP
i
2111 , (4.6-9)
odnosno:
2
i
d
PP
i . (4.6-10)
Ukoliko su sistematski uticaji isključeni, standardno odstupanje merenja jedinice težine
računa se kao:
n
Pd
n
dPs
d
2
22
0
, (4.6-11)
a pojedinog merenja težine i
P :
i
x
P
ss
i
0 , (4.6-12)
dok je standardno odstupanje srednje vrednosti para merenja 2
ii
i
xxx
jednako:
i
x
P
ss
i
2
0 . (4.6-13)
Ukoliko su sistematski uticaji
P
dPˆ u parovima merenja značajni, tada je:
)1(2
2
0
n
ePs , (4.6-14)
gde je ˆii
de .
Kriterijum značajnosti sistematskih uticaja glasi:
113
d
d
d
P
dPdP 5.2 , (4.6-15)
ili, uvažavajući 2
i
d
PP
i :
P
dPdP 5.3 . (4.6-16)
PRIMER 4.6-2: Na osnovu razlika merenja dužina napred-nazad, oceniti
a) značajnost prisustva sistematskih uticaja,
b) standardno odstupanje jedinice težine, i
c) srednje vrednosti parova merenja i standardna odstupanja srednjih vrednosti parova merenja
REŠENJE:
Primenom kriterijuma značajnosti sistematskih uticaja sledi:
P
dPdP
d
d
d
94.12
49.3
67.95.25.294.0
Vrednost sistematskih uticaja je: .27.0ˆ
d
d
P
dP
id
ixPP
i
2.4 1.1
-6.2 0.56
-2.2 0.64
1.3 0.45
-0.6 0.27
2.1 1
-4 0.75
1.4 1.2
7.5 0.48
-1.3 0.53
Σ = 0.4 Σ = 6.98
sistematski uticaji u parovima
merenja nisu značajni
114
Standardno odstupanje jedinice težine je .98.110
2.392
0
n
dPs
d
Standardna odstupanja srednjih vrednosti parova merenja određena su primenom formule
i
x
P
ss
i
2
0 .
Pitanja za proveru znanja
1. Tačkaste i intervalske ocene.
2. Interval poverenja srednje vrednosti populacije.
3. Veličina uzorka.
4. Interval poverenja varijanse populacije.
5. Interval poverenja količnika dve varijanse populacije.
6. Ocene iz parova merenja.
id
ixPP
i 2
id
2i
d
PP dP
d 2dP
d
ixs
2.4 1.1 5.76 0.55 1.32 3.17 1.3
-6.2 0.56 38.44 0.28 -1.74 10.76 1.9
-2.2 0.64 4.84 0.32 -0.70 1.55 1.8
1.3 0.45 1.69 0.23 0.29 0.38 2.1
-0.6 0.27 0.36 0.14 -0.08 0.05 2.7
2.1 1 4.41 0.50 1.05 2.21 1.4
-4 0.75 16 0.38 -1.50 6.00 1.6
1.4 1.2 1.96 0.60 0.84 1.18 1.3
7.5 0.48 56.25 0.24 1.80 13.50 2.0
-1.3 0.53 1.69 0.27 -0.34 0.45 1.9
Σ =0.4 Σ =6.98 Σ =131.4 Σ =3.49 Σ =0.94 Σ = 39.2
115
5. TESTIRANjE HIPOTEZA
Na osnovu informacija dobijenih proučavanjem uzoraka obično se donose ocene i odluke o
osnovnim skupovima - populacijama. Da bi se došlo do relevantnih ocena i odluka obično
se uvode pretpostavke o proučavanim populacijama. Takve pretpostavke nazivamo
hipotezama i one mogu biti istinite ili neistinite. Hipoteze se mogu odnositi na parametre
osnovnog skupa ili na verovatnoću raspodele. Drugim rečima, statistička hipoteza može se
definisati i kao pretpostavka koja se odnosi na zakon raspodela verovatnoća i može se
proveriti na osnovu uzorka.
U zavisnosti od toga da li se odnose na parametar raspodele ili na oblik raspodele, statističke
hipoteze se dele na parametarske i neparametarske.
U primeru 4.5-1 pažnja nije bila posvećena samo granicama intervala, već je interesantno i
ustanoviti da li količnik varijansi pripada određenom intervalu. Takvi slučajevi su u statistici
dosta česti. Naime, pored intervala, često je važno doći i do odgovora na pitanje – da li je
posmatrana statistika konzistentna sa očekivanjem? Procedura koja se koristi s ciljem
testiranja saglasnosti statistike sa očekivanom vrednošću naziva se testiranje hipoteza.
Procedura testiranja hipoteza sadrži sledeće osnovne elemente:
Nulta hipoteza u oznaci H0 predstavlja tvrdnju kojom se poredi statistika populacije
sa statistikom uzorka. Podrazumeva se da statistika uzorka pripada očekivanoj
populaciji. U primeru 4.5-1, nulta hipoteza bi glasila – količnik varijansi je statistički
ekvivalentan 1.
Alternativna hipoteza u oznaci Ha predstavlja tvrdnju koja se prihvata ukoliko je
doneta odluka o odbacivanju nulte hipoteze. Na taj način ona reprezentuje
alternativnu populaciju. U primeru 4.5-1, alternativna hipoteza bi glasila – količnik
varijansi nije jednak 1.
Test statistika predstavlja vrednost koja se računa iz uzorka podataka i koristi se
prilikom donošenja odluke o potrebi odbacivanja nulte hipoteze. Ukoliko se nulta
hipoteza odbaci, kaže se da sračunata statistika nije konzistentna sa očekivanom
vrednošću koja sledi iz populacije kojoj uzorak pripada. U primeru 4.5-1, nulta
hipoteza se odbacuje ukoliko količnik varijansi nije statistički ekvivalentan 1.
Reon odbacivanja definisan je vrednošću test statistike za koju se nulta hipoteza
odbacuje. U odnosu na intervale poverenja, ta vrednost predstavlja granice intervala.
Ukoliko je u odnosu na nultu hipotezu doneta odluka, uvek postoji mogućnost da je ona
pogrešna, odnosno ne može se sa 100%. sigurnošću tvrditi da je odluka korektna. U primeru
4.5-1, definisan je 95%. interval, tako da je verovatnoća pogrešne odluke 5%. Odnosno,
postoji izvesna mogućnost da količnik ne pripada definisanom intervalu, a da ipak pripada
pretpostavljenoj populaciji. Takvo stanje stvari zahteva detaljniju analizu čitavog slučaja.
Kada se donosi odluka o konkretnoj statistici, moguće su dve vrste grešaka. Moguće je
odbaciti nultu hipotezu kada je ona korektna ili prihvatiti je iako je nekorektna. Prvu vrstu
greške nazivamo greškom prve vrste (ili tip I), a drugu greškom druge vrste (tip II). Dakle,
ukoliko odbacimo nultu hipotezu kada je ona korektna, činimo grešku prve vrste, a kada
prihvatimo nultu hipotezu iako nije korektna, tada činimo grešku druge vrste. S obzirom da
116
dve greške ne pripadaju istoj populaciji, verovatnoće ostvarivanja svake posebno, nisu
povezane. Odluka se najčešće donosi imajući u vidu koji tip greške u datom slučaju izaziva
veće posledice. Na primer, ukoliko se zahteva da položajna tačnost neke tačke sa
verovatnoćom 95% bude u intervalu 2 cm, da bi se obezbedio u odnosu na zadatu
toleranciju geodetski stručnjak će radije načiniti grešku prve vrste. Isto tako, ukoliko je
neophodno za potrebe sitnorazmernog kartiranja obezbediti tačnost kontrolne tačke od 1 cm,
geodetski stručnjak će sa više hrabrosti napraviti grešku druge vrste.
Tabela 5-1: Test hipoteze
Stanje Odluka
Prihvata se H0 Odbacuje se H0
H0 istinito
Dobra odluka: P=1-α
(nivo poverenja)
Greška tip I: P=α
(nivo značajnosti)
Ha istinito Greška tip II: P=β Dobra odluka: P=1-β
(moć testa)
U nekim situacijama, da bi se ustanovila pouzdanost donete odluke, računa se verovatnoća
pojave grešaka prve i druge vrste.
Slika 5-1: Grafički prikaz grešaka prve i druge vrste
Tabela 5-1, sadrži odnos između odluke, verovatnoća i i odluke o prihvatanju ili
odbacivanju nulte hipoteze H0. Na slici 5-1, kriva raspodele sa leve strane reprezentuje
raspodelu koja se odnosi na nultu hipotezu, dok kriva s desne strane reprezentuje alternativnu
hipotezu. Za krivu raspodele može se reći da predstavlja merenja oslobođena svih drugih
osim slučajnih uticaja, dok merenja reprezentovana desnom krivom sadrže eventualno i neke
neželjene efekte (grube greške). Sa slike se može zaključiti da će korektna merenja u reonu
leve raspodele biti odbačena sa nivoom značajnosti . Drugim rečima, reprezentuje
verovatnoću pojave greške prve vrste (tip I) i poznata je pod nazivom nivo značajnosti testa.
Nasuprot, ukoliko podaci pripadaju raspodeli označenoj krivom sa desne strane (slika 5-1)
tada će oni biti prihvaćeni sa nivoom značajnosti . Vrednost 1- naziva se moć testa i
označava verovatnoću prihvatanja alternativne hipoteze kada je ona korektna. Računanje
vrednosti i 1- nije jednostavno, jer se generalno ništa određeno ne zna o raspodeli
alternativne hipoteze. Praktično, prilikom statističkog testiranja, cilj je dokazati ispravnost
Odbacivanje H0
, Greška Tip I
Raspored H0 Raspored Ha
, Greška Tip II
Kritična
vrednost
Odbacivanje Ha
117
alternativne hipoteze pokazujući da dati podaci protivreče statistici izvedenoj po osnovu
raspodele korespodentne nultoj hipotezi. Na taj način, jedino se može definisati greška prve
vrste (tip I), odnosno verovatnoća odbacivanja nulte hipoteze kada je ona korektna.
PRIMER 5-1: Neka je testom čija je verovatnoća uspešnosti otkrivanja nekog oboljenja 95%, analiziran uzorak od 1000 lica. Test je pokazao da je 920 negativnih i 80 pozitivnih slučajeva. Od 80 pozitivnih, kasnije se ispostavilo da u 5% ili 4 lica, test nije dao korektan rezultat (četiri lica nije bilo zaraženo) Dakle u 5% slučajeva doneta je pogrešna odluka i
ona predstavlja grešku prve vrste (tip I) pri nivou značajnosti . Slično, od 920 negativnih, 0.05 x 920 ili 46 lica je ipak bilo zaraženo (doneta pogrešna odluka u broju negativnih
slučajeva). U ovom slučaju, načinjena je greška druge vrste pri verovatnoći koja iznosi
=0.046 (46/1000), dok je moć testa jednaka 1-=0.954.
Na osnovu svih napred iznetih konstatacija može se istaći da je za dato H0 moguće definisati
verovatnoću pojave greške prve vrste. Međutim, i pored poznavanja i dimenzija uzorka n,
verovatnoća pojave greške druge vrste (tip II) može biti nepoznata. Ukoliko su nulta hipoteza
H0 i fiksno definisani, moć testa se jedino može povećati uvećanjem dimenzija skupa
(povećanjem broja merenja). S obzirom da je moć testa često niska ili je nepoznata, prilikom
donošenja odluka u postupku testiranja hipoteza, odluka se često radije formuliše na sledeći
način – ne odbacuje se nulta hipoteza i sl. odnosno, po pravilu, izbegava se zaključak tipa –
prihvata se tvrdnja (nulta hipoteza) ili sl. Slična je situacija i sa geodetskim merenjima.
Ukoliko merena dužina sadrži značajnu sistematsku grešku, u postupku izravnanja sa datim
veličinama (većim od minimalnog broja), istu je moguće otkriti, na osnovu čega će doći do
odbacivanja nulte hipoteze. Međutim, ukoliko dužina sadrži sistematsku grešku manjeg
intenziteta, mogućnost njenog otkrivanja će biti vrlo mala. Dakle, s obzirom da se pri
odbacivanju nulte hipoteze izvestan nivo poverenja može definisati, ne može se nikada nulta
hipoteza sa sigurnošću prihvatiti, jer se verovatnoća pojave sistematskih grešaka malih po
intenzitetu ne može jasno iskazati.
5.1 Testiranje hipoteza o pripadnosti pojedinih elemenata osnovnom skupu
Dozvoljena odstupanja definišu se da bi iz rezultata merenja isključili one rezultate merenja
za koje se pretpostavlja da sadrže grube greške. Postoji više načina za analizu rezultata
merenja na prisutnost grubih grešaka. Tako, na primer Perović (1987) opisuje dva različita
slučaja: prvi – kada je poznato standardno odstupanje rezultata merenja i drugi – kada
standardno odstupanje merenja nije poznato. Oba načina proizilaze iz prirode definisanja
intervala poverenja.
5.1.1 Analiza homogenosti rezultata merenja pri poznatom standardnom
odstupanju
Neka su n
xxx ,...,,21
rezultati merenja fizičke veličine X koji po pretpostavci pripadaju
normalnoj raspodeli, čiji je standard merenja poznat ( ) i neka je n
x rezultat merenja za
118
koji se pretpostavlja da sadrži neželjene efekte (rezultat koji odskače – outlier). Ukoliko je
poznata vrednost standardnog odstupanja merenja , postavlja se pitanje – kako statističkim
metodama doći do odgovora na pitanje da li pomenuti rezultat merenja sadrži u sebi
neželjene efekte (grubu grešku). Razlikujemo dva slučaja: prvi – kada je poznata istinita
vrednost i drugi – kada nije poznata istinita vrednost fizičke veličine.
Ukoliko je poznata tačna vrednost fizičke veličine (A), tada istinite vrednosti grešaka
merenja glase AX , a statistika:
)1,0(N~
(5.1.1-1)
se pokorava zakonu normalne raspodele sa očekivanjem 0 i varijansom 1.
Saglasno teoriji normalne raspodele, važi sledeća jednakost:
1)(2
zP . (5.1.1-2)
Veličina:
Gz
2/ (5.1.1-3)
definiše dozvoljeno odstupanje rezultata merenja od istinite vrednosti (granična greška),
2/z je kvantil normalne raspodele pri nivou značajnosti 9, a
je standradno odstupanje
razlike i jednako je X
.
U praktičnim primenama usvaja se obično da je:
XG 3
i sve greške veće po apsolutnoj vrednosti od X
3 smatraju se grubim greškama i kao takve
izostavljaju se iz dalje obrade.
Testiranje rezultata merenja na prisutnost grube greške realizuje se na sledeći način:
- definisanje nulte hipoteze o
H : n
x ne sadrži grubu grešku,
- definisanje alternativne hipoteze a
H : n
x sadrži grubu grešku,
- računanje statistike: nn
Ax , i
- definisanje reona odbacivanja nulte hipoteze Gn
.
9 Napomena: U tablici 1a, kvantili z(F) i z(D) dati su za nivo značajnosti . Posebno je ovde važan dvostrani
interval, pri čemu kada koristimo tablicu 1a ne treba deliti nivo značajnosti sa 2.
119
Veličina 2/
z
(kritična vrednost, kvantil raspodele) uzima se iz tablica normalne raspodele
(Dodatak A, tabela 1a) po argumentu (nivo značajnosti) i najčešće se bira između
vrednosti 0.01 i 0.05.
Ukoliko istinita vrednost nije poznata, računa se srednja vrednost uzorka, kao:
n
ix
nX
1
1. (5.1.1-4)
U tom slučaju, verovatnoća da je odstupanje Xxi u dozvoljenim granicama iznosi
(Perović, 1988):
1)1
(2/
n
nzP . (5.1.1-5)
Na prisustvo grube greške, rezultate merenja raspoređene po normalnom zakonu sa
parametrima )(XE i 22 ))(( XEXE čiji je raspon definisan sa:
minmaxxxww
n ,
možemo testirati i pomoću dozvoljene (granične) vrednosti raspona merenja. Tada je:
ww
G, (5.1.1-6)
dozvoljena (granična) vrednost raspona merenja pri verovatnoći 1p , a
w je kvantil
raspodele normiranog raspona
/n
ww i koristi se najčešće kada je broj elemenata
uzorka mali. Kriterijum je efektivan za 10n , a naročito za 6n kada mu je efektivnost
praktično jednaka jedinici.
PRIMER 5.1.1-1: U skupu od 12 rezultata merenja 3, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 17, sa
parametrima 71.3ˆ0.8 ,X ispitati da li treba odbaciti najveću vrednost rezultata
opažanja ili ne.
REŠENJE: Raspon merenja iznosi 14317 n
w .
Pod pretpostavkom da rezultati merenja pripadaju normalnom rasporedu sa očekivanom
vrednošću 0.7X i standardom 5.2ˆ , dozvoljena (granična) vrednost raspona
merenja za 99% verovatnoću jednaka je: 2.135.229.5ˆ99.0
wwG
.
Prema ovom kriterijumu mogao bi se odbaciti najveći rezultat merenja 1712X .
Napomena: Vrednost kvantila 99.0
w je očitana u tabeli datoj na strani 221. za 99%
verovatnoću i broj merenja 12n .
120
5.1.2 Analiza homogenosti rezultata merenja pri nepoznatom standardnom
odstupanju
Jedan od načina testiranja prisustva rezultata merenja koja ne pripadaju datom skupu
prikazan je u na samom početku izlaganja, u delu u kojem je opisan grafički prikaz podataka
merenja. U praktičnim primenama pri analizi prisustva rezultata merenja koji ne pripadaju
datom skupu koristi se više metoda, od kojih će se u ovom poglavlju predstaviti samo neke
od njih.
Primenom studentove raspodele
Pri nepoznatom standardnom odstupanju, iz uzorka merenja neophodno je odrediti srednju
vrednost i standardno odstupanje bez sumnjivog rezultata merenja n
x , koji testiramo na
prisutnost neželjenih efekata:
1
1
1
1
1 n
ix
nX , (5.1.2-1)
1
1
2
11)(
2
1 n
i
iXx
ns , sa 2 nf stepeni slobode. (5.1.2-2)
U statistici, smatra se da 1
X i 1
s imaju nezavisnu različitu raspodelu, na osnovu čega sledi
da su razlika:
1
1 Xxnn , (5.1.2-3)
i standardno odstupanje 1
s takođe međusobno nezavisni u raspodeli, tako da važi sledeća
relacija:
1)1
(1,2
1
n
nstP
fn, (5.1.2-4)
pri čemu je
t kvantil studentove raspodele za nivo značajnosti i broj stepeni slobode
2 nf . Dakle, ukoliko je 1
1,2
1
n
nst
fnodbacuje se sumnjivi rezultat, a postupak
analize se ponavlja sve dok se ne eliminišu svi rezultati sa neželjenim efektima. Veličina:
1
1,2
1Gf
n
nst
, (5.1.2-5)
predstavlja dozvoljeno odstupanje rezultata merenja od srednje vrednosti pri nepoznatom
standardnom odstupanju rezultata merenja (nije unapred poznato, već se računa iz uzorka).
PRIMER 5.1.2-1: Za dati niz rezultata merenja 21.25; 21.25; 21.23; 21.25; 21.25; 21.25; 21.23; 22.11; 21.24; 21.25 sračunati: a) srednju vrednost rezultata merenja, b) standardno
121
odstupanje pojedinog rezultata merenja, c) 50%. i 95%. verovatne greške, i d) pri verovatnoći od 99.7% utvrditi da li neki od rezultata ne pripada datom skupu merenja.
REŠENjE: Prvo uočavamo rezultat koji najviše odstupa od ostalih rezultata merenja (odskače). Vrednost 22.11 izdvajamo i testiramo ga na pripadnost ostalom skupu. Za ocenu pripadnosti datom skupu neophodno je sračunati srednju vrednost, standardno odstupanje pojedinog rezultata i granice intervala preostalih vrednosti skupa za verovatnoću 99.7% (obično se uzima 99.7%, mada se može zahtevati i druga vrednost).
Na osnovu navedenih pokazatelja može se zaključiti da rezultat 22.11 sa verovatnoćom 99.7% ne pripada datom skupu (ne nalazi se u intervalu od 21.21 do 21.27). Postupak se ponavlja sa sledećim sumnjivim rezultatom. Kako ostale vrednosti pripadaju datom skupu, tražene vrednosti statistika prikazane su u tabeli.
Provera rezultata merenja na prisutnost grube greške primenom F raspodele
Provera rezultata merenja na prisutnost grube greške može se realizovati i pomoću Fišerove
raspodele. Pretpostavimo da je realizovano više serija merenja i neka se rezultati u i -toj
seriji rasipaju više nego u ostalim ( )... 22
2
2
nisss . Označimo sa 2
1ns varijansu iz svih
serija merenja osim i -te i neka je 1n
f njen broj stepeni slobode, a sa 2
1s varijansu uzorka i
-te serije sa 1
f stepeni slobode, za koju se pretpostavlja da sadrži grubu grešku. Tada
koristimo statistiku opisanu u poglavlju 5.5, oblika:
2
1
2
1
n
s
sF , (5.1.2-6)
a reon odbacivanja nulte hipoteze (H0: testirani rezultat sadrži grubu grešku) glasi:
11 ,,
nffFF . (5.1.2-7)
gde je1,, 1 nff
F je kvantil Fišerove raspodele za nivo značajnosti i broj stepeni slobode 1
f
i 1n
f .
Provera rezultata merenja na prisutnost grube greške primenom kriterijuma Šuvenea
Dozvoljene vrednosti grešaka svakako zavise i od broja izvršenih merenja. Ako broj
ponavljanja nije veliki, što je obično i slučaj u praksi, onda se kao kriterijum granične
vrednosti greške može koristiti i Šuveneov (Chauvenet) kriterijum koji glasi:
bez rezultata 22.11
Srednja vrednost 21.24 n = 8 Standardno odstupanje pojedinog rezultata 0.01
E50 0.01
E95 0.02
E99.7 0.03 Raspon = 21.21 do 21.27
122
s. (5.1.2-8)
Parametar zavisi od broja izvršenih merenja n i dat je u Tabeli 5.1.2-1.
Tabela 5.1.2-1: Vrednosti parametra
n n n n n n n
1 - 6 1.73 11 2.00 16 2.16 21 2.26 30 2.39 60 2.64
2 1.15 7 1.80 12 2.04 17 2.18 22 2.28 35 2.45 70 2.69
3 1.38 8 1.86 13 2.07 18 2.20 23 2.30 40 2.50 80 2.74
4 1.54 9 1.91 14 2.10 19 2.22 24 2.32 45 2.54 90 2.78
5 1.65 10 1.96 15 2.13 20 2.24 25 2.33 50 2.58 100 2.81
Provera rezultata merenja na prisutnost grube greške primenom Diksonovog Q-testa
Diksonov (Dixon) Q-test se primenjuje prilikom provere da li jedan i samo jedan rezultat ne
pripada uzorku malih dimenzija (od tri do deset rezultata). Q-test se zasniva na odnosu
raspona odgovarajućeg uzorka koji pripada normalnoj populaciji. Stoga se i prilikom
testiranja koristi Gausova raspodela. Prilikom otkrivanja i odbacivanja neželjenog rezultata
(outlier) Q-test se ne može primeniti nad preostalim podacima u uzorku.
Test se realizuje prema sledećoj proceduri:
Korak 1: Skup N vrednosti poređa se u varijacioni rastući niz: N
xxx ...21
.
Korak 2: Sračuna se statistika exp
Q , kao odnos razlike sumnjivog rezultata i njemu susedne
vrednosti i raspona uzorka. Tako, pri testiranju 1
x ili N
x (mogući neželjeni rezultati)
statistika exp
Q glasi:
1
12
exp
xx
xxQ
N
, odnosno
1
1
exp
xx
xxQ
N
NN
, (5.1.2-9)
Korak 3: Uporediti exp
Q sa kritičnom vrednošću crit
Q koju uzimamo iz tabele 5.1.2-2, pri
datom nivou poverenja (obično 95%).
Korak 4: Ukoliko je exp
Q > N
Q,
, odbacuje se odabrani rezultat; u protivnom isti
zadržavamo.
Nulta hipoteza ima sledeće značenje: Nema značajne razlike između sumnjivog rezultata i
ostalih rezultat, tako da je razlika posledica slučajnih uticaja.
Tabela 5.1.2-2 sadrži kritične vrednosti Q za p= 90%, 95% i 99% i N = od 3 do 10.
123
Tabela 5.1.2-2: Kritične vrednosti Q-testa
N critQ
(CL:90%)
critQ
(CL:95%)
critQ
(CL:99%)
3 0.941 0.970 0.994
4 0.765 0.829 0.926
5 0.642 0.710 0.821
6 0.560 0.625 0.740
7 0.507 0.568 0.680
8 0.468 0.526 0.634
9 0.437 0.493 0.598
10 0.412 0.466 0.568
PRIMER 5.1.2-2. Neka su dati sledeći rezultati merenja: 4.85, 6.18, 6.28, 6.49, 6.69.
grafički prikaz
Pri 95% intervalu poverenja, odgovoriti na pitanje, da li rezultat 4.85 sadrži neželjene efekte - gruba greška?
REŠENJE: 722.0)85.469.6/()85.418.6( crit
Q .
710.0critcrit
QQ , pri p=95% i N=5.
NAPOMENA: Pri 99%, sumnjiv rezultat bi bio prihvaćen.
Treba istaći, da Q-test nije tako efikasan u odnosu na neke druge robusne metode, kao što je
na primer, Huberov metod koji prilikom testiranja koristi sve podatke u uzorku, a ne samo
tri, koliko koristi Diksonov Q-test.
Provera rezultata merenja na prisutnost grube greške primenom Grubsovog testa
Test se realizuje na sledeći način. Prvo treba sračunati statistiku Z kao odnos razlike srednje
vrednosti i rezultata koji najviše odskače xn i standardnog odstupanja. U osnovi, test zahteva
poznavanje parametara populacije i 2 , pa je tada:
)(n
xZ . (5.1.2-10)
Kako je svega 5% vrednosti Gausove raspodele izvan intervala 96.1 , ukoliko je Z
veće od 961. , zaključak je da testirani rezultat ne pripada istoj populaciji. Ovaj pristup,
uspešno funkcioniše samo ako su poznati parametri populacije. U protivnom, kada parametri
outlier?
o o o o o
4 5 6 7
124
populacije nisu poznati, iz uzorka se računaju ocene parametara populacije, a vrednost Z ne
sme biti veća od NNZN
1 , gde je N ukupan broj elemenata uzorka. Na primer, za
N=3, Z ne sme biti veće od 1.555 (Tabela 5.1.2-3).
Tabela 5.1.2-3: Kritične vrednosti Grubsove statistike N ZN N ZN N ZN 3 1.15 19 2.68 35 2.98 4 1.48 20 2.71 36 2.99 5 1.71 21 2.73 37 3.00 6 1.89 22 2.76 38 3.01 7 2.02 23 2.78 39 3.03 8 2.13 24 2.80 40 3.04 9 2.21 25 2.82 50 3.13 10 2.29 26 2.84 60 3.20 11 2.34 27 2.86 70 3.26 12 2.41 28 2.88 80 3.31 13 2.46 29 2.89 90 3.35 14 2.51 30 2.91 100 3.38 15 2.55 31 2.92 110 3.42 16 2.59 32 2.94 120 3.44 17 2.62 33 2.95 130 3.47 18 2.65 34 2.97 140 3.49
Ukoliko je Z veće od ZN, tada je verovatnoća manja od 5% da će sumnjiv rezultat biti
odbačen. Još jednom se ističe, da ovaj postupak funkcioniše korektno jedino pri testiranju
ekstremne vrednosti rezultata u uzorku. Moguće je pristupiti testu i na drugi način. Sračuna
se Z za sve rezultate, a verovatnoću P samo za ekstremno Z. Ukoliko se rezultat odbaci, test
se ponavlja sve do eliminisanja svih sumnjivih rezultata. Međutim, ukoliko ima više
zagađenih merenja, ne može se koristiti ista tabela, već se po približnoj formuli može
sračunati verovatnoća za svaki sumnjiv rezultat kao:
22
2
)1(
)2(
NZN
ZNNT
, (5.1.2-11)
gde je N broj rezultata u uzorku, a Z je statistika korespodentna sumnjivom rezultatu.
Verovatnoća dvostranog testa računa se iz tablica studentove raspodele za f=N-2 stepeni
slobode (u Excelu, P=TDIST(T,f,2) gde je T sračunato u (5.1.2-11), a 2 označava da se radi
o dvostranom testu). Vrednost P=TDIST(T,f,2) množi se sa N i predstavlja približnu vrednost
verovatnoće testa na prisustvo grube greške. Za veliko Z dobija se precizno P, i obratno,
ukoliko je malo Z, P je značajno veliko.
5.2 Testiranje hipoteza o srednjoj vrednosti populacije
Ponekad se javlja potreba za testiranjem saglasnosti srednje vrednosti uzorka sa nekom
datom (poznatom) vrednošću. Nulta hipoteza kod ovog testa može imati dve forme:
jednostranu i dvostranu. Kod jednostranog testa, pažnja se poklanja utvrđivanju da li je
srednja vrednost uzorka statistički veća ili manja od srednje vrednosti populacije. Kod
125
dvostranog testa, testira se da li je srednja vrednost uzorka statistički različita od srednje
vrednosti populacije.
Prilikom testiranja saglasnosti srednje vrednosti uzorka sa srednjom vrednošću populacije u
praksi se pojavljuju dva slučaja: prvi - kada je poznato i drugi – kada je nepoznato.
5.2.1 Testiranje saglasnosti srednje vrednosti pri poznatom
Neka je dat skup vrednosti slučajne promenljive X i neka je poznata vrednost standardnog
odstupanja . Nulta hipoteza glasi xH :0
koja predstavlja tvrdnju o saglasnosti ocene i
njenog parametra koji je unapred poznat. Alternativna hipoteza ima tri opcije: x , x
, obe važe za jednostrani test ili x , važi za obostrani (dvostrani) test. Test statistika
(ocenjivač) glasi:
n
xz
. (5.2.1-1)
Ukoliko su
z i 2
z vrednosti dobijene iz tablica normalne raspodele za nivo značajnosti
, respektivno za jednostrani i dvostrani interval, u procesu donošenja odluke pojavljuju se tri
slučaja:
1. xH :0
; xHa
: ; Ukoliko je
zz , odbacuje se 0
H , jer je
z
n
xzP
2. xH :0
; xHa
: ; Ukoliko je
zz , odbacuje se 0
H , jer je
z
n
xzP
3. xH :0
; xHa
: ; Ukoliko je 2/
zz ili 2/
zz , odbacuje se 0
H , jer je
1
2/2/z
n
xzP .
5.2.2 Testiranje saglasnosti srednje vrednosti pri nepoznatom
Za nepoznato , test statistika glasi:
ns
xt
, (5.2.2-1)
126
koja je slična statistici z , s tom razlikom što se umesto koristi ocena s , a prilikom
testiranja,
z i 2
z se zamenjuju sa f
t,
i f
t,2
, gde je 1 nf , broj stepeni slobode.
Kod uzoraka većih dimenzija (preko 30) vrednost t zamenjuje se sa vrednošću z koja se
uzima iz tablica normalne raspodele.
PRIMER 5.2.2-1: Dužina baze za kalibraciju EDM iznosi 800.008 m. Iz 20 serija merenja sa EDM, dobijena je srednja vrednost koja iznosi 800.016 m sa standardnim odstupanjem
od m003.0 . Pri nivou značajnosti 05.0 dati odgovor na pitanje – da li srednja
vrednost značajno odstupa od najverovatnije vrednosti dužine baze.
REŠENjE:
Da bi se odgovorilo na postavljeno pitanje prvo treba definisati da li se radi o dvostranom ili jednostranom testu. S obzirom da je neprihvatljiva ni prekratka, a ni preduga vrednost, očigledno da nas zanima dvostrani test.
016.800:0
H
016.800: a
H
S obirom da se radi o dvostranom testu za 025.02/ i 19 stepeni slobode,
odgovarajuća vrednost kvantila iznosi 093.219,2/
t , odakle sledi da je test statistika manja
od tablične vrednosti, a samim time se izvodi zaključak da je razlika značajna. Takođe, do istog zaključka dolazimo i ukoliko formiramo intervalsku ocenu srednje vrednosti. Tako
95% interval poverenja glasi 017.800015.800 , odakle sledi isti zaključak – srednja
vrednost dobijena iz 20 serija merenja (800.016 m), statistički je različita od najverovatnije vrednosti koja iznosi 800.008 m.
U praksi se javlja čest slučaj da se porede srednje vrednosti dva međusobno nezavisna uzorka
merenja nejednakih dimenzija n1 i n2 koji pripadaju normalnoj raspodeli sa očekivanjima 1
i 2
i poznatih varijansi 2
1 i 2
2 .
Nulta hipoteza glasi 210
: H . Alternativna hipoteza glasi: 21
. Test koristi razliku
srednjih vrednosti uzoraka 21
xx i standardizovanu slučajnu promenljivu, tj.
2
2
21
2
1
21
nn
xxz
. (5.2.2-2)
Reoni odbacivanja identični su kao u slučaju testa sa poznatim .
Za slučaj da su varijanse 2
1 i 2
2 nepoznate i međusobno statistički saglasne, u testovima
se koriste njihove ocene. Tada test statistika glasi:
Test statistika glasi:
93.1120/003.0
008.800016.800
ns
xt
127
2121
2
22
2
11
21
11
2
)1()1(
nnnn
snsn
xxt
. (5.2.2-3)
Formulacija nulte i alternativnih hipoteza ista je kao u slučaju poznatih varijansi. Razlika je
u tome, što se koristi studentova raspodela sa )2(21 nnf stepeni slobode, odnosno
kvantili f
t,
i f
t,2
.
5.3 Testiranje hipoteza o homogenosti serija merenja
Određivanje karakteristika populacije može se realizovati i analizom više skupova (uzoraka,
serija merenja) koji joj po pretpostavci pripadaju. U geodeziji se često postavlja pitanje – da
li su merenja izvedena u više serija (girusa) međusobno homogena, odnosno pripadaju li
istom osnovnom skupu (populaciji)? U odgovoru na pomenuto pitanje poslužićemo se sa
nekoliko različitih metoda.
5.3.1 Testiranje homogenosti serija merenja primenom Fišerove raspodele
Neka je X obeležje nekog osnovnog skupa ili populacije sa N elemenata i neka je iz
osnovnog skupa izdvojeno kj ,...,2,1 uzoraka. Elementi uzorka j
X sa j
n elemenata
izgledaju 1
,...,,21 jnjj
xxx . Ako je j
matematičko očekivanje obeležja X uzorka j , a
matematičko očekivanje obeležja X iz svih uzorka, onda razlika j
predstavlja efekat j
uzorka, pri čemu se pretpostavlja da važi sledeća jednakost:
k
j
j
1
0 . (5.3.1-1)
Neka je:
jn
i
ji
j
jx
nx
1
1 (5.3.1-2)
srednja vrednost pojedinog uzorka kj ,...,2,1 , a:
k
j
jj
n
i
ji
k
j
xnn
xn
xj
111
11 (5.3.1-3)
srednja vrednost iz svih uzoraka, gde je:
k
j
jnn
1
, (5.3.1-4)
128
dok su:
jn
i
k
i
jjji
ij
k
j
jji
ij
k
j
jjjj
xnxxxB
xnxnxxnA
1 1
22
, 1
2
, 1
222
)(
)(
, (5.3.1-5)
pomoćne veličine.
Nulta hipoteza glasi:
0...:210
k
H , za kj ,...,2,1 ,
a alternativna:
0: ia
H , bar za jedno kj ,...,2,1 .
Pod pretpostavkom da su veličine A i B međusobno nezavisne i da je:
2
12
k
A i 2
2 kn
B
, (5.3.1-6)
tada se statistika:
B
A
f
f
kn
B
k
A
F
1
2
2
2
/
1
/
, (5.3.1-7)
ponaša po zakonu Fišerove raspodele sa knf 2
i 11
kf stepeni slobode. Za
,, 21 ffFF , (5.3.1-8)
odbacuje se hipoteza 0
H , u protivnom, ako je
,, 21 ffFF , (5.3.1-9)
prihvata se 0
H .
PRIMER 5.3.1-1: Izvedene su četiri nezavisne serije merenja neke fizičke veličine sa četiri različita instrumenta. U tabeli su prikazani podaci merenja. Testirati hipotezu o jednakosti ocena srednjih vrednosti merenja po skupovima, odnosno da su instrumenti imali iste
karakteristike. Za nivo značajnosti uzeti 05.0 .
129
71.3
26.0
3,10
822
06.63
42857.25;25;28;27;22
05.0,3,10
1
2
12
4321
F
fB
fAF
ff
B
A
xxxxx
S obzirom da je 05.0,3,10
FF , sa verovatnoćom od 95% ne postoje razlozi za sumnju u
jednakosti srednjih vrednosti, odnosno jednakosti tačnosti merenja sa različitim instrumentima.
Analiza varijansi (ANOVA model) predstavlja prošireni oblik analize dve srednje vrednosti,
uključuje više srednjih vrednosti i predstavlja specijalni slučaj regresije. Metoda će se opisati
na konkretnom primeru (PRIMER 5.3.1-2).
PRIMER 5.3.1-2 : Dužina između dve tačke merena je u četiri serije. Na osnovu zbirnih pokazatelja merenja, oceniti hipotezu o međusobnoj statističkoj jednakosti ocena srednjih vrednosti serija.
Nulta hipoteza glasi: 43210
: H
Alternativna hipoteza: jia
H :
1 2 3 4
35 30 40 35
11 21 20 20
20 30 24 15
25
30
1 2 3 4
9.8311
)(1
1
2
11
XXn
j
j
9.4900
)(2
1
2
22
XXn
j
j
0.3864
)(3
1
2
33
XXn
j
j
9.6132
)(4
1
2
44
XXn
j
j
161n 15
2n 16
3n 14
4n
38.3091X 13.343
2X 50.302
3X 43.321
4X
54.231s 71.18
2s 05.16
3s 72.21
4s
1316.5542
1s 0641.3502
2s 6025.2572
3s 7584.4712
4s
130
Za merenja se pretpostavlja da se ponašaju po zakonu normalne raspodele, da su im varijanse jednake i da su opažanja međusobno homogena.
Korak 1: odrediti ocene varijansi svakog uzorka - 2
4
2
3
2
2
2
1,,, ssss
Korak 2: oceniti ukupnu varijansu iz varijansi po uzorcima (unutrašnja)
2.407)13151415(
)9.61320.38649.49009.8311(
)1(
)1(
4
1
4
1
2
2
i
i
i
ii
U
n
sn
s
Korak 3: sračunati varijansu iz odstupanja između uzoraka –
6.3372)14(
)(4
1
2**
2
i
i
I
XX
s , gde je
4,8.1244
1
1
**
*
kXk
X
XnX
n
i
i
iii
Korak 4: Test statistika glasi: 2
2
U
I
s
sF i ima Fišerovu raspodelu sa 3)14()1( kf
I
stepeni slobode u brojiocu i 57)1(iU
nf stepeni slobode u imeniocu.
U našem primeru. F= 8.28, dok je iz tablica Fišerove raspodele p = 0.000116.
Zaključak: Prihvatanje nulte hipoteze ima za posledicu pretpostavku da će se jednom u 10000 pokušaja dobiti srednja vrednost sa razlikom identičnom razlikama srednjih vrednosti podataka iz ovog primera. Od odgovora na postavljeno pitanje zavisi i odluka o prihvatanju nulte hipoteze.
Do istog zaključka može se doći i dekompozicijom rezultata merenja (ANOVA tabela).
Posmatrajmo problem generalno: neka imamo K uzoraka (serija) merenja ij
X , pri čemu je
Ki ,...2,1 oznaka uzorka, a i
nj ,...,2,1 oznaka elementa u okviru i -tog uzorka. Neka je
i parametar – srednja vrednost i -tog uzorka čiju promenljivost (signal) želimo da
utvrdimo, dok je ukupna srednja vrednost svih uzoraka.
Uvedimo sledeće pretpostavke:
F P
Ho: istinito
1 1 Velika
Ha: istinito
> 1 >1 Mala
2
Us 2
Is 22
UIss
2s2s
2s 2s
131
1) signalii
)( ,
2) )( i
signal - predstavlja odstupanje i -te sredine od ukupne, i
3) )( i
ocenjujemo na osnovu razlike )( XXi .
Na osnovu navedenih pretpostavki, može se napisati sledeća jednakost:
šumsignalsredinaukupnaXXXXXXiijiij
)()( ,
ili, u drugom obliku:
)()(iijiij
XXXXXX . (5.3.1-10)
Poslednja jednakost ukazuje da svaki izvor grešaka (unutar uzorka i između uzoraka)
doprinosi ukupnoj promenljivosti, tj.
K
i
n
j
iij
K
i
ii
K
i
n
j
ij
ii
XXXXnXX1 1
2
1
2
1 1
2 )()()( . (5.3.1-11)
Tabela 5.3.1-2: Tabelarni prikaz prethodnih izraza
Izvor F Zbir kvadrata Varijansa
Odnos
varijansi
– F
Između
uzoraka )1( K
K
i
iiXXn
1
2)( )1()(1
2
KXXnK
i
ii
2
2
U
I
s
sF
Unutar
uzoraka
K
i
in
1
)1(
K
i
n
j
iij
i
XX1 1
2)(
K
i
i
K
i
n
j
iijnXX
i
11 1
2 )1()(
Ukupno 1N
K
i
n
j
ij
i
XX1 1
2)(
Shodno navodima u tabeli 5.3.1-2, podaci iz prethodnog primera prikazani su u sledećoj
tabeli.
Tabela 5.3.1-3: Rezultati prethodnog primera
Izvor f Zbir kvadrata Varijansa Odnos varijansi - F Između
uzoraka 3 14658.8 4886.3
00.122
2
U
I
s
sF Unutar
uzoraka 57 23209.8 407.2
Ukupno 60 37868.6
Ukupna
promenljivost
Promenljivost
između uzoraka Promenljivost u
okviru uzoraka
132
U tabeli 5.3.1-4 su prikazani rezultati iz primera 5.3.1-2, dobijeni primenom formula
prikazanih u istom tom primeru.
Tabela 5.3.1-4: Rezultati prethodnog primera
Izvor f Zbir kvadrata Varijansa Odnos varijansi - F Između
uzoraka 3 10117.1 3372.6
28.82
2
U
I
s
sF Unutar
uzoraka 57 23209.8 407.2
Ukupno 60 33326.8
Uvidom u rezultate ANOVA analize koji su dati u prethodnim tabelama uočava se da se
primenom formula datih u primeru 5.3.1-2 dobijaju manje vrednosti test statistike F, iz čega
sledi i da će verovatnoća p biti veća. Ova dva parametra su bitna prilikom odlučivanja o
jednakosti, odnosno nejednakosti varijansi posmatranih uzoraka.
5.3.2 Testiranje homogenosti serija merenja primenom Bartletovog testa
Testiranje homogenosti k serija realizacije jedne slučajne promenljive može se izvesti i
Bartletovim10 testom. Bartletov test je osetljiv ukoliko elementi skupova ne pripadaju
normalnoj raspodeli. Ukoliko je takav slučaj, tada se preporučuje primena Levenovog testa.
Kod primene Bartletovog testa, nulta hipoteza glasi: 22
2
2
10...:
kH , dok alternativna
hipoteza tvrdi, a
H - da su bar dve različite. Ukoliko imamo k serija merenja dimenzija i
n
i varijansi 2
is , Bartletova statistika glasi:
kNnk
snskN
k
ii
k
i
iip
1
1
1
)1(3
11
)ln()1()ln()(
1
1
22
2, (5.3.2-1)
gde je
k
i
inN
1
ukupan broj elemenata celog uzorka, 22 )1(
1i
i
ipsn
kNs
je zajednička
varijansa celog uzorka, 2
is varijansa pojedinog uzorka, k je broj uzoraka.
Ukoliko je 2
,1
2
k odbacuje se nulta hipoteza, u protivnom nema razloga za sumnju u
pogledu homogenosti serija merenja.
10 Maurice Stevenson Bartlett (1910-2002) je engleski statističar koji je dao poseban doprinos
analizi podataka i razvoju teorije statistike i višedimenzionalne analize promenljivih.
133
PRIMER 5.3.2-1: Izvršena su merenja jednog ugla u tri serije. Na osnovu datih podataka merenja (samo su date sekunde) primenom Bartletovog testa oceniti da li su uzorci (serije merenja) međusobno homogeni.
Na osnovu Bartletovog testa, sa nivoom značajnosti od 0.05, ne postoji osnovanost za tvrdnju da uzorci pripadaju istoj populaciji.
5.3.3 Testiranje homogenosti serija merenja primenom Levenovog testa
Levenov test se koristi prilikom testiranja k serija jednakih varijansi (jednakost varijansi
uzoraka naziva se homogenost varijansi). Levenov test predstavlja alternativu Bartletovom
testu i koristi se najčešće u situacijama kada merenja u uzorcima odstupaju od normalnosti,
odnosno Levenov test je manje osetljiv na odstupanje od normalnosti uzorka. Međutim,
ukoliko se sa sigurnošću može reći da se merenja pokoravaju zakonu normalne raspodele,
tada Bartletov test ima prednost.
Nulta hipoteza Levenovog testa glasi:k
H ...:210
, a alternativna jia
H : u
najmanje jednom slučaju. Test statistika glasi:
in
j
iij
k
i
k
i
ii
zzk
zznkN
W
1
2
1
1
2
)()1(
)()(
, (5.3.3-1)
gde se ij
z može definisati na tri načina:
a) iijij
yyz gde je i
y - srednja vrednost rezultata i - tog uzorka,
b) iijij
yyz ~ gde je i
y~ - medijana i - tog uzorka
c) '
iijijyyz gde je
iy ' - 10%. zasečena srednja vrednost i - tog uzorka.
Dalje je i
z srednja vrednost od ij
z i tog uzorka, a z srednja vrednost iz svih uzoraka
(grupa, serija) koja se računa kao srednja vrednost od i
z . Tri izbora za definisanje ij
z
1 2 3
9.804 10.941 11.542
10.440 12.926 8.933
10.773 11.502 11.823
10.774 12.498 10.672
10.297 10.865 10.791
10.271 10.762 12.041
10.271 12.322 10.318
10.839 9.842 10.568
11.003 10.294 9.537
10.711 10.534 7.848
ix 10.518 11.249 10.407
is 0.364 1.026 1.321
2
is 0.132 1.052 1.744
k = 3
N = 30
sp²=0.977
99.5
59.202
05.0,2
2
2
005,2
2 odbacuje se
H0 : 2
3
2
2
2
1
134
određuje robusnost i snagu Levenovog testa. Pod robusnošću se smatra sposobnost testa da
ne odbaci nultu hipotezu kada su varijanse zaista homogene, dok se pod snagom ili moći
testa podrazumeva sposobnost testa da potvrdi nehomogenost varijansi kada one to zaista i
jesu.
Nulta hipoteza se odbacuje ukoliko je:
kNkFW
,1, , (5.3.3-2)
gde je kNk
F ,1,
kritična vrednost (gornja) Fišerove raspodele za 1k i kN stepeni
slobode i novo značajnosti .
PRIMER 5.3.3-1: Na osnovu istih podataka iz prethodnog zadatka, primenom Levenovog
testa oceniti hipotezu 3210
: H , protiv alternativne jia
H : , bar u jednom
slučaju.
Odbacuje se 3210
: H , tj. kao i u prethodnom slučaju i primenom Levenovog
testa potvrđuje se pretpostavka o nehomogenosti tri uzorka merenja ugla, odnosno u
najmanje jednom slučaju važi hipoteza jia
H : . Međutim, za razliku od Bartletovog
testa, Levenov test prihvata pretpostavku o homogenosti skupova pri =0.03, odnosno za
verovatnoću od 97% , 00.427,2,03.0
F . Pri računanju zij korišćen je izraz pod a)
iijijyyz .
5.4 Testiranje hipoteze o saglasnosti varijanse populacije
U primeru 5.2.2-1, testirana je saglasnost merene dužine i uslovno tačne. Kada je reč o
kvalitetu instrumenta, često se koristi druga vrsta testa koja ima za cilj utvrđivanje
saglasnosti ostvarene preciznosti sa deklarisanom preciznošću. Pri testiranju saglasnosti
varijanse uzorka i varijanse populacije koristi se 2 raspodela. Test podrazumeva proveru
ocenjene varijanse (iz uzorka) sa datom (publikovanom) vrednošću varijanse populacije
(očekivanom vrednošću).
U Tabeli 5.4-1 prikazani su statistički testovi koji se koriste prilikom testiranja saglasnosti
varijanse uzorka i varijanse populacije. Reon odbacivanja se definiše na osnovu (4.4-3). Kod
jednostranog testa, nulta hipoteza se odbacuje kada je sračunata vrednost statistike 2
, f veća
od tablične vrednosti (slika 5.4-1, levo – šrafirana površina).
27,2,05.0
1
2
1
1
2
35.398.347025.16
55587.65
)()1(
)()(
F
zzk
zznkN
Win
j
iij
k
i
k
i
ii
135
Tabela 5.4-1: Testovi saglasnosti dve varijanse
Jednostrani test Obostrani test
Nulta hipoteza glasi 22
0: sH 22
0: sH
Alternativna hipoteza glasi )(: 2222 ssHa
22: sHa
Test statistika glasi: 2
2
2
sf
Reon odbacivanja nulte
hipoteze )( 2
1
222
2
2
22
21
2
ili
Slika 5.4-1: Grafička interpretacija jednostranog i dvostranog testa
Kod dvostranog testa, nulta hipoteza se odbacuje ukoliko je sračunata vrednost statistike
manja od 2
21 ili veća od 2
2/ (slika 5.4-1, desno - što je slično kao u slučaju testiranja
varijanse na pripadnost intervalu poverenja (poglavlje 4.4)).
PRIMER 5.4-1: U jednoj geodetskoj organizaciji, poslodavac očekuje da svi zaposleni
mogu postići standard merenja pravca određenim instrumentom od 5.1 . Na zahtev
poslodavca, jedan od iskusnijih radnika je u seriji od 20 merenja istim instrumentom
ostvario standard merenja od "2.1s . Pri nivou značajnosti od %5 testirati na
saglasnost ostvarenu preciznost sa publikovanom vrednošću.
REŠENjE: U ovom primeru je očigledno da nas zadovoljava odluka da je ostvarena preciznost jednaka ili veća (manja po vrednosti) od publikovane, što znači da se primenjuje
jednostrani test, pri 19120 f .
Nulta hipoteza: 22
0: sH .
Alternativna hipoteza: 22: sH
a.
Tablična vrednost kvantila (tablice 2 raspodele): 14.302
19,05.0 .
Reon prihvatanja Reon odbacivanja
2,f
Reon prihvatanja Ho
Gornji reon odbacivanja Ho
21-/2,f 2
/2,f
/2
Test statistika:
16.125.1
2.1)120(2
2
2
136
Odluka: Ne odbacuje se hipoteza 0
H jer je 2
19,05.0
2 , što podrazumeva da nema osnova
za tvrdnju da operator nije zadovoljio postavljene ciljeve kvaliteta merenja.
NAPOMENA: Ne odbacivanje nulte hipoteze ne znači da je za tu geodetsku organizaciju
postignut zadati standard od 5.1 . Ovaj primer ukazuje na tipičan problem pri statističkom
testiranju – kako se rezultat može pogrešno interpretirati. Ukoliko se izdvoji jedan zaposleni,
jedan uzorak iz populacije svih zaposlenih neće biti dovoljan. Sa druge strane, svaki drugi
instrument (istog tipa) daće različit rezultat, a da ne govorimo o iskustvima zaposlenih. U
tom slučaju, da bi se izveli relevantni zaključci, neophodan je prethodni trenažni proces i
provera početnih sposobnosti zaposlenih.
Navedeni primer ilustruje jednu važnu činjenicu u postupku testiranja koristeći statistiku, a
to je – interpretacija odluka statističkog testiranja zahteva dokaz od strane izvršioca testa.
Prilikom realizacije nekog testa, uvek treba imati u vidu da je prvenstveni cilj odbaciti a ne
prihvatiti hipotezu.
5.5 Testiranje hipoteze o količniku dve varijanse populacije
Prilikom izravnanja neke geodetske mreže, očekuje se da date tačke budu oslobođene
neželjenih efekata. Međutim, zbog neminovnih uticaja različitih izvora grešaka i izvedene
veličine ponekad sadrže značajne greške. Kao što je ranije pomenuto, analizom varijansi iz
izravnanja sa minimalnim i prekobrojnim datim veličinama, može se utvrditi prisustvo
neželjenih efekata u datim veličinama (koordinate i visine datih tačaka). Ukoliko neželjeni
uticaji nisu prisutni, tada je količnik referentnih varijansi iz pomenutih izravnanja blizak 1.
Shodno (4.5-4), u Tabeli 5.5-1, predstavljen je jednostrani i dvostrani test saglasnosti
količnika varijansi dva uzorka.
Tabela 5.5-1: Test količnika dve varijanse
Jednostrani test Obostrani test
Nulta hipoteza glasi )(1: 2
2
2
12
2
2
1
0ss
s
sH )(1: 2
2
2
12
2
2
1
0ss
s
sH
Alternativna hipoteza glasi
)(1: 2
2
2
12
2
2
1 sss
sH
a
)(1: 2
2
2
12
2
2
1 sss
sH
a
)(1: 2
2
2
12
2
2
1 sss
sH
a
Test tatistika glasi 2
1
2
2
2
2
2
1
s
sFili
s
sF
ik
i
k sszas
sF ,
2
2
Reon odbacivanja nulte hipoteze FF
2 FF
Vrednosti kvantila
F i 2/
F lociraju granice i 2/ površina ispod krive F raspodele,
respektivno, sa brojem stepeni slobode 1
f u brojiocu i 2
f u imeniocu. Kod obostranog testa,
broj stepeni slobode brojioca uzima se iz numerički veće vrednosti varijanse uzorka, a broj
stepeni slobode imenioca odgovara numerički nižoj vrednosti varijanse.
137
PRIMER 5.5-1: Na osnovu datih podataka iz PRIMERA 4.5-1, postoji li osnovanost za odbacivanje nulte hipoteze.
REŠENjE: S obzirom da se utvrđuje statistička jednakost dve varijanse, primenjuje se dvostrani test.
Nulta hipoteza:
)(1: 2
2
2
12
2
2
1
0
s
sH
Alternativna hipoteza: )(1: 2
2
2
12
2
2
1 s
sH
a
Test statistika: 54.21.1
8.2F
Vrednost kvantila: 31.221,30,
2
F
Odluka: 21,30,
2
FF , odbacuje se nulta hipoteza. Drugim rečima, varijansa iz izravnanja sa
brojem datih tačaka većim od neophodnog i varijansa iz izravnanja sa minimalnim brojem
datih tačaka, pri 05.0 , statistički su različite. Isti zaključak je donet i koristeći
pripadnost intervalu poverenja.
5.6 Testiranje hipoteza o saglasnosti raspodela
Za razliku od parametarskih hipoteza opisanih u prethodnim poglavljima u ovom poglavlju
opisaće se postupak testiranja saglasnosti raspodela posmatranog uzorka sa teorijskim
(neparametarska hipoteza).
5.6.1 Testiranje hipoteze o saglasnosti raspodela pomoću χ2 testa
Testirati na saglasnost (goodness of fit) znači utvrditi da li je raspodela slučajne promenljive
kojoj određeni uzorak n
xxx ,...,,21
pripada saglasan pretpostavljenoj raspodeli verovatnoća
)(xF slučajne promenljive. Odnosno, testiramo da li je funkcija raspodele definisana
uzorkom vrednosti rezultata merenja )(~
xF , kao )(~
xF = zbir relativnih frekvencija vrednosti
elemenata uzorka j
x ne većih od x saglasna teorijskoj funkciji ).(xF Ukoliko je saglasna,
prihvata se hipoteza o saglasnosti uzorka sa populacijom u raspodeli. U protivnom, hipoteza
se odbacuje.
Test se dosta koristi u praksi i pripada neparametarskim testovima. Problem rešavamo
definisanjem dozvoljene razlike između )(~
xF i )(xF . Stoga, na početku, moramo odrediti
veličinu odstupanja, u oznaci Δ, dve funkcije raspodela (praktične i teorijske) i njenu
raspodelu verovatnoća, pod pretpostavkom da je nulta hipoteza korektna. Ukoliko je
138
odstupanje veće od Δ, konstatuje se da postoji osnovana sumnja da nulta hipoteza nije
korektna i tada se ona odbacuje. Ukoliko je odstupanje manje od neke veličine Δ,
zaključujemo da ne postoji dovoljno razloga da nultu hipotezu odbacimo i kaže se da
slučajna promenljiva pripada pretpostavljenoj raspodeli. Test je predložio R.A. Fisher i
utemeljen je na činjenici da ukoliko je nulta hipoteza korektna, tada funkcija raspodela
slučajne promenljive dobijene iz opažanja 2
0 teži hi-kvadrat raspodeli sa K-1 stepeni slobode
(ili K-r-1 stepeni slobode, gde je r broj parametara raspodele, a K broj klasa ili intervala),
kada n teži beskonačnosti.
Procedura testiranja:
Korak 1: Podeliti uzorak merenja na K intervala klase I1, I2, ..., IK, tako da svaki interval ima
najmanje 5 elemenata datog uzorka n
xxx ,...,,21
. Odrediti broj rezultata bj u svakom intervalu
Ij, gde je j=1,...,K.
Korak 2: Shodno )(xF sračunati verovatnoće pj da slučajna promenljiva X shodno
pretpostavci pripada intervalu Ij, gde je j=1,...,K. Sračunati jj
pne koji predstavlja
teorijski broj elemenata u svakom intervalu, pod pretpostavkom da je nulta hipoteza istinita.
Korak 3: Sračunati vrednost test statistike
K
jj
jj
e
eb
1
2
2
0
Korak 4: Odabrati odgovarajući nivo značajnosti (5%, 1%, ...).
Korak 5: Odrediti veličinu Δ, tako da važi
1)( 2P ,
koristeći tablice 2 raspodele za K-r-1 stepeni slobode. Ukoliko je 2
0, prihvata se nulta
hipoteza, odnosno važi pretpostavka o raspodeli slučajne promenljive.
PRIMER 5.6.1-1 (Kreyszig, 2005): Sa nivoom značajnosti od 0.05%, testirati dati uzorak na pripadnost normalnoj raspodeli (n=100).
320 380 340 410 380 340 360 350 320 370
350 340 350 360 370 350 380 370 300 420
370 390 390 440 330 390 330 360 400 370
320 350 360 340 340 350 350 390 380 340
400 360 350 390 400 350 360 340 370 420
420 400 350 370 330 320 390 380 400 370
390 330 360 380 350 330 360 300 360 360
360 390 350 370 370 350 390 370 370 340
370 400 360 350 380 380 360 340 330 370
340 360 390 400 370 410 360 400 340 360
139
Raspodela frekvencija: AF – Apsolutna Frekvencija, RF – Relativna Frekvencija, KAF – Kumulativna AF i KRF – Kumulativna RF.
Srednja vrednost rezultata merenja: 7.364x , 8.26s .
Ako je =0.05, K=10-r-1=7 (r=2; dva nepoznata parametra), %95)( 2 P , 07.14 ,
pa, s obzirom da je 2
o, prihvata se nulta hipoteza: dati niz ne protivureči pretpostavci
o pripadnosti populaciji koja se pokorava normalnoj raspodeli. Vrednosti funkcije F(.) mogu se odrediti preko Excel funkcije NORMDIST(z).
1 2 3 4 5
xi AF RF KAF KRF
300 2 0.02 2 0.02
310 0 0 2 0.02
320 4 0.04 6 0.06
330 6 0.06 12 0.12
340 11 0.11 23 0.23
350 14 0.14 37 0.37
360 16 0.16 53 0.53
370 15 0.15 68 0.68
380 8 0.08 76 0.76
390 10 0.1 86 0.86
400 8 0.08 94 0.94
410 2 0.02 96 0.96
420 3 0.03 99 0.99
430 0 0 99 0.99
440 1 0.01 100 1
1x
7.26
7.364j
x
8.26
7.364j
xF j
e j
b
j
jj
e
eb2
- ∞ ... 325 - ∞ ... -1.48 0 ... 0.0693 6.81 6 0.124
325 ... 335 -1.48 ... -1.11 0.0681 ... 0.1339 6.54 6 0.051
335 ... 345 -1.11 ... -0.74 0.1335 ... 0.2311 9.61 11 0.156
345 ... 355 -0.74 ... -0.36 0.2296 ... 0.3587 12.98 14 0.092
355 ... 365 -0.36 ... 0.01 0.3594 ... 0.5045 13.66 16 0.154
365 ... 375 0.01 ... 0.38 0.496 ... 0.6496 15.57 15 0.009
375 ... 385 0.38 ... 0.76 0.6517 ... 0.7756 12.47 8 1.556
385 ...395 0.76 ... 1.13 0.7764 ... 0.8709 9.44 10 0.032
395 ... 405 1.13 ... 1.50 0.8708 ...0.9337 6.37 8 0.466
405 ... ∞ 1.50 ... ∞ 0.9345 ... 1.0000 6.55 6 0.046
2
o 686.2
140
PRIMER 5.6.1-2 (Nenadović, 1988): U jednoj trigonometrijskoj mreži izmereno je 615 uglova. Na osnovu podataka merenja proveriti da li se slučajna promenljiva ponaša po zakonu normalne raspodele. Za nivo značajnosti usvojiti 0.05.
Nulta hipoteza ),()(: 2
0 NxfH
Alternativna hipoteza: ),()(: 2
0 NxfH
Srednja vrednost: 1.5615
3145x
Varijansa: 47.111.5615
16963 22 x
s , odnosno 2.1x
s
Intervali: ),5.7(...,),5.3,5.2(),5.2,(721
III
Ako se usvoji hipoteza xzaNxfH ),(),,(: 22
0 gde je
2
2
2.12
)1.5(
2
22.1
1),(
x
eN , za x iz tablica normalne raspodele određujemo
verovatnoće
0228.0)()(
0983.0)()(
2497.0)()(
3208.0)()(
2168.0)()(
0768.0)33.1()17.2(2.1
1.55.2
2.1
1.55.3)5.35.2()()(
0150.09850.01)17.2(1)17.2(2.1
1.55.2)5.2()(
67
56
45
34
23
12
1
zFzF
zFzF
zFzF
zFzF
zFzF
FFFFxpzFzF
FFFxpzF
ix j
b x jbx
2
jbx
1.5 – 2.5 9 2 18 36
2.5 – 3.5 46 3 138 414
3.5 – 4.5 119 4 476 1904
4.5 – 5.5 218 5 1090 5450
5.5 – 6.5 151 6 906 5436
6.5 – 7.5 59 7 413 2891
7.5 – 8.5 13 8 104 832
615 3145 16963
141
Računanje Pirsonove statistike:
Za broj stepeni slobode 7-2-1=4 i 05.0 , 488.92
05.0,4 , pa kako je
488.9904.32 , prihvata se hipoteza 0
H - podaci merenja ne protivureče pretpostavci
o pripadnosti populaciji normalne raspodele.
Pri velikom broju podataka merenja, radi lakše matematičke obrade podaci se razvrstavaju
u klase (razrede, grupe). Pri tome, treba nastojati da elementi po klasama budu ravnomerno
raspoređeni i da širina intervala po mogućstvu bude ista. Za optimalan broj klasa n usvaja
se vrednost:
32 Nn , (5.6.1-1)
gde je N ukupan broj elemenata svih klasa. Optimalan broj grupa sračunat po (5.6.1-1) jeste
samo približno rešenje od koga ipak ne treba značajnije odstupiti. Logično, broj klasa
određuje i širinu intervala klase. Prema Fišeru, broj elemenata u klasi ne bi trebao biti manji
od 5.
5.6.2 Testiranje hipoteze o saglasnosti raspodela testom Jestremskijeva
Neka je:
n
i
i
Npq
vJ
1
2
, (5.6.2-1)
test statistika Jestremskijevog testa koju je neophodno odrediti, gde su: iii
ffv ' razlike
eksperimentalne i teorijske frekvencije, n je broj klasa, N - ukupan broj elemenata uzorka
(svih klasa), p - teorijska verovatnoća za pojedine klase, a pq 1 . Računa se razlika:
nJI , (5.6.2-2)
ix j
b )()(
ij
j
zFzF
p
je
j
jj
e
eb2
- ∞ ... 2.5 9 0.015 9.225 0.005
2.5 ... 3.5 46 0.0768 47.232 0.032
3.5 ... 4.5 119 0.2168 133.332 1.541
4.5 ... 5.5 218 0.3208 197.292 2.174
5.5 ... 6.5 151 0.2497 153.566 0.043
6.5 ...7.5 59 0.0983 60.455 0.035
7.5 ... ∞ 13 0.0228 14.022 0.074
jb 615 2
o3.904
142
i, ukoliko je 0I saglasnost je značajna. Maksimalno dozvoljeno odstupanje računa se na
osnovu izraza oblika:
4.222max
nI . (5.6.2-3)
5.6.3 Testiranje hipoteze o saglasnosti raspodela testom Kolmogorova
Da bi objasnili postupak Kolmogorovljevog testa poći ćemo od sledeće pretpostavke.
Naime, neka je n
xxx ,...,,21
uzorak od n elemenata čija funkcija raspodele glasi:
n
kkn
xxза
xxxзаn
k
xxза
xF
,1
,
,0
)(1
1
(5.6.3-1)
i koju treba uporediti sa nekom poznatom teorijskom raspodelom )(0
xF . U naznačenoj
empirijskoj raspodeli sa n elemenata, vrednost k po definiciji označava broj elemenata
kxxx ,...,,
21 manjih od x . Prema tome, funkcija:
n
kxF
n)( , (5.6.3-2)
predstavlja jednu slučajnu veličinu, a broj k se najlakše dobija ako se svi elementi poređaju
po veličini. Tada broj k korespondentan elementu i
x jednak je broju elemenata koji mu
prethode uvećanom za jedan, odnosno rednom broju elemenata uređenih po veličini.
Za meru odstupanja ovih raspodela koristi se test statistika Kolmogorova:
)()(max0
xFxFDnn
(5.6.3-3)
koja je dobila ime po Kolmogorovu jer je on asimptotsku raspodelu ove promenljive prvi
odredio.
Nulta hipoteza glasi - )()(:00
xFxFH .
Alternativna hipoteza glasi - )()(:0
xFxFHa
.
Parametar n
D (5.6.3-3) se upoređuje sa kritičnom vrednošću ,n
d koja se uzima iz tablica
Kolmogorova za usvojeni prag značajnosti ( 01.0,02.0,05.0,10.0,20.0 ) i broj
elemenata uzorka (od 1n do 100), uz uslov:
)(
,nndDp . (5.6.3-4)
Za vrednosti 100n , kritična vrednost se računa na osnovu izraza prikazanih u Tabeli 5.6.3-
1.
143
Tabela 5.6.3-1: Kritične vrednosti parametra Kolmogorova za 100n
0.20 0.10 0.05 0.02 0.01
,nd
n
07.1
n
22.1
n
36.1
n
52.1
n
63.1
Hipotezu 0
H odbacujemo ukoliko je .,
nn
dD
PRIMER 5.6.3-1 (Nenadović, 1988): Na osnovu datog uzorka merenja čije su vrednosti
date u tabeli, primenom testa Kolmogorova, sa 05.0 testirati hipotezu da uzorak
pripada normalnoj raspodeli.
)()(:00
zFzFH , za svako Rz pri čemu je )(0
zF definisano funkcijom normalne
raspodele. )()(:0
zFzFHa
bar za jedno Rz . Proračun je dat u sledećoj tabeli:
0.464 0.137 2.455 -0.323 -0.068
0.906 -0.513 -0.525 0.595 0.881
-0.482 1.678 -0.057 -1.229 -0.486
-1.787 -0.261 1.237 1.046 -0.508
n iz )(
0zF )(
20zF )()(
020zFzF
1 -1.787 0.0370 0.05 0.0130
2 -1.229 0.1095 0.1 0.0095
3 -0.525 0.2998 0.15 0.1498
4 -0.513 0.3040 0.2 0.1040
5 -0.508 0.3057 0.25 0.0557
6 -0.486 0.3135 0.3 0.0135
7 -0.482 0.3149 0.35 0.0351
8 -0.323 0.3733 0.4 0.0267
9 -0.261 0.3970 0.45 0.0530
10 -0.068 0.4729 0.5 0.0271
11 -0.057 0.4773 0.55 0.0727
12 0.137 0.5545 0.6 0.0455
13 0.464 0.6787 0.65 0.0287
14 0.595 0.7241 0.7 0.0241
15 0.881 0.8108 0.75 0.0608
16 0.906 0.8175 0.8 0.0175
17 1.046 0.8522 0.85 0.0022
18 1.237 0.8920 0.9 0.0080
19 1.678 0.9533 0.95 0.0033
20 2.455 0.9930 1 0.0070
144
Vrednosti )(0
zF mogu se dobiti iz tablica normalne raspodele (Excel - funkcija
NORMDIST(zi,0,1,TRUE).
Prema obrascu (5.6.3-3) 149.0max
D . Za 20n i 05.0 iz tablica Kolmogorovog,
dobija se kritična vrednost 294.005.0,20d . Kako je 149.0
maxD
05.0,20294.0 d , prihvata
se hipoteza 0
H saglasnosti dve raspodele.
5.6.4 Testiranje hipoteze o saglasnosti raspodela testom Kolmogorov – Smirnova
Test Kolmogorov-Smirnova zasniva se na upoređenju empirijskih funkcija raspodela
uzoraka izdvojenih iz osnovnih skupova.
Pretpostavimo da treba testirati nultu hipotezu da su funkcije raspodela )(xF i )(xG
istovetne, odnosno da je
)()(:0
xGxFH za svako Rx , protiv alternativne hipoteze,
)()(: xGxFHa
bar za jedno Rx .
Neka je statistika:
)()(max,
xGxFDnmnm
(5.6.4-1)
gde su )(xFm
i )(xGn
empirijske funkcije raspodela.
Ako je nulta hipoteza tačna, tada je:
)()()()()()()()()()( xGxGxFxFxGxGxFxFxGxFnmnmnm
,
iz čega proizilazi da je:
)()(max)()(max,
xGxGxFxFDnmnm
.
Kako zbog osobine empirijske funkcije:
0)()( xFxFm
za m i 0)()( xFxFm
za n
tada, nultu hipotezu treba prihvatiti ako je:
,,, nmnmdD . (5.6.4-2)
145
Kritične vrednosti ,,nm
d određuju se iz tablica Kolmogorov-Smirnova (prva Tabela se
koristi za nm , a druga kada je nm ).
Za 40n i kada je nm , kritične vrednosti se mogu odrediti iz Tabele 5.6.4-1, a kritične
vrednosti statistike za 40m i 40n iz Tabele 5.6.4-2. gde je nm
nmk
.
Tabela 5.6.4-1: Kritične vrednosti testa Kolmogorov-Smirnova za 40n i nm
0.20 0.10 0.05 0.02 0.01
,,nmd
n
52.1
n
73.1
n
92.1
n
15.2
n
30.2
Tabela 5.6.4-2: Kritične vrednosti testa Kolmogorov-Smirnova za 40m , 40n i
nm
0.20 0.10 0.05 0.02 0.01
,,nmd k07.1 k22.1 k36.1 .52.1 k k63.1
PRIMER 5.6.4-1 (Nenadović,1988): Na osnovu dva uzorka rezultata merenja jedne slučajne promenljive, sa nivoom poverenja 0.05 testirati hipotezu da dva skupa pripadaju istoj raspodeli.
)()(:0
xGxFH za svako Rx
)()(: xGxFHa
bar za jedno Rx .
Proračun je dat u tablici:
6
3)()(max
6,6 xGxFD
nm
Iz tablica Kolmogorov-Smirnova određuje se kritična vrednost 6
405.0,6,6d na osnovu čega
se može zaključiti da se nulta hipoteza o pripadnosti istoj populaciji dva skupa prihvata.
39 31 39 46 54 31
54 49 46 49 39 60
31 2/6 0 2/6
39 4/6 1/6 3/6
46 5/6 2/6 3/6
49 5/6 4/6 1/6
54 6/6 5/6 1/6
60 6/6 6/6 0
x )(xFm
)(xGn )()( xGxF
nm
146
Pitanja za proveru znanja
1. Testiranje hipoteza o pripadnosti elemenata osnovnom skupu.
2. Testiranje hipoteze o srednjoj vrednosti populacije.
3. Testiranje hipoteze o homogenosti serija merenja.
4. Testiranje hipoteze o saglasnosti varijanse populacije.
5. Testiranje hipoteze o saglasnosti raspodela.
.
147
6. PROSTIRANjE SLUČAJNIH GREŠAKA
6.1 Zakoni prostiranja slučajnih grešaka
Indirektna merenja su funkcionalno zavisna, a njihova zavisnost se definiše matematičkim
modelom. Primeri indirektnih veličina su brojni. Na primer, u premeru, koordinate tačaka se
dobijaju iz direktnih merenja dužina i pravaca, visine tačaka se dobijaju iz čitanja letvi u
postupku geometrijskog nivelmana i sl. S obzirom da direktna merenja neizbežno sadrže
greške, sve vrednosti koje iz njih dalje proisteknu, takođe su opterećene greškama. Takva
jedna pojava prenošenja grešaka od direktnih do indirektnih veličina, u teoriji grešaka se
naziva prostiranjem, prenošenjem ili prenosom grešaka .
Prilikom daljih razmatranja problema prostiranja grešaka imaće se u vidu da su sve
sistematske greške eliminisane. Da bi se izvela osnovna jednačina prostiranja grešaka, uzeće
se u obzir sledeća funkcija, 2211
xaxaz , gde su 1
x i 2
x dve nezavisne, direktno opažane
veličine sa standardnim greškama 1
i 2
, dok su 1
a i 2
a konstante. Pri analizi načina
prostiranja grešaka kroz datu funkciju, poći će se od opšteg izraza za prostiranje slučajnih
grešaka kroz bilo koju funkciju.
S obzirom da su 1
x i dva nezavisna opažanja, svako od njih poseduje različitu funkciju
gustine verovatnoća. Neka greške pri realizacija opažanja iznose , a
greške realizacija opažanja i neka je tačna vrednost od . Tada
je:
. (6.1-1)
Na osnovu (6.1-1), vrednosti od iznose:
(6.1-2)
Zamenom (6.1-2) u (6.1-1) i pregrupisavanjem članova izraza (6.1-1), dobijaju se sledeći
izrazi:
2x
n1
x n
1
'''
1
''
1
'
1,...,,,
n 2x n
2
'''
2
''
2
'
2,...,,,
Tz z
.........
)()()(
)()()(
)()()(
'''
22
'''
11
'''
22
'''
11
'''
2
'''
22
'''
1
'''
11
''
22
''
11
''
22
''
11
''
2
''
22
''
1
"
11
'
22
'
11
'
22
'
11
'
2
'
22
'
1
'
11
aaxaxaxaxaz
aaxaxaxaxaz
aaxaxaxaxaz
T
T
T
z
...
'
'''
22
'''
11
''
22
''
11
'
22
'
11
xaxaz
xaxaz
xaxaz
148
(6.1-3)
Shodno izrazu za varijansu populacije (izraz 3.3.2.3-1), , zbir kvadrata grešaka
u izrazu (6.1-3), sa desne strane, iznosi:
. (6.1-4)
Preuređenjem izraza (6.1-4) dobija se sledeća jednakost:
, (6.1-5)
odnosno:
. (6.1-6)
Unošenjem simbola za zbir u (6.1-6) dobija se izraz oblika:
. (6.1-7)
Ukoliko se članovi u zagradama zamene sa ranije definisanim veličinama i ,
respektivno, izraz (6.1-7) se menja i glasi:
. (6.1-8)
Izraz (6.1-8) u matričnom obliku glasi:
, (6.1-9)
gde je ranije definisana matrica kovarijansi od (u literaturi se mogu susresti i drugi
nazivi, poput: varijans-kovarijans matrica, kovarijaciona matrica ili disperziona matrica). Na
osnovu izvedenih izraza, generalno sledi da ukoliko je funkcija od opažanja
, tada glasi:
...
'''
22
'''
11
''
22
''
11
'
22
'
11
aazz
aazz
aazz
T
T
T
n
i in
1
22
22'''
22
'''
11
2''
22
''
11
2'
22
'
11
1
2 ...)()()(z
n
i
naaaaaa
...)(2
)()(2)(2''
22
''
2
''
121
2''
11
2'
22
'
2
'
121
2'
11
2
aaa
aaaaanz
...)(2
...)(...)('''
2
'''
1
''
2
''
1
'
2
'
121
2'''
2
2''
2
2'
2
2
2
2'''
1
2''
1
2'
1
2
1
2
aa
aanz
na
naa
na
n
i
n
i
n
i
z
1
2
22
2
1
21
21
1
2
12
1
2 2
211,2
xxx 2
2x
22
221
22
1
2
22112
xxxxzaaaa
2
1
2
2
21
221
211
a
aaaK
xxx
xxx
z
zK z
z n
nxxx ,...,,
21 zK
149
. (6.1-10)
Za slučaj funkcija sa merenja, izraz (6.1-10) se menja i glasi:
(6.1-11)
Ukoliko su funkcije nelinearne, linearizuju se razvojem u Tejlorov red, zaključno sa prvim
stepenom. Oznake zamenjuju se parcijalnim izvodima funkcija merenja
po . Nakon linearizacije nelinearnih jednačina, matrica kovarijacija od u
linearnom obliku glasi:
(6.1-
12)
Izrazi (6.1-11) i (6.1-12) poznati su pod nazivom – opšti zakon prostiranja varijansi. U
matričnom obliku, izrazi (6.1-11) i (6.1-12) se skraćeno mogu opisati, kao:
, (6.1-13)
gde su: - matrica kovarijansi od , - matrica kovarijansi rezultata merenja.
Ukoliko se radi o nelinearnim jednačinama, matrica A se formira njihovom linearizacijom,
te se još u literaturi naziva posebnim imenom – Jakobijan matricom. Ukoliko su merenja
međusobno nezavisna, tada su svi nedijagonalni elementi u jednačinama (6.1-
11) i (6.1-12) jednaki nuli. Tada, izrazi (6.1-11) i (6.1-12) izgledaju:
nxxxxx
xxxxx
xxxxx
nz
a
a
a
aaaK
nnn
n
n
............
...
...2
1
2
2
2
21
21
2221
1211
m n
mnnn
m
m
xxxxx
xxxxx
xxxxx
mnm
n
n
z
aaa
aaa
aaa
aa
aaa
aaa
K
nnn
n
n
...
......
...
...
...
......
...
...
....
......
...
...
21
22212
12111
2
2
2
1
22221
11211
21
2221
1211
,...,1211
aa ,...,21
zz
,...,,21
xx z
n
m
nn
m
m
xxxxx
xxxxx
xxxxx
n
mmm
n
n
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
K
nnn
n
n
...
......
...
...
...
......
...
...
...
......
...
...
21
22
2
2
1
11
2
1
1
2
2
2
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
21
2221
1211
T
lzAKAK
zK z
lK
nxxx ,...,,
21
150
, (6.1-14)
i
. (6.1-15)
Ukoliko se radi samo o jednoj funkciji sa nezavisnim merenjima , tada izraz
(6.1-15) izgleda:
. (6.1-16)
Izrazi (6.1-14), (6.1-15) i (6.1-16) jednim imenom se nazivaju – specijalni zakon prenošenja
varijansi. Na osnovu prikazanih izraza se može videti na koji način se greške statistički
nezavisnih merenja prenose kroz funkciju. U navedenim jednačinama, pojedini članovi
reprezentuju pojedinačni doprinos ukupnoj grešci. Ukoliko je ukupna greška
funkcije značajna, uvidom u pojedinačne doprinose otkrivaju se dominantni uticaji i pravi
optimalan plan opažanja kako bi se njima ukazao adekvatan značaj (merenje u više serija i
sl.).
PRIMER 6.1-1: Neka je , pri čemu su i međusobno nezavisne merene
veličine čije standardan odstupanja iznose i . Odrediti standardno odstupanje .
REŠENjE: i
Saglasno (6.1-16), , ili ako primenimo (6.1-15) sledi
mnnn
m
m
x
x
x
mnm
n
n
z
aaa
aaa
aaa
aa
aaa
aaa
K
n...
......
...
...
...00
......
0...0
0...0
....
......
...
...
21
22212
12111
2
2
2
1
22221
11211
2
1
n
m
nn
m
m
x
x
x
n
mmm
n
n
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
K
n
...
......
...
...
...00
......
0...0
0...0
...
......
...
...
21
22
2
2
1
11
2
1
1
2
2
2
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
zn
xxx ,...,,21
22
2
2
1
...21
nx
n
xxz
x
z
x
z
x
z
ixixz )(
baP a b
a
b
P
1 aP 1 bP
22 )1()1(baP
22
2
2
1
1
0
011
ba
b
a
P
151
PRIMER 6.1-2: Sa tačke A ka tački B mereni su vertikalni ugao =3 sa s=1’ i kosa dužina d = 1000.00 m sa sd= 5 cm. Odrediti horizontalnu dužinu i njeno standardno odstupanje.
REŠENjE:
Računanje horizontalne dužine:
Računanje parcijalnih izvoda funkcije:
Računanje standardnog odstupanja ocene horizontalne dužine:
Na osnovu vrednosti podkorene veličine može se konstatovati da preciznost merenja dužine ima značajniji uticaj na preciznost ocene horizontalne dužine od preciznosti merenja ugla.
PRIMER 6.1-3: Neka je zbir nezavisnih promenljivih čija
standardna odstupanja iznose , respektivno. Standardno odstupanje od
iznosi
.
Za , .
Neka je srednja vrednost nezavisnih promenljivih iste preciznosti,
izražene standardnim odstupanjem , tj.
.
m ddH
63.998cos
sin
cos
dd
d
d
H
H
m
dd
d
ds H
d
H
dH
052.0
0152.004993.0/'10800
'110000523.005.09986.0
/180'60
)'1(sin05.0cos
22
2
2
2
22
22
2
2
2
nxxxy ...
21n
nxxx ,...,,
21
y
222 ...21 nxxxy
xxxx n ...
21
nxy
y nn
yyy ,...,,21
s
n
yyyy n
...21
152
Primenom zakona prenosa grešaka, imajući u vidu da je , standardno
odstupanje srednje vrednosti iznosi
.
PRIMER 6.1-4: Sračunati zapreminu bazena i njeno standardno odstupanje, ukoliko su date njegove dimenzije sa njihovim standardnim odstupanjima.
sa
REŠENjE:
Funkcija:
Ako posmatramo pojedinačne članove u podkorenoj veličini, može se konstatovati da je treći član značajno veći od drugih, na osnovu čega se može konstatovati da će greška merenja visine bazena biti dominantna, tj. najveću pažnju treba posvetiti preciznosti
merenja visine bazena (proizvod je značajno veći od druga dva).
PRIMER 6.1-5: Sračunati standardno odstupanje opšte aritmetičke sredine (opšta
aritmetička sredina definisana je u poglavlju 6 kao ) pri čemu se
pretpostavlja da je merna nesigurnost svakog pojedinačnog merenja različita.
REŠENJE: Saglasno zakonu prenosa grešaka
.
nyyi
1
nn
n
nnn nyyyy
2
2222
1...
1121
mh
mb
ma
00.2
04.40
02.30
m
m
m
h
b
a
01.0
04.0
02.0
mVhbaV 00.24040016.2404
m
bahahbh
V
b
V
a
VhbahbaV
36.12
222222
222
ba
2
2
1
i
i
ix
p
xpx
2
2
2
2
2
2
1
1
1
i
x
i
i
i
x
153
Očigledno, ukoliko su merenja jednake tačnosti, standardno odstupanje će biti jednako kao u slučaju merenja iste tačnosti (PRIMER 6.1-3).
PRIMER 6.1-6 (Fan, 1997): Oceniti grešku računanja koordinata nepoznate tačke P, ako
su sa dve date tačke A i B realizovana sledeća merenja: uglovi 1 i 2 . Dati podaci glase:
1 = 2 = 60o; Azimut sa A na B iznosi 120o, dužina AB = 750 m, 1= 2 = 2.
Shodno 6.1-13, , sledi
, ,
dalje je
6.2 Određivanje grešaka argumenata ako je poznata greška funkcije
U geodeziji se često susrećemo sa slučajem određivanja grešaka argumenata pri poznatoj
grešci njihove funkcije. Rešenja ovog problema ima više, ali se traži optimalno koje
podrazumeva minimiziranje norme vektora standardnih grešaka argumenata (merenja).
Pored optimalnog rešenja, radi jednostavnosti pristupa, za grublje proračune koristi se i
približno rešenje (Perović,1988) tako da će se u okviru ovog poglavlja i ono predstaviti.
T
lzAKAK
4
30
4
3
2
3
75.0
ABd
A
40
04
0
02
2
2
1
lK 2
88.5253.30
53.3014.88mmK
z
.4.7,4.9 mmmmPP yx
A B
P
1 2
Izvodi funkcija:
)sin(
)sin(sin
)sin(
)cos(sin
21
12
21
12
B
A
ABAP
B
A
ABAP
dyy
dxx
)(sin
)sin(sin
)(sin
)sin(sin
)(sin
)cos(sin
)(sin
)cos(sin
21
2
11
2
21
2
22
1
21
2
11
2
21
2
22
1
B
AABP
B
AABP
B
AABP
B
AABP
dy
dy
dx
dx
154
6.2.1 Optimalno rešenje
Neka su:
, (6.2.1-1)
najverovatnije vrednosti (ocene) argumenata funkcije , koja glasi:
. (6.2.1-2)
Označimo sa standardna odstupanja merenja pojedinog argumenta funkcije .
Shodno zakonu prenosa grešaka, varijansa od glasi:
, za . (6.2.1-3)
Ukoliko zakon prenosa grešaka primenimo na (6.2.1-2) dobija se sledeći izraz:
(6.2.1-4)
gde je .
Ukoliko su merenja pojedinih argumenata iste preciznosti, u izrazu (6.2.1-3)
dok su promenljive i . Rešenje (6.2.1-4) se traži minimiziranjem broja merenja ,
odnosno . Primenom Lagranžove funkcija oblika:
, (6.2.1-5)
izjednačavamo izvod po sa nulom, tj.
. (6.2.1-6)
Kada (na osnovu izraza 6.2.1-3) zamenimo u (6.2.1-6) dobija se sledeći izraz:
. (6.2.1-7)
Ako iz (6.2.1-6) izrazimo i uvrstimo u (6.2.1-4), dobija se:
jn
k
ikix
nx
1
1ni ,...,2,1
z
),...,,(21 n
xxxhz
oi
ikx
ix z
ix
22 1oi
i
i
n ni ,...,2,1
n
ii
oii
nnz
n
hhhh
1
22
222
2
2
2
2
1
2
1
2 ...
i
i
x
zh
.2 constoi
2
i
in
in
mini
n
)/( 222
zioiiinhknL
in
012
22
i
oii
in
hk
n
L
22
ioiin
khi
oi
i
2
in
155
, (6.2.1-8)
i zamenom u (6.2.1-7) dobija se optimalno rešenje za standardno odstupanje ocene
argumenta funkcije :
. (6.2.1-9)
Ukoliko su standardna odstupanja ocena argumenata funkcije jednaka , tada (6.2.1-
9) glasi:
. (6.2.1-10)
Na kraju, shodno (6.2.1-3), broj merenja nepoznate veličine (argumenta funkcije) određuje
se na osnovu izraza:
. (6.2.1-11)
S obzirom, da neće uvek biti celobrojna veličina, praktično se zaokružuje na višu
vrednost.
PRIMER 6.2.1-1 (Perović,1988): U trouglu ABC mereni su stranica a i uglovi i . Primenom sinusne teoreme odrediti stranicu b. Sa kojom tačnošću treba izmeriti navedene veličine da bi standardno odstupanje indirektne veličine (funkcije) b bilo manje od 3 cm.
Merenja su nezavisne, njihove približne vrednosti iznose a = 128 m, =35, = 68,a a
priori standardi preciznosti merenja iznose .
REŠENjE:
Računanje približne vrenosti strane b :
Izvođenje izraza za grešku funkcije: .
Izvodi funkcije po pojedinim argumentima glase:
2
z
i
oi
hk
ix
n
i
ioii
zoi
i
hh1
2
2
oi
n
i
ii
z
i
hh1
2
2
2
2
i
oi
in
in
"20,2 oooa
cm
mab 207sin
sin
2
2
2
2
2
2
2
bb
a
bab
156
Računanje neophodne vrednosti standardnog odstupanja pojedinog argumenta:
Primenom (6.2.1-9) sledi: .
Računanje broja merenja pojedinog argumenta (izraz 6.2.1-11):
Optimalna vrednost broja merenja iznosi: 7 (3+3+1=7).
6.2.2 Približno rešenje
Neka je data funkcija argumenata . Problem glasi – ako je
poznata vrednost standardnog odstupanja funkcije , odrediti standardna odstupanja
rezultata merenja .
Shodno (6.2.1-4), izraz za standardno odstupanje funkcije glasi
, a problem se rešava uz uslov da svaki član
podjednako doprinosi greški funkcije, odnosno:
, (6.2.2-1)
odakle sledi izraz oblika:
. (6.2.2-2)
Ukoliko se ustanovi da je preciznost nekog merenja teško ostvariti, deo uticaja se
raspodeljuje na ostala merenja u okviru funkcije.
/"0405.0
/"143.0
617.1
cmctgbb
cmctgbb
a
b
a
b
"25,"14,3.1
cma
16.0
32.2
35.2
n
n
na
),...,,(21 n
xxxhz n
xxx ,...,,21
z
nxxx ,...,,
21 nxxx ,...,,
21
n
i
iinnzhhhh
1
22222
2
2
2
2
1
2
1
2 ... 22
iih
)0(,2
222
kn
kconsth z
ii
nhh
k
i
z
i
i
157
PRIMER 6.2.2-1 (Perović,1988): Na osnovu podataka iz primera 6.2.1-1, primenom principa jednakih uticaja odrediti sa kojom tačnošću treba izmeriti elemente u trouglu.
REŠENjE: Shodno izrazima (6.2.2-2):
, ,
PRIMER 6.2.2-2: Na osnovu podataka iz primera 6.1-2, koristeći približno rešenje, sračunati sa kojom tačnošću treba meriti dužinu i ugao, tako da tačnost ocene horizontalne dužine ne bude manja od 5 cm.
REŠENjE: Shodno izrazu (6.2.2-2), za i izvoda funkcije iz zadatka 6.1-2,
sledi:
Standardno odstupanje merenja dužine ne sme biti veće od 3.54 cm
Standardno odstupanje merenja ugla ne sme biti veće od 14” .
PRIMER 6.2.2-3 (Perović,1988): Pri svođenju na centar pravaca opažanih na ekscentrični
signal, merene su sledeće veličine . Za svođenje pravaca neophodno je odrediti
ugao sa preciznošću od . Odrediti standardna odstupanja merenja , ako
je , i .
REŠENjE: Samostalan rad.
6.3 Prostiranje slučajnih grešaka merenja horizontalnih uglova
Tačnost merenja horizontalnih uglova, uglavnom zavisi od:
- Greške očitavanja limba;
- Greške viziranja;
cmab
b
a1.1
3
"12
3
ctgb
b "433
ctgb
b
8
122.0
37.2
43.3
i
a
n
n
n
n
,2,5 ncmz
ide ,,
1 ide ,,
me 1.0max
kmdkm 41 20 i
d e
i δ
S
C’
Z
158
- Greške signalisanja;
- Greške centrisanja; i
- Greške nagiba alhidadine ose (nehorizontalnosti horizontalnog limba).
6.3.1 Uticaj greške očitavanja limba na preciznost merenja horizontalnog ugla
Preciznost očitavanja limba kod klasičnih geodetskih instrumenata uglavnom zavisi od:
- kvaliteta optike instrumenta,
- veličine podeoka limbove podele, i
- sposobnosti opažača.
Greške očitavanja se javljaju i kod digitalnih instrumenata, a njihov iznos zavisi od
osetljivosti i rezolucije digitalno-analognog sistema za merenje. Proizvođači digitalnih
teodolita publikuju kombinovani efekat greške očitavanja i viziranja pojedinog pravca pri
tzv. krugu levo (KL) i krugu desno (KD) opisujući ga standardnim odstupanjem merenja.
Tipične su vrednosti standardnog odstupanja od 1 do 10. U navedenim iznosima uključeni
su isključivo slučajni efekti, a njihov uticaj na merenje horizontalnih uglova zavisi od
metode merenja i broja ponavljanja.
6.3.1.1 Uticaj greške očitavanja limba prilikom merenja horizontalnog ugla metodom
ponavljanja
U analizi standardnog odstupanja merenja ugla, opisaće se izrazi za dve metode koje se kod
digitalnih teodolita najčešće koriste, i to: metoda ponavljanja i girusna metoda merenja. Kod
metode ponavljanja, u početnom pravcu limb se fiksira na nultu vrednost. Ugao se meri
pomeranjem durbina između dva pravca u određenom broju ponavljanja, sabirajući pojedine
vrednosti merenja ugla. Ukupan zbir se podeli sa brojem ponavljanja, čime se dobija srednja
vrednost merenja ugla. Kod ove metode čitanje se realizuje dva puta, na početku i na kraju
merenja ugla. Dakle, ugao se dobija kao aritmetička sredina zbira pojedinih merenja
( ):
. (6.3.1.1-1)
S obzirom da se greška očitavanja javlja kod i , primenom zakona prenosa grešaka
nad (6.3.1.1-1) dobija se standardno odstupanje srednje vrednosti merenja ugla metodom
ponavljanja usled grešaka očitavanja limba, koje glasi:
, (6.3.1.1-2)
i
nn ,..,1
n
n
...
21
1
n
n
oč
oč
22
0
159
gde su: standardno odstupanje očitavanja nulte vrednosti početnog pravca,
standardno odstupanje očitavanja vrednosti završnog pravca, a je broj ponovljenih
merenja.
Obično se bira paran broj ponavljanja, pri čemu se polovina odnosi na merenja pri KL, a
druga polovina na merenja pri KD (u obrnutom smeru), čime se kompenzuju sistematski
uticaji instrumentalnog karaktera.
Ukoliko je = , tada (6.3.1.1-2) glasi:
. (6.3.1.1-3)
PRIMER 6.3.1.1-1: Neka je jedan ugao meren šest puta primenom metode ponavljanja.
Ukoliko je standardno odstupanje očitavanja 1.5, koliko iznosi standardno odstupanje srednje vrednosti merenja ugla izazvano greškom očitavanja?
REŠENjE:
.
6.3.1.2 Uticaj greške očitavanja limba prilikom merenje ugla girusnom metodom
Ukoliko se merenje uglova realizuje girusnom metodom, tada se horizontalni ugao dobija
kao razlika čitanja dva različita horizontalna pravca u dva položaja durbina (KL i KD).
Merenja se realizuju najčešće u više girusa, a srednja vrednost ugla se računa kao srednja
vrednost merenja u više girusa. S obzirom da se pri svakom viziranju pravca vrši očitavanje
limba i kako svaki ugao sadrži dva pravca, standardno odstupanje srednje vrednosti merenja
ugla, izazvano greškama očitavanja, iznosi:
(6.3.1.2-1)
gde su i standardna odstupanja očitavanja levog (L) i desnog (D) pravca, a je
broj ponavljanja (broj girusa x 2). Ako pretpostavimo da preciznost očitavanja ne zavisi od
odabranog pravca, izraz (6.3.1.2-1) se pojednostavljuje i glasi:
. (6.3.1.2-2)
PRIMER 6.3.1.2-1: Neka je jedan ugao meren šest puta (tri girusa) primenom girusne
metode. Ukoliko je standardno odstupanje očitavanja 1.5, koliko iznosi standardno odstupanje srednje vrednosti merenja ugla izazvano greškom očitavanja?
0 oč
n
0
oč
n
oč
oč
2
4.06
25.12
n
oč
oč
n
nDnLDLDL
oč
očočočočočoč
222222 ...2211
iLoč
iDoč n
n
oč
oč
2
160
REŠENjE:
. Na osnovu rezultata iz PRIMERA 6.3.1.1-1 i 6.3.1.2-2,
može se zaključiti da dodatna očitavanja kod girusne metode doprinose manjoj preciznosti merenja ugla u odnosu na metodu ponavljanja.
6.3.2 Uticaj greške viziranja na preciznost merenja horizontalnog ugla
Preciznost viziranja uglavnom zavisi od:
- kvaliteta optike durbina,
- veličine vizurnog objekta,
- sposobnosti opažača, i
- atmosferskih uslova okruženja.
Kao i greška očitavanja limba i greška viziranja je slučajnog karaktera i neizbežan je pratilac
merenja uglova, nezavisno od instrumenta. S obzirom da svako ponavljanje merenja čini dva
viziranja, greška viziranja ugla dobija se kao srednja vrednost ponavljanja. Polazeći od
zakona prenosa grešaka, standardno odstupanje merenja ugla izazvano uticajem grešaka
viziranja glasi:
(6.3.2-1)
gde su: - standardno odstupanje merenja ugla kao posledica uticaja greške viziranja, a
- standardna odstupanja viziranja pojedinih pravaca pri ponavljanja. Za dati
instrument i opažača, pretpostavlja se da greška viziranja ne zavisi od konkretnog pravca,
odnosno za , tada se (6.3.2-1) pojednostavljuje i glasi:
. (6.3.2-2)
PRIMER 6.3.2-1: Neka je jedan ugao meren osam puta (4 girusa). Ukoliko je standardno
odstupanje viziranja 1.4, koliko iznosi standardno odstupanje srednje vrednosti merenja ugla izazvano greškom viziranja?
REŠENjE:
9.06
25.12
n
oč
oč
n
n
vnvv
v
22
2
2
12...22
v
,,2,1...,
vnvv n
vvnvv ...
21
n
v
v
2
''7.08
2''4.12
n
v
oč
161
Pojava novih, digitalnih teodolita i totalnih stanica uticala je na pojavu novih standarda
kvaliteta. Jedan od njih je i DIN18723 ( ). Standard predstavlja standardno
odstupanje srednje vrednosti dvostrukog merenja pravca u oba položaja durbina, pri čemu
se uzimaju u obzir samo greške viziranja i očitavanja (u oznaci ) tako da glasi:
. (6.3.2-3)
Polazeći od (6.3.2-3), ocena standardnog odstupanja merenja jednog pravca kao posledica
uticaja grešaka očitavanja i viziranja digitalnim teodolitom glasi:
. (6.3.2-4)
Slično kao u slučaju izraza (6.3.2-2), ocena standardnog odstupanja srednje vrednosti
merenja ugla u ponavljanja (broj girusa = ), kao posledica uticaja grešaka očitavanja
i viziranja, računa se na sledeći način:
. (6.3.2-5)
Zamenom (6.3.2-4) u (6.3.2-5) dobija se izraz oblika:
. (6.3.2-6)
Odnosno, ako je broj girusa k = n/2, tada se prethodni izraz može napisati kao:
. (6.3.2-7)
U tom slučaju, standardno odstupanje srednje vrednosti pravca u k girusa glasi:
. (6.3.2-8)
PRIMER 6.3.2-2: Jedan ugao meren je u pet girusa (n=10 čitanja, odnosno 10/2=5 girusa)
totalnom stanicom čija publikovana preciznost po DIN18723 iznosi 6. Odrediti standardno odstupanje srednje vrednosti merenja ugla, kao posledice uticaja grešaka očitavanja i viziranja.
REŠENjE: .
DIN
DIN
voč ,
DIN
22
2,, vočvoč
DIN
2, DINvoč
n 2n
n
voč
voč
2,
,
n
DIN
voč
2,
k
DIN
voč
2,
k
DIN
voč
,
"79.310
"622,
n
DIN
voč
162
6.3.3 Uticaj greške centrisanja signala na preciznost merenja horizontalnog ugla
Uslov ostvarivanja najverovatnije vrednosti nekog ugla podrazumeva adekvatno centrisanje
signala (i instrumenta). Na tačnost centrisanja signala u najvećoj meri utiču:
- uslovi okruženja na kojem se tačka nalazi,
- greška optičkog viska ili drugog uređaja za centrisanje, i
- lične sposobnosti operatora.
Pažljivim odnosom prema toj elementarnoj operaciji, može se postići tačnost centrisanja, od
0.3 mm do 3 mm, generalno. Iako pomenuti izvori grešaka centrisanja predstavljaju
konstantnu grešku ugla, u mreži tačaka greška centrisanja ima slučajan karakter. Efekat
uticaja greške centrisanja signala na merenje ugla, ilustrovaće se na primeru merenja jednog
pravca. Kao što slika 6.3.3-1 prikazuje, iznos greške zavisi od položaja signala.
Slika 6.3.3-1: Efekti uticaja grešaka signalisanja
Tako, ukoliko je signal pomeren na pravcu stanica-signal, greška ugla će biti jednaka nuli.
Najveći uticaj je, očigledno, pri pomerenošću signala upravno na vizuru. Ukoliko sa
označimo odstupanje signala od tačnog položaja, tada je greška pravca , nastala pod
uticajem greške centrisanja signala jednaka:
, (6.3.3-1)
gde je dužina od instrumenta do signala. S obzirom da ugao predstavlja razliku dva pravca
i kada pređemo sa grešaka na standardna odstupanja, standardno odstupanje merenja ugla
, kao posledica grešaka centrisanja signala i , iznosi:
. (6.3.3-2)
cs
csp
cs
d
cs
pcs
d
CS
1cs
2cs
2
2
2
1
21
dd
cscs
CS
εcs1
εcs2
d1
d2
163
Ukoliko se pretpostavi da je = = , tada se (6.3.3-2) može predstaviti u sledećem
obliku:
. (6.3.3-3)
Treba naglasiti, da se greška centrisanja signala ne može otkloniti brojem ponavljanja
merenja.
PRIMER 6.3.3-1: Ukoliko je greška centrisanja signala 3 mm, odrediti grešku ugla merenog između dva pravca na rastojanjima 200 m i 350 m.
REŠENjE: Shodno (6.3.3-3)
Vrednosti grešaka merenja ugla za različite vrednosti dužina strana i grešku signalisanja od 3 mm prikazani su u tabeli – desno. Može se uočiti da je na dužim vizurama greška ugla nastala usled greške centrisanja signala manja nego na kraćim.
6.3.4 Uticaj greške centrisanja instrumenta na preciznost merenja horizontalnog
ugla
Greška centrisanja instrumenta u najvećoj meri zavisi od:
- kvaliteta konstrukcije instrumenta,
- osobina optičkog viska,
- kvaliteta stativa, i
- veštine opažača.
U zavisnosti od geometrije odnosa vizurne tačke, položaja na kojem se instrument nalazi i
istinitog položaja stanice, razlikovaće se i veličina greške. Prema situaciji na slici 6.3.4-1,
istinita vrednost ugla iznosi:
, (6.3.4-1)
gde su i istinite vrednosti pravaca, a i su greške pravaca izazvane greškom
centrisanja instrumenta.
Dakle, ukupna veličina greške ugla iznosi:
. (6.3.4-2)
1cs
2cs
cs
CS
dd
ddCS
21
2
2
2
1
"6.321
2
2
2
1
CS
dd
ddCS
)()()()(12121122 PPPP
1P
2P
1
2
12
CI
d1 d2
50 50 17.5
100 100 8.7
150 150 5.8
300 300 2.9
400 400 2.2
CS
164
Greška merenja ugla usled greške centrisanja instrumenta definiše se na sledeći način.
Posmatrajmo na slikama 6.3.4-1d i 6.3.4-1e koordinatni sistem koga definiše pravac ka
desnoj vizuri (drugi pravac) kao osa x i pravac alhidadine ose instrumenta koji definiše osu
y, upravnu na prethodnu osu. Na osnovu slike 6.3.4-1d, sledi:
.
(6.3.4-3)
Slika 6.3.4-1a-e: Efekat uticaja greške centrisanja instrumenta
sincos BCACFCAEAD
P
P
1
2
εcI
а)
2
1
P1
P2
εcI
c
P1
P2 2
1
c c)
d1
d2 B
d3
2
1
C
E D
A
+
1
2
y
е)
F
C B
E
D
A
F
y
x
x
b)
d)
165
Ako označimo da je i , tada se izraz (6.3.4-3) menja i glasi:
. (6.3.4-4)
Na osnovu slike 6.3.4-1e slede odnosi:
, (6.3.4-5)
i
. (6.3.4-6)
Zamenom (6.3.4-5) i (6.3.4-6) u (6.3.4-2), greška ugla nastala kao posledica greške
centrisanja iznosi:
, (6.3.4-7)
čijim preuređenjem se dolazi do konačnog oblika izraza (6.3.4-7) koji sada glasi:
. (6.3.4-8)
S obzirom na slučajnost položaja instrumenta, nad izrazom (6.3.4-8) primeniće se zakon
prenosa grešaka. Kao prvo, odredićemo parcijalne izvode funkcije (6.3.4-8):
,
i
, (6.3.4-9)
pa saglasno sa (6.3-16) dobija se izraz oblika:
(6.3.4-10)
Za i ako označimo , tada se (6.3.4-10) menja i glasi:
xBC yAC
sincos xyAD
11
sincos1 d
xy
d
ADCI
2
2 d
yCI
12
sincos
d
xy
d
yCI
21
221cossin
dd
ydxdydCI
21
2sin
dd
d
x
CI
21
21cos
dd
dd
y
CI
.cossin
2
2
21
212
2
21
22
yx
dd
dd
dd
dCI
2
CI
yx
CICI
166
. (6.3.4-11)
Imajući u vidu =1 i da je (vidi Sliku 6.3.4-1e,
izraz (6.3.4-11) se može dodatno uprostiti, tako da konačno glasi:
. (6.3.4-12)
PRIMER 6.3.4-1: Na osnovu pretpostavljene greške centrisanja instrumenta
poznatih dužina strana do dve susedne tačke poligonskog vlaka od 250 m i
450 m i prelomnog ugla na stanici koji iznosi , oceniti uticaj greške centrisanja
instrumenta na tačnost merenja prelomnog ugla.
REŠENjE:
Računanje strane ( ):
Računanje standardnog odstupanja merenja ugla usled greške centrisanja:
.
Efekti uticaja greške centrisanja za različite dužine strana.
6.3.5 Uticaj greške nagiba alhidadine ose na preciznost merenja horizontalnog ugla
Poznato je da nevertikalnost instrumenta (alhidadine ose) izaziva nagib horizontalnog limba
instrumenta. Posledica nehorizontalnosti limba jeste merenje horizontalnih uglova u
nehorizontalnoj ravni, što je nedopustivo. Efekti uticaja greške nagiba alhidadine ose još
više dolaze do izražaja kod strmih vizura, odnosno što je veća razlika zenitnih uglova na dva
pravca između kojih merimo ugao, to je uticaj ove greške izraženiji. Nagib alhidadine ose
kontroliše se položajem mehura libele. Ukoliko je mehur libele u toku merenja odstupio od
sredine za istu vrednost, tada je uticaj nagnutosti ose sistematski. Međutim, s obzirom da
opažač u postupku merenja mehur libele održava navrhunjenim, položaj mehura će se
menjati u toku merenja različitih pravaca. Na taj način, greška poprima slučajan karakter.
2
cos2sincos 2
2
2
2
1
21
222
2
2
12 CI
dd
ddddCI
22 sincos 2
321
2
2
2
1cos2 ddddd
CI
dd
dCI
221
3
,005.0 mCI
50
3d 2
321
2
2
2
1cos2 ddddd md 95.346
3
"2.22
21
3
CI
dd
dCI
d1 d2 d3
50 50 346.95 101.2
100 100 346.95 25.3
150 150 346.95 11.2
300 300 346.95 2.8
400 400 346.95 1.6
CI
167
Na slici (6.3.5-1), e predstavlja grešku ugla nastalu kao posledica nevertikalnosti alhidadine
ose instrumenta I. Vizura IS nagnuta je za ugao α u odnosu na horizont, a SPI ravan je
upravna na horizontalnu ravan instrumenta. Instrument je nagnut u odnosu na vertikalu pod
uglom , gde je broj parsova za koliko je mehur odstupio od centralne tačke, a
je uglovna vrednost jednog parsa (osetljivost libele).
Slika 6.3.5-1: Efekti uticaja greške nagiba alhidadine ose
Na osnovu slike (6.3.5-1) mogu se izvesti sledeći izrazi:
(6.3.5-1)
i
, (6.3.5-2)
gde je horizontalno rastojanje od instrumenta do signala, a je greška ugla u radijanima.
S obzirom da je greška nevertikalnosti alhidadine ose (ili greška nehorizontalnosti limba)
mala, se može zameniti sa lučnom vrednošću, tako da je:
.
(6.3.5-3)
Zamenom (6.3.5-1) u (6.3.5-3) dobija se izraz oblika:
. (6.3.5-4)
Kada (6.3.5-4) uvrstimo u (6.3.5-2), dobija se izraz za grešku ugla izazvanu uticajem
nevertikalnosti alhidadine ose:
. (6.3.5-5)
s s
tandSP
edPP '
d e
'PP
)(' SPPP
tan' dPP
tane
d
e P
P
I
S
168
Kako je položaj libele u toku merenja slučajan u odnosu na pravac vizure, za ocenu ukupne
greške ugla (merenog = KL + KD puta) usled nagiba alhidadine ose, može se primeniti
zakon prenosa grešaka, tako da standardno odstupanje merenja ugla između B i A usled
nagiba alhidadine ose glasi:
, (6.3.5-6)
gde su i vertikalni uglovi vizura ka signalima A i B, a je ranije definisana
vrednost nagiba alhidadine ose, a je broj merenja ugla.
PRIMER 6.3.5-1: Na strmom terenu meren je horizontalni ugao između dve tačke. Zenitni
uglovi ka tačkama iznosili su i , osetljivost libele je iznosila
/pars , a mehur libele je bio pomeren u odnosu na centar za s=0.3 parsa. Ukoliko je ugao meren 6 puta (3 girusa), sračunati uticaj greške nagiba alhidadine ose na tačnost merenja ugla.
REŠENjE: Na osnovu izraza (6.3.5-6) sledi
PRIMER 6.3.5-2: Jedan ugao je meren četiri puta (dva puta pri KL i dva puta pri KD).
Greške očitavanja i viziranja na totalnoj stanici iznosile su i . Signali i
totalna stanica centrisani su optičkim viskom sa tačnošću od .
Horizontalne dužine do signala iznose 200 m i 300 m, respektivno, a Odrediti
ukupno standardno odstupanje merenja ovog ugla.
REŠENjE:
Greška ugla usled greške očitavanja:
Greška ugla usled greške centrisanja signala:
n
n
AB
NA
22
tantan
A
B
n
80A
z 95B
z "30
"7.0
6
)5tan(/"303.0)10tan(/"303.022
parsparsparsparsNA
1OČ
5.1 V
mmCICS
3
.2753
md
17.04
212
n
č
Oč
7.3206265003.0300200
300200 22
21
2
2
2
1
s
dd
ddCS
Greška ugla usled greške viziranja:
60.14
25.12
n
v
v
169
Greška ugla usled greške centrisanja instrumenta:
Ukupno standardno odstupanje merenja ugla:
NAPOMENA: Na osnovu vrednosti pojedinih uticaja može se zaključiti da su greške centrisanja značajnije po vrednosti u odnosu na druge dve. Njihov značaj je tim veći, jer se njihov uticaj ne umanjuje ponavljanjem merenja. Zato, prilikom merenja uglova, posebno u mreži sa kratkim stranama, kao što je poligonska mreža, signal i instrument se moraju pažljivo centrisati.
Ukoliko za definisanje granice tačnosti merenja ugla usvojimo verovatnoću od 99%, tada dozvoljena vrednost standardnog odstupanja merenja ugla ne sme biti veća od
.
6.4 Ocena saglasnosti uglovnog nezatvaranja poligona sa očekivanom vrednošću
Poznata je činjenica da prilikom obrade podataka i računanja koordinata tačaka u
poligonskom vlaku (poligonu) moraju biti zadovoljena tri uslova (dva koordinatna uslova -
i uslov datog ugla). Jedan od njih je uslov datog ugla. Da
bi se ocenila značajnost uglovnog odstupanja, neophodno je: 1) sračunati uglovno
odstupanje i 2) standardno odstupanje uglovnog odstupanja kao funkciju standardnih
odstupanja merenja pojedinih uglova u poligonu. U sledećem primeru ilustrovaće se
kompletan postupak testiranja značajnosti uglovnog odstupanja jednog zatvorenog poligona.
PRIMER 6.4-1: U zatvorenom poligonu od pet tačaka mereni su uglovi u jednom girusu (dva merenja=KL+KD). Vrednosti ukupne greške merenja pojedinog ugla dati su u tabeli. Za verovatnoću od 95% oceniti značajnost dobijene vrednosti uglovnog nezatvaranja poligona u odnosu na očekivanu vrednost.
REŠENjE: Računanje uglovnog nezatvaranja poligona:
0.2221
3
i
dd
dCI
4.40.27.306.171.0 2222
"3.11576.2"4.4
ABAByyy xxx ,
f
f
"39180)2("39'00540
nf
Ugao s
1 801513 7
2 1223939 13
3 992627 9
4 1123639 11
5 125241 12
5400039
170
Računanje standardnog odstupanja od :
Na osnovu sračunatih vrednosti može se reći da je veće od 23.7”, koje predstavlja
ocenu standarda od pri verovatnoći od 68.3% ( ). Međutim, s obzirom
da se u zadatku traži ocena značajnosti u odnosu na verovatnu grešku njene ocene pri
verovatnoći od 95%, tada iz tablica studentove raspodele tražimo vrednost kvantila za
(traži se obostrani interval jer je očekivana vrednost jednaka nuli, odnosno
može biti pozitivna i negativna razlika) sa jednim stepenom slobode (broj stepeni slobode određen je brojem suvišnih merenja prelomnog ugla; dva merenja – 1=1). Tako, s obzirom
da je , 95. procentna vrednost greške od iznosi
. Na osnovu sračunate vrednosti dozvoljenog odstupanja za
zadatu verovatnoću od 95%, može se konstatovati da vrednost nije značajna.
6.5 Prostiranje slučajnih grešaka merenja dužina
Merenje dužina uređajima za elektronsko merenje (EDM) prati određen broj grešaka
instrumentalnog karaktera koje proizvođači EDM svrstavaju u dve kategorije: prva –
konstantne greške i druga – greške razmere (scale error). Preciznost EDM obično se
specificira kao . Veličina predstavlja konstantni deo greške (adiciona
konstanta) i u zavisnosti od tipa EDM kreće se od 3 mm do 10 mm. Veličina predstavlja
deo greške proporcionalan dužini, spada u greške razmere (multiplikaciona konstanta) i
izražava se u milimetrima po kilometru dužine ili mm/1km (često se prikazuje i u tzv. ppm
jedinicama). Kao i konstantna greška, vrednosti greške razmere u zavisnosti od tipa EDM,
najčešće se kreću od 3 mm do 10 mm. Pored navedenih komponenata, u grešku merenja su
uključeni još neki izvori od kojih ćemo posebno istaći greške centrisanja signala
(reflektora) i instrumenta . Uzimajući sve u obzir, tačnost merenja dužina EDM
instrumentom definiše se standardnim odstupanjem koje se računa na osnovu sledećeg
izraza:
. (6.5-1)
PRIMER 6.5-1: Sa EDM instrumentom čija je preciznost deklarisana kao
izmerena je dužina čija vrednost iznosi . Ukoliko su:
, sračunati standardno odstupanje merenja dužine i 90%. dozvoljeno
odstupanje.
REŠENjE:
,
f ''7.2312119137 22222
f
f
f
ffft
,)%(
f
025.02/
705.121,025.0t
f
"3017.23705.12%95
"39f
kmbad
a
b
CS
CI
d
22222
kmbaCSCIdd
kmmmmm /106 md 00.120
mmCICS 1
mmd
6.8363611 mm mm d
15.146.86449.16449.190
171
6.6 Prostiranje slučajnih grešaka u poligonskom vlaku
Projektnim zadatkom mogu se specificirati različiti zahtevi tačnosti. Međutim, bez obzira na
specifikacije u rezultatima merenja se ne može tolerisati prisustvo grubih grešaka11. U vezi
sa tim, često se postavlja jednostavno pitanje – kako u rezultatima merenja otkriti prisustvo
grubih grešaka? Detaljnije modelovanje prisustva grubih grešaka u merenjima predmet su
naprednih kurseva ovog predmeta. U okviru ovog poglavlja, pozabavićemo se odgovorom
na to pitanje samo u sklopu analize poligonskog vlaka.
U prethodnim razmatranjima definisan je funkcionalni odnos elementarnih grešaka i ukupne
greške funkcije. Merenja u okviru premera u horizontalnoj ravni (ovde spada i
poligonometrija) generalno se tretiraju kao međusobno nezavisna. Drugim rečima, merenje
dužina poligonskih strana nezavisno je od merenja direkcionih uglova (prelomnih i veznih
uglova). Međutim, koordinatne razlike poligonskih strana koje se računaju na osnovu dužina
i direkcionih uglova nisu nezavisni. Na slici 6.6-1, ilustrovan je uticaj grešaka merenja
dužina i direkcionih uglova na tačnost računanja koordinatnih razlika. Naime, može se
konstatovati da postoji korelisanost između koordinatne razlike po osi x i osi y (promena
direkcionog ugla ili dužine izaziva promenu koordinatnih razlika po obe ose).
Kako smo već konstatovali nezavisnost merenja dužina i uglova, to će se pri oceni tačnosti
koordinatnih razlika koristiti specijalni zakon prostiranja varijansi (izraz 6.1-16). Međutim,
kada koristimo funkcije sa koordinatnim razlikama kao parametrima (na primer, prilikom
računanja grešaka linearnog zatvaranja vlaka) mora se uzeti u obzir njihova međusobna
korelisanost i primeniti opšti zakon prostiranja varijansi (izraz 6.1-12).
Slika 6.6-1: Zavisnost ocena koordinatnih razlika od merenja dužina i uglova
6.6.1 Standardna odstupanja ocena koordinatnih razlika
Koordinatne razlike poligonske strane računaju se na osnovu izraza oblika:
. (6.6.1-1)
Da bi se ocenila tačnost računanja koordinatnih razlika treba naći izvode funkcija (6.6.1-1)
po promenljivim, tj. merenjima:
11 Gruba greška – eng. blunders, outliers, etc.
J
IIJ
J
I
J
IIJ
J
I
dy
dx
sin
cos
+
+
x x
+ d
- d
I
J
I y y
J
172
(6.6.1-2)
Primenom specijalnog zakona prostiranja grešaka, kovarijaciona matrica ocena koordinata
(nepoznatih parametara) definiše se kao :
. (6.6.1-3)
PRIMER 6.6.1-1: Na osnovu datih podataka merenja dužine poligonske strane d=500.87
m (sd=5 cm) i direkcionog ugla strane (s=9) sračunati koordinatne razlike
poligonske strane i oceniti njihova standardna odstupanja.
REŠENjE: Zamenom datih vrednosti i vrednosti izvoda (6.6.1-2) u (6.6.1-3) traženi podaci iznose:
Vrednosti kovarijansi, govore o prisustvu korelativne veze sračunatih koordinatnih razlika i merenja. Koeficijent korelacije iznosi
- značajna korelisanost.
6.6.2 Standardno odstupanje ocene direkcionog ugla poligonske strane
J
IJ
I
J
IJ
I
IJ
J
I
J
IJ
I
J
IJ
I
IJ
J
I
dx
d
y
dx
d
x
cossin
sincos
AKAKL
T
xy
2
,
,
2
2
2
0
0
yyx
yxx
J
I
J
I
J
I
J
I
IJ
J
I
IJ
J
I
d
J
I
J
I
IJ
J
I
J
I
J
I
IJ
J
I
xy yx
d
y
d
x
y
d
y
x
d
x
K
"30'1030
00098278.000087418.0
00087418.000199041.0
499.433897.250
5.0865.0
10904.10
00025.0
499.4335.0
897.250865.0
cossin
sincos
8.206264
90
005.0
cossin
sincos
9
2
2
ddd
dK
xy
mx
04.000199041.0
my
03.000098278.0
6.003.004.0
00087418.0
yx
xy
xy
173
Kao što je poznato, direkcioni uglovi poligonskih strana se ne mere direktno, već indirektno
preko merenih prelomnih i veznih uglova. Dakle, direkcioni uglovi su funkcija merenja, tako
da njihova tačnost zavisi od tačnosti merenja. Ukoliko su u nekom zatvorenom poligonu
mereni unutrašnji uglovi u smeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu, direkcioni uglovi
strana se računaju na osnovu izraza oblika:
, (6.6.2-1)
gde su: - direkcioni ugao strane ij, - direkcioni ugao prethodne strane i - prelomni
ugao na tački i.
Kada na izraz (6.6.2-1) primenimo zakon prenosa grešaka dobija se izraz za računanje
standardnog odstupanja ocene direkcionog ugla poligonske strane, tj.
, (6.6.2-2)
gde je - standardno odstupanje ocene prelomnog ugla na tački i, dok su ostali članovi
izraza ranije definisani.
6.6.3 Standardno odstupanje ocena uglovnog i linearnog nezatvaranja poligona
Geometrijski uslovi zatvaranja poligona, ukoliko su mereni unutrašnji uglovi, glase:
, (6.6.3-1)
i
. (6.6.3-2)
Odstupanja od navedenih uslova nazivaju se nezatvaranjima, koja mogu biti dvojaka –
uglovna i linearna. Ono što je od posebnog značaja, jeste kako doći do odgovora na pitanje
– da li su sračunata nezatvaranja značajna? Ukoliko jesu, zaključak je da rezultati merenja
sadrže neželjene uticaje koje treba otkriti i eliminisati ili sumnjiva merenja ponoviti. U
sledećem primeru ilustrovaće se način ocene značajnosti sračunatih vrednosti nezatvaranja
zatvorenog poligonskog vlaka.
PRIMER 6.6.3-1: (Ghilani and Wolf, 2007) Na osnovu datih podataka merenja uglova (2 girusa) u zatvorenom poligonu odrediti očekivane vrednosti nezatvaranja pri 95% nivou poverenja.
i
i
i
j
i
180
1
j
i i
i 1
i
22
1i
ii
ji
i
180)2(1
nn
i
i
0
0
1
1
n
i
i
n
i
i
y
x
174
REŠENjE: A) Ocena značajnosti uglovnog nezatvaranja: Na osnovu standardnih odstupanja merenja prelomnih uglova i shodno zakonu prenosa grešaka, standardno
odstupanje zbira unutrašnjih uglova iznosi i korespodentno je
verovatnoći od 68.3%, odnosno, verovatnoća da će aktuelna vrednost nezatvaranja
poligona biti u granicama intervala iznosi 68.3%. S obzirom da se u zadatku
traži ocena značajnosti u odnosu na 95%. interval, postavlja se pitanje – koji broj stepeni slobode treba koristiti prilikom sabiranja uglovnih merenja? Može se postupiti na više načina: a) Prvi način: Neophodan broj uglova je četiri, dok je jedan ugao suvišan. U tom slučaju broj suvišnih merenja bi bio (3 suvišna merenja) x (4 neophodna ugla) + (4 merenja petog
ugla) =16, odnosno , gde je n broj merenih uglova, a r je broj merenja
svakog ugla; b) Drugi način: Ako ugao tretiramo kao veličinu koju je neophodno odrediti merenjem pri KL i KD (usled sistematskih i drugih grešaka), onda je svaki od prva četiri ugla meren dva puta, odnosno sadrži po jedno suvišno merenje pa kada tome dodamo dva merenja petog
ugla (dva jer je suvišan) onda ukupan broj suvišnih merenja iznosi ,
c) Treći način: Ako ugao tretiramo kao srednju vrednost jer srednje vrednosti koristimo u daljem računanju, tada bi poligon imao samo jedno suvišno merenje (peti ugao), d) Četvrti način: Ovaj pristup zasniva se na određivanju 95%. greške svakog ugla, a nakon toga se primenjuje zakon prenosa. Tada bi svaka stanica ima tri suvišna merenja,
generalno .
e) Peti način: Ukoliko je data vrednost standardnog odstupanja (na primer, data je vrednost standarda po DIN 18723) tada bi dozvoljeno odtupanje računali tako što bi se odredili standardno odtupanje merenja ugla usled grešaka oćitavanja i viziranja i pomnožili ga sa odgovarajućim kvantilom i korenom iz broja merenih uglova.
Načini pod c) i d) su dosta komotni i dozvoljavaju značajna odstupanja. Na geodetskom stručnjaku je da odluči koji će postupak primeniti. U zadatku, postupiće se po slučajevima d) i e).
Slučaj pod d): Iz tablica studentove raspodele za zadatu verovatnoću i tri stepena slobode (2 girusa), vrednost kvantila iznosi . Dozvoljena vrednost uglovnog odstupanja
pri 95%. intervalu i prema podacima o tačnosti ocena prelomnih uglova, iznosi
. Na osnovu datih podataka može se
sračunati aktuelno nezatvaranje poligona koje iznosi , pa se sa verovatnoćom od
222 ...EBA
ssssf
ff s1
11rnf
6112
rn
1 rf
183.33,025.0t
"6.249.31.36.31.35.3183.3 22222 f
"19
f
A
E
D
C
B
A
E
D
C
B
Stanica Viz. Duž, s(m) Zadnja
viz. Stanica
Prednja
Vizura Prelomni ugao s ()
A B 430.70 0.02 E A B 110-24-40 3.5
B C 257.08 0.02 A B C 87-36-14 3.1
C D 337.70 0.02 B C D 125-47-27 3.6
D E 316.36 0.02 C D E 99-57-02 3.1
E A 226.90 0.02 D E A 116-14-56 3.9
540-00-19
175
95% može tvrditi da se aktualna vrednost uglovnog nezatvaranja nalazi u intervalu
, tj. pri nivou poverenja od 95%, ne može se tvrditi da rezultati merenja sadrže grube greške.
Slučaj pod e): Ako je po DIN 18723 data vrednost standarda merenja od 1, tada je standardno odstupanje merenja ugla usled grešaka viziranja i očitavanja jednaka
, tada je dozvoljeno odstupanje , na
osnovu čega se može zaključiti da je uglovno odstupanje u poligonu značajno, a što je kontradiktorno prethodnom zaključku. U zavisnosti od značaja merenja i očekivane preciznosti, geodetski stručnjak će odlučiti kom pristupu će dati veći značaj.
B) Ocena značajnosti linearnog nezatvaranja:
B1) Računanje direkcionih uglova poligonskih strana i njihovih standardnih odstupanja: Za
stranu AB usvaja se direkcioni ugao AB = 00000.
Izraz (6.1-12) na pravi način uzima u obzir korelisanost koordinatnih razlika poligonskih strana prilikom računanja linearnog nezatvaranja poligona. Polazeći od parcijalnih izvoda (6.6.1-2), matrica A za ceo poligon ima sledeći oblik:
A=
S obzirom da su dužine i uglovi nezavisno mereni, može se pretpostaviti da su međusobno nekorelisani. Tada, odgovarajuća matrica kovarijansi merenja glasi
"6.24
4.12
12;
v
0196.954.1183.3 f
Od Do Dir. ugao ()
A B 0-00-00 0
B C 267-36-14 3.1
C D 213-23-41 (3.1+3.6) = 4.8
D E 133-20-43 (4.8+3.1) = 5.7
E A 69-35-39 (5.7+3.9) = 6.9
cos AB - dAB sin A
B 0 0 .. 0 0
sin AB dAB cos A
B 0 0 . 0 0
0 0 cos BC - dBC sin B
C . 0 0
0 0 sin BC dBC cos B
C . 0 0
... ... ... ... . ... ...
0 0 . cos EA - dEA sin Е
А
0 0 sin EA dEA cos E
A
176
Kl=
Kada zamenimo vrednosti direkcionih uglova i njihovih standarda u (6.1-12) dobija se matrica kovarijansi ocena nepoznatih parametara (koordinatnih razlika poligonskih strana), kao
Kx,y=ATKl A=
Ocene grešaka koordinatnih razlika dobijaju se kao kvadratni koren dijagonalnih članova
matrice Kx,y. Na primer, standardno odstupanje koordinatne razlike x strane BC iznosi
.
Računanje linearnog nezatvaranja poligona:
msCB
X013.000017.0
22 )()(EADECDBCABEADECDBCABd
Yyyyyxxxxxf
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
2
dAB
2BA
2
dBC
2CB
2
dCD
2DC
2
dDE
2ED
2
dEA
2AE
0.00040 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0.00017 0.00002 0 0 0 0 0 0
0 0 0.00002 0.00040 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0.00049 0.00050 0 0 0 0
0 0 0 0 0.00050 0.00060 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0.00064 -0.00062 0 0
0 0 0 0 0 0 -0.00062 0.00061 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0.00061 0.00032
0 0 0 0 0 0 0 0 0.00032 0.00043
177
Da bi odredili grešku funkcije neophodno je primeniti zakon prenosa grešaka, a pre
toga treba naći izvode funkcije po i .
Izvodi funkcije glase - strana AB: i izvodi su isti i
za ostale strane, nezavisno od direkcionog ugla poligonske strane, odnosno
, gde su ,
, , pa je konačno, shodno (6.1-15)
ATKx,y A = 0.002167. Za verovatnoću od 95% i tri stepeni slobode merenja uglova,
dozvoljeno standardno odstupanje ocene linearnog nezatvaranja iznosi
, pa s obzirom da je od 0.14, to se sa
verovatnoćom od 95% može reći da nema razloga za sumnju da su u rezultatima merenja prisutne grube greške.
6.6.4 Standardno odstupanje ocene linearnog nezatvaranja umetnutog poligonskog
vlaka
Za razliku od zatvorenog poligona, kod umetnutog poligonskog vlaka početna i završna
tačka vlaka su date tačke, što znači da greške datih veličina moraju biti uzete u obzir.
Metodologija ocena značajnosti uglovnog i linearnog nezatvaranja ista je kao u slučaju
zatvorenog poligona. Sledećim primerom ilustrovaće se postupak analize kvaliteta ocena u
umetnutom poligonskom vlaku sa četiri nepoznate tačke.
PRIMER 6.6.4-1: Prema datim podacima merenja uglova i dužina u umetnutom poligonskom vlaku, oceniti očekivanu vrednost nezatvaranja sa 95% nivoom poverenja i ispitati da li merenja sadrže grube greške.
mfd
085.0)022.0()082.0( 22
df
df x y
df
dAB
d
dAB
d
f
y
y
f
f
x
x
f
,
ddddddf
y
f
x
f
y
f
x
f
y
f
xA ... 082.0 x
022.0 y 085.0d
f
2
df
mtdd ff
14.0002167.0183.32
3,025.0
df
Strana
AB 1435.67 0
BC - 35.827 - 856.191
CD - 939.811 - 619.567
DE -723.829 766.894
EA 263.715 708.886
= - 0.082 = 0.022
x y
178
REŠENjE:
Uglovno nezatvaranje: Kako je sračunata vrednost direkcionog ugla strane D2
, a data vrednost iznosi , vrednost uglovnog
nezatvaranja iznosi . Shodno podacima o standardima merenja uglova (poslednja
kolona u tabelama 2 i 4), standardno odstupanje ocene direkcionog ugla strane D2 iznosi
na osnovu čega se može konstatovati da nema osnova za
sumnju da rezultati merenja sadrže grubu grešku.
Linearno nezatvaranje: Na osnovu podataka o koordinatama datih tačaka (Tabela 1) može se sračunati data vrednost koordinatnih razlika koje iznose:
date vrednosti koordinatnih razlika krajnjih tačaka
Direkcioni uglovi poligonskih strana:
"22'19842 D
"13'1984180"13'19264
"9
f
"7.111.40.11 22
2
D
s
my
mx
00.302
00.3625
B
2 1
D
A
C
Od do d s
1 A 1069.16 0.021
A B 933.26 0.020
B C 819.98 0.020
C D 1223.33 0.021
D 2 1273.22 0.021
zadnja stanica prednja Ugao s()
1 A B 66-16-35 4.9
A B C 205-16-46 5.5
B C D 123-40-19 5.1
C D 2 212-00-55 4.6
Stanica X Y
1 1248.00 3979.00
2 4873.00 3677.00
Od do Direkcioni ugao s ()
1 A 197- 04-47 4.3
2 D 264-19-13 4.1
179
Koordinatne razlike poligonskih strana:
vrednosti linearnih odstupanja po pravcima koordinatnih osa
Ukupno linearno nezatvaranje iznosi
Računanje očekivane vrednosti ukupnog linearnog odstupanja: Slično kao u primeru 6.6.1-1, neophodno je definisati matrice kovarijansi Kl i Kx,y matrice parcijalnih izvoda
funkcija (6.6.1-2) i funkcije .
Konačno ATKl A = 0.01. Za verovatnoću od 95% i tri stepena slobode, iz tablica
studentove raspodele uzima se vrednost kvantila, tako da 95%. interval u kojem treba očekivati da se nalazi aktuelna vrednost linearnog nezatvaranja (dozvoljeno odstupanje) iznosi
S obzirom da je aktuelno nezatvaranje u očekivanim granicama, sa verovatnoćom od 95% se može tvrditi da merenja ne sadrže grube greške.
6.7 Prostiranje slučajnih grešaka u nivelmanu
Geometrijski i trigonometrijski nivelmani su dve najzastupljenije metode određivanja
visinskih razlika između tačaka na zemljinoj površi. Obe metode prate kako slučajni, tako i
sistematski izvori grešaka merenja. Da bi se njihov uticaj otklonio ili umanjio, neophodno
je dosledno se pridržavati propisane procedure i uslova pri merenju. Pre prelaska na slučajne
greške i njihovo prenošenje prilikom računanja visinskih razlika, ukratko ćemo se podsetiti
elementarnih sistematskih izvora grešaka i ukazati na značaj minimiziranja njihovog uticaja.
mf
mf
y
x
128.0
032.0
mfd
132.0)128.0()032.0( 22
df
2
df
ms 32.001.0183.3%95
Strana x y
1A -1022.007 -314.014
AB 107.976 926.993
BC -262.022 776.989
CD 747.973 968.025
D2 125.952 1266.975
= - 302.128 =
3624.968
Strana Direkcioni
ugao
s
1A 197-04-47 4.3
AB 83-21-22 6.5
BC 108-38-08 8.5
CD 52-18-27 9.9
D2 84-19-22 11.0
180
6.7.1 Analiza grešaka merenja visinskih razlika geometrijskim nivelmanom
Analiza prostiranja grešaka u nivelmanu razdvaja slučaj geometrijskog nivelmana od
trigonometrijskog. U analizi posebno se razdvajaju sistematski od slučajnih uticaja i ukazuje
na složenost nekih izvora grešaka koji, iako spadaju u sistematske, ponekad deluju i kao
slučajne.
6.7.1.1. Sistematske greške u geometrijskom nivelmanu
U geometrijskom nivelmanu dužine vizura i ujednačavanje dužina prednjih i zadnjih vizura
osnovni su preduslov minimiziranja sistematskih uticaja. Međutim, i pored toga njihov je
uticaj u izvesnoj meri prisutan i često se dodatno otklanja uvođenjem popravaka. Među
najznačajnije sistematske uticaje ubrajaju se: 1) greška kolimacije, i 2) greška usled
zakrivljenosti Zemlje i refrakcije.
Nehorizontalnost kolimacione ose
Greška kolimacije ili kolimaciona greška nastaje usled nehorizontalnosti kolimacione ose
(vizure). Kao što smo ranije istakli, njen uticaj se minimizira jednakošću dužina prednje i
zadnje vizure. Na jednoj stanici, sistematski uticaj nehorizontalnosti vizure na visinsku
razliku definiše (slika 6.7.1.1-1) se izrazom oblika:
, (6.7.1.1-1)
gde su: greška visinske razlike usled uticaja kolimacije, su dužine do zadnje i
prednje letve, a je nagib vizurne ose (kolimacija) u odnosu na horizontalnu ravan, u
radijanima. Ukoliko posmatramo jednu nivelmansku stranu ili vlak sa više stanica, tada je
greška kolimacije jednaka:
, (6.7.1.1-2)
odnosno:
. (6.7.1.1-3)
Slika 6.7.1.1-1: Kolimaciona grešaka
pzK
dde
Ke
pzdd ,
)(...)()(2211 nn pzpzpzK
dddddde
)( pzK
dde
h
lp
1
2
dz dp
lz
181
Dakle, ukoliko je razlika zbira zadnjih i prednjih vizura različita, uticaj kolimacione greške
se može odrediti primenom izraza (6.7.1.1-3).
PRIMER 6.7.1.1-1: Sračunati grešku visinske razlike usled uticaja kolimacione greške od 0.04 mm/m ako su dužine zadnje vizure 863 m, a prednje 932 m. Ukoliko je merena visinska razlika 20 m, sračunati visinsku razliku oslobođenu uticaja kolimacione greške.
REŠENjE:
Vrednost visinske razlike oslobođene uticaja kolimacije iznosi:
Zemljina zakrivljenost
Poznato je da se sa udaljenošću letve, vizura i nivoska površ sve više međusobno udaljavaju.
To ima za posledicu da je čitanje letve uvek veće. Slično, sa udaljenošću od instrumenta,
pod uticajem refrakcije vizura se sve više povija ka zemljinoj površi, što izaziva čitanje letve
niže u odnosu na horizont. Kombinovani uticaj zakrivljenosti i refrakcije na stanici uvek će
uticati da letva bude očitana iznad pravog čitanja za veličinu:
, (6.7.1.1-4)
gde je - koeficijent kombinovanog uticaja refrakcije i zemljine zakrivljenosti čija
vrednost u računanju iznosi .
Za jednu visinsku razliku na stanici nejednakih dužina vizura do zadnje i prednje letve,
greška visinske razlike ( ) usled kombinovanog uticaja zakrivljenosti i refrakcije iznosi:
(6.7.1.1-5)
ili
. (6.7.1.1-6)
Dakle, ukoliko su dužine zadnje i prednje vizure različite, kombinovani uticaj greške
zemljine zakrivljenosti i refrakcije računa se na osnovu izraza (6.7.1.1-6).
PRIMER 6.7.1.1-2: Između dve tačke merenjem je određena visinska razlika koja iznosi 2.532 m. Ukoliko je dužina zadnje vizure bila 100 m, a prednje 20 m, sračunati popravku za uticaj zemljine zakrivljenosti i refrakcije i popraviti merenu visinsku razliku.
meK
0028.0)932863(00004.0
.0028.20)0028.0(20 m
2
12
100012
dkh
k
12k
0675.012k
12ke
2
12
2
12
1000100012
pz
k
dk
dke
22
2
12
100012 pzkdd
ke
182
REŠENjE: Shodno (6.7.1.1-6)
Popravljena visinska razlika:
Ukoliko se radi o nivelmanskoj strani (više stanica), kombinovani uticaj zakrivljenosti i
refrakcije iznosi:
. (6.7.1.1-7)
Uzimajući u obzir ukupan uticaj navedenih sistematskih izvora, definitivna vrednost
visinske razlike na stanici glasi:
, (6.7.1.1-8)
gde su čitanja zadnje i prednje letve, respektivno.
6.7.1.2. Prostiranje slučajnih grešaka u geometrijskom nivelmanu
U geometrijskom nivelmanu, susrećemo se sa nekoliko osnovnih izvora slučajnih grešaka.
Najvažnije su: greška očitavanja letve, nehorizontalnosti instrumenta, nevertikalnosti letve i
dr. Veličine uticaja zavisiće od uslova u atmosferi, kvaliteta optike durbina, osetljivosti
libele ili kompenzatora i podele na letvi.
Greška očitavanja letve
Ocena greške očitavanja letve može se izraziti kao količnik standardne greške očitavanja
letve po jedinici dužine vizure. Na primer, ako je sposobnost očitavanja letve od strane
operatora 0.001 mm na 100 m, tada je greška očitavanja jednaka
. Za dužinu vizure , greška očitavanja iznosi:
. (6.7.1.2-1)
Greška horizontiranja instrumenta
Ocena greške nivelanja izazvana nesavršenošću kompenzatora navodi se u tehničkim
specifikacijama proizvođača. Ona se često navodi u lučnim sekundama ili kao greška visine
po dužini vizure. Na primer, ako se kao podatak navodi , to je u lučnoj
meri jednako . Osetljivost kompenzatora kod preciznih nivelira kreće
se od 0.1” do 0.2”, dok kod manje preciznih osetljivost je reda veličine oko 10”.
mek
0006.0)20100(1000
0675.0 22
212
mmh 531.20006.0532.2
)(1000
22
2
12
12 pzkdd
ke
)(1000
)()( 22
2
12
pzpzpzdd
kddllh
pzll ,
dO /
mm /00001.0100/001.0 d
dOOd
/
kmmm /5.1
"3.01000000/5.1
183
Greška nevertikalnosti letve
Nevertikalnost letve po svom uticaju može spadati u sistematske i slučajne izvore. Kada
posmatramo njen uticaj na jedno čitanje na stanici, tada se greška čitanja letve izazvana
njenom nevertikalnošću može modelovati izrazom oblika:
(6.7.1.2-2)
gde je linearno odstupanje letve od vertikalnog položaja, je čitanje na letvi.
Slika 6.7.1.2-1: Uticaj nevertikalnosti letve
Ukoliko je centrična libela na letvi u položaju nagnutom za veličinu , tada je:
, (6.7.1.2-3)
pa kada (6.7.1.2-3) uvrstimo u (6.7.1.2-1), dobija se konačan izraz za uticaj nagiba libele
kao:
. (6.7.1.2-4)
Ukoliko se nevertikalnost letve posmatra u kontekstu nivelanja u mreži, tada je ukupan uticaj
nevertikalnosti slučajnog karaktera, naravno vodeći računa da su prilikom rada na svakoj
stanici letve bile u vertikalnom položaju (libela vrhunila).
PRIMER 6.7.1.2-1: Neka je centričnom libelom nivelmanska letva dovedena u vertikalnost sa tačnošću od i neka je letva čitana na visini od 3 m. Koliki je uticaj ove greške na jedno čitanje i izvesti izraz za uticaj nevertikalnosti nivelmanske letve na visinsku razliku nivelmanske strane.
REŠENjE:
Ocena greške nevertikalnosti letve jednog čitanja letve iznosi:
l
dlle
NL
2'
2
d l
sinld
2sin2
le
NL
'1
l
l
d
vizura
184
S obzirom da se ovaj tip greške javlja pri svakom čitanju letve, razlike čitanja prednjih i zadnjih letvi imaju tendenciju poništavanja. Tako, kombinovani efekat uticaja ove greške glasi
odnosno,
, gde izraz u zagradi predstavlja visinsku razliku nivelmanske
strane, pa kada se to uzme u obzir konačan izraz glasi
PRIMER 6.7.1.2-2: U slučaju primene nivelmanske letve sa libelom čija je osetljivost kao u prethodnom primeru dobijena je visinska razlika nivelmanske strane od 22.8654 m. Oceniti uticaj nevertikalnosti nivelmanske letve.
REŠENjE:
Greška nevertikalnosti nivelmanske letve praktično se može eliminisati blagim mahanjem
letve ka instrumentu i očitavanjem najmanjeg podeoka ili pažljivim vrhunjenjem mehura
libele. Ukoliko su ispoštovani navedeni praktični saveti, uticaj ove greške će biti praktično
zanemarljiv.
Standardno odstupanje ocene visinske razlike dobijene po metodi geometrijskog
nivelmana
Glavne komponente grešaka merenja visinskih razlika u geometrijskom nivelmanu su greške
očitavanja letve i greške nehorizontalnosti instrumenta. Sistematski uticaji ne ulaze u ocenu
jer se njihov uticaj eliminiše popravkama i metodom rada. Međutim, čak i u slučaju
sistematskih izvora grešaka javlja se problem tačnosti merenja dužina do zadnje i prednje
vizure, tako da ta činjenica ima za posledicu neke slučajne efekte sistematskih izvora
grešaka. Navedena pretpostavka ukazuje da se nad izrazom (6.7.1.1-8) može primeniti zakon
prenosa grešaka. Prethodno ćemo izvršiti diferencijaciju pomenutog izraza i dobiti parcijalne
izvode:
mmmmmeNL
0001.0/1000)'1(sin2
3 2
...2
sin
2
sin
2
sin
2
sin2
2
2
2
2
1
2
1
pzpz
NL
lllle
)(sin2
1 2
pzNLlle
2sin2
he
NL
mmmmmh
eNL
001.0/1000)'1(sin2
8654.22sin
2
22
185
(6.7.1.2-5)
Zamena (6.7.1.2-5) u (6.1-16) sa odgovarajućim standardnim odstupanjima, definiše
standardno odstupanje jedne visinske razlike:
, (6.7.1.2-6)
gde su: - standardno odstupanje očitavanja letve, i - standardna odstupanja
ocene kolimacije na zadnju i prednju letvu, a i su standardna odstupanja merenja
dužina do zadnju i prednju letvu.
Kod normalne procedure geometrijskog nivelmana insistira se na jednakosti tipa
. Takođe se uzima za pretpostavku da je i da je
pa tada izraz (6.7.1.2-6) izgleda:
, (6.7.1.2-7)
Izraz (6.7.1.2-7) važi za jednu visinsku razliku pod uslovom da su dužine do zadnje i prednje
letve približno jednake. Generalno, u slučaju nivelmanske strane sa stanica i pri
jednakosti dužina zadnjih i prednjih vizura, ukupno standardno odstupanje visinske razlike
nivelmanske strane iznosi:
. (6.7.1.2-8)
U svim praktičnim primenama, drugi član potkorene veličine koji izražava uticaj
zakrivljenosti i refrakcije, beznačajan je i kao takav se u merenjima obične tačnosti
zanemaruje. U tom slučaju, izraz (6.7.1.2-8) se menja i glasi:
. (6.7.1.2-9)
500000,
500000,1
,,1
1212 p
p
z
zz
p
p
z
zz
dk
d
hdk
d
h
l
h
dh
dh
l
h
2
1
2
12
2
12
222
0
2
0
500000500000
pz
pz
d
p
d
z
pzdpdz
h dkdk
dddd
dO
z
p
zd
pd
dddpz
ddd pz ,
pz
2
122222
50000022
dkd
ddOh
N
2
122222
50000022
dkNNd
ddOh
2222
dOh
Nd
186
PRIMER 6.7.1.2-1 (Ghilani and Wolf, 2006):
A) Oceniti standardno odstupanje visinske razlike nivelmanske strane (AB) ako su dati
sledeći elementi: , , uticaj kolimacije , dužine
vizura , , ukupna dužina nivelmanske strane = 1000 m;
REŠENjE: A)
Vrednost drugog člana ilustruje napred iznetu tvrdnju o njegovoj značajnosti, bar kada je reč o merenjima niže tačnosti. Naime, ukoliko odbacimo drugi član, tj. primenimo izraz (6.7.1.2-8) dobija se isti rezultat.
B) .
6.7.2 Analiza grešaka merenja visinskih razlika trigonometrijskim nivelmanom
Uvođenjem totalnih stanica značajno se pri određivanju visinskih razlika povećava primena
metode geometrijskog nivelmana. Kako ovom metodom nije jednostavno balansirati sa
dužinama vizura, veoma je važno uticaje sistematskih izvora grešaka svesti na najmanju
moguću meru. Saglasno slici (6.7.2-1) visinska razlika između dve tačke iznosi:
. (6.7.2-1)
Ukoliko se meri zenitni ugao, tada je:
, (6.7.2-2)
gde su: - visina instrumenta, - čitanje na letvi, - kosa dužina, - zenitni ugao, a
- popravka za zakrivljenost i refrakciju. Kada u (6.7.2-2) zamenimo izraz za
zakrivljenost i refrakciju, dobija se:
. (6.7.2-3)
Primena zakona prenosa grešaka nad (6.7.2-3) zahteva pronalaženje parcijalnih izvoda
funkcije (6.7.2-3), koji glase:
mmmdO
/01.0 "2
mmm 100/4
md 50 md
2
10)502/(1000 xN
m
h
0031.00004.00031.0
500000
500675.0
100
004.02102
"0.2
1000
01.050102
22
2
1
2
2
22
2
mmABB hAH
9.51.35 2222
lhvsihk
12sin
lhzsihk
12cos
i l s z
12kh
lzs
kzsih
2
12
1000
sincos
187
(6.7.2-4)
Slika 6.7-2-1: Trigonometrijski nivelman
Konačno, standardno odstupanje ocene visinske razlike određene trigonometrijskim
nivelmanom glasi:
. (6.7.2-5)
U izrazu (6.7.2-5), u grešci merenja zenitnog ugla sadržano je više elementarnih uticaja. Tu
su greške operatora, instrumenta, kompenzatora vertikalnog limba, greške horizontiranja
signala dr. Kod zahteva najviše tačnosti, zenitne uglove treba meriti u oba položaja durbina
i u daljem računanju koristiti srednju vrednost. Shodno izrazima definisanim u (6.3.1.1),
standardno odstupanje merenja zenitnog ugla pri KL i KD teodolitom dobija se pomoću
izraza oblika:
(6.7.2-6)
gde su: - ranije definisana standardna odstupanja očitavanja i viziranja, -
standardno odstupanje kompenzatora vertikalnog limba ili libele za kontrolu vertikalnog
limba, a je broj merenja (KL+KD) zenitnog ugla. Ukoliko se koristi digitalni teodolit ili
totalna stanica, izraz (6.7.2-6) se menja i tada glasi:
.500000
sincos,1
,sin500000
cossin,1
2
12
2
12
zskz
s
h
l
h
zszzsk
z
h
i
h
2
1
22
12
22
1222
sin500000
cossin
500000
sincos
z
sli
h
zszzsk
zskz
,222 222
N
vkvoč
z
voč ,
vk
N
l
i
hk12
Horizont
v
S sin v
S
188
, (6.7.2-7)
gde je vrednost po važećem standardu .
Ukoliko se meri zenitni ugao klasičnim teodolitom samo u jednom položaju durbina (KL ili
KD), standardno odstupanje merenja zenitnog ugla iznosi:
. (6.7.2-8)
Ako se merenje obavlja digitalnim teodolitom ili totalnom stanicom, tada je standardno
odstupanje jednog merenja zenitnog ugla jednako:
. (6.7.2-9)
Na sličan način, korišćenjem izraza (6.5-1), može se odrediti standardno odstupanje merenja
dužine .
PRIMER 6.7.2-1: Na osnovu datih podataka merenja visinske razlike totalnom stanicom metodom trigonometrijskog nivelmana, sračunati visinsku razliku i njenu grešku.
Dati podaci: Tačnost vertikalnog kompenzatora , tačnost očitavanja uglova
, tačnost merenja dužine . Merena dužina iznosi 200 m.
Tačnost centrisanja instrumenta iznosi , a tačnost centrisanja signala
. Visina instrumenta iznosila je , sa , visina signala
sa , dok je zenitni ugao iznosio .
REŠENjE: Visinska razlika iznosi: h = 6.032 m. Standardno odstupanje ocene visinske
razlike iznosi .
Pitanja za proveru znanja
1. Zakoni prostiranja slučajnih grešaka.
2. Određivanje grešaka argumenta ako je poznata greška funkcije.
3. Prostiranje slučajnih grešaka merenja horizontalnih uglova.
4. Greške od značaja pri oceni preciznosti merenja pravaca?
5. Ocena saglasnosti uglovnog nezatvaranja poligona.
6. Prostiranje slučajnih grešaka merenja dužina.
7. Prostiranje slučajnih grešaka u poligonskom vlaku.
8. Prostiranje slučajnih grešaka u nivelmanu.
N
vkDIN
z
22 22
DIN 18723DIN
222
vkvočz
222vkDINz
s
"3.0vk
5 oč
)/55( kmmmmms
mmCI
5
mmCS
10 mi 62.1 mmi
3
ml 80.1 mml
3 513188
mh
008.0
189
7. TAČKASTE OCENE MERENjA NEJEDNAKE
PRECIZNOSTI
7.1 Uvod
Prilikom prikupljanja terenskih podataka za potrebe premera, opažanja su vezana za
određene fizičke fenomene i često moraju zadovoljiti određene geometrijske uslove (uslovi
zatvaranja figura i sl.). U skupu nekorelisanih merenja, merenje visoke preciznosti odlikuje
mala varijansa. Takvo opažanje se tretira kao korektna veličina koja u izravnanju
poprima relativno male vrednosti reziduala. Nasuprot, merenja sa značajnim vrednostima
varijansi ukazuju na mogućnost prisustva neželjenih efekata i u izravnanju ih prate veći
iznosi reziduala.
Težina nekog opažanja predstavlja meru relativnog kvaliteta tog opažanja u odnosu na ostala
merenja. Težinama se kontrolišu veličine reziduala merenja u fazi njihovog izravnanja.
Merenja su preciznija ukoliko su im veće težine ili manje varijanse iz čega sledi važan
zaključak - težine su obrnuto proporcionalne varijansama. Kao posledica važi sledeća
konstatacija – veličine reziduala obrnuto su proporcionalne težinama.
Kod korelisanih merenja, težine su povezane sa inverznom vrednošću matrice kovarijansi.
Od ranije znamo, matricu kovarijansi čine varijanse (po dijagonali) i kovarijanse (van
dijagonale). Kako su težine relativne, varijanse i kovarijanse se često zamenjuju
kofaktorima.
Kofaktor i kovarijansa vezanisi su sledećim odnosom:
, (7.1-1)
gde su: kofaktori merenja, je kovarijansa , a je referentna varijansa kojom
se merenja praktično na neki način urazmeravaju (scaling). U matričnom obliku, izraz (7.1-
1) glasi:
, (7.1-2)
gde je matrica kofaktora rezultata merenja. Struktura i pojedini elementi matrice
kovarijansi prikazani su izrazom (7.1-3):
. (7.1-3)
2
0
ij
ijq
ijq ij ij
ij2
0
llKQ
2
0
1
lQ
2
2
,
2
...
............
...
...
21
2212
1211
nnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xxxxx
lK
190
Takođe je poznato da matricu težina dobijamo kao:
. (7.1-4)
Kod nekorelisanih merenja, kovarijanse su jednake nuli ( ), a matrica je
dijagonalna. Takođe, i matrica kofaktora je dijagonalna sa elementima . Inverzna
dijagonalna matrica je takođe dijagonalna sa elementima koji su jednaki recipročnim
vrednostima početnih dijagonalnih elemenata, tako da izraz (7.1-4) u razvijenoj formi glasi:
. (7.1-5)
Na osnovu (7.1-5) sledi da bilo koje nezavisno merenje sa varijansom ima težinu:
. (7.1-6)
Ukoliko je težina -tog merenja jednaka , tada je , ili . Iz tog razloga
se još naziva varijansom merenja jedinične težine ili skraćeno varijansom jedinice
težine, odnosno jediničnom varijansom. Ukoliko u (7.1-6) izjednačimo sa 1, tada (7.1-
6) se menja i glasi:
(7.1-7)
i kao i izraz (7.1-6) tvrdi da je težina merenja obrnuto proporcionalna njegovoj varijansi.
Kod korelisanih merenja moguće je da postoji matrica kovarijansi i matrica kofaktora, ali ne
i matrica težina. Taj slučaj se dešava ukoliko je matrica kofaktora singularna, tako da
inverzija od ne postoji. U premeru, u većini slučajeva merenja tretiramo kao
nekorelisana, tako da će se sva razmatranja u okviru ovog poglavlja odnositi na nekorelisana
merenja.
P
12
0
1 ll
KQP
0ij lK
lQ 2
0
2 ix
12
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
000
0...00
000
0...0
2
l
x
x
x
n
i
KP
2
i
2
2
0
i
ip
i 1i
p2
0
2 i
12
0
2
0
2
0
2
1
i
ip
lQ
191
7.2 Aritmetička sredina rezultata merenja nejednake preciznosti
Ukoliko smo neku fizičku veličinu izmerili dva puta i ukoliko je prvo merenje dva puta
preciznije od drugog, tada je prvo merenje pouzdanije od drugog i zato njegov uticaj u
formiranju srednje vrednosti dva merenja mora biti veći. U tom slučaju, prvom merenju
ćemo dodeliti težinu 2, a drugom 1. Na primer, neka smo izmerili neku dužinu pantljikom i
neka ona iznosi 150.1 m. Nakon toga istu dužinu smo izmerili sa EDM, a vrednost dužine je
tada iznosila 150.4 m. Ako pođemo od toga da je EDM merenje dva puta preciznije, tada
ćemo merenju pantljikom dodeliti težinu 1, a EDM merenju težinu 2. Srednja vrednost dva
merenja sada iznosi:
,
ili
,
na osnovu čega se može zaključiti da je rezultat drugog izraza u koji su direktno uključene
težine identičan. Na osnovu uvida u rezultat, može se konstatovati da je sračunata vrednost
bliža rezultatu sa većom težinom (150.3 je bliže 150.4 nego 150.1). Srednja vrednost
dobijena iz merenja različite preciznosti (nejednakih težina) naziva se opštom aritmetičkom
sredinom (weighted mean).
Da bi smo izveli izraz za računanje opšte aritmetičke sredine, pretpostavimo da posedujemo
nezavisnih, nekorelisanih merenja ( ) slučajne promenljive jednakih
standardnih odstupanja . Tada je srednja vrednost opažanja jednaka:
. (7.2-1)
Ukoliko pomenuta merenja podelimo u dve grupe i neka u prvoj grupi ima , a u drugoj
, pri čemu je , srednje vrednosti merenja prve i druge grupe iznose:
, (7.2-2)
. (7.2-3)
3.1503
4.1504.1501.150
d
3.15021
)4.150(2)1.150(1
d
m mxxx ,...,,
21 x
m
x
x
m
i
i 1
1m
2m
21mmm
1
1
1
1
m
x
x
m
i
i
2
1
2
2
1
m
x
x
m
mi
i
192
Srednja vrednost ukupnog skupa dobijena kombinacijom srednjih vrednosti po grupama
, računa se kao:
. (7.2-4)
Na osnovu (7.2-2) i (7.2-3) sledi:
. (7.2-5)
Konačno,
. (7.2-6)
Ukoliko uporedimo (7.2-6) i izraz u primeru merenja dužina pantljikom i EDM, može se
uočiti da su i zapravo težine i , respektivno. Imajući u vidu tu činjenicu, izraz
(7.2-6) se može uopštiti tako da glasi:
, (7.2-7)
odnosno, konačan izraz za računanje opšte aritmetičke sredine nekorelisanih merenja glasi:
(7.2-8)
i predstavlja najverovatniju vrednost serije merenja nejednakih težina.
PRIMER 7.2-1: Na osnovu datih podataka merenja jedne dužine i težina merenja, sračunati najverovatniju vrednost merene dužine.
REŠENjE:
x
21, xx
21
1 111
1 2
1
2
1
1
mm
xx
m
xx
x
m
i
m
mi
ii
m
mi
i
m
i
i
.
,
2
1
1
1
22
1
11
m
mi
i
m
i
i
xmx
xmx
21
2211
mm
mxmxx
1m 2
m1
p2
p
21
2211
pp
xpxpx
p
xpx
mx 06.100123
)08.100(1)05.100(2)06.100(3
Merenje Rezultat merenja Težina
1 100.06 m 3
2 100.05 m 2
3 100.08 m 1
193
7.3 Odnos između težina i standardnih grešaka
Kada zakon prenosa grešaka primenimo na izraz (7.2-2), dobija se varijansa od oblika:
. (7.3-1)
Zamenom parcijalnih izvoda funkcije (7.2-2) u (7.3-1) dobija se izraz oblika:
. (7.3-2)
Slično se može oceniti varijansa opšte aritmetičke sredine od , tj.
. (7.3-3)
U izrazima (7.3-2) i (7.3-3), je konstanta, a težine od i su i , respektivno,
što sledi iz (7.2-7). S obzirom da su težine relativne, na osnovu (7.3-2) i (7.3-3) sledi da su
težine recipročne varijansama i iznose:
, i
. (7.3-4)
ZAKLjUČAK: Kod nekorelisanih merenja, težine merenja su inverzno proporcionalne
njihovim varijansama.
7.4 Statistike merenja nejednake preciznosti
7.4.1 Standardna greška i standardno odstupanje
Neka je standardna greška merenja čija je težina jednaka 1, ili jedinična težina. Ukoliko
su merenja čije su standardne greške i težine , tada se
shodno (7.3-4), standardne greške pojedinog rezultata merenja težine ( ) računaju
na osnovu izraza oblika:
. (7.4.1-1)
1x
2
2
12
2
2
12
2
1
12
1
1...
m
x
x
x
x
x
x
x
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2 111...
111
mmm
mmmx
2x
2
2
2 12
m
x
1
x2
x1
m2
m
21
1
1
x
p
22
2
1
x
p
0
nyyy ,...,,
21 n ,...,,
21 nppp ,...,
21
ip ni ,1
n
n
ppp
0
2
0
2
1
0
1...,,,
194
U skupu merenja iste tačnosti definisali smo srednju grešku jednog rezultata merenja kao:
.
Ukoliko su merenja nejednake tačnosti, izraz za srednju grešku glasi:
. (7.4.1-2)
U skupu merenja nejednake tačnosti, standardno odstupanje pojedinog rezultata merenja
jedinične težine iznosi:
, (7.4.1-3)
gde su reziduali pojedinih rezultata merenja.
7.4.2 Standardna greška i standardno odstupanje pojedinog rezultata merenja
određene težine i opšte aritmetičke sredine
Izrazi za računanje standardnih grešaka merenja težine ukoliko je poznata standardna
greška jedinične težine i pojedine težine, glase:
(7.4.2-1)
Ukoliko greške nisu poznate, već se pri oceni tačnosti koriste reziduali, izraz za standardna
odstupanja pojedinih rezultata merenja težine pi, glasi:
. (7.4.2-2)
n
n
i
i
1
2
2
n
pn
i
ii
1
2
n
pn
i
ii
1
2
iv
ip
nnn
n
pn
p
pn
p
p
pn
p
pn
p
p
pn
p
pn
p
p
22
0
2
2
2
2
2
0
2
1
2
1
2
1
0
1
1
...
,1
,1
)1(
2
np
vps
i
i
195
Ukoliko u imeniocu izraza (7.4.2-2), zamenimo sa 1, dobićemo izraz za ocenu
standardnog odstupanja rezultata merenja jedinične težine, u oznaci , tj. E(σ)= :
. (7.4.2-3)
Referentna standardna greška i referentno standardno odstupanje opšte aritmetičke
sredine računaju se na osnovu izraza oblika:
, (7.4.2-4)
. (7.4.2-5)
7.5 Težine merenja uglova
Neka su u jednom trouglu merena tri ugla i , i puta, istim instrumentom
i pod istim uslovima. Problem glasi – kako odrediti težine merenja uglova?
Neka su srednje vrednosti merenja uglova jednake:
. (7.5-1)
Varijanse srednjih vrednosti uglova iznose:
. (7.5-2)
S obzirom da su težine merenja obrnuto proporcionalne varijansama i da su u međusobno
relativnom odnosu, težine srednjih vrednosti merenja uglova računaju se kao:
. (7.5-3)
Kako je u gornjim izrazima konstantno nezavisno od ugla, i kako su težine međusobno
relativne, se može izostaviti. U tom slučaju, težine merenja uglova jednake su broju
merenja, tj.
. (7.5-4)
p
0s
0s
)1()1(1
22
0
n
vp
n
vps
i
x
pn
p 2
i
x
pn
vps
)1(
2
21,
3
21,nn
3n
i
i
i
n
22 1s
ns
i
i
22
1
s
n
sp i
i
i
s
s
iinp
196
Prethodni izraz važi pod uslovom da su merenja realizovana pod istim uslovima, osim što je
broj merenja pojedinog ugla različit. Kao zaključak, može se konstatovati da su težine
uglova proporcionalne broju merenja uglova.
PRIMER 7.5-1: Neka su u trouglu ABC mereni svi uglovi pod istim uslovima, osim u broju merenja. Na osnovu rezultata merenja datih u tabeli, sračunati njihove najverovatnije vrednosti.
REŠENjE:
NAPOMENA: Uvođenjem multiplikatora 24, izbegavaju se težine sa decimalnim zarezom. To je moguće učiniti jer su težine međusobno relativne.
7.6 Težine merenja visinskih razlika
Težine merenja visinskih razlika ilustrovaćemo primerom mreže (slika u primeru 7.6-1) od
tri nivelmanske strane merene metodom geometrijskog nivelmana. Da bi analizirali vezu
između težina i dužina strana, poći ćemo od izraza kojim se definiše varijansa ocene
visinske razlike nivelmanske strane:
, (7.6-1)
gde je - dužina vizure, - broj stanica, - greška očitavanja letve, a - ocena
kolimacione greške vizure. Ako sa označimo dužinu nivelmanske strane, tada je:
. (7.6-2)
Zamena (7.6-2) u (7.6-1) daje:
. (7.6-3)
Međutim, s obzirom da su , i konstante, i ako označimo da je:
)(2 22
/
22
dočhNd
d Ndoč /
il
d
lN i
2
)( 22
/
2
dočihdl
ddoč /
Merenja
Broj
merenja -
n
Faktor
popravke Popravka
Definitivna
vrednost
A=451525 4 (1/4) x 24=6 (6/13) x
26=12 451513
B=833722 8 (1/8) x 24=3 (3/13) x
26=06 833716
C=510739 6 (1/6) x 24=4 (4/13) x
26=08 510731
=1800026 = 13 = 13 =1800000
197
,
tada se izraz (7.6-3) menja i glasi:
, (7.6-4)
a težina nivelmanske strane iznosi:
. (7.6-5)
Kako je i s obzirom da su težine međusobno relativne, (7.6-5) se dodatno
pojednostavljuje, tako da se težine definitivno određuju kao recipročne vrednosti dužina
strana, tj.
. (7.6-6)
Osim kao recipročne vrednosti dužina strana, težine se mogu definisati i kao recipročne
vrednosti broja stanica ili recipročne vrednosti varijansi merenja.
PRIMER 7.6-1: Merena je visinska razlika jedne nivelmanske strane tri puta u istom smeru. Na osnovu datih podataka, odrediti najverovatniju vrednost visinske razlika između repera 100 i 101. Sva merenja su realizovana u smeru od repera R100.
REŠENjE:
PRIMER 7.6-2: Na osnovu datih vrednosti merenja dužine različitim instrumentima između dve tačke, sračunati najverovatniju vrednost merenja dužine i standardno odstupanje najverovatnije vrednosti.
)( 22
/
dočdk
klih
2
klp
i
i
1
.constk
i
i
lp
1
mh 23.21
346
29.21323.21420.216
Р100
Р101
2
3
l
Dati podaci:
Strana Dužina
1 2 km 21.20
2 3 km 21.23
3 4 km 21.29
h
Dati podaci: Merenje
m Težina
Tip
instrumenta
625.79 1 Pantljika
625.71 2 Pantljika
625.69 4 EDM
198
REŠENjE:
Najverovatnija vrednost merenja:
Standardno odstupanje od :
PRIMER 7.6-3: Izmeđeu repera A i B, nivelano je četiri puta, različitom trasom po metodi geometrijskog nivelmana. Na osnovu datih podataka, sračunati: a) najverovatniju vrednost visinske razlike, b) standardno odstupanje jedinice težine, c) standardno odstupanje najverovatnije vrednosti visinske razlike i d) standardna odstupanja pojedinih visinskih razlika.
REŠENjE:
a)
b)
c)
md 71.625
421
69.625471.625279.625
d
mnp
vps
d024.0
)2(7
0080.0
)1(
2
mh 366.25
36
30.25338.25641.25935.2518
mn
vp
s
n
i
ii
11.03
0363.0
1
1
2
0
mnp
vps
h018.0
)3(36
0363.0
)1(
2
ˆ
Dužina
1 - 0.08
2 0.00
3 +0.02
v2vp
0064.0)08.0(1 2
0000.0)00.0(2 2
0016.0)02.0(4 2
0080.02pv
Dati podaci:
RB l (km) h (m) p
1 1 23.35 18
2 2 25.41 9
3 3 25.38 6
4 6 25.30 3
199
d)
Pitanja za proveru znanja
1. Težine rezultata merenja?
2. Težine korelisanih merenja?
3. Kofaktori? Matrica kofaktora rezultata merenja?
4. Matrica težina?
5. Kovarijaciona, kofaktorska i matrica težina nekorelisanih merenja?
6. Opšti izraz za računanje težina rezultata merenja?
7. Opšta aritmetička sredina?
8. Odnos između težina i standardnih grešaka?
9. Standardna greška pojedinog rezultata merenja težine i standardno odstupanje
pojedinog rezultata merenja jedinične težine?
10. Standardno odstupanje pojedinog rezultata merenja težine ?
11. Standardna odstupanja pojedinih rezultata merenja, težine i ocena standardnog
odstupanja rezultata merenja jedinične težine?
12. Referentna standardna greška i referentno standardno odstupanje opšte aritmetičke
sredine.
13. Težine merenja uglova.
14. Težine merenja visinskih razlika.
mnp
vps
h026.0
)3(18
0363.0
)1(1
2
1
mnp
vps
h037.0
)3(9
0363.0
)1(1
2
2
mnp
vps
h045.0
)3(6
0363.0
)1(1
2
3
mnp
vps
h063.0
)3(3
0363.0
)1(1
2
4
ip
ip
ip
200
8. REGRESIJA
Do sada su razmatrani eksperimenti u kojima je opažana jedna slučajna promenljiva.
Razmotrimo slučaj opažanja ili merenja dve veličine, tako da kao rezultat merenja imamo
par vrednosti oblika . Eksperimente ove vrste, susrećemo u dva
slučaja, kod problema regresione analize i problema korelacione analize. Kod regresione
analize jedna od dve promenljive, u oznaci , smatra se da ne poseduje greške. Ona se
može meriti ili joj se vrednosti mogu unapred pridružiti i tretira se kao nezavisna
promenljiva. Druga promenljiva, u oznaci , takođe je slučajnog karaktera, a ono što nas
posebno interesuje jeste njena zavisnost od . U slučaju korelacione analize, obe
promenljive su slučajnog karaktera i interesuje nas njihov međusobni odnos.
8.1 Regresiona analiza
U regresionoj analizi, zavisnost Y od predstavlja u suštini zavisnost sredine od x,
odnosno posmatramo funkciju . Kriva linija naziva se Y regresionom krivom
od . Razmotriće se najjednostavniji slučaj odnosa dve promenljive, definisan pravom,
odnosno regresionom pravom oblika:
. (8.1-1)
Ukoliko u jednoj XY ravni nanesemo n tačaka, postavlja se pitanje – kako kroz date tačke
povući pravu liniju, a da najbolje aproksimira položaj datih tačaka? Problem se može rešiti
na više načina. Ukoliko pokušamo grafičkim putem da ga rešimo, svako će na svoj način
predstaviti njen položaj. Od posebnog je značaja rešenje koje zavisi samo od položaja n
tačaka. U tom pogledu, najčešće se koristi princip najmanjih kvadrata, koji uprošćeno glasi
– Prava linija se pozicionira između datih tačaka tako da je zbir kvadrata dužina od datih
tačaka do prave linije minimalan, pri čemu se dužine mere vertikalno, u pravcu y ose.
Da bi se ostvarila jedinstvenost rešenja, neophodno je definisati neke dodatne uslove.
Naredna pretpostavka obezbeđuje zahtevanu jedinstvenost rešenja.
Pretpostavka 1: Vrednosti od u uzorku nisu
sve međusobno jednake (iste).
Neka je dat uzorak oblika na osnovu kojeg primenom metode
najmanjih kvadrata treba odrediti parametre prave (regresiona prava uzorka):
, (8.1-2)
koja zadovoljava napred navedeni princip.
Vertikalno rastojanje tačke od prave duž y ose definiše se kao:
),(),...,,(),,(2211 nn
yxyxyx
X
Y
X
XY
)(xY
)(x
X
bxax )(
nxxxx ,...,,
21 ),(),...,,(),,(
2211 nnyxyxyx
),(),...,,(),,(2211 nn
yxyxyx
bxay
),(jj
yx
201
,
a zbir kvadrata dužina iznosi:
. (8.1-3)
Shodno principu najmanjih kvadrata, treba odrediti a i b, tako da q bude minimalno. Prvi
korak u rešavanju problema zahteva izjednačavanje prvog izvoda funkcije po nepoznatim
parametrima sa nulom, tj.
, (8.1-4)
što vodi do opšte poznatog izraza za pravu liniju koji glasi:
, (8.1-5)
gde su i srednje vrednosti elemenata uzorka vrednosti x i y i računaju se kao:
, . (8.1-6)
Dokaz:
, odakle se dobijaju normalne jednačine oblika
koji predstavlja linearan sistem dve jednačine sa dve nepoznate - i koji se može
napisati u obliku,
.
Deljenjem prve jednačine sistema normalnih jednačina sa n i saglasno 8.1-6, sledi da je
, a uvažavajući ranije definisani izraz , dolazi se do konačnog oblika
jednačine prave - izraz 8.1-5.
)(jj
bxay
n
j
jjbxayq
1
2)(
00
b
qi
a
q
)( xxbyy
x y
n
i
ix
nx
1
1
n
i
iy
ny
1
1
0)(2
0)(2
jjj
jj
bxayxb
q
bxaya
q
jjjj
jj
yxxbxa
yxban
2
a b
2222
2)()1( xxnsnnxxn
xx
xnjxjj
jj
j
xbya bxay
202
Parametar b, naziva se koeficijent regresije uzorka i računa se na osnovu izraza:
, (8.1-7)
gde su:
,
. (8.1-8)
kovarijansa i varijansa prethodno definisanih slučajnih promenljivih, respektivno.
Na osnovu izraza (8.1-5) može se zaključiti da prava prolazi kroz tačku , na osnovu
koje je zajedno sa koeficijentom regresije i definisana. Veličina naziva se varijansom od
x, ali treba imati u vidu da je u predstavljenom modelu X data veličina, odnosno nije slučajna
promenljiva.
Slično, varijansa od y glasi:
. (8.1-9)
Koeficijent regresije b, računa se rešavanjem sistema normalnih jednačina, uz primenu
Kramerovog pravila:
. (8.1-10)
dok je:
.
PRIMER 8.1-1: Na osnovu datih podataka oceniti nepoznate parametre jednačine prave koja najbolje reprezentuje dati uzorak.
2
x
xy
s
sb
n
j
n
j
n
j
j
n
i
ijjjjxyyx
nyx
nyyxx
ns
1 1 11
1
1
1))((
1
1
n
j
n
j
n
j
jjjxx
nx
nxx
ns
1 1
2
1
222 1
1
1)(
1
1
yx,2
xs
n
j
n
j
n
j
jjjyy
ny
nyy
ns
1 1
2
1
222 1
1
1)(
1
1
2)1(x
jijj
snn
yxyxnb
xbya
4 2.3
6 4.1
8 5.7
10 6.9
28 19
jx
jy
203
Pomoćne veličine
Računanje srednjih vrednosti
Računanje
Jednačina prave glasi: ili . Treba uočiti da je
y(0)=-0.64 što je na neki način besmislena vrednost i ukazuje samo na aproksimativnu linearnost koja važi samo za interval definisan datim vrednostima.
Ukoliko reziduali imaju a priori raspodelu , tada je nepomerena ocena
referentne varijanse od , u oznaci jednaka:
, (8.1-11)
gde su ocene reziduala .
Ocena definiše opštu saglasnost prave i skupa tačaka na osnovu kojih su parametri
ocenjeni. Važno je testirati i ocenjene parametre na značajnost.
U postupku testiranja značajnosti ocena parametara, neophodno je odrediti standardna
odstupanja ocena parametra a i b:
, (8.1-12)
. (8.1-13)
75.4
7
y
x
6762 .sx
5.13xys
77.0b
)7(77.075.4 xy 64.077.0 xy
iv ),0(~ 2Nv
i
2 2s
2
1
2
2
1
n
i
iixbay
ns
iii
vxbay i
v
2s
2
11
2
1
2
n
i
i
n
i
i
n
i
i
a
xxn
x
ss
2
11
2
n
i
i
n
i
i
b
xxn
nss
16 9.2
36 24.6
64 45.6
100 69
216 148.4
2
jx
jjyx
204
Ukoliko važi pretpostavka , tada statistike (8.1-14) pripadaju Studentovoj,
odnosno 2 raspodeli, respektivno:
, , i . (8.1-14)
Ukoliko je poznato , ukupna značajnost linearne regresije (test adekvatnosti modela)
testira se shodno (8.1-14, treći izraz). Ukoliko su a i b značajni, tada su oni deo modela
predikcije yi u odnosu na xi (izraz 8.1-2).
PRIMER 8.1-2 (Fan, 1997): Na osnovu podataka merenja dužina EDM instrumentom na bazi za kalibraciju i upoređenja realizovanih merenja sa uslovno tačnim dužinama, oceniti parametre modela prave i njihovu tačnost.
Neophodno je dati skup vrednosti merenja modelovati regresionim modelom oblika
, gde su A i B nepoznati koeficijenti regresije koje je neophodno odrediti. A
predstavlja konstantnu grešku EDM dok je B greška razmere. Da bi smo problem sveli na linearan, uvešćemo određene zamene,
, tako da model regresije sada ima oblik
.
Redukovane vrednosti datih podataka prikazane su u sledećoj tabeli:
),0(~ 2Nvi
2~
n
a
ts
a2
~n
b
ts
b 2
22
2
~)2(
n
sn
2
2222
iidBA
2222 ,,, BbAadxyiiii
iii vbxay
1 di (km) i (cm)
1 0.50 2.9
2 1.20 3.1
3 1.90 3.2
4 3.00 3.4
5 3.70 3.5
6 4.40 3.7
7 4.90 3.8
8 5.10 4.1
9 5.70 4.2
10 6.00 4.4
205
Shodno (8.1-11): ,
Shodno (8.1-12) i (8.1-13):
Ocene nepoznatih parametara a i b:
Ocena parametara A i B (koren od a i b, respektivno):
Ocena tačnosti parametara A i B:
Odnos ocena parametara a i b i njihove tačnosti, ukazuje na visoku pouzdanost rešenja. Može se konstatovati da EDM poseduje konstantni deo greške koji iznosi 3 cm i grešku razmere od 5 mm/km ili 5 ppm.
U nekim slučajevima javlja se potreba za proširenjem linearnog modela većim brojem
nepoznatih parametara b1, b2, ..., bm i veličinama x1,x2, ..., xm, kao na primer:
. (8.1-15)
615.0s
326.0a
s
016.0b
s
278.0
783.8
b
a
kmcm .B
cm .A
5280
9642
bBaAs
Bss
As
2
1,
2
1
015.0
055.0
B
A
s
s
mmxbxbxbay ...
2211
1 0.25 8.41 0.0625 2.1025
2 1.44 9.61 2.0736 13.8384
3 3.61 10.24 13.0321 36.9664
4 9.00 11.56 81.0000 104.04
5 13.69 12.25 187.4161 167.7025
6 19.36 13.69 374.8096 265.0384
7 24.01 14.44 576.4801 346.7044
8 26.01 16.81 676.5201 437.2281
9 32.49 17.64 1055.6001 573.1236
10 36.00 19.36 1296.0000 696.96
Suma 165.86 134.01 4262.9942 2643.704
2
lldx 2
llsy 2
lx
llyx
206
U nameri da predstavimo postupak rešavanja problema ove vrste, poslužićemo se matričnom
algebrom uz čiju pomoć ćemo izvesti izraz za ocenu nepoznatih parametara uz primenu
principa najmanjih kvadrata i to polazeći od najjednostavnijeg slučaja jednačine prave.
Neka je dat sistem jednačina oblika:
, (8.1-16)
gde su reziduali koji se uvode kako bi svaka jednačina bila konzistentna. U matričnoj
formi sistem jednačina (8.1-16) glasi:
, (8.1-17)
gde su:
. (8.1-18)
Sistem jednačina (8.1-18) ima više merenja nego nepoznatih parametara, pa je samim time
i neodređen – nekonzistentan, što znači da svaki par vrednosti (x,y) daje jedno rešenje za
nepoznate parametre. U tom slučaju, na osnovu osobina vektorskog prostora koga definišu
elementi sistema (8.1-18), sagledava se geometrije problema i nalazi adekvatno rešenje.
Geometrija problema predstavljena je slikom 8.1-1. Posmatrajmo vektore i
. Navedeni vektori definišu kolona prostor matrice A, dok je
vektor merenja koji sa navedenim vektorima definiše odnos kao na slici 8.1-1. Poznato je da
dva vektora formiraju ravan i bilo koja njihova kombinacija odnosi se na tačku u ravni.
Dakle, projektovanjem vektora y u ravan koju formiraju kolona vektori matrice A, dobija se
jedinstveno rešenje. Drugim rečima, traži se linearna kombinacija vektora kolona koja
definiše tačku u ravni u koju se ortogonalno projektuje vektor y (ravan u kojoj leži vektor
y). Vektor ortogonalan na ravan kolona matrice A koga definiše vektor y, predstavlja vektor
reziduala v i on glasi:
. (8.1-19)
Norma vektora v je minimizirana i vektor je upravan na vektor u ravni Ax, što predstavlja
ključni elemenat, bazu rešenja po principu najmanjih kvadrata. Dakle Ax i y-Ax su upravni,
a samim time je i njihov proizvod jednak nula, tj.
nnnvbxay
vbxay
vbxay
222
111
iv
Axy
b
a,
x1
x1
y
y
n
1
n
1
xAy ,
1...1
n
xx ...1
nyy ...1
Axyv
.
,
0Ax(Ax)y(Ax)
0Ax)(y(Ax)TT
T
207
S obzirom da važi odnos , tada je:
,
odnosno.
,
na osnovu čega proističe konačno rešenje koje glasi:
. (8.1-20)
Slika 8.1-1: Geometrija rešenja problema linearne regresije
PRIMER 8.1-3: Na osnovu datih podataka oceniti nepoznate parametre jednačine prave.
Broj merenja je 4.
Broj nepoznatih parametara je 2.
Broj suvišnih merenja je 2.
TTTAB(AB)
0AxAxyAxTTTT
yAAxA
yAxAxAxTT
TTTT
yAAAxTT 1
x y
Tačka 1 2 5
Tačka 2 4 7
Tačka 3 6 10
Tačka 4 8 11.5
208
Jednačina prave glasi: y = 2.75 + 1.125 x.
Matrični pristup omogućuje relativno lako nalaženje rešenja, nezavisno od broja nepoznatih
u modelu. Model se može proširiti kao:
,
a rešenje je identično kao u (8.1-20). Slučaj ove vrste spada u tzv. modele regresije sa više
promenljivih (multivariate regression).
8.2 Intervali poverenja ocena parametara regresije
Da bi definisali interval poverenja mora se uvesti pretpostavka o raspodeli promenljive Y.
Ukoliko se uvede pretpostavka o njenoj normalnosti i nezavisnosti u smislu formiranja
uzorka, tada, pored napred navedene pretpostavke 1, važe dve sledeće pretpostavke:
Pretpostavka 2: Za svako fiksirano x, slučajna promenljiva Y ponaša se po zakonu normalne raspodele sa srednjom vrednošću
, (8.2-1)
i varijasnom nezavisno od vrednosti x.
Pretpostavka 3: Uzorci formirani od n skupa vrednosti
6
5
4
3
2
1
,
y
y
y
y
y
y
y
xxx1
xxx1
xxx1
xxx1
xxx1
xxx1
636261
535251
434241
233231
232221
131211
A
xx10
)(
2
1 2
A= 1 4
1 6
1 8
5
y = 7
10
11.5
1.5 -0.25
(ATA)-1 = -0.25 0.05
x= 2.75
1.125
209
međusobno su nezavisni.
Veličina u (8.2-1) naziva se koeficijent regresije populacije.
Saglasno pretpostavkama 1, 2 i 3, interval poverenja za glasi:
,
gde je:
,
,
a kvantil t se dobija iz tablica studentove raspodele za dati nivo značajnosti i broj stepeni
slobode koji iznosi (n – 2), odnosno verovatnoću , gde je .
PRIMER 8.2-1: Na osnovu podataka iz prethodnog zadatka, naći interval poverenja
koeficijenta regresije , za
REŠENJE:
Korak 1: Računanje
Korak 2: Računanje vrednosti kvantila t, ako je , za n - 2=4-2=2 stepeni
slobode iz tablica studentove raspodele sledi t0.025,2 = 4.30.
Korak 3: Računanje vrednosti
Korak 4: Računanje K i definisanje intervala poverenja
, a interval poverenja za verovatnoću 95% glasi
. Zakjučak: Ukoliko β pripada intervalu, važi H0: β =0
8.3 Korelaciona analiza
Korelaciona analiza razmatra odnos između X i Y u dvodimenzionalnoj slučajnoj
promenljivoj (X,Y). Uzorak čini skup vrednosti. Odnos
između x i y u okviru uzorka meri se kovarijansom uzorka (poglavlje 3.3.2-5) u oznaci
(8.1-8) ili pomoću koeficijenta korelacije uzorka r (poglavlje 2.3.3):
),(...,),,(),,(2211 nn
yxyxyx
1
1
KbKb 1
2
0
2,
)1)(2(x
n
snn
qtK
))(1( 222
0 xysbsnq
)1(2
1)( ptF .1 p
1 .05.0
95.01 p
975.0)( tF
092.00q
206.0K
976.0564.01
),(...,),,(),,(2211 nn
yxyxyx
yxs
,
210
, (8.3-1)
gde su i definisani sa (8.1-8) i (8.1-9).
Važi sledeća teorema:
Teorema 1: Koeficijent korelacije r zadovoljava uslov . Važi , ako i samo
ako vrednosti iz uzorka pripadaju pravoj.
Teorijski, koeficijent r, pandam je koeficijentu korelacije populacije između X i Y:
, (8.3-2)
gde su - sredine i varijanse
marginalnih raspodela od X i Y, a je kovarijansa od X i Y koja glasi
Analogno Teoremi 1, važe sledeće dve teoreme:
Teorema 2: Koeficijent korelacije zadovoljava sledeći uslov . Važi ako i
samo ako su X i Y međusobno vezani linearno. Ukoliko je , X i Y nisu korelisani.
Teorema 3: a) Nezavisnost X i Y podrazumeva njihovu međusobnu nekorelisanost. b) Ukoliko (X,Y) imaju normalnu raspodelu, tada njihova nekorelisanost ima za
posledicu i njihovu međusobnu nezavisnost.
8.4 Test značajnosti koeficijenta korelacije
Testiranje značajnosti koeficijenta korelacije odnosi se na dvodimenzionalnu promenljivu
normalne raspodele. Test se realizuje na sledeći način:
Korak 1: Izbor odgovarajućeg nivoa značajnosti (najčešće se koriste vrednosti 5% ili 1%);
Korak 2: Računanje vrednosti kvantila , , koristeći studentovu
raspodelu, sa n-2 stepeni slobode;
Korak 3: Na osnovu datog uzorka , računa se r (izraz 8.3-1),
Korak 4: Računanje statistike .
yx
yx
ss
sr
,
xs
ys
11 r 1r
YX
XY
)(),(),(),(2222
YYXXYXYEXEYExE
XY
).()()()( YEXEXYEYXEYXXY
11 1
0
2, nt
1)(
2,ntTP
),(),...,,(),,(2211 nn
yxyxyx
21
2
r
nT
211
Korak 5: Ukoliko je , prihvata se nulta hipoteza (alternativna hipoteza
glasi ). U protivnom istu odbacujemo.
PRIMER 8.4-1: Na osnovu datog skupa podataka dvodimenzionalne slučajne promenljive, odrediti koeficijent korelacije i testirati ga na značajnost.
Korak 1: Definisanje nivoa značajnosti testa:
Korak 2: Računanje vrednosti kvantila: (tablice studentove raspordele,
jednostrani interval)
Korak 3: Na osnovu izraza 8.3-1, koeficijenta korelacije uzorka r = 0.95
Korak 4: Na osnovu = 7.30
Korak 5: Testiranje hipoteze o značajnosti korelacije
odbacuje se nulta hipoteza, korelisanost je pozitivna i značajna.
8.5 Primena regresije pri analizi trenda površi
Pod trendom neke površi podrazumeva se bilo kakva sistematska promena većeg obima koja
se ravnomerno i predvidivo prostire od jednog do drugog kraja prostorne strukture – površi.
Uobičajeno je da takve uzorke smatramo prostornim uzorcima prvog reda ili prvog nivoa.
Osnova primene regresije je u suštini jednostavna. Naime, bilo koje skalarno polje može se
predstaviti jednačinom oblika:
, (8.5-1)
koja povezuje visine tačke površi na lokaciji s sa njihovim georeferenciranim koordinatama
položaja (x,y). Funkcija f u (8.5-1) nije unapred jasno definisana, iako trend površi jasno
specificira formu matematičke funkcije koja povezuje opažane podatke po principima
regresije, uvažavajući princip najmanjih kvadrata. Usled neizbežnih grešaka modelovanja
površi, izraz (8.5-1) se proširuje sa rezidualima , tj.
(8.5-2)
koja definiše visinu površi u tački i, generisanu kao komponentu trenda površi sa
odgovarajućim rezidualom. Osnovni problem u analizi trenda površi jeste doći do forme
trenda u modelskoj jednačini. Funkcija ima veliki broj, ali se često koristi jednostavna
nagnuta ravan koja se definiše izrazom oblika:
2,
ntT 0:
0H
0: a
H
%5
35.23,05.0t
21
2
r
nT
3,05.0tT
),()(iiii
yxfsfz
iv
iiiiiivyxfvsfz ),()(
x 6 9 11 13 22
y 68 72 75 77 81
212
. (8.5-3)
Matematički, trend je linearna polinomska funkcija koja definiše površ linearnog trenda. Da
bi odredili trend, neophodno je oceniti parametre a, b1 i b2 kao i koordinate željenih tačaka.
Fizička interpretacija parametara jeste sledeća – a reprezentuje visinu ravne površi u
ishodišnoj tački topografske podloge (karte), sa xi = yi = 0. Parametar b1 jeste nagib površi u
pravcu x ose, a b2 jeste nagib površi u pravcu y ose (slika 8.5-1). Površ definisana na slici
(8.5-1) pokazuje skup tačaka koje su koncentrisane iznad i ispod površi koje definišu trend
površi ili površ trenda. Površ trenda jeste ona površ koja najbolje aproksimira skup datih
tačaka, definisana primenom principa najmanjih kvadrata. Prikazani model identičan je
klasičnom regresionom modelu sa dve promenljive, gde se ocena nepoznatih parametara
određuje na osnovu izraza oblika:
(8.5-4)
gde su:
.
Slika 8.5-1: Jednostavna površ linearnog trenda
PRIMER 8.5-1: Na osnovu datih podataka oceniti parametre jednačine površi trenda.
iiiivybxbaz
21
zAA)(AxT1T
2
1
n
1
11
11
b
b
a
z
z
yx1
yx1
xzA ,,
y
x a
b1
b2
213
Jednačina površi linearnog trenda glasi: .
Osim jednačine linearnog trenda, neophodno je odrediti veličine reziduala. Na osnovu (8.5-
3), izraz za ocenu reziduala glasi:
, (8.5-5)
ili matrično:
. (8.5-6)
yxz 359.0284.0984.35
)(21 iiiiybxbazv
Axzv
Tačka x y z
1 136 113 113
2 173 105 121
3 140 139 123
4 132 148 125
5 164 116 125
6 163 125 130
7 121 169 135
8 176 138 140
9 153 189 145
10 198 166 150
1 136 113
1 173 105
1 140 139
A= 1 132 148
1 164 116
1 163 125
1 121 169
1 176 138
1 153 189
1 198 166
8.780427842 -0.033973904 -0.024105742
(ATA)-1= -0.033973904 0.000201184 1.89607E-05
-0.024105742 1.89607E-05 0.000150252
35.984
x= 0.284
0.359
214
Takođe, moguće je sračunati i pokazatelj adekvatnosti modela površi, koji se naziva
koeficijentom određenosti ili koeficijentom determinacije (coefficient of deteremination) i
računa se kao:
, (8.5-7)
gde je srednja visina svih tačaka. Vrednost R kreće se između 0 i 1. Značajnost ili
adekvatnost modela testiramo na osnovu F raspodele, kao:
, (8.5-8)
gde su broj stepeni slobode pri oceni parametara modela površi koji je jednak broju
parametra modela minus jedan (zbog parametra a), u primeru 8.5-1 =3-1=2, dok je
broj stepeni slobode pri oceni reziduala dobijenog na osnovu ukupnog broja stepeni slobode
(n-1) manje broj stepeni slobode i iznosi =10-1-2=7.
Prema podacima u primeru 8.5-1, R2= 0.94 što ukazuje na visoku saglasnost trenda površi i
podataka merenja. Vrednost F = 56.5, što je za =0.001, fp=2 i fv=7 značajno i ukazuje na
jedan od tri moguća problema: 1) površ je složena tako da je linearni trend teško definisati,
2) skup datih tačaka nije dovoljnog obima i 3) površ je neophodno modelovati nekom
drugom funkcijom. U primeru 8.5-2 ilustrovan je slučaj kada je F < F,2,7.
PRIMER 8.5-2: Na osnovu datih podataka oceniti parametre jednačine površi trenda. Podaci za x i y su isti kao u prethodnom primeru, samo je razlika u visinama.
z
n
i
i
n
i
i
SS
SSE
zz
v
R
1
)(
1
1
2
1
2
2
z
v
p
f
R
f
R
F)1( 2
2
pf
pf vf
pf vf
Tacka x y z
1 136 113 113
2 173 105 114
3 140 139 115
4 132 148 112
5 164 116 111
6 163 125 113
7 121 169 110
8 176 138 109
9 153 189 108
10 198 166 107
215
Podaci pokazuju da koeficijent determinacije iznosi 0.73, a da površ sa nivoom poverenja od 99% realno odražava postojeći trend.
Ukoliko je model površi statistički neadekvatan, neophodno je koristiti kompleksnije površi.
Kod takvih površi, prilikom ocene nepoznatih parametara procedura je ista, samo je
složenost matematičkih operacija nešto veća. Pri oceni parametara treba voditi računa o
reprezentativnosti uzorka tačaka kojima se modeluje površ, a usled kolinearnosti moguće su
i pojave nestabilnosti u rešavanju sistema normalnih jednačina. Često se umesto linearne
funkcije, koristi kvadratna polinomska funkcija oblika:
, (8.5-9)
koja u sebi sadrži šest nepoznatih parametara, što je značajno sa aspekta izbora tačaka površi.
Kod modela (8.5-9) matrica A glasi:
. (8.5-10)
Nije preporučljivo koristiti veći stepen polinoma od drugog stepena, iako se u praksi mogu
sresti i modeli kubnih funkcija.
iiiiiiiiiivybxbyxbybxbayxfz 2
5
2
4321),(
22
22
2
1
2
11111
1
1
1
nnnnnn
iiiiii
yxyxyx
yxyxyx
yxyxyx
A
130.036
x= -0.054
-0.074
SSz= 63,6
SSE= 17,18432427
R2= 0,729806222
F= 9,453666175
F(0.001,2,7)= 21,68899856
1 - F(9.45366,2,7)= 99%
216
Pitanja za proveru znanja
1. Regresiona kriva?
2. Primena metode najmanjih kvadrata pri oceni parametara prave koja najbolje
aproksimira položaj datih tačaka?
3. Standardna odstupanja ocena nepoznatih parametara prave?
4. Testiranje značajnosti ocena nepoznatih parametara?
5. Geometrijska interpretacija rešenja problema linearne regresije?
6. Intervali poverenja ocena parametara regresije?
7. Mera korelisanosti dve promenljive x i y u okviru uzorka?
8. Koeficijent korelacije?
9. Nezavisnosti i nekorelisanosti promenljivih X i Y?
10. Testiranje značajnosti koeficijenta korelisanosti?
11. Trend površi? Ocena trenda površi? Opšta jednačina?
12. Koeficijent određenosti - determinacije? Interval?
13. Testiranje adekvatnost (značajnosti) modela površi?
202
DODATAK A – Tablice raspodela
Tabela 1a: Normalna raspodela - Vrednosti z za poznato F(z) i D(z)=F(z)-F(-z) F(z) u % z(F) z(D) F(z) u % z(F) z(D) F(z) u % z(F) z(D)
1 -2.326 0.013 41 -0.228 0.539 81 0.878 1.311
2 -2.054 0.025 42 -0.202 0.553 82 0.915 1.341
3 -1.881 0.038 43 -0.176 0.568 83 0.954 1.372
4 -1.751 0.050 44 -0.151 0.583 84 0.994 1.405
5 -1.645 0.063 45 -0.126 0.598 85 1.036 1.440
6 -1.555 0.075 86 1.080 1.476
7 -1.476 0.088 87 1.126 1.514
8 -1.405 0.100 88 1.175 1.555
9 -1.341 0.113 89 1.227 1.598
10 -1.282 0.126 50 0.000 0.674 90 1.282 1.645
11 -1.227 0.138 91 1.341 1.695
12 -1.175 0.151 92 1.405 1.751
13 -1-126 0.164 93 1.476 1.812
14 -1.080 0.176 94 1.555 1.881
15 -1.036 0.189 95 1.645 1.960
16 -0.994 0.202 96 1.751 2.054
17 -0.954 0.215 97 1.881 2.170
18 -0.915 0.228 97.5 1.960 2.241
19 -0.878 0.240 98 2.054 2.326
20 -0. 842 0.253 60 0.253 0.842 99 2.326 2.576
21 -0.806 0.266 61 0.279 0.860 99.1 2.366 2.612
22 -0.772 0.279 99.2 2.409 2.652
23 -0.739 0.292 99.3 2.457 2.697
24 -0.706 0.305 99.4 2.512 2.748
25 -0.674 0.319 99.5 2.576 2.807
26 -0.643 0.332 99.6 2.652 2.878
27 -0.613 0.345 99.7 2.748 2.968
28 -0.583 0.358 99.8 2.878 3.090
29 -0.553 0.372 99.9 3.090 3.291
30 -0.524 0.385 70 0.524 1.036
31 -0.496 0.399 99.91 3.121 3.320
32 -0.468 0.412 99.92 3.156 3.353
33 -0.440 0.426 99.93 3.195 3.390
34 -0.412 0.440 99.94 3.239 3.432
35 -0.385 0.454 99.95 3.291 3.481
36 -0.358 0.468
37 -0.332 0.482 99.96 3.353 3.540
38 -0.305 0.496 99.97 3.432 3.615
39 -0.279 0.510 99.98 3.540 3.719
40 -0.253 0.524 80 0.842 1.282 99.99 3.719 3.891
Primer: z = 1.645 od F(z) = 95 %; z = 1.960 za D(z) = 95 %.
Prilikom rada u Excel-u kvantili normalne raspodele mogu se dobiti na sledeći način:
INSERT / FUNCTION / u prozoru Search for a function: ukucati NORMSINV
Primer: NORMSINV(0.975)=1.96
203
Tabela 1b: Normalna raspodela - Vrednosti funkcije raspodele F(z)- izraz (2.4.2.1-11)
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-3.2 0.00069 0.00066 0.00064 0.00062 0.00060 0.00058 0.00056 0.00054 0.00052 0.00050
-3.1 0.00097 0.00094 0.00090 0.00087 0.00084 0.00082 0.00079 0.00076 0.00074 0.00071
-3 0.00135 0.00131 0.00126 0.00122 0.00118 0.00114 0.00111 0.00107 0.00104 0.00100
-2.9 0.00187 0.00181 0.00175 0.00169 0.00164 0.00159 0.00154 0.00149 0.00144 0.00139
-2.8 0.00256 0.00248 0.00240 0.00233 0.00226 0.00219 0.00212 0.00205 0.00199 0.00193
-2.7 0.00347 0.00336 0.00326 0.00317 0.00307 0.00298 0.00289 0.00280 0.00272 0.00264
-2.6 0.00466 0.00453 0.00440 0.00427 0.00415 0.00402 0.00391 0.00431 0.00368 0.00357
-2.5 0.00621 0.00604 0.00587 0.00570 0.00554 0.00539 0.00523 0.00508 0.00494 0.00480
-2.4 0.00820 0.00798 0.00776 0.00755 0.00734 0.00714 0.00695 0.00676 0.00657 0.00639
-2.3 0.01072 0.01044 0.01017 0.00990 0.00964 0.00939 0.00914 0.00889 0.00866 0.00842
-2.2 0.01390 0.01355 0.01321 0.01287 0.01255 0.01222 0.01191 0.01160 0.01130 0.01101
-2.1 0.01786 0.01743 0.01700 0.01659 0.01618 0.01578 0.01539 0.01500 0.01463 0.01426
-2 0.02275 0.02222 0.02169 0.02118 0.02068 0.02018 0.01970 0.01923 0.01876 0.01831
-1.9 0.02872 0.02807 0.02743 0.02680 0.02619 0.02559 0.02500 0.02442 0.02385 0.02330
-1.8 0.03593 0.03515 0.03438 0.03362 0.03288 0.03216 0.03144 0.03074 0.03005 0.02938
-1.7 0.04457 0.04363 0.04272 0.04182 0.04093 0.04006 0.03920 0.03836 0.03754 0.03673
-1.6 0.05480 0.05370 0.05262 0.05155 0.05050 0.04947 0.04846 0.04746 0.04648 0.04551
-1.5 0.06681 0.06552 0.06426 0.06301 0.06178 0.06057 0.05938 0.05821 0.05705 0.05592
-1.4 0.08076 0.07927 0.07780 0.07636 0.07493 0.07353 0.07215 0.07078 0.06944 0.06811
-1.3 0.09680 0.09510 0.09342 0.09176 0.09012 0.08851 0.08691 0.08534 0.08379 0.08226
-1.2 0.11507 0.11314 0.11123 0.10935 0.10749 0.10565 0.10383 0.10204 0.10027 0.09853
-1.1 0.13567 0.13350 0.13136 0.12924 0.12714 0.12507 0.12302 0.12100 0.11900 0.11702
-1 0.15866 0.15625 0.15386 0.15151 0.14917 0.14686 0.14457 0.14231 0.14007 0.13786
-0.9 0.18406 0.18141 0.17879 0.17619 0.17361 0.17106 0.16853 0.16602 0.16354 0.16109
-0.8 0.21186 0.20897 0.20611 0.20327 0.20045 0.19766 0.19489 0.19215 0.18943 0.18673
-0.7 0.24196 0.23885 0.23576 0.23270 0.22965 0.22663 0.22363 0.22065 0.21770 0.21476
-0.6 0.27425 0.27093 0.26763 0.26435 0.26109 0.25785 0.25463 0.25143 0.24825 0.24510
-0.5 0.30854 0.30503 0.30153 0.29806 0.29460 0.29116 0.28774 0.28434 0.28096 0.27760
-0.4 0.34458 0.34090 0.33724 0.33360 0.32997 0.32636 0.32276 0.31918 0.31561 0.31207
-0.3 0.38209 0.37828 0.37448 0.37070 0.36693 0.36317 0.35942 0.35569 0.35197 0.34827
-0.2 0.42074 0.41683 0.41294 0.40905 0.40517 0.40129 0.39743 0.39358 0.38974 0.38591
-0.1 0.46017 0.45620 0.45224 0.44828 0.44433 0.44038 0.43644 0.43251 0.42858 0.42465
0 0.50000 0.49601 0.49202 0.48803 0.48405 0.48006 0.47608 0.47210 0.46812 0.46414
0.1 0.53983 0.54380 0.54776 0.55172 0.55567 0.55962 0.56356 0.56749 0.57142 0.57535
0.2 0.57926 0.58317 0.58706 0.59095 0.59483 0.59871 0.60257 0.60642 0.61026 0.61409
0.3 0.61791 0.62172 0.62552 0.62930 0.63307 0.63683 0.64058 0.64431 0.64803 0.65173
0.4 0.65542 0.65910 0.66276 0.66640 0.67003 0.67364 0.67724 0.68082 0.68439 0.68793
0.5 0.69146 0.69497 0.69847 0.70194 0.70540 0.70884 0.71226 0.71566 0.71904 0.72240
0.6 0.72575 0.72907 0.73237 0.73565 0.73891 0.74215 0.74537 0.74857 0.75175 0.75490
0.7 0.75804 0.76115 0.76424 0.76730 0.77035 0.77337 0.77637 0.77935 0.78230 0.78524
0.8 0.78814 0.79103 0.79389 0.79673 0.79955 0.80234 0.80511 0.80785 0.81057 0.81327
0.9 0.81594 0.81859 0.82121 0.82381 0.82639 0.82894 0.83147 0.83398 0.83646 0.83891
204
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0.84134 0.84375 0.84614 0.84849 0.85083 0.85314 0.85543 0.85769 0.85993 0.86214
1.1 0.86433 0.86650 0.86864 0.87076 0.87286 0.87493 0.87698 0.87900 0.88100 0.88298
1.2 0.88493 0.88686 0.88877 0.89065 0.89251 0.89435 0.89617 0.89796 0.89973 0.90147
1.3 0.90320 0.90490 0.90658 0.90824 0.90988 0.91149 0.91309 0.91466 0.91621 0.91774
1.4 0.91924 0.92073 0.92220 0.92364 0.92507 0.92647 0.92785 0.92922 0.93056 0.93189
1.5 0.93319 0.93448 0.93574 0.93699 0.93822 0.93943 0.94062 0.94179 0.94295 0.94408
1.6 0.94520 0.94630 0.94738 0.94845 0.94950 0.95053 0.95154 0.95254 0.95352 0.95449
1.7 0.95543 0.95637 0.95728 0.95818 0.95907 0.95994 0.96080 0.96164 0.96246 0.96327
1.8 0.96407 0.96485 0.96562 0.96638 0.96712 0.96784 0.96856 0.96926 0.96995 0.97062
1.9 0.97128 0.97193 0.97257 0.97320 0.97381 0.97441 0.97500 0.97558 0.97615 0.97670
2 0.97725 0.97778 0.97831 0.97882 0.97932 0.97982 0.98030 0.98077 0.98124 0.98169
2.1 0.98214 0.98257 0.98300 0.98341 0.98382 0.98422 0.98461 0.98500 0.98537 0.98574
2.2 0.98610 0.98645 0.98679 0.98713 0.98745 0.98778 0.98809 0.98840 0.98870 0.98899
2.3 0.98928 0.98956 0.98983 0.99010 0.99036 0.99061 0.99086 0.99111 0.99134 0.99158
2.4 0.99180 0.99202 0.99224 0.99245 0.99266 0.99286 0.99305 0.99324 0.99343 0.99361
2.5 0.99379 0.99396 0.99413 0.99430 0.99446 0.99461 0.99477 0.99492 0.99506 0.99520
2.6 0.99534 0.99547 0.99560 0.99573 0.99585 0.99598 0.99609 0.99621 0.99632 0.99643
2.7 0.99653 0.99664 0.99674 0.99683 0.99693 0.99702 0.99711 0.99720 0.99728 0.99736
2.8 0.99744 0.99752 0.99760 0.99767 0.99774 0.99781 0.99788 0.99795 0.99801 0.99807
2.9 0.99813 0.99819 0.99825 0.99831 0.99836 0.99841 0.99846 0.99851 0.99856 0.99861
3 0.99865 0.99869 0.99874 0.99878 0.99882 0.99886 0.99889 0.99893 0.99896 0.99900
3.1 0.99903 0.99906 0.99910 0.99913 0.99916 0.99918 0.99921 0.99924 0.99926 0.99929
3.2 0.99931 0.99934 0.99936 0.99938 0.99940 0.99942 0.99944 0.99946 0.99948 0.99950
205
Tabela 2: Studentova raspodela – Vrednosti t za date vrednosti funkcije i f Obostrani test
f/α 0.2 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0025 0.001
1 3.078 4.165 6.314 12.706 25.452 63.657 127.321 254.647 636.619
2 1.886 2.282 2.920 4.303 6.205 9.925 14.089 19.962 31.599
3 1.638 1.924 2.353 3.182 4.177 5.841 7.453 9.465 12.924
4 1.533 1.778 2.132 2.776 3.495 4.604 5.598 6.758 8.610
5 1.476 1.699 2.015 2.571 3.163 4.032 4.773 5.604 6.869
6 1.440 1.650 1.943 2.447 2.969 3.707 4.317 4.981 5.959
7 1.415 1.617 1.895 2.365 2.841 3.499 4.029 4.595 5.408
8 1.397 1.592 1.860 2.306 2.752 3.355 3.833 4.334 5.041
9 1.383 1.574 1.833 2.262 2.685 3.250 3.690 4.146 4.781
10 1.372 1.559 1.812 2.228 2.634 3.169 3.581 4.005 4.587
11 1.363 1.548 1.796 2.201 2.593 3.106 3.497 3.895 4.437
12 1.356 1.538 1.782 2.179 2.560 3.055 3.428 3.807 4.318
13 1.350 1.530 1.771 2.160 2.533 3.012 3.372 3.735 4.221
14 1.345 1.523 1.761 2.145 2.510 2.977 3.326 3.675 4.140
15 1.341 1.517 1.753 2.131 2.490 2.947 3.286 3.624 4.073
16 1.337 1.512 1.746 2.120 2.473 2.921 3.252 3.581 4.015
17 1.333 1.508 1.740 2.110 2.458 2.898 3.222 3.543 3.965
18 1.330 1.504 1.734 2.101 2.445 2.878 3.197 3.510 3.922
19 1.328 1.500 1.729 2.093 2.433 2.861 3.174 3.481 3.883
20 1.325 1.497 1.725 2.086 2.423 2.845 3.153 3.455 3.850
21 1.323 1.494 1.721 2.080 2.414 2.831 3.135 3.432 3.819
22 1.321 1.492 1.717 2.074 2.405 2.819 3.119 3.412 3.792
23 1.319 1.489 1.714 2.069 2.398 2.807 3.104 3.393 3.768
24 1.318 1.487 1.711 2.064 2.391 2.797 3.091 3.376 3.745
25 1.316 1.485 1.708 2.060 2.385 2.787 3.078 3.361 3.725
26 1.315 1.483 1.706 2.056 2.379 2.779 3.067 3.346 3.707
27 1.314 1.482 1.703 2.052 2.373 2.771 3.057 3.333 3.690
28 1.313 1.480 1.701 2.048 2.368 2.763 3.047 3.321 3.674
29 1.311 1.479 1.699 2.045 2.364 2.756 3.038 3.310 3.659
30 1.310 1.477 1.697 2.042 2.360 2.750 3.030 3.300 3.646
35 1.306 1.472 1.690 2.030 2.342 2.724 2.996 3.258 3.591
40 1.303 1.468 1.684 2.021 2.329 2.704 2.971 3.227 3.551
45 1.301 1.465 1.679 2.014 2.319 2.690 2.952 3.203 3.520
50 1.299 1.462 1.676 2.009 2.311 2.678 2.937 3.184 3.496
55 1.297 1.460 1.673 2.004 2.304 2.668 2.925 3.169 3.476
60 1.296 1.458 1.671 2.000 2.299 2.660 2.915 3.156 3.460
65 1.295 1.457 1.669 1.997 2.295 2.654 2.906 3.146 3.447
70 1.294 1.456 1.667 1.994 2.291 2.648 2.899 3.137 3.435
75 1.293 1.454 1.665 1.992 2.287 2.643 2.892 3.129 3.425
80 1.292 1.453 1.664 1.990 2.284 2.639 2.887 3.122 3.416
85 1.292 1.453 1.663 1.988 2.282 2.635 2.882 3.116 3.409
90 1.291 1.452 1.662 1.987 2.280 2.632 2.878 3.111 3.402
95 1.291 1.451 1.661 1.985 2.277 2.629 2.874 3.106 3.396
100 1.290 1.451 1.660 1.984 2.276 2.626 2.871 3.102 3.390
t/ 0.1000 0.0750 0.0500 0.0250 0.0125 0.0050 0.0025 0.0013 0.0005
Jednostrani test
Prilikom rada u Excel-u kvantili Studentove raspodele mogu se dobiti na sledeći način:
INSERT / FUNCTION / u prozoru Search for a function: ukucati TINV
206
Tabela 3 – Pirsonova raspodela
f/α 0.999 0.995 0.99 0.975 0.95 0.9 0.5 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
1 0.000 0.000 0.000 0.001 0.004 0.016 0.455 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
2 0.002 0.010 0.020 0.051 0.103 0.211 1.386 4.605 5.991 7.378 9.210 10.597 13.816
3 0.024 0.072 0.115 0.216 0.352 0.584 2.366 6.251 7.815 9.348 11.345 12.838 16.266
4 0.091 0.207 0.297 0.484 0.711 1.064 3.357 7.779 9.488 11.143 13.277 14.860 18.467
5 0.210 0.412 0.554 0.831 1.145 1.610 4.351 9.236 11.070 12.833 15.086 16.750 20.515
6 0.381 0.676 0.872 1.237 1.635 2.204 5.348 10.645 12.592 14.449 16.812 18.548 22.458
7 0.598 0.989 1.239 1.690 2.167 2.833 6.346 12.017 14.067 16.013 18.475 20.278 24.322
8 0.857 1.344 1.646 2.180 2.733 3.490 7.344 13.362 15.507 17.535 20.090 21.955 26.124
9 1.152 1.735 2.088 2.700 3.325 4.168 8.343 14.684 16.919 19.023 21.666 23.589 27.877
10 1.479 2.156 2.558 3.247 3.940 4.865 9.342 15.987 18.307 20.483 23.209 25.188 29.588
11 1.834 2.603 3.053 3.816 4.575 5.578 10.341 17.275 19.675 21.920 24.725 26.757 31.264
12 2.214 3.074 3.571 4.404 5.226 6.304 11.340 18.549 21.026 23.337 26.217 28.300 32.909
13 2.617 3.565 4.107 5.009 5.892 7.042 12.340 19.812 22.362 24.736 27.688 29.819 34.528
14 3.041 4.075 4.660 5.629 6.571 7.790 13.339 21.064 23.685 26.119 29.141 31.319 36.123
15 3.483 4.601 5.229 6.262 7.261 8.547 14.339 22.307 24.996 27.488 30.578 32.801 37.697
16 3.942 5.142 5.812 6.908 7.962 9.312 15.338 23.542 26.296 28.845 32.000 34.267 39.252
17 4.416 5.697 6.408 7.564 8.672 10.085 16.338 24.769 27.587 30.191 33.409 35.718 40.790
18 4.905 6.265 7.015 8.231 9.390 10.865 17.338 25.989 28.869 31.526 34.805 37.156 42.312
19 5.407 6.844 7.633 8.907 10.117 11.651 18.338 27.204 30.144 32.852 36.191 38.582 43.820
20 5.921 7.434 8.260 9.591 10.851 12.443 19.337 28.412 31.410 34.170 37.566 39.997 45.315
21 6.447 8.034 8.897 10.283 11.591 13.240 20.337 29.615 32.671 35.479 38.932 41.401 46.797
22 6.983 8.643 9.542 10.982 12.338 14.041 21.337 30.813 33.924 36.781 40.289 42.796 48.268
23 7.529 9.260 10.196 11.689 13.091 14.848 22.337 32.007 35.172 38.076 41.638 44.181 49.728
24 8.085 9.886 10.856 12.401 13.848 15.659 23.337 33.196 36.415 39.364 42.980 45.559 51.179
25 8.649 10.520 11.524 13.120 14.611 16.473 24.337 34.382 37.652 40.646 44.314 46.928 52.620
26 9.222 11.160 12.198 13.844 15.379 17.292 25.336 35.563 38.885 41.923 45.642 48.290 54.052
27 9.803 11.808 12.879 14.573 16.151 18.114 26.336 36.741 40.113 43.195 46.963 49.645 55.476
2
207
f/α 0.999 0.995 0.99 0.975 0.95 0.9 0.5 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
28 10.391 12.461 13.565 15.308 16.928 18.939 27.336 37.916 41.337 44.461 48.278 50.993 56.892
29 10.986 13.121 14.256 16.047 17.708 19.768 28.336 39.087 42.557 45.722 49.588 52.336 58.301
30 11.588 13.787 14.953 16.791 18.493 20.599 29.336 40.256 43.773 46.979 50.892 53.672 59.703
35 14.688 17.192 18.509 20.569 22.465 24.797 34.336 46.059 49.802 53.203 57.342 60.275 66.619
40 17.916 20.707 22.164 24.433 26.509 29.051 39.335 51.805 55.758 59.342 63.691 66.766 73.402
45 21.251 24.311 25.901 28.366 30.612 33.350 44.335 57.505 61.656 65.410 69.957 73.166 80.077
50 24.674 27.991 29.707 32.357 34.764 37.689 49.335 63.167 67.505 71.420 76.154 79.490 86.661
60 31.738 35.534 37.485 40.482 43.188 46.459 59.335 74.397 79.082 83.298 88.379 91.952 99.607
70 39.036 43.275 45.442 48.758 51.739 55.329 69.334 85.527 90.531 95.023 100.425 104.215 112.317
80 46.520 51.172 53.540 57.153 60.391 64.278 79.334 96.578 101.879 106.629 112.329 116.321 124.839
90 54.155 59.196 61.754 65.647 69.126 73.291 89.334 107.565 113.145 118.136 124.116 128.299 137.208
100 61.918 67.328 70.065 74.222 77.929 82.358 99.334 118.498 124.342 129.561 135.807 140.169 149.449
120 77.755 83.852 86.923 91.573 95.705 100.624 119.334 140.233 146.567 152.211 158.950 163.648 173.617
150 102.113 109.142 112.668 117.985 122.692 128.275 149.334 172.581 179.581 185.800 193.208 198.360 209.265
200 143.843 152.241 156.432 162.728 168.279 174.835 199.334 226.021 233.994 241.058 249.445 255.264 267.541
Prilikom rada u Excel-u kvantili Pirsonove raspodele mogu se dobiti na sledeći način: INSERT / FUNCTION / u prozoru Search for a
function: ukucati CHIINV
Primer: CHIINV(0.05,30) =43.773
208
Tabela 4:Tablice F raspodele za: α= 0.025
f1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 100 200 #
f2
1
647.8
799.5
864.2
899.6
921.8
937.1
948.2
956.7
963.3
968.6
976.7
984.9
993.1
997.2
1001.4
1005.6
1009.8
1013.2
1015.7
1018.2
2
38.5
1
39.0
0
39.1
7
39.2
5
39.3
0
39.3
3
39.3
6
39.3
7
39.3
9
39.4
0
39.4
1
39.4
3
39.4
5
39.4
6 39.46 39.47 39.48 39.49 39.49 39.50
3
17.4
4
16.0
4
15.4
4
15.1
0
14.8
8
14.7
3
14.6
2
14.5
4
14.4
7
14.4
2
14.3
4
14.2
5
14.1
7
14.1
2 14.08 14.04 13.99 13.96 13.93 13.90
4
12.22
10.65 9.98 9.60 9.36 9.20 9.07 8.98 8.90 8.84 8.75 8.66 8.56 8.51 8.46 8.41 8.36 8.32 8.29 8.26
5
10.0
1 8.43 7.76 7.39 7.15 6.98 6.85 6.76 6.68 6.62 6.52 6.43 6.33 6.28 6.23 6.18 6.12 6.08 6.05 6.02
6 8.81 7.26 6.60 6.23 5.99 5.82 5.70 5.60 5.52 5.46 5.37 5.27 5.17 5.12 5.07 5.01 4.96 4.92 4.88 4.85
7 8.07 6.54 5.89 5.52 5.29 5.12 4.99 4.90 4.82 4.76 4.67 4.57 4.47 4.41 4.36 4.31 4.25 4.21 4.18 4.14
8 7.57 6.06 5.42 5.05 4.82 4.65 4.53 4.43 4.36 4.30 4.20 4.10 4.00 3.95 3.89 3.84 3.78 3.74 3.70 3.67
9 7.21 5.71 5.08 4.72 4.48 4.32 4.20 4.10 4.03 3.96 3.87 3.77 3.67 3.61 3.56 3.51 3.45 3.40 3.37 3.33
10 6.94 5.46 4.83 4.47 4.24 4.07 3.95 3.85 3.78 3.72 3.62 3.52 3.42 3.37 3.31 3.26 3.20 3.15 3.12 3.08
11 6.72 5.26 4.63 4.28 4.04 3.88 3.76 3.66 3.59 3.53 3.43 3.33 3.23 3.17 3.12 3.06 3.00 2.96 2.92 2.88
12 6.55 5.10 4.47 4.12 3.89 3.73 3.61 3.51 3.44 3.37 3.28 3.18 3.07 3.02 2.96 2.91 2.85 2.80 2.76 2.72
13 6.41 4.97 4.35 4.00 3.77 3.60 3.48 3.39 3.31 3.25 3.15 3.05 2.95 2.89 2.84 2.78 2.72 2.67 2.63 2.60
14 6.30 4.86 4.24 3.89 3.66 3.50 3.38 3.29 3.21 3.15 3.05 2.95 2.84 2.79 2.73 2.67 2.61 2.56 2.53 2.49
15 6.20 4.77 4.15 3.80 3.58 3.41 3.29 3.20 3.12 3.06 2.96 2.86 2.76 2.70 2.64 2.59 2.52 2.47 2.44 2.40
16 6.12 4.69 4.08 3.73 3.50 3.34 3.22 3.12 3.05 2.99 2.89 2.79 2.68 2.63 2.57 2.51 2.45 2.40 2.36 2.32
17 6.04 4.62 4.01 3.66 3.44 3.28 3.16 3.06 2.98 2.92 2.82 2.72 2.62 2.56 2.50 2.44 2.38 2.33 2.29 2.25
18 5.98 4.56 3.95 3.61 3.38 3.22 3.10 3.01 2.93 2.87 2.77 2.67 2.56 2.50 2.44 2.38 2.32 2.27 2.23 2.19
19 5.92 4.51 3.90 3.56 3.33 3.17 3.05 2.96 2.88 2.82 2.72 2.62 2.51 2.45 2.39 2.33 2.27 2.22 2.18 2.13
20 5.87 4.46 3.86 3.51 3.29 3.13 3.01 2.91 2.84 2.77 2.68 2.57 2.46 2.41 2.35 2.29 2.22 2.17 2.13 2.09
21 5.83 4.42 3.82 3.48 3.25 3.09 2.97 2.87 2.80 2.73 2.64 2.53 2.42 2.37 2.31 2.25 2.18 2.13 2.09 2.04
22 5.79 4.38 3.78 3.44 3.22 3.05 2.93 2.84 2.76 2.70 2.60 2.50 2.39 2.33 2.27 2.21 2.14 2.09 2.05 2.00
23 5.75 4.35 3.75 3.41 3.18 3.02 2.90 2.81 2.73 2.67 2.57 2.47 2.36 2.30 2.24 2.18 2.11 2.06 2.01 1.97
24 5.72 4.32 3.72 3.38 3.15 2.99 2.87 2.78 2.70 2.64 2.54 2.44 2.33 2.27 2.21 2.15 2.08 2.02 1.98 1.94
25 5.69 4.29 3.69 3.35 3.13 2.97 2.85 2.75 2.68 2.61 2.51 2.41 2.30 2.24 2.18 2.12 2.05 2.00 1.95 1.91
26 5.66 4.27 3.67 3.33 3.10 2.94 2.82 2.73 2.65 2.59 2.49 2.39 2.28 2.22 2.16 2.09 2.03 1.97 1.92 1.88
27 5.63 4.24 3.65 3.31 3.08 2.92 2.80 2.71 2.63 2.57 2.47 2.36 2.25 2.19 2.13 2.07 2.00 1.94 1.90 1.85
28 5.61 4.22 3.63 3.29 3.06 2.90 2.78 2.69 2.61 2.55 2.45 2.34 2.23 2.17 2.11 2.05 1.98 1.92 1.88 1.83
29 5.59 4.20 3.61 3.27 3.04 2.88 2.76 2.67 2.59 2.53 2.43 2.32 2.21 2.15 2.09 2.03 1.96 1.90 1.86 1.81
209
Tabela 4:Tablice F raspodele za: α= 0.025
f1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 100 200 #
f2
30 5.57 4.18 3.59 3.25 3.03 2.87 2.75 2.65 2.57 2.51 2.41 2.31 2.20 2.14 2.07 2.01 1.94 1.88 1.84 1.79
35 5.48 4.11 3.52 3.18 2.96 2.80 2.68 2.58 2.50 2.44 2.34 2.23 2.12 2.06 2.00 1.93 1.86 1.80 1.75 1.70
40 5.42 4.05 3.46 3.13 2.90 2.74 2.62 2.53 2.45 2.39 2.29 2.18 2.07 2.01 1.94 1.88 1.80 1.74 1.69 1.64
45 5.38 4.01 3.42 3.09 2.86 2.70 2.58 2.49 2.41 2.35 2.25 2.14 2.03 1.96 1.90 1.83 1.76 1.69 1.64 1.59
50 5.34 3.97 3.39 3.05 2.83 2.67 2.55 2.46 2.38 2.32 2.22 2.11 1.99 1.93 1.87 1.80 1.72 1.66 1.60 1.55
60 5.29 3.93 3.34 3.01 2.79 2.63 2.51 2.41 2.33 2.27 2.17 2.06 1.94 1.88 1.82 1.74 1.67 1.60 1.54 1.48
70 5.25 3.89 3.31 2.97 2.75 2.59 2.47 2.38 2.30 2.24 2.14 2.03 1.91 1.85 1.78 1.71 1.63 1.56 1.50 1.44
80 5.22 3.86 3.28 2.95 2.73 2.57 2.45 2.35 2.28 2.21 2.11 2.00 1.88 1.82 1.75 1.68 1.60 1.53 1.47 1.40
90 5.20 3.84 3.26 2.93 2.71 2.55 2.43 2.34 2.26 2.19 2.09 1.98 1.86 1.80 1.73 1.66 1.58 1.50 1.44 1.37
10
0 5.18 3.83 3.25 2.92 2.70 2.54 2.42 2.32 2.24 2.18 2.08 1.97 1.85 1.78 1.71 1.64 1.56 1.48 1.42 1.35
12
0 5.15 3.80 3.23 2.89 2.67 2.52 2.39 2.30 2.22 2.16 2.05 1.94 1.82 1.76 1.69 1.61 1.53 1.45 1.39 1.31
15
0 5.13 3.78 3.20 2.87 2.65 2.49 2.37 2.28 2.20 2.13 2.03 1.92 1.80 1.74 1.67 1.59 1.50 1.42 1.35 1.27
20
0 5.10 3.76 3.18 2.85 2.63 2.47 2.35 2.26 2.18 2.11 2.01 1.90 1.78 1.71 1.64 1.56 1.47 1.39 1.32 1.23
##
5.02 3.69 3.12 2.79 2.57 2.41 2.29 2.19 2.11 2.05 1.94 1.83 1.71 1.64 1.57 1.48 1.39 1.30 1.21
Prilikom rada u Excel-u kvantili F raspodele mogu se dobiti na sledeći način: INSERT / FUNCTION / u prozoru Search for a function:
ukucati FINV
Primer: FINV(0.025,2,9)=5.714
210
Tabela 4:Tablice F raspodele za: α= 0.050 f1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 100 200 #
f2
1 161.4 199.5 215.7 224.6 230.2 234.0 236.8 238.9 240.5 241.9 243.9 245.9 248.0 249.1 250.1 251.1 252.2 253.0 253.7 254.3
2 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38 19.40 19.41 19.43 19.45 19.45 19.46 19.47 19.48 19.49 19.49 19.50
3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 8.74 8.70 8.66 8.64 8.62 8.59 8.57 8.55 8.54 8.53
4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96 5.91 5.86 5.80 5.77 5.75 5.72 5.69 5.66 5.65 5.63
5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 4.68 4.62 4.56 4.53 4.50 4.46 4.43 4.41 4.39 4.36
6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 4.00 3.94 3.87 3.84 3.81 3.77 3.74 3.71 3.69 3.67
7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 3.57 3.51 3.44 3.41 3.38 3.34 3.30 3.27 3.25 3.23
8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35 3.28 3.22 3.15 3.12 3.08 3.04 3.01 2.97 2.95 2.93
9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 3.07 3.01 2.94 2.90 2.86 2.83 2.79 2.76 2.73 2.71
10 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 2.91 2.85 2.77 2.74 2.70 2.66 2.62 2.59 2.56 2.54
11 4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85 2.79 2.72 2.65 2.61 2.57 2.53 2.49 2.46 2.43 2.40
12 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75 2.69 2.62 2.54 2.51 2.47 2.43 2.38 2.35 2.32 2.30
13 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 2.60 2.53 2.46 2.42 2.38 2.34 2.30 2.26 2.23 2.21
14 4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.60 2.53 2.46 2.39 2.35 2.31 2.27 2.22 2.19 2.16 2.13
15 4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54 2.48 2.40 2.33 2.29 2.25 2.20 2.16 2.12 2.10 2.07
16 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49 2.42 2.35 2.28 2.24 2.19 2.15 2.11 2.07 2.04 2.01
17 4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49 2.45 2.38 2.31 2.23 2.19 2.15 2.10 2.06 2.02 1.99 1.96
18 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41 2.34 2.27 2.19 2.15 2.11 2.06 2.02 1.98 1.95 1.92
19 4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38 2.31 2.23 2.16 2.11 2.07 2.03 1.98 1.94 1.91 1.88
20 4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39 2.35 2.28 2.20 2.12 2.08 2.04 1.99 1.95 1.91 1.88 1.84
21 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32 2.25 2.18 2.10 2.05 2.01 1.96 1.92 1.88 1.84 1.81
22 4.30 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.40 2.34 2.30 2.23 2.15 2.07 2.03 1.98 1.94 1.89 1.85 1.82 1.78
23 4.28 3.42 3.03 2.80 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27 2.20 2.13 2.05 2.01 1.96 1.91 1.86 1.82 1.79 1.76
24 4.26 3.40 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.30 2.25 2.18 2.11 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.80 1.77 1.73
25 4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 2.40 2.34 2.28 2.24 2.16 2.09 2.01 1.96 1.92 1.87 1.82 1.78 1.75 1.71
26 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22 2.15 2.07 1.99 1.95 1.90 1.85 1.80 1.76 1.73 1.69
27 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.20 2.13 2.06 1.97 1.93 1.88 1.84 1.79 1.74 1.71 1.67
28 4.20 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19 2.12 2.04 1.96 1.91 1.87 1.82 1.77 1.73 1.69 1.65
29 4.18 3.33 2.93 2.70 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.18 2.10 2.03 1.94 1.90 1.85 1.81 1.75 1.71 1.67 1.64
30 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16 2.09 2.01 1.93 1.89 1.84 1.79 1.74 1.70 1.66 1.62
35 4.12 3.27 2.87 2.64 2.49 2.37 2.29 2.22 2.16 2.11 2.04 1.96 1.88 1.83 1.79 1.74 1.68 1.63 1.60 1.56
40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08 2.00 1.92 1.84 1.79 1.74 1.69 1.64 1.59 1.55 1.51
211
Tabela 4:Tablice F raspodele za: α= 0.050 f1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 100 200 #
f2
45 4.06 3.20 2.81 2.58 2.42 2.31 2.22 2.15 2.10 2.05 1.97 1.89 1.81 1.76 1.71 1.66 1.60 1.55 1.51 1.47
50 4.03 3.18 2.79 2.56 2.40 2.29 2.20 2.13 2.07 2.03 1.95 1.87 1.78 1.74 1.69 1.63 1.58 1.52 1.48 1.44
60 4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04 1.99 1.92 1.84 1.75 1.70 1.65 1.59 1.53 1.48 1.44 1.39
70 3.98 3.13 2.74 2.50 2.35 2.23 2.14 2.07 2.02 1.97 1.89 1.81 1.72 1.67 1.62 1.57 1.50 1.45 1.40 1.35
80 3.96 3.11 2.72 2.49 2.33 2.21 2.13 2.06 2.00 1.95 1.88 1.79 1.70 1.65 1.60 1.54 1.48 1.43 1.38 1.32
90 3.95 3.10 2.71 2.47 2.32 2.20 2.11 2.04 1.99 1.94 1.86 1.78 1.69 1.64 1.59 1.53 1.46 1.41 1.36 1.30
100 3.94 3.09 2.70 2.46 2.31 2.19 2.10 2.03 1.97 1.93 1.85 1.77 1.68 1.63 1.57 1.52 1.45 1.39 1.34 1.28
120 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.18 2.09 2.02 1.96 1.91 1.83 1.75 1.66 1.61 1.55 1.50 1.43 1.37 1.32 1.25
150 3.90 3.06 2.66 2.43 2.27 2.16 2.07 2.00 1.94 1.89 1.82 1.73 1.64 1.59 1.54 1.48 1.41 1.34 1.29 1.22
200 3.89 3.04 2.65 2.42 2.26 2.14 2.06 1.98 1.93 1.88 1.80 1.72 1.62 1.57 1.52 1.46 1.39 1.32 1.26 1.19
##
3.84 3.00 2.60 2.37 2.21 2.10 2.01 1.94 1.88 1.83 1.75 1.67 1.57 1.52 1.46 1.39 1.32 1.24 1.17
Prilikom rada u Excel-u kvantili F raspodele mogu se dobiti na sledeći način: INSERT / FUNCTION / u prozoru Search for a function:
ukucati FINV
Primer: FINV(0.05,2,9)=2.758
212
Tabela 4:Tablice F raspodele za: α= 0.100 f1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 100 200 #
f2
1 39.9 49.5 53.6 55.8 57.2 58.2 58.9 59.4 59.9 60.2 60.7 61.2 61.7 62.0 62.3 62.5 62.8 63.0 63.2 63.3
2 8.53 9.00 9.16 9.24 9.29 9.33 9.35 9.37 9.38 9.39 9.41 9.42 9.44 9.45 9.46 9.47 9.47 9.48 9.49 9.49
3 5.54 5.46 5.39 5.34 5.31 5.28 5.27 5.25 5.24 5.23 5.22 5.20 5.18 5.18 5.17 5.16 5.15 5.14 5.14 5.13
4 4.54 4.32 4.19 4.11 4.05 4.01 3.98 3.95 3.94 3.92 3.90 3.87 3.84 3.83 3.82 3.80 3.79 3.78 3.77 3.76
5 4.06 3.78 3.62 3.52 3.45 3.40 3.37 3.34 3.32 3.30 3.27 3.24 3.21 3.19 3.17 3.16 3.14 3.13 3.12 3.10
6 3.78 3.46 3.29 3.18 3.11 3.05 3.01 2.98 2.96 2.94 2.90 2.87 2.84 2.82 2.80 2.78 2.76 2.75 2.73 2.72
7 3.59 3.26 3.07 2.96 2.88 2.83 2.78 2.75 2.72 2.70 2.67 2.63 2.59 2.58 2.56 2.54 2.51 2.50 2.48 2.47
8 3.46 3.11 2.92 2.81 2.73 2.67 2.62 2.59 2.56 2.54 2.50 2.46 2.42 2.40 2.38 2.36 2.34 2.32 2.31 2.29
9 3.36 3.01 2.81 2.69 2.61 2.55 2.51 2.47 2.44 2.42 2.38 2.34 2.30 2.28 2.25 2.23 2.21 2.19 2.17 2.16
10 3.29 2.92 2.73 2.61 2.52 2.46 2.41 2.38 2.35 2.32 2.28 2.24 2.20 2.18 2.16 2.13 2.11 2.09 2.07 2.06
11 3.23 2.86 2.66 2.54 2.45 2.39 2.34 2.30 2.27 2.25 2.21 2.17 2.12 2.10 2.08 2.05 2.03 2.01 1.99 1.97
12 3.18 2.81 2.61 2.48 2.39 2.33 2.28 2.24 2.21 2.19 2.15 2.10 2.06 2.04 2.01 1.99 1.96 1.94 1.92 1.90
13 3.14 2.76 2.56 2.43 2.35 2.28 2.23 2.20 2.16 2.14 2.10 2.05 2.01 1.98 1.96 1.93 1.90 1.88 1.86 1.85
14 3.10 2.73 2.52 2.39 2.31 2.24 2.19 2.15 2.12 2.10 2.05 2.01 1.96 1.94 1.91 1.89 1.86 1.83 1.82 1.80
15 3.07 2.70 2.49 2.36 2.27 2.21 2.16 2.12 2.09 2.06 2.02 1.97 1.92 1.90 1.87 1.85 1.82 1.79 1.77 1.76
16 3.05 2.67 2.46 2.33 2.24 2.18 2.13 2.09 2.06 2.03 1.99 1.94 1.89 1.87 1.84 1.81 1.78 1.76 1.74 1.72
17 3.03 2.64 2.44 2.31 2.22 2.15 2.10 2.06 2.03 2.00 1.96 1.91 1.86 1.84 1.81 1.78 1.75 1.73 1.71 1.69
18 3.01 2.62 2.42 2.29 2.20 2.13 2.08 2.04 2.00 1.98 1.93 1.89 1.84 1.81 1.78 1.75 1.72 1.70 1.68 1.66
19 2.99 2.61 2.40 2.27 2.18 2.11 2.06 2.02 1.98 1.96 1.91 1.86 1.81 1.79 1.76 1.73 1.70 1.67 1.65 1.63
20 2.97 2.59 2.38 2.25 2.16 2.09 2.04 2.00 1.96 1.94 1.89 1.84 1.79 1.77 1.74 1.71 1.68 1.65 1.63 1.61
21 2.96 2.57 2.36 2.23 2.14 2.08 2.02 1.98 1.95 1.92 1.87 1.83 1.78 1.75 1.72 1.69 1.66 1.63 1.61 1.59
22 2.95 2.56 2.35 2.22 2.13 2.06 2.01 1.97 1.93 1.90 1.86 1.81 1.76 1.73 1.70 1.67 1.64 1.61 1.59 1.57
23 2.94 2.55 2.34 2.21 2.11 2.05 1.99 1.95 1.92 1.89 1.84 1.80 1.74 1.72 1.69 1.66 1.62 1.59 1.57 1.55
24 2.93 2.54 2.33 2.19 2.10 2.04 1.98 1.94 1.91 1.88 1.83 1.78 1.73 1.70 1.67 1.64 1.61 1.58 1.56 1.53
25 2.92 2.53 2.32 2.18 2.09 2.02 1.97 1.93 1.89 1.87 1.82 1.77 1.72 1.69 1.66 1.63 1.59 1.56 1.54 1.52
26 2.91 2.52 2.31 2.17 2.08 2.01 1.96 1.92 1.88 1.86 1.81 1.76 1.71 1.68 1.65 1.61 1.58 1.55 1.53 1.50
27 2.90 2.51 2.30 2.17 2.07 2.00 1.95 1.91 1.87 1.85 1.80 1.75 1.70 1.67 1.64 1.60 1.57 1.54 1.52 1.49
28 2.89 2.50 2.29 2.16 2.06 2.00 1.94 1.90 1.87 1.84 1.79 1.74 1.69 1.66 1.63 1.59 1.56 1.53 1.50 1.48
29 2.89 2.50 2.28 2.15 2.06 1.99 1.93 1.89 1.86 1.83 1.78 1.73 1.68 1.65 1.62 1.58 1.55 1.52 1.49 1.47
30 2.88 2.49 2.28 2.14 2.05 1.98 1.93 1.88 1.85 1.82 1.77 1.72 1.67 1.64 1.61 1.57 1.54 1.51 1.48 1.46
35 2.85 2.46 2.25 2.11 2.02 1.95 1.90 1.85 1.82 1.79 1.74 1.69 1.63 1.60 1.57 1.53 1.50 1.47 1.44 1.41
40 2.84 2.44 2.23 2.09 2.00 1.93 1.87 1.83 1.79 1.76 1.71 1.66 1.61 1.57 1.54 1.51 1.47 1.43 1.41 1.38
213
Tabela 4:Tablice F raspodele za: α= 0.100 f1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 100 200 #
f2
45 2.82 2.42 2.21 2.07 1.98 1.91 1.85 1.81 1.77 1.74 1.70 1.64 1.58 1.55 1.52 1.48 1.44 1.41 1.38 1.35
50 2.81 2.41 2.20 2.06 1.97 1.90 1.84 1.80 1.76 1.73 1.68 1.63 1.57 1.54 1.50 1.46 1.42 1.39 1.36 1.33
60 2.79 2.39 2.18 2.04 1.95 1.87 1.82 1.77 1.74 1.71 1.66 1.60 1.54 1.51 1.48 1.44 1.40 1.36 1.33 1.29
70 2.78 2.38 2.16 2.03 1.93 1.86 1.80 1.76 1.72 1.69 1.64 1.59 1.53 1.49 1.46 1.42 1.37 1.34 1.30 1.27
80 2.77 2.37 2.15 2.02 1.92 1.85 1.79 1.75 1.71 1.68 1.63 1.57 1.51 1.48 1.44 1.40 1.36 1.32 1.28 1.24
90 2.76 2.36 2.15 2.01 1.91 1.84 1.78 1.74 1.70 1.67 1.62 1.56 1.50 1.47 1.43 1.39 1.35 1.30 1.27 1.23
100 2.76 2.36 2.14 2.00 1.91 1.83 1.78 1.73 1.69 1.66 1.61 1.56 1.49 1.46 1.42 1.38 1.34 1.29 1.26 1.21
120 2.75 2.35 2.13 1.99 1.90 1.82 1.77 1.72 1.68 1.65 1.60 1.55 1.48 1.45 1.41 1.37 1.32 1.28 1.24 1.19
150 2.74 2.34 2.12 1.98 1.89 1.81 1.76 1.71 1.67 1.64 1.59 1.53 1.47 1.43 1.40 1.35 1.30 1.26 1.22 1.17
200 2.73 2.33 2.11 1.97 1.88 1.80 1.75 1.70 1.66 1.63 1.58 1.52 1.46 1.42 1.38 1.34 1.29 1.24 1.20 1.14
##
2.71 2.30 2.08 1.94 1.85 1.77 1.72 1.67 1.63 1.60 1.55 1.49 1.42 1.38 1.34 1.30 1.24 1.18 1.13
Prilikom rada u Excel-u kvantili F raspodele mogu se dobiti na sledeći način: INSERT / FUNCTION / u prozoru Search for a function:
ukucati FINV
Primer: FINV(0.1,3,40)=2.226
214
Tabela 4:Tablice F raspodele za: α= 0.200 f1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 100 200 #
f2
1 9.5 12.0 13.1 13.6 14.0 14.3 14.4 14.6 14.7 14.8 14.9 15.0 15.2 15.2 15.3 15.4 15.4 15.5 15.5 15.6
2 3.56 4.00 4.16 4.24 4.28 4.32 4.34 4.36 4.37 4.38 4.40 4.42 4.43 4.44 4.45 4.46 4.46 4.47 4.48 4.48
3 2.68 2.89 2.94 2.96 2.97 2.97 2.97 2.98 2.98 2.98 2.98 2.98 2.98 2.98 2.98 2.98 2.98 2.98 2.98 2.98
4 2.35 2.47 2.48 2.48 2.48 2.47 2.47 2.47 2.46 2.46 2.46 2.45 2.44 2.44 2.44 2.44 2.43 2.43 2.43 2.43
5 2.18 2.26 2.25 2.24 2.23 2.22 2.21 2.20 2.20 2.19 2.18 2.18 2.17 2.16 2.16 2.15 2.15 2.14 2.14 2.13
6 2.07 2.13 2.11 2.09 2.08 2.06 2.05 2.04 2.03 2.03 2.02 2.01 2.00 1.99 1.98 1.98 1.97 1.96 1.96 1.95
7 2.00 2.04 2.02 1.99 1.97 1.96 1.94 1.93 1.93 1.92 1.91 1.89 1.88 1.87 1.86 1.86 1.85 1.84 1.84 1.83
8 1.95 1.98 1.95 1.92 1.90 1.88 1.87 1.86 1.85 1.84 1.83 1.81 1.80 1.79 1.78 1.77 1.76 1.75 1.75 1.74
9 1.91 1.93 1.90 1.87 1.85 1.83 1.81 1.80 1.79 1.78 1.76 1.75 1.73 1.72 1.71 1.70 1.69 1.69 1.68 1.67
10 1.88 1.90 1.86 1.83 1.80 1.78 1.77 1.75 1.74 1.73 1.72 1.70 1.68 1.67 1.66 1.65 1.64 1.63 1.63 1.62
11 1.86 1.87 1.83 1.80 1.77 1.75 1.73 1.72 1.70 1.69 1.68 1.66 1.64 1.63 1.62 1.61 1.60 1.59 1.58 1.57
12 1.84 1.85 1.80 1.77 1.74 1.72 1.70 1.69 1.67 1.66 1.65 1.63 1.61 1.60 1.59 1.58 1.56 1.55 1.55 1.54
13 1.82 1.83 1.78 1.75 1.72 1.69 1.68 1.66 1.65 1.64 1.62 1.60 1.58 1.57 1.56 1.55 1.53 1.52 1.51 1.51
14 1.81 1.81 1.76 1.73 1.70 1.67 1.65 1.64 1.63 1.62 1.60 1.58 1.56 1.55 1.53 1.52 1.51 1.50 1.49 1.48
15 1.80 1.80 1.75 1.71 1.68 1.66 1.64 1.62 1.61 1.60 1.58 1.56 1.54 1.53 1.51 1.50 1.49 1.47 1.46 1.46
16 1.79 1.78 1.74 1.70 1.67 1.64 1.62 1.61 1.59 1.58 1.56 1.54 1.52 1.51 1.49 1.48 1.47 1.45 1.44 1.43
17 1.78 1.77 1.72 1.68 1.65 1.63 1.61 1.59 1.58 1.57 1.55 1.53 1.50 1.49 1.48 1.46 1.45 1.44 1.43 1.42
18 1.77 1.76 1.71 1.67 1.64 1.62 1.60 1.58 1.56 1.55 1.53 1.51 1.49 1.48 1.46 1.45 1.43 1.42 1.41 1.40
19 1.76 1.75 1.70 1.66 1.63 1.61 1.58 1.57 1.55 1.54 1.52 1.50 1.48 1.46 1.45 1.44 1.42 1.41 1.40 1.39
20 1.76 1.75 1.70 1.65 1.62 1.60 1.58 1.56 1.54 1.53 1.51 1.49 1.47 1.45 1.44 1.42 1.41 1.39 1.38 1.37
21 1.75 1.74 1.69 1.65 1.61 1.59 1.57 1.55 1.53 1.52 1.50 1.48 1.46 1.44 1.43 1.41 1.40 1.38 1.37 1.36
22 1.75 1.73 1.68 1.64 1.61 1.58 1.56 1.54 1.53 1.51 1.49 1.47 1.45 1.43 1.42 1.40 1.39 1.37 1.36 1.35
23 1.74 1.73 1.68 1.63 1.60 1.57 1.55 1.53 1.52 1.51 1.49 1.46 1.44 1.42 1.41 1.39 1.38 1.36 1.35 1.34
24 1.74 1.72 1.67 1.63 1.59 1.57 1.55 1.53 1.51 1.50 1.48 1.46 1.43 1.42 1.40 1.39 1.37 1.35 1.34 1.33
25 1.73 1.72 1.66 1.62 1.59 1.56 1.54 1.52 1.51 1.49 1.47 1.45 1.42 1.41 1.39 1.38 1.36 1.35 1.33 1.32
26 1.73 1.71 1.66 1.62 1.58 1.56 1.53 1.52 1.50 1.49 1.47 1.44 1.42 1.40 1.39 1.37 1.35 1.34 1.33 1.31
27 1.73 1.71 1.66 1.61 1.58 1.55 1.53 1.51 1.49 1.48 1.46 1.44 1.41 1.40 1.38 1.36 1.35 1.33 1.32 1.30
28 1.72 1.71 1.65 1.61 1.57 1.55 1.52 1.51 1.49 1.48 1.46 1.43 1.41 1.39 1.37 1.36 1.34 1.32 1.31 1.30
29 1.72 1.70 1.65 1.60 1.57 1.54 1.52 1.50 1.49 1.47 1.45 1.43 1.40 1.39 1.37 1.35 1.33 1.32 1.30 1.29
30 1.72 1.70 1.64 1.60 1.57 1.54 1.52 1.50 1.48 1.47 1.45 1.42 1.39 1.38 1.36 1.35 1.33 1.31 1.30 1.28
35 1.71 1.69 1.63 1.58 1.55 1.52 1.50 1.48 1.46 1.45 1.43 1.40 1.37 1.36 1.34 1.32 1.30 1.29 1.27 1.26
40 1.70 1.68 1.62 1.57 1.54 1.51 1.49 1.47 1.45 1.44 1.41 1.39 1.36 1.34 1.33 1.31 1.29 1.27 1.25 1.24
215
Tabela 4:Tablice F raspodele za: α= 0.200 f1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 100 200 #
f2
45 1.69 1.67 1.61 1.57 1.53 1.50 1.48 1.46 1.44 1.43 1.40 1.38 1.35 1.33 1.31 1.29 1.27 1.25 1.24 1.22
50 1.69 1.66 1.60 1.56 1.52 1.49 1.47 1.45 1.43 1.42 1.39 1.37 1.34 1.32 1.30 1.28 1.26 1.24 1.22 1.21
60 1.68 1.65 1.60 1.55 1.51 1.48 1.46 1.44 1.42 1.41 1.38 1.35 1.32 1.31 1.29 1.27 1.24 1.22 1.21 1.18
70 1.67 1.65 1.59 1.54 1.50 1.47 1.45 1.43 1.41 1.40 1.37 1.35 1.31 1.30 1.28 1.26 1.23 1.21 1.19 1.17
80 1.67 1.64 1.58 1.53 1.50 1.47 1.44 1.42 1.41 1.39 1.37 1.34 1.31 1.29 1.27 1.25 1.22 1.20 1.18 1.16
90 1.67 1.64 1.58 1.53 1.49 1.46 1.44 1.42 1.40 1.38 1.36 1.33 1.30 1.28 1.26 1.24 1.21 1.19 1.17 1.15
100 1.66 1.64 1.58 1.53 1.49 1.46 1.43 1.41 1.40 1.38 1.36 1.33 1.30 1.28 1.26 1.23 1.21 1.18 1.16 1.14
120 1.66 1.63 1.57 1.52 1.48 1.45 1.43 1.41 1.39 1.37 1.35 1.32 1.29 1.27 1.25 1.23 1.20 1.17 1.15 1.12
150 1.66 1.63 1.57 1.52 1.48 1.45 1.42 1.40 1.38 1.37 1.34 1.31 1.28 1.26 1.24 1.22 1.19 1.16 1.14 1.11
200 1.65 1.62 1.56 1.51 1.47 1.44 1.42 1.40 1.38 1.36 1.34 1.31 1.27 1.25 1.23 1.21 1.18 1.15 1.13 1.09
##
1.64 1.61 1.55 1.50 1.46 1.43 1.40 1.38 1.36 1.34 1.32 1.29 1.25 1.23 1.21 1.18 1.15 1.12 1.08
216
Tabela 4:Tablice F raspodele za: α= 0.010
f1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 100 200 #
f2
1 4052.2 4999.5 5403.4 5624.6 5763.6 5859.0 5928.4 5981.1 6022.5 6055.8 6106.3 6157.3 6208.7 6234.6 6260.6 6286.8 6313.0 6334.1 6350.0 6365.7
2 98.50 99.00 99.17 99.25 99.30 99.33 99.36 99.37 99.39 99.40 99.42 99.43 99.45 99.46 99.47 99.47 99.48 99.49 99.49 99.50
3 34.12 30.82 29.46 28.71 28.24 27.91 27.67 27.49 27.35 27.23 27.05 26.87 26.69 26.60 26.50 26.41 26.32 26.24 26.18 26.13
4 21.20 18.00 16.69 15.98 15.52 15.21 14.98 14.80 14.66 14.55 14.37 14.20 14.02 13.93 13.84 13.75 13.65 13.58 13.52 13.46
5 16.26 13.27 12.06 11.39 10.97 10.67 10.46 10.29 10.16 10.05 9.89 9.72 9.55 9.47 9.38 9.29 9.20 9.13 9.08 9.02
6 13.75 10.92 9.78 9.15 8.75 8.47 8.26 8.10 7.98 7.87 7.72 7.56 7.40 7.31 7.23 7.14 7.06 6.99 6.93 6.88
7 12.25 9.55 8.45 7.85 7.46 7.19 6.99 6.84 6.72 6.62 6.47 6.31 6.16 6.07 5.99 5.91 5.82 5.75 5.70 5.65
8 11.26 8.65 7.59 7.01 6.63 6.37 6.18 6.03 5.91 5.81 5.67 5.52 5.36 5.28 5.20 5.12 5.03 4.96 4.91 4.86
9 10.56 8.02 6.99 6.42 6.06 5.80 5.61 5.47 5.35 5.26 5.11 4.96 4.81 4.73 4.65 4.57 4.48 4.41 4.36 4.31
10 10.04 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39 5.20 5.06 4.94 4.85 4.71 4.56 4.41 4.33 4.25 4.17 4.08 4.01 3.96 3.91
11 9.65 7.21 6.22 5.67 5.32 5.07 4.89 4.74 4.63 4.54 4.40 4.25 4.10 4.02 3.94 3.86 3.78 3.71 3.66 3.60
12 9.33 6.93 5.95 5.41 5.06 4.82 4.64 4.50 4.39 4.30 4.16 4.01 3.86 3.78 3.70 3.62 3.54 3.47 3.41 3.36
13 9.07 6.70 5.74 5.21 4.86 4.62 4.44 4.30 4.19 4.10 3.96 3.82 3.66 3.59 3.51 3.43 3.34 3.27 3.22 3.17
14 8.86 6.51 5.56 5.04 4.69 4.46 4.28 4.14 4.03 3.94 3.80 3.66 3.51 3.43 3.35 3.27 3.18 3.11 3.06 3.00
15 8.68 6.36 5.42 4.89 4.56 4.32 4.14 4.00 3.89 3.80 3.67 3.52 3.37 3.29 3.21 3.13 3.05 2.98 2.92 2.87
16 8.53 6.23 5.29 4.77 4.44 4.20 4.03 3.89 3.78 3.69 3.55 3.41 3.26 3.18 3.10 3.02 2.93 2.86 2.81 2.75
17 8.40 6.11 5.18 4.67 4.34 4.10 3.93 3.79 3.68 3.59 3.46 3.31 3.16 3.08 3.00 2.92 2.83 2.76 2.71 2.65
18 8.29 6.01 5.09 4.58 4.25 4.01 3.84 3.71 3.60 3.51 3.37 3.23 3.08 3.00 2.92 2.84 2.75 2.68 2.62 2.57
19 8.18 5.93 5.01 4.50 4.17 3.94 3.77 3.63 3.52 3.43 3.30 3.15 3.00 2.92 2.84 2.76 2.67 2.60 2.55 2.49
20 8.10 5.85 4.94 4.43 4.10 3.87 3.70 3.56 3.46 3.37 3.23 3.09 2.94 2.86 2.78 2.69 2.61 2.54 2.48 2.42
21 8.02 5.78 4.87 4.37 4.04 3.81 3.64 3.51 3.40 3.31 3.17 3.03 2.88 2.80 2.72 2.64 2.55 2.48 2.42 2.36
22 7.95 5.72 4.82 4.31 3.99 3.76 3.59 3.45 3.35 3.26 3.12 2.98 2.83 2.75 2.67 2.58 2.50 2.42 2.36 2.31
23 7.88 5.66 4.76 4.26 3.94 3.71 3.54 3.41 3.30 3.21 3.07 2.93 2.78 2.70 2.62 2.54 2.45 2.37 2.32 2.26
24 7.82 5.61 4.72 4.22 3.90 3.67 3.50 3.36 3.26 3.17 3.03 2.89 2.74 2.66 2.58 2.49 2.40 2.33 2.27 2.21
25 7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.63 3.46 3.32 3.22 3.13 2.99 2.85 2.70 2.62 2.54 2.45 2.36 2.29 2.23 2.17
26 7.72 5.53 4.64 4.14 3.82 3.59 3.42 3.29 3.18 3.09 2.96 2.81 2.66 2.58 2.50 2.42 2.33 2.25 2.19 2.13
27 7.68 5.49 4.60 4.11 3.78 3.56 3.39 3.26 3.15 3.06 2.93 2.78 2.63 2.55 2.47 2.38 2.29 2.22 2.16 2.10
28 7.64 5.45 4.57 4.07 3.75 3.53 3.36 3.23 3.12 3.03 2.90 2.75 2.60 2.52 2.44 2.35 2.26 2.19 2.13 2.06
29 7.60 5.42 4.54 4.04 3.73 3.50 3.33 3.20 3.09 3.00 2.87 2.73 2.57 2.49 2.41 2.33 2.23 2.16 2.10 2.03
30 7.56 5.39 4.51 4.02 3.70 3.47 3.30 3.17 3.07 2.98 2.84 2.70 2.55 2.47 2.39 2.30 2.21 2.13 2.07 2.01
35 7.42 5.27 4.40 3.91 3.59 3.37 3.20 3.07 2.96 2.88 2.74 2.60 2.44 2.36 2.28 2.19 2.10 2.02 1.96 1.89
40 7.31 5.18 4.31 3.83 3.51 3.29 3.12 2.99 2.89 2.80 2.66 2.52 2.37 2.29 2.20 2.11 2.02 1.94 1.87 1.80
217
Tabela 4:Tablice F raspodele za: α= 0.010
f1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 100 200 #
f2
45 7.23 5.11 4.25 3.77 3.45 3.23 3.07 2.94 2.83 2.74 2.61 2.46 2.31 2.23 2.14 2.05 1.96 1.88 1.81 1.74
50 7.17 5.06 4.20 3.72 3.41 3.19 3.02 2.89 2.78 2.70 2.56 2.42 2.27 2.18 2.10 2.01 1.91 1.82 1.76 1.68
60 7.08 4.98 4.13 3.65 3.34 3.12 2.95 2.82 2.72 2.63 2.50 2.35 2.20 2.12 2.03 1.94 1.84 1.75 1.68 1.60
70 7.01 4.92 4.07 3.60 3.29 3.07 2.91 2.78 2.67 2.59 2.45 2.31 2.15 2.07 1.98 1.89 1.78 1.70 1.62 1.54
80 6.96 4.88 4.04 3.56 3.26 3.04 2.87 2.74 2.64 2.55 2.42 2.27 2.12 2.03 1.94 1.85 1.75 1.65 1.58 1.49
90 6.93 4.85 4.01 3.53 3.23 3.01 2.84 2.72 2.61 2.52 2.39 2.24 2.09 2.00 1.92 1.82 1.72 1.62 1.55 1.46
100 6.90 4.82 3.98 3.51 3.21 2.99 2.82 2.69 2.59 2.50 2.37 2.22 2.07 1.98 1.89 1.80 1.69 1.60 1.52 1.43
120 6.85 4.79 3.95 3.48 3.17 2.96 2.79 2.66 2.56 2.47 2.34 2.19 2.03 1.95 1.86 1.76 1.66 1.56 1.48 1.38
150 6.81 4.75 3.91 3.45 3.14 2.92 2.76 2.63 2.53 2.44 2.31 2.16 2.00 1.92 1.83 1.73 1.62 1.52 1.43 1.33
200 6.76 4.71 3.88 3.41 3.11 2.89 2.73 2.60 2.50 2.41 2.27 2.13 1.97 1.89 1.79 1.69 1.58 1.48 1.39 1.28
##
6.63 4.61 3.78 3.32 3.02 2.80 2.64 2.51 2.41 2.32 2.18 2.04 1.88 1.79 1.70 1.59 1.47 1.36 1.25
218
Tabela 4:Tablice F raspodele za: α= 0.005
f1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 100 200 #
f2
1
16210.
7
19999.
5
21614.
7
22499.
6
23055.
8
23437.
1
23714.
6
23925.
4
24091.
0
24224.
5
24426.
4
24630.
2
24836.
0
24939.
6
25043.
6
25148.
2
25253.
1
25337.
5
25400.
9
25464.
1
2 198.50 199.00 199.17 199.25 199.30 199.33 199.36 199.37 199.39 199.40 199.42 199.43 199.45 199.46 199.47 199.47 199.48 199.49 199.49 199.50
3 55.55 49.80 47.47 46.19 45.39 44.84 44.43 44.13 43.88 43.69 43.39 43.08 42.78 42.62 42.47 42.31 42.15 42.02 41.93 41.83
4 31.33 26.28 24.26 23.15 22.46 21.97 21.62 21.35 21.14 20.97 20.70 20.44 20.17 20.03 19.89 19.75 19.61 19.50 19.41 19.32
5 22.78 18.31 16.53 15.56 14.94 14.51 14.20 13.96 13.77 13.62 13.38 13.15 12.90 12.78 12.66 12.53 12.40 12.30 12.22 12.14
6 18.63 14.54 12.92 12.03 11.46 11.07 10.79 10.57 10.39 10.25 10.03 9.81 9.59 9.47 9.36 9.24 9.12 9.03 8.95 8.88
7 16.24 12.40 10.88 10.05 9.52 9.16 8.89 8.68 8.51 8.38 8.18 7.97 7.75 7.64 7.53 7.42 7.31 7.22 7.15 7.08
8 14.69 11.04 9.60 8.81 8.30 7.95 7.69 7.50 7.34 7.21 7.01 6.81 6.61 6.50 6.40 6.29 6.18 6.09 6.02 5.95
9 13.61 10.11 8.72 7.96 7.47 7.13 6.88 6.69 6.54 6.42 6.23 6.03 5.83 5.73 5.62 5.52 5.41 5.32 5.26 5.19
10 12.83 9.43 8.08 7.34 6.87 6.54 6.30 6.12 5.97 5.85 5.66 5.47 5.27 5.17 5.07 4.97 4.86 4.77 4.71 4.64
11 12.23 8.91 7.60 6.88 6.42 6.10 5.86 5.68 5.54 5.42 5.24 5.05 4.86 4.76 4.65 4.55 4.45 4.36 4.29 4.23
12 11.75 8.51 7.23 6.52 6.07 5.76 5.52 5.35 5.20 5.09 4.91 4.72 4.53 4.43 4.33 4.23 4.12 4.04 3.97 3.90
13 11.37 8.19 6.93 6.23 5.79 5.48 5.25 5.08 4.94 4.82 4.64 4.46 4.27 4.17 4.07 3.97 3.87 3.78 3.71 3.65
14 11.06 7.92 6.68 6.00 5.56 5.26 5.03 4.86 4.72 4.60 4.43 4.25 4.06 3.96 3.86 3.76 3.66 3.57 3.50 3.44
15 10.80 7.70 6.48 5.80 5.37 5.07 4.85 4.67 4.54 4.42 4.25 4.07 3.88 3.79 3.69 3.58 3.48 3.39 3.33 3.26
16 10.58 7.51 6.30 5.64 5.21 4.91 4.69 4.52 4.38 4.27 4.10 3.92 3.73 3.64 3.54 3.44 3.33 3.25 3.18 3.11
17 10.38 7.35 6.16 5.50 5.07 4.78 4.56 4.39 4.25 4.14 3.97 3.79 3.61 3.51 3.41 3.31 3.21 3.12 3.05 2.98
18 10.22 7.21 6.03 5.37 4.96 4.66 4.44 4.28 4.14 4.03 3.86 3.68 3.50 3.40 3.30 3.20 3.10 3.01 2.94 2.87
19 10.07 7.09 5.92 5.27 4.85 4.56 4.34 4.18 4.04 3.93 3.76 3.59 3.40 3.31 3.21 3.11 3.00 2.91 2.85 2.78
20 9.94 6.99 5.82 5.17 4.76 4.47 4.26 4.09 3.96 3.85 3.68 3.50 3.32 3.22 3.12 3.02 2.92 2.83 2.76 2.69
21 9.83 6.89 5.73 5.09 4.68 4.39 4.18 4.01 3.88 3.77 3.60 3.43 3.24 3.15 3.05 2.95 2.84 2.75 2.68 2.61
22 9.73 6.81 5.65 5.02 4.61 4.32 4.11 3.94 3.81 3.70 3.54 3.36 3.18 3.08 2.98 2.88 2.77 2.69 2.62 2.55
23 9.63 6.73 5.58 4.95 4.54 4.26 4.05 3.88 3.75 3.64 3.47 3.30 3.12 3.02 2.92 2.82 2.71 2.62 2.56 2.48
24 9.55 6.66 5.52 4.89 4.49 4.20 3.99 3.83 3.69 3.59 3.42 3.25 3.06 2.97 2.87 2.77 2.66 2.57 2.50 2.43
25 9.48 6.60 5.46 4.84 4.43 4.15 3.94 3.78 3.64 3.54 3.37 3.20 3.01 2.92 2.82 2.72 2.61 2.52 2.45 2.38
26 9.41 6.54 5.41 4.79 4.38 4.10 3.89 3.73 3.60 3.49 3.33 3.15 2.97 2.87 2.77 2.67 2.56 2.47 2.40 2.33
27 9.34 6.49 5.36 4.74 4.34 4.06 3.85 3.69 3.56 3.45 3.28 3.11 2.93 2.83 2.73 2.63 2.52 2.43 2.36 2.29
28 9.28 6.44 5.32 4.70 4.30 4.02 3.81 3.65 3.52 3.41 3.25 3.07 2.89 2.79 2.69 2.59 2.48 2.39 2.32 2.25
29 9.23 6.40 5.28 4.66 4.26 3.98 3.77 3.61 3.48 3.38 3.21 3.04 2.86 2.76 2.66 2.56 2.45 2.36 2.29 2.21
30 9.18 6.35 5.24 4.62 4.23 3.95 3.74 3.58 3.45 3.34 3.18 3.01 2.82 2.73 2.63 2.52 2.42 2.32 2.25 2.18
35 8.98 6.19 5.09 4.48 4.09 3.81 3.61 3.45 3.32 3.21 3.05 2.88 2.69 2.60 2.50
2.39 2.28 2.19 2.11 2.04
40 8.83 6.07 4.98 4.37 3.99 3.71 3.51 3.35 3.22 3.12 2.95 2.78 2.60 2.50 2.40 2.30 2.18 2.09 2.01 1.93
219
Tabela 4:Tablice F raspodele za: α= 0.005
f1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 100 200 #
f2
45 8.71 5.97 4.89 4.29 3.91 3.64 3.43 3.28 3.15 3.04 2.88 2.71 2.53 2.43 2.33 2.22 2.11 2.01 1.93 1.85
50 8.63 5.90 4.83 4.23 3.85 3.58 3.38 3.22 3.09 2.99 2.82 2.65 2.47 2.37 2.27 2.16 2.05 1.95 1.87 1.79
60 8.49 5.79 4.73 4.14 3.76 3.49 3.29 3.13 3.01 2.90 2.74 2.57 2.39 2.29 2.19 2.08 1.96 1.86 1.78 1.69
70 8.40 5.72 4.66 4.08 3.70 3.43 3.23 3.08 2.95 2.85 2.68 2.51 2.33 2.23 2.13 2.02 1.90 1.80 1.71 1.62
80 8.33 5.67 4.61 4.03 3.65 3.39 3.19 3.03 2.91 2.80 2.64 2.47 2.29 2.19 2.08 1.97 1.85 1.75 1.66 1.56
90 8.28 5.62 4.57 3.99 3.62 3.35 3.15 3.00 2.87 2.77 2.61 2.44 2.25 2.15 2.05 1.94 1.82 1.71 1.62 1.52
10
0 8.24 5.59 4.54 3.96 3.59 3.33 3.13 2.97 2.85 2.74 2.58 2.41 2.23 2.13 2.02 1.91 1.79 1.68 1.59 1.49
12
0 8.18 5.54 4.50 3.92 3.55 3.28 3.09 2.93 2.81 2.71 2.54 2.37 2.19 2.09 1.98 1.87 1.75 1.64 1.54 1.43
15
0 8.12 5.49 4.45 3.88 3.51 3.25 3.05 2.89 2.77 2.67 2.51 2.33 2.15 2.05 1.94 1.83 1.70 1.59 1.49 1.37
20
0 8.06 5.44 4.41 3.84 3.47 3.21 3.01 2.86 2.73 2.63 2.47 2.30 2.11 2.01 1.91 1.79 1.66 1.54 1.44 1.31
##
7.88 5.30 4.28 3.72 3.35 3.09 2.90 2.74 2.62 2.52 2.36 2.19 2.00 1.90 1.79 1.67 1.53 1.40 1.28
220
Funkcija rasporeda normiranog raspona
normalno raspoređenih rezultata merenja
n
wW
)1()n(n
XXw
n
w 2 3 4
n
w 2 3 4
n
w 2 3 4
0,00
05
10
15
20
0,
0000
0282
0564
0845
1125
0,
0000
0007
0028
0062
0110
0,
0000
0001
0004
0010
2,00
05
10
15
20
0,
8427
8528
8624
8716
8802
0,
6665
6845
7019
7187
7349
0,
5096
5317
5534
5748
5957
4,00
05
10
15
20
0,
9953
9958
9963
9967
9970
0,
9870
9883
9895
9906
9916
0,
9758
9782
9804
9824
9842
0,25
30
35
40
45
1403
1680
1955
2227
2497
0171
0245
0332
0431
0543
0020
0034
0053
0079
0111
2,25
30
35
40
45
8884
8961
9034
9103
9168
7505
7655
7799
7937
8069
6163
6363
6558
6748
6932
4,25
30
35
40
45
9974
9976
9979
9981
9984
9925
9933
9941
9947
9953
9859
9874
9887
9899
9910
0,50
55
60
65
70
2763
3027
3286
3542
3794
0666
0800
0944
1099
1263
0152
0200
0257
0323
0398
2,50
55
60
65
70
9229
9286
9340
9390
9438
8195
8315
8429
8537
8640
7110
7282
7448
7607
7759
4,50
55
60
65
70
9985
9987
9989
9990
9991
9958
9963
9967
9971
9974
9920
9929
9937
9944
9951
0,75
80
85
90
95
4041
4284
4522
4755
4983
1436
1616
1805
2000
2201
0483
0578
0682
0797
0922
2,75
80
85
90
95
9482
9523
9561
9567
9630
8737
8828
8915
8996
9073
7905
8045
8177
8304
8424
4,75
80
85
90
95
9992
9993
9994
9995
9995
9977
9980
9983
9985
9987
9956
9962
9966
9970
9974
1,00
05
10
15
20
5205
5422
5633
5839
6039
2407
2618
2833
3051
3272
1057
1201
1355
1517
1688
3,00
05
10
15
20
9661
9690
9716
9741
9763
9145
9212
9275
9334
9388
8537
8645
8746
8842
8931
5,00
05
10
15
20
9996
9996
9997
9997
9998
9988
9990
9991
9992
9993
9977
9980
9982
9985
9986
1,25
30
35
40
45
6232
6420
6602
6778
6948
3495
3719
3943
4168
4392
1868
2054
2248
2448
2654
3,25
30
35
40
45
9784
9804
9822
9838
9853
9439
9487
9531
9572
9609
9016
9095
9168
9237
9302
5,25
30
35
40
45
9998
9998
9998
9999
9999
9994
9995
9995
9996
9997
9988
9990
9991
9992
9993
1,50
55
60
65
70
7112
7269
7421
7567
7707
4614
4835
5053
5269
5481
2865
3080
3299
3521
3745
3,50
55
60
65
70
9867
9879
9891
9901
9911
9644
9677
9706
9734
9759
9361
9417
9468
9516
9559
5,50
55
60
65
70
9999
9999
9999
9999
9999
9997
9997
9998
9998
9998
9994
9995
9996
9996
9997
1,75
80
85
90
95
7841
7969
8092
8209
8321
5690
5894
6094
6290
6480
3971
4197
4423
4649
4874
3,75
80
85
90
95
9920
9928
9935
9942
9948
9782
9803
9822
9835
9856
9600
9637
9672
9703
9732
5,75
80
85
90
95
1,0000
9999
9999
9999
9999
9999
9997
9998
9998
9998
9998
2,00 8427 6665 5096 4,00 9953 9870 9758 ∞ 1 1 1
221
Kvantili normiranog raspona rezultata merenja, gde je standard
osnovnog rasporeda; matematičko očekivanje i standardno odstupanje u
jedinicama parametra .
n
v e r o v a t n o ć a p
0,95 0,99 0,999
2
3
4
5
1,12838
1,693
2,059
2,326
0,853
0,888
0,880
0,864
0,756
0,525
0,427
0,371
2,77
3,31
3,63
3,86
3,64
4,12
4,40
4,60
4,65
5,06
5,31
5,48
6
7
8
9
10
2,534
2,704
2,847
2,970
3,078
0,848
0,833
0,820
0,808
0,797
0,335
0,308
0,288
0,272
0,259
4,03
4,17
4,29
4,39
4,47
4,76
4,88
4,99
5,08
5,16
5,62
5,73
5,82
5,90
5,97
11
12
13
14
15
3,173
3,258
3,336
3,407
3,472
0,787
0,778
0,770
0,762
0,755
0,248
0,239
0,231
0,224
0,217
4,55
4,62
4,69
4,74
4,80
5,23
5,29
5,35
5,40
5,45
6,04
6,09
6,14
6,19
6,23
16
17
18
19
20
3,532
3,588
3,640
3,689
3,735
0,749
0,743
0,738
0,733
0,729
0,212
0,207
0,203
0,199
0,195
4,85
4,89
4,93
4,97
5,01
5,49
5,54
5,57
5,61
5,65
6,28
6,32
6,35
6,38
6,41
60
100
200
500
1000
4,639
5,015
5,492
6,073
6,483
Kvantili
pw
nwW
)W(M )W(
)W(M
n
)W(
n
)W(M
)W(
n
pw
222
DODATAK B – Opis nekih funkcija Microsoft Excel aplikacije
U okviru ovog dodatka prikazane su i objašnjene neke od operacija datih u okviru alatke
Data Analysis koja je sastavni deo aplikacije Microsoft Excel. Kao što i sam naziv kaže, ova
alatka pruža mogućnost analize podataka jednog ili više uzoraka. Alatka
Operacije koje se nalaze u okviru ove alatke pokreću se aktiviranjem Data Analysis prozora
(Data→Analysis→Data Analysis) pri čemu se otvara okvir za dijalog, gde treba odabrati
polje, odnosno operaciju, koja se želi primeniti i pritisnuti OK. Nakon toga otvara se novi
okvir za dijalog pokrenute operacije.
Descriptive Statistics
Alatkom Descriptive Statistics formira se tabela univarijantnih statistika kojima se opisuju
podaci, odnosno centralna tendencija i varijabilnost ulaznih podataka. Rezultati ovog
postupka su vrednosti, a ne formule. Okvir za dijalog koji koristi ova alatka prikazan je na
slici 1.
Slika 1. Dijalog prozor alatke Descriptive Statistics
U polju Input Range treba selektovati sve podatke čija se statistika želi prikazati. U
zavisnosti od toga da li su podaci grupisani po kolonama ili redovima bira se jedna od dve
opcije, Columns ili Rows. Naravno, bora se Columns ako su podaci raspoređeni po
kolonama, odnosno Rows ako su podaci raspoređeni po vrstama. U polju Input postoji još
jedna opcija koja može da utiče na krajnji izgled. Na primer, jedna dužina je merena sa tri
različita instrumenta i podaci tih merenja su grupisani po kolonama. Ako su u prvim
redovima kolona napomenuta imena instrumenata i ako označimo polje Labels in first row,
223
Excel će u kasnijem izveštaju tačno napomenuti koje statistike podataka kojem instrumentu
pripadaju.
U drugom delu okvira za dijalog, koji se naziva Output Options, sve je manje-više jasno.
Rezultate ove alatke moguće je prikazati na istom radnom listu (Output Range), na novom
radnom listu (New Worksheet Ply), ili pak u novoj radnoj svesci (New Workbook). Nakon
toga treba štiklirati polje Summary statistics. Opcije koje nemaju poseban značaj su Kth
Largest i Kth Smallest. Ako se potvrde ove dve opcije i unese rang podataka u odgovarajuće
polje, u rezultatu će se prikazivati najveća i najmanja vrednost podataka ranga koji je zadan.
Na primer, ako se potvrdi opcija Kth Largest i definiše vrednost 2, u rezultatu će biti
prikazana druga vrednost po veličini iz ulaznog skupa podataka.
Neka je jedna dužina merena 5 puta instrumentima tipa Sokkia, Topcon i Leica. Na slici broj
2 prikazan je izveštaj statistika kojom alatka Descriptive Statistics opisuje podatke.
Slika 2. Rezultati alatke Descriptive Statistics
Interval poverenja srednje vrednosti uzorka za željeni nivo poverenja se može odrediti
štikliranjem opcije Confidence Level for Mean u okviru dijalog prozora prikazanog na slici
1. Predefinisana vrednost poverenja je 95% ali se može menjati.
Anova
Alatka Anova nudi različitu vrstu analize varijanse. Analiza varijansi (Analysis of Variance)
predstavlja prošireni oblik analize dve varijanse, uključuje više srednjih vrednosti i
predstavlja specijalan slučaj regresije. Ova metoda se zasniva na upoređenju ukupne
varijanse i varijanse između uzoraka.
PRIMER 1: Dužina između dve tačke merena je u četiri serije. Na osnovu podataka merenja
koji su prikazani u tabeli broj 1 testirati hipotezu o međusobnoj statističkoj jednakosti ocena
srednjih vrednosti serija.
224
Tabela 1. Rezultati merenja dužine
.
Analysis ToolPack nudi tri opcije: Anova: Single Factor, Anova: Two-Factor With
Replication i Anova: Two-Factor Without Replication. Pošto je merena jedna ista dužina u
četiri serije, treba odabrati opciju Anova: Single Factor. Nakon toga otvara se okvir za
dijalog u kojem treba zadati opseg podataka (Input Range), naznačiti da li su podaci merenja
raspoređeni po kolonama ili vrstama (Columns/Rows), čekirati opciju Labels in first row ako
prvi red u koloni podataka označava ime uzorka, zadati nivo poverenja (Alpha) i mesto na
kojem korisnik želi da Excel prikaže statističku analizu (Output Range/New Worksheet/New
Workbook). Posle ovoga klikne se na dugme OK i Excel će prikazati izveštaj statističke
obrade na mestu koje je odabrano u prethodnom koraku. Izveštaj konkretnog primera 1
prikazan je na slici 3.
Slika 3. Rezultati alatke Anova:Single Factor
225
Sam izveštaj se sastoji iz dva dela. U prvom delu date su neke osnovne statistike. Tačnije,
za svaku grupu podataka predstavljena je njena veličina (Count), suma merenih veličina
(Sum), srednja vrednost (Average) i varijansa (Variance). Drugi deo tabele predstavlja
ključni segment za donošenje odluke o prihvatanju nulte, odnosno alternativne hipoteze. U
prve dve kolone predstavljeni su suma kvadrata (SS) i broj stepeni slobode (df). Vrednost za
SS koja je jednaka 70.80703 izračunata je primenom formule , dok je
vrednost za drugo SS određena primenom fromule.
Vrednost 23.60234 je varijansa dobijena iz odstupanja između uzoraka, a vrednost 0.424106
predstavlja ukupnu varijansu ocenjenu iz varijansi po uzorcima. Njihov količnik daje
vrednost testa F. F crit dobija se iz tablica Fišerove raspodele na osnovu zadatog nivoa
poverenja, broja stepeni slobode u brojiocu (3) i broja stepeni slobode u imeniocu (28). Na
osnovu male P vrednosti, koja predstavlja verovatnoću da će promenljiva imati vrednost
manju ili jednaku F za date stepene slobode (3 i 28), donosi se odluka o odbacivanju nulte
hipoteze, što znači da se srednja vrednost bar jednog uzorka značajno razlikuje od ostalih
srednjih vrednosti.
F-test Two-Sample for Variance
Pomoću ove alatke u okviru Analysis ToolPak-a mogu se porediti varijanse dva uzorka.
Rezultati ovog testa sastoje se od srednjih vrednosti i varijansi dva uzorka, vrednosti
statistike F, kritične vrednosti statistike F i nivoa značajnosti statistike F. Okvir za dijalog
treba popuniti na isti način kao i u prethodnim primerima, znači treba zadati rang
promenljivih, nivo poverenja i označiti mesto gde će Excel prikazati izveštaj. Na slici broj 4
prikazani su ulazni podaci i rezultati jednostranog testa.
Slika 4. Testiranje hipoteze o saglasnosti dve varijanse
K
i
iiXXn
1
2)(
226
Random Number Generator
Ova alatka se koristi prilikom formiranja proizvoljnog uzorka sastavljenog od slučajnih
brojeva koji mogu da pripadaju jednoj od nekoliko ponuđenih raspodela.
Dijalog prozor koji se otvori prilikom pokretanja ove alatke iz Data Analysis-a prikazan je
na slici 5.
Slika 5. Dijalog prozor alatke Random Number Generation
Parametar Number of Variables predstavlja broj slučajnih promenljivih (uzoraka) koje
želimo da obrazujemo, dok je parametar Number of Random Numbers predstavlja broj
elemenata slučajne promenljive (uzorka). Iz padajućeg menija ponuđenog u okviru
parametra Distribution postoji mogućnost odabira raspodele kojoj će formirane promenljive
pripadati.
Regression Regression alatka vrši linearnu regresionu analizu primenom MNK za povlačenje prave kroz
skup opažanja. Ona pruža mogućnost da se analizira kako zavisna promenljiva zavisi od
vrednosti jedne ili više nezavisnih promenljivih. Ova alatka za ove potrebe koristi funkciju
LINEST.
U okviru dijalog prozora prikazanog na slici 6 mogu se uočiti zahtevani parametri, kao i
izabrati rezultati koji će biti prikazani.
Kao ulazne parametre alatka zahteva Y i X vrednosti. Ukoliko se odabere mogu se prikazati
i sledeći parametri: Confidence Level, Residuals, Residual Plots, Standardized Residuals,
Line Fit Plots, Normal Probability Plots. U okviru dela prozora Output options neophodno
je izabrati mesto gde će se prikazati rezultati.
227
Slika 6. Dijalog prozor alatke Regression
U nastavku su prikazani rezultati dobijeni za koeficijente a i b za podatke prikazane u
primeru 8.1-2. Uočava se da su dobijeni identični rezultati, što je i bilo za očekivati s obzirom
da je primenjen isti metod. Takođe se može uočiti da ova alatka omogućuje analizu
značajnosti ocenjenih parametara i računa razliku između izmerenih i procenjenih vrednosti
zavisne promenljive Y.
Slika 7. Prikaz rezultata koje pruža Regression alatka
a b
228
SEMINARSKI RAD
1. Na osnovu datih rezultata šest serija merenja jedne fizičke veličine:
a. Nacrtati histogram frekvencija za svaki uzorak
b. Oceniti srednju vrednost pojedinog uzorka i svih merenja
c. Oceniti varijansu i standardno odstupanje pojedinog rezultata merenja i srednje
vrednosti po uzorcima
d. Odrediti modu i medijanu pojedinog uzorka
e. Odrediti raspon merenja pojedinog uzorka
f. Testirati rezultate merenja na prisutnost grube greške
g. Odrediti interval poverenja ocena srednje vrednosti svakog uzorka
h. Naći verovatnocu u procentima da rezultat merenja u seriji ___bude u granicama
intervala (srednja vrednost ±0,5)
i. Naci koliko sme biti odstupanje pojedinog rezultata od srednje vrednosti merenja u
seriji ___tako da samo 10% rezultata bude izvan intervala
j. Odrediti interval poverenja ocena varijansi svakog uzorka
k. Testirati homogenost datih serija merenja
l. Testirati saglasnost ocena varijansi pojedinog uzorka sa datom vrednošću: s2 =1
m. Testirati saglasnost raspodela rezultata merenja svih merenja sa normalnom
raspodelom
1 2 3 4 5 6
Uputstvo za simulaciju podataka:
Aktivirati program EXCEL
1. Tools
2. Data Analysis*
3. Random Number Generation
4. OK
5. Number of variables: 1
6. Number of Random Number:20
7. Distribution: Normal
8. Mean: Uneti broj grupe
9. Standard deviation: 1
10. Output range: Selektovati
kolonu sa 20 polja
11. Ponoviti postupak za svaki
sledeći uzorak
* Ukoliko nema opcije na spisku, uraditi
sledece:
U Tools meniju, izabrati Add-Ins. U Add-
Ins available listi, potvrditi Analysis
ToolPak, i izabrati OK.
229
2. Na osnovu podataka merenja uglova standardnim odstupanjem pojedinog merenja σ =
5“, u jednoj poligonskoj mreži u tri girusa (date su samo vrednosti sekundi):
a) oceniti rezultate merenja na prisutnost grubih grešaka na osnovu testa raspona, i
b) oceniti standardno odstupanje merenja ugla u jednom girusu i standardno odstupanje
srednje vrednosti merenja ugla u tri girusa.
Ugao 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Girus
1 10 23 31 11 45 35 11 43 56
2 13 16 24 16 46 39 15 41 45
3 15 27 16 09 32 32 19 49 42
3. Na osnovu datih podataka merenja visinkih razlika geometrijskim nivelmanom napred-
nazad:
a) Oceniti grešku zatvaranja poligona,
b) Za nivo poverenja 0.05 oceniti značajnost greške zatvaranja poligona ukoliko je greška
merenja srednje vrednosti visinske razlike jednaka 5 mm/km, i
c) Sa kojom preciznošću je neophodno meriti visinske razlike da dozvoljena vrednost
greške zatvaranja poligona pri verovatnoći od 95% ne bude veća od 2___12 mm.
od - do S[km] hij (m)
I - II 1.2 1.234
II - III 1.3 -1.34_
III - IV 0.6 2.46_
IV - V 0.7 2.121
V - VI 0.9 -3.11_
VI - I 1.1 -1.355
4. Odrediti tehničke karakteristike instrumenta sa kojim treba obeležiti objekat sa tačke A
, ako je projektnim zadatkom zahtevano da dozvoljena 95%. tolerancija tačnosti
obeležavanja položaja datih tačaka iznosi 2__13 mm. Približni podaci za obeležavanje
dati su u tabeli. Standardno odstupanje ocene položaja tačke A po obe ose iznosi 5 mm.
Pri donošenju odluke o izboru instrumenta primeniti princip jednakih uticaja.
Tačka Orijentisani
pravci (°)
Dužine
(m)
1 50 12__
2 52 11__
3 53 13__
12 Uneti broj grupe 13 Uneti broj grupe
1
2 3
A
X
Y
I
I I II
I
I
V V V
I
230
LITERATURA
1. Baarda,W.: Statistical Concepts in Geodesy, Netherlands Geodetic commission,
delft, 1967.
2. Bjerhammar, A.: Theory of Errors and Generalized Matrix Inverses, Elsevier
Science, New York, 1973.
3. Ghilani, C.D., Wolf, P.R.: Adjustment comutations, spatial data analysis, fourth
edition, John Wiley&Sons, inc., 2006.
4. Gerald, C., Wheatley, P.: Applied Numerical Analysis, Addison-Wesley, 1994.
5. Kreyszig, E.: Advanced engineering mathematics, John Wiley&Sons, inc.,
2006.
6. Lilley, D.G.: Numerical Methods, Stillwater, OK, 2002.
7. Mikhail, E., Ackerman, F.: Observations and Least Squares, University Press of
America, Washington, DC, 1976.
8. Nenadović, M. Matematička obrada podataka dobijenih merenjem, Srpska
akademija nauka i umetnosti, Odeljenje tehničkih nauka, knjiga 29, Beograd,
1988.
9. Huan, F.: Theory of errors and Least Squares Adjustment, Royal Institute of
Technology, Universitetsservice AB, 1997.
10. Perović, G.: Račun izravnanja 1, Teorija grešaka, Naučna knjiga, Beograd,
1988.
11. Seber, G.A.F.: Linear Regression Analysis, Wiley, New York, 1977.
