Uvod

U svakodnevnom životu, podjednako poslovnom i privatnom, okolina u kojoj djelujemo promjenjiva je i dinamična i u njoj susrećemo pojedince ili (interesne) grupe čije su aktivnosti i djelovanja u odlučivanju relevantna, a ponekad i presudna za naše odluke .

Uvod u teoriju igara

o Malo je vjerojatno da postoji netko tko nikada nije ušao u sportsku kladionicu da odigra „keca“ ili „dvojku“ ili igrao igre na sreću gdje „svaka dobiva“.

o “siguran par, dobitak garantiran“ – što se ustvari krije iza tih parova, tombole, lutrije i kladionice?

o Krije se nešto što je puno širi pojam od kladionice ili pobjede i poraza.

o Krije se znanost koja je utkana u sve sfere života. Krije se, običnim ljudima nepoznata, teorija igara.

Uvod u teoriju igara

o Teorija igara sadrži strategiju kao najsavršeniji pojam u igri.

o Što je to strategija koju primjenjuju igrači u igri? Tko su igrači? Što je igra?

o Igra je lijepa stvar, lijepo je biti igrač. Sjajno je biti strateg. Ali samo kad se radi o zabavi.

o Teorija igara je svuda oko nas. U svim područjima života služimo se različitim strategijama u interakciji s drugim ljudima, a teorija igara pomaže nam u analizama strateških problema u različitim okruženjima kao što su, primjerice, obiteljske svađe, međususjedski odnosi ili sporovi…

- Razvoj teorije igara

o Matematička disciplina koja se razvila sredinom 20. st.

o Davno prije formiranja teorije igara njezina ideja utjecala je na razne vojskovođe i njihove ratne strategije.

o Formalni začeci teorije igara pripisuju se Jamesu Waldegraveu, izumitelju kartaške igre Le Her koji je prvi puta predložio formu minmax – rješenja mješovite strategije igre za dvije osobe.

o Doprinos teoriji igara dali su matematičar John von Neumann i ekonomist Oskar Morgenstern kroz knjigu “Teorija igara i ekonomsko ponašanje” (Theory of Games and Economic Behavior)

o Prvi put se eksplicitno povezuje teorija igara s ekonomijom

o 1950. godine prvi put predstavljena igra poznata pod nazivom zatvorenikova dilema (Prisioner's Dillema)

o 1974. objavljena knjiga „Values of Non – Atomic Games“ koja se bavi vrijednostima u velikim igrama u kojima su pojedinačno svi igrači beznačajni

o Doprinos teoriji igara dao je i John Nash u svom radu: Non-cooperative games, Annals of Mathematics

o O Johnu Nashu je i snimljen biografski film: Genijalni um

Teorija igara

Analizira donošenje odluka u konfliktnim situacijama pri čemu svaki od sudionika u igri nastoji

promovirati vlastiti interes, poštujući pravila igre i koristeći različite strategije kako bi sebi osigurao

povoljan ishod igre.o Cilj odrediti ponašanje

sudionika koje je za njih najpovoljnije – optimalna strategija

o Zadatak pronalaženje rješenja u situacijama konkurencije u kojima se djelomično ili potpuno sukobljavaju interesi najmanje dva protivnika

- Teorija igara bavi se proučavanjem: - U terminologiji teorije

igara sljedeće situacije nisu igre:o Grupa

o Interakcija o Strategijao Razum

Primjer 1: Zajednička izrada seminarskog rada iz kolegija Menadžersko odlučivanje

o Jednostrana odlukao Preveliki utjecaj

- Temeljni pojmovi teorije igara:o Igrao Igračio Potezi (akcije)o Strategijao Ishodio Isplatao Racionalnosto Opće znanjeo Informacijska strukturao Ravnoteža

o Igra – sukob interesa između pojedinaca odnosno igrača. o Opis strateških interakcija te uključuje ograničenja za akcije i

interese igrača.o Skup pravila i dogovora po kojima se igrači ravnaju

o Grupa – u svakoj igri postoji nekoliko donositelja odluke koje se nazivaju igrači (najmanje dva)

o Strategija – izbori igrača koje oni imaju na raspolaganju u igri. Postoje dvije osnovne vrste, a to su čista i mješovita.

o Razum – svaki igrač bira za sebe najbolju moguću akciju

o Konačno stanje / rezultat – svaka pojedina realizacija igre

- Pitanja koja igrači imaju dok igraju igru su:

o Koje će poteze protivnički igrači odigrati?

o Kako će koji protivnik igrati?

o Koje će biti posljedice tog poteza te kako će one utjecati na cijelu grupu?

Izvor: Kopal, R., Korkut, D.: Teorija igara, Comminus i Visoka poslovna škola Libertas, Zagreb, 2011.

Igre vještine

o igrač ima potpunu kontrolu nad ishodima

o rješavanje križaljke,

o polaganje ispita,

o utrka na 100 metara i sl.

o Međutim, ove igre ne bi trebale biti klasificirane kao igre jer im nedostaje osnovni sastojak svih igara, a to je međuovisnost.

Igre na srećuo Igre protiv prirode s jednim igračem

o Igrač nema potpunu kontrolu nad ishodima

o Njihove strateške odluke ne vode nužno unaprijed određenim ishodima

o Ishodi u ovim igrama ovise dijelom o igračevu izboru, a dijelom o sreći, slučaju, „sudbini“

Igre na sreću

Razlikuju se:

o igre s rizikom i

o igre s nesigurnošću.

Igre s rizikom

Igrač može dodijeliti vjerojatnost svakom potezu prirode

Zna vjerojatnost mogućeg uspjeha svake od svojih strategija

Mogu se, na primjer, riješiti na temelju koncepta očekivane vrijednosti.

Igre s nesigurnošćuo Također, jedan igrač igra protiv prirode

o Potezima prirode igrač ne može dodijeliti vjerojatnosti

o Nesigurnost znači da nisu poznati ishodi ni vjerojatnosti pojedinih ishoda

o U takvim se okolnostima za rješavanje ovih igara predlažu tri principa :

o maxmax,o maxmin io minmax.

Strateške igre

o Igre s dva ili više igrača

o Svaki ima djelomičnu kontrolu nad ishodima

o Isključujući pri tome prirodu

o Ogleda se u postojanju značajnih interakcija među igračima.

Teorija igara u užem smislu

Bavi se situacijama koje imaju sljedeća svojstva:

o postoje minimalno dva igrača,

o igra počinje tako da jedan ili više igrača izaberu između određenih alternativa,

o nakon što je izbor pridružen prvom potezu, rezultat je određena situacija koja određuje tko vrši sljedeći izbor i koje su mu alternative „otvorene“,

o pravila igre određuju način ponašanja igrača,

o svaki potez u igri završava situacijom koja određuje isplatu svakog igrača.

Segmenti teorije igaraTri su osnovna segmenta raščlambe strateških igara:

1. Strateško okruženje :– Tko su igrači? (donositelji odluka)– Koje su raspoložive strategije? (moguće ili izvedive akcije)– Koje su isplate? (ishodi ili ciljevi)

o Igrači mogu biti pojedinci, skupine, organizacije ili u nekim slučajevima sama priroda.

o Strateško okruženje odnosi se na interakcije među igračimao Različiti igrači razmišljaju na sličan način o istim stvarima i u

isto vrijemeo Igrači osmišljavaju strategije koje vode različitim ishodima s

različitim pripadajućim isplatama.

Segmenti teorije igara

2. Pravila igre :

– Koji je vremenski okvir za donošenje odluka?– Kakva je priroda sukoba?– Kakva je priroda interakcije?– Koje su dostupne informacije?

o Pravila igre sadrže informacije o identitetu igrača, njihovu znanju o igri, mogućim potezima ili akcijama i njihovim isplatama.

o Pravila igre detaljno opisuju način na koji ponašanje jednog igrača utječe na isplate drugoga, ona predstavljaju opće znanje.

Segmenti teorije igara

3. Pretpostavke:

– Racionalnost– Opće znanje

o Racionalnost podrazumijeva da je svaki igrač motiviran maksimalizacijom vlastitih isplata

o Igrač je racionalan ako ima ispravno definirane ciljeve iz skupa mogućih ishoda i u postizanju tih ciljeva primjenjuje najbolju moguću strategiju

o Pravila igre detaljno opisuju način na koji ponašanje jednog igrača utječe na isplate drugoga, ona predstavljaju opće znanje.

o Imamo samo 2 igrača

o Jednopotezna igra

o Dobitak prvog igrača jednak je gubitku drugog igrača, i obrnuto → zbroj isplata je uvijek 0

o Igrači imaju konačan broj strategija (mogućnosti) za ponašanje u sukobu

o “par – nepar’’

o Pretpostavka je da se igra ponavlja

Igre sa sumom nula

o Imamo samo 2 igrača

o Jednopotezna igra

o Dobitak prvog igrača jednak je gubitku drugog igrača, i obrnuto → zbroj isplata je uvijek 0

o Igrači imaju konačan broj strategija (mogućnosti) za ponašanje u sukobu

o “par – nepar’’

o Pretpostavka je da se igra ponavlja

Igre sa sumom nula

Igra “pismo – glava”

Sudionici: igrač X i igrač Y

Jednopotezna igra (svaki igrač može povući samo jedan potez)

Mogućnosti: okrenuti novčanicu na stranu “glave” – strategija I ili “pisma” – strategija II

Ukoliko su oba igrača okrenuli “glavu” ili “pismo” pobjedinik je igrač X, a ukoliko je jedan igrač izabrao “glavu” a drugi “pismo” pobjednik je igrač Y

o prilikom okretanja novčića igrač X odabere strategiju I – odgovara prvi redak tablice) i o prilikom okretanja novčića igrač Y odabere strategiju I – odgovara prvi stupac tablice)

o tada igrač X dobiva 5 kuna, što označava broj 5 na presjeku prvog retka i prvog stupca tablice isplata.

Y

I II

X I + 5 – 5

II – 5 + 5

Y

I II

X I + 5 – 5

II – 5 + 5

o prilikom okretanja novčića igrač X odabere strategiju I – odgovara prvi redak tablice) i o prilikom okretanja novčića igrač Y odabere strategiju I – odgovara drugi stupac tablice)

o tada igrač X gubi 5 kuna, a igrač Y dobiva 5 kuna što označava broj – 5 na presjeku prvog retka i drugog stupca tablice isplata.

o U oba slučaja dobitak jednoga igrača jednak je gubitku drugoga igrača, pa je zbroj dobitaka oba igrača jednak nuli.

Igra “par – nepar”

Svaki igrač može korisniti jednu od strategija:

1.pokazati paran broj prstiju2.pokazati ne paran broj prstiju

Sa stajališta prvoga igrača svi mogući ishodi igre „par – nepar“ su:

ako pokažem paran broj, a protivnik također, dobivam dvije kune ako pokažem neparan broj, a protivnik također, dobivam dvije kune ako pokažem paran broj, a protivnik neparan, gubim dvije kune ako pokažem neparan broj, a protivnik paran, gubim dvije kune

- Igra sa sedlom

o Igrači izabiru različite strategije, te nastoje izabrati najbolje strategije kako bi maksimizirali svoj minimalni dobitak odnosno minimizirali svoj maksimalni gubitak.

o Striktno determinirane igre koje primjenjuju čistu strategiju.

o Koriste dva kriterija, a to su von Neumann-ov kriterij (minimax) i dominacija.

o U igri sudjeluju 2 igračao Igrači su suparnicio Pretpostavka je da su oba inteligentnao Igrač poštuje strategiju od protivnikao Igra se putem matrice plaćanjao Cilj je pronaći sedlastu točku

- Pravila igre sa sedlom

o zapisivanje u obliku tablice ili u obliku matrice

o redovi predstavljaju strategije igrača A, a stupci su strategije igrača B

o rezultat igre je srednji rezultat kojeg čine elementi matrice igrača A pri odgovarajućem paru strategija

o Matrica igre = matrica cijene = platežna matrica

o RJEŠENJE IGRE ≠ VRIJEDNOST IGRE

o Rješenje igre: potez prvog i potez drugog igrača

o Vrijednost igre: dobitak prvog igrača i gubitak drugog igrača

• Pozitivan predznak - dobitak prvog igrača, a gubitak drugog igrača

• Negativan predznak - prvi igrač je ostvario gubitak, a drugi dobitak.

- Svrha igreo da igrač A izabere strategiju koja će maksimizirati

njegov minimalni dobitak (maxmin), a da igrač B bira onu strategiju koja predstavlja minimum njegovog maksimalnog gubitka (minmax)

o maxmin ≤ minmax

• maxmin = donja vrijednost igre

• minmax = gornja vrijednost igre

o maxmin = minmax = vrijednost igre igra ima sedlastu točku

o igra može imati i više sedlastih točaka

o sedlasta točka ne mora biti optimalna strategija.

Igre sa sedlom (von Neumann-ov kriterij)

Druga tvrtka (Igrač B)

Prva tvrtka

(Igrač A)

Osijek Našice Đakovo Zagreb min

Osijek 50% 30% 20% 25% 20%

Našice 70% 50% 45% 40% 40%

Đakovo 80% 55% 50% 45% 45%

Zagreb 75% 60% 55% 50% 50%

max 80% 60% 55% 50%

Sedlo je 50% i to je vrijednost ove igre o Igrači igraju čistu strategiju

o Rješenje:o Pronalaženje minimalnog elementa svakog reda koji su

u ovom slučaju bili 20%, 40%, 45%, 50%, te utvrđivanje maksimalnog elementa svakog stupca, koji su u ovom primjeru iznosili 80%, 60%, 55%, 50%

o Pronalaženje najvećeg minimalnog elementa koji je u navedenom primjeru 50% , te najmanjeg maksimalnog elementa, koji iznosi također 50% .

o Zaključak: maksimum minimuma redova 50% je identičan minimumu maksimuma stupaca koji također iznosi 50% Vrijednost igre je 50%

Druga tvrtka (Igrač B)

Prva tvrtka

(Igrač A)

Osijek Našice Đakovo Zagreb min

Osijek 50% 25% 50% 75% 25%

Našice 75% 50% 40% 30% 30%

Đakovo 50% 60% 50% 20% 20%

Zagreb 25% 70% 80% 50% 25%

max 75% 70% 80% 75%

Ne postoji sedlo!

Mijenjamo matricu plaćanja:

Igre bez sedla

o Igrači igraju mješovitu strategiju koristimo Müller-Merbach-ovu metodu

1. Postavljamo funkciju cilja i restrikcije – primjer za igrača A

2. Simpleks metoda on želi maksimizirati svoj minimalni dobitak – V S varijablama x1, x2, x3 i x4 označavamo relativnu

učestalost izbora Osijeka, Našica, Đakova ili Zagreba kao potencijalne podružnice međunarodne tvrtke

D = V max – funkcija cilja (V je dobitak jednog, tj. gubitak drugog igrača, u ovom slučaju je V minimalni dobitak)

ax1 + cx2 V

bx1 + dx2 V

x1 + x2 = 1 (suma učestalosti svih varijabli odlučivanja je jednaka 1)

x1, x2 0

V – slobodna varijabla

 

Druga tvrtka (Igrač B)

Prva tvrtka

(Igrač A)

Osijek Našice Đakovo Zagreb min

Osijek 50% 25% 50% 75% 25%

Našice 75% 50% 40% 30% 30%

Đakovo 50% 60% 50% 20% 20%

Zagreb 25% 70% 80% 50% 25%

max 75% 70% 80% 75%

D = V max– 50x1 – 75x2 – 50x3 – 25x4 + v ≤ 0

– 25x1 – 50x2 – 60x3 – 70x4 + v ≤ 0

– 50x1 – 40x2 – 50x3 – 80x4 + v ≤ 0

– 75x1 – 30x2 – 20x3 – 50x4 + v ≤ 0

x1 + x2 + x3 + x4 = 1

x1,2,3,4 ≥ 0, V – slobodna varijabla  Simplex metoda

Igrač A

D = V max! 50x1 + 75x2 + 50x3 + 25x4 ≥ V / * (-1)

25x1 + 50x2 + 60x3 + 70x4 ≥ V / * (-1)

50x1 + 40x2 + 50x3 + 80x4 ≥ V / * (-1)

75x1 + 30x2 + 20x3 + 50x4 ≥ V / * (-1)

x1 + x2 + x3 + x4 = 1

x1,2,3,4 ≥ 0, V – slobodna varijabla

D = V min – funkcija cilja (V je dobitak jednog, tj. gubitak drugog igrača, u ovom slučaju je V maksimalni gubitak)

ay1 + by2 V

cy1 + dy2 V

y1 + y2 = 1 (suma učestalosti svih varijabli odlučivanja je jednaka 1)

y1, y2 0

V – slobodna varijabla 

Druga tvrtka (Igrač B)

Prva tvrtka

(Igrač A)

Osijek Našice Đakovo Zagreb min

Osijek 50% 25% 50% 75% 25%

Našice 75% 50% 40% 30% 30%

Đakovo 50% 60% 50% 20% 20%

Zagreb 25% 70% 80% 50% 25%

max 75% 70% 80% 75%

D = V max 50y1 + 25y2 + 50y3 + 75y4 ≤ V

75y1 + 50y2 + 40y3 + 30y4 ≤ V

50y1 + 60y2 + 50y3 + 20y4 ≤ V

25y1 + 70y2 + 80y3 + 50y4 ≤ V

y1 + y2 + y3+ y4 = 1

y1,2,3,4 ≥ 0, V – slobodna varijabla

  Simplex metoda

Igrač B

x1 x2 x3 x4 v slob. y1 y2 y3 y4 t5 D 1

-50 -75 -50 -25 1 1 0 0 0 0   0

-25 -50 -60 -70 1 0 1 0 0 0   0

-50 -40 -50 -80 1 0 0 1 0 0   0

-75 -30 -20 -50 1 0 0 0 1 0   0

1 1 1 1 0 0 0 0 0 1   1

0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 0

-50 -75 -50 -25 1 1 0 0 0 0   0

25 25 -10 -45 0 -1 1 0 0 0   0

0 35 0 -55 0 -1 0 1 0 0   0

-25 45 30 -25 0 -1 0 0 1 0   0

1 1 1 1 0 0 0 0 0 1   1

-50 -75 -50 -25 0 1 0 0 0 0 1 0

x1 x2 x3 x4 v slob. y1 y2 y3 y4 t5 D 1

25 0 25 50 1 1 0 0 0 75   75

0 0 -35 -70 0 -1 1 0 0 -25   -25

-35 0 -35 -90 0 -1 0 1 0 -35   -35

-70 0 -15 -70 0 -1 0 0 1 -45   -45

1 1 1 1 0 0 0 0 0 1   1

25 0 25 50 0 1 0 0 0 75 1 75

0 0 275/14 25 1 9/14 0 0 25/70 825/14 825/14

0 0 -35 -70 0 -1 1 0 0 -25 -25

0 0 -27,5 -55 0 -0,5 0 1 -0,5 -12,5 -12,5

1 0 3/14 1 0 1/70 0 0 -0,014 9/14 9/14

0 1 11/14 0 0 -0,014 0 0 1/70 5/14 5/14

0 0 275/14 25 0 9/14 0 0 5/14 825/14 1 825/14

x1 x2 x3 x4 v slob. y1 y2 y3 y4 t5 D 1

0 0 50/7 0 1 2/7 5/14 0 25/70 50 500 0 1/2 1 0 1/70 -0,014 0 0 5/14 5/140 0 0 0 0 2/7 -0,786 1 -0,5 50/7 50/71 0 -0,286 0 0 0 1/70 0 -0,014 2/7 2/70 1 11/14 0 0 -0,014 0 0 1/70 5/14 5/140 0 50/7 0 0 2/7 5/14 0 5/14 50 1 50

Rješenja: x1 = 2/7 y1 = 0

x2 = 5/14 y2 = 0

x3 = 0 y3 = 50/7

x4 = 5/14 y4 = 0

v = 50 t5 = 0

D = 50 max!D = V = 50

 

Iščitavamo rješenja za igrača B problemduala  y1 = 2/7 x1 = 0

y2 = 5/14 x2 = 0

y3 = 0 x3 = 50/7

y4 = 5/14 x4 = 0

D = 50 min! v = 0D = V = 50

 

Rješenja: x1 = 2/7 y1 = 0

x2 = 5/14 y2 = 0

x3 = 0 y3 = 50/7

x4 = 5/14 y4 = 0

v = 50 t5 = 0

D = 50 max!D = V = 50

Iščitavamo rješenja za igrača B problemduala  y1 = 2/7 x1 = 0

y2 = 5/14 x2 = 0

y3 = 0 x3 = 50/7

y4 = 5/14 x4 = 0

D = 50 min! v = 0D = V = 50

 

Zaključak:

o igrač A (prva tvrtka) u 2/7 (28%) slučajeva bira strategiju x1, tj. želi otvoriti predstavništvo u gradu Osijeku, o u 5/14 (36%) slučajeva želi predstavništvo smjestiti u Našicama, a tako i u Zagrebuo za strategiju x3 neće se odlučiti te neće predstavništvo smjestiti u grad Đakovo

o Primjenjujući ove strategije ostvarit će maksimalni dobitak od 50% osvojenog tržišta

IGRE PROTIV PRIRODE

o Priroda neracionalna pojava, koja ne vodi računa i nema interes za ishode igre

o Čovjek (Igrač) inteligentano Igra između prirode i čovjeka igrač igra svoju

najbolju strategiju i pri tome je posve indiferentan prema prirodi

o Različiti pristupi rješavanja (kriteriji): a) Laplace b) Hurwicz c) Savage

ZADATAK…

1. Međunarodna tvrtka, iz našeg prošlog primjera, odlučila je otvoriti predstavništvo svoje tvrtke u

Hrvatskoj, u gradu Zagrebu. Za otvaranje predstavništva, treba joj dodatnih financijskih

sredstava, te se ona odlučila na podizanje kredita. Ona ima mogućnost podići kredit u eurima, američkim dolarima i kunama. Prilikom

podizanja kredita zanima ju koja joj je mogućnost, odnosno strategija najbolja u optimalnom smislu, u slučajevima inflacije, deflacije i stabilnog stanja koji se mogu pojaviti u Hrvatskoj kao posljedica njenog i svjetskog gospodarstva i bankarstva te

funkcioniranja tržišta uopće.

Deflacija stabilno inflacija

€ 3 2 -1

kn 2 1 -3

$ 1 3 -2

Priroda

Igrač A (čovjek)

o Pretpostavka:

sve su vjerojatnosti jednake (nema ih četiri, nego samo jedna) pa nema razloga za preferenciju bilo koje opcije prirode

nakon izračunavanja izabire se red s najvećom vrijednosti pa je ta strategija optimalna strategija za igrača

LAPLACEOV KRITERIJ

A1=1/3*3+1/3*2+1/3*(-1)=4/3=1,33A2=1/3*2+1/3*1+1/3*(-3)=0A3=1/3*1+1/3*3+1/3*(-2)=2/3=0,67

optimalna strategija je A1 kredit u €

maxi [ 1/n*ai1 + 1/n*ai2+…+ 1/n*ain ]

Deflacija stabilno inflacija

€ 3 2 -1

kn 2 1 -3

$ 1 3 -2

HURWICZOV KRITERIJ

Optimizam igrača se izražava brojem α tako da je 0≤≤1 ako je dobiveni rezultat u nekoj od strategija bliže

jedinici- više nam je stalo do prirode, a ako je bliže nuli- manje nam je stalo do reakcije prirode

Hurwiczov kriterij uključuje maksimum u obliku specijalnog slučaja:

- potrebno je odabrati koeficijent optimizma - označen kao α pa se izračuna po formuli:

te odabrati red koji daje maksimalni iznos

α *(max. reda) + (1 - α)* (min. reda)

deflacija stabilno inflacija

€ 3 2 -1

kn 2 1 -3

$ 1 3 -2

A1=1/2*3+(1-1/2)*(-1)=1A2=1/2*2+(1-1/2)*(-3)=-1/2=-0,5A3=1/2*3+(1-1/2)*(-2)=1/2=0,5 

optimalna strategija je A1 kredit u €

SAVAGEOV KRITERIJ

matrica žaljenja1. Izračunamo matricu za svaku opciju i odabiremo onu

kod koje će maksimalno žaljenje za opcijom biti najmanje

2. Radimo redukciju matrice po stupcu tako da pronađemo najveći element svakog stupca i od njega oduzmemo sve ostale elemente stupca i njega samog od sebe

3. Pronalazimo najveći element svakog reda i minimalni od tih maksimalnih elemenata odabiremo kao optimalnu strategiju za igrača

3 2 -1

2 1 -3

1 3 -2

0 1 0 1

1 2 -2 2

2 0 -1 2

Kao i kod Laplace-ovog i Hurwiczovog kriterija, i Savagov kriterij nam daje isti odgovor optimalna strategija za međunarodnu tvrtku je A1

- Primjena teorije igarao u ekonomiji, o političkim znanostima,o operacijskim istraživanjima,o računarstvu,o sportu, o vojnoj strategiji, o te bilo kojem sustavu sa

određenim pravilima.

- Praktična primjena u poslovanju

o Cjenovna konkurencija - komplicirane sheme određivanja cijena

o Neprijateljsko preuzimanje poduzeća vs. prijateljsko spajanje

o Sprječavanje ulaska na tržište – npr. prijetnja sindikata štrajkom

- Primjena u društvenim znanostimaPravo

o radnoo zakonska regulativa vezana

uz zaštitu okolišao pregovaranje i parničenjeo ugovorno

Političke znanosti

o primjer terorizmao pravedna podjela,

politička ekonomija, teorija javnog izbora, pozitivna politička teorija, teorija društvenog izbora, sukobi i ratno pregovaranje i međunarodni odnosi

- Teorija igara u međunarodnoj ekonomijio strateška međuovisnosto stvaranje carinskih unija, pregovori o smanjenu

carina, korištenje resursa međunarodne zajedničke imovine, kartelski sporazumi i dr.

- Marketing – odlučivanje temeljeno na teoriji igreo Reklamiranje proizvoda – npr. konkurentska

“borba” kroz reklamnu kampanjuo Pogrešna odluka značajni gubici