Teorija Na Branovi

Dinamika na konstrukciite 1

2 TEORIJA NA BRANOVI 2.1 OSNOVNI POIMI Bran e periodi~na deformacija koja se [iri vo prostorot i vremeto. Branovite niz prostorot prenesuvaat energija bez protok na ~esti~ki od sredinata (t.e. ne postoi prenos na masa od mediumot niz koj se dviì branot), ~esti~kite na sredinata samo osciliraat okolu svoite ramnote`ni polo`bi. Mehani~kite branovi iziskuvaat prisustvo na sredina (medium koj na deformaciite reagira so elesti~na sila), za razlika od niv elektromagnetnite branovi se prostiraat i niz vakuum.

Slika 2.1 Rasprostirawe na bran

2.1.1 Sредина низ која се простираат бранови Sredinata so ~ie posredstvo se prenesuva branot moè da ima nekoja od slednite osobini: Homogena sredina - dokolku karakteristikite na sredinata se isti vo site

to~ki Izotropna sredina - dokolku nejzinite fizi~ki karakteristiki se ednakvi

nezavisno od pravecot na rasprostirawe

2 Teorija na branovi

2.1.1 Karakteristi~ni pojavi

Postojat golem broj na pojavi povrzani so rasprostiraweto na branovi:

Refleksija(odbivawe) - promena na nasokata na rasprostirawe na branovite kako rezultat na sudir so reflektira~ka povr[ina (nagla promena na sredinata)

Refrakcija (prekr[uvawe) - promena na pravecot na rasprostirawe na branovite kako rezultat na navleguvawe vo nova sredina.

Difrakcija (rasejuvawe) - kru`no [irewe na branovite pozadi prepreka koja se nao\a na pravecot na rasprostirawe na branovite niz sredinata

Interferencija (vzaemno vlijanie) - soedinuvawe na branovi koi ]e se najdat vo ista to~ka vo isto vreme

Disperzija (rasprskuvawe) - razlagawe na branovite spored frekfencijata, branovite dolìni ili energijata

2.1.2 Vidovi na branovi spored pravecot na oscilacii Longitudinalni branovi se branovi ~ii [to oscilacii se odvivaat vo

pravecot na rasprostirawe na branot, primer, zvu~ni branovi. Transverzalni branovi se branovi ~ii [to amplitudi se normalni na

pravecot na rasprostirawe na branot, primeri; bran na struna (ìca) i elektromagnetni branovi.

Polarizacija Kaj transverzalnite branovi, kako [to be[e pogore poso~eno, oscilaciite se slu~uvaat normalno na pravecot na rasprostirawe na branot, pa moàt da se odvivaat vo proizvolni pravci okolu pravata na dvièwe, takviot bran e nepolariziran bran. Za vreme na refleksijata na branot, nekoi pravci na oscilacii poslabo se reflektiraat taka [to branot posle serija od refleksii ima oscilacii samo vo edna ramnina. Na takov na~in se dobiva polariziran bran, a ramninata koja ja definiraat pravata na rasprostirawe na branot i linijata na oscilacii se narekuva ramnina na polarizacija. Dokolku pak branot se propu[ti niz ~etvrt-branova plo~ka, toga[ branot se deli na dve linearno polarizirani komponenti ~ii [to ramnini na polarizacija se ortoganalni. Osven toa, branovite se fazno pomesteni za 90o (za ~etvrtina branova dolìna, ottamu i imeto na plo~kata so koja toa se postignuva) pa so sobirawe na dve ortogonalni i fazno pomesteni oscilacii se dobiva rezultanten bran ~ija ramnina na polarizacija kruì so rasprostirawe na branot. Taka se dobiva cirkularno polariziran bran. Kruèweto moè da bide na desno ili na levo. Dokolku faznoto pomestuvawe na ortogonalnite komponenti ne e to~no ~etvrtina branova dolìna, toga[ se dobiva elipti~no polariziran bran. Polarizacijata, linearna ili cirkularna, ~esto se koristi vo optikata i elektrotehnikata.


2.1.3 Fizi~ki karakteristiki na branovite

So bran se pretstavuva proces koj e periodi~en i vo prostor i vo vreme, t.e. proces koj istovremeneo se odviva vo dva nezavisni domena. Vo prostorot se sledi promenata na pomestuvaweto (otklonot) so koordinata kako na Slika 2.2

Slika 2.2 Rasprostirawe na bran vo prostorot

i matemati~ki se formulira so sledniot ednostaven izraz:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += φλπψ z2cosAz (2.1)

kade: ψ - e pomestuvawe (otklon) na proizvolno izbrana to~ka z, A - e amplituda, φ - e faza i λ - e branova dolìna Od ravenkata (2.1) i Slikata 2.2 se gleda deka amplitudata pretstavuva najgolemo mo`no pomestuvawe, branovata dolìna rastojanie pome\u dva maksimuma, a faza go dava pomestuvaweto na proizvolno izbranata to~ka od koja se meri rastojanieto.

Slika 2.3 Rasprostirawe na bran vo vremeto


Toa zna~i deka dokolku vo eden moment go “snimime” branot, ]e ja dobieme slikata na negovoto rasprostirawe vo prostorot. Me\utoa branot e periodi~na pojava i vo vremeto pa ist na~in moè da vidime kako pomestuvaweto na branot vo izbranata to~ka se menuva vo tek na vreme. Taka se dobiva identi~na slika so Slika 2.2 so taa razlika [to sega na horizontalnata oska namesto rastojanie pretstaveno e vreme.

I matemati~kata ravenka so koja go opi[uvame branot vo vremeto e sli~na so ravenkata (2.1)

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += φπψ t

T2cosAt (2.2)

so edinstvena razlika [to namesto branova dolìna se javuva perioda, T. Toa zna~i deka periodata vo vremeto ja ima istata uloga kako i branovata dolìna vo prostorot. Periodata pokaùva kolku vreme pominuva pome\u dava sosedni maksimuma.

Me\utoa, ako sakame da gi sledime karakteristikite na branot istovremeno i vo prostorot i vo vremeto toga[ toa mora da se izrazi so ravenka od dvete promenlivi, pa so kombinirawe na ravenkite (2.1) i (2.2.) se dobiva ravenkata na ramninski bran

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= φ

λππψ z2

Tt2cosAz,t (2.3)

ili ( ) ( )φωψ +−= kztcosAz,t (2.4) kade A e amplituda i taa se smeta deka e nepromenliva, iako vo stvarnosta taa zavisi i od vremeto i od prostorot .

Opredeluvaweto na brzinata na branot moè da se ilustrira na sledniot na~in, dokolku go „javneme” branot sli~no kako [to toa bi go napravil surfer. Pomestuvaweto na surferot vo odnos na branot koj go „javnal”, bidej]i i toj se dviì so brzinata na branot, e konstantno ( ) .constz,t =ψ (2.5) Od ravenkite na branot se gleda deka toa se slu~uva koga

0z2T

t2=−

λππ

(2.6)

od kade sledi deka:

Tt

zv λ== ili f

kv λω

== (2.7)


toa zna~i deka brzinata na rasprostirawe na branot e ednakva na odnosot na branovata dolìna i periodata ili proizvodot na branovata dolìna i frekfencijata, t.e. branot za vreme od edna perioda pominuva pat koj e dnakov na edna branova dolìna. 2.1.4 Definirawe na branovite

Ednodimenzionalen ramninski bran, moè ednozna~no da se definira so ~etiri nezvisni osobini: branova dolìna, amplituda, perioda i faza. Postojat i drugi osobini koi moàt da se koristat za opi[uvawe na branot, na primer frekfencija (recipro~na vrednost na periodata) ili branov broj (recipro~na vrednost na branovata dolìna) idr. me\utoa za definirawe dovolni se ~etiri nezavisni parametri. Drugi veli~ni koi isto taka se koristat za definirawe na branot se i kru`nata frekfencija i branoviot broj k (ponekoga[ se koristi i branov vektor koj ima pravec na resprostirawe na branot i modul ednakov na vrednosta na branoviot broj). Ovie veli~ini gi zadovoluvaat slednite relacii:

k

2,2T πλωπ

== (2.8)

Amlitudata pretstavuva maksimalna vrednost na pomestuvaweto (otklonot) od ramnote`nata polo`ba vo tek na eden ciklus i se meri vo razli~ni edinici zavisno od vidot na branot. Taka na primer, bran na ìca ima amlituda izrazena vo dolìna (metar), zvu~niot bran se izrazuva kako pritisok (paskal) a kaj elektromagnetniot bran amplitudata ima dimenzija na elektri~no pole (volt/metar). Amplitudata moè da bide nepromenliva (i toga[ se narekuva konstanten bran) ili moè da se menuva vo vremeto i prostorot. Oblikot na promenata na amplitudata ja pretstavuva anvelopata na branot. Vrv e najvisokata to~ka na branot, dodeka dol e najniskata to~ka. Branovata dolìna e rastojanie pome\u dva sosdni vrva, kaj elektromagnetnite branovi se meri vo nanometri. 2.1.4 Vidovi branovi Stoe~ki branovi - branovi koi ne se dviàt vo prostorot, primer treperewe

na violinska ìca Dviè~ki branovi - branovi koi se dviàt vo prostorot i pretstavuvaat

deformacii koi se menuvaat dol` patekata z i vremeto t. Ovie branovi matemati~ki se opi[uvaat so ravenkata

( ) ( )φω +−= kztcost,zAy (2.9)

kade:

( )t,zA - pretstavuva amplituda na anvelopata na branot, k - e branoviot broj i φ - e faza.


2.1.5 Matemati~ka ravenka na branot

Ravenkata na branot e diferencijalna ravenka koja opi[uva harmoniski bran koj se prostira niz sredinata. Ravenkata ima pove]e oblici zavisno od toa kako se prostira branot i kakva e sredinata. Ravenkata na branot i samite branovi se odnesuvaat na sinusoidalni oscilacii. Me\utoa i pojavi koi ne se periodi~ni moàt da se tretiraat na sleden na~in, bidej]i sekoj neperiodi~en proces moè da se pretstavi so superpozicija na branovi so razli~ni branovi dolìni [to leì vo osnovata na Furievata analiza. Primer na nesinusoidalen bran e impulsot koj patuva vdol` jaè koe leì na zemja i na edniot kraj mu se prdizvika ednokratno pomestuvawe. Pri ednodimenzionalna analiza ravenkata na branot go ima sledniot oblik:

2

2

2

2

2 xtv1

∂∂

=∂∂ φφ

(2.10)

op[toto re[eni na ravenkata dadeno od Dalamber ( ) ( ) ( )tvxGtvxFt,x ++−=φ (2.11) pretsavuva oblik na dva impulsa koi se rasprostiraat vdol` ìca, F vo pravec +x i G vo pravec –x. 2.1.6 Primeri na branovi

Mehani~ki branovi vidlivi na povr[inata na vodata Elektromagnetni branovi, tuka spa\aat radio branov, mikro branovi,

ifracrveni branovi, ultravioletovi branovi, rentgenski i gama zraci (site ovie branovi niz vakuum se dviàt so brzina na svetlinata)

Zvu~ni ili akusti~ni branovi, toa se mehani~ki longitudinalni branovi koi se dviàt niz materijalna sredina

Zemjotresni ili seizmi~ki branovi, toa se mehani~ki branovi koi se dviàt vo zemjinata vnatre[nost i zemjinata kora


2.2 SEIZMI^KI BRANOVI Postojat dva vida na seizmi~ki branovi, dlabinski i povr[inski branovi. 2.2.1 Dlabinski seizmi~ki branovi

Dlabinski branovi se rasprostiraat (se dviàt) vo vnatre[nosta na Zemjinata topka. Tie gi sledat patekite na razli~nite gustini i moduli (na elasti~nost) na vnatre[nosta na Zemjata. Gustinata, pak, i modulite variraat vo zavisnost od temperaturata i sostavot na vnatre[nosta. Efektot koj se postignuva so toa e sli~en na refrakcijata na svetlosnite branovi. Dlabinskite branovi gi nosat prviot potres, kako i mnogu podocne`ni. Ima dva tipa na dlabinski branovi:

Primarni P branovi i

Sekundarni S branovi

2.2.1.1 P - dlabinski seizmi~ki branovi

P - dlabinski seizmi~ki branovi se longitudinalni ili branovi na pritisok, [to zna~i deka zemjata naizmeni~no se zbiva ili ras[iruva vo pravec na rasprostirawe na branot. Voglavnom vo karpi ovie branovi patuvaat skoro dvapati pobrzo od S branovite i moàt da se dviàt niz bilo kakov vid na materijal. Vo vozdu[na sredina ovie branovi imaat oblik na zvuk i se dviàt so brzina ednakva na brzinata na zvukot. Voobi~aeni brzini na ovie branovi se 330 m/sek. vo vozduh, 1450 m/sek. vo voda i okolu 5000 m/sek. vo granit. P branovite ponekoga[ se narekuvaat “primarni branovi”. Koga se generirani od zemjotres tie se pomalku destruktivni od S branovite i povr[inskite branovi koi gi sledat, bidej]i imaat pomali amplitudi. 2.2.1.2 S - dlabinski seizmi~ki branovi

S - dlabinski seizmi~ki branovi se transverzalni ili branovi na smolknuvawe, [to zna~i deka zemjenite ~esti~ki se pomestuvaat normalno na pravecot na rasprostirawe na branot. Vo slu~aj na horizontalno polarizirani S branovi zemjenite ~esti~ki se dviàt naizmeni~no od edna na druga strana. S branovite moàt da se dviàt samo niz cvrsti sredini bidej]i fluidite (te~nosti i gasovi) ne nosat napregawa na smolknuvawe. Nivnata brzina e okolu 60% od brzinata na P branovite vo istata sredina (materijal). S branovite ponekoga[ se narekuvaat “sekundarni branovi” i nivnite amplitudi se nekolku pati pogolemi od amplitidite na P branovite pri zemjotres.


Slika 2.4 Rasprostirawe na P- bran

Na Slika 2.4 dadeno e tridimenzionalen prikaz na rasprostirawe na elasti~en P- bran niz mreà koja go pretstavuva volumenot na materijalot. X i Y pravcite se paralelni na Zemjinata povr[ina, dodeka oskata Z odi vo pravec na dlabo~inata. T=0 do T=3 gi dava sukcesivnite momenti od vremeto. Branot koj se dviì pretstavuva pritisok (liniite od mreàta se zbivaat) posle koj sleduva pro[iruvawe (liniite od mreàta se ra[iruvaat). Dvièweto na ~esti~kite e vo pravec na dvièweto na branot. Posle pominuvawe na branot materijalot se vra]a vo prvobitnata polo`ba.


Slika 2.5 Rasprostirawe na S- bran


2.2.2 Povr[inski seizmi~ki branovi

Povr[inskite branovi se analogni na vodenite branovi i patuvaat neposredno pod povr[inata na Zemjinata kora. Tie se dviàt so pomala brzina od dlabinskite branovi. Poradi nivnata niska frekfencija, dolgo traewe i golemite amplitudi tie moàt da bidat najdestruktiven tip na seizmi~ki branovi. Ima dva tipa na povr[inski branovi:

Rayleigh-evi branovi i Love-evi branovi

2.2.2.1 Rayleigh -evi povr[inski seizmi~ki branovi

Rayleigh-evi povr[inski seizmi~ki branovi se dviàt kako povr[inskite branovi na voda. Postoeweto na ovoj tip na barnovi go predvidel John William Strutt, Lord Rayleigh, vo 1885 godina. Tie se pospori od dlabinskite branovi, grubo okolu 70% od brzinata na S branovite. Ovie branovi za vreme na zemjotres se vidlivi na otvoreno, kako nosa~ na avtomobili koi se dviàt nagore-nadole zaedno so branovite.

Slika 2.6 Rasprostirawe na Rayleigh- bran


2.2.2.2 Love -evi povr[inski seizmi~ki branovi

Love -evi povr[inski seizmi~ki branovi se povr[inski branovi koi predizvikuvaat horizontalno smolknuvawe na zemjata. Go dobile imeto spored A.E.H. Love, britanski matemati~ar koj definiral matemati~ki model na ovoj tip branovi 1911 godina. Tie obi~no se dviàt ne[to pobrzo od Rayleigh-evite branovi, okolu 90% od brzinata na S branovite.

Slika 2.7 Rasprostirawe na Love- bran

Documents

Teorija Na Branovi