Tesina svolta da:

Annalisa Volpe N50000281

Catello Staiano N50000285

Raffaele Sentiero N50000282

Simmetrie

Una simmetria di una figura geometrica è una trasformazione che lascia la figura invariata. Le simmetrie

permettono di conoscere la forma delle linee di campo e il campo elettrico ha determinate proprietà che

consentono di calcolare il flusso. Esaminiamone alcune che permettono la risoluzione di determinati

problemi di fisica:

1) Simmetria sferica: la figura è invariante per rotazione intorno ad un qualunque asse passante per il

centro.

Esempi :

-Carica puntiforme;

-sfera uniformemente carica , ρ = costante ;

- Superficie uniformemente carica di una sfera , σ = costante;

2) Simmetria assiale o cilindrica: la figura è invariante per rotazione intorno ad un asse ed invariante per

traslazione lungo lo stesso asse (asse z).

N.B.: Tale simmetria si riferisce ad oggetti illimitati, ma in fisica non possiamo avere a che fare con oggetti

illimitati. La distribuzione di carica può essere approssimata ad una distribuzione illimitata se la si guarda

abbastanza da vicino. Per i cilindri reali è possibile utilizzare quest’approssimazione quando i nostri calcoli

vengono eseguiti ad una distanza dal cilindro molto minore rispetto l’altezza del cilindro stesso.

Tesina di Fisica Generale II

Corso di laurea di scienza e ingegneria dei materiali 1° gruppo

Coordinatore Scotti di Uccio Umberto

Esempi :

- Filo, λ = costante;

- Cilindro pieno, ρ = costante ;

-Superficie, σ = costante;

3) Simmetria piana : la figura è invariante per traslazione, per riflessione e per rotazione attorno un asse

perpendicolare.

Esempi :

- piano carico;

- coppia di piani paralleli carichi;

Applicazioni del teorema di Gauss

Sfera metallica carica superficialmente

Abbiamo una sfera metallica di raggio a, con una distribuzione di carica superficiale uniforme σ. Come

ausilio di calcolo utilizziamo una superficie di Gauss ∑, scelta con regole vincolate alla simmetria del

problema. Adottiamo dunque una sfera concentrica a quella metallica avente raggio r.

1) Calcoliamo il campo elettrico nei punti esterni alla sfera (r > a)

Le linee di campo hanno direzione radiale per simmetria. Il vettore campo elettrico, quindi, è parallelo e

concorde al vettore normale ��.

Calcolo il flusso:

𝜙∑(�� ) = ∫ �� ∑

∙ �� d∑ = ∫ 𝐸∑

d∑ = 𝐸 ∫ 𝑑∑

∑ =𝐸4𝜋𝑟2

Il flusso è pari a 𝐸4𝜋𝑟2 in ogni problema a simmetria sferica.

Ricordiamo il teorema di Gauss : 𝜙∑(�� ) = 𝑄𝑖𝑛𝑡

𝜀0

Poiché tutte le cariche sono interne a ∑:

𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝑸𝒕𝒐𝒕

𝑄𝑡𝑜𝑡 = 4𝜋𝑎2𝜎

𝐸4𝜋𝑟2 = 𝑄𝑖𝑛𝑡

𝜀0

𝑬 = 𝑸

𝟒𝝅𝜺𝟎𝒓𝟐

Da questo risultato si evince che il campo elettrico generato dalla sfera metallica al suo esterno è uguale a

quello di una carica puntiforme posta nel centro

2) Calcoliamo il campo elettrico nei punti interni della sfera ( r < a)

Considero il flusso calcolato nel caso 1) essendo valido per ogni problema a simmetria sferica.

𝜙∑(�� ) = 𝐸4𝜋𝑟2

Poiché la carica si trova tutta all’esterno 𝑄𝑖𝑛𝑡 = 0 → 𝐸 = 0

Il grafico E(r) è discontinuo in r = a. La discontinuità non è eliminabile. Si può dimostrare che ciò accade

tutte le volte che compaiono distribuzioni di carica superficiali.

3) Determiniamo il potenziale elettrico in tutti i punti dello spazio.

Sappiamo che in generale vale: V(A) - V(B) =∫ �� 𝐵

𝐴 ∙ 𝑑𝑠

Scegliamo B come punto di riferimento mettendolo all’infinito, quindi V(A) =∫ �� 𝐵

𝐴 ∙ 𝑑𝑠

All’esterno il potenziale ha un andamento del tipo 1

𝑟 . All’interno il potenziale è costante perché, non

essendoci campo elettrico, non possono esserci differenze di potenziale. Ponendo A sulla superficie:

𝑉 = ∫ �� 𝐵

𝐴 ∙ 𝑑𝑠

Ci muoviamo lungo una linea di campo che ha direzione radiale, quindi �� ∙ 𝑑𝑠 = 𝐸 𝑑𝑟

𝑉 = ∫ �� 𝐵

𝐴 ∙ 𝑑𝑠 = 𝐸 ∫ 𝑑𝑟

𝐵

𝐴= 𝐸𝑎 =

𝐹𝐸

𝑞 𝑎 = 𝑘

𝑞2𝑎

𝑞𝑎2 = 𝑘

𝑞

𝑎

Calcolo del campo elettrico di una sfera metallica carica uniformemente

Consideriamo una distribuzione volumica di carica ρ uniforme all’interno di una sfera di raggio a. Scegliamo

una superficie gaussiana ∑ di raggio r.

1) calcoliamo il campo elettrico nei punti esterni alla sfera (r > a)

Tenendo conto del risultato dell’esercizio precedente 𝜙∑(�� ) = 𝐸4𝜋𝑟2

E per il teorema di Gauss 𝜙∑(�� ) = 𝑄𝑖𝑛𝑡

𝜀0

Per l’uguaglianza dei primi membri segue che i secondi membri sono uguali:

𝐸4𝜋𝑟2= 𝑄𝑖𝑛𝑡

𝜀0 → 𝐸 =

𝑄𝑖𝑛𝑡

4𝜋𝑟2𝜀0

Poiché ci troviamo all’esterno la carica interna è uguale alla carica totale: 𝑄𝑖𝑛𝑡 = 𝑄 → 𝐸 = 𝑄

4𝜋𝑟2𝜀0

2) Calcoliamo il campo elettrico nei punti interni alla sfera (r < a)

In questo caso la carica interna sarà uguale al prodotto tra la distribuzione di carica ρ e il volume di ∑.

𝑄𝑖𝑛𝑡 = ρ 4

3 𝜋𝑟3

Sostituiamo tale espressione nel teorema di Gauss : 4𝜋𝑟2𝐸 = ρ 4

3 𝜋𝑟3

𝜀0 → 𝐸=

ρr

3ε0

Dimostriamo che la funzione è continua : calcoliamo il limite destro e sinistro

- lim𝑟→a−

𝑓(𝑥) = lim𝑟→a−

ρr3𝜀0

= ρ

3𝜀0 a

- lim𝑟→a+

𝑓(𝑥) = lim𝑟→a+

ρr3𝜀0

= ρ

3𝜀0 a

Il limite destro e sinistro coincidono quindi la funzione è continua.

3) Calcoliamo il potenziale elettrostatico alla superficie della sfera

Scegliamo B come punto di riferimento mettendolo all’infinito, quindi V(A) =∫ �� 𝐵

𝐴 ∙ 𝑑𝑠 e ponendo A sulla

superficie allora :

𝑉 = ∫ �� 𝐵

𝐴 ∙ 𝑑𝑠 = 𝐸 ∫ 𝑑𝑟

𝐵

𝐴= 𝐸𝑎 =

𝐹𝐸

𝑞 𝑎 = 𝑘

𝑞2𝑎

𝑞𝑎2 = 𝑘

𝑞

𝑎

Il potenziale elettrostatico è sempre una funzione continua, perché è una funzione integrale. In questo caso

l’argomento dell’integrale, ovvero E, è continuo, dunque non vi è un punto angoloso.

Calcolo del campo elettrico in simmetria piana

Consideriamo una superficie piana con distribuzione di carica superficiale 𝜎. Per la simmetria del problema

in ciascun semispazio le linee di campo elettrico sono perpendicolari alla superficie. �� è uniforme.

Come superficie di comodo scegliamo un cilindro ∑ costituito a sua volta da tre superfici: la superficie

laterale ∑𝐿𝐴𝑇 e le superfici di base ∑1 e ∑2 tali che : ∑1= ∑2 e parallele al piano. Il flusso attraverso ∑ sarà

dato dalla somma dei flussi attraverso ∑1 , ∑2 e ∑𝐿𝐴𝑇

𝜙∑(�� ) = 𝜙∑1(�� ) + 𝜙∑2

(�� ) + 𝜙∑𝐿𝐴𝑇(�� )

𝜙∑𝐿𝐴𝑇(�� ) = 0 poiché le linee del campo elettrico corrono parallele alla superficie senza attraversarla, il che

implica che il vettore campo elettrico è perpendicolare al vettore normale di ∑𝐿𝐴𝑇

𝜙∑1(�� ) = 𝜙∑2

(�� ) in quanto ∑1= ∑2 e �� // ��

dunque: 𝜙∑(�� ) = 2𝜙∑1(�� ) = 2𝐸∑1

La carica interna è localizzata nell’intersezione tra la superficie di Gauss e il piano, quindi 𝑄𝑖𝑛𝑡 = 𝜎∑1 . Per il

teorema di Gauss : 2𝐸∑1= 𝜎∑1

𝜀0 → 𝐸=

𝜎

2𝜀0

Da questo risultato notiamo che E non dipende da nessun parametro geometrico, quindi �� è uniforme in

ciascun semispazio.

Calcolo di �� e V tra due piani paralleli

Consideriamo due piani paralleli con distribuzione di carica uniforme +𝜎 e –𝜎 uguale in valore assoluto.

Per il principio di sovrapposizione �� = 𝐸1 + 𝐸2

,

𝐸1 sarà il campo elettrico generato dalla distribuzione di carica positiva, mentre 𝐸2

sarà quello generato

dalla distribuzione di carica negativa. Il campo elettrico è orientato come in figura poiché le linee di campo

escono dalle cariche positive ed entrano in quelle negative. I due piani dividono lo spazio in tre regioni: due

esterne ed una interna. Nelle due regioni esterne il campo elettrico totale è nullo, in quanto 𝐸1 e 𝐸2

sono

paralleli e discordi, mentre nella regione interna 𝐸1 e 𝐸2

sono paralleli e concordi, dunque

�� = 2𝐸1 .

Scegliamo un asse z orientato verso il basso e perpendicolare ai piani. Poniamo l’origine O a metà tra i due

piani. In base al risultato precedente 𝐸 = 𝜎

𝜀0.

�� 2 è positivo e costante al centro mentre è nullo fuori .

Il campo elettrico va dal potenziale più alto a quello più basso. Chiamiamo d la distanza tra i due piani

equipotenziali. La differenza di potenziale V è data da : V = ∫ �� 𝐵

𝐴∙ 𝑑𝑠

Il campo elettrico è uniforme quindi: V = 𝐸 ∫ 𝑑𝑠𝐵

𝐴 = E ∙ d

Condensatore

1) Condensatori in parallelo

Due condensatori collegati come in figura costituiscono un collegamento in parallelo.

𝑉1 = 𝑉2 = 𝑉

𝑄1 + 𝑄2 = 𝑄

Poiché: 𝑄1 = 𝐶1𝑉 𝑄2 = 𝐶2𝑉 𝑄 = 𝐶𝑉

Si ha: 𝐶1𝑉 + 𝐶2𝑉 = 𝐶𝑉

𝐶 = 𝐶1 + 𝐶2

2) Condensatori in serie

Due condensatori collegati come in figura costituiscono in collegamento in serie

𝑄1 = 𝑄2 = 𝑄

𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2

𝑉1 = 𝑄1

𝐶1

𝑉2 = 𝑄2

𝐶2

Quindi: 𝑄

𝐶=

𝑄1

𝐶1+

𝑄2

𝐶2

1

𝐶=

1

𝐶1+

1

𝐶2

-Esercizio sui condensatori in un circuito-

Trovare la capacità equivalente tra a e b per la combinazione di condensatori in figura(a).

Riduciamo la combinazione per passi successivi come in figura. I due condensatori in parallelo 𝐶21 e 𝐶22 si

combinano secondo 𝐶2 𝑒𝑞 = 𝐶21 + 𝐶22. Analogamente i condensatori 𝐶31 e 𝐶32, anch’essi in parallelo ,

hanno una capacità equivalente 𝐶3 𝑒𝑞 = 𝐶31 + 𝐶32.

Il ramo superiore in figura (b) consiste di due condensatori 𝐶1 e 𝐶2 𝑒𝑞 in serie che si combinano secondo:

1

𝐶12 𝑒𝑞

=1

𝐶1+

1

𝐶2 𝑒𝑞

Analogamente il ramo inferiore in figura (b) consiste di due condensatori 𝐶3 𝑒𝑞 e 𝐶4 in serie che danno una

capacità equivalente 1

𝐶34 𝑒𝑞=

1

𝐶3 𝑒𝑞+

1

𝐶4. Infine i due condensatori 𝐶12 𝑒𝑞 e 𝐶34 𝑒𝑞 in figura(c) sono in

parallelo e hanno una capacità equivalente come mostrato in figura (d)

Esercizio

Calcolare l’area di un condensatore a facce piane e parallele conoscendo la distanza tra i due piani d, il

potenziale elettrostatico Ve la carica q.

𝑉0 = 1 V; d = 10 mm; q = 100 e.

𝑉0 = 𝐸𝑑

Da cui: 𝐸 = 𝑉0

𝑑

𝐶12 𝑒𝑞 + 𝐶34 𝑒𝑞

𝑉0

𝐸 = 𝜎

𝜀0 =

𝑞

𝐴𝜀0

𝑉0

𝑑=

𝑞

𝐴𝜀0

𝐴 = 𝑞𝑑

𝜀0𝑉0

𝐴 = 100𝑒 ∙ 0,01𝑚

1𝑉 ∙ 8,8 10−12𝐹𝑚−1 = 1,82 ∙ 10−8 𝑚2

Condensatore sferico

Un condensatore sferico è costituito da due sfere concentriche di raggi a e b tali che a < b e con carica 𝑄

sull’armature. La sfera di raggio b è cava e contiene al suo interno la sfera di raggio a. Consideriamo una

superficie sferica ∑ concentrica alle armature, di raggio r tale che a < r < b. Applichiamo il teorema di Gauss

𝜙∑(�� ) = 𝑄

𝜀0

Poiché: 𝜙∑(�� ) = 𝐸∑

𝑄

𝜀0 = 𝐸∑

𝑄 = 𝐸𝜀0∑ = 𝐸𝜀04𝜋𝑟2

𝐸 = 𝑄

4𝜋𝜀𝑜𝑟2

Per quanto riguarda la differenza di potenziale:

𝑉 = ∫ �� 𝐵

𝐴 ∙ 𝑑𝑠

Ci muoviamo lungo una linea di campo che ha direzione radiale, quindi �� ∙ 𝑑𝑠 = 𝐸 𝑑𝑟

𝑉 = ∫ 𝐸𝑏

𝑎

𝑑𝑟 =𝑄

4𝜋𝜀0 ∫

𝑑𝑟

𝑟2

𝑏

𝑎

= 𝑄

4𝜋𝜀0( 1

𝑎−

1

𝑏) =

𝑄

4𝜋𝜀0 𝑏 − 𝑎

𝑎𝑏

La capacità:

𝐶 =𝑄

𝑉= 4𝜋𝜀0

𝑎𝑏

𝑏 − 𝑎

Esercizio

Alcuni processi che avvengono sulla superficie terrestre e nell'atmosfera generano una distribuzione di

cariche negativa sulla superficie della Terra stessa e positiva nell'atmosfera. Possiamo assimilare il

sistema Terra-atmosfera come un condensatore sferico.

1) Dopo aver fatto queste affermazioni calcolare la capacità della Terra acquisendo come seconda

armatura la ionosfera.

𝑅𝑇 = Raggio della Terra = 6,4 ∙ 103𝑘𝑚

ℎ = altezza ionosfera = 200𝑘𝑚

Il potenziale in un punto A sulla superficie terreste è pari a : 𝑉𝐴 = 𝑘𝑄

𝑟

La differenza di potenziale delle armature :

𝑉 = 𝑄

4𝜋𝜀0(

1

𝑟𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒−

1

𝑟𝑖𝑜𝑛𝑜𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎) =

𝑄

4𝜋𝜀0 (

1

𝑅𝑇−

1

𝑅𝑇+ℎ) =

𝑄

4𝜋𝜀0 (

ℎ

𝑅𝑇(𝑅𝑇+ℎ))

𝐶 = 𝑄

𝑉 =

𝑄

𝑄

4𝜋𝜀0[

ℎ

𝑅𝑇(𝑅𝑇+ℎ)] =

4𝜋𝜀0𝑅𝑇(𝑅𝑇+ℎ)

ℎ

sostituendo i valori numerici:

𝐶 =4𝜋𝜀0𝑅𝑇(𝑅𝑇 + ℎ)

ℎ=

=4𝜋(8,85 ∙ 10−12 𝐶2 𝑁 ∙ 𝑚2⁄ )(6,4 ∙ 103𝑘𝑚)(6,4 ∙ 103𝑘𝑚 + 200𝑘𝑚)

200𝑘𝑚∙ (

1000𝑚

1𝑘𝑚) ≈ 0,02𝐹

2) Consideriamo h infinitamente grande e calcoliamo la capacità della Terra per tale h.

Calcoliamo il seguente limite:

limℎ→+∞

4𝜋𝜀0𝑅𝑇(𝑅𝑇 + ℎ)

ℎ= lim

ℎ→+∞

4𝜋𝜀0𝑅𝑇ℎ + 4𝜋𝜀0𝑅𝑇2

ℎ= 4𝜋𝜀0𝑅𝑇 = 7,11 ∙ 10−4𝐹