TESIS ANALISIS KEMAMPUAN MEMODELKAN MAHASISWA …repository.usd.ac.id/37202/2/181442005_full.pdf · tesis analisis kemampuan memodelkan mahasiswa pendidikan matematika semester iv

TESIS

ANALISIS KEMAMPUAN MEMODELKAN MAHASISWA PENDIDIKAN

MATEMATIKA SEMESTER IV UNIVERSITAS SANATA DHARMA PADA

MATERI PROGRAM LINEAR MELALUI PEMBELAJARAN DENGAN

PENDEKATAN PENDIDIKAN MATEMATIKA REALISTIK (PMR)

Analysis of The Modeling Ability of Mathematics Education Students in the 4th

Semester of Sanata Dharma University on Linear Program Material Through

Learning with a Realistic Mathematics Education (RME) Approach

ANANSI SABU JAGHU RENGGI

181442005

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM MAGISTER

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2020

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

i

TESIS

ANALISIS KEMAMPUAN MEMODELKAN MAHASISWA PENDIDIKAN

MATEMATIKA SEMESTER IV UNIVERSITAS SANATA DHARMA PADA

MATERI PROGRAM LINEAR MELALUI PEMBELAJARAN DENGAN

PENDEKATAN PENDIDIKAN MATEMATIKA REALISTIK (PMR)

Analysis of The Modeling Ability of Mathematics Education Students in the 4th

Semester of Sanata Dharma University on Linear Program Material Through

Learning with a Realistic Mathematics Education (RME) Approach

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Derajat

Magister Pendidikan pada Program Magister Pendidikan Matematika

ANANSI SABU JAGHU RENGGI

181442005

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM MAGISTER

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2020


ii


iii


iv

HALAMAN PERSEMBAHAN

“Tiada waktu yang lebih indah selain waktu yang diberikan Tuhan”

(Penulis)

“Diberkatilah orang yang mengAndalkan Tuhan, yang menaruh harapannya pada

Tuhan “

(Yeremia, 17:7)

Dengan penuh syukur dan bangga tesis ini saya persembahkan kepada:

Tuhan Yang Maha Esa

Kedua orang tua, bapak Barnabas Bego dan mama Firmina Levi

Bapak mama besar, bapak Kosmas Renggi (alm) dan mama Yuspita Pia

Nenek tercinta Agnes Sabu dan Martina Ule

Adik-adik tersayang

Sahabat-sahabatku

Kelarga besar SEKOSODO

Almamater tercinta Universitas Sanata Dharma


v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Dengan ini saya menyatakan bahwa Tesis ini tidak terdapat karya yang pernah

diajukan untuk memperolehgelah Ahli Madya/Kesarjanaan di suatu Perguruan

Tinggi,dan sepanjang pengetahuan saya juga tidak terdapat karya ataupun pendapat

yang pernah ditukis atau diterbitkan oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis

diacu dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka.

Yogyakarta, 12 Juni 2020

Anansi Sabu Jaghu Renggi


vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ILMIAH

UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama : Anansi Sabu Jaghu Renggi

NIM : 181442005

Demi perkembangan pengetahuan, saya memberikan kepada perpustakaan

Universitas Sanata Dharma karya Ilmiah saya yang berjudul:

“Analisis Kemampuan Memodelkan Mahasiswa Pendidikan Matematika

Semester IV Universitas Sanata Dharma Pada Materi Program Linear

Melalui Pembelajaran Dengan Pendekatan Pendidikan Matematika Realistik

(PMR)”

Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata

Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain,

mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas dan

mempublikasikan di Internet atau media lain untuk keperluan akademis tanpa

meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap

mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta,

Pada tanggal 12 Juni 2020



vii

KATA PENGANTAR

Puji syukur dan terima kasih kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena atas berkat dan

bimbingan-Nya penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul “Analisis

Kemampuan Memodelkan Mahasiswa Pendidikan Matematika Semester IV

Universitas Sanata Dharma Pada Materi Program Linear Melalui

Pembelajaran Dengan Pendekatan Pendidikan Matematika Realistik (PMR)”

ini dengan baik. Tesis ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat untuk

memperoleh gelar Magister pada Program Studi Pendidikan Matematika.

Penulis menyadari bahwa dalam penulisan tesis ini penulis mendapatkan banyak

bimbingan dan dorongan dari banyak pihak yang bersifat langsung maupun tidak

langsung. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih

kepada:

1. Bapak Dr. Yohanes Harsoyo, S.Pd., M.Si. selaku Dekan Fakultas Keguruan

dan Ilmu Pendidikan

2. Bapak Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd. selaku Ketua Program Studi

Magister Pendidikan Matematika

3. Bapak Dr. Hongki Julie, M.Si. selaku dosen pembimbing tesis yang telah

menyediakan waktu, tenaga, dan pikiran untuk memberikan bimbingan,

semangat dan motivasi kepada penulis

4. Ibu Cyrenia Novella Krisnamurti, M.Sc. selaku dosen pengampuh mata kuliah

program linear yang telah mengijinkan penulis untuk melakukan penelitian di

kelas program linear yang diampuh Beliau


viii

5. Segenap dosen Magister Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma

Yogyakarta yang telah memberikan dukungan, ilmu, dan pengetahuan yang

sangat bermanfaat bagi penulis

6. Segenap staf sekretariat JPMIPA yang telah memberikan pelayanan akademik

secara prima dan penuh kesabaran

7. Mahasiswa-mahasiswi semester IV kelas B dan kelas C program studi

Pendidikan matematika Universitas Sanata Dharma yang telah memberikan

partisipasi dan Kerjasama dalam membantu pelaksanaan penelitian

8. Kedua orangtua bapak Barnabas Bego, mama Firmina Levi dan adik-adik

tercinta (Stefan, Eklis, Endi, Yofran, Carles, Elvis, Renol) beserta seluruh

keluarga besar SEKOSODO yang selalu memberikan dukungan, kasih sayang

dan doa serta semangat sehingga penulis bisa menyelesaikan studi dan tesis ini

9. Kakak tersayang Riki Sanger dan sahabat-sahabat tersayang Rakat PMAT

2013 (Vinny, Yuna, Mensi, Geni, Frins, Sri, Ria), Nisa Tonjing, Kamelia,

Jeverson yang telah memberikan saran dan dukungan kepada penulis

10. Teman-teman Magister Pendidikan Matematika Angkatan 2018/2019 yang

menjadi teman seperjuangan penulis dalam melaksanakan studi di Universitas

Sanata Dharma

11. Semua pihak yang telah membantu dan mendukung dalam menyusun tesis ini

yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.

Penulis menyadari bahwa tesis ini jauh dari sempurna, oleh karena itu penulis

mengahrapkan kritik dna saran yang membangun guna melengkapi kekurangan dari


ix

penulisan tesis ini. Akhir kata penulis mengucapkan terimakasih dan berharap agar

tesis ini dapat memberikan manfaat bagi pembaca.

Yogyakarta, 12 Juni 2020

Penulis



x

ABSTRAK

Renggi, Anansi Sabu Jaghu. 2020. Analisis Kemampuan Memodelkan

Mahasiswa Pendidikan Matematika Semester IV Universitas Sanata Dharma

Pada Materi Program Linear Melalui Pembelajaran Dengan Pendekatan

Pendidikan Matematika Realistik (PMR). Tesis. Program Studi Magister

Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas

Sanata Dharma, Yogyakarta.

Penelitian ini bertujuan untuk (1) mendeskripsikan langkah–langkah

merancang dan membelajarkan materi program linear dengan menggunakan

pendekatan Pendidikan Matematika Realistik dan (2) mendeskripsikan kemampuan

memodelkan mahasiswa setelah mengalami proses pembelajaran dengan

menggunakan pendekatan Pendidikan Matematika Realistik. Jenis penelitian yang

digunakan adalah Penelitian Desain dimana peneliti mendesain Hypothetical

Learning Trajectory (HLT) untuk membelajarkan materi program linear dengan

menggunakan pendekatan Pendidikan Matematika Realistik. Subjek penelitian

adalah mahasiswa pendidikan matematika semester IV universitas Sanata Dharma.

Metode pengumpulan data yang digunakan adalah catatan harian, dokumentasi, tes

tertulis, dan wawancara. Instrumen pengumpulan data yang digunakan adalah

lembar tes tertulis, pedoman wawancara, dan alat dokumentasi. Teknik analisis data

yang digunakan adalah reduksi data, penyajian data, dan penarikan kesimpulan.

Peneliti menghasilkan rancangan lintasan belajar menggunakan pendekatan

PMR berdasarkan lima karakateristik PMR untuk materi program linear yang telah

diujicobakan pada satu kelas sebanyak tiga pertemuan dan direvisi untuk diterapkan

pada kelas penelitian. Hasil penelitian menunjukkan bahwa (1) langkah–langkah

membelajarkan materi program linear dengan menggunakan pendekatan

Pendidikan Matematika Realistik sebagai berikut (a) penggunaan konteks dapat

dilihat pada pertemuan pertama diberikan tiga masalah kontekstual yang

diekplorasi sedangkan pada pertemuan kedua dan pertemuan ketiga masing-masing

diberikan satu masalah kontekstual yang dieksplorasi; (b) penggunaan model untuk

matematisasi progresif dapat dilihat pada pertemuan pertama dan kedua saat

mahasiswa merepresentasikan masalah kontekstual ke dalam model matematika

dan saat mahasiswa menggambarkan penyelesaian model matematika yang sudah

dibuat. Pada pertemuan ketiga penggunaan model untuk matematisasi progresif

dapat dilihat saat mahasiswa menyelesaikan masalah yang diberikan menggunakan

metode garis selidik; (c) pemanfaatan hasil konstruksi siswa dapat dilihat bahwa

hasil konstruksi mahasiswa yang ditemukan mahasiswa pada pertemuan pertama

digunakan mahasiswa untuk menyelesaikan masalah pada pertemuan kedua

sedangkan hasil kontruksi mahasiswa pada pertemuan kedua digunakan mahasiswa

untuk menyelesaikan masalah pada pertemuan ketiga; (d) interaktivitas dapat

dilihat pada tiga pertemuan terjadi interaksi antara peneliti dan beberapa mahasiswa

dalam kelompok diskusi, interaksi antara peneliti dan semua mahasiswa dalam

kelas serta antar mahasiswa baik dalam kelompok diskusi maupun dalam kelas

sehingga mahasiswa dapat mengkonstruksi pengetahuannya; (e) keterkaitan dapat


xi

dilihat saat mahasiswa menggunakan konsep pertidaksamaan linear dua variabel

dan daerah penyelesaiannya yang ditemukan pada pertemuan pertama digunakan

untuk membantu mahasiswa menemukan konsep penyelesaian masalah program

linear menggunakan metode garis selidik yang kemudian konsep tersebut

digunakan mahasiswa menyelesaikan masalah pada pertemuan ketiga. (2)

Kemampuan memodelkan mahasiswa setelah mengalami proses pembelajaran

dengan menggunakan pendekatan Pendidikan Matematika Realistik adalah untuk

tes tertulis I dan tes tertulis II semua mahasiswa berada pada kemampuan

memodelkan level formal. Pada tes tertulis I, semua mahasiswa memenuhi kelima

indikator kemampuan memodelkan pada level formal yaitu (a) mahasiswa mampu

membuat pemisalan terhadap objek dari masalah yang diberikan ke dalam variabel;

(b) mahasiswa mampu membentuk sebuah pertidaksamaan linear dua variabel dari

masalah yang diberikan; (c) mahasiswa mampu menggambar grafik persamaan dari

bentuk pertidaksamaan linear dua variabel; (d) mahasiswa mampu menentukan

daerah penyelesaian dengan memperhatikan syaratnya; dan (e) mahasiswa mampu

memplotkan titik – titik yang merupakan penyelesaian yang ada di dalam daerah

penyelesaian. Pada tes tertulis II, semua mahasiswa memenuhi keenam indikator

kemampuan memodelkan pada level formal yaitu (a) mahasiswa mampu membuat

pemisalan terhadap objek dari masalah yang diberikan ke dalam variabel; (b)

mahasiswa mampu membentuk fungsi objektif; (c) mahasiswa mampu membentuk

kendala; (d) mahasiswa mampu menuliskan syarat variabel berdasarkan masalah

pada soal yang diberikan; (e) mahasiswa mampu menyelesaikan model matematika

yang telah dibuat sesuai aturan penyelesaian masalah program linear; dan (f)

mahasiswa mampu menarik kesimpulan sesuai konteks awal.

Kata kunci: Kemampuan Memodelkan, Pendidikan Matematika Realistik,

Penelitian Desain.


xii

ABSTRACT

Renggi, Anansi Sabu Jaghu. 2020. Analysis of The Modeling Ability of

Mathematics Education Students in the 4th Semester of Sanata Dharma

University on Linear Program Material Through Learning with a Realistic

Mathematics Education (RME) Approach. Thesis. Mathematics Education

Master Program, Department of Mathematics and Natural Sciences Education,

Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma University,

Yogyakarta.

This research aims were to (1) describe steps of designing and teaching linear

program material using the Realistic Mathematics Education approach and (2)

describe the modeling ability for students after following the teaching and learning

process by using the Realistic Mathematics Education approach. The type of this

research was a design research in which the researcher design the Hypothetical

Learning Trajectory (HLT) to teach linear program material using the Realistic

Mathematics Education approach. The research subjects were students of

mathematics education in the 4th semester of Sanata Dharma University. Data

collection methods were used daily notes, documentation, written tests, and

interviewed. Data collection instruments were used written test sheets, interview

guidelines, and documentation tools. Data analysis techniques were used data

reduction, data presentation, and drawing conclusions.

The researcher produced a learning trajectory design used the PMR approach

based on five characteristics for linear program material that has been tested in

one class for three meetings and revised to be applied to the research class. The

results showed that (1) the steps to teach linear program material using the

Realistic Mathematics Education approach as follows (a) the use of context could

be seen at the first meeting given three contextual problems are explored while at

the second meeting and the third meeting each given one contextual problem is

explored; (b) the using of models for progressive mathematization could be seen at

the first and second meetings when students represent contextual problems into

mathematical models and when students describe the completion of mathematical

models that have been made. At the third meeting, the use of models for progressive

mathematization could be seen when students solved a given problem using the

investigative line method; (c) the use of student construction results could be seen

found by students at the first meeting were used by students to solve problems at the

second meeting while the results of student construction at the second meeting were

used by students to solve problems at the third meeting; (d) interactivity could be

seen at three meetings interaction between the researcher and several students in

discussion groups, interaction between researchers and all students in the class and

between students both in discussion groups and in class so that students could

construct their knowledge; (e) the intertwining could be seen when students use the

concept of linear inequality of two variables and the area of resolution found at the

first meeting is used to help students find the concept of problem solving linear

programs using the investigative line method and then the concept is used by

students solving problems at the third meeting; (2) the modeling ability for students


xiii

after following the learning and learning process by using the Realistic

Mathematics Education approach was for the written test I and written test II all

students are in the ability to model the formal level. In the first written test, all

students meet the five indicators of modeling ability at the formal level, namely (a)

students were able to make an example of the object of the problem given to the

variable; (b) the student is able to form a linear inequality of two variables of the

problem given; ( c) students were able to draw graphs of equations from the form

of linear inequalities of two variables; (d) students were able to determine the area

of settlement by taking into account the conditions; and (e) students were able to

plot the points that constitute the solutions that are within the settlement area. In

the second written test, all students meet the six indicators of modeling ability at

the formal level, namely (a) students were able to make an example of the object of

the problem given to the variable; (b) students were able to form objective

functions; (c) students were able to form constraint functions; (d) students were

able to write variable conditions based on problems in the given problem; (e)

students were able to solve mathematical models that have been made according to

the linear program problem solving rules; and (f) students were able to draw

conclusions according to the initial context.

Keywords: Modeling Ability, Realistic Mathematics Education, Design Research.


xiv

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ............................................................................................ i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................... ii

HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................. iii

HALAMAN PERSEMBAHAN .......................................................................... iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ............................................................... v

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ILMIAH UNTUK

KEPENTINGAN AKADEMIS ........................................................................... vi

KATA PENGANTAR ....................................................................................... vii

ABSTRAK .......................................................................................................... x

ABSTRACT ........................................................................................................ xii

DAFTAR ISI .................................................................................................... xiv

DAFTAR TABEL ............................................................................................ xvi

DAFTAR GAMBAR ....................................................................................... xvii

DAFTAR BAGAN ............................................................................................ xx

BAB I PENDAHULUAN .................................................................................... 1

A. Latar Belakang .......................................................................................... 1

B. Rumusan Masalah ................................................................................... 18

C. Tujuan Penelitian .................................................................................... 19

D. Batasan Masalah ..................................................................................... 19

E. Batasan Istilah ......................................................................................... 19

F. Manfaat Penelitian .................................................................................. 20

G. Kebaruan Penelitian ................................................................................ 21

BAB II LANDASAN TEORI ............................................................................ 22

A. Penelitian Desain ..................................................................................... 22

B. Pendidikan Matematika Realistik (PMR) ................................................. 24

C. Kemampuan memodelkan ....................................................................... 35

D. Program Linear ....................................................................................... 40

E. Penelitian yang Relevan .......................................................................... 46


xv

F. Kerangka Berpikir ................................................................................... 51

BAB III METODE PENELITIAN ..................................................................... 55

A. Jenis Penelitian ........................................................................................ 55

B. Tempat dan Waktu Penelitian .................................................................. 55

C. Subjek Penelitian dan Objek Penelitian ................................................... 56

D. Metode Pengumpulan Data...................................................................... 56

E. Instrumen Pengumpulan Data .................................................................. 58

F. Teknik Analisis Data ............................................................................... 68

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ............................................................ 71

A. Rancangan Lintasan Belajar .................................................................... 71

B. Deskripsi Proses Pembelajaran Kelas Uji Coba ..................................... 110

C. Revisi Rancangan Lintasan Belajar Setelah Proses Uji Coba ................. 188

D. Deskripsi Proses Pembelajaran Kelas Penelitian .................................... 191

E. Deskripsi Hasil Tes Tertulis Kelas Uji Coba .......................................... 265

F. Deskripsi Hasil Tes Tertulis Kelas Uji Coba dan Wawancara ................ 296

G. Deskripsi Hasil Tes Tertulis Kelas Penelitian ........................................ 383

H. Deskripsi Hasil Tes Tertulis Kelas Penelitian dan Wawancara ............... 414

I. Refleksi ................................................................................................. 507

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN............................................................ 509

A. Kesimpulan ........................................................................................... 509

B. Saran ..................................................................................................... 512

DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 514

LAMPIRAN .................................................................................................... 516


xvi

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1. Indikator Kemampuan Memodelkan ....................................... 38

Tabel 3.1. Kisi-Kisi Tes Tertulis I Mahasiswa ......................................... 58

Tabel 3.2. Kisi-Kisi Tes tertulis II Mahasiswa ......................................... 60

Tabel 3.3. Kisi-Kisi Pedoman Wawancara Mahasiswa Tes Tertulis I ....... 63

Tabel 3.4. Kisi-Kisi Pedoman Wawancara Mahasiswa Tes Tertulis II ..... 65

Tabel 4.1. Kesimpulan Mengenai Aktivitas Pada Proses pertemuan I kelas Uji

Coba ........................................................................................................ 153

Tabel 4.2. Kesimpulan Mengenai Aktivitas Pada Proses pertemuan II kelas Uji

Coba ....................................................................................................... 182

Tabel 4.3. Kesimpulan Mengenai Aktivitas Pada Proses pertemuan III kelas Uji

Coba ....................................................................................................... 188

Tabel 4.4. Revisi HLT ............................................................................. 189

Tabel 4.5. Kesimpulan Mengenai Aktivitas Pada Proses pertemuan I kelas

Penelitian ................................................................................................. 233

Tabel 4.6. Kesimpulan Mengenai Aktivitas Pada Proses pertemuan II Kelas

Penelitian ................................................................................................. 259

Tabel 4.7. Kesimpulan Mengenai Aktivitas Pada Proses pertemuan III Kelas

Penelitian ................................................................................................. 265


xvii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1. 1. Masalah Pertama untuk Tes Awal .................................................. 5

Gambar 1. 2. Masalah Kedua untuk Tes Awal .................................................. 10

Gambar 2. 1. Contoh Masalah Program Linear Bilangan Bulat ......................... 44

Gambar 2. 2. Gambar Daerah Penyelesaian Kendala ........................................ 45

Gambar 2. 3. Gambar Pergeseran Garis Selidik ................................................ 46

Gambar 4. 1. Hasil Pekerjaan kelompok mahasiswa 1 pada aktivitas I ............ 112

Gambar 4. 2. Hasil pekerjaan kelompok mahasiswa 2 pada aktivitas I ............ 114



Gambar 4. 5. Hasil pekerjaan kelompok mahasiswa 1 pada aktivitas II ........... 133

Gambar 4. 6. Hasil pekerjaan kelompok mahasiswa 2 pada aktivitas II ........... 134

Gambar 4. 7. Hasil pekerjaan kelompok mahasiswa pada aktivitas III............. 143



Gambar 4. 10. Hasil pekerjaan kelompok mahasiswa pada aktivitas II ............ 172

Gambar 4. 11. Hasil pekerjaan mahasiswa ...................................................... 184

Gambar 4. 12. Hasil pekerjaan kelompok mahasiswa 1 pada aktivitas I .......... 194

Gambar 4. 13. Hasil pekerjaan kelompok mahasiswa 2 pada aktivitas I .......... 196

Gambar 4. 14. Hasil pekerjaan kelompok mahasiswa 3 pada aktivitas I ........ 198


Gambar 4. 16. Hasil pekerjaan kelompok mahasiswa 1 pada aktivitas II ....... 214

Gambar 4. 17. Hasil pekerjaan kelompok mahasiswa 1 pada aktivitas II ....... 215

Gambar 4. 18. Hasil pekerjaan kelompok mahasiswa 1 .................................. 226

Gambar 4. 19. Hasil pekerjaan kelompok mahasiswa 2 ................................. 227



Gambar 4. 22. Hasil pekerjaan kelompok mahasiswa pada aktivitas II ........... 250

Gambar 4. 23. Hasil pekerjaan mahasiswa ...................................................... 261

Gambar 4. 24. Kelompok jawaban mahasiswa yang pertama untuk tes tertulis I

kelas uji coba ................................................................................................... 266

Gambar 4. 25. Kelompok jawaban mahasiswa yang kedua untuk tes tertulis I

kelas uji coba ................................................................................................... 269

Gambar 4. 26. Kelompok jawaban mahasiswa yang ketiga untuk tes tertulis I

kelas uji coba ................................................................................................... 272


xviii

Gambar 4. 27. Kelompok jawaban mahasiswa yang pertama untuk masalah

pertama tes tertulis II kelas uji coba ................................................................. 276

Gambar 4. 28. Kelompok jawaban mahasiswa yang kedua untuk masalah


Gambar 4. 29. Kelompok jawaban mahasiswa yang ketiga untuk masalah


Gambar 4. 30. Kelompok jawaban mahasiswa yang pertama untuk masalah

kedua tes tertulis II kelas uji coba .................................................................... 288

Gambar 4. 31. Kelompok jawaban mahasiswa yang kedua untuk masalah kedua

tes tertulis II kelas uji coba ............................................................................... 292

Gambar 4. 32. Jawaban mahasiswa 1 untuk tes tertulis I kelas uji coba ........... 296



Gambar 4. 35. Jawaban mahasiswa 1 untuk masalah pertama tes tertulis II kelas

uji coba ............................................................................................................ 323


uji coba ............................................................................................................ 335


uji coba ............................................................................................................ 345

Gambar 4. 38. Jawaban mahasiswa 1 untuk masalah kedua tes tertulis II ........ 358

Gambar 4. 39. Jawaban mahasiswa 2 untuk masalah kedua tes tertulis II kelas uji

coba ................................................................................................................. 370

Gambar 4. 40. Kelompok jawaban mahasiswa 1 untuk tes tertulis I kelas

penelitian ......................................................................................................... 384


penelitian ......................................................................................................... 387

Gambar 4. 42. Kelompok jawaban mahasiswa 1 untuk masalah pertama tes

tertulis II kelas penelitian ................................................................................. 391





Gambar 4. 45. Kelompok jawaban mahasiswa 1 untuk masalah kedua tes tertulis

II kelas penelitian ............................................................................................. 403





Gambar 4. 48. Jawaban mahasiswa 1 untuk tes tertulis I kelas penelitian ........ 414

Gambar 4. 49. Jawaban mahasiswa 2 untuk tes tertulis I kelas penelitian ........ 425


xix


penelitian ......................................................................................................... 434


penelitian ......................................................................................................... 447


penelitian ......................................................................................................... 464

Gambar 4. 53. Jawaban mahasiswa 1 untuk masalah kedua tes tertulis II kelas

penelitian ......................................................................................................... 475


penelitian ......................................................................................................... 485


penelitian ......................................................................................................... 495


xx

DAFTAR BAGAN

Bagan 2.1. Matematisasi Horisontal dan Vertikal .................................... 27

Bagan 2.2. Proses Matematisasi Versi PISA ............................................ 28

Bagan 3.1. Kerangka Berpikir ................................................................. 54


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Berdasarkan Peraturan Menteri Pendidikan dan Kebudayaan No. 22 Tahun

2006 tentang standar proses bahwa salah satu prinsip pembelajaran pada

kurikulum 2013 adalah merubah pembelajaran dari verbalisme menuju

keterampilan aplikatif. Dalam pembelajaran matematika guru diharapkan dapat

membawa peserta didik untuk dapat menyelesaikan masalah nyata dalam

matematika. Sebagai calon guru, penting tahu dan memahami dengan baik

bahwa pembelajaran di sekolah sekarang ini dituntut untuk dapat

mengembangkan keterampilan aplikatif peserta didik. Oleh karena seorang

calon guru harus memiliki keterampilan aplikatif dan memahami apa saja yang

harus dipersiapkan untuk membawa suatu pembelajaran yang bersifat aplikatif.

Dalam kehidupan sehari – hari, banyak masalah yang kita temukan misalnya

pada bidang ekonomi, bidang fisika, bidang kimia dan beberapa bidang teknik.

Dimana masalah merupakan suatu keadaan yang tidak sesuai dengan yang

diharapkan sehingga harus diselesaikan atau dicari solusinya. Untuk mencari

solusinya kita dapat memanfaatkan ilmu matematika yaitu dengan membawa

masalah tersebut ke dalam model matematika. Matematika diharapkan dapat

menjadi suatu alat yang dapat membantu siswa dalam memahami kehidupan.

Menurut Ang (Ardi Nuryadi, dkk, 2018), proses mengubah atau mewakili

masalah dalam dunia nyata ke dalam bentuk matematika dalam upaya untuk


2

menemukan solusi dari suatu masalah disebut dengan pemodelan matematika.

Selain itu menurut Maaβ (Ariyadi, 2012: 46), kata “model” disini tidak berarti

sebagai alat peraga, melainkan sebagai suatu bentuk representasi matematis

dari suatu masalah. Saat ini, kemampuan dalam membuat model matematika

(modelling competence) telah menjadi perhatian dalam pendidikan matematika

(Ariyadi, 2012: 46). Maaβ merangkum beberapa alasan pentingnya

mengembangkan kemampuan memodelkan dalam pembelajaran matematika,

yaitu (1) pemodelan memiliki peran dalam mengembangkan kepekaan siswa

tentang manfaat matematika sehingga mereka bisa menerapkan konsep

matematika dalam kehidupan, (2) matematika merupakan suatu alat yang

seharusnya membantu siswa dalam memahami kehidupan, pemodelan

merupakan suatu aktivitas yang dapat menjembatani dunia matematika dengan

dunia nyata, (3) pemodelan merupakan aspek yang penting dalam pemecahan

masalah, (4) pemodelan membantu siswa memahami dan juga menguasai

konsep matematika dengan lebih mudah, dan (5) pemodelan dapat

mengembangkan sikap positif siswa terhadap matematika. Dengan adanya

alasan–alasan tersebut, maka sangat penting untuk mengembangkan

kemampuan memodelkan siswa khususnya dalam pembelajaran di kelas.

Salah satu materi yang dapat membawa peserta didik untuk dapat memiliki

dan mengembangkan kemampuan memodelkan matematikanya adalah

program linear. Program linear dijadikan sebagai salah satu materi yang

dipelajari di Sekolah Menengah Atas (SMA) dan sebagai salah satu mata kuliah

yang dipelajari mahasiswa perguruan tinggi. Program linear merupakan suatu


3

metode yang digunakan untuk memecahkan masalah optimasi (Hardi Suyitno,

2016: 1). Masalah optimasi adalah suatu persoalan untuk membuat nilai suatu

fungsi beberapa variabel menjadi maksimum atau minimum dengan

memperhatikan pembatasan–pembatasan yang ada. Salah satu masalah

optimasi tersebut adalah mengalokasikan sumber daya yang terbatas seperti

lahan, waktu, biaya, modal, tenaga kerja, dan sebagainya agar mampu

mendapatkan hasil yang optimal. Dari sini, program linear dapat digunakan

untuk menyelesaikan masalah – masalah manusia dalam kehidupan sehari –

hari. Program linear banyak digunakan di bidang industri, transportasi,

perdagangan, perkebunan, periklanan, teknik, dan berbagai bidang lainnya.

Sebagai contoh, pemilik perusahaan yang mempunyai beberapa jenis bahan

mentah ingin menentukan besarnya produksi dari beberapa jenis barang agar

diperoleh suatu hasil penjualan yang maksimum dengan mempertimbangkan

batasan – batasan yang ada. Contoh lain yaitu program linear dapat membantu

pedagang dalam menghitung keuntungan maksimum yang bisa diperoleh dan

meminimumkan biaya yang akan dikeluarkan. Program linear berkaitan

dengan penjelasan tentang masalah nyata yang direpresentasikan ke dalam

model matematika yang terdiri atas fungsi objektif (fungsi tujuan) dan kendala.

Dalam perguruan tinggi, calon guru matematika dapat mempelajari materi

program linear melalui mata kuliah program linear. Sebagai calon guru

matematika harus dapat mempelajari dan memahami dengan baik konsep –

konsep materi tersebut sebagai bekal pengetahuan dalam memberikan

pembelajaran di kelas sekolah menengah atas.


4

Berdasarkan wawancara dengan dosen mata kuliah program linear, peneliti

memperoleh hasil bahwa ada beberapa kendala yang dihadapi oleh dosen saat

membelajarkan program linear di kelas. Kendala – kendala yang ditemukan

adalah mahasiswa kesulitan dalam memodelkan masalah nyata yang diberikan

ke dalam model matematika baik fungsi objektif maupun kendalanya.

Mahasiswa kesulitan dalam menggambar grafik dan mentukan daerah layak

karena mahasiswa tidak tahu cara untuk menggambar grafik. Mahasiswa hanya

mengAndalkan beberapa aplikasi seperti geogebra tanpa mengetahui alasan

mengapa memiliki grafik dan daerah layak tersebut. Dikatakan dosen bahwa

mahasiswa belum terlalu bisa menguasai materi – materi prasyarat seperti

materi pertidaksamaan. Hal tersebut menyebabkan dosen harus mengulang

kembali materi pertidaksamaan dan cara menggambar grafik sebelum masuk

ke materi program linear. Untuk pembelajaran di kelas, dosen sudah

mengaitkan dengan masalah–masalah yang ada di kehidupan sehari–hari.

Namun, dikatakan mahasiswa bahwa masalah – masalah yang diberikan terlalu

panjang yang membuat mahasiswa malas untuk lebih teliti dalam memahami

masalah yang diberikan dan mengakibatkan mereka salah dalam memodelkan.

Peneliti juga melakukan tes awal materi program linear pada mahasiswa

semester V pendidikan matematika, dimana mahasiswa–mahasiswa tersebut

sudah pernah mengambil mata kuliah program linear dengan dosen yang sama.

Ada dua masalah yang diberikan dalam tes. Satu masalah diminta untuk

membuat model program linearnya dan satu soal diminta untuk menyelesaikan

masalah tersebut. Berdasarkan tes awal yang peneliti lakukan, peneliti


5

menemukan beberapa fakta pada hasil tes mahasiswa. Berikut dipaparkan hasil

tes mahasiswa.

Masalah Pertama. Berikut masalah yang diberikan.

Gambar 1. 1. Masalah Pertama untuk Tes Awal

Pada masalah pertama, mahasiswa diminta untuk membuat model PL dari

masalah yang diberikan. terdapat tiga jenis kelompok jawaban mahasiswa yang

melakukan kesalahan dalam membuat model matematika yang akan

dideskripsikan sebagai berikut.

Seorang pengusaha laptop membuat dua macam tipe laptop,

yaitu tipe portable touchscreen (A1) dan tipe flip standar (A2).

Kedua jenis laptop dibuat dari bahan yang sama yaitu X dan Y,

dengan komposisi yang berbeda. Setiap tipe laptop portable

touchscreen dibuat dari campuran 1 unit bahan X dan 4 bahan Y,

sedangkan setiap tipe laptop flip standar dibuat dari campuran 2

unit bahan X dan 1 unit bahan Y. Karena keterbatasan pasokan,

setiap hari ia hanya memperoleh 20 unit bahan X dan 30

unit bahan Y. Untuk setiap laptop tipe portable touchscreen

yang ia buat, ia memperoleh keuntungan sebesar Rp 300.000.

Untuk setiap laptop tipe flip standar, ia memperoleh keuntungan

sebesar Rp 200.000. Buatlah model program linear dari

permasalahan di atas yang membuat perusahaan laptop tersebut

mempunyai keuntungan terbesar!


6

Dari hasil tes yang diperoleh untuk masalah pertama, terdapat mahasiswa

yang kurang tepat dalam menentukan fungsi objektifnya. Berikut contoh hasil

pekerjaan mahasiswa.

Dari kalimat soal “karena keterbatasan pasokan, setiap hari ia hanya

memperoleh 20 unit bahan X dan 30 unit bahan Y”, mahasiswa

menerjemahkan ke dalam model matematika untuk fungsi objektif yaitu

30

20

=

=

y

x . Seharusnya kalimat yang digunakan untuk dimodelkan sebagai fungsi

objektif adalah “Untuk setiap laptop tipe portable touchscreen yang ia buat, ia

memperoleh keuntungan sebesar Rp 300.000 dan untuk setiap laptop tipe flip

standar, ia memperoleh keuntungan sebesar Rp 200.000” serta kalimat soal

yang membuat perusahaan laptop tersebut mempunyai keuntungan terbesar.

Sehingga diperoleh model matematika untuk fungsi objektifnya adalah

memaksimumkan yxyxf 000.200000.300),( += .

Selain itu, terdapat mahasiswa yang tidak menuliskan kendala negatifnya.

Kendala tak negatif diperlukan dalam model matematika tersebut karena

variabel keputusan yang dibuat berdasarkan masalah yang diberikan masing –

masing mewakili banyaknya jenis laptop A1 dan A2. Jadi seharusnya model


7

matematika dari kendalanya adalah

+

+

0

0

304

202

y

x

yx

yx

. Berikut contoh pekerjaan

mahasiswa yang melakukan kesalahan tidak menuliskan kendala tak

negatifnya.

Selain itu, terdapat mahasiswa yang melakukan kesalahan dalam membuat

model matematika untuk kendala utama. Berikut contoh pekerjaan dari

mahasiswa.

Model matematika tersebut dibuat mahasiswa berdasarkan kalimat soal

“setiap tipe laptop portable touchscreen dibuat dari campuran 1 unit bahan X

dan 4 bahan Y dan kalimat soal “untuk setiap laptop tipe portable touchscreen

yang dibuat memperoleh keuntungan Rp 300.000, mahasiswa menerjemahkan

ke dalam model matematika sebagai 000.3004 + yx . Sedangkan

berdasarkan kalimat soal “setiap tipe laptop flip standar dibuat dari campuran

2 unit bahan X dan 1 unit bahan Y” dan kalimat soal “untuk setiap laptop tipe

flip standar ia memperoleh keuntungan Rp 200.000”, mahasiswa

menerjemahkan ke dalam model matematika sebagai 000.2002 + yx .


8

Mahasiswa terpengaruh dengan variabel X dan Y dalam masalah (sebagai

bahan yang digunakan) yang diberikan. Mahasiswa langsung menjadikan itu

sebagai variabel keputusannya tanpa melihat kembali masalah yang seharusnya

dimodelkan sehingga mempengaruhi model matematika yang dibuat menjadi

kurang tepat. Variabel x dan variabel y seharusnya berturut – turut

merepresentasikan banyaknya laptop tipe A1 dan banyaknya laptop tipe A2.

Selain itu mahasiswa juga memasangkan dengan besar keuntungan yang

diperoleh bukan dengan banyak maksimal pasokan yang diterima dari masing

– masing tipe laptop.

Dalam menentukan tanda pertidaksamaan dalam kendala utama, mahasiswa

menterjemahkan kalimat soal yaitu “hanya memperoleh” dengan tanda .

Kalimat soal “hanya memperoleh” seharusnya diartikan dengan tanda .

Karena dalam soal dituliskan bahwa “karena keterbatasan pasokan, setiap hari

ia hanya memperoleh 20 unit bahan X dan 30 unit bahan Y”. Jadi mempunyai

artian bahwa pengusaha tersebut akan menerima pasokan bahan kurang dari

sama dengan 20 unit bahan X dan 30 unit bahan Y”. Sehingga model

matematika yang seharusnya dari kendala utamanya adalah

+

+

304

202

yx

yx.

Selain itu, terdapat mahasiswa yang kurang teliti dalam membuat model

untuk kendala utama dikarenakan terpengaruh dengan variabel yang sama

antara variabel keputusan yang dibuat dan variabel yang ada dalam masalah

yang diberikan. Berikut contoh pekerjaan mahasiswa.


9

Dari hasil tersebut, mahasiswa membuat variabel keputusan dengan

memisalkan x sebagai laptop portable (A1) dan y sebagai laptop flip standart

(A2). Dimana variabel yang dimisakan tersebut sama dengan variabel yang ada

dalam soal namun masing – masing mewakili hal yang berbeda. Hal ini

dikarenakan mahasiswa terpengaruh dengan variabel X dan Y dalam masalah

(sebagai bahan yang digunakan) yang diberikan dengan variabel keputusan

yang dibuat sama. `Mahasiswa terbiasa memisalkan dengan variabel x dan y

sebagai variabel keputusan sehingga walapun pada masalah juga terdapat

variabel x dan y (sebagai bahan pasokan), mahasiswa tidak mencoba membuat

permisalan dengan variabel lain. Hal ini yang membuat mahasiswa keliru

dalam menentukan model matematikanya karena terdapat variabel yang sama.

Mahasiswa juga kurang tepat dalam menentukan tanda pertidaksamaanya.

Mahasiswa menerjemahkan kalimat “hanya memperoleh” dengan tanda .

Seharusnya kalimat soal “hanya memperoleh” diterjemahkan sebagai tanda

. Jadi seharusnya model matematika dari kendalanya adalah

+

+

304

202

yx

yx.


10

Dari hasil tes yang diperoleh untuk masalah pertama, dapat disimpulkan

bahwa dalam membuat model matematika dari masalah yang diberikan

mahasiswa masih kesulitan dalam menentukan tanda petidaksamaan, tidak

menuliskan kendala tak negatif, dan belum dapat menentukan tujuan yang

harus dimodelkan sehingga kendala yang diperoleh kurang tepat. Selain itu

juga ada mahasiswa yang belum bisa menuliskan fungsi objektif dengan benar.

Masalah Kedua. Pada masalah kedua, mahasiswa diminta untuk membuat

model PL dan menyelesaikan masalah yang diberikan. Pada masalah kedua ini,

akan dideskripsikan bebeberapa tahap yaitu tahap membuat model PL dan

tahap menncari penyelesaian dari model PL yang telah dibuat. Berikut masalah

yang diberikan.

Gambar 1. 2. Masalah Kedua untuk Tes Awal

Seorang peternak ayam petelur harus memberi makanan untuk

tiap 50 ekor/hari paling sedikit 150 unit zat A dan 200 unit zat

B. Zat-zat tersebut tidak dapat dibeli dalam bentuk murni,

melainkan terdapat dalam makanan ayam M1 dan M2. Tiap kg

makanan ayam M1 mengandung 30 unit zat A dan 20 unit zat

B, dan makanan M2 mengandung 20 unit zat A dan 40 unit zat

B. Jika harga M1 adalah Rp 5000/kg dan harga M2 adalah Rp

6000/kg, dan tiap ekor membutuhkan 125 gr makanan/hari.

Berapakah banyaknya makanan M1 dan M2 harus dibeli tiap

hari untuk 1000 ekor ayam petelur, supaya harganya semurah-

murahnya dan kebutuhan akan za t-zat itu dipenuhi?


11

Berdasarkan hasil tes yang diperoleh, dalam hal membuat variabel

keputusan terdapat mahasiswa belum bisa memisalkan dengan tepat.

Mahasiswa membuat variabel keputusan dengan memisalkan x sebagai ayam

M1 dan y sebagai ayam M2, dimana seharusnya x merepresentasikan

banyaknya makanan ayam jenis M1 yang harus diperoleh untuk 1000 ekor

ayam dan y merepresentasikan banyaknya makanan ayam jenis M2 yang harus

diperoleh untuk 1000 ekor ayam. Berikut adalah salah satu contoh hasil

pekerjaan mahasiswa yang memisalkan x sebagai ayam jenis M1 dan y sebagai

ayam jenis M2.

Jawaban mahasiswa kurang tepat dikarenakan dalam masalah yang

diberikan hanya diketahui banyaknya makanan ayam jenis M1 dan M2 untuk

50 ekor ayam sedangkan yang mau dibuatkan model PL adalah untuk 1000

ekor ayam. Jadi perlu diperjelas varaibel keputusanya. Mahasiswa belum benar

– benar teliti saat membaca masalah yang diberikan.

Dalam hal membuat kendala dan fungsi objektifnya, terdapat mahasiswa

yang tidak menuliskan kendala tak negatif. Seharusnya mahasiswa menuliskan

juga kendala negatifnya yaitu

0

0

y

x. Kendala tak negatif diperlukan dalam

model matematika tersebut karena variabel keputusan yang ada dalam soal

masing – masing mewakili banyaknya makanan M1 dan M2 untuk 1000 ekor


12

ayam. Berikut salah satu contoh hasil pekerjaan siswa sudah tepat menentukan

kendala utama namun tidak menuliskan kendala tak negatifnya.

Dalam menentukan fungsi objektifnya, mahasiswa tersebut belum

menuliskan dengan tepat. Mahasiswa menuliskan fungsi objektifnya dengan

yx 60005000 + , dimana seharusnya yang dituliskan adalah meminimumkan

yxyxf 60005000),( += . Meminimumkan karena dalam soal terdapat kalimat

“banyaknya makanan M1 dan M2 harus dibeli tiap hari untuk 1000 ekor ayam

petelur agar harganya semurah-murahnya dan kebutuhan akan zat-zat itu

dipenuhi”. Kalimat “harganya semurah-murahnya” diterjemahkan dengan

meminumumkan. Mahasiswa mungkin bingung untuk menentukan apakah

tujuannya untuk meminimumkan atau memaksimumkan.

Selain itu juga terdapat mahasiswa yang membuat kendalanya kurang tepat.

Hal ini dikarenakan mahasiswa menggunakan persediaan makanannya untuk

50 ekor ayam padahal yang diminta dalam soal adalah membuat model PL

untuk 1000 ekor ayam. Mahasiswa juga tidak menuliskan kendala tak

negatifnya. Berikut adalah salah satu contoh hasil pekerjaan mahasiswa yang

sesuai dengan yang dideskripsikan di atas.


13

Seharusnya kendala yang diperoleh adalah

+

+

+

0

0

125

40004020

30002030

y

x

yx

yx

yx

.

Karena tiap

50 ekor ayam dalam tiap harinya harus makan paling sedikit 150 unit zat A dan

200 unit zat B, maka tiap 1.000 ekor ayam dalam tiap harinya harus makan

paling sedikit 3.000 unit zat A dan 4.000 unit zat B.

Dalam hal menentukan penyelesaiannya, seluruh mahasiswa menggunakan

metode grafik dengan uji coba titik pojok. Terdapat mahasiswa yang tidak

dapat menentukan titik pojok dari daerah layak grafik yang telah disketsa.

Berikut merupakan salah satu contoh pekerjaan mahasiswa.


14

Mahasiswa menentukan satu titik pojok saja yaitu (200,150) dan belum

tepat. Hal ini mungkin dikarenakan mahasiswa melihat dari daerah layak titik

pada sumbu x yang paling pojok adalah 200 dan pada sumbu y titik yang paling

pojok adalah 150 sehingga mahasiswa menuliskan titik pojok daerah layak

tersebut adalah (200,150). Seharusnya titik pojok dari daerah layak tersebut

adalah (200,0), (0,150), dan (50,75) yang merupakan titik potong sumbu x dan

sumbu y dari kendala

125

40004020

30002030

+

+

+

yx

yx

yx

. Mahasiswa tidak menentukan titik

potong sumbu x dan sumbu y dari kendala

125

40004020

30002030

+

+

+

yx

yx

yx

. Hal ini mungkin

dikarenakan mahasiswa menggambarnya dengan kurang baik, sehingga

gambar yang terlihat adalah tidak memiliki titik potong ketiga garis tersebut.

namun mahasiswa disini memberikan coretan seperti mengisyaratkan bahwa

disitu merupakan titik temu antara ketiga garis tersebut. Selain itu juga,

mungkin dikarenakan mahasiswa menganggap bahwa titik pojok yang


15

dimaksud hanyalah titik yang langsung melekat pada sumbu x dan sumbu y

yaitu 200 dan 150.

Dari hasil tes yang diperoleh untuk masalah kedua, dapat disimpulkan

bahwa dalam membuat model matematika dari masalah yang diberikan

mahasiswa masih mahasiswa kurang tepat dalam menentukan variabel

keputusannya (yang menjadi tujuan membuat model), dan tidak menuliskan

kendala tak negatif sehingga kendala yang diperoleh kurang tepat. Terdapat

mahasiswa yang kurang tepat menentukan fungsi objektifnya sebagai masalah

meminimumkan atau memaksimumkan.

Dalam proses penyelesaian model, mahasiswa dapat menggambar grafik

dengan benar dan mampu menentukan daerah layak, namun ada yang dalam

menggambar grafik jarak antara titiknya tidak sebanding sehingga

mengakibatkan gambarnya kurang baik. Selain itu juga terdapat mahasiswa

yang tidak dapat menentukan titik pojok dari daerah layak yang telah dibuat.

Salah satu pendekatan dalam pembelajaran matematika adalah Pendidikan

Matematika Realistik (PMR). Pendidikan Matematika Realistik (PMR)

merupakan suatu pendekatan dalam pembelajaran matematika di BelAnda

yang dicetuskan oleh Hans Freudenthal dan mulai dikembangkan sejak tahun

1970an dengan berlAndaskan pada filosofi matematika sebagai aktivitas

manusia (mathematics as human activity) (Ariyadi, 2012: 3). Pendidikan

Matematika Realistik (PMR) merupakan suatu pendekatan dalam

pembelajaran matematika yang memiliki lima karakteristik yakni penggunaan

konteks, penggunaan model untuk matematisasi progresif, pemanfaatan hasil


16

konstruksi siswa, interaktivitas, dan keterkaitan. Disebutkan bahwa salah satu

karakteristik dari PMR adalah penggunaan model dimana pembelajaran

matematika dipAndang sebagai proses peningkatan dan pengembangan ide

matematika secara bertahap yang mencakup matematisasi horizontal dan

matematisasi vertikal. Proses matematisasi horizontal diawali dengan

pengidentifikasian konsep matematika berdasarkan keteraturan (regularities)

dan hubungan (relations) yang ditemukan melalui visualisasi dan skematisasi

masalah. Sedangkan matematisasi vertikal merupakan bentuk proses

formalisasi (formalizing) di mana model matematika yang diperoleh pada

matematisasi horizontal menjadi lAndasan dalam pengembangan konsep

matematika yang lebih formal melalui proses matematisasi vertikal.

Pembelajaran dengan Pendidikan Matematika Realistik (PMR) dapat membuat

matematika lebih menarik, relevan, bermakna, tidak terlalu formal dan tidak

terlalu abstrak, mempertimbangkan tingkat kemampuan siswa, menekankan

belajar matematika dengan aktivitas, tidak menggunakan penyelesaian yang

baku dan menggunakan masalah – masalah kontekstual sebagai titik awal

pembelajaran matematika. PMR dapat menantang pikiran siswa sehingga dapat

meningkatkan rasa keingintahuan dan dapat memotivasi siswa untuk belajar.

PMR memberikan kesempatan kepada siswa untuk melatih diri menafsirkan

masalah dan menghasilkan ide atau gagasan yang berbeda dalam proses

penyelesaian masalah. Dengan hal ini, dapat memungkinkan siswa

menggunakan representasi untuk menemukan solusi dari masalah yang

diberikan dengan berbagai kemungkinan.


17

Hal ini didukung dengan hasil penelitian – penelitian sebelumnya yang

menggunakan pendekatan PMR dalam proses pembelajaran. Beberapa

penelitian sebelumnya yang menggunakan PMR sebagai model pembelajaran

memperoleh hasil yang baik.

Dari penelitian Nuryadin Eko Raharjo (2007) diperoleh hasil bahwa (1)

penerapan model pembelajaran PMR pada mata kuliah bidang matematika di

program studi Teknik Sipil dapat meningkatkan pencapaian kompetensi

mahasiswa dalam bidang matematika yang ditandai dengan (a) rerata prestasi

mahasiswa meningkat, (b) pemahaman mahasiswa tentang aplikasi model

pembelajaran yang semakin meningkat, (c) keaktifan mahasiswa semakin

meningkat dalam mengkonstruksi pengetahuan, dan (d) interaksi mahasiswa

dengan dosen yang semakin tinggi, dan (2) kendala yang dihadapi adalah tidak

semua sub – sub kompetensi dapat dibuatkan model realsitiknya sehingga

terdapat beberapa sub – sub kompetensi yang disampaikan tanpa model

realistik. Menurut hasil penelitian yang dilakukan oleh Dian Permana Putri,

dkk (2015) diperoleh hasil bahwa (1) terdapat pengaruh motivasi melalui

pendekatan PMR dalam mata kuliah persamaan diferensial terhadap hasil

belajar, (2) pendekatan PMR efektif diterapkan dalam mata kuliah persamaan

diferensial. Hal ini didasarkan pada hasil uji regresi yaitu ketuntasan rata – rata

hasil belajar mahasiswa dengan batas KKM 65 sebesar 76,45 dan hasil belajar

matematis mahasiswa dipengaruhi oleh kekatifan dan motivasi mahasiswa

sebesar 85,4%.


18

Dari hasil penelitian Daud & Nurwan (2017), menunjukan bahwa

kemampuan membuat model matematika materi program linear sebelum

dikenai tindakan sebesar 46,43% dan setelah dikenai tindakan meningkat

menjadi 85,71%. Berdasarkan hasil penelitian tersebut Daud & Nurwan

membuat kesimpulan bahwa pembelajaran dengan pendekatan matematika

realistrik dapat meningkatkan kemampuan siswa dalam membuat model

matematika pada materi program linear bagi siswa kelas XI Administrasi

Perkantoran 4 SMK Negeri 1 Gorontalo.

Berdasarkan paparan di atas, peneliti bermaksud untuk melakukan

penelitian tentang “Analisis kemampuan memodelkan mahasiswa semester IV

universitas sanata dharma pada materi program linear melalui pembelajaran

dengan pendekatan Pendidikan Matematika Realistik (PMR)”.

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah dikemukakan di atas, maka rumusan

masalah untuk penelitian ini adalah:

1. Bagaimana langkah-langkah merancang dan membelajarkan materi

program linear dengan menggunakan pendekatan Pendidikan

Matematika Realistik?

2. Bagaimana kemampuan memodelkan mahasiswa setelah mengalami

proses pembelajaran dengan menggunakan pendekatan Pendidikan

Matematika Realistik?


19

C. Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan dari penelitian ini adalah

sebagai berikut:

1. Mendeskripsikan langkah-langkah merancang dan membelajarkan

materi program linear dengan menggunakan pendekatan Pendidikan

Matematika Realistik

2. Mendeskripsikan kemampuan memodelkan mahasiswa setelah

mengalami proses pembelajaran dengan menggunakan pendekatan

Pendidikan Matematika Realistik

D. Batasan Masalah

Adapun batasan masalah yang menjadi fokus pada penelitian ini yaitu:

1. Subjek penelitian adalah mahasiswa program studi pendidikan matematika

semester IV Universitas Sanata Dharma (USD)

2. Materi yang digunakan adalah program linear dua variabel untuk bilangan

bulat dengan metode garis selidik

E. Batasan Istilah

1. Kemampuan Memodelkan

Kemampuan memodelkan dalam matematika adalah kemampuan

seseorang dalam merepresentasikan suatu masalah nyata secara matematis

atau menerjemahkan suatu masalah kontekstual atau realistik ke dalam

simbol – simbol matematika yang sesuai.


20

2. Pendidikan Matematika Realistik (PMR)

Pendidikan Matematika Realistik (PMR) merupakan suatu pendekatan

dalam pembelajaran matematika yang memiliki lima karakteristik yakni

penggunaan konteks, penggunaan model untuk matematisasi progresif,

pemanfaatan hasil konstruksi siswa, interaktivitas, dan keterkaitan.

F. Manfaat Penelitian

Berdasarkan tujuan dari penelitian ini, adapun beberapa manfaat yang

diperoleh, sebagai berikut:

1. Bagi Peserta Didik

Penelitian ini dapat melatih kemampuan memodelkan peserta didik dalam

memecahkan masalah – masalah dalam kehidupan nyata yang berkaitan

dengan program linear.

2. Bagi Pendidik

Penelitian ini dapat dijadikan bahan pertimbangan atau referensi untuk

menerapkan proses pembelajaran dengan pendekatan PMR dengan subyek

dan materi yang sama ataupun berbeda.

3. Bagi Peneliti

Penelitian ini dapat menambah wawasan dan mengasah kemampuan

peneliti dalam merancang pembelajaran dengan pendekatan PMR. Selain

itu, melalui penelitian ini, peneliti dapat mengetahui dampak dari proses

pembelajaran dengan pendekatan PMR yang berlangsung di kelas.


21

G. Kebaruan Penelitian

Kebaruan dalam penelitian ini terletak pada jenis penelitian yang

digunakan dan teknik untuk menganalisis data.

Pada penelitian - penelitian sebelumnya yaitu penelitian yang dilakukan

oleh Asma Daud & Nurwan (2017) jenis penelitian yang digunakan adalah

Penelitian Tindakan Kelas (PTK) dan teknik analisis data terdiri dari penyajian

data, analisis data dan verifikasi data, penelitian yang dilakukan oleh Nuryadin

Eko Raharjo (2007), jenis penelitian yang digunakan adalah Penelitian

Tindakan Kelas (PTK) dan analisis datanya dilakukan secara deskriptif

kuantitatif, dan pada penelitian yang dilakukan oleh Dian Permana Putri, dkk

(2015), jenis penelitian yang digunakan penelitian eksperimen dengan

melakukan pretest dan posttest dan analisis data yang digunakan adalah regresi

linier sederhana, uji linieritas regresi, dan analisis korelasi.

Pada penelitian ini, jenis penelitian yang digunakan adalah penelitian

desain. Dalam penelitian ini peneliti akan melalui tiga tahap yaitu tahap desain

pendahuluan, tahap percobaan desain, dan tahap analisis retrospektif. Pada

penelitian ini, data yang diperoleh berbentuk data kualitatif sehingga akan

dianalisis secara deskriptif kualitatif berdasarkan yang dituliskan Miles dan

Haberman (Sugiyono, 2017:336-345) yaitu reduksi data, penyajian data, dan

penarikan kesimpulan atau verifikasi. Pada penelitian ini indikator kemampuan

memodelkan yang digunakan disesuaikan dengan 4 level pengembangan

model menurut Gravemeijer yaitu level situasional, level referensial, level

general, dan level formal.


22

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Penelitian Desain

Gravemeijer dan Van Eerde (Prahmana, 2017: 13) menyatakan bahwa

design research merupakan suatu metode penelitian yang bertujuan

mengembangkan Local Instruction Theory (LIT) dengan kerja sama peneliti

dan tenaga pendidik untuk meningkatkan kualitas pembelajaran. Design

research dianggap sebagai paradigma penelitian yang bertujuan untuk

mengembangkan urutan kegiatan dan memahami sebuah pemahaman empiris

tentang bagaimana suatu pembelajara bekerja (Cobb, dkk. 2001; Cobb, dkk.

2003; Edelson, 2002; Gravemeijer, 2004; Research Advisory Committee,

1996; Widjaja, 2008). Plomp (Prahmana, 2017: 13) menyatakan bahwa design

research meliputi suatu pembelajaran yang sistematis mulai dari merancang,

mengembangkan, dan mengevaluasi seluruh intervensi yang berhubungan

dengan pendidikan, seperti program, proses belajar, lingkungan belajar, bahan

ajar, produk pembelajaran, dan sistem pembelajaran. Oleh karena itu, design

research dapat dikatakan sebagai suatu metode penelitian yang sesuai untuk

mengembangkan solusi (penyelesaian) berdasarkan penelitian untuk suatu

masalah yang kompleks dalam praktik pendidikan atau untuk mengembangkan

atau memvalidasi suatu teori tentang proses belajar, lingkungan belajar, dan

sejenisnya.


23

Menurut Prahmana (2017: 15), terdapat dua aspek penting yang berkaitan

dengan design research, yaitu Hypothtical Learning Trajectory (HLT) dan

Local Instruction Theory (LIT). HLT merupakan suatu hipotesis atau prediksi

bagaimana pemikiran dan pemahaman mahasiswa berkembang dalam suatu

aktvitas pembelajaran (Prahmana, 2017: 11). Gravemeijer & Eerde (Prahmana,

2017: 21), menyatakan LIT merupakan sebuah teori tentang proses

pembelajaran yang mendeskripsikan lintasan pembelajaran pada suatu topic

tertentu dengan sekumpulan aktivitas yang mendukungnya. Secara garis besar,

LIT merupakan produk akhir dari HLT yang telah dirancang,

diimplementasikan, dan dianalisis hasil pembelajarannya.

Secara keseluruhan, design research terdiri atas tiga tahap (Prahmana,

2017: 15), sebagai berikut:

1. Tahap I: Prelimery Design (Desain Pendahuluan)

Menurut Widjaja dalam Prahmana (2017) tujuan utama dari tahap ini

adalah untuk mengembangkan urutan aktivitas pembelajaran dan

mendesain intrumen untuk mengevaluasi proses pembelajaran

tersebut. Dalam tahap ini, dibuat HLT yang berfungsi sebagai

pedoman materi pengajaran yang akan diembangkan (Prahmana, 2017:

21). Gravemeijer (Prahmana, 2017: 20) menyatakan bahwa HLT

terdiri dari tiga komponen utama, yaitu (1) tujuan pembelajaran

matematika bagi mahasiswa; (2) aktivitas pembelajaran dan

perangkat/media yang digunakan dalam proses pembelajaran; dan (3)

konjektur proses pembelajaran bagaimana mengetahui pemahaman


24

dan strategi mahasiswa yang muncul dan berkembang ketika aktovitas

dilakukan di kelas.

2. Tahap II: Design Experiment (Percobaan Desain)

Pada tahap kedua ini, peneliti mengujicobakan kegiatan pembelajaran

yang telah di desain pada tahap pertama. Uji coba ini bertujuan untuk

mengeksplorasi dan menduga strategi dan pemikiran mahasiswa

selama proses pembelajaran yang sebenarnya.

3. Tahap III: Retrospective Analysis (Analisis Retrospektif)

Setelah kegiatan percobaan desain dalam pembelajaran, data yang

diperoleh dari aktivitas pembelajaran di kelas dianalisis secara

retrospektif. Gravemeijer & Cobb (Prahmana, 2017: 23), menyatakan

bahwa analisis retrospektif berperan untuk pengembangan teori

instruksi lokal (local instruction theory) dan mengajukan isu atau

inovasi selanjutnya.

B. Pendidikan Matematika Realistik (PMR)

Pendidikan matematika realistik (PMR) merupakan suatu pendekatan

dalam pembelajaran matematika di BelAnda yang dicetuskan oleh Hans

Freudenthal dan mulai dikembangkan sejak tahun 1970an dengan

berlAndaskan pada filosofi matematika sebagai aktivitas manusia

(mathematics as human activity) (Ariyadi, 2012: 3). Dalam pendekatan

pembelajaran ini, Freudenthal menempatkan matematika bukan sebagai suatu

produk melainkan sebagai suatu bentuk aktivitas atau proses (Ariyadi, 2012:

20). Oleh karena itu pembelajaran matematika dengan menggunakan


25

pendekatan PMR harus dikaitkan dengan keseharian siswa. Pembelajaran

dengan menggunakan pendekatan PMR memberikan kesempatan kepada siswa

untuk melatih diri menafsirkan masalah dan menghasilkan ide atau gagasan

yang berbeda dalam proses penyelesaian masalah (soal – soal kontekstual).

Soal kontekstual tersebut tidak hanya berkaitan dengan masalah yang tampak

dalam kehidupan sehari-hari (real world), melainkan dapat pula berangkat dari

situasi yang mampu untuk dibayangkan (imagineable) dalam pikiran siswa.

Permasalahan realistik (context problem) dalam Pendidikan Matematika

Realistik digunakan sebagai fondasi dalam membangun konsep matematika

atau disebut juga sebagai sumber untuk pembelajaran (a source for learning).

Perhatian pada pengetahuan informal (informal knowledge) dan pengetahuan

awal (pre knowledge) yang dimiliki siswa menjadi hal yang sangat mendasar

dalam mengembangkan permasalahan yang realistik. Pengetahuan informal

siswa dapat berkembang menjadi suatu pengetahuan formal (matematika)

melalui proses pemodelan.

Menurut Gravemeijer (dalam V. F. Rianasari & N. Sulistyani, 2017: 92),

terdapat 3 prinsip utama dalam pembelajaran matematika yang menggunakan

pendekatan PMR yaitu:

1. Penemuan kembali secara terbimbing (guided reinvention) dan

matematisasi progresif (progressive mathematization)

Dalam pembelajaran dengan pendekatan PMR, diharapkan siswa

diberikan pengelaman untuk menemukan sendiri berbagai konsep, prinsip,

prosedur dengan bimbingan guru. dengan proses belajar yang demikian,


26

siswa akan melakukan proses matematisasi (mathematization), baik

matematisasi horizontal maupun matematisasi vertikal.

a. Matematisasi horizontal merupakan proses penalaran dari dunia nyata

ke dalam simbol-simbol matematika. Kegiatan berikut adalah contoh

matematisasi horizontal: merumuskan dan memvisualisasikan suatu

masalah dengan cara yang berbeda, menemukan hubungan,

menemukan keteraturan, atau menerjemahkan masalah dunia nyata

kepada masalah matematika. Ariyadi (2012:43) menjelaskan bahwa

matematisasi horizontal berkaitan dengan proses generalisasi

(generalizing). Proses matematika horizontal diawali dengan

pengidentifikasian konsep matematika berdasarkan keteraturan

(regularities) dan hubungan (relation) yang ditemukan melalui

visualisasi dan skematisasi masalah.

b. Matematisasi vertikal merupakan proses penalaran yang terjadi di

dalam sistem matematika itu sendiri, misalnya: menemukan cara

menyelesaikan soal, mengaitkan antar konsep-konsep matematika

atau menerapkan rumus-rumus matematika. Ariyadi (2012:43)

menjelaskan bahwa Matematisasi vertikal merupakan bentuk proses

formalisasi (formalizing) di mana model matematika yang diperoleh

pada matematisasi horizontal menjadi lAndasan dalam

pengembangan konsep matematika yang lebih formal melalui proses

matematisasi vertikal.


27

2. Fenomenologi didaktik (didactical phenomenology)

Fenomenologi didaktik mengandung arti bahwa dalam mempelajari

konsep-konsep, seperti prinsip-prinsip atau materi lain yang terkait dengan

matematika, siswa perlu bertolak dari masalah-masalah yang berasal dari

dunia nyata atau setidaknya dari masalah-masalah yang dapat

dibayangkan. Melalui eksplorasi berbagai masalah atau fenomena, siswa

diharapkan dapat mengembangkan prosedur-prosedur penyelesaian

masalah sehingga siswa pada akhirnya mampu membangun pengetahuan

formal matematika. Berdasarkan penggunaan masalah nyata dalam

membangun pengetahuan siswa, PISA (Ariyadi 2012: 45) menjelaskan

bahwa terdapat lima langkah matematisasi untuk menyelesaikan masalah

dunia nyata yaitu:

Masalah-masalah Kontekstual

Penguraian

Penyelesaian

Sistem matematika formal

Bahasa

Matematika Algoritma

Bagan 2.1. Matematisasi Horizontal (panah garis) dan

Vertikal (panah blok) (Gravemeijer dalam Rianasari &

Sulistyani, 2017: 93)


28

a. Diawali dengan masalah dunia nyata

b. Mengidentifikasi konsep matematika yang relevan dengan masalah

lalu mengorganisasi masalah sesuai dengan konsep matematika

c. Secara bertahap meninggalkan situasi dunia nyata melalui proses

perumusan asumsi, generalisasi, dan formalisasi. Proses tersebut

bertujuan untuk menerjemahkan masalah dunia nyata ke dalam

masalah matematika yang representatif

d. Menyelesaikan masalah matematika (proses ini terjadi di dalam

dunia matematika)

e. Menerjemahkan kembali solusi matematis ke dalam situasi nyata,

termasuk mengidentifikasi keterbatasan dari solusi

3. Mengembangkan model-model sendiri (Self-developed model)

Mengembangkan model-model sendiri mempunyai arti bahwa dalam

mempelajari konsep-konsep, prinsip-prinsip atau materi lain yang terkait

dengan matematika melalui masalah-malasalah kontekstua, siswa perlu

Solusi (dunia) nyata

(Real Solution)

Solusi Matematis

(Mathematical solution)

Masalah Matematika

(Mathematical Problem)

Masalah Dunia nyata

(Real-world Problem) 1,2,3

4

5

5

Dunia nyata

(Real World)

Dunia matematika

(Mathematical World)

Bagan 2.2. Proses matematisasi versi PISA (Ariyadi 2012: 45)


29

mengembangkan sendiri model-model atau cara-cara menyelesaikan

masalah tersebut.

Treffers (dalam Ariyadi, 2012: 21) merumuskan lima karakteristik

Pendidikan matematika Realistik, yaitu:

1. Penggunaan Konteks

Konteks atau permasalahan realistik digunakan sebagai titik awal

pembelajaran matematika. Konteks tidak harus berupa masalah dunia

nyata namun bisa dalam bentuk permainan, penggunaan alat peraga, atau

situasi lain selama hal tersebut bermakna dan bisa dibayangkan dalam

pikiran siswa.

Melalui penggunaan konteks, siswa dilibatkan secara aktif untuk

melakukan kegiatan eksplorasi permasalahan. Hasil eksplorasi siswa

tidak hanya bertujuan untuk menemukan jawaban akhir dari

permasalahan yang diberikan, tetapi juga diarahkan untuk

mengembangkan berbagai strategi penyelesaiaan masalaah yang bisa

digunakan. Manfaat lain penggunaan konteks diawal pembelajaran

adalah untuk meningkatkan motivasi dan ketertarikan siswa dalam

belajar maatematika. Pembelajaran yang langsung diawali dengan

penggunaan matematika formal cenderung akan menimbulkan

kecemasan matematika (mathematics anxiety).

2. Penggunaan model untuk matematisasi progresif

Dalam Pendidikan Matematika Realistik, model digunakan dalam

melakukan matematisasi secara progresif. Penggunaan model berfungsi


30

sebagai jembatan (bridge) dari pengetahuan dan matematika tingkat

konkrit menuju pengetahuan matematika tingkat formal. Hal yang perlu

dipahami dari kata “model” adalah bahwa “model” tidak merujuk pada

alat peraga. “Model” merupakan suatu alat “vertikal” dalam matematika

yang tidak bisa dilepaskan dari proses matematisasi (yaitu matematisasi

horizontal dan matematisasi vertikal) karena model merupakan tahapan

proses transisi level informal menuju level matematika formal. Secara

umum ada dua macam model dalam Pendidikan Matematika Realistik,

yaitu model of dan model for.

3. Pemanfaatan hasil konstruksi siswa

Mengacu pada pendapat Freudenthal bahwa matematika tidak

diberikan kepada siswa sebagi suatu produk yang siap dipakai tetapi

sebagai suatu konsep yang dibangun oleh siswa maka dalam Pendidikan

Matematika Realistik siswa ditempatkan sebagai subjek belajar. Siswa

memiliki kebebasan untuk mengembangkan strategi pemecahan masalah

sehingga diharapkan akan diperoleh strategi yang bervariasi. Hasil kerja

dan konstruksi siswa selanjutnya digunakan untuk lAndasan

pengembangan konsep matematika. Karakteristik ketiga ini tidak hanya

bermanfaat dalam membantu siswa memahami konsep matematika,

tetapi juga sekaligus mengembangkan aktivitas dan kreativitas siswa.

4. Interaktivitas

Proses belajar seseorang bukan hanya suatu proses individu

melainkan juga secara bersamaan merupakan suatu proses sosial. Proses


31

belajar siswa akan menjadi lebih singkat dan bermakna ketika siswa

saling mengkomunikasikan hasil kerja dan gagasan mereka.

Pemanfaatan interaksi dalam pembelajaran matematika bermanfaat

dalam mengembangkan kemampuan kognitif dan afektif siswaa secara

simultan. Kata “pendidikan” memiliki implikasi bahwa proses yang

berlangsung tidak hany amengajarkan pengetahuan yang bersifat

kognitif, tetapi juga mengajarkan nilai – nilai untuk mengembangkan

potensi alamiah afektif siswa.

5. Keterkaitan

Konsep – konsep dalam matematika tidak bersifat parsial, namun

banyak konsep matematika yang memiliki keterkaitan. Oleh karena itu,

konsep – konsep matematika tidak dikenalkan kepada siswa secara

terpisah atau terisolasi satu sama lain. Pendidikan Matematika Realistik

menempatkan keterkaitan (intertwinement) antar konsep matematika

sebagai hal yang harus dipertimbangkan dalam proses pembelajaran.

Melalui keterkaitan ini, satu pembelajaran matematika diharapkan bisa

mengenalkan dan membangun lebih dari satu konsep matematika secara

bersamaan (walau ada konsep yang dominan).

Dalam PMR kita kenal kata matematisasi. Secara bahasa, kata

matematisasi berasal dari mathematisation atau mathematization. Kata

mathematisation maupun mathematization merupakan kata benda dari kata

kerja mathematize atau mathematize yang artinya adalah mematematikakan.

Jadi, arti sederhana dari matematisasi adalah suatu proses untuk


32

mematematikakan suatu fenomena. Mematematikakan bisa diartikan sebagai

memodelkan suatu fenomena secara matematis (dalam arti mencari

matematika yang relevan terhadap suatu fenomena) ataupun membangun suatu

konsep matematika dari suatu fenomena. Menurut Freudenthal, matematisasi

dalam pembelajaran matematika adalah sebagai suatu proses peningkatan dan

pengembangan ide matematika secara bertahap yang disebut level – raising.

Berkaitan dengan pAndangan Freudenthal tentang level – raising, De

Large (1987) mendefenisikan matematisasi sebagai pengorganisasian kegiatan

dalam menemukan keteraturan (regularities), hubungan (relations), dan

struktur (structures) dengan menggunakan pengetahuan dan keterampilan

awal. Secara umum, matematisasi dalam PMR melibatkan dua proses utama

yaitu generalisasi (generalizing) dan formalisasi (formalizing). Generalisasi

berkaitan dengan pencarian pola dna hubungan sedangkan formalisasi

melibatkan pemodelan, simbolisasi, skematisasi, dan pendefinisian. De Large

membagi matematisasi menjadi dua yaitu matematisasi horizontal dan

matematisasi vertikal. Proses matematisasi horizontal diawali dengan

pengidentifikasian konsep matematika berdasarkan keteraturan (regularities)

dan hubungan (relations) yang ditemukan melalui visualisasi dan skematisasi

masalah. Proses matematika horizontal dapat dicapai melalui kegiatan –

kegiatan berikut:

1. Identifikasi matematika dalam suatu konteks umum

2. Skematisasi

3. Formulasi dan visualisasi masalah dalam berbagai cara


33

4. Pencarian keteraturan dan hubungan

5. Transfer masalah nyata ke dalam model matematika

Matematisasi vertikal merupakan bentuk proses formalisasi (formalizing)

di mana model matematika yang diperoleh pada matematisasi horizontal

menjadi lAndasan dalam pengembangan konsep matematika yang lebih formal

melalui proses matematisasi vertikal. Proses matematisasi vertikal terjadi

melalui serangkaian kegiatan sekaligus tahapan berikut:

1. Representasi suatu relasi ke dalam suatu rumus atau aturan

2. Pembuktian keteraturan

3. Penyesuaian dan pengemabngan model matematika

4. Penggunaan model matematika yang bervariasi

5. Pengombinasian dan pengintegrasian model matematika

6. Perumusan suatu konsep matematika baru

7. Generalisasi

Secara umum, proses awal matematisasi adalah penerjemahan masalah

dunia nyata ke dalam masalah matematika. Proses ini mencakup kegiatan

sebagai berikut:

1. Mengidentifikasi konsep matematika yang relevan dengan masalah

dunia nyata

2. Merepresentasikan masalah dengan berbagai cara yang berbeda,

termasuk mengorganisasikan masalah sesuai dengan konsep

matematika yang relevan, serta merumuskan asumsi yang tepat


34

3. Mencari hubungan antara “bahasa” masalah dengan simbol dan

“bahasa” formal matematika supaya masalah nyata bisa dipahami

secara matematis

4. Mencari keteraturan, hubungan, dan pola yang berkaitan dengan

masalah

5. Menerjemahkan maslaah ke dalam bentuk matematika yaitu dalam

bentik model matematika (De Large, 1987)

Setelah siswa berhasil menerjemahkan masalah dunia nyata ke dalam

bentuk matematika, proses selanjutnya terjadi di dalam dunia matematika di

mana siswa bisa menggunakan konsep dan keterampilan matematika yang

sudah mereka kuasai. Pada tahap ini, siswa melakukan serangkaian proses

sebagai berikut:

1. Menggunakan berbagai representasi matematis yang berbeda

2. Menggunakan simbol, “bahasa” dan proses matematika formal

3. Melakukan penyesuaian dan pengembangan model matematika,

mengombinasikan dan menggabungkan berbagai model

4. Argumentasi matematis

5. Generalisasi

Tahap terakhir yang dilakukan adalah melakukan refleksi proses dan hasil

matematisasi. Pada tahap ini, siswa melakukan interpretasi dan validasi hasil,

yang meliputi proses:

1. Memahami perluasan dan keterbatasan konsep matematika (dalam

relevansinya terhadap masalah dunia nyata)


35

2. Merefleksi argumen matematis serta menjelaskan hasil

3. Mengomunikasikan proses dan hasil

Dalam penelitian ini, peneliti akan menyusun Hypothetical Learning

Trajectory (HLT) berdasarkan karakteristik – karakteristik PMR menurut

Treffers (dalam Ariyadi, 2012: 21) yaitu penggunaan konteks, penggunaan

model untuk matematisasi progresif, pemanfaatan hasil konstruksi siswa,

interaktivitas, dan keterkaitan untuk membelajarkan materi program linear.

C. Kemampuan memodelkan

Ariyadi (2010: 22) menjelaskan dalam Pendidikan Matematika Realistik,

model digunakan dalam melakukan matematisasi secara progresif. Penggunaan

model berfungsi sebagai jembatan (bridge) dari pengetahuan dan matematika

tingkat konkrit menuju pengetahuan matematika tingkat formal. “Model”

merupakan suatu alat “vertikal” dalam matematika yang tidak bisa dilepaskan

dari proses matematisasi (yaitu matematisasi horizontal dan matematisasi

vertikal) karena model merupakan tahapan proses transisi level informal

menuju level matematika formal. Secara umum ada dua macam model dalam

Pendidikan Matematika Realistik, yaitu model of dan model for. Maaβ (2010)

dalam Ariyadi (2012: 46) mengatakan bahwa dalam Pendidikan Matematika

Realistik (PMR), kata “model” disini tidak berarti alat peraga, melainkan

sebagai suatu bentuk representasi matematis dari suatu masalah. Oleh karena

itu kata model atau pemodelan tidak bisa dilepaskan dari proses matematisasi.

Widowati dan Sutimin (Pitriani, 2016: 3) mendefinisikan bahwa

pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk


36

merepresentasikan dna menjelaskan sistem – sistem fisik atau problem pada

dunia real dalam pernyataan matematik sehingga diperoleh pemahaman dari

problem dunia real menjadi lebih tepat. Parlaungan (Pitriani, 2016: 4)

mendefinisikan pemodelan matematika merupakan penerjemahan masalah

nyata yang telah diidentifikasikan ke dalam lambang atau bahasa matematika,

proses pemodelan dapat diterjemahkan dari fenomena atau masalah dunia real

menjadi masalah matematika. Ariyadi (2012: 41) mengatakan bahwa

kemampuan memodelkan dalam Pendidikan Matematika Realistik (PMR)

merupakan kemampuan seseorang untuk merepresentasikan suatu fenomena

secara matematis atau membangun suatu konsep matematika dari suatu

fenomena. Pitriani (2016: 11) mendefinisikan kemampuan memodelkan dalam

kaitannya dengan PMR adalah kemampuan yang dimiliki sesorang untuk

menyajikan masalah nyata (informal) menjadi bentuk abstrak (formal) dalam

bentuk tampilan gambar, grafis, prosedur kerja yang teratur dan sistematis,

serta mengandung pemikiran bersifat uraian atau penjelasan untuk

menyelesaikan permasalahan matematika.

Dari beberapa definisi yang telah dipaparkan terkait kemampuan

memodelkan, maka dapat disimpulkan bahwa kemampuan memodelkan dalam

matematika adalah kemampuan seseorang dalam merepresentasikan suatu

masalah nyata secara matematis atau menerjemahkan suatu masalah

kontekstual atau realistik ke dalam simbol – simbol matematika yang sesuai.

Penggunaan model merupakan salah satu aspek yang diperhatikan dalam

PMR. Karakteristik PMR yang kedua menempatkan penggunaan model untuk


37

matematisasi progresif sebagai hal yang penting dalam penemuan dan

pembangunan konsep matematika oleh siswa. Gravemeijer (Ariyadi, 2012: 47)

menyebutkan empat level atau tingkatan dalam pengembangan model, yaitu:

1. Level situasional

Level situasional merupakan level paling dasar dari pemodelan dimana

pengetahuan dan model masih berkembang dalam konteks situasi masalah

yang digunakan.

2. Level referensial

Pada level ini, model dan strategi yang dikembangkan tidak berada di

dalam kontek situasi, melainkan sudah merujuk pada konteks. Pada level

ini, siswa membuat model untuk menggambarkan situasi konteks sehingga

hasil pemodelan pada level ini disebut sebagai model dari (model of)

siatuasi.

3. Level general

Pada level general, model yang dikembangkan siswa sudah mengarah pada

pencarian solusi secara matematis. Model pada level ini disebut model

untuk (model for) penyelesaikan masalah.

4. Level formal

Pada level formal, siswa sudah bekerja dengan menggunakan simbol dan

representasi matematis. Tahap formal merupakan tahap perumusan dan

penegasan konsep matematika yang dibangun oleh siswa.

Berikut ini dipaparkan indikator – indikator kemampuan memodelkan

matematika berdasarkan empat level atau tingkatan pengembangan model yang


38

akan digunakan dalam penelitian ini untuk mendeskripsikan kemampuan

memodelkan mahasiswa pada masalah program linear.

Tabel 2.1. Indikator Kemampuan Memodelkan

Tes

Tertulis

ke-

Indikator Soal Indikator Kemampuan Memodelkan

I 1. Mahasiswa dapat

menyederhanakan

asumsi dari masalah

yang terkait dengan pertidaksamaan linear

dua variabel

2. Mahasiswa dapat mengklarifikasi tujuan

penyelesaian masalah


dua variabel

3. Mahasiswa dapat

memisalkan objek ke dalam variabel

berdasarkan masalah


dua variabel

4. Mahasiswa dapat

merumuskan pernyataan matematika dan

menentukan model

matematika berdasarkan masalah yang terkait

dengan pertidaksamaan

linear dua variabel 5. Mahasiswa dapat

menggambar daerah

penyelesaian model

yang sudah dibuat terkait masalah

pertidaksamaan linear

dua variabel

Level situasional:

1. Mahasiswa mampu membuat kemungkinan

banyaknya objek dari masalah yang diberikan

2. Mahasiswa mampu menghitung jumlah dari nilai kemungkinan banyaknya objek

3. ahasiswa mampu membuat himpunan

pasangan terurut dari kemungkinan – kemungkinan banyaknya objek-objek

Level referensial:

1. Mahasiswa mampu membuat pemisalan

terhadap objek dari masalah yang diberikan ke dalam variabel


masing-masing variabel 3. Mahasiswa mampu menghitung jumlah dari

nilai variabel-variabel

4. Mahasiswa mampu memplotkan titik – titik

(kemungkinan variabel yang dimisalkan) pada diagram Cartesius

Level general

1. Mahasiswa mampu membuat pemisalan terhadap objek dari masalah yang diberikan

ke dalam variabel


variabel yang dimisalkan sebagai himpunan pasangan terurut

3. Mahasiswa mampu membentuk sebuah

persamaan untuk menghitung nilai dari pasangan terurut yang dibuat

4. Mahasiswa mampu menghitung nilai dari

pasangan terurut yang sudah dibuat 5. Mahasiswa mampu memplotkan pasangan

terurut dan nilai dari pasangan terurut pada

diagram Cartesius

Level formal:


terhadap objek dari masalah yang diberikan

ke dalam variabel 2. Mahasiswa mampu membentuk sebuah

pertidaksamaan linear dua variabel dari

masalah yang diberikan


39

3. Mahasiswa mampu menggambar grafik

persamaan dari pertidaksamaan linear dua

variabel 4. Mahasiswa mampu menentukan daerah

penyelesaian dengan memperhatikan

syaratnya

5. Mahasiswa mampu memplotkan titik – titik yang merupakan penyelesaian yang ada di

dalam daerah penyelesaian

II 1. Mahasiswa dapat menyederhanakan

asumsi dari masalah

yang terkait dengan

program linear dua variabel

2. Mahasiswa dapat

mengklarifikasi tujuan penyelesaian masalah

yang terkait program


menentukan variabel,

koefisien dan konstanta

terkait masalah program linear dua variabel

4. Mahasiswa dapat

merumuskan pernyataan matematika

dan menentukan model

matematika terkait masalah program linear

dua variabel

5. Mahasiswa dapat

menyelesaikan masalah yang terkait dengan

program linear dua

variabel 6. Mahasiswa dapat

menginterpretasikan

kembali hasil

penyelesaiannya sesuai dengan konteks

masalah awal

Level situasional:

1. Mahasiswa mampu mengidentifikasi yang

diketahui dan ditanya dalam masalah yang

diberikan

2. Mahasiswa mampu membuat kemungkinan banyaknya objek berdasarkan kendala dari


3. Mahasiswa mampu membuat himpunan penyelesaian kemungkinan – kemungkinan

banyaknya banyaknya objek himpunan

pasangan terurut 4. Mahasiswa mampu menentukan

kemumgkinan keuntungan atau harga paling

murah yang diperoleh dari banyaknya objek

5. Mahasiswa mampu membuat kesimpulan tentang hasil akhir penyelesaian sesuai

dengan yang ditanyakan pada masalah yang

diberikan

Level referensial:


diketahui dan ditanya dalam masalah yang

diberikan 2. Mahasiswa mampu membuat pemisalan


ke dalam variabel 3. Mahasiswa mampu membuat kemungkinan

masing-masing variabel dengan

memperhatikan kendala yang ada pada masalah

4. Mahasiswa mampu mengitutung jumlah

kendala dan keuntungan atau harga paling

murah yang diperoleh dari variabel yang dimisalkan

5. Mahasiswa memplotkan titik – titik

(kemungkinan dari variabel yang dimisalkan) pada diagram Cartesius

6. Mahasiswa menghitung kemungkinan besar

keuntungan yang diperoleh dari penjualan

masing-masing yang sudah dibuat 7. Mahasiswa mampu menarik kesimpulan

sesuai konteks awal


40

Level general:


diketahui dan ditanya dalam masalah yang diberikan



ke dalam variabel 3. Mahasiswa mampu membuat kemungkinan

variabel yang dimisalkan sebagai himpunan

pasangan terurut 6. Mahasiswa mampu membentuk sebuah

persamaan untuk menghitung nilai dari

pasangan terurut yang dibuat 8. Mahasiswa mampu membentuk persamaan

untuk menghitung keuntungan atau harga

paling murah yang diperoleh dari variabel

yang dimisalkan dan jumlah dari kendala yang ada

4. Mahasiswa Mahasiswa mampu memplotkan

pasangan terurut dan nilai dari pasangan terurut pada diagram Cartesius

5. Mahasiswa mampu menarik kesimpulan

sesuai konteks awal

Level Formal


terhadap objek dari masalah yang diberikan ke

dalam variabel 2. Mahasiswa mampu membentuk fungsi

objektif

3. Mahasiswa mampu membentuk kendala 4. Mahasiswa mampu menuliskan syarat

variabel berdasarkan masalah pada soal yang

diberikan

5. Mahasiswa mampu menyelesaikan model matematika yang telah dibuat sesuai aturan

penyelesaian masalah program linear

6. Mahasiswa mampu menarik kesimpulan sesuai konteks awal

D. Program Linear

Program linear merupakan suatu metode yang digunakan untuk

memecahkan masalah optimasi (Hardi Suyitno, 2016: 1). B. D. Nasendi dan

Affendi Anwar (1985 : 13) menjelaskan bahwa program linear pada hakikatnya

merupakan suatu teknik perencanaan yang bersifat analitis yang analisis –


41

analisisnya memakai model matematika dengan tujuan menemukan beberapa

kombinasi alternatif pemecahan masalah, kemudian dipilih mana yang terbaik

diantaranya dalam rangka menyusun strategi dan langkah – langkah kebijakan

lebih lanjut tentang alokasi sumber daya dan dana yang terbatas guna mencapai

tujuan yang diinginkan secara optimal. Penekanan disini adalah pada alokasi

optimal atau kombinasi optimum yang tidak lain adalah memaksimumkan dan

meminimumkan fungsi tujuan yang memenuhi persyaratan – persyaratan yang

dikehendaki oleh syarat ikatan (kendala) dalam bentuk ketidaksamaan linear.

Susanta (1994: 13) menyebutkan pola umum atau skenario masalah yang

dapat dimodelkan dengan program linear dapat digambarkan sebagai berikut:

1. Adanya pilihan kombinasi beberapa faktor kegiatan

2. Adanya sumber penunjang beserta batasnya

3. Adanya fungsi sasaran yang harus dioptimumkan

4. Relasi yang timbul antara faktor – faktor semuanya linear

Richard Skemp (Hardi Suyitno, 2017: 2) menyebutkan pemecahan

masalah program linear melalui tahap – tahap berikut:

1. Memahami masalah di bidang yang bersangkutan

2. Menyusun model matematika (menentukan tipe masalah minimum atau

maksimum, mendefinisikan variabel keputusan, merumuskan fungsi

tujuan, merumuskan kendala, dan persyaratan non negatif)

3. Menyelesaikan model matematika (mencari jawaban model)

4. Mendefinisikan jawaban model menjadi jawaban atas masalah yang nyata


42

Secara umum, masalah program linear dapat dirumuskan sebagai berikut

(Susanta, 1994: 6):

Mencari 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 yang memaksimumkan (atau meminimumkan)

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + 𝑐3𝑥3+. . . +𝑐𝑛𝑥𝑛

dengan kendala:

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2+. . . +𝑐1𝑛𝑥𝑛 (≤, =, ≥) 𝑏1

𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2+. . . +𝑐2𝑛𝑥𝑛 (≤, =, ≥) 𝑏2

𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2+. . . +𝑐𝑚𝑛𝑥𝑛(≤, =, ≥) 𝑏3

𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0, . . . , 𝑥𝑛 ≥ 0

Keterangan:

nxxx ,...,, 21 merupakan variabel keputusan

nccc ,...,, 21 merupakan kontribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi

tujuan, disebut pula sebagai koefisien fungsi tujuan suatu model matematika

mnaaa ,...,, 1211 merupakan penggunaan setiap unit sumber daya dari setiap

variabel keputusan yang terbatas, disebut pula suatu koefisien kendala model

matematika.

Dalam menyelesaikan maslaah program linear terdapat dua metode yaitu

metode grafik dan metode simpleks. Pada metode grafik dapat dilakukan

dengan dua cara yaitu dengan metode garis selidik dan uji titik pojok. Dalam

penelitian ini, yang akan diteliti adalah masalah program linear dua variabel

untuk bilangan bulat dengan kendala berbentuk pertidaksamaan yang akan

diselesaikan dengan menggunakan metode garis selidik. Dalam menentukan

nilai optimum fungsi tujuan (objektif) dengan menggunakan garis selidik untuk


43

masalah program linear bilangan bulat, dapat dilakukan dengan langkah –

langkah berikut:

1. Menentukan fungsi tujuan (objektif) dan kendala – kendala berupa model

pertidaksamaan dari informasi soal dan syarat variabel keputusan anggota

bilangan bulat (model program linear)

2. Sketsa daerah layak yang menjadi solusi dari sistem pertidaksamaan

tersebut (kendala) dan menentukan titik layak syarat variabel keputusan

anggota bilangan bulat pada bidang koordinat

3. Menentukan garis selidik ax + by = k apabila fungsi objektifnya f(x, y) =

ax + by, a, b, dan k bilangan real. Garis selidik – garis selidik yang dibentuk

merupakan himpunan garis yang memiliki gradien yang sama yaitu b

a− .

Garis selidik yang digambar minimal dua garis agar dapat melihat

kemiringan dan arah pergeseran dari garis tersebut. Lebih banyak garis

selidik yang dibentuk lebih baik karena dapat mempermudah untuk

menentukan titik dan nilai optimum.

4. Untuk menentukan nilai maksimum fungsi objektif maka carilah garis

selidik dengan k terbesar dan melalui semua titik layak sedangkan untuk

menentukan nilai minimum fungsi objektif maka carilah garis selidik

dengan nilai k terkecil dan melalui semua titik layak. Titik layak yang

menyebabkan nilai optimum fungsi objektif merupakan titik optimumnya.

Berikut dipaparkan contoh dari masalah program linear bilangan bulat yang

diselesaikan menggunakan garis selidik.


44

Gambar 2. 1. Contoh Masalah Program Linear Bilangan Bulat

Penyelesaian:

Langkah pertama:

Ubah permasalahan di atas menjadi model matematika.

Fungsi tujuan: memaksimumkan yxyxf 000.500.3000.000.5),( +=

Setiap enam bulan, seorang pemilik usaha tanaman hias memesan

tanaman hias Aglaonema dan Sansevieria dari agen besar yang

berturut – turut memberikan keuntungan sebesar Rp 5.000.000 dan

Rp 3.500.000 per unit yang terjual. Dibutuhkan waktu yang cukup

lama untuk menghasilkan satu tanaman hias dengan kualitas paling

baik. Oleh karena itu agen besar memiliki aturan bahwa setiap

pemesanan tanaman hias Aglaonema paling sedikit 20% dari

seluruh pesanan tanaman hias lain. Pemilik usaha tanaman hias

memiliki total lahan 30m2. Satu tanaman hias Aglaonema

memerlukan lahan 3 m2 dan satu tanaman hias Sansevieria

memerlukan lahan 2 m2. Dalam keadaan demikian, berapa banyak

tanaman hias Aglaonema dan Sansevieria sebaiknya dipesan (per

enam bulan) jika diketahui bahwa pada akhir semester tanaman hias

pasti habis terjual dan pemilik usaha tersebut ingin

memaksimumkan laba total?


45

Misalkan x adalah banyak tanaman hias Aglaonema yang dipesan dan y adalah

banyak tanaman hias Sansevieria yang dipesan. Sehingga diperoleh model

program linear:

Kendala.

Kendala utama:

( )yxx +100

20 atau 04 − yx

3023 + yx

Kendala nonnegatif:

0

0

y

x

Zyx ,

Langkah kedua: Menggambar daerah penyelesaian dari kendala dan

memplotkan titik penyelesaiannya.

Gambar 2. 2. Gambar Daerah Penyelesaian Kendala

Daerah

Penyelesaian


46

Langkah ketiga

Gambarkan 2 garis selidik dengan mengambil 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑧 = 0 berarti

5.000.000𝑥 + 3.500.000𝑦 = 0 dan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑧 = 35.000.000 berarti

5.000.000𝑥 + 3.500.000𝑦 = 35.000.000. Karena tujuan untuk

memaksimumkan 𝑓 maka garis selidik di geser ke kanan sampai titik

penyelesaian yang terakhir dan diperoleh titik (4,9) sebagai titik

maksimummnya dengan nilai maksimum 5.000.000(4) + 3.500.000(9) =

51.500.000

Gambar 2. 3. Gambar Pergeseran Garis Selidik

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa pemilik usaha memesan 4 tanaman

hias Aglaonema dan 9 tanaman hias Sansevieria dan akan diperoleh

keuntungan maksimum sebesar Rp 51.500.000.

E. Penelitian yang Relevan

1. Nuryadin Eko Raharjo (2007)

Penelitian ini dilatarbelakangi oleh hasil dokumentasi dari pengajaran.

Dimana secara keseluruhan indeks prestasi mahasiswa pada mata kuliah


47

matematika masih dibawah harapan yaitu baru mencapai 2,68. Hal ini

dikarenakan tingkat pemahaman mahasiswa dalam mata kuliah matematika

masih abstrak (mahasiswa belum sepenuhnya memahami dan belum tahu

manfaat mata kuliah matematika).

Tujuan dari penelitian ini adalah (1) meningkatkan kompetensi

mahasiswa bidang matematika melalui penerapan PMR dan (2)

menganalisa hambatan – hambatan dalam penerapan PMR beserta

solusinya. Metode penelitian yang digunakan adalah penelitian tindakan

kelas (classroom action research). Analisis data yang digunakan adalah

deskriptif kuantitatif. Analisis data dilakukan dengan cara mencari harga

rata – rata dan persentasenya. Analisis data dilakukan secara deskriptif

untuk menggambarkan keadaan data serta kesimpulannya.

Proses penelitian dimulai dengan mendiagnosis kesulitan/kendala yang

yang dihadapi dalam proses belajar mengajar di kelas, kemudian

merumuskan rencana tindakan, melaksanakan tindakan, memonitor proses

tindakan, mengevaluasi hasil tindakan, merefleksi peristiwa yang terjadi

pada proses tindakan dan merevisi perencanaan atau pelaksanaan penelitian

ini meliputi: (1) lembar presensi, (2) lembar monitoring yang terdiri dari

pemahaman mahasiswa tentang aplikasi model pada dunia nyata, keaktifan

mahasiswa dalam mengkonstruksi pengetahuan, tingkat hubungan

interaktif antar mahasiswa dan dengan dosen, keterkaitan dengan materi

lainnya, kendala/kesulitan, dan lembar nilai.


48

Hasil dari penelitian ini menunjukkan (1) penerapan model

pembelajaran PMR pada mata kuliah matematika dapat meningkatkan

pencapaian kompetensi mahasiswa dalam bidang matematika yang

ditandai dengan (a) rerata prestasi mahasiswa meningkat, (b) pemahaman

mahasiswa tentang aplikasi model pembelajaran yang semakin meningkat,

(c) keaktifan mahasiswa semakin meningkat dalam mengkonstruksi

pengetahuan, dan (d) interaksi mahasiswa dengan dosen yang semakin

tinggi, dan (2) kendala yang dihadapi adalah tidak semua sub – sub

kompetensi dapat dibuatkan model realsitiknya sehingga terdapat beberapa

sub – sub kompetensi yang disampaikan tanpa model realistik.

2. Dian Permana Putri, Herri Sulaiman, Ika Wahyuni, dan Jajo Firman

Raharjo (2015)

Penelitian ini dilatarbelakangi oleh karena mata kuliah Persamaan

Diferensial merupakan mata kuliah wajib dan merupakan mata kuliah

prasyarat untuk mengambil mata kuliah berikutnya yaitu Nilai Awal dan

Syarat Batas (NASB) pada Program Studi Pendidikan Matematika,

khususnya di intansi UNSWAGATI. Tingkat kelulusan mahasiswa

berdasarkan hasil dari nilai ujian tengah Semester (UTS) dan Ujian Akhir

Semester (UAS) pada mata kuliah ini masih sangat rendah (kira-kira tidak

lebih dari 50%). Penelitian ini juga dilatarbelakngi oleh pengalaman dosen

yang membina dan mengampu mata kuliah Persamaan Diferensial ini

dimana rendahnya hasil belajar dan motivasi mahasiswa sangat mungkin

diakibatkan oleh pelaksanaan pembelajaran yang belum sesuai dengan


49

kebutuhan mereka, mengingat setiap mahasiswa tentunya memiliki lintasan

belajar yang berbeda-beda. Penyajian materi yang tertuang dalam buku teks

dan soal-soal latihan masih belum mampu membantu mahasiswa untuk

belajar memahaminya secara efektif dan komprehensif.

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui pengaruh motivasi

melalui pendekatan Pembelajaran Matematika Realistik (PMR) dalam

mata kuliah Persamaan Diferensial terhadap hasil belajar dan efektivitas

PMR terhadap hasil belajar. Metode penelitian yang digunakan dalam

penelitian ini adalah metode eksperimen.

Teknik analisis data yang digunakan dalam penelitian ini adalah regresi

linier sederhana untuk melihat besarnya pengaruh, uji linieritas regresi

dilakukan untuk mengukur derajat keeratan hubungan, memprediksi

besarnya arah hubungan itu, serta meramalkan besarnya variable dependen

jika nilai variabel independen diketahui dan analisis korelasi. Proses

penelitian yang berlangsung yaitu peneliti memberikan pretest yang

bertujuan agar terlihat pengaruh perlakukan terhadap kemampuan dari

mahasiswa yang ingin dicapai dengan cara membandingkan hasil posttest.

Hasil dari penelitian ini menunjukan bahwa (1) terdapat pengaruh

motivasi melalui pendekatan Pembelajaran Matematika Realistik (PMR)

dalam mata kuliah Persamaan Diferensial terhadap hasil belajar (2)

Pendekatan Matematika Realistik efektif diterapkan dalam mata kuliah

persamaan diferensial. Hal ini didasarkan pada hasil uji regresi yaitu

ketuntasan rata-rata hasil belajar mahasiswa dengan batas KKM = 65


50

sebesar 76,45 dan hasil belajar matematis mahasiswa dipengaruhi oleh

keaktifan dan motivasi mahasiswa sebesar 85,4%. Berarti terdapat

pengaruh aktivitas terhadap hasil belajar dan motivasi mahasiswa yang

pembelajarannya menggunakan pendekatan matematika realistik

dibandingkan dengan pembelajaran konvensional.

3. Asma Daud & Nurwan (2017)

Penelitian ini dilatarbelakangi oleh beberapa faktor yaitu pembelajaran

matematika yang kurang menariknya bagi siswa. Hal tersebut dikarenakan

pendekatan pembelajaran yang digunakan oleh guru, media pembelajaran,

sarana prasarana pembelajaran dan lain-lain. Kegiatan rutinitas guru dalam

pembelajaran menjadikan siswa bosan dan mengalihkan perhatiannya di

luar pembelajaran matematika. Rutinitas guru yang dimaksud adalah guru

menjelaskan, guru memberikan contoh soal kemudian guru memberikan

latihan. Aktifitas dalam pembelajaran hanya bersifat satu arah, tanpa

disertai komunikasi antara siswa dan guru dalam menyelesaikan

permasalahan matematika yang ada.

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk meningkatkan kemampuan

siswa dalam membuat model matematika pada materi program linear

melalui pendekatan matematika realistik. Jenis penelitian ini adalah

penelitian tindakan kelas (classroom action research) dengan

menggunakan dua) siklus. Metode pengumpulan data yang digunakan

dalam penelitian ini adalah observasi/pengamatan aktivitas siswa dan tes

hasil belajar siswa. Teknik analisis data terdiri dari penyajian data, analisis


51

data dan verifikasi data. Proses pada penelitian ini yaitu dengan dilakukan

pembelajaran menggunakan pendekatan PMR yang dibagi dalam dua

siklus. Masing – maisng siklus diambil data tes hasil belajar siswa dan hasil

pengamatan aktivitas siswa.

Hasil penelitian ini menunjukan bahwa kemampuan membuat model

matematika materi program linear sebelum dikenai tindakan sebesar

46,43% dan setelah dikenai tindakan meningkat menjadi 85,71%. Daud &

Nurman membuat kesimpulan dari penelitian ini yaitu pembelajaran

dengan pendekatan matematika realistrik dapat meningkatkan kemampuan

siswa dalam membuat model matematika pada materi program linear bagi

siswa kelas XI Administrasi Perkantoran 4 SMK Negeri 1 Gorontalo.

F. Kerangka Berpikir

Berdasarkan hasil tes awal yang dilakukan peneliti pada mahasiswa

semester V dan wawancara dengan dosen mata kuliah program linear, terdapat

masalah yang ditemukan adalah mahasiswa kesulitan dalam memodelkan

masalah yang diberikan ke dalam model baku program linear baik fungsi

objektif maupun kendalanya, mahasiswa kesulitan dalam menggambar grafik

dan mentukan daerah layak karena mahasiswa tidak tahu cara untuk

menggambar grafik dan hanya mengAndalkan beberapa aplikasi seperti

geogebra tanpa mengetahui alasan mengapa memiliki grafik dan daerah layak

tersebut. Mahasiswa belum terlalu bisa menguasai materi – materi prasyarat

seperti materi pertidaksamaan. Menurut mahasiswa masalah – masalah yang

diberikan terlalu panjang yang membuat mahasiswa malas untuk lebih teliti


52

dalam memahami masalah tersebut dan mengakibatkan mereka salah dalam

memodelkan.

Dari penelitian Nuryadin Eko Raharjo (2007) diperoleh hasil bahwa (1)

penerapan model pembelajaran PMR pada mata kuliah bidang matematika di

program studi Teknik Sipil dapat meningkatkan pencapaian kompetensi

mahasiswa dalam bidang matematika yang ditandai dengan (a) rerata prestasi

mahasiswa meningkat, (b) pemahaman mahasiswa tentang aplikasi model

pembelajaran yang semakin meningkat, (c) keaktifan mahasiswa semakin

meningkat dalam mengkonstruksi pengetahuan, dan (d) interaksi mahasiswa

dengan dosen yang semakin tinggi, dan (2) kendala yang dihadapi adalah tidak

semua sub – sub kompetensi dapat dibuatkan model realsitiknya sehingga

terdapat beberapa sub – sub kompetensi yang disampaikan tanpa model

realistic. Menurut hasil penelitian yang dilakukan oleh Dian Permana Putri,

dkk (2015) diperoleh hasil bahwa (1) terdapat pengaruh motivasi melalui

pendekatan PMR dalam mata kuliah persamaan diferensial terhadap hasil

belajar, (2) pendekatan PMR efektif diterapkan dalam mata kuliah persamaan

diferensial. Hal ini didasarkan pada hasil uji regresi yaitu ketuntasan rata – rata

hasil belajar mahasiswa dengan batas KKM 65 sebesar 76,45 dan hasil belajar

matematis mahasiswa dipengaruhi oleh kekatifan dan motivasi mahasiswa

sebesar 85,4%. Dari hasil penelitian Daud & Nurwan (2017), menunjukan

bahwa kemampuan membuat model matematika materi program linear

sebelum dikenai tindakan sebesar 46,43% dan setelah dikenai tindakan

meningkat menjadi 85,71%. Berdasarkan hasil penelian tersebut Daud &


53

Nurwan membuat kesimpulan bahwa pembelajaran dengan pendekatan

matematika realistrik dapat meningkatkan kemampuan siswa dalam membuat

model matematika pada materi program linear bagi siswa kelas XI

Administrasi Perkantoran 4 SMK Negeri 1 Gorontalo.

Berdasarkan penelitian – penelitian di atas, peneliti memutuskan untuk

memilih PMR sebagai pendekatan pembelajaran dalam desain pembelajaran

yang dirancang untuk materi program linear pada subjek mahasiswa

pendidikan matematika. Pendidikan Matematika Realistik (PMR) merupakan

suatu pendekatan dalam pembelajaran matematika yang memiliki lima

karakteristik yakni penggunaan konteks, penggunaan model untuk

matematisasi progresif, pemanfaatan hasil konstruksi siswa, interaktivitas, dan

keterkaitan. Disebutkan bahwa salah satu karakteristik dari PMR adalah

penggunaan model dimana pembelajaran matematika dipAndang sebagai

proses peningkatan dan pengembangan ide matematika secara bertahap yang

mencakup matematisasi horizontal dan matematisasi vertikal. Proses

matematisasi horizontal diawali dengan pengidentifikasian konsep matematika

berdasarkan keteraturan (regularities) dan hubungan (relations) yang

ditemukan melalui visualisasi dan skematisasi masalah. Sedangkan

matematisasi vertikal merupakan bentuk proses formalisasi (formalizing) di

mana model matematika yang diperoleh pada matematisasi horizontal menjadi

lAndasan dalam pengembangan konsep matematika yang lebih formal melalui

proses matematisasi vertikal. Dalam penelitian ini akan diberikan masalah

kontekstual terkait program linear dua variabel yang bisa dibayangkan oleh


54

mahasiswa dimana tujuan akhir yaitu mahasiswa dapat menyelesaikan masalah

program linear dua variabel untuk bilangan bulat menggunakan metode garis

selidik. Setelah dilakukan pembelajaran berdasarkan karakteristik PMR,

peneliti akan akan memberikan tes tertulis untuk mendeskripsikan kemampuan

memodelkan mahasiswa berdasarkan indikator kemampuan memodelkan dari

masing – masing level pengembangan model yaitu level situasional, level

referensial, level general, dan level formal.

Bagan 2.3. Kerangka Berpikir


55

BAB III

METODE PENELITIAN

A. Jenis Penelitian

Penelitian ini merupakan penelitian desain (design research). Cobb,

Stephen, McClain, & Gravemeijer (Indriani, 2009: 44-48) mendefinisikan

penelitian desain sebagai penelitian yang bertujuan untuk menghasilkan

dampak dari aktivitas pembelajaran yang dirancang dan untuk mengetahui

bagaimana pembelajaran tersebut dapat berjalan.

Tujuan dalam penelitian ini yaitu 1) mendeskripsikan langkah – langkah

membelajarkan materi program linear dengan menggunakan pendekatan PMR

dan 2) mendeskripsikan kemampuan memodelkan mahasiswa setelah

mengalami proses pembelajaran dengan menggunakan pendekatan PMR.

Maka menurut peneliti, penelitian yang sesuai untuk mencapai tujuan tersebut

adalah penelitian desain.

B. Tempat dan Waktu Penelitian

Penelitian ini dilaksanakan di kelas C semester IV program studi Pendidikan

matematika universitas Sanata Dharma sebagai kelas uji coba dan kelas B

semester IV program studi Pendidikan matematika universitas Sanata Dharma

sebagai kelas penelitian yang beralamat di Jl. Paingan, Maguwoharjo, Depok,

Sleman, Yogyakarta. Penelitian ini dilaksanakan pada bulan Februari 2020

sampai dengan April 2020.


56

C. Subjek Penelitian dan Objek Penelitian

1. Subjek Penelitian

Subjek penelitian dalam penelitian ini adalah mahasiswa semester IV

kelas C program studi Pendidikan matematika universitas Sanata Dharma

sebagai subjek untuk kelas uji coba dan mahasiswa semester IV kelas B

program studi Pendidikan matematika universitas Sanata Dharma sebagai

subjek untuk kelas penelitian. Subjek dalam penelitian yang akan

diwawancarai adalah mahasiswa yang dipilih peneliti yang mewakili setiap

kelompok jawaban mahasiswa yang sama.

2. Objek Penelitian

Objek penelitian dalam penelitian ini adalah langkah – langkah

membelajarkan materi program linear dengan menggunakan pendekatan

Pendidikan Matematika Realistik dan kemampuan memodelkan

mahasiswa setelah mengalami proses pembelajaran dengan menggunakan

pendekatan Pendidikan Matematika Realistik.

D. Metode Pengumpulan Data

1. Catatan Harian

Catatan harian yang dilakukan dalam penelitian ini untuk mengetahui

langkah-langkah pembelajaran yang dilakukan menggunakan pendekatan

PMR yang mengacu pada karakteristik PMR yaitu penggunaan konteks,

penggunaan model untuk matematisasi progresif, pemanfaatan hasil

konstruksi siswa, interaktivitas, dan keterkaitan.


57

2. Dokumentasi

Pada penelitian ini, dokumentasi yang dilakukan berupa foto, video,

dan rekaman audio. Dokumentasi yang dilakukan dalam penelitian ini

dengan tujuan merekam segala aktivitas yang terjadi antara peneliti dna

mahasiswa selama penelitian.

3. Tes Tertulis

Tes tertulis yang diberikan dengan tujuan untuk mengetahui

kemampuan memodelkan mahasiswa setelah mengalami proses

pembelajaran menggunakan pendekatan PMR untuk keempat indikator

tujuan pembelajaran yaitu 1) mahasiswa dapat memodelkan masalah

kontekstual ke dalam pertidaksamaan linear dua variabel, 2) mahasiswa

dapat menyajikan grafik pertidaksamaan linear dua variabel dimana syarat

variabelnya bilangan bulat, 3) mahasiswa dapat memodelkan suatu masalah

kontektual yang berkaitan dengan program linear dua variabel, dan 4)

mahasiswa dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan

dengan program linear bilangan bulat dua variabel menggunakan garis

selidik. Pada penelitian ini, tes tertulis yang diberikan sebanyak 2 kali yaitu

tes tertulis I yang dilaksanakan pada akhir pembelajaran pertemuan

pertama (tujuan pembelajaran 1 dan 2) dan tes tertulis II yang dilaksanakan

pada akhir pembelajaran pertemuan ketiga (tujuan pembelajaran 3 dan 4).

4. Wawancara

Wawancara merupakan percakapan antara dua orang atau lebih dan

berlangsung antara narasumber dan pewawancara. Wawancara dilakukan


58

dengan tujuan mengecek kebenaran informasi yang telah diperoleh. Pada

penelitian ini, wawancara dilakukan setelah mahasiswa mengikuti proses

pembelajaran dan tes kemampuan memodelkan. Dari hasil tes kemampuan

memodelkan, peneliti mengelompokkan jawaban yang sama untuk masing-

masing nomor soal dan memilih perwakilan dari setiap kelompok untuk

diwawancarai. Wawancara yang dilakukan dengan tujuan untuk

mengonfirmasikan kembali kebenaran informasi yang telah diperoleh

maupun hal yang belum jelas dan untuk mendapatkan informasi yang lebih

mendalam tentang kemampuan memodelkan mahasiswa. Wawancara yang

dilakukan adalah wawancara semiterstruktur agar pelaksanaan wawancara

lebih bebas guna menggali data seluas-luasnya dari mahasiswa namun tidak

keluar konteks pembahasan penelitian.

E. Instrumen Pengumpulan Data

1. Lembar tes tertulis

Lembatr tes tertulis digunakan oleh peneltii setelah melaksanakan

pembelajaran dengan pendekatan PMR. Dalam penelitian ini peneliti

menggunakan lembar tes untuk mengetahui kemampouan memodelkan

mahasiswa. Berikut ini kisi-kisi tes tertulis mahasiswa.

Tabel 3.1. Kisi-kisi Tes Tertulis I Mahasiswa

Kompetensi Dasar: 1) Mahasiswa memodelkan masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan linear dua variabel dan 2) Mahasiswa menggambar daerah penyelesaian dari

pertidaksamaan linear dua variabel untuk bilangan bulat

Indikator Soal Indikator Kemampuan

Memodelkan

Soal

1. Mahasiswa dapat

menyederhanakan

asumsi dari masalah

Level situasional:

1. Mahasiswa mampu

membuat kemungkinan

Ibu meminta Anansi untuk

mengantar barang pesanan

berupa baju dan celana ke


59

yang terkait dengan


dua variabel

2. Mahasiswa dapat

mengklarifikasi tujuan

penyelesaian masalah yang terkait dengan


dua variabel

3. Mahasiswa dapat

memisalkan objek ke

dalam variabel

berdasarkan masalah yang terkait dengan


dua variabel

4. Mahasiswa dapat

merumuskan

pernyataan matematika dan

menentukan model

matematika berdasarkan masalah

yang terkait dengan


dua variabel

5. Mahasiswa dapat

menggambar daerah

penyelesaian model yang sudah dibuat

terkait masalah

pertidaksamaan linear dua variabel

banyaknya objek dari


2. Mahasiswa mampu menghitung jumlah dari

nilai kemungkinan

banyaknya objek

3. Mahasiswa mampu

membuat himpunan

pasangan terurut dari kemungkinan –

kemungkinan banyaknya

objek-objek

tetangganya. Satu karung baju

mempunyai berat 4 kg dan

satu karung celana mempunyai berat 6 kg Agar

lebih mudah dan cepat,

Anansi memutuskan untuk

mengantarkan pesanan tersebut menggunakan sepeda

motor. Namun Anansi

memiliki masalah yaitu sepeda motornya hanya dapat

membawa beban tidak lebih

dari 24 kg. a. Buatlah model

matematika dari

permasalahan di atas.

b. Gambarlah daerah penyelesaian dari model

matematika yang sudah

diperoleh pada bagian a sesuai dengan masalah

yang diberikan

Level referensial:

1. Mahasiswa mampu

membuat pemisalan


dalam variabel

2. Mahasiswa mampu

membuat kemungkinan masing-masing variabel

3. Mahasiswa mampu

menghitung jumlah dari nilai variabel-variabel

4. Mahasiswa mampu

memplotkan titik – titik (kemungkinan variabel

yang dimisalkan) pada

diagram Cartesius

Level general

1. Mahasiswa mampu

membuat pemisalan


dalam variabel

2. Mahasiswa mampu

membuat kemungkinan variabel yang dimisalkan

sebagai himpunan

pasangan terurut 3. Mahasiswa mampu

membentuk sebuah


pasangan terurut yang

dibuat

4. Mahasiswa mampu menghitung nilai dari


sudah dibuat


60

5. Mahasiswa mampu

memplotkan pasangan

terurut dan nilai dari pasangan terurut pada

diagram Cartesius

Level formal:


terhadap objek dari

masalah yang diberikan ke dalam variabel

2. Mahasiswa mampu

membentuk sebuah

pertidaksamaan linear dua variabel dari masalah yang

diberikan


persamaan dari


4. Mahasiswa mampu

menentukan daerah

penyelesaian dengan memperhatikan syaratnya

5. Mahasiswa mampu

memplotkan titik – titik yang merupakan

penyelesaian yang ada di


Tabel 3.2. Kisi-kisi Tes Tertulis II Mahasiswa Tes Tertulis

Kompetensi Dasar: 1) Mahasiswa menyelesaikan masalah program linear dua

variabel bentuk maksimum untuk bilangan bulat dan 2) Mahasiswa menyelesaikan

masalah program linear dua variabel bentuk minimum untuk bilangan bulat


Memodelkan

Soal

1. Mahasiswa dapat

menyederhanakan asumsi dari masalah

yang terkait dengan

program linear dua


mengklarifikasi

tujuan penyelesaian

Level situasional:

1. Mahasiswa mampu mengidentifikasi yang diketahui

dan ditanya dalam masalah yang

diberikan

2. Mahasiswa mampu membuat kemungkinan banyaknya objek

berdasarkan kendala dari


1. Suatu bengkel kayu

memproduksi dua jenis produk yaitu

kursi dan meja yang

harus diproses

melalui dua proses yaitu perakitan dan

finishing. Proses

perakitan memiliki 15


61

masalah yang

terkait program


menentukan

variabel, koefisien

dan konstanta terkait masalah

program linear dua


merumuskan

pernyataan matematika dan

menentukan model

matematika terkait

masalah program linear dua variabel

5. Mahasiswa dapat

menyelesaikan masalah yang

terkait dengan


6. Mahasiswa dapat

menginterpretasikan

kembali hasil penyelesaiannya

sesuai dengan

konteks masalah awal

3. Mahasiswa mampu membuat

himpunan penyelesaian

kemungkinan – kemungkinan banyaknya banyaknya objek

himpunan pasangan terurut

4. Mahasiswa mampu menentukan

kemumgkinan keuntungan atau harga paling murah yang

diperoleh dari banyaknya objek

5. Mahasiswa mampu membuat kesimpulan tentang hasil akhir

penyelesaian sesuai dengan yang

ditanyakan pada masalah yang diberikan

jam kerja perhari dan

proses finishing

memiliki 13 jam kerja perhari. Untuk

menghasilkan satu

buah kursi

dibutuhkan 2 jam perakitan dan 1 jam

finishing. Sedangkan

untuk menghasilkan satu buah meja

dibutuhkan 1 jam

perakitan dan 3 jam finishing.

Keuntungan untuk

tiap kursi Rp 20.000

dan tiap meja Rp 50.000. Berapa

keuntungan maksimal

yang diperoleh bengkel tersebut?

2. Seorang petani

memerlukan 3 jenis zat kimia berturut –

turut paling sedikit 10

kg zat kimia I, 12 kg

zat kimia II, dan 18 kg zat kimia III untuk

memupuk tanaman

sayurnya. Zat-zat tersebut tidak dapat

dibeli dalam bentuk

murni melainkan

terdapat dalam pupuk cair dan pupuk

kering. Setiap

kantong pupuk cair mengandung 2 kg zat

kimia I, 1 kg zat kimia

II, dan 3 kg zat kimia III. Sedangkan setiap

kantong pupuk kering

mengandung 1 kg zat

kimia I, 3 kg zat kimia II, dan 2 kg zat kimia

III. Apabila satu

kantong pupuk cair harganya Rp 15.000

dan harga satu


Level referensial:

1. Mahasiswa mampu

mengidentifikasi yang diketahui dan ditanya dalam masalah yang

diberikan

2. Mahasiswa mampu membuat pemisalan terhadap objek dari

masalah yang diberikan ke dalam

variabel

3. Mahasiswa mampu membuat kemungkinan masing-masing

variabel dengan memperhatikan

kendala yang ada pada masalah 4. Mahasiswa mampu mengitutung

jumlah kendala dan keuntungan

atau harga paling murah yang diperoleh dari variabel yang

dimisalkan

5. Mahasiswa memplotkan titik –

titik (kemungkinan dari variabel yang dimisalkan) pada diagram

Cartesius

6. Mahasiswa menghitung kemungkinan besar keuntungan

yang diperoleh dari penjualan

masing-masing yang sudah

dibuat 7. Mahasiswa mampu menarik

kesimpulan sesuai konteks awal

Level general:

1. Mahasiswa mampu

mengidentifikasi yang diketahui

dan ditanya dalam masalah yang

diberikan 2. Mahasiswa mampu membuat

pemisalan terhadap objek dari


62


variabel

3. Mahasiswa mampu membuat kemungkinan variabel yang

dimisalkan sebagai himpunan

pasangan terurut

4. Mahasiswa mampu membentuk sebuah persamaan untuk

menghitung nilai dari pasangan

terurut yang dibuat 5. Mahasiswa mampu membentuk

persamaan untuk menghitung

keuntungan atau harga paling murah yang diperoleh dari

variabel yang dimisalkan dan

jumlah dari kendala yang ada

6. Mahasiswa Mahasiswa mampu memplotkan pasangan terurut

dan nilai dari pasangan terurut

pada diagram Cartesius 7. Mahasiswa mampu menarik

kesimpulan sesuai konteks awal

Rp 17.000, berapa

banyak kantong

pupuk cair dan pupuk kering yang harus

dibeli agar total

harganya paling

murah dan keperluan zat-zat tersebut

terpenuhi? Berapakah

total harga yang paling murah?

Level Formal

1. Mahasiswa mampu membuat pemisalan terhadap objek dari


variabel 2. Mahasiswa mampu membentuk

fungsi objektif

3. Mahasiswa mampu membentuk kendala

4. Mahasiswa mampu menuliskan

syarat variabel berdasarkan

masalah pada soal yang diberikan 5. Mahasiswa mampu

menyelesaikan model

matematika yang telah dibuat sesuai aturan penyelesaian

masalah program linear

Mahasiswa mampu menarik kesimpulan sesuai konteks awal


63

2. Pedoman Wawancara

Pedoman wawancara dibuat untuk membantu peneliti saat melakukan

wawancara berupa pertanyaan-pertanyaan secara garis besar yang bersifat

menggali informasi tentang kemampuan memodelkan mahasiswa dan

mengonfirmasi jawaban mahasiswa yang akan dikembangkan berdasarkan

hasil tes mahasiswa untuk tes tertulis I dan tes tertulis II. Berikut ini

dipaparkan kisi-kisi pedoman wawancara mahasiswa.

Tabel 3.3. Kisi-kisi Pedoman Wawancara Mahasiswa Tes Tertulis I

Kompetensi

Dasar

Indikator Soal No

Soal

Indikator Kemampuan

Memodelkan

Pertanyaan

Mahasiswa memodelkan

masalah yang

berkaitan

dengan pertidaksamaan

linear dua

variabel

1. Mahasiswa dapat menyederhanakan

asumsi dari

masalah yang

terkait dengan pertidaksamaan

linear dua


mengklarifikasi

tujuan penyelesaian

masalah yang

terkait dengan

pertidaksamaan linear dua

variabel

3. Mahasiswa dapat memisalkan

objek ke dalam

variabel berdasarkan

masalah yang

terkait dengan

pertidaksamaan linear dua

variabel

4. Mahasiswa dapat merumuskan

pernyataan

1a Level situasional:

1. Mahasiswa mampu

membuat kemungkinan

banyaknya objek dari

masalah yang diberikan 2. Mahasiswa mampu

menghitung jumlah dari

nilai kemungkinan banyaknya objek

1. Bagaimana langkah awal yang

Anda dilakukan

dalam

menyelesaikan masalah yang

diberikan?

2. Bagaimana Anda menentukan

kemungkinan –

kemungkinan banyaknya karung

baju dan

banyaknya karung

celana (objek dari masalah)?

3. Bagaimana cara

Anda menghitung berat banyaknya

karung baju dan

jumlah berat banyaknya karung

celana (nilai dari

objek)?

4. Mengapa pernyataan –

peryataan tersebut

yang Anda misalkan ke dalam

Level referensial:

1. Mahasiswa mampu

membuat pemisalan terhadap objek dari masalah

yang diberikan ke dalam

variabel 2. Mahasiswa mampu

membuat kemungkinan

masing-masing variabel 3. Mahasiswa mampu

menghitung jumlah dari

nilai variabel-variabel

Level general

1. Mahasiswa mampu

membuat pemisalan

terhadap objek dari masalah yang diberikan ke dalam

variabel

2. Mahasiswa mampu

membuat kemungkinan variabel yang dimisalkan


64

matematika dan

menentukan

model matematika

berdasarkan

masalah yang

terkait dengan pertidaksamaan

linear dua

variabel

sebagai himpunan pasangan

terurut

3. Mahasiswa mampu membentuk sebuah

persamaan untuk

menghitung nilai dari

pasangan terurut yang dibuat

4. Mahasiswa mampu

menghitung nilai dari pasangan terurut yang sudah

dibuat

variabel –

variabel?

5. Mengapa menggunakan

tanda

pertidaksamaan

,, >, atau <?

6. Apakah perlu

menuliskan syarat

0x , 0y dan

Zyx , ?

Level formal:


terhadap objek dari masalah

yang diberikan ke dalam variabel

2. Mahasiswa mampu

membentuk sebuah pertidaksamaan linear dua

variabel dari masalah yang

diberikan

Mahasiswa menggambar

daerah

penyelesaian dari

pertidaksamaan

linear dua

variabel untuk bilangan bulat

Mahasiswa dapat menggambar daerah

penyelesaian model

yang sudah dibuat terkait masalah

pertidaksamaan

linear dua variabel

1b Level situasional:

Mahasiswa mampu membuat

himpunan pasangan terurut

dari kemungkinan – kemungkinan banyaknya

objek-objek

1. Bagaimana cara Anda menentukan

pasangan terurut

tersebut? 2. Bagaimana cara

Anda memplotkan

titik-titik tersebut

ke dalam diagram Cartesius?

3. Bagaimana cara

Anda menggambar

grafik persamaan

linear dua variabel?

4. Mengapa harus

menggambar

grafik 0=x dan

0=y ?

5. Mengapa daerah

ini yang Anda

pilih sebagai daerah

penyelesaian dari

masalah tersebut? 6. Mengapa tidak

semua titik dalam

Level referensial:

Mahasiswa mampu memplotkan titik – titik

(kemungkinan variabel yang

dimisalkan) pada diagram Cartesius

Level general:

Mahasiswa mampu

memplotkan pasangan terurut dan nilai dari pasangan terurut

pada diagram Cartesius

Level formal:


persamaan dari


2. Mahasiswa mampu

menentukan daerah penyelesaian dengan

memperhatikan syaratnya


65

3. Mahasiswa mampu

memplotkan titik – titik yang

merupakan penyelesaian yang ada di dalam daerah

penyelesaian

daerah

penyelesaiannya

tersebut bukan merupakan titik

penyelesaian?

Tabel 3.4. Kisi-kisi Pedoman Wawancara Mahasiswa Tes Tertulis II

Kompetensi

Dasar

No

Soal


Memodelkan

Pertanyaan

Mahasiswa

menyelesaikan

masalah program linear

dua variabel

bentuk maksimum

untuk bilangan

bulat

1 1. Mahasiswa dapat

menyederhanakan

asumsi dari masalah yang terkait dengan

program linear dua


mengklarifikasi

tujuan penyelesaian masalah yang

terkait program

linear dua variabel

3. Mahasiswa dapat menentukan

variabel, koefisien

dan konstanta terkait masalah

program linear dua

variabel

4. Mahasiswa dapat merumuskan

pernyataan

matematika dan menentukan model

matematika terkait

masalah program linear dua variabel

5. Mahasiswa dapat

menyelesaikan

masalah yang terkait dengan

program linear dua


menginterpretasikan

kembali hasil penyelesaiannya

Level situasional:

1. Mahasiswa mampu

mengidentifikasi yang diketahui dan ditanya dalam



banyaknya objek

berdasarkan kendala dari masalah yang diberikan

3. Mahasiswa mampu

membuat himpunan

penyelesaian kemungkinan – kemungkinan banyaknya

banyaknya objek himpunan


menentukan kemumgkinan

keuntungan atau harga

paling murah yang diperoleh dari banyaknya objek

5. Mahasiswa mampu

membuat kesimpulan tentang hasil akhir

penyelesaian sesuai dengan

yang ditanyakan pada masalah yang diberikan

1. Bagaimana

langkah awal yang

Anda dilakukan dalam

menyelesaikan

masalah yang diberikan?

2. Bagaimana Anda

menentukan kemungkinan –

kemungkinan

banyaknya kursi

dan banyaknya meja?

3. Bagaimana cara

Anda menghitung total jam proses

perakitan dan total

jam proses

finishing yang digunakan?

4. Bagiamana cara

Anda menghitung total keuntungan

yang diperoleh?

5. Bagaimana Anda menentukan

kemungkinan –

kemungkinan

banyak pupuk cair dan banyak pupuk

kering?

6. Bagaimana cara Anda menghitung

total zat kimia I,

zat kimia II, dan zat kimia III yang

Mahasiswa menyelesaikan

masalah


bentuk

minimum untuk bilangan

bulat

2

Level referensial:

1. Mahasiswa mampu

mengidentifikasi yang diketahui dan ditanya dalam



terhadap objek dari masalah

yang diberikan ke dalam

variabel


66

sesuai dengan

konteks masalah

awal

3. Mahasiswa mampu

membuat kemungkinan

masing-masing variabel dengan memperhatikan

kendala yang ada pada

masalah

4. Mahasiswa mampu mengitutung jumlah kendala

dan keuntungan atau harga

paling murah yang diperoleh dari variabel yang

dimisalkan

5. Mahasiswa memplotkan titik – titik (kemungkinan

dari variabel yang

dimisalkan) pada diagram

Cartesius 6. Mahasiswa menghitung

kemungkinan besar

keuntungan yang diperoleh dari penjualan masing-

masing yang sudah dibuat

7. Mahasiswa mampu menarik kesimpulan sesuai konteks

awal

diperoleh dari

pembelian pupuk?

7. Bagaimana cara Anda menghitung

total harga yang

harus dibayar?

8. Mengapa pernyataan –

peryataan tersebut

yang Anda misalkan ke dalam

variabel – variabel

(misalkan variabel tersebut adalah x

dan y)?

9. Mengapa tujuan

tersebut yang Anda rumuskan?

10. Mengapa

menggunakan tanda

pertidaksamaan

,, >, atau <?

11. Apakah artinya

0x dan 0y

?

12. Mengapa perlu

menuliskan 0x

dan 0y ?

13. Mengapa perlu

menuliskan

Zyx , ?

14. Mengapa daerah

ini yang Anda pilih sebagai

daerah layak dari

masalah tersebut? 15. Mengapa memilih

nilai z tersebut

dalam menggambar garis

selidik?

16. Apa arti dari

pergerakan grafik persamaan garis

selidik itu?

17. Mengapa kamu memutuskan titik

Level general:


diketahui dan ditanya

dalam masalah yang diberikan

2. Mahasiswa mampu

membuat pemisalan


dalam variabel


variabel yang dimisalkan

sebagai himpunan


membentuk sebuah



dibuat 5. Mahasiswa mampu

membentuk persamaan

untuk menghitung


67

keuntungan atau harga

paling murah yang

diperoleh dari variabel yang dimisalkan dan

jumlah dari kendala yang

ada

6. Mahasiswa Mahasiswa mampu memplotkan

pasangan terurut dan nilai

dari pasangan terurut pada diagram Cartesiuus

7. Mahasiswa mampu

menarik kesimpulan sesuai konteks awal

tersebut sebagai

titik optimum?

18. Bagaimana cara menentukan nilai

optimum?

19. Apa arti dari

solusi yang Anda peroleh?

Level Formal

1. Mahasiswa mampu

membuat pemisalan terhadap objek dari

masalah yang diberikan ke

dalam variabel 2. Mahasiswa mampu

membentuk fungsi objektif

3. Mahasiswa mampu

membentuk kendala 4. Mahasiswa mampu

menuliskan syarat variabel

berdasarkan masalah pada soal yang diberikan

5. Mahasiswa mampu

menyelesaikan model matematika yang telah

dibuat sesuai aturan

penyelesaian masalah

program linear 6. Mahasiswa mampu

menarik kesimpulan sesuai

konteks awal

5. Alat Dokumentasi

Alat dokumentasi yang digunakan dalam penelitian ini berupa alat tulis,

handphone yang digunakan untuk merekam suara ketika wawancara dan

kamera untuk mengambil foto dan video.


68

F. Teknik Analisis Data

Pada penelitian ini, peneliti menganalisis data sesuai dengan yang

dituliskan Miles dan Huberman (dalam Sugiyono, 2017: 336 – 345). Miles

dan Huberman mengemukakan bahwa aktivitas dalam analisis data kualitatif

dilakukan secara interaktif dan berlangsung secara terus menerus sampai

tuntas, sehingga datanya sudah jenuh. Dalam penelitian ini, data yang

diperoleh dianalisis dengan cara membandingkan antara prediksi yang dibuat

peneliti mengenai reaksi mahasiswa dan jawaban mahasiswa selama proses

pembelajaran berlangsung dengan proses pembelajaran yang sebenarnya. Hal

tersebut dilakukan dengan tujuan menginvestigasi dan menerangkan

bagaimana mahasiswa dapat memahami konsep dalam menyelesaikan

masalah program linear dengan metode garis selidik.

Berikut langkah analisis data yang digunakan dalam penelitian ini yaitu:

1. Reduksi Data (Data Reduction)

Reduksi data adalah bentuk analisis yang menajamkan,

menggolongkan, mengarahkan, membuang yang tidak perlu dan

mengorganisasi data sedemikian rupa sehingga kesimpulan akhir dapat

diambil. Data yang diperoleh dari lapangan jumlahnya cukup banyak,

untuk itu maka perlu dicatat secara teliti dan rinci. Untuk itu perlu

dilakukan analisis data melalui reduksi data. Mereduksi data berarti

merangkum, memilih hal-hal pokok, mengfokuskan pada hal-hal

penting, dicari tema dan polanya dan membuang hal-hal yang tidak perlu.

Dalam mereduksi data, setiap peneliti akan dipandu oleh tujuan yang


69

akan dicapai. Berdasarkan proses pengumpulan data terdapat data catatan

harian, data hasil tes tertulis, dan data hasil wawancara. Adapun reduksi

data yang dilakukan adalah sebagai berikut:

a. Data catatan harian

Reduksi data catatan harian dan dokumentasi dilakukan

dengan memperhatikan dan mengklasifikasikan aktivitas –

aktivitas mahasiswa dan peneliti selama proses pembelajaran yang

termasuk ke dalam karakteristik – karakteristik PMR yaitu

penggunaan konteks, penggunaan model untuk matematisasi

progresif, pemanfaatan hasil konstruksi siswa, interaktivitas, dan

keterkaitan.

b. Data hasil tes tertulis

Reduksi data tas hasil belajar mahasiswa dilakukan dengan

memperhatikan dan mengklarifikasikan jawaban – jawaban

mahasiswa dengan memperhatikan indikator soal dan indikator

kemampuan memodelkan mahasiswa yaitu seperti yang sudah di

paparkan pada Tabel 2.1 Indikator Kemampuan Memodelkan.

c. Data hasil wawancara

Wawancara dilakukan setelah peneliti mengklasifikasi jawaban–

jawaban mahasiswa yang sejenis dalam tes hasil belajar. Subjek

wawancara dipilih berdasarkan klasifikasi jawaban yang sejenis.

Dari hasil wawancara berupa rekaman akan dibuat transkip dan

direduksi berdasarkan indikator soal dna indikator kemampuan


70

memodelkan yaitu seperti yang dipaparkan pada Tabel 2.1

Kemampuan Memodelkan.

2. Penyajian Data (Data Display)

Penyajian data dapat dilakukan dalam bentuk uraian singkat, bagan,

hubungan antar kategori, flowchart dan sejenisnya. Penyajian data yang

dibuat pada penelitian ini berupa (1) data catatn harian dan dokumentasi

dianalisis berdasarkan 5 karakteristik PMR yaitu penggunaan konteks,

penggunaan model untuk matematisasi progresif, pemanfaatan hasil

konstruksi, interaktivitas, dan keterkaitan, dan (2) data hasil tes dan

wawancara dianalisis berdasarkan indikator soal dan indikator

kemampuan memodelkan.

3. Penarikan Kesimpulan/verifikasi (Conclusion Drawing/verification)

Penarikan kesimpulan adalah hasil analisis yang dapat digunakan

untuk mengambil tindakan. Penarikan kesimpulan ini menjawab rumusan

masalah yang telah dirumuskan. Kesimpulan pada penelitian ini adalah

ketercapaian mendesain langkah-langkah pembelajaran menggunakan

pendekatan PMR dan deskripsi kemampuan memodelkan yang dimiliki

mahasiswa setelah mengalami pembelajaran dengan pendekatan PMR.


71

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

A. Rancangan Lintasan Belajar

Pada penelitian ini, peneliti merancang lintasan belajar untuk

membelajarkan materi program linear pada mahasiswa semester IV program

studi Pendidikan Matematika universitas Sanata Dharma Yogyakarta yang

berisikan tentang langkah-langkah pembelajaran dan bentuk topangan yang

diberikan peneliti. Rancangan lintasan belajar ini disusun dengan tujuan akhir

adalah mahasiswa dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan

dengan program linear bilangan bulat dua variabel menggunakan garis selidik

yang dibuat berdasarkan pendekatan Pendidikan Matematika Realistik (PMR)

dengan memperhatikan 5 karakteristik PMR yaitu penggunaan konteks,

penggunaan model untuk matematisasi progresif, pemanfaatan hasil konstruksi

siswa, interaktivitas, dan keterkaitan. Peneliti mengadakan pembelajaran

sebanyak 3 pertemuan dan 2 kali tes tertulis yang dilakukan pada akhir

pembelajaran pertemuan pertama dan pertemuan ketiga. Pada pertemuan

pertama terdapat 2 aktivitas, pertemuan kedua terdapat 2 aktivitas, dan

pertemuan ketiga terdapat 1 aktivitas. Berikut adalah penjelasan mengenai

rancangan lintasan belajar yang dilakukan oleh peneliti untuk pembelajaran

tiga pertemuan.


72

1. Rancangan Lintasan Belajar Pertemuan 1

Kegiatan pembelajaran yang direncanakan untuk dilakukan peneliti

maupun mahasiswa pada pertemuan pertama adalah sebagai berikut.

a. Dosen menyampaikan tujuan pembelajaran yang akan dicapai 1)

mahasiswa dapat memodelkan masalah kontekstual kedalam

pertidaksamaan linear dua variabel, 2) mahasiswa dapat memodelkan

masalah kontekstual kedalam sistem pertidaksamaan linear dua

variabel.

b. Dosen memberikan apersepsi kepada mahasiswa berupa mengingatkan

kembali mengenai persamaan linear dua variabel.

c. Dosen membagi mahasiswa dalam kelompok kemudian menampilkan

lembar kerja aktivitas I pada power point.

d. Mahasiswa diminta untuk menyelesaikan masalah yang diberikan

secara berkelompok. Masalah yang diberikan adalah sebagai berikut.

Masalah 1:

“Ibu Santi akan membuat dua jenis kue yang berbeda untuk kegiatan arisan

bulanan. Jumlah kedua kue tersebut paling sedikit 25 buah. Nyatakan

permasalahan tersebut dalam suatu model!”

Kemungkinan jawaban:

1) Mahasiswa tidak mengalami kesulitan dalam memodelkan

permasalahan yang diberikan. sehingga jawaban yang diberikan adalah:


73

Misalkan x = banyak kue jenis 1 dan y = banyak kue jenis 2. Karena

jumlah kue yang dibuat paling sedikit 25 buah maka model

matematikanya adalah 𝑥 + 𝑦 ≥ 25

2) Jika mahasiswa mengalami kesulitan dalam memisalkan 2 jenis kue ke

dalam variabel – variabel. Topangan yang diberikan adalah:

a) Dosen meminta mahasiswa untuk membaca kembali permasalahan

yang diberikan dan bertanya apa yang diketahui dalam masalah

tersebut terkait kue yang dibuat ibu Santi?

Jawaban yang diharapkan: ibu Santi membuat kue dengan dua jenis

yang berbeda

b) Dosen memberikan contoh 2 jenis kue yang yang akan dibuat ibu

Santi misalkan kue donat dan kue wajik dan bertanya apakah kue

tersebut sama atau tidak?

Jawaban yang diharapkan: kue tersebut berbeda

c) Jika berbeda apa hubungannya dengan variabel yang kamu

gunakan saat pemisalan?

Jawaban yang diharapkan: variabel yang dimisalkan juga berbeda

misalkan dengan x dan y

d) Apa yang kamu misalkan dengan x dan apa yang kamu misalkan

dengan y?

Jawaban yang diharapkan: x = banyak kue jenis 1 dan y = banyak

kue jenis 2


74

3) Jika mahasiswa mengalami kesulitan dalam menerjemahkan istilah

“paling sedikit” ke dalam model matematika maka dosen memberikan

topangan dengan memberikan sebuah ilustrasi sebagai berikut:

Disebuah persyaratan lowongan kerja dikatakan calon pramugari yang

dicari tingginya paling sedikit 165 cm. kemudian si A melamar,

tingginya 160 cm. Apakah syaratnya dipenuhi oleh si A? Kalau tinggi

si B 164 cm dipenuhi apa tidak? Jika si C tingginya 165 diterima apa

tidak? Jika tingginya 167 diterima tidak? Kalau begitu apa artinya

paling sedikit?

Masalah 2:

“Camelia ingin berbelanja peralatan masak di Mirota. Camelia membawa

uang sebesar Rp 400.000. Harga setiap barang yang ada pada toko tersebut

sudah tersedia pada daftar harga sehingga Camelia dapat memperkirakan

barang apa saja yang dapat dibeli dengan uang yang dia miliki. Camelia

membeli satu kompor gas portable dan dua wajan dan dia masih

mendapatkan kembalian. Nyatakan permasalahan tersebut dalam suatu

model!”

Kemungkinan Jawaban:

1) Mahasiswa memodelkan masalah tersebut sebagai pertidaksamaan

linear dua variabel. Sehingga jawaban yang diberikan adalah:

Misalkan x = harga 1 buah kompor gas portable yang dibeli dan y =

harga 1 buah wajan yang dibeli sehingga dapat dimodelkan sebagai


75

berikut: Camelia membeli 1 kompor gas portable dan 2 wajan dan

mendapatkan uang kembalian mempunyai arti 𝑥 + 2𝑦 < 400.000

2) Mahasiswa dapat mengartikan kalimat “mendapatkan kembalian”

setelah membeli barang dengan kalimat “jumlah harga barang yang

dibeli kurang dari uang yang dibawa Camelia”, namun belum membawa

kalimat tersebut ke dalam model pertidaksamaan. Sehingga jawaban

yang diberikan adalah:

Uang yang dibawa Camelia sebesar Rp 400.000. Camelia membeli 1

kompor gas portable dan 2 wajan dan mendapatkan uang kembalian

yang mempunyai arti jumlah harga barang yang dibeli kurang dari uang

yang dibawa Camelia.

Topangan yang diberikan:

a) Coba perhatikan kembali kalimat pada permasalahan yang

diberikan, “Camelia membeli 1 kompor gas portable dan 2 wajan

dan mendapatkan uang kembalian”

Apa artinya mendapat uang kembalian?

Kalau dia menerima kembalian, manakah yang lebih besar antara

uang yang dibawa camelia atau harga barang yang dibeli?

Jika mahasiswa menjawab menerima uang kembalian artinya uang

yang dibawa lebih besar dari harga barang. Maka dosen bertanya

“harga barang yang dibeli itu apa”?

Jawaban yang diharapkan harga barang yang dibeli itu adalah

jumlah harga 1 kompor gas dan 2 wajan.


76

Bagaimana jika dinyatakan sebagai kalimat matematika?

Jawaban yang diharapkan: mahasiswa menjawab misalkan x =

harga kompor gas portable yang dibeli dan y = harga wajan yang

dibeli sehingga dapat dimodelkan 𝑥 + 2𝑦 < 400.000

3) Mahasiswa membuat model matematika dari permasalahan sebagai

persamaan linear dua variabel. Sehingga jawaban yang diberikan adalah

𝑥 + 2𝑦 = 400.000

4) Mahasiswa menggunakan tanda pertidaksamaan dengan tidak tepat.

Sehingga jawaban yang diberikan adalah 𝑥 + 2𝑦 > 400.000atau 𝑥 +

2𝑦 ≥ 400.000atau 𝑥 + 2𝑦 ≤ 400.000.

Topangan yang diberikan untuk mahasiswa yang memberikan jawaban

seperti pada point c dan d adalah:

a) Coba perhatikan kembali kalimat pada permasalahan yang






Jika mahasiswa menjawab menerima uang kembalian artinya uang



Jawaban yang diharapkan harga barang yang dibeli itu adalah jumlah

harga 1 kompor gas dan 2 wajan.


77

Bagaimana jika dinyatakan sebagai kalimat matematika? Jawaban

mahasiswa yang diharapkan adalah: Misalkan x = harga kompor gas

portable yang dibeli dan y = harga wajan yang dibeli sehingga dapat

dimodelkan 𝑥 + 2𝑦 < 400.000

e. Dosen meminta perwakilan mahasiswa untuk mempresentasikan hasil

diskusinya di depan kelas. Mahasiswa diminta untuk menjelaskan

kepada mahasiswa lain apa yang ia lakukan dalam memodelkan

masalah kontekstual dalam kalimat matematika.

Kemungkinan jawaban yang diberikan mahasiswa: mahasiswa

memisalkan terlebih dahulu 2 jenis kue (masalah I) dan barang

belanjaan Camelia ke dalam variabel – variabel. Untuk masalah I,

misalkan a = kue jenis 1 dan b = kue jenis 2. Untuk masalah 2 misalkan

p = kompor gas portable dan b = wajan.

Jika terdapat mahasiswa yang memisalkan seperti ini, maka dosen perlu

mengajak kembali mahasiswa untuk menerjemahkan kembali kalimat

matematika tersebut ke dalam kalimat sehari – hari dengan memberikan

topangan sehingga dapat ditekankan bahwa pemisalan yang dilakukan

menekankan pada banyaknya jenis kue (masalah 1) dan harga 1 barang

(masalah 2).

topangan yang diberikan:

1) Dari model matematika yang Anda peroleh yaitu 𝑥 + 𝑦 ≥ 25

(masalah 1) dan 𝑥 + 2𝑦 < 400.000 (masalah 2) coba bahasakan

kembali ke kalimat soal sesuai dengan apa yang kamu misalkan?


78

2) Apakah kue jenis 1 dan kue jenis 2 bisa dijumlahkan? Apakah

kompor gas portable dan wajan dapat dijumlahkan?

3) Jika tidak dapat dijumlahan, lalu apakah yang dapat dijumlahkan?

4) Berarti apa yang seharusnya dimisalkan?

f. Mahasiswa lain diminta untuk memberikan tanggapan dan dosen

menanyakan apakah ada kelompok lain yang memodelkan dengan cara

yang lain

g. Dosen membimbing diskusi kelas sehingga mahasiswa dapat

menyimpulkan bahwa untuk memodelkan permasalahan sehari – hari

ke dalam kalimat matematika, langkah yang dilakukan adalah dengan

cara memisalkan banyaknya objek ke dalam variabel – variabel,

mengganti kalimat yang menyatakan jumlah dengan tanda

ketidaksamaan (≤, <, ≥, >) dan menuliskan bentuk pertidaksamaan

tersebut. Mahasiswa dibimbing untuk melihat syarat dari variabel yang

dimisalkan yaitu 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 dan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍

h. Dosen mengajak mahasiswa untuk mengenalkan kepada mahasiswa

bahwa model matematika yang dihasilkan merupakan bentuk dari

pertidaksamaan linear dua variabel karena terdiri dari dua variabel

dengan pangkat tertinggi masing – masing variabel adalah satu. Tanda

pertidaksamaan ada empat yaitu ≤, <, ≥, >.

i. Dosen menanyakan kepada mahasiswa apa kalimat dalam sehari – hari

dari tanda – tanda pertidaksamaan tersebut?


79

j. Dosen menginformasikan kepada mahasiswa bentuk umum dari

pertidaksamaan linear dua variabel yaitu:

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≤ 𝑐 atau 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≥ 𝑐 atau 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 < 𝑐 atau 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 > 𝑐

k. Dosen menampilkan lembar kerja aktivitas II pada power point dan

menjelaskan kepada mahasiswa tentang masalah yang diberikan pada

aktivitas II dan menjelaskan apa yang harus dilakukan mahasiswa pada

aktivitas II

l. Mahasiswa diminta untuk menyelesaikan permasalahan yang diberikan

dalam kelompok. Masalah yang diberikan sebagai berikut:

“Banyak kendaraan yang dapat diparkir disuatu lahan paling banyak

sedan atau bus adalah 70 buah. Lahan tersebut luasnya l.200 m2. Jika

luas lahan parkir untuk satu buah sedan 6 m2 dan luas lahan parkir untuk

satu bus 18 m2, buatlah model dari permasalahan tersebut!”


1) Mahasiswa memberikan jawaban dengan tepat.

Misalkan x adalah banyak sedan yang parkir di lahan tersebut dan

y adalah banyak bus yang parkir di lahan tersebut maka model

matematika yang dapat dibentuk sebagai berikut:

𝑥 + 𝑦 ≤ 70

Model matematika untuk banyak kendaraan

6𝑥 + 18𝑦 ≤ 1200 Model matematika untuk luas area parkir

2) Mahasiswa membuat model matematikanya ke dalam persamaan

linear dua variabel sehingga jawaban yang diberikan adalah:


80

Misalkan x adalah banyak sedan dan y adalah banyak bus maka

kalimat matematika dari permasalahan di atas adalah:

𝑥 + 𝑦 = 70 Model matematika untuk banyak kendaraan

6𝑥 + 18𝑦 = 1200 Model matematika untuk luas area parkir

3) Mahasiswa menggunakan tanda pertidaksamaan dengan tidak

tepat.

Topangan yang diberikan jika mahasiswa memberikan jawaban

seperti pada point b dan c adalah sebagai berikut:

a) Dari kalimat soal “Banyak kendaraan yang dapat di parkir di

suatu lahan paling banyak 70 buah sedan atau bus” apakah

artinya paling banyak dari kalimat tersebut?

b) Bagaimana simbol matematikanya?

c) Jika mahasiswa masih bingung, dosen memberikan topangan:

kalau yang parkir disana banyaknya 70, mungkin apa tidak?

Kalau banyaknya 71 mungkin apa tidak? Jika banyaknya 69,

mungkin apa tidak? Jika banyaknya 67 mungkin apa tidak?

Jadi apa artinya paling banyak?

d) Perhatikan dua kalimat ini ”Lahan tersebut luasnya 1.200 m2.

Apa arti dari kalimat tersebut?

Boleh tidak kalau lahan yang digunakan untuk parkir 1.200?

Kalau 1.500 bisa tidak? Kalau 1.250 bisa tidak? Kalau 1201

boleh tidak? Kalau begitu apa artinya kalimat itu? Kalau

maksimal berarti apa artinya? Boleh kurang dari 1.200 tidak?


81

Boleh sama dengan 1.200 tidak? Kalau lebih dari 1.200 boleh

atau tidak? Kalau begitu apa simbol matematikanya untuk

model matematika untuk luas lahan?

Bagaimana jika kalimat tersebut dinyatakan dalam kalimat

matematika?

e) Apa syarat dari variabel yang kalian misalkan? Apakah banyak

sedan dan banyak bus bisa ½, ¾?

m. Dosen meminta perwakilan mahasiswa untuk mempresentasikan

penyelesaiannya di depan kelas.

n. Dosen membimbing mahasiswa untuk dapat menyimpulkan bahwa

model matematika yang dibentuk berupa sistem pertidaksamaan linear

dua variabel. Dan memberikan pertanyaan mengapa dikatakan sebagai

sistem?

o. Dosen menampilkan lembar kerja aktivitas III pada power point dan

menjelaskan apa yang dilakukan mahasiswa pada aktivitas III

p. Aktivitas ketiga

Masalah yang diberikan:

Dari konteks pada masalah 1 aktivitas pertama yaitu sebagai berikut:

“Ibu Santi akan membuat dua jenis kue yaitu kue donat dan kue lapis

untuk dijual. Jumlah kedua kue tersebut paling sedikit 25 buah”,

diperoleh model matematikanya yaitu:

𝑥 + 𝑦 ≥ 25

Dengan syarat:


82

𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0

𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍

Gambarkan daerah penyelesaian dari model tersebut!


1) Jika mahasiswa mengalami kesulitan dalam menggambar grafik,

dosen meminta mahasiswa untuk menggambar grafik 𝑥 + 𝑦 = 25

terlebih dahulu.

2) Jika mahasiswa kesulitan menggambar grafik 𝑥 + 𝑦 = 25, dosen

mengingatkan kembali mahasiswa dengan pertanyaan bagaimana

langkah – langkah dalam menggambar grafik suatu persamaan?

3) Jika mahasiswa masih mengalami kesulitan dalam menggambar

grafik, maka dosen memberikan pertanyaan – pertanyaan topangan

sebagai berikut:

a) Berapa titik yang dibutuhkan untuk menggambar grafik suatu

garis lurus?

b) Berapa titik yang dibutuhkan untuk menggambar grafik 𝑥 +

𝑦 = 25?

c) Apakah titik (0,25) ada pada garis𝑥 + 𝑦 = 25?

4) Dosen meminta mahasiswa untuk menentukan minimal 1 titik lagi

yang memenuhi persamaan garis 𝑥 + 𝑦 = 25

5) Dosen memberikan pertanyaan setelah mendapat titik – titik

tersebut, apa yang Anda lakukan untuk menghasilkan grafik dari

persamaan garis tersebut?


83

6) Jika mahasiswa kesulitan dalam menentukan daerah penyelesaian

grafik maka dosen memberikan pertanyaan topangan “apakah titik

(10,16) memenuhi pertidaksamaan 𝑥 + 𝑦 ≥ 25? Mengapa?

7) Jika mahasiswa kesulitan dalam menentukan daerah penyelesaian

grafik maka dosen memberikan pertanyaan topangan “apakah titik

(10,10) memenuhi pertidaksamaan𝑥 + 𝑦 ≥ 25? Mengapa?

8) Dosen meminta mahasiswa untuk menentukan titik lain yang

memenuhi dan tidak memenuhi𝑥 + 𝑦 ≥ 25?

9) Dosen meminta mahasiswa untuk kembali berdiskusi untuk

menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan 𝑥 + 𝑦 ≥ 25

10) Perhatikan syarat pada model tersebut 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 .

apakah semua titik pada daerah penyelesaian tersebut merupakan

titik penyelesaiannya? Jika tidak bagimana bentuk dari daerah

penyelesaian tersebut?

q. Setelah mahasiswa selesai menentukan daerah penyelesaian

pertidaksamaan𝑥 + 𝑦 ≥ 25, dosen meminta perwakilan kelompok dari

mahasiswa untuk mempresentasikan cara penyelesaian dalam

menggambar grafik pertidaksamaan dan menentukan daerah

penyelesaiannya. Ada dua kemungkinan jawaban mahasiswa dalam

menggambar grafik:

1) Mahasiswa menentukan titik potong grafik persamaan terhadap

sumbu x dan sumbu y terlebih dahulu baru menggambar grafik dan

mengarsir daerahnya.


84

2) Mahasiswa mencari sembarang titik yang memenuhi persamaan

dengan cara mencoba – coba substitusi sembarang angka kemudian

menggambar grafik dan mengarsir daerah penyelesaiannya

Ada 2 kemungkinan jawaban mahasiswa dalam mengarsir daerah

penyelesaian grafik:

a)

b)

Jika mahasiswa menjawab seperti di atas, dosen memberikan topangan:

a) Apakah titik (-5, 26) juga merupakan titik penyelesaiannya?

b) Jika bukan mengapa?

c) Apa artinya jika daerah penyelesaiannya diarsir seperti itu? Apakah

semua titik yang yang ada pada daerah penyelesaian memenuhi

pertidaksamaan dan sesuai dengan konteks masalah yang

digunakan?


85

d) Berarti yang lebih baik diarsir daerah yang merupakan penyelesaian

atau daerah yang bukan penyelesaian?

e) Jika mahasiswa masih kebingungan dosen memberikan topangan

lain yaitu: Apa himpunan penyelesaian dari daerah penyelesaian

Anda? Apakah titik (½ , ½) merupakan salah satu titik yang

memenuhi daerah penyelesaian tersebut?

f) Coba kembali ke konteks masalah yang diberikan pada masalah 1.

Apa yang kamu misalkan dengan x dan y ?

g) Apakah banyaknya kue boleh setengah? Atau boleh sepertiga?

h) Jika tidak boleh maka apakah himpunan penyelesaian dari masalah

yang diberikan? Apakah semua titik pada daerah penyelesaian

tersebut memenuhi?

i) Kalau begitu bagaimana gambar daerah penyelesaian yang benar?

Jawaban yang diharapkan:

3) Kemungkinan ketiga adalah mahasiswa menentukan daerah

penyelesaian dengan memperhatikan tanda pertidaksamaannya.

misalkan tanda pertidaksamaan ≥ (lebih dari sama dengan) maka

Daerah

Penyelesaian


86

daerah HP adalah daerah yang di sebelah kanan grafik dan jika

tanda pertidaksamaannya ≤ (kurang dari sama dengan) maka

daerah HP adalah daerah yang di sebelah kiri grafik. Jika hal ini

terjadi maka dosen memberikan pertanyaan topangan “bagaimana

kalian bisa tahu jika tandanya lebih dari daerah penyelesaiannya

yang di bagian kanan grafik dan jika tandanya kurang dari daerah

penyelesaiannya yang bagian kiri grafik?

r. Dosen mengajak mahasiswa untuk membuat kesimpulan yaitu

banyaknya kue jenis 1 dan banyaknya kue jenis 2 yang dibuat ibu harus

memenuhi pertidaksamaan 𝑥 + 𝑦 ≥ 25 yang dapat dilihat dari

himpunan titik yang ada pada daerah penyelesaiannya. Jika dilihat dari

daerah HP ada banyak kemungkinan banyaknya kue jenis 1 dan

banyaknya kue jenis 2 yang dibuat oleh ibu.

s. Dosen mengajak mahasiswa untuk membuat suatu kesimpulan bahwa

dibutuhkan minimal 2 titik untuk menggambar suatu garis dan yang

termudah adalah dengan menentukan titik potong grafik terhadap

sumbu x dan sumbu y.

t. Dosen bersama mahasiswa menyimpulkan bahwa untuk menentukan

suatu daerah merupakan daerah penyelesaian atau bukan, maka perlu di

uji titik yang ada di kanan dan di kiri grafik tersebut sesuai dengan

konteks masalah yang diberikan. Jika masalah yang diberikan dalam

konteks bilangan real maka daerah penyelesaiannya adalah himpunan

semua titik yang ada pada daerah penyelesaian tersebut sehingga


87

membentuk suatru daerah. Tetapi jika masalah yang diberikan dalam

konteks bilangan bulat maka daerah penyelesaiannya adalah berupa

himpunan titik-titik yang ada pada daerah penyelesaian dimana nilai x

dan y adalah bilangan bulat.

u. Dosen membuat kesepakatan dengan mahasiswa bahwa daerah yang

diarsir adalah daerah yang bukan penyelesaiannya dan hati-hati saat

menggambar daerah penyelesaian dimana 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 karena artinya tidak

semua titik pada daerah penyelesaian tersebut merupakan titik

penyelesaiannya. Kalau kita mangarsir daerah penyelesaian maka nanti

kelihatan bahwa semua titik pada daerah tersebut merupakan titik

penyelesaiannya.

v. Dosen memberikan tes untuk mengecek kemampuan memodelkan

mahasiswa pada materi pembelajaran hari ini.

Berdasarkan uraian mengenai langkah-langkah pembelajaran yang

dilakukan oleh peneliti maupun mahasiswa di atas, maka terdapat beberapa

kegiatan atau usaha yang dilakukan oleh peneliti untuk menemukan

karakteristik PMR, yaitu 1) penggunaan konteks nampak saat diberikan 3

masalah kontekstual untuk dieksplor mahasiswa, 2) penggunaan model

untuk matematisasi progresif nampak pada saat mahasiswa membuat model

dari masalah yang kontekstual dan menggambar penyelesaiannya, 3)

pemanfaatan hasil konstruksi siswa nampak pada saat peneliti membimbing

mahasiswa untuk membuat pemisalan yang tepat, mengenalkan kepada

mahasiswa mengenai pertidaksamaan linear dua variabel dan sistem


88

pertidaksamaan linear dua variabel, mengajak mahasiswa menyimpulkan

langkah membuat model matematika dari masalah kontekstual, dan

membimbing mahasiswa menyimpulkan langkah-langkah menggambar

daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel, 4)

interaktivitas nampak pada saat peneliti memanfaatkan hasil konstruksi,

mahasiswa melakukan diskusi kelompok untuk menyelesaikan masalah

yang diberikan, dan mempresentasikan hasil diskusi di depan kelas, 5)

keterkaitan nampak masalah yang diberikan mengarahkan mahasiswa

menemukan konsep pertidaksamaan, konsep sistem pertidaksamaan dan

konsep menggambar daerah dari pertidaksamaan yang dihasilkan pada

aktivitas I.



maupun mahasiswa pada pertemuan pertama adalah sebagai berikut.

a. Dosen menyampaikan tujuan pembelajaran yang akan dicapai yaitu 1)

mahasiswa dapat memodelkan suatu masalah kontektual yang berkaitan

dengan program linear dua variabel dan 2) mahasiswa dapat

menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan program

linear bilangan bulat dua variabel menggunakan garis selidik.

b. Dosen memberikan apersepsi kepada mahasiswa berupa mengingatkan

kembali mengenai langkah-langkah membuat model matematika dari

masalah nyata dan cara menentukan daerah penyelesaian dari



89

c. Dosen membagi mahasiswa dalam kelompok dan membagi lembar kerja

aktivitas I pada setiap kelompok

d. Mahasiswa diminta untuk menyelesaikan masalah yang diberikan secara

berkelompok. Masalah yang diberikan adalah sebagai berikut.

e. Aktivitas pertama. Mahasiswa diminta untuk membuat model dari

masalah program linear dua variabel dalam kehidupan sehari-hari yang

diberikan pada aktivitas pertama secara berkelompok. Masalah yang

diberikan adalah sebagai berikut:

“Sebuah butik memiliki 21 m kain satin dan 12 m kain brokat dan 20 m

kain tenun. Dengan mengkombinasikan bahan yang ada akan dibuat dua

jenis baju pesta yaitu baju pesta jenis I dan baju pesta jenis II. Baju pesta

jenis I memerlukan 2 m kain satin, 1 m kain brokat, dan 1 m kain tenun.

Baju pesta jenis II memerlukan 3 m kain satin, 2 m kain brokat dan 4 m

kain tenun. Diketahui keuntungan yang diperoleh dari penjualan satu

buah baju pesta jenis I Rp 50.000 dan satu buah baju pesta jenis II Rp

85.000. Buatlah model dari permasalahan tersebut jika butik tersebut

ingin memaksimalkan keuntungan yang diperoleh!”


1) Jika mahasiswa masih mengalami kesulitan dalam memodelkan

masalah tersebut, dosen meminta mahasiswa untuk mengingat

kembali langkah – langkah yang dilakukan dalam memodelkan

suatu masalah kontekstual.


90

2) Jika mahasiswa kesulitan dalam membuat pemisalan dengan benar.

Peneliti memberikan topangan:

Coba perhatikan kembali apa yang ditanya dalam soal? Keuntungan

maksimal diperoleh darimana? Kalau begitu apa yang seharusnya

yang kamu misalkan?

Peneliti mengingatkan mahasiswa untuk hati-hati dalam membuat

pemisalan.

3) Jika mahasiswa mengalami kesulitan dalam membuat model

matematikanya, peneliti memberikan topangan:

a) Apa saja yang diketahui dari soal?

b) Bisa tidak kalau dibuat ke dalam tabel berdasarkan yang

diketahui?


Panjang

kain satin

yang

digunakan

(m)

Panjang

kain brokat

yang

digunakan

(m)

Panjang

kain tenun

yang

digunakan

(m)

Keuntungan

(per baju)

Banyak Baju

pesta Jenis I (x)

2 1 1 Rp 20.000

Banyak Baju

pesta jenis II (y)

3 2 4 Rp 50.000

Total kain 21 12 20

c) Jika mahasiswa sudah membuat tabelnya, peneliti memberikan

topangan:


91

Coba buat modelnya sesuai dengan informasi yang ada dari tabel

sesuai dengan variabel yang kamu misalkan. Ada berapa

pertidaksamaan yang dihasilkan? Untuk informasi

keuntungannya apakah bisa kamu buatkan ke dalam sebuah

model?

4) Jika mahasiswa menggunakan tanda pertidaksamaan dengan tidak

tepat. Peneliti memberikan topangan:

Disini kan ada kalimat butik tersebut memiliki 21 m kain satin, 12 m

kain brokat dan 20 m kain tenun. Na apa artinya? Coba lihat untuk

kain satin, kalau persediaan kain yang dimiliki hanya 21 m, berarti

boleh tidak butik tersebut pakai semua kainnya untuk membuat

baju? Kalau 20 m boleh tidak? Kalau 10 m boleh tidak? Kalau 25 m

boleh tidak? Kalau begitu apa tanda ketaksamaan yang digunakan?

Coba lakukan hal yang sama dengan model untuk kain brokat dan

kain tenun.

5) Jika mahasiswa mengalami kesulitan dalam membuat fungsi untuk

menghitung keuntungan maksimal. Peneliti memberikan topangan:

Na disitu kan ada informasi kalau keuntungan dari satu baju pesta

jenis I Rp 20.000 dan keuntungan satu baju pesta jenis II Rp 50.000,

berati bisa tidak dibuat rumus untuk hitung keuntungan

maksimalnya?


92

Menggunakan tabel yang sudah dibuat, peneliti meminta mahasiswa

untuk membuat model dari informasi yang diperoleh untuk tabel

keuntungan.

f. Dosen meminta perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil

diskusinya di depan kelas dan mahasiswa lain memberikan

komentar/tanggapan apabila memiliki hasil yang berbeda. Dosen

memberikan penekanan pada jawaban mahasiswa.

g. Dosen mengenalkan kepada mahasiswa tentang kendala dan fungsi

objektif pada permasalahan yang diberikan menggunakan hasil dari

diskusi mahasiswa dengan memberikan pertanyaan – pertanyaan

berikut:

1) Apakah ada syarat yang menjadi batas dalam membuat baju pesta

tersebut? Sebutkan batasan tersebut!

Jawaban yang diharapkan: Ada. batasannya adalah butik memiliki

21 m kain satin dan 12 m kain brokat dan 20 m kain tenun. Untuk

membuat baju pesta jenis I memerlukan 2 m kain satin, 1 m kain

brokat, dan 1 m kain tenun dan untuk baju pesta jenis II memerlukan

3 m kain satin, 2 m kain brokat dan 4 m kain tenun.

Jika mahasiswa menjawab seperti ini, dosen menginformasikan

bahwa keadaan tersebut kita sebut dengan kendala. Kemudian dosen

memberikan pertanyaan apa yang dimaksudkan dengan kendala?

Jawaban yang diharapkan: kendala merupakan keadaan yang

membatasi.


93

Mahasiswa menjawab kendala merupakan keadaan yang membatasi

dalam masalah tersebut, dosen memberikan pertanyaan lanjutan

yaitu apa bentuk model matematika dari batasan tersebut?

2) Mahasiswa diberikan pertanyaan, bagaimana dengan syarat untuk

banyaknya baju pesta yang dibuat?

Jawaban yang diharapkan: karena menyatakan banyak maka tidak

tidak mungkin negatif.

Jika mahasiswa menjawab seperti ini, dosen menanyakan apa arti

dari kalimat tersebut?

Kemudian dosen menginformasikan bahwa hal tersebut juga

merupakan kendala dalam masalah tersebut.

3) Dosen memberikan pertanyaan lanjutan yaitu apa bentuk model

matematika dari Batasan-batasan tersebut?

Jawaban yang diharapkan: bentuk sistem pertidaksamaan linear dua

variabel karena terdiri lebih dari satu pertidaksamaan.

2𝑥 + 3𝑦 ≤ 21

𝑥 + 2𝑦 ≤ 12

𝑥 + 4𝑦 ≤ 20

𝑥 ≥ 0

𝑦 ≥ 0

𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍

Jika mahasiswa tidak menuliskan Zyx , pada jawabannya maka

dosen memberikan topangan:


94

a) Apakah banyak baju boleh dibeli ½ bagian? Atau boleh dibeli

¾ bagian?

Jawaban yang diharapkan: tidak boleh harus beli utuh

b) Apa artinya kalau harus beli utuh?

Jawaban yang diharapkan: x dan y merupakan bilangan bulat

c) Perlu atau tidak untuk menuliskan syarat tersebut pada model

matematika permasalahan di atas? Mengapa?

Jawaban yang diharapakan: Perlu. Karena berdasarkan masalah

yang diberikan banyaknya sepeda yang dibeli tidak mungkin

kalau tidak bulat.

Banyak baju yang dibeli tidak mungkin kalau tidak bulat.

h. Dosen mengenalkan kepada mahasiswa bahwa bentuk pertidaksamaan

yang dihasilkan dari kendala dinamakan dengan kendala. Kendala

terdiri kendala utama dan kendala nonnegatif.

Kendala utama:

2𝑥 + 3𝑦 ≤ 21

𝑥 + 2𝑦 ≤ 12

𝑥 + 4𝑦 ≤ 20

Kendala nonnegatif:

𝑥 ≥ 0

𝑦 ≥ 0

𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍

i. Apa yang ingin dicapai oleh butik tersebut?

Jawaban yang diharapkan: memperoleh keuntungan maksimal


95

j. Dosen menginformasikan bahwa hal yang ingin dicapai pedagang

tersebut merupakan tujuannya. Dosen menanyakan apa arti dari tujuan

pedagang tersebut? jawaban: pedagang tersebut ingin memaksimalkan

keuntungan yang diperoleh dengan melihat kendala dari masalah

tersebut. Darimana keuntungan maksimal itu diperoleh? Bagaimana

model untuk menghitung keuntungan tersebut?

Jawaban yang diharapkan: memaksimumkan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 50.000𝑥 +

85.000𝑦

k. Dosen mengenalkan kepada mahasiswa bahwa model yang dibuat

tersebut dinamakan dengan fungsi tujuan atau fungsi objektif.

l. Dosen mengajak mahasiswa untuk memberikan kesimpulan tentang

definisi dari kendala dan fungsi objektif dengan memberikan topangan:

Tadi kan kita punya hal yang membatasi dari masalah yang diberikan.

Dari hal yang membatasi tersebut kita peroleh model yang kita namakan

kendala. Kalau begitu apa artinya dengan kendala?

Jawaban yang diharapkan: kendala adalah sesuatu hal menjadi batas dari

masalah yang diberikan.

Kalau begitu bagaimana dengan fungsi tujuan? Apa itu fungsi tujuan?

m. Dosen mengenalkan kepada mahasiswa bahwa masalah seperti yang

diberikan di atas merupakan masalah program linear dua variabel dan

model matematika yang dihasilkan adalah model program linearnya.

n. Dosen meminta mahasiswa untuk mendefinisikan model program linear

dua variabel.


96


Model program linear dua variabel merupakan model matematika yang

digunakan untuk menentukan nilai dari variabel yang belum diketahui

yang memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan dengan

kendala – kendala yang ada.

Secara umum, masalah program linear dapat dirumuskan sebagai

berikut (Susanta, 1994: 6):

Mencari 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 yang memaksimumkan (atau

meminimumkan) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + 𝑐3𝑥3+. . . +𝑐𝑛𝑥𝑛

dengan kendala:

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2+. . . +𝑐1𝑛𝑥𝑛 (≤, =, ≥) 𝑏1

𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2+. . . +𝑐2𝑛𝑥𝑛 (≤, =, ≥) 𝑏2

𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2+. . . +𝑐𝑚𝑛𝑥𝑛(≤, =, ≥) 𝑏3

𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0, . . . , 𝑥𝑛 ≥ 0

Keterangan:


nccc ,...,, 21 merupakan kontribusi setiap variabel keputusan terhadap

fungsi tujuan, disebut pula sebagai koefisien fungsi tujuan suatu model

matematika

mnaaa ,...,, 1211 merupakan penggunaan setiap unit sumber daya dari

setiap variabel keputusan yang terbatas, disebut pula suatu koefisien

kendala model matematika.


97

o. Mahasiswa diminta untuk menuliskan model program linear dari

permasalahan yang diberikan sebelumnya.


Memaksimumkan yxyxf 000.85000.50),( +=

Dengan kendala:

Zyx

y

x

yx

yx

yx

+

+

+

,

0

0

204

122

2132

p. Aktivitas kedua. Masalah yang diberikan pada aktivitas kedua adalah

sebagai berikut.

Dari konteks yang diberikan pada aktivitas 1 diperoleh model program

linear sebagai berikut:

Maksimumkan yxyxf 000.85000.50),( +=

Dengan kendala:

Zyx

y

x

yx

yx

yx

+

+

+

,

0

0

204

122

2132

1. Gambarkanlah grafik fungsi kendala dari model tersebut dan

tentukan daerah penyelesaiannya!

Petunjuk: gambar menggunakan kertas berpetak dengan skala yang

tepat. Gunakan jarak antara titik 1 cm.


98

2. Gambarkanlah 2 grafik fungsi objektif dari model tersebut dengan

nilai f yang berbeda dalam satu bidang koordinat dengan fungsi

kendala, kemudian jawablah pertanyaan – pertanyaan dibawah ini:

a. Apa yang dapat disimpulkan dari kedua grafik fungsi tujuan

yang dibuat?

b. Jika grafik fungsi tujuan tersebut digeser ke kanan dan ke kiri,

apa akibatnya terhadap nilai f?

c. Kapan grafik fungsi tujuan tersebut berhenti bergeser?

(menggambar fungsi objektif baru dari hasil geseran grafik

fungsi objektif yang digeser sampai grafik tersebut harus

berhenti)

d. Berapa keuntungan maksimum yang diperoleh butik dari hasil

penjualan baju pesta jenis I dan baju pesta jenis II?


1) Mahasiswa menentukan daerah penyelesaian dengan menggambar

grafik dari kendala dalam satu diagram Cartesius, menentukan

daerah yang memenuhi masing – masing kendala pertidaksamaan

tersebut, kemudian mengarsir daerah yang bukan merupakan

penyelesaiannya dan menntukan daerah penyelesaiannya yaitu

daerah yang memenuhi semua kendala yang ada. Sehingga jawaban

yang diberikan adalah:


99

Jika mahasiswa menggambar seperti ini, maka topangan yang

diberikan adalah:

a) Coba kembali ke model program linear yang diberikan. Apa

syarat nilai x dan y?

b) Jika syaratnya 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 apakah semua titik pada daerah

penyelesaian tersebut memenuhi?

c) Jika tidak, bagaimana syarat titik yang memenuhi?

d) Kalau begitu bagaimana gambar daerah penyelesaian yang

benar?


2) Mahasiswa menggambar secara terpisah daerah penyelesaian dari

masing–masing pertidaksamaan dari kendala. Sehingga jawaban

yang diberikan sebagai berikut:

Daerah

Penyelesaian

Daerah

Penyelesaian


100

Jika mahasiswa memberikan jawaban seperti ini, dosen

memberikan topangan:

a) Apakah variabel yang dimisalkan untuk masing – masing

pertidaksaman mewakili objek yang berbeda?

b) Apakah keempat daerah penyelesaian tersebut mempunyai

hubungan?

c) Apa artinya jika keempat daerah penyelesaian tersebut

mempunyai hubungan? Jawaban yang diharapkan: mempunyai

Daerah

Penyelesaian

Daerah

Penyelesaian

Daerah

Penyelesaian

Daerah

Penyelesaian Daerah

Penyelesaian


101

satu daerah penyelesaian dimana titik – titik yang diambil harus

memenuhi keempat daerah penyelesaian tersebut.

d) Titik-titik yang bagaimana yang memenuhi daerah penyelesaian

tersebut? Apakah semua titik-titik yang ada dalam daerah

penyelesaian tersebut? Coba perhatikan kembali model program

linear yang diberikan untuk syarat nilai x dan y

e) Jika mahasiswa masih mengalami kesulitan, maka dosen

bertanya apakah bentuk dari kendala tersebut?

f) Jika berbentuk sistem pertidaksamaan, bagaimana daerah

penyelesaiannya? Apakah satu atau banyak?

g) Jika hanya satu maka bagaimana cara menggambar yang benar?

Apakah digambar secara terpisah atau di bidang koordinat yang

sama?

h) Coba diperhatikan dengan syarat kenggotaan dari x dan y.

apakah semua titik pada daerah tersebut merupakan titik

penyelesaiannya? Jika tidak, apa syarat untuk titik

penyelesaiannya? Kalau begitu daerah penyelesaianmu

bagaimana? Kalau 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 maka daerah penyelesaianya

berbentuk apa?


102

Daerah penyelesaian dari kendala:

3) Jika mahasiswa kesulitan dalam menggambar grafik fungsi tujuan

maka topangan yang diberikan adalah:

Coba perhatikan fungsi tujuannya ini 𝑓(𝑥, 𝑦) = 50.000𝑥 +

85.000𝑦, kalau nilai f nya belum diketahui apakah sudah bisa

digambar?

Kira-kira bagaimana menentukana nilai f nya?

Dosen menginformasikan bahwa nilai f yang diambil adalah

sembarang kemudian di substitusi ke fungsi tujuannya.

Kalau nilai f nya sudah diketahui berarti fungsinya ini berupa apa?

Bagaimana cara menggambar grafik dari persamaan linear dua

variabel?

Dosen meminta mahasiswa untuk mencoba menggambar dengan

nilai f yang berbeda. Dan kemudian menjawab pertanyaan-

pertanyaan lanjutan.

Daerah

Penyelesaian


103

q. Dosen meminta beberapa perwakilan kelompok untuk

mempresentasikan hasil diskusinya di depan kelas dan mahasiswa lain

diminta untuk menanggapi

r. Dosen bersama mahasiswa menyimpulkan bahwa untuk menentukan

suatu daerah merupakan daerah penyelesaian atau bukan dari sistem

pertidaksamaan, maka perlu di uji titik yang ada di kanan dan di kiri atau

atas dan bawah grafik tersebut yang memenuhi semua sistem

pertidaksamaan tersebut. Dosen mengingatkan kembali bahwa dalam

menggambar daerah penyelesaian harus memperhatikan konteks

masalah yang diberikan. Jika masalah yang diberikan dalam konteks

bilangan real maka himpunan penyelesaiannya adalah himpunan semua

titik yang ada pada daerah penyelesaian tersebut. Tetapi jika masalah

yang diberikan dalam konteks bilangan bulat maka himpunan

penyelesaiannya adalah himpunan titik-titik yang ada pada daerah

penyelesaian dimana nilai x dan y adalah bilangan bulat.

s. Dosen memberikan penegasan terhadap hasil diskusi mahasiswa dengan

menampilkan gambar daerah penyelesai dan gambar dua garis selidik di

depan kelas pada slide power point. Dosen membahas kembali

pertanyaan-pertanyaan pada nomor 2 secara bersama-sama untuk

membimbing mahasiswa menyimpulkan tentang konsep penyelesaian

masalah program linear menggunakan garis selidik.


104

Langkah – langkah yang dilakukan untuk menyelesaikan masalah

kontekstual yang berkaitan dengan program linear menggunakan garis

selidik yaitu:

1) Menentukan fungsi tujuan (objektif) dan kendala – kendala berupa

model pertidaksamaan dari informasi soal dan syarat variabel

keputusan anggota bilangan bulat (model program linear)

2) Sketsa daerah layak yang menjadi solusi dari sistem

pertidaksamaan tersebut (kendala) dan menentukan titik layak

syarat variabel keputusan anggota bilangan bulat pada bidang

koordinat

3) Menentukan garis selidik ax + by = k apabila fungsi objektifnya f(x,

y) = ax + by, a, b, dan k bilangan real. Garis selidik – garis selidik

yang dibentuk merupakan himpunan garis yang memiliki gradien

yang sama yaitu b

a− . Garis selidik yang digambar minimal dua

garis agar dapat melihat kemiringan dan arah pergeseran dari garis

tersebut. Lebih banyak garis selidik yang dibentuk lebih baik

karena dapat mempermudah untuk menentukan titik dan nilai

optimum.

4) Untuk menentukan nilai maksimum fungsi objektif maka carilah

garis selidik dengan k terbesar dan melalui semua titik layak

sedangkan untuk menentukan nilai minimum fungsi objektif maka

carilah garis selidik dengan nilai k terkecil dan melalui semua titik


105

layak. Titik layak yang menyebabkan nilai optimum fungsi objektif

merupakan titik optimumnya.

t. Dosen menginformasikan kepada mahasiswa bahwa jika titik

penyelesaiannya adalah bilangan Real, pergeseran garis selidik pasti

akan berhenti di salah satu titik pojok. Namun jika titik penyelesaiannya

bilangan bulat maka belum tentu akan berhenti di titik pojok karena

tidak selamanya titik pojok merupakan titik penyelesaian.

u. Dosen mengajak mahasiswa untuk menyimpulkan keuntungan

maksimum yang diperoleh butik tersebut (konteks masalah aktivitas I)

dengan memberikan pertanyaan berapa keuntungan maksimum yang

diperoleh butik tersebut dari hasil penjualan baju pesta jenis I dan baju

pesta jenis II? Darimana kalian memperoleh keuntungan maksimum

tersebut?

Kesimpulan: keuntungan maksimum yang diperoleh butik tersebut dari

hasil penjualan baju pesta jenis I dan baju pesta jenis II sebesar 555.000

yang diperoleh dengan cara mensubstitusikan titik maksimum ke fungsi

tujuannya.

v. Dosen mengenalkan kepada mahasiswa bahwa garis lurus yang

dihasilkan oleh persamaan fungsi objektif dinamakan dengan garis

selidik. Kemudian dosen mengajak mahasiswa untuk menyimpulkan

bahwa garis selidik merupakan grafik fungsi objektif yang digunakan

untuk menentukan solusi optimum (maksimum atau minimum) suatu

masalah program linear.


106

1) Harus digunakan 2 garis yang senilai untuk menyelidiki dimana

fungsi objektif optimum. Diperlukan 2 garis senilai untuk

mengetahui arah kemiringan dan arah pergeseran garis, dan garis

tersebut digunakan untuk menentukan titik penyelesaian terakhir.

2) Untuk memaksimumkan fungsi objektif maka garis selidik digeser

sejajar ke arah kanan atau atas dengan kemiringan yang sama sampai

titik penyelesaian yang terakhir dan untuk meminimumkan fungsi

objektif maka garis selidik digeser ke arah kiri atau bawah dengan

kemiringan yang sama sampai titik penyelesaian yang terakhir. Titik

penyelesaian terakhir yang dilalui garis selidik merupakan titik

optimum. Nilai optimum dapat diperoleh dengan mensubstitusikan

titik optimum ke fungsi tujuan.

w. Dosen menginformasikan kepada mahasiswa bahwa akan diberikan satu

konteks masalah program linear untuk diselesaikan mahasiswa secara

mandiri dan akan di presentasikan pada pertemuan selanjutnya sebelum

dilakukan tes tertulis II.






untuk matematisasi progresif nampak pada saat mahasiswa menyelesaikan

masalah yang diberikan, 3) pemanfaatan hasil konstruksi siswa nampak


107

pada saat peneliti membimbing mahasiswa untuk membuat pemisalan yang

tepat, mengenalkan kepada mahasiswa mengenai model program,

membimbing mahasiswa menemukan konsep menyelesaikan masalah

program linear menggunakan garis selidik, 4) interaktivitas nampak pada

saat peneliti memanfaatkan hasil konstruksi, mahasiswa melakukan diskusi

kelompok untuk menyelesaikan masalah yang diberikan, dan

mempresentasikan hasil diskusi di depan kelas, 5) keterkaitan nampak

masalah yang diberikan mengarahkan mahasiswa menemukan konsep

program linear dua variabel dimana kendalanya berupa sistem

pertidaksamaan linear dua variabel pertidaksamaan dan menemukan konsep

penyelesaian masalah program linear menggunakan garis selidik dimana

mahasiswa menggunakan konsep menggambar daerah penyelesaian

pertidaksamaan linear dua variabel pada pertemuan I digunakan untuk

menggambar daerah penyelesaian dari kendala.



maupun mahasiswa pada pertemuan ketiga adalah sebagai berikut.

1) Dosen memberikan apersepsi dengan memberikan pertanyaan mengenai

langkah-langkah menyelesaikan masalah program linear menggunakan

garis selidik

2) Dosen meminta mahasiswa untuk berdiskusi dengan mahasiswa lain

yang berada di samping kiri atau kanan untuk saling mengoreksi


108

pekerjaan temannya. Masalah sudah diberikan pada hari sebelumnya.


Suatu pabrik farmasi menghasilkan dua jenis kapsul obat flu yang diberi

nama Fluin dan Fluon. Tiap – tiap kapsul memuat tiga unsur (ingredient)

utama dengan kadar kandungannya masing masing. Obat flu Fluin

mengandung 2 grain aspirin, 5 grain bikorbonat, dan 1 grain kodein.

Sedangkan obat flu Fluon mengandung 1 grain aspirin, 8 grain

bikorbonat, dan 6 grain kodein. Menurut dokter, seseorang yang sakit

flu akan sembuh jika dalam tiga hari (secara rata – rata) minimal

menelan 12 grain aspirin, 80 grain bikarbonat, dan 24 grain kodein.

Harga Fluin Rp 2.500/kapsul dan harga Fluon Rp 3.000/kapsul. Berapa

kapsul Fluin dan berapa kapsul Fluon yang harus dibeli supaya cukup

untuk menyembuhkan dengan biaya pembelian total semurah –

murahnya?

3) Dosen meminta salah satu mahasiswa untuk mempresentasikan hasil

pekerjaannya di depan kelas dan mahasiswa lain diminta untuk

memberikan komentar jika penjelasan yang disampaika oleh temannya

kurang tepat.

4) Dosen memberikan penegasan kepada mahasiswa tentang penyelesaian

masalah program linear menggunakan garis selidik dengan memberikan

pertanyaan-pertanyaan yaitu sebagai berikut:

a) Kenapa yang kalian misalkan itu dengan banyaknya kapsul?

b) Kenapa ada syarat 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍?


109

c) Kenapa tanda ketaksamaan ≥ yang kalian gunakan untuk model

kendalanya?

d) Kenapa garis selidik tersebut harus digeser ke kiri atau ke bawah?

e) Butuh minimal berapa garis selidik dan mengapa?

f) Kenapa titik (2,9) disimpulkan sebagai titik minimum?

5) Dosen mengajak mahasiswa untuk menyimpulkan kembali langkah-

langkah dalam menyelesaikan masalah program linear menggunakan

garis selidik.

6) Dosen mengingatkan kepada mahasiswa untuk hati-hati dalam membuat

pemisalan. Agar tidak keliru mulailah dengan melihat apa yang

ditanyakan dari soal dan membuat tabel dari informasi yang ada pada

masalah yang diberikan. Tabel yang dibuat dapat membantu mahasiswa

untuk membuat kendala dan fungsi objektifnya. Dosen mengingatkan

mahasiswa untuk memperhatikan dengan baik titik penyelesaian yang

menjadi pilihan titik optimum.

7) Dosen memberikan tes tertulis II kepada mahasiswa.






untuk matematisasi progresif nampak pada saat mahasiswa menyelesaikan

masalah yang diberikan, 3) pemanfaatan hasil konstruksi siswa nampak


110

pada saat peneliti meminta mahasiswa mempersentasikan hasil diskusi di

depan kelas, 4) interaktivitas nampak pada saat peneliti memanfaatkan hasil

konstruksi, mahasiswa melakukan diskusi kelompok, 5) keterkaitan nampak

pada masalah yang diberikan berkaitan dengan konsep penyelesaian

masalah program linear dua variabel. Mahasiswa dapat menyelesaikan

menggunakan metode garis selidik yangsudah dipelajari pada pertemuan

sebelumnya.

B. Deskripsi Proses Pembelajaran Kelas Uji Coba

Proses pembelajaran dianalisis dan dideskripsikan berdasarkan kegiatan

atau usaha yang dilakukan peneliti berdasarkan 5 karekateristik PMR yaitu



1. Pembelajaran kelas uji coba pertama

a. Aktivitas Pertama

Masalah Pertama:

“Ibu Santi akan membuat dua jenis kue yang berbeda untuk kegiatan

arisan bulanan. Jumlah kedua kue tersebut paling sedikit 25 buah.

Nyatakan permasalahan tersebut dalam suatu model!

Masalah Kedua:


uang sebesar Rp 400.000. Harga setiap barang yang ada pada toko

tersebut sudah tersedia pada daftar harga sehingga Camelia dapat

memperkirakan barang apa saja yang dapat dibeli dengan uang yang dia


111

miliki. Camelia membeli satu kompor gas portable dan dua wajan dan

dia masih mendapatkan kembalian. Nyatakan permasalahan tersebut

dalam suatu model!”

1) Penggunaan konteks

Pada aktivitas pertama sebelum peneliti menampilkan masalah yang

harus diselesaikan, mahasiswa sudah duduk dalam bentuk kelompok

yang dibentuk secara acak dengan berhitung. Terdapat 9 kelompok

yang terbentuk dengan masing-masing kelompok terdiri dari 4 orang

mahasiswa. Setelah masalah ditampilkan pada slide power point,

peneliti membacakan kembali masalah tersebut kemudian

menerangkan apa yang harus dikerjakan oleh mahasiswa dalam

kelompok yaitu membuat model berdasarkan masalah yang diberikan.

Terdapat dua masalah yang diberikan. Kedua masalah tersebut saling

berhubungan karena konteks yang digunakan sama-sama merupakan

konteks yang berkaitan dengan pertidaksamaan linear dua variabel.

Pada masalah pertama berkaitan dengan bentuk pertidaksamaan lebih

dari sama dengan dan pada masalah kedua berkaitan dengan bentuk

pertidaksamaan kurang dari. Ketika mahasiswa memiliki ide di dalam

menyelesaikan masalah pertama maka ide tersebut dapat membantu

mahasiswa untuk memiliki ide menyelesaikan masalah kedua. Oleh

karena itu dapat disimpulkan bahwa pengalaman mahasiswa

menyelesaikan masalah pertama dapat membantu mahasiswa

menyelesaikan masalah kedua. Dari kedua masalah tersebut, peneliti


112

meminta mahasiswa secara berkelompok untuk berdiskusi agar dapat

memahami masalah yang diberikan kemudian menyatakan kalimat

sehari-hari tersebut ke dalam sebuah model. Dalam kelompok, terlihat

mahasiswa berusaha memahami masalah yang diberikan dengan

membaca berulang kali dan berdiskusi untuk mengetahui apa yang

diketahui dan ditanya dalam masalah tersebut.

2) Penggunaan model untuk matematisasi progresif

Pada aktivitas pertama ini mahasiswa diminta untuk membuat model

berdasarkan masalah yang diberikan. Berikut ini merupakan beberapa

penyelesaian yang dilakukan oleh mahasiswa. Pemilihan lembar

jawab mahasiswa berdasarkan pada pengelompokkan jawaban-

jawaban yang sejenis.

Gambar 4. 1. Hasil Pekerjaan kelompok mahasiswa 1 pada aktivitas I


113

Dari hasil pekerjaan mahasiswa di atas, nampak langkah-langkah

penyelesaian yang dilakukan oleh mahasiswa yaitu mahasiswa

memisalkan kue donat dengan variabel x dan kue lapis dengan

variabel y, mahasiswa menuliskan pernyataan yang akan dimodelkan

yaitu “jumlah kedua kue tersebut paling sedikit 25 buah” kemudian

mahasiswa membentuk sebuah pertidaksamaan linear dua variabel

25+ yx . Mahasiswa menuliskan dua alasan yaitu yang pertama

sistem persamaaan dijumlahkan karena pada soal berbunyi jumlah

kedua kue sehingga menggunakan operasi penjumlahan, dan yang

kedua menggunakan tanda lebih besar sama dengan karena pada

soal berbunyi jumlah kedua kue paling sedikit 25 buah. Pada masalah

kedua, mahasiswa memisalkan harga kompor gas portable dengan

variabel a dan harga wajan dengan variabel y, mahasiswa menuliskan

pernyataan yang akan diimodelkan, kemudian mahasiswa membentuk

sebuah pertidaksamaan linear dua variabel 000.4002 + ba sesuai

dengan pernyataan tersebut. Mahasiswa menuliskan alasan

menggunakan tanda kurang dari karena pada soal Camelia masih

mendapatkan kembalian. Dari penyelesaian yang diberikan oleh

mahasiswa tersebut, dapat disimpulkan pada masalah pertama

mahasiswa belum tepat dalam memisalkan objek-objek ke dalam

variabel namun mahasiswa mampu untuk membentuk pertidaksamaan

linear dua variabel dengan benar dengan alasan yang tepat walaupun

objek dalam pemisalan yang dibuat kurang tepat. Mahasiswa


114

memisalkan kue donat dengan variabel x dan kue lapis dengan

variabel y. Dari pemisalan yang dibuat oleh mahasiswa ini, mahasiswa

tidak memberikan penekanan pada pada banyak kue donat dan banyak

kue lapis. Sehingga pemisalan yang tepat adalah banyak kue donat

dengan variabel x dan banyak kue lapis dengan variabel y. Pada

masalah kedua mahasiswa mampu memisalkan objek-objek ke dalam

variabel dengan tepat dan mahasiswa mampu untuk membentuk

pertidaksamaan linear dua variabel dengan benar dengan alasan

penggunaan tanda ketaksamaannya tepat. Dari model yang dihasilkan

pada masalah satu dan masalah dua, nampak pada model yang

pertama mahasiswa belum bisa memisalkan objek-objek ke dalam

variabel dengan tepat tetapi pada model yang kedua mahasiswa sudah

dapat memisalkan objek-objek ke dalam variabel dengan tepat.

Gambar 4. 2. Hasil pekerjaan kelompok mahasiswa 2 pada

aktivitas I


115

Dari hasil pekerjaan mahasiswa di atas untuk masalah pertama,

nampak langkah-langkah penyelesaian yang dilakukan oleh

mahasiswa yaitu memisalkan variabel x sebagai jumlah kue donat dan

variabel y sebagai jumlah kue lapis, kemudian mahasiswa membentuk

sebuah pertidaksamaan linear dua variabel 25+ yx . Mahasiswa

menuliskan syarat .0,0 yx mahasiswa memberikan alasan

menggunakan tanda operasi + dan tanda ketaksamaan . Pada

masalah kedua, nampak langkah-langkah penyelesaian yang

dilakukan oleh mahasiswa sama dengan saat mahasiswa

menyelesaikan masalah satu yaitu memisalkan variabel x sebagai

harga 1 buah kompor gas portable dan variabel y sebagai harga 1 buah

wajan, kemudian mahasiswa membentuk sebuah pertidaksamaan

linear dua variabel 000.4002 + ba . Mahasiswa juga menuliskan

syarat .0,0 yx Mahasiswa memberikan alasan menggunakan

tanda operasi + dan tanda ketaksamaan < pada model yang dibuat.

Dari penyelesaian yang diberikan oleh mahasiswa tersebut, pada

masalah pertama dan kedua dapat disimpulkan mahasiswa mampu

memisalkan objek-objek ke dalam variabel dengan tepat dan

mahasiswa mampu untuk membentuk pertidaksamaan linear dua

variabel dengan tepat. Pada masalah pertama alasan menggunakan

tanda “+” belum terlalu tepat seharusnya karena terdapat kata

“jumlah” dan alasan menggunakan tanda ketaksamaan sudah tepat.


116

Pada masalah kedua mahasiswa memberikan alasan dengan tepat.

Dari penyelesaian tersebut, mahasiswa juga menuliskan syarat untuk

kedua masalah tersebut dengan tepat. Dari model yang dihasilkan

pada masalah satu dan masalah dua, nampak bahwa pada model yang

pertama mahasiswa belum bisa menunjukkan alasan yang tepat

menggunakan tanda “+” tetapi pada masalah kedua mahasiswa sudah

dapat menunjukkan alasan yang tepat penggunaan tanda “+” pada

model yang dibuat.


aktivitas I

Dari hasil pekerjaan mahasiswa di atas untuk masalah pertama,

nampak langkah-langkah penyelesaian yang dilakukan oleh

mahasiswa yaitu memisalkan variabel x sebagai banyak kue donat dan

variabel y sebagai banyak kue lapis, mahasiswa menuliskan diketahui

pernyataan yang akan dimodelkan yaitu “jumlah kedua kue tersebut


117

paling sedikit 25 buah” kemudian mahasiswa membentuk sebuah

pertidaksamaan linear dua variabel 25+ yx . Mahasiswa

memberikan alasan menggunakan tanda karena pada soal tertulis

jumlah kedua kue paling sedikit 25 kue maka ibu santi dapat membuat

kue dengan jumlah lebih dari 25 atau sama dengan 25 kue. Pada

masalah kedua, mehasiswa terlebih dahulu menuliskan apa yang

diketahui kemudian membuat model dengan pertama-tama

mahasiswa memisalkan variabel a sebagai harga 1 buah kompor gas

dan variabel b sebagai harga 1 buah wajan, kemudian mahasiswa

membentuk sebuah pertidaksamaan linear dua variabel

000.4002 + ba . Mahasiswa menuliskan alasan memperoleh model

000.4002 + ba dan menggunakan tanda kurang dari karena ketika

Camelia membeli 1 kompor dan 2 wajan masih mendapatkan uang

kembalian ketika membawa uang 400.000. Jadi dapat dipastikan

bahwa harga barang yang dibeli Camelia kurang dari 400.000.

Dari penyelesaian yang diberikan oleh mahasiswa tersebut untuk

masalah satu dan masalah dua, dapat disimpulkan mahasiswa mampu

memisalkan objek-objek ke dalam variabel dengan benar dan


variabel dengan benar. Mahasiswa mampu memberikan alasan yang

tepat mengapa model tersebut yang terbentuk dari masalah yang

diberikan. Dari model yang dihasilkan, nampak pada model pertama

mahasiswa sudah memberikan model yang tepat untuk masalah satu


118

dan pada model kedua mahasiswa juga sudah memberikan model

yang tepat untuk masalah dua. Langkah penyelesaian untuk model

yang kedua terlihat lebih urut dengan menuliskan yang diketahui

terlebih dahulu baru membuat pemisalan dan membentuk

pertidaksamaan linear dua variabel.


aktivitas I

Dari hasil pekerjaan mahasiswa di atas untuk masalah pertama dan

masalah kedua, nampak langkah-langkah penyelesaian yang

dilakukan oleh mahasiswa sama yaitu mahasiswa menuliskan yang

diketahui dan ditanya, membuat pemisalan, dan membentuk

modelnya. Pada masalah pertama, mahasiswa memisalkan variabel x

dengan jumlah kue donat dan variabel y dengan jumlah kue lapis,

kemudian mahasiswa membentuk sebuah pertidaksamaan linear dua

variabel 25+ yx . Mahasiswa menuliskan alasan menggunakan


119

tanda karena terdapat kalimat paling sedikit. Pada masalah kedua,

mahasiswa memisalkan variabel x sebagai harga satu kompor gas dan

variabel y sebagai harga satu wajan, kemudian mahasiswa membentuk

sebuah pertidaksamaan linear dua variabel 000.4002 + yx .

Mahasiswa menuliskan alasan yaitu menggunakan tanda “<” karena

Camelia masih mendapatkan kembalian.

Dari penyelesaian yang diberikan oleh mahasiswa tersebut untuk

masalah satu dan masalah dua, dapat disimpulkan mahasiswa mampu

memisalkan objek-objek ke dalam variabel dengan benar dan


variabel dengan benar dengan alasan yang tepat. Langkah

penyelesaian yang diberikan oleh mahasiswa tersebut konsisten antara

penyelesaian masalah pertama maupun yang kedua yaitu dengan

menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanya, memisalkan

objek-objek sebagai variabel, dan membentuk pertidaksamaan linear

dua variabel, serta memberikan alasan penggunaan tanda

ketaksamaan pada model yang sudah dibuat. Dari model yang

dihasilkan, nampak pada model pertama mahasiswa sudah

memberikan model yang tepat untuk masalah satu dan pada model

kedua mahasiswa juga sudah memberikan model yang tepat untuk

masalah dua serta langkah penyelesaian yang diberikan oleh

mahasiswa tersebut konsisten antara penyelesaian masalah pertama

maupun yang kedua.


120

3) Pemanfaatan hasil konstruksi siswa

Pemanfaatan hasil konstruksi terlihat saat mahasiswa menjawab

pertanyaan-pertanyaan dari peneliti yang berusaha memancing

munculnya penggunaan kata “banyaknya” atau “jumlah” dalam

melakukan permisalan objek-objek pada masalah yang diberikan ke

dalam sebuah variabel. Berikut proses yang terjadi di dalam kelas saat

peneliti memberikan topangan.

Peneliti : Lihat kedua hasil pekerjaan teman kalian di depan

untuk maslaah satu. Model yang mereka peroleh

sama yaitu 25+ yx tetapi pemisalan yang dibuat

itu berbeda. Satunya memisalkan dengan banyak

kue donat dan banyak kue lapis tetapi yang satu

kelompok lagi tanpa kata banyak. Na kira-kira

mana yang tepat?

Mahasiswa : Banyaknya

Peneliti : Kenapa?

Mahasiswa : Karena. . .

Peneliti : Hm Lihat model matematika yang ini (sambil

menujuk pada 25+ yx ). Nah sekarang coba

kalian membahasakan kembali ke dalam kalimat

sehari – hari sesuai yx + ? (mahasiswa

memisalkan x = kue donat dan y = kue lapis)?

Mahasiswa : Kue donat ditambah kue lapis . . . .

Peneliti : Ia kue donat kue lapis

Peneliti : Apakah kue donat dan kue lapis bisa dijumlahkan?

Mahasiswa : Nggak. Kuenya beda. Kan ada kue donat sama kue

lapis

Peneliti : Nah sekarang saya tanya, kalau kuenya berbeda

apakah kedua kue tersebut bisa dijumlahkan?

Mahasiswa : Nggak bisalah

Peneliti : Kenapa nggak bisa dijumlahkan?

Mahasiswa : Karena kedua kue tersebut berbeda. Kalau sama

baru bisa dijumlahkan

Peneliti : Terus apa yang dapat dijumlahkan dari kedua kue

ini?

Mahasiswa : Banyaknya kue

Peneliti : Ia benar. Jadi yang dapat dijumlahkan dari kedua

kue tersebut adalah banyaknya.


121

Jadi apa yang harusnya kalian misalkan dalam

variabel?

Mahasiswa : x sama dengan banyak kue donat dan y sama

dengan banyak kue lapis

Peneliti : Ia betul sekali ya. Untuk kedepannya perhatikan

dengan baik apa yang harus dimisalkan.

Mahasiswa : Ia mba. Tapi mba kalau saya pakai kata jumlah kue

boleh nggak? Jadi yang saya misalkan itu x dengan

jumlah kue donat terus y nya dengan jumlah kue

donat boleh nggak?

Peneliti : Boleh. Sama halnya dengan yang masalah dua ya

kompor gas dan wajan bisa dijumlahkan atau

tidak?

Mahasiswa : Nggak

Peneliti : Ia. Yang bisa dijumlahkan apanya?

Mahasiswa : Harga kompor dan harga wajan mba

Peneliti : Ia betul

Dalam proses tersebut, disimpulkan bahwa peneliti menggunakan

model yang dihasilkan oleh mahasiswa yang mempresentasikan

hasilnya di depan kelas yaitu 25+ yx sebagai topangan untuk

membimbing mahasiswa agar dapat membuat pemisalan objek

dengan tepat yaitu memisalkan x = banyak kue donat dan y = banyak

kue lapis. Pada saat memisalkan objek ke dalam variabel mahasiswa

kurang menekankan pada banyaknya objek. Mahasiswa memisalkan

x = kue donat dan y = kue lapis. Dengan topangan yang diberikan oleh

peneliti, mahasiswa dapat memberikan pemisalan yang tepat yaitu x =

banyak kue donat dan y = banyak kue lapis.

Proses di atas dapat berhasil karena peneliti memberikan topangan

dengan menggunakan model yang merupakan hasil dari konstruksi

pengetahuan mahasiswa itu sendiri untuk menyelesaikan masalah

pertama yaitu bentuk pertidaksamaan linear dua variabel 25+ yx .


122

Dalam proses tersebut, nampak dari pertidaksaman 25+ yx ,

peneliti meminta mahasiswa membahasakan kembali ke dalam

kalimat sehari – hari sesuai dengan variabel yang dimisalkan

kemudian menanyakan apakah kue donat dan kue lapis dapat

dijumlahkan atau tidak, jika tidak apa yang dapat dijumlahkan dari

kedua kue tersebut. Melalui topangan-topangan yang diberikan oleh

peneliti tersebut, mahasiswa dapat menyimpulkan pemisalan yang

tepat yaitu x = banyak kue donat dan y = banyak kue lapis.

Setelah mahasiswa menyimpulkan pemisalan yang tepat, peneliti

memberikan penekanan bahwa perlu untuk memperhatikan

penggunaan kata “banyak” atau “jumlah” dalam pemisalan variabel

sebab tanpa kata tersebut maka akan menimbulkan makna yang

kurang tepat dalam model matematika yang sudah dibuat. Model yang

dibentuk harus sesuai dengan masalah yang diberikan.

Pemanfaatan hasil konstruksi mahasiswa terjadi saat peneliti

mengajak mahasiswa untuk menyimpulkan langkah-langkah dalam

memodelkan masalah nyata ke dalam model matematika dan

mengenalkan kepada mahasiswa tentang pertidaksamaan linear dua

variabel.

Peneliti : Dari dua masalah tadi kalian sudah membentuk

model 25+ yx dan 000.4002 + ba . Sekarang

coba kalian simpulkan langkah-langkah yang kalian

lakukan untuk memperoleh model tersebut?

Mahasiswa : Pertama kami misalkan dulu mba.

Peneliti : Apa yang kamu misalkan? Dan bagaimana kamu

misalkannya?


123

Mahasiswa : Maksudnya itu kalau di masalah pertama kami

misalkan jumlah kue donat dengan x dan jumlah

kue lapis dengan y. Kalau di masalah dua kami

misalkan harga 1 buah kompor gas dengan a dan

harga 1 buah wajan dengan b

Peneliti : Oke baik. Benar ya. Na sekarang setelah itu apa

yang kalian buat? Karena langkahnya sama, coba

jawab dulu yang masalah pertama

Mahasiswa : Kan karena di masalah kita tahu kalau jumlah kedua

kue tersebut paling sedikit 25 buah. Berarti

modelnya 25+ yx

Peneliti : Kenapa harus x + y dan kenapa harus pakai tanda ?

Mahasiswa : Di soal itu kan tertulis jumlah kedua kue berarti

jumlah kue donat ditambah jumlah kue lapis terus

kalau lebih dari sama dengan itu karena ada kata

paling sedikit mba. Karena kalau paling sedikti

berarti harus lebih dari sama dengan

Peneliti : Ia betul. Na paling sedikit itu kan artinya. . .

Mahasiswa : lebih dari sama dengan

Peneliti : Iya betul ya. Na sekarang ada yang bisa simpulkan

langkah-langkah membuat modelnya secara umum?

Mahasiswa : Pertama misalkan ke dalam variabel kemudian buat

model matematikanya berdasarkan masalahnya.

Peneliti : Ada jawaban yang lain?

Mahasiswa : Diam

Peneliti : Na jadi langkah yang dilakukan adalah dengan cara

memisalkan objek-objeknya ke dalam variabel–

variabel kemudian mengganti kalimat yang

menyatakan jumlah dengan tanda ketidaksamaan

dan menuliskan bentuk modelnya. Kalau di masalah

pertama objeknya itu kan banyaknya kue donat dan

banyaknya kue lapis. Kalau di masalah kedua

objeknya harga 1 buah kompor gas dan harga satu

buah wajan.

Jadi kalau diberikan masalah dan diminta untuk

membuat model matematikanya bisa dilakukan

dengan langkah-langkah yang tadi ya.

Sekarang saya mau tanya bentuk 25+ yx dan

000.4002 + ba ?

Mahasiswa : Pertidaksamaan

Peneliti : Pertidaksamaan apa? Coba jawab yang lengkap?

Mahasiswa : Pertidaksamaan linear mba

Peneliti : Itu aja? Atau ada yang lain?

Mahasiswa : Pertidaksamaan linear dua variabel


124

Peneliti : Oke bagus sekali. Betul ya. Jadi bentuk dari model

yang tadi itu merupakan salah satu contoh dari

pertidaksamaan linear dua variabel. Na ada empat

tanda ketaksamaan yaitu ,,, . Jadi kalian harus

lebih teliti dalam menentukan tanda

ketaksamaannya dalam membuat model. Harus

sesai dengan kalimat yang ada dalam masalah yang

diberikan

Mahasiswa : Oke mba

Dari proses tersebut, disimpulkan bahwa peneliti menggunakan

model yang sudah dihasilkan oleh mahasiswa pada masalah pertama

dan masalah kedua yaitu pertidaksamaan linear dua variabel

25+ yx dan 000.4002 + ba untuk membawa mahasiswa

menyimpulkan langkah-langkah yang dilakukan untuk membentuk

pertidaksamaan linear dua variabel dari masalah nyata dan

mengenalkan kepada mahasiswa bahwa model yang sudah dihasilkan

tersebut merupakan bentuk pertidaksamaan linear dua variabel.

Peneliti menanyakan bagaimana langkah-langkah sehingga diperoleh

model tersebut. Dari sini mahasiswa dapat menyimpulkan bahwa

langkah-langkahnya adalah misalkan ke dalam variabel kemudian

buat model matematikanya berdasarkan masalahnya.

Proses tersebut dapat berhasil karena dalam membimbing mahasiswa,

peneliti memberikan topangan dengan menggunakan model yang

merupakan hasil dari konstruksi pengetahuan mahasiswa untuk

menyelesaikan masalah pertama dan masalah kedua yaitu bentuk

pertidaksamaan linear dua variabel 25+ yx (masalah pertama) dan

000.4002 + ba (masalah kedua). Dari model tersebut peneliti


125

meminta mahasiswa untuk menjelaskan langkah-langkah yang

digunakan sehingga dapat membentuk pertidaksamaan tersebut

sehingga mahasiswa dapat membuat kesimpulan secara umum

langkah-langkah yang digunakan untuk memodelkan masalah satu

dan dua yaitu misalkan ke dalam variabel kemudian buat model

matematikanya berdasarkan masalahnya.

Setelah mahasiswa memberikan kesimpulan, peneliti memberikan

penekanan tentang langkah-langkah yang harus dilakukan dalam

membuat model nyata ke dalam bentuk pertidaksamaan yaitu

memisalkan objek-objeknya ke dalam variabel–variabel kemudian

mengganti kalimat yang menyatakan jumlah dengan tanda

ketidaksamaan dan menuliskan bentuk modelnya. Setelah itu

mahasiswa diberikan topangan sehingga mahasiswa tahu bahwa

model tersebut merupakan bentuk dari pertidaksamaan linear dua

variabel. Dari proses di atas juga mahasiswa dapat memaknai

penggunaan tanda ketaksamaan pada model yang dihasilkan.

4) Interaktivitas

Interaktivitas yang terjadi pada aktivitas pertama ini yaitu peneliti

dengan mahasiswa dan mahasiswa dengan mahasiswa. Salah satu

interaktivitas peneliti dengan seluruh mahasiswa dalam kelas terjadi

ketika peneliti membimbing mahasiswa untuk membuat pemisalan

yang tepat pada masalah pertama dan membawa mahasiswa untuk

dapat menyimpulkan langkah-langkah dalam membuat model


126

pertidaksamaan linear dua variabel dimana dialognya sudah

dipaparkan pada karakteristik sebelumnya yaitu karakteristik 3

(pemanfaatan hasil kontruksi siswa). Berikut interaksi mahasiswa

dengan mahasiswa yang terjadi dalam kelompok diskusi. Berikut

cuplikan transkip interaksinya.

Mahasiswa 1 : Kita misalkan x dengan banyaknya kue

donat. .

Mahasiswa 2 : Ia terus y sama dengan banyaknya kue lapis

kan?

Mahasiwa 1, 3,

&4

: Ia

Mahasiswa 1 : Kemudian jumlah kedua kue paling sedikit

25.

Mahasiswa 2 : Berarti dia nggak boleh lebih

Mahasiswa 1 : Paling sedikit 25 (sambil menunjukkan

tanda kurang dari sama dengan) berarti

nggak boleh lebih dari 25

Mahasiswa 3 : Berarti dimisalkan x sama dengan

banyaknya kue donat terus y sama dengan

banyaknya kue lapis (sambil menulis rapi di

lembar jawab kelompok)

Mahasiswa 2 : Jumlah kedua kue paling sedikit 25. Paling

sedikit artinya?

Mahasiswa 1 : Itu tadi nggak boleh lebih dari 25.

Mahasiswa 3 : Paling sedikit itu bukannya boleh lebih dari

25 ya? Kan paling sedikit to

Mahasiswa 2 : Ia . .ia. . berarti tandanya diganti jadi lebih

dari sama dengan ya.

Dari cuplikan interaksi antar mahasiswa di atas, nampak pada dua

interaksi mahasiswa yang terakhir mahasiswa 3 memberikan ide

kepada mahasiswa lainnya bahwa kalimat “paling sedikit” artinya

boleh lebih dari 25, kemudiam mahasiswa 2 menyetujui pendapat dari

mahasiswa 3 dan mengganti tanda ketaksamaan dari menjadi .

Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa dari interaksi di atas


127

mahasiswa dapat menyimpulkan tanda ketaksamaan yang tepat dari

kalimat “paling sedikit” untuk model yang dibuat yaitu .

Berikut interaksi antara peneliti dan seluruh mahasiswa juga terjadi

saat salah satu mahasiswa memberikan pertanyaan seputar syarat yang

digunakan dalam masalah. Berikut cuplikan interaksinya.

Mahasiswa : Mba kalau saya tambahkan modelnya 0,0 yx

bagaimana? Kan jumlah kue tidak mungkin negatif

terus kalau harga kan tidak mungkin negatif juga

mba.

Peneliti : Ada yang mau menanggapi?

Mahasiswa : Mahasiswa diam

Peneliti : Apa yang ditanya dalam soal?

Mahasiswa : Buat model dari masalah

Peneliti : Dari ketiga pertidaksamaan ini, pertidaksamaan

mana yang merepresentasikan masalah yang

diberikan?

Mahasiswa : Yang 25+ yx dan 000.4002 + ba

Peneliti : Ia benar. Jadi perlu nggak kita menambahkan

modelnya dengan 0,0 yx ?

Mahasiswa : Tidak

Peneliti : Karena? (mahasiswa diam)

0,0 yx maksudnya apa?

Mahasiswa : Kan tadi dimisalkan x = banyak kue donat dan y =

banyak kue lapis. Banyaknya kue itu kan tidak

mungkin negatif jadi 0,0 yx . Kalau banyak

kue -2 misalkan kan tidak mungkin.

Peneliti : Iya. Berati 0,0 yx merupakaan apa dari

masalah ini?

Mahasiswa : Syaratnya

Peneliti : Iya, sebagai syarat dari modelnya ya (sambil

menunjukan salah satu model yaitu 25+ yx ).

Jadi tidak harus kita sertakan. Tapi kalau

disertakan juga lebih baik lagi. Bisa dituliskan

dibawah modelnya ini (sambil menunjukan salah

satu model yaitu 25+ yx ) dengan syarat

0,0 yx

Mahasiswa : Terus apa gunanya syaratnya itu mba?

Peneliti : Jadi syaratnya itu lebih diperlukan saat kamu

diminta untuk menyelesaikan model dari masalah

tersebut. Disitu muncul syarat bahwa banyak kue


128

tidak mungkin negatif. Jadi kalau jawabannya -1

itu bukan penyelesaiannya.

Sama halnya dengan masalah dua ya.

Mahasiswa : Berarti kalau masukkin syaratnya juga nggak apa

kan mba

Peneliti : Ia lebih bagus juga kalau disertakan syaratnya.

Tetapi harus tahu mana model dari masalahnya dan

mana syarat dari masalah atau model yang sudah

dibuat.

Mahasiswa : Ia mba.

Dari cuplikan interaksi antara mahasiswa dan peneliti di atas, nampak

peneliti menanyakan mana bentuk pertidaksamaan yang

merepresentasikan masalah yang diberikan dan mahasiswa

memberikan jawaban yaitu 25+ yx (masalah pertama) dan

000.4002 + ba (masalah kedua). Kemudian peneliti memberikan

pertanyaan kepada mahasiswa 0,0 yx maksudnya apa?

mahasiswa menjawab dengan memberikan jawaban syarat bahwa

banyaknya kue tidak mungkin negatif. peneliti kemudian memberikan

pertanyaan 0,0 yx merupakan apa dari masalah yang diberikan

dan dengan topangan yang diberikan mahasiswa menjawab bahwa

0,0 yx merupakan syarat dari masalah yang diberikan. Oleh

karena itu dapat disimpulkan bahwa dari interaksi tersebut mahasiswa

dapat menyimpulkan mana yang merupakan model dan mana yang

merupakan syaratnya dari masalah yang diberikan dan mahasiswa

tahu kegunaan dari syarat tersebut yaitu digunakan untuk menentukan

penyelesaian dari model tersebut.


129

Berikut Interaksi antara mahasiswa dan peneliti juga ketika peneliti

membimbing mahasiswa dalam kelompok untuk mengoreksi tanda

pertidaksamaan yang telah dibuat oleh mahasiswa pada maslaah

pertama dan maslaah kedua. Berikut cuplikan transkipnya pada

masalah pertama.

Peneliti : Kenapa kalian menggunakan tanda ?

Mahasiswa : Karena ada di kalimat soalnya itu mba.

Peneliti : Ia yang mana?

Mahasiswa : Jumlah kedua kue tersebut paling sedikit 25

Peneliti : Dari kalimat yang kamu sebutkan tadi, kalimat

mana yang menyatakan tanda ?

Mahasiswa : Paling sedikit 25

Peneliti : Ia. Kalimat paling sedikit ya.

Nah sekarang coba dengar saya omong ya.

Misalkan kita mau ikut tes polisi. Terus disitu

disebutkan salah satu syaratnya itu dicari tingginya

paling sedikit 170 cm. Kalau kamu tingginya 167

cm. Apakah kamu memenuhi syaratnya?

Mahasiswa : Eh tadi berapa mba syarat tingginya?

Peneliti : 170 cm

Mahasiswa : O berati nggak memenuhi syarat

Peneliti : Kalau saya tingginya 177 cm?

Mahasiswa : Memenuhi

Peneliti : Kenapa?

Mahasiswa : Karena paling sedikit 170. Jadi tingginya harus

lebih dari 170 cm

Peneliti : Kalau tingginya 170 cm memenuhi apa nggak?

Mahasiswa : Hmhmhm....memenuhi sih ya. .

Ee nggak deh. .

Hmhm memenuhi deh mba. Kan paling sedikit to

jadi 170 juga memenuhi.

Peneliti : Jadi kalimat paling sedikit kalau dibawa ke tanda

matematikanya bagaimana?

Mahasiswa : Lebih dari sama dengan mba

Dari cuplikan interaksi di atas, setelah memberikan topangan-

topangan nampak pada interaksi terakhir peneliti dan mahasiswa,

peneliti menanyakan kepada mahasiswa tanda matematika yang tepat


130

untuk kalimat “paling sedikit” dan mahasiswa menjawab tanda

matematikanya adalah . Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa

dari interaksi di atas mahasiswa dapat menyimpulkan tanda

ketaksamaan yang tepat dari kalimat “paling sedikit” untuk model

yang dibuat yaitu .

Berikut cuplikan transkipnya pada masalah kedua.

Peneliti : Kenapa kalian menggunakan tanda ?

Mahasiswa : Karena Camelia dapat kembaliannya. Berartikan

tandanya kurang dari sama dengan mba.

Peneliti : Oooo. Dari masalah ini, mba mau tanya apa

artinya punya uang kembalian?

Mahasiswa : Artinya itu. . .artinya itu uangnya si Camel ini

lebih dari harga semua barangnya.

Peneliti : Oke. Kalau mba bilang harga semua barangnya

kurang dari uang Camel, boleh nggak?

Mahasiswa 1 : Ya enggaklah mba.

Mahasiswa 2 : Boleh loh. Kan sama saja kalau kita bacanya

balik gitu.

Mahasiswa 1 : Balik gimana maksudnya?

Mahasiswa 2 : Kan kalau saya punya tanda >. Kalau baca dari

kiri lebih dari tapi kalau bacanya dari kanan

jadinya kurang dari.

Peneliti : Jadi boleh apa nggak?

Mahasiswa : Boleh mba.

Peneliti : Kalau dari masalah, bolehnya kenapa?

Mahasiswa : Ya kan ada kembalian. Jadi bisa juga kalau harga

semua barangnya itu kurang dari uangnya Camel.

Peneliti : Ia betul ya. Na kalau begitu kalimat mendapat

kembalian itu tanda matematika apa?

Mahasiswa : Kurang dari mba.

Peneliti : Na sekarang koreksi jawaban kalian

Dari cuplikan interaksi di atas, nampak pada interaksi terakhir peneliti

dan mahasiswa, setelah memberikan topangan-topangan peneliti

menanyakan kepada mahasiswa tanda matematika yang tepat untuk

kalimat “mendapat kembalian” dan mahasiswa menjawab tanda


131

matematikanya adalah <. Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa

dari interaksi di atas mahasiswa dapat menyimpulkan tanda

ketaksamaan yang tepat dari kalimat “mendapat kembalian” untuk

model yang dibuat yaitu .

Jadi dapat disimpulkan bahwa pada aktivitas pertama terjadi interaksi

antara mahasiswa dan mahasiswa dalam kelompok diskusi, interaksi

antara peneliti dan mahasiswa dalam kelas, dan interaksi peneliti dan

mahasiswa dalam kelompok diskusi. Dari interaksi-interaksi tersebut,

mahasiswa dapat mengkonstruksi pengetahuannya.

5) Keterkaitan

Kedua masalah yang diberikan pada aktivitas pertama ini

mengarahkan mahasiswa untuk menemukan konsep dari

pertidaksamaan linear dua variabel. Pada masalah pertama mahasiswa

menemukan konsep pertidaksamaan linear dua variabel bentuk lebih

dari sama dengan yang disimbolkan dengan tanda dan pada

masalah kedua mahasiswa menemukan konsep pertidaksamaan linear

dua variabel bentuk kurang dari yang disimbolkan dengan tanda <.

b. Aktivitas kedua


Banyak kendaraan yang dapat diparkir disuatu lahan paling banyak sedan

atau bus adalah 70 buah. Lahan tersebut luasnya l.200 m2. Jika luas lahan

parkir untuk satu buah sedan 6 m2 dan luas lahan parkir untuk satu bus

18 m2, buatlah model dari permasalahan tersebut!


132


Pada aktivitas kedua, kelompok mahasiswa menggunakan kelompok

yang sudah dibentuk dan berjalan pada aktivitas pertama. Pada

aktivitas kedua, peneliti menggunakan konteks berupa kalimat sehari-

hari yang berkaitan dengan sistem pertidaksamaan linear dua variabel

yang terdiri dari dua pertidaksamaan yang ditampilkan pada slide

power point. Dengan pengalaman mahasiswa menyelesaikan masalah

pada aktivitas yang kedua dapat membantu mahasiswa menyelesaikan

masalah pada aktivitas kedua. Dari konteks tersebut, peneliti meminta

mahasiswa secara berkelompok untuk menyatakan kalimat sehari-hari

tersebut ke dalam sebuah model matematika. Setelah masalah

ditampilkan, peneliti membacakan kembali masalah tersebut

kemudian menerangkan apa yang harus dikerjakan oleh mahasiswa

dalam kelompok yaitu membuat model matematika berdasarkan

masalah yang diberikan. Dari masalah tersebut, peneliti meminta

mahasiswa secara berkelompok untuk berdiskusi agar dapat

memahami masalah yang diberikan jika ada pertanyaan langsung

ditanyakan kepada peneliti kemudian menyatakan kalimat sehari-hari

tersebut ke dalam sebuah model. Dalam kelompok, terlihat mahasiswa

berusaha memahami masalah yang diberikan dengan membaca

berulang kali dan berdiskusi untuk mengetahui apa yang diketahui dan

ditanya dalam masalah tersebut.


133


Pada aktivitas kedua ini mahasiswa diminta untuk membuat model

berdasarkan masalah yang diberikan. Berikut ini merupakan

beberapa penyelesaian yang dilakukan oleh mahasiswa. Pemilihan

lembar jawab mahasiswa berdasarkan pada pengelompokkan

jawaban-jawaban yang sejenis.


aktivitas II

Dari penyelesaian di atas, nampak langkah-langkah mahasiswa dalam

membuat model dari masalah yang diberikan yaitu mahasiswa

memisalkan x sebagai banyak sedan dan y sebagai banyaknya bus,

mahasiswa menuliskan 0,0 yx dan Zyx , , mahasiswa

membuat tabel dari apa yang diketahui dari masalah yang diberikan

kemudian membentuk dua pertidaksamaan yaitu yang pertama

pertidaksamaan untuk luas lahan 1200186 + yx dan yang kedua

pertidaksamaan untuk kapasitas kendaraan 70+ yx . Mahasiswa

memberikan keterangan untuk masing-masing pertidaksamaan yang


134

sudah diperoleh yaitu menyatakan luas lahan x sedan ditambah

dengan luas lahan y bus tidak akan lebih dari 1200 m2 dan dimana

banyaknya sedan (x) dan banyaknya bus (y) paling banyak 70 buah.

dari hasil tanya jawab peneliti dan mahasiswa, 0,0 yx dan

Zyx , merupakan syarat dari model yang diberikan karena

banyaknya kendaraan tidak mungkin negatif dan bulat. Tidak ada ½

kendaraan yang ada hanya 1 buah 2 buah dan seterusnya. Untuk kolom

kapasitas diisi dengan banyaknya sedan dan banyaknya bus yang

dimisalkan dengan x dan y. Dari hasil penyelesaian mahasiswa dan

tanya jawab dengan peneliti, mahasiswa dapat memberikan alasan

yang sesuai dengan apa yang diselesaikannya atau dituliskannya. Dari

hasil penyelesaian yang diberikan oleh mahasiswa, disimpulkan

mahasiswa mampu memisalkan objek ke dalam variabel dengan tepat,

mahasiswa mampu membentuk dua pertidaksamaan dengan tepat

sesuai dengan masalah yang diberikan.


aktivitas II


135

Dari penyelesaian di atas, tampak langkah-langkah mahasiswa dalam

membuat model dari masalah yang diberikan yaitu mahasiswa me-

misalkan x sebagai banyak sedan dan y sebagai banyaknya bus,

kemudian mahasiswa membentuk dua pertidaksamaan yaitu yang

pertama pertidaksamaan untuk 70+ yx dan 1200186 + yx . Dari

persentasi mahasiswa di depan kelas, mahasiswa menyebutkan bahwa

pertidaksamaan 70+ yx merupakan pertidaksamaan untuk jumlah

kendaraan yang bisa di parkir. Karena jumlah kendaraan yang bisa

diparkir bus atau sedan paling banyak 70 buah maka 70+ yx .

Untuk pertidaksamaan 1200186 + yx merupakan model untuk

merepresentasikan luas lahan yang digunakan. Karena satu sedan luas

lahan parkirnya 6 m2 dan satu bus luas lahan parkirnya 18 m2 dan

lahan yang tersedia 1200 m2 maka diperoleh 1200186 + yx .

Mahasiswa menjelaskan menggunakan tanda < karena mereka tidak

dapat menentukan nilai x dan y dimana ketika nilai tersebut

disubstitusikan ke model hasilnya sama dengan 1200. Dari hasil

penyelesaian yang diberikan oleh mahasiswa, mahasiswa mampu

memisalkan objek ke dalam variabel dengan tepat, mahasiswa mampu

membentuk pertidaksamaan untuk kapasistas kendaraan dengan tepat

namun pertidaksamaan untuk luas lahan, mahasiswa kurang tepat

dalam menetukan tanda ketaksamaannya. Dalam soal dituliskan

bahwa “Lahan tersebut luasnya l.200 m2” dimana artinya luas lahan


136

parkir untuk bus atau sedan maksimal 1200 m2 jadi tanda ketaksamaan

yang tepat adalah .



membimbing mahasiswa dalam kelas untuk menentukan tanda

ketaksamaan yang benar untuk kalimat “lahan tersebut luasnya adalah

1200 m2”. Berikut cuplikan prosesnya.

Peneliti : Kira-kira tanda ketaksamaan yang mana yang

benar? atau <? Dari kelompok mengatakan

tandanya < dengan alasannya mereka tidak

dapat menemukan nilai x dan y yang ketika

disubstitusikan ke model hasilnya sama dengan

1200.

Mahasiswa 1 : Peneliti : Kenapa ?

Mahasiswa 3 : Karena lihat dari soal

Peneliti : Na coba

Mahasiswa 3 : Kan di soal menyatakan kalau lahan tersebut

luasnya 1200. 1200 kan maksimalnya.

Maksimal lahan yang tersedia jadi tandanya .

Kan kita tidak diminta untuk mencari

penyelesaiannya.

Peneliti : Bagaimana yang lain? Tandanya yang benar atau <?

Mahasiswa : ada yang jawab kurang dari ada yang jawab

kurang dari sama dengan

Peneliti : Kenapa kurang dari?

Mahasiswa 1 : Karena kalau kita ambil jumlah paling banyak

itu 70 lahan yang dipakai tidak sama dengan

1200

Mahasiswa 2 : Tapi kan dari soalnya itu lahan yang tersedia

1200 jadi tandanya mm

Peneliti : Jadi apa yang benar < atau ? Ada tanggapan

lain lagi?

Mahasiswa : Kalau kita diminta untuk membuat sebuah

formula pasti kita akan membuat yang berlaku

secara umum jadi ada kemungkinan dia kurang

dari 1200 tapi ada kemungkinan dia sama

dengan 1200


137

Peneliti : Karena? (mahasiswa diam) Iya dari masalahnya

ya. Seperti apa yang dikatakan vera tadi. Kan

disitu ditulis lahan tersebut luasnya 1200 m2 jadi

lahan yang tersedia itu maksimal 1200 m2.

Kalian bisa membahasakan kembali kalimat

soalnya. Jadi karena maksimal maka kalau saya

bawa ke tanda ketaksamaan tandanya apa?

Mahasiswa : Peneliti : Iya . Jadi kalau kita diminta untuk

memodelkan coba perhatikan dengan baik

kalimat soalnya ya.

Dari proses di atas, peneliti menggunakan tanda ketaksamaan yang

dihasilkan oleh mahasiswa untuk model luas lahan yaitu < dan

untuk membimbing mahasiswa agar dapat menentukan tanda

ketaksamaan yang tepat untuk kalimat “lahan tersebut luasnya adalah

1200 m2” yaitu tanda . Dari tanda ketaksamaan < dan , peneliti

meminta mahasiswa untuk memberikan jawaban kira-kira tanda apa

yang tepat serta serta memberikan pertanyaan-pertanyaan lanjutan

yang dapat menopang mahasiswa menyimpulkan tanda ketaksamaan

yang tepat. Dengan topangan dari peneliti, mahasiswa dapat

menerjemahkan kalimat tersebut sebagai luas lahan yang tersedia

maksimal 1200 m2, sehingga diperoleh kesimpulan tanda

ketaksamaannya . Proses tersebut dapat berhasil karena peneliti

memberikan topangan dengan menggunakan tanda ketaksamaaan <

dan dari model untuk luas lahan yang merupakan hasil dari

konstruksi pengetahuan mahasiswa itu sendiri untuk menyelesaikan

masalah yaitu bentuk pertidaksamaan linear dua variabel

1200186 + yx dan 1200186 + yx sehingga mahasiswa dapat


138

menerjemahkan kembali kalimat “lahan tersebut luasnya adalah 1200

m2” sebagai luas lahan yang tersedia maksimal 1200 m2, sehingga

diperoleh tanda ketaksamaannya .

Pemanfaatan hasil konstruksi mahasiswa juga terjadi saat peneliti

membawa mahasiswa untuk mengenalkan sistem pertidaksamaan

linear dua variabel. Berikut cuplikan transkipnya.

Peneliti : Kalau dari masalah yang tadi kita dapat dua

pertidaksamaan kan. Kalau lebih dari dua

pertidaksamaan kita sebut dengan apa?

Mahasiswa : Sis. .

Peneliti : Sis?

Mahasiswa : Sistem pertidaksamaan

Peneliti : Kenapa disebut dengan sistem pertidaksamaan?

Mahasiswa : Karena terdiri dari satu atau dua pertidaksamaan

Peneliti : (Sambil tersenyum) bukan satu atau dua tapi terdiri

dari?

Mahasiswa : Dua pertidaksamaan

Peneliti : Hanya dua? Kalau 3? Kalau 4? Boleh nggak?

Mahasiswa : Boleh

Peneliti : Iya. Kalau terdiri dari satu pertidaksamaan berarti?


Peneliti : Kalau lebih dari satu berarti?

Mahasiswa : Sistem pertidaksamaan

Peneliti : Ia kalau begitu alasanya apa disebut sebagai sistem

pertidaksamaan?

Mahasiswa : Karena terdiri lebih dari satu pertidaksamaan

Peneliti : Iya betul ya. Dalam masalah kita itu sistem

pertidaksamaan apa itu?

Mahasiswa : Linear dua variabel mba

Peneliti : Oke. Jadi dua pertidaksamaan ini kita katakan dengan

sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Dikatakan

sebuah sistem karena terdiri lebih dari satu

pertidaksamaan linear dua variabel dimana variabel-

variabelnya saling berhubungan.

Terus, cara penulisan sistem yang benar bagaimana?

Harus tambah tanda apa disini?

Mahasiswa : Tanda kurung kurawal mba


139

Dari proses yang terjadi di atas, peneliti menggunakan model yang

yang sudah diperoleh mahasiswa 1200186 + yx dan 70+ yx

untuk mengenalkan kepada mahasiswa bahwa model tersebut

merupakan suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Dari

penyelesaian mahasiswa, mahasiswa memperoleh model berupa dua

peridaksamaan linear dua variabel. Mahasiswa tidak menekankan

bahwa model yang diperoleh tersebut saling berhubungan sehingga

disebut sebagai sebuah sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

Mahasiswa tidak memberikan tanda kurung kurawal buka sebagai

tanda bahwa model tersebut adalah suatu sistem pertidaksamaan dua

variabel. Peneliti memberikan topangan dengan menggunakan model

yang yang sudah diperoleh mahasiswa 1200186 + yx dan

70+ yx sehingga mahasiswa dapat menyimpulkan bahwa model

tersebut adalah bentuk dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel

dan memberikan penulisan yang tepat sebagai suatu sistem dengan

memberikan satu tanda kurung kurawal buka di depan yang

menghubungkan kedua model pertidaksamaan linear dua variabel

tersebut. Proses tersebut dapat berhasil karena peneliti memberikan

topangan dengan menggunakan model yang sudah diperoleh

mahasiswa yang merupakan hasil dari konstruksi pengetahuan

mahasiswa itu sendiri untuk menyelesaikan masalah yaitu dua

pertidaksamaan linear dua variabel 1200186 + yx dan 70+ yx

sehingga mahasiswa dapat menyimpulkan bahwa model tersebut


140

adalah bentuk dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel dan

memberikan penulisan yang tepat sebagai suatu sistem dengan

memberikan satu tanda kurung kurawal buka di depan yang

menghubungkan kedua model pertidaksamaan linear dua variabel

tersebut.

4) Interaktivitas

Interaktivitas yang terjadi pada aktivitas kedua ini yaitu peneliti

dengan mahasiswa dan mahasiswa dengan mahasiswa. Interaktivitas

peneliti dengan mahasiswa dan mahasiswa dengan mahasiswa salah

satunya terjadi ketika peneliti membimbing mahasiswa untuk

menantukan tanda ketaksamaan yang tepat untuk model luas lahan

dan ketika mengenalkan kepada mahasiswa tentang sistem

pertidaksamaan linear dua variabel dimana dialognya sudah

dipaparkan pada karakteristik 3 (pemanfaatan hasil konstruksi siswa).

Berikut interaksi antara mahasiswa dan mahasiswa dalam kelas yang

terjadi saat mahasiswa memberikan tanggapan pada salah satu

kelompok yang mempresentasikan hasil diskusi di depan kelas.

Berikut cuplikan interaksinya.

Mahasiswa 1 : Mengapa tandanya kurang dari? Berarti tidak

boleh sama dengan 1200?

Mahasiswa 2 : Ia tidak

Mahasiswa 1 : Kenapa tidak boleh?

Mahasiswa 2 : Karena kami dari kelompok tidak menemukan

nilai x dan y dimana hasilnya sama dengan 1200

Mahasiswa 1 : Tapi kan disitu diketahui kalau luas lahan yang

disediakan adalah 1200 m2 jadi harusnya

tandanya itu

Mahasiswa 2 : Diam


141

Dari cuplikan interaksi di atas antara mahasiswa di atas, nampak

ketika mahasiswa 1 menanggapi jawaban sebelumnya dari mahasiswa

2 dengan memberikan ide bahwa tanda ketaksaman

merepresentasikan luas lahan yang tersedia dengan tanda ,

mahasiswa 2 tidak memberikan tanggapan balik atas ide yang

diberikan oleh mahasiswa 1. Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa

dalam interaksi di atas kelompok presentasi belum memberikan alasan

yang kuat untuk tanda ketaksamaan yang digunakan atas pertanyaan

dari mahasiswa lain.

Jadi dapat disimpulkan bahwa pada aktivitas kedua terjadi interaksi

antara mahasiswa dan mahasiswa dalam kelas, interaksi antara

peneliti dan mahasiswa dalam kelas, dan interaksi peneliti dan

mahasiswa dalam kelompok diskusi. Dari interaksi-interaksi tersebut,


5) Keterkaitan

Pada aktivitas kedua masalah yang diberikan berkaitan dengan

masalah pada aktivitas pertama. Pada aktivitas kedua masalah yang

diberikan mengarahkan mahasiswa untuk menemukan konsep sistem

pertidaksamaan linear dua variabel dimana terdiri dari dua

pertidaksamaan linear dua variabel yang saling berhubungan. Pada

aktivitas dua, mahasiswa menggunakan konsep pertidaksamaan linear

dua variabel yang sudah dipelajari pada aktivitas pertama untuk

menyelesaikan masalah pada aktivitas kedua.


142

c. Aktivitas ketiga



“Ibu Santi akan membuat dua jenis kue yaitu kue donat dan kue lapis

untuk dijual. Jumlah kedua kue tersebut paling sedikit 25 buah”,

diperoleh model matematikanya yaitu:

25+ yx

Dengan syarat:

Zyx

y

x

,

0

0



Pada aktivitas ketiga, kelompok mahasiswa menggunakan kelompok

yang sudah dibentuk dan berjalan pada aktivitas pertama dan aktivitas

kedua. Pada aktivitas ketiga, peneliti menggunakan konteks yang

sama dengan yang digunakan untuk aktivitas pertama masalah 1 dan

model yang dihasilkan dari masalah tersebut yaitu 25+ yx dengan

syarat 0,0 yx dan Zyx , . Peneliti menampilkan kembali

konteks tersebut dan menampilkan model yang diperoleh dari konteks

tersebut yaitu 25+ yx dengan syarat 0,0 yx dan Zyx , pada

slide power point. Dari masalah tersebut, peneliti meminta mahasiswa

secara berkelompok untuk menggambar daerah penyelesaian dari

model tersebut. Setelah masalah ditampilkan, peneliti membacakan

kembali masalah tersebut kemudian menerangkan apa yang harus


143

dikerjakan oleh mahasiswa dalam kelompok yaitu menentukan daerah

penyelesaiannya sesuai dengan konteks yang diberikan. Dari daerah

penyelesaian yang dihasilkan mahasiswa, peneliti mengajak

mahasiswa untuk menyimpulkan berapa banyak kue donat dan berapa

banyak kue lapis yang dibuat oleh ibu Santi.


Pada karakteristik yang kedua ini, mahasiswa diminta untuk

menggambar daerah penyelesaian dari model 25+ yx dengan

syarat 0,0 yx dan Zyx , .

Gambar 4. 7. Hasil pekerjaan kelompok mahasiswa pada

aktivitas III


144

Dari penyelesaian mahasiswa di atas, terlihat bahwa dalam membuat

daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel

25+ yx , mahasiswa mencari titik potong grafik terhadap sumbu x

dan terhadap sumbu y terlebih dahulu sehingga diperoleh dua pasang

titik yaitu (0,25) dan (25,0). Mahasiswa menarik garis yang

menghubungkan titik (0,25) dan (25,0). Setelah itu mahasiswa

menggambar daerah penyelesaiannya dengan cara memberikan titik –

titik pada pasangan x dan y bilangan bulat yang berada pada kanan

garis lurus dan sepanjang garis lurus yang dibentuk oleh titik potong

yang sudah dicari (0,25) dan (25,0). Dari penyelesaian di atas,

disimpulkan bahwa mahasiswa dapat menggambar grafik dari

25=+ yx dengan menentukan titik potong grafik dengan sumbu x dan

sumbu y, mahasiswa dapat menentukan daerah penyelesaian dari

pertidaksamaan tersebut, dan mahasiswa dapat memplotkan titik –

titik yang merupakan titik penyelesaian yang ada di dalam daerah

penyelesaian.



berkeliling memberikan topangan kepada mahasiswa dalam

menentukan daerah penyelesaian dari 25+ yx dengan

memperhatikan syarat dari model tersebut. Mahasiswa awalnya

menggambar daerah penyelesaian dari model tanpa memperhatikan

syarat Zyx , sehingga gambar yang diperoleh adalah berupa daerah


145

arsiran. Dengan menggunakan hasil konstruksi mahasiswa tersebut,

peneliti mengkontruksi pengetahuan mahasiswa untuk dapat

menentukan daerah penyelesaian yang tepat. Berikut cuplikan

interaksinya

Peneliti : Mana daerah penyelesaian kalian?

Mahasiswa : Ini mba

Peneliti : Yang diarsir ini ya?

Mahasiswa : Ia mba. Salah ya?

Peneliti : Nggak tahu. Hehe

Mahasiswa : Salah pasti

Peneliti : Aku nggak bilang salah loh. Gimana langkah

kalian gambar daerahnya ni?

Mahasiswa : Awalnya itu kami cari titik potongnya supaya bisa

gambar garis yang ini (sambil menunjukan pada

garis lurus persamaan 25=+ yx ) terus karena

tandanya jadi yang diarsir daerah yang dikanan

garis ini

Peneliti : Oke. Na sekarang lihat daerah yang diarsir ini? Apa

artinya ini? Apakah semua titik dalam daerah ini

memenuhi masalah yang diberikan?

Mahasiswa : Memenuhi mba kan lebih dari

Peneliti : Lihat lagi syaratnya ya. Dia harus memenuhi

syaratnya juga. Kan ada syarat 0,0 yx dan

Zyx , Mahasiswa : Kan kalau 0,0 yx memenuhi kan lebih dari

juga

Peneliti : Kalau Zyx , memenuhi nggak?

Mahasiswa : Nggak sih

Peneliti : Kenapa?

Mahasiswa : Karena nggak semua bilangan di daerah arsir ini

merupakan bilangan bulat.

Peneliti : Terus jadinya bagaimana daerah penyelesaiannya? Mahasiswa : Titik –titik

Peneliti : Titik – titik yang bagaiamana?

Mahasiswa : Titik di daerah penyelesaian ini. . .

Peneliti : Dimana pasangan titiknya. . .

Mahasiswa : Dimana pasangan titiknya x,y bilangan bulat

Peneliti : Ia betul

Mahasiswa : Jadi nggak arsir dong ya mba? (sambil menghapus

arsirannya?

Peneliti : ia nggak


146

Mahasiswa : Jadinya gini kan mba kasih titik disini. .sini.

.(sambil menunjukan titik koordinat bilangan

bulat)

Peneliti : Ia teruskan itu. Jangan lupa kasih nama daerah

penyelesaiannya

Dari cuplikan proses di atas, nampak peneliti menggunakan gambar

daerah penyelesaian mahasiswa yang berupa arsiran (x,y anggota

bilangan real) untuk mengkontruksi pengetahuan mahasiswa agar

dapat menggambar daerah penyelesaian yang tepat jika Zyx , .

Disini mahasiswa tidak menekankan Zyx , sehingga daerah

penyelesaiannya berupa arsiran dimana semua titik-titik pada daerah

tersebut merupakan titik penyelesaiannya. Dengan adanya topangan

dari peneliti, mahasiswa dapat menggambar daerah penyelesaian

dengan benar yang sesuai dengan model dan syarat dari model

tersebut yaitu Zyx , . Proses tersebut berhasil karena peneliti

menggunakan gambar daerah penyelesaian mahasiswa yang

merupakan hasil konstruksi mahasiswa sebelumnya yaitu berupa

daerah arsiran sehingga mahasiswa dapat menggambar daerah

penyelesaian dengan benar yang sesuai dengan model dan syarat dari

model tersebut. Dari daerah penyelesaian yang dihasilkan oleh

mahasiswa sebelumnya, peneliti meminta mahasiswa untuk

menjelaskan langkah-langkah dalam menggambar daerah

penyelesaian yang sudah dibuat. Nampak langkah-langkah

mahasiswa dalam menggambar daerah penyelesaian di sebuah bidang

Cartesius yaitu dengan menentukan titik potong grafik dengan sumbu


147

x dan sumbu y yaitu (0,25) dan (25,0) kemudian memplot titik tersebut

pada bidang Cartesius dan menarik garis lurus yang menghubungkan

kedua titik tersebut dan mengarsir daerah penyelesaiannya. Kemudian

peneliti meminta mahasiswa untuk memperhatikan kembali syarat

yang ada sehingga mahasiswa dapat menggambar daerah

penyelesaian dengan tepat untuk model dari masalah yang diberikan.

Pemanfaatan hasil konstruksi mahasiswa juga dapat dilihat saat

peneliti memberikan pertanyaan-pertanyaan topangan untuk

menekankan kepada mahasiswa dalam menggambar daerah

penyelesaian dari 25+ yx dan mengajak mahasiswa untuk

menyimpulkan banyak kue donat dan banyak kue lapis yang dapat di

buat oleh bu Santi. Berikut cuplikan interaksinya dalam kelas.

Peneliti : Kenapa daerah penyelesaiannya yang bagian atas

grafik ini (menunjuk pada grafik 25=+ yx )?

Mahasiswa : Karena lebih dari

Peneliti : Kalau saya bilang daerah penyelesaiannya yang

bagian bawah grafik bagaimana?

Mahasiswa : Itu kurang dari

Peneliti : Kan bisa saja saya bilang seperti itu. Apa alasan

yang lebih kuat sehingga kalian bilang daerah

penyelesaiannya yang ini?

Mahasiswa : Karena. . .

Peneliti : Karena apa?

Kalau saya ambil titik (1,6), titiknya ada dibagian

yang mana?

Mahasiswa : Di bagian bawah grafik

Peneliti : Na titik (1,6) kalau saya substitusikan ke

pertidaksamaannya, hasilnya memenuhi atau

tidak?

Mahasiswa : Tidak

Penelti : Kalau saya ambil (1,25) daerahnya mana?

Mahasiswa : Yang atas grafik

Peneliti : Ia. Kalau saya substitusikan ke pertidaksamaanya

memenuhi apa nggak?


148

Mahasiswa : Tidak

Peneliti : Ia jadi itu alasannya ya. Kalian juga bisa coba

dengan banyak titik juga ya. Apakah semua titik di

daerah penyelesaian ini memenuhi?

Mahasiswa : Tidak?

Peneliti : Karena?

Mahasiswa : Karena tidak semua titik yang memenuhi

Peneliti : Yang memenuhinya?

Mahasiswa : x dan y bilangan bulat

peneliti : Jadi bagaimana himpunan penyelesaiannya?

Mahasiswa : Himpunan titik yang ada pada daerah penyelesaian

dimana x dan y bilangan bulat

Peneliti : Jadi daerah penyelesaiannya bagaimana?

Mahasiswa : Titik-titik mba

Peneliti : Ia kalau kita kembali ke konteksnya berarti

banyaknya kue donat dan kue lapis itu bagaimana?

Mahasiswa : Banyak sekali kemungkinannya mba

Peneliti : Ia betul ya. Banyak sekali kemungkinan banyaknya

kue donat dan kue lapis itu dapat kita lihat dari

himpunan penyelesaiannya ini.

Dari proses di atas, nampak bahwa peneliti menggunakan gambar

daerah penyelesaian yang telah dihasilkan mahasiswa untuk

memancing mahasiswa untuk memberikan alasan yang tepat dalam

menentukan daerah penyelesaian dari model tersebut dan membawa

mahasiswa menyimpulkan banyaknya kue donat dan banyaknya kue

lapis yang dapat di buat oleh ibu Santi.

Proses tersebut dapat berhasil karena dalam proses tersebut peneliti

menggunakan daerah penyelesaian yang merupakan hasil

konstruksi pengetahuan mahasiswa itu sendiri. Dari proses tersebut

peneliti meminta mahasiswa untuk memberikan alasan kalau

tandanya > daerah penyelesaiannya di bagian kanan grafik

persamaannya dan tanda < daerah penyelesaiannya di bagian kiri

grafik persamaannya. Peneliti mengambil titik dari dua daerah yang


149

dibagi oleh grafik persamaannya dan memninta mahasiswa untuk

mensubstitusi ke dalam pertidaksamaan 25+ yx . Kemudian

mahasiswa diminta untuk menentukan himpunan penyelesaian dari

konteks yang diberikan. Kemudian menanyakan kepada mahasiswa

berapa banyak kue donat dan banyak kue lapis yang dapat dibuat

oleh bu Santi. Melalui topangan yang diberikan, mahasiswa dapat

memberikan alasan yang tepat dalam menentukan daerah

penyelesaian dari 25+ yx dan dapat menyimpulkan banyaknya

kue donat dan kue lapis yang dapat dibuat oleh ibu Santi.

Dalam kelas, setelah peneliti mengajak mahasiswa menyimpulkan

banyaknya kue donat dan banyaknya kue lapis yang dibuat oleh bu

Santi dan memberikan penekanan kepada mahasiswa untuk

memperhatikan terlebih dahulu syarat x dan y nya sebelum

menggambar daerah penyelesaiannya agar dapat menggambar

dengan tepat sesuai konteks masalah yang diberikan. Peneliti

menekankan pelu dilakukan uji titik untuk mengetahui daerah yang

merupakan penyelesaian. Peneliti dan mahasiswa membuat

kesepakatan bahwa untuk kedepannya daerah yang diarsir

merupakan daerah bukan penyelesaian.

Setelah itu, peneliti meminta mahasiswa mempersiapkan diri untuk

mengikuti tes tertulis tentang pembelajaran hari pertama.


150

4) Interaktivitas

Interaktivitas yang terjadi pada aktivitas ketiga ini diantaranya

interaktivitas antara peneliti dengan mahasiswa dalam kelompok

diskusi dan peneliti dengan mahasiswa dalam kelas dimana

dialognya sudah dipaparkan pada bagian sebelumnya yaitu pada

karakteristik 3 (pemanfaatan hasil konstruksi siswa). Berikut

interaksi antara peneliti dan mahasiswa dalam kelas yang terjadi

sebelum peneliti mengajak mahasiswa menyimpulkan banyak kue

donat dan banyak kue lapis yang interaksinya telah dipaparkan pada

karakteristik 3. Berikut cuplikan ineraksinya.

Peneliti : Sekarang perhatikan di depan ya. Na coba

perhatikan daerah penyelesaian ini (peneliti

menampilkan daerah penyelesaian dari

Zyxyxyx + ,,0,0;25 pada power

point memggunakan aplikasi geogebra) sama

seperti yang sudah kalian gambarkan. Bagaimana

langkah kalian dalam menggambarnya?

Mahasiswa : Gambar grafiknya itu dulu terus buat daerah

penyelesaiannya. Terus buat titik

penyelesaiannya

Peneliti : Oke. Grafik apa yang kalian gambarkan?


Peneliti : Yakin? Ada jawaban lain?


Peneliti : Grafik yang mana yang kalian maksud disini?

Mahasiswa : Yang garis lurus itu mba

Peneliti : Na haris lurus ini repserentasi geometris dari

persamaan atau pertidaksamaan?

Mahasiswa : Persamaan

Peneliti : Kenapa?

Mahasiswa : Karena kalau grafik dari persamaan itu bentuknya

garis lurus

Peneliti : Bagaimana cara gambar grafiknya?

Mahasiswa : Cari titik potongnya dengan kedua sumbu setelah

itu plot titik baru tarik garisnya.


151

Peneliti : Ia betul ya. Na sekarang saya tanya kalau saya

buat titik disini (menunjuk pada titik koordinat

(25, 2/5)) boleh nggak?

Mahasiswa : Nggak boleh

Peneliti : Kenapa?

Mahasiswa : Karena bukan bilangan bulat

Peneliti : Kan 25 bulat?

Mahasiswa : 2/5 nggak bulat mba jadi bukan titik

penyelesaiannya

Peneliti : Ia jadi syaratnya apa supaya dia merupakan titik

penyelesaiannya?

Mahasiswa : x dan y anggota bilangan bulat

Peneliti : Oke. Jadi untuk gambar daerah penyelesaian dari

pertidaksamaan langkah-langkah bagaimana?

Mahasiswa : Gambar grafik persamaan, tentukan daerah

penyelesaiannya

Peneliti : Terus apa? yang titik-titik ini bagaimana?

Mahasiswa : O setelah itu kasih titik di yang merupakan titik

penyelesaiannya

Peneliti : Ia betul ya.jadi yang pertama itu kita ubah dulu

petidaksaman menjadi persamaan kemudian

gambar grafik persamaannya terus menentukan

daerah penyelesaiannya. Karena syarat Zyx ,

maka daerah penyelesaian berupa himpunan titik

dimana Zyx ,

Dari cuplikan interaksi di atas, nampak bahwa setelah peneliti

memberikan topangan-topangan sebelumnya, peneliti meminta

mahasiswa untuk menyimpulkan langkah-langkah yang digunakan

untuk menggambar daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear

dua variabel dan mahasiswa memberikan jawaban yaitu gambar

grafik persamaan kemudian tentukan daerah penyelesaiannya.

Karena jawaban yang diberikan belum lengkap maka peneliti

memberikan pertanyaan “Terus apa? yang titik-titik ini bagaimana?”

dan mahasiswa menjawab “O setelah itu kasih titik di yang

merupakan titik penyelesaiannya”. Oleh karena iu dapat


152

disimpulkan dari interaksi di atas, mahasiswa dapat menyimpulkan

langkah-langkah yang dilakukan dalam menggambar daerah

penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel yaitu gambar

grafik persamaan kemudian tentukan daerah penyelesaiannya dan

plot titik yang merupakan titik penyelesaian pada daerah tersebut.

Kemudian peneliti memberikan penekanan atas jawaban mahasiswa

tersebut.


antara peneliti dengan mahasiswa dalam kelompok diskusi,peneliti

dengan mahasiswa dalam kelas. Dari interaksi-interaksi tersebut,


5) Keterkaitan

Keterkaitan pada aktivitas ketiga ini terlihat pada masalah yang

diberikan. Masalah yang diberikan berupa model yang dihasilkan

dari masalah yang diberikan pada aktivitas pertama masalah pertama

dan meminta mahasiswa untuk menggambar daerah

penyelesaiannya. Masalah tersebut diberikan untuk mengarahkan

mahasiswa untuk menemukan konsep menggambar daerah

penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel dengan syarat

0,0 yx dan Zyx , dan mengarahkan mahasiswa untuk

menyimpulkan banyak kue donat dan banyak kue lapis yang dibuat

ibu Santi pada masalah pertama aktivitas pertama.


153

Berikut dipaparkan tabel kesimpulan mengenai aktivitas pada proses

pembelajaran pertemuan pertama di kelas uji coba.

Tabel 4.1. Kesimpulan mengenai aktivitas pada proses pembelajaran

pertemuan I kelas uji coba

No Aktivitas Karakteristik PMR yang Muncul

1 Aktivitas

pertama

1. Penggunaan konteks



4. Interaktivitas

5. Keterkaitan

2 Aktivitas

kedua




4. Interaktivitas

5. Keterkaitan

3 Aktivitas

ketiga




4. Interaktivitas

5. Keterkaitan

2. Pembelajaran kelas uji coba kedua



Sebuah butik memiliki 21 m kain satin dan 12 m kain brokat dan 20 m

kain tenun. Dengan mengkombinasikan bahan yang ada akan dibuat

dua jenis baju pesta yaitu baju pesta jenis I dan baju pesta jenis II. Baju

pesta jenis I memerlukan 2 m kain satin, 1 m kain brokat, dan 1 m kain

tenun. Baju pesta jenis II memerlukan 3 m kain satin, 2 meter kain

brokat dan 4 m kain tenun. Diketahui keuntungan yang diperoleh dari

penjualan satu buah baju pesta jenis I Rp 50.000 dan satu buah baju


154

pesta jenis II Rp 85.000. Buatlah model dari permasalahan tersebut jika

butik tersebut ingin memaksimalkan keuntungan yang diperoleh!


Pada aktivitas pertama di pembelajaran hari kedua, peneliti membagi

mahasiswa ke dalam 9 kelompok secara acak dengan berhitung satu

persatu dari 1 sampai 9 secara berulang. Masing-masing kelompok

terdiri dari 4 orang mahasiswa. Pada aktivitas pertama diberikan

sebuah masalah yang berkaitan dengan program linear dua variabel

dan mahasiswa diminta untuk membuat model dari permasalahan

tersebut. Model yang dihasilkan berupa bentuk sistem

pertidaksamaan linear dua variabel untuk kendalanya dan bentuk

persamaan linear dua variabel untul fungsi tujuannya. Dengan

pengalaman mahasiswa dalam menyelesaikan masalah pada

pertemuan pertama, dapat membantu mahasiswa dalam membuat

model matematikanya berdasarkan langkah-langkah memodelkan

yang sudah dipelajari pada pertemuan sebelumnya. Dari model yang

dihasilkan, peneliti akan membimbing mahasiswa untuk

mengklasifikasi dan menyimpulkan tentang kendala dan fungsi

tujuan dari model program linear. Masalah diberikan dalam bentuk

lembar kerja mahasiswa. Peneliti membagikan lembar kerja kepada

masing-masing kelompok. Setelah lembar kerja mahasiswa

dibagikan, peneliti mengajak mahasiswa secara bersama-sama untuk

membaca masalah yang diberikan dan menerangkan apa yang harus


155

dikerjakan oleh mahasiswa dalam kelompok yaitu membuat model

berdasarkan masalah yang diberikan dan memberikan penekanan

kepada mahasiswa untuk lebih teliti dalam membuat pemisalan.

Masalah yang diberikan merupakan masalah yang berkaitan dengan

program linear dua variabel. Dari masalah tersebut, peneliti meminta



sehari-hari tersebut ke dalam sebuah model.


Pada aktivitas kedua, mahasiswa diminta untuk membuat model dari

dari masalah yang diberikan. Berikut contoh hasil pekerjaan

mahasiswa. Pemilihan hasil pekerjaan mahasiswa berdasarkan

jawaban yang sejenis.


aktivitas I

Dari penyelesaian di atas, nampak langkah-langkah mahasiswa

dalam membuat model dari masalah yang diberikan yaitu mahasiswa

memisalkan x sebagai banyak baju pesta I dan y sebagai banyak baju


156

pesta II, kemudian mahasiswa membentuk sebuah sistem

petidaksamaan linear dua variabel yang terdiri dari tiga

pertidaksamaan linear dua variabel yaitu

+

+

+

204

122

2132

yx

yx

yx

. Mahasiswa

menuliskan syarat yaitu x,y anggota bilangan cacah. Kemudian

mahasiswa membentuk sebuah fungsi yaitu ),(8550 yxfyx =+ .

Dari hasil penyelesaian yang diberikan oleh mahasiswa, mahasiswa

mampu memisalkan objek ke dalam variabel dengan tepat,

mahasiswa mampu membentuk sebuah sistem pertidaksamaan linear

dua variabel, tetapi disini mahasiswa tidak mampu membentuk

sebuah fungsi untuk menghitung keuntungan maksimal dengan

tepat.


aktivitas I

Dari penyelesaian di atas, nampak langkah-langkah mahasiswa

dalam membuat model dari masalah yang diberikan yaitu mahasiswa

memisalkan x sebagai banyak baju pesta I dan y sebagai banyak baju


157

pesta II, kemudian mahasiswa tiga pertidaksamaan linear dua

variabel yaitu

204

122

2132

+

+

+

yx

yx

yx

. Kemudian mahasiswa membentuk

sebuah fungsi yaitu yxf 000.85000.50 += untuk menghitung

keuntungan maksimum. `Dari hasil penyelesaian yang diberikan

oleh mahasiswa, mahasiswa mampu memisalkan objek ke dalam

variabel dengan tepat, mahasiswa mampu membentuk tiga

pertidaksamaan linear dua variabel, dan mahasiswa mampu

membentuk sebuah fungsi untuk menghitung keuntungan maksimal

dengan tepat.

Dari model yang diperoleh mahasiswa pada aktivitas ini, peneliti

membimbing mahasiswa untuk mengidentifikasi mana yang

merupakan kendala dan mana yang merupakan fungsi tujuan dan

meminta mahasiswa menjelaskan mengapa disebut sebagai kendala

dan mengapa disebut sebagai fungsi tujuan. Proses tersebut di

jelaskan pada karakteristik selanjutnya yaitu pemanfaatan hasil

konstruksi siswa.


Pemanfaatan hasil konstruksi terjadi ketika peneliti membimbing

mahasiswa dalam membuat pemisalan dan model yang tepat dari

masalah yang diberikan dalam kelompok diskusi. Berikut cuplikan

interaksinya.

Peneliti : Kenapa ini yang kamu misalkan?


158

Mahasiswa : Karena di soal diketahui kain satin, kain brokat

dan kain tenun

Peneliti : Apa yang diminta dari soal?

Mahasiswa : model. . .

Peneliti : Model apa? lihat ini baca. . .

Mahasiswa : Model dari permasalahan tersebut jika butik

tersebut ingin memaksimalkan keuntungan yang

diperoleh

Peneliti : Na keuntungannya disini diperoleh dari apa?

Mahasiswa : Dari penjualan baju pesta

Peneliti : Ya berarti yang saya misalkan itu kainnya atau

apa?

Mahasiswa : Baju pesta

Peneliti : Ia . . .Ingat baik” ya kita tahu bahwa kalau kita

misalkan itu dengan variabel adalah sesuatu yang

akan kita cari nilainya. Na kalau kainnya udah

diketahui nilainya atau belum?

Mahasiswa : Udah.

Peneliti : Terus dimisalkan lagi kainnya buat apa? kan

dalam soal yang ditanya itu model untuk

keuntungan maksimalnya. Keuntungan itu

didapat dari penjualan baju kan bukan kain

Mahasiswa : Ia mba berarti yang dimisalkan itu baju pestanya

kan ya mba

Peneliti : Ia. Na kalau yang kamu misalkan itu baju

apanya?

Mahasiswa : Banyak Baju pesta jenis I dan banyak baju pesta

jenis 2

Peneliti : Ia. Berarti variabel yang kamu misalkan ada

berapa?

Mahasiswa : Dua

Peneliti : Ya. Na mana aku lihat tabelmu. Tabelmu udah

benar ini. Coba diperbaiki dulu pemisalannya

Mahasiswa : Mahasiswa memperbaiki pemisalan variabel

dalam tabel

Peneliti : Total satin ada berapa? Diisi dulu.trus brokatnya

berapa. . . .

Mahasiswa Mahasiswa melengkapi tabelnya dengan mengisi

total panjang kain satin, panjang kain brokat,

dan panjang kain tenun

Peneliti : Na sekarang bisa nggak kalian buat model

matematika dari tabelnya ini?

Mahasiswa : Bisa

Peneliti : Na coba salah satunya aja

Mahasiswa : 2132 =+ yx

Peneliti : Sama dengan atau apa?


159

Mahasiswa : Ia ia maksudnya ini kurang dari sama dengan

Peneliti : Ia pintar kamu. Na berarti ada berapa

pertidaksamaan ini?

Mahasiswa : Ada tiga

Peneliti : Lanjut ya.

Dari proses di atas, nampak bahwa peneliti menggunakan pemisalan

yang telah dibuat oleh mahasiswa yaitu x = kain satin, y = kain

brokat, dan y = kain tenun untuk membimbing mahasiswa membuat

pemisalan yang tepat yaitu x = banyak baju pesta jenis 1, y = banyak

baju pesta jenis 2 dan membimbing mahasiswa membuat model dari

masalah yang diberikan degan benar. Disini mahasiswa tidak

membaca dengan teliti objek apa yang ditanya dalam soal dan

mahasiswa lebih mengutamakan objek yang sudah diketahui untuk

dimisalkan.

Proses tersebut berhasil dilaksanakan oleh peneliti karena peneliti

menggunakan pemisalan yang telah dibuat oleh mahasiswa yaitu x

= kain satin, y = kain brokat, dan y = kain tenun dimana merupakan

hasil konstruksi dari mahasiswa itu sendiri. Dari proses tersebut,

peneliti memberikan topangan yaitu dengan menanyakan apa yang

diminta dalam soal tersebut, keuntungan maksimal diperoleh

darimana, kemudian menanyakan kalau begitu apa yang dimisalkan.

Kemudian peneliti meminta mahasiswa untuk melengkapi tabel

yang sudah dibuat sebelumnya dan meminta mahasiswa untuk coba

membuat model dari informasi yang ada pada tabel yang sudah

dibuat.


160

Pemanfaatan hasil konstruksi mahasiswa terjadi ketika peneliti

membahas tentang syarat kenonnegatifan. Berikut cuplikan

interaksinya.

Peneliti : Na di model di depan ini teman kalian menuliskan

x,y anggota bilangan cacah. Ini maksudnya apa?

Mahasiswa : Syaratnya mba

Peneliti : Kenapa syaratnya begini?

Mahasiswa : Karena kita tahu kalau banyaknya baju tidak

mungkin negatif

Peneliti : Ia na berarti kita bisa tulis dengan x. .

Mahasiswa : 0x , 0y

Peneliti : Terus?

Mahasiswa : Zyx ,

Peneliti : Ia. Berarti bisa kan x,y anggota bilangan cacah

ditulis seperti ini?

Mahasiswa : Ia bisa mba

Dari proses di atas, peneliti menggunakan syarat yang dibuat oleh

salah satu kelompok yaitu x,y anggota bilangan cacah untuk

mengenalkan kepada mahasiswa tentang penulisan syarat

kenonnegatifan. Proses ini berhasil karena peneliti menggunakan

hasil kontruksi dari mahasiswa itu sendiri. Dari cuplikan di atas

terlihat bahwa mahasiswa sudah memahami arti dari syarat

kenonegatifan hal ini terlihat saat peneliti menanyakan apa maksud

dari x,y anggota bilangan cacah. Mahasiswa menjawab bahwa itu

adalah syaratnya. Kemudian saat peneliti berusaha untuk mengubah

bentuknya mahasiswa bersama-sama dengan peneliti menyuarakan

0x , 0y .


161

Selanjutnya peneliti bersama mahasiswa mengidentifikasikan model

yang sudah dibuat oleh mahasiswa mana yang termasuk kendala dan

mana yang termasuk fungsi objektif. Berikut cuplikan interaksinya.

Peneliti : Na di dalam soal itu kan dia mau buat baju pesta

1 dan baju pesta 2 ada nggak kendala atau hal

yang membatasinya dalam membuat kedua baju

itu?

Mahasiswa : Ada

Peneliti : Apa vera?

Mahasiswa : Kainnya

Peneliti : Ia jumlah kainnya itu yang membatasi. Jadi saat

butik mau membuat baju pesta 1 dan baju pesta 2

itu dibatasi oleh persediaan kainnya ini kan. Na

berapa batas pemakaian kainnya?

Mahasiswa : Kain satin 21 m, kain brokatnya 12 m sama 20 m

kain tenun

Peneliti : Na dari hal yang membatasi itu kita punya model

ini kan? Merunjuk pada model

+

+

+

204

122

2132

yx

yx

yx

Ia apa nggak?

Mahasiswa : Ia mba

Peneliti : Na hal-hal yang membatasi ini kita sebut dengan

kendala. Kalau kendalanya sudah dibuat dalam

model matematika seperti ini kita kenal dengan

yang namanya kendala.

Kendala disini dibedakan menjadi dua yaitu

kendala utama dan kendala nonnegatif.

Model yang ini kita namakan dengan kendala

utamanya (Merunjuk pada model

+

+

+

204

122

2132

yx

yx

yx

)

Dan ini kita namakan dengan kendala nonnegatif

(merujuk pada model 0x , 0y )

Na sekarang mba tanya kenapa disebut sebagai

kendala?

Mahasiswa : Karena fungsinya diperoleh dari kendala yang

ada dii soalnya mba

Peneliti : Ia betul ya. Karena diperoleh dari kendala-

kendala dan syarat yang ada pada soalnya jadi

kita namakan model ini dengan kendala.


162

Na sekarang untuk fungsi ini (merujuk pada

yxyxf 000.85000.50),( += ) darimana fungsi ini

diperoleh?

Mahasiswa : Itu fungsi untuk cari keuntungan maksimalnya

mba

Peneliti : Ia betul. Jadi butik itu bertujuan untuk mencari

keuntungan maksimal dari penjualan bajunya itu.

Na fungsi ini kita namakan dengan? Ada yang

tahu?

Mahasiswa : Fungsi tujuannya

Peneliti : Ia udah pada tahu ya kalian. Ia ini kita namakan

dengan fungsi tujuan atau fungsi objektifnya.

Na mengapa disebut sebagai fungsi objektif?


Peneliti : Masih bingung ya? Hehehe kan tadi disebut

kendala karena fungsinya diperoleh dari kendala

yang di soal. Na sekarang kenapa dikatakan

sebagai fungsi tujuan?

Karena fungsinya diperoleh dari. . .

Mahasiswa : Dari tujuan dalam soalnya itu

Peneliti : Ia karena fungsinya kita peroleh dari tujuan yang

ada pada masalahnya. Karena dia mau capai

keuntungan maksimum makanya kita tulis fungsi

tujuannya dengan memaksimumkan

yxyxf 000.85000.50),( +=

Dari proses di atas, peneliti menggunakan model yang sudah dibuat

oleh mahasiswa untuk membantu mahasiswa mengidentifikasikan

mana yang merupakan kendala mana yang merupakan fungsi

objektif. Dari proses tersebut juga mahasiswa diminta untuk

mengartikan mengapa dikatakan sebagai kendala dan mengapa

dikatakan sebagai fungsi objektif.

Proses di atas berhasil karena peneliti menggunakan model yang

telah dibuat oleh mahasiswa yaitu

+

+

+

204

122

2132

yx

yx

yx

, 0x , 0y dan


163

yxyxf 000.85000.50),( += dimana merupakan hasil dari

kontruksi pengetahuan mahasiswa itu sendiri untuk untuk

membimbing mahasiswa mengidentifikasikan mana yang

merupakan kendala mana yang merupakan fungsi objektif dan

membimbing mahasiwa untuk menjelaskan alasan mengapa

dikatakan sebagai kendala dan mengapa dikatakan sebagai fungsi

objektif. Dari proses di atas, peneliti memberikan topangan dengan

menanyakan hal apa yang membatasi dalam pembuatan baju, mana

model yang dihasilkan dari hal yang membatasi tersebut, apa tujuan

yang ingin dicapai oleh butik dan topangan-topangan lanjutannya.

Sehingga melalui topangan-topangan yang diberikan, mahasiswa

dapat mengidentifikasi mana yang termasuk dalam kendala yaitu

0

0

204

122

2132

+

+

+

y

x

yx

yx

yx

dan mana yang masuk dalam fungsi objektif yaitu

memaksimumkan yxyxf 000.85000.50),( += . Selain itu

mahasiswa juga dapat memberikan alasan mengapa disebut sebagai

kendala yaitu karena fungsinya diperoleh dari kendala-kendala yang

ada pada masalah yang diberikan dan alasan mengapa disebut

sebagai fungsi tujuan yaitu karena fungsinya diperoleh dari tujuan

yang ada masalah.


164

Setelah mengidentifikasi model yang dibuat oleh mahasiswa ke

dalam kendala dan fungsi objektif, peneliti mengenalkan kepada

mahasiswa bahwa masalah yang diberikan itu adalah masalah

program linear dan model yang dihasilkan adalah model program

linearnya. Terdapat dua masalah program linear yaitu masalah

memaksimumkan dan masalah meminimumkan. Model program

linear terdiri dari fungsi objektif dan kendala. Peneliti menekankan

kepada mahasiswa untuk menuliskan elemen bilangan dari variabel

yang dimisalkan dalam model program linear yang dibuat agar tidak

salah dalam menggambar daerah penyelesaiannya dan menentukan

hasil akhir yang ditanya. Peneliti menekankan kembali kepada

mahasiswa untuk hati-hati dalam menentukan variabel untuk

dimisalkan. Peneliti mengingatkan mahasiswa bahwa objek yang

dimisalkan merupakan objek yang ditanya atau objek yang mau

dicari nilai dan jika kesulitan dalam modelnya terlebih dahulu

membuat tabel dari apa yang diketahui dari masalah yang diberikan.

Kemudian mahasiswa diminta untuk lanjut ke aktivitas dua yaitu

menggambar daearah penyelesaian dari model yang sudah diperoleh

dari aktivitas pertama dan menggambar grafik fungsi objektif dalam

satu bidang koordinat Cartesius.

4) Interaktivitas

Interaktivitas yang terjadi pada aktivitas ketiga ini salah satunya

interaktivitas antara peneliti dengan mahasiswa dalam kelas yang


165

terjadi ketika peneliti membawa mahasiswa untuk mengidentifikasi

model yang dihasilkan ke dalam kendala dan fungsi objektif dimana

dialognya sudah dipaparkan pada bagian sebelumnya yaitu pada

karakteristik 3 (pemanfaatan hasil konstruksi siswa).

Berikut cuplikan interaksi antara peneliti dengan mahasiswa dalam

kelompok diskusi.

Peneliti : Sebuah butik memiliki kain satin 21 m. Atau

nggak begini dia menyediakan 21 m. Berarti?

Mahasiswa : Berarti. . .o ia kalimat pertidaksamaan. Tandanya

. Tapi yang ininya udah benar kan mba?

Peneliti : Ia udah benar. Dikoreksi lagi tanda

ketaksamaannya aja

Mahasiswa : Hehe makasih mba

Dari cuplikan interaksi di atas, nampak bahwa saat peneliti

menanyakan arti dari butik menyediakan kain satin 21 m, mahasiswa

menyadari bahwa kalimat tersebut adalah kalimat pertidaksamaan

dan mengubah tanda = menjadi tanda . Oleh karena itu dari

cuplikan interaksi di atas disimpulkan bahwa mahasiswa dapat

menyimpulkan kalimat “Sebuah butik memiliki kain satin 21 m”

pada masalah yang diberikan jika dibawa ke model matematika

tandanya . Namun pada interaksi di atas peneliti tidak menanyakan

mengapa tandanya .


kelompok diskusi lainnya.

Peneliti : Hati-hati dalam pemisalannya. Harus ditekankan.

Jenis bajunya atau apanya?

Mahasiswa : Jenis baju 1 dan jenis baju 2


166

Peneliti : Hmhm. . . jenis baju 1 dan jenis baju 2 bisa

dijumlahkan nggak?

Mahasiswa : Nggak

Peneliti : Terus yang bisa dijumlahkan apanya?

Mahasiswa : Keuntungan satu baju

Peneliti : Ya itu apa? kalau kemarin itu jenis kue satu dan

jenis kue dua bisa dijumlahkan atau nggak?

Mahasiswa : Nggak

Peneliti : Berarti yang bisa dijumlahkan dari keduanya itu

apanya?

Mahasiswa : Banyak kuenya

Peneliti : Na pintar. Terus kalau yang ini sekarang. Apa

yang bisa dijumlahkan dari kedua jenis baju ini?

Mahasiswa : Banyak baju jenis 1 dan banyak baju jenis 2

Peneliti : Ia. Atau gini 5 baju, 2 baju, itu menyatakan apa

dari baju?

Mahasiswa : Banyaknya baju

Peneliti : Na jadi yang dimisalkan itu adalah. . .

Mahasiswa : Banyak baju jenis 1 dan banyak baju jenis 2

Dari cuplikan interaksi di atas, setelah diberikan topangan nampak

bahwa saat peneliti jadi apa yang dimisalkan adalah dan mahasiswa

menjawab adalah banyak baju pesta jenis 1 dan banyak baju pesta

jenis 2. Oleh karena itu dari interaksi di atas disimpulkan bahwa

mahasiswa dapat menyimpulkan objek yang tepat untuk dimisalkan

berdasarkan masalah yang diberikan yaitu banyaknya baju pesta 1

dan banyak baju pesta 2.

Berikut interaksi yang terjadi antara mahasiswa dan mahasiswa

dalam kelas. Berikut cuplikan interaksinya.

Mahasiswa 1 : Yang pemodelan 2132 + yx apakah

variabel x nya itu sama dengan variabel yang

disana yang kamu misalkan x sama dengan

banyak baju pesta sedangkan yang dimodel

2132 + yx itu sama nggak variabelnya?

Kan itu x=banyak baju pesta jenis 1, na

dimodelkan yx 32 + itu adalah kain satin baju


167

pertama dan baju kedua. Na variabel x itu

sebenarnya sama nggak?

mahasiswa 2 : Ia benar kak.

Mahasiswa 1 : Sama?

Mahasiswa 2 : Ia. Disitukan dimisalkan x = banyaknya baju

pesta 1. Misal di satin itu maksimalnya 21 m

jadi 2 m satin dari banyaknya baju pesta 1

ditambah dengan 3 m satin dari banyaknya

baju pesta dua itu kurang dari 21 m.

Mahasiswa 1 : Kan x nya banyak baju pesta 1 berarti kalau

kita bacanya itu gimana sih?ini Cuma

pertanyaan aja sih soalnya aku nggak ngerti

Mahasiswa 2 : Misal didapat x nya 5 berarti 2 m dikali 5 baju

pesta 1 jadi jumlahnya itu 10 m ditambah

berapa kurang dari 21 m.

Mahasiswa 3 : Saya bantu saya bantu. Kita misalkan x dengan

banyaknya baju pesta 1 kemudian kita punya

sehingga 2132 + yx dimana kita tahu bahwa

itu adalah jumlah kain satinnya.

Pertanyaaannya itu x disana di 2132 + yx

sama dengan yang kita misalkan x=banyaknya

baju pesta 1?

Mahasiswa 2 : Sama

Mahasiswa

1&3

: Sama?

Mahasiswa 2 : Ia sama

Mahasiswa

1&3

: Oke

Mahasiswa 2 : Jadi kan x itu banyaknya baju na untuk satin

sendiri untuk baju pesta 1 itu 2 m. Jadi kalau

diketahui banyak baju pesta 1 itu sebanyak x

dikali 2 m hasilanya berapa m ditambah

dengan 3 m dikali banyak baju pesta 2 hasilnya

kurang dari sama dengan 21 m.

Mahasiswa 4 : Ee jadi tadi kan ditanya variabel x dan y pada

misalkan itu sama dengan yang sehingganya

itu. Na variabel x dan y pada yang dimisalkan

dan yang dibawahnhya itu sama. Itu kan yang

diperoleh 2132 + yx dan itu maksudnya 2x

untuk baju pesta 1 dan 3 untuk baju pesta 2

kurang dari 21 itu untuk kain satin. Jadi tiap

pertidaksamaan itu mewakili tiap kain. Jadi

pertidaksamaan yang pertama itu untuk kain

satin yang digunakan, yang 122 + yx untuk


168

kain brokat, sama yang 204 + yx itu untuk

kain tenun.

Mahasiswa 1 : Na maksudnya saya seperti itu dalam

memodelkan. Karena jika kita tidak

mencantumkan keterangan seperti itu di

modelnya itu bisa-bisa 50.000 kali x itu kita

asumsikan dengan kain satin tadi kalau tidak

ada keteranganya seperti ini.

Mahasiswa 2

&4

: Itukan ada

Mahasiswa 1 : Ia oke. Kelas ribut

Dari cuplikan interaksi di atas, nampak mahasiswa 1 menanyakan

apakah variabel yang dibuat pada pemisalan sama dengan variabel

yang ada pada model yang dihasilkan karena mahasiswa 1 belum

bisa dalam membahasakan kembali model yang sudah dibuat dan

mahasiswa 3 membantu membahasakan kembali pertanyaan yang

diberikan oleh mahasiswa 1. Dari pertayaan tersebut mahasiswa 2

(mahasiswa dari kelompok presentasi) dibantu oleh mahasiswa 4

untuk menjawab pertanyaan yang diberikan oleh mahasiswa 1. Dari

cuplikan interaksi di atas, bahwa mahasiswa 1 mengakhiri interaksi

dengan menjawab “oke” dari masukan yang diberikan oleh

mahasiswa lain. Oleh karena itu dari interaksi di atas dapat

disimpulkan bahwa mahasiswa dapat menyimpulkan bahwa variabel

yang dibuat pada pemisalan sama dengan variabel yang ada pada

model yang dihasilkan yaitu x = banyak baju pesta jenis 1 dan y =

banyak baju pesta jenis 2.

Jadi dapat disimpulkan bahwa pada aktivitas pertama terjadi

interaksi antara peneliti dan mahasiswa dalam kelas, interaksi


169

peneliti dan mahasiswa dalam kelompok diskusi dan interaksi antara

mahasiswa dan mahasiswa dalam kelas. Dari interaksi-interaksi

tersebut, mahasiswa dapat mengkonstruksi pengetahuannya.

5) Keterkaitan

Masalah yang diberikan pada aktivitas pertama ini mengarahkan

mahasiswa untuk menemukan konsep dari program linear dua

variabel dimana model yang dihasilkan merupakan model program

linear dua variabel yang kendalanya merupakan bentuk dari sistem

pertidaksamaan linear dua variabel yang sudah dipelajari mahasiswa

pada pertemuan pertama.

b. Aktivitas kedua





Dengan kendala:

Zyx

y

x

yx

yx

yx

+

+

+

,

0

0

204

122

2132

3. Gambarkanlah grafik kendala dari model tersebut dan tentukan

daerah penyelesaiannya!

Petunjuk : gambar menggunakan kertas berpetak dengan skala yang



170

4. Gambarkanlah 2 grafik fungsi objektif dari model tersebut dengan

nilai f yang berbeda dalam satu bidang koordinat dengan kendala,

kemudian jawablah pertanyaan – pertanyaan dibawah ini:

4) Apa yang dapat disimpulkan dari kedua grafik fungsi tujuan yang

dibuat?

5) Jika grafik fungsi tujuan tersebut digeser ke kanan dan ke kiri, apa

akibatnya terhadap nilai f?

6) Kapan grafik fungsi tujuan tersebut berhenti bergeser?

(menggambar fungsi objektif baru dari hasil geseran grafik fungsi

objektif yang digeser sampai grafik tersebut harus berhenti)

7) Berapa keuntungan maksimum yang diperoleh butik dari hasil

penjualan baju pesta jenis I dan baju pesta jenis II?


Pada aktivitas kedua di pembelajaran hari kedua, kelompok yang

digunakan sama dengan kelompok pada aktivitas pertama. Dalam

aktivitas kedua ini, masih menggunakan konteks dan model program

linear yang diperoleh pada aktivitas pertama dimana pada aktivitas

kedua ini mahasiswa akan dibimbing untuk menyelesaikan model

program linear tersebut menggunakan metode garis selidik. Dalam

aktivitas kedua mahasiswa diminta dalam kelompok untuk

menggambar grafik dari kendala yang telah diperoleh pada aktivitas

pertama dalam satu diagram cartesius dan menentukan daerah

penyelesaiannya. Kemudian mahasiswa diminta untuk menggambar

grafik fungsi tujuan dan menjawab pertanyaan-pertanyaan yang


171

diberikan untuk mengarahkan mahasiswa menemukan keuntungan

maksimal yang diperoleh butik menggunakan garis selidik. Dengan

pengalaman mahasiswa dalam menyelesaikan masalah pada

pertemuan pertama aktivitas ketiga yaitu menentukan banyak kue

donat dan banyak kue lapis yang dibuat oleh bu Santi dengan

langkah menggambar daerah penyelesaan dari pertidaksamaan

linear dua variabel 25+ yx , dapat membantu mahasiswa dalam

menyelesaikan masalah yang diberikan pada aktivitas kedua ini.

Dari daerah penyelesaian yang diperoleh dan grafik fungsi tujuan

yang dihasilkan oleh mahasiswa, mahasiswa dituntun oleh beberapa

pertanyaan yang mengarahkan mahasiswa menyelesaikan model

dengan garis selidik. Sehingga mahasiswa dapat menyimpulkan

keuntungan maksimal yang diperoleh butik dari penjualan kedua

baju pesta tersebut. Masalah diberikan dalam bentuk lembar kerja

mahasiswa. Peneliti membagikan lembar kerja kepada masing-

masing kelompok. Setelah lembar kerja mahasiswa dibagikan,

peneliti mengajak mahasiswa secara bersama-sama untuk membaca

masalah yang diberikan dan menerangkan apa yang harus dikerjakan

oleh mahasiswa dalam kelompok yaitu menggambar grafik kendala

dan menentukan daerah penyelesaian dari model program linear dan

menjawab pertanyaan-pertanyaan yang diberikan pada lembar kerja.

Mahasiswa secara berkelompok untuk berdiskusi untuk

menyelesaiakan masalah yang diberikan.


172


Dalam aktivitas kedua mahasiswa diminta dalam kelompok untuk






maksimal yang diperoleh butik menggunakan garis selidik. Namun

disini dalam menjawab pertanyaan yang diberikan dilakukan secara

klasikal karena waktu banyak dipakai oleh peneliti saat membimbing

mahasiswa untuk menggambar daerah penyelesaian dan grafik

fungsi tujuan dengan tepat sehingga tidak memungkinkan untuk

peneliti berkeliling memberikan topangan lagi dalam menjawab

pertanyaan-pertanyaan lanjutan.

Berikut contoh hasil pekerjaan mahasiswa.


aktivitas II


173

Dari penyelesaian mahasiswa di atas, nampak mahasiswa

menggambar grafik persamaan dari masing-masing kendala,

kemudian mahasiswa menentukan daerah penyelesaiannya dan

memplotkan titik-titik yang merupakan titik penyelesaiannya. Dari

hasil tanya jawab peneliti dengan mahasiswa saat berkeliling

membimbing dalam kelompok diskusi, mahasiswa menggambar

grafik dengan cara menentukan titik potong masing-masing grafik

dengan sumbu x dan sumbu y kemudian menarik garis yang

menguhubung kedua titik potong tersebut dalam diagram Cartesius.

Daerah yang merupakan penyelesaian merupakan daerah yang

memnuhi semua kendala. Nampak juga mahasiswa mengambil nilai

f = 135.000 dan f = 270.000 kemudian menggambar grafiknya dalam

bidang yang sama dengan grafik kendala.

Setelah mahasiswa menggambar daerah penyelesaian dari kendala

dan gambar grafik fungsi tujuan dalam satu bidang Cartesius,

peneliti membimbing mahasiswa secara klasikal untuk menentukan

titik maksimum dari model program linear menggunakan metode

garis selidik dan mengajak mahasiswa untuk menyimpulkan besar

keuntungan maksimal yang diperoleh butik dari penjualan baju pesta

jenis 1 dan baju pesta jenis 2. Terlihat pada lembar jawab mahasiswa

mahasiswa menarik garis selidik yang merupakan hasil dari

pergeseran garis selidik ke kanan dan berhenti pada titik (6,3).

Peneliti menekankan bahwa perlu melakukan uji titik untuk


174

menentukan daerah yang merupakan daerah penyelesaian. Jika titik

tersebut memenuhi semua kendala maka daerah tersebut mrupakan

daerah penyelesaiannya dan dapat juga ditentukan dengan melihat

daerah yang merupakan hasil gabungan dari daerah penyelesaiaan

masing-masing kendala.


Pemanfaatan hasil kontruksi mahasiswa terjadi saat peneliti

membimbing mahasiswa secara klasikal untuk menentukan titik

maksimum dari model program linear dengan metode garis selidik

dan mengajak mahasiswa untuk menyimpulkan besar keuntungan

maksimal yang diperoleh butik dari penjualan baju pesta jenis 1 dan

baju pesta jenis 2 dengan mencari jawaban dari pertanyaan-

pertanyaan yang dibeirkan pada lembar kerja mahasiswa. Berikut

cuplikan interaksinya.

Peneliti : Kita jawab sama-sama aja ya pertanyaannya.

Yang pertama itu masih bisa kan? Apa yang sama

dari kedua grafik fungsi tujuan tersebut

(sebelumnya peneliti sudah menampilkan

gambar daerah penyelesaian dari kendala dan

grafik fungsi tujuannya menggunakan aplikasi

geogebra di depan kelas dan mengecek pekerjaan

masing-maisng kelompok dan sudah tepat)

Kedua grafik itu. . .

Mahasiswa : Sejajar

Peneliti : Ia sejajar ya. Terus kitta lanjut ke pertanyaan

kedua, jika grafik tersebut di geser ke kiri dan ke

kanan apa akibatnya terhadap nilai f? Na coba

perhatikan disini, kan ini kan daerah

penyelesaiannya.

Mahasiswa : Ia

Peneliti : Udah sampai sini semua kan. Bentuknya titik-

titik.


175

Mahasiswa : Na disini ada dua grafik fungsi tujuan f1 dan f2.

Kalau kalian lihat grafik ini sejajar kan? Ia

nggak?

Peneliti : Na sekarang coba perhatikan grafik f1 dan f2. F

yang pertama disini nilai nya 0 dan yang kedua

nilainya 64. Na garisnya disini kan sejajar.

Sekarang apa ayng terjadi kalau garfik yang ini

(merujuk pada f1) saya geser geser ke kanan, apa

yang terjadi dengan nilai f nya?

Mahasiswa : Semakin membesar

Peneliti : Ia semakin membesar. Dari 0 ke 64. Terus kalau

saya ambil garis yang ini (merujuk pada f2) kalau

saya geser kiri apa yang terjadi dengan nilai f

nya?

Mahasiswa : Semakin kecil

Peneliti : Ia nilai f nya semakin mengecil. Tulis jawaban

kalian.

Na untuk pertanyaan yang ketika kapan grafik

fungsi tujuannya itu berhenti bergeser?ayo

kapan?

Mahasiswa : Ketika mencapai titik akhir penyelesaian

Peneliti : Ia. Ada jawabanya yang lain?

Coba kalian pegang dengan penggaris masing-

masing terus letakkan sejajar dengan salah satu

grafik tujuannya kalian coba kalian geser kapan

dia berhenti?

Contoh kita mau cari f yang maksimum jadi kita

geser ke kanan na kapan di berhenti?apakah

sampai kesana terus?

Mahasiswa : Tidak

Peneliti : Berarti sampai kapan gesernya? Di titik. . .

Mahasiswa : Titik (6,3)

Peneliti : Ia boleh. di titik pe. .

Mahasiswa : Penyelesaian terakhirnya.

Peneliti : Secara secara umum berhentinya di titik

penyelesaian terakhir. Kalau disini di titik

maksimum yaitu titik (6,3).

Kalau dari ini (peneliti menngunakan aplikasi

geogebra untuk melakukan ilustrasi menggeser

salah satu grafik fungsi tujuannya) kalau kita

geser. Kalau kalian pakai penggaris kalian harus

benar-benar pas memegang penggarisnya itu.

Kalau saya geser ini kapan saya berhenti.

Mungkin nggak saya berhenti disini (merujuk

pada titik (3,4))?

Mahasiswa : Nggak


176

Peneliti : Kenapa nggak mungkin?

Mahasiswa : Karena masih ada titik

Peneliti : Karena masih ada titik apa? titik pe. .

Mahasiswa : Titik penyelesaian

Peneliti : Ya kalau seAndainya titik ini nggak ada, boleh

nggak saya berhenti didisini (merujuk pada titik

(4,4))? (mengAndaikan titik (6,3) bukan titik

penyelesaiannya jadi titiknya dihilangkan)

ini kan masih daerah penyelesaiannya to?

(merujuk pada sisa daerah penyelesaian dibagian

kanan grafik fungsi tujuan yang digeser)

Mahasiswa : Ia

Peneliti : Na boleh ngga saya berhenti disini? (sambil

menujuk pada titik (4,4))

Mahasiswa : Boleh

Peneliti : Karena?

Mahasiswa : Itu titik maksimumnya

Peneliti : Ia. Na tadi kan kalian juga bilang kalau dia akan

berhenti di titik penyelesaian yang terakhir. Na

titik (4,4) disini titik penyelesaian yang

terakhirnya atau bukan?

Mahasiswa : Ia

Peneliti : Ia titik ini adalah titik penyelesaian yang

terakhinya walaupun kita lihat disini masih ada

sebagian daerah yang masuk dalam daerah

penyelesaiannya tapi kan dalm daerah itu tidak

ada lagi titik penyelesaiannya

Mahasiswa : Ia

Peneliti : Na kita kembali ke soal yang tadi. Na tadi kan kita

berhenti di titik (6,3). Na titik ini adalah titik

maksimumnya kita. Titik maksimum itu titik

yang menyebabkan nilai f nya kita paling?

Mahasiswa : Paling besar

Peneliti : Ia kalau titik minimum berarti titik yang

menyebabkan nilai f nya?

Mahasiswa : Paling kecil

Peneliti : Ia betul. (kemudian peneliti menjelaskan bahwa

grafik fungsi tujuan yang di gambar tadi di akan

dengan garis selidik dan menjelaskan apa itu garis

selidik. Garis selidik yaitu garis yang dihasilkan

dari fungsi objektif yang digunakan untuk

menentukan titik optimum)

Sampai sini paham nggak

Mahasiswa : Paham


177

Peneliti : Na sekarang coba lengkapi grafiknya kalian.

Gambar garis fungsi tujuan di titik penyelesaian

akhirnya kalian saat kalian geser.

Mahasiswa : Oke mba

Peneliti : Na berarti berapa keuntungan maksimum yang

diperoleh?

Mahasiswa : 555.000

Peneliti : Dari mana itu?

Mahasiswa : Dari substitusi titik (6,3) ke fungsi tujuannya

Peneliti : Ia betul. Untuk menentukan keuntungan

maksimalnya kita substitusikan titik

maksimumnya ke fungsi tujuan. Semua dapatnya

sama kah?

Mahasiswa : Ia mba

Dari proses di atas, nampak bahwa peneliti menggunakan daerah

penyelesaian dari kendala dan grafik fungsi tujuan yang dibuat oleh

mahasiswa untuk membimbing mahasiswa secara klasikal untuk

menentukan titik maksimum dari model program linear

menggunakan metode garis selidik dan mengajak mahasiswa untuk

menyimpulkan besar keuntungan maksimal yang diperoleh butik

dari penjualan baju pesta jenis 1 dan baju pesta jenis 2. Topangan-

topangan yang diberikan berhasil mengantarkan mahasiswa

menyimpulkan keuntungan maksimal yang diperoleh butik dari

penjualan baju pesta jenis 1 dan baju pesta jenis 2. Topangan yang

diberikan peneliti kepada mahasiswa yaitu menjawab pertanyaan-

pertanyaan yang diberikan pada lembar kerja mahasiswa. Dari

proses tersebut juga mahasiswa dapat mengkonstruksi

pengetahuannya bahwa jika ingin menentukan titik maksimum maka

garis selidik di geser ke kanan atau ke atas dalam daerah

penyelesaian sampai ke titik penyelesaian yang terakhir, dan jika


178

ingin menentukan titik minimum maka garis selidik di geser ke kiri

atau ke bawah dalam daerah penyelesaian sampai ke titik

penyelesaian yang terakhir. Titik penyelesaian terakhir dari hasil

pergeseran garis selidik merupakan titik optimum yang dicari. Titik

optimum menyebabkan adanya nilai optimum dengan cara

mensubstitusi titik optimum ke fungsi tujuannya.

Peneliti kemudian memberikan penekanan bahwa titik

penyelesaiannya anggota bilangan Real maka garis selidik itu pasti

akan berhenti bergeser tepat di salah satu titik pojok tetapi jika titik

penyelesaiannya anggota bilangan bulat itu belum tentu karena tidak

semua titik pojok itu merupakan bilangan bulat. Peneliti kemudian

memaparkan langkah-langkah dalam menyelesaikan masalah

program linear menggunakan garis selidik di depan kelas.

4) Interaktivitas



terjadi ketika peneliti membimbing mahasiswa untuk menentukan

titik maksimum dari model program linear menggunakan garis

selidik dan menyimpulkan keuntungan yang diperoleh butik dari

penjualan baju pesta jenis 1 dan baju pesta jenis 2 dimana dialognya

sudah dipaparkan pada karakteristik 3 (pemanfaatan hasil konstruksi

siswa). Berikut interaksi yang terjadi antara peneliti dan mahasiswa


179

dalam kelompok diskusi saat peneliti membimbing mahasiswa

menggambar daerah penyelesaian yang tepat.

Peneliti : Mana daerah penyelesaianmu?

Mahasiswa : Yang ini mba

Peneliti : Darimana tahu ini daerah penyelesaianmu?

Mahasiswa : Karena tandanya kan kurang dari sama dengan

makanya daerahnya itu yang bagian kiri dan yang

menuhi tiga garis ini

Peneliti : Na terus yang ini kenapa nggak masuk?

Mahasiswa : Karena titik yang ini cuma menuhi dua garis ini.

Peneliti : Ya. Na terus yang kendala nonnegatifnya

bagaimana?

Mahasiswa : Ini arahnya kesana (menunjukkan arah daerahnya

penyelesaiannya di bagian kanan sumbu x dan

sumbu y)

Peneliti : Ia

Mahasiswa Ini perlu di kasih titik nggak mba?

Peneliti Na menurut kamu?

Mahasiswa Dikasih sih soalnya kan x,y anggota bilangan

bulat

Peneliti Na itu tahu.

Mahasiswa Okedeh mba. .titik-titik di x,y yang bulat kan ya?

Peneliti Ia

Dari cuplikaan interaksi di atas, nampak bahwa saat peneliti

menanyakan menurut mahasiswa perlu dikasih titik atau tidak,

mahasiswa memberikan jawaban diberikan titik karena x,y anggota

bilangan bulat. Oleh karena itu dari interaksi di atas dapat

disimpulkan bahwa mahasiswa dapat menyadari dan menyimpulkan

sendiri bahwa daerah penyelesaiannya berupa titik-titik dimana x,y

anggota bilangan bulat.

Berikut interaksi yang terjadi antara peneliti dan mahasiswa dalam

kelompok diskusi saat peneliti membimbing mahasiswa untuk

menentukan titik penyelesaian atau bukan.


180

Peneliti : Ini juga titik penyelesaian? (Menunjuk pada titik

potong antara garis 204 =+ yx dan 2132 =+ yx

)

Mahasiswa : Ia

Peneliti : Daerah penyelesaianmu yang mana tadi?

Mahasiswa : Yang ini (menunjuk pada daerah penyelesaiannya

dengan tepat)

Peneliti : Ia kan daerahmu kan yang ini. Berarti titik ini

juga penyelesaian atau bukan?

Mahasiswa : O ia bukan. Kebiasaan saya mba

Peneliti : Ia hati-hati. Itu kenapa bukan titik penyelesaian?

Mahasiswa : Karena titiknya bukan dalam daerah penyelesaian

Peneliti : Ia

Dari cuplikaan interaksi di atas, setelah memberikan pertanyaan

diawal interaksi nampak bahwa saat peneliti menanyakan titik

potong antara garis 204 =+ yx dan 2132 =+ yx juga masuk dalam

titik penyelesaian atau bukan, mahasiswa memberikan jawaban titik

potong tersebut bukan titik penyelesaiannya karena titik tersebut

tidak terletak pada daerah penyelesaian. Oleh karena itu dari

interaksi di atas dapat disimpulkan bahwa mahasiswa dapat

menyimpulkan bahwa titik potong antara garis 204 =+ yx dan

2132 =+ yx bukan merupakan titik penyelesaiannya karena tidak

terletak pada daerah penyelesaian.


kelompok diskusi saat mahasiswa menanyakan cara untuk

menggambar fungsi tujuan.

Mahasiswa : Mba ini gambarnya bagaimana?

Peneliti : Sekarang mba tanya supaya kita bisa gambar kita

perlu tahu nilai apa?

Mahasiswa : Nilai f nya

Peneliti : Gimana cara kita nentuin nilainya?


181

Mahasiswa : Bisa sembarang nggak sih mba

Peneliti : Ia bisa. Kalau misal ambil 0 nilainya kan nnti kita

dapat persamaannya bagaimana?

Mahasiswa : 0),( =yxf

Peneliti : Ia maksud saya kalau kita ganti 0),( =yxf nanti

kita dapat persamaan kan. Jadinya?

Mahasiswa : Jadinya yx 000.85000.500 +=

Peneliti : Sekarang udah bisa digambar belum?

Mahasiswa : Udah

Peneliti : Gimana caranya

Mahasiswa : Nyari titik potongnya

Peneliti : Ia na coba gambar.

Mahasiswa : Kan ini diminta dua grafik fungsi tujuan berarti

tentuin nilai f lagi sembarang

Peneliti : Ia

Dari cuplikan interaksi di atas, nampak bahwa saat peneliti

menanyakan kepada mahasiswa apakah grafiknya sudah bisa

digambar setelah mahasiswa membentuk sebuah persamaan garis

selidik yx 000.85000.500 += dan mahasiswa memberikan jawaban

bahwa grafik tersebut sudah bisa digambar. Oleh karena itu dari


menyimpulkan bahwa untuk menggambar grafik fungsi tujuanya

perlu ditentukan nilai f sembarang terlebih dahulu sehingga

membentuk sebuah persamaan.

Jadi dapat disimpulkan bahwa pada aktivitas pertama terjadi

interaksi antara peneliti dengan mahasiswa dalam kelompok diskusi,

dan interaksi antara peneliti dengan mahasiswa dalam kelas. Dari

interaksi-interaksi tersebut, mahasiswa dapat mengkonstruksi

pengetahuannya.


182

5) Keterkaitan

Pada aktivitas ini, masalah yang diberikan mengarahkan mahasiswa

pada konsep penyelesaian masalah program linear menggunakan

metode garis selidik. Mahasiswa menggambar daerah penyelesaian

dari grafik kendala menggunakan konsep menggambar daerah

penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel yang dipelajari

pada pertemuan pertama.


pembelajaran pertemuan kedua kelas uji coba


pertemuan kedua kelas uji coba


1 Aktivitas

pertama




4. Interaktivitas

5. Keterkaitan

2 Aktivitas

kedua




4. Interaktivitas

5. Keterkaitan

3. Pembelajaran kelas uji coba ketiga







183

Sedangkan obat flu Fluon mengandung 1 grain aspirin, 8 grain bikorbonat,

dan 6 grain kodein. Menurut dokter, seseorang yang sakit flu akan sembuh

jika dalam tiga hari (secara rata – rata) minimal menelan 12 grain aspirin,

80 grain bikarbonat, dan 24 grain kodein. Harga Fluin Rp 2.500/kapsul dan

harga Fluon Rp 3.000/kapsul. Berapa kapsul Fluin dan berapa kapsul

Fluon yang harus dibeli supaya cukup untuk menyembuhkan dengan biaya

pembelian total semurah – murahnya?


Pada pertemuan ketiga ini, konteks yang digunakan sudah diberikan

kepada mahasiswa dalam bentuk tugas mandiri. Tugas tersebut

diberikan sebagai latihan bagi mahasiswa untuk memperkuat konsep

yang sudah diterima pada pertemuan kedua. Masalah yang diberikan

berupa masalah program linear dua variabel dalam kehidupan sehari-

hari. Dari masalah tersebut mahasiswa diminta untuk

menyelesaikannya. Peneliti meminta mahasiswa bersama teman di

samping kiri dan kanan untuk menyamakan hasil pekerjaan mereka dan

peneliti keliling memperhatikan pekerjaan mahasiswa. Dari hasil

pekerjaan mahasiswa, semua mahasiswa menyelesaian masalah

tersebut menggunakana metode garis selidik yang sudah dipelajari pada

pertemuan kedua.


Penggunaan model terlihat ketika pemabahsan tugas. Peneliti meminta

salah satu mahasiswa untuk mempresentasikan tugasnya di depan kelas.


184

Semua mahasiswa memperoleh hasil akhir yang sama yaitu seorang

pasien flu harus membeli 2 kapsul fluin dan 9 kapsul fluon untuk dapat

menyembuhkan sakitnya dengan total harga Rp 32.000.

Berikut salah satu contoh pekerjaan mahasiswa yang dipilih untuk di

presentasi di depan kelas.

Gambar 4. 11. Hasil pekerjaan mahasiswa


penyelesaiannya yaitu mahasiswa memisalkan x sebagai banyak fluin

(dalam kapsul) dan y sebagai banyak fluon (dalam kapsul), kemudian

mahasiswa membentuk kendala utama yang terdiri dari fungsi untuk

unsur aspirin, fungsi untuk unsur bikarbonat dan fungsi untuk untuk

unsr kodein yaitu

+

+

+

246

8085

122

yx

yx

yx

. Mahasiswa membentuk kendala

nonegatif yaitu

0

0

y

x dan Zyx , . Mahasiswa membentuk fungsi


185

tujuan yaitu minimumkan yxyxf 000.3500.2),( += . Mahasiswa

kemudian menggambar daerah penyelesaian dari grafik kendala.

Mahasiswa menggambar gari selidik dengan mengambil nilai f =

55.000 dan f = 47.500. Kemudian menggeser garis selidik

000.55000.3500.2 =+ yx ke kiri atau ke bawah sampai titk

penyelesaian terakhir yaitu titik (2,9). Kemudian menuliskan

kesimpulan jadi jumlah fluin dan fluon uang harus dibeli supaya cukup

untuk menyembuhkan dengan biaya total semurah-murahnya yaitu

berturut-turut 2 dan 9 kapsul dengan total harga Rp 32.000.

Dari hasil pekerjaan mahasiswa di atas, disimpulkan bahwa mahasiswa

dapat membuat pemisalan dengan tepat, mahasiswa mampu

membentuk kendala dengan tepat, mahasiswa mampu membentuk

fungsi tujuan dengan tepat, mahasiswa dapat menggambar daerah

penyelesaian dari kendala dengan tepat, mahasiswa dapat membentuk

dan menggambar dua buah garis selidik, mahasiswa dapat menentukan

titik minimum, dan mahasiwa dapat menafsirkan kembali ke masalah

awal.


Pemanfaatan hasil kontruksi mahasiswa terjadi ketika peneliti meminta

mahasiswa mempresentasikan hasil tugasnya di depan kelas.

Pemanfaatan hasil konstruksi juga terjadi saat peneliti menanyakan

beberapa hal tentang hasil tugas. Berikut cuplikan interaksi yang terjadi.

Peneliti : Kenapa tandanya lebih dari sama dengan?

Mahasiswa : Karena ada kata minimal


186

Peneliti : Ia betul ya. Terdapat kata minimal untuk masing-

masing kapsul yang harus diminum

Mahasiswa meanjutkan presentasinya. . . . .

Peneliti : Kenapa Zyx , ? Karena. . .

Mahasiswa : Karena dalam soal. . .

Peneliti : Ia karena dalam soal. . apa? x dan y yang kalian

misalkan tadi menyatakan apa?

Mahasiswa : Menyatakan banyaknya kapsul

Peneliti : Na kalau menyatakan banyaknya kapsul, apakah

banyaknya kapsul itu bisa ½?

Mahasiswa : Nggak

Peneliti : Apakah pembeli menjual kapsul itu ½ buah atau ¼

buah?

Mahasiswa : Nggak

Peneliti : Oleh karena itu apa alasannya Zyx , ?

Mahasiswa : Karena x dan y menyatakan banyaknya kapsul.

Banyak kapsul itu bulat.


Peneliti : Kenapa yang ini tidak masuk dalam daerah

penyelesaian?

Mahasiswa : Karena titik yang ada disitu tidak memenuhi salah satu

kendalanya mba

Peneliti : Ia betul. Jadi daerah penyelesaiannya ini harus

memenuhi semua grafik kendalanya

Mahasiswa : Ia mba.


Peneliti : Na kenapa garis selidiknya digeser ke kiri?

Mahasiswa : Karena mau meminimumkan makanya di geser ke kiri

Peneliti : Di geser ke kiri sampai?

Mahasiswa : Sampai titik penyelesaian yang terakhirnya mba


Dari proses di atas, peneliti menggunakan penyelesaian yang

dikerjakan mahasiswa yang presentasi di depan kelas untuk

mengklarifikasi penyelesaian yang telah dibuat. Proses tersebut berhasil

karena peneliti menggunakan hasil konstruksi mahasiswa itu sendiri.

Dari proses di atas terlihat mahasiswa masih kesulitan dalam

memberikan alasan mengapa Zyx , . Namun dengan topangan yang

diberikan oleh peneliti, mahasiswa dapat menyimpulkan dengan baik


187

alasannya yaitu karena x dan y menyatakan banyaknya kapsul dan

banyak kapsul itu harus bulat. Mahasiswa dapat memberikan alasan

penggunaan tanda ketaksamaan , penentuan daerah penyelesaian dari

kendala, dan alsan garis selidik di gerser ke kanan.

Peneliti kemudian memberikan penekanan jika fungsi tujuannya

meminimumkan maka garis selidik yang dibuat digeser ke kiri sampai

ke titik penyelesaian yang terakhir dan jika fungsi tujuannya

memaksimumkan maka garis selidik di geser ke kanan samapi ke titik

penyelesaian yang terakhir. Peneliti juga menekankan bahwa jika

mengalami kesulitan dalam membuat modelnya mahasiswa terlebih

dahulu menuliskan informasi yang ada pada soal dalam sebuat tabel.

Dan jangan lupa untuk menuliskan elemen bilangan dari x dan y agar

tidak salah menentukan titik penyelesaiannya dalam menggambar

daerah penyelesaian. Peneliti kemudain bersama-sama dengan

mahasiswa menyimpulkan kembali langkah-langkah yang dilakukan

dalam menyelesaikan masalah program linear dua variabel dengan

metode garis selidik.

Setelah itu peneliti meminta mahasiswa mempersiapkan diri untuk

mengikuti tes tertulis.

4) Interaktivitas

Interaktivitas yang terjadi adalah interaksi antara peneliti dan

mahasiswa dalam kelas saat meminta klarifikasi atas beberapa bagian

dari pekerjaan mahasiswa dimana dialognya sudah dipaparkan pada


188

karakteristik sebelumnya yaitu pemanfaatan hasil konstruksi siswa.

Dari interaksi yang terjadi, mahasiswa dapat mengkonstruksi

pengetahuannya untuk menyelesaikan masalah program linear dua

variabel.

5) Keterkaitan

Masalah ini berkaitan dengan konsep penyelesaian masalah program

linear dua variabel. Pada pertemuan yang kedua masalah yang

diberikan mengarahkan mahasiswa untuk menemukan konsep

penyelesaian masalah program linear dua variabel dengan metode garis

selidik. Pada pertemuaan tiga masalah yang diberikan untuk

memperkuat konsep yang sudah diterima mahasiswa pada pertemuan

kedua.


pembelajaran pertemuan ketiga kelas uji coba.


pertemuan ketiga kelas uji coba


1 Aktivitas

pertama




4. Interaktivitas

5. Keterkaitan

C. Revisi Rancangan Lintasan Belajar Setelah Proses Uji Coba

Revisi rancangan lintasan belajar setelah proses uji coba terjadi pada

rancangan pertemuan kedua. Rancangan lintasan belajar pertemuan pertama

dan ketiga tidak direvisi karena seluruh proses pembelajaran yang


189

direncanakan terjadi pada pelaksanaan uji coba. Revisi lintasan belajar pada

pertemuan kedua terjadi pada masalah yang diberikan pada aktivitas II.

Tabel 4.4. Revisi HLT

HLT Revisi HLT

Masalah yang diberikan pada pertemuan kedua

aktivitas II. Dari konteks yang diberikan pada aktivitas 1

diperoleh model program linear sebagai berikut:


Dengan kendala:

Zyx

y

x

yx

yx

yx

+

+

+

,

0

0

204

122

2132

1. Gambarkanlah grafik fungsi kendala dari

model tersebut dan tentukan daerah penyelesaiannya!

Petunjuk: gambar menggunakan kertas

berpetak dengan skala yang tepat. Gunakan jarak antara titik 1 cm.

2. Gambarkanlah 2 grafik fungsi objektif dari

model tersebut dengan nilai f yang berbeda

dalam satu bidang koordinat dengan fungsi kendala, kemudian jawablah pertanyaan –

pertanyaan dibawah ini:

a. Apa yang dapat disimpulkan dari kedua grafik fungsi tujuan yang dibuat?

b. Jika grafik fungsi tujuan tersebut digeser

ke kanan dan ke kiri, apa akibatnya terhadap nilai f?

c. Kapan grafik fungsi tujuan tersebut

berhenti bergeser? (menggambar fungsi

objektif baru dari hasil geseran grafik fungsi objektif yang digeser sampai

grafik tersebut harus berhenti)

d. Berapa keuntungan maksimum yang diperoleh butik dari hasil penjualan baju

pesta jenis I dan baju pesta jenis II?

Dikurangi sub pertanyaan-

pertanyaan pada nomor 2. Sehingga masalah yang

diberikan menjadi:

Dari konteks yang diberikan pada aktivitas 1 diperoleh model

program linear sebagai berikut:

Maksimumkan

yxyxf 000.85000.50),( +=

Dengan kendala:

Zyx

y

x

yx

yx

yx

+

+

+

,

0

0

204

122

2132

1. Gambarkanlah grafik fungsi

kendala dari model tersebut dan tentukan daerah

penyelesaiannya!

Petunjuk: gambar menggunakan kertas

berpetak dengan skala yang


2. Gambarkanlah 2 grafik

fungsi objektif dari model

tersebut dengan nilai f yang berbeda dalam satu bidang

koordinat dengan fungsi

kendala.


190

Dengan dikurangi sub pertanyaan-pertanyaan pada nomor 2, maka detail

revisi rancangan lintasan belajar pertemuan 2 adalah sebagai berikut:

Setelah mahasiswa menggambar daerah penyelesaian dan grafik fungsi

tujuan (garis selidik), dosen mengarahkan mahasiswa pada penyelesaian

masalah menggunakan garis selidik dengan memberikan arahan dan

pertanyaan-pertanyaan yang akan dijawab secara bersama-sama oleh

mahasiswa. Dosen menampilkan gambar daerah penyelesaian dan gambar dua

garis selidik pada slide power point di depan kelas. Berikut gambar garis selidik

dengan mengambil nilai f=0 dan f=320.000 sehingga diperoleh persamaan

garis selidiknya 50.000𝑥 + 85.000𝑦 = 0 dan 50.000𝑥 + 85.000𝑦 =

320.000.

Berikut pertanyaan yang diberikan secara garis besar:

a. Apa yang sama dari kedua grafik fungsi tujuan yang dibuat?

Jawaban yang diharapkan: kemiringannya sama yang artinya kedua grafik

tujuan tersebut memiliki gradien yang sama sehingga menyebabkan

garisnya sejajar


191

b. Jika grafik fungsi tujuan tersebut digeser, kemanakah arah pergeseran

grafik fungsi objektif tersebut? Apa akibat dari arah pergeseran tersebut

terhadap nilai f? (jika digeser ke kiri atau bawah apa akibat terhadap nilai

f, dan jika digeser ke kanan atau atas apa akibat terhadap nilai f?

Jawaban yang diharapkan: arah pergeserannya adalah ke kanan dan ke kiri.

Jika makin ke kanan garis tersebut di geser maka nilai f yang diberikan

semakin besar. Dan jika makin ke kiri garis tersebut digeser makan nilai f

yang diberikan makin kecil.

c. Kapan grafik fungsi tujuan tersebut berhenti bergeser?

Jawaban yang diharapkan: berhenti ketika garis fungsi tujuan tersebut

digeser sampai titik layak yang terakhir.

d. Kalau begitu titik maksimumnya yang mana untuk soal ini?

e. Mengapa itu disebut sebagai titik maksimum?

f. Apa kesimpulan Anda, kalau fungsi tujuannya memaksimumkan apa yang

kita lakukan dengan garis selidik? Dan kalau fungsi tujuan kita

meminimumkan apa yang kita lakukan dengan garis selidik?

g. Apakah garis selidik harus berhenti di salah satu titik pojok?

h. Jika titik (4,3), (6,3) dan (9,1) bukan merupakan titik penyelesaiannya

maka berapakah titik maksimumnya? Kenapa titik tersebut disimpulkan

sebagai titik maksimumnya?

D. Deskripsi Proses Pembelajaran Kelas Penelitian

Proses pembelajaran dianalisis dan dideskripsikan berdasarkan kegiatan

atau usaha yang dilakukan peneliti berdasarkan 5 karekateristik PMR yaitu


192



1. Pembelajaran kelas penelitian pertama


Masalah Pertama:



permasalahan tersebut dalam suatu model!”

Masalah Kedua:







model!”


Pada aktivitas I sebelum peneliti menampilkan masalah yang harus

diselesaikan, mahasiswa sudah duduk dalam bentuk kelompok yang

dibentuk sesuai tempat duduk mahasiswa. Terdapat 12 kelompok yang

terbentuk dengan rincian 7 kelompok terdiri dari 4 orang mahasiswa

dan 5 kelompok yang terdiri dari 3 orang mahasiswa. Setelah masalah

ditampilkan pada slide power point, peneliti membacakan kembali


193

masalah tersebut kemudian menerangkan apa yang harus dikerjakan

oleh mahasiswa dalam kelompok yaitu membuat model berdasarkan

masalah yang diberikan. Terdapat dua masalah yang diberikan. Kedua

masalah tersebut saling berhubungan karena konteks yang digunakan

sama-sama merupakan konteks yang berkaitan dengan pertidaksamaan

linear dua variabel. Pada masalah pertama berkaitan dengan bentuk

pertidaksamaan lebih dari sama dengan dan pada masalah kedua

berkaitan dengan bentuk pertidaksamaan kurang dari. Ketika

mahasiswa memiliki ide di dalam menyelesaikan masalah pertama

maka ide tersebut dapat membantu mahasiswa untuk memiliki ide

menyelesaikan masalah kedua. Oleh karena itu dapat disimpulkan

bahwa pengalaman mahasiswa menyelesaikan masalah pertama dapat

membantu mahasiswa menyelesaikan masalah kedua. Dari kedua

masalah tersebut, peneliti meminta mahasiswa secara berkelompok

untuk berdiskusi agar dapat memahami masalah yang dibeirkan

kemudian menyatakan kalimat sehari-hari tersebut ke dalam sebuah

model. Dalam kelompok, terlihat mahasiswa berusaha memahami

masalah yang diberikan dengan membaca berulang kali dan berdiskusi

untuk mengetahui apa yang diketahui dan ditanya dalam masalah

tersebut.


Pada aktivitas pertama ini mahasiswa diminta untuk membuat model



194

penyelesaian yang dilakukan oleh mahasiswa. Pemilihan lembar jawab

mahasiswa berdasarkan pada pengelompokkan jawaban-jawaban yang

sejenis.


aktivitas I


penyelesaian yang dilakukan oleh mahasiswa untuk masalah yang

pertama yaitu mahasiswa memisalkan x sebagai kue donat dan y sebagai

kue lapis, mahasiswa menuliskan pernyataan yang akan dimodelkan



25+ yx . Pada masalah kedua, mahasiswa memisalkan x sebagai

harga kompor dan y sebagai harga wajan, mahasiswa menuliskan

pernyataan yang akan diimodelkan yaitu “Camelia membeli satu

kompor dan dua wajan dengan harga kurang dari 400.000, kemudian



195

000.4002 + yx sesuai dengan pernyataan tersebut. Mahasiswa

menuliskan jumlah harga barang yang Camelia beli kurang dari

400.000 karena dalam masalah yang diberikan camelia masih mendapat

uang kembalian dimana merupakan alasan dibentuknya model tersebut.

Dari penyelesaian yang diberikan oleh mahasiswa tersebut, dapat

disimpulkan pada masalah pertama mahasiswa belum tepat dalam

memisalkan objek-objek ke dalam variabel namun mahasiswa mampu

untuk membentuk pertidaksamaan linear dua variabel dengan benar

walaupun objek dalam pemisalan yang dibuat kurang tepat. Dari

pemisalan yang dibuat oleh mahasiswa ini, mahasiswa tidak

memberikan penekanan pada pada banyak kue donat dan banyak kue

lapis. Sehingga pemisalan yang tepat adalah banyak kue donat dengan

variabel x dan banyak kue lapis dengan variabel y. Pada masalah kedua

mahasiswa mampu memisalkan objek-objek ke dalam variabel dengan

tepat dan mahasiswa mampu untuk membentuk pertidaksamaan linear

dua variabel dengan benar dengan memberikan alasana dari

pembentukkan model tersebut dengan tepat. Dari model yang

dihasilkan pada masalah satu dan masalah dua, nampak pada model

yang pertama mahasiswa belum bisa memisalkan objek-objek ke dalam

variabel dengan tepat tetapi pada model yang kedua mahasiswa sudah

dapat memisalkan objek-objek ke dalam variabel dengan tepat.


196

Gambar 4. 13. Hasil pekerjaan kelompok mahasiswa 2 pada aktivitas I


penyelesaian yang dilakukan oleh mahasiswa untuk masalah yang

pertama yaitu mahasiswa memisalkan x sebagai kue donat dan y sebagai

kue lapis, mahasiswa menuliskan pernyataan yang akan dimodelkan



25+ yx , 0x , dan 0y . Pada masalah kedua, mahasiswa

memisalkan x sebagai harga kompor gas dan y sebagai harga wajan,

mahasiswa menuliskan pernyataan yang akan diimodelkan yaitu “yang

dibeli Camelia adalah 1 kompor gas dan 2 wajan”, kemudian


000.4002 + yx , 0x , dan 0y . Pada penyelesaian tersebut

mahasiswa menuliskan kalimat persamaan namun yang dihasilkan

adalah sebuah model pertidaksamaan yaitu 000.4002 + yx . Dari

penyelesaian yang diberikan oleh mahasiswa tersebut, dapat


197

disimpulkan pada masalah pertama mahasiswa belum tepat dalam

memisalkan objek-objek ke dalam variabel namun mahasiswa mampu

untuk membentuk pertidaksamaan linear dua variabel dengan benar

walaupun objek dalam pemisalan yang dibuat kurang tepat dan mampu

membentuk syarat dari model tersebut. Dari pemisalan yang dibuat oleh

mahasiswa ini, mahasiswa tidak memberikan penekanan pada pada

banyak kue donat dan banyak kue lapis. Sehingga pemisalan yang tepat

adalah banyak kue donat dengan variabel x dan banyak kue lapis dengan

variabel y. Pada masalah kedua mahasiswa mampu memisalkan objek-

objek ke dalam variabel dengan tepat dan mahasiswa mampu untuk

membentuk pertidaksamaan linear dua variabel dengan benar dan

mampu menentukan syarat dari model tersebut.

Dari model yang dihasilkan pada masalah satu dan masalah dua,

nampak pada model yang pertama mahasiswa belum bisa memisalkan

objek-objek ke dalam variabel dengan tepat tetapi pada model yang

kedua mahasiswa sudah dapat memisalkan objek-objek ke dalam

variabel dengan tepat.


198


aktivitas I

Dari hasil pekerjaan mahasiswa di atas, nampah langkah-langkah

penyelesaian untuk masalah pertama yaitu mahasiswa membuat

kemungkinan banyak kue donat dan banyak kue lapis, kemudian

mahasiswa menghitung jumlah kedua kue berdasarkan kemungkinan

banyaknya kue donat dan banyaknya kue lapis yang sudah dibuat

sebelumnya. Mahasiswa menuliskan kesimpulan yaitu jadi jumlah kue

donat dan kue lapis harus lebih dari sama dengan 25. Pada masalah yang

kedua nampak langkah-langkah penyelesaiannya yaitu mahasiswa

memisalkan harga kompor dengan variabei x dan harga wajan dengan

variabel y kemudian mahasiswa membentuk sebuah pertidaksamaan

yaitu 000.400+ yx . Dari penyelesaian yang dibuat oleh mahasiswa,

dapat disimpulkan pada masalah pertama mahasiswa dapat membuat

kemungkinan-kemungkinan banyaknya kue donat dan banyaknya kue

lapis dan dapat membuat kesimpulan dengan tepat. Pada masalah kedua

disimpulkan bahwa mahasiswa mampu memisalkan objek-objek ke

dalam variabel dengan tepat dan mahasiswa mampu untuk membentuk

pertidaksamaan linear dua variabel dengan benar. Dari model yang

dibuat oleh mahasiswa, nampak pada model pertama mahasiswa belum

dapat membawa masalah nyata ke bentuk pertidaksamaan linear dua

variabel, tetapi pada maslaah kedua mahasiswa sudah dapat

membentuk sebuah pertidaksamaan linear dua variabel dari masalah

yang diberikan dengan tepat.


199


aktivitas I

Dari hasil pekerjaan mahasiswa di atas untuk masalah pertama, nampak

langkah-langkah penyelesaian yang dilakukan oleh mahasiswa yaitu

memisalkan banyak kue donat dengan variabel x dan banayk kue lapis

dengan variabel y, mahasiswa membentuk sebuah pertidaksamaan

linear dua variabel 25+ yx dan memberikan keterangan model

tersebut diperoleh dari pernyataan jumlah kedua ku paling sedikit 25

buah. Mahasiswa membentuk syarat dari model tersebut yaitu 0x ,

dan 0y .karena jumlah kue tidak mungkin negatif dan Zyx , . Pada

masalah kedua, mahasiswa memisalkan harga satu kompor gas portable

dengan variabel x dan harga satu wajan dengan variabel y, mahasiswa

membentuk sebuah pertidaksamaan linear dua variabel

000.4002 + yx dan memberikan keterangan model tersebut

diperoleh karena Camelia masih mendapat kembalian. Mahasiswa

membentuk syarat dari model tersebut yaitu 0x , dan 0y .karena

uang tidak mungkin negatif (seharusnya lebih menekankan pada harga


200

sesuai dengan yang dimisalkan) dan Zyx , . Dari penyelesaian yang

diberikan oleh mahasiswa tersebut untuk masalah satu dan masalah dua,

dapat disimpulkan mahasiswa mampu memisalkan objek-objek ke

dalam variabel dengan benar dan mahasiswa mampu untuk membentuk

pertidaksamaan linear dua variabel dengan benar dengan syarat yang

tepat. Dari model yang dihasilkan, nampak pada model pertama

mahasiswa sudah memberikan model yang tepat untuk masalah satu

dan pada model kedua mahasiswa juga sudah memberikan model yang

tepat untuk masalah dua.


Pemanfaatan hasil konstruksi mahasiswa terlihat saat peneliti

menggunakan model yang sudah dibuat oleh mahasiswa pada masalah

dua yaitu yx 2+ untuk membimbing mahasiswa membuat permisalan

objek-objek ke dalam variabel dengan tepat dalam kelompok diskusi.


Mahasiswa : Mba kalau yang kami misalkan x = kompor gas

portable dan y = wajan benar nggak?

Peneliti : Mana coba mba lihat (sambil melihat jawaban

mahasiswa). Ini dapat modelnya darimana?

Mahasiswa : Kan si Camel beli 1 kompor gas portable dan 2

wajan jadi yx 2+ .

Peneliti : Terus?

Mahasiswa : Terus ini tanda kurang dari 400.000nya karena dia

dapat kembalian jadi tandanya kurang dari.

Peneliti : Oke. Sekarang mba minta kalian coba bahasakan

lagi model ini sesuai yang kamu misalkan x dan y

nya?

Mahasiswa : Owg ia mba. Kan tadi x = kompor gas portable dan

y = wajan jadi kompor gas portable ditambah wajan

kurang dari 400.000


201

Peneliti : Oke. Mba tanya ya kompor gas sama wajan bisa

dijumlahkan apa nggak?

Mahasiswa : Owg ia deng. Hehehe. Maaf mba salah. Hehehe

Peneliti : Kok salah? Kenapa?

Mahasiswa : Seharusnya yang dimisalkan itu (terdiam salah satu

mahasiswa kembali melihat soal). . . .harganya mba

yang dimisalkan itu

Peneliti : kenapa harganya?

Mahasiswa : Kan kompor gas sama wajan itu nggak bisa

ditambah kalau harganya bisa

Peneliti : Jadi pemisalannya x sama dengan?

Mahasiswa : x = harga 1 kompor gas portable dan y = harga 1

wajan

Peneliti : Na itu baru pintar. Hehe

Harus lebih teliti lagi ya. Walaupun modelnya benar

tapi maknanya tu berbeda.


model yang dihasilkan oleh kelompok mahasiswa yaitu

000.4002 + yx untuk membimbing mahasiswa agar dapat membuat

pemisalan dengan tepat. Pada saat memisalkan objek ke dalam variabel

mahasiswa kurang menekankan pada harga objek. Mahasiswa

memisalkan x = kompor gas portable dan y = wajan. Dengan topangan

yang diberikan oleh peneliti, mahasiswa dapat memberikan pemisalan

yang tepat yaitu x = harga 1 buah kompor gas portable dan y = harga 1

buah wajan.




pertama yaitu bentuk pertidaksamaan linear dua variabel

000.4002 + yx . Dalam proses tersebut, nampak dari pertidaksaman

000.4002 + yx , peneliti meminta mahasiswa membahasakan


202

kembali ke dalam kalimat sehari – hari sesuai dengan variabel yang

dimisalkan kemudian menanyakan apakah kompor gas dapat

dijumlahkan dengan wajan atau tidak. Dari topangan kedua ini,

mahasiswa sendiri menemukan kesalahannya. Melalui topangan-

topangan yang diberikan oleh peneliti tersebut, mahasiswa dapat

menyimpulkan pemisalan yang tepat yaitu yaitu x = harga 1 buah

kompor gas portable dan y = harga 1 buah wajan dan dapat memberikan

alasan yang tepat bahwa kompor gas dan wajan tidak dapat dijumlahkan

yang dapat dijumlahkan adalah hargan kompor gas dan harga wajan.

Pemanfaatan hasil konstruksi juga terlihat saat mahasiswa menjawab

pertanyaan-pertanyaan dari peneliti yang berusaha memancing

munculnya penggunaan kata “banyaknya” atau “jumlah” dalam

melakukan permisalan objek-objek pada masalah yang diberikan ke

dalam sebuah variabel. Berikut proses yang terjadi di dalam kelas saat

peneliti memberikan topangan.

Peneliti : Sekarang kalian lihat model matematika ini (sambil

menujuk pada 25+ yx ) dan pemisalan yang

dibuat (memisalkan x = kue donat dan y = kue lapis).

Coba kalian membahasakan kembali ke dalam

kalimat sehari – hari sesuai dengan variabel yang

dimisalkan?

Mahasiswa : Kue donat ditambah kue lapis lebih dari sama

dengan 25

Peneliti : Oke. Sekarang saya tanya kue donat dan kue lapis

bisa dijumlahkan atau nggak?

Mahasiswa : Hmmm. . .nggak.

Peneliti : Kenapa?

Mahasiswa : Kan jenis kuenya beda

Peneliti : Ia benar ya. Terus yang bisa dijumlahkan dari kedua

kue ini apanya?


203

Mahasiswa : Banyak kuenya itu. Banyak kue donat dan banyak

kue lapis (ada juga yang jawab jumlah kue)

Peneliti : Ia benar. Jadi yang dapat dijumlahkan dari kedua kue

tersebut adalah banyak atau jumlah kue. Jadi apa

yang harusnya kalian misalkan itu x dan y nya

dengan apa?

Mahasiswa : x sama dengan banyak kue donat dan y sama dengan

banyak kue lapis

Peneliti : Ia betul sekali ya. Untuk kedepannya perhatikan

dengan baik apa yang harus dimisalkan. Hati-hati

dalam pemisalan ya. Karena walaupun modelnya

nanti benar tapi maknanya akan berbeda.

Terus objek yang dimisalkan itu bisa ditulis lengkap

ya. Kue donat bukan donat. Kompor gas portable

bukan kompor aja. Capek ya nulisnya? hm


model yang dihasilkan oleh salah satu kelompok mahasiswa yang

mempresentasikan hasilnya di depan kelas yaitu 25+ yx untuk

membimbing mahasiswa agar dapat membuat pemisalan dengan tepat.

Pada saat memisalkan objek ke dalam variabel mahasiswa kurang

menekankan pada banyaknya objek. Mahasiswa memisalkan x = kue

donat dan y = kue lapis. Dengan topangan yang diberikan oleh peneliti,

mahasiswa dapat memberikan pemisalan yang tepat yaitu x = banyak

kue donat dan y = banyak kue lapis.




pertama yaitu bentuk pertidaksamaan linear dua variabel 25+ yx .

Dalam proses tersebut, nampak dari pertidaksaman 25+ yx , peneliti

meminta mahasiswa membahasakan kembali ke dalam kalimat sehari –


204

hari sesuai dengan variabel yang dimisalkan kemudian menanyakan

apakah kue donat dan kue lapis dapat dijumlahkan atau tidak, jika tidak

apa yang dapat dijumlahkan dari kedua kue tersebut. Melalui topangan-

topangan yang diberikan oleh peneliti tersebut, mahasiswa dapat

menyimpulkan pemisalan yang tepat yaitu x = banyak kue donat dan y

= banyak kue lapis.

Setelah mahasiswa memberikan pemisalan dengan benar, peneliti

memberikan penekanan bahwa perlu untuk memperhatikan

penggunaan kata “banyak” atau “jumlah” dan kata “harga” dalam

pemisalan variabel pada masalah satu dan masalah dua sebab tanpa kata

tersebut maka akan menimbulkan makna yang kurang tepat dalam

model matematika yang sudah dibuat. Model yang dibentuk harus

sesuai dengan masalah yang diberikan. Selain itu, peneliti juga meminta

mahasiswa untuk menuliskan objek yang dimisalkan dengan lengkap

agar tidak menimbulkan perbedaan makna.

Pemannfaatan hasil konstruksi mahasiswa juga terlihat saat peneliti

membimbing mahasiswa untuk membawa model yang dibuat oleh

mahasiswa pada gambar 4.14 ke dalam model pertidaksamaan linear

dua variabel. Berikut proses yang terjadi di dalam kelas.

Peneliti : Ayo sekarang coba perhatikan ini dulu. Ini salah satu

jawaban yang berbeda dari kelompok yang lain. Apa

yang beda dari jawaban ini dengan jawaban yang

sebelumnya? (sambil menunjukkan jawaban

mahasiswa yang membuat kemungkinan dan

jawaban mahasiswa yang membuat model

pertidaksamaan dari masalah yang diberikan)


205

Mahasiswa : Bedanya itu kalau yang bagian kiri itu buat dalam

model pertidaksamaan tapi kalau yang bagian kanan

mereka membuat kemungkinan-kemungkinan

banyaknya kue

Peneliti : Ia benar ya. Dari dua jawaban ini apakah keduanya

benar? Atau hanya salah satu yang benar?

Mahasiswa : Yang bagian kiri yang benar

Peneliti : Kenapa? Berarti yang ini salah? (sambil menunjukkan

jawaban yang membuat kemungkinan)

Mahasiswa : Hmhmhmh (mahasiswa diam)

Peneliti : Coba perhatikan tabel yang dibuat. Apakah

kemungkinan-kemungkinan yang ada di dalam tabel

ini memenuhi syarat yang ada di soal atau tidak

Mahasiswa : Memenuhi

Peneliti : Berarti ini salah apa benar jawabannya?

Mahasiswa : Benar mba tapi kan disuruh buat model bukan buat

kemungkinan kuenya jadi haru dibawah ke

pertidaksamaan

Peneliti : Ini juga model ya hanya dibandingan dengan model

yang itu, yang itu lebih sederhana dan sudah dalam

bentuk formalnya.

Na sekarang coba kita bawa model kemungkinan-

kemungkinan ini menjadi lebih sederhana.

Kita mulai darimana dulu?

Mahasiswa : Misalkan dulu mba

Peneliti : Ya benar. Na dari tabel ini kan kita lihat yang dibuat

kemungkinannya itu kue donat, kue lapis, dan jumlah.

Mana yang mau kita misalkan?

Mahasiswa : Kuenya itu.

Peneliti : Oke kita misalkan dengan variabel ya kuenya. Na

disini kita perlu hati-hati dalam permisalannya agar

tidak salah makna. Apa yang kita misalkan?

Misalkan x dengan banyak kue donat dan y dengan

banyak kue lapis (mahasiswa bersama-sama dengan

peneliti)

Terus selanjutnya kita buat apa?

Mahasiswa : Buat model matematikanya mba

Peneliti : ia bagaimana modelnya?

Mahasiswa :

Peneliti : Darimana dapat model ini?

Mahasiswa : Dari soal diketahui jumlah kedua kue paling sedikit

25 buah

Peneliti : Ia benar. Tapi sekarang kita lihat dari sini

(penyelesaian mahasiswa 4.9) Dari kesimpulannya

ini (kesimpulan yang dibuat: jumlah kue donat dan

kue lapis harus lebih dari sama dengan 25). Jadinya?

25+ yx


206

Mahasiswa : 25+ yx

Peneliti : Oke sekarang saya tanya kenapa harus tanda tambah

disini, kenapa tidak tanda kurang?

Mahasiswa : kan jumlah jadi pakai tambah

Peneliti : Ia benar. Kita lihat dari tabel ini untuk kolom

jumlahnya ya. Jumlah disini diperoleh dari. .

.(bersama-sama dengan mahasiswa) banyak kue

donat tambah banyak kue lapis.

Terus kenapa pakai tanda ?

Mahasiswa : Karena jumlah kuenya itu paling sedikit 25

Peneliti : Ia karena ada kata paling sedikit. Atau bisa kita lihat

dari jumlah yang diperoleh dari kemungkinan banyak

kue yang dibuat. Jumlahnya disini kurang dari sama

dengan 25 buah.

Jadi kita dapatkan modelnya. . .

Mahasiswa : (Mahasiswa sama” dengan peneliti) 25+ yx

Dari proses di atas disimpulkan bahwa peneliti menggunakan model

yang dibuat oleh satu kelompok mahasiswa (gambar 4.14) untuk

membawa mahasiswa membentuk sebuah pertidaksamaan linear dua

variabel dengan alasan yang tepat. Model yang dibuat berupa tabel

kemungkinan-kemungkinan jumlah kedua kue berdasarkan

kemungkinan banyak kue donat dan kue lapis yang dibuat dan

kesimpulan dari tabel yang dibuat. Mahasiswa belum dapat membentuk

pertidaksamaan linear dua variabel dari masalah yang diberikan.

Dengan topangan-topangan yang diberikan oleh peneliti, mahasiswa

dapat membentuk sebuah pertidaksamaan linear dua variabel dari

model 4.14 dengan alasan yang tepat. Proses tersebut dapat berhasil

karena peneliti memberikan topangan dengan menggunakan model

yang merupakan hasil dari konstruksi pengetahuan mahasiswa itu

sendiri untuk menyelesaikan masalah pertama (gambar 4.14). Dari

model tersebut, peneliti mengajak mahasiswa untuk membuat model


207

yang lebih sederhana berdasarkan gambar 4.14. Karena sebagian besar

mahasiswa sudah dapat membentuk model pertidaksamaan dari

masalah nyata yang diberikan, mahasiswa dengan cepat menjawab

membuat pemisalan dan membuat modelnya. Disini peneliti berusaha

untuk mengarahkan kepada mahasiswa bahwa yang mau kita bawa ke

model pertidaksamaan itu bukan lagi dari model nyatanya tetapi dari

model yang ada pada gambar 4.14 dengan mengingatkan ke mahasiswa

untuk melihat kembali dari model yang ada pada gambar 4.14. melalui

topangan-topangan yang diberikan oleh peneliti, mahasiswa dapat

membentuk sebuah pertidaksamaan linear dua variabel dari model 4.14

dengan alasan yang tepat.

Setelah itu peneliti mengajak mahasiswa untuk menyimpulkan

langkah-langkah yang dilakukan oleh mahasiswa untuk membuat

model matematika dari masalah nyata dengan memberikan pertanyaan

dan memberikan penekanan pada jawaban mahasiswa.

4) Interaktivitas

Interaktivitas yang terjadi pada aktivitas pertama ini yaitu peneliti

dengan mahasiswa dan mahasiswa dengan mahasiswa. Salah satu

interaktivitas peneliti dengan seluruh mahasiswa dalam kelas terjadi

ketika peneliti membimbing mahasiswa untuk membuat pemisalan

yang tepat pada masalah pertama dan membawa mahasiswa untuk

membuat model formal dari model yang ada pada gambar 4.14 dimana

dialognya sudah dipaparkan pada karakteristik sebelumnya yaitu


208

karakteristik 3 (pemanfaatan hasil kontruksi siswa). Salah satu interaksi

peneliti dan mahasiswa dalam kelompok diskusi terjadi saat peneliti

membimbing mahasiswa untuk membuat pemisalan yang tepat pada

masalah kedua dimana dialognya sudah dipaparkan pada pada

karakteristik sebelumnya yaitu karakteristik 3 (pemanfaatan hasil

kontruksi siswa).

Berikut interaksi antara peneliti dan mahasiswa serta mahasiswa dan

mahasiswa dalam kelas juga terjadi saat mahasiswa lain memberikan

pertanyaan kepada salah satu kelompok yang presentasi dan peneliti

membantu memfasilitasi. Berikut cuplikan interaksinya.

Mahasiswa

presentasi

: Mahasiswa dari kelompok yang memberikan

jawaban kemungkinan-kemungkinan banyaknya kue

menjelaskan penyelesaiannya dalam kelas

Peneliti : Ada pertanyaan? Kalau yang mau bertanya ke

kelompok silahkan ya

Mahasiswa

penanya

: Aku mau nanya, disitu kan ada kue donat sama kue

lapis. Disitu kamu nulisnya 1,2, sampai seterusnya

itu. Tapi disitukan nggak ada syarat yang

menyatakan bahwa kue donat itu lebih kecil dari kue

lapis. Tapi kenapa disitu nggak ada kemungkinan

kue lapis itu 1 kue lapisnya 2 dan seterusnya?

Mahasiswa

presentasi

: Ya itu terserah kami yang memisalkan banyaknya

asalkan tidak kurang dari 25 jumlahnya (kelas ribut)

Peneliti Ayo diam dulu. Na disini (sambil menunjukan di

tabel) dari kelompok juga menuliskan dimana

jumlah kue donatnya 35 dan kue lapisnya 20. Jadi

jumlah kue donat lebih besar dari kue lapis

Mahasiswa

penanya

: Ia. Kalau kue donatnya yang 1. Bisa apa nggak?

Peneliti : Ya bagaimana kelompok kalau misalkan jumlah kue

donatnya 1 dan jumlah kue lapisnya 35, bisa apa

nggak?

Mahasiswa

presentasi

: Bisa. Karena dia masih memenuhi jumlah kuenya

paling sedikit 25. Jadi kalau lebih dari 25 bisa aja.

Mahasiswa

penanya

: Oke


209

Peneliti : Bagaimana? Bisa diterima jawabannya?

Mahasiswa

penanya

: Bisa mba

Dari cuplikan interaksi di atas, nampak bahwa mahasiswa penanya

menanyakan mengapa yang dibuat kemungkinan banyaknya kue,

banyaknya kue donat itu lebih kecil daripada banyaknya kue lapis. Dari

cuplikan di atas, nampak diakhir interaksi mahasiswa penanya

menerima jawaban dari mahasiswa presentasi atas pertanyaan-

pertanyaan yang ia berikan. Oleh karena itu dari cuplikan interaksi di

atas dapat disimpulkan bahwa mahasiswa penanya dapat memahami

bahwa bebas membuat kemungkinan banyaknya kue donat dan

banyaknya kue lapis asalkan jumlah kedua kue tersebut tidak boleh

kurang dari 25 buah.

Setelah itu, peneliti memberikan pertanyaan-pertanyaan yang

mengarah pada syarat dari masalah yang diberikan dengan meneruskan

interaksi yang sudah dipaparkan sebelumnya. Berikut cuplikannya.

Peneliti : Kalau banyak kue donat 0 dan banyak kue lapis 25

bagaimana?

Mahasiswa : Boleh aja kan jumlahnya sama dengan 25 mba

Peneliti : Ia benar ya. Na kalau banyak kue donat -5 dan

banyak kue lapis 32 gimana?

Mahasiswa : Hmhm nggak boleh

Peneliti : Kenapa? Kan jumlahnya sama dengan 27?

Mahasiswa : Kan banyak kue nggak bisa negatif to mba jadi

nggak boleh

Peneliti : Ia betul ya walaupun jumlahnya memenuhi tapi kan

kita tahu kalau banyak kue itu kan nggak mungkin

negatif.

Kalau banyak kue ½ boleh?

Mahasiswa : Nggak

Peneliti : Kenapa?

Mahasiswa : Karena banyak kue harus bulat 1, 2,3. .


210

Peneliti : Ia betul ya. Jadi apa syaratnya buat kemungkinan

banyak kue tadi selain jumlah kedua kue tidak boleh

kurang 25 buah?

Mahasiswa : Banyak kue tidak boleh negatif dan bilangan bulat

Dari cuplikan interaksi di atas, nampak bahwa pada interaksi yang

terakhir peneliti meminta mahasiswa untuk menyimpulkan syarat buat

kemungkinan banyak kue selain jumlah kedua kue tidak boleh kurang

dari 25 buah, mahasiswa memberikan jawaban yaitu banyak kue tidak

boleh negatif dan bilangan bulat. Oleh karena itu dari cuplikan interaksi

di atas dapat disimpulkan bahwa mahasiswa dapat menyimpulkan

bahwa kemungkinan banyaknya kue donat dan banyaknya kue lapis

harus memenuhi jumlah kedua kue tersebut tidak boleh kurang dari 25

buah, banyaknya kue tidak boleh negatif dan harus bulat.

Interaksi antara peneliti dan mahasiswa juga terjadi saat peneliti

membimbing mahasiswa dalam kelompok diskusi untuk menentukan

tanda pertidaksamaan yang sesuai dengan masalah yang diberikan.

Berikut cuplikan interaksinya pada masalah pertama.

Peneliti : Kalau kamu mau tes pramugari. Syaratnya adalah

tinggi badannya paling sedikit 165 cm. Sudah dengar

semua?

Mahasiswa : Sudah mba.

Peneliti : Sudah ya. Na sekarang kalau kamu datang mau ikut

tesnya. Terus tinggi kamu 164 cm. Kamu boleh ikut

nggak?

Mahasiswa : Boleh

Peneliti : Karena?

Mahasiswa : Karena tingginya paling kecil seratus enam puluh....

(sambil mengingat)

Mahasiswa : Berapa berapa tadi?

Peneliti : Paling sedikit 165 cm

Mahasiswa : Ooooooooo berarti nggak boleh

Peneliti : kalau tinggi saya 165 boleh nggak?


211

Mahasiswa : Boleh

Peneliti : Karena?

Mahasiswa : Karena paling sedikit paling kecil 165

Peneliti : Kalau saya tinggi 167?

Mahasiswa : Bisa

Peneliti : Karena?

Mahasiswa : Karena paling pendek 165

Peneliti : Ia karena 167 itu lebih dari 165 kan

Mahasiswa : Ia

Peneliti : Berarti tanda yang benarnya yang mana?

Mahasiswa : Lebih dari

Peneliti : Hanya lebih dari?

Mahasiswa : Maksudnya mba

Dari cuplikan interaksi di atas, setelah memberikan topangan

sebelumnya nampak pada interaksi terakhir peneliti meminta

mahasiswa untuk mengoreksi kembali tanda ketaksamaan untuk

kalimat “paling sedikit” dan mahasiswa memberikan jawaban bahwa

tanda ketaksamaannya . Oleh karena itu dari cuplikan interaksi di atas

dapat disimpulkan bahwa mahasiswa dapat menyimpulkan tanda

ketaksamaan yang tepat dari kalimat “paling sedikit” untuk model yang

dibuat yaitu .

Peneliti juga memberikan penekanan kembali pada tanda ketaksamaan

yang digunakan pada masalah pertama dan masalah kedua dan

mengenalkan kepada mahasiswa bahwa model yang diperoleh tersebut

yaitu pertidaksamaan linear dua variabel. Mahasiswa mampu

memberikan jawaban dengan baik bahwa model 25+ yx dan

000.4002 + yx merupakan bentuk dari pertidaksamaan linear dua

variabel.


212


antara mahasiswa dan mahasiswa dalam kelas, interaksi antara peneliti

dan mahasiswa dalam kelas, dan interaksi peneliti dan mahasiswa

dalam kelompok diskusi. Dari interaksi-interaksi tersebut, mahasiswa

dapat mengkonstruksi pengetahuannya.

5) Keterkaitan

Kedua masalah yang diberikan pada aktivitas pertama ini mengarahkan

mahasiswa untuk menemukan konsep dari pertidaksamaan linear dua

variabel. Pada masalah pertama mahasiswa menemukan konsep

pertidaksamaan linear dua variabel bentuk lebih dari sama dengan yang

disimbolkan dengan tanda dan pada masalah kedua mahasiswa

menemukan konsep pertidaksamaan linear dua variabel bentuk kurang

dari yang disimbolkan dengan tanda <.

b. Aktivitas kedua


Banyak kendaraan yang dapat diparkir disuatu lahan paling banyak sedan


parkir untuk satu buah sedan 6 m2 dan luas lahan parkir untuk satu bus 18

m2, buatlah model dari permasalahan tersebut!


Pada aktivitas kedua, kelompok mahasiswa menggunakan kelompok

yang sudah dibentuk dan berjalan pada aktivitas pertama. Pada aktivitas

kedua, peneliti menggunakan konteks berupa kalimat sehari-hari yang


213

berkaitan dengan sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang terdiri

dari dua pertidaksamaan yang ditampilkan pada slide power point.

Dengan pengalaman mahasiswa menyelesaikan masalah pada aktivitas

yang kedua dapat membantu mahasiswa menyelesaikan masalah pada

aktivitas kedua. Dari konteks tersebut, peneliti meminta mahasiswa

secara berkelompok untuk menyatakan kalimat sehari-hari tersebut ke

dalam sebuah model matematika. Setelah masalah ditampilkan, peneliti

membacakan kembali masalah tersebut kemudian menerangkan apa

yang harus dikerjakan oleh mahasiswa dalam kelompok yaitu membuat

model matematika berdasarkan masalah yang diberikan. Dari masalah

tersebut, peneliti meminta mahasiswa secara berkelompok untuk

berdiskusi agar dapat memahami masalah yang diberikan jika ada

pertanyaan lagsung ditanyakan kepada peneliti kemudian menyatakan

kalimat sehari-hari tersebut ke dalam sebuah model. Dalam kelompok,

terlihat mahasiswa berusaha memahami masalah yang diberikan

dengan membaca berulang kali dan berdiskusi untuk mengetahui apa

yang diketahui dan ditanya dalam masalah tersebut.


Pada aktivitas kedua ini mahasiswa diminta untuk membuat model


penyelesaian yang dilakukan oleh mahasiswa. Pemilihan lembar jawab

mahasiswa berdasarkan pada pengelompokkan jawaban-jawaban yang

sejenis.


214


aktivitas II



memisalkan banyak sedan dengan variabel x dan banyak bus dengan

variabel y, mahasiswa membentuk dua pertidaksamaan linear dua

variabel yaitu 70+ yx dan 1200186 + yx , mahasiswa menuliskan

syarat yaitu 0x dan 0y . Dari hasil penyelesaian yang diberikan

oleh mahasiswa, disimpulkan mahasiswa mampu memisalkan objek ke

dalam variabel dengan tepat, mahasiswa mampu membentuk dua

pertidaksamaan dengan tepat sesuai dengan masalah yang diberikan.

Pada model yang diberikan, mahasiswa dapat menentukan syarat dari

model tersebut denagn tepat.


215


aktivitas II



memisalkan variabel x sebagai banyaknya sedan dan variabel y dengan

banyaknya bus, mahasiswa membentuk model untuk banyaknya

kendaraan yaitu pertidaksamaan linear dua variabel 70+ yx dan

membentuk model luas lahan yaitu pertidaksamaan linear dua variabel

1200186 + yx , mahasiswa menuliskan kedua pertidaksamaan

tersebut dalam satu sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Dari

hasil penyelesaian yang diberikan oleh mahasiswa, disimpulkan

mahasiswa mampu memisalkan objek ke dalam variabel dengan tepat,

mahasiswa mampu membentuk dua pertidaksamaan dengan tepat

sesuai dengan masalah yang diberikan. Pada model yang diberikan,

mahasiswa dapat menentukan syarat dari model tersebut dengan tepat


216


Pemanfaatan hasil konstruksi mahasiswa salah satunya terjadi saat

peneliti memancing mahasiswa dalam kelompok diskusi untuk

memunculkan kata “banyak” atau “jumlah” pada saat membuat

pemisalan objek ke variabel. Berikut cuplikan transkipnya.

Peneliti : Kalian udah selesai?

Mahasiswa : Ini mba (sambil menujukkan model yang sudah

dibuat)

Peneliti : Mana mba lihat dulu.

Mahasiswa : Ia mba

Peneliti : Na coba bahasakan kembali model yang ini

70+ yx dengan variabel yang kamu misalkan ini.

Berarti sedan. . .

Mahasiswa : Sedan tambah bus kurang dari sama dengan 70

Peneliti : Ia. Na sedan bisa di tambah dengan bus nggak?

Mahasiswa : Ooo ia nggak mba

Peneliti : Na yang bisa di jumlahkan apa coba?

Mahasiswa : Banyaknya

Peneliti : Ia betul. Na berarti apa yang kamu misalkan dengan

x dan y itu apa

Mahasiswa : Banyak sedan dan banyak bus

Peneliti : Ia

Dalam proses tersebut, disimpulkan bahwa peneliti menggunakan salah

satu model yang dihasilkan oleh mahasiswa yaitu 70+ yx untuk

membimbing mahasiswa dalam kelompok diskusi agar dapat membuat

pemisalan dengan tepat. Pada saat memisalkan objek ke dalam variabel

mahasiswa kurang menekankan pada banyaknya objek. Mahasiswa

memisalkan x = sedan dan y = bus. Dengan topangan yang diberikan

oleh peneliti, mahasiswa dapat menimpulkan pemisalan yang tepat

yaitu x = banyak sedan dan y = banyak bus. Proses di atas dapat berhasil

karena peneliti memberikan topangan dengan menggunakan salah satu


217

model yang merupakan hasil dari konstruksi pengetahuan mahasiswa

itu sendiri untuk menyelesaikan masalah kedua yaitu bentuk

pertidaksamaan linear dua variabel 70+ yx . Dalam proses tersebut,

nampak dari pertidaksaman 70+ yx , peneliti meminta mahasiswa

membahasakan kembali ke dalam kalimat sehari – hari sesuai dengan

variabel yang dimisalkan kemudian menanyakan apakah sedan dapat

dijumlahkan dengan bus atau tidak, jika tidak apa yang dapat

dijumlahkan. Melalui topangan-topangan yang diberikan oleh peneliti

tersebut, mahasiswa dapat menyimpulkan pemisalan yang tepat yaitu

yaitu x = banyak sedan dan y = banyak bus.


menggunakan model yang sudah yang sudah dihasilkan oleh

mahasiswa yang mempresentasikan hasil diskusinya di depan kelas

untuk memberikan penekanan kepada mahasiswa.

Peneliti : Setelah mahasiswa menuliskan hasil diskusinya di

depan kelas

Jelaskan ke teman-temanmu

Mahasiswa : Harus ya mba

Peneliti : Ia harus. Ayo jelaskan

Mahasiswa : Oke deh. Baik teman-teman saya akan menjelaskan

tentang hasil diskusi kami ya. Pertama dimisalkan x

= banyaknya sedan dan y = banyaknya bus.

Kemudian disitu dijelaskan banyaknya kendaraan

yang akan diparkir berarti ketika x + y itu paling

banyak 70. Berarti yx + tidak boleh lebih dari 70

atau 70+ yx . Lalu lahan tersebut luasnya 1200

m2. Karena lahan parkir untuk satu sedan 6 m2 jadi 6

dikali x ditambah lahan parkir busnya 18 m2 jadi

model matematikanya 1200186 + yx . Jadi model

dari permasalahannya itu ada dua yaitu 70+ yx

dan 1200186 + yx


218

Peneliti : Jadi kenapa tadi modelnya 70+ yx ? (peneliti

menanyakan ke kelas)

Mahasiswa : Karena banyak kendaraan yang diparkir sedan atau

bus itu paling sedikit 70 buah jadi modelnya

70+ yx

Peneliti : Ia ya. Na kenapa harus

Mahasiswa : Kan paling sedikit mba jadi jumlah kendaraannya itu

kurang dari sama dengan 70 buah

Peneliti : Ia betul ya paling sedikit disini artinya bahwa tidak

boleh lebih atau kurang dari sama dengan jadi

tandanya ini . Terus yang model ini

1200186 + yx bagaimana?

Mahasiswa : Karena lahan parkir untuk sedan kan 6 m2 dan

busnya 18 m2 1200186 + yx

Peneliti : Tandanya kurang dari sama dengan kenapa?

Mahasiswa : Karena luas lahannya 1200 jadi jumlah lahan parkir

yang digunakan itu maksimalnya 1200 nggak boleh

lebih

Peneliti : Ia ya. Karena di soal kan dia menyataan bahwa lahan

tersebut luasnya 1200 m2 jadi maksimal lahan yang

disediakan untuk parkir itu 1200 jadi boleh pakai

semua boleh juga kurang

Mahasiswa : Ia mba.

Dari proses yang terjadi di atas, peneliti meminta salah satu kelompok

untuk mempresentasikan hasil diskusinya dalam membentuk model

70+ yx dan 1200186 + yx di depan kelas. Menggunakan model

yang dihasilkan oleh kelompok tersebut, peneliti menekankan kembali

kepada mahasiswa dalam kelas alasan model itu terbentuk dengan

memberikan pertanyaan-pertanyaan. Dari pertanyaan yang diberikan

terlihat mahasiswa dapat memberikan tanggapannya dengan baik.

Proses tersebut berhasil karena pertanyaan-pertanyaan yang diberikan

peneliti berkaitan dengan model yang dibentuk dari hasil konstruksi

mahasiswa itu sendiri sehingga mahasiswa dapaat memberikan

tanggapannya.


219


membawa mahasiswa untuk mengenalkan sistem pertidaksamaan linear

dua variabel. Berikut cuplikan transkipnya.

Peneliti : Sekarang coba kalian perhatikan model

pertidaksamaan yang sudah kalian peroleh ini. Kita

sebut dengan apa ini? Kan tadi di awal ada satu

pertidaksamaan, kalau ini kan ada dua

pertidaksamaan. Jadi kita bisa sebut dengan apa?

Mahasiswa : Sistem pertidaksamaan mba

Peneliti : Sistem pertidaksamaan apa?

Mahasiswa : Sistem pertidaksamaan linear dua variabel mba

Peneliti : Nah kenapa disebut sebagai sistem pertidaksamaan

linear dua variabel?

Mahasiswa : Karena terdiri dua pertidaksamaan mba

Peneliti : Ia kalau dari model yang kit apunya ada dua

pertidaksamaan. Kalau secara umumnya Apa karena

hanya dua pertidaksamaan saja?

Mahasiswa : Nggak mba. Bisa lebih dari dua juga

Peneliti : Kalau lima persamaan boleh?

Mahasiswa : Boleh mba

Peneliti : Kalau satu?


Peneliti : Kalau begitu kenapa disebut sebagai sistem

pertidaksamaan?

Mahasiswa : Karena terdiri lebih dari satu pertidaksamaan

Peneliti : Oke. Jadi dua pertidaksamaan ini kita katakan

dengan sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

Dikatakan sebuah sistem karena terdiri lebih dari

satu pertidaksamaan linear dua variabel dimana

variabel-variabelnya saling berhubungan.

Terus, cara penulisan sistem yang benar bagaimana?

Harus tambah tanda apa disini?

Mahasiswa : Tanda kurung kurawal mba

Dari proses yang terjadi di atas, peneliti menggunakan model yang yang

sudah diperoleh mahasiswa 1200186 + yx dan 70+ yx untuk

mengenalkan kepada mahasiswa bahwa model tersebut merupakan

suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Dari penyelesaian

mahasiswa, mahasiswa memperoleh model berupa dua pertidaksamaan


220

linear dua variabel. Peneliti memberikan topangan dengan

menggunakan model yang yang sudah diperoleh mahasiswa

1200186 + yx dan 70+ yx sehingga mahasiswa dapat

menyimpulkan bahwa model tersebut adalah bentuk dari sistem

pertidaksamaan linear dua variabel dan memberikan penulisan yang

tepat sebagai suatu sistem dengan memberikan satu tanda kurung

kurawal buka di depan yang menghubungkan kedua model

pertidaksamaan linear dua variabel tersebut. Proses tersebut dapat

berhasil karena peneliti memberikan topangan dengan menggunakan

model yang sudah diperoleh mahasiswa yang merupakan hasil dari

konstruksi pengetahuan mahasiswa itu sendiri untuk menyelesaikan

masalah yaitu dua pertidaksamaan linear dua variabel 1200186 + yx

dan 70+ yx . Dari model tersebut peneliti menanyakan apa dua

pertidaksamaan tersbeut dapat disebut dengan apa dan menanyakan

mengapa disebut sebagai sistem pertidaksamaan linear dua variabel,

sehingga mahasiswa dapat menyimpulkan bahwa model tersebut adalah

bentuk dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel dan memberikan

penulisan yang tepat sebagai suatu sistem dengan memberikan satu

tanda kurung kurawal buka di depan yang menghubungkan kedua

model pertidaksamaan linear dua variabel tersebut.

4) Interaktivitas

Interaktivitas yang terjadi pada aktivitas kedua ini terdapat



221

diskusi yang terjadi saat peneliti memancing mahasiswa untuk dapat

membuat pemisalan dengan tepat dan intreaksi antara peneliti dan

mahasiswa dalam kelas saat peneliti mengenalkan mahasiswa tentang

pertidaksamaan linear dua variabel dimana kedua dialognya sudah

dipaparkan pada bagian sebelumnya yaitu pada karakteristik 3

(pemanfaatan hasil konstruksi siswa).

Berikut interaksi antara mahasiswa dengan mahasiswa dan mahasiswa

dengan peneliti dalam kelas saat mahasiswa memberikan pendapat

yang berbeda untuk model pada masalah yang diberikan. Berikut

cuplikan interaksinya.

Mahasiswa 1 : Disitukan terdapat di soal itu bilang kalau banyak

sedan atau bus jadi disitu bisa salah. . . .disitukan

bisa apa e bisa dalam lahan parkir itu kan bisa bus

aja atau bisa sedan aja. Terus kenapa disitu hanya

ditulis 70+ yx

Peneliti : Ada yang mau menanggapi?

Mahasiswa 2 : Sebenarnya tadi kan da kata atau. Kata atau itu kan

bisa salah satunya bisa jadi keduanya. Jadikan ya

usah 70+ yx sama aja bisa.

Peneliti : Maksudnya?

Mahasiswa 2 : Maksudnya tadikan ada kata atau. Banyak sedan

atau bus. Na atau itu kan bisa salah satu bisa

keduanya. Terus ya udah misalnya kita buat

keduanya kayak mbanya itu 70+ yx itu

menurutku udah benar.

Peneliti : Bagaiamana menurut kamu? (peneliti bertanya

kepada maahasiswa 1)

Mahasiswa 1 : Oke

Peneliti : Kalau saya buat model ini saja (menunjuk pada

model 70+ yx ) atau saya buat modelnya seperti

ini (menunjuk pada model 70x dan 70y )

menurut yang lainnya bagaimana?

Mahasiswa 3 : Angkat tangan

Peneliti : Kamu mau tanya?

Mahasiswa 3 : Mau kasih masukan mba


222

Peneliti : Untuk model yang mana?

Mahasiswa 3 : Keduanya mba.

Peneliti : Ia gimana?

Mahasiswa 3 : Disitu kan tidak ada syarat x dan y kurang dari

atau lebih dari 0. Jadi kalau misal x nya negatif bisa

nggak?. . .kalau x dan y negatif bisa nggak?

(mahasiswa lain dalam kelas menjawab nggak

bisa, keduaduanya harus lebih dari sama dengan

nol dengan bersamaan tetapi tidak secara

langsung menjawab ke kelompok yang bertanya)

Mahasiswa 4 : Jadi maksudnya kita itu, lebih baik dikasih

tambahan syarat. Syaratnya itu x dan y nya itu

lebih dari sama dengan 0. Jadi kan ketika x dan y

nya lebih dari sama dengan 0, kelompok yang sana

itu (menunjuk pada kelompok yang memberikan

model 70x dan 70y ) tidak perlu menuliskan

x kurang dari 7 dan y kurang dari 70 karena sudah

ada syarat x dan y nya lebih dari sama dengan 0.

Itu kalau dari kelompok kami.

Mahasiswa 5 : Mungkin. .ee melengkapi aja pendapat dari

kelompok sebelah sana dan kelompok sebelah sini

model itu tidak dijadikan syarat (menunjuk pada

model 70x dan 70y ), syaratnya x dan y lebih

dari sama dengan 0. Kan nanti kalau misal x nya

hanya lebih dari atau sama dengan 0, misal aku

ngambil x = 71 ya. . .

Mahasiswa 6 : Nggak boleh. Kan itu kan udah ada syaratnya

70+ yx jadi kalau kaka ambil x = 70 ya nggak

boleh.

Mahasiswa 5 : Ya makanya

Mahasiswa 6 : Tapi tu sebenarnya ini aja udah cukup karenakan

udah ada pertidaksamaannya ini (menunjuk pada

model 70+ yx )

Kelas ribut

Peneliti : Na sekarang kita kembali ke soalnya banyak

kendaraan yang dpaat di parkir di suatu lahan

paling banyak sedan atau bus adalah 70 buah.

Kalau dilihat dari sini, dia membuat modelnya

menjadi 70+ yx kenapa tandanya karena

disini ada kalimat pa. .

Mahasiswa : Paling banyak

Peneliti : Terus ada kata atau. Sekarang saya mau tanya

kalau yang masuk disitu bus semua boleh atau

nggak?



223

Peneliti : Tapi dengan catatan kalau busnya masuk 70

sedannya harus?

Mahasiswa : Nol

Peneliti : Na kalau sedannya yang masuk semua busnya nol

boleh atau nggak?

Mahasiswa : Boleh

Peneliti : Na apakah model yang ini ( 70+ yx ) belum

menjawab?

Mahasiswa 1 : Sudah

Peneliti : Ini kan sama aja kan ketika saya ambil x=0 berati

saya peroleh y nya itu?

Mahasiswa : 70

Peneliti : Kalau saya ambil y=0 maka peroleh x=70. Jadi

dengan model ini saja sudah cukup. Sudah

menjawab (menunjuk pada model 70+ yx ) .

jadi model yang kita peroleh dari masalanya ini

adalah?

Mahasiswa : 70+ yx dan 1200186 + yx

Dari cuplikan interaksi di atas, nampak pada interaksi terakhir peneliti

meminta mahasiswa untuk menyimpulkan model dari masalah yang

diberikan dan mahasiswa menjawab modelnya adalah 70+ yx dan

1200186 + yx . Oleh karena itu dari interaksi di atas dapat

disimpulkan bahwa mahasiswa dapat menyimpulkan bahwa model dari

kalimat “banyak kendaraan yang parkir di suatu lahan paling banyak

sedan atau bus adalah 70 buah” adalah 70+ yx dan secara

keseluruhan model yang diperoleh dari maslaah yang diberikan adalah

70+ yx dan 1200186 + yx .


antara peneliti dengan mahasiswa dalam kelompok diskusi, peneliti

dengan mahasiswa dalam kelas, dan mahasiswa dan mahasiswa dalam


224

kelas, Dari interaksi-interaksi tersebut, mahasiswa dapat

mengkonstruksi pengetahuannya.

5) Keterkaitan

Pada aktivitas kedua masalah yang diberikan berkaitan dengan masalah

pada aktivitas dua. Pada aktivitas dua masalah yang diberikan

memgarahkan mahasiswa untuk menemukan konsep sistem

pertidaksamaan linear dua variabel dimana terdiri dari dua

pertidaksamaan linear dua variabel yang saling berhubungan. Pada

aktivitas dua, mahasiswa menggunakan konsep pertidaksamaan linear

dua variabel yang sudah ditemukan pada aktivitas pertama untuk

menyelesaikan masalah pada aktivitas dua.

c. Aktivitas ketiga



“Ibu Santi akan membuat dua jenis kue yaitu kue donat dan kue lapis untuk

dijual. Jumlah kedua kue tersebut paling sedikit 25 buah”, diperoleh model

matematikanya yaitu:

25+ yx

Dengan syarat:

Zyx

y

x

,

0

0




225

Pada aktivitas ketiga, kelompok mahasiswa menggunakan kelompok

yang sudah dibentuk dan berjalan pada aktivitas pertama dan aktivitas

kedua. Pada aktivitas ketiga, peneliti menggunakan konteks yang sama

dengan yang digunakan untuk aktivitas pertama masalah 1 dan model

yang dihasilkan dari masalah tersebut yaitu 25+ yx dengan syarat

0,0 yx dan Zyx , . Peneliti menampilkan kembali konteks

tersebut dan menampilkan model yang diperoleh dari konteks tersebut

yaitu 25+ yx dengan syarat 0,0 yx dan Zyx , pada slide

power point. Dari masalah tersebut, peneliti meminta mahasiswa secara

berkelompok untuk menggambar daerah penyelesaian dari model

tersebut. Setelah masalah ditampilkan, peneliti membacakan kembali

masalah tersebut kemudian menerangkan apa yang harus dikerjakan

oleh mahasiswa dalam kelompok yaitu menentukan daerah

penyelesaiannya sesuai dengan konteks yang diberikan. Dari daerah

penyelesaian yang dihasilkan mahasiswa, peneliti mengajak mahasiswa

untuk menyimpulkan berapa banyak kue donat dan berapa banyak kue

lapis yang dibuat oleh ibu Santi.


Pada aktivitas ketiga ini mahasiswa diminta untuk menggambar daerah

penyelesaian dari model yang dihasilkan di aktivitas satu masalah satu

yaitu 25+ yx . Berikut ini merupakan beberapa penyelesaian yang

dilakukan oleh mahasiswa. Pemilihan lembar jawab mahasiswa

berdasarkan pada pengelompokkan jawaban-jawaban yang sejenis.


226

Gambar 4. 18. Hasil pekerjaan kelompok mahasiswa 1


daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel 25+ yx

, mahasiswa mencari titik potong grafik terhadap sumbu x dan terhadap

sumbu y terlebih dahulu sehingga diperoleh dua pasang titik yaitu (0,25)

dan (25,0). Mahasiswa menarik garis yang menguhubungkan titik

(0,25) dan (25,0) pada diagram Cartesius. Setelah itu mahasiswa

menentukan daerah penyelesaiannya yaitu daerah yang berada di kanan

garis 25=+ yx karena pada model menggunakan tanda dan

memplot titik – titik pada pasangan x dan y bilangan bulat yang berada

pada kanan garis 25=+ yx dan sepanjang garis 25=+ yx . Dari

penyelesaian di atas, disimpulkan bahwa mahasiswa dapat


227

menggambar grafik dari 25=+ yx dengan menentukan titik potong

grafik dengan sumbu x dan sumbu y, mahasiswa dapat menentukan

daerah penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut, dan mahasiswa

dapat memplotkan titik – titik yang merupakan titik penyelesaian yang

ada di dalam daerah penyelesaian. Mahasiswa juga menyimpulkan

karena Zyx , maka daerah penyelesaianya berbentuk titik-titik.

Gambar 4. 19. Hasil pekerjaan kelompok mahasiswa 2


daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel 25+ yx

mahasiswa mencari titik potong grafik terhadap sumbu x dan terhadap

sumbu y terlebih dahulu sehingga diperoleh dua pasang titik yaitu (0,25)

dan (25,0). Mahasiswa menarik garis yang menguhubungkan titik

(0,25) dan (25,0) pada diagram Cartesius. Setelah itu mahasiswa

menentukan daerah penyelesaiannya dengan cara uji titik. Mahasiswa

mengambil titik (0,0) kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan


228

25+ yx . Karena 250 maka titik (0,0) bukan daerah

penyelesaiaannya. Mahasiswa mengarsir daerah yang berada di kanan

garis 25=+ yx dengan memperhatikan syarat 0, yx . Dari

penyelesaian di atas, disimpulkan bahwa mahasiswa dapat

menggambar grafik dari 25=+ yx dengan menentukan titik potong

grafik dengan sumbu x dan sumbu y, mahasiswa dapat menentukan

daerah penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut, tetapi mahasiswa

belum dapat memplotkan titik – titik yang merupakan titik penyelesaian

yang ada di dalam daerah penyelesaian.



memancing mahasiswa untuk menentukan titik penyelesaian yang tepat

pada daerah penyelesaiannya dengan memperhatikan konteks atau

syarat dari masalah yang diberikan dalam kelas dan menyimpulkan

banyaknya kue donat dan kue lapis yang dibuat ibu Santi berdasarkan

daerah penyelesaian yang sudah dibuat. Berikut cuplikan interaksinya.

Peneliti : Dari daerah penyelesaian yang kalian gambar tadi,

ada yang daerahnya berupa arsiran dan ada yang

berupa titik-titik saja begitu. Na sekarang saya mau

tanya yang daerah penyelesaiannya di arsir itu

artinya titik penyelesaiannya bagaimana?

Mahasiswa : Semua titik di daerah itu mba

Peneliti : Oke. Na coba kembali ke konteksnya ya. .masih

ingat konteks yang tentang kue tadi kan?

Mahasiswa : Ia mba

Peneliti : Apa syarat dari konteksnya itu?

Mahasiswa : Syaratnya itu

Peneliti : Terus?

Mahasiswa : Banyak kue tu bulat


229

Peneliti : Ia betul ya. na sekarang saya tanya kalau yang arsir

tadi kira-kira

Mahasiswa : 0,0 yx

Peneliti : Itu saja?

Mahasiswa : Zyx ,

Peneliti : Ia betul. Kalau banyaknya kue ½ boleh?

Mahasiswa : Nggak

Peneliti : Ia jadi syaratnya apa aja jadinya?

Mahasiswa : 0,0 yx dan Zyx ,

Mahasiswa : Oke ya na kalau Zyx , apakah semua titik di

daerah penyelesaian ini merupakan titik

penyelesaiannya?

Peneliti : Nggak

Mahasiswa : Terus yang memenuhi?

Peneliti : Yang bilangan bulat saja

Mahasiswa : Berarti himpunan penyelesaian kita apa disini?

Himpunan titik-titik. . .

Peneliti : Dimana. . Zyx ,

Mahasiswa : Yang ada pada. . .

Peneliti : Pada. . .daerah penyelesaiannya

Mahasiswa : Jadi apa tadi himpunan penyelesaiannya?

mahasiswa : Himpunan titik yang ada pada daerah penyelesaian

dimana Zyx ,

Peneliti : Ia betul ya. Kalau begitu gambar daerahnya

penyelesaiannya bagaimana?

Mahasiswa : Titik-titik saja mba

Peneliti : Titik yang bagaimana? Suka ya kalian omng

sepotong-sepotong

Mahasiswa : Pasangan titik Zyx , saja

Peneliti : Ia betul ya. Jadi daerah penyelesaiannya nanti kalau

digambar jadinya seperti ini (menunjukkan gambar

daeah penyelesaian dari model yang diberikan

menggunakan aplikasi geogebra).

Na jadi berapa banyak kue donat dan banyak kue

lapis yang dibuat ibu Santi kalau dilihat dari daerah

penyelesaiannya ini?

Mahasiswa : Banyak kak

Peneliti : Maksudnya banyak tu bagaimana?

Mahasiswa : Banyak kemungkinan kak. Karena titik

penyelesaiananya itu banyak

Peneliti : Ia jadi banyak kue donat dan kue lapis yang di buat

bu Santi harus memenuhi pertidaksamaan 25+ yx

dengan syarat 0,0 yx dan Zyx , . Jadi kalau


230

kita lihat di daerah penyelesaiannya ini banyak

sekali kemungkinannya.

Dari cuplikan proses di atas, nampak peneliti menggunakan gambar

daerah penyelesaian mahasiswa pada gambar 4.19 untuk

mengkontruksi pengetahuan mahasiswa agar dapat menggambar daerah

penyelesaian dari 25+ yx yang tepat jika 0,0 yx dan Zyx ,

atau sesuai dengan konteks yang diberikan dan membawa mahasiswa

untuk menyimpulkan banyaknya kue donat dan banyaknya kue lapis

yang dibuat oleh ibu Santi. Disini mahasiswa tidak menekankan

Zyx , sehingga daerah penyelesaiannya berupa arsiran dimana

semua titik-titik pada daerah tersebut merupakan titik penyelesaiannya.

Dengan adanya topangan dari peneliti, mahasiswa dapat menggambar

daerah penyelesaian dengan benar yang sesuai dengan model dan syarat

dari model tersebut yaitu Zyx , dan dapat menyimpulkan banyaknya

kue donat dan banyaknya kue lapis yang dibuat oleh bu Santi. Proses

tersebut berhasil karena peneliti menggunakan gambar daerah

penyelesaian mahasiswa yang merupakan hasil konstruksi mahasiswa

sebelumnya yang ada pada gambar 4.19. Dari daerah penyelesaiannya

tersebut, peneliti menanyakan bagaimana titik penyelesaiannya, dan

mengingatkan mahasiswa dengan konteks yang diberikan dan

menanyakan syarat dari konteks tersebut sehingga mahasiswa dapat

menggambar daerah penyelesaian dengan benar yang sesuai dengan

model dan syarat dari model tersebut dan dapat menyimpulkan


231

banyaknya kue donat dan banyaknya kue lapis yang dibuat oleh bu

Santi.

Disini, peneliti juga memberikan penekanan kepada mahasiswa untuk

memperhatikan terlebih dahulu syarat x dan y nya sebelum

menggambar daerah penyelesaiannya agar dapat menggambar dengan

tepat sesuai konteks masalah yang diberikan. Peneliti dan mahasiswa

membuat kesepakatan bahwa untuk kedepannya daerah yang diarsir

merupakan daerah bukan penyelesaian. Setelah itu peneliti mengajak

mahasiswa untuk menyimpulkan langkah-langkah yang dilakukan

dalam menggambar daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear

dua variabel. Sebagian besar mahasiswa tahu langkah dalam

menggambar daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua

variabel namun masih keliru saat menentukan titik penyelesaian pada

daerah penyelesaian yang sudah di tentukan. Peneliti menekankan

bahwa perlu dilakukan uji titik untuk mengetahui daerah yang

merupakan penyelesaian dan jangan lupa untuk memperhatikan syarat

dari modelnya.

4) Interaktivitas


interaktivitas antara peneliti dengan mahasiswa dalam kelas ketika

peneliti memancing mahasiswa untuk menentukan daerah

penyelesaiannya yang tepat dimana dialognya sudah dipaparkan pada

bagian sebelumnya yaitu pada karakteristik 3 (pemanfaatan hasil


232

konstruksi siswa). Berikut cuplikan interaksi peneliti dan mahasiswa

dalam kelompok diskusi.

Peneliti : Ini (menunjuk pada 25+ yx ) kamu kasih nama

buat garis lurus yang ini ya?

Mahasiswa : Ia

Peneliti : Yakin?

Mahasiswa : Ia. E maksudnya dengan daerahnya yang ini

(menunjukan daerah penyelesaiannya)

Peneliti : Na garis yang ini kalau diberi nama yang benarnya

garis dari apa? pertidaksamaan atau persamaan?


Mahasiswa : Yang mana? Yang ini ya. O garis persamaannya

mba.

Peneliti : Ia. Tadi gambarnya gimana sampai dapat ini?

Mahasiswa : Cari titik potongnya dengan sumbu x dan sumbu y

Peneliti : Pertidaksamaannya?

Mahasiswa : Nggak diubah dulu ke persamaan tadi

Peneliti : Ia berarti garis ini garis dari?

Mahasiswa : Persamaannya mba

Dari cuplikan interaksi di atas, nampak bahwa peneliti meminta

mahasiswa untuk memberikan penamaan yang benar pada garis lurus

yang dibuat pada diagram Cartesius dan mahasiswa memberikan

jawaban yaitu garis dari persamaan 25=+ yx . Oleh karena itu dari


menyimpulkan bahwa garis lurus yang sudah dibuat merupakan garis

lurus dari persamaan 25=+ yx .


antara peneliti dengan mahasiswa dalam kelompok diskusi, dan

mahasiswa dan mahasiswa dalam kelas. Dari interaksi-interaksi

tersebut, mahasiswa dapat mengkonstruksi pengetahuannya.


233

5) Keterkaitan

Keterkaitan pada aktivitas ketiga ini terlihat pada masalah yang

diberikan. Masalah yang diberikan berupa model yang dihasilkan dari

masalah yang diberikan pada aktivitas pertama masalah pertama dan

meminta mahasiswa untuk menggambar daerah penyelesaiannya.

Masalah tersebut diberikan untuk mengarahkan mahasiswa untuk

menemukan konsep menggambar daerah penyelesaian dari

pertidaksamaan linear dua variabel dengan syarat 0,0 yx dan

Zyx , dan mengarahkan mahasiswa untuk menyimpulkan banyak

kue donat dan banyak kue lapis yang dibuat ibu Santi pada masalah

pertama aktivitas pertama.


pembelajaran pertemuan pertama kelas penelitian


pertemuan pertama kelas penelitian


1 Aktivitas

pertama




4. Interaktivitas

5. Keterkaitan

2 Aktivitas

kedua




4. Interaktivitas

5. Keterkaitan

3 Aktivitas

ketiga




4. Interaktivitas

5. Keterkaitan


234

2. Pembelajaran kedua kelas penelitian

a. Aktivitas pertama


Sebuah butik memiliki 21 m kain satin dan 12 m kain brokat dan 20 m kain

tenun. Dengan mengkombinasikan bahan yang ada akan dibuat dua jenis

baju pesta yaitu baju pesta jenis I dan baju pesta jenis II. Baju pesta jenis I

memerlukan 2 m kain satin, 1 m kain brokat, dan 1 m kain tenun. Baju

pesta jenis II memerlukan 3 m kain satin, 2 meter kain brokat dan 4 m kain

tenun. Jika keuntungan yang diperoleh dari penjualan satu buah baju pesta

I Rp 50.000 dan satu buah baju pesta II Rp 85.000. Buatlah model dari

permasalahan tersebut jika butik tersebut ingin memaksimalkan

keuntungan yang diperoleh!


Pada aktivitas pertama di pembelajaran hari kedua, peneliti membagi

mahasiswa ke dalam 12 kelompok secara acak dengan berhitung satu

persatu dari 1 sampai 12 secara berulang. Masing-masing kelompok

terdiri dari 4 orang mahasiswa. Pada aktivitas pertama diberikan sebuah

masalah yang berkaitan dengan program linear dua variabel dan

mahasiswa diminta untuk membuat model dari permasalahan tersebut.

Model yang dihasilkan berupa bentuk sistem pertidaksamaan linear dua

variabel untuk kendalanya dan bentuk persamaan linear dua variabel

untul fungsi tujuannya. Dengan pengalaman mahasiswa dalam

menyelesaikan masalah pada pertemuan pertama, dapat membantu


235

mahasiswa dalam membuat model matematikanya berdasarkan

langkah-langkah memodelkan yang sudah dipelajari pada pertemuan

sebelumnya. Dari model yang dihasilkan, peneliti akan membimbing

mahasiswa untuk mengklasifikasi dan menyimpulkan tentang kendala

dan fungsi tujuan dari model program linear. Masalah diberikan dalam

bentuk lembar kerja mahasiswa. Peneliti membagikan lembar kerja

kepada masing-masing kelompok. Setelah lembar kerja mahasiswa

dibagikan, peneliti mengajak mahasiswa secara bersama-sama untuk

membaca masalah yang diberikan dan menerangkan apa yang harus

dikerjakan oleh mahasiswa dalam kelompok yaitu membuat model

berdasarkan masalah yang diberikan dan memberikan penekanan

kepada mahasiswa untuk lebih teliti dalam membuat pemisalan.

Masalah yang diberikan merupakan masalah yang berkaitan dengan

program linear dua variabel. Dari masalah tersebut, peneliti meminta



sehari-hari tersebut ke dalam sebuah model.


Pada karakteristik yang kedua ini, dari model yang sudah diperoleh

mahasiswa, peneliti membimbing mahasiswa untuk mengenalkan

kepada mahasiswa tentang fungsi objektif dan kendala dari model

program linear.


236


aktivitas I



membuat tabel dari informasi yang diketahui dari masalah yang

diberikan, mahasiswa memisalkan x sebagai banyaknya baju pesta jenis

I dan y sebagai banyaknya baju pesta jenis II, kemudian mahasiswa

membentuk tiga pertidaksamaan linear dua variabel dan syaratnya yaitu

Zyx

y

x

yx

yx

yx

+

+

+

,

0

0

204

122

2132

. Kemudian mahasiswa membentuk sebuah fungsi untuk

menghitung keuntungan maksimalnya yaitu

yxkeuntungan 000.85000.50 += . Dari hasil penyelesaian yang

diberikan oleh mahasiswa, mahasiswa mampu memisalkan objek ke

dalam variabel dengan tepat, mahasiswa mampu membentuk model


237

matematika dengan menyertakan syarat dari model tersebut, dan

mahasiswa mampu membentuk sebuah fungsi untuk menghitung

keuntungan maksimal dengan tepat.


aktivitas I



membuat tabel dari informasi yang diketahui dari masalah yang

diberikan, mahasiswa memisalkan x sebagai jumlah baju pesta jenis I

dan y sebagai jumlah baju pesta jenis II, kemudian mahasiswa

membentuk tiga pertidaksamaan linear dua variabel yaitu

204

122

2132

+

+

+

yx

yx

yx

. Kemudian mahasiswa membentuk sebuah fungsi untuk menghitung

keuntungan maksimalnya yaitu yxkeuntungan 000.85000.50 += . Dari

hasil penyelesaian yang diberikan oleh mahasiswa, mahasiswa mampu

memisalkan objek ke dalam variabel dengan tepat, mahasiswa mampu

membentuk tiga pertidaksamaan linear dua variabel dnegan tepat, dan


238

mahasiswa mampu membentuk sebuah fungsi untuk menghitung

keuntungan maksimal dengan tepat.

Dari model yang diperoleh mahasiswa pada aktivitas ini, peneliti

membimbing mahasiswa untuk mengidentifikasi mana yang

merupakan kendala dan mana yang merupakan fungsi tujuan dan

meminta mahasiswa menjelaskan mengapa disebut sebagai kendala dan

mengapa disebut sebagai fungsi tujuan. Proses tersebut di jelaskan pada

karakteristik selanjutnya yaitu pemanfaatan hasil konstruksi siswa.



memancing mahasiswa untuk menentukan objek yang tepat untuk

dimisalkan. Berikut proses yang terjadi saat peneliti membimbing

dalam kelompok diskusi.

Peneliti : Coba bahasakan model ini (merujuk pada model

000.502 =++ zyx )

Mahasiswa : Dua kali panjang kain satin ditambah panjang kain

brokat ditambah panjang kain tenun sama dengan

50.000

Peneliti : Ini yang sisi kiri sama sisi kananya udah nyatain

hal yang sama?

Mahasiswa : Nggak

Peneliti : Kalau gitu modelmu ini tepat nggak?

Mahasiswa : Hmhm bingung mba. Soalnya kan yang diketahui

itu panjang kain sama keuntungannya

Peneliti : Na sekarang keuntungannya diperoleh darimana?

Mahasiswa : Penjualan kain

Peneliti : Penjualan kain atau baju ini?

Mahasiswa : Penjualan baju

Peneliti : Penjulan baju apa? ngomong yang lengkap

sedikit. Penjualan baju. .

Mahasiswa : Penjualan baju pesta jenis 1 dan penjualan baju

pesta jenis 2


239

Peneliti : Na begitukan jelas. Na berarti yang kamu

misalkan itu kainnya atau bajunya?

Mahasiswa : Banyak Bajunya

Peneliti : Ya harus dilihat apa yang mau ditanya. Na itu

yang kamu buat pemisalannya. Kan kain itu

digunakan untuk membuat kedua jenis baju itu.

Mahasiswa : Oke-oke mba.

Peneliti : Berarti ada berapa variabel?

Mahasiswa : Dua variabel

Peneliti : Apa aja?

Mahasiswa : x = banyak baju pesta jenis 1, y = banyak baju

pesta jenis 2

Peneliti : Ya coba dibuat modelnya sesuai dengan

pemisalan dan tabel yang sudah kalian buat

Dari proses di atas, nampak bahwa peneliti menggunakan model yang

telah dihasilkan oleh mahasiswa yaitu 000.502 =++ zyx untuk

membimbing mahasiswa membuat pemisalan yang tepat yaitu x =

banyak baju pesta jenis 1, y = banyak baju pesta jenis 2. Disini

mahasiswa tidak membaca dengan teliti objek apa yang ditanya dalam

soal dan mahasiswa lebih mengutamakan objek yang sudah diketahui

untuk dimisalkan.

Dalam proses tersebut peneliti berhasil membawa mahasiswa

menyimpulkan pemisalan yang tepat yaitu x = banyak baju pesta jenis

1, y = banyak baju pesta jenis 2 karena peneliti menggunakan model

yang telah dibuat oleh mahasiswa yaitu 000.502 =++ zyx dimana

merupakan hasil konstruksi dari mahasiswa itu sendiri. Dari proses

tersebut, peneliti memberikan topangan yaitu dengan meminta

mahasiswa membahasakan kembali salah satu model yang sudah dibuat

agar mahasiswa menyadari bahwa model yang telah dibuat tersebut

tidak bermakna, kemudian peneliti menanyakan apa yang diminta


240

dalam soal tersebut, keuntungan maksimal diperoleh dari mana,

kemudian menanyakan kalau begitu apa yang dimisalkan. Kemudian

peneliti meminta mahasiswa untuk coba membuat model dari informasi

yang ada pada tabel yang sudah dibuat. Disini seharusnya peneliti

membimbing mahasiswa sampai mahasiswa membentuk model yang

tepat namun peneliti hanya membimbing mahasiswa sampai

membentuk pemisalan yang tepat.


membahas tentang syarat kenonnegatifan. Berikut cuplikan

interaksinya.

Peneliti : Apa bedanya kedua jawaban ini?

Mahasiswa : Ada syaratnya

Peneliti : Na dari mana syarat ini diperoleh? (merujuk pada

0x , 0y dan Zyx , ).

Mahasiswa : Karena banyak baju itu nggak mungkin negatif dan

nggak mungkin setengah. Itu kan ada Zyx , . Jadi

nggak mungkin ada banyak bajunya setengah

Peneliti : Ya betul ya na yang ini kita sebutkan dengan syarat

kenonnegatifan (merujuk pada 0x dan 0y ).

Jadi tahu kan kenapa ada syarat 0x dan 0y ?

Mahasiswa : Ya tahu

Peneliti : Ya kenapa?

Mahasiswa : Karena banyaknya baju itu tidak mungkin negatif jadi

ditulis 0x dan 0y

Dari proses di atas, peneliti menggunakan syarat yang dibuat oleh salah

satu kelompok yaitu 0x , 0y dan Zyx , untuk mengenalkan

kepada mahasiswa tentang syarat kenonnegatifan. Proses ini berhasil

karena peneliti menggunakan hasil kontruksi dari mahasiswa itu

sendiri. Dari cuplikan di atas terlihat bahwa mahasiswa sudah


241

memahami arti dari syarat kenonegatifan hal ini terlihat saat peneliti

menanyakan darimana peroleh syarat tersebut. Kemudian peneliti

menekankan kembali dengan bertanya kepada mahasiswa mengapa ada

syarat kenonnegatifan dan mahasiswa dapat menyimpulkan bahwa

syarat tersebut ada karena banyaknya baju itu tidak mungkin negatif

jadi ditulis 0x dan 0y . Disini seharusnya peneliti memberikan

jawaban penekanan yang lebih tepat yaitu karena variabel x dan y yang

dimisalkan menyatakan banyaknya baju oleh karena itu x dan y tidak

mungkin negatif jadi dapat ditulis 0x dan 0y .

Selanjutnya peneliti bersama mahasiswa mengidentifikasikan model

yang sudah dibuat oleh mahasiswa mana yang termasuk kendala dan

mana yang termasuk fungsi objektif. Berikut cuplikan interaksinya.

Peneliti : Coba perhatikan kembali masalah yang diberikan

ya. Dari masalah ini ada tidak hal yang membatasi

dalam pembuatan baju?

Mahasiswa : Nggak ada

Peneliti : Benar nggak ada?

Mahasiswa : Ada

Peneliti : Apa itu?

Mahasiswa : Persediaan kain

Peneliti : Ya berapa persediaan kainnya?

Mahasiswa : 21 m kain satin, 12 m kain brokat dan 20 m kain

tenun

Peneliti : Ini yang kita sebut dengan kendala ya? Na mana

model matematika dari kendalanya?

Mahasiswa : Yang itu

Peneliti : Yang mana?

Mahasiswa :

Yang

204

122

2132

+

+

+

yx

yx

yx

Peneliti : Ya betul. Model ini kita peroleh dari kendalanya

tadi. Pertidaksamaan yang pertama model untuk

kain satin yang digunakan untuk menhasilkan kedua


242

baju, pertidaksamaan yang kedua untuk kain brokat

dan yang ketika untuk kain tenunnya.

Na model ini kita sebut dengan kendala disini

dibedakan menjadi dua yaitu kendala utama dan

kendala nonnegatif.

Kalau model yang ini (Merunjuk pada model

204

122

2132

+

+

+

yx

yx

yx

) kendala utamanya.

Dan syarat nonnegatif ini (merujuk pada model

0x , 0y ) kendala nonnegatifnya.

Sudah jelas? Mahasiswa : Ia mba

Peneliti : Berarti ada yang tahu kenapa disebut sebagai

kendala?

Mahasiswa : Karena diperoleh dari kendala dari masalah

Peneliti : Iya. Karena fungsinya itu kita peroleh dari kendala-

kendala dan syarat yang ada di masalah.

Apa tujuan yang mau dicapai butik?

Mahasiswa : Keuntungan maksimalnya

Peneliti : Keutungan maksimal dari?

Mahasiswa : Penjualan baju pesta 1 dan baju pesta 2

Peneliti : Ia betul. Fungsi ini (merujuk pada fungsi

yxkeuntungan 000.85000.50 += ) buat cari apa?

keutungan saja?

Mahasiswa : Cari keuntungan maksimalnya

Peneliti : Ya. Na fungsi ini kita kita bisa tulis dengan

memaksimumkan yxyxf 000.85000.50),( += Ini

yang kita namakan dengan fungsi.....ada yang tahu

ini namanya fungsi apa?


Peneliti : Namanya fungsi tujuan atau fungsi objektif. Kenapa

disebut fungsi objektif? Kalau kendala tadi karena

fungsi yang diperoleh dari kendala-kendala yang ada

di soal na kalau fungsi objektif karena apa kira-kira?

Mahasiswa : Karena diperoleh dari tujuan yang mau dicapai butik

Peneliti : Ia karena fungsinya kita peroleh dari tujuan yang ada

pada masalahnya

Dari proses di atas, peneliti menggunakan model yang sudah dibuat

oleh mahasiswa untuk membantu mahasiswa mengidentifikasikan

mana yang merupakan kendala mana yang merupakan fungsi objektif.


243

Dari proses tersebut juga mahasiswa diminta untuk mengartikan

mengapa dikatakan sebagai kendala dan mengapa dikatakan sebagai

fungsi objektif.

Proses di atas berhasil karena peneliti menggunakan model yang telah

dibuat oleh mahasiswa yaitu

0

0

204

122

2132

+

+

+

y

x

yx

yx

yx

dan

yxkeuntungan 000.85000.50 += dimana merupakan hasil dari

kontruksi pengetahuan mahasiswa itu sendiri untuk untuk membimbing

mahasiswa mengidentifikasikan mana yang merupakan kendala mana

yang merupakan fungsi objektif dan membimbing mahasiswa untuk

menjelaskan alasan mengapa dikatakan sebagai kendala dan mengapa

dikatakan sebagai fungsi objektif. Dari proses di atas, peneliti

memberikan topangan dengan menanyakan hal apa yang membatasi

dalam pembuatan baju, mana model yang dihasilkan dari hal yang

membatasi tersebut, apa tujuan yang ingin dicapai oleh butik dan

topangan-topangan lanjutannya. Sehingga melalui topangan-topangan

yang diberikan, mahasiswa dapat mengidentifikasi mana yang termasuk

dalam kendala yaitu

0

0

204

122

2132

+

+

+

y

x

yx

yx

yx

dan mana yang masuk dalam fungsi

objektif yaitu memaksimumkan yxyxf 000.85000.50),( += . Selain


244

itu mahasiswa juga dapat memberikan alasan mengapa disebut sebagai

kendala yaitu karena fungsinya diperoleh dari kendala-kendala yang

ada pada masalah yang diberikan dan alasan mengapa disebut sebagai

fungsi tujuan yaitu karena fungsinya diperoleh dari tujuan yang ada

masalah.

Setelah mengidentifikasi model yang dibuat oleh mahasiswa ke dalam

kendala dan fungsi objektif, peneliti mengenalkan kepada mahasiswa

bahwa masalah yang diberikan itu adalah masalah program linear dan

model yang dihasilkan adalah model program linearnya. Terdapat dua

masalah program linear yaitu masalah memaksimumkan dan masalah

meminimumkan. Model program linear terdiri dari fungsi objektif dan

kendala. Peneliti menekankan kepada mahasiswa untuk menuliskan

elemen bilangan dari variabel yang dimisalkan dalam model program

linear yang dibuat agar tidak salah dalam menggambar daerah

penyelesaiannya dan menentukan hasil akhir yang ditanya. Peneliti

menekankan kembali kepada mahasiswa untuk hati-hati dalam

menentukan variabel untuk dimisalkan. Peneliti mengingatkan

mahasiswa bahwa objek yang dimisalkan merupakan objek yang

ditanya atau objek yang mau dicari nilai dan jika kesulitan dalam

modelnya terlebih dahulu membuat tabel dari apa yang diketahui dari

masalah yang diberikan. Kemudian mahasiswa diminta untuk lanjut ke

aktivitas dua yaitu menggambar daearah penyelesaian dari model yang


245

sudah diperoleh dari aktivitas pertama dan menggambar grafik fungsi

objektif dalam satu bidang koordinat.

4) Interaktivitas

Interaktivitas yang terjadi pada aktivitas ketiga ini diantaranya


diskusi saat peneliti memancing mahasiswa untuk membentuk

pemisalan yang tepat, dan interaksi antara peneliti dengan mahasiswa

dalam kelas yang terjadi ketika peneliti membawa mahasiswa untuk

mengidentifikasi model yang dihasilkan ke dalam kendala dan fungsi

objektif dimana dialognya sudah dipaparkan pada bagian sebelumnya

yaitu pada karakteristik 3 (pemanfaatan hasil konstruksi siswa).


kelompok diskusi. Berikut cuplikan interaksinya.

Peneliti : Tandanya persamaan?

Mahasiswa : Hm ia

Peneliti : Na coba lihat modelmu yang ini (merujuk pada model

2132 =+ yx .

Artinya?

Mahasiswa : Panjang kain satin yang digunakan untuk baju pesta

jenis 1 ditambah panjang kain satin yang digunakan

untuk banyak baju pesta 2 sama dengan 21

Peneliti : Oke kalau baju yang dibuat 1 baju pesta yang jenis 1

dan 1 baju pesta jenis 2 apakah dia menghabiskan 21

m kain?

Mahasiswa : Nggak. Kurang dari 21

Peneliti : Jadi tandanya

Mahasiswa : Kurang dari

Peneliti : Kurang dari aja? Kalau dia menghabiskan 21 m boleh

nggak?

Mahasiswa : Boleh

Peneliti : Karena?

Mahasiswa : Karena. . .kain satin yang disediakan itu 21 m

Peneliti : Jadi? Boleh pakai kurang dari 21 boleh juga


246

Mahasiswa : Semuanya

Peneliti : Ia jadi tandanya apa?

Mahasiswa : Peneliti : Ya. Koreksi lagi tanda untuk model yang lain

Dari cuplikan interaksi di atas, setelah diberikan topangan nampak pada

interaksi terakhir peneliti dan mahasiswa, peneliti menanyakan tanda

ketaksamaan apa yang tepat dan mahasiswa menjawab . Oleh karena

itu dari interaksi di atas disimpulkan bahwa mahasiswa dapat

menyimpulkan tanda hubung yang tepat untuk model 2132 =+ yx

yaitu tanda ketaksamaan .


kelompok diskusi. Berikut cuplikan interaksinya.

Peneliti : Jangan lupa hati-hati dipemisalannya baju saja atau?

Mahasiswa : Hm. . .

Peneliti : 1 baju, 2 baju, 3 baju dan seterusnya itu menyatakan

apa?

Mahasiswa : Banyaknya baju

Peneliti : Yap. .jadi yang kamu misalkan itu apanya?

Mahasiswa : Banyaknya baju pesta 1 dan banyaknya baju pesta 2

Peneliti : Ia.

Dari cuplikan interaksi di atas, nampak bahwa saat peneliti menanyakan

apa yang dimisalkan, mahasiswa memberikan jawaban bahwa yang

dimisalkan adalah banyaknya baju pesta 1 dan banyak baju pesta 2.

Oleh karena itu dari interaksi di atas disimpulkan bahwa mahasiswa

dapat menyimpulkan objek yang tepat untuk dimisalkan berdasarkan

masalah yang diberikan yaitu banyaknya baju pesta jenis 1 dan banyak

baju pesta jenis 2.


247



interaksi antara peneliti dengan mahasiswa dalam kelas. Dari interaksi-

interaksi tersebut, mahasiswa dapat mengkonstruksi pengetahuannya.

5) Keterkaitan

Masalah yang diberikan pada aktivitas pertama ini mengarahkan

mahasiswa untuk menemukan konsep dari program linear dua variabel

dimana model yang dihasilkan merupakan model program linear untuk

masalah memaksimumkan yang kendalanya merupakan bentuk dari

sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang sudah dipelajari

mahasiswa pada pertemuan pertama.

b. Aktivitas kedua





Dengan kendala:

Zyx

y

x

yx

yx

yx

+

+

+

,

0

0

204

122

2132

1. Gambarkanlah grafik kendala dari model tersebut dan tentukan daerah

penyelesaiannya!


248

Petunjuk : gambar menggunakan kertas berpetak dengan skala yang


2. Gambarkanlah 2 grafik fungsi objektif dari model tersebut dengan nilai

f yang berbeda dalam satu bidang koordinat dengan kendala.


Pada aktivitas kedua di pembelajaran hari kedua, kelompok yang

digunakan sama dengan kelompok pada aktivitas pertama. Dalam

aktivitas kedua ini, masih menggunakan konteks dan model program

linear yang diperoleh pada aktivitas pertama dimana pada aktivitas

kedua ini mahasiswa akan dibimbing untuk menyelesaikan model

program linear tersebut menggunakan metode garis selidik. Dalam

aktivitas kedua mahasiswa diminta dalam kelompok untuk






maksimal yang diperoleh butik menggunakan garis selidik. Dengan

pengalaman mahasiswa dalam menyelesaikan masalah pada pertemuan

pertama aktivitas ketiga yaitu menentukan banyak kue donat dan

banyak kue lapis yang dibuat oleh bu Santi dengan langkah

menggambar daerah penyelesaan dari pertidaksamaan linear dua

variabel 25+ yx , dapat membantu mahasiswa dalam menyelesaikan

masalah yang diberikan pada aktivitas kedua ini. Dari daerah


249

penyelesaian yang diperoleh dan grafik fungsi tujuan yang dihasilkan

oleh mahasiswa, mahasiswa dituntun oleh beberapa pertanyaan yang

mengarahkan mahasiswa menyelesaikan model dengan garis selidik.

Sehingga mahasiswa dapat menyimpulkan keuntungan maksimal yang

diperoleh butik dari penjualan kedua baju pesta tersebut. Masalah

diberikan dalam bentuk lembar kerja mahasiswa. Peneliti membagikan

lembar kerja kepada masing-masing kelompok. Setelah lembar kerja

mahasiswa dibagikan, peneliti mengajak mahasiswa secara bersama-

sama untuk membaca masalah yang diberikan dan menerangkan apa

yang harus dikerjakan oleh mahasiswa dalam kelompok yaitu

menggambar grafik kendala dan menentukan daerah penyelesaian dari

model program linear dan menjawab pertanyaan-pertanyaan yang

diberikan pada lembar kerja. Mahasiswa secara berkelompok untuk

berdiskusi untuk menyelesaiakan masalah yang diberikan.


Dalam aktivitas kedua mahasiswa diminta dalam kelompok untuk






maksimal yang diperoleh butik menggunakan garis selidik. Namun

disini dalam menjawab pertanyaan yang diberrkan dilakukan secara


250

klasikal karena waktu banyak dipakai oleh peneliti saat membimbing

mahasiswa untuk menggambar daerah penyelesaian dan grafik fungsi

tujuan dengan tepat sehingga tidak memungkinkan untuk peneliti

berkeliling memberikan topangan lagi dalam menjawab pertanyaan-

pertanyaan lanjutan. Berikut contoh hasil pekerjaan mahasiswa.


aktivitas II

Dari penyelesaian mahasiswa di atas, nampak mahasiswa menggambar

grafik persamaan dari masing-masing kendala, kemudian mahasiswa

menentukan daerah penyelesaiannya dan memplotkan titik-titik yang

merupakan titik penyelesaiannya. Dari hasil tanya jawab peneliti

dengan mahasiswa saat berkeliling membimbing dalam kelompok

diskusi, mahasiswa menggambar grafik dengan cara menentukan titik

potong masing-masing grafik dengan sumbu x dan sumbu y kemudian

menarik garis yang menguhubung kedua titik potong tersebut dalam

diagram Cartesius. Daerah yang merupakan penyelesaian merupakan

daerah yang memenuhi semua kendala. Nampak juga mahasiswa


251

mengambil nilai f = 270.000 dan f = 405.000 kemudian menggambar

grafiknya dalam bidang yang sama dengan grafik kendala.

Setelah mahasiswa menggambar daerah penyelesaian dari kendala dan

gambar grafik fungsi tujuan dalam satu bidang Cartesius, peneliti


maksimum dari model program linear menggunakan metode garis

selidik dan mengajak mahasiswa untuk menyimpulkan besar

keuntungan maksimal yang diperoleh butik dari penjualan baju pesta

jenis 1 dan baju pesta jenis 2. Peneliti menekankan bahwa perlu

melakukan uji titik untuk menentukan daerah yang merupakan daerah

penyelesaian. Jika titik tersebut memenuhi semua kendala maka daerah

tersebut merupakan daerah penyelesaiannya dan dapat juga ditentukan

dengan melihat daerah yang merupakan hasil gabungan dari daerah

penyelesaiaan masing-masing kendala.


Pemanfaatan hasil kontruksi mahasiswa terjadi saat peneliti


maksimum dari model program linear dengan metode garis selidik dan

mengajak mahasiswa untuk menyimpulkan besar keuntungan maksimal

yang diperoleh butik dari penjualan baju pesta jenis 1 dan baju pesta

jenis 2 dengan mencari jawaban dari pertanyaan-pertanyaan yang

diberikan pada lembar kerja mahasiswa.



252

Peneliti : Na di depan sini sudah ada gambar daerah

penyelesaian yang sama dengan yang kalian gambar

dalam kelompok (peneliti menampilkan gambar

daerah penyelesaian dan grafik fungsi tujuan

menggunakan aplikasi geogebra)

Sekarang perhatikan daerah penyelesaian yang

sudah kalian gambar dan grafik fungsi tujuannya itu.

Na perhatikan grafik fungsi tujuan yang kalian buat,

apa yang sama dari kedua grafik tersebut?

Mahasiswa : Grafiknya sejajar mba

Peneliti : Na sekarang coba dalam kelompok kalian geser

grafik fungsi tujuannya ke kiri dan ke kanan. Terus

apa yang terjadi dengan nilai f kalian?

Mahasiswa : (mahasiswa menggeser menggunakan penggaris

biasa dan penggaris segitiga) Mahasiswa kesulitan

dalam menggeser grafik

Peneliti : Apa yang terjadi?

Mahasiswa : Nilai f membesar kalau ke kanan. Kalau ke kiri nilai

f nya mengecil

Peneliti : Ia. Yang lain masih bingung?

Mahasiswa : Ia mba

Peneliti : Na sekarang perhatikan e. Kan ada dua grafik fungsi

tujuan yang saling sejajar kan. Bisa tidak kalau saya

bilang grafik fungsi tujuan yang pertama ini kalau

saya geser ke atas atau ke kanan nanti akan berhimpit

ke grafik yang kedua ini?

Mahasiswa : Ia bisa kan dia sejajar

Peneliti : Ia betul. Na sekarang bandingkan nilai f yang di

grafik pertama ini dengan yang kedua

Mahasiswa : Yang pertama itu lebih kecil dari pada yang kedua

Peneliti : Kalau begitu kesimpulannya apa kalau grafik fungsi

tujuan saya geser ke kanan?

Mahasiswa : Nilai f nya semakin besar

Peneliti : Ia betul sekali.Jadi kalau kita geser grafik fungsi

tujuannya ke kanan yang terjadi itu nilai f nya

semakin besar. Na kalau begitu bagaimana kalau

grafiknya saya geser ke kiri? Coba buat hal yang

sama seperti tadi

Mahasiswa : Tambah kecil nilainya

Peneliti : Ia nilainya f semakin mengecil.

(kemudian peneliti menekankan kembali kepada

mahasiswa dengan menggunakan aplikasi geogebra

untuk menunjukan hasil dari pergeseran fungsi

tujuan kepada mahasiswa dan melanjutkan ke

pertanyaan berikut)


253

Jadi dapat disimpulkan bahwa ketika grafik fungsi

tujuannya digeser ke kanan maka nilai fnya semakin

membesar dan ketika garfik fungsi tujuan kita geser

ke kiri makan nilai fnya semakin mengecil.

Na coba lihat kalau saya geser grafiknya ini ke kanan

kapan grafiknya ini berhenti bergeser?

Mahasiswa : Sampai di titik maksimum

Peneliti : Titik maksimumnya yang mana? Sama-sama dengan

teman kelompok coba geser grafiknya ke kanan.

Berhentinya di titik yang mana?yang ini apa yang

ini? (menunjuk pada titik (4,4) dan titik (6,3))

Mahasiswa : Yang ini hehehe

Peneliti : Hehe ia yang mana? Coba geser sekarang dengan

teman kelompok (sebagian mahasiswa menggeser

dengan penggaris segitiga)

Mahasiswa : Yang itu mba yang D1

Peneliti : Ia na coba lihat ini (peneliti melakukan ilustrasi

menggeser salah satu garfik fungsi tujuannya ke

kanan) berthenti dimana?(sambil mengeser)

Mahasiswa : Terus. . . terus. . .di D1

Peneliti : Na kalau saya berhenti disini boleh nggak? (merujuk

pada titik (4,4))

Mahasiswa : Nggak. di D1 berhentinya

Peneliti : Kenapa?

Mahasiswa : Bukan titik maksimumnya

Peneliti : Kalau disini? (merujuk pada titik (6,3) yang diberi

nama titik D1)

Mahasiswa : Ya disitu

Peneliti : Ya kalau seAndainya titik (4.4) dan titik (6,3) bukan

titik penyelesaiannya berarti berhentinya dimana?

(mengAndaikan titik (6,3) bukan titik

penyelesaiannya jadi titiknya dihilangkan)

Mahasiswa : di C1

Peneliti : Ia. Kenapa? Kan masih ada sisa daerah

penyelesaiannya

Mahasiswa : Karena nggak ada titik penyelesaian lagi

kekanannya itu

Peneliti : Na itu dia. Berarti kapan di grafik ini berhenti

bergeser? Sampai ke titik penyelesaian yang. . .

Mahasiswa : Yang paling akhir.

Peneliti : Yap. . jadi kita geser ke titik penyelesaian yang

paling ahkir. Na titik penyelesaian yang terakhir

yang dilewati oleh grafik itulah titik maksimum kita

walaupun disini masih ada sebagian daerah yang

masuk dalam daerah penyelesaiannya tapi kan dalam

daerah itu tidak ada lagi titik penyelesaiannya


254

Mahasiswa : Ia mba

Peneliti : Na kita kembali ke soal yang tadi. Na tadi kan kita

berhenti di titik D1 (6,3). Berarti titik (6,3) ini titik

apanya?

Mahasiswa : Titik maksimumnya

Peneliti : Ia titik maksimum. Kalau di grafik ini yang paling

minimum titik apa?

Mahasiswa : Titik (0,0)

Peneliti : Kenapa?

Mahasiswa : Titik terakhirnya kalau kita geser grafiknya ke kiri

Peneliti : Ya jadi kalau kita geser ke kiri. . .na dia akan

berhenti di titik (0,0). Karena saat kita geser ke kiri

titik penyelesaian kita yang paling akhir itu titik

(0,0).

Titik maksimum itu titik yang menyebabkan nilai f

kita. . .

Mahasiswa : Maksimal

Peneliti : Kalau titik minimum?

Mahasiswa : Nilai fnya minimum

Peneliti : Ya jadi titik maksimum itu yang menyebabkan nilai

f paling besar atau nilai maksimumnya kalau titik

minimum itu titik yang menyebabkan nilai f nya

paling kecil atau nilai minimum.

Kan tadi kita peroleh titik maksimumnya (6,3). Na

coba cari nilai maksimumnya. Bisa kan?

Mahasiswa : Bisa

Peneliti : Caranya?

Mahasiswa : Substitusi ke fungsi tujuan 50.000x+85.000y

Peneliti : Ya coba cari nilai maksimumnya dapat berapa?

Mahasiswa : Dapat 555.000

Peneliti : Yang lain bagaimana? Sama kah?

Mahasiswa : Sama mba dapat 555.000

Peneliti : Na kalau kembali ke konteks kita yang masalah

butik tadi. Jadi berapa keuntungan maksimal yang

diperoleh butik?

Mahasiswa : Keutungan maksimalnya 555.000 dari hasil jual 6

buah baju pesta yang pertama dan 3 buah baju pesta

yang kedua

Peneliti : Ia betul ya.

(Peneliti kemudian menjelaskan kepada mahasiswa

bahwa grafik fungsi tujuan yang di gambar tadi

dinamakan dengan garis selidik dan menjelaskan

apa itu garis selidik. Garis selidik yaitu garis yang

dihasilkan dari fungsi objektif yang digunakan untuk

menentukan titik optimum)


255

Lengkapi grafiknya kalian dalam kelompok.

Gambar garis fungsi tujuan di titik penyelesaian

akhirnya kalian saat kalian geser.

Mahasiswa : Oke mba

Peneliti : Na jadi kalau saya mau cari titik maksimum cara

bagaimana?

Mahasiswa : Caranya geser garis selidiknya itu ke kanan

Peneliti : Sampai. . .

Mahasiswa : Sampai titik penyelesaian terakhir

Peneliti : Kalau mau cari titik minimum?

Mahasiswa : Geser garis selidiknya ke kiri sampai titik

penyelesaian yang terakhir

Dari proses di atas, nampak bahwa peneliti menggunakan daerah

penyelesaian dari kendala dan grafik fungsi tujuan yang dibuat oleh

mahasiswa untuk membimbing mahasiswa secara klasikal untuk

menyelesaikan masalah dengan metode garis selidik dan mengajak

mahasiswa untuk menyimpulkan besar keuntungan maksimal yang

diperoleh butik dari penjualan baju pesta jenis 1 dan baju pesta jenis 2.

Topangan-topangan yang diberikan berhasil mengantarkan mahasiswa

menyimpulkan keuntungan maksimal yang diperoleh butik dari

penjualan baju pesta jenis 1 dan baju pesta jenis 2. Topangan yang

diberikan peneliti kepada mahasiswa yaitu menjawab pertanyaan-

pertanyaan yang diberikan pada lembar kerja mahasiswa. Dari proses

tersebut juga mahasiswa dapat mengkonstruksi pengetahuannya bahwa

jika ingin menentukan titik maksimum maka garis selidik di geser ke

kanan atau ke atas dalam daerah penyelesaian sampai ke titik

penyelesaian yang terakhir, dan jika ingin menentukan titik minimum

maka garis selidik di geser ke kiri atau ke bawah dalam daerah

penyelesaian sampai ke titik penyelesaian yang terakhir. Titik


256

penyelesaian terakhir dari hasil pergeseran garis selidik merupakan titik

optimum yang dicari. Titik optimum menyebabkan adanya nilai

optimum dengan cara mensubstitusi titik optimum ke fungsi tujuannya.

Peneliti kemudian menjelaskan bahwa diperlukan dua garis selidik

untuk mengetahui arah kemiringan garis dan arah pergeseran garis dan

garis tersebut digunakan untuk menentukan titik penyelesaian terakhir

sebagai titik optimumnya. Peneliti memberikan penekanan bahwa titik

penyelesaiannya anggota bilangan Real maka garis selidik itu pasti akan

berhenti bergeser tepat di salah satu titik pojok tetapi jika titik

penyelesaiannya anggota bilangan bulat itu belum tentu karena tidak

semua titik pojok itu merupakan bilangan bulat. Kemudian peneliti

mengajak mahasiswa untuk menyimpulkan langkah-langkah dalam

menyelesaikan masalah program linear menggunakan garis selidik

yaitu membuat model dari masalah berupa kendala dan fungsi objektif,

menggambar daerah penyelesaian dari kendala, menentukan nilai f dan

menggambar garis selidik minimal dua, dan menggeser garis selidik ke

kanan (untuk titik maksimum) atau ke kiri (untuk titik minimum)

sampai ke titik penyelesaian terakhir. Peneliti bersama-sama dengan

mahasiswa merangkum langkah yang diperoleh dalam menyelesaian

masalah program linear menggunakan garis selidik yaitu menentukan

kendala dan fungsi objektif, menggambar daerah penyelesaian,

menentukan nilai f dan menggambar grafik fungsi tujuan (garis selidik)


257

minimal dua, dan menggeser garis selidik ke kanan atau ke kiri sampai

ke titik penyelesaian terakhir.

4) Interaktivitas



terjadi ketika peneliti membimbing mahasiswa untuk menentukan titik

maksimum dari model program linear menggunakan garis selidik dan

menyimpulkan keuntungan yang diperoleh butik dari penjualan baju

pesta jenis 1 dan baju pesta jenis 2 dimana dialognya sudah dipaparkan

pada karakteristik 3 (pemanfaatan hasil konstruksi sisa).


kelompok diskusi saat peneliti membimbing mahasiswa menggambar

daerah penyelesaian yang tepat.

Peneliti : Mana daerah penyelesaianmu?

Mahasiswa : Ini mba

Peneliti : Ini titik penyelesaian atau bukan? (menunjuk pada

titik (4,4) yang letaknya tepat pada garis

204 =+ yx )

Mahasiswa : Hmhm nggak.

Peneliti : Ia kah?

Mahasiswa : Juga ya mba?

Peneliti : Tanda pertidaksamaanmu tadi apa

Mahasiswa : Kurang dari sama dengan

Peneliti : Kalau begitu ini juga titik penyelesaiannya atau

bukan?

Mahasiswa : Juga harusnya kak kan

Peneliti : Ia jangan lupa kasih titik supaya tahu kalau ini juga

titik penyelesaiannya. Lihat dengan yang lain juga

Mahasiswa : Ia mba


258

Dari cuplikaan interaksi di atas, setelah memberikan topangan

sebelumnya nampak bahwa terdapat interaksi saat peneliti menanyakan

titik (4,4) merupakan titik penyelesaian atau bukan mahasiswa

menjawab titik (4,4) juga titik penyelesaian karena tandanya . Oleh

karena itu dari interaksi di atas dapat disimpulkan bahwa mahasiswa

dapat menyadari dan menyimpulkan sendiri bahwa daerah

penyelesaiannya berupa titik-titik dimana x,y anggota bilangan bulat.


kelompok diskusi.

Peneliti : Kasih nama yang benar untuk garis lurusnya ini

Mahasiswa : Yang ini ya mba

Peneliti : Ia ini 2132 + yx ini nama untuk yang mana?

Mahasiswa : Untuk garis ini

Peneliti : Kemarin dijelaskan itu gimana? Garis lurus ini garis

dari apa?

Mahasiswa : O ia maksudnya ini mba persamaannya

2132 =+ yx Peneliti : Cek dengan yang lain

Dari cuplikaan interaksi di atas, nampak bahwa saat peneliti

menanyakan garis lurus ini garis dari apa, mahasiswa menyadari

kesalahannya yaitu garis lurus tersebut adalah garis dari persamaan

2132 =+ yx . Oleh karena itu dari interaksi di atas dapat disimpulkan

bahwa mahasiswa dapat menyadari dan menyimpulkan sendiri bahwa

garis lurus yang digambar merupakan garis dari persamaannya bukan

pertidaksamaan.




259

interaksi antara peneliti dengan mahasiswa dalam kelas. Dari interaksi-

interaksi tersebut, mahasiswa dapat mengkonstruksi pengetahuannya.

5) Keterkaitan

Pada aktivitas ini, masalah yang diberikan mengarahkan mahasiswa

pada konsep penyelesaian masalah program linear menggunakan

metode garis selidik. Mahasiswa menggambar daerah penyelesaian dari

grafik kendala menggunakan konsep menggambar daerah penyelesaian

pertidaksamaan linear dua variabel yang dipelajari pada pertemuan

pertama.


pembelajaran pertemuan kedua kelas penelitian


pertemuan kedua kelas penelitian


1 Aktivitas

pertama




4. Interaktivitas

5. Keterkaitan

2 Aktivitas

kedua




4. Interaktivitas

5. Keterkaitan

3. Pembelajaran ketiga kelas penelitian


Suatu pabrik farmasi menghasilkan dua jenis kapsul obat flu yang diberi nama

Fluin dan Fluon. Tiap – tiap kapsul memuat tiga unsur (ingredient) utama


260

dengan kadar kandungannya masing masing. Obat flu Fluin mengandung 2

grain aspirin, 5 grain bikorbonat, dan 1 grain kodein. Sedangkan obat flu

Fluon mengandung 1 grain aspirin, 8 grain bikorbonat, dan 6 grain kodein.

Menurut dokter, seseorang yang sakit flu akan sembuh jika dalam tiga hari

(secara rata – rata) minimal menelan 12 grain aspirin, 80 grain bikarbonat,

dan 24 grain kodein. Harga Fluin Rp 2.500/kapsul dan harga Fluon Rp

3.000/kapsul. Berapa kapsul Fluin dan berapa kapsul Fluon yang harus dibeli

supaya cukup untuk menyembuhkan dengan biaya pembelian total semurah

– murahnya?


Pada pertemuan ketiga ini, konteks yang digunakan sudah diberikan

kepada mahasiswa dalam bentuk tugas mandiri. Tugas tersebut diberikan

sebagai latihan bagi mahasiswa untuk memperkuat konsep yang sudah

diterima pada pertemuan kedua. Masalah yang diberikan berupa masalah

program linear dua variabel dalam kehidupan sehari-hari. Dari masalah

tersebut mahasiswa diminta untuk menyelesaikan masalah tersebut.

Peneliti meminta mahasiswa bersama teman di samping kiri dan kanan

untuk menyamakan hasil pekerjaan mereka dan peneliti keliling

memperhatikan pekerjaan mahasiswa. Dari hasil pekerjaan mahasiswa,

semua mahasiswa menyelesaian masalah tersebut menggunakan metode

garis selidik yang sudah dipelajari pada pertemuan kedua.


261


Penggunaan model terlihat ketika pemabahsan tugas. Peneliti meminta

salah satu mahasiswa untuk mempresentasikan tugasnya di depan kelas.

Semua mahasiswa memperoleh hasil akhir yang sama yaitu seorang pasien

flu harus membeli 2 kapsul fluin dan 9 kapsul fluon untuk dapat

menyembuhkan sakitnya dengan total harga Rp 32.000.

Berikut salah satu contoh pekerjaan mahasiswa yang dipilih untuk di

presentasi di depan kelas.

Gambar 4. 23. Hasil pekerjaan mahasiswa


penyelesaiannya yaitu mahasiswa memisalkan x sebagai banyak kapsul

fluin yang dibeli dan y sebagai banyak kapsul fluon yang dibeli, kemudian

mahasiswa membentuk fungsi tujuan yaitu Meminimumkan

yxyxf 000.3500.2),( += . Mahasiswa membentuk kendala utama yang


262

terdiri dari kendala utama dan kendala nonnegatif yaitu

+

+

+

0

0

246

8085

122

y

x

yx

yx

yx

dan

Zyx , Mahasiswa kemudian menggambar daerah penyelesaian dari

grafik kendala. Mahasiswa menggambar gari sselidik dnegan mengambil

nilai f = 40.500. Kemudian menggeser garis selidik

500.40000.3500.2 =+ yx ke kiri bawah sampai titik penyelesaian terakhir

yaitu titik (2,9), kemudian mensubstitusi titik (2,9) ke fungsi tujuan di

dapat nilai minimumnya 32.000. Kemudian menuliskan kesimpulan

banyaknya kapsul fluin yang harus dibeli adalah 2 kapsul dan 9 kapsul

fluon sehingg todal harganya Rp 32.000.

Dari hasil pekerjaan mahasiswa di atas, disimpulkan bahwa mahasiswa

dapat membuat pemisalan dengan tepat, mahasiswa mampu membentuk

kendala dengan tepat, mahasiswa mampu membentuk fungsi tujuan

dengan tepat, mahasiswa dapat menggambar daerah penyelesaian dari

kendala dengan tepat, mahasiswa dapat membentuk dan menggambar dua

buah garis selidik, mahasiswa dapat menentukan titik minimum, dan

mahasiswa dapat menafsirkan kembali ke masalah awal.


Pemanfaatan hasil kontruksi mahasiswa terjadi ketika peneliti meminta

mahasiswa untuk mempresentasikan hasil tugasnya di depan kelas. Berikut


263

salah satu interaksi yang terjadi saat peneliti memanfaatkan hasil

konstruksi mahasiswa.

Peneliti : Kenapa garis selidiknya di geser ke kiri?

Mahasiswa : Karena kan kita kan mau cari titik yang minimum jadi

geser ke kiri. Kalau maksimum baru geser ke kanan

Peneliti : Ia jadi alasannya itu karena fungsi tujuannya kita itu kan

mau meminimumkan jadi garis selidiknya kita geser ke

kiri/ gesrenya sampai mana?

Mahasiswa : Titik penyelesaiannya yang terakhir

Peneliti : Ya betul. Karena titik penyelesaian yang terakhir itu yang

merupakan titik optimum yang kita cari.

Kemarin saya minta garis selidiknya gambar berapa

banyak?

Mahasiswa : Minimal 2

Peneliti : Ia minimal dua ya supaya bisa membantu kalian saat geser

garisnya itu supaya pas. Lebih banyak garis selidik yang

di gambar itu lebih baik. Kenapa tidak mau gambar yang

banyak?

Mahasiswa : Capek mba soalnya panjang sekali penyelesaiannya itu

Peneliti : Ya baik. Intinya kalian tahu arah pergeseran garis

selidiknya kalau mau cari minimum dan maksimum

Mahasiswa : Ya baik. Intinya kalian tahu arah pergeseran garis

selidiknya kalau mau cari minimum dan maksimum

Dari proses di atas, nampak bahwa peneliti menggunakan penyelesain

mahasiswa untuk membawa mahasiswa menyimpulkan arah pergeseran

garis selidik. Dari proses di atas mahasiswa mengetahui bahwa jika untuk

meminimumkan fungsi tujuan maka garis selidik di geser ke kiri dan jika

untuk memaksimumkan fungsi tujuan maka garis selidik di gesre ke kanan

sampai titik penyelesaian terakhir. Peneliti kemudian memberikan

penekanan jika fungsi tujuannya meminimumkan maka garis selidik yang

dibuat digeser ke kiri sampai ke titik penyelesaian yang terakhir dan jika

fungsi tujuannya memaksimumkan maka garis selidik di geser ke kanan

sampai ke titik penyelesaian yang terakhir. Peneliti juga menekankan


264

bahwa jika mengalami kesulitan dalam membuat modelnya mahasiswa

terlebih dahulu menuliskan informasi yang ada pada soal dalam sebuah

tabel. Dan jangan lupa untuk menuliskan elemen bilangan dari x dan y

agar tidak salah menentukan titik penyelesaiannya dalam menggambar

daerah penyelesaian. Peneliti kemudian bersama-sama dengan mahasiswa

menyimpulkan kembali langkah-langkah yang dilakukan dalam

menyelesaikan masalah program linear dua variabel dengan metode garis

selidik. Peneliti meminta mahasiswa untuk menarik kesimpulan dengan

benar sesuai dengan variabel yang dimisalkan dan apa yang di tanya dalam

soal.

Setelah itu peneliti meminta mahasiswa mempersiapkan diri untuk

mengikuti tes tertulis.

4) Interaktivitas

Interaktivitas yang terjadi adalah interaksi antara peneliti dan mahasiswa

dalam kelas dimana dialognya sudah dipaparkan pada karakteristik

sebelumnya yaitu pemanfaatan hasil konstruksi siswa. Dari interaksi yang

terjadi, mahasiswa dapat mengkonstruksi pengetahuannya untuk

menyelesaikan masalah program linear dua variabel.

5) Keterkaitan

Masalah ini berkaitan dengan konsep penyelesaian masalah program linear

dua variabel. Pada pertemuan yang kedua masalah yang diberikan

mengarahkan mahasiswa untuk menemukan konsep penyelesaian masalah

program linear dua variabel dengan metode garis selidik. Pada pertemuaan


265

tiga masalah yang diberikan memperkuat konsep yang sudah diterima

mahasiswa pada pertemuan kedua.


pembelajaran pertemuan ketiga kelas penelitian.


pertemuan keitga kelas penelitian


1 Aktivitas

pertama




4. Interaktivitas

5. Keterkaitan

E. Deskripsi Hasil Tes Tertulis Kelas Uji Coba

Peneliti mengadakan tes tertulis setelah melaksanakan pembelajaran

dengan menggunakan pendekatan PMR pada materi program linear. Tes

tertulis dilakukan dua kali yaitu tes tertulis I dilakukan pada akhir pembelajaran

pertemuan pertama dan tes tertulis II dilakukan pada akhir pembelajaran

pertemuan ketiga. Tes tertulis bertujuan untuk mengetahui kemampuan

memodelkan mahasiswa. Pemilihan hasil jawaban mahasiswa berdasarkan

kelompok jawaban yang sama.

Deskripsi Hasil Jawaban Mahasiswa dari Hasil Tes Tertulis I Kelas Uji

Coba

Permasalahan yang diberikan berupa permasalahan yang berkaitan dengan

pertidaksamaan linear dua variabel dalam kehidupan sehari-hari. Dari masalah


266

tersebut mahasiswa diminta untuk memodelkan masalah yang diberikan dan

menentukan penyelesaiannya.

Berikut ini disajikan deskripsi hasil pekerjaan mahasiswa untuk soal

nomor kedua berdasarkan kelompok jawaban mahasiswa yang sama.

1. Kelompok jawaban mahasiswa yang pertama

Ada 2 mahasiswa dari 36 mahasiswa yang menjawab dengan cara sebagai

berikut:

Gambar 4. 24. Kelompok jawaban mahasiswa yang pertama untuk tes

tertulis I kelas uji coba

Deskripsi pekerjaan mahasiswa:

Jawaban bagian a:

a. Mahasiswa memisalkan variabel x sebagai banyak karung baju dan y

sebagai banyak karung celana

b. Mahasiswa membentuk pertidaksamaan linear dua variabel 4𝑥 + 6𝑦 ≤

24 sebagai model matematika dari permasalahan yang diberikan

dengan syarat 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 dan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍


267

Dari poin-poin deskripsi pekerjaan mahasiswa di atas dan jika ditinjau dari

indikator soal bagian a, maka disimpulkan bahwa mahasiswa tersebut

dapat menyederhanakan asumsi dari masalah yang terkait dengan

pertidaksamaan linear dua variabel (poin a,b), mahasiswa dapat

mengklarifikasi tujuan penyelesaian masalah yang terkait dengan

pertidaksamaan linear dua variabel (poin b), mahasiswa dapat memisalkan

objek ke dalam variabel berdasarkan masalah yang terkait dengan

pertidaksamaan linear dua variabel (poin a), mahasiswa dapat

merumuskan pernyataan matematika dan menentukan model matematika

berdasarkan masalah yang terkait dengan pertidaksamaan linear dua

variabel (poin b).

Dari hasil dan deskripsi jawaban mahasiswa di atas, dapat disimpulkan

bahwa kemampuan memodelkan mahasiswa tersebut pada jawaban nomor

a berada pada level formal. Mahasiswa tersebut memenuhi semua

indikator kemampuan memodelkan pada level formal yaitu mahasiswa

mampu membuat pemisalan terhadap objek dari masalah yang diberikan

ke dalam variabel (poin a), dan mahasiswa mampu membentuk sebuah

pertidaksamaan linear dua variabel dari masalah yang diberikan (b).

Jawaban bagian b:

Dari jawaban mahasiswa di atas, mahasiswa terlebih dahulu menggambar

diagram Cartesius kemudian memplotkan titik-titik dimana titik-titik

tersebut memenuhi model yang sudah dibuat pada jawaban nomor a pada


268

diagram Cartesius. Titik-titik yang diplotkan diantaranya adalah (0,0),

(0,1), (0,2), (0,3), (0,4), (1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,0), (2,1), (2,2), (3,0),

(3,1), (3,2), (4,0), (4,1), (5,0), (6,0).

Dari deskripsi pekerjaan mahasiswa di atas dan jika ditinjau dari indikator

soal bagian b, maka disimpulkan bahwa mahasiswa dapat menentukan

penyelesaian dari model yang sudah dibuat pada soal bagian a yaitu 4𝑥 +

6𝑦 ≤ 24 dengan langkah-langkah mahasiswa menggambar diagram

Cartesius kemudian memplotkan titik-titik dimana titik-titik tersebut

memenuhi model yang sudah dibuat pada jawaban nomor a pada diagram

Cartesius.


bahwa kemampuan memodelkan mahasiswa tersebut untuk jawaban

nomor b berada pada level referensial. Mahasiswa tersebut memenuhi

semua indikator kemampuan memodelkan pada level referensial yaitu

mahasiswa memplotkan titik – titik (kemungkinan dari variabel) yang

memenuhi model pada diagram Cartesius.

2. Kelompok jawaban mahasiswa yang kedua


berikut:


269

Gambar 4. 25. Kelompok jawaban mahasiswa yang kedua untuk tes



Jawaban bagian a:

a. Mahasiswa memisalkan variabel x sebagai banyaknya karung baju

dan y sebagai banyaknya karung celana

b. Mahasiswa membentuk pertidaksamaan linear dua variabel 4𝑥 +

6𝑦 ≤ 24 sebagai model matematika dari permasalahan yang

diberikan dengan syarat 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 dan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍. Mahasiswa

menuliskan penggunaan tanda ≤ karena motornya hanya dapat

membawa beban tidak lebih dari 24 kg








270





variabel (poin b).



a ada pada level formal. Mahasiswa tersebut memenuhi semua indikator

kemampuan memodelkan pada level formal yaitu mahasiswa mampu

membuat pemisalan terhadap objek dari masalah yang diberikan ke dalam

variabel (poin a), dan mahasiswa mampu membentuk sebuah

pertidaksamaan linear dua variabel dari masalah yang diberikan (poin b).

Jawaban bagian b:

a. Mahasiswa mencari titik bantu yaitu ketika x = 0 dan y = 0 dimana

merepresentasikan titik potong grafik 4𝑥 + 6𝑦 = 24 terhadap sumbu

x dan terhadap sumbu y sehingga diperoleh titik titik (0,4) dan (6,0)

b. Mahasiswa memplot titik (0,4) dan (6,0) pada diagram Cartesius dan

menarik garis yang menghubungkan kedua titik tersebut

c. Mahasiswa menentukan daerah penyelesaian dan mengarsir daerah

yang bukan penyelesaiannya. Daerah penyelesaian yang ditentukan

berupa segitiga yang dihubungkan oleh titik koordinat yaitu (0,4),

(0,0), dan (6,0).


271

d. Mahasiswa memplotkan titik-titik pada daerah penyelesaian yang

merupakan himpunan penyelesaiannya dimana 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍


indikator soal bagian b, maka disimpulkan bahwa mahasiswa dapat

menentukan penyelesaian dari model yang sudah dibuat pada soal bagian

a yaitu 4𝑥 + 6𝑦 ≤ 24 dengan langkah-langkah yaitu mencari titik potong

dari grafik 4𝑥 + 6𝑦 = 24 terhadap sumbu x dan terhadap sumbu y (poin

a), menggambar garis lurus yang menghubungkan kedua titik potong

(poin b), menentukan daerah penyelesaian dan bukan daerah penyelesaian

(poin c), dan memplotkan titik pada daerah penyelesaian yang merupakan

titik penyelesaiannya (poin d).


bahwa kemampuan memodelkan mahasiswa tersebut ada pada level

formal. Mahasiswa tersebut memenuhi semua indikator kemampuan

memodelkan pada level formal yaitu mahasiswa mampu menggambar

grafik persamaan dari bentuk pertidaksamaan linear dua variabel (poin a,

b), mahasiswa mampu menentukan daerah penyelesaian dengan

memperhatikan syaratnya (poin c), dan mahasiswa mampu memplotkan

titik – titik yang merupakan penyelesaian yang ada di dalam daerah

penyelesaian (poin d).


272

3. Kelompok jawaban mahasiswa yang ketiga


berikut:

Gambar 4. 26. Kelompok jawaban mahasiswa yang ketiga untuk tes



Jawaban bagian a:

a. Mahasiswa memisalkan variabel x sebagai banyaknya karung baju

dan y sebagai banyaknya karung celana

b. Mahasiswa membentuk pertidaksamaan linear dua variabel 4𝑥 +

6𝑦 ≤ 24 sebagai model matematika dari permasalahan yang

diberikan dengan syarat 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0




273









variabel (poin b).








Jawaban bagian b:

a. Mahasiswa menggambar garis lurus yang merepresentasikan

persamaan linear dua variabel 4𝑥 + 6𝑦 = 24 pada diagram Cartesius

yang menghubungkan titik (6,0) dan titik (0,4)

b. Mahasiswa menentukan daerah penyelesaian dan mengarsir daerah



274

berupa segitiga yang dihubungkan oleh titik koordinat yaitu (0,4),

(0,0), dan (6,0).

c. Mahasiswa memplotkan titik-titik pada daerah penyelesaian yang



indikator soal bagian b, maka disimpulkan bahwa mahasiswa dapat

menentukan penyelesaian dari model yang sudah dibuat pada soal bagian

a yaitu 4𝑥 + 6𝑦 ≤ 24 dengan langkah-langkah yaitu menggambar grafik

4𝑥 + 6𝑦 = 24 pada diagram Cartesius (poin a), menentukan daerah

penyelesaian dan bukan daerah penyelesaian (poin b), dan memplotkan

titik pada daerah penyelesaian yang merupakan titik penyelesaiannya

(poin c).





grafik persamaan dari bentuk pertidaksamaan linear dua variabel (poin a),

mahasiswa mampu menentukan daerah penyelesaian dengan

memperhatikan syaratnya (poin b), dan mahasiswa mampu memplotkan


penyelesaian (poin c).


275

Dari hasil analisis jawaban mahasiswa pada hasil tes tertulis I untuk

permasalahan nomor a diperoleh bahwa kemampuan memodelkan semua

mahasiswa berada pada level formal. Semua mahasiswa memenuhi semua

indikator kemampuan memodelkan pada level formal untuk nomor soal a

yaitu mahasiswa mampu membuat pemisalan terhadap objek dari masalah

yang diberikan ke dalam variabel, dan mahasiswa mampu membentuk

sebuah pertidaksamaan linear dua variabel dari masalah yang diberikan.

Dari hasil analisis jawaban mahasiswa pada hasil tes tertulis I untuk

permasalahan nomor b diperoleh bahwa kemampuan memodelkan 2

mahasiswa berada pada level referensial dan kemampuan memodelkan 32

mahasiswa berada pada level formal. 2 mahasiswa pada level referensial

memenuhi indikator kemampuan memodelkan pada level referensial

untuk permasalahan nomor b yaitu mahasiswa memplotkan titik – titik

(kemungkinan dari variabel) yang memenuhi model pada diagram

Cartesius. 34 mahasiswa pada level formal memenuhi semua indikator

pada level formal untuk permasalahan nomor b yaitu mahasiswa mampu

menggambar grafik persamaan dari bentuk pertidaksamaan linear dua

variabel, mahasiswa mampu menentukan daerah penyelesaian dengan

memperhatikan syaratnya, dan mahasiswa mampu memplotkan titik – titik

yang merupakan penyelesaian yang ada di dalam daerah penyelesaian.


276

Deskripsi Hasil Jawaban Mahasiswa dari Hasil Tes Tertulis II Kelas Uji

Coba

Permasalahan Pertama

Permasalahan yang diberikan berupa permasalahan program linear bulat

bentuk maksimum dalam kehidupan sehari-hari. Mahasiswa diminta untuk

menyelesaikan masalah yang diberikan.


nomor pertama berdasarkan kelompok jawaban mahasiswa yang sama.



berikut:

Gambar 4. 27. Kelompok jawaban mahasiswa yang pertama untuk

masalah pertama tes tertulis II kelas uji coba


277


1. Mahasiswa membuat pemisalan banyaknya kursi dengan variabel x

dan banyaknya meja dengan variabel y

2. Mahasiswa membuat tabel berisi informasi yang diketahui dalam

masalah yang diberikan untuk mempermudah membuat kendala

3. Mahasiswa memodelkan kendala utama 2𝑥 + 𝑦 ≤ 15 (proses

perakitan) dan 𝑥 + 3𝑦 ≤ 13 (proses finishing) sesuai dengan yang

diperoleh dari tabel yang telah dibuat dan kendala nonnegatifnya 𝑥 ≥

0 dan 𝑦 ≥ 0

4. Mahasiswa memodelkan syarat 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍

5. Mahasiswa memodelkan fungsi objektif maksimumkan 𝑓(𝑥, 𝑦) =

20.000𝑥 + 50.000𝑦

6. Mahasiswa menggambar grafik persamaan fungsi-kendala dalam

diagram Cartesius dengan terlebih dahulu mencari titik potong grafik

fungsi-kendala tersebut terhadap sumbu x dan terhadap sumbu y

sehingga diperoleh titik potong untuk persamaan 2𝑥 + 𝑦 = 15 adalah

titik (0,15) dan titik (7.5,0) dan titik potong untuk persamaan 𝑥 +

3𝑦 = 13 adalah titik (0,4.3) dan titik (13,0).

7. Mahasiswa menentukan daerah penyelesaian dan memplotkan titik-

titik yang merupakan titik penyelesaiannya pada daerah penyelesaian.

Disini mahasiswa tidak menuliskan cara yang digunakan untuk

menentukan daerah penyelesaiannya


278

8. Mahasiswa menentukan 2 persamaan garis selidik 20.000𝑥 +

50.000𝑦 = 70.000 dan 20.000𝑥 + 50.000𝑦 = 170.000 dengan

mengambil nilai 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑧 = 70.000 dan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑧 = 170.000

9. Mahasiswa menggambar persamaan garis selidik dengan terlebih

dahulu menentukan titik potong persamaan garis selidik tersebut

terhadap sumbu x dan sumbu y.

10. Mahasiswa menentukan titik pemaksimum fungsi objektif yaitu titik

(4,3) dari proses penggeseran garis selidik ke kanan

11. Mahasiswa menghitung keuntungan maksimum dengan

mensubstitusikan titik maksimum (4,3) ke fungsi objektif sehingga

diperoleh keuntungan maksimumnya sebesar Rp 230.000


indikator soal, maka disimpulkan bahwa mahasiswa tersebut dapat

menyederhanakan asumsi dari masalah yang terkait dengan program linear

dua variabel (poin 1,2,3,4,5), mahasiswa dapat mengklarifikasi tujuan

penyelesaian masalah yang terkait program linear dua variabel (poin

5,10,11), mahasiswa dapat menentukan variabel, koefisien dan konstanta

terkait masalah program linear dua variabel (poin 1,2,3,4,5), mahasiswa

dapat merumuskan pernyataan matematika dan menentukan model

matematika terkait masalah program linear dua variabel (poin 1,2,3,4,5),

mahasiswa dapat menyelesaikan masalah yang terkait dengan program

linear dua variabel (mahasiswa menyelesaikan masalah yang diberikan

menggunakan metode garis selidik), mahasiswa dapat


279

menginterpretasikan kembali hasil penyelesaiannya sesuai dengan konteks

masalah awal (11).




memodelkan pada level formal yaitu mahasiswa mampu membuat

pemisalan terhadap objek dari masalah yang diberikan ke dalam variabel

(poin 1), mahasiswa mampu membentuk fungsi objektif (5), mahasiswa

mampu membentuk kendala (poin 3), mahasiswa mampu menuliskan

syarat variabel berdasarkan masalah pada soal yang diberikan (poin 4),

mahasiswa mampu menyelesaikan model matematika yang telah dibuat

sesuai aturan penyelesaian masalah program linear (poin 6,7,8,9,10,11),

mahasiswa mampu menarik kesimpulan sesuai konteks awal (poin 11).



berikut:


280

Gambar 4. 28. Kelompok jawaban mahasiswa yang kedua untuk



1. Mahasiswa membuat pemisalan variabel x sebagai banyaknya kursi

dan variabel y sebagai banyaknya meja

2. Mahasiswa memodelkan kendala utama 2𝑥 + 𝑦 ≤ 15 (fungsi untuk

perakitan) dan 𝑥 + 3𝑦 ≤ 13 (fungsi untuk finishing) dan kendala

nonnegatifnya 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0


4. Mahasiswa memodelkan fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) = 20.000𝑥 +

50.000𝑦

5. Mahasiswa menggambar grafik fungsi-kendala dalam diagram

Cartesius dengan terlebih dahulu mencari titik potong grafik fungsi-

kendala tersebut terhadap sumbu x dan terhadap sumbu y sehingga

diperoleh titik potong untuk persamaan 2𝑥 + 𝑦 = 15 adalah titik


281

(0,15) dan titik (7.5,0) dan titik potong untuk persamaan 𝑥 + 3𝑦 = 13

adalah titik (0,4.3) dan titik (13,0).



Disini mahasiswa tidak menuliskan cara dalam menentukan daerah

penyelesaiannya dan mahasiswa tidak memplotkan titik (4,3) sebagai

titik penyelesaiaan.

7. Mahasiswa menentukan 1 persamaan garis selidik yaitu 20.000𝑥 +

50.000𝑦 = 70.000 dan menggambar garis yang merepresentasikan

persamaan tersebut pada diagram cartesius





diperoleh keuntungan maksimumnya sebesar Rp 320.000. Disini

mahasiswa mengalami kesalahan dalam perhitungan. Seharusnya

ketika titik (6,2) di substitusikan ke fungsi objektif hasilnya adalah

220.000




dua variabel (poin 1,2,3,4), mahasiswa dapat mengklarifikasi tujuan



282


terkait masalah program linear dua variabel (poin 1,2,3,4), mahasiswa


matematika terkait masalah program linear dua variabel (poin 1,2,3,4),

mahasiswa menyelesaikan masalah yang terkait dengan program linear

dua variabel (mahasiswa menyelesaikan masalah menggunakan metode

garis selidik) dengan kurang tepat (Terlihat pada poin 6 dan 8. Mahasiswa

tidak memplotkan titik 4,3 sebagai titik penyelesaiannya sehingga pada

saat menggeser garis selidik ke kanan diperoleh titik penyelesaian yang

terakhir yang dilewati garis selidik sebagai titik maksimumnya adalah titik

(6,2) seharusnya titik penyelesaian yang terakhir yang dilewati garis

selidik sebagai titik maksimumnya adalah titik (4,3), mahasiswa juga

melakukan kesalahan saat menghitung hasil dari substitusi titik (4,3) ke

fungsi tujuan (poin 9)), mahasiswa dapat menginterpretasikan kembali

hasil penyelesaiannya sesuai dengan konteks masalah awal walaupun hasil

yang diperoleh kurang tepat (poin 9).



formal. Mahasiswa tersebut memenuhi 5 indikator kemampuan



(poin 1), mahasiswa mampu membentuk fungsi objektif (poin 4),

mahasiswa mampu membentuk kendala (poin 2), mahasiswa mampu


283

menuliskan syarat variabel berdasarkan masalah pada soal yang diberikan

(poin 3), dan mahasiswa mampu menarik kesimpulan sesuai konteks awal

(poin 9). Mahasiswa belum memenuhi 1 indikator kemampuan

memodelkan pada level formal yaitu mahasiswa mampu menyelesaikan

model matematika yang telah dibuat sesuai aturan penyelesaian masalah

program linear (poin 6 dan poin 8).



berikut:

Gambar 4. 29. Kelompok jawaban mahasiswa yang ketiga untuk



1. Mahasiswa menuliskan apa yang diketahui dan ditanya pada masalah

yang diberikan


284


masalah yang diberikan untuk mempermudah membuat kendalah


yang diproduksi dan variabel y sebagai banyaknya meja yang

diproduksi

4. Mahasiswa memodelkan kendala utama 2𝑥 + 𝑦 ≤ 15 untuk jumlah

waktu perakitan dan 𝑥 + 3𝑦 ≤ 13 untuk jumlah waktu finishing dan

kendala nonnegatifnya 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0


6. Mahasiswa memodelkan fungsi objektif memaksimalkan 𝑓(𝑥, 𝑦) =

20.000𝑥 + 50.000𝑦


Cartesius dengan terlebih dahulu mencari titik bantu yaitu untuk

persamaan 2𝑥 + 𝑦 = 15 adalah titik (0,15) dan titik (7,1) dan untuk

persamaan 𝑥 + 3𝑦 = 13 adalah titik (1,4) dan titik (13,0).



Disini mahasiswa tidak menuliskan cara untuk menentukan daerah

penyelesaiannya


50.000𝑦 = 160.000


dahulu menentukan titik bantu (3,2) dan (-2,4) untuk dapat


285

menggambar garis selidik tersebut. Namun disini mahasiswa tidak

tepat dalam menggambar garis seilidiknya karena kesalahan dalam

memplotkan titik bantu (-2,4). Mahasiswa memplotkan pada titik (-

2,3). Mahasiswa menggambar setiap hasil dari pergeseran garis

selidik ke kanan.


(4,3) dari proses penggeseran garis selidik ke kanan. Disini mahasiswa

tidak melakukan penggeseren garis selidik sampai ke titik

penyelesaian yang terakhir.

12. Mahasiswa menentukan nilai maksimum dengan mensubstitusikan

titik maksimum yang diperoleh ke fungsi tujuannya sehingga

diperoleh 230.000

13. Mahasiswa menyimpulkan bahwa keuntungan maksimum yang

diperoleh bengkel tersebut adalah sebesar Rp 230.000




dua variabel (poin 1,2,3,4,5,6), mahasiswa dapat mengklarifikasi tujuan


6,11,12,13), mahasiswa dapat menentukan variabel, koefisien dan

konstanta terkait masalah program linear dua variabel (poin 3,4,5,6),

mahasiswa dapat merumuskan pernyataan matematika dan menentukan

model matematika terkait masalah program linear dua variabel (poin


286

1,2,3,4,5), mahasiswa menyelesaikan masalah yang terkait dengan

program linear dua variabel (mahasiswa menyelesaikan menggunakan

metode garis selidik) dengan kurang tepat (poin 10,11,12) walaupun

proses penyelesaiannya sudah tepat. Terlihat pada poin 10 mahasiswa

kurang tepat dalam menggambar garis selidik karena kesalahan dalam

memplotkan salah satu titik bantu yaitu titik (-2,4) sehingga garis selidik

yang digambar tidak tepat namun disini mahasiswa dapat menentukan titik

pemaksimum dengan tepat (poin 11,12) dengan langkah yang kurang tepat

karena garis selidik tidak digeser sampai ke titik penyelesaian yang

terakhir. Mahasiswa dapat menginterpretasikan kembali hasil

penyelesaiannya sesuai dengan konteks masalah awal (poin 13).













287


program linear (poin 10,11,12).

Dari hasil analisis pekerjaan mahasiswa pada hasil tes tertulis II

permasalahan pertama diperoleh bahwa kemampuan memodelkan semua

mahasiswa berada pada level formal. Terdapat 25 mahasiswa memenuhi semua

indikator kemampuan memodelkan pada level formal yaitu. mahasiswa

mampu membuat pemisalan terhadap objek dari masalah yang diberikan ke

dalam variabel, mahasiswa mampu membentuk fungsi objektif, mahasiswa

mampu membentuk kendala, mahasiswa mampu menuliskan syarat variabel

berdasarkan masalah pada soal yang diberikan, mahasiswa mampu

menyelesaikan model matematika yang telah dibuat sesuai aturan penyelesaian

masalah program linear, mahasiswa mampu menarik kesimpulan sesuai

konteks awal. Terdapat 9 mahasiswa dari 34 mahasiswa belum memenuhi 1

indikator kemampuan memodelkan pada level formal yaitu mahasiswa mampu



Permasalahan Kedua


bentuk minimum dalam kehidupan sehari-hari. Mahasiswa diminta untuk

menyelesaikan masalah tersebut.




288


Ada 28 mahasiswa dari 34 Mahasiswa yang menjawab dengan cara

sebagai berikut:

Gambar 4. 30. Kelompok jawaban mahasiswa yang pertama untuk

masalah kedua tes tertulis II kelas uji coba


1. Mahasiswa membuat pemisalan banyaknya kantong pupuk cair

dengan variabel x dan banyaknya kantong pupuk kering dengan

variabel y



3. Mahasiswa memodelkan kendala utama 2𝑥 + 𝑦 ≥ 10, 𝑥 + 3𝑦 ≥ 12,

3𝑥 + 2𝑦 ≤ 18 dan kendala nonnegatifnya 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0



289

5. Mahasiswa memodelkan fungsi objektif minimumkan 𝑓(𝑥, 𝑦) =

15.000𝑥 + 17.000𝑦





(0,10) dan titik (5,0), titik potong untuk persamaan 𝑥 + 3𝑦 = 12

adalah titik (0,4) dan titik (12,0), dan titik potong untuk persamaan

3𝑥 + 2𝑦 = 18 adalah titik (0,9) dan titik (6,0)



Disini mahasiswa tidak menuliskan cara menentukan daerah

penyelesaiannya


17.000𝑦 = 211.000 dan 15.000𝑥 + 17.000𝑦 = 156.000 dengan

mengambil nilai z = 211.000 dan z = 156.000



terhadap sumbu x dan sumbu y

10. Mahasiswa menentukan titik peminimum fungsi objektif yaitu titik

(4,3) dari proses penggeseran garis selidik ke kiri atau ke bawah


290

11. Mahasiswa menyimpulkan banyak kantong pupuk cair yang dibeli

yaitu 4 buah dan banyak kantong pupuk kering yang dibeli yaitu 3

buah.

12. Mahasiswa mensubstitusikan titik minimum (4,3) ke fungsi objektif

sehingga diperoleh nilai maksimumya 111.000

13. Mahasiswa menyimpulkan bahwa total harga paling murah dari

pembelian kedua jenis pupuk tersebut sebesar Rp 111.000






5,10,11,12,13), mahasiswa dapat menentukan variabel, koefisien dan

konstanta terkait masalah program linear dua variabel (poin 1,2,3,4,5),



1,2,3,4,5), mahasiswa dapat menyelesaikan masalah yang terkait dengan

program linear dua variabel (mahasiswa menyelesaikan masalah

menggunakan metode garis selidik), mahasiswa dapat


masalah awal (poin 11,13).




291







(poin 4), mahasiswa menyelesaikan model matematika yang telah dibuat

sesuai aturan penyelesaian masalah program linear (poin

6,7,8,9,10,11,12,13), mahasiswa mampu menarik kesimpulan sesuai

konteks awal (poin 11,13).


Ada 6 mahasiswa dari 34 Mahasiswa yang menjawab dengan cara sebagai

berikut:


292

Gambar 4. 31. Kelompok jawaban mahasiswa yang kedua untuk masalah

kedua tes tertulis II kelas uji coba


1. Mahasiswa menuliskan apa yang diketahui dari masalah yang

diberikan dalam sebuah tabel dan menuliskan apa yang ditanya

2. Mahasiswa membuat pemisalan variabel x sebagai banyaknya

kantong pupuk cair dengan dan variabel y sebagai banyaknya kantong

pupuk kering



4. Mahasiswa memodelkan kendala 2𝑥 + 𝑦 ≥ 10 (fungsi untuk zat

kimia I), 𝑥 + 3𝑦 ≥ 12 (fungsi untuk zat kimia II), dan 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 18

(fungsi untuk zat kimia II) dan kendala syarat nonnegatifnya 𝑥 ≥ 0

dan 𝑦 ≥ 0


293



17.000𝑦





(0,10) dan titik (5,0), titik potong untuk persamaan 𝑥 + 3𝑦 = 12


3𝑥 + 2𝑦 = 18 adalah titik (0,9) dan titik (6,0)



Disini mahasiswa tidak menuliskan cara menentukan daerah

penyelesaiannya. Mahasiswa tidak memplotkan titik (4,3) yang juga

merupakan titik penyelesaiannya


17.000𝑦 = 180.000 dan 15.000𝑥 + 17.000𝑦 = 150.000 dengan




terhadap sumbu x dan sumbu y




294



13. Mahasiswa menyimpulkan jadi banyak kantong pupuk cair 5 dan

banyak kantong pupuk kering 3 dengan total harga paling murah

adalah 126.000






6,11,12,13), mahasiswa dapat menentukan variabel, koefisien dan

konstanta terkait masalah program linear dua variabel (poin 1,2,3,4,5,6),



1,2,3,4,5,6), mahasiswa menyelesaikan masalah yang terkait dengan


menggunakan metode garis selidik) dengan kurang tepat (terlihat pada

poin 8, 11 dan 12. Mahasiswa tidak memplotkan titik 4,3 sebagai titik

penyelesaiannya sehingga pada saat menggeser garis selidik ke kiri atau

ke bawah diperoleh titik penyelesaian yang terakhir yang dilewati garis

selidik sebagai titik minimumnya adalah titik (5,3) seharusnya titik

penyelesaian yang terakhir yang dilewati garis selidik sebagai titik

minimumnya adalah titik (5,3)), mahasiswa dapat menginterpretasikan


295

kembali hasil penyelesaiannya sesuai dengan konteks masalah awal

walaupun hasil yang diperoleh kurang tepat (poin 13).













program linear (poin 8,11,12).

Dari hasil analisis pekerjaan mahasiswa pada hasil tes tertulis II

permasalahan kedua diperoleh bahwa kemampuan memodelkan semua

mahasiswa berada pada level formal. Terdapat 28 mahasiswa memenuhi semua

indikator kemampuan memodelkan pada level formal yaitu. mahasiswa


dalam variabel, mahasiswa mampu membentuk fungsi objektif, mahasiswa

mampu membentuk kendala, mahasiswa mampu menuliskan syarat variabel



296


masalah program linear, mahasiswa mampu menarik kesimpulan sesuai

konteks awal. Terdapat 6 mahasiswa dari 34 mahasiswa belum memenuhi 1




F. Deskripsi Hasil Tes Tertulis Kelas Uji Coba dan Wawancara

Deskripsi Jawaban Mahasiswa Dari Hasil Tes Tertulis I Kelas Uji Coba

dan Wawancara

Berikut ini disajikan deskripsi hasil jawaban mahasiswa dan wawancara

yang dideskripsikan berdasarkan kelompok jawaban mahasiswa yang sama.

Terdapat 3 kelompok jawaban yang sama yaitu kelompok jawaban mahasiswa

yang pertama, kelompok jawaban mahasiswa yang kedua, dan kelompok

jawaban mahasiswa yang ketiga.


Gambar 4. 32. Jawaban mahasiswa 1 untuk tes tertulis I kelas uji

coba


297


a. Mahasiswa memisalkan variabel x sebagai banyak karung baju dan y

sebagai banyak karung celana




c. Mahasiswa menggambar diagram Cartesius kemudian memplotkan

titik-titik dimana titik-titik tersebut memenuhi model yang sudah dibuat

pada jawaban nomor a pada diagram Cartesius. Titik-titik yang

diplotkan diantaranya adalah (0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (0,4), (1,0), (1,1),

(1,2), (1,3), (2,0), (2,1), (2,2), (3,0), (3,1), (3,2), (4,0), (4,1), (5,0), (6,0).



menyederhanakan asumsi dari masalah yang terkait dengan pertidaksamaan

linear dua variabel (poin a,b), mahasiswa dapat mengklarifikasi tujuan

penyelesaian masalah yang terkait dengan pertidaksamaan linear dua

variabel (poin b), mahasiswa dapat memisalkan objek ke dalam variabel


variabel (poin a), mahasiswa dapat merumuskan pernyataan matematika dan

menentukan model matematika berdasarkan masalah yang terkait dengan

pertidaksamaan linear dua variabel (poin b), mahasiswa dapat menentukan

penyelesaian dari model yang sudah dibuat terkait masalah pertidaksamaan


298

linear dua variabel dengan langkah-langkah mahasiswa menggambar

diagram Cartesius kemudian memplotkan titik-titik dimana titik-titik

tersebut memenuhi model yang sudah dibuat pada jawaban nomor a pada

diagram Cartesius (poin c).



a berada pada level formal. Mahasiswa tersebut memenuhi semua indikator





Untuk kemampuan memodelkan mahasiswa pada permasalahan nomor b

ada pada level referensial. Mahasiswa tersebut memenuhi indikator

kemampuan memodelkan pada level referensial yaitu mahasiswa

memplotkan titik – titik (kemungkinan dari variabel) yang memenuhi model

pada diagram Cartesius (poin c).

Deskripsi hasil wawancara peneliti dan perwakilan mahasiswa dari

kelompok jawaban mahasiswa yang pertama

Berikut merupakan transkip wawancara antara peneliti dan perwakilan

mahasiswa dari kelompok jawaban mahasiswa yang pertama. Pada transkip

wawancara berikut P menyatakan peneliti dan S1 menyatakan perwakilan

mahasiswa dari kelompok jawaban mahasiswa yang pertama.


299

P : Coba kamu ceritakan bagaiman cara kamu menyelesaikan


S11 : Kan itu di soalnya kan tertulis ada dua jenis karung. Yang satu

baju yang satu celana jadi yang dimisalkan itu x nya itu

banyaknya karung baju terus y nya itu banyaknya karung

celana. Di soal juga tertulis sebuah motor membawa beban

tidak lebih dari 24 kg jadi saya memisalkan dengan banyak

karung karena beratnya tergantung banyak karungnya itu

P : Ya oke. Sekarang disitu kan kamu dapat modelnya 4𝑥 + 6𝑦 ≤24. Na coba kamu bahasakan Kembali model yang kamu buat

berdasarkan apa yang kamu misalkan? Apa artinya 4x, apa

artinya 6y?

S12 : Karena pada soal diketahui satu karung baju itu 4 kg, satu

karung celana itu 6 kg dan karena dari pemisalnya x dengan

banyak karung baju dan y dengan banyaknya karung celana

maka saya mengambil itu 4𝑥 + 6𝑦 ≤ 24

P : Jadi menurut kamu kalau kita bahasakan lagi jadinya berat

satu karung baju dikali banyaknya karung baju di tambah berat

satu karung celana di kali banyaknya karung celana kurang

dari 24?

S13 : Ia kak

P : Berati menurut kamu dia tidak lebih 24 berati artinya kurang

dari sama dengan24?

S14 : Ia kak

P : Boleh aku aku bawa 24 kg?

S15 : Boleh

P : Kalau 20 kg boleh?

S16 : Boleh

P : Kenapa?

S17 : Karena itu kurang dari 24

P : Kalau 25 kg?

S18 : Nggak boleh karena lebih dari 24

P : Ia lebih dari 24 dan tidak memenuhi syaratnya lagi kan dari

modelnya itu. Na sekarnag kita lanjut ke pertanyaan yang

kedua, bagaimana cara kamu tahu kalau titik – titik itu titik

penyelesaiannya?

S19 : Disitu sebenarnya daerah penyelesaianku salah

P : Nggak. Itu benar kok.

S110 : Ia mba?

P : Ia benar. Na aku tanya gimana caranya kamu plotkan titik-titik

penyelesaiannya itu?

S111 : Kan kalau model 4x + 6y ≤ 24, misalkan y = 0 dan x = 6, x =

0 dam y = 4 dan y = 0 dan x = 6 jadi kenapa titik – titik itu

karna x dan y bilangan bulat

P : Na kamu bilang kamu misalkan y = 0 dan x = 6, x = 0 dam y =

4 dan y = 0 dan x = 6 na itu mau buat apa? Atau kamu coba


300

aja ambil titik kayak gitu. Misalkan (0,0) terus substitusi ke

model kek gitu atau gimana?

S112 : Nggak. Sebenarnya yang kek tadi kan. Misalkan y nya 0, x nya

0. Terus digambar garis yang menghubungakan titik

potongnya itu. Cuma disini aku kurang gambar grafiknya kak

P : Kenapa kurang gambar grafiknya?

S113 : Lupa kak hehe. Karena buru-buru

P : O berarti kamu tahu Langkah gambar grafiknya dulu?

S114 : Ia tahu kak. Gambar grafik persamaannya itu dulu harusnya

P : Na kalau gitu gimana caranya kamu tahu kalau daerah segitiga

ini daerah penyelesaiannya?

S115 : Ya dari uji titikny mba. Disubstitusiin ke modelnya. Titiknya itu

harus memenuhi modelnya itu

P : SeAndainya di ambil titik (0,-1)bisa nggak?

S116 : Nggak kak karena daerah penyelesaianya 𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0

P : Na terus kenapa 𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0? Coba Kembali ke

pemisalanmu tadi

S117 : Karena banyak karung itu kan nggak mungkin negatif. Jadi

banyak karung itu bisa aja 0 bisa aja lebih dari 0

P : Dan dia harus bilangan?

S118 : Bilangan bulat

Berdasarkan hasil wawancara di atas dapat dilihat bahwa untuk membentuk

model dari masalah yang diberikan, mahasiswa membuat pemisalan

terhadap objek-objek ke dalam variabel. Mahasiswa membuat pemisalan x

= banyaknya karung baju dan y = banyaknya karung celana dengan alasan

menurut mahasiswa karena yang diketahui dalam soal yang diberikan

adalah ada dua jenis karung yaitu karung baju dan karung celana dan berat

maksimal karung yang dibawa Anansi tergantung dengan banyaknya karung

baju dan karung celana yang dibawa. Hal ini dapat dilihat pada dialog

berikut ini:

P : Coba kamu ceritakan bagaiman cara kamu menyelesaikan


S11 : Kan itu di soalnya kan tertulis ada dua jenis karung. Yang satu

baju yang satu celana jadi yang dimisalkan itu x nya itu

banyaknya karung baju terus y nya itu banyaknya karung

celana. Di soal juga tertulis sebuah motor membawa beban


301

tidak lebih dari 24 kg jadi saya memisalkan dengan banyak

karung karena beratnya tergantung banyak karungnya itu

Berdasarkan hasil wawancara, mahasiswa membuat model matematikanya

yaitu 4𝑥 + 6𝑦 ≤ 24. 4𝑥 diperoleh dari hasil kali banyaknya karung baju

dengan berat satu karung baju dan 6𝑦 diperoleh dari hasil kali banyaknya

karung celana dengan berat satu karung celana. Mahasiswa menggunakan

tanda ≤ karena pada soal diketahui bahwa sepeda motornya itu membawa

beban tidak lebih dari 24 kg. Kalimat tidak lebih berarti kurang dari sama

dengan dimana berat yang dibawah boleh dibawah 24 kg atau sama dengan

24 kg. Mahasiswa menyertakan syarat untuk model yang dibuat yaitu dari

𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 dan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 dengan alasan karena x menyatakan banyaknya

karung baju dan y menyatakan banyaknya karung celana jadi merupakan

anggota bilangan bulat dan tidak mungkin negatif. Hal ini dapat dilihat pada

dialog berikut ini:

P : Ya oke. Sekarang disitu kan kamu dapat modelnya 4𝑥 + 6𝑦 ≤24. Na coba kamu bahasakan Kembali model yang kamu buat

berdasarkan apa yang kamu misalkan? Apa artinya 4x, apa

artinya 6y?

S12 : Karena pada soal diketahui satu karung baju itu 4 kg, satu

karung celana itu 6 kg dan karena dari pemisalnya x dengan

banyak karung baju dan y dengan banyaknya karung celana

maka saya mengambil itu 4𝑥 + 6𝑦 ≤ 24

P : Jadi menurut kamu kalau kita bahasakan lagi jadinya berat satu

karung baju dikali banyaknya karung baju di tambah berat satu

karung celana di kali banyaknya karung celana kurang dari 24?

S13 : Ia kak

P : Berati menurut kamu dia tidak lebih 24 berati artinya kurang

dari sama dengan 24?

S14 : Ia kak

P : Boleh aku aku bawa 24 kg?

S15 : Boleh

P : Kalau 20 kg boleh?

S16 : Boleh


302

P : Kenapa?

S17 : Karena itu kurang dari 24

P : Kalau 25 kg?

S18 : Nggak boleh karena lebih dari 24

P : Na terus kenapa 𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0? Coba Kembali ke pemisalanmu

tadi

S117 : Karena banyak karung itu kan nggak mungkin negatif. Jadi

banyak karung itu bisa aja 0 bisa aja lebih dari 0

P : Dan dia harus bilangan?

S118 : Bilangan bulat

Dari hasil wawancara, menurut mahasiswa daerah penyelesaian yang dibuat

salah karena kurang menggambar grafik persamaan 4𝑥 + 6𝑦 = 24 karena

terburu-buru. Menurut mahasiswa dalam menggambar daerah penyelesaian

yaitu terlebih dahulu menggambar grafik persamaannya dengan cara

menentukan titik potong grafik terhadap sumbu x dan terhadap sumbu y

sehingga diperoleh tittik (0,4) dan (6,0). Mahasiswa menentukan daerah

penyelesaian dengan cara uji titik yang disubstitusikan ke model

matematikanya. Jika memenuhi model yang dibuat maka daerah tersebut

adalah daerah penyelesaiannya. Mahasiswa memplotkan titik-titik pada

daerah penyelesaian dikarenakan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 dan memenuhi syarat 𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥

0. Hal ini dapat dilihat pada dialog berikut ini:

P : Ia lebih dari 24 dan tidak memenuhi syaratnya lagi kan dari

modelnya itu. Na sekarang kita lanjut ke pertanyaan yang

kedua, bagaimana cara kamu tahu kalau titik – titik itu titik

penyelesaiannya?

S19 : Disitu sebenarnya daerah penyelesaianku salah

P : Nggak. Itu benar kok.

S110 : Ia mba?

P : Ia benar. Na aku tanya gimana caranya kamu plotkan titik-titik

penyelesaiannya itu?

S111 : Kan kalau model 4x + 6y ≤ 24, misalkan y = 0 dan x = 6, x = 0

dam y = 4 dan y = 0 dan x = 6 jadi kenapa titik – titik itu karna

x dan y bilangan bulat


303

P : Na kamu bilang kamu misalkan y = 0 dan x = 6, x = 0 dam y =

4 dam y = 0 dan x = 6 na itu mau buat apa? Atau kamu coba

aja ambil titik kayak gitu. Misalkan (0,0) terus substitusi ke

model kek gitu atau gimana?

S112 : Nggak. Sebenarnya yang kek tadi kan. Misalkan y nya 0, x nya

0. Terus digambar garis yang menghubungakan titik potongnya

itu. Cuma disini aku kurang gambar grafiknya kak

P : Kenapa kurang gambar grafiknya?

S113 : Lupa kak hehe. Karena buru-buru

P : O berarti kamu tahu Langkah gambar grafiknya dulu?

S114 : Ia tahu kak. Gambar grafik persamaannya itu dulu harusnya

P : Na kalau gitu gimana caranya kamu tahu kalau daerahnya ini

aja yang daerah penyelesaiannya?

S115 : Ya dari uji titiknya mba. Disubstitusiin ke modelnya. Titiknya

itu harus memenuhi modelnya itu

P : SeAndainya di ambil titik (0,-1)bisa nggak?

S116 : Nggak kak karena daerah penyelesaianya 𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0

Dari deskripsi hasil wawancara peneliti dan mahasiswa di atas dan jika

ditinjau dari indikator soal, maka disimpulkan bahwa mahasiswa tersebut


pertidaksamaan linear dua variabel, mahasiswa dapat mengklarifikasi tujuan


variabel, mahasiswa dapat memisalkan objek ke dalam variabel berdasarkan

masalah yang terkait dengan pertidaksamaan linear dua variabel (mahasiswa

menggunakan variabel x dan y), mahasiswa dapat merumuskan pernyataan

matematika dan menentukan model matematika berdasarkan masalah yang

terkait dengan pertidaksamaan linear dua variabel, mahasiswa dapat

menentukan penyelesaian dari model yang sudah dibuat terkait masalah

pertidaksamaan linear dua variabel dengan langkah-langkah menggambar

grafik persamaan terlebih dahulu, kemudian menentukan daerah

penyelesaiannya dengan cara uji titik, dan memplotkan titik-titik pada


304

daerah penyelesaian yang merupakan titik penyelesaiannya dimana 𝑥, 𝑦 ∈

𝑍.

Berdasarkan deskripsi hasil wawancara, kemampuan memodelkan

mahasiswa untuk permasalahan nomor a adalah pada level formal.

Mahasiswa tersebut memenuhi semua indikator kemampuan memodelkan

pada level formal yaitu mahasiswa mampu membuat pemisalan terhadap

objek dari masalah yang diberikan ke dalam variabel (S11), dan mahasiswa

mampu membentuk sebuah pertidaksamaan linear dua variabel dari masalah

yang diberikan (S12, S13, S14, S15 S16, S17 S18, S117, S118). Untuk kemampuan

memodelkan mahasiswa pada permasalahan nomor b berada pada level



grafik persamaan dari bentuk pertidaksamaan linear dua variabel (S111, S112,

S114), mahasiswa mampu menentukan daerah penyelesaian dengan

memperhatikan syaratnya (S115, S116), dan mahasiswa mampu memplotkan


penyelesaian (S111).

Berdasarkan hasil tes dan hasil wawancara mahasiswa di atas, disimpulkan

bahwa kemampuan memodelkan mahasiswa untuk permasalahan nomor a

berada pada level formal. Berdasarkan hasil tes dan hasil wawancara,

mahasiswa memenuhi semua indikator kemampuan memodelkan pada level

formal yaitu mahasiswa mampu membuat pemisalan terhadap objek dari


305

masalah yang diberikan ke dalam variabel, dan mahasiswa mampu

membentuk sebuah pertidaksamaan linear dua variabel dari masalah yang

diberikan. Untuk kemampuan memodelkan mahasiswa pada permasalahan

nomor b berada pada level formal. Mahasiswa tersebut memenuhi semua


mampu menggambar grafik persamaan dari bentuk pertidaksamaan linear

dua variabel, mahasiswa mampu menentukan daerah penyelesaian dengan




Gambar 4. 33. Jawaban mahasiswa 2 untuk tes tertulis I kelas uji coba


a. Mahasiswa memisalkan variabel x sebagai banyaknya karung baju dan

y sebagai banyaknya karung celana




306

dengan syarat 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 dan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍. Mahasiswa menuliskan

penggunaan tanda ≤ karena motornya hany adapat membawa beban

tidak lebih dari 24 kg

c. Mahasiswa mencari titik bantu yaitu ketika x = 0 dan y = 0 dimana

merepresentasikan titik potong grafik 4𝑥 + 6𝑦 = 24 terhadap sumbu x

dan terhadap sumbu y sehingga diperoleh titik titik (0,4) dan (6,0)

d. Mahasiswa memplot titik (0,4) dan (6,0) pada diagram Cartesius dan


e. Mahasiswa menentukan daerah penyelesaian dan mengarsir daerah


berupa segitiga yang dihubungkan oleh titik koordinat yaitu (0,4), (0,0),

dan (6,0).

f. Mahasiswa memplotkan titik-titik pada daerah penyelesaian yang



indikator soal bagian a, maka disimpulkan bahwa mahasiswa tersebut dapat









307



6𝑦 ≤ 24 dengan langkah-langkah yaitu mencari titik potong dari grafik

4𝑥 + 6𝑦 = 24 terhadap sumbu x dan terhadap sumbu y (poin c),

menggambar garis lurus yang menghubungkan kedua titik potong (poin d),

menentukan daerah penyelesaian dan bukan daerah penyelesaian (poin e),

dan memplotkan titik pada daerah penyelesaian yang merupakan titik

penyelesaiannya (poin f).

Dari hasil dan deskripsi jawaban mahasiswa di atas, disimpulkan bahwa

kemampuan memodelkan mahasiswa tersebut pada jawaban nomor a berada

pada level formal. Mahasiswa tersebut memenuhi semua indikator






ada pada level formal. Mahasiswa tersebut memenuhi indikator kemampuan


grafik persamaan dari bentuk pertidaksamaan linear dua variabel (poin c, d),

mahasiswa mampu menentukan daerah penyelesaian dengan

memperhatikan syaratnya (poin e), dan mahasiswa mampu memplotkan


penyelesaian (poin f).


308


kelompok jawaban mahasiswa yang kedua


mahasiswa dari kelompok jawaban mahasiswa yang kedua. Pada transkip


mahasiswa dari kelompok jawaban mahasiswa yang kedua.

P : Coba kamu ceritakan bagaimana cara kamu menyelesaikan


S21 : Kalau pertama ya pasti baca soalnya dulu. Habis itu dilihat

apa yang ditanyain. Ini kan yang ditanyakan itu model

matematika sama gambar daerah penyelesaian. Jadinya

membuat model matematika dari soal yang diketahui dan

menggambar daerah penyelesaian dari model yang udah

dibuat

P : Kalau dari soal, kira – kira apa yang diketahui?

S22 : Yang diketahui kan satu karung baju itu beratnya 4 kg, satu

karung celana 6 kg dan untuk mengantarkan pesanan sepeda

motornya itu Cuma dapat membawa beban tidak lebih dari 24

kg

P : Kenapa yang kamu misalkan dengan x adalah banyaknya

karung baju dan y adalah banyaknya karung celana?

S23 : Karena yang diketahui satu karung baju 4 kg berarti kita harus

mencari 4 dikali berapa karung yang nanti bebannya tidak

lebih dari 24 berarti x nya itu kan karung bajunya ada berapa

dan begitu juga dengan yang karung celana

P : Na terus apa makna dari model yang dibuat?

S24 : x banyaknya karung baju dan y banyaknya karung celana

jadinya 4 dikali berapa karung baju ditambah 6 dikali berapa

karung celana yang beratnya tidak lebih dari 24 jadi 4𝑥 + 6𝑦 ≤ 24

P : Apa arti dari 𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0 dan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 ?

S25 : 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 karena x adalah banyaknya karung baju, y banyaknya

karung celana. Kalau karung itu 1 ,2 dst jadi dia harus

bilangan bulat dan 𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0 karena banyaknya karung

baju tidak mungkin negatif

P : Iya baik na sekarang lanjut ke bagian b. Bagaimana langkah –

langkah kamu menggambar daerah penyelsaian dalam

diagram cartesius?


309

S26 : Dari model matematika 4𝑥 + 6𝑦 ≤ 24 diubah ke bentuk

persamaan menjadi 4𝑥 + 6𝑦 = 24 lalu untuk mencari titik

potong di diagram cartesius dengan memisalkan x = 0 jadi

didapat y =4 jadi titik potongnya (0,4) dan untuk y = 0 didapat

x = 6 jadi titik potongnya (6,0) lalu membuat titik (0,4) dan titik

(6,0) di diagram cartesius lalu tarik garis lurus. Karena x,y ∈𝑍 jadi daerah penyelesaiannya berupa titik – titik yang dimana

pasangan titiknya adalah elemen bilangan bulat

P : Mengapa daerah penyelesaiannya ini yang kamu pilih bukan

bukan di atas grafik persamaannya?

S27 : Karena kalau dipilih sembarang di atas grafik misalnya titik

(5,1) disubsitusikan ke pertidaksamaan menjadi 26 ≥ 24 jadi

pertidaksamaanya bernilai salah

P : Jadi cara kamu nentuin daerahnya itu dengan uji titik?

S28 : Ia mba. Kalau bernilai benar maka itu daerahnya. Kalau nggak

berarti bukan.



terhadap objek-objek ke dalam variabel Mahasiswa membuat pemisalan x

= banyaknya karung baju dan y = banyaknya karung celana dengan alasan

menurut mahasiswa karena yang diketahui dalam soal yang diberikan

adalah berat karung baju dan berat karung celana sehingga perlu dicari

banyaknya karung. Hal ini dapat dilihat pada dialog berikut ini:

P : Kenapa yang kamu misalkan dengan x adalah banyaknya

karung baju dan y adalah banyaknya karung celana?

S23 : Karena yang diketahui satu karung baju 4 kg berarti kita harus

mencari 4 dikali berapa karung yang nanti bebannya tidak lebih

dari 24 berarti x nya itu kan karung bajunya ada berapa dan

begitu juga dengan yang karung celana






310


beban tidak lebih dari 24 kg. Mahasiswa menyertakan syarat untuk model

yang dibuat yaitu dari 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 dan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 dengan alasan karena x

menyatakan banyaknya karung baju dan y menyatakan banyaknya karung

celana jadi merupakan anggota bilangan bulat dan tidak mungkin negatif.

Hal ini dapat dilihat pada dialog berikut ini:

P : Na terus apa makna dari model yang dibuat?

S24 : x banyaknya karung baju dan y banyaknya karung celana

jadinya 4 dikali berapa karung baju ditambah 6 dikali berapa

karung celana yang beratnya tidak lebih dari 24 jadi 4𝑥 + 6𝑦 ≤ 24

P : Apa arti dari 𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0 dan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 ?

S25 : 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 karena x adalah banyaknya karung baju, y banyaknya

karung celana. Kalau karung itu 1 ,2 dst jadi dia harus bilangan

bulat dan 𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0 karena banyaknya karung baju tidak

mungkin negatif

Dari hasil wawancara, mahasiswa menggambar daerah penyelesaian dengan

cara mengubah bentuk pertidaksamaan ke bentuk persamaan kemudian

menentukan titik potong grafik terhadap sumbu x dan terhadap sumbu y

sehingga diperoleh tittik (0,4) dan (6,0), memplotkan titik potong tersebut

pada diagram Cartesius dan menarik garis yang menghubungkan kedua titik

potong tersebut. Mahasiswa menentukan daerah penyelesaian dengan cara

uji titik yaitu mengambil salah satu titik kemudian mensubstitusikan ke

model matematikanya. Jika memenuhi model yang dibuat maka daerah

tersebut adalah daerah penyelesaiannya. Yang diarsir bukan merupakan

daerah penyelesaian. Mahasiswa memplotkan titik-titik pada daerah

penyelesaian dikarenakan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍. Hal ini dapat dilihat pada dialog berikut

ini:


311

P : Iya baik na sekarang lanjut ke bagian b. Bagaimana langkah –

langkah kamu menggambar daerah penyelsaian dalam diagram

cartesius?

S26 : Dari model matematika 4𝑥 + 6𝑦 ≤ 24 diubah ke bentuk

persamaan menjadi 4𝑥 + 6𝑦 = 24 lalu untuk mencari titik

potong di diagram Cartesius dengan memisalkan x = 0 jadi

didapat y =4 jadi titik potongnya (0,4) dan untuk y = 0 didapat

x = 6 jadi titik potongnya (6,0) lalu membuat titik (0,4) dan titik

(6,0) di diagram cartesius lalu tarik garis lurus. Karena x,y ∈ 𝑍

jadi daerah penyelesaiannya berupa titik – titik yang dimana

pasangan titiknya adalah elemen bilangan bulat

P : Mengapa daerah penyelesaiannya ini yang kamu pilih bukan

bukan di atas grafik persamaannya?

S27 : Karena kalau dipilih sembarang di atas grafik misalnya titik

(5,1) disubsitusikan ke pertidaksamaan menjadi 26 ≥ 24 jadi

pertidaksamaanya bernilai salah

P : Jadi cara kamu nentuin daerahnya itu dengan uji titik?

S28 : Ia mba. Kalau bernilai benar maka itu daerahnya. Kalau nggak

berarti bukan.

Dari poin-poin deskripsi hasil wawancara peneliti dan mahasiswa di atas

dan jika ditinjau dari indikator soal bagian a, maka disimpulkan bahwa

mahasiswa tersebut dapat menyederhanakan asumsi dari masalah yang



pertidaksamaan linear dua variabel, mahasiswa dapat memisalkan objek ke

dalam variabel berdasarkan masalah yang terkait dengan pertidaksamaan

linear dua variabel (mahasiswa menggunakan variabel x dan y), mahasiswa


matematika berdasarkan masalah yang terkait dengan pertidaksamaan linear

dua variabel, mahasiswa dapat menentukan penyelesaian dari model yang

sudah dibuat pada soal bagian a yaitu 4𝑥 + 6𝑦 ≤ 24 dengan langkah-

langkah menggambar grafik persamaan terlebih dahulu, kemudian


312

menentukan daerah penyelesaiannya dengan cara uji titik, dan memplotkan

titik-titik pada daerah penyelesaian yang merupakan titik penyelesaiannya

dimana 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍.





objek dari masalah yang diberikan ke dalam variabel (S23), dan mahasiswa


yang diberikan (S24, S25). Untuk kemampuan memodelkan mahasiswa pada

permasalahan nomor b berada pada level formal. Mahasiswa tersebut

memenuhi semua indikator kemampuan memodelkan pada level formal

yaitu mahasiswa mampu menggambar grafik persamaan dari bentuk

pertidaksamaan linear dua variabel (S26), mahasiswa mampu menentukan

daerah penyelesaian dengan memperhatikan syaratnya (S27, S28), dan

mahasiswa mampu memplotkan titik – titik yang merupakan penyelesaian

yang ada di dalam daerah penyelesaian (S26).








313










Gambar 4. 34. Jawaban mahasiswa 3 untuk tes tertulis I kelas uji coba






dengan syarat 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0


314

c. Mahasiswa menggambar garis lurus yang merepresentasikan



d. Mahasiswa menentukan daerah penyelesaian dan mengarsir daerah



dan (6,0).

e. Mahasiswa memplotkan titik-titik pada daerah penyelesaian yang



indikator soal bagian a, maka disimpulkan bahwa mahasiswa tersebut dapat










6𝑦 ≤ 24 dengan langkah-langkah yaitu menggambar grafik 4𝑥 + 6𝑦 = 24

pada diagram Cartesius (poin c), menentukan daerah penyelesaian dan


315

bukan daerah penyelesaian (poin d), dan memplotkan titik pada daerah

penyelesaian yang merupakan titik penyelesaiannya (poin e).

Dari hasil dan deskripsi pekerjaan mahasiswa di atas, disimpulkan bahwa






pertidaksamaan linear dua variabel dari masalah y ang diberikan (poin b).


ada pada level formal. Mahasiswa tersebut memenuhi semua indikator



variabel (poin c), mahasiswa mampu menentukan daerah penyelesaian

dengan memperhatikan syaratnya (poin d), dan mahasiswa mampu

memplotkan titik – titik yang merupakan penyelesaian yang ada di dalam

daerah penyelesaian (poin e).


kelompok jawaban mahasiswa yang ketiga


mahasiswa dari kelompok jawaban mahasiswa yang ketiga. Pada transkip


316


mahasiswa dari kelompok jawaban mahasiswa yang ketiga.

P : Coba kamu ceritakan bagaimana kamu menyelesaikan 2 soal ini

S31 : Waktu itu kan aku ada kertas coret-coretannya. Na di coret-

coretannya itu aku buat tabelnya biar aku bisa menentukan x

sama y yang aku misalkan itu yang mana

P : Terus setelahnya itu?setelah buat tabel?

S32 : Terus aku misalinkan x y nya. Kan aku misalin x nya itu

banyaknya karung baju sama misalin y nya itu banyaknya

karung celana. Setelah dimisalin aku buat model

matematikanya. Setelah itu aku bikin grafik. Terus nanti

diketahui daerah himpunan penyelesaiannya. Udah

P : Na aku tanya. Kenapa kamu misalkan x nya itu dengan banyak

karung baju dan y dengan banyak karung celana?

S33 : Bentar aku baca soalnya dulu mba. Aku lupa.

Kan disoalnya kan begini kak (mahasiswa membaca ulang

soal). Berartikan dari situ dibayanganku itu tu kayak baju sama

celananya itu udah dipakkin satu karung satu karung satu

karung. Gitu. Jadi aku memisalkannya banyaknya karung

bukan banyaknya baju

P : Na terus sekarang kamu dapat modelnya 4𝑥 + 6𝑦 ≤ 24.

Kenapa 4x kenap 6y?

S34 : Karena kan aku misalkan x itu dengan banyak karung baju dan

di soal itu diketahui satu karung baju itu mempunyai berat 4 kilo

jadinya kan sesuatu dikalikan 4 terus nanti ditambah sesuatu

dikalikan berat karung celana lebih dari sama dengan 24 kilo.

P : Sesuatu itu yang kamu misalkan tadi itu apa?

S35 : O ia maksudnya banyak karung baju dan banyak karung celana

P : Kenapa tandanya ≤?

S36 : Karena di soal itu diketahui kalau sepeda motornya itu

membawa beban tidak lebih dari 24 kilo

P : Jadi

S37 : Jadi tidak lebih itu kan paling mentok 24. Paling mentok 24 itu

kan kalu dibawa 24 masih bisa diangkut.

P : Ia. Kalau 25?

S38 : Nggak bisa

P : Karena?

S39 : 25 itu lebih dari 24

P : Apa arti x ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0

S310 : Itu artinya karena banyaknya karung itu kan nggak mungkin

negatif atau 0 . eee 0 bisa 0 bisa. Makanya x ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0

P : Ia. Na bagaimana cara gambar daerah penyelesaiaanya?

S311 : Aku ngambil satu titik terus di tes ke model matematikanya.

Nanti kalau memenuhi syarat itu merupakan daerah


317

penyelesaiannya. Tapi kalau tidak memenuhi syarat berarti

bukan. Yang aku arsir itu yang bukan.

P : Na garis lurus ini gimana? Kamu dapat darimana ini?

S312 : Grafik persamaannya mba itu. Na itu dari modelnya itu ubah ke

persamaan terus buat buat tabel yang x = 0 dan y = 0 itu loh ka

P : Ya titik potong

S313 : Ha titik potong. Menentukan titik potong dengan sumbu x dan y

nanti di plot terus tarik garisnya.

P : Kalau x = 0 ynya?

S314 : y nya 4

P : Kalau y nya 0 xnya?

S315 : 6

P : Kenapa himpunan penyelesaiannya berupa titik? Ini kan (1,1)

(2,1)

S316 : Karena x,y anggota bilangan bulat. Kan tadi aku misalkan x dan

y banyaknya karung. Jadi nnggak ada pecahan. Jadi adanya 1

karung 1 karung gitu. Nggak ada setengah karung. Jadinya titik

nya itu di bilangan bulat aja.


model dari masalah yang diberikan, mahasiswa membuat tabel dari objek-

objek yang diketahui dalam soal untuk memudahkan mahasiswa dalam

membuat pemisalan terhadap objek-objek ke dalam variabel Mahasiswa

membuat pemisalan x = banyaknya karung baju dan y = banyaknya karung

celana dengan alasan menurut mahasiswa baju dan celana tersebut sudah

dipakkan dalam karung oleh karena itu yang dimisalkan adalah banyaknya

karung. Hal ini dapat dilihat pada dialog berikut ini:

P : Coba kamu ceritakan bagaimana kamu menyelesaikan 2 soal

ini

S31 : Waktu itu kan aku ada kertas coret-coretannya. Na di coret-

coretannya itu aku buat tabelnya biar aku bisa menentukan x

sama y yang aku misalkan itu yang mana

P : Terus setelahnya itu?setelah buat tabel?

S32 : Terus aku misalinkan x, y nya. Kan aku misalin x nya itu

banyaknya karung baju sama misalin y nya itu banyaknya

karung celana. Setelah dimisalin aku buat model


318

matematikanya. Setelah itu aku bikin grafik. Terus nanti

diketahui daerah himpunan penyelesaiannya. Udah

P : Na aku tanya. Kenapa kamu misalkan x nya itu dengan banyak

karung baju dan y dengan banyak karung celana?

S33 : Bentar aku baca soalnya dulu mba. Aku lupa.

Kan disoalnya kan begini kak (mahasiswa membaca ulang

soal). Berartikan dari situ dibayanganku itu tu kayak baju sama

celananya itu udah dipakkin satu karung satu karung satu

karung. Gitu. Jadi aku memisalkannya banyaknya karung

bukan banyaknya baju






beban tidak lebih dari 24 kg. Menurut mahasiswa berat karung yang boleh

dibawa paling mentok 24 kg atau dtidak boleh lebih dari 24 kg. Mahasiswa

membuat syarat untuk model yang dibuat yaitu x ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0 dengan

alasan banyaknya karung tidak mungkin negatif. Hal ini dapat dilihat pada

dialog berikut ini:

P : Na terus sekarang kamu dapat modelnya 4𝑥 + 6𝑦 ≤ 24.

Kenapa 4x kenap 6y?

S34 : Karena kan aku misalkan x itu dengan banyak karung baju

dan di soal itu diketahui satu karung baju itu mempunyai

berat 4 kilo jadinya kan sesuatu dikalikan 4 terus nanti

ditambah sesuatu dikalikan berat karung celana lebih dari

sama dengan 24 kilo.

P : Sesuatu itu yang kamu misalkan tadi itu apa?

S35 : O ia maksudnya banyak karung baju dan banyak karung

celana


S36 : Karena di soal itu diketahui kalau sepeda motornya itu

membawa beban tidak lebih dari 24 kilo

P : Jadi


319

S37 : Jadi tidak lebih itu kan paling mentok 24. Paling mentok 24

itu kan kalu dibawa 24 masih bisa diangkut.

P : Ia. Kalau 25?

S38 : Nggak bisa

P : Karena?

S39 : 25 itu lebih dari 24

P : Apa arti x ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0

S310 : Itu artinya karena banyaknya karung itu kan nggak mungkin

negatif atau 0 . eee 0 bisa 0 bisa. Makanya x ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0



menentukan titik potong grafik terhadap sumbu x dan terhadap sumbu y,

memplotkan titik potong tersebut pada diagram Cartesius dan menarik garis

yang menghubungkan kedua titik potong tersebut. Mahasiswa menentukan

daerah penyelesaian dengan cara uji titik yaitu mengambil salah satu titik

kemudian mensubstitusikan ke model matematikanya. Jika memenuhi maka

daerah tersebut adalah daerah penyelesaiannya. Yang diarsir bukan

merupakan daerah penyelesaian. Mahasiswa memplotkan titik-titik pada

daerah penyelesaian dikarenakan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍. Hal ini dapat dilihat pada dialog

berikut ini:

P : Ia. Na bagaimana cara gambar daerah penyelesaiaanya?

S311 : Aku ngambil satu titik terus di tes ke model matematikanya.

Nanti kalau memenuhi syarat itu merupakan daerah

penyelesaiannya. Tapi kalau tidak memenuhi syarat berarti

bukan. Yang aku arsir itu yang bukan.

P : Na garis lurus ini gimana? Kamu dapat darimana ini?

S312 : Grafik persamaannya mba itu. Na itu dari modelnya itu ubah

ke persamaan terus buat buat tabel yang x = 0 dan y = 0 itu

loh ka

P : Ya titik potong

S313 : Ha titik potong. Menentukan titik potong dengan sumbu x dan

y nanti di plot terus tarik garisnya.

P : Kalau x = 0 ynya?


320

S314 : y nya 4

P : Kalau y nya 0 xnya?

S315 : 6

P : Kenapa himpunan penyelesaiannya berupa titik? Ini kan (1,1)

(2,1)

S316 : Karena x,y anggota bilangan bulat. Kan tadi aku misalkan x

dan y banyaknya karung. Jadi nnggak ada pecahan. Jadi

adanya 1 katrung 1 karung gitu. Nggak ada setengah karung.

Jadinya titik nya itu di bilangan bulat aja.

Dari poin-poin deskripsi hasil wawancara peneliti dan mahasiswa di atas

dan jika ditinjau dari indikator soal bagian a, maka disimpulkan bahwa

mahasiswa tersebut dapat menyederhanakan asumsi dari masalah yang



pertidaksamaan linear dua variabel, mahasiswa dapat memisalkan objek ke

dalam variabel berdasarkan masalah yang terkait dengan pertidaksamaan

linear dua variabel (mahasiswa menggunakan variabel x dan y), mahasiswa


matematika berdasarkan masalah yang terkait dengan pertidaksamaan linear

dua variabel, mahasiswa dapat menentukan penyelesaian dari model yang

sudah dibuat pada soal bagian a yaitu 4𝑥 + 6𝑦 ≤ 24 dengan langkah-

langkah yaitu menggambar grafik persamaannya 4𝑥 + 6𝑦 = 24 pada

diagram Cartesius, menentukan daerah penyelesaiannya dengan cara uji

titik, dan memplotkan titik-titik pada daerah penyelesaian yang merupakan

titik penyelesaiannya dimana 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍.




321



objek dari masalah yang diberikan ke dalam variabel (S32, S33), dan

mahasiswa mampu membentuk sebuah pertidaksamaan linear dua variabel

dari masalah yang diberikan (S34, S35, S36, S310). Untuk kemampuan

memodelkan mahasiswa pada permasalahan nomor b berada pada level



grafik persamaan dari bentuk pertidaksamaan linear dua variabel (S312, S313,

S314, S315), mahasiswa mampu menentukan daerah penyelesaian dengan

memperhatikan syaratnya (S311), dan mahasiswa mampu memplotkan titik

– titik yang merupakan penyelesaian yang ada di dalam daerah penyelesaian

(S316).



berada pada level formal. Berdasarkan hasil tes dan hasil wawancara









322





Dari hasil analisis jawaban mahasiswa dan wawancara pada tes tertulis I

untuk permasalahan nomor a diperoleh bahwa kemampuan memodelkan semua


indikator kemampuan memodelkan pada level formal untuk nomor soal a yaitu

mahasiswa mampu membuat pemisalan terhadap objek dari masalah yang

diberikan ke dalam variabel, dan mahasiswa mampu membentuk sebuah

pertidaksamaan linear dua variabel dari masalah yang diberikan. Dari hasil

analisis jawaban mahasiswa dan wawancara pada tes tertulis I untuk

permasalahan nomor b diperoleh kemampuan memodelkan semua mahasiswa

berada pada level formal. Semua mahasiswa memenuhi semua indikator pada

level formal untuk permasalahan nomor b yaitu mahasiswa mampu menggambar

grafik persamaan dari bentuk pertidaksamaan linear dua variabel, mahasiswa

mampu menentukan daerah penyelesaian dengan memperhatikan syaratnya, dan

mahasiswa mampu memplotkan titik – titik yang merupakan penyelesaian yang

ada di dalam daerah penyelesaian.

Deskripsi Jawaban Mahasiswa Dari Hasil Tes Tertulis II Kelas Uji Coba

dan Wawancara


yang dideskripsikan berdasarkan kelompok jawaban mahasiswa yang sama


323

untuk masing-masing nomor soal (permasalahan yang diberikan). Pada nomor

soal pertama terdapat 3 kelompok jawaban yang sama yaitu kelompok jawaban

mahasiswa yang pertama, kelompok jawaban mahasiswa yang kedua, dan

kelompok jawaban mahasiswa yang ketiga. Pada nomor soal kedua terdapat 2

kelompok jawaban yang sama yaitu kelompok jawaban mahasiswa yang

pertama dan kelompok jawaban mahasiswa yang kedua.

Permasalahan yang pertama


Gambar 4. 35. Jawaban mahasiswa 1 untuk masalah pertama tes tertulis II

kelas uji coba


1. Mahasiswa membuat pemisalan banyaknya kursi dengan variabel x dan

banyaknya meja dengan variabel y




324

3. Mahasiswa memodelkan kendala utama 2𝑥 + 𝑦 ≤ 15 (proses perakitan)

dan 𝑥 + 3𝑦 ≤ 13 (proses finishing) sesuai dengan yang diperoleh dari

tabel yang telah dibuat dan kendala nonnegatifnya 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0


5. Mahasiswa memodelkan fungsi objektif maksimumkan 𝑓(𝑥, 𝑦) =

20.000𝑥 + 50.000𝑦



fungsi-kendala tersebut terhadap sumbu x dan terhadap sumbu y sehingga

diperoleh titik potong untuk persamaan 2𝑥 + 𝑦 = 15 adalah titik (0,15)

dan titik (7.5,0) dan titik potong untuk persamaan 𝑥 + 3𝑦 = 13 adalah

titik (0,4.3) dan titik (13,0).

7. Mahasiswa menentukan daerah penyelesaian dan memplotkan titik-titik

yang merupakan titik penyelesaiannya pada daerah penyelesaian. Disini

mahasiswa tidak menuliskan cara yang digunakan untuk menentukan

daerah penyelesaiannya


50.000𝑦 = 70.000 dan 20.000𝑥 + 50.000𝑦 = 170.000 dengan


9. Mahasiswa menggambar persamaan garis selidik dengan terlebih dahulu

menentukan titik potong persamaan garis selidik tersebut terhadap

sumbu x dan sumbu y.


325





diperoleh keuntungan maksimumnya sebesar Rp 230.000











linear dua variabel (mahasiswa menyelesaikan masalah yang diberikan

menggunakan metode garis selidik), mahasiswa dapat menginterpretasikan

kembali hasil penyelesaiannya sesuai dengan konteks masalah awal (11).


bahwa kemampuan memodelkan mahasiswa tersebut ada pada level formal.



objek dari masalah yang diberikan ke dalam variabel (poin 1), mahasiswa


326

mampu membentuk fungsi objektif (5), mahasiswa mampu membentuk

kendala (poin 3), mahasiswa mampu menuliskan syarat variabel

berdasarkan masalah pada soal yang diberikan (poin 4), mahasiswa mampu

menyelesaikan model matematika yang telah dibuat sesuai aturan

penyelesaian masalah program linear (poin 6,7,8,9,10,11), mahasiswa

mampu menarik kesimpulan sesuai konteks awal (poin 11).







P : Kenapa kamu banyaknya kursi dengan x dan banyaknya meja

dengan y?

S11 : Oke. Kenapa saya misalkan dengan begitu karena yang ditanya

dalam soal adalah keuntungan maksimal dari kegiatan yang

dilakukan. Kegiatan yang dilakukan itu adalah untuk membuat

atau memproduksi kursi dan meja dan keuntungannya itu

diperoleh dari penjualan kursi dan meja. Jadi yang saya

misalkan itu adalah banyaknya kursi dan banyaknya meja

P : Apa gunanya kamu buat tabel ini?

S12 : Tabel itu tujuanya untuk memudahkan saya membuat model

dari kendala yang ada pada soal

P : Na sekarang aku mau tanya kendalanya ini diperoleh

darimana?

S13 : Jadi kegiatan yang dilakukan untuk memproduksi kursi dan

meja itu melalui dua tahap. Yang pertama perakitan dan yang

kedua finishing. Jadi kendala yang 2𝑥 + 𝑦 ≤ 15 adalah untuk

proses perakitan untuk kursi dan meja. Lalu yang kedua dengan

𝑥 + 3𝑦 ≤ 13 model untuk proses finishing kursi dan meja


S14 : Karena waktu kerjanya untuk prosesnya itu tidak lebih dari 15

artunya waktu maksimalnya 15 makanya saya meggunakan


327

tanda ≤ 15. Jadi misalkan saya tanya apakah 14 boleh? Ya

boleh.

P : Kenapa 𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0 dan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍?

S15 : Karena kan disini pembicaraannya kita itu banyaknya kursi dan

banyaknya meja. Banyaknya kursi dan meja itu tidak bisa

dinyatakan dalam bentuk bilangan negatif. Jadi jumlah suatu

barang itu selalu positif. Lalu kenapa 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 karena

banyaknya kursi dan meja pasti bulat, kita tidak bisa

menyatakan ½ meja, ¼ meja jadi dia selalu elemuen bilangan

bulat.

P : Iya kan biasanya kalau dijual itu nggak mungkin ½ kursi atau

½ meja kan?

S16 : Iya mba

P : Maksud dari fungsi tujuan yang kamu rumuskan ini apa?

S17 : Karena dari pemisalan kita x adalah banyaknya kursi dan y

adalah banyaknya meja. Terus keuntungan yang diperoleh dari

penjualan kursi itu 20.000 dan keuntungan dari meja 50.000

P : Iya terus?

S18 : Karena tujuan kita adalah mencari keuntungan maksimum dari

penjualan kursi dan meja makanya fungsi tujuannya

maksimumkan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 20.000𝑥 + 50.000𝑦

P : Terus apa yang kamu lakukan setelah itu?

S19 : Jadi setelah kendala dan fungsi tujuan saya tentukan, sekarang

tujuan saya adalah menentukan daerah penyelesaiannya

P : Gimana caranya?

S110 : Caranya ambil pertidaksamaannya itu saya ubah ke

persamaan. Terus saya tentukan titik potongnya terhadap

sumbu x dan sumbu y. Dimisalkan x nya nol untuk dapat

menentukan titik y nya, terus dimisalkan y nya nol untuk

menentukan titik x nya. Sehingga kedua titik tersebut dapat

ditarik garis sehingga garis tersebut merupakan garis

kendalanya

P : Oke. Setelah itu apa?

S111 : Setelah garis kendala digambarkan berarti kita bisa

menentukan daerah penyelesaiannya artinya daerah tersebut

merupakan daerah irisan dari semua kendala.

P : Maksudnya apanya kendala?

S112 : Jadi dari masing-masing kendalanya sudah ada daerah

penyelesaiannya namun daerah penyelesaiannya disini itu

adalah daerah irisan dari semua kendala yang ada. Daerahnya

itu harus memenuhi smeua kendala

P : Ya oke. Na kenapa daearh penyelesaiannya bentuk titik-titik?

S113 : Karena dia elemen bilangan bulat. Dan tidak semua titik pada

daerah tersebut merupakan titik penyelesaiannya

P : Oke. Disini kan kamu ambil z nya kan 70.000 dan 170.000 untuk

persamaan garis selidiknya. Na stelah ini kamu buat apa?


328

S114 : Setelah dapat persamaan garis selidiknya, Saya lakukan hal

yang sama pada kendala. Saya misalkan x nya nol untuk dapat


menentukan titik x nya. Dari dua titik yang ditemukan kita dapat

menarik suatu garis dan garis itu yang disbeut garis selidik.

P : Kenapa ada dua garis selidik?

S115 : Untuk menguji kesejajaran, kemiringan garisnya. Jadi yang

satunya saya geser, yang satunya dijadikan acuan buat saya

sehingga posisinya tetap sama

P : Gesernya kemana?

S116 : Karena ini tujuan kita memaksimumkan maka garis selidiknya

di geser keatas sampai titik penyelesaian yang terakhir. Dan

dari hasil penggeserannya itu saya memperoleh titik

penyelesaian yang terakhirnya itu titik (4,3)

P : Berarti (4,3) itu sebagai titik?

S117 : Sebagai titik maksimum

P : Kenapa titik itu disebut sebagai titk maksimum?

S118 : Karena titik tersbeut merupakan titik penyelesaian yang

terakhir dari kegiatan penggeseran garis selidik ke atas

P : Setelah itu apa yang kamu lakukan?

S119 : Setelah kita menentukan titik maksimumnya lalu titik tersebut

disubstitusikan ke fugsi tujuan kita yaitu 20.000𝑥 + 50.000𝑦

jadi x dan y nya diganti. x nya dengan 4, y nya dengan 3

sehingga diperoleh 20.000(4) + 50.000(3) = 230.000

P : Berarti apa kesimpulanmu?

S120 : Kesimpulannya maka bengkel tersebut memperoleh keuntungan

maksimumnya sebesar 230.000 dari penjualan 4 kursi dan 3

meja

Berdasarkan hasil wawancara di atas, dapat dilihat bahwa mahasiswa

menyelesaikan masalah yang diberikan menggunakan garis selidik dengan

langkah-langkah membuat pemisalan objek-objek dari masalah yang

diberikan ke dalam variabel, memodelkan kendala (kendala utama dan

kendala nonnegatif), mahasiswa menuliskan syarat x dan y berdasarkan

masalah pada soal yang diberikan, memodelkan fungsi objektif,

menggambar daerah penyelesaian dan menentukan titik penyelesaiannya,

menentukan dan menggambar garis selidik, menentukan titik maksimum

dan nilai maksimum, kemudian menarik kesimpulan.


329

Dalam membuat pemisalan terhadap objek-objek dari masalah yang

diberikan ke dalam variabel, mahasiswa memisalkan banyaknya kursi

dengan variabel x dan banyaknya meja dengan variabel y. Hal ini

berdasarkan yang ditanyakan dalam masalah yang diberikan yaitu

keuntungan maksimal dari penjualan kursi dan meja. Hal ini dapat dilihat

pada dialog berikut ini:

P : Kenapa kamu banyaknya kursi dengan x dan banyaknya meja

dengan y?

S11 : Oke. Kenapa saya misalkan dengan begitu karena yang ditanya

dalam soal adalah keuntungan maksimal dari kegiatan yang

dilakukan. Kegiatan yang dilakukan itu adalah untuk menjual

kursi dan meja dan keuntungannya itu diperoleh dari penjualan

kursi dan meja. Jadi yang saya misalkan itu adalah banyaknya

kursi dan banyaknya meja

Mahasiswa membuat tabel berisikan hal-hal yang menjadi kendala dari

masalah yang diberikan untuk mempermudah membuat model kendala.

Kendala yang dibuat adalah kendala yang pertama 2𝑥 + 𝑦 ≤ 15 yaitu

fungsi untuk waktu proses perakitan kursi dan meja dan kendala yang kedua

𝑥 + 3𝑦 ≤ 13 yaitu fungsi untuk waktu proses finishing kursi dan meja.

Mahasiswa menggunakan tanda ≤ karena waktu pengerjaan untuk masing-

masing proses maksimal 15 jam dan 13 jam. Hal ini dapat dilihat pada dialog

berikut ini:

P : Apa gunanya kamu buat tabel ini?

S12 : Tabel itu tujuanya untuk memudahkan saya membuat model

dari kendala yang ada pada soal

P : Na sekarang aku mau tanya kendalanya ini diperoleh

darimana?

S13 : Jadi kegiatan yang dilakukan untuk memproduksi kursi dan

meja itu melalui dua tahap. Yang pertama perakitan dan yang

kedua finishing. Jadi kendala yang 2𝑥 + 𝑦 ≤ 15 adalah untuk


330

proses perakitan untuk kursi dan meja. Lalu yang kedua dengan

𝑥 + 3𝑦 ≤ 13 model untuk proses finishing kursi dan meja


S14 : Karena waktu kerjanya untuk prosesnya itu tidak lebih dari 15

artinya waktu maksimalnya 15 makanya saya menggunakan

tanda ≤ 15. Jadi misalkan saya tanya apakah 14 boleh? Ya

boleh. Sama dengan yang kendala kedua juga

Mahasiswa memodelkan syarat atau kendala nonnegatifnya 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥

0 dan syarat 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍. Hal ini dikarenakan semesta pembicaraannya adalah

banyaknya kursi dan banyaknya meja. Banyaknya kursi dan banyaknya

meja tidak bisa dinayatakan dalam bilangan negatif dalam artian selalu

positif. Untuk 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 dikarenakan banyaknya kursi dan banyaknya meja

tidak bisa dinyatakan dalam pecahan. Hal ini dapat dilihat pada dialog

berikut ini:

P : Kenapa 𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0 dan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍?

S15 : Karena kan disini pembicaraannya kita itu banyaknya kursi dan

banyaknya meja. Banyaknya kursi dan meja itu tidak bisa

dinyatakan dalam bentuk bilangan negatif. Jadi jumlah suatu

barang itu selalu positif. Lalu kenapa 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 karena

banyaknya kursi dan meja pasti bulat, kita tidak bisa

menyatakan ½ meja, ¼ meja jadi dia selalu elemen bilangan

bulat.

P : Iya kan biasanya kalau dijual itu nggak mungkin ½ kursi atau

½ meja kan?

Mahasiswa memodelkan fungsi objektif atau fungsi tujuan maksimumkan

𝑓(𝑥, 𝑦) = 20.000𝑥 + 50.000𝑦 karena tujuan dari masalah yang diberikan

adalah keuntungan maksimum dari penjualan kursi dan meja dengan

keuntungan dari penjualan tiap kursi Rp 20.000 dan keuntungan dari

penjualan dari tiap meja Rp 50.000. Hal ini dapat dilihat pada dialog berikut

ini:


331

P : Kenapa fungsi tujuan yang kamu rumuskan adalah

maksimumkan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 20.000𝑥 + 50.000𝑦?

S17 : Maksud dari fungsi tujuan yang kamu rumuskan ini apa?

P : Karena dari pemisalan kita x adalah banyaknya kursi dan y

adalah banyaknya meja. Terus keuntungan yang diperoleh dari

penjualan kursi itu 20.000 dan keuntungan dari meja 50.000

S18 : Iya terus?

Karena tujuan kita adalah mencari keuntungan maksimum dari

penjualan kursi dan meja makanya fungsi tujuannya

maksimumkan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 20.000𝑥 + 50.000𝑦

Setelah mahasiswa membuat model program linearnya, mahasiswa

menentukan titik maksimum menggunakan metode garis selidik dengan

terlebih dahulu mahasiswa menggambar daerah penyelesaian dari kendala

dan memplotkan titik penyelesaiannya. Mahasiswa menggambar daerah

penyelesaiannya dengan langkah menggambar grafik persamaan kendala

(menentukan titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y kemudian

menarik garis), kemudian menentukan daerah penyelesaiannya yaitu daerah

irisan dari semua daerah penyelesaian kendalanya dimana daerah tersebut

memenuhi semua kendala. Mahasiswa memplotkan titik penyelesaiannya

karena terdapat syarat 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍. Hal ini dapat dilihat pada dialog berikut ini:

P : Terus apa yang kamu lakukan setelah itu?

S19 : Jadi setelah kendala dan fungsi tujuan saya tentukan, sekarang

tujuan saya adalah menentukan daerah penyelesaiannya

P : Gimana caranya?

S110 : Caranya ambil pertidaksamaannya itu saya ubah ke

persamaan. Terus saya tentukan titik potongnya terhadap

sumbu x dan sumbu y. Dimisalkan x nya nol untuk dapat


menentukan titik x nya. Sehingga kedua titik tersebut dapat

ditarik garis sehingga garis tersebut merupakan garis

kendalanya

P : Oke. Setelah itu apa?


332

S111 : Setelah garis kendala digambarkan berarti kita bisa

menentukan daerah penyelesaiannya artinya daerah tersebut

merupakan daerah irisan dari semua kendala.

P : Maksudnya apanya kendala?

S112 : Jadi dari masing-masing kendalanya sudah ada daerah

penyelesaiannya namun daerah penyelesaiannya disini itu

adalah daerah irisan dari semua kendala yang ada. Daerahnya

itu harus memenuhi semua kendala

P : Ya oke. Na kenapa daerah penyelesaiannya bentuk titik-titik?

S113 : Karena dia elemen bilangan bulat. Dan tidak semua titik pada

daerah tersebut merupakan titik penyelesaiannya

Kemudian setelah itu, mahasiswa menentukan 2 persamaan garis selidik

dengan mengambil nilai z = 70.000 dan z = 170.000. Mahasiswa

menggambar grafik garis selidik dengan terlebih dahulu menentukan titik

potong masing-masing grafik terhadap sumbu x dan terhadap sumbu y.

Dipilih dua garis selidik karena untuk melihat kesejajaran garisnya dan

membantu mahasiswa sebagai pedoman dalam proses penggeseran garis

selidik. Garis selidik di geser ke atas sampai titik penyelesaian terakhir

karena tujuannya yaitu memaksimumkan sehingga diperoleh titik

maksimumnya adalah titik (4,3). Hal ini dapat dilihat pada dialog berikut

ini:

P : Oke. Disini kan kamu ambil z nya kan 70.000 dan 170.000 untuk

persamaan garis selidiknya. Na setelah ini kamu buat apa?

S114 : Setelah dapat persamaan garis selidiknya, Saya lakukan hal

yang sama pada kendala. Saya misalkan x nya nol untuk dapat


menentukan titik x nya. Dari dua titik yang ditemukan kita dapat

menarik suatu garis dan garis itu yang disbeut garis selidik.

P : Kenapa ada dua garis selidik?

S115 : Untuk menguji kesejajaran, kemiringan garisnya. Jadi yang

satunya saya geser, yang satunya dijadikan acuan buat saya

sehingga posisinya tetap sama

P : Gesernya kemana?


333

S116 : Karena ini tujuan kita memaksimumkan maka garis selidiknya

di geser keatas sampai titik penyelesaian yang terakhir. Dan

dari hasil penggeserannya itu saya memperoleh titik

penyelesaian yang terakhirnya itu titik (4,3)

P : Berarti (4,3) itu sebagai titik?

S117 : Sebagai titik maksimum

P : Kenapa titik itu disebut sebagai titk maksimum?

S118 : Karena titik tersbeut merupakan titik penyelesaian yang

terakhir dari kegiatan penggeseran garis selidik ke atas

Mahasiswa kemudian mensubstitusikan titik (4,3) ke fungsi tujuannya

sehingga diperoleh nilai maksimumnya 230.000. Pada akhir penyelesaian

mahasiswa menyimpulkan bengkel tersebut memperoleh keuntungan

maksimumnya sebesar Rp 230.000 dari penjualan 4 kursi dan 3 meja. Hal

ini dapat dilihat pada dialog berikut ini:

P : Setelah itu apa yang kamu lakukan?

S119 : Setelah kita menentukan titik maksimumnya lalu titik tersebut

disubstitusikan ke fugsi tujuan kita yaitu 20.000𝑥 + 50.000𝑦

jadi x dan y nya diganti. x nya dengan 4, y nya dengan 3

sehingga diperoleh 20.000(4) + 50.000(3) = 230.000

P : Berarti apa kesimpulanmu?

S120 : Kesimpulannya maka bengkel tersebut memperoleh keuntungan

maksimumnya sebesar 230.000 dari penjualan 4 kursi dan 3

meja

Dari deskripsi hasil wawancara peneliti dengan mahasiswa di atas, dapat

disimpulkan bahwa mahasiswa dan jika ditinjau dari indikator soal, maka

terlihat bahwa mahasiswa tersebut dapat menyederhanakan asumsi dari

masalah yang terkait dengan program linear dua variabel, mahasiswa dapat

mengklarifikasi tujuan penyelesaian masalah yang terkait program linear

dua variabel, mahasiswa dapat menentukan variabel, koefisien dan

konstanta terkait masalah program linear dua variabel, mahasiswa dapat

merumuskan pernyataan matematika dan menentukan model matematika,


334


linear dua variabel (mahasiswa menyelesaikan menggunakan metode garis

selidik), mahasiswa dapat menginterpretasikan kembali hasil

penyelesaiannya sesuai dengan konteks masalah awal.

Berdasarkan deskripsi hasil wawancara di atas, kemampuan memodelkan

mahasiswa adalah pada level formal. Mahasiswa tersebut memenuhi semua



dalam variabel (S11), mahasiswa mampu membentuk fungsi objektif (S17,

S18), mahasiswa mampu membentuk kendala (S13, S14, S15), mahasiswa

mampu menuliskan syarat variabel berdasarkan masalah pada soal yang

diberikan (S15), mahasiswa mampu menyelesaikan model matematika yang

telah dibuat sesuai aturan penyelesaian masalah program linear (S19, S110,

S111, S112, S113, S114, S115, S116, S117, S118, S119), mahasiswa mampu

menarik kesimpulan sesuai konteks awal (S120).

Berdasarkan hasil tes dan hasil wawancara dengan mahasiswa di atas, dapat

disimpulkan bahwa kemampuan memodelkan mahasiswa adalah pada level



pemisalan terhadap objek dari masalah yang diberikan ke dalam variabel,

mahasiswa mampu membentuk fungsi objektif, mahasiswa mampu

membentuk kendala, mahasiswa mampu menuliskan syarat variabel



335


penyelesaian masalah program linear, mahasiswa mampu menarik

kesimpulan sesuai konteks awal.



kelas uji coba


1. Mahasiswa membuat pemisalan variabel x sebagai banyaknya kursi dan

variabel y sebagai banyaknya meja

2. Mahasiswa memodelkan kendala utama 2𝑥 + 𝑦 ≤ 15 (fungsi untuk

perakitan) dan 𝑥 + 3𝑦 ≤ 13 (fungsi untuk finishing) dan kendala

nonnegatifnya 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0



50.000𝑦


336





dan titik (7.5,0) dan titik potong untuk persamaan 𝑥 + 3𝑦 = 13 adalah

titik (0,4.3) dan titik (13,0).



mahasiswa tidak menuliskan cara dalam menentukan daerah

penyelesaiannya dan mahasiswa tidak memplotkan titik (4,3) sebagai

titik penyelesaiaan.


50.000𝑦 = 70.000 dan menggambar garis yang merepresentasikan

persamaan tersebut pada diagram cartesius





diperoleh keuntungan maksimumnya sebesar Rp 320.000. Disini

mahasiswa mengalami kesalahan dalam perhitungan. Seharusnya

ketika titik (6,2) di substitusikan ke fungsi objektif hasilnya adalah

220.000


337




dua variabel (poin 1,2,3,4), mahasiswa dapat mengklarifikasi tujuan

penyelesaian masalah yang terkait program linear dua variabel (poin 4,8,9),

mahasiswa dapat menentukan variabel, koefisien dan konstanta terkait

masalah program linear dua variabel (poin 1,2,3,4), mahasiswa dapat


terkait masalah program linear dua variabel (poin 1,2,3,4), mahasiswa

menyelesaikan masalah yang terkait dengan program linear dua variabel

(mahasiswa menyelesaikan masalah menggunakan metode garis selidik)

dengan kurang tepat (Terlihat pada poin 6 dan 8. Mahasiswa tidak

memplotkan titik 4,3 sebagai titik penyelesaiannya sehingga pada saat

menggeser garis selidik ke kanan diperoleh titik penyelesaian yang terakhir

yang dilewati garis selidik sebagai titik maksimumnya adalah titik (6,2)

seharusnya titik penyelesaian yang terakhir yang dilewati garis selidik

sebagai titik maksimumnya adalah titik (4,3), mahasiswa juga melakukan

kesalahan saat menghitung hasil dari substitusi titik (4,3) ke fungsi tujuan

(poin 9)), mahasiswa dapat menginterpretasikan kembali hasil

penyelesaiannya sesuai dengan konteks masalah awal walaupun hasil yang

diperoleh kurang tepat (poin 9).




338

Mahasiswa tersebut memenuhi 5 indikator kemampuan memodelkan pada

level formal yaitu mahasiswa mampu membuat pemisalan terhadap objek

dari masalah yang diberikan ke dalam variabel (poin 1), mahasiswa mampu

membentuk fungsi objektif (poin 4), mahasiswa mampu membentuk


berdasarkan masalah pada soal yang diberikan (poin 3), dan mahasiswa

mampu menarik kesimpulan sesuai konteks awal (poin 9). Mahasiswa

belum memenuhi 1 indikator kemampuan memodelkan pada level formal

yaitu mahasiswa mampu menyelesaikan model matematika yang telah

dibuat sesuai aturan penyelesaian masalah program linear (poin 6 dan poin

8).







P : Gimana cara kamu menyelesaikan masalah yang diberikan?

S21 : Aku pakai garis selidik kak. Jadi aku buat modelnya dulu baru

diselesaikan pakai metode garis selidik. Gitu kak.

P : Ia langsung aja ya kenapa yang kamu misalkan dengan variabel

itu banyaknya kursi dan banyaknya meja

S22 : Saya lihat dari yang ditanya sih kak, kan keutungan maksimal

itu kan tergantung berapa banyak kursi dan meja yang dijual

jadi saya misalkan itu

P : Iya. terus maksud dari kendalamu ni apa?

S23 : Itu kak seperti yang saya tulis yang kendala 2𝑥 + 𝑦 ≤ 15 itu

fungsi buat perakitan, 𝑥 + 3𝑦 ≤ 13 fungsi buat finishingnya.


339

Terus karena banyak kursi dan banyak meja kan tidak mungkin

negatif dan sebutnya itu kan 1 buah 2 buah tidak ada setengah

buah jadi 𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0 dan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍


S24 : Karena kalau nggak salah di soalnya itu di waktu

pengerjaannya hanya tersedia segitu. Jadi boleh kurang boleh

sama dengan

P : Na terus fungsi tujuanmu ini gimana?

S25 : Itu maksudnya keuntungan maksimalnya diperoleh dari

keuntungan satu kursi dikali banyaknya kursi ditambah

keuntungan satu meja dikali banyak mejanya itu.

P : Iya. Jangan lupa kata memaksimumkan biar tahu kamu mau

memaksimumkan atau meminimumkan fungsinya itu

S26 : Owg iya kak

P : Na setelah itu apa yang kamu buat?

S27 : Saya selesaikan modelnya itu. Cari titik potong dari kendalanya

itu terus gambar garisnya baru tentukan daerah

penyelesaiannya. Terus itu titik-titik karena elemen bilangan

bulat.

P : Owg iya, kenapa daerahnya ini yang jadi daerah

penyelesaiannya?

S28 : Karena daerah itu memenuhi semua kendalanya. Ini saya lupa

sih kak buat plot titik (4,3) titik penyelesaiannya

P : Hehehe iya. Terus kamu buat apa?

S29 : Tentukan garis selidiknya terus gambar garis selidiknya itu.

Kemudian garisnya itu saya geser ke atas karena mau cari yang

maksimum. Diperoleh titik maksimumnya disitu (6,2) terus

untuk mencari keuntungan maksimalnya tinggal di substitusikan

ke fungsi tujuannya tadi. Tapi seharusnya itu titik maksnya itu

titik(4,3) kak

P : Iya betul ya. Soalnya di atas titik (6,2) ini masih ada titik (4,3)

yang juga titik penyelesainnya. Na sekanrg kenapa Cuma buat

1 garis selidik?

S210 : Sebenarnya mau buat dua kak cuma takut waktunya nggak

keburu

P : tahu nggak alasan kenapa kita minimal gambar garis selidiknya

dua?

S211 : Buat bantu gesernya biar tetap sejajar. Benar nggak ya kak?

P : Iya biar kita bisa lihat kemiringannya itu pas apa nggak supaya

pas kita geser garisnya itu nggak salah tetap dengan kemiringan

yang sama. na terus setelah dapat titik minimum kamu buat

apa?

S212 : Substitusi ke fungsi tujuannya kak. Kan seharsunya titik

maksnya (4,3) ya

P : Na hasilnya berapa kalau begitu?

S213 : Dapatnya 230.000 kak


340

P : Jadi kesimpulannya apa?

S214 : Keuntungan maksimal yang diperoleh bengkel tersebut Rp

230.000

P : Iya.













berdasarkan yang ditanyakan dalam masalah dan keuntungan maksimal

tergatung dari banyak kursi dan banyak meja yang dijual. Hal ini dapat

dilihat pada dialog berikut ini:

P : Ia langsung aja ya kenapa yang kamu misalkan dengan variabel

itu banyaknya kursi dan banyaknya meja

S22 : Saya lihat dari yang ditanya sih kak, kan keutungan maksimal itu

kan tergantung berapa banyak kursi dan meja yang dijual jadi

saya misalkan itu

Mahasiswa membuat kendala yang pertama 2𝑥 + 𝑦 ≤ 15 yaitu fungsi untuk

waktu proses perakitan kursi dan meja dan kendala yang kedua 𝑥 + 3𝑦 ≤


341

13 yaitu fungsi untuk waktu proses finishing kursi dan meja. Mahasiswa

menggunakan tanda ≤ karena waktu pengerjaan yang tersedia untuk

masing-masing proses 15 jam dan 13 jam yang artinya boleh kurang boleh

sama dengan. Mahasiswa memodelkan syarat atau kendala nonnegatifnya

𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0 dan syarat 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍. Hal ini dikarenakan banyak kursi dan

banyak meja tidak mungkin negatif dan tidak bisa dinyatakan setengah buah

kursi atau meja. Mahasiswa memodelkan fungsi fungsi tujuan 𝑓(𝑥, 𝑦) =

20.000𝑥 + 50.000𝑦 karena keuntungan maksimum diperoleh dari

keuntungan total dari banyaknya kursi ditambah keuntungan total dari

banyaknya meja. Hal ini dapat dilihat pada dialog berikut ini:

P : Iya. terus maksud dari kendalamu ni apa?

S23 : Itu kak seperti yang saya tulis yang kendala 2𝑥 + 𝑦 ≤ 15 itu

fungsi buat perakitan, 𝑥 + 3𝑦 ≤ 13 fungsi buat finishingnya.

Terus karena banyak kursi dan banyak meja kan tidak mungkin

negatif dan sebutnya itu 1 buah 2 buah tidak ada setengah buah

jadi 𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0 dan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍


S24 : Karena kalau nggak salah di soalnya itu di waktu pengerjaannya

hanya tersedia segitu. Jadi boleh kurang boleh sama dengan

P : Na terus fungsi tujuanmu ini gimana?

S25 : Itu maksudnya keuntungan maksimalnya diperoleh dari

keuntungan satu kursi dikali banyaknya kursi ditambah

keuntungan satu meja dikali banyak mejanya itu.




dan memplotkan titik penyelesaiannya. Mahasiswa mengonfirmasi bahwa

titik (4,3) juga merupakan titik penyelesaiannya. Mahasiswa menggambar

daerah penyelesaiannya dengan langkah menggambar grafik persamaan


342

kendala (menentukan titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y

kemudian menarik garis), kemudian menentukan daerah penyelesaiannya

dimana daerah tersebut memenuhi semua kendala. Mahasiswa memplotkan

titik penyelesaiannya karena terdapat syarat 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍. Hal ini dapat dilihat


P : Na setelah itu apa yang kamu buat?

S27 : Saya selesaikan modelnya itu. Cari titik potong dari kendalanya

itu terus gambar garisnya baru tentukan daerah

penyelesaiannya. Terus itu titik-titik karena elemen bilangan

bulat.

P : Owg iya, kenapa daerahnya ini yang jadi daerah

penyelesaiannya?

S28 : Karena daerah itu memenuhi semua kendalanya. Ini saya lupa

sih kak buat plot titik (4,3) titik penyelesaiannya

Kemudian setelah itu, mahasiswa menentukan 1 persamaan garis selidik dan



Disini mahasiswa hanya menggambar 1 persamaan garis selidik awal

dikarenakan mahasiswa takut waktu tidak keburu untuk menyelesaikan soal

lainnya. Namun mahasiswa mengetahui bahwa perlu lebih dari satu garis

selidik awal agar dapat membantu dalam proses penggeseran kesejajarannya

pas. Garis selidik di geser ke atas karena tujuan memaksimumkan. Sehingga

diperoleh titik maksimumnya (4,3). Setelah itu titik (4,3) tersebut di

substitusikan ke fungsi tujuan sehingga diperoleh 230.000. Kemudian

mahasiswa menyimpulkan bahwa keuntungan maksimal yang diperoleh

bengkel tersebut Rp 230.000. Hal ini dapat dilihat pada dialog berikut ini:

P : Hehehe iya. Terus kamu buat apa?


343

S29 : Tentukan garis selidiknya terus gambar garis selidiknya itu.

Kemudian garisnya itu saya geser ke atas karena mau cari yang

maksimum. Diperoleh titik maksimumnya disitu (6,2) terus untuk

mencari keuntungan maksimalnya tinggal di substitusikan ke

fungsi tujuannya tadi. Tapi seharusnya itu titik maksnya itu

titik(4,3) kak

P : Iya betul ya. Soalnya di atas titik (6,2) ini masih ada titik (4,3)

yang juga titik penyelesainnya. Na sekarang kenapa Cuma buat

1 garis selidik?

S210 : Sebenarnya mau buat dua kak cuma takut waktunya nggak

keburu

P : tahu nggak alasan kenapa kita minimal gambar garis selidiknya

dua?

S211 : Buat bantu gesernya biar tetap sejajar. Benar nggak ya kak?

P : Iya biar kita bisa lihat kemiringannya itu pas apa nggak supaya

pas kita geser garisnya itu nggak salah tetap dengan kemiringan

yang sama. na terus setelah dapat titik minimum kamu buat apa?

S212 : Substitusi ke fungsi tujuannya kak. Kan seharusnya titik maksnya

(4,3) ya

P : Na hasilnya berapa kalau begitu?

S213 : Dapatnya 230.000 kak

P : Jadi kesimpulannya apa?

S214 : Keuntungan maksimal yang diperoleh bengkel tersebut Rp

230.000

P : Iya.

Dari deskripsi hasil wawancara peneliti dengan mahasiswa di atas dan jika

ditinjau dari indikator soal, maka terlihat bahwa mahasiswa tersebut dapat


dua variabel, mahasiswa dapat mengklarifikasi tujuan penyelesaian masalah

yang terkait program linear dua variabel, mahasiswa dapat menentukan

variabel, koefisien dan konstanta terkait masalah program linear dua

variabel, mahasiswa dapat merumuskan pernyataan matematika dan

menentukan model matematika, mahasiswa dapat menyelesaikan masalah

yang terkait dengan program linear dua variabel (mahasiswa menyelesaikan


344


kembali hasil penyelesaiannya sesuai dengan konteks masalah awal.





dalam variabel (S22), mahasiswa mampu membentuk fungsi objektif (S25),

mahasiswa mampu membentuk kendala (S23, S24), mahasiswa mampu


(S24), mahasiswa mampu menyelesaikan model matematika yang telah

dibuat sesuai aturan penyelesaian masalah program linear (S29, S210, S211,

S212, S213), mahasiswa mampu menarik kesimpulan sesuai konteks awal

(S214).











345




Gambar 4. 37. Jawaban mahasiswa 3 untuk masalah pertama tes tertulis

II kelas uji coba


1. Mahasiswa menuliskan apa yang diketahui dan ditanya pada masalah

yang diberikan




yang diproduksi dan variabel y sebagai banyaknya meja yang

diproduksi


346

4. Mahasiswa memodelkan kendala utama 2𝑥 + 𝑦 ≤ 15 untuk jumlah

waktu perakitan dan 𝑥 + 3𝑦 ≤ 13 untuk jumlah waktu finishing dan

kendala nonnegatifnya 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0



20.000𝑥 + 50.000𝑦


Cartesius dengan terlebih dahulu mencari titik bantu yaitu untuk

persamaan 2𝑥 + 𝑦 = 15 adalah titik (0,15) dan titik (7,1) dan untuk

persamaan 𝑥 + 3𝑦 = 13 adalah titik (1,4) dan titik (13,0).



mahasiswa tidak menuliskan cara untuk menentukan daerah

penyelesaiannya


50.000𝑦 = 160.000


dahulu menentukan titik bantu (3,2) dan (-2,4) untuk dapat

menggambar garis selidik tersebut. Namun disini mahasiswa tidak tepat

dalam menggambar garis seilidiknya karena kesalahan dalam

memplotkan titik bantu (-2,4). Mahasiswa memplotkan pada titik (-2,3).

Mahasiswa menggambar setiap hasil dari pergeseran garis selidik ke

kanan.


347


(4,3) dari proses penggeseran garis selidik ke kanan. Disini mahasiswa

tidak melakukan penggeseren garis selidik sampai ke titik penyelesaian

yang terakhir.

12. Mahasiswa menentukan nilai maksimum dengan mensubstitusikan titik

maksimum yang diperoleh ke fungsi tujuannya sehingga diperoleh

230.000








6,11,12,13), mahasiswa dapat menentukan variabel, koefisien dan konstanta

terkait masalah program linear dua variabel (poin 3,4,5,6), mahasiswa dapat




(mahasiswa menyelesaikan menggunakan metode garis selidik) dengan

kurang tepat (poin 10,11,12) walaupun proses penyelesaiannya sudah tepat.

Terlihat pada poin 10 mahasiswa kurang tepat dalam menggambar garis

selidik karena kesalahan dalam memplotkan salah satu titik bantu yaitu titik


348

(-2,4) sehingga garis selidik yang digambar tidak tepat namun disini

mahasiswa dapat menentukan titik pemaksimum dengan tepat (poin 11,12)

dengan langkah yang kurang tepat karena garis selidik tidak digeser sampai

ke titik penyelesaian yang terakhir. Mahasiswa dapat menginterpretasikan

kembali hasil penyelesaiannya sesuai dengan konteks masalah awal (poin

13).












dibuat sesuai aturan penyelesaian masalah program linear (poin 10,11,12).




mahasiswa dari kelompok jawaban mahasiswa yang ketiga. Pada transkip


349


mahasiswa dari kelompok jawaban mahasiswa yang ketiga.

P : Kita mulai aja ya

S31 : Iya kak

P : Aku langsung aja nanya ya. Kenapa x yang kamu misalkan itu

banyaknya kursi dan y misalkan banyaknya meja?

S32 : Kan yang diketahui itu suatu bengkel memproduksi dua

macam buah yaitu kursi dan meja bengkel kayu kan dan yang

ditanya keuntungan maksimal dari bengkel tersbeut yang

memproduksi kursi dan meja makanya yang dimisalkan

banyak kursi sama banyak meja

P : Oke. Terus disini ada tabel. Na apa gunanya kamu buat tabel

ini?

S33 : Untuk mempermudah aja sih kak biar gampang saat buat

modelnya itu

P : Na sekarang kita lanjut ke kendalanya disinikan kamu juga

udah nulis kan kalau kendala pertama itu untuk jumlah waktu

perakitannya terus untuk yang kedua jumlah waktu

finisingnya yang sekarang aku mau tanya kenapa kamu pakai

tanda ≤?

S34 : ≤ karena di yang ketahui pada soal proses perakitan

memiliki 15 jam kerja per hari memiliki berarti tidak boleh

lebih 15 jam bisa kurang dari 15 jam atau sama dengan 15

jam terus untuk yang finising sendri memiliki 13 jam kerja per

hari berarti tidak boleh lebih dari 13 jam.

P : Terus ke fungsi nonnegatifnya itukan kamu tulis 𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥0 dan syarat 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍. Kenapa seperti itu?

S35 : Karena banyaknya suatu barang tidak mungkin negatif yang

akan diproduksi terus kan kursi sama mejakan satuan jadikan

ngga mungkin ada setengah kursi setengah meja jadi harus

bulat kecuali misalnya gram gram itukan bisa setengah kilo

bisa seperempat

P : Oke ini syarat 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 berlaku untuk kendala nonnegatifnya

aja atau untuk smeua kendala?

S36 : Semua kak soalnya x dan y nya itu kan sama pemisalannya

untuk semua modelnya itu

P : Iya tapi cara nulisnya jangan seperti ini ya. Kalau kayak gini

kelihatan kalau 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 hany berlaku untuk fungsi

nonnegatifnya

S37 : Oke kak

P : Terus kita lanjut fungsi objektif disinikan kamu nulis

memaksimalkan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 20.000𝑥 + 50.000𝑦 na kenapa

fungsi tujuan seperti ini kenapa memaksimalkan terus

fungsinya ini kamu dapat dari mana?


350

S38 : Kenapa fungsi tujuan seperti ini dimana memaksimalkan

𝑓(𝑥, 𝑦) = 20.000𝑥 + 50.000𝑦 pada soalkan ditanyakan

berapa keuntungan maksimal berarti fungsi tujuanya adalah

untuk memaksimalkan terus kenapa fungsinya 𝑓(𝑥, 𝑦) =20.000𝑥 + 50.000𝑦 karena pada soal diketahui tiap kursi

keuntungannya 20.000 dan tiap meja 50.000 dimana x nya

tadi banyaknya kursi dan y banyaknya meja

P : Terus setelah itu kamu gambar daerah penyelesaian kan

gimana cara kamu nentuin daerah penyelesaianya ini ?

S39 : Kita gambar dulu garis yang dibentuk dari persamaan

kendala. Kendala pertamakan kendala 2𝑥 + 𝑦 ≤ 15 itu kita

cari bentuk persamaan 2𝑥 + 𝑦 ≤ 15 kemudian dicari titik

bantu buat gambar garinya ke diagram cartesius terus juga

buat kendala kedua dijadikan persamaan dulu jadi x + 3y=13

kemudian digambarkan garisnya ke diagram. Terus kalau

kurang dari kan daerahnya yang dibagian kiri berarti daerah

penyelesaiannya itu yang aku buat itu kak sama dibatasi

sumbu x dan sumbu y karena syarat nonnegatifnya itu. Terus

diplot titik penyelesaiannya yang bilangan bulat

P : Terus apa yang kamu lakukan?

S310 : Aku nyari titik maksimumnya pakai garis selidik. Pertama

ambil nilai z sembarang misal 160.000 jadi diperoleh

persamaan garis selidiknya itu 20.000𝑥 + 50.000𝑦 =160.000 kemudian gambar garis selidiknya dari dua titik

bantu yang udah aku cari itu. Terus garis selidiknya digeser

ke atas sampai ke titik maksimumnya sampai mepet ke

perbatasan daerahnya

P : Berarti sampai ke titik penyelesaian yang terakhir kan?

S311 : Iya kak

P : Kenapa Cuma gambar 1 garis selidik? Tahu nggak kalau

gambar garis selidiknya minimal 2?

S312 : Hm iya sih kak kalau pas Latihan itu. Tapi menurutku satu

aja juga cukup intinya hati-hati saat geser makanya aku

gambar pergeseran garisnya itu kak

P : Berapa aja titik bantu dari garis selidik yang kamu buat?

S313 : (3,2) sama (-2,4)

P : Oke terus apa yang kamu buat dnegan titik itu?

S314 : Aku plot ke diagram biar bisa gambar garisnya

P : Coba lihat titik yang kamu plot udah benar apa belum?

S315 : Hehehe salah e kak. Harusnya (-2,4) tapi yang aku plot (-2,3)

P : Iya emang.

S316 : Hehe pantasan pas aku ngerjain kemarin itu aku jadi aneh.

Kan selain aku pakai geser garis selidik, aku juga nyoba tes

titik disekitar garis itu na malah titik (4,3) yang paling

makismal nilainya daripada (1,4). Jadinya aku stopin aja di

titik (4,3) garis selidiknya


351

P : Makanya di cek baik-baik saat plot titiknya itu. Kalau udah

salah gmabar garis selidiknya jadi salah nentuin titik

maksimumnya. Harusnya buat lebih dari satu persamaan

garis selidik biar kelihatan nanti salahnya

S317 : Iya kak. Hehe buru-buru kak

P : Oke berarti titik maksimumnya titik berapa?

S318 : Titik (4,3) kak

P : Terus apa yang kamu buat selanjutnya?

S319 : Substitusiin titik (4,3) ke fungsi tujuan didapat 230.000 jadi

bisa disimpulkan keuntungan maksimal yang diperoleh

bengkel tersebut adalah Rp 230.000













berdasarkan yang ditanyakan dalam masalah dan keuntungan maksimal

tergatung dari banyak kursi dan banyak meja yang dijual. Hal ini dapat


P : Aku langsung aja nanya ya. Kenapa x yang kamu misalkan itu

banyaknya kursi dan y misalkan banyaknya meja?


352

S32 : Kan yang diketahui itu suatu bengkel memproduksi dua macam

buah yaitu kursi dan meja bvengkel kayu kan dan yang ditanya

keuntungan maksimal dari bengkel tersbeut yang memproduksi

kursi dan meja makanya yang dimisalkan banyak kursi sama

banyak meja

Mahasiswa membuat kendala yang pertama 2𝑥 + 𝑦 ≤ 15 yaitu fungsi untuk

jumlah waktu perakitan dan kendala yang kedua 𝑥 + 3𝑦 ≤ 13 yaitu fungsi

untuk jumlah waktu finishing seperti yang sudah dituliskan pada hasil

pekerjaan mahasiswa. Mahasiswa menggunakan tanda ≤ karena proses

perakitan memiliki 15 jam kerja per hari yang berarti tidak boleh lebih 15

jam bisa kurang dari 15 jam atau sama dengan 15 jam dan waktu untuk

proses finishing juga memiliki 13 jam kerja per hari berarti tidak boleh lebih

dari 13 jam. Mahasiswa memodelkan syarat atau kendala nonnegatifnya

𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0 dan syarat 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍. Hal ini dikarenakan banyaknya suatu

barang tidak mungkin negatif yang akan diproduksi dan karena satuannya

kursi dan meja jadi tidak mungkin ada setengah kursi setengah meja jadi

harus bulat kecuali misalnya gram gram itukan bisa setengah kilo bisa

seperempat. Hal ini dapat dilihat pada dialog berikut ini:

P : Oke. Terus disini ada tabel. Na apa gunanya kamu buat tabel

ini?

S33 : Untuk mempermudah aja sih kak biar gampang saat buat

modelnya itu

P : Na sekarang kita lanjut ke kendalanya disinikan kamu juga udah

nulis kan kalau kendala pertama itu untuk jumlah waktu

perakitannya terus untuk yang kedua jumlah waktu finisingnya

yang sekarang aku mau tanya kenapa kamu pakai tanda ≤?

S34 : ≤ karena di yang ketahui pada soal proses perakitan memiliki

15 jam kerja per hari memiliki berarti tidak boleh lebih 15 jam

bisa kurang dari 15 jam atau sama dengan 15 jam terus untuk

yang finishing sendri memiliki 13 jam kerja per hari berarti tidak

boleh lebih dari 13 jam.


353

P : Terus ke fungsi nonnegatifnya itukan kamu tulis 𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0

dan syarat 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍. Kenapa seperti itu?

S35 : Karena banyaknya suatu barang tidak mungkin negatif yang

akan diproduksi terus kan kursi sama mejakan satuan jadikan

ngga mungkin ada setengah kursi setengah meja jadi harus bulat

kecuali misalnya gram gram itukan bisa setengah kilo bisa

seperempat

P : Oke ini syarat 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 berlaku untuk kendala nonnegatifnya aja

atau untuk semua kendala?

S36 : Semua kak soalnya x dan y nya itu kan sama pemisalannya untuk

semua modelnya itu

P : Iya tapi cara nulisnya jangan seperti ini ya. Kalau kayak gini

kelihatan kalau 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 hany berlaku untuk fungsi

nonnegatifnya

S37 : Oke kak

Mahasiswa memodelkan fungsi fungsi tujuan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 20.000𝑥 +

50.000𝑦 karena yang ditanya dalam soal keuntungan maksimal berarti

fungsi tujuannya adalah untuk memaksimalkan dan fungsi f(x, y) =

20.000x + 50.000y karena pada soal diketahui tiap kursi keuntungannya

20.000 dan tiap meja 50.000 dimana x menyatakan banyaknya kursi dan y

menyatakan banyaknya meja. Hal ini dapat dilihat pada dialog berikut ini:

P : Terus kita lanjut fungsi objektif disinikan kamu nulis

memaksimalkan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 20.000𝑥 + 50.000𝑦 na kenapa

fungsi tujuan seperti ini kenapa memaksimalkan terus fungsinya

ini kamu dapat dari mana?

S38 : Kenapa fungsi tujuan seperti ini dimana memaksimalkan

𝑓(𝑥, 𝑦) = 20.000𝑥 + 50.000𝑦 pada soalkan ditanyakan berapa

keuntungan maksimal berarti fungsi tujuannya adalah untuk

memaksimalkan terus kenapa fungsinya 𝑓(𝑥, 𝑦) = 20.000𝑥 +50.000𝑦 karena pada soal diketahui tiap kursi keuntungannya

20.000 dan tiap meja 50.000 dimana x nya tadi banyaknya kursi

dan y banyaknya meja





354

dan memplotkan titik penyelesaiannya. Mahasiswa menggambar daerah


(menentukan titik bantu kemudian menarik garis), kemudian menentukan

daerah penyelesaiannya dimana daerah tersebut memenuhi semua kendala.

Mahasiswa memplotkan titik penyelesaiannya karena terdapat syarat 𝑥, 𝑦 ∈

𝑍. Hal ini dapat dilihat pada dialog berikut ini:

P : Terus setelah itu kamu gambar daerah penyelesaian kan gimana

cara kamu nentuin daerah penyelesaianya ini?

S39 : Kita gambar dulu garis yang dibentuk dari persamaan kendala.

Kendala pertamakan kendala 2𝑥 + 𝑦 ≤ 15 itu kita cari bentuk

persamaan 2𝑥 + 𝑦 ≤ 15 kemudian dicari titik bantu buat

gambar garinya ke diagram cartesius terus juga buat kendala

kedua dijadikan persamaan dulu jadi x + 3y=13 kemudian

digambarkan garisnya ke diagram. Terus kalau kurang dari kan

daerahnya yang dibagian kiri berarti daerah penyelesaiannya itu

yang aku buat itu kak sama dibatasi sumbu x dan sumbu y karena

syarat nonnegatifnya itu. Terus diplot titik penyelesaiannya yang

bilangan bulat

Kemudian setelah itu, mahasiswa menentukan 1 persamaan garis selidik dan


bantu persamaan tersebut kemudian digambar garisnya pada diagram

cartesius. Disini mahasiswa hanya menggambar 1 persamaan garis selidik

awal dikarenakan mahasiswa menganggap cukup satu persamaan sudah

cukup asalkan hati-hati dalam menggesernya dan mahasiswa juga

menggambar garis yang merupakan hasil dari penrgeseran garis selidik.

Garis selidik di geser ke atas sampai titik yang paling maksimum.

Mahasiswa mengonfirmasi bahwa mahasiswa kurang tepat dalam memplot

garis selidiknya dikarenakan salah dalam memplot titik bantu (-2,4). Disini


355

mahasiswa dapat memperbaiki kesalahannya. Sehingga diperoleh titik

maksimumnya (4,3).

P : Terus apa yang kamu lakukan?

S310 : Aku nyari titik maksimumnya pakai garis selidik. Pertama ambil

nilai z sembarang misal 160.000 jadi diperoleh persamaan garis

selidiknya itu 20.000𝑥 + 50.000𝑦 = 160.000 kemudian gambar

garis selidiknya dari dua titik bantu yang udah aku cari itu. Terus

garis selidiknya digeser ke atas sampai ke titik maksimumnya

sampai mepet ke perbatasan daerahnya

P : Berarti sampai ke titik penyelesaian yang terakhir kan?

S311 : Iya kak

P : Kenapa Cuma gambar 1 garis selidik? Tahu nggak kalau gambar

garis selidiknya minimal 2?

S312 : Hm iya sih kak kalau pas Latihan itu. Tapi menurutku satu aja

juga cukup intinya hati-hati saat geser makanya aku gambar

pergeseran garisnya itu kak

P : Berapa aja titik bantu dari garis selidik yang kamu buat?

S313 : (3,2) sama (-2,4)

P : Oke terus apa yang kamu buat dengan titik itu?

S314 : Aku plot ke diagram biar bisa gambar garisnya

P : Coba lihat titik yang kamu plot udah benar apa belum?

S315 : Hehehe salah e kak. Harusnya (-2,4) tapi yang aku plot (-2,3)

P : Iya emang.

S316 : Hehe pantasan pas aku ngerjain kemarin itu aku jadi aneh. Kan

selain aku pakai geser garis selidik, aku juga nyoba tes titik

disekitar garis itu na malah titik (4,3) yang paling maksimal

nilainya daripada (1,4). Jadinya aku stopin aja di titik (4,3) garis

selidiknya

P : Makanya di cek baik-baik saat plot titiknya itu. Kalau udah salah

gambar garis selidiknya jadi salah nentuin titik maksimumnya.

Harusnya buat lebih dari satu persamaan garis selidik biar

kelihatan nanti salahnya

S317 : Iya kak. Hehe buru-buru kak

P : Oke berarti titik maksimumnya titik berapa?

S318 : Titik (4,3) kak

Setelah itu titik (4,3) tersebut di substitusikan ke fungsi tujuan sehingga

diperoleh 230.000. Kemudian mahasiswa menyimpulkan bahwa

keuntungan maksimal yang diperoleh bengkel tersebut adalah Rp 230.000.



356

P : Terus apa yang kamu buat selanjutnya?

S319 : Substitusiin titik (4,3) ke fungsi tujuan didapat 230.000 jadi bisa

disimpulkan keuntungan maksimal yang diperoleh bengkel

tersebut adalah Rp 230.000











kembali hasil penyelesaiannya sesuai dengan konteks masalah awal

walaupun kurang tepat hasilnya.






mahasiswa mampu membentuk kendala (S33, S34, S35), mahasiswa mampu


(S35, S36), mahasiswa mampu menyelesaikan model matematika yang telah


357

dibuat sesuai aturan penyelesaian masalah program linear (S39, S310, S312,

S313, S314, S315, S316, S318, S319), mahasiswa mampu menarik kesimpulan

sesuai konteks awal (S319).







membentuk kendala, mahasiswa mampu menuliskan syarat x dan y





Dari hasil analisis jawaban mahasiswa dan wawancara pada hasil tes tertulis

II permasalahan pertama diperoleh bahwa kemampuan memodelkan semua




variabel, mahasiswa mampu membentuk fungsi objektif, mahasiswa mampu

membentuk kendala, mahasiswa mampu menuliskan syarat variabel berdasarkan

masalah pada soal yang diberikan, mahasiswa mampu menyelesaikan model


358

matematika yang telah dibuat sesuai aturan penyelesaian masalah program

linear, mahasiswa mampu menarik kesimpulan sesuai konteks awal.

Permasalahan yang kedua


Gambar 4. 38. Jawaban mahasiswa 1 untuk masalah kedua tes tertulis II

kelas uji coba


1. Mahasiswa membuat pemisalan banyaknya kantong pupuk cair dengan

variabel x dan banyaknya kantong pupuk kering dengan variabel y




3𝑥 + 2𝑦 ≤ 18 dan kendala nonnegatifnya 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0



359

5. Mahasiswa memodelkan fungsi objektif minimumkan 𝑓(𝑥, 𝑦) =

15.000𝑥 + 17.000𝑦

6. Mahasiswa menggambar grafik fungsi-kendala dalam diagram Cartesius

dengan terlebih dahulu mencari titik potong grafik fungsi-kendala

tersebut terhadap sumbu x dan terhadap sumbu y sehingga diperoleh titik

potong untuk persamaan 2𝑥 + 𝑦 = 10 adalah titik (0,10) dan titik (5,0),

titik potong untuk persamaan 𝑥 + 3𝑦 = 12 adalah titik (0,4) dan titik

(12,0), dan titik potong untuk persamaan 3𝑥 + 2𝑦 = 18 adalah titik (0,9)

dan titik (6,0)



mahasiswa tidak menuliskan cara menentukan daerah penyelesaiannya


17.000𝑦 = 211.000 dan 15.000𝑥 + 17.000𝑦 = 156.000 dengan




sumbu x dan sumbu y

10. Mahasiswa menentukan titik peminimum fungsi objektif yaitu titik (4,3)

dari proses penggeseran garis selidik ke kiri atau ke bawah

11. Mahasiswa menyimpulkan banyak kantong pupuk cair yang dibeli yaitu

4 buah dan banyak kantong pupuk kering yang dibeli yaitu 3 buah.


360



13. Mahasiswa menyimpulkan bahwa total harga paling murah dari

pembelian kedua jenis pupuk tersebut sebesar Rp 111.000






5,10,11,12,13), mahasiswa dapat menentukan variabel, koefisien dan

konstanta terkait masalah program linear dua variabel (poin 1,2,3,4,5),



1,2,3,4,5), mahasiswa dapat menyelesaikan masalah yang terkait dengan



kembali hasil penyelesaiannya sesuai dengan konteks masalah awal (poin

11,13).







361

mampu membentuk fungsi objektif (poin 5), mahasiswa mampu

membentuk kendala (poin 3), mahasiswa mampu menuliskan syarat

variabel berdasarkan masalah pada soal yang diberikan (poin 4), mahasiswa


penyelesaian masalah program linear (poin 6,7,8,9,10,11,12,13), mahasiswa

mampu menarik kesimpulan sesuai konteks awal (poin 11,13).







P : Kenapa yang kamu misalkan itu x nya dengan banyaknya

kantong pupuk cair dan y dengan banyaknya kantong pupuk

kering?

S41 : Jadikan kalau kita perhatikan dari soal itu yang ditanya

berapa banyak kantong pupuk cair dan pupuk kering yang

dapat dibeli dengan total harga paling murah. Jadi dapat

disimpulkan yang saya misalkan itu banyaknya kantong pupuk

cair dan banyaknya kantong pupuk kering

P : Na disini kan kamu buat tabel. Na apasih guna dari kamu buat

tabel ini?

S42 : Jadi tabel itu gunanya unttuk memudahkan saya menentukan

model matematikanya yang dijadikan kendala. Misalnya di

tabel itu ada banyak kantong pupuk cair dan pupuk kering.

Setiap kantongnya itu mengandung tiga zat kimia I, kimia II,

dan kimia III. Lalu tiap zat kimia juga mempunyai standar

kebutuhannya.

P : Berarti kendala yang pertama ini fungsinya untuk apa?

S43 : Kendala pertama yang 2𝑥 + 𝑦 ≥ 10 untuk zat kimia I, lalu

𝑥 + 3𝑦 ≥ 12 untuk zat kimia II, lalu 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 18 untuk zat

kimia III


362

P : Maksudnya jumlah zat kimia masing-maisng yang diperlukan.

Na terus kenapa tandanya ≥?

S44 : Iya kak maksudnya kendalanya itu untuk jumlah masing-

masing zat yang dibutuhkan. Kalau buat tandanya itu kan di

soal kita sudah bisa mengetahui zat kimia I yang dibutuhkan

paling sedikit 10 artinya paling kecil 10

P : Yang kendala II dan III?

S45 : Untuk yang kendala II dan III itu juga alasannya sama karena

kebutuhannya paling sedikit jadi itu bisa lebih atau sama

dengan.

P : Kenapa 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0?

S46 : Itu kan karena banyaknya kantong pupuk cair dan pupuk

kering tidak bisa negatif makanya dia lebih dari sama dnegan

0

P : Terus kenapa 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍?

S47 : Dari pemisalan kita itu sudah jelas bahwasannya pemisalan

yang pertama banyaknya kantong pupuk cair dan pemisalan

yang kedua banyaknya kantong pupuk kering. Kenapa dia

elemennya bulat karena kan suatu kemasan dalam kantong

tidak bisa kita bilang ½ kantong, ¼ kantong. Kita sebutnya 1

kantong, 2 kantong, dan seterusnya

P : Na sekarang fungsi objektifnya. Kenapa fungsi objektifnya

seperti ini modelnya?

S48 : Tadi kan kita diminta untuk menentukan berapa banyak

kantong pupuk cair dan pupuk kering yang dapat dibeli untuk

dapat memenuhi kebutuhan dengan harga semurah mungkin.

Dari sana kan Sudah diketahui satu kantong pupuk cair

harganya 15.000 dan harga satu kantong pupuk kering

harganya 17.000. jadi harga pupuk cair dikali banyaknya

kantong pupuk cair yang dibeli ditambah harga pupuk kering

dikali banyak kantong pupuk kering yang dibeli

P : Setelah itu apa yang dibuat?

S49 : Setelah kendala dan fungsi tujuan saya tentukan, sekarang

tujuan saya adalah menentukan daerah penyelesaiannya.

Langkah-langkahnya saya ubah model kendala ke bentuk

persamaan. Jadi dari persamaannya itu bisa menentukan titik

potongnya pada sumbu x dan sumbu y. jadi dari titik potong

tersebut ditarik garis

P : Setelah itu?

S410 : Setelah gambar grafik kendalanya saya menentukan daerah

penyelesaiannya. Daerah penyelesaiannya adalah irisan dari

daerah penyelesaian semua kendalanya. Artinya daerah

tersebut harus memenuhi semua kendalanya. Terus diplot titik

penyelesaiannya karena yang merupakan penyelesaiannya itu

hanya x dan y elemen bilangan bulat aja

P : Terus setelah itu kamu buat apa?


363

S411 : Na setelah saya menentukan daerah penyelesaiannya, untuk

mempermudah saya menentukan titik minimumnya saya

membuat persamaan garis selidik. Caranya saya pilih z

=211.000 dan z = 156.000

P : Ia jadi kan ada dua persamaan garis selidik yaitu 15.000𝑥 +17.000𝑦 = 211.000 dan 15.000𝑥 + 17.000𝑦 = 156.000. na

setelah kamu dapat persamaan garis selidiknya apa yang kamu

lakukan?

S412 : Ya selanjutnya saya mencari titik potong dari masing-masing

persamaan terhadap sumbu x dan sumbu y agar saya dapat

melukiskan grafiknya pada koordinat cartesius tersebut.

Setelah garis selidik itu saya lukiskan, kan tujuan untuk

menentukan titik minimumnya. Karena dia meminimum maka

garis selidiknya digeser ke bawah atau ke kiri hingga

menyentuh titik penyelesaiannya terakhirnya

P : Kenapa pilih 2 garis selidik?

S413 : Karena penggeseran garis selidik itu saya menggunakan 2

penggaris segitiga sehingga garis yang satunya itu dipakai

buat pedoman saat gesernya

P : Berapa titik minimumnya?

S414 : Diperoleh titik minimumnya (4,3). Setelah itu artinya banyak

kantong yang dibeli yaitu 4 kantong pupuk cair dan 3 kantong

pupuk kering

P : Terus apa yang kamu lakukuan dengan titik minimumnya?

S415 : Setelah itu titik minimumnya disubstitusikan ke fungsi

tujuannya tadi sehingga kita bisa menentukan harga paling

murahnya yaitu 111.000

P : Jadi kesimpulannya?

S416 : Jadi kesimpulannya banyak kantong pupuk cair yang dibeli

adalah 4 buah dan banyak kantong pupuk keringnya 3 buah

untuk dapat memenuhi kebutuhan dengan harga semurah

mungkin yaitu dengan total harganya 111.000









364




diberikan ke dalam variabel, berdasarkan hal yang ditanyakan pada soal

yaitu banyak kantong pupuk cair dan banyak kantong pupuk kering yang

dapat dibeli dengan total harga paling murah, mahasiswa memisalkan

banyaknya kantong pupuk cair dengan variabel x dan banyaknya kantong

pupuk kering dengan variabel y. Hal ini dapat dilihat pada dialog berikut ini:

P : Kenapa yang kamu misalkan itu x nya dengan banyaknya kantong

pupuk cair dan y dengan banyaknya kantong pupuk kering?

S41 : Jadikan kalau kita perhatikan dari soal itu yang ditanya berapa

banyak kantong pupuk cair dan pupuk kering yang dapat dibeli

dengan total harga paling murah. Jadi dapat disimpulkan yang

saya misalkan itu banyaknya kantong pupuk cair dan banyaknya




Kendala yang dibentuk adalah 2𝑥 + 𝑦 ≥ 10 (fungsi untuk jumlah zat kimia

I yang diperlukan), 𝑥 + 3𝑦 ≥ 12 (fungsi untuk jumlah zat kimia II yang

diperlukan), dan 3𝑥 + 2𝑦 ≥ 18 (fungsi untuk jumlah zat kimia III yang

diperlukan). Mahasiswa menggunakan tanda ≥ karena untuk jumlah

kebutuhan zat kimia ada kalimat “paling sedikit” yang berarti boleh lebih

atau sama dengan. Mahasiswa memodelkan syarat atau kendala

nonnegatifnya 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0 dan syarat 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍. Hal ini dikarenakan

banyaknya kantong pupuk cair dan banyaknya kantong pupuk kering tidak


365

bisa negatif. Untuk 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 dikarenakan banyaknya kantong pupuk cair dan

banyaknya kantong pupuk kering dan suatu kemasan dalam kantong tidak

bisa kita bilang ½ kantong, ¼ kantong. Kita sebutnya 1 kantong, 2 kantong,

dan seterusnya. Dalam hal ini menurut mahasiswa banyaknya kantong

dinyatakan dalam bilangan bulat. Hal ini dapat dilihat pada dialog berikut

ini:

P : Na disini kan kamu buat tabel. Na apasih guna dari kamu buat

tabel ini?

S42 : Jadi tabel itu gunanya unttuk memudahkan saya menentukan

model matematikanya yang dijadikan kendala. Misalnya di tabel

itu ada banyak kantong pupuk cair dan pupuk kering. Setiap

kantongnya itu mengandung tiga zat kimia I, kimia II, dan kimia

III. Lalu tiap zat kimia juga mempunyai standar kebutuhannya.

P : Berarti kendala yang pertama ini fungsinya untuk apa?

S43 : Kendala pertama yang 2𝑥 + 𝑦 ≥ 10 untuk zat kimia I, lalu 𝑥 +3𝑦 ≥ 12 untuk zat kimia II, lalu 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 18 untuk zat kimia

III

P : Maksudnya jumlah zat kimia masing-maisng yang diperlukan. Na

terus kenapa tandanya ≥?

S44 : Iya kak maksudnya kendalanya itu untuk jumlah masing-masing

zat yang dibutuhkan. Kalau buat tandanya itu kan di soal kita

sudah bisa mengetahui zat kimia I yang dibutuhkan paling sedikit

10 artinya paling kecil 10

P : Yang kendala II dan III?

S45 : Untuk yang kendala II dan III itu juga alasannya sama karena

kebutuhannya paling sedikit jadi itu bisa lebih atau sama dengan.

P : Kenapa 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0?

S46 : Itu kan karena banyaknya kantong pupuk cair dan pupuk kering

tidak bisa negatif makanya dia lebih dari sama dengan 0


S47 : Dari pemisalan kita itu sudah jelas bahwasannya pemisalan yang

pertama banyaknya kantong pupuk cair dan pemisalan yang

kedua banyaknya kantong pupuk kering. Kenapa dia elemennya

bulat karena kan suatu kemasan dalam kantong tidak bisa kita

bilang ½ kantong, ¼ kantong. Kita sebutnya 1 kantong, 2

kantong, dan seterusnya


366

Mahasiswa memodelkan fungsi objektif atau fungsi tujuan minimumkan

𝑓(𝑥, 𝑦) = 15.000𝑥 + 17.000𝑦 karena tujuan menentukan berapa banyak

kantong pupuk cair dan pupuk kering yang dapat dibeli untuk dapat

memenuhi kebutuhan dengan harga semurah mungkin. Diketahui satu

kantong pupuk cair harganya Rp 15.000 dan harga satu kantong pupuk

kering harganya Rp 17.000, fungsi objektifnya diperoleh harga pupuk cair

dikali banyaknya kantong pupuk cair yang dibeli ditambah harga pupuk

kering dikali banyak kantong pupuk kering yang dibeli. Hal ini dapat dilihat


P : Na sekarang fungsi objektifnya. Kenapa fungsi objektifnya seperti

ini modelnya?

S48 : Tadi kan kita diminta untuk menentukan berapa banyak kantong

pupuk cair dan pupuk kering yang dapat dibeli untuk dapat

memenuhi kebutuhan dengan harga semurah mungkin. Dari sana

kan Sudah diketahui satu kantong pupuk cair harganya 15.000

dan harga satu kantong pupuk kering harganya 17.000. jadi

harga pupuk cair dikali banyaknya kantong pupuk cair yang

dibeli ditambah harga pupuk kering dikali banyak kantong pupuk

kering yang dibeli


menggambar daerah penyelesaian dari kendala dan memplotkan titik

penyelesaiannya. Mahasiswa menggambar daerah penyelesaiannya dengan

langkah menggambar grafik persamaan kendala (menentukan titik potong

grafik dengan sumbu x dan sumbu y kemudian menarik garis yang

menghubungkan kedua titik potong), kemudian menentukan daerah

penyelesaiannya yaitu dengan melihat daerah yang merupakan irisan dari

semua daerah penyelesaian kendalanya dimana daerah tersebut memenuhi


367

semua kendala. Mahasiswa memplotkan titik penyelesaiannya karena yang

merupakan penyelesaiannya hanya 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍. Hal ini dapat dilihat pada

dialog berikut ini:

P : Setelah itu apa yang dibuat?

S49 : Setelah kendala dan fungsi tujuan saya tentukan, sekarang tujuan

saya adalah menentukan daerah penyelesaiannya. Langkah-

langkahnya saya ubah model kendala ke bentuk persamaan. Jadi

dari persamaannya itu bisa menentukan titik potongnya pada

sumbu x dan sumbu y. jadi dari titik potong tersebut ditarik garis

P : Setelah itu?

S410 : Setelah gambar grafik kendalanya saya menentukan daerah

penyelesaiannya. Daerah penyelesaiannya adalah irisan dari

daerah penyelesaian semua kendalanya. Artinya daerah tersebut

harus memenuhi semua kendalanya. Terus diplot titik

penyelesaiannya karena yang merupakan penyelesaiannya itu

hanya x dan y elemen bilangan bulat aja


dengan mengambil nilai z = 211.000 dan z = 156.000. Mahasiswa



Dipilih dua garis selidik karena untuk melihat kesejajaran garisnya dan

membantu mahasiswa sebagai pedoman dalam proses penggeseran garis

selidik. Karena tujuannya meminimumkan maka garis selidik di geser ke

bawah sampai titik penyelesaian terakhir sehingga diperoleh titik

minimumnya adalah titik (4,3) yang artinya banyak kantong pupuk cair

yang dibeli 4 buah dan banyak kantong pupuk kering yang dibeli 3 buah.


P : Terus setelah itu kamu buat apa?

S411 : Na setelah saya menentukan daerah penyelesaiannya, untuk

mempermudah saya menentukan titik minimumnya saya membuat


368

persamaan garis selidik. Caranya saya pilih z =211.000 dan z =

156.000

P : Ia jadi kan ada dua persamaan garis selidik yaitu 15.000𝑥 +17.000𝑦 = 211.000 dan 15.000𝑥 + 17.000𝑦 = 156.000. na

setelah kamu dapat persamaan garis selidiknya apa yang kamu

lakukan?

S412 : Ya selanjutnya saya mencari titik potong dari masing-masing

persamaan terhadap sumbu x dan sumbu y agar saya dapat

melukiskan grafiknya pada koordinat cartesius tersebut.

Setelah garis selidik itu saya lukiskan, kan tujuan untuk

menentukan titik minimumnya. Karena dia meminimum maka

garis selidiknya digeser ke bawah atau ke kiri hingga menyentuh

titik penyelesaiannya terakhirnya

P : Kenapa pilih 2 garis selidik?

S413 : Karena penggeseran garis selidik itu saya menggunakan 2

penggaris segitiga sehingga garis yang satunya itu dipakai buat

pedoman saat gesernya

P : Berapa titik minimumnya?

S414 : Diperoleh titik minimumnya (4,3). Setelah itu artinya banyak

kantong yang dibeli yaitu 4 kantong pupuk cair dan 3 kantong

pupuk kering


sehingga diperoleh 111.000. Mahasiswa menyimpulkan banyaknya kantong

pupuk cair yang dibeli adalah 4 buah dan banyak kantong pupuk kering

adalah 3 buah untuk dapat memenuhi kebutuhan dengan harga semurah

mungkin yaitu dengan total harga Rp 111.000. Hal ini dapat dilihat pada

dialog berikut ini:

P : Terus apa yang kamu lakukan dengan titik minimumnya?

S415 : Setelah itu titik minimumnya disubstitusikan ke fungsi tujuannya

tadi sehingga kita bisa menentukan harga paling murahnya yaitu

111.000

P : Jadi kesimpulannya?

S416 : Jadi kesimpulannya banyak kantong pupuk cair yang dibeli

adalah 4 buah dan banyak kantong pupuk keringnya 3 buah untuk

dapat memenuhi kebutuhan dengan harga semurah mungkin

yaitu dengan total harganya 111.000


369

Dari deskripsi hasil wawancara peneliti dengan subjek mahasiswa di atas,

jika ditinjau dari indikator soal, maka terlihat bahwa mahasiswa tersebut

dapat menyederhanakan asumsi dari masalah yang terkait dengan program

linear dua variabel, mahasiswa dapat mengklarifikasi tujuan penyelesaian

masalah yang terkait program linear dua variabel, mahasiswa dapat

menentukan variabel, koefisien dan konstanta terkait masalah program

linear dua variabel, mahasiswa dapat merumuskan pernyataan matematika

dan menentukan model matematika, mahasiswa dapat menyelesaikan

masalah yang terkait dengan program linear dua variabel (mahasiswa

menyelesaikan menggunakan metode garis selidik), mahasiswa dapat


masalah awal.






mahasiswa mampu membentuk kendala (S42, S43, S44, S45, S46), mahasiswa




S411, S412, S413, S414, S415), mahasiswa mampu menarik kesimpulan sesuai

konteks awal (S416).


370














kelas uji coba


371


1. Mahasiswa menuliskan apa yang diketahui dari masalah yang diberikan

dalam sebuah tabel dan menuliskan apa yang ditanya

2. Mahasiswa membuat pemisalan variabel x sebagai banyaknya kantong

pupuk cair dengan dan variabel y sebagai banyaknya kantong pupuk

kering



4. Mahasiswa memodelkan kendala 2𝑥 + 𝑦 ≥ 10 (fungsi untuk zat kimia

I), 𝑥 + 3𝑦 ≥ 12 (fungsi untuk zat kimia II), dan 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 18 (fungsi

untuk zat kimia II) dan kendala syarat nonnegatifnya 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0


6. Mahasiswa memodelkan fungsi objektif 𝑓(𝑥, 𝑦) = 15.000𝑥 + 17.000𝑦

7. Mahasiswa menggambar grafik fungsi-kendala dalam diagram Cartesius

dengan terlebih dahulu mencari titik potong grafik fungsi-kendala

tersebut terhadap sumbu x dan terhadap sumbu y sehingga diperoleh titik

potong untuk persamaan 2𝑥 + 𝑦 = 10 adalah titik (0,10) dan titik (5,0),

titik potong untuk persamaan 𝑥 + 3𝑦 = 12 adalah titik (0,4) dan titik

(12,0), dan titik potong untuk persamaan 3𝑥 + 2𝑦 = 18 adalah titik (0,9)

dan titik (6,0)



mahasiswa tidak menuliskan cara menentukan daerah penyelesaiannya.


372

Mahasiswa tidak memplotkan titik (4,3) yang juga merupakan titik

penyelesaiannya


17.000𝑦 = 180.000 dan 15.000𝑥 + 17.000𝑦 = 150.000 dengan




sumbu x dan sumbu y

11. Mahasiswa menentukan titik peminimum fungsi objektif yaitu titik (5,3)

dari proses penggeseran garis selidik ke kiri atau ke bawah



13. Mahasiswa menyimpulkan jadi banyak kantong pupuk cair 5 dan banyak

kantong pupuk kering 3 dengan total harga paling murah adalah 126.000







terkait masalah program linear dua variabel (poin 1,2,3,4,5,6), mahasiswa


matematika terkait masalah program linear dua variabel (poin 1,2,3,4,5,6),


373

mahasiswa menyelesaikan masalah yang terkait dengan program linear dua

variabel (mahasiswa menyelesaikan masalah menggunakan metode garis

selidik) dengan kurang tepat (terlihat pada poin 8, 11 dan 12. Mahasiswa

tidak memplotkan titik 4,3 sebagai titik penyelesaiannya sehingga pada saat

menggeser garis selidik ke kiri atau ke bawah diperoleh titik penyelesaian

yang terakhir yang dilewati garis selidik sebagai titik minimumnya adalah

titik (5,3) seharusnya titik penyelesaian yang terakhir yang dilewati garis

selidik sebagai titik minimumnya adalah titik (5,3)), mahasiswa dapat


masalah awal walaupun hasil yang diperoleh kurang tepat (poin 13).














374







P : Disini kan kamu misalkan x dengan banyaknya kantong pupuk

cair dan y dengan banyaknya kantong pupuk keirng. Na

kenapa pernyataan itu yang kamu misalkan ke dalam

variabel?

S51 : Karena di soal itu kak yang ditanya berapa banyak kantong

pupuk cair dan pupuk kering jadi saya misalkan itu

P : Terus apa gunanya kamu buat tabel?

S52 : Supaya gampang buat nemuin model matematikanya

P : Na disini di kendalanya sudah lengkap kamu jelaskan. Na saya

tanya kenapa menggunakan tanda ≥?

S53 : Karena ada kata paling sedikit untuk setiap kebutuhan zat

kimianya

P : Oke. Na kenapa ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0?

S54 : Karena banyaknya kantong itu nggak mungkin negatif mba


S55 : Karena banyak kantong itu kan yang nggak mungkin ½

kantong, √3 kantong jadi 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍

P : Na untuk fungsi tujuannya itu diperoleh darimana?

S56 : Itu diperoleh dari karena di soal itu kan diketahui harga satu

kantong pupuk cairnya 15.000 dan harga satu kantong pupuk

keringnya 17.000 fungsi tujuannya itu harganya itu dikali

banyaknya kantong nya itu jadi dipeorlh itu fungsi tujuannya

P : Jadi maksudnya?

S57 : Maksudnya harga pupuk cairnya itu dikali x ditambah harga

pupuk keirng dikali y

P : Iya. Menurutmu fungsi tujuanmu ini ada yang kurang nggak?

S58 : Owg iya kurang meminimumkan

P : Iya. Supaya kita tahu kan tujuan kit aitu mau memaksimumkan

fungsi atau meminimumkan fungsinya. Kek gitu.

Terus ini kamu nyari titik potong dari masing-masing

persamaan kendalanya. Na ini buat apa?

S59 : Buat gambar grafiknya

P : Terus setelah gambar grafiknya kamu buat apa?


375

S510 : Menentukan daerah penyelesaiannya. Disinikan 2𝑥 + 𝑦 ≥ 10

jadi yang dipakai daerah yang kanannya. Sama dengan

kendala kedua dan ketiga. Sama 𝑥, 𝑦 ≥ 0 jadi daerah

penyelesaiannya yang memenuhi semua kendalanya itu

P : Darimana kamu tahu daerahnya itu memenuhi semua

kendala?

S511 : Karena daerah itu daerah yang apa ya. Maksudnya itu

daerahnya itu termasuk daerah penyelesaian untuk semua

kendala itu mba

P : Iya maksudnya daerah irisan dari semua kendala itu. Terus

kenapa daerah penyelesaiannya bentuknya titik-titik?

S512 : Karena 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍

P : Na coba kamu lihat titik penyelesaianmu ini, titik (4,3) juga

termasuk titik penyelesaiannya apa bukan?

S513 : Titik (4,3) bukan. e iya deng. Termasuk juga mba. Lupa saya

P : Iya. Lain kali perhatikan baik-baik titik penyelesaiannya

dikesiktar garis kendalanya ini.

Ini udah ada dua persamaan garsi selidik. Kamu nentuinnya

gimana?

S514 : Ambil sembarang nilai f 180.000 sama 150.000

P : Iya terus setalah dapat persamaan garis selidiknya kamu buat

apa?

S515 : Cari titik potongnya biar bisa gambar garisnya di koordinat

caertesius. Terus karena mau minimum jadi di geser deh

garisnya ke bawah sampai titik penyelesaian yang paling

ujung

P : Ya maksudnya sampai titik penyelesaian yang terakhirnya kan

S516 : Iya mba

P : Iya makanya kamu dapat titik (5,3) kan?

S517 : Na tadi titik (4,3) juga titik penyelesaiannya kan, kalau gitu

gesernya samapai titik yang mana?

P : Tapi seharusnya kalau di geser lagi ke bawah dapatnya

berapa?

S518 : (4,3)

P : Iya. Kan kita harus geser sampai titik penyelesaian yang

terakhir. Kalau tadi kan karena kamu lupa dengan titik (4,3)

makanya kamu dapatnya itu titik (5,3). Tetapi kaau kita stop

geser di titik (5,3) itu kan masih ada titik penyelesaian yang

belum dilewati garis selidiknya.

Na lanjut setelah kamu dapat titik minimumnya apa yang kamu

buat?

S519 : Substitusikan ke fungsi tujuannya

P : Terus setelah itu apa kesimpulannya?

S520 : Itu jadi banyaknya kantong pupuk cair sama dengan 4 dan

banyak kantong pupuk kering sama dengan 3 dengan harga

totalnya itu


376

P : Berapa kalau pakai (4,3)?

S521 : 111.000











diberikan ke dalam variabel, berdasarkan hal yang ditanyakan pada soal

yaitu banyak kantong pupuk cair dan banyak kantong pupuk kering

mahasiswa memisalkan banyaknya kantong pupuk cair dengan variabel x

dan banyaknya kantong pupuk kering dengan variabel y. Hal ini dapat


P : Disini kan kamu misalkan x dengan banyaknya kantong pupuk

cair dan y dengan banyaknya kantong pupuk kering. Na kenapa

pernyataan itu yang kamu misalkan ke dalam variabel?

S51 : Karena di soal itu kak yang ditanya berapa banyak kantong

pupuk cair dan pupuk kering jadi saya misalkan itu



Kendala yang dibentuk adalah 2𝑥 + 𝑦 ≥ 10 (fungsi untuk jumlah zat kimia


377

I yang diperlukan), 𝑥 + 3𝑦 ≥ 12 (fungsi untuk jumlah zat kimia II yang

diperlukan), dan 3𝑥 + 2𝑦 ≥ 18 (fungsi untuk jumlah zat kimia III yang

diperlukan). Mahasiswa menggunakan tanda ≥ karena ada kata “paling

sedikit” untuk setiap kebutuhan zat kimianya. Mahasiswa memodelkan

syarat atau kendala nonnegatifnya 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0 karena banyaknya

kantong tidak mungkin negatif. Mahasiswa juga menuliskan syarat 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍

dikarenakan banyak kantong tidak mungkin ½ kantong atau √3 kantong.


P : Terus apa gunanya kamu buat tabel?

S52 : Supaya gampang buat nemuin model matematikanya

P : Na disini di kendalanya sudah lengkap kamu jelaskan. Na saya

tanya kenapa menggunakan tanda ≥?

S53 : Karena ada kata paling sedikit untuk setiap kebutuhan zat

kimianya

P : Oke. Na kenapa ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0?

S54 : Karena banyaknya kantong itu nggak mungkin negatif mba


S55 : Karena banyak kantong itu kan yang nggak mungkin ½ kantong,

√3 kantong jadi 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍

Mahasiswa memodelkan fungsi objektif atau fungsi tujuan 𝑓(𝑥, 𝑦) =

15.000𝑥 + 17.000𝑦 yang diperoleh dari harga pupuk cair dikali banyaknya

kantong pupuk cair yang dibeli ditambah harga pupuk kering dikali banyak

kantong pupuk kering yang dibeli. Mahasiswa tidak memberikan

keterangan pada fungsi tujuannya (memaksimumkan atau meminimumkan

fungsi tujuan) namun ketika dikonfirmasi oleh peneliti mahasiswa dapat

merevisi fungsi tujuannya yaitu meminimumkan fungsi tersebut. Hal ini

dapat dilihat pada dialog berikut ini:


378

P : Na untuk fungsi tujuannya itu diperoleh darimana?

S56 : Itu diperoleh dari karena di soal itu kan diketahui harga satu

kantong pupuk cairnya 15.000 dan harga satu kantong pupuk

keringnya 17.000 fungsi tujuannya itu harganya itu dikali

banyaknya kantong nya itu jadi diperoleh itu fungsi tujuannya

P : Jadi maksudnya?

S57 : Maksudnya harga pupuk cairnya itu dikali x ditambah harga

pupuk keirng dikali y

P : Iya. Menurutmu fungsi tujuanmu ini ada yang kurang nggak?

S58 : Owg iya kurang meminimumkan

P : Iya. Supaya kita tahu kan tujuan kit aitu mau memaksimumkan








grafik dengan sumbu x dan sumbu y kemudian menarik garis yang

menghubungkan kedua titik potong), kemudian menentukan daerah

penyelesaian masing-masing kendala kemudian menyimpulkan kendala dari

semua kendala tersebut yaitu daerah yang memenuhi semua kendala (daerah

yang masuk dalam daerah penyelesaian semua kendala). Mahasiswa

memplotkan titik penyelesaiannya karena yang merupakan penyelesaiannya

hanya 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍. Disini mahasiswa lupa untuk meplotkan titik (4,3) dimana

juga merupakan titik penyelesaian, namun saat dikonfirmasi kembali oleh

peneliti mahasiswa menyadari dan dapat mengonfirmasi bahwa titik (4,3)

juga merupakan titik penyelesaian hanya mahasiswa lupa untuk

memplotkan. Hal ini dapat dilihat pada dialog berikut ini:


379

P : Iya. Supaya kita tahu kan tujuan kita itu mau memaksimumkan




S59 : Buat gambar grafiknya

P : Terus setelah gambar grafiknya kamu buat apa?

S510 : Menentukan daerah penyelesaiannya. Disinikan 2𝑥 + 𝑦 ≥ 10

jadi yang dipakai daerah yang kanannya. Sama dengan kendala

kedua dan ketiga. Sama 𝑥, 𝑦 ≥ 0 jadi daerah penyelesaiannya

yang memenuhi semua kendalanya itu

P : Darimana kamu tahu daerahnya itu memenuhi semua kendala?

S511 : Karena daerah itu daerah yang apa ya. Maksudnya itu

daerahnya itu termasuk daerah penyelesaian untuk semua

kendala itu mba

P : Iya maksudnya daerah irisan dari semua kendala itu. Terus

kenapa daerah penyelesaiannya bentuknya titik-titik?

S512 : Karena 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍

P : Na coba kamu lihat titik penyelesaianmu ini, titik (4,3) juga

termasuk titik penyelesaiannya apa bukan?

S513 : Titik (4,3) bukan. e iya deng. Termasuk juga mba. Lupa saya


dikesekitar garis kendalanya ini.

Ini udah ada dua persamaan garsi selidik. Kamu nentuinnya

gimana?


dengan mengambil nilai f = z = 180.000 dan f = z = 150.000. Mahasiswa



Karena tujuannya meminimumkan maka garis selidik di geser ke bawah

sampai titik penyelesaian terakhir sehingga diperoleh titik minimumnya

adalah titik (4,3). Hal ini dapat dilihat pada dialog berikut ini:


disekitar garis kendalanya ini.

Ini udah ada dua persamaan garis selidik. Kamu nentuinnya

gimana?

S514 : Ambil sembarang nilai f 180.000 sama 150.000


380

P : Iya terus setelah dapat persamaan garis selidiknya kamu buat

apa?

S515 : Cari titik potongnya biar bisa gambar garisnya di koordinat

cartesius. Terus karena mau minimum jadi di geser deh garisnya

ke bawah sampai titik penyelesaian yang paling ujung

P : Ya maksudnya sampai titik penyelesaian yang terakhirnya kan

S516 : Iya mba

P : Iya makanya kamu dapat titik (5,3) kan?

S517 : Iya

P : Na tadi titik (4,3) juga titik penyelesaiannya kan, kalau gitu

gesernya sampai titik yang mana?

S518 : (4,3)



makanya kamu dapatnya itu titik (5,3). Tetapi kaau kita stop




buat?

Mahasiswa kemudian mensubstitusikan titik (4,3) ke fungsi tujuannya.

Mahasiswa menyimpulkan banyaknya kantong pupuk cair sama dengan 4

dan banyak kantong pupuk kering sama dengan 3 dengan harga totalnya Rp

111.000. Hal ini dapat dilihat pada dialog berikut ini:



makanya kamu dapatnya itu titik (5,3). Tetapi kalau kita stop




buat?

S519 : Substitusikan ke fungsi tujuannya

P : Terus setelah itu apa kesimpulannya?

S520 : Itu jadi banyaknya kantong pupuk cair sama dengan 4 dan

banyak kantong pupuk kering sama dengan 3 dengan harga

totalnya itu

P : Berapa kalau pakai (4,3)?

S521 : 111.000


381

Dari deskripsi hasil wawancara peneliti dengan mahasiswa di atas, jika










kembali hasil penyelesaiannya sesuai dengan konteks masalah awal.





dalam variabel (S51), mahasiswa mampu membentuk fungsi objektif (S56,

S57, S58) mahasiswa mampu membentuk kendala (S52, S53, S54), mahasiswa




S511, S512, S513, S514, S515, S516, S517, S518, S519), mahasiswa mampu

menarik kesimpulan sesuai konteks awal (S520).


382













II permasalahan kedua diperoleh bahwa kemampuan memodelkan semua

mahasiswa berada pada level formal. Semua mahasiswa memnuhi semua









383

G. Deskripsi Hasil Tes Tertulis Kelas Penelitian

Peneliti mengadakan tes tertulis setelah melaksanakan pembelajaran

dengan menggunakan pendekatan PMR pada materi program linear. Tes

tertulis dilakukan dua kali yaitu tes tertulis I dilakukan pada akhir pembelajaran

pertemuan pertama dan tes tertulis II dilakukan pada akhir pembelajaran

pertemuan ketiga. Tes tertulis bertujuan untuk mengetahui kemampuan

memodelkan mahasiswa. Pemilihan hasil jawaban mahasiswa berdasarkan

kelompok jawaban yang sama.

Deskripsi Hasil Jawaban Mahasiswa dari Hasil Tes Tertulis I Kelas

Penelitian

Permasalahan yang diberikan berupa permasalahan yang berkaitan dengan

pertidaksamaan linear dua variabel dalam kehidupan sehari-hari. Dari masalah

tersebut mahasiswa diminta untuk memodelkan masalah yang diberikan dan

menentukan penyelesaiannya.





berikut:


384


penelitian


Jawaban bagian a:






indikator soal bagian a, maka terlihat bahwa mahasiswa tersebut dapat





385





pertidaksamaan linear dua variabel (poin b).








Jawaban bagian b:

a. Mahasiswa menggambar garis lurus yang merepresentasikan persamaan

linear dua variabel 4𝑥 + 6𝑦 = 24 pada diagram Cartesius yang

menghubungkan titik (6,0) dan titik (0,4)

b. Mahasiswa menentukan daerah penyelesaian dan mengarsir daerah yang

bukan penyelesaiannya. Daerah penyelesaian yang ditentukan berupa

segitiga yang dihubungkan oleh titik koordinat yaitu (0,4), (0,0), dan

(6,0). Dimana daerah tersebut berada dibawah grafik 4𝑥 + 6𝑦 = 24,

dikanan sumbu y yang merepresentasikan 𝑦 ≥ 0 dan di atas sumbu x

yang merepresentasikan 𝑥 ≥ 0


386

c. Mahasiswa memplotkan titik-titik pada daerah penyelesaian yang



indikator soal bagian b, maka terlihat bahwa mahasiswa dapat menentukan



pada diagram Cartesius (poin a), menentukan daerah penyelesaian dan

bukan daerah penyelesaian (poin b), dan memplotkan titik pada daerah

penyelesaian yang merupakan titik penyelesaiannya (poin c).




pada level formal yaitu mahasiswa mampu menggambar grafik persamaan

dari bentuk pertidaksamaan linear dua variabel (poin a), mahasiswa mampu

menentukan daerah penyelesaian dengan memperhatikan syaratnya (poin

b), dan mahasiswa mampu memplotkan titik – titik yang merupakan

penyelesaian yang ada di dalam daerah penyelesaian (poin c).



berikut:


387

Gambar 4. 41. Kelompok jawaban mahasiswa 2 untuk tes tertulis I

kelas penelitian


Jawaban bagian a:

a. Mahasiswa memisalkan variabel x sebagai jumlah karung baju dan y

sebagai jumlah karung celana





indikator soal bagian a, maka terlihat bahwa mahasiswa tersebut dapat






388




pertidaksamaan linear dua variabel (poin b).



a ada pada level formal. Mahasiswa tersebut memenuhi indikator





Jawaban bagian b:

a. Mahasiswa mencari titik bantu yaitu ketika x = 0 dan y = 0 dimana



b. Mahasiswa memplot titik (0,4) dan (6,0) pada diagram Cartesius dan


c. Mahasiswa menentukan daerah penyelesaian dan mengarsir daerah



dan (6,0).


389

d. Mahasiswa memplotkan titik-titik pada daerah penyelesaian yang



indikator soal bagian b, maka terlihat bahwa mahasiswa dapat menentukan



4𝑥 + 6𝑦 = 24 terhadap sumbu x dan terhadap sumbu y (poin a),

menggambar garis lurus yang menghubungkan kedua titik potong (poin b),

menentukan daerah penyelesaian dan bukan daerah penyelesaian (poin c),


penyelesaiannya (poin d).



Mahasiswa tersebut memenuhi indikator kemampuan memodelkan pada

level formal yaitu mahasiswa mampu menggambar grafik persamaan dari

bentuk pertidaksamaan linear dua variabel (poin a, b), mahasiswa mampu

menentukan daerah penyelesaian dengan memperhatikan syaratnya (poin c),

dan mahasiswa mampu memplotkan titik – titik yang merupakan

penyelesaian yang ada di dalam daerah penyelesaian (poin d).

Dari hasil analisis jawaban mahasiswa pada tes tertulis I untuk

permasalahan nomor a diperoleh bahwa kemampuan memodelkan semua



390





analisis jawaban mahasiswa pada tes tertulis I untuk permasalahan nomor b

diperoleh kemampuan memodelkan semua mahasiswa berada pada level formal.

Semua mahasiswa memenuhi semua indikator pada level formal untuk

permasalahan nomor b yaitu mahasiswa mampu menggambar grafik persamaan

dari bentuk pertidaksamaan linear dua variabel, mahasiswa mampu menentukan

daerah penyelesaian dengan memperhatikan syaratnya, dan mahasiswa mampu

memplotkan titik – titik yang merupakan penyelesaian yang ada di dalam daerah

penyelesaian.

Deskripsi Hasil Jawaban Mahasiswa dari Hasil Tes Tertulis II Kelas

Penelitian



bentuk maksimum dalam kehidupan sehari-hari. Mahasiswa diminta untuk


Berikut ini disajikan deskripsi hasil pekerjaan mahasiswa untuk soal nomor

pertama berdasarkan kelompok jawaban mahasiswa yang sama.


391



berikut:

Gambar 4. 42. Kelompok jawaban mahasiswa 1 untuk masalah pertama

tes tertulis II kelas penelitian




2. Mahasiswa membuat tabel berisi informasi yang diketahui (kendala)

dan menuliskan apa yang ditanya dalam masalah yang diberikan

3. Mahasiswa memodelkan kendala utama 2𝑥 + 𝑦 ≤ 15 dan 𝑥 + 3𝑦 ≤

13 sesuai dengan yang diperoleh dari tabel yang telah dibuat dan

kendala nonnegatif 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0


392



20.000𝑥 + 50.000𝑦





titik (0,15) dan titik (7.5,0) dan titik potong untuk persamaan 𝑥 + 3𝑦 =

13 adalah titik (0,4.3) dan titik (13,0) kemudian menarik garis yang

menghubungkan titik potong untuk masing-masing kendala






50.000𝑦 = 70.000 dan 20.000𝑥 + 50.000𝑦 = 170.000 dengan




terhadap sumbu x dan sumbu y kemudian menarik garis yang

menghubungkan kedua titik potong untuk masing-masing persamaan

garis selidik


393


(4,3) dari proses penggeseran garis selidik secara sejajar ke kanan atau

ke atas

11. Mahasiswa mensubstitusikan titik maksimum (4,3) ke fungsi tujuan

sehingga diperoleh 𝑓(4,3) = 230.000

12. Mahasiswa menarik kesimpulan bahwa keuntungan maksimal terjadi

Ketika menjual 4 kursi dan 3 meja dengan keuntungan Rp 230.000











linear dua variabel (mahasiswa menyelesaikan masalah menggunakan garis







394




membentuk kendala (poin 3), mahasiswa mampu membentuk syarat


mampu menyelesaikan model matematika yang telah dibuat sesuai aturan





berikut:

Gambar 4. 43. Kelompok jawaban mahasiswa 2 untuk masalah

pertama tes tertulis II kelas penelitian


395




2. Mahasiswa membuat pemisalan variabel x sebagai jumlah kursi yang

diproduksi dan variabel y sebagai jumlah meja yang diproduksi


13 dan kendala nonnegatif 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0


5. Mahasiswa memodelkan fungsi objektif memaksimumkan 𝑓(𝑥, 𝑦) =

20.000𝑥 + 50.000𝑦


diagram Cartesius dengan terlebih dahulu mencari titik potong yaitu

untuk persamaan 2𝑥 + 𝑦 = 15 adalah titik (0,15) dan titik (7.5,0) dan

untuk persamaan 𝑥 + 3𝑦 = 13 adalah titik (0,4.3) dan titik (13,0) dan

menarik garis yang menghubungkan kedua titik potong dari masing-

masing kendala




penyelesaiannya


50.000𝑦 = 90.000


396


dahulu menentukan titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y

diperoleh (4.5,0) dan (0,1.8) untuk dapat menggambar garis selidik

tersebut. Namun disini mahasiswa tidak tepat dalam menggambar garis

selidiknya karena kesalahan dalam memplotkan titik potong terhadap

sumbu y (0,1.8). Mahasiswa memplotkan pada titik (0,0.8).


(1,4) dari proses penggeseran garis selidik ke atas sampai ke titik

penyelesaian yang terkahir


maksimum (1,4) yang diperoleh ke fungsi tujuannya sehingga diperoleh

220.000













397



dengan kurang tepat (poin 9) sehingga titik maksimum dan nilai maksimum

yang diperoleh kurang tepat (poin 10,11) walaupun proses penyelesaiannya

sudah tepat, mahasiswa dapat menginterpretasikan kembali hasil

penyelesaiannya sesuai dengan konteks masalah awal (12) walaupun

hasilnya kurang tepat.







kendala (poin 3), mahasiswa mampu membentuk syarat variabel





dibuat sesuai aturan penyelesaian masalah program linear karena garis

selidik yang digambar mahasiswa kurang tepat karena kesalahan dalam

memplotkan salah satu titik potong (poin 9) sehingga titik maksimum dan

nilai maksimum yang diperoleh kurang tepat (poin 10,11).


398



berikut:

Gambar 4. 44. Kelompok jawaban mahasiswa 3 untuk masalah pertama


Deskrispi pekerjaan mahasiswa:









399


20.000𝑥 + 50.000𝑦






masing kendala




penyelesaiannya


50.000𝑦 = 20.000 dan 20.000𝑥 + 50.000𝑦 = 50.000



dan menarik garis yang menghubungkan kedua titik potong untuk

masing-masing persamaan garis selidik


(4,3). Mahasiswa tidak menuliskan darimana titik pemaksimum itu

diperoleh.


400



230.000

12. Mahasiswa menyimpulkan bahwa keuntungan maksimum Rp 230.000










dapat menyelesaikan masalah yang terkait dengan program linear dua

variabel namun mahasiswa tidak memperlihatkan titik maksimum itu

diperoleh (poin 10) apakah dari pergeseran garis selidik atau tidak,

mahasiswa dapat menginterpretasikan kembali hasil penyelesaiannya sesuai

dengan konteks masalah awal (12).







401




mampu menarik kesimpulan sesuai konteks awal (poin 12). Peneliti belum

dapat menyimpulkan mahasiswa memenuhi indikator kemampuan



program linear (poin 10) karena disini mahasiswa tidak memperlihatkan

darimana mahasiswa menyimpulkan titik (4,3) sebagai titik maksimum

walaupun hasil yang diperoleh sudah benar.

Dari hasil analisis jawaban mahasiswa pada hasil tes tertulis II permasalahan

pertama diperoleh bahwa kemampuan memodelkan semua mahasiswa berada

pada level formal. Terdapat 31 mahasiswa memenuhi semua indikator

kemampuan memodelkan pada level formal yaitu. mahasiswa mampu membuat


mahasiswa mampu membentuk fungsi objektif, mahasiswa mampu membentuk

kendala, mahasiswa mampu menuliskan syarat variabel berdasarkan masalah

pada soal yang diberikan, mahasiswa mampu menyelesaikan model matematika

yang telah dibuat sesuai aturan penyelesaian masalah program linear, mahasiswa

mampu menarik kesimpulan sesuai konteks awal. Terdapat 3 mahasiswa belum

memenuhi 1 indikator kemampuan memodelkan pada level formal yaitu

mahasiswa mampu menyelesaikan model matematika yang telah dibuat sesuai

aturan penyelesaian masalah program linear. Terdapat pula 6 mahasiswa dimana


402

peneliti belum dapat menyimpulkan apakah mahasiswa-mahasiswa tersebut

memenuhi indikator kemampuan memodelkan pada level formal yaitu

mahasiswa mampu menyelesaikan model matematika yang telah dibuat sesuai

aturan penyelesaian masalah program linear.

Permasalahan Kedua


bentuk minimum dalam kehidupan sehari-hari. Mahasiswa diminta untuk


Berikut ini disajikan deskripsi hasil pekerjaan mahasiswa untuk soal nomor

kedua berdasarkan kelompok jawaban mahasiswa yang sama.



berikut:


403

Gambar 4. 45. Kelompok jawaban mahasiswa 1 untuk masalah kedua




pupuk cair dan variabel y sebagai banyaknya kantong pupuk kering

2. Mahasiswa merumuskan hal yang ditanya dan membuat tabel berisi

informasi yang diketahui dalam masalah yang diberikan


3𝑥 + 2𝑦 ≥ 18 dan kendala nonnegatifnya 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0

4. Mahasiswa membentuk syarat 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍


404

5. Mahasiswa memodelkan fungsi objektif meminimumkan 𝑓(𝑥, 𝑦) =

15.000𝑥 + 17.000𝑦





titik (0,10) dan titik (5,0), titik potong untuk persamaan 𝑥 + 3𝑦 = 12


3𝑥 + 2𝑦 = 18 adalah titik (0,9) dan titik (6,0) kemudian menarik garis

yang menghubungkan kedua titik potong dari masing-masing

persamaan kendala





17.000𝑦 = 230.000 dan 15.000𝑥 + 17.000𝑦 = 156.000

9. Mahasiswa menggambar persamaan garis selidik tersebut dengan

terlebih dahulu menentukan titik potong grafik dengan sumbu x dan

sumbu y dan menarik garis yang menghubungkan kedua titik potong

untuk masing-masing persamaan garis selidik


(4,3) yang diperoleh dari proses penggeseran garis selidik secara sejajar

ke kiri atau ke bawah


405


sehingga diperoleh nilai maksimumnya 111.000

12. Mahasiswa menyimpulkan bahwa total harga paling murah terjadi

ketika membeli 4 kantong pupuk cair dan 3 kantong pupuk kering

dengan total harga paling murah adalah Rp 111.000











linear dua variabel (mahasiswa menyelesaikan masalah menggunakan

metode garis selidik), mahasiswa dapat menginterpretasikan kembali hasil








406


membentuk kendala (poin 3), mahasiswa menuliskan syarat variabel



penyelesaian masalah program linear (poin 6,7,8,9,10,11,12), mahasiswa




berikut:

Gambar 4. 46. Kelompok jawaban mahasiswa 2 untuk masalah kedua



407










15.000𝑥 + 17.000𝑦









persamaan kendala





408


17.000𝑦 = 158.000 dan 15.000𝑥 + 17.000𝑦 = 128.000






(4,3). Mahasiswa tidak menginformasikan darimana titik mnimum

tersebut diperoleh



12. Mahasiswa menyimpulkan bahwa banyaknya kantong pupuk cair 4

kantong, banyaknya kantong pupuk kering 3 kantong, total harga paling

murah Rp 111.000











409


















program linear karena disini mahasiswa tidak memperlihatkan darimana

mahasiswa menyimpulkan titik (4,3) sebagai titik maksimum walaupun

hasil yang diperoleh sudah benar (poin 10).



berikut:


410

Gambar 4. 47. Kelompok jawaban mahasiswa 3 untuk masalah kedua tes

tertulis II kelas penelitian




2. Mahasiswa membuat pemisalan variabel x sebagai banyak kantong

pupuk cair dengan dan variabel y sebagai banyak kantong pupuk kering


dan 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 18 dan kendala nonnegatif 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0



15.000𝑥 + 17.000𝑦





411


dan titik (5,0), titik potong untuk persamaan 𝑥 + 3𝑦 = 12 adalah titik

(0,4) dan titik (12,0), dan titik potong untuk persamaan 3𝑥 + 2𝑦 = 18

adalah titik (0,9) dan titik (6,0) kemudian menarik garis yang

menghubungkan kedua titik potong dari masing-masing persamaan

kendala




Mahasiswa tidak memplotkan titik (4,3) sebagai titik penyelesaian

(mengakibatkan titik minimum yang dihasilkan kurang tepat)


17.000𝑦 = 185.000




menghubungkan kedua titik potong






412

12. Mahasiswa menyimpulkan banyak kantong yang harus dibeli supaya

harga minimum adalah 5 kantong pupuk cair dan 3 kantong pupuk

kering sebesar 15.000(5) + 17.000(3) = 126.000



















masalah awal walaupun hasil yang diperoleh kurang tepat (12).


413













Dari hasil analisis jawaban mahasiswa pada hasil tes tertulis II permasalahan

kedua diperoleh bahwa kemampuan memodelkan semua mahasiswa berada pada

level formal. Terdapat 24 mahasiswa memenuhi semua indikator kemampuan

memodelkan pada level formal yaitu. mahasiswa mampu membuat pemisalan

terhadap objek dari masalah yang diberikan ke dalam variabel, mahasiswa

mampu membentuk fungsi objektif, mahasiswa mampu membentuk kendala,

mahasiswa mampu menuliskan syarat variabel berdasarkan masalah pada soal

yang diberikan, mahasiswa mampu menyelesaikan model matematika yang telah

dibuat sesuai aturan penyelesaian masalah program linear, mahasiswa mampu

menarik kesimpulan sesuai konteks awal. Terdapat 6 mahasiswa dimana peneliti

belum dapat menyimpulkan apakah mahasiswa-mahasiswa tersebut memenuhi


414



masalah program linear. Terdapat 10 mahasiswa belum memenuhi 1 indikator




H. Deskripsi Hasil Tes Tertulis Kelas Penelitian dan Wawancara

Deskripsi Jawaban Mahasiswa Dari Hasil Tes Tertulis I Kelas Penelitian

dan Wawancara


yang dideskripsikan berdasarkan kelompok jawaban mahasiswa yang sama.

Terdapat 2 kelompok jawaban yang sama yaitu kelompok jawaban mahasiswa

yang pertama dan kelompok jawaban mahasiswa yang kedua.


Gambar 4. 48. Jawaban mahasiswa 1 untuk tes tertulis I kelas penelitian


415






c. Mahasiswa menggambar garis lurus yang merepresentasikan



d. Mahasiswa menentukan daerah penyelesaian dan mengarsir daerah



dan (6,0). Dimana daerah tersebut berada dibawah grafik 4𝑥 + 6𝑦 =

24, dikanan sumbu y yang merepresentasikan 𝑦 ≥ 0 dan di atas sumbu

x yang merepresentasikan 𝑥 ≥ 0

e. Mahasiswa memplotkan titik-titik pada daerah penyelesaian yang










416






pada diagram Cartesius (poin c), menentukan daerah penyelesaian dan

bukan daerah penyelesaian (poin d), dan memplotkan titik pada daerah

penyelesaian yang merupakan titik penyelesaiannya (poin e).












variabel (poin c), mahasiswa mampu menentukan daerah penyelesaian

dengan memperhatikan syaratnya (poin d), dan mahasiswa mampu


daerah penyelesaian (poin e).


417





wawancara berikut P menyatakan peneliti dan L1 menyatakan perwakilan


P : Coba ceritakan, bagaimana kamu menyelesaikan soal yang

diberikan?

L11 : Yang pertama aku lakuin itu jelas membaca soalnya itu. Kayak

data-data yang diketahui. Kan disitu diketahui itu yang diantar

itu karung baju sama karung celana. Terus berat karung

bajunya itu 4 kg terus berat karung celana 6 kg. Terus hm yang

pertama memodelkan dulu sama kek soalnya itu terus

menggambar daerah penyelesaiannya.

Jadi yang pertama aku lakuin itu ya mengambil apa yang

menjadi x dan apa yang menjadi y terus dibuat modelnya.

Terus dibuat daerah penyelesaiannya.

Gitu kak.

P : Oke. Kenapa yang kamu misalkan x dengan banyaknya karung

baju dan y dengan banyaknya karung celana?

L12 : Karena kalau di soal – soal prolin kan biasanya kalau ada

angka-angkanya itu, yang ada satuan, angka, ataupun berat itu

di jadikan suatu variabel. Yang disitu kelihatannya itu kan

satuan kg jadi aku misalkan dengan banyak karung baju sama

banyak karung celananya itu. Karena berat totalnya itu

tergantung dari banyak karung yang dibawa

P : Oke. Pada model yang kamu buat 4x + 6y ≤ 24. Na sekarang

mba mau tanya kenapa 4x dan kenapa 6y?

L13 : Oh karena nyambung sama yang tadi. Kan aku ngambil

pemisalannya itu x itu banyaknya karung baju dan di soal

beratnya karung baju itu 4 kg dan 4x itu berarti banyaknya

karung baju itu kali 4 kg dan yang y aku memisalkan dengan

banyaknya karung celana dan di soal ada 6 kg beratnya, jadi

aku memodelkan 6y. Artinya 6 kali dari banyaknya karung

celana.

P : Oke. Na sekarang disitu kan kamu pakai tanda ≤ . Kenapa

tanda yang kamu pakai itu ≤?

L14 : Karena pada soal ada ketentuan bahwa sepeda motor yang

akan di pakai anansi daya muatnya tidak lebih dari 24 kg dan


418

kata tidak lebih dari sama artinya dengan kurang dari atau

sama dengan

P : Oke. Pada daerah penyelesaiannya, bagaimana langkah –

langkah kamu menggambar daerah penyelesaiannya?

L15 : Kan itu udah ada modelnya yang 4x + 6y ≤ 24. Kalau Langkah

pertamanya itu ubah bentuk pertidaksamaan ke bentuk

persamaan dari 4x + 6y ≤ 24 ke 4x + 6y = 24 dan kalau di

gambar dalam bidang koodinat cartesius berupa garis. Garis

itu kan yang pastinya akan memotong sumbu x dan sumbu y.

Na kita cari perpotongannya. Perpotongan antara garis 4x +

6y = 24 pada sumbu x dan 4x + 6y = 24 pada sumbu y dan

memisalkan kondisi x = 0 dan kondisi y = 0. Jadi kalau kondisi

x = 0 maka y = 4 terus kalau kondisi y = 0 maka x = 6. Terus

dibuat kayak apa Namanya. Kayak kek kotak-kotak itu loh

mba. Kek gini ni kelihatan nggak mba?hehehe

P : Iaia paham aku. Dibuat tabel kan?

L16 : Ya. Terus setelah dicari perpotongannya itu kan dapat dua titik

P : Titiknya berapa aja?kan ada dua titik.

L17 : Oh ya titiknya itu ada (0,4) sama (6,0).

P : Terus?

L18 : Terus tadi kan titiknya (0,4) sama (6,0). Habis itu dibuat suatu

garis yang melewati dua buah titik itu. Ditarik garis deh. Itu

merupakan garis 4x + 6y = 24. Terus habis itu kan ada tanda

‘≤’. Na kalau yang aku lakuin itu aku uji titik mba. Misal

titiknya itu ada di kanan garis.. trus dimasukkin ke

pertidaksamaannya itu. Terus kalau tidak benar berarti itu

bukan daerahnya. Jadi aku coba lagi titik yang ada di kiri

garisnya itu. Kayak ganti-gantian itu loh.

P : Contohnya gimana?

L19 : Misal titik (10,10) lah disubsitusikan ke pertidaksamaan itu kan

hasilnya 100. 100 ini tidak kurang dari atau sama dengan 24

berarti titik (10,10) tidak memenuhi dari daerha

penyelesaiannya atau tidak berada di daerah penyelesaiannya.

Na kalau tidak berada daerha penyelesaiannya, aku nyoba

ambil titik yang berada di dalam garis maksudnya itu di kiri

garisnya itu. Misalnya (1,1) ketika disubsitusikan itu 4 kali 1

ditambah 6 kali 1 hasilnya 10. Na 10 ini ternyata kurang dari

atau sama dengan 24 maka titik (1,1) dan berbagai titik yang

berada di daerah yang segitiga itu adalah daerah

penyelesaiannya.

P : Kenapa cuma daerah segitgia ini saja yang merupakan daerah

penyelesaiannya? Coba lihat dulu. Berarti yang dibagian kiri

sumbu y sama bagian bawahnya sumbu x bukan merupakan

daerah menyelesaiaannya kah atau bagaimana?

L110 : Iya, bukan daerah penyelesaiaanya. Sebenarnya di model yang

saya buat itu harus ditambahkan syarat x,y tidak negatif atau


419

𝑥 ≥ 0 dan y≥ 0 kerena tidak mungkin ada -1 karung celana

atau -1 karung baju. Jadi tidak negatif paling tidak nol atau

lebih dari 0

P : Ya karena kan kamu udah memodelkan. Kan dari modelnya

sendiri itu kan ada syaratnya. Syaratnya itu seperti yang kamu

omong barusan itu.

L111 : Iya mba.

P : Kenapa daerah penyelesaiannmu ini berupa titik – titik? Kalau

kita lihat kan titik yang kamu plotkan itu di titik yang x,y bulat

toh kan. Ada (1,1), (0,1), (1,0), dan seterusnya. Na itu kenapa?

L112 : Iya. Karena dari modelnya itu si x sama y itu anggota bilangan

bulat.

P : Kenapa x dan y nya bilangan bulat?

L113 : Karena yang aku misalkan tadi itu kan banyak karung mba.

Banyak karung itu kan nggak mungkin negatif dan bulat.



terhadap objek-objek ke dalam variabel Mahasiswa membuat pemisalan x =

banyaknya karung baju dan y = banyaknya karung celana dengan alasan

menurut mahasiswa yang dimisalkan itu adalah sesuatu yang ada satuannya.

Dari soal diketahui berat karung dan berat total tergantung pada banyaknya

karung baju dan banyaknya karung celana yang dibawa. Jadi yang

dimisalkan adalah banyaknya karung. Hal ini dapat dilihat pada dialog

berikut ini:

P : Coba ceritakan, bagaimana kamu menyelesaikan soal yang

diberikan?

L11 : Yang pertama aku lakuin itu jelas membaca soalnya itu. Kayak

data-data yang diketahui. Kan disitu diketahui itu yang diantar

itu karung baju sama karung celana. Terus berat karung bajunya

itu 4 kg terus berat karung celana 6 kg. Terus hm yang pertama

memodelkan dulu sama kek soalnya itu terus menggambar

daerah penyelesaiannya.

Jadi yang pertama aku lakuin itu ya mengambil apa yang

menjadi x dan apa yang menjadi y terus dibuat modelnya. Terus

dibuat daerah penyelesaiannya.


420

Gitu kak.

P : Oke. Kenapa yang kamu misalkan x dengan banyaknya karung

baju dan y dengan banyaknya karung celana?

L12 : Karena kalau di soal – soal prolin kan biasanya kalau ada

angka-angkanya itu, yang ada satuan, angka, ataupun berat itu

di jadikan suatu variabel. Yang disitu kelihatannya itu kan

satuan kg jadi aku misalkan dengan banyak karung baju sama

banyak karung celananya itu. Karena berat totalnya itu

tergantung dari banyak karung yang dibawa





tanda ≤ karena pada soal ada ketentuan bahwa sepeda motor yang akan di

pakai anansi daya muatnya tidak lebih dari 24 kg dan kata tidak lebih dari

sama artinya dengan kurang dari atau sama dengan. Hal ini dapat dilihat


P : Oke. Pada model yang kamu buat 4x + 6y ≤ 24. Na sekarang

mba mau tanya kenapa 4x dan kenapa 6y?

L13 : Oh karena nyambung sama yang tadi. Kan aku ngambil

pemisalannya itu x itu banyaknya karung baju dan di soal

beratnya karung baju itu 4 kg dan 4x itu berarti banyaknya

karung baju itu kali 4 kg dan yang y aku memisalkan dengan

banyaknya karung celana dan di soal ada 6 kg beratnya, jadi

aku memodelkan 6y. Artinya 6 kali dari banyaknya karung

celana.

P : Oke. Na sekarang disitu kan kamu pakai tanda ≤ . Kenapa

tanda yang kamu pakai itu ≤?

L14 : Karena pada soal ada ketentuan bahwa sepeda motor yang akan

di pakai anansi daya muatnya tidak lebih dari 24 kg dan kata

tidak lebih dari sama artinya dengan kurang dari atau sama

dengan




421




daerah penyelesaian dengan cara uji titik yaitu mengambil salah satu titik di

kanan dan kiri garis yaitu titik (10,10) dan titik (1,1) kemudian

mensubstitusikan ke model matematikanya yaitu pertidaksamaan linear dua

variabel. Jika memenuhi pertidaksamaan yang dibuat maka daerah tersebut

adalah daerah penyelesaiannya. Daerah penyelesaian yang dibuat

mahasiswa berupa segitiga yang menghubungkan titik (0,4), (0,0), dan (6,0)

karena menurut mahasiswa ada syarat 𝑥 ≥ 0 dan y≥ 0. Mahasiswa

memplotkan titik-titik pada daerah penyelesaian dikarenakan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍. Hal


P : Oke. Pada daerah penyelesaiannya, bagaimana langkah –

langkah kamu menggambar daerah penyelesaiannya?

L15 : Kan itu udah ada modelnya yang 4x + 6y ≤ 24. Kalau Langkah

pertamanya itu ubah bentuk pertidaksamaan ke bentuk

persamaan dari 4x + 6y ≤ 24 ke 4x + 6y = 24 dan kalau di

gambar dalam bidang koodinat cartesius berupa garis. Garis

itu kan yang pastinya akan memotong sumbu x dan sumbu y. Na

kita cari perpotongannya. Perpotongan antara garis 4x + 6y =

24 pada sumbu x dan 4x + 6y = 24 pada sumbu y dan

memisalkan kondisi x = 0 dan kondisi y = 0. Jadi kalau kondisi

x = 0 maka y = 4 terus kalau kondisi y = 0 maka x = 6. Terus

dibuat kayak apa Namanya. Kayak kek kotak-kotak itu loh mba.

Kek gini ni kelihatan nggak mba?hehehe

P : Iaia paham aku. Dibuat tabel kan?

L16 : Ya. Terus setelah dicari perpotongannya itu kan dapat dua titik

P : Titiknya berapa aja?kan ada dua titik.

L17 : Oh ya titiknya itu ada (0,4) sama (6,0).

P : Terus?

L18 : Terus tadi kan titiknya (0,4) sama (6,0). Habis itu dibuat suatu

garis yang melewati dua buah titik itu. Ditarik garis deh. Itu

merupakan garis 4x + 6y = 24. Terus habis itu kan ada tanda


422

‘≤’. Na kalau yang aku lakuin itu aku uji titik mba. Misal

titiknya itu ada di kanan garis.. trus dimasukkin ke

pertidaksamaannya itu. Terus kalau tidak benar berarti itu

bukan daerahnya. Jadi aku coba lagi titik yang ada di kiri

garisnya itu. Kayak ganti-gantian itu loh.

P : Contohnya gimana?

L19 : Misal titik (10,10) lah disubsitusikan ke pertidaksamaan itu kan

hasilnya 100. 100 ini tidak kurang dari atau sama dengan 24

berarti titik (10,10) tidak memenuhi dari daerha

penyelesaiannya atau tidak berada di daerah penyelesaiannya.

Na kalau tidak berada daerha penyelesaiannya, aku nyoba

ambil titik yang berada di dalam garis maksudnya itu di kiri

garisnya itu. Misalnya (1,1) ketika disubsitusikan itu 4 kali 1

ditambah 6 kali 1 hasilnya 10. Na 10 ini ternyata kurang dari

atau sama dengan 24 maka titik (1,1) dan berbagai titik yang

berada di daerah yang segitiga itu adalah daerah

penyelesaiannya.

P : Kenapa cuma daerah segitgia ini saja yang merupakan daerah

penyelesaiannya? Coba lihat dulu. Berarti yang dibagian kiri

sumbu y sama bagian bawahnya sumbu x bukan merupakan

daerah menyelesaiaannya kah atau bagaimana?

L110 : Iya, bukan daerah penyelesaiaanya. Sebenarnya di model yang

saya buat itu harus ditambahkan syarat x,y tidak negatif atau

𝑥 ≥ 0 dan y≥ 0 kerena tidak mungkin ada -1 karung celana

atau -1 karung baju. Jadi tidak negatif paling tidak nol atau

lebih dari 0

P : Ya karena kan kamu udah memodelkan. Kan dari modelnya

sendiri itu kan ada syaratnya. Syaratnya itu seperti yang kamu

omong barusan itu.

L111 : Iya mba.

P : Kenapa daerah penyelesaiannmu ini berupa titik – titik? Kalau

kita lihat kan titik yang kamu plotkan itu di titik yang x,y bulat

toh kan. Ada (1,1), (0,1), (1,0), dan seterusnya. Na itu kenapa?

L112 : Iya. Karena dari modelnya itu si x sama y itu anggota bilangan

bulat.

P : Kenapa x dan y nya bilangan bulat?

L113 : Karena yang aku misalkan tadi itu kan banyak karung mba.

Banyak karung itu kan nggak mungkin negatif dan bulat.

Dari poin-poin deskripsi hasil mahasiswa peneliti dengan mahasiswa di atas

dan jika ditinjau dari indikator soal, maka disimpulkan bahwa mahasiswa

tersebut dapat menyederhanakan asumsi dari masalah yang terkait dengan



423



masalah yang terkait dengan pertidaksamaan linear dua variabel (mahasiswa




menentukan penyelesaian dari model yang dibuat pada soal nomor a yaitu

4𝑥 + 6𝑦 ≤ 24 dengan langkah-langkah menggambar grafik persamaan

terlebih dahulu, kemudian menentukan daerah penyelesaiannya dengan cara

uji titik, dan memplotkan titik-titik pada daerah penyelesaian yang

merupakan titik penyelesaiannya dimana 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍.





dari masalah yang diberikan ke dalam variabel (L11, L12), dan mahasiswa


yang diberikan (L13, L14). Untuk kemampuan memodelkan mahasiswa pada

permasalahan nomor b berada pada level formal. Mahasiswa tersebut



pertidaksamaan linear dua variabel (L15, L16, L17, L18), mahasiswa mampu

menentukan daerah penyelesaian dengan memperhatikan syaratnya (L18,


424

L19, L110), dan mahasiswa mampu memplotkan titik – titik yang merupakan

penyelesaian yang ada di dalam daerah penyelesaian (L112, L113).


bahwa kemampuan memodelkan subjek mahasiswa untuk permasalahan

nomor a berada pada level formal. Berdasarkan hasil tes dan hasil

wawancara, mahasiswa memenuhi semua indikator kemampuan



dan mahasiswa mampu membentuk sebuah pertidaksamaan linear dua

variabel dari masalah yang diberikan. Untuk kemampuan memodelkan

mahasiswa pada permasalahan nomor b berada pada level formal.


level formal yaitu mahasiswa mampu menggambar grafik persamaan dari

bentuk pertidaksamaan linear dua variabel, mahasiswa mampu menentukan

daerah penyelesaian dengan memperhatikan syaratnya, dan mahasiswa

mampu memplotkan titik – titik yang merupakan penyelesaian yang ada di



425


Gambar 4. 49. Jawaban mahasiswa 2 untuk tes tertulis I kelas

penelitian


a. Mahasiswa memisalkan variabel x sebagai jumlah karung baju dan y

sebagai jumlah karung celana




c. Mahasiswa mencari titik bantu yaitu ketika x = 0 dan y = 0 dimana



d. Mahasiswa memplot titik (0,4) dan (6,0) pada diagram Cartesius dan



426

e. Mahasiswa menentukan daerah penyelesaian dan mengarsir daerah



dan (6,0)

f. Mahasiswa memplotkan titik-titik pada daerah penyelesaian yang














4𝑥 + 6𝑦 = 24 terhadap sumbu x dan terhadap sumbu y (poin c),

menggambar garis lurus yang menghubungkan kedua titik potong (poin d),

menentukan daerah penyelesaian dan bukan daerah penyelesaian (poin e),


penyelesaiannya (poin f).


427

Dari hasil dan deskripsi pekerjaan mahasiswa, dapat disimpulkan











variabel (poin c, d), mahasiswa mampu menentukan daerah penyelesaian

dengan memperhatikan syaratnya (poin e), dan mahasiswa mampu


daerah penyelesaian (poin f).







P : Langsung aja ya. Kenapa yang kamu misalkan x dengan jumlah

karung baju dan y dengan jumlah karung celana?


428

L21 : Karena jumlah karung itu yang mempengaruhi berat total yang

dibawa si Anansi. Kan berat karungnya sudah diketahui. Jadi

yang dicari itu jumlah karungnya. Makanya yang dimisalkan itu

jumlah karungnya

P : Oke. Disini model yang kamu bentuk 4𝑥 + 6𝑦 ≤ 24. Coba

jelaskan makna dari model yang kamu buat ini?

L22 : O ia mba. Jadi dari model 4𝑥 + 6𝑦 ≤ 24, aku misalkan x dengan

jumlah karung baju dan y dengan jumlah karung celana. Na

angka 4 dan 6 itu diperoleh dari berat karung yang sudah

diketahui di soal, jadi 4 dikali x ditambah 6 dikali y. Kalau ≤ 24

karena bebannya tidak lebih dari 24

P : Kenapa ≤?

L23 : Kan tidak lebih dari 24 jadi 24 itu yang paling maksimal. Boleh

kurang dari 24, boleh juga sama dengan 24. Jadi tandanya ≤

P : Na kalau 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0?

L24 : Karena ada syarat dari masalahnya itu. jumlah karung tidak

mungkin negatif sama harus bilangan bulat.

P : Kita lanjut ke jawaban nomor b ya. Disini dari yang kamu tulis

Langkah awalnya kamu ubah pertidaksamaan ke persamaan

terus cari titik potongnya. Na kenapa diubah ke persamaan dan

kenapa di cari titik potongnya?

L25 : Biar tahu garisnya, kalau langsung kurang dari berarti tidak

akan tahu garis nya. Kalau garis berarti dia tidak menyelesaikan

lebih darinya atau kurang darinya. Jadi diselesaikan yang

persamaannya dulu dengan cara cari titik potong grafik dengan

sumbu x dan sumbu y terlebih dahulu terus gambar garisnya

P : Terus apa yang kamu buat?

L26 : Setelah itu aku tentuin daerah penyelesaiannya mba. Kan

tandanya di model itu ≤ jadi daerah penyelesaiannya yang

bagian kiri sama garisnya itu.

P : Na kalau gitu berarti yang di kiri sumbu y dan bawah sumbu x

juga termasuk daerah penyelesaiaannya dong. Ia ngga?

L27 : E maksudnya itu, hanya yang dibagian yang segitiga itu aja mba

daerahnya

P : Lah kenapa?

L28 : Karena kan tadi ada syaratnya 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0. Jadi kiri

sumbu y dan bawah sumbu x itu nggak termasuk daerah

penyelesaiaannya mba

P : Ia baik. Yang terakhir kenapa daerah penyelesaiannya

bentuknya titik-titik begini?

L29 : O itu titiknya di 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 karena ada syarat 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍

Berdasarkan hasil wawancara di atas, dapat dilihat bahwa untuk membentuk



429

terhadap objek-objek ke dalam variabel. Mahasiswa membuat pemisalan x

= jumlah karung baju dan y = jumlah karung celana dengan alasan menurut

mahasiswa jumlah karung baju dan jumlah karung celana yang

mempengaruhi berat total karung yang dapat dibawa Anansi. Selain itu

menurut mahasiswa yang dimisalkan itu adalah sesuatu yang mau dicari

nilainya. Hal ini dapat dilihat pada dialog berikut ini:

P : Langsung aja ya. Kenapa yang kamu misalkan x dengan jumlah

karung baju dan y dengan jumlah karung celana?

L21 : Karena jumlah karung itu yang mempengaruhi berat total yang

dibawa si Anansi. Kan berat karungnya sudah diketahui. Jadi

yang dicari itu jumlah karungnya. Makanya yang dimisalkan itu

jumlah karungnya


yaitu 4𝑥 + 6𝑦 ≤ 24. 4𝑥 diperoleh dari hasil kali berat satu karung baju

dengan jumlah karung baju dan 6𝑦 diperoleh dari hasil kali berat satu karung

celana dengan banyaknya karung celana. Mahasiswa menggunakan tanda ≤

karena pada soal terdapat kalimat tidak lebih dari 24 kg yang artinya paling

maksimal beratnya 24 kg. Karena jumlah karung baju dan jumlah karung

celana tidak boleh negatif dan harus bilangan bulat oleh karena itu

mahasiswa juga menyertakan syarat dari model tersebut yaitu 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0

dan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍. Hal ini dapat dilihat pada dialog berikut ini:

P : Oke. Disini model yang kamu bentuk 4𝑥 + 6𝑦 ≤ 24. Coba

jelaskan makna dari model yang kamu buat ini?

L22 : O ia mba. Jadi dari model 4𝑥 + 6𝑦 ≤ 24, aku misalkan x dengan

jumlah karung baju dan y dengan jumlah karung celana. Na

angka 4 dan 6 itu diperoleh dari berat karung yang sudah

diketahui di soal, jadi 4 dikali x ditambah 6 dikali y. Kalau ≤ 24

karena bebannya tidak lebih dari 24

P : Kenapa ≤?


430

L23 : Kan tidak lebih dari 24 jadi 24 itu yang paling maksimal. Boleh

kurang dari 24, boleh juga sama dengan 24. Jadi tandanya ≤

P : Na kalau 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0?

L24 : Karena ada syarat dari masalahnya itu. jumlah karung tidak

mungkin negatif sama harus bilangan bulat.






daerah penyelesaian dengan cara melihat tanda pertidaksamaan pada model

dan syarat dari model yang dibuat. Jadi dipeorleh daerah penyelesaiannya

berupa segitiga yang menghubungkan titik (0,4), (0,0), dan (6,0).

Mahasiswa memplotkan titik-titik pada daerah penyelesaian dikarenakan

𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍. Hal ini dapat dilihat pada dialog berikut ini:

P : Kita lanjut ke jawaban nomor b ya. Disini dari yang kamu tulis

Langkah awalnya kamu ubah pertidaksamaan ke persamaan

terus cari titik potongnya. Na kenapa diubah ke persamaan dan

kenapa di cari titik potongnya?

L25 : Biar tahu garisnya, kalau langsung kurang dari berarti tidak

akan tahu garis nya. Kalau garis berarti dia tidak menyelesaikan

lebih darinya atau kurang darinya. Jadi diselesaikan yang

persamaannya dulu dengan cara cari titik potong grafik dengan

sumbu x dan sumbu y terlebih dahulu terus gambar garisnya

P : Terus apa yang kamu buat?

L26 : Setelah itu aku tentuin daerah penyelesaiannya mba. Kan

tandanya di model itu ≤ jadi daerah penyelesaiannya yang

bagian kiri sama garisnya itu.

P : Na kalau gitu berarti yang di kiri sumbu y dan bawah sumbu x

juga termasuk daerah penyelesaiaannya dong. Ia ngga?

L27 : E maksudnya itu, hanya yang dibagian yang segitiga itu aja mba

daerahnya

P : Lah kenapa?


431

L28 : Karena kan tadi ada syaratnya 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0. Jadi kiri

sumbu y dan bawah sumbu x itu nggak termasuk daerah

penyelesaiaannya mba

P : Ia baik. Yang terakhir kenapa daerah penyelesaiannya

bentuknya titik-titik begini?

L29 : O itu titiknya di 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 karena ada syarat 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍

Dari hasil deskripsi wawancara peneliti dengan mahasiswa di atas dan jika






masalah yang terkait dengan pertidaksamaan linear dua variabel mahasiswa




menentukan penyelesaian dari model yang sudah dibuat pada soal bagian a

yaitu 4𝑥 + 6𝑦 ≤ 24 dengan langkah-langkah menggambar grafik

persamaan terlebih dahulu, kemudian menentukan daerah penyelesaiannya

dengan cara melihat tanda ketaksamaan pada model dan syarat dari model

yang dibuat, dan memplotkan titik-titik pada daerah penyelesaian yang

merupakan titik penyelesaiannya dimana 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍.





432


dari masalah yang diberikan ke dalam variabel (L21), dan mahasiswa


yang diberikan (L22, L23, L24). Untuk kemampuan memodelkan mahasiswa

pada permasalahan nomor b berada pada level formal. Mahasiswa tersebut



pertidaksamaan linear dua variabel (L25), mahasiswa mampu menentukan

daerah penyelesaian dengan memperhatikan syaratnya (L26, L27, L28), dan

mahasiswa mampu memplotkan titik – titik yang merupakan penyelesaian

yang ada di dalam daerah penyelesaian (L29).









nomor b berada pada level formal. Mahasiswa tersebut memenuhi indikator



variabel, mahasiswa mampu menentukan daerah penyelesaian dengan


433



Dari hasil analisis jawaban mahasiswa dan wawancara pada tes tertulis I

untuk permasalahan nomor a diperoleh bahwa kemampuan memodelkan semua






analisis jawaban mahasiswa dan wawancara pada tes tertulis I untuk

permasalahan nomor b diperoleh kemampuan memodelkan semua mahasiswa

berada pada level formal. Semua mahasiswa memenuhi semua indikator pada

level formal untuk permasalahan nomor b yaitu mahasiswa mampu menggambar

grafik persamaan dari bentuk pertidaksamaan linear dua variabel, mahasiswa

mampu menentukan daerah penyelesaian dengan memperhatikan syaratnya, dan

mahasiswa mampu memplotkan titik – titik yang merupakan penyelesaian yang

ada di dalam daerah penyelesaian.

Deskripsi Jawaban Mahasiswa Dari Hasil Tes Tertulis II Kelas Penelitian

dan Wawancara


yang dideskripsikan berdasarkan kelompok jawaban mahasiswa yang sama

untuk masing-masing nomor soal (permasalahan yang diberikan). Pada nomor

soal pertama terdapat 3 kelompok jawaban yang sama yaitu kelompok jawaban


434

mahasiswa yang pertama, kelompok jawaban mahasiswa yang kedua, dan

kelompok jawaban mahasiswa yang ketiga. Pada nomor soal kedua terdapat 3

kelompok jawaban yang sama yaitu kelompok jawaban mahasiswa yang

pertama, kelompok jawaban mahasiswa yang kedua, dan kelompok jawaban

mahasiswa yang ketiga.




kelas penelitian


435




2. Mahasiswa membuat tabel berisi informasi yang diketahui (kendala)

dan menuliskan apa yang ditanya dalam masalah yang diberikan


13 sesuai dengan yang diperoleh dari tabel yang telah dibuat dan

kendala nonnegatif 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0



20.000𝑥 + 50.000𝑦





titik (0,15) dan titik (7.5,0) dan titik potong untuk persamaan 𝑥 + 3𝑦 =

13 adalah titik (0,4.3) dan titik (13,0) kemudian menarik garis yang

menghubungkan titik potong untuk masing-masing kendala






436


50.000𝑦 = 70.000 dan 20.000𝑥 + 50.000𝑦 = 170.000 dengan





menghubungkan kedua titik potong untuk masing-masing persamaan

garis selidik


(4,3) dari proses penggeseran garis selidik secara sejajar ke kanan atau

ke atas

11. Mahasiswa mensubstitusikan titik maksimum (4,3) ke fungsi tujuan

sehingga diperoleh 𝑓(4,3) = 230.000

12. Mahasiswa menarik kesimpulan bahwa keuntungan maksimal terjadi

Ketika menjual 4 kursi dan 3 meja dengan keuntungan Rp 230.000










437



linear dua variabel (mahasiswa menyelesaikan masalah menggunakan garis









membentuk kendala (poin 3), mahasiswa mampu membentuk syarat


mampu menyelesaikan model matematika yang telah dibuat sesuai aturan









P : Bagaimana kamu meyelesaikan soal nomor 1?


438

L11 : Pertama misalkan x dengan banyaknya kursi dan y dengan

banyaknya meja. Lalu membuat model matematika lalu

membuat tabel dan kenapa kurang dari sama dengan karena

waktu kerja yang tersedia 15 jam dan 13 jam. 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0

karena banyak sesuatu tidak mungkin negatif. Kenapa bilangan

bulat karena banyaknya kursi tidak mungkin ½ porsi dan fungsi

tujuannya untuk memaksimalkan f(x,y)=20.000 x + 50.000 y

karena ada keuntungan 20.000 untuk kursi dan 50.000 untuk

meja dan tujuannya untuk cari keuntungan maksimal makanya

memaksimumkan 20.000 x + 50.000 y.

Setelah itu mencari titik potong persamaan kendalanya pada

sumbu x dan sumbu y dengan mengganti pertidaksamaan ke

persamaan lalu menggambar grafik, terus tentukan daerah

penyelesaian sama plot titik penyelesaiannya. Setelah itu ambil

sembarang nilai z buat dapat persamaan garis selidiknya ada

20.000𝑥 + 50.000𝑦 = 70.000 dan 20.000𝑥 + 50.000𝑦 =170.000. Terus gambar garis selidik dengan cara cari titik

grafik dengan sumbu x dan y terus digeser garis selidiknya

sampai titik yang paling maksimum yaitu titik (4,3) lalu

mensubsitusi titik (4,3) ke fungsi tujuan dan didapat keuntungan

maksimumnya sebesar 230.000.

P : Kenapa yang kamu misalkan x dengan banyaknya kursi dan y

dengan banyaknya meja?

L12 : Karena yang ditanya itu kan keuntungan maksimal dari kursi

dan meja kan jadi saya misalkan x dengan banyaknya kursi dan

y dengan banyaknya meja. Kan keuntungan maksimalnya itu

tergantung dari banyak kursi dan meja

P : Dari tabel yang dibuat didapatkan model matematika dan

kendalanya, untuk apa model matematika 2x+y≤ 15, x+3y

≤13?

L13 : 2x+y≤ 15 untuk jumlah waktu proses perakitan kursi dan meja

terus yang x+3y ≤13 untuk jumlah waktu proses finishing kursi

dan meja

P : Apa yang kamu lakukan setelah kamu menggambar garis

selidik?

L14 : Menggeser garis selidik ke arah kanan

P : Kenapa garis selidik di geser ke kanan?

L15 : Karena fungsi tujuannya memaksimumkan

P : Mengapa kamu menggeser garis selidik sampai di titik (4,3)?

L16 : Karena titik (4,3) adalah titik yang paling maksimum yang

berada di daerah penyelesaiannya.

P : Mengapa daerah penyelesaiannya berada di daerah segiempat

dan berupa titk-titik

L17 : Titik-titik karena syarat untuk x dan y nya itu harus bilangan

bulat. Untuk daerah penyelesaiannya itu merupakan irisan dari

daerah penyelesaian semua kendala. Kan kalau kurang dari


439

berarti penyelesaiannya yang kiri garis terus sama syarat

nonnegatifnya itu.

P : Oke. Kalau boleh tahu bagaimana kamu geser garis seldiiknya

itu?

L18 : Geser pelan-pelan pakai penggaris segitiga mba

P : Oke. Na terus tadi setelah substitusi titik maksimumya ke fungsi

tujuan setelah itu kamu buat apa?

L19 : Disimpulkan. Kan yang ditanya keuntungan maksimal.

P : Jadi?

L110 : Jadi kesimpulannya itu keuntungan maksimal yang diperoleh






kendala nonnegatif), mahasiswa menuliskan syarat variabel berdasarkan








berdasarkan yang ditanyakan dalam masalah yang diberikan yaitu

keuntungan maksimal dari penjualan kursi dan meja dan keuntungan

maksimal tersebut tergantung dari banyaknya kursi dan meja dijual. Hal ini




440





















P : Kenapa yang kamu misalkan x dengan banyaknya kursi dan y

dengan banyaknya meja?

L12 : Karena yang ditanya itu kan keuntungan maksimal dari kursi

dan meja kan jadi saya misalkan x dengan banyaknya kursi dan

y dengan banyaknya meja. Kan keuntungan maksimalnya itu

tergantung dari banyak kursi dan meja



Kendala yang dibuat adalah kendala yang pertama 2𝑥 + 𝑦 ≤ 15 untuk

jumlah waktu proses perakitan kursi dan meja dan kendala yang kedua 𝑥 +

3𝑦 ≤ 13 yaitu untuk jumlah waktu proses finishing kursi dan meja.

Mahasiswa menggunakan tanda ≤ karena waktu pengerjaan yang tersedia

untuk masing-masing proses adalah 15 jam dan 13 jam. Mahasiswa

memodelkan syarat atau kendala nonnegatifnya 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0 dan syarat

𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍. Hal ini banyaknya kursi dan banyaknya meja tidak bisa


441

dinayatakan dalam bilangan negatif. Untuk 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 dikarenakan banyaknya

kursi dan banyaknya meja tidak bisa dinyatakan dalam pecahan. Mahasiswa

memodelkan fungsi objektif atau fungsi tujuan memaksimalkan 𝑓(𝑥, 𝑦) =

20.000𝑥 + 50.000𝑦 karena keuntungan dari penjualan tiap kursi Rp 20.000

dan keuntungan dari penjualan dari tiap meja Rp 50.000 dan tujuannya

untuk mencari keuntungan maksimalnya. Hal ini dapat dilihat pada dialog

berikut ini:






















P : Dari tabel yang dibuat didapatkan model matematika dan

kendalanya, untuk apa model matematika 2x+y≤ 15, x+3y

≤13?

L13 : 2x+y≤ 15 untuk jumlah waktu proses perakitan kursi dan meja

terus yang x+3y ≤13 untuk jumlah waktu proses finishing kursi

dan meja


442





grafik dengan sumbu x dan sumbu y kemudian menarik garis), kemudian

menentukan daerah penyelesaiannya yaitu daerah irisan dari semua daerah

penyelesaian kendalanya. Mahasiswa memplotkan titik penyelesaiannya

karena terdapat syarat 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍. Hal ini dapat dilihat pada dialog berikut ini:






















P : Mengapa daerah penyelesaiannya berada di daerah segiempat

dan berupa titk-titik

L17 : Titik-titik karena syarat untuk x dan y nya itu harus bilangan

bulat. Untuk daerah penyelesaiannya itu merupakan irisan dari

daerah penyelesaian semua kendala. Kan kalau kurang dari

berarti penyelesaiannya yang kiri garis terus sama syarat

nonnegatifnya itu.


443


dengan mengambil sembarang nilai z yaitu z = 70.000 dan z = 170.000

sehingga diperoleh dua persamaan garis selidik yaitu 20.000𝑥 +

50.000𝑦 = 70.000 dan 20.000𝑥 + 50.000𝑦 = 170.000. Mahasiswa



Karena tujuannya mau memaksimumkan oleh karena itu mahasiswa

menggeser garis selidik kekanan sampai titik yang paling maksimum yang

berada pada daerah penyelesaian sehingga diperoleh titik maksimumnya

adalah titik (4,3). Mahasiswa menggeser garis selidik secara perlahan

menggunakan penggaris segitiga. Hal ini dapat dilihat pada dialog berikut

ini:





















444



P : Apa yang kamu lakukan setelah kamu menggambar garis

selidik?

L14 : Menggeser garis selidik ke arah kanan

P : Kenapa garis selidik di geser ke kanan?

L15 : Karena fungsi tujuannya memaksimumkan

P : Mengapa kamu menggeser garis selidik sampai di titik (4,3)?

L16 : Karena titik (4,3) adalah titik yang paling maksimum yang

berada di daerah penyelesaiannya.

P : Oke. Kalau boleh tahu bagaimana kamu geser garis selidiknya

itu?

L18 : Geser pelan-pelan pakai penggaris segitiga mba


sehingga diperoleh nilai maksimumnya 230.000. Mahasiswa

menyimpulkan kuntungan maksimal yang diperoleh bengkel tersebut adalah

Rp 230.000. Hal ini dapat dilihat pada dialog berikut ini:























445

P : Oke. Na terus tadi setelah substitusi titik maksimumya ke fungsi

tujuan setelah itu kamu buat apa?

L19 : Disimpulkan. Kan yang ditanya keuntungan maksimal.

P : Jadi?

L110 : Jadi kesimpulannya itu keuntungan maksimal yang diperoleh




disimpulkan bahwa mahasiswa tersebut dapat menyederhanakan asumsi

dari masalah yang terkait dengan program linear dua variabel, mahasiswa

dapat mengklarifikasi tujuan penyelesaian masalah yang terkait program

linear dua variabel, mahasiswa dapat menentukan variabel, koefisien dan











dalam variabel (L11, L12), mahasiswa mampu membentuk fungsi objektif

(L11), mahasiswa mampu membentuk kendala (L11, L13), mahasiswa

mampu membentuk syarat variabel berdasarkan masalah pada soal yang


446

diberikan (L11), mahasiswa mampu menyelesaikan model matematika yang

telah dibuat sesuai aturan penyelesaian masalah program linear (L11, L14,

L15, L16 L17, L18),, mahasiswa mampu menarik kesimpulan sesuai konteks

awal (L110).







membentuk kendala, mahasiswa mampu membentuk syarat variabel






447



kelas penelitian




2. Mahasiswa membuat pemisalan variabel x sebagai jumlah kursi yang

diproduksi dan variabel y sebagai jumlah meja yang diproduksi





20.000𝑥 + 50.000𝑦


448






masing kendala




penyelesaiannya


50.000𝑦 = 90.000



diperoleh (4.5,0) dan (0,1.8) untuk dapat menggambar garis selidik

tersebut. Namun disini mahasiswa tidak tepat dalam menggambar garis

selidiknya karena kesalahan dalam memplotkan titik potong terhadap

sumbu y (0,1.8). Mahasiswa memplotkan pada titik (0,0.8).


(1,4) dari proses penggeseran garis selidik ke atas sampai ke titik

penyelesaian yang terkahir


449

11. Mahasiswa menentukan nilai maksimum dengan mensubstitusikan

titik maksimum (1,4) yang diperoleh ke fungsi tujuannya sehingga

diperoleh 220.000














dengan kurang tepat (poin 9) sehingga titik maksimum dan nilai maksimum

yang diperoleh kurang tepat (poin 10,11) walaupun proses penyelesaiannya

sudah tepat, mahasiswa dapat menginterpretasikan kembali hasil

penyelesaiannya sesuai dengan konteks masalah awal (12) walaupun

hasilnya kurang tepat.




450










dibuat sesuai aturan penyelesaian masalah program linear karena garis

selidik yang digambar mahasiswa kurang tepat karena kesalahan dalam

memplotkan salah satu titik potong (poin 9) sehingga titik maksimum dan

nilai maksimum yang diperoleh kurang tepat (poin 10,11).



Berikut merupakan transkip wawancara antara peneliti dan

perwakilan mahasiswa dari kelompok jawaban mahasiswa yang kedua.

Pada transkip wawancara berikut P menyatakan peneliti dan L2 menyatakan


P : Pertanyaan pertama coba ceritakan secara garis besar cara

kamu menyelesaikan masalah yang diberikan? Sebutkan saja

langkahnya secara garis besar

L21 : Yang pertama kalau saya bikin tabelnya dulu soalnya suka

susah kalau langsung bikin kalimat matematikanya terus

nantikan dapat dibikin model program linearnya kaya fungsi

tujuanya sama kendala tu bagaimana.terus habis itu dari


451

kendalanya itu saya ubah tandanya jadi sama dengan untuk

nyari garis untuk bikin garis di grafik nantinya terus nanti

kalau uda ada grafik nanti dicari daerah penyelesaian kalau

saya biasa nyari daerah penyelesaianya itu uji titiknya jadi

yang ngambil salah satu titik di dalam garis itu nanti memenuhi

pernyataan tidak samaan atau ngga,nanti milih nilai z

,misalnya milih nilai z berapa sekian gitu nantikan didapat

fungsi 2 variabel nanti dapat garis terus nanti digeser geser aja

sampe tergantung itu nilainya mau maksimal atau minimal

kalau maksimal digeser kekanan atau keatas kalau minimal

kekiri atau kebawah. Terus nanti titik terakhir yang dilalui

garis itu yang jadi titik minimum atau maksimumnya lalu

tittiknya itu disubstitusiin ke fungsi tujuannya buat dapat nilai

maksimalnya baru buat kesimpulannya. Gitu mba

P : Mengapa kamu misalnya x dengan jumlah kursi dan y dengan

jumlah meja?

L22 : Kenapa saya pilih x untuk jumlah kursi dan y jumlah meja itu

karena kan yang ingin di temukan keuntungan maksimumnya

jadi kitakan harus tau berapa jumlah kursi dan meja yang

harus ada biar keuntunganya itu maksimum jadi karena x dan

y sesuatu yang mau kita cari jadi karena yang mau dicari

jumlah kursi dan jumlah meja jadi x dan y itu jumlah kursi dan

jumlah meja tapi kenapa x nya jumlah kursi terus y nya jumlah

meja sebenarnya menurut saya ngga harus begitu si jadi

terserah aja yang y nya mau jumlah kursi atau x nya jumlah

kursi itu menurut saya bebas asal pas memodelkannya

disesuaikan dengan informasi masing-masing pemisalan yang

kita buat

P : Oke Na sekarang lanjut ke pertayaan berikutnya disinikan ada

kendala na kamu misalin kendala utama sama kendala

negatifnya. Na yang mau saya tanyakan bagaimana kamu buat

modelnya itu?

L23 : Kalau kendala itu tadi diawal saya juga udah bilang karena ini

awalnyakan kita dapat soal isinya permasalahan

permasalahnya na itu dibuat kendala. terus kenapa tanda ≤ itu

tergantung sih kalimat dari soalnya itu.

P : Pernyataan yang mana dalam soal yang membuat kamu

menggunakan tanda ≤ pada kendala utama dan model yang

diperoleh dri informais yang mana?

L24 : Kalau untuk soal yang no 1 kita tahu kalau proses perakitan itu

memiliki 15 jam kerja perhari dan proses finising 13 jam per

hari jadi kalau saya mikirnya itu kalau maksimal dari proses

perakitan itu 15 jam perhari dan maksimal untuk proses

finising 13 jam perhari terus saya mewakilkan x itu jumlah

kursi dan y itu jumlah meja kalau ngga salah seperti itu na

untuk menghasilkan satu buah kursi dibutukan dua jam


452

perakitan lalu untuk menghasilkan satu buah meja dibutuhkan

satu jam perakitan tadi sudah di misalkan kalau jumlah kursi

itu x lalu jumlah meja itu y jadi dua jam perakitan di kursi itu

jadi 2 x+ 1 jam perakitan meja makanya modelnya 2x+y ≤ 15

karena tadi bengkelnya proses merakitnya itu 15 jam perhari

jadi maksimal mentoknya cuma segitu proses perakitan kursi

yang dua jam sama meja yang satu jam itu kurang dari atau

sama dengan 15 terus yang finishing kursi itukan 1 jam terus

kursi tadi x jadi 1 x + finishing meja 3 kan jumlah meja tadi y

jadi x + 3y≤13 jadi karna alasan yang sama dengan perakitan

yang tadi karena maksimalnya 13 jam untuk finising.

P : Kenapa ada kendala nonnegatifnya dan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 ?Bisa

dijawab sesuai pemislan yang kamu buat ya dek

L25 : Kenapa ada syarat nonnegatifnya itu karena yang x y itukan

oleh saya dibuat untuk mewakili melambangkan jumlah

sesuatu dan jumlah sesuatu itu nya itu dalam dunia nyata ngga

mungkin negatif misal untuk soal no 1 jumlah kursi dan meja

kan tidak ada jumlah kursi dan meja itu negatif.

Kenapa saya milih x y nya bilangan bulat karena pada soal no

1 x y itu mewakilin jumlah kursi dan jumlah meja itu pasti

bilangan bulat karena jumlah kursi dan meja itu tidak mungkin

hanya setenga atau seperempat atau seperdelapan jadi pasti

bilangan bulat pasti pas satu dua tiga dan seterusnya yang

merupakan anggota dari bilangan bulat.

P : Ok dek. Selanjutnya untuk fungsi tujuan bagaimana kamu

memodelkannya?

L26 : Karena fungsi tujuan itukan hal yang akan ditemukan di

permasalahnya karena pertanyaanya berapa keuntungan

maksimal yang diperoleh bengkel tersebut jadi

memakaimalkan f dimana f itu fungsi untuk mencari

keuntungan bengkel yang fungsinya itu diperoleh dari jumlah

keuntungan yang diperoleh bengkel dari kursi dan meja

makanya fungsinya itu memaksimalkan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 20.000𝑥 +50.000𝑦

P : Na terus bagaimana kamu nentuin daerah penyelesaiannya?

L27 : Untuk menentukan daerah penyelesaian yang mana itu saya

biasanya milih salah satu titik dikanan atau di kirinya garis

tapi biasanya saya milih titik 0,0 terus saya subtitusikan ke

fungsi kendalanya kalau semisal nnti hasilnya itu

pertidaksamaanya setelah di subsitusi nol itu benar maka

dareah yang dipilih itu daerah yang dibatasi sumbu y sumbu x

dan garis dari kendala kemudian yang memuat titik 0,0. Itu

kenapa dibatasi sumbu x sumbu y dan kenapa dibatasi garis

sumbuh x sumbuh y karena tadikan uda di menjadi kendala

negatif tadi ya,itu harus lebih dari atau sama dengan nol jadi

harus daerah penyelesaiannya itu pasti dikanan sumbuh y dan


453

di atas sumbuh x lalu karna setelah disubsitusikan titik 0,0 itu

pertidaksamaannya benar maka 0.0 ini juga merupakan salah

satu penyelesaian dari pertidaksamaan itu tadi jadi daerah

penyelesaian itu yang memuat titik 0,0 sampe ke daerah yang

sebelum garis.

Kenapa titik titik karena x y nya tadi syaratnya bilangan bulat

jadi ngga semua titik di daerah penyelesaian itu bisa jadi

penyelesaian jadi kenapa titik titik untuk menAndakan kalau

cuma di bagian titik titiknya itu aja penyelesaianya yang

mungkin gitu.

P : Berarti titik yang diambil harus memenuhi apa?

Salah satu kendala atau semua kendalanya?

L28 : Titik titiknya itu harus memenuhi semua kendala. ooo ia jadi

tadi lupa bilang daerah penyelesaianya juga harus yang

memenuhi semua kendalanya jadi gimana nentuin daerah

penyelesainya jadi awalnya sama ambil salah sati titik itu terus

pastikan nanti daerahnya mungkin akan ketemu beberapa

daerah yang berbeda jadi saya memilih daerah penyelesaian

yang istilahnya yang terpilih menjadi daerah penyelesaian

semua kendala jadi semacam irisan dari semua daerah

penyelesaian dari semua kendala itu.

P : Kenapa persamaan garis selidik yang dibuat hanya satu?

Apakah itu sudah bisa membantu? Terus apa yang kamu

lakukan setelah kamu menentukan persamaan garis

selidiknya?

L29 : Kalau untuk kenapa persamaan garis selidik dibuat cuma satu

itu karena takut nggak keburu aja mba kan yang penting bisa

gesernya sejajar. jadi kita milih beberapa nilai z nanti kita

setiap nilai z nya itu nantikan akan membentuk suatu

persamaan garis nanti kita gambarkan setiap persaman garis

selidiknya itu terus nanti kalau sudah terbentuk polahnya ooo

ternyata fungsi dari tujuan itu kemiringanya sekian nanti

biasanya saya geser pake penggaris dengan saya menggeser

penggaris dengan kemiringan yang sama dengan kemiringan

dari fungsi tujuan saya geser kalau memaksimalkan itu berarti

kekanan atau ke atas.

P : Di gesernya itu sampe mana?

Berarti kalau garis selidiknya cuma 1 menurut kamu sudah

bisa membantu kamu buat lihat kemiringanya dan menggeser

garisnya?

L210 : Karena syarat x y nya bilangan bulat itu berarti digeser sampai

titik paling ujung misal maksimalkan itu digeser kekanan atau

keatas jadi digeser ke titik paling kanan atau paling atas gitu

sampai titik bulat yang terakhir di dalam daerah

penyelesaiannya itu. Kalau sudah na itu titik maksimumnya.

P : Sampe titik peneyelesaian yang terahkir kan ya?


454

L211 : Iya

P : Coba kamu lihat kembali gambar garis selidikmu itu apakah

sudah tepat kamu gambar sesuai dengan titik potong yang

sudah kamu peroleh.

L212 : Ooiya salah.

Belum benar berarti itu mbak. Aku salah plot

P : Hehehe ia. ada beberapa yang kaya gitu juga, salah plot

titiknya. Terus kira kira kalau kamu gambarnya tepat titik

maksimumnya yang mana?

L213 : Bentar ya mba aku coba dulu. Agak sulit soalnya.

Kalau ngga salah gesernya, berarti titik (4,3) yang maksimum

mbak

P : Iya. Hehehe karena sulit makanya perlu banyak gambar garis

selidik.

Na setelah kamu dapat titik maksimum apa yang kamu

lakukan?Apa kesimpulan ahkirnya?

L214 : Kalau misal titik maksimumnya (4,3) itu disubstitusikan ke

fungsi tujuannya dapatnya 220.000.

Belum si mba harus lebih hati-hati perlu beberapa mba buat

memastikan kalau kemiringanya itu sama dan buat acuan juga

kalau penggarisnya berubah kemiringan setelah digeser kekiri

atau ke kanan.

P : Na berarti kesimpulan solusi dari soal nomor satu gimana?

L215 : Keuntungan maksimum yang diperoleh bengkel Rp.230.000











455


diberikan ke dalam variabel, mahasiswa memisalkan variabel x sebagai

jumlah kursi dan variabel y sebagai jumlah meja. Hal ini berdasarkan yang

ditanyakan dalam masalah yang diberikan yaitu keuntungan maksimumnya

jadi harus mengetahui jumlah kursi dan jumlah meja sehingga yang mau

dicari nilainya itu adalah jumlah kursi dan jumlah mejanya. Menurut

mahasiswa pemisalan juga dapat dibuat dengan x sebagai jumlah meja dan

x sebagai jumlah kursi dengan catatan saat membuat model matematikanya

harus disesuaikan dengan informasi untuk maisng-masing pemisalan yang

dibuat. Hal ini dapat dilihat pada dialog berikut ini:

P : Mengapa kamu misalnya x dengan jumlah kursi dan y dengan

jumlah meja?

L22 : Kenapa saya pilih x untuk jumlah kursi dan y jumlah meja itu

karena kan yang ingin di temukan keuntungan maksimumnya

jadi kitakan harus tau berapa jumlah kursi dan meja yang harus

ada biar keuntunganya itu maksimum jadi karena x dan y

sesuatu yang mau kita cari jadi karena yang mau dicari jumlah

kursi dan jumlah meja jadi x dan y itu jumlah kursi dan jumlah

meja tapi kenapa x nya jumlah kursi terus y nya jumlah meja

sebenarnya menurut saya ngga harus begitu si jadi terserah aja

yang y nya mau jumlah kursi atau x nya jumlah kursi itu

menurut saya bebas asal pas memodelkannya disesuaikan

dengan informasi masing-masing pemisalan yang kita buat



Kendala yang dibuat adalah kendala yang pertama 2𝑥 + 𝑦 ≤ 15 untuk

jumlah waktu yang dibutuhkan untuk proses perakitan kursi dan meja dan

kendala yang kedua 𝑥 + 3𝑦 ≤ 13 yaitu untuk jumlah waktu yang

dibutuhkan untuk proses finishing kursi dan meja. Mahasiswa


456

menggunakan tanda ≤ karena diketahui proses perakitan memiliki 15 jam

kerja perhari dan proses finising 13 jam kerja per hari yang artinya waktu

maksimal dari proses perakitan 15 jam perhari dan waktu maksimal untuk

proses finising 13 jam perhari. Mahasiswa memodelkan syarat atau kendala

nonnegatifnya 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0 dan syarat 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍. Hal ini dikarenakan

variabel x dan y yang dimisalkan menyatakan jumlah sesuatu (jumlah kursi

dan jumlah meja) dimana dalam dunia nyata tidak dapat dinyatakan dalam

bilangan negatif dan pasti bulat (tidak dapat dinayatakan dalam pecahan).







nantikan dapat dibikin model program linearnya kayak fungsi



nyari garis untuk bikin garis di grafik nantinya terus nanti kalau

uda ada grafik nanti dicari daerah penyelesaian kalau saya

biasa nyari daerah penyelesaianya itu uji titiknya jadi yang

ngambil salah satu titik di dalam garis itu nanti memenuhi






kekiri atau kebawah. Terus nanti titik terakhir yang dilalui garis

itu yang jadi titik minimum atau maksimumnya lalu tittiknya itu

disubstitusiin ke fungsi tujuannya buat dapat nilai maksimalnya

baru buat kesimpulannya. Gitu mba

P : Oke Na sekarang lanjut ke pertayaan berikutnya disinikan ada

kendala na kamu misalin kendala utama sama kendala

negatifnya. Na yang mau saya tanyakan bagaimana kamu buat

modelnya itu?

L23 : Kalau kendala itu tadi diawal saya juga udah bilang karena ini

awalnyakan kita dapat soal isinya permasalahan


457

permasalahnya na itu dibuat kendala. terus kenapa tanda ≤ itu

tergantung sih kalimat dari soalnya itu.

P : Pernyataan yang mana dalam soal yang membuat kamu

menggunakan tanda ≤ pada kendala utama dan model yang

diperoleh dri informasi yang mana?

L24 : Kalau untuk soal yang no 1 kita tahu kalau proses perakitan itu

memiliki 15 jam kerja perhari dan proses finising 13 jam per

hari jadi kalau saya mikirnya itu kalau maksimal dari proses

perakitan itu 15 jam perhari dan maksimal untuk proses finising

13 jam perhari terus saya mewakilkan x itu jumlah kursi dan y

itu jumlah meja kalau ngga salah seperti itu na untuk

menghasilkan satu buah kursi dibutukan dua jam perakitan lalu

untuk menghasilkan satu buah meja dibutuhkan satu jam

perakitan tadi sudah di misalkan kalau jumlah kursi itu x lalu

jumlah meja itu y jadi dua jam perakitan di kursi itu jadi 2 x+

1 jam perakitan meja makanya modelnya 2x+y ≤ 15 karena tadi

bengkelnya proses merakitnya itu 15 jam perhari jadi maksimal

mentoknya cuma segitu proses perakitan kursi yang dua jam

sama meja yang satu jam itu kurang dari atau sama dengan 15

terus yang finishing kursi itukan 1 jam terus kursi tadi x jadi 1

x + finishing meja 3 kan jumlah meja tadi y jadi x + 3y≤13 jadi

karna alasan yang sama dengan perakitan yang tadi karena

maksimalnya 13 jam untuk finising.

P : Kenapa ada kendala nonnegatifnya dan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 ?Bisa dijawab

sesuai pemislan yang kamu buat ya dek

L25 : Kenapa ada syarat nonnegatifnya itu karena yang x y itukan

oleh saya dibuat untuk mewakili melambangkan jumlah sesuatu

dan jumlah sesuatu itu nya itu dalam dunia nyata ngga mungkin

negatif misal untuk soal no 1 jumlah kursi dan meja kan tidak

ada jumlah kursi dan meja itu negatif.

Kenapa saya milih x y nya bilangan bulat karena pada soal no

1 x y itu mewakilin jumlah kursi dan jumlah meja itu pasti

bilangan bulat karena jumlah kursi dan meja itu tidak mungkin

hanya setenga atau seperempat atau seperdelapan jadi pasti

bilangan bulat pasti pas satu dua tiga dan seterusnya yang

merupakan anggota dari bilangan bulat.

Mahasiswa memodelkan fungsi objektif atau fungsi tujuan memaksimalkan

𝑓(𝑥, 𝑦) = 20.000𝑥 + 50.000𝑦 karena fungsi tujuan merupakan hal yang

mau ditemukan dari masalah yang diberikan. Dari masalah yang diberikan

ditanya keuntungan maksimal yang diperoleh bengkel jadi fungsi tujuannya

itu adalah memaksimalkan fungsi f dimana fungsinya diperoleh dari jumlah


458

keuntungan yang diperoleh bengkel dari kursi dan meja. Hal ini dapat dilihat


P : Ok dek. Selanjutnya untuk fungsi tujuan bagaimana kamu

memodelkannya?

L26 : Karena fungsi tujuan itukan hal yang akan ditemukan di

permasalahnya karena pertanyaanya berapa keuntungan

maksimal yang diperoleh bengkel tersebut jadi memaksimalkan

f dimana f itu fungsi untuk mencari keuntungan bengkel yang

fungsinya itu diperoleh dari jumlah keuntungan yang diperoleh

bengkel dari kursi dan meja makanya fungsinya itu

memaksimalkan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 20.000𝑥 + 50.000𝑦




langkah menggambar grafik persamaan kendala kemudian menentukan

daerah penyelesaiannya. Mahasiswa menentukan daerah penyelesaian

dengan cara uji titik. Mahasiswa menggunakan titik (0,0) kemudian diuji ke

kendalanya. Jika memenuhi semua kendala maka daerah yang memuat titik

(0,0) merupakan daerah penyelesaiannya yang dibatasi oleh grafik kendala,

sumbu x dan sumbu y atau daerah penyelesaiannya merupakan daerah irisan

dari semua daerah penyelesaian dari kendala. Mahasiswa memplotkan titik

dimana 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 pada daerah penyelesaian yang menAndakan hanyak titik-

titik tersebut yang merupakan titik penyelesaiannya. Hal ini dapat dilihat








459

















P : Na terus bagaimana kamu nentuin daerah penyelesaiannya?

L27 : Untuk menentukan daerah penyelesaian yang mana itu saya

biasanya milih salah satu titik dikanan atau di kirinya garis tapi

biasanya saya milih titik 0,0 terus saya subtitusikan ke fungsi

kendalanya kalau semisal nanti hasilnya itu pertidaksamaanya

setelah di subsitusi nol itu benar maka dareah yang dipilih itu

daerah yang dibatasi sumbu y sumbu x dan garis dari kendala

kemudian yang memuat titik 0,0. Itu kenapa dibatasi sumbu x

sumbu y dan kenapa dibatasi garis sumbuh x sumbuh y karena

tadikan uda di menjadi kendala negatif tadi ya,itu harus lebih

dari atau sama dengan nol jadi harus daerah penyelesaiannya

itu pasti dikanan sumbuh y dan di atas sumbuh x lalu karna

setelah disubsitusikan titik 0,0 itu pertidaksamaannya benar

maka 0.0 ini juga merupakan salah satu penyelesaian dari

pertidaksamaan itu tadi jadi daerah penyelesaian itu yang

memuat titik 0,0 sampe ke daerah yang sebelum garis.

Kenapa titik titik karena x y nya tadi syaratnya bilangan bulat

jadi ngga semua titik di daerah penyelesaian itu bisa jadi

penyelesaian jadi kenapa titik titik untuk menAndakan kalau

cuma di bagian titik titiknya itu aja penyelesaianya yang

mungkin gitu.

P : Berarti titik yang diambil harus memenuhi apa?

Salah satu kendala atau semua kendalanya?

L28 : Titik titiknya itu harus memenuhi semua kendala. ooo ia jadi

tadi lupa bilang daerah penyelesaianya juga harus yang

memenuhi semua kendalanya jadi gimana nentuin daerah

penyelesainya jadi awalnya sama ambil salah sati titik itu terus

pastikan nanti daerahnya mungkin akan ketemu beberapa

daerah yang berbeda jadi saya memilih daerah penyelesaian

yang istilahnya yang terpilih menjadi daerah penyelesaian


460

semua kendala jadi semacam irisan dari semua daerah

penyelesaian dari semua kendala itu.

Kemudian setelah itu, mahasiswa menentukan 1 persamaan garis selidik.

Mahasiswa hanya menggambar 1 persamaan garis selidik dengan alasan

takut tidak keburu waktu untuk menyelesaikan soal lainhya. Mahasiswa

menggambar grafik garis selidik kemudian menggeser garis selidiknya

sesuai dengan fungsi tujuan. Karena tujuannya memaksimumkan oleh

karena itu mahasiswa menggeser garis selidik kekanan sampai titik yang

paling maksimum yang berada pada daerah penyelesaian atau titik bulat

yang terakhir yang ada dalam daerah penyelesaian. Mahasiswa mengetahui

seharusnya garis selidik yang digambar lebih dari 1 agar dapat melihat

kemiringan garisnya dna membantu mahasiswa sebagai acuan dalam

menggeser garis selidik agar tetap sejajar. Hal ini dapat dilihat pada dialog

berikut ini:




















461




P : Kenapa persamaan garis selidik yang dibuat hanya satu?

Apakah itu sudah bisa membantu? Terus apa yang kamu

lakukan setelah kamu menentukan persamaan garis selidiknya?

L29 : Kalau untuk kenapa persamaan garis selidik dibuat cuma satu

itu karena takut nggak keburu aja mba kan yang penting bisa

gesernya sejajar. jadi kita milih beberapa nilai z nanti kita

setiap nilai z nya itu nantikan akan membentuk suatu

persamaan garis nanti kita gambarkan setiap persaman garis

selidiknya itu terus nanti kalau sudah terbentuk polahnya ooo

ternyata fungsi dari tujuan itu kemiringanya sekian nanti

biasanya saya geser pake penggaris dengan saya menggeser

penggaris dengan kemiringan yang sama dengan kemiringan

dari fungsi tujuan saya geser kalau memaksimalkan itu berarti

kekanan atau ke atas.

P : Di gesernya itu sampe mana?

Berarti kalau garis selidiknya cuma 1 menurut kamu sudah bisa

membantu kamu buat lihat kemiringanya dan menggeser

garisnya?

L210 : Karena syarat x y nya bilangan bulat itu berarti digeser sampai

titik paling ujung misal maksimalkan itu digeser kekanan atau

keatas jadi digeser ke titik paling kanan atau paling atas gitu

sampai titik bulat yang terakhir di dalam daerah

penyelesaiannya itu. Kalau sudah na itu titik maksimumnya.

P : Sampe titik penyelesaian yang terakhir kan ya?

L211 : Iya

Mahasiswa dapat mengonfirmasikan kembali bahwa garis selidk yang

digambar kurang tepat karena salah memplotkan salah satu titik potongnya.

Kemudian dengan diberikan waktu kepada mahasiswa untuk mengoreksi

kembali garis selidik yang dibuat, mahasiswa mencoba untuk menggeser

kembali garis selidik yang sudah digambar dengan tepat sehingga diperoleh

titik maksimumnya titik (4,3). Hal ini dapat dilihat pada dialog berikut ini:

P : Coba kamu lihat kembali gambar garis selidikmu itu apakah

sudah tepat kamu gambar sesuai dengan titik potong yang

sudah kamu peroleh.

L212 : Ooiya salah.


462

Belum benar berarti itu mbak. Aku salah plot

P : Hehehe ia. ada beberapa yang kaya gitu juga, salah plot

titiknya. Terus kira kira kalau kamu gambarnya tepat titik

maksimumnya yang mana?

L213 : Bentar ya mba aku coba dulu. Agak sulit soalnya.

Kalau ngga salah gesernya, berarti titik (4,3) yang maksimum

mbak


selidik.

Na setelah kamu dapat titik maksimum apa yang kamu lakukan?

Apa kesimpulan ahkirnya?


selidik.








atau ke kanan.


sehingga diperoleh nilai maksimumnya 230.000. Mahasiswa

menyimpulkan kuntungan maksimal yang diperoleh bengkel tersebut adalah



selidik.








atau ke kanan.

P : Na berarti kesimpulan solusi dari soal nomor satu gimana?

L215 : Keuntungan maksimum yang diperoleh bengkel Rp.230.000


463

















dalam variabel (L22), mahasiswa mampu membentuk fungsi objektif (L26),

mahasiswa mampu membentuk kendala (L21, L24, L25), mahasiswa mampu

membentuk variabel berdasarkan masalah pada soal yang diberikan (L25),

mahasiswa mampu menyelesaikan model matematika yang telah dibuat

sesuai aturan penyelesaian masalah program linear (L21, L27, L28, L29, L210,

L211, L22, L213, L214), mahasiswa mampu menarik kesimpulan sesuai

konteks awal (L215).


464













Gambar 4. 52. Jawaban mahasiswa 3 untuk masalah pertama tes

tertulis II kelas penelitian


465










20.000𝑥 + 50.000𝑦






masing kendala




penyelesaiannya


50.000𝑦 = 20.000 dan 20.000𝑥 + 50.000𝑦 = 50.000


466



dan menarik garis yang menghubungkan kedua titik potong untuk

masing-masing persamaan garis selidik


(4,3). Mahasiswa tidak menuliskan darimana titik pemaksimum itu

diperoleh.



230.000

12. Mahasiswa menyimpulkan bahwa keuntungan maksimum Rp 230.000














467















program linear (poin 10) karena disini mahasiswa tidak memperlihatkan

darimana mahasiswa menyimpulkan titik (4,3) sebagai titik maksimum

walaupun hasil yang diperoleh sudah benar.




perwakilan mahasiswa dari kelompok jawaban mahasiswa yang ketiga.




468

P : Kalau dilihat jawabanmu hampir sama dengan yang lainnya

juga hanya disini kamu nggak ngasih tahu kenapa kamu

menyimpulkan ittik (4,3) sebagai titik maksimumnya.

Aku langsung aja ya, coba kamu jelaskan secara singkat

langkah kamu menyelesaikan masalah ini.

L31 : Aku buat pemisalan karena yang ditanya keuntungan

maksimal yang diperoleh bengkel dan keuntungannya itu

diperoleh dari kursi dan meja makanya aku misallin x dengan

banyaknya kursi dan y dengan banyaknya meja. Lalu buat

tabel biar lebih mudah waktu ngebuat kendalanya itu. Na dari

tabel itu sudah kelihatan kalau modelnya itu ada dua itu untuk

waktu proses perakitan sama waktu proses finishing tinggal

nyesuaiin sama informasi yang ada ditabel buat meja dan

kursinya. Jadi diperoleh kendlaa utamanya itu 2x+y≤ 15,

x+3y ≤13. kenapa ≤ karena waktu kerja yang tersedia 15 jam

dan 13 jam jadi maksimal waktu nya itu. Terus ada kendala

nonnegatif 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0 karena banyaknya sesuatu kan

nggak mungkin negatif dan banyak kursi dan meja itu pasti

bulat nggak mugkin pecahan makanya 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍. Terus buat

fungsi tujuannya untuk memaksimalkan f(x,y)=20.000 x +

50.000y karena mau cari keuntungan maksimal dari kursi dan

meja.

Terus gambar grafik kendalanya biar bisa tentukan daerah

penyelesaiannya. Cari titik potong persamaanya dulu dengan

kedua sumbu baru bisa ditarik garis. Terus daerah

penyelesaiannya itu aku biasanya lihat yang merupakan

daerah irisan dari semua daerah penyelesaian kendala trus

plot titik yang merupakan penyelesaiannya biar lebih mudah

tentukan titik maksimumnya saat geser. Setelah itu kan nyari

maksimumya pakai garis selidik.

P : Ya na terus gimana cara kamu nentuin garis selidiknya dan

setelah dapat garis seldiiknya kamu buat apa?

L32 : Ambil sembarang nilai z kan biar dapat persamaanya. Terus

digambar semua garisnya.

P : Terus apa yang kamu buat? Kenapa kamu bisa simpulkan titik

(4,3) sebagai titik maksimumnya?

L33 : Jadi gini kak setelah aku gambar dua garis selidika itu aku

gesera garisnya ke kanan kan kita mau cari yang maksimum.

Gesernya pakai penggaris segitiga itu kan jadi dapat titik

bulat yang paling akhir di daerah penyelesain itu titik (4,3)

jadi aku simpulkan itu titik maksimumnya.

P : Owh jadi kamu simpulkan titik (4,3) sebagai titik maksimum

itu dari proses kamu geser garis seldiik ke kanan sampai titik

penyelesaian yang terkahirnya?


469

L34 : Iya kak. Soalnya kan nyari yang maksimum jadi geser ke

kanan. Terus tinggal disubstitusiin titiknya itu ke fungsi

tujuan biar tahu keuntungan maksimalnya

P : Oke. Kalau begitu apa kesimpulan akhirmu?

L35 : Kesimpulannya itu jadi keuntungan maksimal yang diperoleh












diberikan ke dalam variabel, berdasarkan hak yang ditanya dalam soal yaitu

keuntungan maksimal yang diperoleh bengkel dan keuntungannya itu

diperoleh dari kursi dan meja maka mahasiswa memisalkan variabel x

sebagai banyaknya kursi dan variabel y sebagai banyaknya meja.

Mahasiswa kemudian membuat tabel utnuk mempermudah mahasiswa

membuat kendala. Dari tabel tersebut diperoleh model untuk waktu proses

perakitan 2𝑥 + 𝑦 ≤ 15 dan model untuk waktu proses finishing 𝑥 + 3𝑦 ≤

13 dimana modelnya diperoleh dari informasi-informasi yang ada dalam

tabel untuk kursi dan meja. Mahasiswa menggunakan tanda ≤ waktu


470

maksimal yang tersedia adalah 15 jam dan 13 jam. Mahasiswa memodelkan

syarat atau kendala nonnegatifnya 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0 dan syarat 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍. Hal

ini dikarenakan banyaknya sesuatu tidak mungkin negatif dan banyak kursi

dan banyak meja dipastikan merupakan anggota bilangan bulat (tidak

mungkin pecahan). Karena tujuan dari soal untuk mencari keuntungan

maksimal dari kursi dan meja maka mahasiswa memodelkan fungsi objektif

atau fungsi tujuan memaksimalkan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 20.000𝑥 + 50.000𝑦. Hal ini







L31 : Aku buat pemisalan karena yang ditanya keuntungan maksimal

yang diperoleh bengkel dan keuntungannya itu diperoleh dari

kursi dan meja makanya aku misallin x dengan banyaknya kursi

dan y dengan banyaknya meja. Lalu buat tabel biar lebih mudah

waktu ngebuat kendalanya itu. Na dari tabel itu sudah kelihatan

kalau modelnya itu ada dua itu untuk waktu proses perakitan

sama waktu proses finishing tinggal nyesuaiin sama informasi

yang ada ditabel buat meja dan kursinya. Jadi diperoleh

kendlaa utamanya itu 2𝑥 + 𝑦 ≤ 15, 𝑥 + 3𝑦 ≤ 13. kenapa ≤ karena waktu kerja yang tersedia 15 jam dan 13 jam jadi

maksimal waktu nya itu. Terus ada kendala nonnegatif 𝑥 ≥ 0

dan 𝑦 ≥ 0 karena banyaknya sesuatu kan nggak mungkin

negatif dan banyak kursi dan meja itu pasti bulat nggak mugkin

pecahan makanya x dan y anggota bilangan bulat. Terus buat



meja.




penyelesaiannya itu aku biasanya lihat yang merupakan daerah

irisan dari semua daerah penyelesaian kendala trus plot titik

yang merupakan penyelesaiannya biar lebih mudah tentukan


471

titik maksimumnya saat geser. Setelah itu kan nyari


Selanjutnya mahasiswa menggambar daerah penyelesaian dari kendala dan

memplotkan titik penyelesaiannya. Mahasiswa menggambar daerah


(mencari titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y kemudian ditarik

garis) kemudian menentukan daerah penyelesaiannya. Mahasiswa

menentukan daerah penyelesaian dengan melihat daerah yang merupakan

daerah irisan dari semua daerah penyelesaian dari kendala. Mahasiswa

memplotkan titik yang merupkan penyelesaian dimana terdapat syarat







L31 : Aku buat pemisalan karena yang ditanya keuntungan maksimal

yang diperoleh bengkel dan keuntungannya itu diperoleh

darikursi dan meja makanya aku misallin x dengan banyaknya

kursi dan y dengan banyaknya meja. Lalu buat tabel biar lebih

mudah waktu ngebuat kendalanya itu. Na dari tabel itu sudah

kelihatan kalau modelnya itu ada dua itu untuk waktu proses

perakitan sama waktu proses finishing tinggal nyesuaiin sama

informasi yang ada ditabel buat meja dan kursinya. Jadi

diperoleh kendlaa utamanya itu 2x+y≤ 15, x+3y ≤13. kenapa

≤ karena waktu kerja yang tersedia 15 jam dan 13 jam jadi

maksimal waktu nya itu. Terus ada kendala nonnegatif 𝑥 ≥ 0

dan 𝑦 ≥ 0 karena banyaknya sesuatu kan nggak mungkin

negatif dan banyak kursi dan meja itu pasti bulat nggak mugkin

pecahan makanya x dan y anggota bilangan bulat. Terus buat



meja.




472


penyelesaiannya itu aku biasanya lihat yang merupakan daerah

irisan dari semua daerah penyelesaian kendala trus plot titik

yang merupakan penyelesaiannya biar lebih mudah tentukan

titik maksimumnya saat geser. Setelah itu kan nyari



dengan cara mengambil sembarang nilai z sehingga diperoleh 2 persamaan

garis selidik. Mahasiswa menggambar semua grafik garis selidik kemudian

menggeser garis selidiknya sesuai dengan fungsi tujuan. Karena tujuannya

memaksimumkan oleh karena itu mahasiswa menggeser garis selidik

kekanan menggunakan penggaris segitiga sehingga diperoleh titik bulat

yang paling akhir pada daerah penyelesaian yaitu titik (4,3). Oleh karena itu

titik (4,3) sebagai titik maksimum. Hal ini dapat dilihat pada dialog berikut

ini:

P : Ya na terus gimana cara kamu nentuin garis selidiknya dan

setelah dapat garis seldiiknya kamu buat apa?

L32 : Ambil sembarang nilai z kan biar dapat persamaanya. Terus

digambar semua garisnya.

P : Terus apa yang kamu buat? Kenapa kamu bisa simpulkan titik

(4,3) sebagai titik maksimumnya?

L33 : Jadi gini kak setelah aku gambar dua garis selidik itu aku geser

garisnya ke kanan kan kita mau cari yang maksimum. Gesernya

pakai penggaris segitiga itu kan jadi dapat titik bulat yang

paling akhir di daerah penyelesain itu titik (4,3) jadi aku

simpulkan itu titik maksimumnya.

P : Owh jadi kamu simpulkan titik (4,3) sebagai titik maksimum itu

dari proses kamu geser garis seldiik ke kanan sampai titik


L34 : Iya kak. Soalnya kan nyari yang maksimum jadi geser ke kanan.

Terus tinggal disubstitusiin titiknya itu ke fungsi tujuan biar

tahu keuntungan maksimalnya


473

Mahasiswa kemudian mensubstitusikan titik (4,3) ke fungsi tujuannya.

Mahasiswa menyimpulkan kuntungan maksimal yang diperoleh bengkel

tersebut adalah Rp 230.000. Hal ini dapat dilihat pada dialog berikut ini:

P : Owh jadi kamu simpulkan titik (4,3) sebagai titik maksimum itu

dari proses kamu geser garis seldiik ke kanan sampai titik


L34 : Iya kak. Soalnya kan nyari yang maksimum jadi geser ke kanan.

Terus tinggal disubstitusiin titiknya itu ke fungsi tujuan biar

tahu keuntungan maksimalnya


L35 : Kesimpulannya itu jadi keuntungan maksimal yang diperoleh




disimpulkan bahwa mahasiswa tersebut dapat menyederhanakan asumsi

dari masalah yang terkait dengan program linear dua variabel, mahasiswa

dapat mengklarifikasi tujuan penyelesaian masalah yang terkait program

linear dua variabel, mahasiswa dapat menentukan variabel, koefisien dan











474



mahasiswa mampu membentuk kendala (L31), mahasiswa mampu

membentuk syarat variabel berdasarkan masalah pada soal yang diberikan

(L31), mahasiswa mampu menyelesaikan model matematika yang telah

dibuat sesuai aturan penyelesaian masalah program linear (L31, L32, L33,

L34), mahasiswa mampu menarik kesimpulan sesuai konteks awal (L35).













II permasalahan pertama diperoleh bahwa kemampuan memodelkan semua





475






Permasalahan Kedua



kelas penelitian





476

2. Mahasiswa merumuskan hal yang ditanya dan membuat tabel berisi

informasi yang diketahui dalam masalah yang diberikan





15.000𝑥 + 17.000𝑦









persamaan kendala





17.000𝑦 = 230.000 dan 15.000𝑥 + 17.000𝑦 = 156.000




477




(4,3) yang diperoleh dari proses penggeseran garis selidik secara sejajar

ke kiri atau ke bawah



12. Mahasiswa menyimpulkan bahwa total harga paling murah terjadi

ketika membeli 4 kantong pupuk cair dan 3 kantong pupuk kering

dengan total harga paling murah adalah Rp 111.000











linear dua variabel (mahasiswa menyelesaikan masalah menggunakan

metode garis selidik), mahasiswa dapat menginterpretasikan kembali hasil



478







membentuk kendala (poin 3), mahasiswa membentuk syarat variabel



penyelesaian masalah program linear (poin 6,7,8,9,10,11,12), mahasiswa





perwakilan mahasiswa dari kelompok jawaban mahasiswa yang pertama.


perwakilan mahasiswa dari kelompok jawaban mahasiswa yang pertama.

P : Saya langsung aja ya. Kalau dilihat dari jawbaan kamu kurang

lebih prosesnya sama seperti yang nomor 1 tadi kan.

Kenapa kamu misalkan x dengan banyaknya kantong pupuk

cair dan y banyaknya kantong pupuk kering?

L41 : Karena pada soal sudah ketahuan bahwa yang mau dicari itu

banyaknya kantong pupuk kering dan pupuk cair yang akan di

beli dengan harga yang paling murah

P : Oke na terus fungsi kendanya ini diperoleh darimana?

L42 : Owg iya. Bisa dilihat dari tabelnya itu kak. Untuk zat Kimia

yang pertama disitu kan ada 2 untuk pupuk cair 1 untuk pupuk

kering dengan jumlah kebutuhan minimalnya itu 10 jadi


479

modelnya 2𝑥 + 𝑦 ≥ 10. Sama dengan model 𝑥 + 3𝑦 ≥12 untuk zat yang kedua dan 3𝑥 + 2𝑦 ≥ 18 untuk zat yang

ketiga. Itu bisa dilihat dari tabelnya kak. Kalau 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥0 itu karena banyak sesuatu barang itu tidak mungkin negatif.

Terus yang syarat 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 karena banyak kantong tidak itu

tidak mungkin pecahan gitu

P : Oke kalau fungsi tujuannya gimana?

L43 : Karena yang ditanya kan banyak kantong pupuk cair dan

pupuk kering agar harganya paling murah, kalau harganya

paling murah berarti harus meminimumkan harganya jadi

diperoleh fungsinya itu meminimumkan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 15.000𝑥 +17.000𝑦

P : Oke na setelah itu kamu buat apa?

L44 : Sekalian aja ya kak.

P : Boleh

L45 : Jadi setelah itu aku gambar daerah penyelesaiannya.

Langkahnya itu aku cari titik potong dari masing-masing

persamaan kendalanya dengan sumbu x dan y supaya bisa

gambar garisnya. Terus sama seperti nomor 1 aku tentukan

daerah penyelesaian itu dengan cara lihat daerah yang

merupakan irisan dari daerah penyelesaian dari semua

kendala termasuk yang kendala nonnegatif tadi. Terus plot titik

penyelesaiannya karena ada syarat 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍. Kemudian buat

garis selidiknya dengan ambil sembarang nilai f terus gambar

garisnya dengan cara tentukan titik potongnya dulu dengan

kedua sumbu. Lalu garis selidik digeser ke kiri sampai

minimum dapatnya (4,3).

P : Oke. Na kenapa garis selidiknya kamu gesernya ke kiri?

L46 : Karena kalau meminimumkan digeser ke kiri atau kebawah

terus ketemu titik (4,3)

P : Kalau di lihat setelah titik (4,3) ada sedikit daerah

penyelesaiannya, mengapa tidak di geser kekiri sampai ke

daerah itu?

L47 : Karena tidak ada bilangan bulat yang lebih kecil yang

termaksud dalam daerah penyelesaiannya

P : Mengapa kamu menyimpulkan kalau titik (4,3) adalah titik

yang paling minimum?

L48 : Karena ketika digeser titik yang paling kecil yang berada di

daerah penyelesaian adalah titik (4,3) kalau di geser terus

kebawah

P : Mengapa daerah penyelesaiannya berupa titik – titik?

L49 : Karena x dan y adalah bilangan bulat

P : Apa yang kamu lakukan setelah mendapat titik (4,3)?

L410 : Aku substitusiin ke fungsi tujuan dapatnya 111.000

P : Terus apa yang bisa kamu simpulkan?


480

L411 : Kesimpulannya itu banyaknya kantong pupuk cair dan

banyaknya kantong pupuk kering yang dibeli agar memperoleh

harga paling murah dan keperluan zatnya terpenuhi itu adalah

4 kantong pupuk cair dan 3 kantong pupuk kering dengan

harga Rp 111.000








menentukan dan menggambar garis selidik, menentukan titik minimum dan

nilai minimum, kemudian menarik kesimpulan.


diberikan ke dalam variabel, mahasiswa memisalkan banyaknya kantong

pupuk cair dnegan variabel x dan banyaknya kantong pupuk kering dengan

variabel y. Hal ini berdasarkan yang mau dicari adalah banyaknya kantong

pupuk cair dan banyaknya kantong pupuk kering yang akan dibeli. Hal ini


P : Saya langsung aja ya. Kalau dilihat dari jawbaan kamu kurang

lebih prosesnya sama seperti yang nomor 1 tadi kan.

Kenapa kamu misalkan x dengan banyaknya kantong pupuk

cair dan y banyaknya kantong pupuk kering?

L41 : Karena pada soal sudah ketahuan bahwa yang mau dicari itu

banyaknya kantong pupuk kering dan pupuk cair yang akan di

beli dengan harga yang paling murah


481



Dari tabel tersebut diperoleh model untuk zat kimia I 2x + y ≥ 10 (2

menyatakan jumlah zat kimia dalam pupuk cair dan 1 menyatakan jumlah

zat kimia dalam pupuk kering dengan jumlah kebutuhan minimalnya itu 10).

Dengan cara yang sama mahasiswa juga memperoleh pertidaksamaan x +

3y ≥ 12 untuk zat kimia II dan 3x + 2y ≥ 18 untuk zat kimia III.

Mahasiswa memodelkan syarat atau kendala nonnegatifnya 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥

0 dan syarat 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍. Hal ini karena banyak sesuatu barang itu tidak

mungkin negatif. Untuk 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 dikarenakan banyak kantong tidak itu

tidak mungkin pecahan. Mahasiswa memodelkan fungsi objektif atau fungsi

tujuan meminimumkan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 15.000𝑥 + 17.000𝑦. Hal ini

dikarenakan menurut mahasiswa yang ditanya pada soal banyak kantong

pupuk cair dan pupuk kering agar harganya paling murah, Karena diminta

harganya paling murah berarti harus meminimumkan harganya jadi

diperoleh fungsinya itu meminimumkan f(x, y) = 15.000x + 17.000y. Hal


P : Oke na terus fungsi kendanya ini diperoleh darimana?

L42 : Owg iya. Bisa dilihat dari tabelnya itu kak. Untuk zat Kimia

yang pertama disitu kan ada 2 untuk pupuk cair 1 untuk pupuk

kering dengan jumlah kebutuhan minimalnya itu 10 jadi

modelnya 2𝑥 + 𝑦 ≥ 10. Sama dengan model 𝑥 + 3𝑦 ≥12 untuk zat yang kedua dan 3𝑥 + 2𝑦 ≥ 18 untuk zat yang

ketiga. Itu bisa dilihat dari tabelnya kak. Kalau 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥0 itu karena banyak sesuatu barang itu tidak mungkin negatif.

Terus yang syarat 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 karena banyak kantong tidak itu

tidak mungkin pecahan gitu

P : Oke kalau fungsi tujuannya gimana?


482

L43 : Karena yang ditanya kan banyak kantong pupuk cair dan pupuk

kering agar harganya paling murah, kalau harganya paling

murah berarti harus meminimumkan harganya jadi diperoleh

fungsinya itu meminimumkan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 15.000𝑥 + 17.000𝑦






irisan dari semua daerah penyelesaian kendalanya termasuk kendala

nonnegatifnya. Mahasiswa memplotkan titik penyelesaiannya karena

terdapat syarat 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍. Mahasiswa kemudian menentukan 2 persamaan

garis selidik dengan mengambil sembarang nilai f. Mahasiswa menggambar

grafik garis selidik dengan terlebih dahulu menentukan titik potong masing-

masing grafik terhadap sumbu x dan terhadap sumbu y. Karena tujuannya

mau meminimumkan oleh karena itu mahasiswa menggeser garis selidik ke

kiri atau ke bawah sampai titik yang paling kecil yang berada pada daerah

penyelesaian sehingga diperoleh titik minimumnya adalah titik (4,3). Hal ini


P : Oke na setelah itu kamu buat apa?

L44 : Sekalian aja ya kak.

P : Boleh

L45 : Jadi setelah itu aku gambar daerah penyelesaiannya.

Langkahnya itu aku cari titik potong dari masing-masing

persamaan kendalanya dengan sumbu x dan y supaya bisa

gambar garisnya. Terus sama seperti nomor 1 aku tentukan

daerah penyelesaian itu dengan cara lihat daerah yang

merupakan irisan dari daerah penyelesaian dari semua kendala

termasuk yang kendala nonnegatif tadi. Terus plot titik


483

penyelesaiannya karena ada syarat 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍. Kemudian buat

garis selidiknya dengan ambil sembarang nilai f terus gambar

garisnya dengan cara tentukan titik potongnya dulu dengan

kedua sumbu. Lalu garis selidik digeser ke kiri sampai minimum

dapatnya (4,3).

P : Oke. Na kenapa garis selidiknya kamu gesernya ke kiri?

L46 : Karena kalau meminimumkan digeser ke kiri atau kebawah

terus ketemu titik (4,3)

P : Kalau di lihat setelah titik (4,3) ada sedikit daerah

penyelesaiannya, mengapa tidak di geser kekiri sampai ke

daerah itu?

L47 : Karena tidak ada bilangan bulat yang lebih kecil yang

termaksud dalam daerah penyelesaiannya

P : Mengapa kamu menyimpulkan kalau titik (4,3) adalah titik yang

paling minimum?

L48 : Karena ketika digeser titik yang paling kecil yang berada di

daerah penyelesaian adalah titik (4,3) kalau di geser terus

kebawah

P : Mengapa daerah penyelesaiannya berupa titik – titik?

L49 : Karena x dan y adalah bilangan bulat


sehingga diperoleh nilai minimumnya 111.000. Mahasiswa menyimpulkan

banyaknya kantong pupuk cair dan banyaknya kantong pupuk kering yang

dibeli agar memperoleh harga paling murah dan keperluan zatnya terpenuhi

itu adalah 4 kantong pupuk cai dan 3 kantong pupuk kering dengan harga


P : Apa yang kamu lakukan setelah mendapat titik (4,3)?

L410 : Aku substitusiin ke fungsi tujuan dapatnya 111.000

P : Terus apa yang bisa kamu simpulkan?

L411 : Kesimpulannya itu banyaknya kantong pupuk cair dan

banyaknya kantong pupuk kering yang dibeli agar memperoleh

harga paling murah dan keperluan zatnya terpenuhi itu adalah

4 kantong pupuk cai dan 3 kantong pupuk kering dengan harga

Rp 111.000




484

dapat menyederhanakan asumsi dari masalah yang terkait dengan program

linear dua variabel, mahasiswa dapat mengklarifikasi tujuan penyelesaian

masalah yang terkait program linear dua variabel, mahasiswa dapat

menentukan variabel, koefisien dan konstanta terkait masalah program

linear dua variabel, mahasiswa dapat merumuskan pernyataan matematika

dan menentukan model matematika, mahasiswa dapat menyelesaikan

masalah yang terkait dengan program linear dua variabel (mahasiswa

menyelesaikan menggunakan metode garis selidik), mahasiswa dapat


masalah awal.










L48, L49, L410), mahasiswa mampu menarik kesimpulan sesuai konteks awal

(L411).




485











Gambar 4. 54. Jawaban mahasiswa 2 untuk masalah kedua tes tertulis

II kelas penelitian


486










15.000𝑥 + 17.000𝑦









persamaan kendala





487


17.000𝑦 = 158.000 dan 15.000𝑥 + 17.000𝑦 = 128.000






(4,3). Mahasiswa tidak menginformasikan darimana titik mnimum

tersebut diperoleh



12. Mahasiswa menyimpulkan bahwa banyaknya kantong pupuk cair 4

kantong, banyaknya kantong pupuk kering 3 kantong, total harga paling

murah Rp 111.000











488


















program linear karena disini mahasiswa tidak memperlihatkan darimana

mahasiswa menyimpulkan titik (4,3) sebagai titik maksimum walaupun

hasil yang diperoleh sudah benar (poin 10).


489







P : Langsung aja ya. Disini juga kamu nggak ngasih tahu darimama

kamu memperoleh titik minimumnya. Pertanyaan sama dengan

nomor 1. Jelaskan secara singkat kamu nyelesaiin soal nomor 2

ini.

L51 : Oke kak. Sama seperit yang kau buat di nomor 1 juga kak. Aku

misallin x dengan banyaknya kantong pupuk cair dan y dengan

banyaknya kantong pupuk kering. Itu karena yang ditanya dalam

soal kan berapa banyak kantong pupuk cair dan banyak kantong

pupuk kering. Terus aku buat tabel biar lebih mudah buat

kendalanya itu. Dari tabel itu sudah kelihatan ada 3 kendala

pertama untuk jumlah zat kimia I 2𝑥 + 𝑦 ≥ 10, yang keduanya

𝑥 + 3𝑦 ≥ 12 untuk jumlah zat kimia II dan 3𝑥 + 2𝑦 ≥ 18 untuk

jumlah zat kimia III. Kenapa pakai tanda ≥ karena ada kalimat

“paling sedikit” yag menyatakan jumlah kebutuhan zat yang

diperlukan. Kendala nonnegatif 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0 karena sama

dengan nomor 1 juga karena x dan y menyatakan banyak sesuatu

kan nggak mungkin negatif dan banyak sesuatu itu pasti bulat

nggak mugkin pecahan makanya x dan y anggota bilangan bulat.

Terus buat fungsi tujuannya untuk meminimumkan

f(x,y)=15.000x + 17.000y karena mau nyari banyak kantong dan

harga yang paling murah dari pembelian pupuk. Aku lanjut

menggambar grafik persamaan kendalanya kan dengan cara

nyari titik potongnya dengan sumbu x dan sumbu y terus gambar

kemudian nentuin daerah penyelesaiannya. Untuk daerah

penyelesaiannya itu sama dnegan yang nomor 1 jadi aku lihat

daerah irisan dari semua daerah penyelesaian kendala terus

memplot titik penyelesaian karena ada syarat x dan y bilangan

bulat.

P : Iya terus gimana? Lanjut aja

L52 : iya kak. Hehe jadi aku ambil sembarang nilai z kan biar dapat

persamaanya. Terus digambar semua garis selidiknya. Setelah

digambar aku geser ke kiri karena tujuan kita meminimumkan

P : Terus kenapa kamu bisa simpulkan titik (4,3) sebagai titik

minimum?alasannya apa?


490

L53 : Ya itu sama seperti nomor satu. Kan perlu digeser garis

selidiknya sampai ke titik penyelesaian terakhir. Karena titik

(4,3) itu merupakan titik bulat yang terakhir yang dilewati garis

selidik saat digeser makanya titik (4,3) titik minimumnya

P : Oke terus apa yang kamu buat?

L54 : Titiknya disubstitusi ke fungsi tujuan dapat 111.000


L55 : Kesimpulan aku disitu kurang jelas kayaknya kak.

P : kalau begitu apa kesimpulanmu?

L56 : Harusnya petani itu harus membeli 4 kantong pupuk cair dan 3

kantong pupuk keirng untuk memperoleh harga paling murah

dengan total harganya itu 111.000











diberikan ke dalam variabel, berdasarkan hal yang ditanya dalam soal yaitu

berapa banyak kantong pupuk cair dan banyak kantong pupuk kering maka

mahasiswa memisalkan variabel x sebagai banyaknya kantong pupuk cair

dan variabel y sebagai banyaknya kantong pupuk kering. Mahasiswa

kemudian membuat tabel untuk mempermudah mahasiswa membuat

kendala. Dari tabel tersebut diperoleh model yang pertama untuk jumlah zat


491

kimia I 2x + y ≥ 10, yang kedua untuk jumlah zat kimia II x + 3y ≥

12 dan 3x + 2y ≥ 18 untuk jumlah zat kimia III. Mahasiswa

menggunakan tanda ≥ dikarenakan terdapat kalimat “paling sedikit” pada

soal yang menyatakan jumlah kebutuhan zat yang diperlukan. Mahasiswa

memodelkan syarat atau kendala nonnegatifnya 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0 dan syarat

𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍. Hal ini dikarenakan banyaknya sesuatu tidak mungkin negatif dan

merupakan anggota bilangan bulat (tidak mungkin pecahan). Karena tujuan

dari soal untuk mencari banyak kantong pupuk yang dibeli dengan harga

yang paling murah oleh karena itu mahasiswa memodelkan fungsi objektif

atau fungsi tujuan memaksimalkan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 15.000𝑥 + 17.000𝑦. Hal ini


P : Langsung aja ya. Disini juga kamu nggak ngasih tahu

darimama kamu memperoleh titik minimumnya. Pertanyaan

sama dengan nomor 1. Jelaskan secara singkat kamu nyelesaiin

soal nomor 2 ini.



banyaknya kantong pupuk kering. Itu karena yang ditanya

dalam soal kan berapa banyak kantong pupuk cair dan banyak

kantong pupuk kering. Terus aku buat tabel biar lebih mudah

buat kendalanya itu. Dari tabel itu sudah kelihatan ada 3

kendala pertama untuk jumlah zat kimia I 2𝑥 + 𝑦 ≥ 10, yang

keduanya 𝑥 + 3𝑦 ≥ 12 untuk jumlah zat kimia II dan 3𝑥 +2𝑦 ≥ 18 untuk jumlah zat kimia III. Kenapa pakai tanda ≥

karena ada kalimat “paling sedikit” yag menyatakan jumlah

kebutuhan zat yang diperlukan. Kendala nonnegatif 𝑥 ≥ 0 dan

𝑦 ≥ 0 karena sama dengan nomor 1 juga karena x dan y

menyatakan banyak sesuatu kan nggak mungkin negatif dan

banyak sesuatu itu pasti bulat nggak mugkin pecahan makanya

x dan y anggota bilangan bulat. Terus buat fungsi tujuannya

untuk meminimumkan f(x,y)=15.000x + 17.000y karena mau

nyari banyak kantong dan harga yang paling murah dari

pembelian pupuk. Aku lanjut menggambar grafik persamaan

kendalanya kan dengan cara nyari titik potongnya dengan


492

sumbu x dan sumbu y terus gambar kemudian nentuin daerah

penyelesaiannya. Untuk daerah penyelesaiannya itu sama

dnegan yang nomor 1 jadi aku lihat daerah irisan dari semua

daerah penyelesaian kendala terus memplot titik penyelesaian

karena ada syarat x dan y bilangan bulat.




(mencari titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y kemudian ditarik

garis) kemudian menentukan daerah penyelesaiannya. Mahasiswa

menentukan daerah penyelesaian dengan melihat daerah yang merupakan

daerah irisan dari semua daerah penyelesaian dari kendala. Mahasiswa

memplotkan titik yang merupakan penyelesaian dimana terdapat syarat


P : Langsung aja ya. Disini juga kamu nggak ngasih tahu

darimama kamu memperoleh titik minimumnya. Pertanyaan

sama dengan nomor 1. Jelaskan secara singkat kamu nyelesaiin

soal nomor 2 ini.



banyaknya kantong pupuk kering. Itu karena yang ditanya

dalam soal kan berapa banyak kantong pupuk cair dan banyak

kantong pupuk kering. Terus aku buat tabel biar lebih mudah

buat kendalanya itu. Dari tabel itu sudah kelihatan ada 3

kendala pertama untuk jumlah zat kimia I 2𝑥 + 𝑦 ≥ 10, yang

keduanya 𝑥 + 3𝑦 ≥ 12 untuk jumlah zat kimia II dan 3𝑥 +2𝑦 ≥ 18 untuk jumlah zat kimia III. Kenapa pakai tanda ≥

karena ada kalimat “paling sedikit” yag menyatakan jumlah

kebutuhan zat yang diperlukan. Kendala nonnegatif 𝑥 ≥ 0 dan

𝑦 ≥ 0 karena sama dengan nomor 1 juga karena x dan y

menyatakan banyak sesuatu kan nggak mungkin negatif dan

banyak sesuatu itu pasti bulat nggak mugkin pecahan makanya

x dan y anggota bilangan bulat. Terus buat fungsi tujuannya

untuk meminimumkan f(x,y)=15.000x + 17.000y karena mau

nyari banyak kantong dan harga yang paling murah dari


493

pembelian pupuk. Aku lanjut menggambar grafik persamaan

kendalanya kan dengan cara nyari titik potongnya dengan

sumbu x dan sumbu y terus gambar kemudian nentuin daerah

penyelesaiannya. Untuk daerah penyelesaiannya itu sama

dnegan yang nomor 1 jadi aku lihat daerah irisan dari semua

daerah penyelesaian kendala terus memplot titik penyelesaian

karena ada syarat x dan y bilangan bulat.


dengan cara mengambil sembarang nilai z sehingga diperoleh 2 persamaan

garis selidik. Mahasiswa menggambar semua grafik garis selidik kemudian

menggeser garis selidiknya ke kiri karena tujuannya meminimumkan

sampai ke titik penyelesaian yang terakhir sehingga diperoleh titik (4,3).

Oleh karena itu titik (4,3) sebagai titik minimum. Hal ini dapat dilihat pada

dialog berikut ini:

P : Iya terus gimana? Lanjut aja

L52 : iya kak. Hehe jadi aku ambil sembarang nilai z kan biar dapat

persamaanya. Terus digambar semua garis selidiknya. Setelah

digambar aku geser ke kiri karena tujuan kita meminimumkan

P : Terus kenapa kamu bisa simpulkan titik (4,3) sebagai titik

minimum?alasannya apa?

L53 : Ya itu sama seperti nomor satu. Kan perlu digeser garis

selidiknya sampai ke titik penyelesaian terakhir. Karena titik

(4,3) itu merupakan titik bulat yang terakhir yang dilewati garis

selidik saat digeser makanya titik (4,3) titik minimumnya


sehingga diperoleh 111.000. Mahasiswa menyimpulkan petani itu harus

membeli 4 kantong pupuk cair dan 3 kantong pupuk kering untuk

memperoleh harga paling murah dengan total harganya Rp 111.000. Hal ini


P : Oke terus apa yang kamu buat?

L54 : Titiknya disubstitusi ke fungsi tujuan dapat 111.000


494


L55 : Kesimpulan aku disitu kurang jelas kayaknya kak.

P : kalau begitu apa kesimpulanmu?

L56 : Harusnya petani itu harus membeli 4 kantong pupuk cair dan 3

kantong pupuk keirng untuk memperoleh harga paling murah

dengan total harganya itu Rp 111.000





















495



L54), mahasiswa mampu menarik kesimpulan sesuai konteks awal (L55).














kelas penelitian


496




2. Mahasiswa membuat pemisalan variabel x sebagai banyak kantong

pupuk cair dengan dan variabel y sebagai banyak kantong pupuk kering


dan 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 18 dan kendala nonnegatif 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0



15.000𝑥 + 17.000𝑦





dan titik (5,0), titik potong untuk persamaan 𝑥 + 3𝑦 = 12 adalah titik

(0,4) dan titik (12,0), dan titik potong untuk persamaan 3𝑥 + 2𝑦 = 18

adalah titik (0,9) dan titik (6,0) kemudian menarik garis yang

menghubungkan kedua titik potong dari masing-masing persamaan

kendala





497

Mahasiswa tidak memplotkan titik (4,3) sebagai titik penyelesaian

(mengakibatkan titik minimum yang dihasilkan kurang tepat)


17.000𝑦 = 185.000




menghubungkan kedua titik potong





12. Mahasiswa menyimpulkan banyak kantong yang harus dibeli supaya

harga minimum adalah 5 kantong pupuk cair dan 3 kantong pupuk

kering sebesar 15.000(5) + 17.000(3) = 126.000










498











masalah awal walaupun hasil yang diperoleh kurang tepat (12).














499







P : Apa langkah awal kamu nyelesaiin soal ini?

L61 : saya buat model program linearnya kak

P : Na gimana kamu buat modelnya? Ceriterakan dengan

alasannya

L62 : Pertama saya tulis diketahui dalam tabel sama yang ditanya

biar mudah buat modelnya dan lihat apa yang aku

misalkan.kan yang ditanya banyak kantong jadi aku buat

pemisalannya x banyak kantong pupuk cair dan y banyak

kantong pupuk kering. Terus buat kendalanya berdasarkan

informais yang ada ditabel itu. Untuk zat 1, zat 2, dan zat 3.

Diperoleh kendalanya itu 2𝑥 + 𝑦 ≥ 10, 𝑥 + 3𝑦 ≥ 12,3𝑥 +2𝑦 ≥ 18. Terus x≥ 0, 𝑦 ≥ 0 karena x dan y menyatakan

banyak sesuatu barang. Sama 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 karena banyak nggak

mungkin pecahan. Terus buat fungsi objektifnya itu

meminimumkan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 15.000𝑥 + 17.000𝑦 itu karena

berdasarkan apa yang ditanya buat nyari banyak kantong dan

harga paling murahnya makanya meminimumkan fungsinya itu

P : Iya. Udah benar. Na setelah itu kamu buat apa? ini yang di

kanan kendala utama ini apa yang kamu tulis? Yang (5,0)

(10,0) dan seterusnya

L63 : Oh itu titik potong kak. Jadi dari persamaanya itu nyari titik

potongnya dengan sumbu x dan sumbu y terus digambar

garisnya di diagram cartesius

P : Oh iya. Na buat apa kamu gambar grafik kendalanya?

L64 : Buat nentuin daerah penyelesaiannya

P : Na gimana kamu nentuin daerah penyelesaiannya?

L65 : Lihat daerah irisan dari semuda daerah penyelesaian semua

kendala

P : Iya oke. Na terus?

L66 : Buat plot titik penyelesaiannya karena hany titik yang bulat aja

masuk penyelesaiannya

P : Iya karena kan udah ada syarat yang kamu tulis itu loh 𝑥, 𝑦 ∈𝑍 jadi ngga semua titik di daerah penyelesaian itu merupakan

titik penyelesaiannya. Terus itu udah semua kamu plotkan?


500

L67 : Belum si kak. Soalnya kan banyak banget itu ke kanannya

P : Iya betul ya. Na coba kamu lihat yang disekitar garis

kendalanya itu. Udah semua kamu plotkan?

L68 : Bentar ya kak. Owg ia ini titik (4,3) nya juga kan ya seharusnya

P : Iya emang. Na lanjut aja dulu setlah kamu netuin titik

penyelesaiannya kamu buat apa?

L69 : saya ambil nilai z terus gambar garis selidiknya. Yang paling

kanan itu garisnya

P ; yang y=10,8 dan x=12,3 ini maksudnya apa? Terus yang dua

lagi ini apanya?

L610 ; Itu juga garis selidik. Oh itu maksudnya titik potongnya itu

P : Kalau titik potong berarti cara nulisnya gimana?

L611 : (0,10.8) (12.3,0)

P : Iya begitu baru lebih jelas. Na terus yang dua tadi kenapa juga

merupakan garis selidiknya? Mana persamaannya?

L612 : Hm itu maksudnya kan saya geser kan kak garisnya na supaya

bantu saya biar tetap sejajar saya buat garis begitu. Na sampai

ke titik (5,3) itu.

P : Iya jadi itu gunanya kita buat lebih dari 1 garis selidik juga.

Biar bisa lihat baik-baik kemiringannya dan bantu kita buat

geser garis selidiknya biar nggak salah

L613 : Iya kak. Tapi itu aku salah ya kayaknya.

P : Kenapa salah?

L614 : Kan masih ada titik (4,3)

P : Jadi harusnya?

L615 : Kan kaka pernah bilang geser garisnya itu sampai ke titik

penyelesaian paling akhir kalau nggak salah. (5,3) bukan yang

terakhir. Karena masih ada titik (4,3) itu yang paling ujungnya

P : Jadi kesimpulan kamu apa?

L616 : Jadi harusnya titik minimumnya itu (4,3) terus substitusi ke

fungsi tujuannya

P : Dapat berapa kalau (4,3) titik minimumnya?

L617 : Dapat 111.000

P : Jadi kesimpulan akhirnya?

L618 : Banyak kantong pupuk yang harus dibeli petani itu dengan

harga paling murah 4 kantong pupuk cair dan 3 kantong pupuk

kering

P : Dengan total harga?

L619 : Iya dengan total harga paling murahnya itu Rp 111.000





501








diberikan ke dalam variabel, sebelumnya mahasiswa menuliskan hal-hal

yang diketahui dalam sebuah tabel dan hal yang ditanya untuk membantu

mahasiswa membuat model matematikanya dan membuat pemisalan. Dari

hal yang ditanya yaitu banyak kantong oleh karena itu mahasiswa

memisalkan banyaknya kantong pupuk cair dengan variabel x dan

banyaknya kantong pupuk kering dengan variabel y. Dari tabel tersebut

diperoleh model untuk zat kimia I 2x + y ≥ 10, x + 3y ≥ 12 untuk zat

kimia II dan 3x + 2y ≥ 18 untuk zat kimia III. Mahasiswa memodelkan

syarat atau kendala nonnegatifnya 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0 dan syarat 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍. Hal

ini karena banyak sesuatu barang itu tidak mungkin negatif dan tidak

mungkin pecahan. Mahasiswa memodelkan fungsi objektif atau fungsi

tujuan meminimumkan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 15.000𝑥 + 17.000𝑦. Menurut

mahasiswa lal ini dikarenakan hal yang ditanya pada soal yaitu mencari

banyak kantong dan harga yang paling murah. Hal ini dapat dilihat pada

dialog berikut ini:

P : Apa langkah awal kamu nyelesaiin soal ini?


502

L61 : saya buat model program linearnya kak

P : Na gimana kamu buat modelnya? Ceriterakan dengan

alasannya

L62 : Pertama saya tulis diketahui dalam tabel sama yang ditanya

biar mudah buat modelnya dan lihat apa yang aku misalkan.kan

yang ditanya banyak kantong jadi aku buat pemisalannya x

banyak kantong pupuk cair dan y banyak kantong pupuk kering.

Terus buat kendalanya berdasarkan informais yang ada ditabel

itu. Untuk zat 1, zat 2, dan zat 3. Diperoleh kendalanya itu 2𝑥 +𝑦 ≥ 10, 𝑥 + 3𝑦 ≥ 12,3𝑥 + 2𝑦 ≥ 18. Terus x≥ 0, 𝑦 ≥ 0

karena x dan y menyatakan banyak sesuatu barang. Sama

𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 karena banyak nggak mungkin pecahan. Terus buat

fungsi objektifnya itu meminimumkan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 15.000𝑥 +17.000𝑦 itu karena berdasarkan apa yang ditanya buat nyari

banyak kantong dan harga paling murahnya makanya

meminimumkan fungsinya itu






irisan dari semua daerah penyelesaian kendalanya. Mahasiswa memplotkan

titik penyelesaiannya karena terdapat syarat 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍. Mahasiswa

mengonfirmasi kembali bahwa titik yang di arah kiri yaitu titik (4,3) belum

diplot dan banyak titik yang ke arah kanan daerah penyelesaian. Hal ini


P : Iya. Udah benar. Na setelah itu kamu buat apa? ini yang di

kanan kendala utama ini apa yang kamu tulis? Yang (5,0) (10,0)

dan seterusnya

L63 : Oh itu titik potong kak. Jadi dari persamaanya itu nyari titik

potongnya dengan sumbu x dan sumbu y terus digambar

garisnya di diagram cartesius

P : Oh iya. Na buat apa kamu gambar grafik kendalanya?

L64 : Buat nentuin daerah penyelesaiannya


503

P : Na gimana kamu nentuin daerah penyelesaiannya?

L65 : Lihat daerah irisan dari semuda daerah penyelesaian semua

kendala

P : Iya oke. Na terus?

L66 : Buat plot titik penyelesaiannya karena hanya titik yang bulat

aja masuk penyelesaiannya

P : Iya karena kan udah ada syarat yang kamu tulis itu loh 𝑥, 𝑦 ∈𝑍 jadi ngga semua titik di daerah penyelesaian itu merupakan

titik penyelesaiannya. Terus itu udah semua kamu plotkan?

L67 : Belum si kak. Soalnya kan banyak banget itu ke kanannya

P : Iya betul ya. Na coba kamu lihat yang disekitar garis

kendalanya itu. Udah semua kamu plotkan?

L68 : Bentar ya kak. Owg ia ini titik (4,3) nya juga kan ya seharusnya

P : Iya emang. Na lanjut aja dulu setlah kamu netuin titik


Mahasiswa kemudian menentukan 1 persamaan garis selidik dengan

mengambil sembarang nilai z. Mahasiswa menggambar grafik garis selidik

dengan terlebih dahulu menentukan titik potong masing-masing grafik

terhadap sumbu x dan terhadap sumbu y. Mahasiswa mengonfirmasi cara

penulisan titik potong yang benar yaitu dari y = 10.8 dan x =12.3 menjadi

(0,10.8) dan (12.3,0). Mahasiswa menggeser garis selidik ke kiri atau ke

bawah sampai titik penyelesaian paling akhir. Mahasiswa menggambar

garis lurus sebagai hasil dari pergeseran dari garis selidik yang dibuat

sebelumnya. Karena sebelumnya mahasiswa kembali mengonfirmasi bahwa

titik (4,3) juga titik penyelesaian sehingga diperoleh titik minimumnya

adalah titik (4,3) bukan titik (5,3) dikarenakan titik yang penyelesaian yang

paling akhir saat dilakukan penggeseran garis selidik ke kiri. Hal ini dapat


P : Iya emang. Na lanjut aja dulu setelah kamu nentuin titik



504

L69 : saya ambil nilai z terus gambar garis selidiknya. Yang paling

kanan itu garisnya

P ; yang y=10,8 dan x=12,3 ini maksudnya apa? Terus yang dua

lagi ini apanya?

L610 ; Itu juga garis selidik. Oh itu maksudnya titik potongnya itu

P : Kalau titik potong berarti cara nulisnya gimana?

L611 : (0,10.8) (12.3,0)

P : Iya begitu baru lebih jelas. Na terus yang dua tadi kenapa juga

merupakan garis selidiknya? Mana persamaannya?

L612 : Hm itu maksudnya kan saya geser kan kak garisnya na supaya

bantu saya biar tetap sejajar saya buat garis begitu. Na sampai

ke titik (5,3) itu.

P : Iya jadi itu gunanya kita buat lebih dari 1 garis selidik juga.

Biar bisa lihat baik-baik kemiringannya dan bantu kita buat

geser garis selidiknya biar nggak salah

L613 : Iya kak. Tapi itu aku salah ya kayaknya.

P : Kenapa salah?

L614 : Kan masih ada titik (4,3)

P : Jadi harusnya?

L615 : Kan kaka pernah bilang geser garisnya itu sampai ke titik

penyelesaian paling akhir kalau nggak salah. (5,3) bukan yang

terakhir. Karena masih ada titik (4,3) itu yang paling ujungnya



fungsi tujuannya


sehingga diperoleh nilai minimumnya 111.000. Mahasiswa menyimpulkan

banyak kantong pupuk yang harus dibeli petani itu dengan harga paling

murah 4 kantong pupuk cair dan 3 kantong pupuk kering total harga paling

murahnya itu Rp 111.000. Hal ini dapat dilihat pada dialog berikut ini:



fungsi tujuannya

P : Dapat berapa kalau (4,3) titik minimumnya?

L617 : Dapat 111.000

P : Jadi kesimpulan akhirnya?

L618 : Banyak kantong pupuk yang harus dibeli petani itu dengan

harga paling murah 4 kantong pupuk cair dan 3 kantong pupuk

kering


505

P : Dengan total harga?

L619 : Iya dengan total harga paling murahnya itu Rp 111.000























506

L66, L67, L68, L69, L610, L611, L612, L613, L614, L615, L616, L617), mahasiswa

mampu menarik kesimpulan sesuai konteks awal (L618, L619).













II permasalahan kedua diperoleh bahwa kemampuan memodelkan semua










507

I. Refleksi

Bersyukur.

Satu kata yang selalu menguatkan saya setiap harinya. Satu kata yang yang

memotivasi diri saya sendiri untuk selalu bersyukur dengan apa yang saya lalui

entah itu suka maupun duka. Tidak sedikit duka yang saya lewati dalam proses

penulisan karya ilmiah ini. Karya ilmiah ini merupakan hasil dari perjuangan

keras saya. Banyak hal yang saya lewati sampai ke titik ini. Titik dimana saya

bisa menyelesaikan karya ilmiah ini dan diijinkan untuk

mempertanggungjawabkan di depan dosen pembimbing dan dosen penguji.

Dimulai dari pergantian topik penelitian sampai kesulitan-kesulitan selama

proses penyelesaiannya. Akhir semester tiga tepatnya bulan Oktober 2019,

saya mengajukan topik penelitian yang berkaitan dengan PMR dengan subjek

mahasiswa kepada dosen pembimbing dan disetujui. Jujur saya mengambil

topik yag berkaitan dengan PMR ini juga dalam keadaan bimbang apakah saya

sudah siap atau belum karena saya akui pengetahuan saya tentang PMR masih

sangat kurang. Tetapi karena saya mempunyai keinginan untuk belajar dan

keyakinan bahwa dengan bimbingan dari dosen pembimbing saya pasti bisa

melewatinya.

Puji Tuhan dengan jatuh bangunnya saya dalam mempersiapkan instrumen

penelitian, akhirnya saya diijinkan oleh dosen pembimbing untuk melakukan

penelitian dan berjalan lancar. Setelah selesai melakukan penelitian pastinya

saya melanjutkan tugas saya untuk menyelesaikan karya ilmiah ini. Saya sangat

bersyukur karena diberikan dosen pembimbing sebaik Beliau. Dengan


508

kesibukkan Beliau, Beliau menyempatkan diri untuk memberikan bimbingan

jika secara tiba-tiba saya menghubungi beliau untuk meminta bimbingan. Saya

merasa benar-benar dibimbing sampai saya menemukan jawaban dan

kesalahan saya sendiri. Terkadang dalam proses bimbingan saya sampai

menangis dan merasa putus asa karena apa yang saya kerjakan belum sesuai

dengan keinginan dosen pembimbing. Tetapi saya sadar sekali masukan-

masukan dari beliau inilah yang membantu saya untuk dapat menghasilkan

karya ilmiah yang baik oleh karena itu saya terus berusaha semampu saya untuk

mengerjakan sesuai masukan dari dosen pembimbing. Pengalaman berharga

dalam proses penulisan karya ilmiah ini adalah kesempatan untuk menerima

ilmu dan nasihat dari pak Hongki selaku dosen pembimbing saya. Semoga ilmu

dan nasihat yang saya dapat ini selalu memberikan nilai guna untuk saya

kedepannya. Terimakasih banyak pak Hongki. Saya mohon maaf pak jika

selama proses bimbingan saya melakukan hal-hal yang kurang berkenan di hati

bapak. Semoga berkat Tuhan selalu menyertai bapak.


509

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian yang telah dibahas dan yang telah dianalisis

pada bab IV, dapat disimpulkan bahwa:

1. Peneliti merancang lintasan belajar berdasarkan 5 karakteristik PMR yaitu



Langkah-langkah membelajarkan materi program linear dengan

menggunakan pendekatan Pendidikan Matematika Realistik (PMR) adalah

sebagai berikut:

a. Penggunaan konteks

Penggunaan konteks dapat dilihat pada pertemuan pertama diberikan

3 masalah kontekstual yang diekplorasi sedangkan pada pertemuan

kedua dan pertemuan ketiga masing-masing diberikan 1 masalah

kontekstual yang dieksplorasi.

b. Penggunaan model untuk matematisasi progresif

Penggunaan model untuk matematisasi progresif dapat dilihat pada

pertemuan pertama dan kedua saat mahasiswa merepresentasikan

masalah kontekstual ke dalam model matematika dan saat mahasiswa

menggambarkan penyelesaian model matematika yang sudah dibuat.

Pada pertemuan ketiga penggunaan model untuk matematisasi


510

progresif dapat dilihat saat mahasiswa menyelesaikan masalah yang

diberikan menggunakan metode garis selidik.

c. Pemanfaatan hasil konstruksi siswaPemanfaatan hasi konstruksi

mahasiswa dapat dilihat bahwa hasil konstruksi mahasiswa terkait

pertidaksamaan linear dua variabel dan daerah penyelesaiannya yang

ditemukan mahasiswa pada pertemuan pertama digunakan mahasiswa

untuk memodelkan dan menggambar daerah penyelesaian dari

masalah pada pertemuan kedua sedangkan hasil kontruksi mahasiswa

pada pertemuan kedua terkait penyelesaian masalah program linear

menggunakan metode garis selidik digunakan mahasiswa untuk

menyelesaikan masalah pada pertemuan ketiga.

d. Interaktivitas

Interaktivitas dapat dilihat pada 3 pertemuan terjadi interaksi antara

peneliti dan beberapa mahasiswa dalam kelompok diskusi, interaksi

antara peneliti dan semua mahasiswa dalam kelas serta antar

mahasiswa baik dalam kelompok diskusi maupun dalam kelas

sehingga mahasiswa dapat mengkonstruksi pengetahuannya.

e. Keterkaitan

Keterkaitan dapat dilihat saat mahasiswa menggunakan konsep

pertidaksamaan linear dua variabel dan daerah penyelesaiannya yang

ditemukan pada pertemuan pertama digunakan untuk membantu

mahasiswa menemukan konsep penyelesaian masalah program linear


511

menggunakan metode garis selidik yang kemudian konsep tersebut

digunakan mahasiswa menyelesaikan masalah pada pertemuan ketiga.

2. Kemampuan memodelkan mahasiswa setelah mengalami proses

pembelajaran dengan menggunakan pendekatan Pendidikan Matematika

Realistik (PMR) adalah sebagai berikut:

a. Tes tertulis I

Jumlah mahasiswa di kelas uji coba yang mengikuti tes tertulis I

adalah 36 mahasiswa dan di kelas penelitian terdapat 43 mahasiswa.

Dari total keseluruhan mahasiswa yang mengikuti tes tertulis I,

kemampuan memodelkan semua mahasiswa berada pada level formal.

Semua mahasiswa memenuhi kelima indikator kemampuan

memodelkan pada level formal untuk tes tertulis I yaitu mahasiswa

mampu membuat pemisalan terhadap objek dari masalah yang

diberikan ke dalam variabel, dan mahasiswa mampu membentuk

sebuah pertidaksamaan linear dua variabel dari masalah yang

diberikan, mahasiswa mampu menggambar grafik persamaan dari

bentuk pertidaksamaan linear dua variabel, mahasiswa mampu

menentukan daerah penyelesaian dengan memperhatikan syaratnya,

dan mahasiswa mampu memplotkan titik – titik yang merupakan

penyelesaian yang ada di dalam daerah penyelesaian.

b. Tes Tertulis II

Jumlah mahasiswa di kelas uji coba yang mengikuti tes tertulis II

adalah 34 mahasiswa dan di kelas penelitian terdapat 40 mahasiswa.


512

Dari total keseluruhan mahasiswa yang mengikuti tes tertulis II,

kemampuan memodelkan semua mahasiswa berada pada level formal.

Semua mahasiswa memenuhi keenam indikator kemampuan

memodelkan pada level formal untuk tes tertulis II yaitu mahasiswa

mampu membuat pemisalan terhadap objek dari masalah yang

diberikan ke dalam variabel, mahasiswa mampu membentuk fungsi

objektif, mahasiswa mampu membentuk kendala, mahasiswa mampu

menuliskan syarat variabel berdasarkan masalah pada soal yang

diberikan, mahasiswa mampu menyelesaikan model matematika yang

telah dibuat sesuai aturan penyelesaian masalah program linear,

mahasiswa mampu menarik kesimpulan sesuai konteks awal.

B. Saran

1. Saran untuk pendidik dan peneliti selanjutnya yang akan melakukan

pembelajaran atau penelitian yang berkaitan dengan PMR untuk dapat

mempersiapkan HLT dengan baik dan melihat segala kemungkinan-

kemungkinan jawaban yang diberikan oleh peserta didik dengan

memperhatikan kondisi subjek sehingga proses pembelajaran dapat

berlangsung dengan baik.

2. Saran untuk mahasiswa agar lebih aktif dalam mengikuti proses

pembelajaran di kelas. Mahasiswa diharapkan untuk dapat menyampaikan

pendapat baik dalam kelompok diskusi maupun kelas dengan berani tanpa

ragu-ragu karena takut salah dan paksaan dari pendidik. Mahasiswa juga


513

diharapkan untuk melatih menyelesaikan masalah program linear

menggunakan metode garis selidik ada lebih terampil.


514

DAFTAR PUSTAKA

Ardi Nuryadi, dkk. 2018. Kemampuan memodelkan Matematika Siswa Dengan

Strategi Scaffolding With A Solution Plan Pada Materi trigonometri Di

Kelas X SMAN 2 Palembang. Jurnal Gantang III, Vol. 2, Hal. 73-81.

Daud dan Nurwan. 2017. Meningkatan Kemampuan Siswa Dalam membuat

Model Matematika Pada Materi Program Linear Melalui Pendekatan

Matematika Realistik. Prosiding Seminar Nasional Matematika dan

Pembelajarannya, hal. 395-402.

Dian Permana Putri, dkk. 2015. Kajian Pemodelan Dengan Konsep Pendekatan

Matematika Realistik (PMR) Trehadap Motivasi Dan hasil Belajar Pada

Mata Kuliah Persamaan Diferensial. Prosiding Seminar Nasional

Pendidikan, hal. 232-240. Bandung.

Indriani, N. 2017. Penelitian Desain Mengenai keliling Lingkaran Menggunakan

Pendekatan Pembelajaran Matematika Realistik Pada Siswa Kelas V SD

Budya Wacana Yogyakarta. Skripsi.

Prahmana. 2017. Design Research. Depok: PT Raja Graffindo Parsada.

Raharjo, Nuryadi Eko. 2007. Peningkatan Kompetensi Mahasiswa Bidang

Matematika Teknik Sipil Melalui Pembelajaran Realistik. Jurnal

Pendidikan Teknologi dan Kejuruan (JPTK), Vol. 16, No. 1.

Rianasari & Sulistyani. 2017. Psikologi Pembelajaran Matematika. Yogyakarta:

Universitas Sanata Dharma.

Sugiyono, 2015. Metode Penelitian. Bandung: Alfabeta.


515

Susanta, B. 1994. Program Linear. Yogyakarta.

Suyitno, Hardi. 2016. Program Linear Dengan Penerapannya. Yogyakarta:

Magnum Pustaka Utama.

Wijaya, A. 2012. Pendidikan Matematika Realistik; Suatu Alternatif Pendekatan

Pembelajaran Matematika. Yogyakarta: Graha Ilmu.


516

LAMPIRAN


517

HYPOTHETICAL LEARNING TRAJECTORY (HLT)

Pembelajaran Mata Kuliah Program Linear di Kelas B Mahasiswa Semester

IV Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma

Yogyakarta

Tahun Ajaran 2019/2020

Materi : Program linear dua variabel

Kompetensi Dasar : Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan

program linear

Tujuan Pembelajaran : Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang

berkaitan dengan program linear dua variabel untuk bilangan bulat menggunakan

metode garis selidik

Alokasi Waktu : 3 pertemuan (3 × 2 jam pelajaran)

A. Pertemuan Pertama

Tujuan pembelajaran:

1. Mahasiswa dapat memodelkan masalah kontekstual dalam


2. Mahasiswa dapat menggambar daerah penyelesaian pertidaksamaan linear

dua variabel

Pada pertemuan pertama, dosen memberikan tiga masalah kontekstual yang

dirincikan dalam ketiga aktivitas.

Langkah – langkah pembelajaran:


518

1. Peneliti menyampaikan tujuan pembelajaran yang akan dicapai 1)

mahasiswa dapat memodelkan masalah kontekstual kedalam

pertidaksamaan linear dua variabel, 2) mahasiswa dapat memodelkan

masalah kontekstual kedalam sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

2. Peneliti memberikan apersepsi kepada mahasiswa berupa mengingatkan

kembali mengenai peesamaan linear dua variabel.

3. Dosen membagi mahasiswa dalam kelompok kemudian menampilkan

lembar kerja aktivitas I pada power point.

4. Mahasiswa diminta untuk menyelesaikan masalah yang diberikan secara


Masalah 1:



permasalahan tersebut dalam suatu model!


a. Mahasiswa tidak mengalami kesulitan dalam memodelkan

permasalahan yang diberikan. sehingga jawaban yang diberikan

adalah:

Misalkan x = banyak kue jenis 1 dan y = banyak kue jenis 2. Karena

jumlah kue yang dibuat paling sedikit 25 buah maka model

matematikanya adalah 𝑥 + 𝑦 ≥ 25

b. Jika mahasiswa mengalami kesulitan dalam memisalkan 2 jenis kue

ke dalam variabel – variabel. Topangan yang diberikan adalah:


519

1) Dosen meminta mahasiswa untuk membaca kembali

permasalahan yang diberikan dan bertanya apa yang diketahui

dalam masalah tersebut terkait kue yang dibuat ibu Santi?

Jawaban yang diharapkan: ibu Santi membuat kue dengan dua

jenis yang berbeda

2) Dosen memberikan contoh 2 jenis kue yang yang akan dibuat ibu

Santi misalkan kue donat dan kue wajik dan bertanya apakah kue

tersebut sama atau tidak?

Jawaban yang diharapkan: kue tersebut berbeda

3) Jika berbeda apa hubungannya dengan variabel yang kamu

gunakan saat pemisalan?

Jawaban yang diharapkan: variabel yang dimisalkan juga berbeda

misalkan dengan x dan y

4) Apa yang kamu misalkan dengan x dan apa yang kamu misalkan

dengan y?

Jawaban yang diharapkan: x = banyak kue jenis 1 dan y = banyak

kue jenis 2

c. Jika mahasiswa mengalami kesulitan dalam menerjemahkan istilah

“paling sedikit” ke dalam model matematika maka dosen memberikan

topangan dengan memberikan sebuah ilustrasi sebagai berikut:

Disebuah persyaratan lowongan kerja dikatakan calon pramugari yang

dicari tingginya paling sedikit 165 cm. kemudian si A melamar,

tingginya 160 cm. Apakah syaratnya dipenuhi oleh si A? Kalau tinggi


520

si B 164 cm dipenuhi apa tidak? Jika si C tingginya 165 diterima apa

tidak? Jika tingginya 167 diterima tidak? Kalau begitu apa artinya

paling sedikit?

Masalah 2:







model!”


a. Mahasiswa memodelkan masalah tersebut sebagai pertidaksamaan

linear dua variabel. Sehingga jawaban yang diberikan adalah:

Misalkan x = harga 1 buah kompor gas portable yang dibeli dan y =

harga 1 buah wajan yang dibeli sehingga dapat dimodelkan sebagai

berikut: Camelia membeli 1 kompor gas portable dan 2 wajan dan

mendapatkan uang kembalian mempunyai arti 𝑥 + 2𝑦 < 400.000

b. Mahasiswa dapat mengartikan kalimat “mendapatkan kembalian”

setelah membeli barang dengan kalimat “jumlah harga barang yang

dibeli kurang dari uang yang dibawa Camelia”, namun belum

membawa kalimat tersebut ke dalam model pertidaksamaan. Sehingga

jawaban yang diberikan adalah:


521

Uang yang dibawa Camelia sebesar Rp 400.000. Camelia membeli 1

kompor gas portable dan 2 wajan dan mendapatkan uang kembalian

yang mempunyai arti jumlah harga barang yang dibeli kurang dari

uang yang dibawa Camelia.

Topangan yang diberikan:

1) Coba perhatikan kembali kalimat pada permasalahan yang




Kalau dia menerima kembalian, manakah yang lebih besar

antara uang yang dibawa camelia atau harga barang yang dibeli?

2) Jika mahasiswa menjawab menerima uang kembalian artinya

uang yang dibawa lebih besar dari harga barang. Maka dosen

bertanya “harga barang yang dibeli itu apa”?


jumlah harga 1 kompor gas dan 2 wajan

3) Bagaimana jika dinyatakan sebagai kalimat matematika?

Misalkan x = harga kompor gas portable yang dibeli dan y =

harga wajan yang dibeli sehingga dapat dimodelkan 𝑥 + 2𝑦 <

400.000

c. Mahasiswa membuat model matematika dari permasalahan sebagai

persamaan linear dua variabel. Sehingga jawaban yang diberikan

adalah 𝑥 + 2𝑦 = 400.000


522

d. Mahasiswa menggunakan tanda pertidaksamaan dengan tidak tepat.

Sehingga jawaban yang diberikan adalah 𝑥 + 2𝑦 > 400.000atau 𝑥 +

2𝑦 ≥ 400.000atau 𝑥 + 2𝑦 ≤ 400.000.

Topangan yang diberikan untuk mahasiswa yang memberian jawaban

seperti pada point c dan d adalah:

1) Coba perhatikan kembali kalimat pada permasalahan yang






2) Jika mahasiswa menjawab menerima uang kembalian artinya uang




jumlah harga 1 kompor gas dan 2 wajan

3) Bagaimana jika dinyatakan sebagai kalimat matematika?

Misalkan x = harga kompor gas portable yang dibeli dan y = harga

wajan yang dibeli sehingga dapat dimodelkan 𝑥 + 2𝑦 < 400.000

5. Dosen meminta perwakilan mahasiswa untuk mempresentasikan hasil

diskusinya di depan kelas. Mahasiswa diminta untuk menjelaskan kepada

mahasiswa lain apa yang ia lakukan dalam memodelkan masalah

kontekstual dalam kalimat matematika.


523

Kemungkinan jawaban yang diberikan mahasiswa: mahasiswa

memisalkan terlebih dahulu 2 jenis kue (masalah I) dan barang belanjaan

Camelia ke dalam variabel – variabel. Untuk masalah I, misalkan a = kue

jenis 1 dan b = kue jenis 2. Untuk masalah 2 misalkan p = kompor gas

portable dan b = wajan.

Jika terdapat mahasiswa yang memisalkan seperti ini, maka dosen perlu

mengajak kembali mahasiswa untuk menerjemahkan kembali kalimat

matematika tersebut ke dalam kalimat sehari – hari dengan memberikan

topangan sehingga dapat ditekankan bahwa pemisalan yang dilakukan

menekankan pada banyaknya jenis kue (masalah 1) dan harga 1 barang

(masalah 2)

topangan yang diberikan:

a. Dari model matematika yang Anda peroleh yaitu 𝑥 + 𝑦 ≥ 25 (masalah

1) dan 𝑥 + 2𝑦 < 400.000 (masalah 2) coba bahasakan kembali ke

kalimat soal sesuai dengan apa yang kamu misalkan?

b. Apakah kue jenis 1 dan kue jenis 2 bisa dijumlahkan? Apakah kompor

gas portable dan wajan dapat dijumlahkan?

c. Jika tidak dapat dijumlahan, lalu apakah yang dapat dijumlahkan?

d. Berarti apa yang seharusnya dimisalkan?

6. Mahasiswa lain diminta untuk memberikan tanggapan dan dosen

menanyakan apakah ada kelompok lain yang memodelkan dengan cara

yang lain


524

7. Dosen membimbing diskusi kelas sehingga mahasiswa dapat

menyimpulkan bahwa untuk memodelkan permasalahan sehari – hari ke

dalam kalimat matematika, langkah yang dilakukan adalah dengan cara

memisalkan banyaknya objek ke dalam variabel – variabel, mengganti

kalimat yang menyatakan jumlah dengan tanda ketidaksamaan (≤, <, ≥, >)

dan menuliskan bentuk pertidaksamaan tersebut. Mahasiswa dibimbing

untuk melihat syarat dari variabel yang dimisalkan yaitu 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 dan

𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍

8. Dosen mengajak mahasiswa untuk mengenalkan kepada mahasiswa

bahwa model matematika yang dihasilkan merupakan bentuk dari

pertidaksamaan linear dua variabel karena terdiri dari dua variabel dengan

pangkat tertinggi masing – masing variabel adalah satu. Tanda

pertidaksamaan ada empat yaitu ≤, <, ≥, >.

9. Dosen menanyakan kepada mahasiswa apa kalimat dalam sehari – hari

dari tanda – tanda pertidaksamaan tersebut?

10. Dosen menginformasikan kepada mahasiswa bentuk umum dari

pertidaksamaan linear dua variabel yaitu:

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≤ 𝑐 atau 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≥ 𝑐 atau 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 < 𝑐 atau 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 > 𝑐

11. Dosen menampilkan lembar kerja aktivitas II pada power point dan

menjelaskan kepada mahasiswa tentang masalah yang diberikan pada

aktivitas II dan menjelaskan apa yang harus dilakukan mahasiswa pada

aktivitas II


525

12. Mahasiswa diminta untuk menyelesaikan permasalahan yang diberikan

dalam kelompok. Masalah yang diberikan sebagai berikut:

“Banyak kendaraan yang dapat diparkir di suatu lahan paling banyak sedan


parkir untuk satu buah sedan 6 m2 dan luas lahan parkir untuk satu bus 18

m2, buatlah model dari permasalahan tersebut!”


a. Mahasiswa memberikan jawaban dengan tepat.

Misalkan x adalah banyak sedan yang parkir di lahan tersebut dan y

adalah banyak bus yang parkir di lahan tersebut maka model

matematika yang dapat dibentuk sebagai berikut:

𝑥 + 𝑦 ≤ 70

Model matematika untuk banyak kendaraan

6𝑥 + 8𝑦 ≤ 1200 Model matematika untuk luas area parkir

b. Mahasiswa membuat model matematikanya ke dalam persamaan

linear dua variabel sehingga jawaban yang diberikan adalah:

Misalkan x adalah banyak sedan dan y adalah banyak bus maka

kalimat matematika dari permasalahan di atas adalah:

𝑥 + 𝑦 = 70 Model matematika untuk banyak kendaraan

6𝑥 + 8𝑦 = 1200 Model matematika untuk luas area parkir

c. Mahasiswa menggunakan tanda pertidaksamaan dengan tidak tepat

Topangan yang diberikan jika mahasiswa memberikan jawaban

seperti pada point b dan c adalah sebagai berikut:


526

1) Dari kalimat soal “Banyak kendaraan yang dapat di parkir di

suatu lahan paling banyak 70 buah sedan atau bus” apakah

artinya paling banyak dari kalimat tersebut?

2) Bagaimana simbol matematikanya?

3) Jika mahasiswa masih bingung, dosen memberikan topangan:

kalau yang parkir disana banyaknya 70, mungkin apa tidak?

Kalau banyaknya 71 mungkin apa tidak? Jika banyaknya 69,

mungkin apa tidak? Jika banyaknya 67 mungkin apa tidak? Jadi

apa artinya paling banyak?

4) Perhatikan dua kalimat ini ”Lahan tersebut luasnya 1.200 m2.

Apa arti dari kalimat tersebut?

Boleh tidak kalau lahan yang digunakan untuk parkir 1.200?

Kalau 1.500 bisa tidak? Kalau 1.250 bisa tidak? Kalau 1201

boleh tidak? Kalau begitu apa artinya kalimat itu? Kalau

maksimal berarti apa artinya? Boleh kurang dari 1.200 tidak?

Boleh sama dengan 1.200 tidak? Kalau lebih dari 1.200 boleh

atau tidak? Kalau begitu apa simbol matematikanya untuk model

matematika untuk luas lahan?

Bagaimana jika kalimat tersebut dinyatakan dalam kalimat

matematika?

5) Apa syarat dari variabel yang kalian misalkan? Apakah banyak

sedan dan banyak bus bisa ½, ¾?


527

13. Dosen meminta perwakilan mahasiswa untuk mempresentasikan

penyelesaiannya di depan kelas.

14. Dosen membimbing mahasiswa untuk dapat menyimpulkan bahwa model

matematika yang dibentuk berupa sistem pertidaksamaan linear dua

variabel. Dan memberikan pertanyaan mengapa dikatakan sebagai sistem?

15. Dosen menampilkan lembar kerja aktivitas III pada power point dan

menjelaskan apa yang dilakukan mahasiswa pada aktivitas III

16. Aktivitas ketiga



“Ibu Santi akan membuat dua jenis kue yaitu kue donat dan kue lapis untuk

dijual. Jumlah kedua kue tersebut paling sedikit 25 buah”, diperoleh model

matematikanya yaitu:

𝑥 + 𝑦 ≥ 25

Dengan syarat:

𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0

𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍



a. Jika mahasiswa mengalami kesulitan dalam menggambar grafik,

dosen meminta mahasiswa untuk menggambar grafik 𝑥 + 𝑦 = 25

terlebih dahulu.


528

b. Jika mahasiswa kesulitan menggambar grafik 𝑥 + 𝑦 = 25, dosen

mengingatkan kembali mahasiswa dengan pertanyaan bagaimana

langkah – langkah dalam menggambar grafik suatu persamaan?

c. Jika mahasiswa masih mengalami kesulitan dalam menggambar

grafik, maka dosen memberikan pertanyaan – pertanyaan topangan

sebagai berikut:

1) Berapa titik yang dibutuhkan untuk menggambar grafik suatu

garis lurus?

2) Berapa titik yang dibutuhkan untuk menggambar grafik 𝑥 + 𝑦 =

25?

3) Apakah titik (0,25) ada pada garis𝑥 + 𝑦 = 25?

17. Dosen meminta mahasiswa untuk menentukan minimal 1 titik lagi yang

memenuhi persamaan garis 𝑥 + 𝑦 = 25

18. Dosen memberikan pertanyaan setelah mendapat titik – titik tersebut, apa

yang Anda lakukan untuk menghasilkan grafik dari persamaan garis

tersebut?

19. Jika mahasiswa kesulitan dalam menentukan daerah penyelesaian grafik

maka dosen memberikan pertanyaan topangan “apakah titik (10,16)

memenuhi pertidaksamaan 𝑥 + 𝑦 ≥ 25? Mengapa?

20. Jika mahasiswa kesulitan dalam menentukan daerah penyelesaian grafik

maka dosen memberikan pertanyaan topangan “apakah titik (10,10)

memenuhi pertidaksamaan𝑥 + 𝑦 ≥ 25? Mengapa?


529

21. Dosen meminta mahasiswa untuk menentukan titik lain yang memenuhi

dan tidak memenuhi𝑥 + 𝑦 ≥ 25?

22. Dosen meminta mahasiswa untuk kembali berdiskusi untuk menentukan

daerah penyelesaian pertidaksamaan 𝑥 + 𝑦 ≥ 25

23. Perhatikan syarat pada model tersebut 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 . apakah


penyelesaiannya? Jika tidak bagimana bentuk dari daerah penyelesaian

tersebut?

24. Setelah mahasiswa selesai menentukan daerah penyelesaian

pertidaksamaan𝑥 + 𝑦 ≥ 25, dosen meminta perwakilan kelompok dari

mahasiswa untuk mempresentasikan cara penyelesaian dalam

menggambar grafik pertidaksamaan dan menentukan daerah

penyelesaiannya. Ada dua kemungkinan jawaban mahasiswa dalam

menggambar grafik:

a. Mahasiswa menentukan titik potong grafik persamaan terhadap

sumbu x dan sumbu y terlebih dahulu baru menggambar grafik dan

mengarsir daerahnya

b. Mahasiswa mencari sembarang titik yang memenuhi persamaan

dengan cara mencoba – coba substitusi sembarang angka kemudian

menggambar grafik dan mengarsir daerah penyelesaiannya

Ada 2 kemungkinan jawaban mahasiswa dalam mengarsir daerah

penyelesaian grafik:


530

Jika mahasiswa menjawab seperti di atas, dosen memberikan topangan:

1) Apakah titik (-5, 26) juga merupakan titik penyelesaiannya?

2) Jika bukan mengapa?

3) Apa artinya jika daerah penyelesaiannya diarsir seperti itu? Apakah

semua titik yang yang ada pada daerah penyelesaian memenuhi

pertidaksamaan dan sesuai dengan konteks masalah yang

digunakan?

4) Berarti yang lebih baik diarsir daerah yang merupakan penyelesaian

atau daerah yang bukan penyelesaian?

5) Jika mahasiswa masih kebingungan dosen memberikan topangan

lain yaitu: Apa himpunan penyelesaian dari daerah penyelesaian

Anda? Apakah titik (½ , ½) merupakan salah satu titik yang

memenuhi daerah penyelesaian tersebut?


531

6) Coba kembali ke konteks masalah yang diberikan pada masalah 1.

Apa yang kamu misalkan dengan x dan y ?

7) Apakah banyaknya kue boleh setengah? Atau boleh sepertiga?

8) Jika tidak boleh maka apakah himpunan penyelesaian dari masalah

yang diberikan? Apakah semua titik pada daerah penyelesaian

tersebut memenuhi?

9) Kalau begitu bagaimana gambar daerah penyelesaian yang benar?


c. Kemungkinan ketiga adalah mahasiswa menentukan daerah

penyelesaian dengan memperhatikan tanda pertidaksamaannya.

misalkan tanda pertidaksamaan ≥ (lebih dari sama dengan) maka

daerah HP adalah daerah yang di sebelah kanan grafik dan jika tanda

pertidaksamaannya ≤ (kurang dari sama dengan) maka daerah HP

adalah daerah yang di sebelah kiri grafik. Jika hal ini terjadi maka

dosen memberikan pertanyaan topangan “bagaimana kalian bisa tahu

jika tandanya lebih dari daerah penyelesaiannya yang di bagian kanan

Daerah

Penyelesaian


532

grafik dan jika tandanya kurang dari daerah penyelesaiannya yang

bagian kiri grafik?

25. Dosen mengajak mahasiswa untuk membuat kesimpulan yaitu banyaknya

kue jenis 1 dan banyaknya kue jenis 2 yang dibuat ibu harus memenuhi

pertidaksamaan 𝑥 + 𝑦 ≥ 25 yang dapat dilihat dari himpunan titik yang ada

pada daerah penyelesaiannya. Jika dilihat dari daerah HP ada banyak

kemungkinan banyaknya kue jenis 1 dan banyaknya kue jenis 2 yang

dibuat oleh ibu.

26. Dosen mengajak mahasiswa untuk membuat suatu kesimpulan bahwa

dibutuhkan minimal 2 titik untuk menggambar suatu garis dan yang

termudah adalah dengan menentukan titik potong grafik terhadap sumbu x

dan sumbu y

27. Dosen bersama mahasiswa menyimpulkan bahwa untuk menentukan suatu

daerah merupakan daerah penyelesaian atau bukan, maka perlu di uji titik

yang ada di kanan dan di kiri grafik tersebut sesuai dengan konteks

masalah yang diberikan. Jika masalah yang diberikan dalam konteks

bilangan real maka daerah penyelesaiannya adalah himpunan semua titik

yang ada pada daerah penyelesaian tersebut sehingga membentuk suatru

daerah. Tetapi jika masalah yang diberikan dalam konteks bilangan bulat

maka daerah penyelesaiannya adalah berupa himpunan titik-titik yang ada

pada daerah penyelesaian dimana nilai x dan y adalah bilangan bulat.

28. Dosen membuat kesepakatan dengan mahasiswa bahwa daerah yang

diarsir adalah daerah yang bukan penyelesaiannya dan hati-hati saat


533

menggambar daerah penyelesaian dimana 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 karena artinya tidak


penyelesaiannya. Kalau kita mangarsir daerah penyelesaian maka nanti

kelihatan bahwa semua titik pada daerah tersebut merupakan titik

penyelesaiannya.

29. Dosen memberikan tes untuk mengecek kemampuan memodelkan

mahasiswa pada materi pembelajaran hari ini.

B. Pertemuan Kedua


1. Mahasiswa dapat memodelkan suatu masalah kontektual yang berkaitan

dengan program linear dua variabel

2. Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan

dengan program linear bilangan bulat dua variabel menggunakan garis

selidik.

Pada pertemuan kedua, dosen memberikan satu konteks masalah yang

dirincikan dalam dua aktivitas.

Langkah – langkah pembelajaran:

1. Dosen menyampaikan tujuan pembelajaran yang akan dicapai yaitu 1)

mahasiswa dapat memodelkan suatu masalah kontektual yang berkaitan

dengan program linear dua variabel dan 2) mahasiswa dapat menyelesaikan

masalah kontekstual yang berkaitan dengan program linear bilangan bulat

dua variabel menggunakan garis selidik.


534

2. Dosen memberikan apersepsi kepada mahasiswa berupa mengingatkan

kembali mengenai langkah-langkah membuat model matematika dari

masalah nyata dan cara menentukan daerah penyelesaian dari


3. Dosen membagi mahasiswa dalam kelompok dan membagi lembar kerja

aktivitas I pada setiap kelompok.

4. Mahasiswa diminta untuk menyelesaikan masalah yang diberikan secara


“Sebuah butik memiliki 21 m kain satin dan 12 m kain brokat dan 20 m kain

tenun. Dengan mengkombinasikan bahan yang ada akan dibuat dua jenis

baju pesta yaitu baju pesta jenis I dan baju pesta jenis II. Baju pesta jenis I

memerlukan 2 m kain satin, 1 m kain brokat, dan 1 m kain tenun. Baju pesta

jenis II memerlukan 3 m kain satin, 2 m kain brokat dan 4 m kain tenun.

Diketahui keuntungan yang diperoleh dari penjualan satu buah baju pesta

jenis I Rp 50.000 dan satu buah baju pesta jenis II Rp 85.000. Buatlah model

dari permasalahan tersebut jika butik tersebut ingin memaksimalkan

keuntungan yang diperoleh!”


a. Jika mahasiswa masih mengalami kesulitan dalam memodelkan

masalah tersebut, dosen meminta mahasiswa untuk mengingat kembali

langkah – langkah yang dilakukan dalam memodelkan suatu masalah

kontekstual.


535

b. Jika mahasiswa kesulitan dalam membuat pemisalan dengan benar.

Peneliti memberikan topangan:

Coba perhatikan kembali apa yang ditanya dalam soal? Keuntungan

maksimal diperoleh darimana? Kalau begitu apa yang seharusnya yang

kamu misalkan?

Peneliti mengingatkan mahasiswa untuk hati-hati dalam membuat

pemisalan.

c. Jika mahasiswa mengalami kesulitan dalam membuat model

matematikanya, peneliti memberikan topangan:

1) Apa saja yang diketahui dari soal?

2) Bisa tidak kalau dibuat ke dalam tabel berdasarkan yang diketahui?


Panjang

kain satin

yang

digunakan

(m)

Panjang

kain brokat

yang

digunakan

(m)

Panjang

kain tenun

yang

digunakan

(m)

Keuntungan

(per baju)

Banyak Baju

pesta Jenis I (x)

2 1 1 Rp 20.000

Banyak Baju

pesta jenis II (y)

3 2 4 Rp 50.000

Total kain 21 12 20

3) Jika mahasiswa sudah membuat tabelnya, peneliti memberikan

topangan:

Coba buat modelnya sesuai dengan informasi yang ada dari tabel

sesuai dengan variabel yang kamu misalkan. Ada berapa


536

pertidaksamaan yang dihasilkan? Untuk informasi keuntungannya

apakah bisa kamu buatkan ke dalam sebuah model?

4) Jika mahasiswa menggunakan tanda pertidaksamaan dengan tidak

tepat. Peneliti memberikan topangan:

Disini kan ada kalimat butik tersebut memiliki 21 m kain satin, 12

m kain brokat dan 20 m kain tenun. Na apa artinya? Coba lihat

untuk kain satin, kalau persediaan kain yang dimiliki hanya 21 m,

berarti boleh tidak butik tersebut pakai semua kainnya untuk

membuat baju? Kalau 20 m boleh tidak? Kalau 10 m boleh tidak?

Kalau 25 m boleh tidak? Kalau begitu apa tanda ketaksamaan yang

digunakan? Coba lakukan hal yang sama dengan model untuk kain

brokat dan kain tenun.

5) Jika mahasiswa mengalami kesulitan dalam membuat fungsi untuk

menghitung keuntungan maksimal. Peneliti memberikan topangan:

Na disitu kan ada informasi kalau keuntungan dari satu baju pesta

jenis I Rp 20.000 dan keuntungan satu baju pesta jenis II Rp

50.000, berati bisa tidak dibuat rumus untuk hitung keuntungan

maksimalnya?

Menggunakan tabel yang sudah dibuat, peneliti meminta

mahasiswa untuk membuat model dari informasi yang diperoleh

untuk tabel keuntungan.

5. Dosen meminta perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusinya

di depan kelas dan mahasiswa lain memberikan komentar/tanggapan


537

apabila memiliki hasil yang berbeda. Dosen memberikan penekanan pada

jawaban mahasiswa.

6. Dosen mengenalkan kepada mahasiswa tentang kendala dan fungsi objektif

pada permasalahan yang diberikan menggunakan hasil dari diskusi

mahasiswa dengan memberikan pertanyaan – pertanyaan berikut:

a. Apakah ada syarat yang menjadi batas dalam membuat baju pesta

tersebut? Sebutkan batasan tersebut!

Jawaban yang diharapkan: Ada. batasannya adalah butik memiliki 21

m kain satin dan 12 m kain brokat dan 20 m kain tenun. Untuk membuat

baju pesta jenis I memerlukan 2 m kain satin, 1 m kain brokat, dan 1 m

kain tenun dan untuk baju pesta jenis II memerlukan 3 m kain satin, 2

m kain brokat dan 4 m kain tenun.

Jika mahasiswa menjawab seperti ini, dosen menginformasikan bahwa

keadaan tersebut kita sebut dengan kendala. Kemudian dosen

memberikan pertanyaan apa yang dimaksudkan dengan kendala?

Jawaban yang diharapkan: kendala merupakan keadaan yang

membatasi.

Mahasiswa menjawab kendala merupakan keadaan yang membatasi

dalam masalah tersebut, dosen memberikan pertanyaan lanjutan yaitu

apa bentuk model matematika dari batasan tersebut?

b. Mahasiswa diberikan pertanyaan, bagaimana dengan syarat untuk

banyaknya baju pesta yang dibuat?


538

Jawaban yang diharapkan: karena menyatakan banyak maka tidak tidak

mungkin negatif.

Jika mahasiswa menjawab seperti ini, dosen menanyakan apa arti dari

kalimat tersebut?

Kemudian dosen menginformasikan bahwa hal tersebut juga

merupakan kendala dalam masalah tersebut.

c. Dosen memberikan pertanyaan lanjutan yaitu apa bentuk model

matematika dari Batasan-batasan tersebut?

Jawaban yang diharapkan: bentuk sistem pertidaksamaan linear dua

variabel karena terdiri lebih dari satu pertidaksamaan.

2𝑥 + 3𝑦 ≤ 21

𝑥 + 2𝑦 ≤ 12

𝑥 + 4𝑦 ≤ 20

𝑥 ≥ 0

𝑦 ≥ 0

𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍

Jika mahasiswa tidak menuliskan Zyx , pada jawabannya maka

dosen memberikan topangan:

1) Apakah banyak baju boleh dibeli ½ bagian? Atau boleh dibeli ¾

bagian?

Jawaban yang diharapkan: tidak boleh harus beli utuh

2) Apa artinya kalau harus beli utuh?

Jawaban yang diharapkan: x dan y merupakan bilangan bulat


539

3) Perlu atau tidak untuk menuliskan syarat tersebut pada model

matematika permasalahan di atas? Mengapa?

Jawaban yang diharapakan: Perlu. Karena berdasarkan masalah

yang diberikan banyaknya sepeda yang dibeli tidak mungkin

kalau tidak bulat.

Banyak baju yang dibeli tidak mungkin kalau tidak bulat.

Dosen mengenalkan kepada mahasiswa bahwa bentuk

pertidaksamaan yang dihasilkan dari kendala dinamakan dengan

kendala. Kendala terdiri kendala utama dan kendala nonnegatif.

Kendala utama:

2𝑥 + 3𝑦 ≤ 21

𝑥 + 2𝑦 ≤ 12

𝑥 + 4𝑦 ≤ 20

Kendala nonnegatif:

𝑥 ≥ 0

𝑦 ≥ 0

𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍

d. Apa yang ingin dicapai oleh butik tersebut?

Jawaban yang diharapkan: memperoleh keuntungan maksimal

Dosen menginformasikan bahwa hal yang ingin dicapai pedagang

tersebut merupakan tujuannya. Dosen menanyakan apa arti dari tujuan

pedagang tersebut? jawaban: pedagang tersebut ingin memaksimalkan

keuntungan yang diperoleh dengan melihat kendala dari masalah


540

tersebut. Darimana keuntungan maksimal itu diperoleh? Bagaimana

model untuk menghitung keuntungan tersebut?

Jawaban yang diharapkan: memaksimumkan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 50.000𝑥 +

85.000𝑦

e. Dosen mengenalkan kepada mahasiswa bahwa model yang dibuat

tersebut dinamakan dengan fungsi tujuan atau fungsi objektif.

7. Dosen mengajak mahasiswa untuk memberikan kesimpulan tentang definisi

dari kendala dan fungsi objektif dengan memberikan topangan:

Tadi kan kita punya kendala dari masalah yang diberikan. Dari kendala

tersebut kita peroleh model yang kita namakan kendala. Kalau begitu apa

artinya dengan kendala?

Jawaban yang diharapkan: kendala adalah sesuatu hal memjadi batas dari

maslaah yang diberikan.

Kalau begitu bagaimana dengan fungsi tujuan? Apa itu fungsi tujuan?

8. Dosen mengenalkan kepada mahasiswa bahwa masalah seperti yang

diberikan di atas merupakan masalah program linear dua variabel dan model

matematika yang dihasilkan adalah model program linearnya.

9. Dosen meminta mahasiswa untuk mendefinisikan model program linear dua

variabel.


Model program linear dua variabel merupakan model matematika yang

digunakan untuk menentukan nilai dari variabel yang belum diketahui yang


541

memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan dengan kendala –

kendala yang ada.

Secara umum, masalah program linear dapat dirumuskan sebagai

berikut (Susanta, 1994: 6):

Mencari 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 yang memaksimumkan (atau meminimumkan)

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + 𝑐3𝑥3+. . . +𝑐𝑛𝑥𝑛

dengan kendala:

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2+. . . +𝑐1𝑛𝑥𝑛 (≤, =, ≥) 𝑏1

𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2+. . . +𝑐2𝑛𝑥𝑛 (≤, =, ≥) 𝑏2

𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2+. . . +𝑐𝑚𝑛𝑥𝑛(≤, =, ≥) 𝑏3

𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0, . . . , 𝑥𝑛 ≥ 0

Keterangan:


nccc ,...,, 21 merupakan kontribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi

tujuan, disebut pula sebagai koefisien fungsi tujuan suatu model matematika

mnaaa ,...,, 1211 merupakan penggunaan setiap unit sumber daya dari setiap

variabel keputusan yang terbatas, disebut pula suatu koefisien kendala

model matematika.

10. Mahasiswa diminta untuk menuliskan model program linear dari

permasalahan yang diberikan sebelumnya.


Memaksimumkan yxyxf 000.85000.50),( +=

Dengan kendala:


542

Zyx

y

x

yx

yx

yx

+

+

+

,

0

0

204

122

2132

11. Aktivitas kedua. Mahasiswa diminta untuk menggambar daerah

penyelesaian sistem pertidaksamaan dari kendala yang diperoleh pada

aktivitas pertama dan dosen meminta mahasiswa dalam kelompok

menggambar grafik dari fungsi objektif pada satu bidang koordinat dengan

grafik kendala. Dosen meminta mahasiswa untuk menggambar minimal 2

grafik dari fungsi tujuan.


a. Mahasiswa menentukan daerah penyelesaian dengan menggambar

grafik dari kendala dalam satu diagram Cartesius, menentukan daerah

yang memenuhi masing – masing kendala pertidaksamaan tersebut,

kemudian mengarsir daerah yang bukan merupakan penyelesaiannya

dan menntukan daerah penyelesaiannya yaitu daerah yang memenuhi

semua kendala yang ada. Sehingga jawaban yang diberikan adalah:

Daerah

Penyelesaian


543

Jika mahasiswa menggambar seperti ini, maka topangan yang diberikan

adalah:

1) Coba kembali ke model program lienar yang diberikan. Apa syarat

nilai x dan y?

2) Jika syaratnya 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 apakah semua titik pada daerah penyelesaian

tersebut memenuhi?

3) Jika tidak, bagaimana syarat titik yang memenuhi?

4) Kalau begitu bagaimana gambar daerah penyelesaian yang benar?


b. Mahasiswa menggambar secara terpisah daerah penyelesaian dari

masing – masing pertidaksamaan dari kendala. Sehingga jawaban

yang diberikan sebagai berikut:

Daerah

Penyelesaian Daerah

Penyelesaian

Daerah

Penyelesaian


544

Jika mahasiswa memberikan jawaban seperti ini, dosen memberikan

topangan:

1) Apakah variabel yang dimisalkan untuk masing – masing

pertidaksaman mewakili objek yang berbeda?

2) Apakah keempat daerah penyelesaian tersebut mempunyai

hubungan?

3) Apa artinya jika keempat daerah penyelesaian tersebut mempunyai

hubungan? Jawaban yang diharapkan: mempunyai satu daerah

penyelesaian dimana titik – titik yang diambil harus memenuhi

keempat daerah penyelesaian tersebut.

4) Titik-titik yang bagaimana yang memenuhi daerah penyelesaian

tersebut? Apakah semua titik-titik yang ada dalam daerah

Daerah

Penyelesaian

Daerah

Penyelesaian Daerah

Penyelesaian


545

penyelesaian tersebut? Coba perhatikan kembali model program

linear yang diberikan untuk syarat nilai x dan y

5) Jika mahasiswa masih mengalami kesulitan, maka dosen bertanya

apakah bentuk dari kendala tersebut?

6) Jika berbentuk sistem pertidaksamaan, bagaimana daerah

penyelesaiannya? Apakah satu atau banyak?

7) Jika hanya satu maka bagaimana cara menggambar yang benar?

Apakah digambar secara terpisah atau di bidang koordinat yang

sama?

8) Coba diperhatikan dengan syarat kenggotaan dari x dan y. apakah

semua titik pada daerah tersebut merupakan titik penyelesaiannya?

Jika tidak, apa syarat untuk titik penyelesaiannya? Kalau begitu

daerah penyelesaianmu bagaimana? Kalau 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 maka daerah

penyelesaianya berbentuk apa?

Daerah penyelesaian dari kendala:

Daerah

Penyelesaian


546

c. Jika mahasiswa kesulitan dalam menggambar grafik fungsi tujuan maka

topangan yang diberikan adalah:

Coba perhatika fungsi tujuannya ini 𝑓(𝑥, 𝑦) = 50.000𝑥 + 85.000𝑦,

kalau nilai f nya belum diketahui apakah sudah bisa digambar?

Kira-kira bagaimana menentukana nilai f nya?

Dosen menginformasikan bahwa nilai f yang diambil adalah sembarang

kemudian di substitusi ke fungsi tujuannya.

Kalau nilai f nya sudah diketahui berarti fungsinya ini berupa apa?

Bagaimana cara menggambar grafik dari persamaan linear dua

variabel?

Dosen meminta mahasiswa untuk mencoba menggambar dengan nilai f

yang berbeda.

12. Dosen mengecek hasil pekerjaan mahasiswa kemudian bersama-sama

dengan mahasiswa di depan kelas untuk memastikan bahwa daerah

penyelesaian yang digambar mahasiswa sudah tepat, kemudian

pembelajaran dilanjutkan dengan membimbing mahasiswa untuk

menemukan konsep penyelesaian model program linear menggunakan

metode garis selidik.

13. Dosen bersama mahasiswa menyimpulkan bahwa untuk menentukan suatu

daerah merupakan daerah penyelesaian atau bukan dari sistem

pertidaksamaan, maka perlu di uji titik yang ada di kanan dan di kiri atau

atas dan bawah grafik tersebut yang memenuhi semua sistem

pertidaksamaan tersebut. Dosen mengingatkan kembali bahwa dalam


547

menggambar daerah penyelesaian harus memperhatikan konteks masalah

yang diberikan. Jika masalah yang diberikan dalam konteks bilangan real

maka himpunan penyelesaiannya adalah himpunan semua titik yang ada

pada daerah penyelesaian tersebut. Tetapi jika masalah yang diberikan

dalam konteks bilangan bulat maka himpunan penyelesaiannya adalah

himpunan titik-titik yang ada pada daerah penyelesaian dimana nilai x dan

y adalah bilangan bulat.

14. Setelah mahasiswa menggambar daerah penyelesaian dan grafik fungsi

tujuan (garis selidik), dosen mengarahkan mahasiswa pada penyelesaian

masalah menggunakan garis selidik dengan memberikan arahan dan

pertanyaan-pertanyaan yang akan dijawab secara bersama-sama oleh

mahasiswa. Dosen menampilkan gambar daerah penyelesaian dan gambar

dua garis selidik pada slide power point di depan kelas.

Berikut gambar garis selidik dengan mengambil nilai f=0 dan f=320.000

sehingga diperoleh persamaan garis selidiknya 50.000𝑥 + 85.000𝑦 = 0

dan 50.000𝑥 + 85.000𝑦 = 320.000.


548

Berikut pertanyaan yang diberikan secara garis besar:

i. Apa yang sama dari kedua grafik fungsi tujuan yang dibuat?

Jawaban yang diharapkan: kemiringannya sama yang artinya kedua

grafik tujuan tersebut memiliki gradien yang sama sehingga

menyebabkan garisnya sejajar

j. Jika grafik fungsi tujuan tersebut digeser, kemanakah arah pergeseran

grafik fungsi objektif tersebut? Apa akibat dari arah pergeseran tersebut

terhadap nilai f? (jika digeser ke kiri atau bawah apa akibat terhadap

nilai f, dan jika digeser ke kanan atau atas apa akibat terhadap nilai f?

Jawaban yang diharapkan: arah pergeserannya adalah ke kanan dan ke

kiri. Jika makin ke kanan garis tersebut di geser maka nilai f yang

diberikan semakin besar. Dan jika makin ke kiri garis tersebut digeser

makan nilai f yang diberikan makin kecil.

k. Kapan grafik fungsi tujuan tersebut berhenti bergeser?

Jawaban yang diharapkan: berhenti ketika garis fungsi tujuan tersebut

digeser sampai titik layak yang terakhir.

l. Kalau begitu titik maksimumnya yang mana untuk soal ini?

m. Mengapa itu disebut sebagai titik maksimum?

n. Apa kesimpulan Anda, kalau fungsi tujuannya memaksimumkan apa

yang kita lakukan dengan garis selidik? Dan kalau fungsi tujuan kita

meminimumkan apa yang kita lakukan dengan garis selidik?

o. Apakah garis selidik harus berhenti di salah satu titik pojok?


549

p. Jika titik (4,3), (6,3) dan (9,1) bukan merupakan titik penyelesaiannya

maka berapakah titik maksimumnya? Kenapa titik tersebut disimpulkan

sebagai titik maksimumnya?

15. Dosen menginformasikan kepada mahasiswa bahwa jika titik

penyelesaiannya adalah bilangan Real, pergeseran garis selidik pasti akan

berhenti di salah satu titik pojok. Namun jika titik penyelesaiannya bilangan

bulat maka belum tentu akan berhenti di titik pojok karena tidak selamanya

titik pojok merupakan titik penyelesaian.

16. Dosen mengajak mahasiswa untuk menyimpulkan keuntungan maksimum

yang diperoleh butik tersebut (konteks masalah aktivitas I) dengan

memberikan pertanyaan berapa keuntungan maksimum yang diperoleh

butik tersebut dari hasil penjualan baju pesta jenis I dan baju pesta jenis II?

Darimana kalian memperoleh keuntungan maksimum tersebut?

Kesimpulan: keuntungan maksimum yang diperoleh butik tersebut dari

hasil penjualan baju pesta jenis I dan baju pesta jenis II sebesar 555.000

yang diperoleh dengan cara mensubstitusikan titik maksimum ke fungsi

tujuannya.

17. Dosen mengenalkan kepada mahasiswa bahwa garis lurus yang dihasilkan

oleh persamaan fungsi objektif dinamakan dengan garis selidik. Kemudian

dosen mengajak mahasiswa untuk menyimpulkan bahwa garis selidik

merupakan grafik fungsi objektif yang digunakan untuk menentukan solusi

optimum (maksimum atau minimum) suatu masalah program linear.


550

a. Harus digunakan 2 garis yang senilai untuk menyelidiki dimana

fungsi objektif optimum. Diperlukan 2 garis senilai untuk

mengetahui arah kemiringan dan arah pergeseran garis, dan garis

tersebut digunakan untuk menentukan titik penyelesaian terakhir.

b. Untuk memaksimumkan fungsi objektif maka garis selidik digeser

sejajar ke arah kanan atau atas dengan kemiringan yang sama sampai

titik penyelesaian yang terakhir dan untuk meminimumkan fungsi

objektif maka garis selidik digeser ke arah kiri atau bawah dengan

kemiringan yang sama sampai titik penyelesaian yang terakhir. Titik

penyelesaian terakhir yang dilalui garis selidik merupakan titik

optimum. Nilai optimum dapat diperoleh dengan mensubstitusikan

titik optimum ke fungsi tujuan.

18. Dosen bersama – sama dengan mahasiswa menyimpulkan langkah–langkah

yang dilakukan untuk menyelesaikan masalah kontektual yang berkaitan

dengan program linear menggunakan garis selidik yaitu:

a. Menentukan fungsi tujuan (objektif) dan kendala – kendala berupa

model pertidaksamaan dari informasi soal dan syarat variabel

keputusan anggota bilangan bulat (model program linear)

b. Sketsa daerah layak yang menjadi solusi dari sistem pertidaksamaan

tersebut (kendala) dan menentukan titik layak syarat variabel keputusan

anggota bilangan bulat pada bidang koordinat

c. Menentukan garis selidik ax + by = k apabila fungsi objektifnya f(x, y)

= ax + by, a, b, dan k bilangan real. Garis selidik – garis selidik yang


551

dibentuk merupakan himpunan garis yang memiliki gradien yang sama

yaitu b

a− . Garis selidik yang digambar minimal dua garis agar dapat

melihat kemiringan dan arah pergeseran dari garis tersebut. Lebih

banyak garis selidik yang dibentuk lebih baik karena dapat

mempermudah untuk menentukan titik dan nilai optimum.

d. Untuk menentukan nilai maksimum fungsi objektif maka carilah garis

selidik dengan k terbesar dan melalui semua titik layak sedangkan untuk

menentukan nilai minimum fungsi objektif maka carilah garis selidik

dengan nilai k terkecil dan melalui semua titik layak. Titik layak yang

menyebabkan nilai optimum fungsi objektif merupakan titik

optimumnya.

19. Dosen menginformasikan kepada mahasiswa bahwa akan diberikan satu

konteks masalah program linear untuk diselesaikan mahasiswa secara

mandiri dan akan di presentasikan pada pertemuan selanjutnya sebelum

dilakukan tes tertulis II.

C. Pertemuan Ketiga


Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan

program linear bilangan bulat dua variabel menggunakan garis selidik.

Pada pertemuan ketiga, dosen memberikan satu konteks masalah yang

dieksplor mahasiswa. Konteks masalah yang dieksplor sudah diberikan oleh


552

dosen sehari sebelum pembelajaran pertemuan ketiga yang di selesaikan secara

mandiri.


Suatu pabrik farmasi menghasilkan dua jenis kapsul obat flu yang diberi nama

Fluin dan Fluon. Tiap – tiap kapsul memuat tiga unsur (ingredient) utama

dengan kadar kandungannya masing masing. Obat flu Fluin mengandung 2

grain aspirin, 5 grain bikorbonat, dan 1 grain kodein. Sedangkan obat flu Fluon

mengandung 1 grain aspirin, 8 grain bikorbonat, dan 6 grain kodein. Menurut

dokter, seseorang yang sakit flu akan sembuh jika dalam tiga hari (secara rata

– rata) minimal menelan 12 grain aspirin, 80 grain bikarbonat, dan 24 grain

kodein. Harga Fluin Rp 2.500/kapsul dan harga Fluon Rp 3.000/kapsul. Berapa

kapsul Fluin dan berapa kapsul Fluon yang harus dibeli supaya cukup untuk

menyembuhkan dengan biaya pembelian total semurah – murahnya?

Langkah Pembelajaran:

1. Dosen memberikan apersepsi dengan memberikan pertanyaan mengenai

langkah-langkah menyelesaikan masalah program linear menggunakan

garis selidik

2. Dosen meminta mahasiswa untuk berdiskusi dengan mahasiswa lain yang

berada di samping kiri atau kanan untuk saling mengoreksi pekerjaan

temannya. Masalah sudah diberikan pada hari sebelumnya. Masalah yang

diberikan:




553



Sedangkan obat flu Fluon mengandung 1 grain aspirin, 8 grain bikorbonat,

dan 6 grain kodein. Menurut dokter, seseorang yang sakit flu akan sembuh

jika dalam tiga hari (secara rata – rata) minimal menelan 12 grain aspirin,

80 grain bikarbonat, dan 24 grain kodein. Harga Fluin Rp 2.500/kapsul dan

harga Fluon Rp 3.000/kapsul. Berapa kapsul Fluin dan berapa kapsul

Fluon yang harus dibeli supaya cukup untuk menyembuhkan dengan biaya

pembelian total semurah – murahnya?

3. Dosen meminta salah satu mahasiswa untuk mempresentasikan hasil

pekerjaannya di depan kelas dan mahasiswa lain diminta untuk

memberikan komentar jika penjelasan yang disampaika oleh temannya

kurang tepat.

4. Dosen memberikan penegasan kepada mahasiswa tentang penyelesaian

masalah program linear menggunakan garis selidik dengan memberikan

pertanyaan-pertanyaan yaitu sebagai berikut:

a. Kenapa yang kalian misalkan itu dengan banyaknya kapsul?

b. Kenapa ada syarat 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍?

c. Kenapa tanda ketaksamaan ≥ yang kalian gunakan untuk model

kendalanya?

d. Kenapa garis selidik tersebut harus digeser ke kiri atau ke bawah?

e. Butuh minimal berapa garis selidik dan mengapa?

f. Kenapa titik (2,9) disimpulkan sebagai titik minimum?


554

5. Dosen mengajak mahasiswa untuk menyimpulkan kembali langkah-

langkah dalam menyelesaikan masalah program linear menggunakan garis

selidik.

6. Dosen mengingatkan kepada mahasiswa untuk hati-hati dalam membuat

pemisalan. Agar tidak keliru mulailah dengan melihat apa yang

ditanyakAndari soal dan membuat tabel dari informasi yang ada pada

masalah yang diberikan. Tabel yang dibuat dapat membantu mahasiswa

untuk membuat kendala dan fungsi objektifnya. Dosen mengingatkan

mahasiswa untuk memperhatikan dengan baik titik penyelesaian yang

menjadi pilihan titik optimum.

7. Dosen memberikan tes tertulis II kepada mahasiswa.


555

HASIL TES MAHASISWA

A. KELAS UJI COBA

TES I

1. Jawaban mahasiswa 1


556



557



558

TES II

Masalah 1:



559




560

Masalah 2:



561



562

B. KELAS PENELITIAN

TES I



563



564

TES II

Masalah 1:



565



566



567

Masalah 2:



568



569



Documents

TESIS ANALISIS KEMAMPUAN MEMODELKAN MAHASISWA …repository.usd.ac.id/37202/2/181442005_full.pdf · tesis analisis kemampuan memodelkan mahasiswa pendidikan matematika semester iv