TESIS PROPUESTA GEOMETRÍA

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDFACULTAD DE EDUCACIN Departamento de Didctica y Organizacin Escolar

ESTUDIO DE UNA ESTRATEGIA DIDCTICA BASADA EN LAS NUEVAS TECNOLOGAS PARA LA ENSEANZA DE LA GEOMETRA

MEMORIA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTOR PRESENTADA POR

Jos Mara Sordo Juanena

Bajo la direccin del doctor Antonio Bautista Garca-Vera

Madrid, 2005

ISBN: 84-669-2741-7

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDFACULTAD DE EDUCACIN CENTRO DE FORMACIN DEL PROFESORADO DEPARTAMENTO DE DIDCTICA Y ORGANIZACIN ESCOLAR

TESIS DOCTORAL

Estudio de una estrategia didctica basada en las nuevas tecnologas para la enseanza de la geometra dinmica

LDO. D. JOS MARA SORDO JUANENA

DIRECTOR ANTONIO BAUTISTA GARCA VERA MADRID, 2005

La Geometra empez siendo casi un juego y ha resultado, andando el tiempo, el edificio racional ms hermoso y perfecto que ha construido el pensamiento humano

(Elementos y complementos de geometra de J. Rey Pastor y P. Puig Adam. Madrid, 1933)

ndice

INDICE

Introduccin

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Captulo I: Fundamentacin TericaI.1. La enseanza de las matemticas. I.1.1. I.1.2. I.1.3. I.1.4. La necesidad de ensear matemticas. Necesidad de cambios en la enseanza de las matemticas. 15 16 19

Dificultades en la enseanza - aprendizaje de las matemticas. 21 La resolucin de problemas en la enseanza aprendizaje de las matemticas. 24

I.2. Las Tecnologas de la Informacin y la Comunicacin (TIC) y la enseanza de las matemticas. I.2.1. I.2.2. I.2.3. La influencia de las TIC en la enseanza de las matemticas. Caractersticas del medio computacional. Riesgos por la introduccin del ordenador en la enseanza de las matemticas. I.2.4. El sistema de geometra dinmica Geometers Sketchpad. 35 38 42 28 29 32

I.3. La enseanza de la geometra. I.3.1. Dificultades en la enseanza aprendizaje de la geometra: posibles causas de la situacin actual. I.3.2. Algunas consideraciones didcticas a tener en cuenta para cambiar la situacin actual. I.3.3. La importancia de una geometra dinmica frente a la geometra esttica.

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I.3.4.

Influencia en el conocimiento geomtrico por el uso de sistemas de geometra dinmica. 50

I.3.5.

La evaluacin del conocimiento geomtrico con los sistemas de geometra dinmica. 52

Captulo II: Una estrategia didctica para la enseanza de la geometraII.1 Necesidad de una nueva estrategia didctica para la enseanza de la Geometra. II.1.1. Las aportaciones de la teora Adaptive Control of Thought (ACT) de Anderson en nuestra estrategia didctica. II.1.2. Una nueva organizacin matemtica de la geometra. II.1.3. La resolucin de problemas como base de la actividad. Matemtica. II.1.4. El Geometers Sketchpad, Internet y los sistemas de aprendizaje cooperativos. II.2. Tareas de enseanza: la base de nuestra estrategia didctica. II.2.1. Las tareas de enseanza para la resolucin de problemas. II.2.2. Las tareas de enseanza para la geometra mtrica. II.2.3. Las tareas de enseanza de los sistemas de representacin y ms concretamente con Geometers Sketchpad. II.3. Nuestra estrategia didctica. II.4. Planteamiento didctico de la experiencia. II.4.1. Planteamiento general de la experiencia. 92 94 105 105 74 81 83 90 68 61 66 53

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ndice

II.4.2. Programacin didctica de la experiencia. II.4.2.1. Presentacin del problema 1. II.4.2.2. Presentacin del problema 2. II.4.2.3. Presentacin del problema 3. II.4.2.4. Presentacin del problema 4. II.4.2.5. Presentacin del problema 5. II.4.2.6. La red necesaria para los cinco problemas. II.5. Metodologa tradicional de la geometra mtrica.

111 112 117 122 127 129 134 165

Captulo III: Diseo de la investigacin educativaIII.1. III.2. III.3. Introduccin. Finalidad y cuestiones de la investigacin. Modelo de investigacin que utilizaremos. III.3.1. III.4. Modelo de investigacin. 168 169 173 173 178 178

Participantes e el estudio, escenario y contexto de la investigacin. III.4.1. III.4.2. Escenario de la investigacin. Participantes y contexto educativo de la investigacin.

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III.5. III.6.

Experiencia del investigador y sus roles en la investigacin. Herramientas y estrategias de recogida de datos.

Captulo IV: Recogida de datosIV.1. IV.2. IV.3. Descripcin de los datos obtenidos en la encuesta inicial. Descripcin de los datos obtenidos del diario de campo. Descripcin de los datos obtenidos de los problemas entregados. 189 197 200

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IV.4. IV.5.

Descripcin de los datos obtenidos en la encuesta final. Descripcin de los datos obtenidos en el examen final.

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Captulo V: Anlisis de los datosV.1. V.2. V.3. Descripcin general del proceso de anlisis que hemos realizado. Anlisis transversal de la investigacin. Anlisis comparativo de los casos para cada una de las cuestiones de la investigacin. V.4. Triangulacin de datos. 240 375 237 239

Captulo VI: Conclusiones de la investigacinVI.1. VI.2. Conclusiones de la investigacin. Preguntas abiertas para futuras investigaciones. 406 412

Bibliografa ANEXO

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Introduccin

Introduccin

A lo largo de la historia las matemticas han ocupado un lugar importante en el desarrollo de la capacidad de abstraccin y en la generacin de modelos de pensamiento. Las matemticas son una disciplina bsica en el currculo de cualquier etapa educativa. Por su carcter entraa serias dificultades tanto en su enseanza como en su aprendizaje, podemos afirmar que la enseanza de las matemticas se convierte en un proceso sumamente complicado y por esto ha ido, a lo largo de la historia, modificando sus propios contenidos, su metodologa e incorporando recursos didcticos propios. A tenor de esto podemos decir que se ha desarrollado un rea de conocimiento propio de las matemticas: Didctica de las Matemticas.

Con la aparicin de las Nuevas Tecnologas (NT) en el mbito educativo se han provocado numerosos cambios propiciados por las experiencias educativas y las investigaciones que se han realizado. Para que estas experiencias e investigaciones sean fructferas pensamos que debemos superar la separacin constante que se suele hacer de los mundos tecnolgico, educativo y matemtico ya que impide su incorporacin eficaz al sistema educativo. Es por esto que creemos que debemos fijar nuestra atencin en el estudio de las interrelaciones complejas entre los aspectos tecnolgico, educativo y matemtico.

En las recomendaciones del MEC y ms concretamente en los documentos del Diseo Curricular Base de Educacin Primaria y Secundaria Obligatoria se dan directrices genricas sobre el uso de NT en la enseanza de las matemticas: el uso de los nuevos medios tecnolgicos ha de tener repercusin en la manera de ensear las matemticas y en la seleccin de contenidos.

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Introduccin

Debemos decir que no especifica de forma precisa cul debe ser su uso, en qu parcelas concretas de las matemticas puede ser til y para qu.

En el caso de los ordenadores podemos destacar tres caractersticas interesantes desde el punto de vista didctico:

Permite gestionar y representar la informacin, permitiendo que el alumno dedique su atencin al sentido de los datos y al anlisis de los resultados.

Permite ejecutar rdenes de muy distinto tipo (dibujos, clculos, decisiones, etc.) con gran rapidez.

Permite interactuar con el usuario, que puede intervenir en determinados momentos proporcionando datos o tareas nuevas en funcin de los resultados que se vayan obteniendo, lo que le convierte en un poderoso instrumento de exploracin e indagacin.

Se delega en el profesor la tarea de concretar el uso de las NT: el profesor debe valorar para decidir utilizarlo (el ordenador) como recurso. Con esto nos encontramos que la llamada revolucin se queda tan solo en un recurso ms. Por otro lado, no est claro que la mayora de los profesores estn a favor o en contra del uso de las NT. Podemos decir que lo que hay son opiniones extremas y bastante radicales.

Pensamos que la enseanza de las matemticas no debe mantenerse al margen de las NT y debemos intentar aprovechar las posibilidades que nos ofrecen.

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Introduccin

Nosotros con esta tesis pretendemos estudiar cualitativamente el comportamiento de una estrategia didctica que incorpora el uso de un programa de geometra dinmica Geometers Sketchpad en la enseanza aprendizaje de una de las reas de conocimiento de las matemticas: la geometra mtrica.

En el Captulo I, presentamos el marco terico de nuestra investigacin, analizamos factores en la enseanza de las matemticas tales como la estructura conceptual de las matemticas, las dificultades de su enseanza - aprendizaje, la necesidad de cambios en su enseanza, el currculo de matemticas y la resolucin de problemas. Hemos querido resaltar la importancia y el estado actual de las Tecnologas de la Informacin y la Comunicacin en los procesos de enseanza aprendizaje de las matemticas. Para esto hemos analizado su influencia, sus caractersticas y sus peligros. Tambin justificamos la eleccin del programa Geometers Sketchpad para hacer geometra dinmica. No podemos dejar de tratar en el marco terico lo relativo a la enseanza de la geometra. Sus dificultades en la enseanza aprendizaje y cules son sus posibles causas. Asimismo hacemos algunas consideraciones didcticas para paliar en alguna medida estas dificultades. Hacemos una defensa de la geometra dinmica frente a la geometra esttica y su influencia en el conocimiento. Finalmente no podemos dejar de hablar sobre la evaluacin con los sistemas de geometra dinmica.

En el Captulo II tratamos al principio de la necesidad de una nueva estrategia didctica para la enseanza de la geometra y para sto tomamos como referente una teora de la construccin del conocimiento apropiada para nuestros intereses. Nos referimos a la Adaptive Control of Thought (ACT). No debemos olvidar que para un tratamiento

computacional de las matemticas no nos sirven los modelos secuenciales y debemos

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Introduccin

basarnos en modelos computacionales, en redes con un orden enmaraado. Esto rompe con la tradicional forma de trabajo de los cinco grupo de axiomas: axiomas de existencia y unicidad, axiomas de orden y particin, axioma de paralelismo, axiomas de congruencia o igualdad y axiomas de medicin. Tambin hablamos de los otros puntos importantes para el diseo y desarrollo de nuestra estrategia como son la resolucin de problemas como base de la actividad matemtica y del Geometers Sketchpad junto con Internet y los sistemas de aprendizaje cooperativos. Nosotros basamos nuestra estrategia en las tareas de enseanza.

En el Captulo III diseamos nuestra investigacin describiendo la finalidad y las cuestiones de investigacin. Lo hemos realizado una experiencia piloto basada en un estudio cualitativo cuantitativo que se circunscribe en torno a un modelo de estudio de casos etnogrfico Goetz-LeCompte (1988). La investigacin se desarroll sobre un grupo de 40 alumnos de tercer curso de Maestro de Educacin Primaria de la Facultad de Educacin de la Universidad Complutense de Madrid. Estos 40 alumnos los desdoblamos en dos grupos de 20 cada uno. En uno se aplic nuestra estrategia didctica con la utilizacin de Geometers Sketchpad y en el otro usamos una metodologa tradicional. En distintos apartados hacemos una descripcin detallada de las caractersticas y los roles del investigador as como de las herramientas y estrategias de recogida de datos.

En el Captulo IV describimos los datos obtenidos en la encuesta inicial, en el diario de campo, en los problemas entregados y en la encuesta y examen final. Hemos desarrollado un proceso de triangulacin de datos a partir de las conclusiones finales. Con este proceso de triangulacin hemos obtenido unas conclusiones finales para cada una de las cuestiones objeto de estudio.

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Introduccin

Partiendo de estas conclusiones obtenidas del proceso de triangulacin, en el Captulo VI hemos elaborado las conclusiones finales de nuestro estudio ponindose de manifiesto que el programa Geometers Sketchpad es un sistema de representacin intermedio para el estudio de la geometra mtrica. Favorece la interactividad, potencia el protagonismo de los alumnos y permite realizar menos esfuerzos sobre tareas rutinarias. Todas estas circunstancias han favorecido unas situaciones de enseanza que se caracterizan por:

Ser un aprendizaje por descubrimiento y activo. Ser un aprendizaje colaborativo. Ser un aprendizaje que permite una adecuada atencin a la diversidad. Proporcionar la posibilidad de utilizar varias estrategias en la resolucin de problemas.

Por ltimo, quisiera expresar mi agradecimiento a las siguientes personas que me han ayudado de diferentes maneras durante mi investigacin:

Al profesor y Director de esta tesis Antonio Bautista Garca Vera que con una paciencia infinita siempre ha estado dispuesto para solucionar todas las dudas y leer las diferentes versiones de este trabajo. Sin su apoyo y direccin esta investigacin no hubiera sido posible.

A la profesora Mara Luisa Garca Bermejo, amiga incondicional, por su generosidad y admirable paciencia en la correccin del texto.

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Introduccin

A la profesora Rosario Morata Sebastin que me ayudo a centrar el tema de investigacin.

A los alumnos que han hecho posible esta investigacin. Con su extraordinario comportamiento han sabido empezar y terminar la experiencia.

A mis padres a los que debo mi existencia.

A Esther, Jos Mara, Gonzalo y Carlos que me soportan desde hace muchos aos.

Madrid 1 de Junio de 2005

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Captulo I: Fundamentacin terica

Captulo I:

Fundamentacin terica

I.1. La enseanza de las matemticas

Los movimientos actuales que investigan en el campo de la Didctica de las Matemticas, se centran directamente en los procesos del pensamiento matemtico y en las maneras en que las personas llegan a comprender las estructuras de las matemticas. Dichos movimientos estn mejorando los procesos de enseanza aprendizaje de las matemticas. Durante muchas dcadas, los matemticos y los educadores que se dedicaban a mejorar el poder intelectual de la enseanza de las Matemticas fueron incapaces de encontrar algo interesante en la labor de los psiclogos. Esto no es de extraar, dado que los psiclogos normalmente lo nico que intentaban era conseguir que los contenidos matemticos encajasen en las leyes generales de los procesos de aprendizaje ms bien que intentar comprender los procesos particulares del pensamiento matemtico. De esta necesidad aparece un rea de conocimiento para la enseanza de las Matemticas que basa su trabajo de investigacin tanto en la estructura del contenido como en los principios de la cognicin del aprendizaje, me refiero a la Didctica de las Matemticas.

Hasta ahora se ha entendido que la enseanza de las Matemticas era solo un arte, una capacidad que tenan algunos profesionales de la enseanza. Lo que nos ofrece la

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La necesidad de ensear Matemticas

Didctica de las Matemticas es una teora que da sentido al hecho de que ensear es una profesin, donde el enseante adquiere algo ms que los contenidos disciplinares.

La Didctica de las Matemticas ha experimentado una evolucin muy rpida en los ltimos aos y se est consolidando como disciplina cientfica. Nosotros no vamos a entrar en hablar sobre la Didctica de las Matemticas, lo que s vamos a hacer es resaltar aquellos principios que hacen necesaria la enseanza de las Matemticas.

I.1.1 La necesidad de ensear matemticas

La enseanza de las Matemticas ha estado muy determinada no solo por la estructura interna del conocimiento matemtico, sino por objetivos de desarrollo cognitivo general. Las Matemticas contribuyen al desarrollo de capacidades cognitivas abstractas y formales, de razonamiento, abstraccin, deduccin, reflexin y anlisis.

Las matemticas han de contribuir a la obtencin de objetivos generales siempre vinculados al desarrollo de las capacidades cognitivas. Tambin tenemos que resaltar la importancia que tienen las Matemticas como conjunto de procedimientos para resolver problemas en muy diferentes campos, para poner de relieve aspectos y relaciones de la realidad no directamente observables y predecir hechos, situaciones o resultados antes de que se produzcan. Estos dos aspectos de las Matemticas, el funcional y el formativo, son complementarios y no se pueden separar.

En la sociedad actual es imprescindible manejar objetos matemticos y relacionarlos con situaciones de la vida corriente. Segn progresa el desarrollo cognitivo del alumno ste

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requiere unas matemticas ms complejas. De acuerdo con la naturaleza de las matemticas, en cuanto a lenguaje formal, debe tener caractersticas propias y la capacidad de elaborar y comunicar los conocimientos. A lo largo de la educacin, las Matemticas deben desempear un papel formativo bsico de capacidades intelectuales, un papel aplicado y un papel instrumental.

De las consideraciones que hemos expuesto sobre el modo de construccin del conocimiento matemtico, as como las funciones educativas de esta rea se siguen los principios de seleccin y organizacin de sus contenidos:

Las matemticas deben ser presentadas a los alumnos como un conjunto de conocimientos y procedimientos que han evolucionado a lo largo del tiempo y que con seguridad deben seguir evolucionando. Debemos dejar claro su aspecto inductivo y constructivo de los conocimientos matemticos. En el aprendizaje de los alumnos se debe reforzar el uso del razonamiento emprico inductivo junto con el uso del razonamiento deductivo y de la abstraccin.

Es imprescindible relacionar los contenidos matemticos con la experiencia de los alumnos y presentarlos en un contexto de resolucin de problemas. Gracias a la posibilidad de abstraccin, simbolizacin y formalizacin que tienen las matemticas se debe hacer ver a los alumnos que son un conocimiento que sirve para tratar una informacin que de otro modo resultara imposible.

La enseanza de las matemticas ha de responder a sus objetivos educativos:

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Al establecimiento de destrezas cognitivas de carcter general, con la posibilidad de ser utilizadas en un amplio campo de casos particulares. A su carcter como un til, de modo que los alumnos apliquen sus conocimientos en situaciones de la vida cotidiana. A su valor instrumental, sin duda cambiante segn avanzan los tramos de la educacin.

El desarrollo de la capacidad cognitiva de los alumnos lleva consigo el avance en el proceso de construccin del conocimiento matemtico, alcanzando niveles intermedios de abstraccin, simbolizacin y formalizacin.

Hay que reconocer que los contenidos ms complejos, formales y deductivos muchas veces estn fuera del alcance de la comprensin de muchos alumnos. Debemos mantener la prioridad del trabajo prctico e intuitivo, de potenciar el clculo mental y la capacidad de estimacin de resultados y magnitudes. Tambin debemos utilizar actividades de grupo que favorezcan la discusin, la confrontacin y la reflexin sobre las experiencias matemticas.

Debemos prestar mucha importancia al desarrollo de estrategias personales de resolucin de problemas antes de darles a conocer las estrategias expertas. Tambin tenemos que decir que es muy importante que los alumnos conozcan distintas representaciones de un mismo objeto, cuantas ms conozcan mejor ser la comprensin de ese objeto matemtico.

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De acuerdo con todo esto, en los contenidos bsicos del currculo hay que otorgar un lugar prioritario a los procedimientos o modos de saber hacer:

Desarrollo de habilidades para la comprensin y posterior uso de diferentes lenguajes matemticos.

Obtencin de rutinas y algoritmos con propsitos concretos. Desarrollo de estrategias heursticas. Desarrollo de las competencias en la toma de decisin de qu usar para la resolucin de un problema.

I.1.2 Necesidad de cambios en la enseanza de las matemticas

La evolucin normal de la sociedad obliga a una reflexin permanente acerca del papel de las matemticas y acerca de los contenidos que han de transmitirse.

Debemos tener en cuenta dos recomendaciones dadas por la Internacional Commission on Mathematical Instruction (ICMI) acerca de los contenidos que han de transmitirse:

El conocimiento matemtico bsico debe estar ms generalizado y a la vez ms extendido en unos determinados temas, sin que nos asuste su aparente simplicidad.

Los desarrollos ms especializados correspondern a subgrupos especficos de alumnos y lo sern en virtud de opciones que se justifiquen por razones varias y no slo por su utilidad.

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Vamos a describir, a nuestro parecer, algunos aspectos que pueden modificar la enseanza de las matemticas:

Aunque ya se ha cambiado bastante, nosotros pensamos que todava se debe seguir cambiando ya que, en muchos tramos de la educacin, se insiste en la adquisicin y en la memorizacin de hechos, datos y resultados matemticos. Si pensamos en la prctica de las matemticas se ponen de relieve como rasgos caracterstico de la construccin matemtica los procesos de descubrimiento e invencin.

Es muy difcil que se modifique un programa oficial de matemticas y nos podemos encontrar con que los alumnos pueden encontrarse estudiando objetos independientemente de su utilidad real. Debemos poner de relieve que el pensamiento rutinario tiene poca importancia en matemticas.

En el estudio de las matemticas no se ha estimulado suficiente el trabajo por extraer consecuencias de resultados ya conocidos. Casi siempre se sigue el esquema: principios definiciones propiedades teoremas, poniendo un nfasis excesivo en conocer todos y cada uno de los pasos que permiten obtener una conclusin.

Hoy en da seguimos encontrndonos con clases de matemticas donde los alumnos estn dentro de un crculo cerrado libro lpiz cuaderno del alumno (individualizado). Se deja fuera la discusin de ideas, la elaboracin y revisin de conjetura, la comunicacin de pensamientos entre los alumnos y entre stos y el profesor. Hay que dejar claro que el trabajo del matemtico an teniendo un fuerte

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carcter individual, es un trabajo compartido. Cada vez se hace ms necesario el trabajo en equipo con el fin de hacer avances en la investigacin.

Se debe cambiar la formacin de los profesores de matemticas. Es necesario el conocimiento de la psicologa del conocimiento en matemticas. Los avances en este campo proporcionan una mejor informacin de cmo los alumnos adquieren conocimientos y desarrollan sus pensamientos.

Se sigue esperando de las matemticas, y por tanto de sus profesores, que estn encargados de juzgar competencias generales y clasificar a los alumnos en inteligentes y torpes. Sigue habiendo una presin social hacia el trabajo de los profesores de matemticas. Es necesario seguir rechazando con ms fuerza el papel de las matemticas como una disciplina discriminadora y selectora intelectual de los alumnos. Muchos profesores han descubierto que dependiendo de su actitud educadora todos sus alumnos, en mayor o menor medida, pueden hacer matemticas y disfrutar con ellas.

I.1.3 Dificultades en la enseanza aprendizaje de las matemticas Aparte de lo que hemos dicho anteriormente, nos parece necesario hacer un anlisis sobre las dificultades de origen externo:

La actitud con la que cualquier persona se enfrenta a un problema de matemticas puede ser la causa de una dificultad para la resolucin de dicho problema. Actitudes como el miedo al fracaso, a la equivocacin, el miedo al ridculo, el deseo de terminar pronto la actividad, la ansiedad, la apata, son algunas de las actitudes 21


que pueden provocar una dificultad aadida al quehacer matemtico Guzmn (1991). Nos hace pensar que debemos apostar por una metodologa que favorezca una actitud positiva hacia las matemticas, consiguiendo disfrutar, adquiriendo seguridad en la aplicacin de los conocimientos y reconociendo su utilidad. El informe Cockroft (1985), segn el cual el elevado rechazo que experimentan los alumnos ante las matemticas es el origen de las dificultades de su comprensin. No podemos olvidar la importancia que tiene la confianza en s mismo y la autoestima segn indica sobre el rendimiento en matemticas dicho informa. Como ya hemos dicho anteriormente, la sociedad asigna a las matemticas una dificultad y complejidad que crea una barrera adicional que posiblemente incremente las dificultades propias de esta disciplina. Si a las propias dificultades que ya tienen las matemticas de por s aadimos una actitud temerosa lo nico que se puede conseguir es un mayor rechazo hacia las matemticas. Por tanto una actitud positiva y abierta hacia las matemticas es una postura que genera enormes beneficios a la hora de hacer matemticas.

Por otro lado, el lenguaje natural nos permite transmitir sentimientos, estados de nimo, etc. Esta ambigedad del lenguaje natural se convierte en un sistema claramente inapropiado para las matemticas, ya que stas requieren plantear y describir situaciones claras, unvocas, que signifiquen siempre lo mismo cualquiera que sea el contexto en el que deban expresarse. Entre el lenguaje natural y el lenguaje matemtico formalizado, existe un lenguaje intermedio que se utiliza para explicar y mostrar la actividad propia de las matemticas. Sin embargo hay dificultades ya que al haber un cierto solapamiento entre ambos existen palabras en comn que tienen distintos significados. Por todo esto aparecen ciertas

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dificultades en la comprensin del lenguaje matemtico, precisamente por esa diversidad de matices admisibles en el lenguaje natural al cual estamos tan acostumbrados, que no son aceptables en el lenguaje matemtico, sometido necesariamente a una precisin semntica y una construccin sintctica ms rigurosa Guzmn (1991).

Segn Guzmn (1991), al igual que nuestra percepcin sensorial est influida por ciertos parmetros que nos incitan a percibir unas sensaciones antes que otras, en nuestra percepcin mental existen ciertos surcos que nos encaminan a razonar de una forma y no de otra. Son predisposiciones mentales y cognitivas. Por todo esto, es normal que la intuicin nos encamine a razonar de forma automtica siguiendo ciertos moldes que en muchas ocasiones nos conducen a error, provocando un conflicto entre la intuicin del alumno y la lgica del razonamiento matemtico.

Por ltimo queremos resaltar otro factor externo, no menos importante que los anteriores a tener en cuenta con las dificultades de la enseanza de las matemticas. Es evidente que los diferentes desarrollos cognitivos de los alumnos van a condicionar la enseanza de las matemticas. Muchas veces se pretende ensear contenidos matemticos abstractos a alumnos que no han consolidado el pensamiento formal. Las metodologas a utilizar deben contemplar la atencin a la diversidad y la adecuacin de los contenidos con los niveles de desarrollo cognitivo, ya que si no se irn generando lagunas conceptuales desde las primeras etapas del aprendizaje.

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Estas dificultades externas plantean la necesidad de disear situaciones didcticas que tengan en cuenta todas estas problemticas que hemos visto.

I.1.4 La resolucin de problemas en la enseanzaaprendizaje de las matemticas

La actividad por excelencia de un matemtico es resolver problemas. Ya en tiempos de los griego haba un inters por las formas de abordar y resolver una situacin problema. Es Polya (1945) en primer lugar, cuando hace un gran trabajo sobre la heurstica en la resolucin de problemas, y ms tarde la National Council of Supervisors of Mathematics (NCSM) en 1980 quienes plantean que la resolucin de problemas sea el principal objetivo de la enseanza de las matemticas.

Debido a que se da hoy da ms importancia a los procesos que a los conceptos la resolucin de problemas toma gran importancia. Los mtodos del pensamiento son ms importantes para nuestro conocimiento matemtico que los meros conceptos que generan un conocimiento concreto y esttico. Segn Guzmn (1991) el saber matemtico es mucho ms un saber de mtodo que de contenido.

Segn Polya el plan para resolver problemas debe ser: Comprender el enunciado. Concebir un plan. Ejecutar un plan. Examinar la solucin obtenida.

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Para Guzmn el esquema debe ser: Familiarizarse con el problema. Bsquedas de estrategias. Llevar adelante la estrategia. Revisar el problema y sacar consecuencias.

incluyendo en su segundo paso algunas estrategias del quehacer matemtico: Empieza por lo fcil. Experimenta. Hazte un esquema, una figura, un diagrama. Escoge un lenguaje adecuado, una notacin apropiada. Busca un problema semejante. Induccin. Supongamos el problema resuelto. Supongamos que no es cierto

Tenemos que decir que existen numerosas heursticas que pueden facilitar la resolucin de problemas.

Para Bautista (1987) la eleccin de una metodologa basada en la resolucin de problemas ha de permitir a los alumnos la asimilacin y transferencia de conceptos y el desarrollo de estrategias de pensamiento. As pues una estrategia didctica de este tipo requiere plantearse cuatro objetivos fundamentales:

Que los alumnos asimilen informaciones, conceptos y principios. Que sean capaces de transferirlos para solucionar problemas globales.

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Que los alumnos analicen y sinteticen situaciones problemticas. Que los alumnos adquieran y desarrollen estrategias de resolucin de problemas.

Bajo estos objetivos debemos decir qu entendemos por situacin problema. Una situacin problema ha de estar basada fundamentalmente en el contexto de aprendizaje del alumno con el fin de hacerle reflexionar y debe estar relacionada con los intereses, motivaciones y el contexto social del mismo.

Vamos a dar algunas consideraciones particulares de las situaciones problema:

En una situacin problema las cuestiones se organizan a propsito de los datos, de formular hiptesis, de inferir un resultado. Se trata de estudiar si algunas informaciones no contenidas en un documento se pueden deducir de otras. Tambin si el enunciado del problema se puede construir a partir de informaciones dadas, organizadas o no en tablas, grficas, etc.

La situacin problema puede ser diseada para investigar las informaciones pertinentes relativas a una cuestin. Como puede ser determinar el presupuesto necesario para preparacin de una investigacin. Estudiar el desarrollo en importancia y peso por parte de los alumnos. Investigar en diversos peridicos con el fin de comparar los precios de ciertos artculos, el Estudio de los problemas tradicionales incompletos.

Las situaciones problema no se definen en funcin de una progresin.

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El desarrollo de una situacin problema est en funcin de las dificultades por parte de los alumnos, dificultades de la pertinencia de las informaciones, dificultades a la hora de ordenar las informaciones convenientemente.

Por ltimo vamos a ver algunas consideraciones de donde pueden proceder las dificultades ms comunes que encuentra un alumno en la resolucin de las situaciones problema:

Dificultades de origen lingstico, en la decodificacin del enunciado. La no localizacin de las frmulas. El bloqueo afectivo, ante una tarea supuestamente compleja. La desorganizacin de tareas, de cadenas de operaciones y del orden de contestacin de las preguntas.

Concebir un nico mtodo de resolucin. Concebir que el aprendizaje se produce por repeticin. Cualquier variacin respecto al enunciado tpico es una fuente de errores.

La falta de transferencia del modelo de resolucin de una familia de problemas a otra prxima.

La correccin individual se reduce al bien o mal y la colectiva la hace el profesor o un compaero.

La falta de comparacin entre soluciones distintas, ni se reflexiona sobre las falsas.

A la vista del desarrollo que ha experimentado la enseanza de las matemticas y la implantacin de las nuevas tecnologas en la educacin, tenemos que hacer una reflexin sobre la incidencia que tienen en la enseanza de las matemticas programas informticos

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como Geometers Sketchpad y que fundamentar parte de la estrategia didctica que veremos en el captulo II.

I.2. Las Tecnologas de la Informacin y la Comunicacin (TIC) y la enseanza de las matemticas

Es un hecho que la aparicin de las TIC est cambiando las formas y los modos de enseanza de todas las reas del conocimiento. Como dice Insa y Morata (1998): Si hay un campo en el que el desarrollo de las TIC se atisba como una gran revolucin, ste es el campo de la formacin.

Creemos que es necesario analizar la relacin que guarda la enseanza de las matemticas y las TIC desde aproximadamente los aos 50. Estas tecnologas han proporcionado un nuevo mbito de investigacin didctica con el fin de estudiar y analizar metodologas que van apareciendo con el uso y desarrollo de las TIC. Por este motivo, vamos a analizar la influencia que han ejercido los ordenadores en la enseanza de las matemticas. A continuacin nos vamos a centrar en algunos programas de utilizacin en la enseanza aprendizaje de las matemticas. Entre estos vamos a analizar el Geometers Sketchpad, uno de los programas ms utilizados en el dibujo de los objetos geomtricos, respetando las relaciones intrafigurales y transfigurales. Partiendo de este programa diseamos nuestra estrategia didctica que hemos empleado en la experiencia didctica sin olvidar que todo esto nos ha obligado a encontrar una nueva organizacin didctica de la geometra mtrica. Todo esto lo desarrollamos en el Captulo II, siendo ste la parte central de la presente tesis.

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I.2.1. Las TIC en la enseanza de las matemticas

Con la aparicin de los ordenadores los procesos de enseanza - aprendizaje llegan con gran facilidad a mayor cantidad de personas en todo el mundo gracias, como dice Insa y Morata (1998) entre otros factores a:

La capacidad de almacenamiento de informacin audiovisual que ofrecen soportes como, por ejemplo CD ROM, a un bajo coste.

Las posibilidades que ofrecen las actuales aplicaciones de Enseanza Asistida por Ordenador (EAO), en las que estn presentes todos los elementos constitutivos del proceso de enseanza aprendizaje.

Y el potencial formativo de las actuales redes de informacin, por ejemplo la red Internet.

Las formas bsicas de uso de los ordenadores se pueden clasificar en torno a los siguientes tipos de aplicaciones:

Juegos de ordenador: Debido a la componente ldica que tienen las matemticas, han motivado en numerosas ocasiones a utilizar el juego como elemento dinamizador de los procesos de enseanza aprendizaje.

Tutoriales de ordenador: Programas que simulan una relacin tutorial profesoralumno a travs del ordenador, para unos contenidos determinados. La evolucin

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de estos tutoriales gener los llamados CAI (Computer Assisted Instruction). Estos sistemas se basan en la enseanza de contenidos matemticos a travs de manipulaciones guiadas por el propio programa. Son transferencias de enseanza tradicional al medio computacional. Posiblemente debido a este factor no prosper en el contexto educativo, sino que tan slo se convirti en un recurso didctico que realizaba por mera transferencia meditica, los mismos esquemas didcticos tradicionales.

Simulaciones micromundos: Simulan situaciones reales a travs de modelos matemticos, y permite observar y estudiar dichos modelos simulados a travs del ordenador, Bautista, A. (1986). Estas simulaciones son pequeos contextos reales o micromundos que permiten descubrir propiedades de mundos reales en algunas ocasiones no observables. Podemos diferenciar dos tipos distintos de simulaciones:

Simulaciones que se ejecutan en paralelo con el sistema que modela. Simulaciones que no permiten la comparacin. Este segundo tipo se suele utilizar cuando las escalas temporales y espaciales no permiten un chequeo directo de la simulacin.

Lenguajes de programacin: los lenguajes ms utilizados han sido los llamados de alto nivel. Este tipo de lenguajes permiten elaborar programas utilizando lenguajes cercanos al usuario, sin tener que dominar el cdigo y los procesos que emplea la mquina. Se trata de lenguajes cercanos tanto sintacticamente como semnticamente. Entre otros destacamos LOGO, BASIC, FORTRAN y PASCAL.

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Se pensaba que las habilidades cognitivas generales de los alumnos surgan como resultado de actividades de programacin apropiadas. Por ello el aprendizaje consista en la adquisicin de tcnicas de programacin por medio de estos lenguajes, por lo que se pensaba que aprender las particularidades de un lenguaje era subsidiario al aprendizaje de habilidades ms generales del pensamiento. De esta forma la programacin se convirti en un medio de aprendizaje matemtico. El lenguaje LOGO se populariz para la enseanza de las matemticas en los primeros aos de vida de los nios debido a su sencillez. Con unas pocas rdenes se podan manipular numerosos conceptos geomtricos. Con los aos esta prctica ha ido cayendo en desuso.

Los problemas intrnsecos a la educacin matemtica no se resuelven de forma automtica con el uso de las nuevas tecnologas, de hecho la naturaleza de la herramienta no explica o justifica su resultado, ms bien el uso que se ha hecho del instrumento; ms que el medio o herramienta en s, son los contextos y el uso de los recursos quienes determinan el efecto que estos causan sobre el pensamiento de quienes los utilizan Bautista, A. (1994). No basta con proporcionar a los alumnos un ordenador dotado de un programa para tener garantizada una educacin matemtica ptima. El hecho de la rapidez de clculo de los ordenadores supone que los estudiantes adquieren habilidades en torno a la observacin, la exploracin, la intuicin matemtica y la comprobacin de hiptesis. Pero tambin es necesario asegurarse que las actividades tradicionales tales como la generalizacin y la abstraccin no se vean perjudicadas. Es necesario un equilibrio entre las matemticas formales y las matemticas experimentales.

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Otro elemento a considerar en el cambio que se puede producir, de hecho se produce, en las relaciones entre profesor y alumno. La actividad matemtica del estudiante frente al ordenador le permite obtener un aprendizaje ms autnomo creando nuevas relaciones con el profesor.

Segn Bautista, A. (1994), la actividad matemtica tambin puede verse mejorada por la aparicin de los nuevos sistemas de representacin propios de las NT. El ordenador permite manipular grficos, ofreciendo la posibilidad de representar los objetos en diferentes sistemas de representacin, circunstancia que favorece una mayor comprensin de los objetos matemticos. Por otra parte podemos decir que todas estas `posibilidades provocan un pensamiento activo ya que el uso de los ordenadores nos permite proponer actividades ms amplias y profundas para los estudiantes.

Los profesores que utilizan el ordenador dentro de sus tareas necesitan adquirir nuevos conocimientos y habilidades para utilizar el hardware y software existentes, que deben ir adaptando con las nuevas mejoras tecnolgicas, de tal forma que su situacin respecto al control del aula se modifica, sacrificando de esta forma su tradicional seguridad.

I.2.2. Caractersticas del medio computacional

Los ordenadores y los programas diseados para la enseanza de las matemticas ofrecen posibilidades educativas que se diferencian de los sistemas tradicionales de enseanza. Podemos destacar:

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Permiten mantener mltiples representaciones de diferentes sistemas de notacin. De esta forma, se puede facilitar la construccin de sistemas de notacin intermedios entre los sistemas de notacin de la matemtica formal y los sistemas de notacin cercanos e intuitivos. De esta manera las cogniciones asociadas a los objetos formales tendrn un reflejo en las cogniciones generadas por estos sistemas intermedios, pudiendo evitar de esta forma los problemas que suscitan las relaciones entre el lenguaje natural y el lenguaje matemtico Kaput (1992).

Es un medio dinmico que permite una transmisin continua de los estados y procesos intermedios que tienen lugar en un procedimiento global. La posibilidad de percibir el dinamismo a travs de la evolucin de los estados intermedios es una caracterstica cognitiva que puede verse favorecida por este nuevo atributo que ofrece el medio computacional. Un ejemplo lo ofrecen los sistemas de geometra dinmica como Geometers Sketchpad, Klotz (1991) o Cabri Gomtre Laborde (1990). Estos programas ofrecen la posibilidad de realizar construcciones geomtricas de manera jerrquica, de tal forma que unas construcciones dependen de otras, de manera que una modificacin de parmetros en una construccin de nivel superior, afecta de forma dinmica a todas las construcciones dependientes de ella. Son las denominadas construcciones geomtricas jerarquizadas.

Los ordenadores son un medio interactivo. Toda actuacin sobre un objeto determinado hace que el sistema provoque una respuesta inmediata ofreciendo interesantes posibilidades didcticas que juntan la visualizacin grfica con la actividad inherente al proceso de enseanza aprendizaje. La interactividad que proporciona el medio computacional introduce una estructura lgica de la

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informacin, es decir un conjunto de instrucciones y reglas que el diseador del sistema ha previsto para ofrecer una determinada respuesta por defecto.

Estos programas computacionales permiten grabar y recuperar procedimientos, se pueden construir, guardar o recuperar construcciones genricas de objetos matemticos y los procedimientos que los manipulan. Nos permite conocer los procesos de aprendizaje de nuestros alumnos, de tal forma que se pueden detectar los errores de una manera ms inmediata.

Los ordenadores son un medio de almacenamiento de informacin a travs de mltiples sistemas de manipulacin, destacamos los sistemas hipertexto e hipermedia. Debemos destacar el enorme protagonismo que ha tenido este sistema en el desarrollo de Internet ya que ha permitido incorporar la posibilidad de tejer una enorme telaraa de informacin interdependiente construyendo el entramado de la actual telaraa mundial: World Wide Web. Adems debemos destacar la posibilidad que tienen los programas de matemticas de almacenamiento del trabajo realizado por los alumnos.

El aprendizaje colaborativo se ve potenciado con el uso del ordenador. Segn Crook (1999), la colaboracin es un estado de participacin social que, en un momento dado, es ms o menos activa y cuenta con ms o menos recursos. El entorno de colaboracin al que se refiere Crook proporciona una visin distinta de aprendizaje basado en lo que los psiclogos denominan el carcter social de la cognicin, caracterstica que ha llamado la atencin hacia los procesos de interaccin social, en lo que se refiere al cambio cognitivo. En este sentido introducimos el punto de vista del aprendizaje

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colaborativo. Nosotros integramos el uso del ordenador en nuestra estrategia didctica, ya que compartimos la idea que resalta el papel que pueden jugar los ordenadores para facilitar unas condiciones adecuadas para reforzar la dimensin social de la educacin. Utilizaremos los procesos de interaccin del ordenador situndonos en un modelo computacional y constructivista del aprendizaje.

Debemos decir que son un excelente medio de comunicacin las redes locales en Internet. La telaraa mundial ofrece servicios que pueden habilitar nuevas vas de mejora educativa en todas sus disciplinas y en especial en el campo de las matemticas. Las pginas Web ofrecen un entorno ptimo para mostrar de forma visual los contenidos de cualquier materia, posibilitando la construccin de cursos interactivos sobre problemas o ejercicios planteados en las propias pginas Web.

Estas caractersticas pueden permitirnos disear estrategias de enseanza aprendizaje en el campo de las matemticas, uno de los objetivos de esta tesis se centra en el diseo de una estrategia de enseanza aprendizaje que incorpora los sistemas

computacionales, objetivo que describiremos con mayor profundidad en el Captulo II.

I.2.3. Riesgos por la introduccin del ordenador en la enseanza de las matemticas

El proceso de introduccin de los ordenadores en la enseanza de las matemticas debe producirse con cierta cautela, porque una inadecuada introduccin puede llevarnos a caer en numerosos peligros. Segn Guzmn (1992) si la introduccin del ordenador en el aprendizaje de la matemtica no se planifica adecuadamente, podemos incurrir en la responsabilidad

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colectiva de dejarnos arrastrar por un espejismo y gastar grandes sumas de dinero en la introduccin indiscriminada de un costoso instrumental con el que no se sabe bien qu hacer y que, por el uso que se da, ms valdra, desde el punto de vista educativo, que nunca se hubiese introducido en las escuelas y centros de enseanza. Por lo que es necesario reflexionar sobre el papel y el sentido de esta nueva tecnologa, para no poner en peligro el quehacer matemtico.

Podemos destacar los siguientes peligros:

La posibilidad de perder el sentido de las operaciones que realiza el ordenador de forma automtica. Podemos correr el peligro de dejar de considerar la aritmtica como una destreza bsica ya que el ordenador comprime los procesos con el fin de ganar tiempo y da mayor importancia a los resultados, perdindose todo el quehacer matemtico.

Esta prdida del sentido operativo puede provocar una perdida de destrezas bsicas.

Podemos confundir manipulacin con conocimiento matemtico, tpico de cuando se adquiere un aprendizaje memorstico de las matemticas consistente en el almacenamiento de algoritmos, definiciones y teoremas en vez de una construccin de las matemticas para la resolucin de problemas. Los ordenadores no ofrecen garantas de la comprensin de los objetos manipulados.

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Debemos tener en cuenta la limitacin del medio ya que sino podemos caer en el error de creer que el ordenador lo resuelve todo. Se puede perder el sentido crtico debido a la fe ciega en la mquina.

La inmediatez de las respuestas proporcionadas por el ordenador, debe ser debidamente temporalizadas en los procesos de enseanza. Esta inmediatez hace que se pierda el sentido de la dificultad del problema.

Podemos citar otros peligros como la perdida de agudeza visual, problemas articulares y lesiones cervicales.

Tambin podemos citar los peligros psicolgicos caracterizados por la infodependencia. Podemos llegar a no saber resolver problemas sino es con el uso del ordenador.

Estos peligros pueden ser minimizados por metodologas adecuadas, segn Kaput (1992) la mayora de las limitaciones del uso de los ordenadores en la enseanza en las dcadas entrantes sern probablemente debidas ms que a las limitaciones tecnolgicas, a la falta de imaginacin humana y al impacto de los viejos hbitos y las estructuras sociales.

Teniendo en cuenta que la tecnologa no es tan solo un conjunto de procesos y procedimientos basados en las nuevas tecnologas, sino que conforma un modo de pensar, pudiendo en nuestro caso tratar de dos posiciones entre la innovacin de la enseanza de las matemticas y la introduccin de los ordenadores:

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Introduccin de los ordenadores para reformar la enseanza de las matmticas, o bien

Reformar la enseanza de las matemticas para introducir los ordenadores.

Nuestra visin de reforma o innovacin se encuentra encuadrada en la primera perspectiva, es decir tecnologa educativa el servicio de la innovacin.

En el siguiente apartado vamos a tratar de presentar uno de los programas ms difundidos y utilizados en la enseanza - aprendizaje de la geometra mtrica, nos referimos al programa de geometra dinmica Geometers Sketchpad.

I.2.4. El sistema de geometra dinmica Geometers Sketchpad

Los criterios que han motivado la eleccin de este programa se han basado fundamentalmente en dos ideas bsicas:

El sistema elegido no puede suponer un obstculo inicial para el alumno. Debe tener cierta experiencia previa en el mbito internacional, en cuanto a su implantacin en las metodologas del aula de matemticas.

Vamos a exponer un conjunto de motivos que fundamentan nuestra eleccin, basados en caractersticas, a nuestro juicio, fundamentales:

Geometers Sketchpad tiene un entorno de trabajo muy sencillo, permite ejecutar las ordenes va mens.

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El aprendizaje del programa es fcil, es un aprendizaje casi autodidacta, realizando tan slo manipulaciones y pruebas a iniciativa del propio usuario.

Es tipo Windows y no requiere mucho hardware. Es ejecutable en la mayora de los ordenadores PCs que existen actualmente en los centros educativos.

Es un programa de una gran fiabilidad y efectividad demostradas. Para nosotros es el mejor programa de geometra dinmica que existe en el mercado.

Geometers Sketchpad es un sistema que proporciona al usuario un formato de trabajo en forma de ventanas:

Vamos a destacar tres mens fundamentales: construccin, transformacin y medida. Con el de construccin podemos realizar todo tipo de construcciones geomtricas. El de transformacin nos va a permitir realizar las transformaciones que caracterizan los invariantes de la geometra mtrica, como son las traslaciones, los giros, las simetras de eje

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y las homotecias. El tercero es el de medida y nos parece interesante resaltar la distincin que hace entre longitud y distancia.

Con los mens display, edit y graph completa casi todas las necesidades que los alumnos puedan tener para la geometra mtrica. Destacamos en el men display la posibilidad de ocultar un objeto con el fin de que no aparezca en la pantalla permitindonos realizar construcciones geomtricas de manera jerrquica, de tal forma que unas construcciones dependen de otras, como ya hemos comentado anteriormente. En edit nos parece interesante destacar la posibilidad de action buttons que permite crear objetos de movimiento muy til para visualizar los lugares geomtricos.

En graph destacamos el poder encontrar la ecuacin de la funcin que hemos representado

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En file nos permite guardar en formato html consiguiendo que los objetos creados con Geometers Sketchpad, lenguaje Java, sean interactivos en la Web

Una vez que hemos situado la enseanza de las matemticas en el contexto de las NT, y muy en particular en el contexto de los programas de geometra dinmica, vamos a

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analizar el campo de las matemticas en el que centraremos el estudio de nuestra tesis: la geometra mtrica. De esta forma podremos seleccionar y proponer las tareas de enseanza para la geometra mtrica con el uso de Geometers Sketchpad y de esta manera fijar las pautas de las tareas que conforman nuestra estrategia.

I.3. La enseanza de la Geometra

La enseanza de la geometra en la actualidad est en el olvido, a pesar de los esfuerzos que algunos grupos de profesores hacemos para mejorar la enseanza de esta rama de la Matemtica. Debemos destacar en este sentido el esfuerzo que hace la Sociedad Espaola en Investigacin para la Enseanza de las Matemticas (SEIEM).

Los alumnos que ingresan en la Universidad, y ms concretamente en la facultad de Educacin con la intencin de formarse en alguna de las titulaciones de Magisterio, lo hacen con graves carencias. No solo muestran una falta de conocimiento sino que tambin son incapaces de hacer uso de la generalizacin. Esto no es un problema en edades tempranas pero s lo es en alumnos universitarios. As, los alumnos carecen de algunos mtodos propios de esta materia como pueden ser los razonamientos deductivo e inductivo. El lenguaje geomtrico que los alumnos traen a la Universidad es catico e inseguro.

I.3.1. Dificultades en la enseanza aprendizaje de la geometra: posibles causas de la situacin actual

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Si analizamos la enseanza aprendizaje de la geometra en la Educacin Primaria, nos encontramos con una falta de desarrollo de estrategias de tipo personal para la resolucin de problemas. En gran medida al alumno se le trasmite una concepcin cerrada de esta rama de la Matemtica, se le ensea los objetos sin relaciones intrafigurales e incluso transfigurales, se le hace trabajar con la memoria, utilizando objetos que recuerdan con lo que el alumno trata de encontrar un problema similar para asociar una posible imagen que ellos tienen memorizada, en definitiva tienen mucho ruido.

En el trabajo en clase hay una carencia de conocimientos de otras geometras como la proyectiva y la topolgica y por tanto una falta de construccin del espacio previa a la sistematizacin geomtrica. Esto provoca que el alumno muestre una gran inseguridad cuando se les manda hacer algn tipo de clasificacin con las formas geomtricas. Les cuesta mucho establecer relaciones intrafigurales y transfigurales.

Queremos resaltar que en la enseanza de la geometra en Primaria hay un exceso de aritmetizacin. Este fenmeno se ha hecho crnico y por tanto difcil de erradicar. Esta reconocido socialmente y es por ello que el alumno lo tiene incorporado implcitamente en su contrato didctico. Todo esto transforma una geometra de construccin, una geometra de regla y comps en una geometra de frmulas y como consecuencia, el trabajo del alumno se convierte en resolver problemas de aritmtica.

Al alumno de Primaria se le exige poco cuidado en el lenguaje que debe utilizar. As, por ejemplo, mezclan conceptos geomtricos; hacen desaparecer el sentido que tienen las palabras que describen las figuras geomtricas y sus relaciones. Expresan sus pensamientos con palabras que solo para ellos tienen sentido, les da igual llamar a dos objetos distintos

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con el mismo nombre y ese nombre es algo parecido a como lo designe la colectividad matemtica.

Claro que de estas deficiencias no debemos echar la culpa solo a los alumnos. Si miramos el Diseo Curricular Base vemos una falta de rigor en la estructuracin de los conceptos geomtricos y pensamos que esta falta de rigor crea una confusin en el mbito de la utilizacin del lenguaje geomtrico.

Para nosotros hay dos factores que intervienen muy decididamente en la mala formacin geomtrica de los alumnos antes de llegar a la Universidad. Por un lado, la imposicin del libro de texto como elemento determinante del currculo y por otro, ese mismo libro de texto que est influenciado por intereses comerciales. En la transposicin didctica que se hace de los objetos de enseanza geomtricos hay tantos intereses que el alumno al final adquiere un conocimiento confuso, sin relacin, carente de rigor.

I.3.2. Algunas consideraciones didcticas a tener en cuenta para cambiar la situacin actual

La primera consideracin didctica que debemos hacer es la necesidad de incorporar a nuestro trabajo de clase una geometra dinmica como aboga Castelnuovo (1973) y abandonar la tradicional geometra esttica.

La segunda consideracin y no menos importante que la anterior es trabajar una geomera interfigural e intrafigural como propone Vecino, F (1996). La geometra que se esta haciendo en la escuela elemental es una geometra exfigural.

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Para Laborde y Capponi (1994), una figura no se refiere a un objeto sino a una infinidad de objetos. Lo que es invariante son las relaciones entre los objetos. La figura segn estos autores consiste en un referente dado a todos sus dibujos y es el conjunto de parejas de dos trminos, siendo el primero el referente y el segundo los dibujos que lo representan; se toma en el universo de todos los posibles dibujos del referente. Para ellos un dibujo geomtrico no es necesariamente interpretado por un lector como un objeto geomtrico. Las interpretaciones de un mismo objeto son mltiples, tanto por las interpretaciones del lector y sus conocimientos como por la naturaleza misma del dibujo, que por s mismo no puede caracterizar un objeto geomtrico. Hay que basar la geometra en procesos de percepcin, de representacin, de construccin, de reproduccin y de designacin Castelnuovo, E. (1973). Estos procesos van a crear una mayor capacidad deductiva e inductiva en el razonamiento de los alumnos algo tan necesario para la Matemtica.

Tambin debemos hacer la consideracin de sugerir el uso de materiales ya estructurados como pueden ser: poliminos, tangram, mecanos, policubos., y del uso del ordenador con diversos entornos ya creados para la enseanza de la geometra como puede ser el programa Geometers Sketchpad.

Uno de los fines que tiene la enseanza aprendizaje de la geometra es la enseanza de las demostraciones geomtricas, hoy da se utiliza la tecnologa en las demostraciones y ms concretamente los programas de geometra dinmica. Estos programas de ordenador permiten la puesta en evidencia de aspectos que tradicionalmente estn abandonados de la enseanza de la geometra. Tambin permiten poner en evidencia aspectos invariantes de una figura observando numerosos dibujos con las mismas propiedades geomtricas.

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Estos medios tecnolgicos han de tener repercusiones en la manera de ensear las matemticas y en la seleccin de contenidos. El uso de estos medios tecnolgicos nos permite hacer las siguientes consideraciones: Hay que realizar una gestin y representacin de la informacin que tenga como fin el que el alumno dedique su atencin al sentido de los datos y al anlisis de los resultados.

Hay que dejar ejecutar rdenes de muy distinto tipo con gran rapidez. Hay que interactuar con el usuario de tal forma que pueda intervenir en determinados momentos proponiendo datos o tareas nuevas en funcin de los resultados que se vayan obteniendo, lo que convierte al ordenador en un poderoso instrumento de exploracin e indagacin.

I.3.3. La importancia de una geometra dinmica frente a la geometra esttica

Para poder justificar nuestra apuesta por una geometra dinmica mediante el uso de las Nuevas Tecnologas (NT) conviene hacer una consideracin de principios. Pensamos que no debemos considerar las NT como un simple recurso de apoyo a la enseanza aprendizaje de contenidos particulares y s como eje alrededor del cual se articula todo el currculo.

Nosotros slo nos centraremos en estudiar Sistemas de Geometra Dinmica como pueden ser el programa de Geometers Sketchpad,.. que es propuesto como micro-mundo para el aprendizaje de la geometra.

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De todos los posibles contenidos que se pueden abordar, vamos a considerar aquellos, en los que realmente estos programas introducen novedades respecto a la enseanza de una geometra esttica. Debemos considerar los contenidos geomtricos, los conocimientos procedimentales y actitudinales que surgen usando un entorno computacional. Estos conocimientos constituyen un sustento adecuado para la geometra pero exceden al mbito geomtrico.

Los contenidos que se pueden abordar son:

Figura geomtrica: La posibilidad de desplazamiento de los elementos constituyentes de una demostracin geomtrica en un sistema de geometra dinmica permite acercarse al concepto de figura geomtrica enfatizando las propiedades que quedan invariantes para distintas ejemplificaciones de una representacin visual de dicha figura, es decir, la figura como invariante de propiedades de un dibujo dinmico.

Concepto-proceso-dibujo: No slo las construcciones con regla y comps se manejan en un sistema de geometra dinmica. En algunos de ellos, como es el caso de Geometers Sketchpad, existe una orden que permite construir polgonos regulares de cualquier nmero de lados. Obviamente, en los casos de polgonos no constructibles con regla y comps se trata de aproximacin visual a dichas figuras, efecto que debe ser tenido en cuenta en la enseanza, y que ejemplifica la diferencia entre concepto geomtrico (polgono regular de n lados), una construccin geomtrica (como proceso algortmico necesario para obtener una representacin de dicho concepto utilizando un determinado material y unas determinadas reglas de construccin), y la materializacin de dicho proceso

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en una imagen visual en un determinado soporte material (la coleccin de pixels cuya percepcin visual responde a las caractersticas esperadas).

Lugares geomtricos: La posibilidad de mover un punto de una construccin geomtrica se complementa con la opcin de que otros elementos dependientes de l dejen una huella visual en la pantalla del ordenador. Ello permite obtener una visualizacin del lugar geomtrico de dichos elementos cuando dicho punto recorre una determinada trayectoria.

Los problemas geomtricos que involucran el uso de lugares geomtricos suelen plantear dificultades de visualizacin. As los sistemas de geometra dinmica pueden usarse como complemento visual a la teora que se imparte sobre lugares geomtricos. Tambin debemos decir que integran en un mismo entorno el tratamiento analtico y el geomtrico de una cnica ya que tienen la posibilidad de mostrar la ecuacin de dichas curvas.

Demostracin de propiedades geomtricas: Al realizar una construccin geomtrica en un mismo sistema de geometra dinmica traducimos unas determinadas reglas geomtricas a una imagen visual. Vemos nuestra hiptesis. Si tratamos de demostrar que dichas hiptesis implican una tesis, ahora tambin vemos la tesis: arrastrando por la pantalla los elementos constituyentes de dicha construccin geomtrica seguimos en las mismas hiptesis, por lo que podemos ver si se cumple la tesis para distintas (muchas) posiciones posibles de la construccin. Si encontramos un caso en el que la tesis no se cumple habremos demostrado con un contraejemplo que no es cierta; en otro caso nos habremos convencido de que la tesis es cierta, pero no tendremos una

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demostracin de ello. El paso siguiente es esperar que este proceso motive o inspire una posterior demostracin formal.

En casos especiales los sistemas de geometra dinmica aseguran la veracidad de ciertas propiedades: alineacin de tres puntos, paralelismo y perpendicularidad de rectas, semirrectas, segmentos o vectores, equidistancia de un punto a otros dos y pertenencia de un punto a un objeto, etc.

Destrezas algortmicas: En numerosas actividades propuestas para trabajar en los sistemas de geometra dinmica, los alumnos deben elaborar un proceso de construccin de una figura descrita a partir de sus propiedades geomtricas. Para ello cuentan con una serie de primitivas geomtricas que pueden elegir de un repertorio dado. La posibilidad de realizar macro-construcciones, es decir, de definir primitivas propias que pueden ser incorporadas al sistema, exige al usuario identificar separadamente los datos de partida, el proceso de construccin y el producto final. La presentacin de un proceso de construccin geomtrica como una sucesin de primitivas y de macro-construcciones lo identifica con un proceso algortmico de atomizacin de un problema en subproblemas aislados y consecutivos, cuyo seguimiento conduce a una solucin global.

Visualizacin dinmica: de todos es conocido que la visualizacin juega un papel fundamental en la enseanza de la geometra, especialmente cuando se utiliza un medio computacional en el que la interaccin con el alumno est basada en la percepcin visual de un dibujo dinmico, es decir, un dibujo en el que se pueden desplazar ciertos elementos para obtener nuevos dibujos con las mismas propiedades geomtricas que el de partida. Este aspecto dinmico es fundamental y novedoso en la visualizacin, incide en la

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generalizacin y en la abstraccin, en la deteccin de propiedades invariantes y en la posibilidad de conjeturar y experimentar el cumplimiento de propiedades geomtricas que no estaban previamente establecidas.

Interaccin conocimientos geomtricos representacin: Desde que se plantea al alumno una actividad geomtrica se produce un camino de ida y vuelta entre los conocimientos geomtricos que inciden en el proceso de construccin geomtrica y la percepcin visual del movimiento de dicha construccin.

Este tipo de interaccin no slo es considerada til en el mbito de la geometra, sino que algunos autores la declaran de inters en la formacin de otros conceptos, como el de variable o el de funcin y en el desarrollo del pensamiento analtico.

I.3.4. Influencia en el conocimiento geomtrico por el uso de sistemas de geometra dinmica

Primero tenemos que decir que no es lo mismo la geometra de la regla y el comps que la geometra de Geometers Sketchpad. Por lo tanto, partimos de que hay una influencia del medio en el conocimiento adquirido.

Todo esto implica la contextualizacin del conocimiento, lo que tiene consecuencias importantes sobre el aprendizaje. Podemos decir que en este sentido los condicionantes que determinan la naturaleza de los significados construidos por el alumno son:

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El dominio de los problemas a los que el entorno da acceso.

Las caractersticas de la comunicacin entre el sistema y el alumno. La modelizacin computacional del conocimiento geomtrico en un sistema de geometra dinmica tiene un condicionante esencial, que es su representacin mediante un dibujo en la pantalla del ordenador, que es un soporte discreto. Este dibujo es el principal intermediario entre el usuario y el conocimiento geomtrico representado en el ordenador, las propiedades geomtricas que deseemos trabajar estn mediatizadas por el dibujo y su representacin.

La coherencia interna y consistencia del dispositivo en su interaccin con el usuario.

El uso de entornos interactivos de aprendizaje por ordenador se enmarca dentro de las teoras constructivistas del aprendizaje, donde se entiende que la geometra es esencialmente una actividad y que el conocimiento se construye mediante la actividad del sujeto sobre los objetos.

En el caso de los micromundos geomtricos debemos resaltar dos caractersticas fundamentales en el proceso de aprendizaje:

La que pertenece a la accin y retroaccin. El software interpreta las acciones del alumno devolvindole una informacin sobre su produccin, informacin que el alumno puede utilizar a su vez para continuar progresando en la construccin de conocimientos.

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La segunda caracterstica es la llamada repeticin. No se trata de una opcin conductista del aprendizaje por refuerzo sino de la confrontacin repetida del alumno con un problema y por tanto, de dar la opcin constructivista en la que se produce un proceso de transferencia al alumno que le permite construir un sentido del problema, hacindole cada vez ms consciente de lo que le impulsa a actuar.

I.3.5. La evaluacin del conocimiento geomtrico con los sistemas de geometra dinmica

Resulta chocante que mientras consideramos recomendable el uso de NT en la enseanza, no se permita su uso en los llamados exmenes. Es evidente que si dejamos utilizar la calculadora, tenemos que preguntar otras cosas, de donde se deduce que debemos ensear otras. Deducimos que un examen no debe ser diseado para evaluar conocimientos adquiridos usando nuevas tecnologas.

La falta de consideracin de nuevas tecnologas en la evaluacin es un sntoma claro de su falta de integracin real en el mbito educativo.

Determinar el tipo de evaluacin no puede reducirse a discutir sobre si usar o no el medio tecnolgico en un examen. En los micro - mundos geomtricos la evaluacin de la actividad del alumno y de las producciones que ste realiza es una tarea compleja. Involucra conocer la significacin geomtrica de los dibujos producidos por los alumnos y por tanto determinar si el alumno ha satisfecho las restricciones iniciales del problema y no ha aportado una solucin, quedndose en el nivel del dibujo o en un caso particular.

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Captulo II: Una estrategia didctica para la enseanza de la geometra

Captulo II:

Una estrategia didctica para la enseanza de la geometra

II.1. Necesidad de una nueva estrategia didctica para la enseanza de la geometra

En el captulo anterior hemos realizado un anlisis de las principales caractersticas educativas asociadas al uso de la informtica en la enseanza de las Matemticas. Tambin hemos visto los principales peligros y las dificultades que se pueden dar en el uso de las nuevas tecnologas en la enseanza de las Matemticas, en especial nos hemos centrado en un tipo de programa que se utiliza actualmente en el aula de Matemticas: Geometers Sketchpad.

La introduccin de los programas de geometra y en especial la introduccin de Geometers Sketchpad en el aula de matemticas deben tener en cuenta una serie de principios. Mediante estos se pueden mejorar los aprendizajes de nuestros alumnos y se pueden evitar algunos peligros que ya hemos comentado. Entre estos principios que debemos considerar hemos seleccionado los siguientes: Para introducir un programa de ordenador en la enseanza de la geometra debemos de admitir dos formas de uso complementarias:

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Necesidad de una nueva estrategia didctica para la enseanza de la geometra

o Utilizndolas para construir y elaborar conjeturas, plantear hiptesis y hacer una explotacin inductiva de los hechos matemticos. Mediante la experimentacin podemos introducir numerosas propiedades y resultados que tiene la geometra, nos permite obtener resultados generales partiendo de hiptesis y conjeturas, que ms tarde se debern demostrar de forma general, proporcionando a los alumnos la posibilidad de descubrir el entramado matemtico.

o Utilizndolas, por otro lado, para evitar las llamadas tareas rutinarias que muchas veces nos cambian el foco central que estamos realizando y adems nos facilita la comprobacin de las hiptesis y la demostracin de propiedades de una forma efectiva.

El sistema computacional no debe convertirse en un simple medio de transferencia, que realice un papel similar al que desempeaban otros recursos didcticos utilizando nicamente la capacidad de interaccin de los ordenadores, lo que se hace con lpiz y papel se realiza con un sistema computacional.

No se debe convertir en una barrera para el aprendizaje de las matemticas. Por ello el entorno en el que se introduzcan debe contar con la ayuda que proporcione respuestas inmediatas a los estudiantes sobre cualquier cuestin relacionada con el programa computacional utilizado. Debemos tener en consideracin dos factores importantes: por un lado la ayuda descrita y por otro la sencillez de uso del entorno computacional. Nosotros hemos tenido en cuenta estos dos factores. Por este motivo hemos seleccionado una herramienta para tal fin como es Geometers Sketchpad, reduciendo

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al mnimo las dificultades de manejo. No se trata de aumentar las dificultades al alumno dndole un material didctico que le requiera un esfuerzo adicional. Se trata de no desvirtuar la enseanza de los contenidos matemticos y de no desmotivar al alumno. Se debe conseguir centrar al alumno en el estudio de un programa aplicado a un conjunto de contenidos relacionados con la geometra.

Para nosotros es importante que estos sistemas nos permitan utilizar de una forma simultnea mltiples representaciones de un mismo objeto matemtico as como los razonamientos en paralelo y en profundidad que proporcionan estos sistemas de Bautista, (1994). Segn Duval, (1998) el conocimiento comienza cuando un sujeto es capaz de identificar un objeto a travs de sus diferentes representaciones, y cuantas ms representaciones del mismo se tengan mayor es el conocimiento del objeto, as como la posibilidad de traducir entre diferentes representaciones el objeto en cuestin. Con los sistemas computacionales tenemos la posibilidad de facilitar a los alumnos un aprendizaje que tiene en cuenta diferentes visiones del mismo objeto. Con ello conseguimos que un objeto matemtico se convierta en un invariante de varios sistemas de representacin.

Un aspecto que debemos resaltar, ya que lo consideramos enormemente positivo en el mbito educativo, es la posibilidad de simplificar las llamadas tareas rutinarias y la precisin en la representacin de las formas geomtricas. Con esto ahorramos tiempo y permitimos al alumno anticipar la construccin del conocimiento matemtico, e iniciar al alumno en la investigacin y la exploracin matemtica con la ayuda de estos sistemas.

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La resolucin de problemas es un elemento intrnseco a la actividad matemtica. Los matemticos de todos los tiempos han sabido que su trabajo fundamentalmente es resolver problemas. Por ello debemos considerar una metodologa basada en la resolucin de problemas, ya que es un medio de aprendizaje de los contenidos y de las estrategias que se van introduciendo. Este tipo de metodologa basada en la resolucin de problemas proporciona el mtodo ms conveniente para aprender matemticas y aplicar esta disciplina a diferentes contextos de nuestro entorno. En numerosas ocasiones la resolucin de problemas no se trata de manera adecuada ya que se suele centrar en el uso de los objetos matemticos como objetos propios de la matemtica y no como tiles para la resolucin de problemas. El origen de las dificultades del aprendizaje es debido fundamentalmente a unos planteamientos metodolgicos inadecuados y especialmente a la falta de motivacin. Efectivamente, las didcticas repetitivas basadas en el aprendizaje de los objetos matemticos como objetos propios de la matemtica y no como tiles para resolver problemas, suelen dejar indefensos a los alumnos cuando se tienen que enfrentar a verdaderas situaciones problemticas, que se salen de los denominados problemas tipo empleados para memorizar procesos y algoritmos de resolucin. Los planteamientos metodolgicos deben considerar un desarrollo y perfeccionamiento de las heursticas que utilizan los alumnos. Ello, junto a los contenidos propios de la matemtica, les permitir desarrollar la intuicin y las habilidades necesarias para la resolucin de problemas. El otro agravante del aprendizaje de las matemticas es la falta de motivacin de los alumnos. En gran medida esta desmotivacin esta causada por un lado, por usar la matemtica como objetos propios de la matemtica y no como tiles para resolver problemas. Por otro por el elevado nmero de procesos repetitivos y rutinarios, que muchas veces son necesarios para la resolucin de los mismos. El uso de la tecnologa permite al alumno

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dedicar un tiempo suficiente para elegir aquellos modelos matemticos que ms se adaptan a la realidad que se pretende estudiar y tambin permite centrar la atencin en la interpretacin de los resultados obtenidos. Por estos motivos una metodologa basada en la resolucin de problemas, es un complemento esencial para introducir los sistemas computacionales en la enseanza de la geometra.

Segn Kaput, (1992), esta introduccin debe potenciar las caractersticas que dotan el sistema computacional como un medio interactivo y dinmico, de una plasticidad representacional. Estas dos caractersticas permiten al alumno tener un dilogo con el sistema, al recibir respuestas continuas del sistema. Esta interactividad provoca un aumento de motivacin por parte del alumno, ya que el sistema proporciona respuestas inmediatas convirtindose en un mtodo de trabajo activo. Por otro lado, el dinamismo en el que se sumerge un aprendizaje basado en este tipo de sistemas, obliga de forma inconsciente al alumno a explorar diversas realidades, a conjeturar, a realizar hiptesis generales y poderlas comprobar con ejemplos concretos, situaciones que pueden sin lugar a dudas mejorar el aprendizaje de nuestros alumnos.

Los mtodos tradicionales de enseanza contemplan la clase como un lugar en el que el papel del profesor se reduce a suministrar informacin a los alumnos y los objetivos han de conseguirse individualmente por parte de stos. Estos mtodos contrastan hoy da con la clase en la que se trabaja de forma cooperativa colaborativa. El aprendizaje cooperativo se refiere a un mtodo de instruccin en el que los alumnos trabajan conjuntamente en grupos para alcanzar objetivos comunes. Mientras en la enseanza tradicional el profesor es el centro de la clase, el transmisor de la informacin, en la clase donde se practica el trabajo cooperativo el centro es el estudiante y el profesor

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adopta un papel de facilitador y gua del aprendizaje. Para Scardamalia y Bereiter (1992): los estudiantes necesitan aprender profundamente y aprender cmo aprender, cmo formular preguntas y seguir lneas de investigacin, de tal forma que ellos puedan construir su propio conocimiento a partir de lo que conocen. El conocimiento propio que es discutido en grupo, motiva la construccin de nuevo conocimiento. Nosotros propugnamos una metodologa que se basa en el principio de actividad. Esto supone la participacin formal del alumno en la adquisicin del conocimiento al realizar trabajos como los de formular preguntas, extraer conclusiones, realizar crticas, poner en marcha iniciativas personales, enunciar resultados con su propio vocabulario, formular conjeturas. El alumno debe realizar un trabajo que le haga participar activamente en todo el proceso de adquisicin del conocimiento mediante una actividad interna, siendo sta el resultado de las interacciones entre la reflexin, la actividad externa y la informacin recibida. Entendemos que los entornos de aprendizaje que debemos desarrollar los profesores son los que favorezcan la participacin activa y efectiva de los alumnos. El profesor debe fomentar el trabajo colaborativo entre los alumnos, de manera que asuman parte de la responsabilidad de su aprendizaje, desarrollando funciones que en la enseanza tradicional se reservan al profesor. Asumimos como gua de nuestro diseo de actividades a desarrollar con los alumnos el trabajo cooperativo y el aprendizaje colaborativo como aspectos relevantes en la construccin social del aprendizaje. Partimos de una visin constructivista del aprendizaje. Desde una perspectiva general, los conceptos de trabajo cooperativo y aprendizaje colaborativo aparecen muy relacionados y podra llegarse a pensar que se refieren a los mismos aspectos. Segn Ucrs, M. A., (1997) se entiende por trabajo cooperativo como un rea de investigacin multidisciplinar encargada del estudio de teoras y tecnologas que apoyan el trabajo en grupo. Jonhson, D. y Jonhson, R. (1987), definen el aprendizaje colaborativo como un conjunto de mtodos de instruccin para la aplicacin en los

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grupos pequeos, de entrenamiento y desarrollo de habilidades mixtas (aprendizaje y desarrollo personal y social), donde cada miembro del grupo es responsable tanto de su aprendizaje como del de los restantes miembros del grupo. Ambos conceptos no son excluyentes, sino que son complementarios de acuerdo al tipo de tratamiento de la actividad a desarrollar y a los valores involucrados en las interacciones entre los alumnos participantes.

La tecnologa en si misma no es una fuerza conductora detrs del aprendizaje. Sin embargo nuestras observaciones en escenarios que emparejan la tecnologa con la reforma de la educacin sugiere que la tecnologa ciertamente amplifica lo que los profesores son capaces de hacer y lo que esperan de sus estudiantes. Una de las razones por las que la tecnologa tiene este aspecto positivo es que los profesores crean tareas o misiones difciles pero posibles. Adems la tecnologa da autenticidad en las tareas del colegio porque los resultados de los esfuerzos de los estudiantes, estn ms pulidos, el trabajo del colegio parece real e importante, los estudiantes se enorgullecen de usar las mismas herramientas como si fueran profesionales en prcticas.

La tecnologa tambin ayuda a los esfuerzos colaborativos, por ejemplo los equipos de trabajo. La introduccin de la tecnologa ha dado a los profesores la oportunidad de convertirse en aprendices de nuevo. El reto de planificar e implementar actividades que estn sostenidas por la tecnologa ha creado un contexto en el cual una carencia inicial de conocimiento no se ve como avergonzante. Como resultado los profesores estn ms propensos para compartir su experiencia y aprender unos de otros. Mientras buscan las uniones entre los fines instruccionales, el currculo y las posibilidades de las tecnologas, colaboran ms, reflexionan ms y dialogan ms. Lo que la tecnologa no har es hacer la vida del profesor ms simple. La clase de enseanza aprendizaje que

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hemos descrito requiere profesores con mltiples habilidades. Especialmente al principio la tecnologa pone retos como por ejemplo aprender a instalar el equipo; recordar las rdenes del software. Los nuevos roles suponen muchos retos. El profesor debe ser capaz de lanzar y orquestar a mltiples grupos de estudiantes, intervenir en momentos crticos, diagnosticar problemas de aprendizaje individuales y proveer retroalimentacin. Sin embargo en las clases donde los profesores se han incorporado a este reto se esta produciendo un cambio en el clima de aprendizaje. La tecnologa juega un rol importante pero es un rol secundario. Los estudiantes son las estrellas. El autor, el director y los poderes detrs del escenario es siempre el profesor.

Es necesario encontrar un planteamiento que haga realmente eficaz el recurso informtico para el aprendizaje de las matemticas. Como bien seala Kaput, (1992) la mayora de las limitaciones del uso de los ordenadores en la enseanza en las dcadas entrantes sern probablemente debidas menos a las limitaciones tecnolgicas que a un resultado de la imaginacin humana y al impacto de los viejos hbitos y las estructuras sociales. Este avance tecnolgico nos obliga a buscar nuevas estrategias didcticas: no se puede seguir enseando matemticas de la misma forma. Se deben introducir los nuevos recursos tecnolgicos ya que nos permitirn aumentar las posibilidades de enseanza aprendizaje.

Estas ideas constituyen las bases metodolgicas de nuestra estrategia didctica y justifican en parte las cuestiones y propsitos que pretendemos investigar y que se explicitan en el captulo III.

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Por las caractersticas de la herramienta informtica debemos organizar nuestro trabajo en base a una teora de aprendizaje, que a nosotros nos parece apropiada. Se trata de Adaptive Control of Thought ACT de Anderson.

La adquisicin de destrezas cognitivas debe ser realizada de forma que el conocimiento pueda ser usado sin ser cambiado. Por tanto se debe distinguir entre conocimiento declarativo y conocimiento procedural.

II.1.1. Las aportaciones de la teora Adaptive Control of Thought (ACT) de Anderson en nuestra estrategia didctica

Anderson (1976) distingue entre conocimiento declarativo y conocimiento procedural. El conocimiento procedural es adquirido lentamente a lo largo del tiempo y el declarativo se adquiere rpidamente.

Para Anderson el aprendizaje de destrezas pasa por tres estados:

1. estado cognitivo, en este estado es en el que se aprende la descripcin del procedimiento. 2. estado asociativo, se pone el procedimiento en funcionamiento para ejecutar la destreza. 3. estado autnomo, es el estado en el que la destreza se hace ms rpida hasta lograr el automatismo.

Nos debemos preguntar qu entiende Anderson por destreza. Para l son series de producciones y cada produccin consta de una condicin y de una accin. Siendo la

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condicin la descripcin general de las circunstancias bajo las que se aplica la produccin. La accin consiste en la conducta externa y los cambios en la memoria si la produccin se aplica.

Dentro de la psicologa actual el modelo de Anderson es un modelo con futuro en la comprensin de la adquisicin y tratamiento de destrezas cognitivas.

En este modelo el rango de adquisicin de destrezas va desde la adquisicin del lenguaje a la solucin de problemas y abstraccin de esquemas. El enfoque de la A.C.T. no slo proporciona un anlisis de la ejecucin de una destreza sino tambin un anlisis de su adquisicin.

La adquisicin de destrezas tiene implicaciones para el aprendizaje de una destreza cognitiva, tal como un programa de ordenador. La Inteligencia Artificial en gran medida trabaja actualmente en el diseo de sistemas expertos. Estos sistemas tienen necesidad de ser cargados de contenidos semnticos plantendose la necesidad, no slo terica sino tambin tcnica, de proporcionarles una cierta capacidad para adquirir esos conocimientos. Lo que se intenta hacer es reducir la semntica a reglas sintcticas y por tanto la adquisicin de conceptos habr de explicarse sintcticamente.

La idea bsica segn Anderson (1983) es que: todos los procesos cognitivos superiores, como memoria, lenguaje, solucin de problemas, imgenes, deduccin e induccin son manifestaciones diferentes de un mismo sistema subyacente.

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La teora en la que basamos nuestra estrategia didctica es una teora del procesamiento de la informacin. Los mecanismos de aprendizaje estn estrechamente relacionados con los dems procesos y muy especialmente con la forma de representacin de la informacin en el sistema.

Para nosotros es importante la distincin que hace Anderson diciendo que el sistema est compuesto por tres memorias relacionadas: memoria declarativa, memoria procedural y memoria de trabajo. Se pueden adaptar estas tres memorias a la forma de trabajo de un alumno en su proceso de adquisicin de destrezas cognitivas. La memoria de trabajo corresponde a procesos tales como codificacin, actuacin, emparejamiento, ejecucin, etc. Lo que llama Anderson memoria declarativa corresponde a saber qu y tiene un conocimiento descriptivo. Por ltimo la memoria procedural corresponde con el saber cmo. Es una memoria a largo plazo, tiene informacin para la ejecucin de las destrezas.

El conocimiento declarativo consiste en informacin y la memoria declarativa se organiza en forma de red jerrquica. Para Anderson (1983) esta memoria tiene forma de jerarqua enmaraada. Esta jerarqua esta compuesta de unidades cognitivas, es decir, en nodos y uniones entre los nodos, y distingue tres tipos de unidades cognitivas o nodos: cadenas temporales, imgenes espaciales y proposiciones.

Anderson establece que slo los nodos que se hallan activados en la memoria de trabajo tendrn influencia sobre el conocimiento procedural. La activacin de los nodos puede provenir de los estmulos externos o bien del propio sistema. Es importante destacar que la A.C.T. considera que el proceso de activacin es continuo, un nodo puede estar ms o menos activado.

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La memoria de trabajo, al ser limitada, hace que los nodos activados sean limitados y por tanto solo accedern a la memoria de trabajo los nodos de mayor activacin. Esta activacin depende de dos factores: uno el de su relacin con la informacin contenida en la memoria de trabajo y el otro el de la frecuencia con que se usa.

Segn Anderson, un nodo tiene una fuerza asociada que ser funcin de su frecuencia de uso y como consecuencia los nodos ms fuertes tendrn ms probabilidad de estar activos. Ya que los nodos estn conectados entre si, la activacin de un nodo se propagar a travs de la red.

Como consecuencia de todo esto podemos decir que los conocimientos declarativos que con mayor frecuencia son usados sern los que mayor probabilidad tendrn de ser utilizados en la memoria de trabajo.

Las producciones se almacenan encadenadas. Para que el conocimiento que contiene una produccin sea eficaz, deben encadenarse unas a otras con el fin de que la accin de una produccin satisfaga la condicin

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TESIS PROPUESTA GEOMETRÍA