TESTIRANJE HIPOTEZA – OSNOVNI KONCEPTI I TESTOVI … · frekvencije u svakom polju tabele najmanje 5. – Ako je vrednost hi-kvadrat statistike 0 treba proveriti rezult • Jačina

TESTIRANJE HIPOTEZA – OSNOVNI KONCEPTI I

TESTOVI POVEZANOSTI •  Novembar 2014

Novembar 2014 Istraživanje tržišta Ekonomski fakultet, Beograd

2

X. Testiranje hipoteza

• Osnovni koncepti testiranja hipoteza • Unakrsno tabeliranje i hi-kvadrat • Testiranje hipoteza o srednjoj vrednosti i proporcijama

• ANOVA


3


4

Osnovni koncepti testiranja hipoteza

• Nulta i alternativna hipoteza •  Izbor relevantnog statističkog testa i odgovarajućeg rasporeda verovatnoća

•  Izbor kritične vrednosti


5

Izbor statističkog testa i odgovarajućeg rasporeda

•  Izbor odgovarajućeg rasporeda verovatnoća zavisi od osnovnog cilja iz koga se hipoteza testira, npr.: –  Poređenje uzorka i populacije po određenim

karakteristikama, ili –  Poređenje dva uzorka po određenim karakteristikama

(srednje vrednosti, proporcije, varijanse,..) •  Različiti statistički testovi se koriste u različite

svrhe, što zavisi i od: –  Veličine uzorka, –  Da li je poznata populacijska standardna devijacija.


6

Nulta i alternativna hipoteza

•  Cilj je da se donese sud o razlici između statističkih pokazatelja uzorka i hipotetičkih vrednosti parametara populacije


7

Izbor kritične vrednosti •  Nivo značajnosti, α, pokazuje procenat uzoračkih

realizacija koje se nalaze izvan definisanih granica –  Greška I vrste – verovatnoća da se odbaci istinita nulta

hipoteza –  Greška II vrste, β, verovatnoća neodbacivanja netačne

nulte hipoteze –  Snaga testa hipoteze, 1-β, verovatnoća odbacivanja

netačne nulte hipoteze •  Stepeni slobode •  Jednostrani (jednosmerni) ili dvostrani (dvosmerni)

testovi


8

Unakrsno tabeliranje i hi-kvadrat testovi

•  Hi-kvadrat test nezavisnosti •  Mere povezanosti za nominalne varijable •  Hi-kvadrat test prilagođenosti


9

Hi-kvadrat test nezavisnosti (1)

•  Primenjuje se u tabelama kontingencije H0: Dve (nominalne) varijable su međusobno nezavisne Ha: Postoji zavisnost među dvema varijablama

•  Hi-kvadrat raspored je određen svojim stepenima slobode, , r→br.redova, c→br.kolona –  Hi-kvadrat-statistika, χ2, je mera razlike između stvarnog

broja opservacija u polju i, u oznaci Oi, i broja opservacija koji bi se očekivao da je nulta hipoteza istinita, to jest pod pretpostavkom statističke nezavisnosti, Ei.

( )∑ =

−=

k

ii

ii

EEO

1

22χ

)1()1( −⋅−= crv

Primer: Koliko često kupujete Politiku?

Pol

Svaki dan Najmanje jednom nedeljno

Najmanje jednom

mesečno

Ni jednom

mesečno

Muškarac

80

70

30

20

Žena

40

60

50

50


10

Pol


Najmanje jednom

mesečno

Ni jednom

mesečno

Muškarac

50

50

50

50

Žena

50

50

50

50

Primer: Koliko često kupujete Politiku?

Pol


Najmanje jednom

mesečno

Ni jednom

mesečno

Muškarac

80

70

30

20

Žena

40

60

50

50


11

Pol


Najmanje jednom

mesečno

Ni jednom

mesečno

Muškarac

50

50

50

50

Žena

50

50

50

50

Primer: Koliko često kupujete Politiku

Pol:

Svaki dan

Najmanje jednom nedeljno

Najmanje jednom

mesečno

Ni jednom

mesečno

Uk.

Muš-karac

80

70

30

20

200

Žena

40

60

50

50

200

Uk.

120

130

80

70


12

Primer: Koliko često kupujete Politiku

Pol:

Svaki dan

Najmanje jednom nedeljno

Najmanje jednom

mesečno

Ni jednom

mesečno

Uk.

Muš-karac

60

65

40

35

200

Žena

60

65

40

35

200

Uk.

120

130

80

70


13


14

Hi-kvadrat test nezavisnosti (2) •  Ograničenja primene:

–  Rezultati su validni samo ako je vrednost očekivane frekvencije u svakom polju tabele najmanje 5.

–  Ako je vrednost hi-kvadrat statistike 0 treba proveriti rezult •  Jačina povezanosti , C=0→nema zavisnosti C≠1 •  Ograničenja C kao mere povezanosti

–  Mera je proporcionalna veličini uzorka –  Mera nema gornju granicu pa je teško tumačenje –  Ne daje indikaciju KAKO su varijable povezane

nC

+= 2

2

χχ


15

Mere povezanosti za nominalne varijable (1)

•  Mere bazirane na hi-kvadrat statistici –  Koeficijent kontingencije, C –  Fi-kvadrat: ,

–  Kramerovo V,

–  Sve navedene mere se lako računaju i teško tumače, uglavnom zato što ne postoji referentna gornja granica

n

22 χ

φ =

)1,1min(

2

−−=

crV φ


16

Mere povezanosti za nominalne varijable (2)

•  Gudmanovo i Kruskalovo tau:

–  Mera dozvoljava proporcionalno smanjenje greške –  Ima teorijski smisao –  Mera ima gornju granicu, koja je najviše jednaka 1, ali je

najčešće manja od 1 –  Gornja granica se može izračunati i specifična je za svaku

tabelu

XXX

nepoznatozagrešakabroj)poznatozagrešakabroj()nepoznatozagrešakabroj(tau −

=


17

Hi-kvadrat test prilagođenosti

•  Koristi se da se odredi da li populacijski raspored odgovara nekom konkretnom, očekivanom obliku rasporeda verovatnoća

•  Koristi se u obliku: Oi = realizacija u polju i Ei = očekivana vrednosti u polju i k = broj međusobno odvojenih kategorija

–  Broj stepeni slobode: v = (k – 1)

( )∑=

−=

k

i i

ii

EEO

1

22χ


18

Testiranje hipoteza o srednjoj vrednosti i proporcijama

• Testiranje hipoteza o srednjoj vrednosti • Testiranje hipoteza o razlici između dve srednje vrednosti • Testiranje hipoteza o proporcijama • Testiranje hipoteza o razlici između proporcija


19

Testiranje hipoteza o srednjoj vrednosti (1)

Poznata je populacijska standardna devijacija, σ –  Dvostrani test:

H0: µ = µ0

Ha: µ ≠ µ0 –  Standardna greška srednje vrednosti: –  z-vrednost se izračunava kao: (µ= µ0) –  Nulta hipoteza se odbacuje ako:

(primenom odgovarajućeg α)

nxσ

σ =

x

xZσµ−

=

.2/αZZizrač >


20


Poznata je populacijska standardna devijacija, σ –  Jednostrani test:

H0: µ ≥ µ0 Ha: µ < µ0

–  Standardna greška srednje vrednosti: –  z-vrednost se izračunava kao: (µ= µ0) –  Nulta hipoteza se odbacuje ako je

(primenom odgovarajućeg α)

nxσ

σ =

x

xZσµ−

=

.αZZizrač −<


21


Nije poznata populacijska standardna devijacija, σ –  Uzoračka standardna devijacija, s, se koristi kao ocena

populacijske standardne devijacije –  Standardna greška srednje vrednosti:

–  Umesto normalnog, koristi se t-raspored:

–  Broj stepeni slobode je n-1 –  Sve ostalo je isto kao u prethodno navedenim

jednostranim, odnosno dvostranim testovima respektivno

nssx =

xizrač s

xt µ−=


22

Testiranje hipoteze o razlici između dve srednje vrednosti (1)

Dva nezavisna uzorka sa poznatim σ1 i σ2 –  Dvostrani test:

H0: µ1 – µ2 = c Ha: µ1 – µ2 ≠ c

–  Standardna greška:

–  Z-vrednost se izračunava kao

–  Ako se koriste veliki uzorci, σ se može aproksimirati sa s –  Nulta hipoteza se odbacuje ako:

2

22

1

21

21 nnxxσσ

σ +=−

( ) ( )21

2121

xxizrač

xxZ−

−−−=

σµµ

2/αZZizrač >


23


Dva nezavisna uzorka sa poznatim σ1 i σ2 –  Jednostrani test:

H0: µ1 ≤ µ2

Ha: µ1 – µ2 > 0 –  Standardna greška:

–  Z-vrednost se izračunava kao

–  Ako se koriste veliki uzorci, σ se može aproksimirati sa s –  Nulta hipoteza se odbacuje ako:

2

22

1

21

21 nnxxσσ

σ +=−

( ) ( )21

2121

xxizrač

xxZ−

−−−=

σµµ

αZZizrač >


24


Dva nezavisna uzorka sa nepoznatim σ1 i σ2, σ1=σ2 –  Uzoračke standardne devijacije, s1 i s2, se koriste kao ocena –  Koristi se t-raspored sa stepeni slobode i računa –  Standardna greška iznosi:

–  Pravila za odbacivanje nulte hipoteze su slične (samo se koristi t-vrednost umesto z-vrednosti)

( ) ( )21

2121

xxsxxt

−

−−−=

µµ

21

1121 nnss Pxx +=− 2

)1()1(21

222

2112

−+−+−

=nn

snsnsP

221 −+nn


25


Dva nezavisna uzorka sa nepoznatim σ1 i σ2, σ1≠σ2 –  Uzoračke standardne devijacije, s1 i s2, se koriste kao ocena

–  Koristi se t-raspored sa st. slobode

–  t-statistika iznosi

–  Standardna greška iznosi:

–  Pravila za odbacivanje nulte hipoteze su ista kao prethodno

( ) ( )21

2121

xxsxxt

−

−−−=

µµ

2

22

1

21

21 ns

nss xx +=− ( ) ( )22

2121

121

nsnsnsg

+=

)1)(1()1()1)(1(

122

2

21

−−+−

−−

nggnnn


26


Dva zavisna uzorka –  Kada su uzorci zavisni, može, na primer, da se pretpostavi

da se radi o istom uzorku, pa se računa D = x1 – x2:

, gde je:

–  Odgovarajući test je: sa (n-1) stepeni slobode

–  A standardna greška

dDH ≥:0dDHa <:

nsdDt

D

−=

∑=

=n

iiDn

D1

1

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−= ∑

=

n

iiD DnD

ns

1

222

11


27

Testiranje hipoteza o proporcijama –  Dvostrani test:

H0: p = p0

Ha: p ≠ p0 –  Standardna greška srednje vrednosti: –  Za velike uzorke se koristi normalna aproksimacija

binomnog rasporeda, i dobija se intervalna ocena:

–  Odnosno, nulta hipoteza se odbacuje ako je izračunata proporcija van ovog intervala.

npp

p)1( 00 −

=σ

nppZpZp p)1( 00

2/02/0−

±=± αα σ

Documents

TESTIRANJE HIPOTEZA – OSNOVNI KONCEPTI I TESTOVI … · frekvencije u svakom polju tabele najmanje 5. – Ako je vrednost hi-kvadrat statistike 0 treba proveriti rezult • Jačina