Лекція 1

Комплексні числа і дії над ними

Означення 1. Комплексним числом назвемо упорядковану пару дійсних чисел , побудовану таким чином, що два числа і рівні тоді і тільки тоді коли і , а дії додавання і множення над ними (+,–, х) визначаються за правилом:

,.

Означення 2. Число назвемо різницею комплексних чисел та , якщо є розв’язком рівняння .

З уведеного означення випливає, що існує комплексне число , таке що його додавання до іншого комплексного числа не змінює величини останнього. Таке число назвемо нулем.

Означення 3. Дія ділення вводиться як обернена дія до множення, тобто як знаходження розв’язку рівняння відносно , якщо . Нехай , , тоді

.

З означень 1 та 3 випливає існування такого комплексного числа, що при множенні довільного комплексного числа на це число величина добутку буде рівною . Таким числом є одиниця .

Комплексні числа утворюють поле. Для довільних комплексних чисел справедливі такі аксіоми поля:

1) – комутативність додавання ;2) –– комутативність множення;3) – асоціативність додавання;4) – асоціативність множення;5) – дистрибутивність;6) рівняння завжди має розв’язок відносно (тобто при існує число

протилежне до )7) якщо , то рівняння завжди має розв’язок відносно (тобто при

існує число обернене до ).Всі аксіоми поля перевіряються безпосередньо за визначенням дій над комплексними

числами.Розглянемо підмножину чисел виду і виконаємо над ними арифметичні дії

.Очевидно, що результат виконання арифметичних дій над комплексними числами є

комплексним числом.Поставимо у відповідність комплексному числу дійсне число a . Це буде взаємно

однозначна відповідність (ізоморфізм) між множинами цих чисел, яка зберігає визначені на цих множинах операції. Надалі числа і a будемо ототожнювати.

Інакше поводять себе числа виду . Так число , яке назвемо уявною одиницею, володіє властивістю характерною тільки йому:

. Покладемо . Тоді

.

1

Це алгебраїчна (нормальна) форма запису комплексного числа. Отже, користуючись введеним позначеннями, довільне комплексне число можна записати в алгебраїчній (нормальній) формі. Тобто ми встановили таке твердження:

Для дійсних чисел та має місце рівність .Комплексне число biabia будемо називати комплексно спряженим до

числом.Легко переконатись у вірності рівностей1) (realis – від латинського слова дійсний) – дійсна частина

комплексного числа ; 2) (imaginarius – уявний) –його уявна частина.

Множина комплексних чисел не впорядкована. Тобто комплексні числа не можна порівнювати за допомогою знаків порівняння < та >. Отже поле комплексних чисел не є розміщеним, оскільки в розміщених полях сума квадратів двох довільних його елементів рівна нулю лише у тих випадках, коли кожен елемент рівний нулю. В полі комплексних чисел , але і .

Геометрична інтерпретація комплексного числа.

Розглянемо декартову систему координат . На осі будемо відкладати дійсну частину комплексного числа, а на осі – уявну. Осі та назвемо відповідно дійсною та уявною осями. Побудовану таким чином площину будемо називати комплексною площиною. Вона встановлює взаємно однозначну відповідність між точками цієї площини і комплексними числами, за винятком нескінченно віддаленої точки.

Точки цієї площини позначимо як , де і координати точки, яка відповідає комплексному числу і зветься афіксом ( від латинського afficse – прив’язаний) комплексного числа .

Розглянемо вектор, який починається в початку координат і закінчується в афіксі комплексного числа. Спів ставимо цей вектор з комплексним числом . Довжина одержаного вектора, називається модулем комплексного числа

.Модуль комплексного числа визначається однозначно.

Кут, який утворений цим вектором і додатним напрямком дійсної осі , виміряний в напрямку проти руху годинникової стрілки, назвемо аргументом комплексного числа

, Аргумент комплексного числа визначається через головне значення аргументу (

з точністю до періоду

.

Комплексні числа рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх модулі, а аргументи рівні або відрізняються на величину кратну .

Легко бачити, що множення довільного комплексного числа на комплексне число приводить до повороту афікса цього числа на прямий кут. Дійсно

.Поворот на інший цілком певний кут може бути реалізовано множенням комплексного

числа на цілком певне комплексне число.

2

Означення 3. Числова площина називається комплексною площиною, якщо для її точок введено поняття модуля, аргументу та арифметичні дії за вказаними вище правилами. Точки комплексної площини називаються комплексними числами.

Отже комплексні числа містять у собі дійсні числа. Комплексні числа, так само як і дійсні, визначаються однозначно з точністю до ізоморфізму.

За допомогою безпосередньої перевірки виконання арифметичних дій легко довести, між полем комплексних чисел (скінченою частиною комплексної площини) і векторним полем в площині встановлено ізоморфізм.

Тригонометричний запис комплексного числа

Нехай – комплексне число. Позначимо де . Тоді , , а комплексне число запишемо у тригонометричній формі

.Враховуючи відому формулу Ейлера , одержимо показникову форму запису комплексного числа

.

Оскільки , то при множенні двох довільних комплексних чисел

і одержуємо

.

Звідки випливають такі рівності: 1) ; 2) .

Таким чином встановлено правила модуля і аргументу комплексного числа:1) якщо і два комплексних числа то

; ; 2) якщо крім того . то

; .

Відмітимо такі характерні риси операції множення (ділення) комплексних чисел.

1. З нескінченно значності функцій та ,

випливає, що головне значення або не завжди співпадають з сумою

(різницею) головних значень ( ). Дійсно, поклавши , маємо , а .

2. Множення комплексних чисел зв’язане з поворотом і гомотетією. Так при множенні числа на число довільна множина чисел повертається на кут у напрямку проти годинникової стрілки, а модулі чисел буде помножено на .

Якщо тепер поряд з множиною комплексних чисел і уведеними таким чином операціями над ними розглянути евклідову площину , поклавши , то легко бачити, що ці дві множини в своїй скінченій частині ізоморфні.

Означення 4. Нехай довільна множина. Тоді відображення називається метрикою, якщо виконуються наступні аксіоми

1) ;2) ;3) .Виконання двох перших аксіом для модуля комплексного числа не викликає сумніву.

Виходячи з геометричної інтерпретації комплексного числа, легко переконатися, що для комплексних чисел вірні нерівності трикутника

3

.Отже з уведенням модуля комплексного числа в довільній скінченій частині комплексної

площини уведено метрику, а упорядкована четвірка є нормованим простором над полем .

Подальше розширення поля комплексних чисел приводить до побудови гіперкомплексних систем або алгебр. Воно приводить до втрати властивостей комутативності і асоціативності, появою дільників нуля та тому подібне.

Теорема Ф.Фробеніуса Поле комплексних чисел є максимальним числовим полем і подальше розширення поняття числа не можливе.

Уведення У. Гамільтоном алгебр кватеріонів розвинулося у сучасний векторний аналіз. Тензорне числення також може розглядатись як теорія особливого роду гіперкомплексних чисел.

Піднесення комплексного числа до натурального степеня

Нехай –комплексне число. Визначимо комплексне число . Позначимо . Враховуючи щойно доведені правила модуля і аргументу, одержимо

.Тобто

.Якщо , то маємо відому формулу Муавра

Корінь натурального степеня з комплексного числа

Нехай . Знайдемо число . Означення 4. Під коренем степеня з числа z будемо розуміти таке комплексне число

W , яке будучи піднесене до степеня дає початкове значення числа , тобто .Нехай , а . Тоді

.Для виконання цієї рівності щоб з точністю до Отже

; . або

при ( ).

При значення в силу періодичності тригонометричних функцій будуть повторюватись. Таким чином корінь степеня з комплексного числа приймає різних комплексних значень. В комплексній площині точки лежать у вершинах правильного –

кутника, вписаного в коло радіуса з центром в точці .

Раціональний степінь комплексного числа

Нехай . Визначимо величину як число що задовольняє рівності

. Використовуючи одержані вище результати, легко переконатися в справедливості рівності

.

Необхідно зауважити, що тоді і тільки коли числа m і n взаємно прості числа.

4

Ірраціональний степінь комплексного числа

Нехай деяке додатне ірраціональне число. Як відомо, завжди можна підібрати нескінчену послідовність раціональних чисел , яка при . Тоді під ірраціональним степенем комплексного числа будемо розуміти границю

,

де приймає всі можливі значення. При під розуміємо . Легко переконатися, що для комплексних чисел вірні такі часто вживані далі рівності:

а) біном Ньютона

;

б) сума геометричної прогресії

при .

Поняття розширеної комплексної площини. Стереографічна проекція і

Сфера Рімана

При дослідженні функцій комплексної змінної значення змінюється не тільки у скінченій частині площини, але і може прямувати до невласної для нескінченно віддаленої точки. Таку точку будемо називати нескінченно віддаленою точкою і позначати символом . Комплексну площину, доповнену точкою назвемо розширеною комплексною площиною і позначимо .

Розглянемо комплексну площину з координатами і просторову прямокутну систему з координатами в просторі . Сумістим початки координат обох систем, а комплексну площину з площиною . В цій системі побудуємо сферу радіуса з центром в точці .

Нехай z довільна точка площини , –точка з координатами – полюс сфери. Очевидно, що пряма перетне сферу в єдиній точці . Напевно і навпаки, – кожній точці сфери буде відповідати єдина точка комплексної площини. Цим встановлюється взаємно однозначна відповідність між точками скінченої частини комплексної лощини і точками сфери, крім точки . Цій точці логічно було б поставити у відповідність коло нескінченного радіуса з центром в початку координат. Але така побудова порушить взаємну однозначність точок комплексної площини і сфери. Для того щоб точці відповідала єдина точка площини приймемо гіпотезу, що в комплексній площині існує єдина нескінченно віддалена точка з різними можливими напрямками руху до неї. Таке проектування точок сфери на комплексну площину і навпаки має назву стереографічної проекції, а сфера називається сферою Рімана.

Комплексна площина разом з приєднаною до неї єдиною нескінченно віддаленою точкою називається розширеною комплексною площиною.

Властивості стереографічної проекції

Встановимо зв’язок між точками комплексної площини і точками сфери Рімана . Оскільки точка належить сфері, то

5

,

або. (1.1)

Точки , та лежать на одній прямій, а отже їх координати задовольняють рівнянню

.

Звідки

; .

Тобто

; (1.2)

Розділимо рівняння (1.1)

,

але оскільки

то .

Розв’язавши ці рівняння відносно , одержимо

(1.3)

Підставивши в (1.2) знайдемо

(1.4)

(1.5)

Кругова властивість стереографічної проекції

Теорема. Довільному колу на сфері Рімана при стереографічній проекції відповідає коло в узагальненому розумінні на площині. (Тут під колом розуміємо коло як скінченого так і нескінченого радіуса, тобто пряму).

Рівняння кола в площині має вигляд ,

де –дійсні коефіцієнти. При – це рівняння прямої. Підставимо сюди замість значення за формулами (1.2) і, враховуючи рівняння сфери, одержимо

,

або. (1.6)

Це рівняння площини. Так як , то ця площина перетинає сферу Рімана. Множина точок сфери , яка відповідає колу, повинна лежати на перетині (1.1) і (1.6) (сфери і площини).

Для доведення оберненої залежності необхідно скористатися рівняннями (1.4), (1.5).

6

Властивість збереження кутів

Теорема. При стереографічній проекції кути між кривими на сфері рівні відповідними кутам між їх образами на площині.

Нехай Лекція 2.

Метричні співвідношення в комплексній площині

Уведемо метрику у розширеній комплексній площині .Означення 1. Нехай , . Тоді відтань між цими точками комплексної

площини в євклідовій векторній метриці обчислюється за формулою

(2.1)

Означення 2. Нехай і зображення точок і на сфері Рімана. Сферичною (хордовою) відстанню між точками і називається євклідова норма вектора

, тобто відстань між образами точок на сфері і Рімана

. (2.2)

Враховуючи зв’язок між координатами та

, ,

легко встановити, що

Звідки

(2.3)

Євклідова метрика діє тільки в скінченій частини комплексної площини. Якщо маємо розширену комплексну площину, то можна скористатись сферичною метрикою. Щоб визначити відстань між скінченим числом і нескінченно віддаленою точкою в (2.3) покладемо zz 1 ; 2z . Після нескладних перетворень (ділення на z і оцінки граничного значення), маємо

. (2.3’)

Введення в комплексній площині метрики перетворює її в метричний простір, для елементів якого виконуються всі аксіоми відстані.

Означення 3. Нехай маємо круг , тоді довільну множину комплексних чисел назвемо обмеженою, якщо . Якщо , то легко бачити, що

. (2.4)

7

Це означає, що у випадку обмеженої множини сферична і євклідова метрики еквівалентні.

Деякі топологічні поняття в комплексній площині

Означення 1. Елементи довільної множини назвемо точками цієї множини. Кожній підмножині EA за певним правилом поставимо у відповідність множину . Точки множини назвемо граничними точками множини , а саму множину – похідною множини . ?Якщо точка , але , то точка називається ізольованою точкою множини .?

Означення 2. Множина називається топологічним простором, якщо виконуються такі аксіоми:

1. Для довільних .2. Множина , яка складається з одного елемента має похідною множиною

порожню множину. .3. .В топологічних просторах поняття границі, неперервності вводяться і вивчаються на

основі указаних аксіом.Означення 3. – околом точки називається відкрита множина точок комплексної

площини (або ) (або Означення 4. Точка називається внутрішньою точкою множини , якщо

вона належить множині разом з деяким своїм –околом.Означення 5. Множина називається відкритою, якщо всі її точки внутрішні. Означення 6. Точка називається граничною точкою множини , якщо

множина містить нескінчену підмножину точок з . Означення 7. Множина називається замкненою, якщо вона містить в собі всі свої

граничні точки . Множина є замиканням множини .Означення 8. Якщо –доповнення до розширеної комплексної площини, то

множина називається межею множини , а її точки межовими точками. Тобто межею області є точки граничні для точок області, але їй не належні.

Отже множина є відкритою, якщо множина замкнена.З аксіоми 1 випливає, що об’єднання і перетин скінченого числа замкнених множин є

множина замкнена, а об’єднання та перетин скінченого числа відкритих множин є відкритою множиною (Довести!).

Означення 9. Зовнішньою точкою множини називається внутрішня точка множини .

Означення 10. Граничною точкою множини назвемо точку, яка не є для цієї множини ні внутрішньою, ні зовнішньою.

Множина граничних точок є замкненою. (Довести самостійно)Означення 11. Скінчена або зчислена система відкритих множин називається

відкритим покриттям множини , якщо кожна точка належить принаймні одній з множин системи .

Лема Гейне–Бореля. Із будь якого зчисленого покриття комплексної множини можна виділити скінчене покриття цієї множини. (Доведення див. курс математичного аналізу)

Означення 12. Числовою послідовністю в комплексній площині називається відображення на комплексну площину множини цілих невід’ємних чисел. Тобто послідовність – це комплексно значна функція, визначена на множині цілих невід’ємних чисел. Числа, які входять до послідовності називаються її елементами. Послідовність має нескінчену кількість елементів.

8

Означення 13. Граничною точкою послідовності називається точка , така що в околі знаходиться нескінчена кількість елементів послідовності.

Взагалі в топологічному просторі поняття обмеженої множини не має змісту. Його заміняє поняття компактності. При цьому зберігаються основні властивості простору, які характеризуються теоремою Больцано –Вейєрштрасса.

Означення 14. Множина називається компактною в топологічному просторі , якщо всяка нескінчена підмножина з має принаймні одну граничну точку, яка може і не належати .

Теорема Кантора. Спадна послідовність непустих замкнених множин

компактної множини має не порожній переріз.Означення 15. Послідовність називається збіжною, якщо вона має лише одну

граничну точку.Принцип Больцано–Вейєрштрасса. Довільна послідовність , має

принаймні одну граничну точку.Дійсно, якщо послідовність є обмеженою, то існування граничної точки випливає з

теореми Больцано –Вейєрштрасса для множини . Якщо ж множина не обмежена і в скінченій частині множини не існує граничної точки, то існує таке достатньо велике додатне число , що зовнішність круга (тобто окіл нескінченно віддаленої точки) містить нескінчену кількість членів послідовності, а отже і граничну точку.

Отже у звичайній площині існують послідовності, які не мають граничної точки, тоді як в розширеній комплексній площині довільна послідовність має граничну точку. Тобто розширена комплексна площина є компактом.

Критерій Коші. Для того щоб обмежена послідовність була збіжною щоб

і і .(Доведення див. курс математичного аналізу)

Поняття функції комплексної змінної

Означення 1. Множина називається бінарним відношенням між елементами множин та , якщо . Кожному бінарному відношенню можна поставити у відповідність обернене бінарне відношення за правилом .

Означення 2. Бінарне відношення називається функціональним, якщо воно не містить різних упорядкованих пар з однаковими першими координатами.

Означення 3. Упорядкована трійка множин називається відображенням множини в множину , якщо є функціональне бінарне відношення між елементами та .

Означення 4. Нехай довільна множина на ; а набуває довільного значення з . Тоді називається комплексною змінною, яка визначена на . Якщо комплексному значенню з за певним законом ставиться у відповідність число , то називають функцією комплексної змінної z .

Функція може задавитись параметрично за допомогою уведення дійсної і уявної частин: . Тут і є функціями дійсних змінних x і y , які приймають тільки дійсні значення.

Означення 5. Функція називається однолистою на , якщо довільним двом точкам ; відповідають два різні значення функції , тобто , Множина при цьому називається областю (множиною) однолистості.

Якщо функція однолиста, то можна визначити функцію обернену до неї

9

. Якщо функція просто однозначна, то обернена функція може не існувати. Наприклад функція , однозначна, але обернена до неї функція нескінченно значна оскільки існує безліч комплексних чисел з рівними модулями і різними аргументами.

Нехай наприклад функцію визначено в області і точки належать цій області. Тоді . Довести! Якщо ж ця функцію визначено у всій комплексній площині, то вона не буде однолистою. Дійсно нехай , але

.

Означення 6. Відображення множини на множину називається рельєфом функції.

Означення 7. Множина називається зв’язною, якщо при розбитті її на підмножини і , (жодна з яких не порожня множина), хоча б одна з них містить принаймні одну граничну

точку іншої множини. При цьому порожня множина і множина яка складається з однієї точки вважаються зв’язними.

Означення 8. Відкрита не порожня множина називається зв’язною, якщо довільні дві точки цієї множини можна з’єднати ламаної з скінченою кількістю ланок, які повністю складаються з точок заданої множини. Якщо в множину точок входить нескінченно віддалена точка, то одна з ланок ламаної буде нескінченно довгою.

У випадку відкритих множин означення 7 та 8 еквівалентні.Означення 9. Областю в комплексній площині називаємо відкриту замкнену множину. Наприклад. 1. Кільце –множина зв’язна але не відкрита, отже вона не область;

2. Круг – область.Означення 10. Межею області назвемо токи, які є граничними точками цієї області,

але їй не належать . Ці точки будемо позначати . Наприклад для області точки є граничними, але вони області не належать.Зауваження. Множина граничних точок області D замкнена. (Довести самостійно)Означення 11. Замкнена зв’язна множина простору називається континуумом.Означення 12. Кривою Кантора (або лінійним континуумом) називають замкнену зв’язну

множину не внутрішніх точок . Наприклад. 1. Замкнений круг не буде кривою Кантора, бо містить внутрішні

точки. 2. Круг з виколотою точкою теж не буде, бо це не зв’язна область, яка містить внутрішні точки. 3. Коло буде.

Якщо границя області складається з одного лінійного континуума, то обмежена нею область однозв’язна. Якщо ж границя області складається з лінійних континуумів

, то вона –зв’язна. Якщо границя області складається з

нескінченої кількості лінійних континуумів, то вона називається нескінченно зв’язною.Так 1) круг –однозв’язна область; 2) круг з виколотою точкою –двозв’язна; 3) розширена комплексна площина C з виключеними відрізками

– нескінченно зв’язна область. Означення 13. Неперервною кривою комплексній площині називається множина точок

із C , яка є образом відрізку при відображенні неперервною функцією , . Тут – комплекснозначна функція з дійсною змінною.

Означення 14. Кривою Жордана називається неперервна крива, яка не має кратних точок, тобто вона не перетинає сама себе. Якщо значення і на кінцях відрізка

співпадають, то крива Жордана називається замкненою. Означення 15. Замкнена крива Жордана є взаємно однозначним і неперервним образом

кола.Означення 16. Якщо в області визначення функції комплексної змінної існують замкнені

шляхи, вздовж яких функція одержує не нульовий приріст. Такі функції називаються неоднозначними в даній області.

10

Наприклад функція в області однозначна, але не односта, а – у цій області двозначна функція, оскільки корінь квадратний має дві вітки

; функція – нескінченно

значна в цій області і її приріст при кожному обході рівний .Теорема Жордана. Замкнена крива Жордана розбиває комплексну площину на дві

частини так, що перейти з однієї частини до другої не можливо не перетнувши криву Жордана. Одна з частин містить нескінченно віддалену точку. (Довести самостійно)

Означення 17. Область називається – зв’язною, якщо її границя складається з замкнених кривих Жордана , причому всі лежать зовні одна одної і одночасно всередині .

Означення 18. Крива називається гладкою, якщо існує похідна ( ), а похідні в точках і розуміються як односторонні.

Означення 19. Будемо казати, що в області проведено розріз вздовж кривої Жордана , якщо з цієї області вилучено усі точки .

Означення 20. Крива називається кусково гладкою, якщо вона є неперервною на і відрізок може бути розбити на скінчену кількість замкнених відрізків, на кожному з яких звуження кривої є гладкою функцією.

Означення 21. Спрямлюваною кривою називається крива , , яка має скінчену довжину. Тобто, якщо при довільному розбитті інтервалу точками

і для довільного сума залишається обмеженою.

Верхня межа цих сум є довжиною кривої .

Приклади: 1) є кривою Жордана; 2) – замкнена Жорданова крива; 3) –не гладка.

Границя функції комплексної змінної. Неперервність та рівномірна неперервність функцій комплексної змінної.

Означення 1. Проколотим –околом точки називають відкриту множину

, або коли 0z . Означення 2. ( за Коші) Нехай функція визначена в деякому проколотому околі

точки . Точка називається границею при

якщо таке, що як тільки , то

.

Тобто , якщо таке що як тільки , то

. Якщо ж , а – скінчене, то коли таке, що при

, то , то . Якщо ж і нескінчене, то

відповідні околи потрібно розглядати в сферичній метриці при )

Означення за Гейне. Комплексне число є границею функції при , якщо

11

для довільної збіжної до послідовності ( ) та існує , таке

що , тобто послідовність збігається до .

Означення 3. Нехай визначена в околі точки . Функція називається неперервною в

точці , якщо і виконується рівність .

Легко встановити, що якщо і неперервні, то неперервні і функції та , а при неперервна і частка .

Означення 4. Якщо неперервна в кожній точці області, то вона називається неперервною в області.

Означення 5. Функція називається неперервною в замкненій області , якщо вона неперервна в і, а при підході до границі вона має граничне значення в кожній точці області .

Означення 6. Функція називається рівномірно неперервною в області , якщо , таке що як тільки , Якщо точки

нескінченно віддалені то використовується відповідна сферична метрика і з що .

Теорема Вейєрштрасса. Якщо неперервна в замкненій області , то вона і рівномірно неперервна в ній.

З неперервності в замкненій області випливає, що для довільної точки і довільного можна побудувати такий круг радіуса з центром в точці , що

, як тільки . Поставимо у відповідність кожній точці області кружок з радіусом . Нехай найменше з цих значень, Тоді воно буде задовольняти умові теореми. Як тільки і точка лежить в крузі з центром в точці

, то враховуючи, що , бачимо, що точка лежить

в крузі радіуса з центром в точці . (Тут використано ламу Гейне – Бореля).

Тобто.

Якщо –скінчена величина, то говорять про неперервність в розумінні , якщо ж і функція неперервна в точці , то маємо справу з неперервністю в узагальненому

розумінні в .Якщо неперервна в розумінні на замкненій множині комплексних чисел ,

то вона володіє такими властивостями;1) вона обмежена 2) досягає своїх границь, тобто існують такі точки , що

(теорема Кантора);3) вона рівномірно неперервна на . (теорема Вейєрштрасса).

Загальні положенні теорії відображень

Поняття відображення є узагальненням поняття числової функції.

12

Означення 1. Нехай і – два топологічні простори. Якщо кожній точці поставлено у відповідність певну точку , то тим встановлено відображення (перетворення) в . Якщо при цьому кожній точці відповідає принаймні одна точка

, то цим задано відображення на .Для вказаних відображень загально прийнятим є позначення . Очевидно, що з

цих двох більш загальним є відображення однієї множини в іншу.Слід наголосити, що при відображенні довільній точці відповідає тільки

одна точка , яку позначатимемо .Означення 2. Відображення простору на простір називатимемо однолистим або

взаємно однозначним, якщо . У цьому випадку можна говорити про відображення , при якому де .

Означення 3. Множина утворює сукупність образів точок множини при відображенні , а множина є множиною прообразів множини при відображенні .

Означення 4. За означенням Коші відображення називається неперервним в точці , якщо для довільного околу точки існує такий окіл точки , що

.Відображення також називають неперервним, якщо відображаюча функція є

неперервною в кожній точці .З курсу математичного аналізу відомі таки важливі твердженняТеорема. Якщо відображення неперервне на , то для довільної відкритої

множини множина є відкритою.Теорема. Якщо неперервне на , то для довільної компактної в множини

образ множини є компактною множиною в .Теорема. Якщо неперервне на , то образ довільної зв’язної множини є

зв’язною множиною.Означення 5. Однолисте неперервне відображення називається топологічним або

гомеоморфним відображенням на , якщо відображення неперервне на .Означення 6. Властивості множин, які зберігаються при топологічних відображеннях

називаються топологічними властивостями або топологічними інваріантами. Так, властивості множин мати граничні точки, бути відкритими, зв’язними або компактними є топологічними інваріантами.

Лекція 3

Диференційовність функцій комплексної змінної. Умови Коші–РІмана.

Нехай в області комплексної змінної z CD задано функцію ),(),()( yxivyxuzfW . В околі точки z розглянемо приріст цієї функції

)()( zfzzfW . Означення 1. Функція )(zf називається диференційовноюв точці z , якщо в цій

точці вона має похідну. Тобто якщо при 0z існує скінчена границя відношення

zfzf

zW

z

)(lim0

, (3.1)

яка не залежить від шляху прямування z до нуля. Ця границя нзивається похідною від функції )(zf .

Диференційовна функція називається моногенною.Отже, функція )(zf диференційовна, якщо виконуються умови

0),(0 zz з того що z

)(zfzW

(3.2)

13

Якщо функція диференційовна, то zzzfW )( (3.3)

0),( zz при 0z .І навпаки, якщо

zzAW ; constA (3.4)і 0),( zz при 0z , то така функція диференційовна в точці 0z . Переходячи до границі )( 0zfA .

З (3.3) ввипливає, що )(zf в точці 0z диференційовна і неперервна. Головна лінійна частина приросту W відносно z в околі точки z називається

диференціалом функції в цій точці і позначається zzfdW )( .

Якщо взяти zW , то zdzdW 1 . Отже dzzfdW )( )(zfdzdW .

Якщо для неперевних функцій дісної змінної, визначених на замкненому відрізку ],[ ba складно навести приклади ніде не диференційовної функції, то в теорії функцій

комплексної змінної таким прикладом є крива Пеано. Другим більш наглядним і простим прикладом є функція iyxzW , де yx, – дійсні змінні. Ця функція не диференційовна. Дійсно

0,01

0,01(yx

xy

zzzz

zW

Отже границя не існує.Відомі з математичного аналізу правила дференціювання в комплексній площині

зберігаються.Означення 1. Функція )(zf називається аналітичною в однозв’язній області D ,

якщо вона однозначна і диференційвна у всякій точці цієї області.Приклади. 1) 2)( zzf в крузі 1z аналітична;

2) 23

)( zzf в крузі 1z диференційвна але не нднозначна не аналітична.

Означення 2. Функція )(zf називається аналітичною в неоднозв’язній області, якущо вона аналітична в довільній однозв’язній підобласті, розташованій в заданій області.

Означення 3. Функція аналітична в точці, якщо вона аналітична в деякому околі цієї точки.

З диференційовності в в точці не слідує анаолітичніість в ній. Дійсно, zzRe

диференційовна в точці 0z 0Re

lim0

z

zz

z, але вона не диференційовна в жодній

точці околу 0z .

00ReReReReRe

yzxxx

zzzzzzz

zzzzzzz

Основні властивості аналітичних функцій

1. Сума, добуток різниця і частка (якщо знаменник не рівний нулю) скінченого числа аналітичних функцій є функцією аналітичною.2. Аналітична функція від аналітичноє є аналітичною функцією.Перше твердження очевидне. Доведемо друге.

MNzf :)( однозначно, WMF : теж. Отже :)( fF WN є однозначним відображенням. Крім того

14

zf

fF

zf

fF

zF

zF

zfz

limlimlim

000,

де обидві похідні в парвій частині існуютьКажуть що дві однозначні функції дійсних змінних ),( yxu і ),( yxv задовольняють

в точці ),( 00 yx умови Коші–Рімана (С–R), якщо вони в даній точці мають частинні похідні і задовольняють систему диференціальних рівнянь

xv

yu

yv

xu

; .

Теорема 1. (Необхідність умови Коші–Рімана) Для того щоб функція ),(),()( yxivyxuzfW була диференційовною в точці 000 iyxz необхідно щоб її

дійсна і уявна частини ),( yxu і ),( yxv в точці ),( 00 yx задовольняли умови Коші–Рімана

xv

yu

yv

xu

; (3.6)

Доведення. Відомо, що yixviu

zfz

0lim)( –не залежить від способу прямування 0z

. Нехай 1) )0( yxz

xv

ixu

xviu

zfx

0lim)( ;

2) )0( xyz

yv

yu

iyiviu

zfx

0lim)( .

Співставивши 1) і 2) приходимо до умов Коші–Рімана.Інтегрування в комплексній площині.

Криволінійний інтеграл.

Нехай в комплексній площині задано спрямлювану криву , на якій визначено функцію . Розіб’ємо дугу точками , ,.., на відрізки . На дугах , обмежених точками і , довільно візьмемо точки . Складемо інтегральну суму

.

Тут , . Оскільки спрямлювана крива, то права частина рівності має певну границю при ( , ), яка не залежить від вибору точок і, отже

Цю границю називають криволінійним інтегралом вздовж кривої

.

Отже криволінійний інтеграл в комплексній площині записується як сума двох (дійсної і уявної частини) криволінійних інтегралів від функцій дійсних змінних та .

15

Означення. Якщо існує скінченна границя інтегральної суми при , так що

і границя цієї суми не залежить від вибору точок , то цю границю

називають інтегралом від функції в комплексній площині вздовж кривої .

Якщо крива описується функцією, залежною від параметра

, ,

і , то

Властивості криволінійних інтегралів

1. , де той же контур що і , але пройдений в зворотному напрямку.

2. Лінійність , де - сталі.

3. Якщо , то .

4. , де – елемент дуги .

5. , де ; – довжина кривої .

6. Суму рівномірно збіжного ряду, складеного з неперервних функцій можна почленно інтегрувати.

Доведемо властивість 6. Нагадаємо спочатку визначення.

Означення. Ряд збігається рівномірно в , якщо таке що

, . Тут частинна сума ряду.

Доведемо допоміжне твердження.

Теорема. Якщо ряд збігається рівномірно збігається в , а його члени

неперервні в точці , то сума ряду неперервна в точці .Нечай в точці всі члени ряду неперервні. Оцінимо:

,

при і достатньо малому, прямуючому до нуля , перший і третій модулі в правій

рівності стають меншим від в силу рівномірної збіжності ряду. Другий модуль менший

16

при достатньо малому , оскільки кожен з доданків скінченної суми неперервний в точці . Тобто при

.

Розглянемо ряд в якому всі функції визначені і неперервні в деякій

однозв’язні області . Нехай сума цього ряду. Отже члени рівномірно збіжного ряду

є неперервними на спрямлюваній кривій . Тоді функція буде

неперервною вздовж . Із рівномірної збіжності ряду слідує, що такі, що при . Величину назвемо залишковим членом

ряду. Оскільки при

,

де довжина дуги , то

.

Тобто рівномірно збіжний ряд можна почленно інтегрувати.

Приклади обчислення простіших інтегралів.

1. ;

2.

Формальні правила інтегрування в комплексній площині залишаються такими ж як і в площині дійсних змінних.

Лема Гурса про апроксимацію криволінійного інтеграла.

Нехай функція є визначеною і неперервною в області і спрямлювана крива . Тоді для довільного заданого знайдеться така ламана вписана в криву

така, що

.

Нехай , , ... , , вершини ламаної . Зробимо оцінку різниці інтегралів

Розглянемо замкнену область , таку що . В області функція рівномірно неперервна і отже, для другого доданка маємо

17

.

Оскільки такі, що для будь-якого належного відрізку ламаної

, як тільки , то

,

де довжина ламаної.Оцінимо тепер перший доданок. Врахувавши неперервність функції та

спрямлюваність дуги , одержимо

.

Отже існує ламана , така, що

.

Теорема Коші.

Якщо функція аналітична в однозв’язній області , то інтеграл від неї вздовж довільного замкнутого контуру рівний нулю

Зазначимо, що при додатковій умові, що дійсна і уявна частині мають неперервні частинні похідні у внутрішніх точках області , обмеженій замкненою кусково – гладкою жордановою кривою , а криволінійний інтеграл в лівій частині обчислюється вздовж за напрямком проти годинникової стрілки, доведення слідує з формули Гріна –Остроградського та умов Коші – Рімана

Розглянемо викладену вище більш загальну умову теореми Коші. За лемою Гауса, інтеграл по замкнутій кривій можна наблизити з заданою точністю інтегралом вздовж ламаної , яка вписана в . Таким чином замінимо наш інтеграл вздовж дуги на інтеграл вздовж замкненої ламаної . Розіб’ємо область обмежену на трикутники діагоналями, проведеними з точки . Нехай одержали трикутників . Тоді

,

тому що інтегрування вздовж внутрішніх діагоналей приводить до нульової суми. Теорему доведемо для одного з трикутників. Припустимо від супротивного, що трикутник з периметром довжини , такий, що

.

Доведемо, що . Розіб’ємо трикутник середніми лініями на чотири трикутники . Оскільки

,

18

то серед цих трикутників існує хоча б один трикутник з периметром , такий, що

. Цей трикутник знову ж розіб’ємо на чотири трикутники і знайдемо серед

них , такий, що периметр рівний , а . На му кроці знайдемо трикутник

для якого периметр рівний , а послідовність трикутників є

послідовністю вкладених один в одного трикутників. Це означає, що , яка є спільною точкою для всіх трикутників, а функція аналітична в цій точці (оскільки аналітична в ), а отже і диференційовна в цій точці. Тобто

,

де при . Звідки

.Зінтегруємо цю рівність

.

Оскільки як було показано, три перші інтеграли справа рівні нулю, то

.

Отже, виходячи з припущення, що , маємо

.

Але при . Тобто , що суперечить припущенню.Оскільки одержаний результат вірний для всіх трикутників, то вірною буде і рівність

для довільної ламаної. Використовуючи лему Гурса, приходимо до твердження теореми.

Теорема Коші для багатозв’язних областей

Якщо функція однозначна і аналітична в неоднозв’язній області , яка обмежена замкнутими спрямлюваними контурами , причому охоплює всі інші контури, то

.

Для доведення теореми досить з’єднати довільними розрізами всі контури з контуром . Одержимо однозв’язну область з границею , де

є сумою відрізків берегів розрізів, які проходяться в обох напрямках. У відповідності з першою властивістю інтеграла в комплексній площині, інтеграл вздовж рівний нулю. Крім того за теоремою Коші для однозв’язної області

,

19

а тому

.

Обмеження щодо аналітичності в і на границі може бути послаблено.

Узагальнена теорема Коші. ( Без доведення )

Нехай функція аналітична в однозв’язній області і неперервна в замкнутій області , де - спрямлюваний замкнутий контур, тоді

.

Зауваження: Узагальнена теорема Коші просто переносить теорему Коші на випадок багато-зв’язної області. Тобто, якщо функція аналітична в одноз’язній області і неперервна в замкнутій області , де , а – спрямлювані замкнені контури, то

.

Інтеграл Коші і інтегральна формула Коші.

Нехай функція аналітична в однозв’язній області і неперервна в замкненій області , де спрямлюваний замкнений контур. Тоді. для довільної точки справедлива інтегральна формула Коші

.

Зафіксуємо довільну точку і побудуємо навколо цієї точки круговий окіл , межею якого є коло з обходом в напрямку за годинниковою

стрілкою. Введемо функцію . Вона аналітична в неоднозв’язній області

з складною межею . За узагальненою теоремою Коші для неоднозв’язної області маємо:

Розглянемо

Оскільки , то , то . Отже

Оцінимо

.

Очевидно, що функція аналітична в за виключенням можливо точки ,

яка є центром цього круга, а

20

,

де при . Отже

при і

.

З останньої нерівності випливає, що при . Враховуючи це, можна записати рівність

.

Інтеграл в правій частині та перший доданок зліва не залежить від і. при переході до границі при маємо:

.

Права частина останньої рівності називається інтегралом Коші. Інтегральна формула Коші встановлює зв’язок між значенням функції в довільній точці і значенням інтеграла від цієї функції на границі.

Зауваження 1. Якщо точка , то

.

Зауваження 2. Формула Коші має місце і для складних контурів .

Теорема про середнє арифметичне.

Нехай функція аналітична в крузі і неперервна в , тоді її значення в центрі круга рівне середньому значенню на границі круга

.

За формулою Коші маємо

.

Враховуючи, що є колом зробимо заміну , . Тоді

Принцип максимуму модуля аналітичної функції .

Модуль аналітичної функції відмінної від тотожної константи не може приймати свого максимального значення в середині області аналітичності. Доведення приведемо від супротивного. Припустимо, що аналітична в області і

досягає свого максимуму рівного в точці . Побудуємо відкритий круг

. За теоремою про середнє маємо

21

.

Оскільки за умовою теореми , то а отже

.

Отримали протиріччя . В силу довільності точки і величини радіуса знак рівності можливий лише у випадку, коли в усьому замкнутому крузі.

Допустимо, що існує хоча б одна точка , така що . Тоді за неперервністю функції на контурі буде і на деякій ділянці дуги , наприклад, . Враховуючи це запишемо

.

Оскільки

,

то одержуємо нерівність

,

яка приводить до протиріччя. Тобто . Оскільки вибрано довільно тільки

при єдиній умові, що , то

Доведемо, що . Візьмемо іншу довільну точку ( ) і

доведемо, що . Сполучимо точки і довільною кривою . Покриємо цю

криву системою кругів , таких, що і , тобто

центр кожного наступного кола належить попередньому. Оскільки точка , то

. Тоді . Провівши скінчене число кроків приходимо до

круга , який містить в собі точку . Для кожного з кругів встановлюємо, що

, як тільки . Продовжуючи процес до , одержуємо, що .

Оскільки точки і – довільні точки області, то .Доведемо, що . Нехай оскільки в цьому випадку і

може бути довільним. Розглянемо . За умовою аналітична і , отже

– аналітична і для функцій і виконуються умови Коші - Рімана:

; ,

отже або

Наслідок 1. Якщо функція аналітична в і неперервна в , то максимум модуля досягається на кривій .

Наслідок 2 . Якщо функція аналітична в і неперервна в , і в , то мінімум модуля може досягатись тільки на .

22

Для доведення достатньо зробити заміну і застосувати до цієї функції принцип

максимуму модуля аналітичної функції.

Означений і неозначений інтеграл в комплексній площині.

Поняття означеного інтеграла має місце лише для аналітичних функцій. Дійсно, нехай аналітична в , а і . Проведемо через ці точки замкнутий спрямлюваний контур

який розбивається точками і на дві складові і . За теоремою Коші

або

.

Очевидно, що при заміні дуги на іншу дугу , так що контур є замкненим і належить одержимо, що

.

В силу довільності контурів і приходимо до висновку, що в комплексній площині інтеграл від аналітичної не залежить від шляху інтегрування, а залежить лише від початкової і кінцевої точки інтегрування

.

Останній інтеграл називається означеним. Враховуючи те, що теорема Коші справджується лише для аналітичних функцій маємо, що означений інтеграл має місце тільки для аналітичних функцій. Якщо в останній рівності сталу величину замінити на змінну величину , то одержимо деяку функцію змінної :

,

яку називають інтегралом зі змінною верхньою межею.

Теорема. Означений інтеграл, як функція змінної верхньої границі є аналітичною функцією, для якої вірна рівність

. Покажемо, що функція однозначна в . Розглянемо приріст при обході вздовж довільного замкнутого контуру .

.

За теоремою Коші цей інтеграл рівний нулю. А це в силу довільності означає однозначність функції .

Доведемо диференційовність . Виходячи з означення похідної маємо

.

Оцінимо величину

23

.

Оскільки функція неперервна в розглянутій області, то , таке, що як тільки то , а отже

.

Враховуючи, що шлях інтегрування в даному випадку може бути довільним, приймемо його за пряму, що сполучає точки і , тоді

.

Звідки

Означення. Функція є первісною (або примітивною) по відношенню до , якщо вона аналітична в і

.Звідси випливає, що означені інтеграли зі змінними верхніми межами це первісні по

відношенню до підінтегральних функцій.

Теорема. Дві довільні первісні до функції відрізняються на сталу.

Дійсно, нехай і дві різні первісні до : і . Позначимо

.

Тоді або .

Отже ,

тобто .

Сукупність всіх первісних називається неозначеним інтегралом . Встановимо зв’язок між означеним і неозначеним інтегралами. Нехай первісна до . Тоді

,

підставимо , маємо . Тобто . Таким чином

,

а це відома формула Ньютона – Лейбниця.

Інтеграл типу Коші та його властивості.

Інтеграл типу Коші.

Нехай довільна замкнена або ні кусково гладка спрямлювана крива або сукупність гладких спрямлюваних кривих. І нехай функція визначена і неперервна на . Тоді інтеграл

24

називається інтегралом типу Коші. Легко бачити, що відмінність інтеграла Коші

від інтеграла типу Коші полягає в тому, що в ньому крива гладка спрямована і замкнена, а функція аналітичні в обмеженій області і неперервна на . Отже інтеграл Коші є частинним випадком інтеграла типу Коші і всі властивості інтеграла Коші є притаманні інтегралу типу Коші.

Основні властивості інтегралу типу Коші

Теорема про аналітичність інтегралу типу Коші

Інтеграл типу Коші є аналітичною функцією в довільній однозв’язній області , яка не містить в собі контуру .

За умовою теореми відстань від до рівна . Встановимо однозначність інтегралу типу Коші. Зафіксуємо точку і . Опишемо деякий замкнений контур ,

що виходить з точки . Позначимо через значення функції при виході з точки , а

через – значення функції при підході до вздовж контуру (кінцеве значення). Легко бачити, що підінтегральна функція неперервна в (точка , а точка ), а це означає, що при прямуванні до вздовж контуру в додатному напрямку

.

А оскільки довільний замкнений контур, то – однозначна.Доведемо диференційовність. Покажемо, що має похідну в кожній точці і

.

Тобто похідна визначається формальним диференціюванням підінтегральної функції.Розглянемо вираз:

.

Оскільки , то , отже

при .

Наслідок 1. Довільна функція , визначена інтегралом типу Коші, або інтегралом типу Коші в довільній однозв’язній області , яка не містить точок контуру інтегрування , має в цій області похідні до будь-якого порядку. Ці похідні є однозначними функціями в і визначаються за формулами:

25

.

Отже похідні від довільного порядку інтегралу типу Коші або інтегралу Коші є аналітичними функціями в .

Доведення цього твердження приводиться аналогічно до доведення попередньої теореми з використанням методу математичної індукції.

Дійсно, для це уже доведено. Будемо вважати, що формула вірна для і доведемо її для . Провівши прості обчислення, одержимо

,

де – стала, яка залежить лише від і . Звідки зробивши граничний перехід при приходимо до висновку про вірність формули диференціювання аналітичної функції при

.

Наслідок 2. Довільна функція , яка аналітична в однозв’язній області має похідні в цій області будь-якого порядку, які є аналітичними функціями в цій області.

Для доведення цього твердження достатньо записати функцію у вигляді інтегралу Коші і врахувати, що інтеграл Коші є частинним випадком інтегралу типу Коші та використати його властивості.

Гармонічність дійсної і уявної частин аналітичної функції

Нехай дійсна функція двох змінних і . Якщо вона двічі неперервно диференційовна, однозначна в деякій однозв’язній області і задовольняє рівняння Лапласа в цій області

,

то вона називається гармонічною функцією в даній області.Функція є гармонічною в не однозв’язній області , якщо вона гармонічна у всякій однозв’язній підобласті, яка повністю лежить в ( ).

Приклад: – аналітична в кільці . Легко бачити, що

є однозначною і гармонічною в цьому кільці, а – не однозначна в цьому

кільці, але однозначна в кожній однозв’язній підобласті кільця.

Гармонічність дійсної і уявної частини аналітичної функції.

Нехай аналітична в . Тоді . Оскільки

аналітична, то неперервні. Якщо перше рівняння Коші – Рімана

продиференціюємо за , а друге за і складемо, то одержимо

26

,

якщо ж перше рівняння цієї системи продиференціємо за , а друге за і від першого результату відняти другий, то прийдемо до рівняння Лапласа для

.

Гармонічні функції та , які задовольняють умовам Коші – Рімана називаються гармонічно спряженими. Таким чином ми встановили, що дійсна і уявна частини аналітичної функції є гармонічно спряженими функціями.

Відновлення аналітичної функції за її дійсною або уявною частинами.

Нехай аналітична функція і відомо її дійсну частину . Тоді легко відтворити і її уявну частину з точністю до сталого доданка. Дійсно

.

Використовуючи умови Коші – Рімана, останній інтеграл запишемо так

.

Отже

.

Оскільки інтегрується повний диференціал , то значення інтегралу не залежить від шляху інтегрування. Аналогічно встановлюємо формулу для відновлення дійсної частини за відомою уявною.

Теорема Ліуввіля.

Функція аналітична в усякій скінченній частині комплексної площини і обмежена при підході до нескінченності є тотожною сталою.Подамо функцію у вигляді інтеграла Коші

і зафіксуємо точку , а за контур інтегрування виберемо коло . Тоді, а отже

.

Оскільки обмежена і , а , то

при .

Отже , а внаслідок довільності вибору точки приходимо до висновку, що . Тобто .

27

Теорема Морера (обернена до теореми Коші).

Якщо функція неперервна у деякій однозв’язній області і інтеграл від неї по довільному замкненому контуру , який повністю лежить в рівний нулю, то функція аналітична.Розглянемо функцію

.

Її приріст по довільному контуру визначається як . За умовою теореми

останній інтеграл рівний нулю. Отже – аналітична функція.Доведемо тепер диференційовність цієї функції. Виберемо довільну точку .

Дослідимо відношення

.

Оцінимо кожен з цих інтегралів. В силу неперервності перший інтеграл

при .Другий визначимо за правилами інтегрування та за визначенням первісної

.

Звідки

.

Отже функція однозначна і диференційовна в довільній точці області . Тобто вона в ній аналітична. А як відомо, похідна від аналітичної функції є аналітичною функцією.

Інтеграли Пуассона та Шварца.

Інтегралом Пуассона називається інтеграл

.

Інтеграл по замкненому контуру

.

– інтегралом Шварца.Оскільки інтегрування ведеться по колу, то , і, отже для

інтеграла Шварца маємо

28

.

Тут неперервна і періодична функція.

Властивості інтеграла Пуассона і Шварца.

1. Інтеграл Шварца є аналітичною функцією. 2. Інтеграл Пуассона є дійсною частиною інтеграла Шварца, а отже він є гармонічною

функцією.

1. Покажемо, що інтеграл Шварца можна подати у вигляді інтегралу типу Коші. Оскільки

,

то інтеграл Пуассона можна записати так

= – ,

а це є інтеграли Коші. Отже інтеграл Шварца є аналітичною функцією в крузі .2. Доведемо твердження, що . Покладемо . Оскільки , то

; . Враховуючи, що

, маємо

.

Отже є гармонічною функцією.

Значення інтегралів Пуассона і Шварца на колі

Нехай маємо коло Покажемо, що інтеграл Шварца збігається рівномірно до як тільки .Покладемо спочатку . Тоді

.

Після переходу до полярних координат , та і виконання інтегрування, одержимо . Отже

.

Розглянемо випадок, коли довільна неперервна функція, а точка вздовж

радіуса. Тобто . Оцінимо різницю

29

= .

Коло розіб’ємо на дві дуги і , де – це дуга кола , яка обмежена дугою , а вибрано так, щоб з неперервності випливало, що . Відповідно до цього, останній інтеграл подамо як суму двох інтегралів: А – інтеграл по дузі

і інтеграл В по дузі .

Очевидно, що

<

При і .Перейдемо до контуру . Нехай , (якщо

, то ця оцінка випливає з неперервності для ). Тоді

при .

Враховуючи, що вибрано довільно, можна стверджувати, що рівномірно за

прямує до при вздовж радіуса.

Розглянемо тепер загальний випадок прямування до . Тоді з неперервності

випливає, що , як тільки . Також з неперервності випливає, що

таке, що як тільки то . Отже при , де при . А оскільки інтеграл

Пуассона є неперервною функцією в крузі і приймає граничні значення при підході до границі з середини круга, то ці значення рівні . Звідси випливає, що дійсна частина інтеграла Шварца рівномірно прямує при підході до границі круга до значення неперервної функції . Отже інтеграл Пуассона – гармонічна функція в крузі , яка на границі круга приймає цілком певні значення. Інакше, за допомогою інтеграла Пуассона можна виразити значення довільної гармонічної функції у внутрішніх точках круга, через її значення на границі круга .

Головне та граничні значення інтегралу типу Коші

До цього часу інтеграл типу Коші ми розглядали в областях, які не містять точок контуру інтегрування і встановили, що в цих областях інтеграл типу Коші як функція змінної є аналітичною.

Нехай тепер точка . В цьому випадку інтеграл

стає невласним інтегралом і в звичайному розумінні втрачає зміст. Його ми будемо розглядати в розумінні головного значення.

30

Під контуром будемо розуміти гладкий замкнений контур. Зафіксуємо на ньому точку і відкладемо від точки по різні боки вздовж контуру дві дужки довжиною . Контур з викинутими дужками позначимо

Розглянемо інтеграл

.

Цей інтеграл, якщо він існує, назвемо головним значенням інтегралу типу Коші.Покажемо, що якщо функція аналітична на , то головне значення інтегралу типу

Коші існує в кожній точці контуру . Для цього точку охопимо колом . Ту частину його, яка лежить в середині області обмеженої контуром позначимо через . Частину контуру з викинутим околом точки позначимо через .

Тоді, очевидно, що можна записати

.

Оскільки функція є аналітичною в області обмеженій контурами і , то інтеграл

вздовж можна замінити інтегралом вздовж . Врахувавши, що

маємо

.

Оскільки при то при

.

Оцінимо тепер інтеграл . Оскільки функція аналітична в точці , то вона має обмежену похідну в цій точці . Отже

при ,

,

де - довжина контуру .Звідси випливає, що головне значення інтегралу типу Коші існує в кожній точці

контуру .

Граничні значення інтегралу типу Коші .

Інтеграл типу Коші є аналітичною функцією у всіх точках . Виникає природне питання, чи існують значення інтегралу типу Коші при прямуванні точки до контуру інтегрування з середини чи із зовні контуру ? Якщо вони існують, то в якій вони залежності від головного значення інтегралу типу Коші ?

Зафіксуємо точку на контурі . Нехай – головне значення інтегралу типу Коші.

Позначимо через значення інтегралу типу Коші при підході до цієї точки з середини

31

області, а через – його значення при підході до точки із зовні.

Нехай спочатку з середини області. Відкладаємо від точки по різні боки відрізки завдовжки . Позначимо цю відокремлену частину контуру через . Через кінці відокремленої частини контуру проведемо дугу кола , яка лежить зовні області.

Вимагатимемо, щоб була аналогічною на . Аналітичність на вимагає, щоб функція була аналітичною в кожній точці, а отже і в деякому околі цієї точки. Тобто повинна існувати смуга, яка містить в собі контур . Але така смуга не однозв’язна область, а в не однозв’язній області від аналітичної функції не вимагається однозначність.

Тепер

Накладемо тепер обмеження на вибір величини . Виберемо його так, щоб дужка (див. малюнок) лежала в смузі аналітичності функції . Тоді інтеграл по можна замінити інтегралом по .

Отже

Спрямуємо до нуля. Тоді перший інтеграл справа дає головне значення інтегралу типу Коші .

Розглянемо другий інтеграл

Оскільки аналітична функція, то її похідна обмежена , а та довжина контуру прямує до нуля при , то

.

Отже

.

Якщо точка лежить зовні контуру і зовні контуру , то аналогічно міркуючи одержимо

,

бо при .Отже для граничних значень інтегралу типу Коші виконуються наступні рівності

;

.

Це формули Сохоцького. Ним також доведено, що всі ці формули

32

справедливі і при більш слабких обмеженнях до функції . Так вста-новлено, що умову аналітичності можна замінити умовою Гельдера на .

Тобто достатньо вимагати щоб існували такі дві сталі і , що для довільних точок і виконується умова

.

Ряди аналітичних функцій

Рівномірно збіжні ряди аналітичних функцій

Нехай маємо нескінченну послідовність функцій . Ця послідовність називається рівномірно

збіжною в області до , якщо , таке що при .

Відомо, що для того щоб збіглась рівномірно до деякої границі в щоб для довільного заданого існувало число )(N таке що , як тільки і будуть більшими (Критерій Коші).

Говорять, що ряд функцій комплексної змінної збігається в області рівномірно, якщо рівномірно збігається послідовність його часткових сум.

Для теорії рядів аналітичних функцій важливе значення має наступна теорема.

Теорема Вейєрштрасса. Нехай нескінченна послідовність функцій аналітичних в області і неперервних в , де границя

області – гладкий замкнений контур. Тоді, якщо ряд

збігається рівномірно на контурі , то:а) він збігається рівномірно і в усій замкненій області ;

б) сума ряду є функцією аналітичною в області і

неперервною в ;в) такий ряд можна почленно диференціювати довільне число

разів, а ряди одержані в результаті диференціювання будуть рівномірно збіжними в області .

Складемо частинні суми

і обчислимо різницю .

Оскільки в правій частині маємо скінчену суму аналітичних в і неперервних в функцій, то різниця є аналітичною функцією . Оцінимо модуль цієї різниці.

З того, що ряд рівномірно збіжний на контурі випливає, що при , а з принципу максимуму модуля аналітичної функції маємо

.

Отже при маємо.

33

Таким чином ряд за критерієм Коші збігається в .

б) Неперервність суми ряду випливає з того, кожен член ряду є

неперервною функцією, а ряд рівномірно збіжний в (див. попередні лекції).Візьмемо тепер в області деякий гладкий замкнений контур і будемо позначати

змінну на ньому через , а через – позначимо значення змінної в частині області , яка лежить в середині контуру . Домножимо кожен член лівої та правої частини ряду

на . Оскільки, цей ряд рівномірно збіжний, то і ряд в правій частині рівності

теж рівномірно збіжний, і отже його можна почленно інтегрувати

.

Оскільки всі аналітичні в області , то в лівій і правій записані інтеграли Коші. Отже звідси маємо

.

З уже встановленого, функція подана у вигляді інтегралу типу Коші є аналітичною функцією. Отже в силу довільності контуру приходимо до висновку, що функція

є аналітичною в кожній точці області .

в) Побудуємо в області довільний гладкий замкнений контур . Нехай , а належить внутрішній області обмеженій контуром . Домножимо рівномірно збіжний ряд

на величину , де довільне фіксоване натуральне число. При цьому ряд

теж буде рівномірно збіжним. Зінтегрувавши ліву і праву частину вздовж контура , одержимо

.

Для доведення рівномірної збіжності цього ряду використаємо критерій Коші.

Оцінимо величину

34

В області аналітичності ряд збігається рівномірно. Отже при і довільних

,

, а оскільки . Тоді

,

де – довжина контуру . Це означає, що ряд рівномірно збігається в області .

Степеневі рядиРозглянемо степеневий ряд

,

де – деякі комплексні сталі, а фіксована точка комплексної площини. Легко бачити, що степеневий ряд є частинним випадком функціонального ряду аналітичних функцій, у якому

. Не обмежуючи загальності, надалі будемо вважати, що ( це легко одержати за

допомогою переносу) і степеневий ряд, коли це не меє принципового значення, будемо записувати у вигляді

.

Дослідимо, в якій області степеневі ряди рівномірно збігаються, тобто з’ясуємо, в якому випадку сума ряду буде аналітичною функцією.

Перша теорема Абеля.

Якщо ряд збігається в деякій точці , то він збігається і при

тому абсолютно у всякій точці такій, що .

Із збіжності ряду в точці випливає, що , починаючи з деякого

номера повинна виконуватись нерівність . Отже

,

де, очевидно, . Тобто степеневий ряд мажорується числовим рядом – нескінченно спадною геометричною прогресією з знаменником .

З першої теореми Абеля випливає, що областю збіжності степеневого ряду є круг, з центром в початку координат. Цей круг може стягуватись в точку або вироджуватись у всю комплексну площину.

Розглянемо випадки, коли ряд збігається у всій комплексній площині, або ж збігається тільки в одній точці . Побудуємо промінь, якій виходить з початку координат під деяким кутом . Точки, для яких ряд збігається віднесемо до класу І, а точки в яких ряд розбіжний до класу ІІ. Побудовані множини точок класів І та ІІ на промені матимуть спільну границю.

35

Таке розбиття називається перерізом Дедекінда на промені в комплексній площині. Цей переіз визначає деяку точку , яка ділить всі точки променя на два класи. Сама ж точка може належати або до класу І, або до класу ІІ. Побудуємо тепер круг з центром в початку координат радіуса . За першою теоремою Абеля степеневий ряд збігається у всякій точці всередині цього круга і буде розбігатися в зовнішніх точках відносно кола. Що ж до точок кола, яке обмежує даний круг, то в кожному конкретному випадку збіжність ряду потрібно досліджувати окремо. Може трапитись, що на границі круга існують точки, в яких ряд збігається і точки в яких розбігається. Але існує принаймні одна точка в якій ряд буде розбігатися, тому що в противному разі радіус круга повинен бути більшим.

Радіус круга, на границі якого існує точка, в якій ряд розбігається називається радіусом збіжності степеневого ряду. Отже всередині круга, обмеженого радіусом збіжності степеневий ряд збіжний.

Наприклад:

1. Ряд збігається тільки в точці .

2. Ряд збігається у всій комплексній площині.

3. Ряд збігається в одиничному крузі.

Формула Коші – Адамара для визначення радіуса круга збіжності степеневого ряду.

Нехай маємо степеневий ряд . Покажемо, що радіус збіжності цього

степеневого ряду визначається за формулою ,

де .

1. Нехай . Тоді для всіх , таких що їх модуль як завгодно

велике число . Отже радіус збіжності і формула Коші – Адамара вірна.2. Нехай тепер і . Тоді . Отже загальний член ряду не прямує до нуля. Тобто ряд розбіжний. ( ).

3. Покладемо .

а) Якщо , то . Із визначення випливає, що для всіх значень будемо

мати . Виберемо так, щоб . Тоді

і

,

тобто . Отже степеневий ряд збіжний, бо він мажорується нескінченно спадною геометричною прогресією.б) Покладемо і доведемо, що в таких точках степеневий ряд розбіжний.

З означенням верхньої межі послідовності випливає, що нескінченна множина

значень послідовності таких, . Виберемо . Тоді

36

.

Звідки слідує, що , а отже ряд розбіжний.

Теорема. Сума степеневого ряду в крузі збіжності є аналітичною функцією. Нехай радус збіжності степеневого ряду. Тоді в кожній точці круга степеневий ряд збігається рівномірно, а його члени є аналітичними функціями в цьому крузі. Отже за теоремою Вейєрштрасса сума ряду є аналітичною функцією в .

Друга теорема Абеля.

Якщо степеневий ряд

збігається в точці границі круга збіжності і сума ряду в цій точці , то

при вздовж довільного шляху, якій лежить всередині кута з вершиною в точці розхилу не більшого від . Оскільки перетворення паралельного переносу, гомотетії та повороту на збіжність степеневого ряду не впливають, то не зменшуючи загальності міркувань, покладемо ,

, і уведемо функцію

,

де - частинні суми збіжного ряду. Отже існує номер такий, що при

. Тоді

.

Очевидно, що перша сума обмежена як скінчена сума обмежених функцій:

,

а

.

Отже

.

При прямуванні до вздовж довільного шляху всередині кута розхилу не більшого від з

вершиною в точці маємо, що обмежена величина, а в силу збіжності

степеневого ряду в точці . Отже .

Ряд Тейлора

37

Нехай аналітична функція в деякій однозв’язній області , а точка , довільна точка з цієї області . Побудуємо круг який повністю лежить в області . Тоді для кожної точки має місце інтегральна рівність Коші

,

де – коло, яке обмежує круг . Оскільки лежить строго всередині круга , а

, то . Отже є сумою спадної геометричної прогресії і можна

записати

.

Оскільки нескінченно спадна геометрична прогресія є рівномірно збіжним рядом в , то його можна почленно інтегрувати вздовж границі цього круга

.

Отже

,

де . Враховуючи формулу для похідних інтегралу Коші, останній ряд

запишемо у вигляді звичного ряду Тейлора

.

В оклі точки візьмемо точку і побудуємо круг .

Міркуючи аналогічно, функцію можна розвинути і ряд Тейлора і в околі точки . Приймаючи до уваги лему Гейне – Бореля про покриття робимо висновок, що функція аналітична в області розвивається в кожній точці аналітичності функції.

Означення. Якщо функція в кожній точці області аналітичності розвивається в ряд Тейлора, то вона називається голоморфною функцією в цій області.

Легко бачити, що поняття голомрфності і аналітичності еквівалентні.

Наслідки з розвинення аналітичної функції в ряд Тейлора.

1. Єдиність аналітичної функції.

Якщо і аналітичні функції в деякій області і на нескінченній множині

точок цієї множини, яка має граничну точку , і значення функцій і на цій множині співпадають, тоді значення цих функцій співпадають у всіх точках . Тобто

. Подамо функції і у вигляді рядів Тейлора в околі точки

38

причому Dzk і . Тоді в околі точки існує нескінченна множина точок така, що

.

Перейдемо до границі в цій рівності зліва і справ при . Одержимо

.

Обидві частини рівності, яка залишилася

розділимо на . Після переходу до границі при , одержимо

.

Продовжуючи цей процес далі, прийдемо до висновку, що

,

або .

2. Оцінка Коші коефіцієнтів ряду Тейлора.

Нехай і ряд збігається в крузі радіуса з центром в точці . Тоді

для коефіцієнтів ряду Тейлора вірна оцінка Коші

Оскільки функція аналітична в крузі , то вона і обмежена в ньому . Для коефіцієнтів розвинення аналітичної функції в ряд Тейлора вірна формула

для всіх . Зробимо заміну змінних . Тоді . Отже,

.

3. Теорема про ряд степеневих рядів (композицію рівномірно збіжних рядів аналітичних функцій).

Якщо ряд , складений з аналітичних функцій рівномірно збігається

в крузі і , то має місце рівність

За теоремою Вейєрштрасса функція аналітична, а отже її можна розвивати у ряд Тейлора

39

,

де

.

Після підстановки одержаних значень коефіцієнтів в розвинення в ряд одержимо потрібну формулу.

Аналітичні продовження Нехай і – дві області, які мають непорожній перетин .Тоді, якщо –

аналітична в , а – аналітична в , і , то кажуть, що функція аналітично продовжує з в , а

аналітично продовжує з в .

За властивістю єдиності аналітичної функції, якщо таке продовження існує, то воно єдине.

Приклад: – аналітична в . – аналітична

в . На спільній частині вони співпадають, отже продовжує в .

Нехай тепер – аналітична в деякому крузі з центром в т. і нехай існує скінчена кількість околів , що перетинаються, таких, що можна побудувати низку аналітичних продовжень з околу точки в окіл точки .

Виникає питання: чи єдине таке аналітичне продовження?Не завжди. Дійсно, функція (

) має дві вітки, і, йдучи

вздовж однієї з них, наприклад з точки до точки , одержимо: вздовж верхнього шляху , а вздовж нижнього

.

Теорема про монодромії: Якщо функція аналітично продовжується вздовж довільної жорданової кривої, яка лежить в однозв’язній області, то вона однозначна. (Тобто результат продовження не залежить від шляху і способу продовження.)

Сполучимо точку з точкою двома кривими і , які лежать в однозв’язній області і побудуємо вздовж них два шляхи аналітичного продовження. Припустимо від супротивного, що результати продовжень не співпали. На підставі леми Гейне-Бореля з незчисленної кількості околів покрить шляху вздовж кривої виберемо скінчену їх кількість: . Ці покриття утворять деяку зв’язну область (криволінійну смугу), яка містить криву . В

40

околі зафіксуємо точку , яка лежить ближче до точки і з’єднаємо точки

та кривими і , які повністю лежать в утворених смугах і розташовані ближче

одна до одної між і . Очевидно, що аналітичні продовження вздовж і та і

співпадають (за єдністю аналітичної функції).

Покриваємо тепер криві і скінченими множинами областей та

такими, що . Виберемо точку з цього перетину таку, що

і розташована ближче до ніж точка . Сполучимо точку з точкою

кривими та і, продовжуючи аналогічні міркування, прийдемо до того, що після

деякого –того кроку точка і точка будуть лежати в околі аналітичності точки .

При цьому аналітичні продовження вздовж дуг та дуг від точки

до точки єдині і за допущенням не рівні між собою. Але оскільки точка An та точка B лежать в околі аналітичності точки B , то всі аналітичні продовження в цьому околі тотожно рівні. Ц приводить до протиріччя. ►

Означення:Аналітична функція взята разом зі своїми продовженнями називається повною

аналітичною функцією (ПАФ). Область в якій визначено повну аналітичну функцію називають областю існування ПАФ, а її границю природною границею. Аналітичну функцію, яка визначена тільки в деякій частині (підобласті) області існування ПАФ називають елементом ПАФ

Побудувавши всі аналітичні продовження елементи аналітичної функції ми відновлюємо всю ПАФ

Приклад

елементи якої визначено в крузі аналітична в цьому

крузі і аналітична в усій комплексній площині крім точки z=1. Отже - ПАФ, а z=1 природна границя області існування ПАФ.

Всі точки природної границі називаються особливими точками аналітичної функції. В точках природної границі аналітичну функцію не визначено. Множина особливих точок замкнена.

Довільна особлива точка є граничною точкою аналітичності, але сама не є точкою аналітичності.

Особлива точки в довільно малих околах якої не міститься інших особливих точок називається ізольованою особливою точкою.

Ізольовані особливі точки розрізняються за ознаками:1) однозначного характеру – функція при обході навколо цієї точки не одержує

приросту;2) неоднозначного характеру – функція при обході навколо цієї точки одержує не нульовий приріст. Якщо функція при n-кратному обході точки неоднозначного характеру одержує не нульовий приріст, а при n-тому нульовий, то кажуть, що точка є точкою вітвлення порядку n.

Приклад.1) — двозначна, z – точка вітвлення першого порядку.

41

2) — точка точка вітвлення. 3) — точка вітвлення n-го порядку.

Принципи аналітичного продовження1) Принцип неперервності. 2) Симетрії Рімана — Шварца.

Існування особливої точки на границі круга збіжності.

Нехай — аналітична функція в крузі збіжності

. З точки проведемо промінь і виберемо на ньому точку , таку що . Оскільки точка точка аналітичності

функції то ряд

радіус збіжності цього ряду . Якщо виконується строга нерівність то можна аналітично продовжити через точку

(точку перетину кола і

заданого променя).Проведемо інший промінь, який виходить з точки виберемо, точку і зробимо

розвинення в околі цієї точки. Радіус збіжності . Якщо знак рівності не виконується.

Принцип неперервності

Нехай області і дотикаються одна до одної вздовж деякої спрямлюваної кривої .

Тоді якщо і аналітичні відповідно в і , а на вони неперервні і співпадають, то вони аналітично продовжують одна одну.

Принцип неперервності. (доведення)

42

Це твердження очевидне, якщо

і є аналітичними вздовж дуги . Справді в цьому разі існує деяка смуга в якій функції і аналітичні і рівні на контурі .

У випадку тільки неперервності на дузі побудуємо контур ,

так що лежить всередині , а всередині і контур перетинає в 2-х точках дугу . Частину дуги , яка лежить всередині позначимо , а області

обмеження і позначимо і відповідно. , . Для простоти доведення будемо вважати контур кусково монотонним.

На контурі введемо функцію: .

Оскільки на кінцях контурів значення функцій і співпадають, а всередині областей і вони аналітичні, то функція неперервна на .

Розглянемо функцію , . Вона є аналітичною як інтеграл типу

Коші. Якщо точка , то запишемо .

Тут контур співпадає з але має протилежний напрям обходу.

Оскільки , то в другому інтегралі підінтегральна функція аналітична і за теоремою Коші він рівний нулю. Отже при . Міркуючи аналогічно встановлюємо, що якщо , то F(z)=f1 (z).таким чином ми побудували аналітичну функцію F(z), яка є аналітичним продовженням функції f(z) з області g в область g1. Цим продовженням є функція f1

(z), яку визначено інтегралом типу Коші. Враховуючи довільність побудови контура приходимо до загального твердження теореми.

Принцип симетрії Рімана — Шварца

Нехай область в складі своєї границі має дугу деякого кола , а аналітична в , і неперервна на і приймає на дійсні значення . Тоді аналітичне продовження в області симетричну до відносно дуги .то продовжуємо цей процес далі. На якомусь кроці знайдемо напрямок такий, що для точки , яка лежить на цій прямій ряд

буде збіжний в крузі . Це означає, що аналітично продовжитифункцію в цьому напрямку через границю круга не можливо.

Існування особливої точки на границі круга збіжності доводиться від

43

D

Г2

L D1

Г1g g1g g1

супротивного. Дійсно, якщо такої точки не існує, то можна аналітично продовжити в усіх напрямках, а отже не буде радіусом круга збіжності і його можна збільшити.

Принцип симетрії Рімана—Шварца. (доведення) Не обмежуючи загальності міркувань будемо

вважати, що співпадає з відрізком дійсної осі. В противному раз за допомогою дробово-лінійного перетворення цього можна досягти. В області D виберемо довільну точку z. Симетричною їй відносно

буде точка .

Введемо функцію f*(z*)= . Оскільки f(z)

аналітична в D, то вона і однозначна в ній. Очевидно, що функція f*(z*) теж однозначна в D* за побудовою. Покажемо, що функція f* диференційована в кожній точці z* D*:

Звідси випливає, що . Отже функція f*(z*) однозначна і

диференційована в D*, тобто вона аналітична в кожній точці z* D*. Оскільки функції

f*(z*) та f(z) на дузі приймають дійсні значення, то з того що f*(z*)= випливає,

що вони рівні на . Враховуючи принцип неперервного аналітичного продовження, встановлюємо, що f*(z*) аналітично продовжує функцію f(z) з області D в область D*.

Різні підходи до побудови теорії аналітичних функцій

1. Теорія аналітичних функцій побудована нами – це теорія Коші. (Аналітична функція – однозначна і диференційована функція)2. За Веєрштрассом функція називається аналітичною в однозв’язній області, якщо вона голоморфна (розвивається в ряд Тейлора). Користуючись теоремою про монодромії та теоремою Веєрштрасса про рівномірно збіжні ряди аналітичних функцій одержуємо еквівалентність цих понять.3. Означення за Ріманом функція , яка визначена і однозначна в називається аналітичною, якщо та – неперервні в і задовольняють умові Коші-Рімана (еквівалентність нами доведена).4. Означення за Осгудом функція аналітична в однозв’язній області ,

якщо для довільного гладкого замкнутого спрямлюваного контура

. Еквівалентність випливає з теореми Морера та інтеграла Коші.

44

Ряди Лорана. Класифікація ізольованих особливих точок однозначного характеру.Теорема. Про розклад аналітичної функції в ряд Лорана.

Нехай функція – однозначна і аналітична в концентричному кільці

. Тоді в кожній точці , яка лежить всередині цього кільця має

місце рівність df(z) = ... + + + ... + + C + C (z – a) + ... = =

де С = ; a L ─ довільний замкнений контур, який лежить в середині

кільця і охоплює точку z = a .Цей ряд рівномірно збігається в указаному кільці і

називається рядом Лорана.► Побудуємо два кола |z - a| = r ' і |z - a| = R ' де r < r ' < R ' < R . Нехай точка z лежить у кільці r ' < |z - a| < R ' .Тоді за формулою Коші для складного контура маємо

f(z) = - = J +J

.

Розглянемо J . Оскільки |t - a| = R , |z - a| < R

тобто | | < 1 , то J = =

= =

= [1 + ( ) + ( ) + ... ] =

, де С = i2

1 .

При обчисленні J враховуючи , що в даному разі | | < 1 , отже

J = i2

1 dtzt

tf

at 'r || )(

)( = =

= [1 + ( ) + ( ) + ... ] . Оскільки ряд в квадратних дужках

рівномірно збіжний при | | < 1 , то його можна почленно інтегрувати

45

J = + 2)(

1

az + ... + + 1)(

1 naz

+ ... = де =

Змінивши індекс підсумування = -n одержимо

J = C =

Об'єднуючи ці два ряди приходимо до f(z) = .

Ряд J рівномірно збіжний в крузі |z - a| < R як ряд Тейлора. Дослідимо ряд

J = . Зробимо заміну = . Тоді J = φ( ) = φ( ) = .

Цей ряд за побудовою збігається при | | <

Отже ряд J збігається при < , або |z - a| > r

Враховуючи довільність радіусів та , а також те , що інтегральна формула Кошівірна не тільки для кола , а й для довільної гладкої замкненої спрямлюваної кривої , приходимо до твердження теореми ◄Означення . Частина ряду Лорана , яка містить тільки від'ємні степені ─ наз. головною частиною ряду , а частина , яка не містить від'ємних степенів ─ правильною.

На підставі теореми про існування особливої точки на границі круга збіжності можна стверджувати, що на границях кільця принаймні по одній особливій точці даної аналітичної функції.

Нехай тепер - ізольована особлива точка функції Тоді може бути як завгодно малим і ряд Лорана буде рівномірно збіжним в крузі за винятком точки . Отже в околі ізольованої особливої точки аналітична функція може бути розвинута в ряд Лорана.

Нехай z=a точка усувна. Тоді головна частина ряду Лорана відсутня і

Поклавши приходимо до ряду Тейлора.

Розвинення в ряд Лорана в околі нескінченно віддаленої особливої точки.

Озн.: Ф-ія має в точці ізольовану особливу точку, якщо точка є

ізольованою особливою точкою ф-ії .

Запишемо ряд Лорана для ф-ії в околі точки :

. Тоді за визначенням, ряд Лорана для

функції в околі точки матиме вигляд де частина до с0 є головною, а від с0

включно є правильною.Якщо головна частина ряду не містить доданків, то точка буде усувною.

46

Якщо головна частина містить скінчену кількість доданків і старший степінь n, то це полюс порядку n. Наприклад: —точка є полюсом другого порядку.У випадку, коли головна частина містить нескінченну кількість членів, ми маємо

істотньо особливу точку . Наприклад: в точці має істотньо

особливу точку.

Класифікація ізольованих особливих точок однозначного характеру.

1. Якщо ряд Лорана в околі ізольованої особливої точки однозначного характеру не містить головної частини то ця точка називається усувною.

2. Якщо головна частина має один член ,то точка називається

полюсом 1-го порядку(простим полюсом). Якщо головна частина має скінчену кількість членів і „-р” найвищий показник, то точку називають полюсом порядку р.

3. Якщо головна частина містить нескінченну кількість членів, то точка називається істотньою.

Єдиність розвитку в ряд Лорана.

Нехай має два розвинення, суми яких в кільці збіжності співпадають

=

Помножимо обидві частини рівності на , проінтегруємо по замкнутому

контуру L , який міститься в кільці збіжності рядів

= =

= =

Теорема про усувну ізольовану точку.

Нехай має ізольовану особливу точку однозначного характеру . Тоді :1) Якщо при підході до точки функція залишається обмеженою, або має

порядок росту , то точка - усувна.2) При підході до особливої усувної точки аналітична функція має скінчену

границю і якщо цю границю прийняти за значення функції в точці то буде аналітичною в цій точці.

1) Нехай - обмежена , або має скінчений порядок росту :

Тоді і

Отже :

Тобто головна частина ряду Лорана відсутня.

47

Нехай точка z = a є полюсом порядку n для функції f(z). Тоді

=

З цього розвинення функції в ряд Лорана випливає, що

Відповідність між нулями та полюсами аналітичної функції.Теорема. Якщо точка z = a є нулем кратності k для функції , то вона є полюсом того

ж порядку для функції , і навпаки , якщо точка z = a є полюсом порядку k

для , то вона є нулем тієї ж кратності k для функції = .

Доведення. Нехай точка z = a є нулем кратності k для функції . Тоді в деякому околі цієї точки маємо розвинення в ряд Тейлора

де -

аналітична функція і .

Розглянемо функцію =

Звідси, за визначенням, випливає що точка z=a, яка була нулем кратності k для функції ,

є полюсом того ж порядку k для функції .

Легко показати, що має місце і обернена відповідність, а саме: полюс порядку k для є

нулем кратності k для функції = .

Теорему доведено.

ТЕОРЕМА Про інваріантність істотно особливої точки відносно дробово-лінійного відображення.

Якщо точка є істотно особливою точкою функції , то вона буде істотно

особливою точкою і для функції .

Дробово-лінійне відображення складається з переносу, гомотетії, повороту і інверсії. Для перших трьох складових твердження теореми очевидне. Доведемо

теорему для перетворення інверсії, тобто для перетворення .

1. Нехай точка – усувна особлива точка для функції . Тоді

, а, отже,

Очевидно, що .

Можливо, що . В такому разі точка є усувною для , що не можливо за

умовою. Якщо ж , то точка є полюсом і .

Це не можливо за умовою теореми.

48

2. Нехай точка є полюсом порядку для функції . Тоді за попередньою

теоремою вона є нулем функції кратності , а не істотно особливою точкою.

Тобто знову одержали протиріччя. З цього випливає, що точка є істотно особливою точкою функції .

ТЕОРЕМА Сохоцького-Вейєрштрасса (про істотно особливу точку)Довільна аналітична функція в околі ізольованої істотно особливої точки

однозначного характеру може приймати значення як завгодно близькі до будь-якого наперед заданого значення із розширеної комплексної площини. Інакше кажучи, яке б не було число , послідовність точок , така що

1. Нехай . Припустимо, що не існує такої послідовності , що

, (тобто скінчена величина). А це означає, що точка – є

усувною для . (Протиріччя).2. Нехай . Розглянемо функцію .Якщо в околі точки функція перетворюється в нуль нескінченне число разів, то твердження теореми очевидно вірне. Якщо ж ні, то скористаємося теоремою про інваріантність істотно особливої точки відносно дробово-лінійного відображення

.

За цією теоремою точка – істотно особлива, а отже за п.1 цієї теореми існує

послідовність , така що при . Тобто при ,

а отже .

Теорема Пікара. Довільна однозначна функція в околі істотньо особливої точки може приймати і при тому нескінченне число раз нескінченну кількість значень, за винятком, можливо, одного.(Без доведення).

Наприклад , околі точки значення приймати не може.

Простіші класи аналітичних функцій В залежності від характеру ізольованих особливих точок однозначного характеру можна дати означення простіших класів аналітичних функцій.

1.Цілі аналітичні функції Аналітична функція, яка не має особливих точок в скінченій частині комплексної площини називається цілою аналітичною функцією. Якщо при цьому точка є полюсом функції , то вона називається цілою раціональною. Ціла функція, яка на нескінченності має істотно особливу точку називається цілою трансцендентною функцією. Ціла функція, яка на нескінченності має усувну точку , за теоремою Ліувілля є тотожною сталою. Довільний многочлен є цілою раціональною функцією.

49

Теорема. Всяка ціла раціональна функція є многочленом.Доведення. Нехай - ціла раціональна функція , яка має в точці полюс порядку .Тоді

Побудуємо многочлен і розглянемо функцію

.Вона аналітична в скінченній частині комплексної площини,а точка є усувною для .Тобто при підході до нескінченності - обмежена. За теоремою Ліувіля Отже,

2.Мероморфні функції. Довільна аналітична функція , яка не має особливих точок в скінченній частині комплексної площини за винятком скінченої кількості полюсів , називається мероморфною. Якщо мероморфна функція на нескінченності має полюс, то її називають раціональною мероморфною.Теорема. Раціональна мероморфна функція є відношенням многочленів.Доведення. Нехай функція є раціональною мероморфною. Тоді вона не може мати інших особливих точок, крім полюсів , скажімо в точках В околі кожного полюса функцію можна подати у вигляді ряду Лорана

правильна частина.

Розглянемо функцію Очевидно, що функція

аналітична в скінченній частині площини, оскільки усі полюси усунено, і вона містить

тільки правильну частину , то -const ,а

є відношенням двох многочленів.Якщо ж точка є полюсом порядку p для , то і

, а це теж відношення двох

многочленів.

Теорія інтегральних лишків.Означення.Інтегральним лишком аналітичної функції в околі ізольованої особливої точки однозначного характеру називається коефіцієнт у розвиненні функції в околі цієї точки в ряд Лорана. Позначають інтегральний лишок так

.

Основна теорема (про інтегральні лишки)

50

Нехай -однозначна аналітична функція в замкненій області за винятком скінченого числа ізольованих особливих точок однозначного характеру , які лежать строго всередині області D Тоді має місце рівність

Тобто для обчислення інтегралу по замкненому контуру достатньо підрахувати суму інтегральних лишків в особливих точках, які лежать в середині області. Це і є узагальненням теореми Коші.

Побудуємо навколо кожної точки круги і розглянемо багато зв’язну область, в якій функція буде аналітичною. Очевидно, вона буде аналітичною і на всіх складових границі області. Отже, використовуючи формулу Коші для складного контура, маємо:

Підрахуємо інтеграл . Всередині контура функція розвивається в

ряд Лорана. Він абсолютно і рівномірно збіжний, отже його можна почленно інтегрувати.

Оскільки , то:

Оскільки ця рівність вірна для , то твердження теореми вірне.

Формули для обчислення інтегральних лишків 1. Нехай точка простий полюс функції . Тоді розглянемо такі випадки :а) Запишемо у вигляді ряду Лорана:

Отже

.

б) Нехай функція може бути записана у вигляді ,

де

51

Тоді:

2. Якщо точка – полюс порядка для функції , то її розвинення в ряд Лорана має вигляд:

Помножимо обидві частини цього ряду на , продиференціюємо раз і перейдемо до границі при

Звідси для обчислення інтегрального лишку в точці , яка є полюсом порядку маємо:

.

Обчислення інтегрального лишку відносно нескінченно віддаленої точкиНехай f(z) аналітична в околі точки , а сама ця точка є ізольованою

особливою точкою. Тобто існує таке R>0 , що в області функція f(z) не має особливих точок крім точки .

Під інтегральним лишком відносно точки будемо розуміти

де - коло , яке обходиться в напрямку руху годинникової стрілки.

Запишемо розвинення f(z) в ряд Лорана :

і проінтегруємо його вздовж контура :

Відзначимо , що якщо точка є умовною , або навіть має простий нуль , то її лишок може бути не рівним нулю.Дійсно , для функцій

і

точка є усувною і простим нулем відповідно , але інтегральні лишки рівні -2 та 4

Очевидно , що інтегральний лишок в нескінченно віддаленій точці рівний нулю, якщо в цій точці функція має нуль кратності не меншої двох .

52

Теорема Якщо функція f(z) однозначна і аналітична у всій комплексній площині за винятком скінченої кількості особливих точок , то сума інтегральних лишків цієї функції відносно всіх особливих точок разом з точкою , рівна нулю :

Побудуємо коло вибравши R так , щоб всі точки лежали всередині

круга . Тоді

.

Але

Отже

Приклад. Нехай всередині деякого контуру L містяться особливі точки , аЗовні його особливі точки і N>>M .Тоді для обчислення інтеграла

простіше скористуватись формулою

.

Теорема (про логарифмічний лишок)

Нехай - аналітична функція в замкненій області , за винятком скінченого числа полюсів, які лежать всередині області і на контурі . Тоді

, де - кількість нулів всередині області . При цьому кожен

нуль рахується стільки разів, яка його кратність, а кожен полюс стільки разів, який його порядок.

Ліва частина рівності називається логарифмічним лишком функції .

Розглянемо функцію . Особливими точками будуть нулі або

полюси функції . Нехай - нулі кратності , а - полюси порядку .

В околі функцію можна розвинути в ряд .

Тоді

53

.

Таким чином точка є прости полюсом функції .

В околі особливої точки маємо полюс порядка функції . Тобто

.

Звідки . Використовуючи основну теорему

про інтегральні лишки одержимо:

.

Наслідок (Принцип аргументу аналітичної функції).З теореми про логарифмічні лишки маємо:

.

Якщо функція аналітична всередині , то .

Кількість нулів аналітичної функції всередині контура рівна приросту аргументу функції при обході вздовж цього контуру.

Теорема РушеНехай функції та аналітичні замкненій області , в точках контуру

і на цьому контурі. Тоді кількість нулів функцій та , розташованих в середині області однакова.Доведення. Кількість нулів функції за попередньою теоремою (принципом аргументу аналітичної функції) визначається рівністю

Розг

лянемо функцію . Якщо точка пробігає контур , то точка

пробігає контур . Враховуючи, що , а отже ,

приходимо до висновку, що контур не охвачує точки , отже

, тобто

Основна теорема алгебри.Довільній многочлен в комплексній площині має коренів.Доведення. За допомогою теореми Руше доводиться дуже просто.Покладемо , . Зрозуміло, що знайдеться таке , що на

колі . Отже кількість нулів функції і

всередині кола однакова, і дорівнює .

54

Приклад. Скільки нулів многочлена лежить всередині одиничного круга.

Покладемо а Оскільки на одиничному колі , а , то за

теоремою Руше в одиничному колі лежить один нуль Застосування теорії інтегральних мішків

1. Обчислення інтегралів виду . Нехай функцію можна аналітично

продовжити у верхню півплощину, і її аналітичне подовження у верхній півплощині має лише скінченне число особливих точок однозначного характеру , а на нескінченності вона має нуль не нижче другого порядку. Тобто для достатньо великих

при , для . Вважаємо також, що на

дійсній осі особливих точок немає. Побудуємо контур і обчислимо інтеграл

. Оцінимо інтеграл по контурі при

Отже

2. Обчислення інтегралів

де - раціональна функція аргументів та , яка не має особливих точок на проміжку Зробимо заміну . Тоді

Зробивши підстановку нової змінної в інтегралі одержимо

Очевидно, що теж раціональна функція, яка не має особливих точок на контурі , а всередині круга її особливими точками можуть бути тільки полюси. Отже, за основною теоремою про інтегральні лишки, маємо

3. Обчислення інтегралів виду

Лема ЖорданаЯкщо на послідовності концентричних півкіл функція

рівномірно відносно аргумента Z прямує до нуля при , то для довільного має місце

55

Покладемо , . Оцінимо величину на контурі

Виберемо таким,щоб . Врахуємо

також те, що при . Тоді

при осуільки , а величина обмежена

Зауваження 1. Лема вірна і у випадку якщо Для доведення достатно довести що на ділянках II та III інтеграл прямує до нуля.Зауваження 2. Якщо за вхяти то при вимогах накладених на лемож Жордана, в , вірна рівність

Зауваження 3. Нехай а задовольняє умовам

леми Жордана в маємо

Зауваження 4.При і виконанні умов леми Жордана у півплощині , вірно

Повернемось до обчислення інтеграла .Нехай , а можна аналітично продовжити у верхню півплощину і її алгебраїчне продовження задовольняє умовам леми Жордана. Введемо контур . Так, щоб усі особливі точки з верхньої півплощини попали всередину цього контуру і

обчислимо

Перейшовши до границі при і врахувавши лему Жордана, одержимо

Враховуючи, що приходимо до твердження :

Для особливих точок Приклад

56

Нехай Тут . Продовжимо в верхню півплощину.

Функція задовольняє умови леми Жордана , отже

Розклад мероморфних функцій на простіші дробиРозглянемо мероморфну функцію . Нехай кожна з точок множини – є

полюсами порядку функції і інших особливих точок в скінченній частині комплексної множини не має, а точка є усувною. Оскільки особливі точки мероморфної фукції ізольовані, то їх кількість не може бути більшою ніж зчисленою (зліченою)? Дійсно, в кожному крузі , , кількість ізолбованих точок може бути скінченною, бо в іншому разі в скінченній частині площини існувала б точка згущення особливих точок, яка була б неізольованою особливою точкою, а не полюсом.Нехай в околі полюса маємо розвинення , де –

головна частина ряду Лорана: . Тоді функція

є цілою, оскільки всі її особливі точки будуть усувними, які

можна вважати усунутими.Нехай замкнена крива Жордана, ка охоплює початок координат і не проходить через полюси функції і охоплює деяку множину полюсів , .Якщо точка є полюсом, очевидно, що ця функція раціональна в C, має на нескінченності нуль кратності не менше двох, а Ії інтегральний лишок на нескінченності рівний нулю.За визначенням лишку на нескінченності та теоремою Коші для багатозв’язної області маємо

dt = - = 0

Тут контур Γ = {t C : =R} охоплює всі особливі точки скінченої частини площини.

Оскільки функція f(t) - аналітична всередині , то за теоремою Коші

dt = f(z) -

Звідки

f(z) = dt +

57

Нехай існує послідовність кіл { }, = {t C : =R }, таких що R при m ,

всередині знаходиться n полюсів функції f(z). Оскільки`

= 0,

то

dt = 0.

Тобто переходячи до границі при m в формулі

f(z) = dt +

Одержуємо

f(z) =

то головну частину ряду Лорана в околі цієї точки позначимо через .Виберемо довільну точку , яка лежить всередині області, оюмеженох кривою і

розглянемо функцію .

Приклад.

Розглянемо інтеграл

де —границя квадрату :

Очевидно, що особливими точками під інтегральної функції є особливі точки

та точка .

Будемо вважати, що точка не співпадає з точкою .

За основною теоремою про інтегральні лишки

Подамо функцію у вигляді :

; . Отже і

;

;

58

;

.

Обчислимо інтеграл I при z=0, як границю:

Отже:

Оцінимо ctg(z) на сторонах квадрата:

1.

2.

Тобто функція має на нескінченності нуль кратності два. Дійсно:

. Звідси випливає, що .

Перейдемо тепер до границі на множині контурів при

Звідки після підстановки обчислених лишків знаходимо розклад на простіші дроби

Формула Лагранжа обернених степеневих рядівНехай функція аналітична в околі точки , При виконанні останньої умови окіл точки однолистно відображається функцією в деякий окіл точки . Дійсно, якщо позначити , то відображення за допомогою функції рівнозначно відображенню Обчислимо якобіан цього відображення в околі точки

59

Тут враховано, що для аналітичної функції виконується умови Коші-Рімана.Оскільки , то якобіан також відмінний від нуля в околі точки за

неперервністю. Звідки випливає однолисність відображення.

Аналітична функція має розвинення в ряд Тейлора:

Очевидно, що в околі точки існує обернена до функція: (1), яка буде аналітичною в околі точки . Отже існує розвинення функції в ряд:

Остання формула є оберненням степеневого ряду (1). Одержати явний вигляд коефіцієнтів ряду в більшості випадків практично неможливо, оскільки не завжди можна явно виразити .

Поставимо задачу побудови ряду .Розглянемо більш загальну задачу. Нехай – аналітична функція в околі точки . Побудуємо розвинення цієї

функції в степеневий ряд по степеням : .Якщо –

аналітична функція, то . В околі точки

функції побудуємо коло . При відображенні а при відображенні

Тут - замкнена гладка крива.Розглянемо інтеграл

Підінтегральна функція всередині контура має єдину особливу точку . Це полюс першого порядку, оскільки ; . За основною теоремою про інтегральні лишки цей інтеграл рівний

Отже

(2)

Побудуємо розвинення цього інтегралу в степеневий ряд. Для цього запишемо

(3)

Остання рівність вірна, тому що , тобто , а отже вказаний

ряд є сумою нескінченної спадної геометричної прогресії. Цей ряд рівномірно за змінною збігається на колі .Підставимо одержану суму ряду (3) в інтегральне подання функції (2).

60

(4)

де

Обчислимо коефіцієнти:

...

.

Зінтегруємо за частинами при , .

Оскільки функція, записана в квадратних дужках однозначна, то її приріст по замкненому контуру рівний нулю.

Очевидно, що .

В останньому інтегралі знаменник є аналітичною функцією всередині контура , а сам інтеграл можна обчислити за правилом обчислення -ї похідної від інтеграла типу Коші.

Таким чином:

.

Це і є формулою Лагранжа обернення степеневих рядів.

Нехай . Тоді за формулою Лагранжа маємо степеневий ряд

Цей степеневий ряд є оберненням степеневого ряду функції в околі точки

.

Приклад.

1) , , .

Застосуємо одержану формулу

61

2) Нехай функцію задано неявно

Побудуємо її розклад за степенями при , . Оскільки , то

.

Підсумування рядів за допомогою теорії лишків.

Теорема. Нехай мероморфна функція з номосами в точках , які не співпадають ні з однією з точок і нехай існує послідовність концентричних кіл (замкнених вкладених контурів), які стягуються до нескінченно віддаленої точки при , так що

,

Тоді має місце рівність:

◄ Вибираємо константу так, щоб всі особливі точки

функції потрапили в середину контура .Очевидно, що всі цілі точки

є полюсами функції . Нехай всередині контура потрапила деяка множина цілих точок: За основною теоремою про інтегруючі лишки

Обчислимо ці лишки відносно цілих точок

.Перейдемо до границі і врахуємо умову теореми

Звідси випливає твердження теореми. ►Приклад. Обчислити суму ряду

62

m1 m1+1 m2

1z 2z3z

4znz

Покладемо За контур виберемо границю квадрата

. Як було показано на таких контурах

. Очевидно , що , а .

Отже умови теореми виконуються.

Застосуємо формулу (4) до нашого ряду . Особливою точкою функції є .

Це полюс другого порядку. Тобто

= =

Нескінчені добутки та їх застосування у теорії цілих і мероморфних функцій.Нехай послідовність комплексних чисел.Означення 1. Нескінченим добутком називається добуток виду

Означення 2. Частинним добутком нескінченого добутку називається

Спочатку будемо вважати , що в нескінченному добутку не існує множників рівних нулю. Тоді

Означення 3: Нескінченний добуток називається збіжним якщо границя послідовності частинних добутків існує, скінчена ш не рівна нулю при . В решті випадків, тобто коли границя не існує або рівна нулю чи нескінченна, добуток називається розбіжним.

Якщо серед множників є скінчена кількість рівних нулю, то добуток збіжний чи розбіжний в залежності від того чи буде збіжним або розбіжним добуток складений з нескінченної частини ненульових множників.

Якщо серед нескінченного добутку кількість нульових множників нескінченна, то нескінченний добуток вважається розбіжним.

Необхідна умова розбіжності нескінченного добутку.

Теорема: Якщо нескінченний добуток збігається, то

◄ З збіжності випливає, що при n . Це означає, що при n

. Але за означенням частинного добутку . Отже Отже у

збіжному нескінченному добутку ►

63

Критерій збіжності нескінченного добутку

Теорема. Для того, щоб нескінченний добуток збігався необхідно і

достатньо, щоб збігалися ряди та .

Достатність.

Розглянемо = .

Нехай при ряди в правій частині збіжні

.

Тоді .

Враховуючи неперервність функції , можна стверджувати, що, а звідки випливає - цілком певне комплексне число.

Необхідність. Нехай при . Це означає, що і .

Отже, , звідки випливає, що ряди і збіжні.

Окремо серед збіжних нескінченних добутків виділяються так звані абсолютно збіжні добутки.

Означення. Добуток називається абсолютно збіжним, якщо збігається

добуток

Теорема Добуток збігається абсолютно, якщо збігається ряд .

Тобто для абсолютної збіжності добутку необхідно і достатньо щоб збігався ряд

Застосуємо до визначення абсолютної збіжності доведений вище критерій і

дослідимо ряди та

(Тут як і раніше розглядається головна вітка lnz).

Враховуючи, що , то - збіжний.

Оскільки , то зі збіжності ряду

ТеоремаЗ абсолютної збіжності випливає проста збіжність нескінченного добутку , але

не навпвки.

64

Нехай добуток збіжний. Покажемо, що збіжний добуток , тобто

ряди та збіжні.

Розглянемо комплексні числа

======================================15=============16Рівномірна збіжність нескінченних добутків

Нехай функції u (z) визначено в області Д. Нескінченний добуток

називається рівномірно збіжним в області Д, якщо рівномірно збігається в цій області

послідовність частинних добутків P (z) =

ТеоремаНескінченний добуток рівномірно збігається в області Д, якщо в цій області має

місце нерівність, n = 1,2,... a >0

і збігається нескінченний добуток

.

Нехай n>m. Оцінимо різницю

=

Позначимо

Тоді

Оцінимо

=

Повертаючись до початкової схеми по зворотному шляху, одержимо

із збіжності добутку випливає, що

===================17=========================

18

65

Враховуючи, що всі точки лежать зовні круга

для (розглядаючи його головне значення) маємо розвинення в ряд

Тоді

, де .

Доведемо аналітичність функції . Для цього оцінимо

Оскільки за умовою останній ряд рівномірно збіжний в , то функція , а отже -аналітична в області функції, і не рівна нулю в точках .

, який рівний нулю в точках і

тільки в цих точках.Отже функція є цілою функцією, яка має нулі в заданих точках і цілком певної для кожної точки кратності.

Такий нескінченний добуток має назву нескінченного добутку Вейєрштрасса.Очевидно що функція є теж добутком Вейєрштрасса, але доповненим

нулем кратності λ в точці .Теорема Вейєрштрасса Довільну цілу функцію , яка має нескінченну множину

нулів, причому є нулем кратності λ, а - послідовність решти нулів, така що

можна подати у вигляді нескінченного добутку, який відповідає її нулям

,

де - деяка ціла функція, а числа вибрані так, щоб ряд рівномірно

збігався в заданій області◄ Оскільки функція ціла і її нулі спвпадають з нулями функції , то

функція теж ціла, бо її усувні точки можна вважати усуненимию Функція

не має в С нулів. Отже функція також є цілою функцією. Отже ,

звідки ►

66