Hội Toán Học Việt Nam

THÔNG TIN TOÁN HỌCTháng 6 Năm 2017 Tập 21 Số 2

Thông Tin Toán Học(Lưu hành nội bộ)

∙ Tổng biên tậpNgô Việt Trung

∙ Phó tổng biên tậpNguyễn Thị Lê Hương

∙ Thư ký tòa soạnĐoàn Trung Cường

∙ Ban biên tậpTrần Nguyên AnĐào Phương BắcTrần Nam DũngTrịnh Thanh ĐèoĐào Thị Thu HàĐoàn Thế HiếuNguyễn An KhươngLê Công TrìnhNguyễn Chu Gia Vượng

∙ Địa chỉ liên hệ

Bản tin: Thông Tin Toán HọcViện Toán Học

18 Hoàng Quốc Việt, 10307 Hà Nội

Email: ttth@vms.org.vn

Trang web:http://www.vms.org.vn/ttth/ttth.htm

Ảnh bìa 1. Nhà toán học người Pháp gốc DoThái Yves F. Meyer (sinh 19/7/1939) - Giảithưởng Abel 2017. Nguồn: Internet

∙ Bản tin Thông Tin Toán Học nhằmmục đích phản ánh các sinh hoạtchuyên môn trong cộng đồng toán họcViệt Nam và quốc tế. Bản tin ra thườngkỳ 4 số trong một năm.

∙ Thể lệ gửi bài: Bài viết bằng tiếng Việt.Tất cả các bài, thông tin về sinh hoạttoán học ở các khoa (bộ môn) toán,về hướng nghiên cứu hoặc trao đổi vềphương pháp nghiên cứu và giảng dạyđều được hoan nghênh. Bản tin cũngnhận đăng các bài giới thiệu tiềm năngkhoa học của các cơ sở cũng như cácbài giới thiệu các nhà toán học. Bài viếtxin gửi về tòa soạn theo email hoặc địachỉ ở trên. Nếu bài được đánh máy tính,xin gửi kèm theo file với phông chữunicode.

c○ Hội Toán Học Việt Nam

Trang web của Hội Toán học:http://www.vms.org.vn

1

Toán học trong hệ thống giáo dụcbậc cao ở Việt Nam

Neal Koblitz(Đại học Washington, Seattle, Mỹ)

Trong báo cáo này, tôi đưa ra một vàinhận xét và khuyến nghị không chínhthức về việc giảng dạy môn Toán ở bậcđại học và sau đại học ở Việt Nam. ViệtNam có tiềm năng để có thể nhanh chóngtiến xa trong việc giảng dạy và nghiêncứu toán học. Đất nước này có một bềdày truyền thống lâu đời. Trong lần đầuđến Việt Nam năm 1978, vợ chồng tôiđược nhà toán học xuất sắc Lê Văn Thiêmdẫn đi tham quan Văn Miếu. Trên mộttấm bia tại đó có khắc tên của Lương ThếVinh, một nhà toán học chuyên về hìnhhọc sống cách đây hơn 500 năm. Sự kiệnnhà toán học Ngô Bảo Châu được traogiải thưởng Fields năm 2010 là một minhchứng mới về sức mạnh của truyền thốngtoán học Việt Nam.

Mức độ thành thạo về toán trongtrường phổ thông ở Việt Nam là cao theotiêu chuẩn quốc tế. Hầu hết các giáo viênđều có chuyên môn vững vàng và tậntâm, và nghề giáo viên được coi là mộtnghề cao quí. Để thi đỗ vào một trườngđại học có uy tín, sinh viên cần phải vượtqua một kỳ thi tuyển cực kỳ khó.

Tuy nhiên vẫn còn có một số mặt chưaphải là tốt. Cũng như ở nhiều nước khác,ở Việt Nam, người ta dạy toán như mộtchủ đề nặng tính hình thức, thuần túy lýthuyết, ít chú trọng đến tính ứng dụng.

Nghĩa là học sinh thường nghĩ đến toánnhư một thứ cần nắm vững để thi đỗvào các trường đại học danh tiếng. Mộtkhi đã vào được đại học rồi, họ khôngcòn quan tâm mấy đến việc tiếp tục họctoán. Học sinh có thể giải rất thành thạomột số dạng bài toán hình thức nhưnglại không nhận biết được vô vàn phươngcách khác nhau mà con người dùng đếntoán học trong một nền kinh tế hiện đại -để tối ưu hóa mạng lưới phân phối, quảnlý dữ liệu lớn (big data), bảo vệ ngườidùng Internet khỏi bọn tội phạm mạng,xây dựng các mô hình về tác động môitrường, dự đoán diễn biến của dịch bệnh,và rất nhiều điều khác.

Vì vậy, khuyến nghị đầu tiên của tôi làcác bài toán trong đời sống (còn gọi là“bài toán đố” hoặc “bài toán có lời văn”)sẽ dần dần được đưa vào các lớp học toánở mọi cấp độ. Khuyến nghị thứ hai là nêncho sinh viên đại học tham gia Cuộc thitoán học quốc tế về mô hình hóa (MCM).

Cuộc thi toán học quốc tế về mô hìnhhóa (MCM).

Cuộc thi toán học quốc tế về mô hìnhhóa (MCM) do một nhóm nhà toán họclập ra ở Mỹ từ đầu những năm 1990nhằm khơi dậy cho sinh viên sự hứng thúvới những lĩnh vực mỗi ngày một nhiềutrong đó toán học được sử dụng để giúp

2

giải quyết những vấn đề phức tạp trongđời thực. Những trải nghiệm mãnh liệtkhi tham dự kỳ thi đã để lại tác dụng lâudài đối với các sinh viên, kết quả là nhiềungười trong số họ sau đó đã lựa chọnnhững nghề nghiệp trong những ngànhcó liên quan nhiều đến toán học. Cuộcthi này đã trở nên hết sức phổ biến ở cáctrường đại học ở Mỹ và Trung Quốc, mỗinước đều có tới hơn một nghìn đội dự thi.

Đồng nghiệp Jim Morrow của tôi,người hướng dẫn cho các đội dự thi củatrường chúng tôi (University of Washing-ton - UW), đã nói: “Cuộc thi toán học vềmô hình hóa là một sự kiện quan trọng tạitrường Đại học Washington. Cuộc thi đãthu hút những sinh viên giỏi nhất trường,và thành công của các đội của trường đãlàm Khoa Toán, toàn trường và cả cộngđồng vô cùng tự hào.”

Cuộc thi ở cấp độ quốc tế này khác biệtvề nhiều mặt so với các cuộc thi olympictoán:

∙ Thay vì giải sáu bài thuần túy về toán,yêu cầu đặt ra là viết một bài báo đểgiải một bài toán thực tế (sinh viên cóthể chọn một trong bốn đề bài). Năm2015, hai trong số các đề bài là thiếtlập một mô hình toán học để (1) tiêudiệt bệnh do virus ebola, (2) tìm kiếmmột chiếc máy bay mất tích.

∙ Cuộc thi dành cho sinh viên đại học(không phải học sinh cấp ba), mỗi độigồm ba thành viên. Mỗi nước, thậm chímỗi trường có thể có nhiều đội thamdự; năm 2015 trường tôi có sáu đội.Các thành viên mỗi đội không làm việcđơn lẻ, họ phối hợp với nhau cùng viếtmột bài báo duy nhất để giải bài toánđội mình đã chọn.

∙ Cuộc thi được tiến hành trực tuyến,không tổ chức tập trung; chỉ có một

khoản phí duy nhất là phí đăng ký dựthi ở mức 100 USD mỗi đội.

∙ Cuộc thi kéo dài 96 giờ, trong thời giannày sinh viên có thể tham khảo sách,báo, các nguồn tài liệu từ mạng In-ternet nhưng không được nhận sự trợgiúp từ bên ngoài. Các bài toán đặt rađòi hỏi sinh viên phải tiếp nhận nhanhchóng kiến thức thuộc nhiều lĩnh vưckhác chứ không phải chỉ riêng về toán.

∙ Cuộc thi nhấn mạnh vào thành quả đạtđược chứ không vào sự cạnh tranh giữacác nước hay các trường với nhau.

∙ Cuộc thi chuẩn bị rất tốt cho thí sinhbước đầu quen với những thứ cần thiếtvới công việc của người học toán ở bậccao. Trong thế kỷ 21, sự hợp tác, làmviệc theo nhóm, các dự án đa lĩnh vựctrở nên ngày càng phổ biến hơn nhiềuso với thế kỷ trước.

Jim Morrow nhấn mạnh rằng sự khácbiệt giữa việc chuẩn bị cho MCM với việchọc toán trên lớp và ôn thi theo kiểutruyền thống là rất lớn. Điều này sẽ trởnên đặc biệt đúng ở Việt Nam, nơi các lớphọc toán dạy những kỹ thuật toán hìnhthức chứ không đi vào ứng dụng.

Tuy vậy tôi lạc quan rằng sinh viên ViệtNam có thể đạt quả tốt ở MCM. Thôngthường người giỏi toán lý thuyết cũng cóthể giỏi về toán ứng dụng.

Trong những năm 1990, khi tới thămcác nước, vợ chồng tôi thường đến mộtsố trường để giảng toán cho học sinhtheo cách không giống với cách dạy trênlớp, thường về các chủ đề có tính ứngdụng. Chúng tôi nhận thấy, trong số trẻem ở các nước này, các em nhỏ Việt Namthường nổi trội hơn cả trong việc giảiquyết vấn đề. Chúng tôi cho rằng, với tríthông minh, óc tưởng tượng phong phúvà lòng khát khao học tập thì dù chưatừng làm quen với những dạng bài toán

3

được đưa ra, các em cũng sẽ không gặpkhó khăn gì đáng kể.

Toán lý thuyết

Toán học cũng giống như một đôiquang gánh: Một bên là toán ứng dụng,bên kia là toán lý thuyết. Cả hai bên phảiđược giữ cho cân đối.

Giáo sư Neal Koblitz. Nguồn: Internet

Có nhiều lý do giải thích vì sao nghiêncứu toán học là điều cốt yếu cho sứcmạnh của việc phát triển khoa học vàcông nghệ của một quốc gia. Tất cả cácnhánh của toán học đều liên hệ với nhaurất phong phú nên khó có thể dự đoánxem những ngành nào tạo được lợi íchkinh tế quan trọng nhất trong tương lai.Ví dụ, tôi được dạy ở bậc đại học (ở Har-vard) và cao học (ở Princeton) về nhữngngành toán rất trừu tượng. Chắc chắn làkhi còn đang học cao học, tôi không thểnào tưởng tượng được rằng sau này tôilại dành gần hết sự nghiệp nghiên cứucủa mình trong một lĩnh vực có tính ứngdụng rất cụ thể là mật mã toán học vàan toàn mạng Internet, bởi vì thậm chílúc đó Internet còn chưa tồn tại. Nhữngthành quả nghiên cứu tôi đạt được về antoàn mạng đều là nhờ một quá trình đàotạo tuyệt vời tôi học được từ các thày giáocủa mình khi theo học toán lý thuyết.

Tương tự như vậy, nhà toán học nổitiếng của Việt Nam, giáo sư Hoàng Tụy,có bằng tiến sỹ toán lý thuyết tại Moscow

nhưng sau này lại đi đầu trong một ngànhmới của toán ứng dụng, lý thuyết tối ưutoàn cục, lĩnh vực liên quan đến việc tìmcác phương án tối ưu để tổ chức thực hiệnnhững nhiệm vụ hậu cần về sản xuất, vậntải và truyền thông.

Hơn nữa, toán học là một bộ phậncủa văn hóa nhân loại. Toán học là ngônngữ của tư duy logic và cái đẹp. Một đấtnước không đóng góp gì mới cho toánhọc cũng giống như một đất nước khôngcó một nền âm nhạc, nghệ thuật và vănhọc của riêng mình. Ngay trong nhữnggiai đoạn khó khăn nhất trong lịch sửcủa đất nước, các nhà lãnh đạo Việt Namđã hiểu rõ điều đó. Năm 1967, sau cuộcgặp với thủ tướng Phạm Văn Đồng và bộtrưởng Tạ Quang Bửu, nhà toán học lỗilạc người Pháp Alexandre Grothendieckđã viết “Tôi có thể xác nhận rằng, các nhàlãnh đạo cũng như nhà khoa học lớn đềutin tưởng rằng nghiên cứu khoa học - kểcả những nghiên cứu lý thuyết chưa cóngay các ứng dụng thực tế - đều khôngphải là một thứ xa xỉ, và rằng chính việcthúc đẩy nghiên cứu khoa học mang tínhlý thuyết (cũng như việc phát triển giảngdạy và các ngành khoa học ứng dụng) cầnphải được bắt đầu ngay lập tức chứ khôngphải chờ đến khi nào thuận lợi hơn thìmới làm”.

Sự cần thiết của một chương trình đàotạo thạc sỹ mạnh

Có nhiều lí do cho thấy các chươngtrình mạnh đào tạo thạc sỹ về cả toán lýthuyết và toán ứng dụng nên là một ưutiên đối với Việt Nam:

∙ Bằng thạc sỹ giúp cho sinh viên có lợithế trong một số công việc nhất định ởkhu vực kinh tế tư nhân.

∙ Sinh viên đăng kí theo học chươngtrình nghiên cứu sinh ở Mỹ hoặc ởnhiều nước khác thường có lợi thế nếu

4

họ có bằng thạc sỹ do chính nước mìnhcấp. Tôi là thành viên của hội đồng xéttuyển sau đại học của khoa nơi tôi côngtác, và một lượng lớn sinh viên nướcngoài được chấp nhận đều có bằng thạcsỹ như thế.

∙ Một sinh viên đi du học sau khi đã cóbằng thạc sỹ tại quê nhà thường trở nêngià dặn và chín chắn hơn, gắn bó sâunặng hơn với Việt Nam và vì thế ít cónguy cơ làm một phần trong trào lưu“chảy máu chất xám” hơn.

∙ Việc phát triển các chương trình đàotạo thạc sỹ chất lượng cao sẽ làm chocác trường đại học cấp tỉnh trở nênvững mạnh hơn. Các chương trình đàotạo thạc sỹ thường không đòi hỏi caovề nguồn lực và đội ngũ cán bộ nhưmột chương trình đào tạo tiến sỹ nêncó thể thực hiện được với các trườngchưa đủ điều kiện đào tạo tiến sỹ. Tronghầu hết các trường hợp, chương trìnhđào tạo thạc sỹ là một bước cần thiếtđể phát triển thế mạnh trong một lĩnhvực khoa học. Một khi phát triển thànhcông chương trình đào tạo thạc sỹ, mộttrường đại học mới có thể hy vọng mộtcách thực tế là sau này sẽ có được mộtchương trình đào tạo tiến sỹ trong lĩnhvực đó.

Vấn đề bình đẳng giới và Toán học

Một quốc gia muốn hiện thực hóa tiềmnăng khoa học và công nghệ của mìnhcần phải biết cách cổ vũ và hỗ trợ phụ nữtham gia nghiên cứu các ngành khoa họcgắn liền với toán học. Hơn nữa, với sựphát triển của quá trình toàn cầu hóa vàchủ nghĩa hưởng thụ, thông thường phụnữ đang có xu hướng chọn ngành nghềvề khoa học nhiều hơn nam giới.

Ví dụ, trong những năm 1980 và 1990,Mexico tiến hành một công cuộc tư nhânhóa, tăng cường hỗ trợ khu vực tư nhân

và cắt giảm sự hỗ trợ khu vực kinh tếcông. Nhiều nam giới bỏ nghiên cứu khoahọc để kiếm những công việc béo bở hơntrong khu vực tư nhân. Vì thế, số lượngphụ nữ tham gia nghiên cứu khoa họctăng lên đáng kể. Nghĩa là trong cái rủilại có cái may.

Ở Việt Nam cũng vậy, khu vực tư nhântăng trưởng nhanh trong những năm1990. Sau khi Việt Nam bình thường hóaquan hệ ngoại giao với Mỹ năm 1994và hòa nhập vào nền kinh tế toàn cầu,nhiều công ty nước ngoài mở chi nhánhtại đây, gây ra xáo trộn lớn về động cơkinh tế. Một công việc thông thường củamột nhân viên trong bộ máy hành chínhquan liêu của các tập đoàn bản địa cũngđem lại lương cao hơn so với lương giáosư đại học hoặc nghiên cứu viên các việnkhoa học của chính phủ. Một cuộc xâmlăng văn hóa, chủ nghĩa hưởng thụ đượcdu nhập từ Mỹ, Nhật Bản và Hàn Quốc,đã ảnh hưởng lớn tới lớp trẻ.

Việt Nam có truyền thống tôn sư trọngđạo và truyền thống này đã tồn tại quahai cuộc kháng chiến chống thực dânPháp và đế quốc Mỹ. Xét trong bối cảnhcực kỳ nghèo khổ sau hai cuộc chiến thìViệt Nam vẫn duy trì được một trình độgiáo dục và khoa học cao. Tuy nhiên, haithập kỷ gần đây đã chứng kiến một xuhướng nhiễu loạn - hầu hết các học sinhtham dự (và đạt các giải rất cao) các kỳOlympic toán (phần lớn trong số đó lànam) về sau bỏ học toán để theo đuổi sựnghiệp trong các ngành tài chính và côngnghiệp, nhằm kiếm được thu nhập cao ởcác công ty.

Trong một xã hội gia trưởng chịu ảnhhưởng nặng nề của chủ nghĩa vật chất,địa vị xã hội của người đàn ông được thểhiện qua khả năng kiếm tiền và tài sảncủa họ. Trong khi đó, địa vị xã hội củanữ giới có sự khác biệt nhỏ và theo một

5

nghĩa nào đó, tinh tế hơn: họ vẫn có thểcó một cuộc sống tốt mà không cần phảitự kiếm được thật nhiều tiền.

Vị thế xã hội của nữ giới có một số hệlụy tiêu cực, ví dụ như nhiều phụ nữ cảmthấy bị áp lực và không dám đấu tranhchống bất bình đẳng giới trong công việc,chế độ lương bổng, và chấp nhận quanđiểm là các ngành nghề với lao động nữchiếm đa số sẽ nhận được mức lương kémhơn so với các ngành nghề đòi hỏi laođộng nam. Đôi khi, cũng một cung cáchtổ chức xã hội như vậy lại dẫn đến cáckhía cạnh tích cực, chẳng hạn như ở Mex-ico, phụ nữ đã bắt đầu chiếm được cácvị trí trong các trường đại học công cũngnhư các viện nghiên cứu, mà không bị lôicuốn bởi đồng lương cao hơn trong khuvực tư nhân.

Tôi không muốn cường điệu hóa sựkhác biệt về giới tính. Hiển nhiên córất nhiều người, cả nam và nữ, tin rằngkhông cần phải có thật nhiều tiền vàtài sản để có một cuộc sống hạnh phúc.Cũng như có rất nhiều người, cả đànông và đàn bà, bị cuốn theo lối sống vậtchất. Tuy nhiên, tôi cho rằng trong nhiềutrường hợp, nữ giới thường giỏi hơn namgiới trong việc kháng cự lại các mặt tráicủa nền kinh tế tư bản chủ nghĩa. Nóiriêng, phụ nữ có tiềm năng trở thành cácchuyên gia đầu ngành trong toán học vàkhoa học.

Tuy nhiên, cần phải thực hiện một sốcác thay đổi. Tình trạng bất bình đẳnggiới tính hiện nay trong các kỳ thi Toánquốc tế (IMO) thật sự đáng báo động.Chẳng hạn như tại Mỹ hiện nay 32% sốcác tiến sỹ toán là nữ. Nhưng trong hầuhết các năm, toàn bộ thành viên trong độituyển thi Olympic Toán quốc tế của Mỹ lànam. Thực trạng này cũng đang xảy raở Việt Nam, khi có rất ít các thành viêntrong các đội tuyển thi Toán quốc tế là

nữ, mặc dù các sinh viên nữ học toán rấtgiỏi, và ngày càng có nhiều hơn các giảngviên đại học ngành Toán là nữ.

Để đối phó lại với thực trạng khôngmấy tốt đẹp hiện nay về mất cân bằnggiới tính trong các cuộc thi Toán quốc tế,vào năm 2002 các nhà toán học TrungQuốc đã quyết định tổ chức Kỳ thi Họcsinh giỏi Toán quốc gia dành cho học sinhnữ. Họ bắt đầu mời các quốc gia kháctham gia từ năm 2004, và Mỹ lần đầu gửiđội tuyển dự kỳ thi này năm 2007. Trongnăm 2015 kỳ thi diễn ra ở Thâm Quyến,Trung Quốc. Sẽ là rất tốt nếu Việt Namgửi đội tuyển tham gia cuộc thi này hàngnăm. (Ngoài ra còn có kỳ thi Học sinh giỏiToán Châu Âu dành cho nữ, được tổ chứclần đầu tiên vào năm 2012).

Thêm vào đó, việc có được các đại diệnnữ xứng đáng trong các đội dự thi MCMlà rất quan trọng. Do các thành viên trongđội phải tập trung hợp tác cao độ trongkhi thi, một số em nữ có lẽ sẽ cảm thấybất tiện khi trong đội có cả thành viênnam. Trong trường hợp này, các trườngđại học Việt Nam có thể tổ chức một sốđội gồm toàn nữ bên cạnh các đội gồm cảnam và nữ.

Các nguy cơ đối với Việt Nam từ nhữnglời khuyên sai lầm và các áp lực to lớntừ bên ngoài.

Trong khoảng một thập kỷ vừa qua,nhiều nhà tư vấn và “chuyên gia” danhtiếng (và thường được trả lương rấthậu hĩnh) từ Mỹ, Úc, Ngân hàng Thếgiới, cũng như nhiều chính phủ và tổchức khác đã viết rất nhiều báo cáo vàđề xuất của họ đối với nền giáo dụcđại học của Việt Nam. Phần lớn cácđề xuất đó là sai lầm, một phần vì sựthiếu hiểu biết về các hiện trạng ở ViệtNam, một phần vì sự khác biệt về ýthức hệ đã làm méo mó nhận thức của

6

họ. Để hiểu rõ hơn về suy nghĩ của tôi,mọi người có thể xem đoạn video dài 4phút trên Youtube của Ngân hàng Thếgiới nói về giáo dục ĐH ở Việt Nam.(https://www.youtube.com/watch?v=cE-y6PMHE5U). Người trình bày, JeffreyWaite, được coi là chuyên gia giáo dụchàng đầu của Ngân hàng Thế giới (WB)ở Việt Nam, gợi cho tôi nhớ đến một cậuhọc trò ngỗ nghịch, khi bị phạt về tộikhông học bài, cố gắng trả lời các câu hỏicủa giáo viên một cách bịp bợm. Sự hiểubiết về nền giáo dục Việt Nam của ôngWaite rõ ràng là chưa đủ để lấp đầy mộtclip dài 4 phút về giáo dục Việt Nam, vàvì vậy nên ông ta liên tục lặp lại các nộidung trong bài thuyết phát đầy tự mãncủa mình và liên tục nhắc đến các mỹ từ“Tính tự chủ” và “quản trị”.

Các từ này sẽ được mỗi người hiểu theomột cách khác nhau. Đối với Ngân hàngThế giới, “Tính tự chủ” có nghĩa là mộttrường ĐH không bị kiểm soát bởi bất kỳmột bộ hay cơ quan nào của chính quyềntrung ương hay địa phương. Tôi muốnphân tích kỹ từ “Tính tự chủ”, và đưa racác ví dụ về “Tính tự chủ” ở cả Việt Namvà Mỹ.

Các hệ lụy của quyền tự chủ ở Việt Nam

Cho đến khoảng cách đây 5 năm, mộtluận án tiến sỹ phải vượt qua hai vòngbảo vệ. Vòng đầu tiên được tổ chức bởitrường đại học và vòng cuối cùng được tổchức bởi Bộ Giáo dục và Đào tạo với cácchuyên gia từ các trung tâm nghiên cứulớn của cả nước. Vòng bảo vệ cuối cùnglàm giảm thiểu khả năng một nghiên cứusinh yếu kém có thể đạt được học vị tiếnsỹ nhờ sự ưu ái và các mối quan hệ trongcác trường đại học địa phương, hoặc vìcác trường đại học cấp địa phương khôngcó đủ các chuyên gia có khả năng đánhgiá luận án của các nghiên cứu sinh.

Tuy nhiên, để tăng cường tính tự chủcho các trường đại học, khoảng 5 nămtrở lại đây, vòng bảo vệ luận án tiến sỹthứ hai (tức là vòng bảo vệ luận án cấptrường) đã bị thay đổi đáng kể. Giờ đây,nó do chính trường đại học đã đứng ratổ chức vòng một (bảo vệ luận án cấp cơsở) thực hiện, và nói chung trở thành mộtnghi thức vô ích. Sức ép từ các chuyênviên tư vấn nước ngoài về tăng tính tựchủ cho các trường đại học, không cònnghi ngờ gì nữa, chính là yếu tố chủ yếutrong việc gỡ bỏ các kiểm soát về chấtlượng trong đào tạo sau đại học ở ViệtNam. Điều này có nghĩa là một số tiếnsỹ hiện nay có trình độ không đạt chuẩnquốc tế, và điều này đã hạ thấp uy tíncủa các tấm bằng sau đại học. Thậm chínhững người đạt được học vị tiến sỹ từcác cơ sở đào tạo hàng đầu của đất nướccũng bị ảnh hưởng nghiêm trọng do bứctranh toàn cảnh đầy tiêu cực được tạonên bởi các tiến sỹ yếu kém do các cơ sởkhác đào tạo. Đây chính là hậu quả từ lờikhuyên sai lầm của Ngân hàng Thế giớivề việc gỡ bỏ các cơ chế kiểm soát đối vớichất lượng đào tạo.

Khác với các quốc gia phát triển, ViệtNam không có truyền thống lâu đời vềđào tạo sau đại học. Đây là điều khôngngạc nhiên vì Việt Nam mới có đúng bốnthập niên được thống nhất và độc lập.Các nhà lãnh đạo ở Việt Nam hiểu rõ điềunày khi họ tổ chức vòng bảo vệ cấp Nhànước đối với luận án tiến sỹ cho đến năm2010. Tuy nhiên, có vẻ như Ngân hàngThế giới không hiểu điều này, và họ rõràng đã làm tổn hại đến chương trình đàotạo sau đại học ở Việt Nam bởi các khuyếnnghị không hợp lý của mình.

Tính tự chủ trong các trường đại học ởMỹ.

Theo cách hiểu của Ngân hàng Thế giớivề “tính tự chủ”, hầu hết các trường đại

7

học ở Mỹ đều có khả năng tự chủ (trừmột vài trường đại học công mà ở đó banđiều hành được chỉ định bởi thống đốcbang, người luôn cố gắng tạo ảnh hưởngvà kiểm soát các quyết định quan trọng).Điều này có nghĩa là, việc điều hành cáchoạt động của trường không bị kiểm soátbởi bất kỳ bộ hay cơ quan nào của chínhphủ. Tuy nhiên, nếu ta sử dụng khái niệmrộng hơn về “tính tự chủ”, thì các trườngđại học ở Mỹ có rất ít. Các trường đại họcở Mỹ phải tuân thủ một hệ thống cực kỳphức tạp các điều luật và quy định củachính quyền liên bang và tiểu bang. Cácluật lệ phức tạp đó (dài hàng ngàn tranggiấy) là một trong các lý do tạo nên mộtđội ngũ khổng lồ các “quan chức trườngđại học” - tôi tin là các trường đại học ởMỹ có tỉ lệ nhân viên quản lí so với giáosư cao hơn bất cứ quốc gia nào khác trênthế giới.

Tôi xin dẫn chứng một ví dụ nhỏ về cácqui định khắt khe đó. Năm 1990, Quốchội Mỹ thông qua đạo luật quốc gia vềhỗ trợ người thiểu năng và tàn tật (gọitắt là đạo luật ADA). Thoạt tiên, đạo luậtđược diễn giải là yêu cầu cung cấp, hỗtrợ những nhu cầu cơ bản và hiển nhiênđối với những người tàn tật. Tuy nhiên,sau này, đạo luật đó được mở rộng thêmđể áp dụng đối với cả các khiếm khuyếtvề thể chất và trí tuệ, và các trường đạihọc bắt buộc phải có các biện pháp hỗtrợ cho những người này. Đối với các sinhviên có giấy chứng nhận của bệnh viện là“khó khăn trong việc tiếp thu kiến thức”,chúng tôi bắt buộc phải cho các sinh viênđó thêm 50% thời gian làm bài kiểm tra(trong một vài trường hợp là 100%). Cáctrường đại học phải xây dựng các trungtâm đặc biệt để hỗ trợ cho các sinh viên

này trong việc thi cử và phải thuê mộtsố lượng lớn nhân viên để điều hành hệthống này. Rất nhiều sinh viên (đặc biệtlà các sinh viên giàu có) có thể dễ dàngtìm một bác sĩ có thể viết cho họ cácchứng nhận như vậy. Khi càng ngày càngcó nhiều sinh viên nhận thấy họ có thểdễ dàng lợi dụng hệ thống hỗ trợ này thìchúng tôi lại phải hỗ trợ nhiều hơn nữacho những người được-gọi-là “khó khăntrong việc tiếp thu kiến thức”.

Một điều thật sự quan trọng cần phảihiểu là “tính tự chủ” theo cách hiểu củangười Mỹ không có nghĩa là giảng viên vàsinh viên có thực quyền tác động đến cácquyết định quan trọng. Ví dụ như, nhữngcông chức được trả lương cao nhất trênthế giới là các huấn luyện viên môn bóngbầu dục tại các trường đại học lớn của Mỹ.Huấn luyện viên trưởng đội bóng bầu dụctrường đại học Alabama (là một trườngđại học công) có mức lương hơn 7 triệuđôla một năm. Khi các giáo sư hoặc sinhviên phản đối mức lương trên trời đó (haylà những tốn kém khác liên quan đến việcđiều hành) thì các thắc mắc của họ bị lờđi.

Một quyết định khôn ngoan

Tôi đặc biệt vui mừng khi biết rằng vàotháng 8/2015, Chính phủ Việt Nam đưara quyết định ngừng cấp phép thành lậpmới các trường đại học liên kết với nướcngoài(1). Kể từ năm 2009, khi tôi bắt đầulo ngại về các đề án tồi tệ từ Mỹ hướngvào thị trường giáo dục Việt Nam, tôi đãmong chờ một quyết định như vậy. Trongquãng thời gian đó tôi đã nêu nhiều ýkiến phê phán việc các cơ sở chân rết củacác trường đại học của Mỹ được thànhlập ở nước ngoài một cách cẩu thả, thiếunghiên cứu kỹ lưỡng. Một trong các bài

(1)Xem http://m.vietnamnet.vn/vn/giao-duc/258935/ngung-thanh-lapmoi-cac-truong-dai-hoc-lien-ket-

voi-nuoc-ngoai.html(2)Xem http://www.math.washington.edu/ekoblitz/CHEletter.pdf

8

viết của tôi được đăng trên tạp chí Chron-icle of Higher Education(2).

Vào năm 2009, Nhóm chuyên trách vềgiáo dục Việt Nam - Mỹ đề xuất Việt Nambỏ ra một khoản tiền lớn để thuê ngườiMỹ xây dựng và quản trị một trường đạihọc. Để thu hút sự quan tâm và giúp đỡchính phủ Việt Nam, trường đại học đóđược quảng cáo như là một trường đạihọc “đỉnh cao”, nằm trong Top 200 củathế giới. Tuy nhiên, khi xem xét kỹ đề án,điều đập vào mắt trước tiên là trường đạihọc đó sẽ không có các chương trình đàotạo Toán và các môn khoa học tự nhiên,không có văn học, lịch sử Việt Nam, haybất kỳ các môn khoa học xã hội nào khác.Một mô hình trường đại học như vậykhông bao giờ có thể là một trường đỉnhcao, mà chỉ có thể là một trường dạy nghềnhằm giúp sinh viên có thể làm được cáccông việc thường nhật tại các tập đoàn đaquốc gia mà thôi.

Chiến thuật mà các thành viên ngườiMỹ trong nhóm chuyên gia giáo dục sửdụng để thuyết phục Việt Nam chấp nhậnđề án của họ được biết đến như mộtthành ngữ trong tiếng Anh, tạm dịch là“mồi chài và lật lọng” (bait and switch).Đây là một hình thức bán hàng lừa đảo,được thực hiện bằng cách quảng cáo mộtsản phẩm ở một mức giá rất thấp để thuhút khách hàng, khi khách đến thì thôngbáo hết hàng hoặc hàng bị lỗi, rồi thuyếtphục khách mua một món đồ khác với giácao.

Một trường đại học đỉnh cao sẽ phải lànơi mà tri thức và văn hóa nở rộ, là nơibảo tồn các giá trị tốt đẹp nhất của đấtnước và con người Việt Nam (bao gồmcả khả năng nghiên cứu toán học). Mộtsố người tin rằng Việt Nam chỉ có thể tựcường khi biệt đãi những trường đại họcđỉnh cao như vậy. Theo lời giáo sư JoelSamoff ở đại học Stanford (khi bàn về

châu Phi, vốn là chuyên môn của ông)thì “Việc tiến hành nghiên cứu trong khoahọc cơ bản và nhân văn và sự phát triểncác đóng góp độc đáo cho tư tưởng là hếtsức cần thiết nếu một xã hội muốn đượcđộc lập một cách thực sự và có thể quyếtđịnh được tương lai của chính mình. Mộtchức năng như thế không phải là một thứxa xỉ có thể bỏ qua trong một giai đoạn,chờ đến lúc khấm khá hơn mới thực hiện,mà là một phần không thể tách rời củachính quá trình phát triển”. Mặt khác,những người tin rằng Việt Nam nên làmột thuộc địa kiểu mới sẽ ủng hộ dạngđại học đỉnh cao giả tạo được đề xuất bởinhóm chuyên gia giáo dục đó.

Năm thành viên người Mỹ trong nhómchuyên gia giáo dục đều là những ngườigiàu có và nổi tiếng, nhưng có vẻ họkhông biết nhiều về Việt Nam (cũngnhư là nền giáo dục đại học ở các quốcgia đang phát triển khác). Thành viênnổi tiếng nhất, nhà chính trị Bob Ker-rey (người trở thành hiệu trưởng đại họcsau khi rút khỏi chính trường), là mộtsự lựa chọn rất tồi cho cái nhóm chuyêngia đó. Đây không phải là nơi để thảoluận về các thảm kịch tồi tệ trong lịch sử,nhưng nếu bạn có hứng thú, xin hãy đọchttps://vi.wikipedia.org/wiki/Thảm_sát_Thạnh_Phong hoặc http://vnexpress.net/vu-tham-sat-tai-lang-thanh-phong/topic-13252.html

Cuối cùng, cần phải nhấn mạnh là đềán hiện tại của phía Mỹ về việc xâydựng một trường đại học ở Tp. Hồ ChíMinh, Đại học Fulbright Vietnam (FVU)rất khác so với đề án của nhóm chuyêngia giáo dục trên ở một phương diện: đâylà trường đại học được tài trợ bởi chínhphủ Mỹ và các tổ chức Phương Tây, chứkhông phải bởi chính phủ Việt Nam. Đólà sự khác biệt cốt yếu. Tuy nhiên, trêncác phương diện khác thì đề án này cũng

9

tương tự như đề án năm 2009 của nhómchuyên gia về thành lập đại học “đỉnhcao”. Đặc biệt từ góc độ của người Mỹ,thì một trong những mục đích của trườngnày là đào tạo một đội ngũ cán bộ thânMỹ có thể tự xưng là “chuyên gia” về kinhtế và chính sách công; khi đó FUV sẽ đóngvai trò là một căn cứ của những lực lượngchống lại chủ nghĩa xã hội. Đừng quênrằng chính phủ Mỹ luôn tự cho mìnhquyền được can thiệp vào công việc nộibộ của nước khác, cho dù là đồng minhhay thù địch (các tài liệu của Cơ quan anninh quốc gia Mỹ do Edward Snowdentiết lộ cho thấy chính phủ Mỹ đã nghe lénvà do thám các cuộc đàm thoại cá nhâncủa lãnh đạo hơn 35 quốc gia). Chính phủMỹ sẽ không đời nào tài trợ cho FUV trừkhi họ nghĩ rằng trường đại học này sẽphục vụ cho lợi ích của nước Mỹ.

Đối với những người, như cá nhân tôi,tin rằng Việt Nam cần ưu tiên cải taọ cáctrường đại học đã có sẵn, thay vì cố gắngmở ra các trường đại học mới được thiếtkế bởi nước ngoài, thì quyết định vừa rồinhằm ngừng thành lập mới các trườngđại học có yếu tố nước ngoài là một quyếtđịnh rất đáng hoan nghênh.

Kết luận

∙ Các vấn đề thực tiễn nên dần được đưavào trong các nội dung giảng dạy toánhọc ở mọi cấp của Việt Nam.

∙ Việt Nam cần tham gia kỳ thi Toánquốc tế về mô hình hóa, phấn đấu mỗitrường lớn dần dần sẽ có ít nhất mộtđội dự thi.

∙ Để khuyến khích sinh viên nữ tham dự,nên có một số đội dự thi MCM gồm

toàn thành viên nữ, tránh cho các emkhỏi e ngại khi ở trong đội có cả bạnkhác giới.

∙ Việt Nam cần gửi đội tuyển tham gia kỳthi Olympic Toán học dành cho nữ sinhcủa Trung Quốc.

∙ Chính phủ Việt Nam cần tăng mạnh sựhỗ trợ đối với các chương trình đào tạocao học toán và khoa học cơ bản. Sosánh với các môn học khác, hỗ trợ chocác chương trình đào tạo cao học toánrất hiệu quả và ít tốn kém.

∙ Việt Nam cần duy trì các tiêu chuẩn caođối với các bậc đào tạo toán lý thuyếtvà ứng dụng. Chính phủ nên quay trởlại với hệ thống đào tạo trước đó đốivới bậc Tiến sỹ, có vòng bảo vệ cấp nhànước.

∙ Cần cân nhắc kỹ lưỡng các lời khuyêntừ các nhà tư vấn và “chuyên gia”có liên quan đến chính phủ các nướcphương Tây và các cơ quan tài chính.Những lời khuyên này nhiều khi khôngđáng tin cậy và có thể dẫn đến làm suyyếu các trường đại học của Việt Nam.

∙ Việt Nam cần tăng cường mạnh mẽ sựhỗ trợ đối với các trường đại học cônglập; các Đại học Quốc gia phải được cảitiến không ngừng, mà mục tiêu phảilà biến nó trở thành một trường đạihọc đỉnh cao thực thụ. Cụm từ đỉnhcao thực thụ có nghĩa là trường đại họcphải có các chương trình nghiên cứu cảgiảng dạy toán học và khoa học cơ bảnở đẳng cấp quốc tế (chứ không chỉ tậptrung vào các ngành ứng dụng), cũngnhư đối với các môn lịch sử, văn học vànghệ thuật của Việt Nam và các nướckhác.

Người dịch: Nguyễn Trung Hiếu và Nguyễn Ngọc Phan(Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội)

10

GIẢI THƯỞNG ABEL 2017Yves Meyer giành giải ‘Nobel toán học’ cho công trình về sóngnhỏ (1)

Alex Bellos

Nhà toán học Pháp đã giành giải thưởng danh giá nhờ vào lý thuyếtcho phép kết nối Toán học, Công nghệ thông tin và Khoa học máy tính.

Nhà toán học người Pháp Yves Meyerđã giành giải thưởng Abel 2017 nhờ côngtrình về sóng nhỏ, một lý thuyết toán họcvới nhiều ứng dụng trong vấn đề nén dữliệu, xử lý ảnh y học và phát hiện sónghấp dẫn.

Meyer, 77 tuổi, sẽ nhận được giảithưởng trị giá 6 triệu krone Na Uy(khoảng 700.000 đô la Mỹ) của Viện Hànlâm Khoa học Na Uy do những đóng gópnổi bật của ông cho toán học.

Giải thưởng Abel được trao hàng nămkể từ năm 2003. Năm ngoái, giải thưởngnày được trao cho nhà toán học ngườiAnh Andrew Wiles cho công trình chứngminh Định lý cuối cùng của Fermat. Giảithưởng Abel được nhiều người xem làmột giải thưởng trong toán học tươngđương với giải Nobel, vì thực tế không cógiải Nobel toán học.

Viện Hàn lâm Na uy đã công bố tiểusử của Meyer để giải thích công trình củaông theo hướng dễ tiếp cận. Tiểu sử, donhà báo người Anh chuyên viết về đề tàikhoa học Philip Ball viết, có nguyên vănnhư sau.

Tiểu sử của Yves Meyer

Yves Meyer đang là giáo sư danh dựtại trường Đại học sư phạm Paris-Saclay(Pháp). Ông đã chứng tỏ rằng, trái vớiđiều F. Scott Fitzgerald đã nói về cuộcsống Mỹ(2), trong toán học thực sự cómàn diễn thứ hai, thậm chí có thể cónhiều hơn. Từ những đóng góp quantrọng trong lĩnh vực lý thuyết số ở giaiđoạn đầu của sự nghiệp, với tính hiếu kỳvà nguồn năng lượng vô hạn của mình,Meyer đã bị cuốn hút vào việc nghiêncứu những phương pháp nhằm phân tíchnhững đối tượng toán học phức tạp thànhcác thành phần dạng sóng đơn giản hơn- lĩnh vực được gọi là Giải tích điều hòa.Điều này đã giúp ông thành công trongviệc xây dựng một lý thuyết về sự phântích các tín hiệu phức tạp với nhữngảnh hưởng quan trọng trong máy tính vàcông nghệ thông tin. Sau đó, ông chuyểnhướng một lần nữa những quan tâm củamình sang việc giải quyết các vấn đề toánhọc cơ bản trong lý thuyết các dòng chảychất lỏng.

Ngay từ khi bắt đầu sự nghiệp nghiêncứu, Meyer đã có khuynh hướng vượt qua

(1)Dịch từ Tạp chí The Guardian (3/2017): “Alex Bellos, Abel Prize 2017: Yves Meyer wins ’mathsNobel’ for work on wavelets”

(2)Nhà văn nổi tiếng người Mỹ với câu nói (nguyên văn): “There are no second acts in American lifes”

11

những ranh giới. Sinh ra tại Pháp vàongày 19 tháng 7 năm 1939, ông lớn lênở Tunis, bên bờ biển Bắc Phi. Trong mộtcuộc phỏng vấn vào năm 2011, Meyerđã nói rằng, “Tunis trong ký ức tuổi thơcủa tôi là một nơi đông đúc, nơi mà mọingười trên khắp Địa Trung Hải tìm thấysự an cư. Khi còn là một cậu bé, tôi đã bịám ảnh bởi ước muốn vượt qua ranh giớiphân biệt giữa các nhóm dân tộc”.

Yves Meyer. Nguồn: Internet

Năm 1957, Meyer đứng đầu trong cuộcthi tuyển vào Trường Sư phạm Paris(École Normale Supérieure - ENS) danhtiếng, tọa lạc trên đường Ulm, Paris. Vềsau ông cho rằng “Nếu bạn vào học tạiENS Ulm thì chính bạn đang lãng phícông sức và tiền bạc”. Tuy nhiên, “Đó làsự lựa chọn của cuộc sống. Cuộc sốngcủa bạn được dành cho việc thu nhận vàtruyền đạt kiến thức”.

Sau khi tốt nghiệp, Meyer tiếp tục hoànthành nghĩa vụ quân sự với vai trò thầygiáo ở một trường quân đội. Dù có tâmhuyết sâu sắc đối với giáo dục và các họctrò nhưng ông không phù hợp với vai tròđó. Ông đã thừa nhận rằng “Một ngườithầy tốt cần nhiều khả năng sư phạm vàtính tổ chức hơn những gì tôi có”. Hơnnữa, ông cũng cảm thấy không thoải máikhi phải là một người “luôn đúng”. Meyerđã nói “Việc nghiên cứu thì tốn nhiều thờigian và thường mắc sai lầm”. Tuy nhiênông ấy cảm thấy trải nghiệm giảng dạy ở

trường trung học đã định hình cuộc sốngcủa ông: “Tôi nhận thấy rằng việc chia sẻlàm tôi hạnh phúc hơn là sở hữu”.

Ông tham gia công việc trợ giảng tạiĐại học Strasbourg và lấy bằng tiến sỹở đó năm 1966 dưới sự hướng dẫncủa Jean-Pierre Kahane, nhưng Meyerđã khẳng định rằng, giống như một sốngười khác ở Pháp vào thời điểm đó, vềcơ bản ông tự hướng dẫn chính mình.Ông trở thành Giáo sư Toán học lầnđầu tiên tại Đại học Paris 11 (Univer-sité Paris-Sud), sau đó là tại TrườngBách khoa Paris (École Polytechnique) vàĐại học Paris-Dauphine (Université Paris-Dauphine). Ông chuyển đến Đại học Sưphạm Cachan (ENS Cachan, gần đâyđược đổi tên thành ENS Paris-Saclay) vàonăm 1995, ở đó ông đã làm việc tại Trungtâm Toán ứng dụng (CMLA) cho đến khinghỉ hưu vào năm 2008. Dù vậy hiện nayông vẫn còn là thành viên dự khuyết củatrung tâm.

Tìm kiếm các cấu trúc

Công trình của Yves Meyer, theo nghĩarộng nhất, đề cập đến việc tìm hiểu cáchàm toán học có dạng phức tạp và sự thayđổi của chúng - đặc trưng có thể được môtả bởi các phương trình đạo hàm riêng.Chẳng hạn như dòng chảy của chất lỏngđược mô tả bởi hệ phương trình Navier-Stokes. Trong năm 1999, Meyer đã gópphần làm rõ các nghiệm đặc biệt của hệphương trình này, chủ đề được xem làmột trong những thách thức lớn nhất củatoán học.

Sự quan tâm của Meyer đối với cấutrúc và tính chính quy của các đối tượngtoán học phức tạp đã đưa ông đến với lýthuyết “model sets” vào năm 1960. Đâylà một công cụ cho phép mô tả nhữngmảng vật thể, trong đó lưới tinh thể thiếutính trơn và tính đối xứng hoàn hảo. Công

12

trình này của Meyer được phát triển từ lýthuyết số đã cung cấp một lý thuyết nềntảng cho các vật liệu tựa tinh thể (qua-sicrystals), loại vật liệu được phát hiệnlần đầu tiên trong các hợp kim vào năm1982, mặc dù trước đó nhà vật lý toánRoger Penrose hình dung từ năm 1974thông qua các sơ đồ bố trí tựa chính quy(quasi-regular tiling). Với việc khám phára vật liệu tựa tinh thể, nhà khoa họcvật liệu Dan Shechtman đã đạt giải Nobelhóa học vào năm 2011. Với Meyer, ôngtiếp tục duy trì sự quan tâm đối với vậtliệu tựa tinh thể và trong năm 2010 ôngđã cùng với Basarab Matei làm sáng tỏcấu trúc toán học của chúng.

Trong những năm 1970, Meyer đã cónhững đóng góp to lớn trong lĩnh vựcgiải tích điều hòa, một lĩnh vực nhằm tìmcách phân tích các hàm số và tín hiệuphức tạp thành các thành phần được tạora từ các sóng đơn. Năm 1982, ông cùngvới Ronald Coifman và Alan McIntoshchứng minh một định lý liên quan đếnviệc xây dựng toán tử tích phân Cauchyvà qua đó giải quyết thành công một bàitoán mở tồn tại khá lâu trong lĩnh vực giảitích điều hòa. Mối quan tâm đối với cácphân tích điều hòa như thế đã dẫn Meyerđến với lý thuyết sóng nhỏ. Lý thuyếtnày cho phép các tín hiệu phức tạp được“nguyên tử hóa” thành một loại hạt (par-ticle) toán học, gọi là sóng nhỏ.

Lý thuyết sóng nhỏ được bắt đầu vớicác công trình của hai nhà vật lý đoạtgiải Nobel là Eugene Wigner và DennisGabor, nhà địa vật lý Jean Morlet, nhàvật lý lý thuyết Alex Grossmann, và nhàtoán học Jan-Olov Stromberg. Năm 1984,trong một lần làm việc bên cạnh chiếcmáy photocopy tại École Polytechnique,Meyer bắt gặp bài báo về chủ đề nàycủa Grossmann và Morlet và ngay lập tứcông bị nó cuốn hút. Ông nói “Tôi đã đón

chuyến tàu đầu tiên đến Marseilles đểgặp Ingrid Daubechies, Alex Grossmannvà Jean Morlet. Nó giống như một câuchuyện cổ tích. Tôi cảm thấy rằng cuốicùng thì tôi đã tìm được ngôi nhà củamình”.

Phá vỡ sự phức tạp

Từ giữa những năm 1980, trong “màndiễn khoa học thứ hai” của mình, Meyercùng với Daubechies và Coifman đã kếthợp các công trình trước đó về sóng nhỏthành một bức tranh thống nhất. Đặcbiệt, Meyer đã chỉ ra mối liên hệ giữacông trình về sóng nhỏ của Grossmann vàMorlet với công trình của nhà toán họcArgentina Alberto Caldéron. Đây là nềntảng cho những đóng góp đáng kể nhấtcủa Meyer trong giải tích điều hòa. Năm1986, Meyer và Pierre Gilles Lemarié-Rieusset đã chỉ ra rằng các sóng nhỏ cóthể tạo thành tập hợp gồm những đốitượng toán học độc lập với nhau, gọi làcác cơ sở trực chuẩn.

Coifman, Daubechies và Stéphane Mal-lat đã tiếp tục phát triển các ứng dụngcủa lý thuyết sóng nhỏ vào những vấn đềliên quan đến lĩnh vực xử lý ảnh và tínhiệu. Ngày nay, lý thuyết sóng nhỏ có mặtkhắp nơi trong những công nghệ như thế.Phân tích sóng nhỏ của hình ảnh và âmthanh cho phép chúng được phân thànhcác đối tượng toán học, nhằm phát hiệncác yếu tố bất thường bằng cách sử dụngcác hàm toán học trơn và có “dáng điệutốt”. Việc phân tích này quan trọng chovấn đề nén ảnh trong khoa học máy tính,chẳng hạn như nó được sử dụng trongđịnh dạng JPEG 2000. Sóng nhỏ cũnghữu ích trong việc mô tả các đối tượngvới hình dạng phức tạp, ví dụ như cácđa fractal. Meyer nói rằng chính chúngđã thúc đẩy mối quan tâm của ông đốivới phương trình Navier-Stokes vào giữanhững năm 1990.

13

Trong 20 năm qua, niềm đam mê củaMeyer đối với cấu trúc của các mô hìnhdao động đã giúp ông có những đóng gópquan trọng cho sự thành công của chươngtrình Herschel nhằm tạo ra các kính viễnvọng có thể nhìn sâu vào không gian. Ôngnghiên cứu các thuật toán để phát hiệnra sóng hấp dẫn trong vũ trụ. Đóng gópcủa Meyer vào việc xử lý ảnh cũng rấtđa dạng. Năm 2001, ông đề xuất một lýthuyết toán học nhằm phân tích hình ảnhbất kỳ thành một “cartoon” và một “tex-ture”. Ngày nay, thuật toán “cartoon plustexture” này được sử dụng thường xuyêntrong việc điều tra tội phạm để trích xuấtdấu vân tay kỹ thuật số từ các dữ liệuphức tạp.

Theo những cách như thế, công trìnhcủa Meyer liên hệ giữa các lĩnh vực lýthuyết của toán học như giải tích điềuhòa với việc phát triển các công cụ thựchành của khoa học thông tin và máy tính.Vì vậy, đây có thể xem là một ví dụ tuyệtvời cho khẳng định nói rằng các côngtrình toán học thuần túy có tầm quantrọng và hữu ích trong các ứng dụng thựctế.

Một trí thức du mục

Meyer là viện sỹ của Viện Hàn lâmKhoa học Pháp và viện sỹ danh dự củaViện Hàn lâm Khoa học và Nghệ thuậtMỹ. Các giải thưởng trước đây mà ông đãnhận được bao gồm giải thưởng Salem(1970) và giải thưởng Gauss (2010).Trong đó, giải thưởng Gauss về các ứngdụng của toán học là giải thưởng đượctrao bởi Liên đoàn Toán học Quốc tếIMU và Hội Toán học Đức DMV dành chonhững đóng góp nổi bật trong toán học vàcó ảnh hưởng lên các lĩnh vực khác. Tính

đa dạng trong các công trình của Meyer,được thể hiện qua phạm vi áp dụng rộngrãi, phản ánh niềm tin của ông rằng sứcsống trí tuệ được nuôi dưỡng bằng việcđối mặt với những thách thức mới. Ôngđược nhắc đến với câu nói: “Khi bạn trởthành chuyên gia hàng đầu trong mộtlĩnh vực thì cũng là lúc bạn nên rời khỏilĩnh vực đó”. Nhưng ông cũng cảnh giácvới sự kiêu ngạo này. Ông nói: “Tôi khôngthông minh hơn các đồng nghiệp làm việcổn định của tôi”. Và, “tôi luôn là người dumục, cả về ý thức và nơi làm việc”.

Một số người cho rằng Meyer chưanhận ra được những thành tựu to lớn củamình, có lẽ do ông chú trọng nhiều đếnviệc thúc đẩy sự nghiệp của người khácvà chú tâm vào việc nghiên cứu, giảngdạy toán. “Tiến bộ của toán học là mộtcông việc tập thể”, ông nói. “Tất cả chúngta đều cần thiết cho sự tiến bộ đó”.

Ông đã truyền cảm hứng cho một thếhệ các nhà toán học, những người đã tiếptục có những đóng góp quan trọng tronglĩnh vực của họ. Stéphane Mallat, mộtcộng sự của ông về lý thuyết sóng nhỏ,cho rằng ông là một người có tầm nhìn,công việc của ông không thể được coi làtoán học thuần túy, toán học ứng dụnghay khoa học máy tính, nó đơn giản chỉlà đáng kinh ngạc. Còn sinh viên và cácđồng nghiệp thường nói về óc tìm tòi, sứclàm việc cũng như sự rộng lượng và cởimở của ông đối với các lĩnh vực khác.Meyer cho rằng “Bạn phải tự cải thiệnbản thân để làm điều gì đó khó khăn, tựanhư làm nghiên cứu về toán học. Bạn cầnphải tin rằng mình đang sở hữu một khobáu trí tuệ tiềm ẩn bên trong bản thân,một kho báu đang cần được khai phá vàsử dụng”.

Người dịch: Lê Xuân Trường (Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh)

14

Ávila - Villani: hai con người đáng kể

Christoph Sorger(Viện quốc gia về Toán học và Các tương tác (INSMI), CNRS, Pháp)

Đó là hai người khổng lồ của toán họcPháp - Cédic Villani, giải thưởng Fieldsnăm 2010, và Artur Avila, người Pháp-Brasil giành giải thường cao quý này vàonăm 2014 - chuyện phiếm với ChristophSorger, giám đốc Viện quốc gia về Toán họcvà Các tương tác (INSMI) của CNRS. Bàiphỏng vấn được đăng trên số đầu tiên củatạp chí “Sổ tay khoa học”.

Christohph Sorger (C.S.): Cédic Vil-lani(1) và Artur Ávila(2), việc nhận giảithưởng Fields có thay đổi cuộc sống của cácanh không?

Cédic Villani (C.V.): Lúc ban đầu, khingười ta đặt câu hỏi này cho tôi trênchương trình vô tuyến, tôi đã trả lời rằng:“Còn quá sớm để nói về điều này, chúngta hãy chờ xem”. Sau nhiều năm, tôi cóthể khẳng định rằng, có, điều đó đã thayđổi cuộc sống của tôi, không còn nghingờ gì nữa. Vượt xa khỏi quỹ đạo nghềnghiệp của tôi, giải thưởng Fields đã làmnên một nền tảng đáng kể về xã hội vàtruyền thông. Nó cũng đã giúp tôi thựchiện được một số hoạt động truyền thôngvà thúc đẩy một số dự án mà tôi đãkhông thể thực hiện được nếu không cónó. Thường xuyên có những người gặptôi trên đường phố, trò chuyện về toánhọc, nói với tôi là họ không hiểu gì về

nó nhưng rất hạnh phúc khi nghe tôi nóihay họ thiết tha mong tôi đến nói chuyệnở trường phổ thông, ở trường đại học haycông ty của họ. Ta nhận ra rằng, và đâylà một bài học lớn tôi rút ra qua nhữngnăm tháng ấy, tất cả mọi người yêu thíchcác nhà khoa học khi họ nói chuyện đếnthế nào và mong muốn họ đến với côngchúng ra sao. Trong quá trình cảm nhậnđược điều đó, tôi nhớ đến một câu nóicủa John Nash(3), một trong những ngườihùng của tôi trong toán học. Tôi ngưỡngmột những công trình của ông, đặc biệtlà về các quy luật của các phương trìnhđạo hàm riêng. Ông đã không được tặngthưởng giải thưởng Fields, nhưng nhữnggì mà ông làm đã vượt xa những điềukiện “đủ” để có thể nhận nó. Ông đãkhông bao giờ tiêu hoá nổi việc mìnhkhông được nhận nó và đã lặp lại, rấtlâu sau: “Điều đó đã có thể thay đổi cuộcđời tôi”. Khi mới đọc câu này, tôi đã tựbảo rằng, dù sao, Nash cũng hơi quá lời.Ông là một trong rất hiếm nhà khoa học,trong khi còn sống, đã trở thành ngườihùng trong một bộ phim của Hollywood.Nhưng, một khi ta được nhận giải thưởngấy, ta mới nhận ra rằng có rất nhiều kỳvọng và tiềm năng ẩn sau nó, ở ngoàicộng động còn hơn cả trong cộng đồng.

(1)Giám đốc Viện Henri-Poincaré (CNRS/Đại học Pierre-et-Marie-Curie). Gần đây Villani tham gia đảng"Cộng hoà tiến bước!" của tổng thống Emmanuel Macron và trúng cử nghị sĩ tại cuộc bầu cử quốc hội Phápvừa qua. Ông tuyên bố sẽ từ bỏ chức vụ giám đốc Viện Henri-Poincaré để tham gia chính trường nhằm cảithiện hệ thống khoa học của Pháp.

(2)Thành viên của Viện Toán Jussieu-Paris Rive Gauche.(3)John Nash mất ngày 23 tháng 5 năm 2015, bốn ngày sau khi nhận giải thưởng Abel cao quý. Cédric

Villani tưởng nhớ ông trên blog của mình: http://cedricvillani.org/breve-rencontre-in-memoriam-john-nash

15

C.S.: Artur, anh nhận được giải thưởngnày gần đây hơn. Đó là ở Seoul vào tháng8 năm 2014. Anh cảm thấy thế nào?

Artur Ávila (A.Á): Ngay sau sự kiện này,tất nhiên, có một chút áp lực lên tôi, đángchú ý là trong truyền thông. Tôi có ấntượng rằng sự quan tâm đến toán họcở Pháp lớn hơn nhiều so với ở các nướckhác. Thật thú vị là ở đây người ta coitrọng đến thế một giải thưởng như giảithưởng này. Tôi không biết vì sao ở nơikhác không có điều tương tự. Về phầnmình, tôi quan tâm đến việc nhân sự kiệnnày sẽ làm phát triển toán học ở Brasil,quê hương tôi: ở đó, toán học đang điđúng hướng, nhưng nó mới chỉ đạt đượcnhững kết quả tiếp nối. Đại hội Toán họcquốc tế (ICM) sẽ diễn ra vào năm 2018ở Rio de Janeiro. Tôi cảm thấy giống nhưmột nghĩa vụ việc phải có mặt ở đó, vìtôi không có những năng khiếu đặc biệttrong các công việc này và trong việc thúcđẩy toán học trở thành một phần của trítưởng tượng tập thể.

C.S.: Khi tôi từ đại hội ở Seoul trở về, mộtsố đồng nghiệp ở các ngành khác đã hỏitôi: “Phải giải thích thế nào về việc toánhọc ở Pháp thành công đến vậy?”. Đây làmột câu hỏi mà các nhà báo thường xuyênđặt ra. Cédric, Artur, câu trả lời là gì?

C.V. Trước hết tôi sẽ quay trở lại vớinhững điều Artur vừa nói. Chắc chắn làở Pháp, trí thức luôn được lắng nghe. Cómột số người phàn nàn rằng tiếng nóiđó đã không còn ảnh hưởng trong côngchúng, nhưng nếu họ đến Mỹ, họ sẽ nhậnra rằng tình hình ở đó còn tệ hơn rấtnhiều. Ở nước ta, người ta luôn có mộtsự kính trọng đối với khoa học, đặc biệtvới toán học. Từ lâu, người ta đã xếp loạicác ngành khoa học khác nhau và toánhọc luôn được xếp ở hàng đầu. Điều đóvẫn còn trong tâm trí của rất nhiều người.Ngay cả những người không có thiện cảm

với ngành khoa học này cũng có trong ýnghĩ rằng đây là ngành có ảnh hưởng vàđáng kính nhất trong tất cả các ngành.Cần phải xem xét đến sức nặng của lịchsử. Ở Pháp vào thế kỷ 18, cuộc Cáchmạng Ánh sáng đã có một ảnh hưởngđáng kể đến trình độ toán học và ngườita đã chứng kiến sự nở rộ của những tậpthể các nhà toán học có ảnh hưởng rấtlớn. Rồi đến Cách mạng Pháp, và cùngvới nó là rất nhiều các ý tưởng, sự cầnthiết phải làm những cái tuyệt đối, phảiđịnh nghĩa lại các đơn vị đo lường vềthời gian và không gian, tất cả được cảicách. Có nhiều nhiệm vụ được giao chocác nhà toán học. Tiếp theo, Napoléonlên nắm quyền - nhà lãnh đạo toán học,toán học nhất từ trước đến giờ - và ôngta đã làm tất cả những gì có thể để pháttriển ngành này. Như vậy là chúng ta đã ởtrong dòng chảy từ ban đầu này: đã luôncó một loạt các nhà thông thái toán học,đặc biệt ở Paris, và điều đó tiếp tục đượcduy trì, có lẽ là đến thảm họa của thếchiến lần thứ nhất, thời điểm duy nhấtmà vị trí của Pháp bị suy yếu trên trườngquốc tế. Nhưng đó cũng là một câu hỏi vềtinh thần và văn hoá. Khi các đồng nghiệpnước ngoài hỏi tôi: "Những gì đang xảy ravới bạn?”, tôi trả lời họ: "Trong toán học,vấn đề là tìm kiếm chân lý tối thượng,trừu tượng nhất có thể, và giải thích chotất cả mọi người lời giải là gì; và tất nhiênlà người Pháp, luôn tin rằng mình có lý,đã thực hiện điều đó trong tất cả các lĩnhvực!"

“Tại Pháp, sinh viên học toánở một trình độ cao hơn tại các nước

khác.”

C.S.: Ý kiến của anh, Artur, dưới cái nhìncủa một người Brazil?

A.Á. Vấn đề về truyền thống quả thực làquan trọng. Việc nước Pháp đã có một

16

bề dày lịch sử toán học luôn cuốn hútcác nhà khoa học từ khắp nơi. Tất nhiênlà tôi đã đến đây vì ta thấy ở đây mộttrường phái toán học lớn rất năng động.Toán học cần thâm nhập vào nhiều tầnglớp của xã hội, và đó là một đặc trưngmà tôi nhận thấy ở Pháp, nhất là trongquá trình tuyển chọn. Tôi hiểu được việctuyển chọn là rất chặt chẽ trong ngànhnày, đến mức mà sinh viên phải học toánkhá là khó, ở một trình độ cao hơn tại cácnước khác. Họ học như thế vì phải nhưvậy họ mới tới được đích của mình. Mộtkhi đã tìm hiểu kỹ, một số người đã chọnngành này làm nghề nghiệp.

Ngoài ra, chúng ta có thể tiếp xúc vớitoán học theo những phương thức khácnhau: những kỳ thi Toán quốc tế, chẳnghạn, phát triển rất tốt ở các nước phươngĐông hay ở Brasil. Trong trường hợp củatôi, chính điều đó đã giúp tôi hướng đếnvới việc học toán, trong khi đó ở Phápkhái niệm đó không tồn tại. Với một sốngười, Kỳ thi Toán Quốc tế chỉ như mộttrò chơi, với một số người khác thì nhưmột đam mê hay một cơ hội để học sâuhơn.

C.V. Tôi xác nhận lại điều Artur nói. Tôichưa bao giờ tham gia vào các kỳ thi ToánQuốc tế hay thậm chí kỳ thi toàn quốc.Đơn giản chỉ là hệ thống làm cho tôi tiếnlên: tôi thích “toán”, nên tôi tiếp tục theohướng này, tôi học một lớp dự bị, rồisâu hơn, trường Sư phạm (Ecole NormaleSupérieure - ENS) . . . Tôi không bao giờtự vấn, tôi chỉ đi theo tuần tự. Và, trongchừng mực nào đó, điều đó hoạt động tốt.Điều đó hoạt động tốt cũng là vì có cả mộthệ thống các cơ sở đào tạo. Tất nhiên, hệ

thống các Trường Lớn (Grands Ecoles)(4)

không xa lạ với các thành công quốc tế.Tôi không nói rằng riêng các trường lớnlà quan trọng, khác xa với điều đó - bảnthân tôi là một giáo sư ở trường đại họccông lập - nhưng, như một chất xúc tácnăng động nhất, chúng đóng một vai tròđáng kể. Tất cả các giải thưởng Fields củaPháp, trừ Artur, đều qua Ecole NormaleSuperieure. Cùng với đại học Princeton,đó là cơ sở ghi nhận nhiều giải thưởngFields nhất trên thế giới. Cũng nên lưuý thêm rằng môi trường nghiên cứu toánhọc của Pháp rất có cấu trúc: được quảnlý một cách địa phương theo những luậtdo các nhà khoa học định ra và một cáchđồng bộ theo các đề án của CNRS. Tôi chorằng đó là những quy tắc mà chúng ta cóthể nhận ra rõ nét CNRS như một tổ chứcquản lý, và tất cả chúng ta đều rất gắnvới vai trò của một điều phối viên của tổchức. Quy hoạch về địa lý cũng được tínhđến, về vấn đề này thì trường hợp của tôilà một ví dụ lý tưởng: tôi đã thực hiệncông việc của mình giữa Paris và Lyon,và việc tôi đã trải qua 9 năm ở ENS Lyonđã đóng một vai trò quyết định trong việchình thành các chủ đề nghiên cứu và cáckết quả toán học của tôi. Cuối cùng, cácnhà khoa học đã có một số thông lệ: tránhtối đa việc tuyển dụng người trong khoa,có ý thức phát triển hướng nghiên cứunày hay hướng nghiên cứu kia, điều đócho phép những người trẻ tuổi thay đổimôi trường, và điều này hoạt động tốt.

C.S.: Tôi muốn chú ý một điều hợp với điềuArtur nói về việc quốc tế hoá của ngànhnày. Có bốn giải thường Fields và không aitrong số những người được tặng làm việctại quốc gia nơi họ sinh ra. Martin Hairer

(4)Hệ thống Đại học công của Pháp gồm các Đại học (công) (Université) và các Trường Lớn (GrandesEcoles). Sau khi tốt nghiệp cấp 3, học sinh làm hồ sơ đăng ký vào các Đại học và (hoặc) các lớp dự bị. Việctuyển sinh vào các lớp dự bị (thường) khó hơn nhiều vào các Đại học. Sau khi tốt nghiệp hai năm học dựbị, thí sinh thi vào các Trường lớn và kỳ thi này tỉ lệ chọi rất cao. Ở bậc đào tạo thạc sỹ và tiến sỹ, các Đạihọc và Các Trường lớn thường có các liên kết với nhau.

17

người Áo làm việc tại Đại học Warwick củaAnh, Manjul Bhargava người Canada làmviệc ở Mỹ và Maryam Mirzakhani, ngườiIran, người phụ nữ đầu tiên nhận giảithưởng Fields, là một giáo sư tại Đại họcStanford. Tôi nghĩ rằng, đối với Iran, giảithưởng này là rất quan trọng; Tổng thốngIran thậm chí đã tweet một bức ảnh củanhà toán học. Anh nghĩ gì về Brazil, Artur?Tôi nghĩ rằng giải thưởng của anh đã tạonên một niềm vui to lớn ở Rio de Janeiro...

A.Á. Vâng, nó thể hiện một điều gì đó đặcbiệt ở đó vì ở đó không có một truyềnthống nghiên cứu tương tự. Những ngườiBrasil không ở trong môi trường nghiêncứu thường hay đặt câu hỏi liệu người tacó thể làm toán, làm khoa học ở trình độcao ở Brasil không. Chính là sau kỳ thiToán Quốc tế mà tôi đã quyết định làmtoán vì sự kiện đó đã cho phép tôi tiếpcận với Viện Toán học lý thuyết và ứngdụng (IMPA) và gặp gỡ những nhà toánhọc xuất sắc. Ở đó có các trao đổi quốctế, và người ta có thể gặp những ngườiđã đạt giải thường Fields khá dễ dàng.Điều quan trọng là người Brasil phải biếtrằng có những nghiên cứu ở trình độ caođang diễn ra trên đất nước của họ. Điềuđó có thể khuyến khích họ gia nhập vàocon đường toán học, đó có lẽ là hệ quảquan trọng nhất. Còn điều gì khác nữakhông à? Sẽ hơi phức tạp để dự đoán điềugì sẽ đến với trình độ giáo dục ở nướctôi, bởi vì những khó khăn còn rất nhiều.Người ta đạt tới một trình độ rất cao vềtoán bởi vì điều đó không đòi hỏi nhiềutiền hoặc một tổ chức đặc biệt và ngườita không phụ thuộc vào những phòng thínghiệm lớn. Những người nghiên cứu làmviệc khá độc lập, theo nhóm nhỏ. Các vấnđề giáo dục, bản thân chúng, phức tạphơn nhiều để giải quyết. Brasil là một đấtnước mênh mông mà những khó nhăn

của nó thuộc về hệ thống, nhưng tôi cómột niềm hy vọng nhỏ rằng giải thưởngcủa tôi sẽ thúc đẩy mọi người. Tôi đọc ởđâu đó rằng có thêm một ít sinh viên đạihọc quan tâm đến toán học. Chúng ta sẽthấy, sẽ là quá sớm để nói.

C.S.: Cần phải quay trở lại một chút. Khinói về chuyên ngành của anh, Artur, vềhệ động lực, cũng là thế mạnh ở Brasil.Ta nghĩ đến Henri Poincaré: anh có thấycó một sự liên tục giữa các công trình củamình và của ông ta không?

A.Á. Poincaré chắc chắn là một trongnhững người sáng lập ra Lý thuyết hệđộng lực. Ở IMPA, người ta luôn kể cùngmột câu chuyện. Ông đã viết một côngtrình để đạt giải thưởng của vua Oscar IIcủa Thuỵ Điển và trong khi làm điều đóông ta đã thực hiện được những tiến bộvượt bậc trong ngành thiên thể học. Saukhi đạt giải, ông ta tiếp tục nghiên cứu đềtài này và nhận thấy rằng mình đã mắcmột sai lầm. Bởi vì công trình của ông đãđược in ra nên ông đã đề nghị người tangừng lưu thông nó. Tôi không biết hếtcác chi tiết của câu chuyện nhưng có vẻnhư ông đã phải trả chi phí cho việc nàyvà cuối cùng giải thưởng Oscar đã khôngmang đến tiền bạc cho ông. Poincaré đãhiểu ra rằng các hệ động lực phức tạp hơnrất nhiều so với những gì ông đã tưởngtượng: ông đã phát minh ra sự tồn tại củacác “điểm homocline”. Đó là một điều rấtkhó giải thích và bản thân ông ta cũngcho rằng không có cách giải thích. Vì vậytôi sẽ không trình bày trong một từ nhữnggì mà ông ta đã không giải thích trongcông trình của mình. Hiện nay, chúng tôivẫn đang luôn luôn thực hiện các khámphá liên quan đến những điểm này. Tôicó thể nói rằng có một sự liên tục khátự nhiên giữa những điều đó và nhữngđiểm hút, những hệ động lực bậc hai -chủ đề của luận án tiến sỹ của tôi; và tất

18

cả những hệ động lực đang được nghiêncứu hiện nay.

C.S.: Đúng là như vậy, đó là một sự liêntục thực sự. Thế còn anh, Cédric?

C.V. Tôi sẽ bổ sung thêm với Artur. GostaMittag-Leffler, đồng sự lớn người ThuỵĐiển của Poincaré, đã tập hợp tất cả cácsố của tạp chí Acta Mathematica đã côngbố các kết quả của ông và đã cho vào cốigiã, chỉ còn hai hay ba bản vẫn còn đượclưu trữ tới nay tại Viện Mittag-Leffler(5).Poincaré đã phải trả phí cho việc tiêu huỷđó với số tiền lớn hơn số tiền ông nhậnđược từ giải thưởng của vua Oscar II.Ta thích thú với câu chuyện đó khi nóchứa đựng những sự trái khoáy và sailầm: nó cho thấy rằng Poincaré có thểmắc sai lầm, như bất cứ một ai, trongkhi hiển nhiên ông là nhà toán học lớnnhất của thời đại mình. Về phần mình,tôi không rút ra được nhiều điều về cáchệ động lực, mà là về sự hăng say của ôngtrong việc phát triển ngay từ đầu vật lý vàtoán học. Vào đầu thế kỷ 20, ông đã phácthảo những chương trình có tầm nhìn xahướng đi của các nghiên cứu về phươngtrình đạo hàm riêng. Thực ra, vì ông làmviệc trên mọi ngành, nên gần như tất cảcác nhà toán học đều tìm thấy một mốiliên hệ với ông. Về mặt đó, Poincaré đãthể hiện trong tất cả các khoa học, ôngnghiên cứu toán và vật lý, ông đã là kỹsư, ông thực hành triết học. Và tất cả mọingười đều biết ông, ông có tính phổ quát.Một khía cạnh khác mà tôi có thể đượcbiết, đó là tầm quan trọng của việc ônggắn kết với mọi người: ông đã viết nhữngbài viết về khoa học và tham gia viếtcác cuốn sách để giải thích khoa học chotrẻ em, với một cách tiếp cận luôn luônhiện đại. Đó là lý do tại sao Viện Henri-Poincaré được thành lập vào năm 1928

nhưng đã được “thiết kế lại” gần hai mươinăm nay, người ta tổ chức các hoạt độngtoán học trong tất cả các mặt của nó:trước hết là tiếp xúc với các khách mời từkhắp mọi nơi với các hướng nghiên cứukhông ngừng được đổi mới; tiếp đến làhỗ trợ hậu cần cho các hiệp hội và các cơsở để phát triển toán học Pháp; và cuốicùng là giao lưu với tất cả các tầng lớpxã hội. Để lấy một ví dụ liên quan đếncác kỳ thi như Toán Quốc tế, chúng tôiliên kết với kỳ thi Kangaroo với mục đíchđể những bạn đạt giải có thể gặp gỡ cácnhà toán học nổi tiếng, các giải thườngFields. . .

C.S.: Chúng ta rất gắn kết với việc quảngbá văn hóa toán. Điều đó quan trọng với xãhội chúng ta, trong vòng ba mươi năm quata thấy sự thâm nhập của ngành này trongmối tương tác với những ngành khác ởnhững vấn đề quan trọng. Cédric, ở Seoul,chúng tôi đã tham dự một bài phát biểu vềmột ứng dụng đáng ngạc nhiên: hình ảnhy học.

C.V. Nhà toán học Pháp Emmanuel Can-dès, hiện đang làm việc ở Stanford, đãkể cho chúng tôi nghe làm thế nào mànhững nghiên cứu của ông về thống kêvà trí tuệ nhân tạo, với các phương pháptính toán chi tiết, đã có những ứng dụngđáng kể. Điều đó thực sự là đáng ngạcnhiên cả dưới góc độ toán học và dướigóc độ y học. IRM (chụp cộng hưởng từ)là một trong các hoạt động quen thuộcdựa trên một nguyên lý toán học, ngay cảkhi người ta không ý thức về điều đó.

Trong một ảnh cộng hưởng từ, việcchụp được thực hiện với các tia để cóhình ảnh. Điều đó cũng tương tự như mộtbiến đổi Fourier, một chủ đề quen thuộctrong toán học. Sau đó phải đảo ngược

(5)Những bản này đã bị mất và mới được tìm thấy ở Lund, gần Thuỵ Điển, vài năm trước. Hiện naychúng được trưng bày ở Viện Mittag-Leffler.

19

biến đổi Fourier này để xây dựng lại hìnhảnh của các bộ phận. Hiện nay, việc thuthập số liệu đòi hỏi hai phút, trong khiđó bệnh nhân phải hoàn toàn bất động.Hai phút với một em bé bị ốm, điều đó cólẽ thực sự là khó khăn. Emmanuel Can-dès đã giải thích cho chúng ta cách làmthế nào, trong khi hợp tác với các nhà yhọc, anh ấy có thể sử dụng các đánh giácủa mình để xây dựng lại các thông tincòn thiếu và thay hai phút bằng chỉ mườilăm giây với những lợi ích rõ ràng. Trongcác nghiên cứu khác nhau của mình vớiTerence Tao, anh ấy đã chỉ ra rằng thôngthường để xây dựng lại một hình ảnhthích hợp, người ta cần một lượng rất ítthông tin so với toàn bộ thông tin. Trongmột số trường hợp, chỉ với 2% dữ liệubạn có thể xây dựng lại thông tin hữuích. Với những ví dụ như vậy, ta gặp mộttrong những bi kịch của thế giới hiện nay:thông tin mất đi trong dữ liệu, và vấn đềlà phải xác định những gì đáng giữ lại.

“Chụp cộng hưởng từlà một trong các hoạt động quen thuộc

dựa trên một nguyên lý toán học,ngay cả khi người ta

không ý thức về điều đó.”

C.S.: Trong vòng mười lăm giây các bácsĩ thực hiện những việc quét hình ảnh màtrước đây họ không thể làm được, quả làmột bước tiến thực sự . . . Hãy xem xét mộtví dụ khác từ thời cổ đại: vào thời đó ngườita không đặt ra câu hỏi liệu trái đất phẳnghay tròn, mà người ta tự hỏi làm thế nàođể tính toán chu vi của nó.

C.V. Chúng ta phải biết ơn Ératosthène dãcho câu trả lời, ông là một trong năm nhàtoán học Hy Lạp cổ đại, những ngườiiđã đặt nền móng cho các thiên niên kỷ,với vai trò là những tham chiếu văn hoá.Ông đã phát hiện ra rằng vào một sốngày trong năm, mặt trời chiếu vuông góc

trong một số cái giếng. Từ đó ông rút ra,bằng cách áp dụng các quy luật cơ bảncủa lượng giác, cách đo chu vi trái đất.Cách tính rất thông minh, chính xác, vớisai số nhỏ hơn 2%. Nhờ vào đó, ta thấy rõmột lý luận và tính toán toán học có thểgiúp ích thế nào trong việc thay đổi cáchtrình bày hiện thực. Cách tiếp cận cũngcho ta thấy điều quan trọng không phảilà các kỹ thuật toán học mà là các trựcgiác. Ví dụ cực kỳ đặc sắc này đã chứngtỏ rằng bằng cách kết hợp một hàm lượngkỹ thuật toán với một trực giác tốt, ngườita có thể đạt đến những kết quả, chưađến mức nói là thay đổi cuộc sống củata mỗi ngày, nhưng dù sao cũng thay đổicách ta nghĩ, cách ta nhìn môi trườngxung quanh ta. Điều đó nhắc nhở chúngta rằng khoa học toán học đã được sinh rađể giải quyết những vấn đề của thế giớiquanh ta.

C.S.: Artur, để nhận được Giải thưởngFields cần phải dưới 40 tuổi. Ý tưởng cơbản là tôn vinh những công trình khởi đầusự nghiệp mang tính đột phá. Anh định sẽtheo đuổi tiếp những nghiên cứu nào?

A.Á. Tôi không thích nghĩ đến những dựán tương lai hoành tráng bởi vì nói chungtôi nhìn mọi điều hiện lên một cách tựnhiên hơn bằng cách làm việc ngày quangày. Ta nghiên cứu, ta cố gắng để hiểurõ hơn, ta gặp những vấn đề nhỏ, ta quansát chúng . . . Và chính từ những công việchàng ngày mà, thỉnh thoảng, ta phát hiệnra điều gì đó ta có thể nhận ra là hữu íchtrong một nghiên cứu khác. Vì vậy, chắcchắn không phải bằng việc tập trung trựctiếp vào các vấn đề to lớn mà người takhám phá. Bằng cách quan sát rộng ra, taxác định những đối tượng toán học khácvà chúng trở thành các đề tài nghiên cứu.Tôi không bao giờ thành công trong việcdự đoán trước năm năm sau tôi sẽ nhưthế nào.

20

“Chắc chắn không phải bằng việctập trung trực tiếp vào các vấn đề

to lớn mà người ta khám phá.”

Tôi nghĩ rằng - ít ra là tôi hy vọng rằng- giải thưởng Fields sẽ không thay đổi gìcách làm việc của tôi. Tôi tiếp tục cố gắnghiểu rõ hơn những đối tượng mà tôi quantâm đồng thời với việc xác định nhữngvấn đề quan trọng mới, nếu điều đó hữuích. Tôi thường xuyên trao đổi với cácđồng nghiệp, những người làm tôi khámphá ra nhiều điều thú vị.

C.S.: Thật vậy, các nhà toán học khônghào hứng lắm với việc nói trước những gìhọ sẽ chứng minh vì họ không biết. Thôngthường, người ta làm việc về một chủ đề,rồi một chủ đề khác xuất hiện . . . và ngườita nhận ra rằng chính cái người ta đanglàm lại giúp để giải quyết nó. Chỉ là nămngoái người ta còn chưa biết nó bởi vìngười ta chưa đối mặt với vấn đề đó. Đó làmột câu trả lời rất thông thường của cácnhà toán học. Và điều đó không phải lúcnào cũng dễ dàng với chúng tôi khi phảiviết các dự án, thiết lập trước những gìchúng ta sẽ làm. Một câu hỏi cuối cùng màtôi cho rằng quan trọng, nó liên quan đếnviệc đổi mới toán học. Thông điệp nào chocác học sinh và sinh viên? Làm thế nào tacó thể khuyến khích họ hướng đến ngànhhọc rất phát triển này?

C.V. Artur và tôi có vẻ sống được . . . Tôichưa bao giờ hối tiếc là đã lao vào sựnghiệp này và điều này dường như cũngkhông phải là trường hợp của Artur. Mộtcách tổng quát, nghiên cứu là một lĩnhvực thoả mãn tri thức, là nơi ta khôngngừng đối mặt với các bất ngờ. Và điềuđó mang đến rất nhiều điều khác. Nếu trởthành người nghiên cứu là một đích đếntự thân, thì nó có thể cũng là một bướcđệm để đến với các ngành nghề khác,ngày nay chúng ta hiểu rõ điều đó, và

thậm chí điều đó còn là một thách thứcthúc đẩy sự đổi mới. Ta biết rằng mộtluận án tiến sỹ làm phát triển các phẩmchất hữu ích trong tất cả các ngành nghề,đặc biệt là các doanh nghiệp. Điều đócũng hữu ích đối với xã hội. Cách đây ítlâu một công bố của văn phòng Deloitteđã gây ngạc nhiên cho rất nhiều người :nó ước tính rằng có khoảng 16% GDP củaAnh phụ thuộc trực tiếp vào nghiên cứutoán học. Nghiên cứu này đã được lặp lạiở Pháp : nó cũng đạt đến một con số gầnnhư tương đương. Ngày nay, tổng thể cácngành toán học đã có một tác động quantrọng và ngày càng tăng lên. Điều đó làđộng lực để theo đuổi nghề nghiệp này.Điều đó có nghĩa là, với nhiều người, đểkhuyến khích họ, chỉ cần nói với họ rằng:“nếu bạn yêu thích toán học, hãy tiếp tục,hãy đào sâu, thực sự có nhiều điều rấtđẹp để làm.”

A.Á. Cá nhân mà nói, tôi không hào hứnglắm với các ứng dụng. . . Tôi sẽ nói rằngđiều quan trọng là thúc đẩy ý tưởng vềsự sáng tạo. Ta có thể trình bày toánhọc bằng nhiều cách. Ngành học này cóvẻ như không sức sống, khá cứng nhắc,với những quy tắc chỉ thuần là quy tắc.Nhưng chính nó lại cho phép sáng tạo.Cái phần cơ học, tất cả đều đã biết làm,không cần phải là một nhà toán học giỏiđể đạt được. Điều làm nên sự khác biệtgiữa một nghiên cứu có ý nghĩa và mộtnghiên cứu không ý nghĩa, đó là sự sángtạo. Trong toán học, không có hạn chếcủa thực tế, vì thế đây là một khoa họcgần với nghệ thuật hơn nhiều so với gầncác khoa học khó khác như vật lý.

C.V. Tôi tin rằng Artur có lý: trong nhữngnăm gần đây, có hai chủ đề tôi thườngđược yêu cầu can thiệp là sự đổi mới và sựsáng tạo. Đối với nhiều người, phỏng vấnmột nhà toán học là cách để làm gợi nênnhững ý tưởng sáng tạo. Và để kết thúc

21

nhất định tôi phải trích dẫn Poincaré:“Nhờ có logic mà chúng ta chứng minh,nhưng chính nhờ có trực giác mà chúng

ta khám phá; không có nó, nhà hình họcsẽ giống như một nhà văn quá chú trọngvào ngữ pháp mà không có ý tưởng.”

Người dịch: Phan Thị Hà Dương (Viện Toán học)

Tin tức hội viên và hoạt động toán họcLTS: Để tăng cường sự hiểu biết lẫn nhau trong cộng đồng các nhà toán học Việt Nam,Tòa soạn mong nhận được nhiều thông tin từ các hội viên HTHVN về chính bản thân, cơquan hoặc đồng nghiệp của mình.

Kỳ thi Olympic Toán học Sinh viên -Học sinh lần thứ 25 đã được tổ chứctại trường đại học Phú Yên, tỉnh Phú Yên,từ ngày 10-15/4/2017. Năm nay có 345sinh viên đăng ký thi môn Đại số, 344sinh viên đăng ký thi môn Giải tích và 65học sinh đăng ký thi bảng Phổ thông.

Tổng kết, Ban tổ chức đã trao 35 giảiNhất, 58 giải Nhì, 87 giải Ba môn Đại sốvà 32 giải Nhất, 58 giải Nhì, 69 giải Bamôn Giải tích. Khối phổ thông chuyên có5 giải Vàng, 9 giải Bạc, 12 giải Đồng. Giảixuất sắc được trao cho 11 sinh viên đạtgiải nhất hai môn Đại số và Giải tích. GiảiNhất toàn đoàn được trao cho Trường đạihọc Bách khoa Hà Nội. Bên cạnh đó Bantổ chức đã trao phần thưởng của Quỹ LêVăn Thiêm cho 14 học sinh trung học phổthông chuyên có thành tích tốt nhất.

Nhân dịp này, các hoạt động kỷ niệm25 năm tổ chức Olympic Toán học Sinhviên đã được tổ chức. Nhiều cá nhân đãnhận được bằng khen của Hội Toán họcViệt Nam và Liên hiệp Các hội Khoa họcvà Kỹ thuật Việt Nam vì những đóng gópcho phong trào Olympic Toán học trongsuốt thời gian qua.

Kỳ thi Tìm kiếm Tài năng Toán học trẻlần thứ 2 (MYTS-2017) được tổ chức

gồm hai vòng cho học sinh từ lớp 4 tớilớp 10 các trường phổ thông trên phạmvi cả nước. Vòng 1 (26/3/2017) tại nămtỉnh thành với sự tham gia của 4.709thí sinh từ hơn 500 trường Tiểu học,THCS và THPT từ 53 tỉnh, thành phố trênphạm vi cả nước. Vòng 2 và lễ tổng kết(9/4/2017) được tổ chức ở Hà Nội vàTp. Hồ Chí Minh. Ban tổ chức đã trao 89Huy chương vàng, 181 Huy chương bạcvà 361 Huy chương đồng cho những thísinh đạt kết quả xuất sắc nhất.

Hội Toán học Việt Nam đã lựa chọn 139thí sinh có kết quả thi tốt để tham dựkỳ thi Olympic Toán Quốc gia Singapore(SMO) năm 2017.

Trong kỳ tuyển sinh vào TrườngSư phạm Paris (Ecole NormaleSupérieure, ENS) năm 2017 dành chosinh viên Việt Nam theo thoả thuận Hợptác giữa ENS và Việt Nam, đã có ba sinhviên trúng tuyển gồm một sinh viên củaĐH Bách khoa Hà Nội và hai sinh viênTrường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐHQG HàNội. Trong đó, hai sinh viên được nhậnhọc bổng 3 năm của ENS để học tại khoaToán và khoa Khoa học Máy tính, mộtsinh viên được nhận học bổng Master củaENS.

22

Thông báo tuyển dụng

Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường ĐHKhoa học Tự nhiên - ĐHQG Hà Nội,có nhu cầu tuyển dụng các vị trí giảngviên, trợ giảng theo diện hợp đồng vớitrường ĐHKHTN. Ứng viên thuộc tất cảcác chuyên ngành trong lĩnh vực Toánlý thuyết, Toán ứng dụng, Thống kê, Tinhọc đều sẽ được xét tuyển, đặc biệt ưutiên các ứng viên thuộc các chuyên ngànhToán ứng dụng, Xác suất, Thống kê, ToánTài chính, Khoa học dữ liệu, Trí tuệ nhântạo và An toàn thông tin. Thông tin thêmcó thể xem trên trang web của khoa.

Tin buồn

GS. TS. NGƯT. Đào Văn Dũng, cán bộKhoa Toán - Cơ - Tin học, Trường đạihọc Khoa học Tự nhiên - ĐHQG Hà Nội,đã từ trần ngày 31/05/2017 (tức ngày 6tháng 5 năm Đinh Dậu), hưởng thọ 63tuổi. Giáo sư Đào Văn Dũng sinh năm1955, quê quán Nam Trực, Nam Định.Ông là giảng viên cao cấp Bộ môn Cơ học,nguyên Bí thư chi bộ - Phó chủ nhiệmKhoa Toán-Cơ-Tin học, nguyên trưởngphòng Sau đại học - Trường đại học Khoahọc Tự nhiên.

Tin toán học thế giới

Danh sách các nhà toán học được mờiđọc báo cáo tại Đại hội Toán học Quốctế (ICM) 2018 đã được công bố trêntrang web của đại hội. Có 21 nhà toánhọc được mời đọc báo cáo toàn thể và có21 tiểu ban các chuyên ngành. Có hai nhàtoán học người Việt được mời đọc báo cáolà GS. Phạm Hữu Tiệp (ĐH Arizona, Mỹ -Tiểu ban Đại số) và GS. Đinh Tiến Cường(ĐH Quốc gia Singapore - Tiểu ban Giảitích và Lý thuyết Toán tử).

ICM 2018 sẽ được tổ chức từ 1-9/8/2018 tại Rio de Janeiro, Brasil. Đọcbáo cáo mời tại ICM được nhiều nhà toánhọc coi là một trong những vinh dự lớnnhất của người làm toán.

Giải thưởng Shaw mục Toán học năm2017 được trao cho hai nhà hình họcđại số là János Kollár (Đại học Princeton,Mỹ) và Claire Voisin (Collège de France,Pháp) do những đóng góp quan trọng

trong những hướng trung tâm của hìnhhọc đại số, làm thay đổi lĩnh vực này cũngnhư giúp trả lời những câu hỏi mở tồn tạitrong thời gian dài.

János Kollár, viện sỹ Viện Hàn lâmKhoa học Quốc gia Mỹ, gần đây nghiêncứu moduli của các đa tạp chiều cao vàđạt được những kết quả sâu sắc có thểảnh hưởng đến những nghiên cứu trongnhững thập kỷ tiếp theo.

Claire Voisin là nhà nữ toán học đầutiên giữ ghế giáo sư tại Collège de France.Bằng cách chỉ ra sự tồn tại của các đa tạpKahler compact mà không là biến dạngcủa các đa tạp xạ ảnh, bà đã giải quyếtđược bài toán Kodaira. Ngoài ra bà cũnggiải quyết được Giả thuyết Green và đưara một phản ví dụ cho một mở rộng củaGiả thuyết Hodge(1).

Nhà toán học Ấn Độ Komaravolu S.Chandrasekharan (1920 - 2017) đã mất

(1)Về Claire Voisin, xem thêm Số 1, Tập 21 Thông tin Toán học (tháng 3/2017).

23

ngày 14/4/2017 ở Zurich, Thụy Sỹ. Chan-drasekharan là nhà toán học hàng đầuvới những đóng góp quan trọng trong giảitích và lý thuyết số giải tích. Ông là ngườiđã phát triển Khoa Toán của Viện Nghiêncứu Cơ bản Tata, Ấn Độ (Tata Instituteof Fundamental Research - TIFR) thànhtrung tâm toán học hàng đầu thế giới.

Chandrasekharan có thời gian dài đónggóp đặc biệt cho Liên đoàn Toán họcQuốc tế IMU: Ủy viên Ban Chấp hành(1955-1978), Tổng thư ký (1961-1966),và Chủ tịch (1971-1974).

Komaravolu Chandrasekharan sinhngày 20/11/1920 tại Machilipattanam,bang Andhra Pradesh, Ấn Độ. Ông được

đào tạo hoàn toàn tại Ấn Độ, bảo vệ Tiếnsỹ tại Đại học Madras, Ấn Độ, năm 1943.Năm 1946 ông thành trợ lý của Her-mann Weyl tại Viện Nghiên cứu cao cấp ởPrinceton, Mỹ. Ông làm việc tại Viện Tatatừ năm 1949, và từ năm 1965 làm giáosư tại Viện Công nghệ Liên bang Thụy Sĩ(ETH Zurich).

George D. Mostow (1923-2017) đã mấtngày 4/4/2017. Ông nguyên là chủ tịchHội Toán học Mỹ (1987-1988) và giáosư tại Đại học Yale. George D. Mostowđược biết đến với những công trình vềLý thuyết Lie, trong đó có Định lý Cứngmạnh (Strong rigidity theorem). Ôngđược trao giải thưởng Wolf năm 2013.

Thông tin hội nghị

International Conference On Commu-tative Algebra and its interaction toCombinatorics, Discrete Geometry andSingularity TheoryAim: To disseminate recent developmentsin Commutative Algebra and to discussits interaction to Combinatorics, DiscreteGeometry and Singularity Theory.Time & Place: September 11-15, 2017 inHanoi and Ha LongWebsite: http://math.ac.vn/conference/CA17_ConferenceRegistration deadline: August 15, 2017.

The 7th International Conference onHigh Performance Scientific Comput-ing - Modeling, Simulation and Opti-mization of Complex ProcessesTime & Place: March 19-23, 2018, HanoiTopics: mathematical modeling; numeri-cal simulation; methods for optimization

and control; parallel computing: archi-tectures, algorithms, tools, and environ-ments; software development; applica-tions of scientific computing in physics,mechanics, hydrology, chemistry, biology,medicine, transport, logistics, site loca-tion, communication, scheduling, indus-try, business, finance, etc.Deadline for registration and abstractsubmission: September 29, 2017.Contact: hpsc2018@math.ac.vnWebsite: http://hpsc.iwr.uni-heidelberg.de/HPSCHanoi2018

CIMPA-IMH-VAST research school on"Recent developments in stochastic dy-namics and stochastic analysis"Time & Place: Hanoi, March 5-18, 2018Website: http://math.ac.vn/conference/CIMPA2018Registration: cimpa2018@math.ac.vn.Deadline: November 30, 2017.

24

Dành cho các bạn trẻLTS: "Dành cho các bạn trẻ" là mục dành cho Sinh viên, Học sinh và tất cả các bạn trẻ yêuToán. Tòa soạn mong nhận được các bài viết hoặc bài dịch có giá trị cho chuyên mục.

ĐỒ THỊ CỦA ĐA THỨC

Phùng Hồ Hải (Viện Toán học)

Trong kỳ thi Olympic toàn Liên bangNga năm học 2014-2015 có bài toán sau.

Bài toán 1. Một tập hữu hạn điểm trênmặt phẳng tọa độ được gọi là thích hợpnếu chúng có hoành độ khác nhau và mỗiđiểm được tô một trong hai màu xanh hoặcđỏ. Ta nói đồ thị của một đa thức phân táchtập điểm đó nếu ở phần mặt phẳng phíatrên của đồ thị chỉ có các điểm cùng mộtmàu và ở phần mặt phẳng phía dưới củađồ thị chỉ có các điểm màu còn lại (ngaytrên bản thân đồ thị có thể có các điểm củacả hai màu). Với mỗi số tự nhiên 𝑛 > 1 hãytìm số 𝑘 nhỏ nhất với tính chất: với mọi bộ𝑛 điểm thích hợp, luôn tồn tại đa thức bậckhông quá 𝑘 mà đồ thị của nó phân táchtập điểm này.

Mục đích của bài viết này là phân tíchmột số tính chất của đồ thị đa thức đượcphản ánh trong bài toán này và một vàibài toán khác. Các bạn học sinh giỏi trướckhi đọc tiếp, hãy dành thời gian để tìmcách giải bài toán trên. Bất kể bạn giảiđược hay không giải được nó thì việc suynghĩ về nó sẽ làm cho việc tiếp tục đọcbài viết này có ích hơn cho các bạn.

Hàm số là một công cụ quan trọng củatoán học nhằm mô tả sự phụ thuộc giữacác đại lượng trong thực tế. Ví dụ điểnhình nhất là mô tả sự phụ thuộc vào thời

gian của một yếu tố nào đó, ví dụ vận tốc,quãng đường, nhiệt độ, độ ẩm,... Đa thứclà một lớp hàm số đặc biệt, mà việc môtả sự phụ thuộc của đại lượng 𝑦 vào đạilượng 𝑥 chỉ sử dụng các phép tính cộngtrừ và nhân. Tính hữu hạn là một chấtđặc trưng của đa thức để phân biệt vớihàm số bất kỳ. Tính hữu hạn của đa thứcđược phản ánh, chẳng hạn qua việc mộtđa thức bậc 𝑛 được xác định duy nhất bởikhông quá 𝑛 + 1 “đơn vị thông tin”, vídụ đa thức được xác định bởi 𝑛 + 1 hệsố của nó, hoặc giá trị của nó tại 𝑛 + 1

điểm khác nhau, hoặc hệ số cao nhất và𝑛 nghiệm của nó (tính cả bội). Nói rộngra, tính hữu hạn là đặc trưng quan trọngnhất để phân biệt đại số và giải tích.

Tốc độ tăng của một số hàm số

Đồ thị của hàm số là một phương thứctrực quan quan trọng để nghiên cứu về

25

chúng. Đối với đồ thị của đa thức, có hai cách nhìn chúng: nhìn “hữu hạn” và nhìn“vô hạn”.

Đồ thị theo các tỷ lệ xích khác nhau. Ở hình bên trái ta thấy đồ thị của 3 hàm số. Ở hình bên phải, khi

nhìn rộng hơn, đồ thị của 𝑦 = 𝑥 gần như trùng hoàn toàn với trục hoành. Đồ thị của 2𝑥 sau một thời gian

ở dưới đồ thị của 𝑥4 đã vượt lên khi vượt qua giá trị 16.

Cách nhìn vô hạn đối với đồ thị của mộtđa thức được hiểu là “dáng điệu tiệm cận”của đồ thị đa thức. Nếu coi đa thức

𝑃 (𝑥) = 𝑎0𝑥𝑛 + 𝑎1𝑥

𝑛−1 + . . .+ 𝑎𝑛

như một hàm số theo 𝑥, thì khi 𝑥 đủ lớn,tỷ số

𝑃 (𝑥)

𝑎0𝑥𝑛

sẽ tiến dần tới 1. Điều nay có nghĩa, nếunhìn đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑃 (𝑥) từ rấtxa ta sẽ thấy nó giống đồ thị của hàmsố 𝑦 = 𝑎0𝑥

𝑛. (Hãy tưởng tượng sự khácnhau của việc ta nhìn trái đất khi đứngtrên mặt đất và khi đứng trên Mặt Trăng).Bài toán dưới đây là một ví dụ điển hìnhcủa việc vận dụng “tốc độ tăng" của mộthàm đa thức (trong bài này ta cần khảosát tất cả các hệ số chứ không chỉ hệ sốcao nhất - chúng đều phản ánh vào tốcđộ tăng của đa thức).

Bài toán 2. Cho 𝑃 và 𝑄 là hai đa thứchệ số thực thỏa mãn tính chất, với mọigiá trị 𝑥 ∈ R, 𝑃 (𝑥) ∈ Z khi và chỉ khi𝑄(𝑥) ∈ Z. Chứng minh rằng 𝑃 + 𝑄 hoặc𝑃 −𝑄 là hằng số.

Ta hãy thử tìm hiểu tính chất hình họccủa của tập hợp các số 𝑥 sao cho 𝑃 (𝑥) làmột số nguyên. Đây là nguyên tắc cơ bảntrong phương pháp tiếp cận hình học. Tậphợp vừa nhắc đến rõ ràng là hợp rời rạccủa các tập hợp

𝐴𝑃 (𝑐) := {𝑥|𝑃 (𝑥) = 𝑐},

với 𝑐 chạy trong tập Z các số nguyên.

Về mặt hình học thì tp 𝐴𝑃 (𝑐) chính làtập hoành độ các giao điểm của đồ thị𝑦 = 𝑃 (𝑥) với đường thẳng 𝑦 = 𝑐. Giả sử𝑃 (𝑥) có bậc 𝑛 ≥ 1, thì với mỗi 𝑐 cụ thể, đồthị 𝑦 = 𝑃 (𝑥) cắt đường 𝑦 = 𝑐 tại khôngquá 𝑛 điểm. Hơn thế nữa, khi giá trị tuyệtđối của 𝑐 đủ lớn, đồ thị sẽ chỉ cắt đường𝑦 = 𝑐 tại không quá 2 điểm (tùy theo tínhchẵn lẻ của 𝑛).

Để đơn giản ta sẽ giả thiết 𝑃 (𝑥) có hệsố cao nhất > 0 và 𝑐 → +∞, cũng như chỉxét các giao điểm của 𝑦 = 𝑃 (𝑥) và 𝑦 = 𝑐

mà có hoành độ dương. Như vậy với mỗi 𝑐đủ lớn, sẽ có duy nhất một giao điểm, vớihoành độ dương, nghĩa là nghiệm dương

26

duy nhất của phương trình

𝑃 (𝑥) = 𝑐, 𝑐 ≫ 0.

Ta hãy hình dung trên mặt phẳng kẻ cácđường song song 𝑦 = 𝑐 với 𝑐 = 𝑁,𝑁 +1, . . ., 𝑁 ≫ 0, ta thu được một lưới cácđường thẳng song song cách đều. Tại cácgiao điểm của các đường này với đồ thị𝑦 = 𝑃 (𝑥) ta kẻ các đường vuông gócvới chúng, nghĩa là các đường song songvới trục tung 𝑂𝑦. Từ tính "dốc" của đồthị 𝑦 = 𝑃 (𝑥) ta thấy rằng lưới mới củacác đường thẳng song song với trục tungcũng tiến ra vô cùng. Các đường thẳngliên tiếp trong lưới mới này cách đều nếu𝑃 (𝑥) có bậc nhất và ngày một gần nhaunếu 𝑃 (𝑥) có bậc > 1.

Điểm mấu chốt của vấn đề là tốc độthu hẹp khoảng cách của lưới các đườngthẳng song song với trục tung. Mô tả mộtcách cụ thể đại số thì đó là gia số của dãy

𝑥𝑘 : 𝑃 (𝑥𝑘) = 𝑘, 𝑘 = 𝑁,𝑁 + 1, . . . ,

với 𝑁 ≫ 0 nào đó. Ta có: nếu bậc của 𝑃

lớn hơn 1, hiệu 𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 giảm dần tới0 khi 𝑘 tiến ra vô cùng. Hơn thế nữa, tốcđộ giảm của dãy này xác định hoàn toànđa thức đã cho, với sai khác một hằng số.Nói cách khác, với hai đa thức đã cho, đathức nào tiến ra vô cùng nhanh hơn sẽ códãy các điểm 𝑥𝑘 tương ứng có gia số giảmnhanh hơn. Đó chính là kết luận của bàitoán. �

Bài toán 3. Giả sử dãy (𝑎𝑛) các số

nguyên thỏa mãn (𝑎𝑚 − 𝑎𝑛)...(𝑚 − 𝑛) với

mọi 𝑚 > 𝑛 > 0 và tồn tại đa thức 𝑃 (𝑥)sao cho |𝑎𝑛| < 𝑃 (𝑛) với mọi 𝑛 ∈ N. Chứngminh rằng tồn tại đa thức 𝑄(𝑥) sao cho𝑎𝑛 = 𝑄(𝑛)

Bài toán này là mẫu mực cho việc phốihợp nhiều kiến thức khác nhau (số học,đại số, giải tích) trong một lời giải. Ở đâytôi chỉ nhấn mạnh vào phần giải tích-hìnhhọc.

Suy luận căn bản của lời giải như sau:nếu đa thức 𝑄(𝑥) trong đầu bài tồn tại thìbậc của nó không thể vượt quá bậc của𝑃 (𝑥). Theo nguyên lý nội suy Lagrange,ta chỉ cần 𝑁 +1 số hạng đầu tiên của dãy(𝑎𝑛) (𝑁 = deg𝑃 (𝑥)) là đủ để xác định𝑄(𝑥).

Vậy ta hãy xét đa thức 𝑄(𝑥) bậc khôngquá 𝑁 sao cho 𝑄(𝑛) = 𝑎𝑛 với mọi 𝑛 =1, 2, . . . , 𝑁+1. Đây sẽ là đa thức phải tìm.Nghĩa là ta cần chứng minh 𝑄(𝑛) = 𝑎𝑛với mọi 𝑛. Nhân toàn bộ dãy (𝑎𝑛) với mộtsố nguyên nào đó nếu cần, ta có thể giảthiết 𝑄(𝑥) có các hệ số đều nguyên.

Thay vì chứng minh (bằng quy nạpchẳng hạn) khẳng định trên với 𝑛 =𝑁+2, . . . , ta sẽ chứng minh nó trước tiênvới 𝑛 rất lớn. Sử dụng giả thiết và cáchxây dựng 𝑄(𝑥) ta có với mọi 𝑛 ≫ 0 và𝑚 = 1, 2, . . . , 𝑁 + 1,

𝑄(𝑛)− 𝑎𝑛 = 𝑄(𝑛)−𝑄(𝑚)− (𝑎𝑛 − 𝑎𝑚)

...(𝑛−𝑚).

Từ đó suy ra

𝑄(𝑛)−𝑎𝑛... LCM(𝑛−1, 𝑛−2, . . . , 𝑛−(𝑁+1)),

(*)với mọi 𝑛 ≫ 0.

Ta sẽ cần bài toán phụ về số học:Chứng minh rằng khi 𝑛 tiến ra vô cùng thìLCM(𝑛− 1, 𝑛− 2, . . . , 𝑛− (𝑁 + 1)) có độlớn tương đương với 𝑛𝑁+1, nghĩa là

LCM(𝑛−1, 𝑛−2, . . . , 𝑛−(𝑁+1)) > 𝐶𝑛𝑁+1,

với mọi 𝑛 đủ lớn và một hệ số 𝐶 > 0 nàođó.

Vế trái của (*) có tốc độ tăng không quá𝑛𝑁 trong khi vế phải có tốc độ tăng 𝑛𝑁+1,khi 𝑛 → ∞. Từ đó ta kết luận 𝑄(𝑛) = 𝑎𝑛khi 𝑛 đủ lớn, ví dụ với mọi 𝑛 ≥ 𝑀 với sốtự nhiên 𝑀 cố định nào đó.

27

Để chứng minh 𝑄(𝑚) = 𝑎𝑚 với mọi𝑚 = 1, 2, . . . ,𝑀 − 1 ta lý luận tương tự:

𝑄(𝑚)− 𝑎𝑚 = 𝑄(𝑚)−𝑄(𝑛)− (𝑎𝑚 − 𝑎𝑛)

... (𝑛−𝑚),∀𝑛 > 𝑀 +𝑁.

Ta có ngay 𝑄(𝑚)− 𝑎𝑚 = 0 vì nó chia hếtcho quá nhiều số tự nhiên. Trong lời giảiBài toán 3 chúng ta không chỉ xét phần“vô hạn” của đồ thị đa thức mà kết hợpcả với việc xét phần “hữu hạn”. �

Phần “hữu hạn” của đồ thị đa thứcđược hiểu là phần đồ thị của đa thức khibiến số chạy trên một khoảng hữu hạnnào đó. Khác với thực tế hay trong cáckhoa học khác, trong toán học thuần túy,khi một số đã được cố định lại thì nó trởnên rất “nhỏ bé”. Tuy nhiên, tính hữu hạncủa đa thức thể hiện ở chỗ, toàn bộ đồ thịcủa một đa thức được xác định hoàn toànbởi một phần hữu hạn bất kỳ của nó.

Vấn đề là xác định được những yếutố phù hợp trong từng bài toán cụ thể.Chẳng hạn phương pháp nội suy La-grange cho phép xác định một đa thức từgiá trị của nó tại 𝑛 + 1 điểm, trong đó 𝑛là bậc của đa thức. Hệ quả là một đa thứcbất kỳ được xác định duy nhất bởi giá trịcủa nó tại vô hạn điểm.

Trên ngôn ngữ của đồ thị ta nói, qua𝑛 + 1 điểm trên mặt phẳng tọa độ, trongđó không có hai điểm có cùng hoành độ,ta luôn vẽ được đồ thị của duy nhất mộtđa thức bậc không quá 𝑛 (nếu cho phépbậc cao hơn thì sẽ có vô hạn đa thức thỏamãn). Ta cũng có thể thay đổi cách xácđịnh như sau: qua 𝑛 điểm trên mặt phẳngtọa độ (với hoành độ khác nhau) tồn tạiduy nhất đa thức bậc 𝑛 với hệ số cao nhấtcho trước, có đồ thị đi qua 𝑛 điểm đó(chứng minh!).

Như là một ứng dụng đặc biệt ta có:nếu đa thức có 𝑛 nghiệm thì bậc của nólớn hơn hoặc bằng 𝑛, hay nói cách khác,

nếu đồ thị của đa thức cắt trục hoành tại𝑛 điểm thì đa thức có bậc ít nhất là 𝑛. Tacó thế phát biểu điều này một cách trựcquan hình học là: nếu đồ thị của đa thứccàng phức tạp ở phần hữu hạn (cắt nhiềulần trục hoành) thì bậc của nó càng cao).

Tuy nhiên điều ngược lại, như ta biết,là không đúng. Vì một đa thức bậc 𝑛 > 0

có thể có ít hơn 𝑛 nghiệm thực, nên đồ thịcủa nó có thể cắt trục hoành tại ít hơn 𝑛

điểm. Kể cả khi ta thay trục hoành bằngmột đường thẳng bất kỳ thì cũng khôngthể đảm bảo số giao điểm của nó với đồthị bằng 𝑛.

Một cách để giải quyết khó khăn trênlà xét các nghiệm phức. Từ quan điểmđại số, việc chuyển từ tập số thực ra tậpsố phức có vẻ khá đơn giản. Nhưng từquan điểm hình học thì vấn đề tỏ ra khókhăn hơn. Khi mở rộng tập số thực ratập số phức đối với đồ thị ta phải thayhệ tọa độ thực bởi hệ tọa độ phức. Tậpcác số thực được mô tả một cách hìnhhọc như một đường thẳng, trong khi đótập các số phức được mô tả như một mặtphẳng – mặt phẳng phức. Các bạn sinhviên đại học có thể hình dung đồ thị củamột đa thức hệ số phức như một mặttrong không gian bốn chiều thực - haichiều phức. Điều khó hình dung hơn làgiao điểm của mặt đồ thị này với mọi mặtphẳng phức (nghĩa đồ thị của đa thức bậcnhất) đều là một tập hữu hạn các điểm(chứ không phải các đường như ta vẫnhình dung) và nếu tính cả bội thì số điểmđúng bằng bậc của đa thức.

Như vậy, về bản chất, số giao điểm củađồ thị một đa thức với các đường thẳngluôn bằng bậc của đa thức đó. Tuy nhiên,ở trong hệ tọa độ thực - phần thực củabức tranh mà chúng ta có thể nhìn thấy,số giao điểm có thể ít hơn. Chẳng hạnsố giao điểm của đồ thị 𝑦 = 𝑥4 với mộtđường thẳng bất kỳ không vượt quá 2,

28

tương tự như số giao điểm của một đườngthẳng với parabol 𝑦 = 𝑥2. Vậy có cách nàođể phân biệt hai đồ thị trên thông quaviệc đếm giao điểm.

Một cách trả lời là xét giao điểm củacác đồ thị trên với các đồ thị của đa thứcbậc cao, chẳng hạn, với đồ thị của mộtđa thức bậc 3. Ta có thể chọn được (rấtnhiều) đa thức 𝑃 (𝑥) bậc 3, sao cho đồ thịcủa nó cắt đồ thị của 𝑦 = 𝑥4 tại 4 điểm,nhưng rõ ràng đồ thị của mọi đa thức bậc3 cắt đồ thị của 𝑦 = 𝑥2 tại không quá 3điểm. Ở đây ta lại quay trở lại với vấn đề“dáng điệu” của đồ thị tại vô hạn: ở phầnhữu hạn, đồ thị 𝑦 = 𝑃 (𝑥) cắt hai đồ thị𝑦 = 𝑥2 và 𝑦 = 𝑥4 tại 3 điểm, nhưng vì đồthị 𝑦 = 𝑥4 rất dốc (khi 𝑥 tiến ra vô cùng)nên nó cắt đồ thị 𝑦 = 𝑃 (𝑥) tại điểm thứtư. Như vậy ta có thể dùng giao điểm củamột đồ thị đa thức với các đồ thị đa thứcbậc cao (thay vì đồ thị đa thức bậc nhất –đường thẳng) để nghiên cứu các tính chấtcủa đồ thị này.

Ý tưởng trên có thể dùng để giải Bàitoán 1. Sau khi khảo sát một số trườnghợp đặc biệt đối với các bộ có 3, 4 điểmta có thể dự đoán, 𝑘 = 𝑛− 2. Dễ thấy, với𝑘 = 𝑛 − 2 ta luôn chỉ được ví dụ của đathức bậc 𝑛−2 có đồ thị phân tách một bộ𝑛 điểm thích hợp, bằng cách dựng đồ thịđi qua bất kỳ trong số 𝑛− 1 điểm đã cho.

Để chứng minh rằng 𝑘 > 𝑛 − 3 ta cầnchỉ ra ví dụ một bộ điểm không phân táchđược bởi đồ thị của đa thức bậc ≤ 𝑛 − 3.Kinh nghiệm cho thấy ta sẽ tô màu xenkẽ các điểm để đảm bảo đồ thị phải uốnlượn nhiều lần – đồ thị càng uốn lượn thìcàng phải có bậc cao. Tuy nhiên các điểmphải không đặc biệt (chẳng hạn khôngthẳng hàng, vì trong trường hợp đó tadùng ngay đồ thị bậc nhất).

Đối lập với các bộ điểm “đặc biệt" làcác bộ điểm “tổng quát”. Không có định

nghĩa vạn năng cho một bộ điểm tổngquát, nó có thể thay đổi trong từng bàitoán. Tuy nhiên về nguyên tắc các điểmnày và từng phần của nó sẽ không đượcphép thỏa mãn những hệ thức đặc biệt.Chẳng hạn, trong nhiều bài toán, mộtbộ điểm mà không có 3 điểm nào thẳnghàng được gọi là tổng quát. Tuy nhiên,đối với bài toán của chúng ta, một bộđiểm như vậy có thể không đáp ứng yêucầu, chẳng hạn khi chúng cùng nằm trênmột parabol.

Đối với bài toán của chúng ta, một cáchtrực quan nhất ta sẽ có thể muốn chọnchúng tăng dần theo tung độ và khôngnằm trên một đa thức bậc quá không quábé. Chẳng hạn, ta có thể chọn các điểm𝐴𝑖(𝑖, 𝑖

𝑛), 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛, tô màu xen kẽ,và chứng minh rằng mọi đa thức có đồthị phân tách chúng phải có bậc ≥ 𝑛− 2.

Một phương pháp khác có thể cho phépchứng minh rằng một bộ bất kỳ 𝑛 điểmnằm trên một đồ thị của đa thức bậc 𝑛−2,được tô màu xen kẽ theo chiều tăng củahoành độ, không phân tách được bởi đồthị của đa thức bậc ≤ 𝑛−3. Trong phươngpháp này ta sẽ tìm cách xây dựng đượcđủ nhiều nghiệm của đa thức có đồ thịphân tách các điểm đang xét, để từ đóđánh giá bậc của nó. Cùng với định lýBolzano (nếu hàm liên tục nhận giá trịtrái dấu trên hai đầu của đoạn [𝑎, 𝑏] thìnó có nghiệm trên đoạn này) ta có thể sửdụng bổ đề thú vị sau:

Bổ đề. Giả sử đa thức 𝑃 (𝑥) khác hằngsố thỏa mãn 𝑃 (𝑎) ≤ 0 và 𝑃 (𝑏) ≥ 0, 𝑎 < 𝑏,thì tồn tại 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) sao cho 𝑃 ′(𝑐) > 0.

Điều lý thú của Bổ đề là từ các bất đẳngthức không chặt ta suy ra được một bấtđẳng thức chặt. Lời giải chi tiết của Bàitoán 1 dành cho bạn đọc tự thực hiện.

Kính mời quý vị và các bạn đồng nghiệpđăng kí tham gia Hội Toán học Việt Nam

Hội Toán học Việt Nam được thành lập vào năm 1966. Mục đích của Hội là góp phần đẩy mạnh côngtác giảng dạy, nghiên cứu, ứng dụng và phổ biến toán học. Tất cả những ai có tham gia giảng dạy, nghiêncứu, ứng dụng và phổ biến toán học đều có thể gia nhập Hội. Là hội viên, quý vị sẽ được tham gia cũngnhư được thông báo đầy đủ về các hoạt động của Hội, được đăng ký nhận miễn phí bản tin Thông tinToán học, được mua một số ấn phẩm toán với giá ưu đãi. Để gia nhập Hội lần đầu tiên hoặc để đăng kílại hội viên, quý vị cần điền và cắt gửi phiếu đăng ký dưới đây tới BCH Hội theo địa chỉ:

Chị Cao Ngọc Anh, Viện Toán Học, 18 Hoàng Quốc Việt, 10307 Hà Nội

Việc đóng hội phí có thể thực hiện theo tập thể hoặc từng cá nhân bằng một trong các hình thức sau:

1. Đóng trực tiếp hoặc gửi tiền qua bưu điện đến chị Cao Ngọc Anh theo địa chỉ trên.2. Chuyển khoản tới tài khoản của Hội:

Tên tài khoản: Hội Toán học Việt Nam.Số tài khoản: 0491000028899.Ngân hàng TMCP Ngoại thương Việt Nam - Chi nhánh Thăng Long.

(Đề nghị thông báo cho chị Cao Ngọc Anh danh sách những hội viên đóng hội phí).

Thông tin về hội viên Hội Toán học Việt Nam cũng như tình hình đóng hội phí được cập nhật thườngxuyên trên trang web của Hội.

BCH Hội Toán học Việt Nam

$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hội Toán Học Việt NamPhiếu đăng kí hội viên

1. Họ và tên: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Nam � Nữ �3. Ngày sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Nơi sinh (huyện, tỉnh): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. Học vị (năm, nơi bảo vệ):

Cử nhân: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Thạc sỹ: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tiến sỹ: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .TSKH: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Học hàm (nơi được phong):PGS: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .GS: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Chuyên ngành: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8. Nơi công tác: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9. Chức vụ hiện nay: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10. Địa chỉ liên hệ: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Email: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Điện thoại: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ngày: Kí tên:

Hội phí năm 2017

Hội phí: 100 000 Đ �

Acta Math. Vietnamica (*): 120 000 Đ �

Vietnam J. Mathematics (*): 112 000 Đ �

Tổng cộng: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hình thức đóng:

� Đóng tập thể theo cơ quanTên cơ quan: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� Đóng trực tiếp

� Chuyển khoản

� Gửi bưu điện (Đề nghị gửi kèm bản chụp thưchuyển tiền)

(*) Việc mua các tạp chí Acta Mathematica Vietnamicavà Vietnam Journal of Mathematics là tự nguyện. Trênđây là giá ưu đãi dành cho hội viên Hội Toán học (gồm4 số, kể cả bưu phí).

THÔNG TIN TOÁN HỌC, Tập 21 Số 2 (2017)

Toán học trong hệ thống giáo dục bậc cao ở Việt Nam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Neal KoblitzNguyễn Trung Hiếu và Nguyễn Ngọc Phan dịch

Giải thưởng Abel 2017: Yves Meyer giành giải “Nobel toán học”cho công trình về sóng nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Alex BellosLê Xuân Trường dịch

Ávila - Villani: hai con người đáng kể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Christoph SorgerPhan Thị Hà Dương dịch

Tin tức hội viên và hoạt động toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Tin toán học thế giới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Thông tin hội nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Dành cho các bạn trẻ

Đồ thị của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Phùng Hồ Hải