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Théorie des mécanismes : exercices.

I. Liaison en parallèle 1.

Un préhenseur tridigital (pince 3 doigts) contient une liaison réalisée par 3 liaisons pivot glissant en parallèle. Déterminer la liaison équivalente et la mobilité cinématique.

.OG l z= −

, .OH l z=

et .OI l y= −

En déduire le degré d’hyperstatisme. Déterminer les contraintes géométriques à respecter lors de la fabrication.

II. Liaison en parallèle 2.

Réalisation d’une liaison par 3 liaisons en parallèle. Déterminer la liaison équivalente et la mobilité cinématique.

.AC l y=

et . .2

lAB y L x= +

En déduire le degré d’hyperstatisme. Déterminer les contraintes géométriques à respecter lors de la fabrication.

AB

C0

1

y

x

z

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III. Bielle manivelle.

Les deux schémas ci-dessus représentent un mécanisme bielle manivelle. Etude 1 : 1. Tracer le graphe des liaisons. 2. Déterminer Ic et Ec ainsi que mc, mi et mu. 3. En déduire le degré d’hyperstatisme. 4. Déterminer les conditions géométriques à respecter lors de la fabrication. 5. Proposer une nouvelle liaison entre 1 et 2 pour le rendre isostatique. Etude 2 : On se place maintenant dans le plan perpendiculaire aux 2 pivots. Dans ce cas, on peut faire une étude plane des mobilités et de l’hyperstatisme. 6. Représenter le schéma cinématique dans le plan. 7. Lorsque l’on écrit une fermeture cinématique, quelle est la valeur de Ec avec cette condition. Et Es lorsque l’on isole un

solide ? 8. Tracer le schéma cinématique dans le plan. 9. Déterminer Ic, Ec, mc, mi et mu en faisant l’hypothèse problème plan. 10. En déduire le degré d’hyperstatisme avec cette hypothèse. Conclusion.

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IV. Suspension de roue avant de voiture

Le schéma cinématique ci-contre et les deux photos ci dessus représente une suspension de voiture (que vous connaissez bien).

Le solide 0 représente la voiture. Les ensembles 1, 2 et 3 réalisent la suspension. Les ensembles 3, 5 et 6 réalisent la direction de la roue. 6 est la crémaillère qu’actionne le volant. Le solide 4 représente la roue.

On suppose dans un premier temps que la voiture est sur un pont élévateur et que les roues n’ont pas de contact avec le sol.

1. Construire le graphe des liaisons. 2. Déterminer les valeurs de γ, Ec et Ic. 3. Deviner les valeurs de mi, mu et mc. 4. En déduire le degré d’hyperstatisme. On suppose maintenant que la voiture est posée sur le sol et que le sol et la voiture 0 forment un même solide cinématique. Le contact roue sol est modélisé par une liaison ponctuelle. 5. Construire le nouveau graphe des liaisons. 6. Déterminer les valeurs de γ, Ec et Ic. 7. Deviner les valeurs de mi, mu et mc. 8. En déduire le degré d’hyperstatisme.

0

1

2

3

4

5

6

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V. Agitateur médical (CCP PSI 2006)

Dans le cadre d’expérimentations pour soigner les malades du diabète, une équipe de chercheurs travaille sur une technique de greffe de cellules du pancréas. Ces cellules sont obtenues à partir d’un pancréas issu d’un don d’organes. Elles sont isolées du pancréas puis purifiées. Ces dernières, responsables de la sécrétion d’insuline, sont, après un maintien en culture (24 à 48 heures) greffées à un patient diabétique. Afin d’isoler les cellules, on place des fragments de pancréas au sein d’une petite enceinte thermostatée (photo 1). On a préalablement injecté un mélange d’enzymes à l’intérieur du pancréas. Une fois placés dans l’enceinte, les fragments de pancréas vont «baigner» dans cette enzyme, ce qui va enclencher un phénomène de digestion. Tout au long de la manipulation, la solution va circuler, dans un circuit fermé constitué de l’enceinte, de tuyaux et d’une pompe. Pour faciliter l’action de l’enzyme, l’opération se fait sous agitation permanente. La digestion est aussi facilitée par le mouvement de billes en acier au sein de l’enceinte. L’agitation dure 1h30 à 2h30 et doit permettre la libération et la récolte des cellules du pancréas. Nous allons dans la suite étudier le système d’agitation et de chauffage de l’enceinte thermostatée (photo 1 et plan A3). Le système est composé de deux chaînes cinématiques indépendantes (cf. photo et perspective) :

• chaîne n°1 (principale) constituée d’un moteur électrique brushless M1, d’un excentrique 1, d’une bielle 2 et du bras 3 sur lequel est montée la seconde chaîne cinématique ;

• chaîne n°2 (secondaire) constituée d’un moto réducteur électrique M2 solidaire du bras 3, d’un excentrique, d’une bielle et de l’ensemble pince, enceinte.

MODÉLISATION On s’intéresse dans cette partie à la chaîne cinématique n°1. On modélise dans un premier temps chacune des liaisons la constituant par une liaison pivot (voir figure 1).

Figure 1: Modèle cinématique plan

1. Déterminer le degré d’hyperstatisme de cette chaîne ainsi modélisée. 2. Proposer un nouveau modèle pour rendre le système isostatique, justifier. 3. Calculer alors le degré de mobilité.

4. Les actions mécaniques extérieurs sont limitées au poids sur 3 (masse m3 en G3 tel que 3 3 31,5.O G O B=

) et un couple

C sur 1 d’axe z

. On note li les longueurs des barres i. Les solides i est assimilée à des barres de section négligeable devant leurs longueurs. Déterminer la relation entre C et m3 pendant une phase de mouvement.

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VI. Etude de la fixation du réacteur sur l’aile de l’Airbus A340

Vue éclatée de l’Airbus A340

Section de l'aile de l’Airbus A340

Un réacteur d’Airbus est fixé sur l’aile à l’aide d’un ensemble de pièce appelé Mât. Cet ensemble essentiel permet la transmission des forces de poussée de l’avion. Il est constitué de :

→ une structure principale permettant la reprise des forces.

→ une structure secondaire avant pour l’aérodynamisme du mât et le passage des circuits et électrique et de kérosène.

→ une structure secondaire arrière ayant la même fonction

Réacteur et mât en cours de montage

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Le schéma ci contre représente la structure principale du mât. La liaison entre le mât et l’aîle est réalisée par 4 éléments :

→ 2 ferrures avants → 1 doigt central → 1 ferrure arrière.

Le schéma cinématique ci-contre représente la liaison entre le mât et l’aile. La solide 0 est fixé sur l’aile et 5 au réacteur. Remarque: la liaison entre 4 et 5 est une rotule et celle entre 0 et 4 est une liaison pivot glissant. I. Etude du mécanisme : 1. Construire le graphe des liaisons. 2. Déterminer la liaison équivalente à l’ensemble

des liaisons L5/4 et L4/0. 3. Déterminer la liaison équivalente entre 3 et 5. 4. Indiquer les différentes valeurs suivantes:

→ Nombre cyclomatique: γ. → Nombre d’inconnues cinématiques: Ic.

→ Nombre d’inconnues statiques: Is. → Nombre d’équations statiques: Es.

5. Deviner la mobilité « utile » et la mobilité interne. 6. En déduire le degré d’hyperstatisme et indiquer quelles caractéristiques géométriques doivent être respectées. II. Etude statique : On souhaite déterminer les actions mécaniques dans les liaisons rotule. Les coordonnées en millimètres (modèle Airbus A340)

des points dans la base ( )zyxC

,,, sont les suivantes :

A A’ B B’ C G G’ D H

X 152 -152 152 -152 0 116 -116 0 0 Y 160 160 160 160 0 -1353 -1353 -1353 Z 365 365 126 126 0 -136 -136 -9 -1510

L’axe de la liaison 4 / 0 n’est pas vertical, mais inclinée de 10° : Les actions mécaniques extérieures sont caractérisées par un

glisseur yF

. porté par l’axe ( )yH

,

=ℑ → 0

.5

yF

H

ext avec F = 200 kN.

7. Déterminer les actions mécaniques des liaisons suivantes :

• 5 → 2 • 5 → 1 • 5 → 4 • 0 → 3

By

zA

C

G

D

10°

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VII. Robot parallèle. Présentation. La figure ci-contre représente un robot parallèle. Le plateau 7 est relié au plateau inférieur fixe 1 par 3 ensembles identiques et placés à 120° les uns des autres composés de 5 pièces :

→ Un axe moteur en liaison pivot par rapport au bâti et mis en mouvement par un moteur. → Un chariot inférieur 3 en liaison hélicoïdale par rapport à l’axe 2. → 2 bielles 4 et 5 en liaison pivot par rapport au chariot 3. → Un chariot supérieur 6 en liaison pivot avec les 2 bielles et en liaison pivot avec le plateau 7.

I. Etude d’un bras formé des pièces 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7.

1. Construire le graphe des liaisons d’un bras seul. 2. En déduire la mobilité et l’hyperstatisme d’un bras seul. 3. Proposer une modification de la liaison L5/6 pour rendre le mécanisme isostatique. 4. Les 4 liaisons pivots L4/3, L5/3, L4/6 et L5/6 forment un parallélogramme déformable. En déduire le mouvement du

chariot 6 par rapport au chariot 3.

5. En déduire la direction du vecteur 1/7Ω

.

Moteur

1

23

5 4

6 7

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II. Etude de l’ensemble du mécanisme formé de 3 bras. 1. Déduire de la question I.5, le mouvement du plateau 7 par rapport au plateau fixe 1. 2. En déduire la mobilité utile du mécanisme complet ainsi que son hyperstatisme. 3. Proposer une structure plus simple pour obtenir les mêmes mouvements pour le plateau 7. Donner la mobilité et

l’hyperstatisme de cette solution. 4. Quel sont les avantages de la structure choisie ?

La photo ci-dessus représente un Airbus A340 à l’atterrissage. Compte tenu de sa charge, cet avion est doté de trois trains d’atterrissage : le train principal, le train secondaire et le train central. Le train principal que l’on étudie ici est constitué de deux atterrisseurs. Nous étudierons ici celui de droite par rapport au sens de progression de l’avion.

1. Construire le graphe des liaisons du train d’atterrissage lorsque l’Airbus est en vol, train non rentré.

2. Déterminer les différentes caractéristiques cinématiques : γ, Ic, Ec, mi, mu et mc.

3. En déduire le degré d’hyperstatisme h. 4. Choisir une modélisation pour la liaison caractérisant le contact

roue / sol. 5. Construire le graphe des liaisons du train d’atterrissage lorsque

l’Airbus est au sol. 6. Déterminer les différentes caractéristiques cinématiques :

γ, Ic, Ec, mi, mu et mc. 7. En déduire le degré d’hyperstatisme h. 8. Quelle est l’utilité de la liaison de 4 par rapport à 2 ?

Atterrisseur Airbus A340

VIII. Atterrisseur de train principal Airbus A340

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IX. Sinusmatic

Présentation. Le Sinusmatic (Modèle numérique ci-contre) permet l’ouverture, dans un plan vertical, de barrières de parkings publics et de péages d’autoroute. Il transforme la rotation de l’arbre As lié au solide 7 en une rotation d’axe horizontal 2. (La barrière est encastrée sur 2).

Figure 2 : modèle numérique et Sinusmatic

Travail demandé. 1. La liaison L7/1 est une liaison pivot d’axe ( )x

C, , déterminer les liaisons

suivantes: L7/6, L6/3, L3/2 et L2/1.

2. Tracer le graphe des liaisons usuelles du mécanisme. 3. Montrer que l’on peut réduire les liaisons en série L7/6 et L6/3. Déterminer

L7/3. 4. Tracer le graphe minimal des liaisons usuelles du mécanisme.

Figure 3 : Solide 6 seul

5. Tracer le schéma cinématique minimal du mécanisme dans le plan ( )zx

,O, et en perspective isométrique.

6. Déterminer les mobilités et degré d’hyperstatisme du mécanisme.

7. Effectuer le paramétrage du mécanisme. On donne dans la position du dessin : .BC x h=

et .BC z R=

. 8. Ecrire la fermeture géométrique. En déduire une relation entre l’angle

d’entrée et l’angle de sortie. 9. Ecrire le torseur cinématique de chaque liaison. 10. Ecrire la fermeture cinématique du mécanisme. En déduire une relation

entre ωz7/1 et ωz2/1. Vérifier ce résultat à l’aide du résultat de la question 7. Retrouver la mobilité et le degré d’hyperstatisme du mécanisme.

11. Ecrire le torseur des actions mécaniques de chaque liaison.. 12. On applique à l’entrée du mécanisme un couple non connu :

7 .e ext eC C C x→= =

On applique en sortie un couple du au poids de la lisse de la forme :

2 .s ext sC C C z→= =

La pesanteur sera négligée. Déterminer la relation entre eC et sC .

Figure 1 : Barrière Sinusmatic.

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