TIPOS DE DISTRIBUCIONES

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE TORREÓN

YAZMIN BARRIENTOS GALVÁN

2 “B”

Distribución normal

Gran número de distribuciones tienen la forma de una campana; es decir, alejándonos de la media, a derecha e izquierda, el número de observaciones decrece de forma similar. Esto genera una curva simétrica.

Se estudió su ecuación, resultando en función de la media y desviación típica de la distribución. Ante las infinitas posibles medias y desviaciones, nos encontramos con una infinidad de posibles distribuciones

normales pero, el proceso de tipificación, permite reducirlas a una única con media 0 y desviación típica 1. Tal distribución se denomina normal tipificada y se representa N(0,1). En términos de probabilidad, definimos igualmente la variable aleatoria normal, como aquella que tiene por gráfica de su

función de densidad la representada a la izquierda.

El área bajo la curva será igual a la unidad y, con este criterio se

confeccionaron tablas estadísticas que calculan el área para un

cierto intervalo de valores de la variable

Distribución normal estandarizada (tipificación)la distribución normal estándar, la cual tiene las siguientes tres propiedades:

1. presenta forma de campana

2. posee una media igual a 0;

3. tiene una desviación estándar igual a 1.

En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.

La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se conoce como campana de Gauss y es el gráfico de una función gaussiana.

La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.

Distribución normal estándar

N(0, 1)

La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene pormedia el valor cero, μ =0, y por desviación típica la unidad, σ =1.

La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla.

Tipificación de la variable

Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una distribución N(μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N(0, 1).

Ejemplos

¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?

¿Cuál es la probabilidad de que entre 35 y 40 hogares tenga cuando menos dos televisores?

Tablas de los porcentajes por debajo de la curva normal

Distribución binomial

Las características de esta distribución son:

a) En los experimentos que tienen este tipo de distribución, siempre se esperan dos tipos de resultados, ejem. Defectuoso, no defectuoso, pasa, no pasa, etc, etc., denominados arbitrariamente “éxito” (que es lo que se espera que ocurra) o “fracaso” (lo contrario del éxito).

b) Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son constantes, es decir no cambian.

c) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes entre sí.

d) El número de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante.

Ejemplos A partir de un ejemplo. Desarrollaremos una fórmula que nos permita cualquier

problema que tenga este tipo de distribución.

Ejemplo:

Se lanza al aire una moneda normal 3 veces, determine la probabilidad de que aparezcan 2 águilas.

Solución:

Antes de empezar a resolver este problema, lo primero que hay que hacer es identificarlo como un problema que tiene una distribución binomial, y podemos decir que efectivamente así es, ya que se trata de un experimento en donde solo se pueden esperar dos tipos de resultados al lanzar la moneda, águila o sello, cutas probabilidades de ocurrencia son constantes, cada uno de los lanzamientos es independiente de los demás y el número de ensayos o repeticiones del experimento son constantes, n = 3.

Para dar solución a este problema, lo primero que hay que hacer es un diagrama de árbol, en donde representaremos los tres lanzamientos, de ahí se obtendrá el espacio muestral y posteriormente la probabilidad pedida, usando la fórmula correspondiente.

A = águila, S = sello

Distribución de bernoulli

Consiste en realizar un experimento aleatorio una sóla vez y observar si cierto suceso ocurre o no, siendo p la probabilidad de que esto sea así (éxito) y q=1-p el que no lo sea (fracaso). En realidad no se trata más que de una variable dicotómica, es decir que únicamente puede tomar dos modalidades, es por ello que el hecho de llamar éxito o fracaso a los posibles resultados de las pruebas obedece más una tradición literaria o histórica, en el estudio de las v.a., que a la situación real que pueda derivarse del resultado. Podríamos por tanto definir este experimento mediante una v.a.discreta Xque toma los valores X=0 si el suceso no ocurre, yX=1 en caso contrario, y que se denota

Experimento de Bernoulli: solo son posibles dos resultados: éxito o fracaso. Podemos definir una variable aleatoria discreta X tal que:

éxito 1fracaso 0

Si la probabilidad de éxito es p y la de fracaso 1 - p, podemos construir una función de probabilidad

Un típico experimento de Bernoulli es el lanzamiento de

una moneda con probabilidad p para cara y (1-p) para cruz

Función de

distribución

1 para,1

0 para,1)(

x

xpxF

Distribución de poisson

Características:

En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc, etc,:

- # de defectos de una tela por m2

- # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc, etc.

- # de bacterias por cm2 de cultivo

- # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc.

- # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc, etc.

Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar sería:

donde:es

= media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto

= 2.718

x = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra

donde:

p(x, ) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es l

= media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto

e = 2.718

x = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra

Ejemplos:

Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

Solución:

a) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc.

l = 6 cheques sin fondo por día

e = 2.718

Distribución exponencial

La variable aleatoria exponencial, es el tiempo que transcurre hasta que se da el primer evento de Poisson. Es decir, la distribución exponencial puede modelar el lapso entre dos eventos consecutivos de Poisson que ocurren de manera independiente y a una frecuencia constante. Esta distribución se emplea con bastante frecuencia con objeto de modelar problemas del tipo "tiempo - falla" y como modelo para el estudio de intervalos en problemas de espera; por ejemplo, la duración de componentes electrónicos. Posteriormente se demostrará que la distribución exponencial no tiene memoria, es decir, la probabilidad de ocurrencia de eventos presentes o futuros no depende de los que hayan ocurrido en el pasado. De esta forma, la probabilidad de que una unidad falle en un lapso específico depende nada más de la duración de éste y no del tiempo en que la unidad ha estado en

operación.

Distribución T de student

En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño. Surge, en la mayoría de los estudios estadísticos prácticos, cuando la desviación típica de una población se desconoce y debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.

Existen dos versiones de la prueba t-Student: una que supone que las varianzas poblacionales son iguales y otra versión que no asume esto último. Para decidir si se puede suponer o no la igualdad de varianza en las dos poblaciones, se debe realizar previamente la prueba F-Snedecor de comparación de dos varianzas.

Un poco de historia.

La prueba t-Student fue desarrollada en 1899 1908 (dato corregido gracias a un usuario del blog) por el químico inglés William Sealey Gosset (1876-1937), mientras trabajaba en técnicas de control de calidad para las destilerías Guiness en Dublín . Debido a que en la destilería, su puesto de trabajo no era inicialmente de estadístico y su dedicación debía estar exclusivamente encaminada a mejorar los costes de producción, publicó sus hallazgos anónimamente firmando sus artículos con el nombre de "Student".

Si μ es una constante no nula, el cociente es una variable aleatoria que sigue la distribución t de Student no central con parámetro de no-centralidad μ.

intervalos de confianza derivados de la distribución t de Student

El procedimiento para el cálculo del intervalo de confianza basado en la t de Student consiste en estimar la desviación típica de los datos S y calcular el error estándar de la media= S/(raíz cuadrada de n), siendo entonces el intervalo de confianza para la media = x media +- t (alfa/2) multiplicado por (S/(raíz cuadradada de n)).

Es este resultado el que se utiliza en el test de Student: puesto que la diferencia de las medias de muestras de dos distribuciones normales se distribuye también normalmente, la distribución t puede usarse para examinar si esa diferencia puede razonablemente suponerse igual a cero.para efectos prácticos el valor esperado y la varianza son :E(t(n))= 0 y Var (t(n-1)) = n/(n-2) para > 3