Treci domaci zadatak iz Teorijske mehanike - 14. maj 2015.

1. Komponente polja brzine ~v u uidu koji ispunjava oblast r a, u sfernim koordinatama (r; ; ') imajuoblik

vr(r; ) = U cos

1 3a

2r+

a3

2r3

; v(r; ) = U sin

1 3a

4r a

3

4r3

; v' = 0 : (1)

(a) (5 poena) Uveriti se da je pri ovakvom strujanju uid nestisljiv.(b) (5 poena) Pokazati da je limr!1 ~v = U~ez.(c) (10 poena) Izracunati vektor vrtloznosti ~!. Kako izgledaju vrtlozne linije?(d) (15 poena) Pokazati da je strujanje zadato sa (1) moguce u Stoksovom uidu, pod pretpostavkom dazapreminske sile mogu da se zanemare, kao i da je j(~v r)~vj j~vj. Drugim recima, naci pritisak p(r; )za koji je, pod navedenim pretpostavkama, zadovoljena Stoksova jednacina

@~v

@t+ (~v r)~v = ~f 1

gradp+ ~v :

U ovoj jednacini je =const gustina, a = = kinematicki koecijent viskoznosti uida ( je dinamickikoecijent viskoznosti). Ovde od koristi moze da bude poznati identitet ~v = grad div~v rot rot~v.(e) (25 poena) Imajuci u vidu prethodni deo zadatka, cinjenicu da je ~v(r = a; ) = 0, kao i deo zadatka pod(b), moze da se zakljuci da polje (1) opisuje stacionarno laminarno strujanje Stoksovog uida, koji iz pravcaose z nailazi na cvrstu loptu poluprecnika a, ucvrscenu u koordinatnom pocetku. Znajuci da tenzor naponau Stoksovom uidu ima oblik P = pI + 2S, gde je I jedinicni tenzor, a S tenzor brzine deformacije,pokazati da je ukupna povrsinska sila kojom uid deluje na loptu jednaka

~F = 6aU~ez :

Iskoristiti cinjenicu da tenzor brzine deformacije u sfernim koordinatama ima oblik

S =0@ Srr Sr Sr'Sr S S'

Sr' S' S''

1A ;gde je

Srr =@vr@r

; S =1

r

@v@

+vrr; S'' =

1

r sin

@v'@'

+vrr+

vctg

r;

Sr =r

2

@

@r

vr

+

1

2r

@vr@

; Sr' =1

2r sin

@vr@'

+r

2

@

@r

v'r

;

S' =sin

2r

@

@

v'sin

+

1

2r sin

@v@'

:

2. (10 poena) Udaljena kamera fotograse metak sopstvene duzine l0 i brzine v. Metak se krece pravolinijskiduz pravca na kome stoji metarska traka (malo iza metka, kad se gleda sa kamere). Ugao izme -du vektorabrzine i pravca koji spaja metak i kameru je . Odrediti duzinu metka koji vidi kamera, odnosno kolikolenjira je zaklonjeno.

3. Elektricno i magnetno polje denisu se pomocu skalarnog '(t; x; y; z) i vektorskog potencijala ~A(t; x; y; z)sledecim jednacinama

~E(t; x; y; z) = grad' @~A

@t; ~B(t; x; y; z) = rot ~A

Skalarni i vektorski potencijal elektromagnetnog polja formiraju kvadrivektor potencijala koji je denisansa A = ('; c ~A):(a) (5 poena) Napisati kako se transformisu komponenete kvadrivektora potencijala pri prelasku iz inerci-jalnog koordinatnog sistema S u sistem S0, koji se u odnosu na S krece konstantnom brzinom ~u = u~ex.(b) (15 poena) Odrediti zakon transformacije komponenti elektricnog ~E i magnetnog ~B polja pri prelaskuiz sistema S u S0.(c) (10 poena) Ako u sistemu S miruje cestica naelektrisanja q, naci elektricno i magnetno polje koje poticeod te cestice u sistemima S i S0.

2. Fotoni koje vidi kamera odre -duju duzinu metka. Ti fotoni (s prednjeg i zadnjeg kraja metka) nisuemitovani istvremeno, oni su primljeni istovremeno. Zbog toga ovde nemamo kontrakciju duzine, vecdrugaciji efekat. Uocimo dva doga -daja: slanje fotona sa prednjeg kraja i slanje fotona sa zadnjeg krajametka. Nas interesuju fotoni koji istovremeno dolaze do kamere. Foton sa zadnjeg kraja treba da pre -deduzi put l cos pa je ovaj doga -daj vremenski pomeren za t = l cos=c. Ovde je sa l oznacena duzinafotona koju vidi kamera.

Neka je S0 sistem vezan za metak. On se krece brzinom v u pravcu x-ose, pa je

x0 = (x vt):Dva dogo -daja koja posmatramo desavaju se u sistemu S0 na rastojanju l0, pa je

l0 = (l v l cosc

)) l = l0

(1 vc cos)

:

3. (a) Kvarivektor A se transformise kao kontravarijantan kvadrivektor A0 = A tako da je0BB@'0

cA0xcA0ycA0z

1CCA =0BB@

0 0 0 00 0 1 00 0 0 1

1CCA0BB@

'cAxcAycAz

1CCA : (2)Ovde se koriste standardne oznake = u=c i = 1=

p1 2.

(b) Zakon transformacije komponenti elektricnog i magnetnog polja dobijamo iz Lorencovih transformacijakooridinata

ct0 = (ct x); x0 = (x ct); y0 = y; z0 = z; (3)i komponenti vektora potencijala (2), tako da je:

E0x = @'0

@x0 @A

0x

@t0= @'

0

@x

@x

@x0 @'

0

@t

@t

@x0 @A

0x

@x

@x

@t0 @A

0x

@t

@t

@t0= = Ex (4)

E0y = @'0

@y0 @A

0y

@t0= @'

0

@y @A

0y

@x

@x

@t0 @A

0y

@t

@t

@t0= = (Ey uBz) (5)

E0z = @'0

@z0 @A

0z

@t0= @'

0

@z @A

0z

@x

@x

@t0 @A

0z

@t

@t

@t0= = (Ez + uBy) (6)

B0x =@A0z@y0

@A0y

@z0=

@Az@y

@Ay@z

= Bx (7)

B0y =@A0x@z0

@A0z

@x0=

@A0x@z

@A0z

@x

@x

@x0 @A

0z

@t

@t

@x0= = (By + u

c2Ez) (8)

B0z =@A0y@x0

@A0x

@y0=

@A0y@x

@x

@x0+

@A0y@t

@t

@x0 @A

0x

@y= = (Bz u

c2Ey) (9)

Ako se napisu u vektorskoj formi, jednacine (4-9) glase

~E0 = ~E + ~u ~B

( 1)(~u

~E)~u

u2; ~B0 =

~B 1

c2~u ~E

( 1)(~u

~B)~u

u2: (10)

(c) U sistemu S cestica naelektrisanja q miruje, tako da su elektricno i magnetno polje koje poticu od cestice

~E =1

40

q

r2~r

r; ~B = 0:

Na osnovu prethodnih formula dobija se da su elektricno i magnetno polje u sistemu S0:

E0x =1

40

q

r3x; E0y =

1

40

q

r3y; E0z =

1

40

q

r3z;

B0x = 0; B0y =

1

40

q

r3u

c2z; B0z =

1

40

q

r3u

c2y