toan cao cap A3

ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com

Wednesday, January 26, 2011

Toán cao cấp A3 Đại học 1

TOTOÁÁN CAO CN CAO CẤẤP A3P A3 Đ ĐẠẠI HI HỌỌC C PHÂN PHPHÂN PHỐỐI CHƯƠNG TRÌNHI CHƯƠNG TRÌNH

SSốố titiếếtt : 45: 45----------

Chương 1. Hàm số nhiều biến số Chương 2. Tích phân bội Chương 3. Tích phân đường – Tích phân mặt Chương 4. Phương trình vi phân

Tài li ệu tham khảo 1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A3

– ĐHCN TP. HCM.2. Đỗ Công Khanh – Giải tích hàm nhiều biến

(tập 3, 4) – NXB ĐHQG TP. HCM.

3. Nguyễn Đình Trí – Phép tính Giải tích hàm nhiều biến – NXB Giáo dục.

4. Phan Quốc Khánh – Phép tính Vi tích phân (tập 2) – NXB Giáo dục.

5. Đặng Văn Vinh – Slide bài giảng Toán A 3 – ĐH Bách khoa Tp.HCM.

6. Nguyễn Thừa Hợp – Giải tích (tập 1, 2) – NXB ĐHQG Hà Nội.

7. Nguyễn Thủy Thanh – Bài tập Giải tích (tập 2) – NXB Giáo dục.

8. James Stewart – Calculus concepts and contexts.

BiênBiên soso ạạnn:: ThSThS. . ĐoĐoàànn VươngVương NguyênNguyênDownload Slide Download Slide bbààii gigi ảảngng ToToáánn A3 A3 ttạạii

dvntailieu.wordpress.comdvntailieu.wordpress.com

ChươngChương 1. 1. HHààmm ssốố nhinhi ềềuu bibiếếnn ssốố

§1. KHÁI NI ỆM CƠ BẢN

1.1. Các định nghĩa a) Miền phẳng • Trong mặt phẳng Oxy , hình phẳng D giới hạn bởi các đường cong kín được gọi là miền phẳng. Tập hợp các đường cong kín giới hạn D được gọi là biên của D , ký hiệu D∂ hay Γ. Đặc biệt, mặt phẳng Oxy được xem là miền phẳng với biên ở vô cùng.

§1. Khái niệm cơ bản §2. Đạo hàm riêng – Vi phân §3. Khai tri ển Taylor của hàm hai biến số §4. Cực tr ị của hàm hai biến số

…………………………………………………………..


• Miền phẳng D kể cả biên D∂ được gọi là miền đóng, miền phẳng D không kể biên D∂ là miền mở.

• Miền phẳng D được gọi là miền liên thông nếu có 1 đường cong nằm trong D nối 2 điểm bất kỳ thuộc D .Miền liên thông có biên là 1 đường cong kín được gọi là miền đơn liên (hình a); có biên là nhiều đường cong kín rời nhau là miền đa liên (hình b).


b) Lân cận của một điểm

• Khoảng cách giữa 2 điểm 1 1 1( , )M x y ,

2 2 2( , )M x y là:

( ) ( ) ( )2 2

1 2 1 2 1 2 1 2,d M M M M x x y y= = − + − .

• Hình tròn ( , )S M ε mở có tâm

( , )M x y , bán kính 0ε > được

gọi là một lân cận của điểm M . Nghĩa là:

2 20 0 0 0 0( , ) ( , ) ( ) ( )M x y S M x x y y∈ ε ⇔ − + − < ε.

M

ε•


Chú ý • Trong trường hợp xét hàm số ( , )f x y mà không nói gì

thêm thì ta hiểu MXĐ của hàm số là tập tất cả các điểm2( , )M x y ∈ ℝ sao cho ( , )f x y có nghĩa.

c) Hàm số hai biến số • Trong mặt phẳng Oxy cho tập 2D ⊂ ℝ . Tương ứng :f D → ℝ cho tương ứng mỗi ( , )x y D∈

với một giá trị ( , )z f x y= ∈ ℝ duy nhất được gọi là

hàm số hai biến số ,x y . • Tập 2D ⊂ ℝ được gọi là miền xác định (MXĐ) của hàm

số ( , )f x y , ký hiệu là f

D . Miền giá trị của hàm ( , )f x y là:

( , ) ( , )f

G z f x y x y D= = ∈ ∈ℝ .





• Hàm có nhiều hơn hai biến được định nghĩa tương tự.

VD 1. • Hàm số 2( , ) 3 cosf x y x y xy= − có 2

fD = ℝ .

• Hàm số 2 24z x y= − − có MXĐ là hình tròn đóng tâm (0; 0)O , bán kính 2R = .

• Hàm số 2 2ln(4 )z x y= − − có MXĐ là hình tròn mở tâm (0; 0)O , bán kính 2R = .

• Hàm số ( , ) ln(2 3)z f x y x y= = + − có MXĐ là nửamp mở có biên : 2 3 0d x y+ − = , không chứa O .


1.2. Giới hạn của hàm số hai biến số a) Điểm tụ • Trong mpOxy cho dãy điểm ( , ), 1, 2, ...

n n nM x y n =

Điểm 0 0 0( , )M x y được gọi là điểm tụ của dãy trên nếu

mọi lân cận của 0

M đều chứa vô số phần tử của dãy.

• Điểm 0 0 0( , )M x y được gọi là điểm tụ của tập 2D ⊂ ℝ

nếu mọi lân cận của điểm 0

M đều chứa vô số điểm thuộc D .

b) Định nghĩa giới hạn (giới hạn bội) • Điểm

0 0 0( , )M x y được gọi là giới hạn của dãy điểm

( , ), 1, 2, ...n n n

M x y n = nếu 0 0 0( , )M x y là điểm tụ duy

nhất của dãy.


• Hàm số ( , )f x y có giới hạn là L ∈ ±∞ℝ ∪ khi n

M

dần đến 0

M nếu lim ( , )n n

nf x y L

→∞= . Ký hiệu:

0 0 0 0

0

( , ) ( , )lim ( , ) lim ( , ) lim ( ) .x x x y x y M My y

f x y f x y f M L→ → →→

= = =

VD 2. 2

2( , ) (1, 1)

2 3 1 3lim

23x y

x y x

xy→ −

− −=−

+.

VD 3. Tìm ( , ) (0,0)

lim ( , )x y

f x y→

, với 2 2

( , )xy

f x y

x y

=+

.

Ký hiệu là: 0

limn

nM M

→∞= hay

0n

nM M

→∞→ .


Vậy ( , ) (0,0)

lim ( , ) 0x y

f x y→

= .

Nhận xét • Nếu đặt

0 0cos , sinx x r y y r= + ϕ = + ϕ thì:

0 0( , ) ( , ) 0x y x y r→ ⇔ → .

VD 4. Tìm 2 2

2 2( , ) (0,0)

sin( )lim

x y

x y

x y→

+

+.

Giải. 00

2 2 20 ( , ) 0

xyxy xy

f x y x

x y y

→→

≤ = ≤ = →+

.

Giải. Đặt cos , sinx r y r= ϕ = ϕ , ta có:


VD 5. Cho hàm số 2 2

2( , )

xyf x y

x y=

+.

Chứng tỏ rằng ( , ) (0,0)

lim ( , )x y

f x y→

không tồn tại.

Giải. Đặt cos , sinx r y r= ϕ = ϕ , ta có: 2

2( , ) (0,0) 0

sin 2lim ( , ) lim sin 2 .

x y r

rf x y

r→ →

ϕ= = ϕ

Do giới hạn phụ thuộc vào ϕ nên không duy nhất. Vậy

( , ) (0,0)lim ( , )

x yf x y

→ không tồn tại.

2 2 2

2 2 2( , ) (0,0) 0

sin( ) sinlim lim 1

x y r

x y r

x y r→ →

+= =

+.


c) Giới hạn lặp • Giới hạn theo từng biến khi

nM dần đến

0M của hàm số

( , )f x y được gọi là giới hạn lặp.

Khi 0

x x→ trước, 0

y y→ sau thì ta viết:

0 0

lim lim ( , )y y x x

f x y→ →

.

Khi 0

y y→ trước, 0

x x→ sau thì ta viết:

0 0

lim lim ( , )x x y y

f x y→ →

.

VD 6. Xét hàm số 2 2

2 2

sin sin( , )

x yf x y

x y

−=

+. Ta có:

2

20 0 0

sinlim lim ( , ) lim 1y x y

yf x y

y→ → →

−= =− ,





• Định lý Trong 2

ℝ cho hình vuông H có 1 đỉnh là 0 0 0( , )M x y

và hàm số ( , )f x y xác định trong H .

Nếu tồn tại 0 0

( , ) ( , )lim ( , )

x y x yf x y L

→= ∈ ℝ và mỗi y Y∈

tồn tại 0

( ) lim ( , )x x

y f x y→

ϕ = ∈ ℝ thì:

0 0 0

lim lim ( , ) lim ( )y y x x y y

f x y y L→ → →

= ϕ = .

2

20 0 0

sinlim lim ( , ) lim 1x y x

xf x y

x→ → →= = .

Vậy 0 0 0 0

lim lim ( , ) lim lim ( , )y x x y

f x y f x y→ → → →

≠ .


Nhận xét • Nếu

0 0 0 0

lim lim ( , ) lim lim ( , )y y x x x x y y

f x y f x y→ → → →

≠ thì không tồn

tại 0 0

( , ) ( , )lim ( , )

x y x yf x y

→.

• Sự tồn tại giới hạn lặp không kéo theo sự tồn tại giới hạn bội và ngược lại.

1.3. Hàm số liên tục • Hàm số ( , )f x y liên tục tại 2

0 0 0( , )M x y D∈ ⊂ ℝ nếu

0 00 0

( , ) ( , )lim ( , ) ( , ).

x y x yf x y f x y

→=

• Hàm số ( , )f x y liên tục trên tập 2D ⊂ ℝ nếu nó liên tục

tại mọi điểm thuộc D .


VD 7. Xét sự liên tục của 2 2

2 2

sin sin( , )

x yf x y

x y

−=

+.

Giải. Với ( , ) (0, 0)x y ≠ thì hàm số ( , )f x y xác định nên

liên tục.

Tại (0, 0) thì ( , ) (0,0)

lim ( , )x y

f x y→

không tồn tại (VD 6).

Vậy hàm số ( , )f x y liên tục trên 2 \ (0, 0)ℝ .

Chú ý

Hàm số ( , )f x y liên tục trên miền đóng giới nội D thì nó

đạt giá trị lớn nhất (max) và nhỏ nhất (min) trên D .

……………………………………………………………


§2. ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN 2.1. Đạo hàm riêng a) Đạo hàm riêng cấp 1 • Cho hàm số ( , )f x y xác định trên miền mở 2D ⊂ ℝ

chứa điểm 0 0 0( , )M x y . Cố định

0y , nếu hàm số

0( , )f x y

có đạo hàm tại 0

x thì ta gọi đạo hàm đó là đạo hàm riêng

theo biến x của hàm số ( , )f x y tại 0 0

( , )x y .

Ký hiệu: 0 0

( , )xf x y hay /

0 0( , )

xf x y hay

0 0( , ).

fx y

x

∂∂

Vậy 0

/ 0 0 00 0

0

( , ) ( , )( , ) lim .

xx x

f x y f x yf x y

x x→

−=

−


• Tương tự, đạo hàm riêng theo biến y tại 0 0

( , )x y là:

0

/ 0 0 00 0

0

( , ) ( , )( , ) lim .

yy y

f x y f x yf x y

y y→

−=

−

Chú ý

• Nếu ( )f x là hàm số một biến x thì /x

f dff

x dx

∂= =∂

.

• Hàm số nhiều hơn hai biến có định nghĩa tương tự.

VD 1. Tính các đạo hàm riêng của hàm số: 4 3 2 3( , ) 3 2 3f x y x x y y xy= − + − tại ( 1; 2)− .


VD 3. Tính các đạo hàm riêng của cosx

zy

= tại ( ; 4)π .

VD 4. Tính các đạo hàm riêng của 2

( , , ) sinx yf x y z e z= .

b) Đạo hàm riêng cấp cao • Đạo hàm riêng (nếu có) của hàm số /( , )

xf x y , /( , )

yf x y

được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của ( , )f x y .

VD 2. Tính các đạo hàm riêng của 2

2 2

1ln

1

xz

x y

+=

+ +.





Ký hiệu:

( )2

2//

2xx x xx

f ff f f

x x x

∂ ∂ ∂= = = = ∂ ∂ ∂,

( )2

2//

2yy yy y

f ff f f

y y y

∂ ∂ ∂= = = = ∂ ∂ ∂,

( )2

//xy xy x y

f ff f f

y x y x

∂ ∂ ∂= = = = ∂ ∂ ∂ ∂ ,

( )2

//yx yx y x

f ff f f

x y x y

∂ ∂ ∂= = = = ∂ ∂ ∂ ∂ .

• Hàm số nhiều hơn 2 biến và đạo hàm riêng cấp cao hơn 2 có định nghĩa tương tự.


VD 6. Cho hàm số 5 4 4 5( , )f x y x y x y= + − .

Giá trị của đạo hàm riêng cấp năm 3 2

(5) (1; 1)x yf − là:

A. 3 2

(5) (1; 1) 480x yf − = ; B.

3 2

(5) (1; 1) 480x yf − =− ;

C. 3 2

(5) (1; 1) 120x yf − = ; D.

3 2

(5) (1; 1) 120x yf − =− .

VD 5. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số: 3 2 3 4( , ) yf x y x e x y y= + − tại ( 1; 1)− .

• Định lý Schwarz Nếu hàm số ( , )f x y có các đạo hàm riêng // //,

xy yxf f liên

tục trong miền mở 2D ⊂ ℝ thì // //.xy yxf f=


VD 7. Đạo hàm riêng 2 2

( ) ( 2)m n

m n

x y xz m−+ ≥ của 2x yz e −= là:

A. 2( 1) 2n m n x ye+ −− ; B. 2( 1) 2m m n x ye+ −− ;

C. 2( 1) 2m m x ye −− ; D. 2( 1) 2n m x ye −− .

2.2. Vi phân

2.2.1. Vi phân cấp 1 a) Số gia của hàm số • Cho hàm số ( , )f x y xác định trong lân cận

0( , )S M ε

của điểm 0 0 0( , )M x y . Cho x một số gia x∆ và y một

số gia y∆ , khi đó hàm ( , )f x y có tương ứng số gia:

0 0 0 0( , ) ( , ).f f x x y y f x y∆ = +∆ +∆ −


b) Định nghĩa • Nếu trong lân cận

0( , )S M ε với số gia x∆ , y∆ mà số

gia f∆ tương ứng có thể viết được dưới dạng:

( ) 2 2. . , ( ) ( )f A x B y O r r x y∆ = ∆ + ∆ + = ∆ + ∆ ,

trong đó ,A B là những số chỉ phụ thuộc vào điểm

0 0 0( , )M x y và hàm ( , )f x y , không phụ thuộc , x y∆ ∆

thì đại lượng . .A x B y∆ + ∆ được gọi là vi phân của hàm số ( , )f x y tại điểm

0 0 0( , )M x y .

• Khi đó, ( , )f x y được gọi là khả vi tại điểm 0 0 0( , )M x y .

Ký hiệu là: 0 0( , ) . . .df x y A x B y= ∆ + ∆

ChươngChương 1. 1. HHààmm ssốố nhinhi ềềuu bibiếếnn ssốốNhận xét • Xét những điểm

0 0( , )M x x y y+ ∆ + ∆ dịch chuyển

trên đường đi qua 0

M song song Ox . Khi đó 0y∆ = :

0 0 0 0( , ) ( , ) . ( )f f x x y f x y A x O x∆ = + ∆ − = ∆ + ∆

/0 0

0lim ( , )

xx

fA A f x y

x∆ →

∆⇒ = ⇒ =

∆.

Tương tự, /0 0

0lim ( , )

yy

fB B f x y

y∆ →

∆= ⇒ =

∆.

Suy ra / /( , ) ( , ). ( , ).x y

df x y f x y x f x y y= ∆ + ∆ .

• Xét ( , ) ( , )f x y x df x y x dx x= ⇒ = ∆ ⇒ = ∆ .

Tương tự, dy y= ∆ . Vậy: / /( , ) ( , ) ( , ) .x y

df x y f x y dx f x y dy= +


c) Định lý • Nếu hàm số ( , )f x y có các đạo hàm riêng trong lân cận

nào đó của 0 0

( , )x y và các đạo hàm riêng này liên tục

tại 0 0

( , )x y thì ( , )f x y khả vi tại 0 0

( , )x y .

VD 8. Cho hàm 2 5( , ) x yf x y x e y−= − . Tính (1; 1)df − .

VD 9. Tính vi phân cấp 1 của hàm 2 2sin( )x yz e xy−= .

2.2.2. VI PHÂN CẤP CAO a) Vi phân cấp 2 • Giả sử ( , )f x y là hàm khả vi với ,x y là các biến độc

lập. Các số gia ,dx x dy y= ∆ = ∆ tùy ý độc lập với

,x y nên được xem là hằng số đối với ,x y .





Chú ý • Nếu ,x y là các biến không độc lập (biến trung gian)

( , )x x= ϕ ψ , ( , )y y= ϕ ψ thì công thức trên không còn

đúng nữa. Sau đây ta chỉ xét trường hợp ,x y độc lập.

• Vi phân của ( , )df x y được gọi là vi phân cấp 2 của

( , )f x y . Ký hiệu và công thức:

( ) 2 2

2 2 22 .xyx y

d f d df f dx f dxdy f dy′′ ′′ ′′= = + +

VD 10. Cho hàm số 2 3 2 3 5( , ) 3f x y x y xy x y= + − .

Tính vi phân cấp hai 2(2; 1)df − .

VD 11. Tính vi phân cấp 2 của hàm 2( , ) ln( )f x y xy= .


b) Vi phân cấp n

( ) ( )1

0

.k n k

nnn n k k n k

n x yk

d f d d f C f dx dy−− −

=

= =∑

Trong đó 0

( ) ( )n n

n n

x y xf f= ,

0

( ) ( )n n

n n

x y yf f= ,

0n ndx dy dx= , 0 n ndx dy dy= .

VD 12. Tính vi phân cấp 3 của hàm số 3 2( , )f x y x y= .

VD 13. Tính vi phân 3d z của hàm số 2 cos 3xz e y= .


2.3. Đạo hàm của hàm số hợp a) Hàm hợp với một biến độc lập • Cho ( , )f x y là hàm khả vi đối với ,x y và ,x y là những

hàm khả vi đối với biến độc lập t . Khi đó, hàm hợp của biến t là ( ) ( ( ), ( ))t f x t y tω = khả vi. Ta có:

/ /( ) .x y

dx dyt f f

dt dt′ω = +

VD 14. Tính ( )t′ω với hàm số 2( , )f x y x y= và 23 , sinx t t y t= − = .

Giải. / /( ) . .x y

dx dyt f f

dt dt′ω = +

2 / 2 / 22 (3 ) (sin ) 2 (6 1) cost t

xy t t x t xy t x t= − + = − + .


Tính trực tiếp như sau:

2 2( ) (3 ) sint t t tω = − 2 2 2( ) 2(3 )(6 1)sin (3 ) cost t t t t t t t′⇒ ω = − − + −

22 (6 1) cosxy t x t= − + .

VD 15. Cho 2 2 2( , ) ln( ), sinf x y x y y x= + = . Tính df

dx.

Giải / /

2 2 2 2 2 /ln( ) ln( ) (sin )x

x y

dfx y x y x

dx

= + + +

2 2 2 2 2 2

2 2 sin 2 2 2 sin 2x y x x y x

x y x y x y

+= + =

+ + +.


b) Hàm hợp với hai biến độc lập • Cho ( , )f x y là hàm khả vi đối với ,x y và ,x y là những

hàm khả vi đối với hai biến độc lập ,ϕ ψ. Khi đó, hàm

hợp của 2 biến ,ϕ ψ là ( , ) ( ( , ), ( , ))f x yω ϕ ψ = ϕ ψ ϕ ψ

khả vi. Ta có: / / / / / / / / / /. . , . . .

x y x yf x f y f x f yϕ ϕ ϕ ψ ψ ψω = + ω = +

2.4. Đạo hàm của hàm số ẩn (hai biến) • Hàm ( , )z x y xác định trên 2

zD ⊂ ℝ thỏa phương trình

( , , ( , )) 0, ( , )z

F x y z x y x y D D= ∀ ∈ ⊂ (*) được gọi là

hàm số ẩn hai biến xác định bởi (*) .


Giả sử các hàm trên đều khả vi, đạo hàm 2 vế (*) ta được: / / / / / /. 0, . 0x z x y z y

F F z F F z+ = + = .

Vậy ( )//

/ / /

/ /, 0 .

yxx y z

z z

FFz z F

F F= − =− ≠

VD 16. Cho hàm ẩn ( , )z x y thỏa phương trình:

cos( )xyz x y z= + + . Tính / /, x yz z .

VD 17. Cho hàm ẩn ( , )z x y thỏa phương trình mặt cầu: 2 2 2 2 4 6 2 0x y z x y z+ + − + − − = . Tính /

yz .

……………………………………………………





§3. KHAI TRI ỂN TAYLOR HÀM HAI BI ẾN 3.1. Công thức Taylor

Cho hàm số ( , )f x y có đạo hàm riêng đến cấp 1n +trong miền mở D chứa điểm

0 0 0( ; )M x y .

Giả sử 0 0

( ; )N x x y y D+∆ +∆ ∈ và MN D⊂ .

Đặt 0 0,dx x x x dy y y y= ∆ = − = ∆ = − .

Trong đó, 2 2

0 0( ) ( )x x y yρ = − + − .

Khai triển Taylor hàm ( , )f x y ở lân cận điểm 0

M là:

0 0

0

( ) ( )( , ) ( ) ... ( ).

1! !

n

ndf M d f M

f x y f M On

ρ= + + + +


Khai tri ển Maclaurin

Trong đó, ,dx x dy y= = , 2 2x yρ = + .

Tại lân cận (0; 0)O , khai triển Maclaurin ( , )f x y là:

(0;0) (0;0)( , ) (0;0) ... ( ).

1! !

nndf d f

f x y f On

ρ= + + + +

Các khai triển Maclaurin hàm 1 biến cần nhớ

1) 211 ... ( )

1n nx x x O x

x= + + + + +

−.

2) 2

1 ... ( )1! 2! !

nx nx x x

e O xn

= + + + + + .


3) 2 3 4

ln(1 ) ... ( )1 2 3 4

nx x x xx O x+ = − + − + + .

4) 2 4 6

cos 1 ... ( )2! 4 ! 6!

nx x xx O x= − + − + + .

5) 3 5 7

sin ... ( )1! 3! 5! 7 !

nx x x xx O x= − + − + + .

3.2. Các ví dụ

VD 1. Khai triển Taylor ở lân cận điểm (1; 1) của hàm số ( , ) xf x y y= đến số hạng bậc hai.

Giải. Ta có: • (1;1) 1f = ;


• ( , ) ( , ) ( , )x y

df x y f x y dx f x y dy′ ′= +

1ln (1;1) 1x xy ydx xy dy df dy y−= + ⇒ = = − ;

• 2 2

2 2 2( , ) 2xyx y

d f x y f dx f dxdy f dy′′ ′′ ′′= + +

2 2 1 2 2ln 2 ( ln +1) ( 1)x x xy ydx y x y dxdy x x y dy− −= + + −

2 (1;1) 2 2( 1)( 1)d f dxdy x y⇒ = = − − .

Vậy 21 ( 1) ( 1)( 1) ( )xy y x y O ρ= + − + − − + , 2 2( 1) ( 1)x yρ = − + − .


VD 2. Khai triển Maclaurin của hàm số 2 2( , ) cos( )f x y x y= + đến số hạng bậc 4.

VD 3. Khai triển Maclaurin của hàm số 2

sinxz e y= đến số hạng bậc 5.

VD 4. Khai triển Maclaurin của hàm số 2

(1 )xz y= + đến số hạng bậc 6.

……………………………………………………………

VD 5. Cho hàm

3

1( , )x

yf x y e += . Tính vi phân 7 (0;0)d f ?


VD 1. Hàm số 2 2

2 2 3( , )

2 4

y yf x y x y xy x

= + − = − +

2( , ) 0, ( , )f x y x y⇒ ≥ ∀ ∈ ℝ nên đạt cực tiểu tại (0; 0)O .

§4. CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BI ẾN SỐ 4.1. Định nghĩa (cực trị địa phương) • Hàm số ( , )z f x y= đạt cực trị địa phương (gọi tắt là

cực trị) tại 0 0 0( , )M x y nếu với mọi điểm ( , )M x y khá

gần nhưng khác 0

M thì hiệu 0 0

( , ) ( , )f f x y f x y∆ = −

có dấu không đổi. • Nếu 0f∆ > thì

0 0( , )f x y được gọi là giá trị cực tiểu

và 0

M là điểm cực tiểu của ( , )z f x y= .

• Nếu 0f∆ < thì 0 0

( , )f x y được gọi là giá trị cực đại và

0M là điểm cực đại của ( , )z f x y= .





b) Điều kiện đủ Giả sử ( , )z f x y= có điểm dừng là

0M và có đạo hàm

riêng cấp hai tại lân cận của điểm 0

M .

Đặt 2 2

// ////0 0 0

( ), ( ), ( )xyx y

A f M B f M C f M= = = .

4.2. ĐỊNH LÝ a) Điều kiện cần • Nếu hàm số ( , )z f x y= đạt cực trị tại

0 0 0( , )M x y và

tại đó hàm số có đạo hàm riêng thì:

0 0 0 0( , ) ( , ) 0.

x yf x y f x y′ ′= =

• Điểm 0 0 0( , )M x y thỏa

0 0 0 0( , ) ( , ) 0

x yf x y f x y′ ′= = được

gọi là điểm dừng, 0

M có thể không là điểm cực trị.


Khi đó:

• Nếu 2 0

( , )0

AC Bf x y

A

− > ⇒ > đạt cực tiểu tại

0M .

• Nếu 2 0

( , )0

AC Bf x y

A

− > ⇒ < đạt cực đại tại

0M .

• Nếu 2 0 ( , )AC B f x y− < ⇒ không đạt cực trị tại 0

M .

• Nếu 2 0AC B− = thì ta không thể kết luận.

4.3. Phân loại cực trị • Trong không gian Oxyz , xét mặt cong S chứa đường

cong ( )C . Chiếu S lên mpOxy ta được miền 2D ⊂ ℝ và đường cong phẳng ( ) : ( , ) 0x yγ ϕ = (xem hình vẽ).


Khi đó, điểm 1

P S∈ là điểm cao nhất (hay thấp nhất) so với các điểm ở trong lân cận của nó và hình chiếu

1M D∈ là

được gọi là điểm cực trị tự do của hàm ( , )f x y

xác định trên D (vì không phụ thuộc vào ( )γ ). Tương tự, điểm

2( )P C∈ là điểm cao nhất (hay thấp nhất) so

với các điểm ở trong lân cận của nó và hình chiếu

2( )M ∈ γ là điểm cực trị có điều kiện ràng buộc bởi

( ) : ( , ) 0x yγ ϕ = của hàm ( , )f x y .


• Bước 1. Tìm điểm dừng 0 0 0( , )M x y bằng cách giải hệ:

/0 0

/0 0

( , ) 0

( , ) 0.

x

y

f x y

f x y

= =

• Bước 2. Tính 2

// //0 0 0 0

( , ), ( , )xyx

A f x y B f x y= = ,

2

// 20 0

( , )y

C f x y AC B= ⇒ ∆ = − .

• Bước 3. Dựa vào điều kiện đủ để kết luận.

4.4. Cực trị tự do Cho hàm số ( , )f x y xác định trên D .

Để tìm cực trị của ( , )f x y , ta thực hiện các bước sau:


VD 2. Tìm điểm dừng của hàm số (1 )z xy x y= − − .

VD 3. Tìm cực trị của hàm 2 2 4 2 8z x y x y= + + − + .

VD 4. Tìm cực trị của hàm số 3 3 3 2z x y xy= + − − .

VD 5. Tìm cực trị của 2 3 2 23 3 3 2z x y y x y= + − − + .

VD 6. Cho hàm số 50 20

( 0, 0)z xy x yx y

= + + > > .

Khẳng định đúng là: A. z đạt cực tiểu tại (2; 5)M và giá trị cực tiểu 39z = .

B. z đạt cực tiểu tại (5; 2)M và giá trị cực tiểu 30z = . C. z đạt cực đại tại (2; 5)M và giá trị cực đại 39z = .

D. z đạt cực đại tại (5; 2)M và giá trị cực đại 30z = .


a) Phương pháp khử • Từ phương trình ( , ) 0x yϕ = ta rút x hoặc y thế vào

( , )f x y , sau đó tìm cực trị của hàm một biến.

4.5. Cực tr ị có điều kiện (cực trị vướng) • Cho hàm số ( , )f x y xác định trên lân cận của điểm

0 0 0( , )M x y thuộc đường cong ( ) : ( , ) 0x yγ ϕ = .

Nếu tại điểm 0

M , hàm ( , )f x y đạt cực trị thì ta nói 0

M

là điểm cực trị có điều kiện của ( , )f x y với điều kiện

( , ) 0x yϕ = .

• Để tìm cực trị có điều kiện của hàm số ( , )f x y ta dùng

phương pháp khử hoặc nhân tử Lagrange.





VD 7. Tìm điểm cực trị của hàm 2z x y= thỏa điều kiện: 3 0x y− + = .

b) Phương pháp nhân tử Lagrange

Tại điểm cực trị ( , )x y của f , gọi //

/ /

yx

x y

ffλ = − =−

ϕ ϕ là

nhân tử Lagrange. Để tìm cực trị ta thực hiện các bước:

• Bước 1. Lập hàm phụ (hàm Lagrange): ( , , ) ( , ) ( , ).L x y f x y x yλ = + λϕ

• Bước 2. Giải hệ: 0, 0, 0x y

L L Lλ′ ′ ′= = =

Suy ra điểm dừng 0 0 0( , )M x y ứng với

0λ .


• Bước 4. Từ điều kiện ràng buộc (1) và (2), ta có:

Nếu 20

( ) 0d L M > thì ( , )f x y đạt cực tiểu tại 0

M .

Nếu 20

( ) 0d L M < thì ( , )f x y đạt cực đại tại 0

M .

Nếu 20

( ) 0d L M = thì 0

M không là điểm cực trị.

• Bước 3. Tính vi phân cấp 2 tại 0 0 0( , )M x y ứng với

0λ :

2 2

2 2 20

( ) 2 .xyx y

d L M L dx L dxdy L dy′′ ′′ ′′= + +

Các vi phân ,dx dy phụ thuộc vào điều kiện ràng buộc:

0 0 0 0 0 02 2

( , ) ( , ) ( , ) 0 (1)

( ) ( ) 0 (2).

x yd x y x y dx x y dy

dx dy

′ ′ ϕ = ϕ + ϕ = + >


VD 11. Tìm cực trị của hàm số ( , ) 10 40f x y x y= + thỏa

điều kiện 20xy = và , 0x y > .

VD 8. Tìm điểm cực trị của hàm số ( , ) 2f x y x y= +

với điều kiện 2 2 5x y+ = .

VD 9. Tìm giá trị cực trị của hàm số 2 2z x y= + thỏa

điều kiện 2 2 3 4x y x y+ = + .

VD 10. Tìm điểm cực trị của hàm z xy= thỏa điều kiện: 2 2

18 2

x y+ = .


• Bước 1. Tìm các điểm cực trị tự do 1, ...,

nN N trong D

(chỉ cần tìm điểm dừng).

4.6. Giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm hai biến trên miền đóng, bị chặn (cực trị toàn cục) Cho miền 2D ⊂ ℝ đóng có biên : ( , ) 0D x y∂ ϕ = và

( , )f x y là hàm liên tục trên D , khả vi trong D mở (có

thể không khả vi tại m điểm 1, ...,

mM M ). Giả sử biên

D∂ trơn, nghĩa là hàm ϕ khả vi. Để tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của f trên D , ta thực hiện các bước sau:

• Bước 2. Tìm các điểm cực trị 1, ...,

pP P trên biên D∂

thỏa điều kiện ( , ) 0x yϕ = (chỉ cần tìm điểm dừng).


VD 12. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

2 2( , )f x y x y= + trong miền 2 2 3:

4D x x y− + ≤ .

• Bước 3. Giá trị max ( , ), min ( , )D D

f x y f x y tương ứng là

giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong tất cả các giá trị sau:

1( ), ..., ( )

mf M f M ,

1( ), ..., ( )

nf N f N ,

1( ), ..., ( )

pf P f P .

VD 13. Cho hàm số 2 2( , )f x y x y xy x y= + − + + . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của ( , )f x y trong miền

: 0, 0, 3D x y x y≤ ≤ + ≥− . VD 14. Tìm max, min của =sin +sin +sin( + )z x y x y

trong miền : 0 , 02 2

D x yπ π

≤ ≤ ≤ ≤ . ………………………………………………………

ChươngChương 2. 2. TTííchch phânphân bbộộii§1. Tích phân bội hai (tích phân kép) §2. Tích phân bội ba §3. Ứng dụng của tích phân bội

…………………………..

§1. TÍCH PHÂN BỘI HAI 1.1. Bài toán mở đầu (thể tích khối tr ụ cong) • Xét hàm số ( , )z f x y=

liên tục, không âm và một mặt trụ có các đường sinh song song với Oz , đáy là miền phẳng đóng D trong mpOxy .




ChươngChương 2. 2. TTííchch phânphân bbộộii

• Để tính thể tích khối trụ, ta chia miền D thành n phần

không dẫm lên nhau i

S∆ , 1;i n= . Diện tích mỗi phần

cũng ký hiệu là i

S∆ . Khi đó, khối trụ cong được chia

thành n khối trụ nhỏ. Trong mỗi phần i

S∆ ta lấy điểm

( ; )i i i

M x y tùy ý và thể tích V của khối trụ là:

1

( ; )n

i i ii

V f x y S=

≈ ∆∑ .

• Gọi max ( , ) ,i i

d d A B A B S= ∈ ∆ là đường kính của

iS∆ . Ta có:

max 01

lim ( ; ) .i

n

i i id

i

V f x y S→ =

= ∆∑


1.2. Tích phân bội hai a) Định nghĩa • Cho hàm số ( , )f x y xác định trên miền D đóng và bị

chặn trong mặt phẳng Oxy . Chia miền D một cách tùy ý thành n phần không dẫm

lên nhau, diện tích mỗi phần là i

S∆ , 1;i n= .

Lấy n điểm tùy ý ( ; )i i i i

M x y S∈ ∆ , 1;i n= . Khi đó,

1

( ; )n

n i i ii

I f x y S=

= ∆∑ được gọi là tổng tích phân của

( , )f x y trên D (ứng với phân hoạch i

S∆ và các điểm

chọn i

M ).


• Nếu giới hạn max 0

1

lim ( , )i

n

i i id

i

I f x y S→ =

= ∆∑ tồn tại hữu

hạn, không phụ thuộc vào phân hoạch i

S∆ và cách chọn

điểm i

M thì số thực I được gọi là tích phân bội hai của hàm số ( , )f x y trên miền D .

Ký hiệu là: ( , )

D

I f x y dS= ∫∫ .

• Chia miền D bởi các đường thẳng song song với Ox , Oy ta được .

i i iS x y∆ = ∆ ∆ hay dS dxdy= .

Vậy ( , ) ( , ) .

D D

I f x y dS f x y dxdy= =∫∫ ∫∫


• Nếu tồn tại tích phân ( , )

D

f x y dxdy∫∫ , ta nói hàm số

( , )f x y khả tích trên miền D ; ( , )f x y là hàm dưới dấu

tích phân; x và y là các biến tích phân. Nhận xét ( )

D

S D dxdy= ∫∫ (diện tích của miền D ).

Nếu ( , ) 0f x y > , liên tục trên D thì thể tích hình trụ có

các đường sinh song song với Oz , hai đáy giới hạn bởi

các mặt 0z = , ( , )z f x y= là ( , )

D

V f x y dxdy= ∫∫ .


b) Định lý Hàm ( , )f x y liên tục trong miền D đóng và bị chặn thì

khả tích trong D .

1.3. Tính chất của tích phân bội hai Giả thiết rằng các tích phân dưới đây đều tồn tại.

• Tính chất 1. ( , ) ( , )

D D

f x y dxdy f u v dudv=∫∫ ∫∫ .

• Tính chất 2

[ ( , ) ( , )]

D D D

f x y g x y dxdy fdxdy gdxdy± = ±∫∫ ∫∫ ∫∫ ;

( , ) ( , ) ,

D D

kf x y dxdy k f x y dxdy k= ∈∫∫ ∫∫ ℝ.


• Tính chất 3 Nếu chia miền D thành

1 2,D D bởi đường cong có diện

tích bằng 0 thì:

1 2

( , ) ( , ) ( , )

D D D

f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy= +∫∫ ∫∫ ∫∫ .

1.4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH 1.4.1. Đưa về tích phân lặp a) Định lý (Fubini ) Giả sử tích phân ( , )

D

I f x y dxdy= ∫∫ tồn tại, trong đó

1 2( , ) : , ( ) ( )D x y a x b y x y y x= ≤ ≤ ≤ ≤ ,





và với mỗi [ ; ]x a b∈ cố định, 2

1

( )

( )

( , )

y x

y x

f x y dy∫ tồn tại.

Khi đó: 2

1

( )

( )

( , ) .

y xb

a y x

I dx f x y dy= ∫ ∫

Tương tự, nếu miền D là:

1 2( , ) : ( ) ( ), D x y x y x x y c y d= ≤ ≤ ≤ ≤

thì 2

1

( )

( )

( , ) .

x yd

c x y

I dy f x y dx= ∫ ∫


Chú ý

1) Nếu miền D là hình chữ nhật, ( , ) : , [ ; ] [ ; ]D x y a x b c y d a b c d= ≤ ≤ ≤ ≤ = × thì:

( , ) ( , ) = ( , ) .

b d d b

D a c c a

f x y dxdy dx f x y dy dy f x y dx=∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2) Nếu 1 2

( , ) : , ( ) ( )D x y a x b y x y y x= ≤ ≤ ≤ ≤ và ( , ) ( ). ( )f x y u x v y= thì:

2

1

( )

( )

( , ) ( ) ( ) .

y xb

D a y x

f x y dxdy u x dx v y dy=∫∫ ∫ ∫


3) Nếu 1 2

( , ) : ( ) ( ), D x y x y x x y c y d= ≤ ≤ ≤ ≤

và ( , ) ( ). ( )f x y u x v y= thì:

2

1

( )

( )

( , ) ( ) ( ) .

x yd

D c x y

f x y dxdy v y dy u x dx=∫∫ ∫ ∫

4) Nếu D là miền phức tạp thì ta chia D ra thành những miền đơn giản.

VD 1. Cho ( , )

D

I f x y dxdy= ∫∫ . Xác định cận tích phân

lặp với miền D giới hạn bởi 0, 2 , 0y y x x a= = = > .


VD 2. Tính tích phân 26

D

I xy dxdy= ∫∫ .

Trong đó, [0; 2] [ 1; 1]D = × − .


VD 3. Tính tích phân (2 )

D

I x y dxdy= +∫∫ .

Trong đó, 1 , 2 0D y x y y= ≤ ≤ − − ≤ ≤ .

VD 4. Tính tích phân

D

I ydxdy= ∫∫ ,

trong đó miền D giới hạn bởi các đường

22,y x y x= + = .


VD 5. Tính tích phân D

I ydxdy= ∫∫ , trong đó miền D

giới hạn bởi các đường 24, 2y x y x= − = .





b) Đổi thứ tự lấy tích phân

2

1

( )

( )

( , )

y xb

a y x

I dx f x y dy= ∫ ∫2

1

( )

( )

( , )

x yd

c x y

I dy f x y dx= ∫ ∫


VD 6. Đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân sau: 23

1 0

( , )

y

I dy f x y dx= ∫ ∫ .


VD 7. Đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân sau: 21 2

0

( , )

x

x

I dx f x y dy

−

= ∫ ∫ .


VD 8. Đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân sau:

2 2

1 3 1

0 1

9 9

( , ) ( , )

x

x x

I dx f x y dy dx f x y dy= +∫ ∫ ∫ ∫ .


1.4.2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN a) Công thức đổi biến tổng quát Giả sử ( , )x x u v= , ( , )y y u v= là hai hàm số có các đạo

hàm riêng liên tục trên miền đóng bị chặn uv

D trong

mpOuv . Gọi xy

D là miền xác định bởi:

( , ) : ( , ), ( , ), ( , ) xy uv

D x y x x u v y y u v u v D= = = ∈ .

Nếu hàm ( , )f x y khả tích trên xy

D và Jacobien

( , )0

( , )u v

u v

x xx yJ

y yu v

′ ′∂= = ≠′ ′∂

trong uv

D

thì ( , ) ( ( , ), ( , )). .

xy uvD D

f x y dxdy f x u v y u v J dudv=∫∫ ∫∫


Chú ý. ( , ) 1 1

( , ) ( , )

( , )

u v

u v x y

x y

x xx yJ

y yu v u v u u

x y v v

′ ′∂= = = =

′ ′ ′ ′∂ ∂∂ ′ ′

.

VD 9. Tính 2 2( )

D

I x y dxdy= −∫∫ , với miền D là hình

chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳng: 1, 3, 2, 5x y x y x y x y+ = + = − = − = .





VD 10. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 4 parapol: 2 2, 2 ,y x y x= = 2 2, 3x y x y= = .


b) Đổi biến trong tọa độ cực

Trong mpOxy , xét miền D . Vẽ 2 tia ,OA OB tiếp xúc với

miền D và

( ) ( ), , ,Ox OA Ox OB= α = β

.

Khi đó:

( )1 2

, .

OM OM OMM D

Ox OM

≤ ≤∈ ⇔ α ≤ ≤ β


Đặt cos

sin

x r

y r

= ϕ = ϕ với ( ), ,r OM Ox OM= ϕ =

.

Khi đó, miền D trở thành:

1 2( , ) : ( ) ( ),

rD r r r rϕ = ϕ ϕ ≤ ≤ ϕ α ≤ ϕ ≤ β .

Ta có cos sin( , )

sin cos( , )r

r

rx xx yJ r

y y rr

ϕ

ϕ

′ ′ ϕ − ϕ∂= = = =

′ ′ ϕ ϕ∂ ϕ.

Vậy: 2

1

( )

( )

( , ) ( cos , sin ). .

xy

r

D r

f x y dxdy d f r r rdr

ϕβ

α ϕ

= ϕ ϕ ϕ∫∫ ∫ ∫


Chú ý

1) Đổi biến trong tọa độ cực thường dùng khi biên của Dlà đường tròn hoặc elip.

2) Để tìm 1 2( ), ( )r rϕ ϕ ta thay cos , sinx r y r= ϕ = ϕ

vào phương trình của biên D .

3) Nếu cực O nằm trong D và mỗi tia từ O chỉ cắt biênD tại 1 điểm thì:

( )2

0 0

( cos , sin )

r

I d f r r rdr

ϕπ

= ϕ ϕ ϕ∫ ∫ .


4) Nếu cực O nằm trên biên của D thì: ( )

0

( cos , sin )

r

I d f r r rdr

ϕβ

α

= ϕ ϕ ϕ∫ ∫ .

5) Nếu biên của D là elip 2 2

2 21

x y

a b+ = thì ta đặt:

cos , sinx ra y rb= ϕ = ϕ . Khi đó, D trở thành hình tròn:

( , ) : 0 2 , 0 1r

D r rϕ = ϕ ≤ ϕ ≤ π ≤ ≤ .

Ta có Jacobien J abr= và: 2 1

0 0

( cos , sin )I ab d f ra rb rdr

π

= ϕ ϕ ϕ∫ ∫ .


VD 11. Hãy biểu diễn tích phân ( , )

D

I f x y dxdy= ∫∫

trong tọa độ cực. Biết miền D nằm ngoài đường tròn 2 2

1( ) : 2C x y x+ = và nằm trong 2 2

2( ) : 4C x y x+ = .





VD 12. Tính tích phân 2 2( )x y

D

I e dxdy− += ∫∫ , trong đó

D là hình tròn 2 2 2x y R+ ≤ .

VD 13. Tính tích phân 2 2

4

D

x yI dxdy

a b

= − − ∫∫ ,

D giới hạn bởi 2 elip nằm trong góc phần tư thứ nhất: 2 2 2 2

1 2( ) : 1, ( ) : 1

2 2

x y x yE E

a b a b

+ = + = .


VD 14. Tính diện tích miền D (cắt tia Oy ) giới hạn bởi:

y x=− , 0y = và 2 2 2 23 3x y x y x+ = + − .


Công thức Walliss

1) 2 2

0 0

( 1)!!,

!!sin cos

( 1)!!. ,

2 !!

n n

nn

nxdx xdx

nn

n

π π −= = −π

∫ ∫leû

chaün.

Trong đó, !!n đọc là n Walliss, định nghĩa như sau:

0!! 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4 !! 2.4;= = = = =

5!! 1.3.5; 6!! 2.4.6; 7 !! 1.3.5.7; 8!! 2.4.6.8;...= = = =


2) 0

( 1)!!2. ,

!!sin

( 1)!!. ,

!!

n

nn

nxdx

nn

n

π

−= −π

∫leû

chaün.

0

0,

( 1)!!cos. ,

!!

n

n

nxdxn

n

π −= π

∫leû

chaün.

3) 2 2

0 0

0,

( 1)!!sin cos2 . ,

!!

n n

n

nxdx xdxn

n

π π −= = π

∫ ∫leû

chaün.


VD. 2

2

0

1!!sin .

2 2!! 4xdx

π

π π= =∫ ,

25

0

4 !! 8cos

5!! 15xdx

π

= =∫ ,

5

0

cos 0xdx

π

=∫ , 6

0

5!! 15sin .

6!! 48xdx

ππ

= π =∫ ,

2

7

0

sin 0xdx

π

=∫ , 2

6

0

5!! 15cos 2 .

6!! 24xdx

ππ

= π =∫ .

………………………………………………………………………


§2. TÍCH PHÂN BỘI BA 2.1. Bài toán mở đầu (khối lượng vật thể) • Giả sử ta cần tính khối lượng của vật thể V không đồng chất, biết mật độ (khối lượng riêng) tại điểm ( , , )P x y z là

( ) ( , , )P x y zρ ρ ρ= = .

• Ta chia V thành n phần tùy ý không dẫm lên nhau, thể

tích mỗi phần là i

V∆ , 1,i n= . Trong mỗi i

V∆ ta lấy

điểm ( , , )i i i i

P x y z và ký hiệu đường kính của i

V∆ là i

d .

Khi đó, khối lượng của V xấp xỉ: 1

( ).n

i ii

m P Vρ=

≈ ∆∑ .

• Vậy max 0

1

lim ( ).i

n

i idi

m P Vρ→

=

= ∆∑ (nếu giới hạn hữu hạn).





2.2. Định nghĩa tích phân bội ba • Cho hàm số ( , , )f x y z xác định trong miền đo được Vtrong không gian Oxyz . Chia miền V như bài toán

mở đầu và lập tổng tích phân 1

: ( , , )n

n i i i ii

I f x y z V=

= ∆∑ .

• Nếu max 0

1

lim ( , , )i

n

i i i id

i

I f x y z V→ =

= ∆∑ tồn tại hữu hạn,

không phụ thuộc vào cách chia miền V và cách chọn điểm

iP thì số thực I được gọi là tích phân bội ba của

hàm số ( , , )f x y z trên V .

Ký hiệu: ( , , ) .

V

I f x y z dxdydz= ∫∫∫


• Nếu tồn tại tích phân, ta nói ( , , )f x y z khả tích; ( , , )f x y z

là hàm dưới dấu tích phân; , ,x y z là các biến tích phân.

• Hàm số ( , , )f x y z liên tục trong miền V bị chặn và đóng thì khả tích trong V .

Nhận xét

Nếu 0f ≥ trên V thì ( , , )

V

I f x y z dxdydz= ∫∫∫ là khối

lượng vật thể V , với khối lượng riêng vật chất chiếm thể tích V là ( , , )f x y z .

Đặc biệt, nếu ( , , ) 1f x y z ≡ thì I là thể tích của V .

Tích phân bội ba có các tính chất như tích phân kép.

ChươngChương 2. 2. MMộộtt ssốố mmặặtt bbậậcc haihai

MMẶẶT CT CẦẦUU

2 2 2 2( ) ( ) ( )x a y b z c R− + − + − =


MMẶẶT TRT TRỤỤ TRÒNTRÒN

2 2 2( ) ( )x a y b R− + − =


MMẶẶT TRT TRỤỤ ELIPELIP

2 2

2 21

x y

a b+ =


MMẶẶT TRT TRỤỤ PARABOLPARABOL

2y ax=





MMẶẶT NT NÓÓNN

2 2z x y= +


MMẶẶT PARABOLICT PARABOLIC

2 2z x y= +


MMẶẶT PARABOLICT PARABOLIC

2 2z a x y= − −


MMẶẶT ELIPSOIDT ELIPSOID

2 2 2

2 2 21

x y z

a b c+ + =


2.3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH

2.3.1. Đưa về tích phân lặp a) Chiếu miền V lên mpOxy Giả sử miền V có giới hạn trên bởi mặt

2( , )z z x y= ,

giới hạn dưới bởi 1( , )z z x y= , giới hạn xung quanh bởi

mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz . Gọi

xyD là hình chiếu của V trên mpOxy .

Khi đó: 2

1

( , )

( , )

( , , ) ( , , ) .

xy

z x y

V D z x y

f x y z dxdydz dxdy f x y z dz=∫∫∫ ∫∫ ∫


Đặc biệt

• Nếu 1 2

( , ) : , ( ) ( )xy

D x y a x b y x y y x= ≤ ≤ ≤ ≤ thì:

2 2

1 1

( ) ( , )

( ) ( , )

( , , ) ( , , ) .

y x z x yb

V a y x z x y

f x y z dxdydz dx dy f x y z dz=∫∫∫ ∫ ∫ ∫

• Nếu

1 2( , ) : ( ) ( ),

xyD x y x y x x y c y d= ≤ ≤ ≤ ≤ thì:

2 2

1 1

( ) ( , )

( ) ( , )

( , , ) ( , , ) .

x y z x yd

V c x y z x y

f x y z dxdydz dy dx f x y z dz=∫∫∫ ∫ ∫ ∫





b) Chiếu miền V lên mpOxz

Giả sử miền V có giới hạn (theo chiều ngược với tia Oy )bởi hai mặt

2( , )y y x z= và

1( , )y y x z= , giới hạn xung

quanh bởi mặt trụ có đường sinh song song với trục Oy .

Gọi xz

D là hình chiếu của V trên mpOxz . Khi đó:

2

1

( , )

( , )

( , , ) ( , , ) .

xz

y x z

V D y x z

f x y z dxdydz dxdz f x y z dy=∫∫∫ ∫∫ ∫


c) Chiếu miền V lên mpOyz Giả sử miền V có giới hạn (theo chiều ngược với tia Ox )bởi hai mặt

2( , )x x y z= và

1( , )x x y z= , giới hạn xung

quanh bởi mặt trụ có đường sinh song song với trục Ox .

Gọi yz

D là hình chiếu của V trên mpOyz . Khi đó:

2

1

( , )

( , )

( , , ) ( , , ) .

yz

x y z

V D x y z

f x y z dxdydz dydz f x y z dx=∫∫∫ ∫∫ ∫

Đặc biệt. Nếu miền [ ; ] [ ; ] [ ; ]V a b c d e f= × ×

thì ( , , ) ( , , ) .

fb d

V a c e

f x y z dxdydz dx dy f x y z dz=∫∫∫ ∫ ∫ ∫



V

I xyzdxdydz= ∫∫∫ với miền V

là hình hộp chữ nhật [1; 2] [ 1; 3] [0; 2]V = × − × .

A. 12I = ; B. 24I = ; C. 48I = ; D. 96I = .

VD 2. Tính tích phân lặp

2

1 1 2

1 0

(1 2 )

x

I dx dy z dz

−

= +∫ ∫ ∫

và dựng miền lấy tích phân V .


VD 3. Tính tích phân V

I ydxdydz= ∫∫∫ với miền V

giới hạn bởi 1x y z+ + = và 3 mặt phẳng tọa độ.


2.3.2. CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN TỔNG QUÁT Giả sử ( , , )x x u v w= , ( , , )y y u v w= , ( , , )z z u v w= có đạo hàm riêng liên tục trong miền

uvwV đóng bị chặn

trong không gian Ouvw .

Nếu Jacobien ( , , )

0( , , )

u v w

u v w

u v w

x x xx y z

J y y yu v w

z z z

′ ′ ′∂ ′ ′ ′= = ≠∂

′ ′ ′ thì

( , , )

( ( , , ), ( , , ), ( , , )). . .

uvw

V

V

f x y z dxdydz

f x u v w y u v w z u v w J dudvdw=

∫∫∫

∫∫∫


VD 5. Tính thể tích của khối elipsoid

2 2 2

2

2 2 2:x y z

V Ra b c+ + ≤

( , , , 0)a b c R > .

VD 4. Tính thể tích vật thể V xác định bởi: 2x y z x y z x y z− + + + − + + + − ≤ .





2.3.3. Đổi biến trong tọa độ trụ

Đặt

cos

sin

x r

y r

z z

= ϕ = ϕ =

, 0r ≥ ,

[0; 2 ]ϕ ∈ π hoặc [ ; ]ϕ ∈ −π π .

ϕ

Jacobien r z

r z

r z

x x x

J y y y r

z z z

ϕ

ϕ

ϕ

′ ′ ′

′ ′ ′= =′ ′ ′

.

ChươngChương 2. 2. TTííchch phânphân bbộộiiKhi đó ta có:

( , , )

( cos , sin , ). . .

r z

V

V

f x y z dxdydz

f r r z r drd dz

ϕ

= ϕ ϕ ϕ

∫∫∫

∫∫∫

VD 6. Tính tích phân:

2 2

V

I z x y dxdydz= +∫∫∫ ,

với V là khối hình trụ giới hạn bởi:

2 2 2x y y+ = , 0z = và 1z = .


VD 7. Tính 2 2 2( )

V

I x y z dxdydz= + +∫∫∫ với V là

khối hình nón giới hạn bởi 2 2 2x y z+ = và 1z = .


2.3.3. Đổi biến trong tọa độ cầu

Đặt

sin cos ,

sin sin ,

cos ,

x r

y r

z r

= θ ϕ = θ ϕ = θ

0, [0; 2 ], [0; ]r ≥ ϕ ∈ π θ ∈ π

ϕ

θ

Jacobien ( , , )

( , , )

x y zJ

r

∂=∂ ϕ θ

2 sin .r

r

r

x x x

y y y r

z z z

ϕ θ

ϕ θ

ϕ θ

′ ′ ′′ ′ ′= = θ′ ′ ′

ChươngChương 2. 2. TTííchch phânphân bbộộiiKhi đó ta có:

2( , , ) . sin . .

rV V

f x y z dxdydz f r drd d

ϕθ

= θ ϕ θ∫∫∫ ∫∫∫

Với ( , , ) ( sin cos , sin sin , cos )f f x y z f r r r≡ = θ ϕ θ ϕ θ .

VD 8. Tính tích phân:

2 2 2

V

dxdydzI

x y z

=+ +

∫∫∫ .

Trong đó

V : 2 2 21 4x y z≤ + + ≤ .


VD 9. Tính tích phân 2 2( )

V

I x y dxdydz= +∫∫∫ với V

là miền giới hạn bởi: 2 2 2 4, 0x y z y+ + ≤ ≥ và 0z ≥ .





……………………………………………………………

VD 10. Tính tích phân 2 2 2

V

I x y z dxdydz= + +∫∫∫ ,

trong đó V là miền giới hạn bởi: 2 2 2 0x y z z+ + − ≤ .


§3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN B ỘI

3.1. Tính thể tích V của vật thể

Thể tích V của vật thể có đường sinh song song với Oz

và hình chiếu trên Oxy là D , hai đáy giới hạn bởi các mặt

1 2( , ) ( , )z f x y z f x y= ≤ = là:

2 1( , ) ( , ) .

D

V f x y f x y dxdy = − ∫∫

Thể tích của vật thể Ω là:

( ) .V dxdydz

Ω

Ω = ∫∫∫


VD 1. Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi

phần hình trụ 2 2 1x y+ = và hai mặt phẳng 5 0x y z+ + − = , 2z = .


VD 2. Tính thể tích vật thể V giới hạn bởi

phần hình trụ 2 2 2 0x y y+ − = nằm trong

hình cầu 2 2 2 4x y z+ + = ứng với 0z ≥ .

V


VD 3. Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi các mặt: 2 2 4x y z+ = − , 2 2 2x y+ ≥ và 0z = .


3.2. Giá trị trung bình của hàm trên miền đóng Giá trị trung bình của hàm ( , )f x y trên miền 2D ⊂ ℝ

đóng và bị chặn là: 1

( , ) .( )

D

f f x y dxdyS D

= ∫∫

Giá trị trung bình của hàm ( , , )f x y z trên miền 3Ω ⊂ ℝđóng và bị chặn là:

1( , , ) .

( )f f x y z dxdydz

VΩ

=Ω ∫∫∫

VD 4. Tính giá trị trung bình của ( , ) cosf x y x xy= trong hình chữ nhật :D 0 x≤ ≤ π, 0 1y≤ ≤ .




ChươngChương 2. 2. TTííchch phânphân bbộộii VD 5. Tính giá trị trung bình của ( , , )f x y z xyz= trong

hình lập phương Ω = [0; 2]×[0; 2]×[0; 2].

3.3. Khối lượng m của vật thể Xét bản phẳng chiếm miền 2D ⊂ ℝ (đóng và bị chặn)

có khối lượng riêng (mật độ khối lượng hay tỉ khối) tại điểm ( , )M x y D∈ là hàm ( , )x yρ liên tục trên D .

Khi đó, khối lượng của bản phẳng là:

( , ) .D

m x y dxdyρ= ∫∫

VD 6. Tính khối lượng của bản phẳng chiếm miền D

giới hạn bởi 2 2 4x y+ ≤ , 0x ≥ và 0y ≥ . Biết tỉ khối phẳng là hàm ( , )x y xyρ = .


Xét vật thể chiếm miền 3V ⊂ ℝ (đóng và bị chặn) có khối lượng riêng là hàm ( , , )x y zρ liên tục trên V .

Khi đó, khối lượng của vật thể là:

( , , ) .V

m x y z dxdydzρ= ∫∫∫

VD 7. Tính khối lượng của vật thể chiếm miền V giới hạn bởi các mặt:

z x y= + , 1x y+ = và 3 mặt phẳng tọa độ. Biết khối lượng riêng là hàm ( , , )x y z xρ = .


3.4. Trọng tâm của vật thể Tọa độ trọng tâm G của bản phẳng D có khối lượng

riêng ( , )x yρ liên tục trên D là:

1 1( , ) , ( , ) .

G G

D D

x x x y dxdy y y x y dxdym m

ρ ρ= =∫∫ ∫∫

Tương tự, tọa độ trọng tâm G của vật thể V là: 1

( , , ) ,

1( , , ) ,

1( , , ) .

G

V

G

V

G

V

x x x y z dxdyzm

y y x y z dxdyzm

z z x y z dxdyzm

ρ

ρ

ρ

=

=

=

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫


VD 8. Tìm tọa độ trọng tâm hình phẳng D giới hạn bởi 0, 0, 1x y x y≥ ≥ + ≤ . Biết ( , ) 2x y x yρ = + .

VD 9. Tìm tọa độ trọng tâm của vật thể đồng chất V

giới hạn bởi 0z = , 2 22z x y= − − và 2 2 1x y+ = . Giải. Vật thể đồng chất nên ( , , )x y z kρ = ∈ ℝ .

• Ta có: V

m k dxdydz m kV= ⇒ =∫∫∫

1G

V V

kx xdxdyz xdxdyz

m V⇒ = =∫∫∫ ∫∫∫ .

…………………………………………………………..

ChươngChương 3. 3. TTííchch phânphân đưđườờngng –– TTííchch phânphân mmặặtt

§1. Tích phân đường loại 1 §2. Tích phân đường loại 2 §3. Tích phân mặt loại 1 §4. Tích phân mặt loại 2 ………………………………………………………

§1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I

1.1. Định nghĩa

• Giả sử đường cong L trong mặt phẳng Oxy có phương trình tham số ( ),x x t= ( )y y t= với [ ; ]t a b∈ và ( , )f x y

là hàm số xác định trên L.

Chia L thành n cung không dẫm lên nhau bởi các điểm chia ứng với

0 1...

na t t t b= < < < = .


•

•

•

•

O x

y

0tx

1it

x− i

tx

nt

x

L• Gọi độ dài cung thứ i là

is∆ .

Trên cung thứ i lấy điểm ( ( ), ( ))

i i iM x t y t tùy ý.

is∆•

iM

Tổng 1

( )n

n i ii

I f M s=

= ∆∑

được gọi là tổng tích phân đường loại 1 của hàm số( , )f x y trên đường cong L .

• Giới hạn 0

1

lim ( )i

n

i imax s

i

f M s∆ → =

∆∑ tồn tại hữu hạn

được gọi là tích phân đường loại 1 của ( , )f x y trên L .





được định nghĩa tương tự.

Nhận xét Tích phân đường loại 1 có tất cả các tính chất của tích

phân xác định.

Ký hiệu là ( , )

L

f x y ds∫ hay ( , )

L

f x y dl∫ .

• Tích phân đường loại 1 của hàm số ( , , )f x y z trên đường

cong L trong không gian, ký hiệu là ( , , )

L

f x y z ds∫ ,

Tích phân đường loại 1 không phụ thuộc vào chiều của

cung AB , nghĩa là:

.

AB BA

fds fds=∫ ∫


1.2. Sự tồn tại tích phân đường loại 1 a) Khái niệm đường cong trơn Đường cong L có phương trình ( )x x t= , ( )y y t= được gọi là trơn nếu các đạo hàm ( )x t′ , ( )y t′ tồn tại và không

đồng thời bằng 0. Nói cách khác, đường cong L được gọi là trơn nếu tại mọi điểm M L∈ đều vẽ được tiếp tuyến với L .

b) Định lý

Nếu đường cong L trơn từng khúc (hay từng đoạn) và

hàm số f liên tục trên L thì tích phân L

fds∫ tồn tại.


1.3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH a) Đường cong L có phương trình tham số • Nếu đường cong L trong mặt phẳng có phương trình

( )x x t= , ( )y y t= , với a t b≤ ≤ thì:

( ) ( )2 2( , ) ( ( ), ( )) .

b

t t

L a

f x y ds f x t y t x y dt′ ′= +∫ ∫

• Nếu đường cong L trong không gian có phương trình ( )x x t= , ( )y y t= , ( )z z t= với a t b≤ ≤ thì:

( ) ( ) ( )2 2 2( , , ) . .

b

t t t

L a

f x y z ds f x y z dt′ ′ ′= + +∫ ∫

Trong đó, ( ( ), ( ), ( ))f f x t y t z t≡ .


VD 1. Tính tích phân L

I xds= ∫ .

Trong đó, L là cung tròn có phương trình tham số:

cosx t= , siny t= , 6 3

tπ π≤ ≤ .

VD 2. Tính tích phân ( )

L

I x y dl= −∫ . Trong đó, L là

đoạn thẳng nối điểm (0; 2)A và điểm ( 2; 3)B − − .

VD 3. Tính tích phân 2(1 2 )2

L

I x ydl= −∫ . Trong đó, L

là đoạn thẳng nối điểm (1; 3)A − và điểm (1; 7)B − .


VD 4. Tính tích phân (2 )

L

I xy z ds= +∫ . Trong đó, L là

đường xoắn ốc trụ tròn xoay có phương trình tham số: cosx a t= , siny a t= , z bt= , 0 2t≤ ≤ π.

VD 5*. Tính tích phân 2 41 4 4L

ydsI

x x

=+ −

∫ .

Trong đó, L là phần giao tuyến giữa 2 mặt: 2 22 2z x y= − − , 2z x=

và nằm trong góc phần 8 thứ nhất nối từ điểm (0; 1; 0)A

đến điểm (1; 0; 1)B .


b) Đường cong L có phương trình tổng quát

• Nếu L có phương trình ( )y y x= với a x b≤ ≤ thì:

( )2( , ) ( , ( )). 1 .

b

x

L a

f x y ds f x y x y dx′= +∫ ∫

• Nếu L có phương trình ( )x x y= với a y b≤ ≤ thì:

( )2( , ) ( ( ), ). 1 .

b

y

L a

f x y ds f x y y x dy′= +∫ ∫





Đặc biệt • Nếu L có phương trình y = α ∈ ℝ với a x b≤ ≤ thì:

( , ) ( , ) .

b

L a

f x y ds f x dx= α∫ ∫

• Nếu L có phương trình x = α ∈ ℝ với a y b≤ ≤ thì:

( , ) ( , ) .

b

L a

f x y ds f y dy= α∫ ∫


VD 6. Tính tích phân ( )

L

I x y ds= +∫ với L là OAB∆

có các đỉnh (0; 0), (1; 0), (1; 2)O A B .


2

2

81 92

81 8C

xI x ds

x

−=

−∫ .

Trong đó, C là cung

2

2 19

xy+ =

nằm trong góc phần tư thứ ba.


c) Đường cong L trong tọa độ cực

• Nếu phương trình của đường cong L được cho trong tọa độ cực ( )r r= ϕ với α ≤ ϕ ≤ β thì ta xem ϕ là tham số.

Khi đó, phương trình của L là:

( )cos ,x r= ϕ ϕ ( )sin ,y r= ϕ ϕ .α ≤ ϕ ≤ β

• Đặt ( ( )cos , ( )sin )f f r r≡ ϕ ϕ ϕ ϕ , ta có công thức:

( )22( , ) . .

L

f x y ds f r r d

β

ϕα

′= + ϕ∫ ∫


VD 8. Tính tích phân 2 2

L

I x y ds= +∫ . Trong đó, L

là đường tròn có phương trình 2 2( ) : 4 0C x y y+ − = .

cos

sin

x r

y r

ϕ

ϕ

= =


1.4. Ứng dụng của tích phân đường loại 1 a) Tính độ dài của cung

VD 9. Tính độ dài l của cung 2

2

1: , 1; 3

ln 1

x tL t

y t t

= + ∈ = + +

.

Độ dài l của cung L là .

L

l ds= ∫

VD 10. Tính độ dài l của cung : (1 cos ), [0; ]L r a= + ϕ ϕ ∈ π .


b) Tính khối lượng m và trọng tâm G của cung Nếu cung L có hàm mật độ khối lượng ρ phụ thuộc vào điểm M L∈ thì khối lượng của cung là:

.L

m dsρ= ∫

VD 11. Tính độ dài cung tròn 2 2( ) : 2 0C x y x+ − = nối

từ điểm 3 3;

2 2A

đến

1 3;

2 2B −

và không đi qua O .





Trọng tâm G của cung L ứng với ( , )x yρ ρ= là:

1 1( , ) , ( , ) .

G G

L L

x x x y ds y y x y dsm m

ρ ρ= =∫ ∫

Trọng tâm G của cung L ứng với ( , , )x y zρ ρ= là:

1 1 1, , .

G G G

L L L

x x ds y y ds z z dsm m m

ρ ρ ρ= = =∫ ∫ ∫

VD 12. Cho một dây thép có dạng nửa đường tròn trong mpOyz với phương trình 2 2 1y z+ = , 0z ≥ .

Biết hàm mật độ khối lượng ( , , ) 2x y z zρ = . Tìm khối lượng và trọng tâm của dây thép.

………………………………………………………………


§2. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI II 2.1. Bài toán mở đầu

Tính công sinh ra do lực ( )F F M=

tác dụng lên chất điểm ( , )M x y di chuyển dọc theo đường cong L .

• Nếu L là đoạn thẳng AB thì công sinh ra là:

( ). cos ,W F AB F AB F AB= =

.

Chiếu ( )i

F M

, 1i i

A A−

lần lượt lên trục ,Ox Oy ta được:

• Nếu L là cung AB thì ta chia L thành n cung nhỏ bởi các điểm chia

0 1, , ...,

nA A A A B= = . Trên mỗi cung

1i i

A A− ta lấy điểm ( , )i i i

M x y tùy ý.


( ) ( ). ( ).i i i

F M P M i Q M j= +

và 1

. .i i i i

A A x i y j− = ∆ +∆

.

Khi đó, công W sinh ra là:

11 1

( )n n

i i i ii i

W W F M A A−= =

≈ =∑ ∑

1

= ( ) ( ) .n

i i i ii

P M x Q M y=

∆ + ∆ ∑

Vậy 1

0 1

lim ( ) ( )i i

n

i i i imax A A i

W P M x Q M y

− → =

= ∆ + ∆ ∑ .


2.2. Định nghĩa (tích phân đường theo tọa độ)

• Cho hai hàm số ( , ), ( , )P x y Q x y xác định trên đường

cong L . Chia L như bài toán mở đầu. Khi đó:

1

( ) ( )n

n i i i ii

I P M x Q M y=

= ∆ + ∆ ∑ được gọi là tổng tích

phân đường loại 2 của ( , ), ( , )P x y Q x y trên L .

• Giới hạn 1

0

limi i

nmax A A

I

− → tồn tại hữu hạn được gọi là

tích phân đường loại 2 của ( , ), ( , )P x y Q x y trên L .

Ký hiệu là: ( , ) ( , ) .

L

P x y dx Q x y dy+∫


• Định nghĩa tương tự trong không gian Oxyz :

( , , ) ( , , ) ( , , )

L

P x y z dx Q x y z dy R x y z dz+ +∫ .

Nhận xét

Tích phân đường loại 2 có tất cả các tính chất như tích phân xác định.

Từ định nghĩa tổng tích phân, ta có thể viết:

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .

AB AB AB

P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy+ = +∫ ∫ ∫


• Định lý Nếu hai hàm số ( , ), ( , )P x y Q x y liên tục trong miền mở

chứa đường cong L trơn từng khúc thì tồn tại tích phân đường loại 2 của ( , ), ( , )P x y Q x y dọc theo L .

Tích phân đường loại 2 phụ thuộc vào chiều của L . Do đó, khi viết tích phân ta cần ghi rõ điểm đầu và cuối:

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .

AB BA

P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy+ =− +∫ ∫

Chú ý Nếu L là đường cong phẳng và kín lấy theo chiều dương

thì ta dùng ký hiệu: ( , ) ( , ) .

L

P x y dx Q x y dy+∫





2.3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH a) Đường cong L có phương trình tham số Xét đường cong L chứa cung AB .

• Nếu L có phương trình ( )x x t= , ( )y y t= thì:

( ( ), ( )) ( ( ), ( )) .B

A

t

t t

tAB

Pdx Qdy P x t y t x Q x t y t y dt ′ ′+ = + ∫ ∫

• Nếu L có phương trình ( )x x t= , ( )y y t= , ( )z z t= thì:

( ). . . .B

A

t

t t t

tAB

Pdx Qdy Rdz P x Q y R z dt′ ′ ′+ + = + +∫ ∫


b) Đường cong L có phương trình tổng quát Xét đường cong L chứa cung AB .

• Nếu L có phương trình ( )y y x= thì:

( , ( )) ( , ( )). .B

A

x

x

xAB

Pdx Qdy P x y x Q x y x y dx ′+ = + ∫ ∫

• Nếu L có phương trình ( )x x y= thì:

( ( ), ). ( ( ), ) .B

A

y

y

yAB

Pdx Qdy P x y y x Q x y y dy ′+ = + ∫ ∫


Đặc biệt

• Nếu L có phương trình y = α ∈ ℝ thì:

( , ) ( , ) ( , ) .B

A

x

xAB

P x y dx Q x y dy P x dx+ = α∫ ∫

• Nếu L có phương trình x = α ∈ ℝ thì:

( , ) ( , ) ( , ) .B

A

y

yAB

P x y dx Q x y dy Q y dy+ = α∫ ∫


VD 1. Tính tích phân AB

I dx xdy= +∫ . Trong đó AB có

phương trình 22 , 2 3x t y t= = − với (0; 2)A và (2; 5)B .


L

I xdx dy= −∫ . Trong đó, L là

elip 2 2

2 21

x y

a b+ = lấy theo chiều dương.

VD 3. Tính tích phân ( ) ( )

L

I x y dx x y dy= − + +∫ , với

L là đường nối điểm (0; 0)O với điểm (1; 1)A trong các

trường hợp:


1) L là đường thẳng y x= ;

2) L là đường cong 2y x= .


4

BA

I dx xydy= +∫ , với BA có

phương trình y x= và điểm (1; 1)A , (4; 2)B .

VD 5. Tính tích phân L

I dx ydy dz= − +∫ .

Trong đó, L là đường cong trong Oxyz có phương trình: cosx t= , siny t= , 2z t=

nối từ điểm (0; 1; )A π đến (1; 0; 0)B .


2.4. Công thức Green (liên hệ với tích phân kép) a) Xác định chiều trên biên của miền đa liên Đường cong L được gọi là

Jordan nếu nó không tự cắt.

Cho miền D là miền đa liên, liên thông, bị chặn có biên D∂ Jordan kín trơn từng

khúc. Chiều dương của D∂ là chiều

mà khi di chuyển dọc theo biên ta thấy miền D nằm về phía bên tay trái.





b) Công thức Green Cho miền D (xác định như mục a). Nếu ( , )P x y , ( , )Q x y và các đạo hàm riêng liên tục trên miền mở chứa D thì:

( )( , ) ( , ) .x y

D D

P x y dx Q x y dy Q P dxdy

∂

′ ′+ = −∫ ∫∫

Hệ quả

Diện tích của miền D được tính theo công thức:

21 1( ) ( ) ( ) .

2 2D D

S D xdy ydx hay S D r d

∂ ∂

= − = ϕ ϕ∫ ∫


VD 6. Tính diện tích hình elip 2 2

2 21

x y

a b+ ≤ .

VD 7. Tính diện tích hình tròn 2 2 2 0x y y+ − ≤ .

VD 8. Tính tích phân: 2 2( arctan ) ( 2 )y

C

I x x y dx x xy y e dy−= + + + +∫ .

Trong đó, C là đường tròn 2 2 2 0x y y+ − = .

VD 9. Tính 2 2

L

xdy ydxI

x y

−=

+∫ trong các trường hợp:

1) L là đường cong kín không bao quanh gốc tọa độ O ; 2) L là đường cong kín bao quanh gốc tọa độ O .

ChươngChương 3. 3. TTííchch phânphân đưđườờngng –– TTííchch phânphân mmặặttGiải

1) Do 2 2

yP

x y

−=

+,

2 2

xQ

x y=

+ và các đạo hàm riêng

liên tục trên 2 \ (0; 0)ℝ nên áp dụng Green, ta có:

( )2 20

x y

L D

xdy ydxI Q P dxdy

x y

− ′ ′= = − =+

∫ ∫∫ .

2) Hàm 2 2

yP

x y

−=

+ và

2 2

xQ

x y=

+ không liên tục tại

(0; 0)O nên ta không áp dụng được công thức Green.

Giả sử L có phương trình trong tọa độ cực là ( )r r= ϕ .


Khi đó, phương trình tham số của L là: ( )cos , ( )sin , 0 2x r y r= ϕ ϕ = ϕ ϕ ≤ ϕ ≤ π.

Do cos sin

sin cosr

r

dx x dr x d dr r d

dy y dr y d dr r dϕ

ϕ

′ ′ = + ϕ = ϕ − ϕ ϕ ′ ′ = + ϕ = ϕ + ϕ ϕ nên:

2 2 2 2 2cos sinxdy ydx r d r d r d− = ϕ ϕ + ϕ ϕ = ϕ

2 2

L

xdy ydxI

x y

−⇒ =

+∫

2 2

20

2r d

r

πϕ

= = π∫ .

Cách khác


2.5. Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc vào đường lấy tích phân

a) Định lý Giả sử các hàm số ,P Q và các đạo hàm riêng cấp một

của chúng liên tục trong miền mở đơn liên D .

Khi đó, bốn mệnh đề sau tương đương:

1) , ( , )y x

P Q x y D′ ′= ∀ ∈ .

2) ( , ) ( , ) 0

L

P x y dx Q x y dy+ =∫ dọc theo mọi đường

cong kín L nằm trong D .


3) Tích phân

( , ) ( , ) ,

AB

P x y dx Q x y dy AB D+ ⊂∫ , chỉ phụ

thuộc vào hai đầu mút ,A B mà không phụ thuộc vào

đường nối giữa A với B . 4) Biểu thức ( , ) ( , )P x y dx Q x y dy+ là vi phân toàn phần

của hàm ( , )u x y nào đó trong miền D . Nghĩa là: ( , ) : ( , ) ( , ) ( , )u x y du x y P x y dx Q x y dy∃ = + .

b) Hệ quả Nếu ( , ) ( , )P x y dx Q x y dy+ là vi phân toàn phần của hàm

( , )u x y nào đó trong miền mở đơn liên D thì:

( , ) ( , ) ( ) ( ).

AB

P x y dx Q x y dy u B u A+ = −∫





VD 10. Tích phân đường nào sau đây không phụ thuộc vào các đường trơn từng khúc nối hai điểm ,A B ?

A.

3 4(4 2 ) ( 2 )

AB

I xy x dx y y x dy= + + + −∫ .

B.

3 4 2 2(4 2 1) ( 6 1)

AB

I xy x dx y x y dy= + − + + −∫ .

C.

3 4(4 2 ) ( 2 )

AB

I xy x dx y y x dy= + − + −∫ .

D.

3 4 2 2(4 2 1) ( 6 1)

AB

I xy x dx y x y dy= + − − + −∫ .


VD 11. Tính 2 2 2 2

L

x y x yI dx dy

x y x y

− += +

+ +∫ . Biết L là

đường trơn từng khúc nối điểm ( 1; 1)A − − và ( 2; 2)B − −nằm trong miền D không chứa gốc tọa độ O .


(5; 12)

2 2(3; 4)

xdx ydyI

x y

+=

+∫ .

VD 12. Cho biết hàm ( , ) 2 1y xu x y xe ye x= − + + có vi

phân toàn phần: ( 2) ( )y x y xdu e ye dx xe e dy= − + + − .

Hãy tính

(1; 0)

(1; 1)

( 2) ( )y x y xI e ye dx xe e dy= − + + −∫ ?


Chú ý Giả sử hai hàm số ,P Q thỏa định lý. Khi tính tích phân

2 2

1 1

( ; )

( ; )

x y

x y

I Pdx Qdy= +∫ , người ta

thường tính theo đường gấp khúc song song với các trục tọa độ.


(3; 2)

2(1; 1)

( 2 )

( )

x y dx ydyI

x y

+ +=

+∫ theo

một đường trơn từng khúc không cắt ( ) : 0d x y+ = . …………………………………………………………….


§3. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I 3.1. Định nghĩa • Cho hàm số ( , , )f x y z xác định trên mặt S . Chia mặt S

một cách tùy ý thành n phần không dẫm lên nhau, diện tích mỗi phần là ( 1, 2,..., )

iS i n∆ = . Trong mỗi

iS∆ ta

lấy điểm i

M và lập tổng tích phân 1

( )n

n i ii

I f M S=

= ∆∑ .

• Nếu giới hạn max ( ) 0

1

lim ( )i

n

i id S

i

I f M S∆ → =

= ∆∑ tồn tại hữu

hạn, không phụ thuộc vào cách chia S và cách chọn điểm

iM thì số thực I được gọi là tích phân mặt loại 1

của hàm ( , , )f x y z trên S .


Ký hiệu là: ( , , ) .

S

I f x y z dS= ∫∫

3.2. PHƯƠNG PHÁP TÍNH

a) Chiếu S lên mpOxy

Nếu S có phương trình ( , )z z x y= và S có hình chiếu trên mpOxy là D thì:

( ) ( )22( , , ( , )) 1 .

x y

D

I f x y z x y z z dxdy′ ′= + +∫∫


b) Chiếu S lên mpOxz Nếu S có phương trình ( , )y y x z= và S có hình chiếu

trên mpOxz là D thì:

( ) ( )2 2( , ( , ), ) 1 .

x z

D

I f x y x z z y y dxdz′ ′= + +∫∫

c) Chiếu S lên mpOyz Nếu S có phương trình ( , )x x y z= và S có hình chiếu

trên mpOyz là D thì:

( ) ( )2 2

( ( , ), , ) 1 .y z

D

I f x y z y z x x dydz′ ′= + +∫∫

Chú ý Nếu hình chiếu của S trên mặt phẳng tọa độ nào đó chỉ là một đường cong thì phải chiếu S lên mặt phẳng khác.





VD 2. Tính tích phân S

I zdS= ∫∫ , trong đó S là phần

mặt cầu 2 2 2 4x y z+ + = với 0x ≥ , 0y ≥ .

VD 1. Tính tích phân 2 2( )

S

I x y dS= +∫∫ .

Trong đó S là phần mặt nón 2 2 2z x y= + , 0 1z≤ ≤ .



I xyzdS= ∫∫ .

Trong đó S là 6 mặt của hình hộp chữ nhật 0 1x≤ ≤ , 0 2y≤ ≤ , 0 3z≤ ≤ .


3.3. Ứng dụng của tích phân mặt loại 1

Diện tích mặt S là .

S

dS∫∫

Khối lượng của mặt S có hàm mật độ ( , , )x y zρ là

( , , ) .S

m x y z dSρ= ∫∫

Khi đó, tọa độ trọng tâm G của mặt S là: 1 1

( , , ) , ( , , ) ,

1( , , ) .

G G

S S

G

S

x x x y z dS y y x y z dSm m

z z x y z dSm

ρ ρ

ρ

= =

=

∫∫ ∫∫

∫∫

………………………………………………………………….


§4. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 4.1. Các định nghĩa 4.1.1. Mặt định hướng Cho mặt S có biên là đường cong kín C . • Di chuyển pháp vector của S từ điểm M S∈ theo một đường cong tùy ý (không cắt C ). Nếu khi quay trở lại điểm M mà pháp vector không đổi chiều thì S được gọi là mặt hai phía; nếu pháp vector đổi chiều thì S được gọi là mặt một phía.


S.M

n

z

n n

S

C

C

• Khi mặt S không kín, ta gọi phía trên là phía mà pháp vector lập với tia Oz góc nhọn, ngược lại là phía dưới. • Khi mặt S kín, ta gọi phía trong và phía ngoài. • Hướng dương của biên C là hướng ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn từ ngọn của pháp vector.

4.1.2. Mặt tr ơn • Mặt S được gọi là mặt trơn nếu pháp vector xác định tại mọi điểm M S∈ (có thể trừ biên C ) biến đổi liên tục khi M chạy trên S .


• Nếu mặt S được ghép bởi hữu hạn mặt trơn (với biêngiữa các mặt đó là các đường cong) thì S được gọi là mặt trơn từng mảnh.

4.1.3. Tích phân mặt loại 2 • Cho 3 hàm số ( , , ), ( , , ), ( , , )P x y z Q x y z R x y z xác định

trên mặt định hướng trơn từng mảnh S . • Gọi , , α β γ lần lượt là góc hợp bởi pháp vector đơn vị

(cos ; cos ; cos )n α β γ=

với các tia Ox , ,Oy Oz .

• Khi đó, tích phân mặt loại một:

( cos cos cos )S

I P Q R dSα β γ= + +∫∫

được gọi là tích phân mặt loại 2 của , ,P Q R trên mặt S .





Ký hiệu là:

.S

I Pdydz Qdzdx Rdxdy= + +∫∫

Chú ý Nếu đổi hướng của mặt S thì tích phân đổi dấu. Nếu mặt S kín, hướng lấy tích phân ra phía ngoài S , thì tích phân được ký hiệu là:

.S

I Pdydz Qdzdx Rdxdy= + +∫∫

Nếu mặt S có phương trình ( , , ) 0F x y z = thì:

2 2 2

1( ; ; ).

( ) ( ) ( )x y z

x y z

n F F FF F F

′ ′ ′=′ ′ ′+ +


VD 1. Tìm pháp vector đơn vị của mặt nón 2 2z x y= + tại điểm ( )1; 3; 2M .

Biết mặt nón được định hướng phía dưới nhìn theo hướng của trục Oz .

4.2. Phương pháp tính tích phân mặt loại 2 4.2.1. Đưa về tích phân mặt loại 1 Nếu mặt S có pháp vector đơn vị là ( ; ; )n a b c=

thì:

( . . . ) .S

S

Pdydz Qdzdx Rdxdy

P a Qb Rc dS

+ +

= + +

∫∫

∫∫



I dydz dzdx dxdy= + +∫∫ .

Trong đó, S là tam giác giao của mặt phẳng 1x y z+ + = với 3 mặt phẳng tọa độ (lấy phía trên).


4.2.2. Đưa về tích phân kép Khi tính tích phân

S

I Pdydz Qdzdx Rdxdy= + +∫∫ ,

người ta thường tách riêng thành 3 tích phân: .

S S S

I Pdydz Qdzdx Rdxdy= + +∫∫ ∫∫ ∫∫

Nếu mặt S có hình chiếu đơn trị lên Oxy là miền xy

D

và S có phương trình ( , )z z x y= thì:

( , , ) ( , , ( , )) .

xyS D

R x y z dxdy R x y z x y dxdy= ±∫∫ ∫∫

(dấu “+” hay “–” tùy thuộc vào S ở phía trên hay dưới).


Nếu mặt S có hình chiếu đơn trị lên Oxz là miền xz

D

và S có phương trình ( , )y y x z= thì:

( , , ) ( , ( , ), ) .

xzS D

Q x y z dzdx Q x y x z z dzdx= ±∫∫ ∫∫

(dấu “+” khi S hướng về phía ngọn của tia Oy ).

Nếu mặt S có hình chiếu đơn trị lên Oyz là miền yz

D

và S có phương trình ( , )x x y z= thì:

( , , ) ( ( , ), , ) .

yzS D

P x y z dydz P x y z y z dydz= ±∫∫ ∫∫

(dấu “+” khi S hướng về phía ngọn của tia Ox ).


Chú ý Nếu hình chiếu của S xuống mặt phẳng tọa độ nào đó chỉ là một đường cong thì tích phân tương ứng bằng 0.


I zdxdy= ∫∫ ,

với S là phía ngoài của mặt cầu:

2 2 2 2x y z R+ + = .





là mặt phía ngoài của mặt cầu 2 2 2 2x y z R+ + = .

4.3. Công thức Gauss – Ostrogradski (mối liên hệ giữa tích phân mặt và bội ba) Cho V là một khối bị chặn với biên S kín, trơn từng

mảnh hướng ra phía ngoài. Giả sử , ,P Q R là các hàm

có đạo hàm riêng liên tục trong miền mở chứa V . Khi đó:

( ) .S

x y z

V

Pdydz Qdzdx Rdxdy

P Q R dxdydz

+ +

′ ′ ′= + +

∫∫

∫∫∫

VD 4. Tính 3 3 3

S

I x dydz y dzdx z dxdy= + +∫∫ , với S

ChươngChương 3. 3. TTííchch phânphân đưđườờngng –– TTííchch phânphân mmặặtt 4.4. Công thức Stokes (mối liên hệ giữa tích phân đường và mặt loại 2) Cho S là mặt định hướng, trơn từng mảnh có biên S∂

Jordan trơn từng khúc. Giả sử , ,P Q R là các hàm số

có đạo hàm riêng liên tục trong miền mở chứa S . Khi đó:

( )( )

( ) .

y z

S S

z x

S

x y

S

Pdx Qdy Rdz R Q dydz

P R dzdx

Q P dxdy

∂

′ ′+ + = −

′ ′+ −

′ ′+ −

∫ ∫∫

∫∫

∫∫

(Hướng S∂ là hướng dương phù hợp với hướng của S ).


x

y

z

O

R

S

C

n

VD 5. Tính tích phân C

ydx zdy xdz+ +∫ . Trong đó C là

đường tròn giao của mặt cầu 2 2 2 2x y z R+ + = và mặt phẳng 0x y z+ + = , hướng tích phân trên C là hướng dương khi nhìn từ ngọn của tia Oz .


4.5. Các ví dụ trắc nghiệm tích phân mặt loại 2


I dxdy= ∫∫ , với S là mặt dưới

của mặt 2

2 1, 29

yx z+ ≤ = .

A. 3I =− π; B. 3I = π; C. 9I =− π; D. 9I = π.


x

y

z

O

1

2

3

Ω

VD 7. Tính S

I zdxdy= ∫∫ , với S là mặt trên của mặt

2z = được giới hạn bởi 1, 0, 0 1x y x y+ ≤ ≥ ≤ ≤ . A. 1I = ; B. 2I = ; C. 3I = ; D. 4I = .


3 2

S

I xdxdy xdydz ydzdx= + −∫∫

với S là mặt biên ngoài của elipsoid

2 2

2: 14 9

y zxΩ + + ≤ .

A. 144I = π; B. 32I = π; C. 8I = π; D. 36I = π.


…………………………………………………………………

VD 9. Tính 2

S

I xdydz zdzdx dxdy= + +∫∫ với S là

mặt ngoài của mặt cầu 2 2 2 2 0, 1x y z z z+ + − = ≤ .

A. 2

3I

π= − ;

B. 2

3I

π= − ;

C. 3

Iπ

= ;

D. 3

Iπ

= − .




ChươngChương 4. 4. PhươngPhương trtr ììnhnh vi vi phânphân§1. Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân §2. Phương trình vi phân cấp 1 §3. Phương trình vi phân cấp cao

……………………………

§1. KHÁI NI ỆM CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

1.1. Bài toán mở đầu a) Bài toán 1 • Tìm phương trình đường cong ( ) : ( )C y f x= đi qua điểm (2; 3)M sao cho mọi

đoạn của tiếp tuyến với ( )C nằm giữa hai trục tọa độ đều bị tiếp điểm chia thành hai phần bằng nhau ?

ChươngChương 4. 4. PhươngPhương trtr ììnhnh vi vi phânphân

Nhận thấy hàm , C

y Cx

= ∈ ℝ thỏa (*).

Thay tọa độ của M vào C

yx

= ta được 6

yx

= .

b) Bài toán 2

Tìm vận tốc nhỏ nhất để khi phóng một vật theo phương thẳng đứng sao cho vật không rơi trở lại trái đất ? Chobiết lực cản của không khí là không đáng kể.

Giải. Giả sử ( , ) ( )I x y C∈ , hệ số góc tiếp tuyến tại I là:

( ) tan ( )PI PI y

y x y xPA OP x

′ ′= α = − =− ⇒ =− (*).


Giải. Gọi khối lượng của trái đất và vật phóng là ,M m .

Khoảng cách từ tâm trái đất đến trọng tâm của vật phónglà r , R là bán kính của trái đất.

Theo định luật hấp dẫn Newton, lực hút tác dụng lên vật

là 2

.Mm

f kr

= (k là hằng số hấp dẫn).

Phương trình chuyển động của vật là: 2 2

2 2 2 2. . .d r Mm d r M

m k kdt r dt r=− ⇔ =− (1).

Mặt khác 2

2.

d r dv dv dr dvv

dt dr dt drdt= = = .


2 2(1) .

dv M kMv k vdv drdr r r

⇔ =− ⇔ =−

2

12 2

kM v kMvdv dr C

rr⇒ =− ⇒ = +∫ ∫ (2).

Tại thời điểm 0t = thì r R= và 0

v v= nên: 2 220 0

1(2)

2 2 2

v vkM v kM kMC

R r R

⇒ = − ⇒ = + − (3).

Khi r →+∞ thì 2 20 02 2

v kM v

R− = ≥

0

2kMv

R⇒ ≥ .

Thay các giá trị , ,k M R ta được 0

11,2 /v km s≈ .


• Cấp cao nhất của đạo hàm có trong phương trình vi phân được gọi là cấp của phương trình vi phân đó.

• Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n là: ( )( , , , ..., ) 0nF x y y y′ = (*).

Nếu từ (*) ta giải được theo ( )ny thì ptvp có dạng: ( ) ( 1)( , , , ..., )n ny f x y y y −′= .

1.2. Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân (ptvp)

• Phương trình chứa đạo hàm hoặc vi phân của một hoặcvài hàm cần tìm được gọi là phương trình vi phân.


• Nghiệm của (*) trên khoảng D nào đó là hàm ( )y x= ϕxác định trên D sao cho khi thay ( )y x= ϕ vào (*) ta được đồng nhất thức trên D .

• Phương trình vi phân nếu có nghiệm thì sẽ có vô số nghiệm sai khác nhau một hằng số C .

• Giải phương trình vi phân là đi tìm tất cả các nghiệmcủa phương trình vi phân đó.

• Đồ thị nghiệm ( )y x= ϕ của một phương trình vi phân được gọi là đường cong tích phân.

Chú ý • Nghiệm của một phương trình vi phân thường được

biểu diễn dưới dạng hàm ẩn.





§2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C ẤP I 2.1. Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp 1 • Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng

tổng quát ( , , ) 0F x y y ′ = (*). Nếu từ (*) ta giải đượctheo y ′ thì (*) trở thành ( , )y f x y′ = .

• Nghiệm của (*) có dạng ( )y y x= chứa hằng số C được gọi là nghiệm tổng quát. Khi thế điều kiện

0 0( )y y x=

cho trước (thường gọi là điều kiện đầu) vào nghiệm tổng quát ta được giá trị

0C cụ thể và nghiệm lúc này

được gọi là nghiệm riêng của (*).

• Nghiệm thu được trực tiếp từ (*) và không thỏa nghiệm tổng quát được gọi là nghiệm kỳ dị của (*).


Giải. Ta có: 2

02

xy x y x y C′ ′− = ⇔ = ⇒ = + (1).

Thế (2; 1)M vào (1) ta được 2

1 12

xC y= − ⇒ = − .

VD 2. Tìm nghiệm kỳ dị của ptvp 21y y′ = − .

VD 1. Tìm hàm ( )y y x= thỏa 0y x′ − = . Biết đường cong tích phân đi qua điểm (2; 1)M .

Giải. Với điều kiện 1 1y− ≤ ≤ , ta có:

2 21 1dy

y y ydx

′ = − ⇒ = −

21

dydx

y

⇒ =−

∫ ∫ , 1 1y− < < .


Nhận thấy 1y = ± thỏa ptvp nhưng không thỏa (2). Vậy 1y = ± là nghiệm kỳ dị.

Từ đây về sau, ta không xét đến nghiệm kỳ dị.

arcsin sin( )y x C y x C⇒ = + ⇒ = + (2).

VD 3. Tìm ptvp của họ đường cong 2y Cx= .

Giải. Ta có:

2 2y Cx y Cx′= ⇒ = 2

2 2

y yC y x

x x

′ ′⇒ = ⇒ =

Vậy 2

, 0y

y xx

′ = ≠ .


2.2. Một số phương trình vi phân cấp 1 cơ bản

2.2.1. Phương trình vi phân cấp 1 với biến phân ly Phương trình vi phân với biến phân ly có dạng:

( ) ( ) 0 (1).f x dx g y dy+ =

Phương pháp giải Lấy tích phân hai vế của (1) ta được nghiệm tổng quát:

( ) ( ) .f x dx g y dy C+ =∫ ∫

VD 4. Giải phương trình vi phân 2 2

01 1

xdx ydy

x y+ =

+ +.


VD 6. Giải ptvp 2 3( 1) ( 1)( 1) 0x y dx x y dy+ + − − = .

VD 5. Giải phương trình vi phân ( 2)y xy y′ = + .

VD 7. Giải ptvp 2xy y y′ + = thỏa điều kiện 1

(1)2

y = .


Chẳng hạn, hàm số:

( , )2 3

x yf x y

x y

−=

+ là đẳng cấp bậc 0,

24 3( , )

5

x xyf x y

x y

+=

− là đẳng cấp bậc 1,

2( , ) 3 2f x y x xy= − là đẳng cấp bậc 2.

2.2.2. Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1

a) Hàm đẳng cấp hai biến số • Hàm hai biến ( , )f x y được gọi là đẳng cấp bậc n nếu

với mọi 0k > thì ( , ) ( , )nf kx ky k f x y= .





b) Phương trình vi phân đẳng cấp

• Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 có dạng: ( , ) (2).y f x y′ =

Trong đó, ( , )f x y là hàm số đẳng cấp bậc 0.

Phương pháp giải

Bước 1. Biến đổi (2)y

yx

′⇔ = ϕ .

Bước 2. Đặt y

u y u xux

′ ′= ⇒ = + .

Bước 3. (2) ( )( )

du dxu xu u

u u x′⇒ + = ϕ ⇒ =

ϕ −

( )( ) 0u u xϕ − ≠ ≠ (đây là ptvp có biến phân ly).


VD 8. Giải phương trình vi phân 2 2x xy y

yxy

− +′ = .

VD 9. Giải phương trình vi phân x y

yx y

+′ =−

với điều kiện đầu (1) 0y = .

VD 10. Giải phương trình vi phân:

ln lny y

xy y xx x

′ = + ( , 0)x y > .


2.2.3. Phương trình vi phân toàn phần • Cho hai hàm số ( , ), ( , )P x y Q x y và các đạo hàm riêng

của chúng liên tục trong miền mở D , thỏa điều kiện , ( , )

x yQ P x y D′ ′= ∀ ∈ . Nếu tồn tại hàm ( , )u x y sao cho

( , ) ( , ) ( , )du x y P x y dx Q x y dy= + thì phương trình vi phân có dạng:

( , ) ( , ) 0 (3)P x y dx Q x y dy+ =

được gọi là phương trình vi phân toàn phần.

• Nghiệm tổng quát của (3) là ( , )u x y C= .

Nhận xét ( , ) ( , ), ( , ) ( , )

x yu x y P x y u x y Q x y′ ′= = .



Bước 1. Từ (3) ta có x

u P′ = (3a) và y

u Q′ = (3b).

Bước 2. Lấy tích phân (3a) theo biến x ta được:

( , ) ( , ) ( , ) ( )u x y P x y dx x y C y= = ϕ +∫ (3c).

Trong đó, ( )C y là hàm theo biến y .

Bước 3. Đạo hàm (3c) theo biến y ta được: ( )

y yu C y′ ′ ′= ϕ + (3d).

Bước 4. So sánh (3b) và (3d) ta tìm được ( )C y . Thay ( )C y vào (3c) ta được ( , )u x y .


VD 11. Cho phương trình vi phân: 2 2(3 2 2 ) ( 6 3) 0y xy x dx x xy dy+ + + + + = (*).

1) Chứng tỏ (*) là phương trình vi phân toàn phần. 2) Giải phương trình (*).

VD 12. Giải ptvp ( 1) ( ) 0yx y dx e x dy+ − + + = .

VD 13. Giải phương trình vi phân:

[( 1) ] ( ) 0x y x yx y e e dx e xe dy+ + + + + = .


2.2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 • Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng:

( ) ( ) (4).y p x y q x′ + =

• Khi ( ) 0q x = thì (4) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất.

Phương pháp giải (phương pháp biến thiên hằng số Lagrange)

Bước 1. Tìm biểu thức ( )

( )p x dx

A x e−∫= .

Bước 2. Tìm biểu thức ( )

( ) ( ).p x dx

B x q x e dx∫= ∫ .

Bước 3. Nghiệm tổng quát là ( ) ( )y A x B x C = + .





Chú ý • Khi tính các tích phân trên, ta chọn hằng số là 0. • Phương pháp biến thiên hằng số là đi tìm nghiệm

tổng quát của (4) dưới dạng: ( )

( ) .p x dx

y C x e−∫=

Nhận xét. ( ) ( )

( ) ( ). .( )

p x dx q xB x q x e dx dx

A x

∫= =∫ ∫

VD 14. Trong phương pháp biến thiên hằng số, ta đi tìm

nghiệm tổng quát của 2 4 lny

y x xx

′ + = dưới dạng:

A. 2

( )C xy

x= ; B.

3

( )C xy

x= ;

C. ( )C x

yx

= ; D. ( )C x

yx

= − .


VD 15. Giải phương trình vi phân 2 0y x y′ − =

thỏa điều kiện đầu 9

3xy e== − .

VD 16. Giải phương trình sincos xy y x e−′ + = .

VD 17. Giải phương trình 2 tan2 sin 4y y x x′ − = .


2.2.5. Phương trình vi phân Bernoulli • Phương trình vi phân Bernoulli có dạng:

( ) ( ) (5).y p x y q x yα′ + =

• Khi 0α = hoặc 1α = thì (5) là tuyến tính cấp 1. • Khi ( ) ( ) 1p x q x= = thì (5) là pt có biến phân ly.

Phương pháp giải (với α khác 0 và 1) Bước 1. Với 0y ≠ , ta chia hai vế cho yα:

(5) ( ) ( )y y

p x q xy yα α

′⇒ + =

1( ) ( )y y p x y q x−α −α′⇒ + = .


Bước 2. Đặt 1 (1 )z y z y y−α −α′ ′= ⇒ = −α , ta được: (5) (1 ) ( ) (1 ) ( )z p x z q x′⇒ + −α = −α (đây là phương trình tuyến tính cấp 1).

VD 18. Giải phương trình vi phân 2yy xy

x′ + =

với điều kiện đầu 1, 1x y= = .

VD 19. Giải phương trình vi phân 3 42y xy x y′ − = .

……………………………………………………………………


§3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C ẤP CAO

3.1.1. Phương trình khuyết y và y’ • Phương trình vi phân khuyết y và y ′ có dạng:

( ) (1).y f x′′ = Phương pháp giải

• Lấy tích phân hai vế (1) hai lần:

1( ) ( ) ( )y f x y f x dx x C′′ ′= ⇒ = = ϕ +∫

1 1 2

( ) ( )y x dx C x x C x C⇒ = ϕ + = ψ + +∫ .

VD 1. Giải phương trình vi phân 2y x′′ = .

3.1. Các dạng phương trình vi phân cấp 2 khuyết


VD 2. Giải ptvp 2xy e′′ = với 7 3

(0) , (0)4 2

y y ′= − = .

3.1.2. Phương trình khuyết y • Phương trình vi phân khuyết y có dạng:

( , ) (2).y f x y′′ ′=

Phương pháp giải • Đặt z y ′= đưa (2) về phương trình tuyến tính cấp 1.

VD 3. Giải phương trình vi phân y

y xx

′′′ = − .

VD 4. Giải pt vi phân ( 1) 01

yy x x

x

′′′ − − − =

−

với điều kiện (2) 1, (2) 1y y ′= = − .





3.1.3. Phương trình khuyết x • Phương trình vi phân khuyết x có dạng:

( , ) (3).y f y y′′ ′=

VD 6. Giải phương trình vi phân 2 (1 2 ) 0y y y′′ ′+ − =

với điều kiện 1

(0) 0, (0)2

y y ′= = .


• Đặt z y ′= ta có: .dz dz dy dz

y z zdx dy dx dy

′′ ′= = = = .

• Khi đó, (3) trở thành ptvp với biến số phân ly.

VD 5. Giải phương trình vi phân 2(1 ) 2( ) 0y y y′′ ′− + = .

VD 7. Giải phương trình vi phân ( )22 1yy y′′ ′= + .


3.2. Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính với hệ số hằng 3.2.1. Phương trình thuần nhất • Phương trình thuần nhất có dạng:

( )1 2 1 20, , (4).y a y a y a a′′ ′+ + = ∈ ℝ

Trường hợp 1 Phương trình (5) có hai nghiệm thực phân biệt

1 2, k k .

Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng 1 2

1 2,

k x k xy e y e= =

và nghiệm tổng quát là 1 2

1 2.

k x k xy C e C e= +

Phương pháp giải. Xét phương trình đặc trưng của (4): 2

1 20 (5).k a k a+ + =


Trường hợp 2 Phương trình (5) có nghiệm kép thực k .

Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng 1 2

, kx kxy e y xe= =

và nghiệm tổng quát là 1 2.kx kxy C e C xe= +

Trường hợp 3 Phương trình (5) có hai nghiệm phức liên hợp

k i= α ± β. Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng:

1 2cos , sinx xy e x y e xα α= β = β

và nghiệm tổng quát là:

( )1 2cos sin .xy e C x C xα= β + β


VD 8. Giải phương trình vi phân 2 3 0y y y′′ ′+ − = .

VD 9. Giải phương trình vi phân 6 9 0y y y′′ ′− + = .

VD 10. Giải phương trình vi phân 16 0y y′′ + = .

VD 11. Giải phương trình vi phân 2 7 0y y y′′ ′+ + = .

VD 12. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: 0y y y′′ ′− + = .


3.2.2. Phương trình không thuần nhất

• Phương trình không thuần nhất có dạng:

( )1 2 1 2( ), , (6).y a y a y f x a a′′ ′+ + = ∈ ℝ

a) Phương pháp giải tổng quát

• Nếu (4) có hai nghiệm riêng 1 2( ), ( )y x y x thì (6) có

nghiệm tổng quát là 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ).y C x y x C x y x= +

• Để tìm 1( )C x và

2( )C x , ta giải hệ Wronsky:

1 1 2 2

1 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

C x y x C x y x

C x y x C x y x f x

′ ′ + = ′ ′ ′ ′ + =


VD 13. Giải phương trình vi phân 2y y y x′′ ′− + = (a).

Giải. Xét phương trình thuần nhất: 2 0y y y′′ ′− + = (b).

Ta có: 2 2 1 0 1k k k− + = ⇔ =

1 2,x xy e y xe⇒ = = là 2 nghiệm riêng của (b).

Suy ra, nghiệm tổng quát của (a) có dạng:

1 2( ). ( ).x xy C x e C x xe= + .

Ta có hệ Wronsky:

1 2

1 2

. ( ) . ( ) 0

. ( ) ( 1) . ( )

x x

x x

e C x xe C x

e C x x e C x x

′ ′+ = ′ ′+ + =





Giải hệ bằng định thức Crammer, ta được: 2

1

2

( )

( )

x

x

C x x e

C x xe

−

−

′ = − ′ =

2

1 1 1

2 2 2

( ) ( ) ( 2 2)

( ) ( ) ( 1) .

x

x

C x C x dx e x x C

C x C x dx e x C

−

−

′= = + + +⇒ ′= = − + +

∫∫

Vậy phương trình (a) có nghiệm tổng quát là:

1 2

2x xy C e C xe x= + + + .


b) CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐẶC BIỆT Phương pháp cộng nghiệm

• Định lý Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (6) bằng tổng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (4) với 1 nghiệm riêng của (6).

VD 14. Cho phương trình vi phân: 22 2 (2 ) xy y y x e′′ ′− + = + (*).

1) Chứng tỏ (*) có 1 nghiệm riêng là 2 xy x e= . 2) Tìm nghiệm tổng quát của (*).

VD 15. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: 2 sin 2 4 cos2y y x x′′ ′+ = + ,

biết 1 nghiệm riêng là cos2y x= − .


Phương pháp chồng chất nghiệm • Định lý Cho phương trình

1 2 1 2( ) ( ) (7)y a y a y f x f x′′ ′+ + = + .

Nếu 1( )y x và

2( )y x lần lượt là nghiệm riêng của

1 2 1( )y a y a y f x′′ ′+ + = ,

1 2 2( )y a y a y f x′′ ′+ + =

thì nghiệm riêng của (7) là:

1 2( ) ( ).y y x y x= +

VD 16. Tìm nghiệm tổng quát của 22cosy y x′′ ′− = (*). Cho biết 1y y′′ ′− = và cos2y y x′′ ′− = lần lượt có

nghiệm riêng 1

y x=− , 2

2 1cos2 sin 2

10 10y x x=− − .


Phương pháp tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng

Xét phương trình 1 2

( ) (6)y a y a y f x′′ ′+ + =

và 1 2

0 (4).y a y a y′′ ′+ + =

• Trường hợp 1: f(x) có dạng eαxPn(x) ( ( )

nP x là đa thức bậc n ).

Bước 1. Nghiệm riêng của (6) có dạng:

. ( )m x

ny x e Q xα=

( ( )n

Q x là đa thức đầy đủ bậc n ).


Bước 2. Xác định m : 1) Nếu α không là nghiệm của phương trình đặc trưng

của (4) thì 0m = . 2) Nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng

của (4) thì 1m = . 3) Nếu α là nghiệm kép của phương trình đặc trưng

của (4) thì 2m = .

Bước 3. Thế . ( )m x

ny x e Q xα= vào (6) và đồng nhất thức

ta được nghiệm riêng cần tìm.

VD 17. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân: 3 22 3 ( 1)xy y y e x′′ ′− − = + .


Giải. Ta có 3 2( ) ( 1)xf x e x= + , 2

23, ( ) 1P x xα = = + .

Suy ra nghiệm riêng có dạng: 3 2( )m xy x e Ax Bx C= + + .

Do 3α = là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng 2 2 3 0k k− − = nên 1m = .

Suy ra nghiệm riêng có dạng 3 2( )xy xe Ax Bx C= + + .

Thế 3 2( )xy xe Ax Bx C= + + vào phương trình đã cho,

đồng nhất thức ta được:

1 1 9, ,

12 16 32A B C= = − = .





Vậy nghiệm riêng là 3 21 1 9

12 16 32xy xe x x = − +

.

• Trường hợp 2 f(x) có dạng eαx[Pn(x)cosβx + Qm(x)sinβx]

( ( )n

P x là đa thức bậc n , ( )m

Q x là đa thức bậc m ).

Bước 1. Nghiệm riêng có dạng: [ ( )cos ( )sin ]s x

k ky x e R x x H x xα β β= +

( ( ), ( )k k

R x H x là đa thức đầy đủ bậc max , k n m= ).

VD 18. Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình vi phân:

2 2x xy y y xe e−′′ ′+ + = + .


Bước 2. Xác định s : 1) Nếu iα β± không là nghiệm của phương trình đặc

trưng của (4) thì 0s = . 2) Nếu iα β± là nghiệm của phương trình đặc trưng

của (4) thì 1s = . Bước 3. Thế [ ( )cos ( )sin ]s x

k ky x e R x x H x xα β β= +

vào (6) và đồng nhất thức ta được nghiệm riêng.

VD 19. Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình vi phân:

2 3 cos 3 sinx xy y y e x xe x′′ ′+ − = + .

Giải. Ta có ( ) (cos 3 sin )xf x e x x x= +

1, 1, 0, 1, 1n m kα β⇒ = = = = = .


Suy ra nghiệm riêng có dạng:

[( )cos ( )sin ]s xy x e Ax B x Cx D x= + + + .

Do 1i iα β± = ± không là nghiệm của phương trình

đặc trưng 2 2 3 0k k+ − = nên 0s = . Vậy dạng nghiệm riêng là:

[( )cos ( )sin ]xy e Ax B x Cx D x= + + + .

Giải. Ta có 1, 1, 2kα β= = = .

1 i± là nghiệm của 2 2 2 0 1k k s− + = ⇒ = .

VD 20. Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình vi phân: 22 2 [( 1)cos sin ]xy y y e x x x x′′ ′− + = + + .


Vậy dạng nghiệm riêng cần tìm là: 2 2[( )cos ( )sin ]xy xe Ax Bx C x Dx Ex F x= + + + + + .

VD 21. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: 3 siny y x′′ + = (*).

3.3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C ẤP CAO tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng • Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n có dạng:

( ) ( 1) ( 2)1 2 1

+ + +...+ + 0 (8).n n n

n ny a y a y a y a y− −

−′ =

Trong đó, , 1,2,...,i

a i n∈ =ℝ .


• Định lý Nếu phương trình đặc trưng của (8)

1 21 2 1

... 0n n n

n nk a k a k a k a− −

−+ + + + + =

có n nghiệm thực đơn 1 2 1, , ..., ,

n nk k k k−

thì phương trình (8) có n nghiệm riêng 1 2 1

1 2 1, , ..., , n n

k x k x k x k x

n ny e y e y e y e−

−= = = =

và nghiệm tổng quát là:

1 2 1

1 2 1... .n n

k x k x k x k x

n ny C e C e C e C e−

−= + + + +

Trong đó, , 1,2,...,i

C i n∈ =ℝ .


VD 22. Giải phương trình 2 2 0y y y y′′′ ′′ ′− − + = .

Giải. Phương trình đặc trưng: 3 22 2 0 1, 2k k k k k− − + = ⇔ = ± = .

Vậy phương trình có 3 nghiệm riêng: 2

1 2 3, , x x xy e y e y e−= = =

và nghiệm tổng quát là 21 2 3

x x xy C e C e C e−= + + .

VD 23. Giải phương trình vi phân (4) 5 4 0y y y′′− + = .

………………Hết………………

Documents

toan cao cap A3