BÀI 1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC

I.Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn1. ĐộCung tròn bàn kính R có số đo ao (0 a 360)

2. RadianCung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 radian, gọi tắt là cung có 1 radian. Góc ở tâm chắn cung 1 radian gọi là góc có số đo 1 radian, gọi tắt là góc 1 radian.1 radian còn viết tắt là 1 rad

Ghi chú:Toàn bộ đường tròn (có số đo bằng 2 R) có số đo radian là 2 )Cung có độ dài bằng l thì có số đo radian là:

Cung tròn bàn kính R có số đo radian thì có độ dài:l= R

mối quan hệ giữa số đo radian ( ) và số đo độ (a) của cùng một cung tròn:

Vì tính chất tự nhiên và thông dụng của radin, người ta thường không viết chữ radian

hay rad sau số đo của cung và góc, chẳng hạn rad cũng được viết là .

Ghi nhớ:Bảng chuyển đổi một số đo độ và số đo radian của một số cung tròn

Độ 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600

Radian 2

II. GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC1.Khái niệm góc lượng giác và số đo của chúngCho 2 tia Ou và Ov. Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo chiều âm) xuất phát từ tia Ou đến trùng với tia Ov thì ta nói: “tia Om quét một góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov”. Như vậy, mỗi góc lượng giác gốc O được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo độ (hay rađian) của nó.Tổng quát:Nếu một gó lượng giác có số đo a0 (hay rad) thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với nó có số đo dạng a0 +k3600 (hay +k2 rad), k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k.Chú ý:Không được viết a0+k2 hay +k3600 (vì không cùng đơn vị đo).

2.Khái niệm cung lượng giác và số đo của chúng

Trên đường tròn định hướng, mỗi cung lượng giác được xác định bởi mút đầu, mút cuối và số đo của nó. Nếu một cung lượng giác có số đo thì mọi cung lượng giác cùng mút đầu U, Mút cuối V có số đo dạng +k2 (k ); mỗi cung ứng với một giá trị k.

2.Hệ thức Sa-lơVới ba tia tùy ý Ou, Ov, Ow, ta cóSđ(Ou,Ov) + sđ(Ov,Ow) = Sđ(Ou,Ow)+k2 (k )

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP1.Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khằng định nào sai?a.Số đo cung của cung tròn phụ thuộc vào bán kính của nó.b.Độ dài cung tròn tỉ lệ với số đo của cung đó.c.Độ dài cung tròn tỉ lệ với bán kính của nód.Nếu Ou,Ov là hai tia đối nhau thì số đo của các góc lượng giác (Ou,Ov) là (2k+1)

, k .Đs: a. Sai b. Đúng c. Đúng . d. Đúng2.Kim phút và kim giờ của đồng hồ lớn nhà Bưu điện TP.Hà Nội theo thứ tự dài 1.75m và 1.26m. Hỏi trong 15 phút, mũi kim vạch nên cung tròn có độ dài bằng bao nhiêu mét? Cũng câu hỏi đó cho kim giờ.Đs: kim phút: 2.75 (m). Kim giờ: 0.16 (m)3.Điền vào ô trống trong bảngSố đo độ -600 -2400 31000

Số đo radian

4. a. Đổi số đođộ của các cung tròn sau thành số đo radian (chình xác đến hàng phần nghìn) 21030’, 75054’.b. Đổi số đo radian của cac 1cung tròn sau ra số đo dộ (chính xác đến phút): 2.5rad,

rad (có thể dùng máy tính bỏ túi, xem bài đọc thêm).

Đs: Theo thứ tự xấp xỉ là 0.375 rad, 1.325 rad, 143014’, 36029’5. Coi kim giờ đồng hố là Ou, kim ohút là Ov. Hãy tìm số đo của các góc lượng giác (Ou,Ov) khi kim đồng hồ chỉ 3 giờ, 4 giờ, 9 giờ, 10 giờ.

Đs: theo thứ tự là: , , , ( )

6. Chứng minh rằng:

a. Hai góc lươnng5 giác có cung 2tia đầu và có số đo là và thì có cùng tia

cuối.b. Hai góc lượng giác xó cùng tia đầu và có số đo là 6450 và -4350 thì có cùng tia cuối.

LUYỆN TẬP8. Cho ngũ giác đều A0A1A2A3A4 nội tiếp đường tròn tâm O ( các đỉnh được sắp xếp ngược chiều quay của kim đồng hồ). tính số đo độ và radian của các cung lượng giác

, ( i, j =0, 1, 2, 3, 4, i j)

9. Tìm góc lượng giác (Ou,Ov) có số dương nhỏ nhất, biết một góc lượng giác (Ou,Ov) có số đo;

a. -900 b.10000 c. d.

đs: a.270 .b . 28011. Chứng minh rằng hai tia Ou,Ov vuông góc với nhau khi và chỉ khi góc lượng giác

(Ou,Ov) có số đo .

12. Kim giờ và kim phút bắt đầu cùng chạy từ vị trí Ox chỉ số 12 (tức lúc 0 giờ). Sau khoảng thời gian t giờ (t lấy giá trị thực không âm tùy ý), kim giờ chỉ đến vị trí Ou, kim phút chỉ đên vị trí Ov:a. Chứng minh rằng khi quay như thế, kim giờ quét một góc lượng giác (Ox, Ou) có

số đo , kim phút quét góc lượng giác (Ox, Ov) có số đo -2 t.hãy tìm số đo của

góc lượng giác (Ou,Ov) theo t

b. Chứng minh rằng hai tia Ou và Ov trùng nhau khi và chỉ khi t= với k=0, 2, 3,

…c. Chứng minh rằng trong vòng 12 giờ (0 t 12), hai tia Ou và Ov ở hai vị trí hai tia

đối nhau khi và chỉ khi t= với k=0, 1, 2, …10

13. Hỏi hai góc lượng giác có số đo radian và (m là số nguyên) có thể có

cùng hai ti đầu, tia cuối hay không?Đs: không thể

BÀI 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG) LƯỢNG GIÁC

I.Đường tròn lượng giác1.Định nghĩa:Đường tròn lượng giác là một đường tròn đơn vị (bán kính bằng 1), định hướng, trên đó có một điểm A gọi là điểm gốc.

2.Tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng giácĐiểm M thuộc đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM)= (hay bởi cung , hay bởi góc ). Điểm M còn đựoc goi là điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung (góc) lượng giác có số đo .Nhận xét: ứng với mỗi số thực có 1 điểm trên đường tròn lượng giác (điểm xác định bởi số đó) tương tự như trên trục số.tuy nhiên, mỗi điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số số thực. Các số thực có dạng +k2 (k ).

3.Hệ toạ độ vuông góc gắn với đường tròn lương giácCho đường tròn lượng giác tâm O, điểm gốc A. xét hệ tọa độ vuông góc Oxy sao cho

tia Ox trùng với tia OA, góc lưọng giác (Ox,Oy) là góc ,(k ). Hệ đó được

gọi là hệ tọa độ vuông góc gắn với đường tròn lượng giác đã cho.

II.Giá trị lượng giác sin và côsin

1.Các định nghĩaHoành độ x của M được gọi là côsin của góc lượng giác (Ou,Ov) hay của và kí hiệu: cos(Ou,Ov)= cos = xTung độ y của M được gọi là sin của góc lượng giác (Ou,Ov) hay của và kí hiệu: sin(Ou,Ov)= sin = yNếu sđ(Ou,Ov)=a0 thì ta cũng viết

Cos (Ou,Ov)=cos a0

Sin (Ou,Ov)=sin a0

2.Tính chất Cos( )= cos Sin( )= sin -1 cos 1 -1 sin 1 cos2 +sin2 =1

III.Giá trị lượng giác tang và cotang1.Các định nghĩa

Nếu cos 0 (tức +k , k ) thì tỉ số được gọi là tang của góc , kí

hiệu tan (người ta còn dùng kí hiệu tg )

Nếu sin 0 (tức k , k ) thì ti số được gọi là côtang của góc , kí

hiệu là cot (người ta còn dùng kí hiệu cotg )

2.Tính chấtTan ( +k ) = tan ;cot +k) = cot ( ) = cot

Cot =

1+ tan2 = (cos 0)

1+ cot2 = (sin 0)

IV.Tìm giá trị lượng giác của một góc0

sin 0 1

cos 1 0

tan 0 1 kxđ

cot kxđ 1 0

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP14. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?a. Nếu âm thì ít nhất một trong các số cos , sin phải âm

b. Nếu dương thì sin = .

c. Các điểm trên đường tròn lượng giác xác định bời các số thực trùng nhau:

, , ,

d. Ba số bằng nhau:

cos2450, sin và –sin2100

e. Hai số sau khác nhau:

sin và sin ( )

g. Các điểm của đường tròn lượng giác lần lượt xác định bời các số 0, , , ,

, là các định liên tiếp của một lục giác đều.

Đs: a. Sai b. Sai c. Sai d. Đúng e. Sai g. Đúng15. Tìm các điểm của đường tròn lượng giác xác định bời số trong mỗi trường hợp sau

a. cos = , b. = sin , c. tan =

Đs: M(x,y), x2+y2=1 và theo thứ tự là a. x≥0 b. y≥0 c. y≥0, y≠0.16. Xác định dấu của các số sau:

a. sin1560; cos(-800); tan ( ); tan 5560

b. sin ( ), cos ( ), tan ( ) biết 0< <

Đs: theo thứ tự: a. Dương, dương, âm, dương b. Dương, dương, âm17. Tính các giá trị lượng giác của các góc sau:

a. b. c. d. (k )

Đs: theo thứ tự: a. b. (-1)k, 0, 0, không xác định b. (-1)k, 0, 0, kxđ

c.0, (-1)k, kxđ d. (-1)k ,(-1)k ,1,1

18. Tính các giá trị lượng giác của các góc trong mỗi trường hợp sau:

a. cos = , sin <0 b. sin = , c. tan = ,- < <0

đs: a. b.

c.

19. Đơn giản biều thức

a. b. c. (giả

sử cos 0)

Đs: a. b. 0 c. Tan2α

LUYỆN TẬP

20. Tính giá trị lượng giác của các góc sau:

2250,-2250, 7500, -5100, , , ,

21. Xét góc lượng giác (OA, OM) = , trong đó M là điểm không nằm trên các trục tọa độ Ox,Oy. Hãy lập bảng dấu của sin , cos , tan theo vị trí của M thuộc các góc phần tư thứ I, II, III, IV trong hệ tọa độ Oxy. Hỏi M ở trong góc phần tư nào thì:a. sin , cos cùng dấu b. sin , tan khác dấuĐs: M trong góc I, III thì sinα, cosα cùng dấu b. M tong góc II, III thì sinα, tanα khác dấu22. Chứng minh các đằng thức:a. cos4α-sin4α = 2cos2α-1

b. 1-cot4α =

c. (nếu sinα≠±1)

23. chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào

a.

b.

c. (nếu tan ≠1)

Đs: a. 3 b. -1 c. -1

BÀI 3: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC (CUNG) CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT

I.Hai góc đối nhau

cos(-) = cossin(-) = - sintan(-) = - tancot(-) = - cot.

II.Hai góc hơn kém nhau

sin( + ) = - sincos( ) = - costan( + ) = tancot( + ) = cot.

III.hai góc bù nhau

sin( - ) = sincos( - ) = - cos

tan( - ) = - tancot( - ) = - cot.

IV.Hai góc phụ nhau

sin = cos

cos = sin

tan = cot

cot = tan.

CHÚ ÝNếu số đo của góc hình học uOv là ( ) thì số đo của góc lượng gí tùy ý (Ou,Ov) bằng k2 hay . Do đó, từ các công thức cos(- ) = cos;sin(- ) = sin

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP24. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?a. Khi đổi dấu (tức thay bởi - )thì cos và sin đổi dấu còn tan không đổi dấub. Với mọi , sin2 =2sin

c. Với mọi , =0

d. Nếu cos ≠0 thì

e.

g.

Đs: a. sai b. sai c. đúng d. sai e. đúng g. đúng

25. tìm mối lien hệ giữa các giá trị lượng giác của các cung và

Đs:

26. Tínha. sin210o + sin2200 + sin2300 + ... + sin2800 (8 số hạng)b. cos100 + cos200 + cos300 + ... + cos1800 (18 số hạng)c. cos 3150 + sin3300 + sin2500 - cos1600

Đs: a. 4 b. -1 c.

27. Dùng bảng tính sin, cosin (hoặc dùng máy tính bỏ túi) để tính các giá trị sau (chính xác đến hàng phần nghìn):

Cos(-2500), sin 5200, sin

Đs: a. -0.342 b. 0.342 c. -0.30928. Xét hệ tọa độ vuông góc Oxy, gắn với đường tròn lượng giác. Kiểm nghiệm rằng

điển M với tọa độ ( ; ) nằm trên đường tròn lượng giác đó. Giả sử điểm M xác

định bởi số . Tìm toạa độ các điểm xác định bới các số:

Đs:

29. Biết tan150=2- , hãy tính các giá trị lượng giác của góc -750

Đs: Cos(-750)=

sin(-750)=

tan(-750)=

cot(-750)=LUYỆN TẬP

30. Hỏi các góc lượng giác có cùng tia đầu và có số đo như sau:25940; -6460; -24460; 740

có cùng tia cuối không?Đs: có31. Xác định dấu của các giá trị lượng giác sau:

Cos2500; tan (-6720); tan ; sin(-10500); cos

Đs: âm, dương, âm, dương, âm32. Hãy tính các giá trị lượng giác của góc trong mỗi trường hợp sau:

a. sin = và cos <0

b. cos = và < α < π

c. tan = và π<α<

Đs: a. ,

b. ,

c. ,

33. a. Tính sin + cos +tan ( )

b. Biết sin(π+α)= , tính cos(2π - α),tan (α-7π) và sin( )

Đs: a. 0 b. , , sin

34. Chứng minh rằng:

a. (khi các biểu thức đó có nghĩa)

b.

c.

35. Biết sinα – cosα= m, hãy tính sin3α - cos3α

Đs:

36. Với số α, 0<α< , xét điễm M của đường tròn lượng giác xác định bởi số 2α rồi

Xét tam giác vuông A’MA (A’ đối xứng với A qua tâm O của đường tròn)a.Tính AM2 bằng hai cách khác nhau rồi suy ra cos2α-1=1-2sin2αb.Tính diện tích tam giác A’MA bằng hai cách khác nhau để suy ra sin2α=2sinαcosα

c. Chứng minh , rồi tính các giá trị lượng giác

của các góc ,

37.Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, gắn với một đường tòn lượng giác; cho điểm P(2;-3)

a. Chứng tỏ rằng điểm M sao cho là giao điểm của tia OP với đuờng tròn

lượng giác đó.b. tính tọa độ điểm M, từ đó suy ra cosin, sin cũa góc lượng giác (Ox,OP)

BÀI 4: MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

I.Công thức cộngVới mọi góc lưọng giác a, b, ta có:

cos(a b) = cosa.cosb sina.sinbsin(a b) = sina.cosb sinb.cosa

tan(a b) =

II.Công thức nhân đôi cos2a = cos2a – sin2asin2a = 2sina.cosa

tan2a =

III.Công thức biến đổi tổng thành tích- tích thành tổng1. Tích thành tổng

coscos =

sinsin = -

2. Tổng thành tích

cos + cos =

cos – cos =

sin + sin =

sin – sin =

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP38. Hỏi mỗi khẳng định sau có đúng không?Với mọi α, ,ta có:a. cos (α+ )=cos α+cosβb. sin (α- )=sin α-sinβc. sin (α+ )=sin αcosβ + cosαsind.cos (α-β)=cosα-cosβ- sinα-sinβ

e. (khi các biểu thức có nghĩa)

g. sin2α=sin2αĐs: a. sai b. sai c. đúng d. sai e. sai g. sai 39. Sử dụng 750=450+300, hãy tính các giá trị lượng giác của góc 750

Sử dụng 150=450-300, hãy tính các giá trị lượng giác của góc 150 (đối chiếu với kết quả bài tập 29)

Đs: 750 theo thứ tự là

40. Chứng minh rằng:

a.

b.

c.

d.

41.a. Biết sinα= và α , hã tính các giá trị lượng giác của góc 2αvà góc

b. Sử dụng 150= , hãy kiểm nghiệm lại kết quả bài tập 39

Đs: a.

42. Chứng minh rằng:

a.

b. (hường dẫn: nhân hai vế với sin )

c. sin60sin420sin660sin780= (hướng dẫn: nhân hai vế với cos60)

43. Dùng công thức biến đổi tích thành tổng, chứng minh:

a. cos750cos150=sin750sin150=

b. cos750sin150=

c. cos150sin750=

d. (với mọi )44. Đơn giản biểu thức:

a.

b.

Đs: sinα b. –sin2α

45. Chứng minh rằng:

a. nếu và

b. khi các biểu thức có nghĩa

LUYỆN TẬP46. Chứng minh:a. sin3α=3sinα-4sin3α; cos3α=4cos3α-3cosα

b. sinαsin( )sin( )=

cisαcos( )cos( )=

Ứng dụng: tính sin200sin400sin800 và tan200tan400tan800

Đs: và

47. Chứng minh rồi dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng số để kiểm ghiệm lại gần đúng kết quả:

a. cos100cos500cos700=sin200sin400sin800=

b. sin100sin500sin700=cis200cos400cos800=

48. Chứng minh rằng:

Hướng dẫn: nhân về trái với sin hay sin rồi dùng công thức biến dổi tích thành

tổng

49. Chứng minh rằng:a. cos2(a+x)+cos2x-2.cosa.cosx.cos(a+x)b. sin4x.sin10x-sin11x.sin3x-sin7x.sinxĐs: a. sin2α b. 050. Chứng minh rằng:a. Nếu Tam giác ABC có ba góc A, B, C thỏa mãn sinA=cosB+cosC thì tam giác ABC vuôngb. Nếu tam gíac ABC có ba góc A, B, C thỏa mãn sinA=2sinBcosC thì tam giác giác cân.

51. Chứng minh nếu thì:

a.

b.

c.

d.

52.a. Chứng minh rằng nếu α và β khác ( ) thì:

và

b. Chứng minh rằng với α mà coskα≠0 (k=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) và sinα≠0 thì

53. Biết cosα+cosβ=a, sinα+sinβ=b (a,b là hằng số và a2+b2≠0). Hãy tính sin(α+β) theo a và b

54. Quỹ đạo của một vật được ném lêntừ gốc O, với vận tốc ban đầu là v (m/s), theo

phương hợp với trục hoành Ox một góc α, 0<α< , là một parabol có phương trình

Trong đó, g là gia tốc trọng trường (g≈9.8 m/s2) (giả sử lực cản của không khí không đáng kể). Gọi tầm xa của quỹ đạo là khoảng cách từ O đến giao điểm khác O của quỹ đạo với trtục Oxa. Tính tầm xa theo α (và v)

b. Khi v không đổi, α thay đổi trong khoảng (0; ), hỏi với giá trị α nào thì tầm xa

của quỹ đạo đạt giá trị lớn nhất? Tính giá trị đó theo v. Khi v=80 m/s, hãy tính giá trị lớn nhất đó (chính xác đến hang đơn vị).

Đs: a. b.

55. Hỏi mỗi đẳng thức sau đây có đúng với mọi số nguyên k hay không?

a.

b.

c.

d.

Đs: a. đúng b. đúng c. đúng d. sai 56. Tính:

a. sinα, cos2α, sin2α, cos và sin , biết cosα= và

b. biết cosα= và

c. sin4α-cos4 α biết cos2 α=

d. cos (α-β), biết sin α-sinβ= và cosα-cosβ=

e.

Đs: theo thứ tự a. b. c. d. e.

57. Chứng minh rằng:

a.

b.

c.

d.

58.Chứng minh rằng:Nếu (k ) và thì

b. Nếu 0<α<β<γ< và tanα= , , thì α+β+γ=

c.

59. Chứng minh rnằg với mọi α, β, γ ta có:

Trong các bài 6069, hãy chọn phương án trả lời đúng trong các phương án đã cho:

60. Nếu sinα+cosα= thì sin2α bằng:

a.

b.

c.

d.

61. Với mọi α, bằng

a. sinαb. –sinαc. –cosαd. cosα

62. bằng:

a.

b.

c. -1

d.

63. bằng:

a.

b.

c.

d.

64. bằng:

a.

b.

c.

d.

65. bằng

a. 1

b.

c. -1

d.

66. Góc lượng giác (Ou,Ov) có số đo α mà là góc nhọn thì:

a.

b.

c.

d. có số nguyên k để

67. Góc lượng giác (Ou,Ov) có số đo α mà là góc tù thì:

a.Có số nguyên k để

b.

c.

d.

68. Với góc lượng giác (OA, OM) có số đo α, xét góc lượng giác (OA,ON) có số đo

(M và N là cùng nằm trên đường tròn lượng giác gốc A). Khi đó, với mọi α sao

cho M nằm trong góc phần tư thứ III của hệ tọa độ gắn vớiđường tròn đó (M không nằm trên các trục tọa độ), điệm N luôn:a. Nằm trong góc phần tư Ib. Nằm trong góc phần tư IIc. Nằm trong góc phần tư IIId. Không nằm trong góc phần tư I và III

69. Với góc lượng giác (OA, OM) có số đo α, xét góc lượng giác (OA,ON) có số đo (M và N là cùng nằm trên đường tròn lượng giác gốc A). Khi đó, với mọi α sao

cho M nằm trong góc phần tư thứ I của hệ tọa độ gắn vớiđường tròn đó (M không nằm trên các trục tọa độ), điệm N luôn:a. Nằm trong góc phần tư Ib. Nằm trong góc phần tư IIc. Nằm trong góc phần tư IIId. Không nằm trong góc phần tư IV

Đs: 60B, 61C, 62B, 63D, 64A, 65C, 66D, 67A, 68D, 69D.