Embed Size (px)
Citation preview
TÜRKİYE CUMHURİYETİ
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ
EKONOMETRİ ANABİLİM DALI
YAPISAL DEĞİŞİKLİK ALTINDA BİRİM KÖK TESTLERİ
VE BAZI MAKRO İKTİSADİ DEĞİŞKENLER ÜZERİNE
UYGULAMALAR
Esra İĞDE
YÜKSEK LİSANS TEZİ
ADANA – 2010
TÜRKİYE CUMHURİYETİ
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ
EKONOMETRİ ANABİLİM DALI
YAPISAL DEĞİŞİKLİK ALTINDA BİRİM KÖK TESTLERİ
VE BAZI MAKRO İKTİSADİ DEĞİŞKENLER ÜZERİNE
UYGULAMALAR
Esra İĞDE
Danışman: Yrd. Doç. Dr. Mehmet ÖZMEN
YÜKSEK LİSANS TEZİ
ADANA - 2010
Çukurova Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü Müdürlüğüne,
Bu çalışma, jürimiz tarafından Ekonometri Anabilim Dalında YÜKSEK
LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir.
Başkan : Yrd. Doç . Dr. Mehmet ÖZMEN
(Danışman)
Üye : Prof. Dr . H. Altan ÇABUK
Üye : Prof. Dr. Murat DOĞANLAR
ONAY
Yukarıdaki imzaların, adı geçen öğretim elemanlarına ait olduklarını onaylarım.
...../..../....
Prof. Dr. Azmi YALÇIN
Enstitü Müdürü
Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge, şekil
ve fotoğrafların kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 Sayılı Fikir ve Sanat Eserleri
Kanunu’ndaki hükümlere tabidir.
i
ÖZET
YAPISAL DEĞİŞİKLİK ALTINDA BİRİM KÖK TESTLERİ
VE BAZI MAKRO İKTİSADİ DEĞİŞKENLER ÜZERİNE
UYGULAMALAR
Esra İĞDE
Yüksek Lisans Tezi, Ekonometri Anabilim Dalı
Danışman: Yrd. Doç. Dr. Mehmet ÖZMEN
Ağustos 2010, 103 sayfa
Bir zaman serisi değişkeni, analiz dönemi içerisinde savaş, barış, politika
değişimleri, ekonomik krizler gibi pek çok nedenden dolayı yapısal kırılmalar içerebilir.
Serilerde meydana gelen yapısal kırılmalar serilerin durağanlığının belirlenmesinde bir
takım güçlüklere yol açar. Bu değişiklikler dikkate alınmadan birim kök testi
uygulamak yanlış sonuçlar verebilir ve testin gücünü azaltır. Böyle bir durumda aslında
birim köke sahip olmayan bir serinin yanlış olarak birim kök içerdiği şeklinde bir sonuç
elde edilebilecektir. Güvenilir regresyon sonuçları elde etmek için serilerdeki yapısal
değişikliğin dikkate alınması gerekmektedir.
Çalışmada Türkiye’ye ait bazı makro iktisadi zaman serilerinin yapısal
değişiklik altında durağanlığın sınanması amaçlanmıştır. Bu bağlamda, serilerin birim
kök süreci içerip içermedikleri ve serilerin trend fonksiyonunda meydana gelen yapısal
kırılmaların birim kök süreci üzerindeki etkileri incelenmiştir. Serilerin 1987 ve 2009
dönemine ait 3 aylık frekansları kullanılmıştır. Ele alınan makro iktisadi değişkenler
öncelikle yapısal kırılmanın dikkate alınmadığı ve uygulamalarda çok yaygın olarak
kullanılan ADF, PP ve KPSS birim kök testleri ile analiz edilmişlerdir. Daha sonra,
serilerin trend fonksiyonunda meydana gelen tek zamanlı bir kırılmanın birim kök
testleri üzerindeki etkisini araştırmaya yönelik, Zivot ve Andrews (1992), BLS ve
Perron (1997) tarafından geliştirilen test yöntemleri; serilerin trend fonksiyonunda
meydana gelen birden çok kırılmanın test edilmesinde kullanılan Lee ve Strazicich
(2003) testi incelenmiştir. Çalışmada GSMH, tüketim, üç ay vadeli mevduat faiz
ii
oranları, İMKB 100 endeksi, reel döviz kuru, cumhuriyet altın fiyatları, tefe, tüfe, M1
ve M2 serilerine ait gözlemler kullanılmıştır.
Anahtar Kelimeler: Zaman serileri, Durağanlık, Birim Kök, Yapısal Kırılmalar
iii
ABSTRACT
UNIT ROOT TEST UNDER THE STRUCTURAL CHANGE AND
APPLICATIONS ON MACROECOOMIC VARIABLES
Esra İĞDE
Master Thesis, Department of Econometrics
Supervisor: Asst. Prof. Dr. Mehmet ÖZMEN
August 2010, 103 pages
Time series variables can include structural breaks by some reason which can be
wars, peace, change of policy implementations, economic crises. Structural changes that
are accuring in the series cause diffucilties of determining their stationrity. If one apply
unit root tests without taking notice of these structural changes the results can have
errors and these affect the power of the tests. In that case, a time series can be specified
to have even though the series do not actually have unit root. For obtainig reliable
regression results one need to take structural changes into account.
In this study, testing the steadiness of particular Turkish macro economic data
under structural break was intended. In this context, whether the series include unit root
and the effects of structural breaks in the series' trend function on the unit root process
were examined. The sample covered quarterly data for 1987-2009 period. Firstly we
analyzed the series by using of standart unit root tests; ADF, PP and KPSS, which do
not take precsence of structural change inot account. Then, relevant macro economic
variables were analyzed with some particular unit root tests where the structural breaks
are not taking into account. In order to analyze the effects of one time break in the
series' trend function on the unit root tests, test methods powered by Perron (1989),
Zivot and Andrews (1992), Perron (1997) were conducted. Moreover, tests used by
Lumsdaine and Papell (1997) and Lee and Strazicich (2003) to test more more than one
break in the series' trend function were examined. In this study, observation of GNP,
consumption, interest rate, gold prices, ISE 100 index, Money supply (M1 and M2),
wholesale price indeks, Costumer Price Index and Exchange rate were applied.
iv
Keywords: Time Series, Stationarity, Unit Root, Structural Break
v
ÖNSÖZ
Tez çalışmam süresince yardım ve desteklerini esirgemeyen sayın hocam ve tez
Danışmanım Yrd. Doç. Dr. Mehmet ÖZMEN’e sonsuz teşekkürlerimi sunarım.
Uygulama aşamasında bana yol gösteren sayın hocam Okyay UÇAN’a da teşekkürü bir
borç bilirim. Okul hayatım boyunca maddi ve manevi tüm olanakları ile yanımda duran
ve beni destekleyen aileme sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca beni yüreklendiren
ve bana inanan kardeşlerime de teşekkür ederim
Bu çalışma, hiçbir şekilde haklarını ödeyemeyeceğim annem Mediha İĞDE ve
babam Selim İĞDE’ye armağanımdır.
Not: Bu araştırma Ç.Ü. Araştırma Fonu Saymanlığınca (İİBF2009YL5) desteklenmiştir.
vi
İÇİNDEKİLER Sayfa
ÖZET ................................................................................................................................i
ABSTRACT ...................................................................................................................iii
ÖNSÖZ ............................................................................................................................v
TABLOLAR LİSTESİ .................................................................................................vii
ŞEKİLLER LİSTESİ.....................................................................................................ix
EKLER LİSTESİ……..……………………………………………………...…............x
GİRİŞ ...............................................................................................................................1
BİRİNCİ BÖLÜM
ZAMAN SERİLERİNDE TEMEL KAVRAMLAR
1.1. Zaman Serileri ve Stokastik Süreçler .…….……………………..…….…………...3
1.2. Zaman Serilerinin Stokastik ve Deterministik Özellikleri ………………………...3
1.3. Durağanlık Kavramı ……….….……………………………..……………………..5
1.4. Durağanlığın Önemi ve Sahte Regresyon (Spurious Regression) ..….………..........6
1.5. Saf Rastsal Süreç (White Noise Process) …………………….……………….….7
1.6. Rastsal Yürüyüş Süreci (Random Walk Process) …………………….…………….7
1.7. Zaman Serilerinde AR, MA ve ARMA Modelleri (Box-Jenkins Yöntemi) ...…… 7
1.8. Durağanlık Testleri ………………………………………………………………..10
1.9. Otokorelasyon Fonksiyonu: ACF (k) ...………………....………..………….……10
1.9.1. Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu: PACF(k)……………………….…..….11
1.9.2. Portmanteau Testleri: Q-İstatistikleri………………….…………………....11
1.9.2.1. Box-Pierce İstatistiği (Q İstatistiği)………….…….…….….……...11
1.9.2.2. Ljung-Box Q İstatistiği (LB-Q İstatistiği)….………….….….…….12
1.9.2.3. Durağanlığın Birim Kökle Sınanması…………….………………..12
İKİNCİ BÖLÜM
BİRİM KÖK KAVRAMI VE BİRİM KÖK TESTLERİ
2.1. Dickey ve Fuller (1979) Testi ...…………….……………………………….........14
vii
2.2. Genelleştirilmiş (Augmented) Dickey - Fuller (ADF) Test ……………………...16
2.3. Dickey ve Fuller (1981) Testi ………………………………………………….…18
2.4. Phillips ve Perron (1988) Testi ...……………………………………..…………..19
2.5. KPSS (1992) Testi ...…………………………………………...............................22
ÜÇÜNCÜ BÖLÜM
YAPISAL DEĞİŞİKLİK VE BİRİM KÖK TESTLERİ
3.1. Perron (1989) Testi ……………………..................................................................22
3.2 Christiano (1992) Testi………………………..........................................................32
3.3. Zivot ve Andrews (1992) Testi……………………………………………….…...38
3.4. Banerjee, Lumsdaine ve Stock (1992) Testi…………………………….………...41
3.5. Perron ve Vogelsang (1992) Testi ………………………………...........................45
3.6. Lumsdaine ve Papell (1997) Testi………………………….……………………...51
3.7. Perron (1997) Testi ………………………………………….………….................54
3.8. Vogelsang Ve Perron (1998) Testi …......................................................................63
3.9. Lee Ve Strazicich (2003, 2004) Testi ……………………………………………..68
3.10. Yapısal Kırılmayı Dikkate Alan Birim Kök Testlerine Genel Bir Bakış………...74
DÖRDÜNCÜ BÖLÜM
TÜKİYENİN BAZI MAKRO İKTİSADİ DEĞİŞKENLERİ ÜZERİNE
UYGULAMA
4.1. Yapısal Kırılmaları Dikkate Almayan Testlerin Uygulaması .................................76
4.2. Yapısal Kırılmalı Birim Kök Testlerinin Uygulaması.............................................79
4.2.1. Zivot ve Andrews (1992) Test Sonuçları.….……………………….………79
4.2.2. Banerjee, Lumsdaine, Stock (1992) Test Sonuçları…………………….…..81
4.2.3. Perron (1997) Test Sonuçları….……………………………………………82
4.2.4. Lee ve Strazicich (2004) Test Sonuçları …………………………………...84
4.3. Yapısal Kırılmalı Birim Kök Testlerine İlişkin Genel Bir Değerlendirme ……….86
SONUÇ ..........................................................................................................................89
KAYNAKÇA .................................................................................................................91
EKLER …………..........................................................................................................95
viii
ÖZGEÇMİŞ …………………………………………………………………………103
ix
TABLOLAR LİSTESİ
Sayfa
Tablo 1 : ADF, PP ve KPSS Birim Kök Test Sonuçları.................................................77
Tablo 2: Birinci Farkı Alınmış Seriler İçin ADF, PP ve KPSS Test Sonuçları…….....78
Tablo 3: Zivot ve Andrews (1992) Test Sonuçları........................................................79
Tablo 4 : BLS (1992) Test Sonuçları………..................................................................81
Tablo 5 : Perron (1997) Test Sonuçları………..............................................................83
Tablo 6 : Lee ve Strazcich (1992) Test Sonuçları..........................................................84
Tablo 7 : Yapısal Değişikliği Dikkate Alan Testlerin Karşılaştırmalı Sonuçları..........86
x
ŞEKİLLER LİSTESİ
Sayfa
Şekil 1: Christiano (1992) Test Sonuç Grafiği…………………………………………35
Şekil 2: Christiano (1992) GSMH Zaman Yolu Grafiği ………………………………37
xi
EKLER LİSTESİ
Sayfa
Ek 1 : Değişkenlere Ait Zaman Yolu Grafikleri ……....................................................95
Ek 2: Christiano (1992) Tablo 1…………………………………….……...................97
Ek 3: Z&A (1992) Kritik Değer Tabloları ………………………….……...................98
Ek 4: BLS (1992) Kritik Değer Tabloları .....................................................................99
Ek 5: Perron (1997) Kritik Değer Tabloları ………....................................................100
Ek 6: Lee ve Strazcich (1992) Kritik Değer Tabloları ………....................................102
GİRİŞ
Zaman serileri istatistik ve ekonometri bilim dallarının yanı sıra pek çok alanda
oldukça geniş bir kullanım alanına sahiptir. Zaman serileri kullanılarak yapılan
analizlerde zaman serilerinin özelliklerinin bilinmesi önemlidir. Zaman serileri sahip
oldukları bileşenlere göre stokastik ya da deterministik bir yapıya sahip
olabilmektedirler. Zaman serilerinin sahip oldukları stokastik bileşenler serilerin
durağan olup olmadıkları ile ilgilidir. Durağanlık kavramı ekonometrik açıdan olduğu
kadar iktisadi açıdan da oldukça önemli bir kavramdır. İktisadi açıdan durağanlık
kavramı, bir denge durumunu ifade etmektedir. Ancak pek çok iktisadi zaman serisi
değişkeni durağan olmayan bir yapıya sahiptir.
Durağanlık kavramı, analiz edilen serilerin doğru bir şekilde tanımlanabilmesi
ve istatistiksel çıkarımlarda bulunulabilmesi açısından önemlidir. Durağanlık etkin ve
tutarlı tahminler için gerekli bir koşuldur.
Durağanlığın araştırılmasında uygulamada en çok kullanılan yöntemler serilerin
kolerogramlarının incelenmesi, Portmanteau testleri ve birim kök testleridir. Birim kök
testleri, son yıllarda ampirik uygulamalarda çok fazla ilgi görmektedir ve yaygın olarak
kullanılmaktadır.
Literatürde en çok kullanılan birim kök testi Dickey-Fuller (1979) tarafından
geliştirilen ve parametrelerin en küçük kareler tahmin edicisinin dağılımına dayanan
birim kök testidir. Dickey ve Fuller (1976) tarafından ilk kez 1976 yılında ileri sürülen
asimptotik teoriye dayanan bu testi daha sonra pek çok çalışma izlemiştir.
Nelson ve Plosser’in 1982 yılında yayımlanan çalışmalarında ABD’ye ait 14
makro ekonomik zaman serisinde birim kökün varlığını, ADF birim kök testi ile
sınamışlardır. NP (1982)1 çalışmalarında bir seri hariç, diğer tüm seriler için birim kök
boş hipotezini reddedememişlerdir. Nelson ve Plosser (1982) çalışmasını izleyen birçok
çalışmada geliştirilen analiz yöntemleriyle Nelson ve Plosser (1982) bulgularını
destekleyen sonuçlar elde edilmiştir. Birim kök varlığını test etmek için geliştirilen
1 Nelson, C. R., C. Plosser (1982), “Trends and Random Walks in Macroeconomic Time Series”, Journal of Monetary Economics, 10:139-67.
2
alternatif yaklaşımların ampirik uygulamaları, çoğu makroekonomik zaman serisinin
birim köke sahip olduğunu yeniden tasdik etmiştir (Perron, 1989).
Makroekonomik teori birim kök sürecinin sistem üzerindeki etkileri ile
ilgilenmektedir. Nelson ve Plosser (1982) elde ettikleri sonuçlarla boş hipotez altında
makroekonomik zaman serilerine uygulanan şokların kalıcı bir etkiye sahip olduğunu,
yani dalgalanmaların geçici olmadığını ileri sürmüşlerdir. Ancak savaş, barış, ekonomik
krizler, uygulanan politikaların değişmesi gibi pek çok nedenden dolayı
makroekonomik seriler yapısal değişimler içermektedir. Serilerde meydana gelen
yapısal değişmeler dikkate alınmadan birim kök testlerinin uygulanması doğal olarak
yanıltıcı sonuçlara neden olacak ve aslında deterministik bir trend etrafında durağan
olan pek çok serinin yanlış olarak stokastik bir trendle ifade edilmesine neden olacaktır.
Tezin temel amacı, yapısal kırılmaları dikkate alan testlerin kullanımı ile
Türkiye’ye ait belli başlı makro iktisadi değişkenlerinin analiz edilmesidir. Bu
bağlamda ilk bölümde zaman serileri ve bazı temel kavramlar açıklanmıştır. Tezin
ikinci bölümünde ise yapısal kırılmaları dikkate almayan belli başlı birim kök testleri
incelenmiştir. Bunlar, DF (1979), ADF (1981), DF (1981), PP (1988) ve KPSS (1992)
tarafından önerilen birim kök testleridir. Çalışmamızın üçüncü bölümde, yapısal
kırılmaları dikkate alan testler ayrıntılı bir şekilde incelenmiştir. Bu testler Perron
(1989), Christiano (1992), Zivot ve Andrew (1992), Banerjee, Lumsdaine ve Stock
(1992), Perron ve Vogelsang (1992), Lumsdaine ve Papel (1997), Perron (1997),
Vogelsang ve Perron (1998), Lee ve Strazicich (2003,2004) testleridir. Çalışmanın
dördüncü bölümünde ise, Türkiye’ye ait on makro iktisadi değişken öncelikle yapısal
kırılmaları dikkate almayan standart birim kök testleri ile daha sonra serilerde meydana
gelen yapısal kırılmalı dikkate alan testlerin kullanım ile analiz edilmiştir. sonuç
bölümünde tez çalışması analiz sonuçları ile birlikte genel olarak değerlendirilmiştir.
Standart birim kök analizinde Ewies 5.1 paket programı, yapısal kırılmalı birim
kök testlerinin analizinde WinRats 6.0 paket programı kullanılmıştır.
3
BİRİNCİ BÖLÜM
ZAMAN SERİLERİNDE TEMEL KAVRAMLAR
1.1. Zaman Serileri ve Stokastik Süreçler
İstatistik ve ekonometri gibi bilim dallarında geniş bir uygulama alanı
bulabilen zaman serileri, zaman içinde gözlemlenen ölçümlerin bir dizisi olarak
tanımlanmaktadır (Akdi, 2003). Zaman serisi verileri, değişkenlerin bir dönemden
diğerine ardışık bir şekilde gözlendiği sayısal değerler hakkında bilgi verirler. Gözlenen
verilerin zaman içerisinde ardışık bir biçimde gerçekleşmesi bir koşul değildir fakat
düzenli aralıklarla dizinin gelişimini görme açısından önemlidir. Zaman serisi verileri
genellikle günlük, haftalık, aylık, üç aylık, yıllık ve daha uzun dönemli aralıklarla
derlenir ve toplanır (Sevüktekin, Nargeleçekenler,2005). Makroekonomi ve finans
verilerinin çoğu, milli gelir, tüketim gibi tek bir değişkene ait ardışık gözlemler seti
olan, zaman serileri biçimde ifade edilir.
Stokastik süreç, olasılık kurallarına göre zaman içerisinde gelişen bir olgudur.
Zaman serileri analizinde, zaman serisi bir stokastik sürecin gerçekleşmesi olarak ifade
edilir (Box&Jenkins, 1976).
tYYY ,...,, 21 ya da tY ( tt ,...,2,1= ) şeklinde ifade edilebilen zaman serisinde tY
rastsal bir değişken olarak alınır. tY gibi bir kesikli rastsal değişken dizisinin olasılık
yapısı, stokastik sürecin bileşik dağılımı tarafından belirlenir. Stokastik sürecin dağılımı
ise, ikisi de zamanın bir fonksiyonu olan, değişkenin birinci ve ikinci momentleri ile
tanımlanır. (Madalla&Kim,1998).
Zaman serileri analizi, bir zaman serisinin kendi olasılık yapısının belilrlenmesi
ve gelecekteki durumunun öngörülmesi veya birden fazla zaman serisi arasındaki
ilişkilerin belirlenerek ortaya çıkarılması işlemi olarak özetlenebilir.
1.2. Zaman Serilerinin Stokastik ve Deterministik Özellikleri
Ekonomik, sosyal, psikolojik vb. çeşitli nedenlerin, zamanla ilişkili değişkenler
üzerindeki etkisi, yön ve şiddetinin farklı olması nedeniyle, zaman serisi gözlem
4
değerlerinde bazı değişmeler gözlenir. Bu değişmeler zaman serilerini etkileyen
faktörler ya da bileşenler olarak ifade edilirler.
İktisadi zaman serileri genel olarak trend, mevsimsel, konjonktürel ve düzensiz
(rastsal) hareketlerin bileşiminden oluşur. Bir zaman serisi, frekansına bağlı olarak sözü
edilen bu dört bileşenden birini veya birkaçını bünyesinde bulundurabilir. Zaman serisi
verilerine dayalı ekonometrik modellerde serilerin zaman serisi özelliklerinin bilinmesi
önemlidir. Serinin hangi bileşenlerden oluştuğunun belirlenmesi başka bir ifade ile
serinin bileşenlerine ayrıştırılması ve bu bileşenler seri üzerinde bir etkiye sahip ise
serinin bu bileşenlerden arındırılması gerekir. Sözü edilen bu bileşenler serilerin
stokastik ve deterministik özelliklerini belirler (Bozkurt, 2007).
Trend, zaman serisinin uzun dönem sistematik hareketini gösterir. Zaman
serisinin uzun dönemde sergilediği kararlı azalış ya da yükseliş şeklindeki genel
eğilimidir.
Mevsimsel dalgalanmalar, zaman serilerinin mevsimlere göre değişimi ifade
eder. Mevsimsel dalgalanmalar belirli ve sistematik bir hareket sergilerler.
Çevrimsel bileşen olarak da ifade edilebilen konjonktürel hareketler,
mevsimsellikten farklı olarak düzensiz dönemsel değişmeleri içerir. Konjonktürel
dalgalanmalar toplam ekonomik faaliyetlerde meydana gelen ve yenilenen fakat
periyodik olmayan yani düzensiz genişleme ve daralma hareketleridir. Bu hareketler
istihdam, fiyatlar, GSMH gibi tüm makro ekonomik değişkenlerde meydana gelirler ve
hemen hemen aynı yönde ve aynı zamanda, fakat farklı oranlarda hareket ederler.
Ekonomideki kısa süreli durgunluk dönemleri, ekonomik gelişme dönemleri bu
bağlamda değerlendirilir.
Düzensiz hareketler, belirli olmayan ve önceden tahmini mümkün olmayan
hareketlerdir. Hata terimi ile ifade edilen değişimlerdir.
Serilerde sabit, trend ve mevsimsellik bileşenlerinin bulunup bulunmaması
serilerin deterministik özelliklerini oluşturur. Serilerin stokastik özellikleri ise daha çok
serilerin durağan olup olmadıkları ile ilgilenir (Tarı, 2006).
5
1.3. Durağanlık Kavramı
Bir zaman serisinin istatistiksel analizi yapılmadan önce, o seriyi yaratan sürecin
zaman içinde sabit olup olmadığı yani serinin durağanlığının araştırılması gerekir.
Durağanlık bir takım istatistiksel çıkarımlar yapılabilmesi ve değişkenin daha başarılı
tanımlanabilmesi için önemlidir. Stokastik süreç izleyen zaman serilerinde durağanlık
önemli bir kavramdır. Güçlü durağanlık ve zayıf (kovaryans) durağanlık olmak üzere iki
tür durağanlık söz konusudur. Zaman serileri ile yapılan çalışmalarda serilerin zayıf
durağanlık koşulunu sağlaması yeterlidir.
tYYY ,...,, 21 gibi bir zaman serisinin bileşik olasılık dağılımı, ktkk YYY +++ ,...,, 21
serisinin bileşik olasılık dağılımı ile aynı ise, diğer bir deyişle herhangi bir gözlem
setinin bileşik olasılık dağılımı gözlemlerin yapıldığı zamandan ileriye ya da geriye
doğru kaydırıldığında herhangi bir değişikliğe uğramıyorsa güçlü durağanlıktan söz
edilir (Maddala ve Kim, 1998).
Ortalaması ile varyansı zaman içinde değişmeyen ve iki dönem arasındaki ortak
varyansı bu ortak varyansın hesaplandığı döneme değil de yalnızca iki dönem
arasındaki uzaklığa bağlı olan olasılıklı bir süreç durağan bir süreç olarak tanımlanır.
(Gujarati, 2005)
ssjtjtstt
ystt
stt
yEyEyyE
yEyEyEyE
γµµµµ
σµµ
µ
=−−=−−
=−=−
==
−−−−
−
−
)()())((
)()(
)()(222 (1.1)
Böyle bir stokastik süreç zayıf durağan ya da kovaryans durağan olarak da
bilinir. Bu yöndeki durağanlıkta serinin ortalaması zamandan bağımsızdır, yani serinin
ortalaması zaman içinde sabittir. Varyansı ise sonlu bir sayı ile ifade edilir ve zaman
içinde sistematik olarak değişmediği kabul edilir (Bozkurt,28).
ty ile sty − arasındaki kovaryans gözlemlerin t ’yi belirten tarihe göre değil,
gözlemlerin zaman ayrımı uzunluğuna, yani s gecikme uzunluğuna bağlıdır.
(Sevüktekin ve Nargeleçekenler, 2005)
Güçlü durağan bir zaman serisi aynı zamanda zayıf durağan bir seridir, ancak
zayıf durağanlık zaman serisinin güçlü durağan olmasını gerektirmemektedir.
6
Çok değişkenli normal dağılım, birinci ve ikinci momentlerle tamamen
tanımlanabildiği için, normal durağan süreç için zayıf durağanlık ile güçlü durağanlık
eşdeğerdir. (Madalla ve Kim, 1998)
Serilerde durağan dışılığın nedenlerinden biri seride trend etkisinin
bulunmasıdır. Serideki trend deterministik ya da stokastik olabilir. Serinin sadece
ortalaması zamana bağlı ise seri deterministik trend, sadece otokovaryansı zamana bağlı
ise seri stokastik trend içeriyor demektir. (Yalçın, 2003). Birçok makro iktisadi zaman
serisi hem deterministik hem de stokastik trend ile modellenmektedir. Deterministik
trend içeren bir zaman serisindeki değişim önceden öngörülebilir ve seride meydana
gelen bir şokun etkisi geçici bir niteliğe sahiptir. Stokastik trend içeren seride değişim
tamamen öngörülemez ve seride meydana gelen şokun etkisi gelecek dönemlerde de
devam eder. Durağan olmayan bir seri, çeşitli işlemler kullanılarak durağan hale
getirilmelidir. Eğer seri stokastik bir trende sahip ise zaman serinin farkının alınması
gerekir. Deterministik trende sahip zaman serilerinde ise serinin trendden arındırılması
için seri ortalamasından çıkarılır.
Deterministik trend etrafındaki dalgalanmalar, trend durağan süreç ve stokastik
trend etrafındaki dalgalanmalar ise fark durağan süreç olarak adlandırılır. Serinin
trendden arındırılması için kullanılacak yöntem serinin trend durağan ya da fark
durağan bir süreç olmasına dayanır. (Kim&Madalla, 1998)
1.4. Durağanlığın Önemi ve Sahte Regresyon (Spurious Regression)
Klasik regresyon modelinin varsayımları hem ty ve sty − dizilerinin durağan
olmasını, hem de hataların sıfır ortalamaya ve sonlu sabit bir varyansa sahip olmasını
gerektirmektedir. Regresyon modelinin standart varsayımlarından durağanlık etkin ve
tutarlı tahmin için gerekli koşuldur. Ancak iktisadi zaman serilerinin önemli bir kısmı
durağan olmayan bir yapıya sahiptir. Durağan olmayan bir değişkenin olasılık dağılımı
zamana göre değişmediği için, böyle bir değişkeni durağan kabul ederek yapılan analiz
yanıltıcı sonuçlar verebilmektedir. Granger ve Newbold (1974) simülasyon çalışmaları
sonucunda bu durumla ilgili önemli bulgular elde etmişlerdir. Bu bulgular yüksek
determinasyon katsayı ( 2R ), çok yüksek t istatistik değerleri ve düşük Durbin-Watson
değerleri şeklindedir. Bunun doğal sonucu olarak test istatistiklerine
7
güvenilemeyecektir. Bu istatistikler yanıltıcı olacaktır. Bu sonuçlar, Granger ve
Newbold (1974)’ün ifadesiyle sahte regresyonlar ortaya çıkarabilir.
1.5. Saf Rastsal Süreç (White Noise Process)
tε sıfır ortalamalı, sabit varyanslı ve serisel olarak korelasyonsuz bir dizi ise saf
rastsal bir süreç olarak adlandırılır.
221
2
1
...)()(
0...)()(
σεε
εε
===
===
−
−
tt
tt
EEEE
(1.2)
Ve bütün j ’ler için
0)()( == −−−− sjtjtstt EE εεεε ’dır.
tε ~ ),0( 2σIID , Tt ,...,2,1= , şeklinde gösterilir ve bu serinin tanımsal olarak
durağan olduğu kabul edilir. Saf rastsal süreç bu hali ile kovaryans durağandır.
1.6. Rastsal Yürüyüş Süreci (Random Walk Process)
Rastsal yürüyüş süreci durağan olmayan serilerin en basit örneğidir. Y serisinin
t zamandaki değeri, saf rastsallık özelliğine sahip hata terimi tε ile ifade edilirse rastsal
yürüyüş süreci aşağıdaki gibi gösterilebilir.
ttt YY ε+= −1 (1.3)
Rastsal yürüyüş modelinde, (1.3) ile gösterdiği gibi, t dönemindeki Y değeri,
)1( −t dönemindeki kendi değeri artı rastsal bir etkiye sahiptir. Eğer rastsal yürüyüş
modeli AR(1) modelinin özel bir hali olarak düşünülürse, 1−tY ’nin katsayısı, kovaryans
durağanlık koşulunu sağlamayan bir AR(1) modeli olacaktır (Ruey S. Tsay,2002).
1.7. Zaman Serisi Verilerinin AR, MA ve ARMA Modelleri (Box-Jenkins Yöntemi)
Zaman serilerinin tanımlanmasında, sürecin sabit bir ortalama etrafından
dengede kaldığını varsayan ve yoğun bir ilgi gören durağan modeller, stokastik
modellerin önemli bir bölümünü oluşturur.( Box ve Jenkins, 1976 )
8
Durağan zaman serilerini modellemenin en yaygın yolu ARIMA yöntemi, en
yaygın adı ile Box-Jenkins (B-J) yöntemidir. B-J türü zaman serileri modellerinde tY ,
Y ’nin kendi gecikmeli değerleri ve olasılıklı hata terimleri ile açıklanmaktadır.
(Gujarati, 2005).
Box-Jenkins yönteminde üç modelleme söz konusudur. Bunlar otoregresif (AR)
süreç, hareketli ortalama (MA) süreci ve hareketli otoregresif (ARMA) süreçleridir.
Durağan olmayan bir seri için fark alınması gerektiğinde ARMA süreci, bütünleşik
hareketli otoregresif (ARIMA) süreci haline dönüşür (Bozkurt, 2007).
Otoregresif (AR) süreçte Y ’nin t dönemindeki değeri, bir önceki dönemde aldığı
değer ile bir rastsal terime bağlıdır. Bu denklemde birinci mertebeden otoregresif süreç
söz konusu olup AR(1) şeklinde gösterilmektedir. Bu sürecin durağan olması α < 1
koşuluna bağlıdır. Aksi halde durağan olmamakta ve Y değeri geçmişteki şokların etkisi
nedeniyle zaman boyunca mutlak değerce büyüme eğilimi göstermektedir.
ttt YY εα += −1 (1.4)
p. dereceden otoregresif bir sürece ait denklem aşağıdaki gibi yazılabilir;
tptptttt YYYYY εαααα +++++= −−−− ...332211 (1.5)
Y ’nin t dönemindeki değeri bir sabit terim ile şimdiki ve geçmiş hata
terimlerinin hareketli ortalamasının toplamına eşit olduğu zaman böyle bir süreç
hareketli ortalama (MA) süreci olarak adlandırılır (Gujarati,2005).
Birinci mertebeden bir hareketli ortalama süreci, MA(1), (1.6) ile gösterilir.
121 −++= tttY εθεθµ (1.6)
q mertebeden bir hareketli ortamla sürecine ait denklem ise aşağıdaki gibi
yazılabilir.
qtqtttY −− ++++= εθεθεθµ ...121 (1.7)
Hareketli ortalama modelleri, saf rastsal (white noise) dizisinin zaman içinde
değişmeyen ilk iki momentinin sonlu doğrusal kombinasyonudurlar. Bu nedenle
hareketli ortalama modelleri her zaman durağan olan modellerdir. (Ruey S. Tsay, 2002)
9
Çoğu durumda seriler tek başına )( pAR veya )(qMA süreçleri tarafından ifade
edilemezler. Y serisinin hem AR süreci hem de MA süreci özellikleri taşıdığı durumda,
seri ARMA modeli ile ifade edilir.
qtqtttptptttt YYYYY −−−−−− ++++++++++= εθθεθεεααααµ ...... 1332211 (1.8)
Genel bir ARMA modeli şu şekilde yazılabilir,
∑ ∑= =
−− ++=p
i
q
iitiitit YY
1 00 εθαα (1.9)
Genel bir ARMA(p,q) modelini gecikme işlemcisi )(L kullanılarak tekrar
yazarsak,
∑∑=
−=
+=
−
q
itit
p
i
ii YL
010
11 εθαα (1.10)
ve tY için çözüm,
−
+=
∑
∑
=
=−
p
i
ii
q
iti
t
LY
1
010
1 α
εθα (1.11)
olacaktır. Burada durağanlık koşulu ( )∑− ii Lα1 polinomunun karakteristik
köklerinin birim çemberin dışında olmasıdır (Enders, 1995).
Durağan olmayan bir tY serisi d defa farkı alındığında durağan hale geliyor ise,
bu tür serilere d.’inci dereceden bütünleşiktir denir. Bu durumda, tY ~I( d ) ile gösterilir.
Serinin d .’inci dereceden farkı durağan bir ARMA (p,q) serisi ise, bu seriler ARIMA
olarak adlandırılır ve ),,( qdpARIMA olarak ifade edilir. (Akdi, 2003)
10
1.8. Durağanlık Testleri
Durağanlığın test edilmesinde uygulamada en çok kullanılan yöntemler
otokorelasyon fonksiyonlarının incelenmesi, Portmanteau testleri ve birim kök
testleridir.
Pormanteau testleri izleyen alt başlıkta incelenmiştir. Birim kök test stratejisi ise,
bu bölümde özet şeklinde verilmiştir. İkinci bölümde ise birim kök testleri daha geniş
bir şekilde inceleneceğinden, bu bölümde birim kök test stratejisine kısaca değinilmiştir.
1.9. Otokorelasyon Fonksiyonu: ACF(k)
Bir stokastik süreci tamamen tanımlamak mümkün değildir. Bu nedenle süreci
kısmen tanımlayan otokorelasyon fonksiyonu model oluşturmada önemli bir yere
sahiptir. (Kutlar, 2006). Durağanlık konusunda bilgi veren ve stokastik süreci kısmen
tanımlamamızı sağlayan otokorelasyon fonksiyonu, serinin hata terimleri arasındaki
otokorelasyonu şu şekilde tanımlar:
0γγ
ρ kk = (1.12)
Burada ,
kγ ; k gecikme için kovaryansı
0γ ; varyansı göstermektedir.
Uygulamada otokorelasyon fonksiyonunun bir tahmini hesaplanır ve bu
örneklem otokorelasyonu olarak adlandırılır.
Örneklem kovaryansı,
( )( )n
YYYY kttk
+−= +∑γ̂ (1.13)
Örneklem varyansı,
( )n
YYt2
0ˆ ∑ −=γ (1.14)
11
0ˆˆˆγγ
ρ kk = = ACF(k) (1.15)
şeklinde ifade edilmektedir.
1.9.1. Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu: PACF(k)
Zaman serileri analizlerinde, özellikle otoregresif zaman serilerinde, serinin
model derecesinin belirlenmesinde, otokorelasyon fonksiyonu pek açıklayıcı değildir2.
Otokorelasyon fonksiyonu bir zaman serisinde iki nokta arasındaki ilişkinin
açıklanmasında yararlıdır. Ancak bu iki nokta arasındaki ilişki araştırılırken bu noktalar
arasında kalan gözlemlerin etkisinin arındırılması zaman serisi hakkında daha fazla bilgi
sahibi olmamızı sağlar. Burada açıklanan ilişki iki nokta arasındaki kısmi
otokorelasyondur.
),...,,/,( 121 +−−−−=Φ ktttkttkk YYYYYρ (1.16)
Kısmi otokorelasyonlar, otokorelasyon fonksiyonunun değerinden yararlanılarak
aşağıdaki formülle hesaplanır.
∑
∑−
=−
−
=−−
Φ−
Φ−=Φ 1
1,1
1
1,1
,1
,
k
jjjk
k
jjkjkk
kk
ρ
ρρ , ,...5,4,3=k (1.17)
jkkkkjkkj −−− ΦΦ−Φ=Φ ,1,1 1,...,2,1 −= kj için
1.9.2. Portmanteau Testleri: Q-İstatistikleri
1.9.2.1. Box-Pierce İstatistiği (Q İstatistiği)
Box ve Pierce örneklem otokorelasyonlarını kullanarak Q istatistiğini
geliştirmişlerdir.
∑∑==
==k
jj
k
jj rTTQ
1
2
1
2ρ) (1.18)
2 Akdi, Yılmaz (2003), Zaman Serileri Analizi, Bıçaklar Kitabevi, No:2, Ankara
12
veya
[ ]2
1
)(∑=
=k
jjACFTQ (1.19)
Bu istatistik ile otokorelasyon katsayılarının anlamlı bir şekilde sıfırdan faklı
olup olmadığı test edilmektedir. :0H 0=jρ boş hipotezi otokorelasyon katsayılarının
sıfır olduğunu başka bir ifade ile otokorelasyonun olmadığı durumu ifade eder.
Hesaplanan test istatistiği k serbestlik dereceli 2χ tablo değerini aşarsa boş hipotez
reddedilir.
1.9.2.2. Ljung-Box Q İstatistiği (LB-Q İstatistiği)
Q istatistiği büyük örneklemlerde bile zayıf bir test olarak eleştirilmiştir. Bu
eleştiri üzerine Ljung-Box tarafından LB-Q istatistiği geliştirilmiştir. Bu istatistiğin
küçük örneklemlerde, Q istatistiğine göre daha iyi sonuç verdiği gözlenmiştir.
( ) ( ) [ ]∑∑== −
+=−
+=k
j
k
j
j
jTjACFTT
jTr
TTLB1
2
1
2 )(22 (1.20)
İstatistiksel olarak anlamlı otokorelasyon ve kısmi otokorelasyonların varlığı
serinin durağan dışılığını ima eder.
Örneklem otokorelasyonlarının, kısmı korelasyonların ve Q istatistiklerinin
serinin özelliğine göre yaklaşık olarak seçilen k sayıda gecikmeye göre işaretlenerek
çizilen seri grafiği korelogram olarak adlandırılır. Korelogram, serinin durağanlığı ile
ilgili önsel bir bilgi verir.
1.9.2.3. Durağanlığın Birim Kökle Sınanması
Birim kök testleri, gözlenen seride birim kökün varlığını incelenmesinde diğer
bir ifade ile serinin durağanlığının araştırılmasında yaygın olarak kullanılmaktadırlar.
Bir serinin birim kök içermesi, söz konusu serinin durağan olmadığını ifade eder.
Birinci dereceden otoregresif bir model aşağıdaki gibi yazılırsa;
ttt yy εα += −1 (1.21)
13
Burada tε saf rastsal bir hata terimini göstermektedir. Bu veri üretme sürecinin
durağan olması için, 1<α olması gerekir. Eğer 1=α bulunursa birim kök sorunu
ortaya çıkmaktadır. Bu durumda denklemdeki ilişki rastsal yürüyüş sürecine
dönüşecektir.
ttt yy ε+= −1 (1.22)
Bu ilişki, bir önceki dönem değişkenin değerinin ve maruz kaldığı şokun
sistemde kalıcı olduğunu ifade etmektedir. Bu sonuç bütün dönemler için geçerli
olduğundan, daha önceki şokların da değişkenin bu dönemdeki değeri üzerinde etkisinin
sürdüğünü gösterir. Bu şokların kalıcı niteliğe sahip olması, serinin durağan olmadığı ve
serideki trendin stokastik olduğu anlamına gelmektedir. (Tarı, 2006).
Durağan ve durağan olmayan zaman serileri tartışıldığında, sahte regresyon
probleminden kaçınmak için, birim kökün varlığının test edilmesi gerekir (Harris,
1995).
14
İKİNCİ BÖLÜM
BİRİM KÖK KAVRAMI VE BİRİM KÖK TESTLERİ
Bir iktisadi zaman serisini tanımlayan stokastik sürecin, birim kök süreci olup
olmadığı, ekonomistler için ekonometrik bir sorundan fazlasını ifade eder. İktisadi teori
açısından birim kök varlığının testi, iktisadi denge analizi ile yakından ilişkilidir. Denge,
değişme eğiliminin olmadığı bir durumu ifade ettiğinden, denge ilişkisinin istatistiksel
tanımı durağanlık anlamına gelmektedir. Birim kök kavramı ve testleri durağanlığı
sınanmasında yaygın olarak kullanılan bir yöntemdir. Zaman serisinin birim kök içerip
içermediğine bakılarak serinin durağanlığı test edilir (Çabuk ve Balcılar, 1998).
Uygulama da pek çok birim kök testi mevcuttur. Birim kök sınamasına yönelik
ilk formel test Dickey ve Fuller (1979, 1981) tarafından geliştirilmiştir.
2.1. Dickey ve Fuller (1979) Testi
Literatürde en çok kullanılan birim kök testi Dickey-Fuller (1979) tarafından
geliştirilen ve parametrelerin en küçük kareler tahmin edicisinin dağılımına dayanan
birim kök testidir.
ttt eYY += −1ρ (2.1)
(2.1) ile verilen otoregresif süreçte, te sıfır ortalama ve 2σ varyanslı, bağımsız
normal rastsal değişkenlerin bir dizisidir ( te ̴ ),0( 2σNID ). Aşağıda ifade edilen ρ ’nun
regresyon tahmin edicisinin özellikleri ρ = 1± varsayımı altında elde edilmiştir (Dickey
ve Fuller,1979)
$ .ρ =
−
=−
=
−
∑ ∑y y yt tt
T
tt
T
11
12
1
1
Standart Dickey-Fuller (DF) testi hata terimlerinin bağımsız ve aynı dağılıma
sahip oldukları varsayıma dayanır. DF testi, AR(1) sürecinin (sabit terim varken ya da
yokken) birim köke sahip olup olmadığını test etmektedir.
tY ’nin durağanlığının araştırılmasında kurulacak hipotez testleri aşağıdaki gibi
olacaktır;
15
1:0 ≥ρH (durağan dışılık için)
1:0 <ρH (durağanlık için)
1<ρ ise, zaman serisi tY ; ∞→t iken, durağan bir zaman serisine yakınsar.
Eğer 1=ρ ise zaman serisi durağan değildir ve tY ’nin varyansı 2.σt ’dir. Böyle bir
durumda seriye rastsal yürüyüş süreci denir. 1>ρ olduğunda ise zaman serisi yine
durağan olmayacaktır ve serinin varyansı zamanla üstsel olarak artacaktır. (DF, 1979)
Dickey ve Fuller 1979 çalışmalarında aşağıda verilen üç genel model için kritik
τ değerlerini hesaplayarak tablolaştırmışlardır.
ttt eYY += −1ρ (2.2)
ttt eYY ++= −1ρµ (2.3)
ttt eYtY +++= −1ρβµ (2.4)
Üç modelde de başlangıç değeri, 00 =Y olarak alınmıştır.
Verilen bu eşitliklerin iki tarafından da 1−tY çıkartıldığında, bu modellere eşdeğer
olan fark denklemleri elde edilecektir.
ttt eYY +=∆ −1δ (2.5)
ttt eYY ++=∆ −1δα (2.6)
ttt eYtY +++=∆ −1δβα (2.7)
Burada ∆ fark alma operatörüdür. 1−= ρδ ’ dir ve 1=ρ hipotezinin test
edilmesi 0=δ hipotezinin test edilmesi ile aynıdır.
Hipotez sınaması için kullanılan t testi, τ testidir. τ istatistiğinin kritik değerleri
t’den daha büyük varyanslı olup, Monte Carlo simülasyonları ile ile Dickey ve Fuller
(1979) tarafından tablolaştırılmıştır. Bu kritik değerler daha sonra MacKinnon (1991)
tarafından genişletilmiştir.
16
Seride kaymanın ya da trendin varlığı test istatistiğinin dağılımını
etkilediğinden, her bir model için farklı kritik değerler hesaplanmıştır.
Model (2.5) saf rastsal yürüyüş sürecidir. 1=ρ olduğunda model saf rastsal te
dizisine eşit durağan bir model olacaktır. Kesme terimi ve trendin olmadığı bu modelin
sınanması için kullanılan test istatistiği τ istatistiğidir. Model (2.6) ise seride kayma
teriminin olduğu fakat deterministik trendin olmadığı modeldir. Bu model için µτ test
istatistiği kullanılır. Model (2.7) seride hem kayma teriminin hem de trendin olduğu
modeldir. Bu model için ττ istatistiği kullanılır. τ , µτ ve ττ istatistiklerinin hepsi
0=δ hipotezini test etmek için kullanılmaktadır.
0:0 ≥δH (durağan dışılık için)
0:0 <δH (durağanlık için)
Hesaplanan t istatistikleri Dickey ve Fuller tarafından hesaplanan kritik
değerlerle karşılaştırılarak serinin birim kök içerip içermediğine karar verilir.
Hesaplanan değerler DF kritik değerlerinden mutlak değerce küçük ise 0H hipotezi
reddedilemeyecektir ve seride birim kökün varlığı kabul edilecektir.
Dickey-Fuller (1979) çalışmalarında tau (τ ) istatistiğini Box-Pierce Q istatistiği
ile karşılaştırmışlardır ve geliştirdikleri testin Q testine göre daha güçlü olduğunu
göstermişlerdir. (Dickey ve Fuller, 1979)
2.2. Genelleştirilmiş (Augmented) Dickey - Fuller (ADF) Testi
DF (1979) testinde bütün zaman serileri birinci dereceden otoregresif süreçlerle
ifade edilmiştir; ancak daha yüksek dereceden otoregresif süreçlerin test edilmesinde de
DF testlerinin kullanılması mümkündür (Enders,1995).
tY gibi bir zaman serisi AR(p) süreci izlerken, AR(1) süreci olarak ele
alındığında, tY ’nin dinamik yapısının yanlış tanımlanmasından dolayı hata terimi
otokorelasyonlu olacaktır. Otokorelasyonlu hata terimi, hata teriminin saf rastsal olduğu
varsayımına dayanan DF dağılımının kullanımını geçersiz kılar. (Harris,32).
17
Dickey ve Fuller (1981), bu sorunu aşmak için bağımlı değişkenin hata
terimlerinin eşitliğin sağ tarafında yer alacağı bir test önermişlerdir.
DF testinde dikkate alınan üç model kalıbı, bağımlı değişkenin gecikmeli
değerleri modele dâhil edilerek, genelleştirilmiş Dickey Fuller (ADF) regresyonları
aşağıda verilen denklemlerdeki gibi yazılır.
t
k
jjtjtt eYYY ∑
=+−− +∆+=∆
211 δδ (2.8)
t
k
jjtjtt eYYY ∑
=+−− +∆++=∆
211 δδα (2.9)
t
k
jjtjtt eYYtY ∑
=+−− +∆+++=∆
211 δδβα (2.10)
Ele alınan regresyonlarda 0=δ olup olmadığı sınanır. ADF regresyonlarında
birim kökün varlığı, DF testi için hesaplanan kritik değerlerle test edilir. Yine DF
testinde olduğu gibi uygun test istatistiği, regresyon denkleminin içerdiği deterministik
bileşenlere dayanır. (Enders, 1995).
ADF testinin kullanımındaki temel sorun gecikme uzunluğunun seçimidir. ADF
testinin gücü ve boyut özellikleri modele dahil edilen gecikme sayısına oldukça
duyarlıdır. Burada amaç otokorelasyonu ortadan kaldıracak kadar hata terimini modele
dâhil etmektir. Otoregresif süreçlerde uygun gecikme sayısının belirlenmesinde
kullanılan pek çok yöntem bulunmaktadır. Akaike Bilgi Kriteri (AIC), Schwart Kriteri
(SC), Hannan Quin (HQ) ve bu üç kriterin düzeltilmiş formları bu kriterlerden
bazılarıdır. Uygulamada yaygın olarak, AIC ve SC bilgi kriterleri kullanılmaktadır.
Uygun gecikmenin belirlenmesi için, AIC ve SC bilgi kriterlerinin minimum değere
sahip olması gerekmektedir. Seçilen gecikmenin gereğinden büyük olması tahminlerin
eğimli olmasına yol açacaktır. Uygun gecikmenin belirlenmesi oldukça önemlidir.
AIC ve SC yöntemleri genelde k gecikme sayısını çok küçük seçmeye
meyillidirler bu da birim kök testlerinin iyi boyut özelliklerine sahip olmasını
engellemektedir. Diğer bir ifade ile bu durum testlerde boyut çarpıklığına yol
açmaktadır.
18
2.3. Dickey ve Fuller 1981 Testi
Dickey ve Fuller (1981) test yaklaşımı, seriye hakim sürecin trend durağan mı,
fark durağan mı olduğu konusunda bilgi verir. Böyle bir bilgi iktisadi şokların etkisini
belirlemek açısından önemlidir. Trend durağan süreçlerde şokların etkisi geçici bir
özelliğe sahipken, fark durağan bir süreçte şokların etkisi sürekli bir etkiye sahip
olmakta ve ortalamaya dönme eğilimi olmamaktadır. (Aktan, 2007)
Dickey ve Fuller (1981), δβα ve, parametrelerinin birleşik hipotezlerini
test etmek için 321 , φφφ ve olarak adlandırılan üç F istatistiği önermişlerdir. (2.8)
veya (2.9)’de 0== αδ boş hipotezi 1φ istatistiği kullanılarak test edilir. (2.7) veya
(2.10)’nun tahmininde, 0=== δβα ‘nin birleşik hipotezi için 2φ istatistiği kullanılır.
(2.7) ve (2.10)’da 0== δβ boş hipotezi için 3φ istatistiği kullanılır. (Enders, 1995).
[ ] [ ][ ][ ] )/(
/kTRSS
rRSSRSS
edunrestrict
edunrestrictrestrictedi −
−=φ 3
Hesaplanan test istatistiği Dickey ve Fuller(1981) tarafından hesaplanan kritik
değerlerle karşılaştırılır. (2.7) ve (2.10) numaralı denklemlerde, boş hipotezin
reddedilmesi durumunda, serinin trend durağan süreç izlediği, boş hipotezin
reddedilememesi durumunda ise kısıtın geçerli olduğu ve serinin fark durağan süreç
izlediği söylenecektir. Serinin bu şekilde fark durağan ya da trend durağan süreç izlediği
tespit edildikten sonra trendden arındırma ya da fark alma işlemlerine başvurulacaktır.
Bu bölümde, bu aşamaya kadar DF test stratejisi üzerinde durulmuştur. Ancak
DF testleri, hata terimlerinin bağımsız sabit bir varyansa sahip olduğunu varsayar.
Bundan dolayı gerçek veri üretme süreci bilinmediğinden bu durum dört önemli
probleme yol açar. Bunlar:
3 [ ]restrictedRSS ve [ ]edunrestrictRSS ; kısıtlı ve kısıtsız modellerden elde edilen hata kareleri toplamıdır. r; kısıt sayısı, T; kullanılabilir gözlem sayısı, k; kısıtsız modelde tahmin edilen parametre sayısını ifade etmektedir. (T-k kısıtsız modelin serbestlik derecesidir).
19
i) Gerçek veri süreci otoregresif ve hareketli ortalama bileşenlerinin her
ikisini bünyesinde bulunduruyor olabilir. Hareketli ortalama teriminin
derecesi bilinmiyorsa testin nasıl yürütüleceğine dair sorunlar ortaya çıkar.
ii) Tahmin edilen eşitlikte AR mertebesi bilinmiyorsa δ ’nin değeri ve
standart hatası tam olarak tahmin edilemez. Bu durumda gecikme
uzunluğunun seçimi önemlidir.
iii) Diğer bir sorun ise DF testlerinin sadece tek bir birim kökü ele almalarıdır.
Ancak p. derece bir otoregresyon modeli p tane karakteristik kök içerir.
pm ≤ birim kök varsa, durağanlığı sağlamak için m defa fark alınması
gerekecektir.
iv) Dördüncü problem ise modelin bir sabit ve / veya zaman trendini içerip
içermediğidir. (Enders,226)
2.4. Phillips & Perron (1988) Testi
DF testlerinin dağılım teorisi hataların istatistiksel olarak bağımsız ve sabit
varyansa sahip olduklarını varsaymaktadır. Bu nedenle bu testler kullanıldığında
hataların korelasyonsuz ve sabit varyansa sahip olunduğundan emin olunmalıdır.
Ampirik ekonometrik çalışmaların çoğunda bağımsızlık ve sabit varyans varsayımları
hatalarla ilgili oldukça güçlü varsayımlar olarak nitelenir. Nitekim rastsal yürüyüş
süreci olarak karakterize edilebilen zaman serilerinde bu varsayımların yanlış olduğuna
inanılması için iktisadi teoriden gelen oldukça iyi nedenler vardır. (Phillips, 1987)
Phillips ve Perron (1988) , birim kökün varlığını test etmek için, bu varsayımlara
dayanmayan alternatif bir birim kök testi geliştirmişlerdir. Phillips ve Perron
geliştirdikleri bu testle oldukça genel, zayıf bağımlı ve benzer dağılmayan kalıntılara
(innovation) izin veren birleşik t istatistik regresyonu ve EKK tahmin edicileri için
asimptotik bir teori sağlamışlardır (Phillips 1987).
Phillips-Perron testi ADF testinin bir dönüşümüdür ve bu dönüşüm sorunlu
parametrenin bağımlılığını asimptotik olarak ortadan kaldırır. Bunu yaparken
parametrik olmayan bir yöntem kullanır. Phillips-Perron yaklaşımında Dickey-Fuller
prosedüründeki regresyon eşitliklerine değil, sadece test istatistiğine bir dönüşüm
yapılmıştır (Çabuk, Balcılar, 1998).
20
tu bazı koşulları sağladığında, geçici bağımlı ve otokorelasyonlu bir tu
sürecine izin verecektir. Bu koşullar altında tu , sonlu dereceden ARIMA modelleri gibi
olası veri yaratma mekanizmalarının çok geniş bir çeşidini içerir. (Pihillips ve Perron,
1988)
Phillips (1987a) ve Phillips ve Perron (1998), Dickey-Fuller EKK regresyon
denklemlerini ele almışlardır;
,1 ttt uyy += −α (2.11)
,ˆˆˆ 1 ttt uyy ++= −αµ (2.12)
,~~)21(~~
1 ttt uyTty ++−+= −αβµ (2.13)
Denklem (2.11) için veri yaratma süreci
,...)2,1(1 =+= − tuyy ttt α (2.14)
.1=α (2.15)
Denklem (2.14) ile verilen veri yaratma sürecini dikkate alarak denklem (2.15)
ile verilen boş hipotez altında, regresyon katsayılarının sınırlayıcı dağılımları ve
bunların t istatistikleri ile ilgilenilmiştir. Denklem (2.12) ve (2.13)’de sıfır olmayan bir
kayma terimi )0( ≠µ modele dahil edildiğinde, α~ , α̂ katsayıları ve t istatistiği
değişmediğinden, (2.14) ile verilen veri yaratma süreci denklem (2.16) ile gösterilebilir
(Phillips ve Perron,1988).
Böylece denklem (2.12) ve denklem (2.13) için veri yaratma süreci aşağıdaki
gibidir,
,...)2,1(1 =++= − tuyy ttt αµ (2.16)
Yenileşim süreci tu bağımsız ve benzer dağıldığında 22uσσ = sağlanır. tu bu
şekilde bir dağılıma sahip değilse, bu eşitlik sağlanamayacaktır. Yukarıda verilen
regresyon katsayıları ve bunların birleşik t istatistiğinin dağılımı 2uσ ve 2σ sorunlu
parametrelerine dayanır. Bu parametreler genelde bilinmeyen parametrelerdir, ancak
21
tutarlı bir şekilde tahmin edilebilirler. Bu tahminler, dağılımları 2uσ ve 2σ ’den
bağımsız olan dönüştürülmüş testlerin oluşturulmasında kullanılabilir. 2σ ’nin tutarlı
tahmin edicisi 2Tlσ (2.18) de verilmiştir.
∑=
−=T
ttu uT
1
212σ (2.17)
∑∑+=
−=
−− +=T
ttt
l
ltTl uuwTuT11
1212 2τ
ττ
τσ ; 1
1+
−=l
w ττ , (2.18)
Sorunlu parametrelerin bağımlılığını asimptotik olarak ortadan kaldıran
dönüştürülmüş test istatistikleri model (2.11), (2.12) ve (2.13) için aşağıdaki gibi
verilmiştir.
( ) ( ) ( )12/1
1
21
222
1
2
21
222
)2/1(/
)(21)1(
−
=−
−
−
−−
−−=
−−−=
∑
∑
T
ttTlu
T
tTl
uTttZ
yTTZ
σσσσ
σσα
αα
α
(2.11a)
( ) ( ) ( ) ,ˆˆˆ)2/1(ˆ/ˆ
)ˆˆ(21)1ˆ(
12/1
1
21
222ˆˆ
1
2
21
222ˆ
−
=−
−
−
−−
−−=
−−−=
∑
∑
T
ttTlu
T
tTl
uTttZ
yTTZ
σσσσ
σσα
αα
α
(2.12b)
( ) ( ) ( ) ,~~~)2/1(~/~
)~~(21)1~(
12/1
1
21
222~~
1
2
21
222~
−
=−
−
−
−−
−−=
−−−=
∑
∑
T
ttTlu
T
tTl
uTttZ
yTTZ
σσσσ
σσα
αα
α
(2.13c)
Phillips ve Perron tarafından geliştirilen bu test istatistiğinin limit dağılımı, DF
istatistiklerinin limit dağılımı ile aynıdır. Bu nedenle DF tabloları PP istatistikleri için
de kullanılmaktadır.
Phillips ve Perron’un önerdiği, Z testi olarak adlandırılan bu metot, pozitif
hareketli ortalama bileşenleri içeren zaman serisi modellerinde daha avantajlıdır ve
diğer testlere göre daha yüksek bir güce sahiptir. Bu bağlamda DF ve SD prosedürlerine
22
bir alternatif sunmaktadır. Ancak negatif hareketli ortalama bileşenlerinin olduğu
modellerde testin kullanımı boyut çarpıklığına neden olmaktadır ve kullanımı
önerilmemektedir (Phillips ve Perron, 1988).
2.5. KPSS (1992) Testi
ADF testi genelde düşük güç özelliklerine sahip bir test olarak gösterilmektedir.
Schwert (1989) monte carlo araştırmasıyla ADF testinin düşük güce sahip olduğunu ve
gecikme uzunluğu seçimine çok duyarlı olduğunu ortaya koymuştur. Buna karşılık
KPSS testi iyi güç özellilerine sahiptir. Bu yaklaşım, ADF test metodolojisini tersine
çevirerek durağan dışılık alternatife kaşın durağanlık boş hipotezi altında bir test
istatistiği oluşturmuştur. KPSS testinde boş hipotez durağanlık anlamına gelmektedir.
(Çabuk, Balcılar, u-root).
tY durağanlığı araştırılmak istenen gözlenmiş seridir. Seri, durağan hata, rastsal
yürüyüş ve bir deterministik trendin toplamı içinde ayrıştırılır.
ttrtY εξ ++=t (2.19)
ttt urr += −1 (2.20)
tr modelin rastsal yürüyüş, t deterministik trendi, tε ise durağan hataları ve tu
IID ),0( 2σ göstermektedir. durağanlık hipotezi 02 =uσ ’dır. tε durağan varsayıldığı
için tY boş hipotez altında trend durağandır.
KPSS testinde, durağan hatalar üzerinde çok genel koşullar altında asimptotik
bir dağılım türetilmiştir ve bu çok genel koşullar altında asimptotik olarak geçerli olan
LM istatistiğinin dönüştürülmüş versiyonu önerilmiştir (KPSS,1992) .
te , Tt ,...,3,2,1= , sabit ve trend içeren y’nin regresyonundan elde edilen
kalıntılardır. 2εσ bu regresyondan elde edilen hata varyansının tahminidir. Kalıntıların
kısmi süreç toplamı (2.21) ile tanımlanmıştır;
∑=
=T
tttS
1ε Tt ,...,3,2,1= (2.21)
Bu teste ilişkin LM istatistiği aşağıdaki şekilde hesaplanmaktadır,
23
2
1
2 / εσ∑=
=T
ttSLM (2.22)
Bu yaklaşıma LM istatistiğinin asimptotik dağılımına dayanır. LM istatistiği,
hataların ( te ̴ ),0( 2σNID olduğu varsayıma dayalı olarak türetilmiştir. Ancak
durağanlık testlerinin uygulandığı zaman serileri, zaman içinde yüksek derece bağımlı
olduklarından, boş hipotez altında bu varsayım gerçekçi değildir. Bu nedenle geçici
bağımlılığa izin veren, Phillips(1987) ve Phillips&Perron (1988)’nun da kullandığı 2σ ’nin tutarlı tahmin edicisi )(2 ls hesaplanır.
∑∑+=
−=
−− +=T
ststt
l
st eeswTeTs
11
1212 ),(2)( ll (2.23)
)(2 ls tahmincisinin tutarlılığını sağlamak için kesme gecikme parametresinin
(lag truncation parameter), ( l ), ∞→T iken, ∞→l olması gereklidir. )( 2/1to=l
oranı, hem trend durağan hem de seviyede durağan boş hipotezleri için tatmin edici
olacaktır.
Her iki boş hipotezde de LM istatistiğinin paydası 2εσ ’dir. Hataların bağımsız ve
benzer dağılıma sahip olmaması durumunda ise 2εσ yerine 2σ ’nin tutarlı tahmin
edicisinin (2.23) kullanılması daha uygun olacaktır. Bunun için test istatistiğinin
paydası 2−T ile normalleştirilir.
∑=
−=T
tt sST
1
222^
)(/ lµη (2.24)
Verilen denklem ortalama durağanlığın sınanmasını olanak verir. Ortalama
durağan durumda (2.19) ile verilen denklemde ξ sıfır olarak alınır, böylece te , y’nin
sadece sabit üzerine regresyonundan elde edilen kalıntılardır. µ indisi Y regresyonunda
bir trend değil sadece ortalama bulunacağını ifade eder. Trend durağanlık için test
istatistiğinin oluşturulması seviyede durağanlık durumuna benzerdir. Y serisinde hem
sabit hem de trend bulunabilir. Bu durumda, te Y ’nin hem sabit hem de trend üzerine
regresyonundan elde edilen kalıntılardır. (2.24) ile verilen test istatistiği τ indisi ile
gösterilir (KPPS, 1992).
24
ÜÇÜNCÜ BÖLÜM
YAPISAL DEĞİŞİKLİK VE BİRİM KÖK TESTLERİ
İkinci bölümde incelenen ve uygulamada yaygın olarak kullanılan birim kök
testleri ilgili dönemlerde yapısal kırılma ya da kırılmaların varlığını dikkate almadığı
için eleştirilmiştir. Bu bölümde bu eleştiri dikkate alınarak yapısal değişiklik ve yapısal
değişikliğin söz konusu olduğu durumlarda uygulanan birim kök testleri incelenmiştir
Bir zaman serisi değişkeni, analiz döneminin çeşitli alt bölümlerinde
deterministik trend etrafında durağan bir özelliğe sahip olabilir. Bu alt dönemler, sabit
terimde ve/veya eğim parametresindeki yapısal değişikliklerden etkilenebilir. Bu
değişiklikler dikkate alınmadan birim kök testi uygulamak yanlış sonuçlar verebilir ve
testin gücünü azaltır. Yapısal değişim genelde regresyon parametrelerindeki değişmeler
olarak yorumlanır. (Yurdagül, 2001).
Yapısal değişim trend fonksiyonundaki bir kayma olarak da adlandırılır. Savaş,
barış, politika değişimleri, ekonomik krizler gibi pek çok nedenden dolayı serilerde
meydana gelen yapısal kırılmalar stokastik bir sürecin durağan olup olmadığının
belirlenmesini zorlaştırır. Serilerdeki yapısal değişiklikler klasik regresyon
varsayımlarından homojenliğin sağlanamamasına neden olur. Bir değişkene ait zaman
serisinin alt dönemlerindeki yapısal değişiklikler, serinin durağanlık özelliğini
bozacağından, böyle bir serinin klasik birim kök testleri ile analiz edilmesi doğal olarak
yanıltıcı sonuçlar verecektir. Böyle bir durumda, aslında birim köke sahip olmayan bir
serinin yanlış olarak birim kök içerdiği şeklinde bir sonuç elde edilecektir. Güvenilir
regresyon sonuçları elde etmek için, serilerdeki yapısal değişikliğin dikkate alınması
gerekmektedir.
Yapısal değişiklik durumda geçerli olan birim kök test yaklaşımı ilk defa Peron
(1989) tarafından ortaya atılmıştır. Peron (1989) çalışmasında kırılma noktasının dışsal
olarak belirlendiği ve zaman serisinde önsel olarak tarihi bilinen tek bir kırılmaya izin
veren bir test yöntemi geliştirmiştir. Peron (1989)’un dışsallık varsayımına ilk eleştiri
Christiano (1992) tarafından getirilmiştir. Christiano kırılma tarihlerinin içsel olarak
belirlendiği bir test yöntemi önermiştir. Christiano (1992) çalışmasını izleyen ve yapısal
25
değişime izin veren birçok çalışmada Peron (1989) yaklaşımdaki dışsallık varsayımı
eleştirilmiş ve içsel kırılmalı birim kök testleri önerilmiştir.
3.1. Perron (1989) Testi
Perron (1989), Nelson ve Plosser (1982) çalışmasından hareket ederek aynı veri
setini yapısal kırılmaları dikkate alarak incelemiştir. Perron(1989) çalışmasında trend
fonksiyonunda bir kerelik bir kırılmaya izin verildiğinde, Nelson ve Plosser (1982)
tarafından tahmin edilen ve birim kök boş hipotezini reddedilmediği onüç
makroekonomik serinin onu için birim kök boş hipotezini reddedileceğini göstermiştir.
Perron (1989), serilerindeki yapısal kırılma dikkate alınmadan birim kök analizi
yapıldığında, aslında deterministik bir trend içeren çoğu iktisadi ve finansal zaman
serisinin yanlış olarak stokastik trende sahipmiş gibi göründüğünü ileri sürmüştür.
Perron (1989), değişkenler üzerinde sadece iki şokun kalıcı etkiye sahip
olduğunu ve bu iki şokun farklı şekillerde serileri etkilediğini ifade etmiştir. Şoklardan
biri 1929 büyük bunalımı, diğeri 1973 petrol fiyatı şokudur. Peron (1989), 1929
buhranının çoğu değişkenin ortalamasında ani bir düşüşe neden olurken, 1973’teki
petrol şokunun, ise trendin eğiminde bir değişiklik yaratarak, büyümede bir
yavaşlamaya neden olduğu yönünde sonuçlar elde etmiştir. Böylece 1929’dan sonra
trend fonksiyonun sabitinde ve 1973’ten sonra trend fonksiyonunun eğiminde tek bir
değişime izin verildiğinde, çoğu makroekonomik değişkenin trend-durağan bir süreç
izlediğini göstermiştir. Burada trend fonksiyonundaki değişim zamanı, rastsal olarak
tahmin edilen bir değişken olarak değil, sabit olarak ele alınmıştır. Yani, kırılma noktası
bilinmektedir.
Peron (1989), analizini mümkün olduğu kadar önceki analizlerle benzer tutmak
için, tek değişkenli zaman serilerinde, bir birim kökün varlığını test etmede, Nelson ve
Plosser (1982) tarafından da kullanılan, Dickey-Fuller test metodolojisinin bir uzantısını
uygulamıştır.
Peron (1989)’nun çalışmasında { }Tty 1 gibi bir zaman serisi, boş hipotez altında
birim kök süreciyle karakterize edilen bir gerçekleşme olarak ele alınmaktadır. Bununla
birlikte bu yaklaşım seride ( )TTT BB <<1 zamanında meydana gelen bir tek değişime
izin verecek şekilde genelleştirilmiştir.
26
Perron, boş hipotez altında üç farklı model tanımlamıştır. İlk model “Crash
Model” olarak ifade edilmiştir. Bu model serinin düzeyinde dışsal bir değişime izin
vermektedir. “Changing Growth Model” olarak tanımlanan ikinci model ise büyüme
oranında, yani trend fonksiyonun eğiminde tek zamanlı bir kırılmaya izin vermektedir.
Üçüncü model ise hem serinin düzeyinde hem de eğiminde bir değişikliğe izin
vermektedir. (Perron,1989)
Modeller farklı olsa da tüm modellerde boş hipotez fark durağan süreci,
alternatif hipotez ise, trend durağan süreci ifade etmektedir.
Boş hipotez altında A, B ve C modelleri aşağıdaki gibi ifade edilmiştir:
Model (A) ,)( 1 tttt eyTBdDy +++= −µ
Model (B) ,)( 1121 tttt eyDUy ++−+= −µµµ
Model (C) ,)()( 1121 ttttt eyDUTBdDy ++−++= −µµµ
Tüm modellerde ( )TTT BB <<1 kırılma dönemini, başka bir ifade ile trend
fonksiyonunun parametrelerindeki değişim periyodunu göstermektedir.
Ayrıca modellerde ifade edilen kukla değişkenler aşağıdaki gibi oluşturulmuştur.
+=
=..0
11)(
ddTteger
TBD Bt
>
=ddTteger
DU Bt .0
1
( ).,0N~,)()( 2σttt vvLBeLA =
)(LA ve )(LB , L gecikme operatöründe p. ve q. sıra polinomlardır. Yenileşim
serisi { }te , p. ve q. sıradan bir ),( qpARMA süreci olup, p ve q bilinmemektedir. Bu
önerme ty serisinin oldukça genel bir süreci temsil etmesine olanak tanımaktadır.
27
Perron (1989) çalışmasında, ty serisinin zamanla değişmeyen parametrelerle
deterministik bir trend etrafında durağan bir seri olduğu alternatif hipotez yerine,
aşağıdaki üç alternatif modeli analiz etmiştir.
Model (A) ttt eDUty +−++= )( 121 µµβµ
Model (B) ,)( *121 ttt eDTty +−++= βββµ
Model (C) tttt eDTDUty +−+−++= )()( 121211 ββµµβµ
>−
=..0
*
ddTtegerTt
DT BBt
>
=ddTtegert
DT Bt .0
Perron (1998) çalışmasında Model (A), “Crash Model”ini tanımlamaktadır.
Burada birim kök boş hipotezi, kırılma zamanında bir değerini alan kukla değişkenle
karakterize edilmiştir. Trend durağan bir sistemin, alternatif hipotezi altında, model (A)
trend fonksiyonun sabitinde tek bir zaman değişikliğine izin vermektedir. Ampirik
çalışmalarda, kırılma zamanı, BT , 1929 olarak alınmıştır ve 12 µµ < ’dir. )( 12 µµ − farklı kırılma zamanında serinin sabitinde meydana gelen değişimi ifade eder. Boş
hipotez altında, Model (A), kayma parametresi µ ’nün, 1µ ’den 2µ ’e değiştiğini ifade
eder. Model (B), değişen büyüme modelidir (Changing Growth Model). Boş hipotez
altında, izin verilen kırılma zamanında, seviyede ani bir değişime neden olmadan,
sadece trend fonksiyonun eğiminde bir değişime izin vermektedir. B modelinde, BT ,
1973 yılının ilk çeyreği olarak bilinmektedir. 12 ββ < ’dir ve petrol şokundan sonra
büyümedeki yavaşlamayı yansıtmaktadır. )( 12 ββ − kırılma zamanında trend
fonksiyonun eğimindeki değişimin miktarıdır. Model (C) ise Model (A) ve Model (B)
ile açıklanan iki etkiye olanak tanımaktadır. Serinin düzeyinde meydana gelen ani
değişimi farklı bir büyüme patikası izlemektedir. Böylece trend fonksiyonunun hem
düzeyinde hem de eğiminde bir değişime izin verilmektedir (Perron, 1989).
28
Modellerde, D(TB), DU ve DT* kukla değişkenleri kullanılmıştır. D(TB) “pulse
dummy” olarak adlandırılır. Kırılma olan dönemden bir sonraki dönem için “1”, diğer
dönemler için “0” değerini alır. DU “kesim noktası kuklası”dır ve kırılma dönemine
kadar “0”, diğer dönemlerde ise “1” değerini alır. Eğim kuklası DT*, kırılma
döneminden sonraki dönemler için, trendin eğiminde artan bir görünüm olduğunda
1,2,3,…,T değerlerini, diğer durumlarda “0” değerini alır (Aktan, H., 2007).
∑=
−− +∆+++=k
ititittt eycyy
11
~~~~~ αβµ (3.1)
Perron (1989), seride yapısal kırılma varken, (3.1) gibi, DF tipi bir regresyon
tahmin edildiğinde elde edilen t değerlerinin DF tarafından hesaplanan kritik değerleri
aşamayacağını ve birim kök boş hipotezinin reddedilemeyeceğini göstermiştir. DF tipi
regresyonun tüm örneklem tahmin sonuçlarında, α bire yakın bir değer almıştır. Veri
seti 1929 öncesi ve sonrası olarak iki kısma ayrıldığında, elde edilen tahminlerde α ’nın
değeri ciddi bir şekilde düşmektedir. Her ne kadar örneklemin bölünmesi ile α ’nın
değeri düşüş göstermiş olsa da, bu tahminler birim kök boş hipotezini reddedecek güçte
değillerdir. Bunun için kırılma noktasının dışsal olarak belirlenmesine izin veren ve tüm
örnekleme dayalı daha güçlü bir testin daha kullanışlı olacağı açıktır.
Verilen bir büyüklükteki kaymayla α ’nın dağılımı üzerinde örneklem
boyutundaki artışın etkisini analiz etmek için α ’nın asimptotik limiti türetilmiştir.
Bunun için, boş hipotez altında Model (A), (B) ve (C) ile üretilen süreçler ele alınmıştır.
Fakat bu süreçler, hatalar { }te üzerinde daha genel koşullara olanak verilemesini
sağlayacak şekilde genişletilmiştir. Kolaylık açısından Phillips (1987) ve Phillips ve
Perron (1988) “mixing type” koşulları kullanılmıştır. Bu koşullar altında te , sonlu
dereceden, ARMA(p,q) modelleri gibi olası veri yaratma mekanizmalarının çok geniş
bir çeşidini içermektedir. Asimptotik teoriyi gerçekleştirmek için kırılma öncesi ve
sonrası örneklemin, toplam örneklem büyüklüğü T ile orantılı artması gerekmektedir.
Bu etki için hem T hem de BT ’nin tamsayı değerleri, bütün T’ler için, TTB λ= olarak
varsayılmıştır )10( << λ .
Perron (1989) çalışmasında, öncelikle Model A, B ve C’ye göre trendden
arındırılmış { }ty serisini ele almıştır. Burada, { }ity~ , (3.1) regresyonundan elde edilen
kalıntılardır.
29
tDUvetrendizamansabitAi ,:= ,
*,: tDtvetrendizamansabitBi = ,
tt DTveDUtrendizamansabitCi ,,:= .
Aşağıdaki denklemde itα~ , α ’nın en küçük kareler (EKK) tahmin edicisidir.
tit
iit eyy ~~~~
1 += −α (3.2)
Normalleştirilmiş yanlı tahmin edicilerin, )1~( −iT α , ve iα~ ’nin t istatistiğinin
( iit
α~ ) asimptotik dağılımları türetilmiştir. Kırılma noktası, BT nin, tüm örneklem boyutu
T ile aynı orantıda arttığı, TTB λ= olduğu ve T ve BT ’nin tam sayı değerler aldığı
varsayılmıştır. )1~( −iT α , ve ( iit
α~ ), λ parametresinin bir fonksiyonudur. ( 22eσσ = )
olduğunda, λ parametresinin verili değerleri için limit dağılımının yüzde oranları
hesaplanabilir. Kırılma kesri olarak tanımlanan λ , sıfır ve bir arasında değerler
almaktadır. Perron (1989) çalışmasında bu değerler arasında seçilen λ için simülasyon
çalışmaları sonucunda, elde ettiği kritik değerleri tablolaştırmıştır. (Perron,
(1989),Tablo IV, V, VI)
Dağılımın sol kuyruğu dikkate alındığında, testin verilen bir büyüklüğü için, bu
kritik değerler, DF kritik değerlerinden daha geniştir. Bundan dolayı, testin gücünde bir
düşüş olabileceği ifade edilmiştir. Kritik değerler, λ parametresinin değerinden önemli
bir şekilde etkilenmemesine rağmen, maksimum değer (mutlak değerce) λ =0.5 değeri
civarında gerçekleşir (yani örneklemin ortasındaki bir kırılma için). λ sıfır ve bir
değerlerini aldığında, sol kuyrukta, test istatistiğin en küçük değeri (mutlak değerce)
gerçekleşir. λ =0,1 değerlerini aldığında, bu kritik değerlerin DF kritik değerleri ile
benzer olması beklenir.
Perron (1989)’a göre, regresyon (3.2) ve hesaplanan kritik değerler sadece
yenileşim dizisi, te , korelasyonsuz olduğunda geçerlidir. Bu koşulun sağlanmadığı
durumlarda (sorunlu parametrenin bağımlılığını elimine etmek için) iki yaklaşım söz
konusu olacaktır. Bunlardan ilki Phillips (1987) ve Phillips ve Perron (1988) tarafından
önerilen yaklaşımdır. Bu yaklaşım, test istatistiğinde yapılan bir dönüşümle yenileşim
dizisinde zayıf bağımlı ve benzer dağılıma izin veren (test istatistiğine parametrik
30
olmayan bir dönüşüm ile) bir t istatistiği önermektedir. İkinci yaklaşım ise, Dickey &
Fuller (1979) ve Said & Dickey (1984) tarafından önerilen yaklaşımdır. Bu yaklaşım,
hata terimleri arasındaki otokorelasyonu gidermek için, (3.2)’deki denklemde serinin
birinci farkının gecikmeli değerlerini denkleme regresör olarak ekler.
t
k
j
ijtj
it
iit eycyy ~~~~~~
1.1 ∑
=−− +∆+= α (3.3)
Denklem (3.3)’ te α~ , α ’nın en küçük kareler tahmin edicisidir. Yine, 1=α
boş hipotezi test edilmektedir. k parametresi denkleme eklenen ekstra regresörleri
göstermektedir.
Perron (1989) birim kökün varlığını test etmede, DF test stratejisinin uzantısı
olan bir çatı altında, Model (A), Model (B) ve Model (C)’ye karşılık gelen
regresyonların boş ve alternatif hipotezlerini aşağıdaki gibi kurmuştur.
t
k
iitit
At
AAt
AAt eycyTBDdtDUy ˆˆˆˆ)(ˆˆˆˆ
1.1 ∑
=−− +∆+++++= αβθµ (3.4)
t
k
iitit
Bt
BBt
BBt eycyDTtDUy ˆˆˆˆˆˆˆˆ
1.1
* ∑=
−− +∆+++++= αγβθµ (3.5)
t
k
iitit
Ct
Ct
BCt
CCt eycyTBDdDTtDUy ˆˆˆˆ)(ˆˆˆˆˆ
1.1 ∑
=−− +∆++++++= αγβθµ (3.6)
Birim kök boş hipotezi her modelin gerçek parametreleri üzerinde bazı
kısıtlamalar getirmiştir. Bunlar; Model (A), “Crash Hipotezi”:
;0,0,1 === AAA θβα Model (B), “Breaking slope with no crash”:
;0,0,1 === BBB βγα Model (C), her iki etkiye izin veren model:
0,0,1 === CCC βγα . Trend durağan altenatif hipotez altında 1,, <CBA ααα ;
0,, ≠CBA βββ ve 0,,, ≠CBCA γγθθ olması beklenir. Boş hipotez altında BCA vedd θ, ’nin sıfıra yakın olması beklenirken, alternatif hipotez altında, bu
katsayıların anlamlı bir şekilde sıfırdan farklı olması beklenir.
Aατ ~ , Cατ ~ test istatistiklerinin, (3.4) ve (3.6) denklemlerindeki asimptotik
dağılımları ile, (3.3) deki asimptotik dağılımları aynıdır. (3.5) denkleminde verilen Bατ ~
31
için böyle bir durum söz konusu değildir. Denklem (3.5) ve denklem (3.6), tek kukla
değişkeni tTBd )( dışında eşit olduğundan, Bατ ~ ’nin asimptotik dağılımı Cατ ~ ’nin
asimptotik dağılımına benzerdir. Model (B) için, birim kök varlığının testinde (3.5)
regresyonunun kullanımı, α üzerindeki t istatistiğinin kritik değerlerinin daha küçük
(mutlak değerce) olduğu denklem (3.3)’den daha düşük bir güce sahiptir. Yine de model
(B) deki gibi trend durağan bir sürece karşı sabit bir değişimle birim kökün varlığını test
etmek mümkündür. Bunun için Perron (1989) kritik değerleri kullanılır.
t
k
iitit
BT
BBBt eycyDTty ˆˆˆˆˆˆˆ
1.1
* ∑=
−− +∆++++= αγβµ (3.7)
(3.7) deki gibi bir denklem verildiğinde, bu denklemde verilen Bατ ~ t
istatistiğinin asimptotik dağılımı ile (3.3) ile verilen denklemin Bατ ~ t istatistik dağılımı
aynıdır. (3.7) de tDU kuklasının yer almaması, boş hipotez altında, sabitte bir değişime
izin verilmediğini ifade eder.
(3.4), (3.5) ve (3.6) denklemlerinde k ekstra regresörü, test istatistiğinin limit
dağılımda, hata terimlerin geçici bağımlılığından kaynaklı sorunlu parametre
bağımlılığını ortadan kaldırmak için eklenmiştir.
k’nın seçimine ilişkin Perron (1989) tarafından önerilen yöntem
kullanılmaktadır. Bu yönteme göre, açıklanan değişkenlerin gecikmeli yapıları
açıklayıcı değişken olarak kullanılan modellerde, gecikme sayısı, yıllık veriler için 8,
üçer aylık veriler için 12 değerinden başlayarak birer birer azaltılarak tahmin edilir. En
son gecikmeli değişkenin tahmin edilen parametresinde karşılık gelen t istatistik değeri
anlamlı oluncaya kadar, bu işleme devam edilir (Yurdakul, F.,2001).
Perron (1989) çalışması ile, serinin ortalamasında, büyüme oranında ya da her
ikisinde, bir defa kırılmaya izin veren, birim kökün varlığını test etmek için, geliştirdiği
test yönteminin uygulaması özetle şu şekilde gerçekleşmektedir:
Uygulamada, öncelikle grafik analiz yönteminden yararlanılarak serinin hangi
modele uygun olduğuna karar verilir ve model oluşturulur. Alternatif hipotez altında
oluşturulan model EKK ile tahmin edilir ve buradan elde edilen kalıntılarla çalışılır. itt ye =ˆ , CBAi ,,= . Sonraki adımda, elde edilen bu kalıntıların birim köke sahip olup
32
olmadığı test edilir. Tablo kritik değerleri λ yardımı ile bulunur ( )(~ λταi). Karar
aşamasında hesaplanan test istatistiği, kritik tablo değerinden daha negatif ise, boş
hipotez reddedilir. Böylece, serinin kırıklı bir trend etrafında durağan bir özellik taşıdığı
sonucuna ulaşılır, aksi halde seri stokastik bir trende sahiptir (Dilişen, B., 2007).
3.2. Christiano (1992) Testi
Chritiano (1992) yılında yayınlanan makalesinde, kırılma zamanın içsel olarak
belirlendiği bir test yöntemi önermiştir. Christiano (1992) çalışmasını, savaş sonrası
GSMH verilerinin analizi ile sınırlı tutmuştur ve gelirde meydana gelen beklenmedik bir
değişmenin uzun dönem etkilerini incelemiştir.
Christiano (1992), savaş sonrası GSMH’nın serisi üzerinde literatürde fikir
birliği eksikliğini yansıtan boş hipotezi; biri trend etrafında durağan (trend durağan),
diğeri AR(1) (fark durağan) şeklinde ifade edilen iki modelle göstermiştir. Christiano
(1992) çalışmasında, analizde kullanılan modelin trend durağan ya da fark durağan
olmasına göre sonuçların değiştiğini ifade etmiş ve trend durağan gösterimle ifade
edilen çok küçük bir etki ile fark durağan gösterimle ifade edilen çok büyük bir etki
arasında büyük farklılıklar oluştuğunu ortaya koymuştur. Böylece etkinin büyüklüğü ve
serinin uzun dönemdeki seyri arasında bir bağ kurmuştur. Christiano (1992) etkinin
büyüklüğü küçük olduğu zaman makroekonomik dengesizliklerin talep yönlü olacağını,
etkinin büyüklüğü geniş olduğunda ise çoğu makroekonomik dengesizliğin arz yönlü
olacağını ifade etmiştir.
Christiano (1992), savaş sonrası GSMH serisinin trendinde meydana gelen tek
zamanlı bir kırılmanın araştırmacılar tarafından dikkate alınmadığını ve bu nedenle
gelirdeki değişim etkilerinin aşırı abartıldığını ileri sürmüştür. Kısaca tartışma konusu,
trenddeki tek zamanlı bir değişimin kalıcı etkiye sahip olup olmadığıdır. Trenddeki tek
zamanlı bir değişimin kalıcı bir etkiye sahip olduğunu kabul etmeyen ve bunu çeyrek
dönemlik değişiklerle karıştıran araştırmacılar, çeyrek dönemlik değişiklikleri aslında
olduğundan daha kalıcı olarak bulurlar. Savaş öncesi dönemde trendde bir değişime yol
açabilecek olan bir takım büyük olayların varlığından dolayı trend kırığı hipotezi önsel
bir başvuru derecesine sahiptir. Bu büyük olaylara, 1964 yılında yapılan vergi indirimi,
1970’lerin başlarındaki petrol şoku ve 1980’lerdeki finansal düzenlemeler örnek olarak
verilebilir.
33
Christiano (1992) çalışmasında elde ettiği istatistiksel kanıtlar ile trend kırığının
olmadığı boş hipotezinin terk edilebileceğini göstermiştir. Savaş öncesi dönemin
herhangi bir zamanında her hangi bir kırılma meydana gelmediği hipotezi karşısında
bazı istatistiksel kanıtlar olduğu gösterilmiştir. Christiano (1992) çalışmasında iki
zorluktan söz etmiş ve bu zorlukları detaylandırmıştır.
Christiano (1992) bir kırılmanın varlığının test edilmesinde kullanılan standart
kritik değerlerin kırılmanın olmadığını ifade eden boş hipotezin reddedilmesi lehine
aşırı eğimli olmasını birinci sorun olarak ifade etmiştir. Christiano (1992) bu zorluğun
üstesinden gelmek için Bootstrap metodunu kullanarak doğru küçük örneklem kritik
değerleri elde etmiştir. Çalışmasında, sabitte ve trendin eğimindeki bir kırılmayı, trend
kırığının olmadığı boş hipotezine karşı test etmede F istatistiğinin kullanıldığı durumları
ele almıştır. Bu bağlamda geleneksel metodolojide hesaplanan F istatistiği, ilgili F
dağılımın %5 kritik değerleri ile karşılaştırmış ve açık bir şekilde %5 kritik değerlerinin
aslında olduğundan daha küçük olduğunu tespit etmiştir. Test edilen kırığın örneklemin
ortalarında olması durumunda %5 anlamlılık seviyesine denk karşılık kritik değerin
aslında %20 anlamlılık seviyesinde olduğunu bulmuştur.
Tartışılan kritik değerlerin, test edilen veri ile ilgili önsel bir bilgiden bağımsız
olarak seçildiği varsayılmıştır. Bu varsayım, kırılma zamanının araştırılmasındaki ikinci
sorundur. Bunun sorun teşkil etmesinin nedeni ise uygulamada kırılmayı test etmek için
veri ile ilgili önsel bir bilgi olmadan bir kırılma zamanın seçilememesidir. Bu ikinci
problem verinin ön test tahminlerini yansıtmak için kritik değerlerin dönüştürülmesi ile
çözülür ve bu sorunun giderilmesi birinci sorunun çözümünden daha zordur. Buradaki
zorluk, uygulamada belirli bir kırılma tarihinin seçiminde faktörlerin bilgisayarda
programlanabilen spesifik bir algoritmaya dönüştürülmesidir. Christiano çalışmasında
kırılma zamanın seçimi için çeşitli basit algoritmalar tanımlamıştır ve kritik değerler
üzerindeki etkinin oldukça büyük olabileceğini göstermiştir. Fakat bu etki kırılma
zamanı seçim algoritmasına dayanır. Burada üzerinde durulan zorluk, kırılma zamanı
seçim metoduyla ilgilidir ve bu kırılma zamanının seçim algoritmasına duyarlılığı,
sonuçları güçleştirir (Christiano, 1992).
Chistiano (1992)’nun çalışmasında, boş hipotez, GSMH serisinde bir trend
kırığının olmadığı şeklindedir. Daha öncede değinildiği gibi, literatürde GSMH’nın
trend etrafında durağan (trend durağan - (TS)) ya da birinci farkla durağan (fark durağan
34
- (DS)) bir seri olup olmadığı ile ilgili bir görüş birliği bulunmadığından Christiano
bootstrap deneyini iki veri yaratma mekanizmasına dayandırmıştır. Her bir veri yaratma
mekanizması için, 1948:1’den 1987:4 dönemini kapsayan GSMH serisini kullanmıştır.
TS ve DS süreçleri ile 1000 yapay veri seti yaratılmıştır. Her bir veri seri 158 gözlem
içermektedir.
tttit
itt yytdtdy εφφγβθµ ++++++= −− 2211 (3.8)
Tiitditd
it
it
...,1,1
1,...,2,10
+==
−==
Burada, 2,...,3 −= Ti ’dir. 1,0 −=t başlangıç koşulları ile tahmin dönemi
Tt ,...,1= ve 158=T ’dir. Christiano Tt ,1= ’ye karşılık gelen bu tahmin dönemini
1948:3 ve 1987:4 olarak almıştır. .i regresyon, i tarihinde sabitte ve eğimde değişime
izin vermektedir. Bu değişim, it = tarihinde meydana gelen bir kırık ile sürekli bir
trend olarak ya da trendde süreksiz bir sıçrama gibi iki durumda görülebilir.
iF , 0== γθ yani, it = döneminde trendde bir kırılma olmadığı boş hipotezini
test etmede kullanılan F istatistiğini göstersin. Chrisitiano (1992), TS ve DS süreçlerinin
her biri için, 2,...,3 −= Ti dönemlerine karşılık gelen 23 ,..., −TFF istatistiklerinin
hesaplamıştır. Ayrıca elde ettiği bu istatistikleri çeşitli yollarla hesaplanan anlamlılık
seviyeleriyle birlikte tablolaştırmıştır. Christiano (1992) tarafından verilen bu tabloda4
üçüncü sütundaki anlamlık seviyesi 2/152 serbestlik derecesi ile verilen F dağılımına
sahiptir. Bu tabloda trend durağan ve fark durağan süreçler için kırılma zamanın test
edilen seriden bağımsız olduğu varsayılmaktadır (Christiano,1992) .
TS ve DS süreçleriyle yaratılan 1000 yapay veri seti için kritik değerler her bir
dönem için hesaplanmıştır (i=3,…,156) ve tablo 2’de verilmiştir5. Karşılaştırma yapmak
istenirse; tabloların en alt sırası 2/152 serbestlik derecesi ile F istatistiğinin %1, %5,
%10, %20 kritik değerlerini gçstermektedir. Christiano (1992), F istatistiğinin kritik
değerleri ile bootstrap kritik değerleri karşılaştırıldığında bootstrap dağılımının, F
4 Bkz. Ek:2 5 Christiano, Lawrence J., (1992). “Searching for Break in GNP,” Journal of Economic and Business
Statistics, 10, 237-249, Tablo 2.
35
dağılımında göre sağa kaymış olduğunu göstermiştir. Bootstrap kritik değerleri ilgili F
dağılımıyla ifade edilen değerlerin çok üstündedir. Bunun doğal sonucu olarak, F
dağılımının kullanımı çoğu zaman trend kırığının olmadığı boş hipotezinin reddi ile
sonuçlanmaktadır. (Christiano,1992).
Şekil 1- Christiano (1992) Test Sonuç Grafiği
Christiano (1992), en doğru seçeneğin veri tahminlerinin ön sınamalarının
etkilerini maksimize eden çok tutucu kritik değerlerin kullanımı olacağını ifade etmiş ve
çalışmasında tutucu olan bir kritik değerler seti üzerinde çalışmıştır. Bir trend kırığı için
en geniş F istatistiğini üreten zamanın, kırılma zamanı seçildiğini varsaymıştır.
Christiano (1992), kırılma zamanının seriden bağımsız olarak belirlendiğini
varsayımını eleştirmiş ve kırılma zamanını içselleştirmek için altı metot önermiştir.
Kırılma zamanın belirlenmesinde kullanılan bu metotlar verinin açık matematiksel
fonksiyonlarıdır. Üzerinde çalışılan matematiksel algoritmalar aslında araştırmacıların
kullandığı kırılma zamanın formel olmayan seçim sürecini makul bir şekilde formel bir
sürece yaklaştırır. Uygulamada, araştırmacının kırılma zamanını belirlenmesinde,
matematiksel fonksiyonu kullanması zorunlu değildir. Araştırmacılar çoğu zaman
kırılma zamanını serinin görsel tahminine, bazı ilgili serilerin tahminine ya da daha
önce yapılan önerilere dayalı olarak seçerler.
36
Christiano (1992) tarafından kırılma zamanın seçimi için tanımlanan altı
algoritmanın üçü, örneklemin bir alt kümesinden maksimum F istatistiğini seçer.
Christiano bu özel durumları FMax metodu olarak adlandırmıştır. Bunlardan ilki
untrFMax metodudur ve budanmış setlerden { }1563 ,..., FF maksimum F istatistiğini seçer.
untrFMax metodu ile seçilen kırılma zamanı Şekil 2’den de açıkça görüldüğü gibi
1950.1’dir. Savaş sonrası GSMH serileri incelendiğinde ekonominin trendinde bu
tarihlerde civarında bir sıçrama olabileceği düşünülebilir ve Şekil 2 incelendiğinde
bunun tamamen mantıksız bir düşünce olmadığı görülebilir. Bununla birlikte bazı
araştırmacılar kırılma zamanın 1973:2 gibi bir tarihte meydana geldiği hipotezini
araştırdıklarından untrFMax metodu kırılma zamanının seçiminde tek mantıklı yöntem
değildir. Açıkça untrFMax metodu bu araştırmacılar için en iyi model değildir. İki basit
algoritma izlenerek trend kırığı testinde 1973:2 tarihi seçim için dikkate alınabilir.
Birçok araştırmacının ilk şüphesi, birinci petrol şoku sonucunda tren kırığının
1970’lerin başlarında olduğudur. Bu algoritma oilFMax metodu olarak adlandırılmıştır
ve { }12299 ,..., FF maksimum olduğu tarih kırılma zamanı olarak belirlenir. Bu tarih
1973:1 – 1978:4 zaman aralığına denk gelir. Diğer kırılma zamanı seçim metodu
sFMax1970 metodu olarak adlandırılmıştır. Bu yöntem, 1970:1- 1979:4 tarihlerine denk
gelen ,{ }12687 ,..., FF maksimum olduğu tarihi kırılma zamanını olarak seçilmiştir. Bu
modelin mantığı tam olarak tarihi bilinmeyen ama 1970’lerdeki üretim yavaşlamasını
yansıtan dönemi dikkate almasıdır. oilFMax ve sFMax1970 modellerinin her ikisi, 1972:2
tarihini kırılma zamanı olarak belirleniştir. Bu modellerle çalışmanın avantajı FMax
istatistiği aranırken kritik değerlerin zaman aralığı genişliğine duyarlılığı hakkında bir
karara varılmasına olanak tanımalarıdır.
37
Şekil 2: Christiano (1992) GSMH Zaman Yolu Grafiği
Diğer üç kırılma seçim zamanı algoritması, gözlemlerle harekete geçirilmiştir.
Trend kırığının olmadığı boş hipotezi altında, farklı kırılma zamanları için F istatistiği
farklı dağılımların gerçekleşmesidir. Özellikle veri setinin ortasındaki kırılma
zamanlarına uyan F istatistiklerinin dağılımı, başlangıç ve sondaki F istatistiklerinin
dağılımına göre sağa kayar. Daha mantıklı kırılma zamanı seçim algoritması F
istatistiğinin maksimum olduğu tarihin seçimi değil; kırılma zamanı en küçük anlam
seviyesinin meydana geldiği F istatistiğidir. Böylece eğer bir F istatistiği veri setinin
başında ise, ortalardaki herhangi birinden küçüktür.
Kırılma seçimi için benzeşimle seçilen 3 minimum anlam seviyesi tekniğinin
mantığı anlamlılık seviyesinin minimizasyonuna dayanır untrMinSig , 1949.1-1987.2
zaman aralığındaki en düşük anlam seviyesine sahip F istatistiğini seçer. Benzer şekilde,
oilMinSig , 1973.1 – 1987.4 aralığında bir tarihi kırılma zamanı olarak seçer. sMinSig1979
metodu ise, 1970.1-1979.4 aralığında bir tarih seçer. Anlam seviyesi boş hipotez
modelinin fonksiyonu olduğu için TS modeline uyan bir MinSig seti ve DS modeline
uyan bir MinSig seti vardır.
Budanmamış (untruncated) bir örneklem ele alındığında, TS ve DS modelleri
için, untrFMax metodu, 1950:1 dönemini kırılma zamanı olarak seçer. oilFMax metodu
ise, DS modeli için 1987:3 ve TS modeli için, 1973:2 tarihlerini kırılma zamanı olarak
seçer.
38
Kırılma zamanın içselleştirilmesinin çeşitli yolları ile trend kırığı için F testinin
kritik değerleri, Christiano (1992) Tablo 4’te verilmiştir. Kırılma zamanı verinin bir
fonksiyonu olarak seçildiğinde, bu şekilde seçilmediği durumlara göre 0== γθ boş
hipotezi reddetmede daha geniş bir F istatistiği değeri alır.
Christiano (1992), GSMH serisi için zaman serisi parametrelerinin savaş sonrası
dönemde sabit olduğu boş hipotezini, trende bir kırılmanın varlığını ifade eden alternatif
hipotez altında test etmiştir. Christiano (1992) çalışmasında çeşitli test istatistikleri
göstermiş, ancak hiç biri %15 anlamlılık düzeyinde dahi boş hipotezi reddedememiştir.
Sonuç olarak Christiano (1992) çalışmasında incelediği dönemde trendde bir kırılmanın
olmadığını ifade etmiştir.
3.3. Zivot ve Andrews (1992) Testi
Zivot ve Andrews (1992) makalelerinde, Perron (1989)’nun dışsallık
varsayımını eleştirmişlerdir. Perron çalışmasını Nelson ve Plosser (1982) çalışmasına
dayandırmıştır ve bu amaçla N&P (1982)’nin kullanmış olduğu veri setini analizinde
kullanmıştır. Perron (1989) analizinde serilerin trend fonksiyonun tek bir zaman
kırılmasına izin verildiği takdirde, N&P (1982) tarafından incelenen serilerin çoğunda
birim kök boş hipotezini reddetmişlerdir. Perron (1989) çalışmasında büyük buhranı
(1929) ve petrol şokunu (1973) dışsal kırılma zamanları olarak ele alınmıştır. Yani,
kırılma zamanı önsel olarak bilinmektedir. Zivot ve Andrews (1992) çalışmalarının
çıkış noktasını bu dışsallık varsayımı oluşturmuştur. ZA (1992), Perron yaklaşımında
kırılma noktasının seçimi önceki gözlemlere dayandığından, Perron metodolojisinde ön
testlerle ilgili problemlerin ortaya çıkacağını ileri sürmüşlerdir. ZA geliştirdikleri test
yönteminin veri kaybını önlediğini ve bu nedenle Perron testinden daha uygun bir
yöntem olduğunu savunmuşlardır.
Zivot ve Andrew geliştirdikleri test prosedürü ile, Perron yaklaşımı ile %5
anlamlılık düzeyinde birim kök boş hipotezinin reddedildiği on seriden dördünde birim
kök boş hipotezini reddedememişlerdir. Yani birim kök hipotezi karşısında daha kesin
olmayan sonuçlara ulaşmışlardır.
Zivot ve Andrews (1992), Perron (1989)’dan farklı olarak kırılma noktasını
dışsal olarak değil, içsel olarak alınmıştır. Kırılma noktası Perron yaklaşımın olduğu
gibi önceden bilinmez, tahmin edilir. Kırılma noktasının tahmini için veri bağımlı bir
39
algoritma kullanılır. Böylece ZA (1992), Perron (1989)’un bilinen bir zamanda yapısal
kırılma üzerine koşullu birim kök testini, koşulsuz bir birim kök testine dönüştürmüştür.
ZA (1992), kırılma noktasının tahmin edilmesinde en fazla ağırlığı trend durağan
alternatif hipoteze vermek olduğunu ifade etmişlerdir.
ZA (1992) üç model için yokluk hipotezleri aşağıdaki gibidir;
ttt eyy ++= −1µ (3.9)
Burada boş hipotez, ty serisinde dışsal bir yapısal kırılmanın olmadığı birim kök
sürecini ifade etmektedir. Alternatif hipotez ise ty serisinin trend fonksiyonunda
zamanın bilinmeyen bir noktasında meydana gelen tek zamanlı bir kırılma ile trend
durağan bir sürece sahip olduğunu ifade eder. Bu tanımlama ile (3.4) ve (3.6) da
kullanılan )( BTD kukla değişkenine artık ihtiyaç kalmamaktadır.
Zivot ve Andrews (1992) çalışmalarında, Perron(1989) tarafından izlenen ADF
test prosedürünü izlemişlerdir. Boş hipotezi test etmek için, (3.4’), (3.5’) ve (3.6’) ile
verilen regresyon denklemlerini kullanmışlardır.
( ) t
k
jjt
Ajt
AAt
AAt eycytDUy ˆˆˆˆˆˆˆˆ
1.1 ∑
=−− +∆++++= αβλθµ (3.4’)
( ) t
k
jjt
Bjt
Bt
BBBt eycyDTty ˆˆˆˆˆˆˆˆ
1.1
* ∑=
−− +∆++++= αλγβµ (3.5’)
( ) ( ) t
k
jjt
Cjt
Ct
BCt
CCt eycyDTtDUy ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
1.1
* ∑=
−− +∆+++++= αλγβλθµ (3.6’)
( ) >
=ddTteger
DU t .01 λ
λ
( ) >−
=..0
*
ddTtegerTt
DTt
λλλ
40
Kırılma kesri λ üzerine şapka konulmasının nedeni, bu parametrenin tahmin
edildiğini belirtmektir. İstatistiğin küçük değerleri, boş hipotezin reddine yol açtığında,
),,(1 CBAii ==α hipotezini test etmek için, λ tek yanlı t istatistiğini minimize emek
için seçilir.
Başka bir ifade ile, 1=α için, t istatistiğini minimize eden değer kırılma noktası
olarak seçilir. Yani 1=α yokluk hipotezinin testi için geliştirilen t istatistiği, mümkün
kırılma noktaları arasında en küçük değerdir (Yurdagül, 2001).
Burada, iinfλ̂ , model i için minimize edici böyle bir değeri göstersin.
[ ] )(infˆˆinfˆ λλ
αλα ii tt i
Λ∈= 6 CBAi ,,= (3.10)
Sol kuyruk testinin verilen bir boyutu için, )(inf ˆ λαλ
itΛ∈
kritik değerleri, Perron
tarafından sabit bir kırılma kesri değeri, )(λ , ile elde edilen kritik değerlerden mutlak
değer olarak daha geniştir (daha negatiftir). Zivot ve Andrews (1992) kritik değerleri
Model (A) için, %5 anlam düzeyinde Perron’nun kritik değerlerinden %24 ve %1 anlam
düzeyinde ise %23 daha geniştir (mutlak değer olarak). Benzer durum, Model (B) ve
Model (C) için de geçerlidir. Ayrıca gecikme sayısı “k”yı belirlemek için jc
katsayısının istatistiksel anlamlılığına bakılmalıdır.
ZA testinin uygulamasında ilk olarak Model (C) tahmin edilir. DU ve DT kukla
değişkenlerine ait parametrelerin anlamlılığına göre uygun model seçilir. Her iki kukla
değişkeni de anlamlı bulunursa, Model (C), sadece DU değişkeni anlamlı bulunursa,
Model (A), sadece DT anlamlı bulunursa, Model (B) tahmin edilir. Hangi modelin daha
uygun olduğu konusunda fikir birliği olmamakla beraber uygulamada genellikle Model
(A) ve Model (C) tercih edilmektedir. (N.,Ç., Yavuz, 2006)
Karar aşamasında,
ααλκλ inf,ˆ )(inf <
Λ∈it (3.11)
6 Λ (0,1)’in kapalı alt kümesidir.
41
İse, birim kök boş hipotezi reddedilir. Böylece serinin zamanın bilinmeyen bir
noktasında oluşan olasılıklı bir yapısal kırılmayla trend durağan bir sürece sahip olduğu
söylenebilir. (Hesaplanan t istatistiğinin, mutlak değer olarak, Zivot ve Andrews kritik
değerlerinden büyük olması durumunda birim kök boş hipotezi reddedilir).
Zivot ve Andrews (1992) test yaklaşımı iki yönü ile Perron (1989)’nın elde ettiği
sonuçlardan farklıdır. Öncelikle Perron yaklaşımında dışsal olarak varsayılan kırılma
zamanı, Zivot ve Andrews yaklaşımında (3.10) ile verilen denkleme göre tahmin edilir.
Diğer bir farklılık ise, ZA yaklaşımı boş hipotez altında yapısal kırılmayı dışlamaktadır.
Bundan dolayı, Model (A) ve Model (B)’de yer alan )( BTD kukla değişkeni ZA
yaklaşımında verilen regresyon denklemlerinde yer almaz.
İçsel kırılmalı ZA testi tüm örneklemi kullanır ve olası kırılma tarihlerinin her
biri için farklı bir kukla değişkeni tanımlamaktadır. ZA minimum t istatistiğinin kendi
kritik asimptotik teorisi ve kritik değerleri vardır. ZA kritik değerler Perron (1989)
tarafından önerilenlerden daha negatif olduğu için birim kök boş hipotezini reddetmede
başarısız kalmaktadır (Byrne ve Perman, 2006).
3.4. Banerjee, Lumsdaine ve Stock (1992) Testi
Banerjee, Lumsdaine ve Stock (1992) iktisadi zaman serilerinin kırıklı bir trend
doğrusu etrafından durağan olarak tanımlanabilme olasılığını incelemişlerdir.
Kırılma zamanı önsel olarak bilinmediğinde, gelirin sabitinde bir kırılmaya
yönelik bir kanıtın bulunup bulunmadığı, gelirin değişen deterministik bir trend
etrafından durağan olup olmadığı, eğer gelir deterministik bir trend etrafında durağan
ise bunun belirli ülkeler arasında tutarlı olup olmadığı ya da belirli ülkelerin yapısal
özelliklerinden kaynaklanıp kaynaklanmadığı, tanımlanmış kırıkların varlığı durumunda
bu kırıkların 1970’lerdeki üretim yavaşlaması ile ilişkilendirilip ilişkilendirilemeyeceği
ve kırılmaların ülkeler arasında aynı zamanlamaya sahip olup olmadıkları gibi sorular
BLS (1992) çalışmasının çıkış noktalarını oluşturmaktadır. BLS (1992) bu soruları
cevaplamaya yönelik uygun ekonometrik teknikler geliştirmeyi ve geliştirdikleri
teknikleri farklı ülkelerin reel gelir verilerine uygulamayı amaçlamışlardır.
Büyüme trendlerinde devam eden ve kalıcı özelliğe sahip şokların farklı
ülkelerdeki görünümünün ortaya konulması amacıyla, geliştirdikleri testleri OECD
42
üyesi yedi ülkenin (Kanada, Almanya, ABD, Japonya, Fransa, İtalya, İngiltere) savaş
sonrası çeyrek dönemlik reel gelir (real output) verilerine uygulamışlardır. Uygulama
sonucunda bu yedi ülkenin beş’i için birim kök boş hipotezini reddedememişlerdir.
BLS (1992), kırılma noktasını rastsal olmayan bilinen bir kırılma noktası
koşuluna sahip olan genel dağılım teorisini kullanmışlardır. Bunun yerine kırılma
noktası bilinmediğini varsaymışlardır.
BLS (1992), birim kökün varlığını test etmek için, yinelenen (recursive), yuvarlanan
(Rolling) ve ardışık (sequential) testleri ve bu testlerin asimptotik dağılımlarını
geliştirmişlerdir. Yinelenen ve yuvarlanan testler, verilerin alt örneklemlerine
dayanmaktadır. Ardışık test istatistikleri ise bir kırılma tarihi ile indekslenen bir
değişkenler (regresörler) dizisi ve tüm veriler kullanılarak hesaplanmıştır.
Yinelenen ve yuvarlanan testler aşağıdaki model kullanılarak hesaplanmaktadır,
∑=
−− +∆+++=p
ittitt yyty
1111 εβαµµ (3.12)
Burada, 0k başlangıç değerini ve T tüm örneklem boyutunu göstermek üzere
Tkk ,...,0= için, kt ,...,2,1= alt örneklem kullanılarak, yinelenen istatistikler hesaplanır.
Yuvarlanan istatistik ise örneklemin sabit bir kısmı, 0δ , kullanılarak hesaplanır. Bu
sonuçlar 1)1(0 00 <−≤≤≤ δδδ için uygulanır. Böylece, katsayılardaki değişimin
örneklemin uç noktalarında olması engellenmiş olur. Bu kısıt kırpma (trimming)
parametresinin [ ]00 δTk = olmasını gerektirir.
(3.12) denklemi, 0µ , 1µ ya da α üzerinde bir kısıtlama olmaksızın, (yani
ty serisi, pttt yyyt −−− ∆∆ ,...,,,,1 11 üzerine regres edildiğinde), 1=α hipotezini test eden t
istatistiği, trend durağan alternatifi karşısında birim kökü test etmede kullanılan standart
DF )( ττ istatistiğidir.
BLS (1992) çalışmalarında, DF t istatistiğini yinelenen bir durum için
genişletmişlerdir. Yani tekrarlı bir şekilde hesaplanan tahmin ediciler ve t istatistiklerini
ele almışlardır.
43
BLS (1992) yinelenen test için aşağıda verilen dört istatistiği geliştirmişlerdir.
Bunlar;
- DFt̂ : Tüm örneklem için Dickey-Fuller istatistiği
- )/(ˆmaxˆ0
Tktt DFTkkMAX
DF ≤≤≡ : Maksimum Dickey-Fuller istatistiği
- )/(ˆminˆ0
Tktt DFTkkMINDF ≤≤≡ : Minimum Dickey-Fuller istatistiği
- MINDF
MAXDF
diffDF ttt ˆˆˆ −≡ : İki istatistik fark
Yenilenen test için verilen denklemde (3.12) 1=α hipotezini test etmek için
)/(ˆ TktDF istatistiği kt ,...,2,1= alt örneklemleri tahmin edilerek hesaplanmaktadır.
Yuvarlanan istatistikler için;
- );/(max);/(0
δδ TktTkt DFTkkMAX
DF ≤≤≡ : Maksimum DF istatistiği
- );/(min);/(0
δδ TktTkt DFTkkMIN
DF ≤≤≡ : Minimum DF istatistiği
- );/();/();/( δδδ TktTktTkt MINDF
MAXDF
diffDF −≡ : İlk iki istatistik arasındaki fark
şeklinde ifade edilir.
Ardışık istatistikler ise, tüm örneklem üzerinden hesaplanmaktadır. Hesaplama
işleminde aşağıdaki model ele alınmaktadır.
∑=
−−− ++∆++++=p
itttittt kxyytky
1111211 )(')( εωβαµτµµ (3.13)
Burada )(1 kxt− sıfır sabit ortalamaya sahip, durağan varsayılan regresörlerin m
vektörüdür. Deterministik regresör )(1 ktτ , k döneminde trendde meydana bir kaymayı
ya da sıçramayı gösterir. )(1 kxt− bir regresör olarak görülmezse ve δ sabit ise ele alınan
model ve sonuçlar Perron (1989) tarafından gösterilenlere indirgenmiş olur.
Burada Perron (1989,1990a) çalışmaları izlenerek iki durum ele alınmıştır.
Durum 1 (Trendde bir kayma): )(1)()(1 ktktkt >−=τ
44
Durum 2 (Ortalamada bir kayma): )(1)(1 ktkt >=τ
Ardışık test için hesaplanan istatistikler dört yöntemle elde edilmektedir. Bunlar;
- )( pQLR : Quandt LR istatistiği. Burada p regresyonda ty∆ ’nin gecikme
sayısını göstermektedir. LR istatistiği olası tüm kırılma zamanları için
hesaplanmaktadır. LRQ istatistiği hesaplanan bu istatistikler içinde
maksimum olanıdır.
- )/(~max~00
TkFF TkTkkMAX
T −≤≤≡ : önceki denklemde verilen 01 =µ hipotezini
test etmede kullanılan ardışık F istatistiğini göstermektedir.
- )/(~min);/(~00
*min TktTkt DFkTkkDF −≤≤≡δ : ardışık olarak hesaplanan tüm DF
istatistiklerinin minimumu alınır.
- 02 =µ ve 1=α kısıtları altında, ortalamada bir kırık modelinde, )(1 ktτ ’nın
mutlak uçdeğer t istatistiği hesaplanır.
BLS (1992) çalışmalarında tanıttıkları bu test istatistiklerinin asimptotik kritik
değerlerini türetmişlerdir ve yüzdelikleri 100, 250 ve 500 gözlem için
tablolaştırmışlardır. BSL (1992) ayrıca Monte Carlo çalışmaları ile bu testlerin güç ve
boyut özellikleri üzerinde çalışmışlardır. Yinelenen ve yuvarlanan diffDFt istatistiklerinin
örneklemin ortasında sorunlu parametrelerine duyarlı oldukları sonucuna ulaşmışlardır.
Bu boyut duyarlılığı ampirik uygulamalarda yinelenen ve yuvarlanan diffDFt
istatistiklerine ilgiyi azaltmıştır. Extermal yinelenen ve yuvarlanan istatistikler genelde
düşük güç özelliklerine sahip iken BLS (1992) tarafından önerilen ardışık istatistikler
iyi güç özelliklerine sahip testler olarak belirtilmiştir (Balcılar, 1998).
BLS geliştirdikleri bu teknikleri, Kanada, Almanya, İngiltere, ABD, Fransa,
İtalya ve Japonya’dan oluşan OECD üyesi yedi ülkenin savaş sonrası reel gelir
serilerine uygulanmışlardır. Uygulama sonucunda, gelirin uzun dönem özelliklerine
ilişkin her ülke için oldukça farklı sonuçlar elde etmişledir.
BLS (1992), analiz sonucunda Kanada ve Japonya için trend kırığı alternatifi
karşında, birim kök boş hipotezini reddetmişlerdir. Kanada için 1981:3 tarihindeki bir
kırılma noktasında ortalamadaki bir kayma ile durağan olan alternatif hipotez
45
karşısında, birim kök boş hipotezi reddedilmiştir. Böylece 1979–1982 daralma dönemi,
trendin büyüme patikasında aşağı yönlü kalıcı bir kayma olarak ifade edilmiştir.
İyileşme döneminden sonra, gelir büyüme oranı ile yeniden durağan bir görünüm
sergilemektedir. Japonya için analiz edilen dönem içinde bilinmeyen bir tarihte ortalama
büyüme oranındaki değişim incelemişlerdir. 1970:1 dönemini kırılma zamanı olarak
bulunmuş ve birim kök boş hipotezi trendde bu tarihte meydana gelen bir kayma ile
durağan olan alternatif hipotez karşından reddedilmiştir. Başka bir ifade ile gelir
serisinin trend doğrusu etrafında durağan olduğu, ancak 1970 civarında trendin anlamlı
bir şekilde düştüğü ifade edilmiştir.
BLS (1992) çalışmalarında, İngiltere için birim kök boş hipotezi
reddedememişlerdir. Almanya, İtalya ve Fransa’nın verilerine ilişkin sonuçlarda gelirin
büyüme oranında bir azalma gözlenmiştir. İtalya ve Fransa için gelirdeki bu yavaşlama
birinci petrol şokuna karşılık gelen 1974 yılı civarında meydana gelmektedir. Almanya
için t istatistiği belirli bir kırılma noktasının tanımlanmasında daha az kesindir. Bununla
beraber, istatistik 1974’ün hemen öncesinde anlamlı bir şekilde negatiftir. Bu ülkeler
için gelir, üretimdeki yavaşlama döneminde daha düşük bir ortalama büyüme oranı ile
daha iyi tanımlanmaktadır.
Elde edilen sonuçlara göre, ABD için ise trend kırığının olmadığı boş hipotez
alternatifleri karşında reddedilmemiştir. BLS tarafından elde edilen sonuçlar Christiano
(1992) ve ZA (1992) tarafından elde edilen sonuçlarla tutarlıdır. Ancak, Perron (1989)
çalışmasında gelirin 1973 yılında meydana gelen bir kayma ile trend etrafında durağan
olduğu yönünde kanıtlar elde etmiştir. Daha öncede belirtildiği gibi Perron’un sonuçları
kırılma tarihinin önsel olarak bilindiği varsayımına dayanmaktadır.
3.5. Perron&Vogelsang (1992) Testi
Perron ve Vogelsang (1992) çalışmalarında, ortalamada bilinmeyen bir tarihte
meydana gelen yapısal bir değişikliğe sahip olan zaman serilerinde birim kökün
varlığının test edilmesine yönelik bir test yöntemi sunmuşlardır. PV (1992) önerdikleri
yaklaşımla, aslında yapısal değişikliği değil, birim kökü test etmeyi amaçladıklarını
ifade etmişlerdir.
46
PV (1992) çalışmalarında iki model önermişlerdir. PV tarafından önerilen bu
modeller, Perron (1990a)7’nun çalışmasında ele aldığı modellere benzemektedirler.
Ancak Perron (1990a)’dan farklı olarak, kırılma zamanının bilinmediğini
varsaymışlardır. Perron’nun çalışmasında ortalamada tek zamanlı bir değişime izin
veren birim kök test istatistiklerinin kritik değerlerinin türetildiği dağılım teorisi,
ortalamadaki değişim tarihinin dışsal olduğu yani veriden bağımsız olduğu varsayımına
dayanmaktaydı.
PV (1992)’in ele aldığı modeller Toplamsal Aykırı Değer (Additive Outlier
(AO)) modeli ve Yenileşim Aykırı Değer (Innovational Outlier (IO)) modelidir. AO
modeli seride meydana gelen ani değişimlerin varlığı durumunda, IO modeli ise aşamalı
değişimlerin meydana geldiği durumlarda uygun modeller olarak ifade edilmişlerdir.
PV (1992) tarafından önerilen test istatistikleri, trend değişkenini dikkate alan
BLS (1992), ZA (1992) ve Perron (1990b) tarafından önerilen test istatistikleri ile
benzerdir. Burada bahsedilen çalışmalar tüm kırılma tarihleri içinde genelleştirilmiş
regresyonlardaki otoregresif katsayıların en düşük t istatistiğine sahip olan tarihin
kırılma tarihi olarak seçilmesine dayanmaktadır. PV (1992) ortalamadaki bir değişimi
ifade eden ve en düşük t istatistiğini sahip katsayının seçilmesine olanak sağlayan
istatistikleri değerlendirmişlerdir. Başka bir ifade ile tüm olası kırılma noktaları içinde
minimum olan t istatistiği dikkate alınmış ve minimum t istatistiğini veren kırılma
noktası kırılma tarihi olarak seçilmiştir. PV (1992) ilgilenilen istatistiklerin asimptotik
dağılımlarını türeterek tablolaştırmışlardır.
PV (1992) tarafından önerilen modellerde serinin ortalamasında tek bir
kırılmaya izin verilmektedir ve BT ise bilinmeyen bir tarihte meydana gelen bu
kırılmanın zamanını göstermektedir , TTB <<1 . PV(1992)’nin önerdiği AO ve IO
modelleri ile bu modellere ilişkin test hipotezleri aşağıda açıklanmıştır.
i) Toplamsal Aykırı Değer (Additive Outlier (AO)) Modeli
7 Perron, Pierre, (1990a). “Further Evidence on Breaking Trend Functions in Macroeconomic Variables,”
Research Memorandum, No. 350, Economic Research Program, Princeton University.
47
PV tarafından önerilen modellerden ilki Toplamsal Aykırı Değer (Addetive
Outlier (AO)) Modeli olarak adlandırılan modeldir. Bu model zaman serisinin
ortalamasında meydana gelen yapısal kırılmanın aniden gerçekleştiği durumlarda uygun
olan bir modeldir. ty gibi bir zaman serisinin düzeyinde oluşan değişimin etkisi,
{ }ty ’nin korelasyon yapısı ile ortaya konulan dinamiklere dayanmaz. Birim kök boş
hipotezi altında, AO modeli aşağıdaki şekilde ifade edilmektedir:
( ) tttt wyTBDy ++= −1δ , Tt ,...,2= (3.14)
( ) +=
=..0
11dd
TtTBD b
t
Burada, )1(1 yy = sabit katsayısı ya da rastsal bir değişken olarak
tanımlanmaktadır. Hata dizisi { }tw , durağan ve ARMA(p,q) sürecine çevrilebilen bir
süreç olarak tanımlanmıştır. tt eLBwLA )()(* = ve te ),0( 2σiid ’dir. )(* LA ve
)(LB kökleri birim çemberin dışına düşen p. ve q. dereceden polinomlardır. Verilen
model altında serinin ortalaması, BT kırılma zamanına kadar )1(y iken BT kırılma
zamanından sonra serinin ortalaması δ+)1(y olacaktır.
Alternatif hipotez altında { }ty serisi birim kök içermez ve aşağıdaki şekilde
ifade edilir:
ttt vDUcy ++= δ , Tt ,,2 K= (3.15)
>
=..0
1ddTt
DU bt
Hata dizisi{ }tv , durağan ve ARMA(p+1,q) sürecine çevrilebilen bir süreç olarak
tanımlanmıştır. tt eLBvLA )()(* = . Verilen modelde serinin ortalaması, bT kırılma
zamanına kadar c iken bT kırılma zamanından sonra serinin ortalaması δ+c olacaktır.
)1(yc = ve )()1()( * LALLA −= olduğunda ilk denklemde tanımlanan boş hipotez
sonraki denklemde tanımlanan alternatif hipotez denkleminin özel bir hali olmaktadır.
Dolayısıyla olağan test yöntemi serinin deterministik kısmından arındırılması ve kalan
48
gürültünün (noise) birim kök varlığı ile karakterize edilip edilmeyeceğinin test
edilmesidir.
Burada, bT kırılma zamanının sabit bir değeri için, iki aşamalı bir yöntem izlenir.
Öncelikle aşağıdaki regresyonun tahmini kullanılarak seri deterministik kısmından
arındırılır.
ttt yDUy ~++= δµ (3.16)
İkinci aşamada, aşağıdaki regresyonda 1=α için, t istatistiği kullanılarak birim
kökün varlığı test edilir.
∑ ∑= =
−−− +∆++=k
i
k
ititititt eycyTBiDy
0 11
~~)(~ αω Tkt ,...,2+= (3.17)
Bu modelde, 1=α boş hipotezinin t istatistiği, ),,(~ kTAOt Bα şeklinde ifade
edilmiştir.
ii) Yenileşim Aykırı Değer (Innovational Outlier (IO)) Modeli
İkinci model olan Yenileşim Aykırı Değer Modeli (IO), { }ty serisinin seviyesine
etki eden değişimin aşamalı bir şekilde gerçekleştiği durumların gösterildiği bir
modeldir. Bu yüzden modelde bir geçiş dönemi söz konusudur. Dinamik etki herhangi
bir şekilde sürebilir. Böyle bir geçişi modellemenin olağan ve basit bir yolu trend
fonksiyonda (burada ortalamadaki değişimden söz edilmiştir) meydana gelen bir şokun
ekonomik tepkisinin diğer şokların gösterdiği tepki ile aynı olduğunu varsaymaktır. Bu
varsayım, birim kök boş hipotezi altında, aşağıdaki tanımlamaya götürecektir.
( ) ( )( )tttt TBDeLyy θψ ++= −1 , Tt ,.2 L= (3.18)
İlk denklemde tanımlanan, )(* LA ve )(LB ile, ( ) ( ) ( )LBLAL 1* −=ψ gürültü
fonksiyonun hareketli ortalama gösterimini tanımlar. Ortalamadaki değişimin doğrudan
etkisi θ , değişimin uzun dönem etkisi ise ( )θψ 1 ile gösterilmiştir.
49
Durağan dalgalanmaları ifade eden alternatif hipotez altında model ise aşağıdaki
gibi verilmiştir.
( )( )ttt DUeLay δφ ++= , Tkt ,...,2+= . (3.19)
İkinci denklemde tanımlanan )(LA ile , )()()( 1 LBLAL −=φ ’dir. Ortalamadaki
değişimin doğrudan etkisi δ ve ortalamadaki kırılmanın uzun dönem etkisi ise
)1(δφ ’dir.
IO için, verilen boş ve alternatif modeller, Said ve Dickey (1984)
çalışmalarındaki gibi sonlu dereceden otoregresif modelle ifade edilebilir.
( ) ∑=
−− +∆++++=k
itititttt eycyTBDDUy
11αθδµ , .,...,2 Tkt += (3.20)
Burada boş hipotez altında 1=α ’dir ve bunu test etmek için kullanılan t
istatistiği, bT ve veri k değerleri için, ),,(~ kTIOt bα ’dır.
),,(~ kTit bα ),( IOAOi = şeklinde gösterilen her iki istatistik için kırılma zamanı,
bT , ve budama gecikme parametresi k ’nın uygun değerleri bilinmemektedir. Bu
nedenle kullanılacak test prosedürünün bu gerçeği dikkate alması önem kazanmaktadır.
Perron ve Vogelsang (1992), bT ve k ’nın belirlenmesine yönelik bazı yöntemler
önermişlerdir.
PV (1992), kırılma zamanı bT ’nin seçimine yönelik iki yöntem önermişlerdir.
Bu yöntemlerden ilki, Banerjee, Lumsdaine ve Stock (1992), Zivot ve Andrews (1992)
ve Perron (1990a) tarafından da kullanılan ve kırılma zamanın bilinmediği gerçeğine
dayanan bir metottur. PV (1992), k’nın seçimiyle ilgili farklı tanımlarda ),,( *~ kTit bα
( )TkTb ,2inf +∈= ),,(~ kTit bα= ),( IOAOi = istatistiklerinin davranışı analiz etmişlerdir.
Kırılmanın tarihinin bilinmediği varsayıldığında bu prosedür yapısal kırılma testleri için
genel bir yaklaşım ortaya koymaktadır. Ayrıca böyle bir yöntem boş hipotez altında bir
kırılma olsa da olmasa da geçerlidir. Yani, bT nin belirlenebilir olması gerekmez.
PV (1992) tarafından önerilen ikinci yöntem ise, AO modeli için regresyon
(3.16) ve IO modeli için, regresyon (3.20) ile verilen 0=δ ’ın testinde t istatistiğini
50
minimize edecek bT ’nin seçimidir. Burada ele alınan t istatistiği simetrik olduğundan
0=δ için, t istatistiğinin maksimum olduğu bT değerinin seçilmesi de mümkündür.
Sözü edilen test istatistiği şu şekilde ifade edilmektedir:
( ) ),ˆ,(~ kTit b δα ),( IOAOi = .
PV (1992) bT ’nin seçimindeki her yöntem için budama gecikme parametresi
k’nın seçiminde farklı yöntemler önermişlerdir. Bu yöntemlerden ilki, SD (1984)
tarafından geliştirilen yöntemdir. Bu yöntemde “k”, örneklem boyutunun (T) sabit bir
fonksiyonu olarak kabul edilir. Sonlu örneklemlerde böyle bir kural “k”nın seçimini
kısıtlamaz. Bu yöntemde “k”nın veriden bağımsız olarak, yani önsel olarak belirlendiği
varsayılır. Bu yöntemle dikkate alındığında ilgili istatistik,
),,(~ kiitα ))ˆ(,;,( * δbb TTjIOAOi ==
şeklinde ifade edilebilir.
PV (1992), veriye bağımlı bir metot izlenerek “k”nın belirlendiği iki yöntem
önermişlerdir. Bunlardan ilki, Perron (1989, 1990a) tarafından kullanılan ve tahmin
edilen otoregresyondaki son gecikme ile gösterilen katsayıların t istatistiğine dayanan
genelden özele prosedürüdür. Bu yönteme göre, bT ’nin herhangi bir değeri için β
anlamlılık düzeyinde birinci derece otoregresyonda son eklenen gecikmeli değişkenin
katsayısını anlamlı yapan ve daha yüksek otoregresyonlarda son eklenen gecikmeli
değişkenin katsayısını anlamsız yapan “k” değeri seçilir. Bu seçilen değer maxk olarak
adlandırılır. Yani k’nın seçimi, )( pAR sürecinde ip = için c’nin sıfırdan farklı
)0( ≠ic ve pi > için )0( =ic koşuluna dayanır. Burada kullanılan test istatistiği
))(,,(~ tkjitα ( )( )δ̂;, *bb TTjIOAOi == şeklinde gösterilir.
Diğer bir yöntem ise SD (1984) deneysel uygulamalarında izledikleri F
istatistiğine dayalı bir yöntemdir. Bu yöntemde öncelikle maksimum “k” değeri
belirlenir. Verilen bir bT değeri için otoregresyon kmax ve (kmax-1) gecikme ile tahmin
edilir. F testi en yüksek gecikmede katsayının anlamlı olup olmadığının sınamasında
kullanılır. Eğer katsayı istatistiksel olarak anlamlı bulunursa seçilen “k” değeri
maksimum olanıdır. Yani uygun olan k değeri seçilmiştir. Aksi halde, ek gecikmelerin
anlamsız olduğunu ima eden boş hipotez reddedilinceye kadar ya da k=0 oluncaya
51
kadar gecikme uzunluğu birer birer azaltılır. Burada test istatistiği ))(,,(~ Fkjitα
( )( )δ̂;, *bb TTjIOAOi == şeklinde ifade edilmiştir.
Gecikme uzunluğunun seçiminde kullanılan son yöntemde k, bT ’nin veri bir
değeri için, 1=α hipotezinin testinde, hesaplanan t istatistiğinin minimum olduğu
noktada belirlenir.
PV (1992), açıklanan k seçimine yönelik her durum için AO ve IO modellerinin
kritik değerlerini tablolaştırmışlardır.
PV geliştirdikleri bu test yöntemi ile TÜFE’ye dayalı ABD/Finlandiya ve
GSMH deflatörüne dayalı ABD/İngiltere döviz kuru serilerinin ortalamalarında
meydana gelen tek zamanlı bir kırılma ile durağan olup olmadıklarını incelemişlerdir.
Uygulama sonucunda birim kök boş hipotezini reddedemeyen standart birim kök
testlerinin aksine iki serinin ortalamadaki tek zamanlı bir kırılma ile durağan olduklarını
göstermişlerdir.
Perron ve Vogelsang (1992), biri ani diğeri ise aşamalı bir yapısal değişim içeren
iki ayrı modeli ele aldıkları çalışmalarında, değişimin yönünün bilindiği fakat
zamanının bilinmediği varsayımıyla sözü edilen durumlarda birim kökün sınanması için
açıklama gücü yüksek bir sınama önermişlerdir. (Suat Aydın)
3.6. Lumsdaine ve Papell (1997) Testi
Lumsdaine ve Papell (LP) 1997 yılında yayımladıkları makalelerinde kırılma
zamanının içsel olarak belirlendiği ve seride iki yapısal kırılmaya izin veren bir test
yöntemi geliştirmişlerdir. İlgili zaman periyodunda meydana gelen iki kırılma noktası
olasılığı dikkate alınarak, N&P (1982) tarafından analiz edilen seriler için birim kök
hipotezi tekrar tahmin edilmiştir. LP (1997) test yönteminde, seride yapısal kırılmanın
olmadığı birim kök varlığını gösteren boş hipotez, serinin trend fonksiyonunda iki farklı
zamanda meydana gelen kırılmayla trend durağan alternatif hipoteze karşı test
edilmektedir.
LP yönteminde AA, CA ve CC modelleri ele alınmıştır. Model AA ortalamada
iki kırılmaya izin vermektedir. Model CA trend fonksiyonunun hem sabitinde (TB1)
hem de eğimde bir kırılmaya (TB1) izin verirken ikinci kırılmaya (TB2) ise sadece
52
trend fonksiyonun sabitinde izin vermektedir. Model CC ise trend fonksiyonunun hem
sabitinde hem de eğimde iki kırılmaya izin vermektedir.
AA Modeli :
∑=
−− +∆+++++=∆k
itititttt ycyDUDUty
1121 εαωθβµ (3.21)
CA Modeli :
∑=
−− +∆++++++=∆k
ititittttt ycyDUDTDUty
11211 εαωγθβµ (3.22)
CC Modeli :
∑=
−− +∆+++++++=∆k
itititttttt ycyDTDUDTDUty
112211 εαψωγθβµ (3.23)
Tt ,...,1= ’dir. tDU1 ve tDU 2 ; 1TB ve 2TB tarihlerinde meydana gelen
ortalamadaki kaymayı gösteren kukla değişkenlerdir. Aynı şekilde tDT1 ve tDT 2 ; 1TB
ve 2TB tarihlerinde meydana gelen trenddeki değişimi gösteren kukla değişkenlerdir.
>
=..011
1ddTBt
DU t ve >
=..021
2ddTBt
DU t
>−
=..011
1ddTBtTBt
DT t ve >−
=..022
2ddTBtTBt
DU t
Model CC’den 2DU ve 2DT değişkenleri çıkarılırsa ZA (1992) C modeli elde
edilir ve bunlara ek olarak 1DT çıkarıldığında A modeli, DU1 modelden çıkarıldığında
ise B modeli elde edilir. ZA (1992) modellerinin terminolojisi, sabit bir 1δ ile Perron
(1989) tarafından kullanılan terminoloji ile benzerdir. Üçüncü denklem Model CC
olarak ifade edilir ve bu modelden DT1 ve DT2 çıkarıldığında, Model AA elde edilir.
Model CC’den DT1 değişkeni çıkarıldığında ise, Model CA elde edilmektedir.
LP tarafından ele alınan birim kök hipotezi 0=α boş hipotezidir ve ilgilenilen
test istatistiği bu hipotezin t istatistiğidir. t istatistiği tüm örneklem kullanılarak
53
hesaplanmıştır ve deterministik trendde açık bir şekilde tarihi bilinmeyen iki kaymaya
izin vermektedir.
Bu testte tahmin ediciler ve test istatistikleri [ ]00 .δTk = , 21 kk ≠ ve 121 +≠ kk
koşullarını sağlamak üzere, 0001 ,...,1, kTkkk −+= ve 0002 ,...,1, kTkkk −+= için
farklı ),( 21 kk çiftlerini hesaplayarak elde edilir. T örneklem boyutunu ve 0δ ise
regresyonu kurmak için örneklemin başlangıç parçasını göstermektedir. 1δ ve 2δ ,
birinci ve ikinci kırılmanın meydana geldiği örneklem parçalarını gösterir.
TTB /11 =δ ve TTB /22 =δ ’dir. BLS (1992)’nin de ele aldığı gibi bu sonuçlar
( ) 11,0 0210 <−≤≤< δδδδ için uygulanmıştır. Bu şekilde, katsayılardaki değişiminin
örneklemin uç noktalarında olmasını önleyen bir kısıt getirilmiştir. Bu durum kırpma
parametresinin [ ]00 δTk = olarak seçilmesini gerektirir. LP kırpma parametresini %1
( )01,00 =δ olarak almışlardır.
Bu sonuç, bütün tahmin ediciler ve test istatistikleri için birleşik tekdüze
yakınsama sağlar. Böylece bu süreçlerin sürekli fonksiyonlarının asimptotik gösterimi
sürekli eşleme teoremi (continuous mapping theorem) yoluyla elde edilmiştir.
0210 ,min kTkkk −≤≤ için );/,/(ˆ 021 δTkTkt istatistiği kullanılmıştır. Yani 1k ve
2k ’nin olası kombinasyonlarından hesaplanan en küçük t istatistiği kullanılmıştır.
21 kk ≠ ve 121 ±≠ kk olduğu varsayılmıştır. ( 21 kk = ise 21 δδ = olacaktır ve bu da
serideki tek kırılmayı ifade eder). 121 ±≠ kk varsayımı ile ardışık tarihlerde meydana
gelen iki kırılmanın olasılığını reddetmişlerdir. Yani iki ayrı olay olarak pozitif bir
şoktan sonra negatif bir şokun ya da tersi bir durumun beklenmeyeceğini ileri
sürmüşlerdir.
Bu sonuçlar zorunlu olarak tahmin edilen bir k için değil bilinen bir k için elde
edilir. Her bir seri için gecikme uzunluğunun seçilmesinde ADF prosedürü
kullanılmıştır.
Bu testin gecikme uzunluğu olan k ’nın seçiminde, öncelikle önsel olarak üst bir
sınır belirlenir. Regresyona dâhil edilen son gecikmeli değerin anlamlılığı sınanır,
anlamlı olması halinde bu değer regresyondaki gecikme uzunluğu olarak seçilir; anlamlı
olmaması halinde ise gecikme uzunlukları, gecikme uzunluğu anlamlı olana kadar birer
54
birer azaltılarak regresyondan çıkarılır. Herhangi bir gecikmenin anlamlı bulunamaması
halinde 0=k olarak seçilir.
Lumsdain ve Papell (1997), NP (1982) verilerinin kullanıldıkları bu çalışma
sonucunda birim kök boş hipotezi karşısında ZA (1992)’dan daha fazla; fakat Perron
(1989)’dan daha az kanıt elde etmişlerdir.
Perron (1989) ve ZA (1992) tarafından %5 anlamlılık düzeyinde yapılan test
sonuçları reel GSMH, Nominal GSMH ve endüstriyel üretim serileri için, birim kök boş
hipotezi reddedilmesi ile sonuçlanmıştır. LP (1997) iki kırılma modelleri ile bu seriler
için aynı sonuçlar elde edilmiştir. Ayrıca iki kırılmalı LP modellerinde de Perron (1989)
ve ZA (1992) testleriyle yapılan analizlerde, birim kök boş hipotezinin reddedilemediği
üç seri (velocity, tüketici fiyatları, faiz oranı) için birim kök boş hipotezi
reddedilememiştir.
LP (1997) çalışmalarında, AA modeli dikkate alarak, NP(1982)’nin
çalışmalarında kullanmış oldukları on üç serisinin yedisi için birim kök boş hipotezini
%5 anlamlılık seviyesinde reddetmişlerdir. Birim kök boş hipotezinin reddedildiği bu
yedi serinin üçü Perron(1989) tarafından da birim kök boş hipotezinin reddedildiği
ancak ZA tarafından reddedilemediği serilerdir.
LP (1997) testinin gerçekleştirilmesi ızgara aramasına (grid search) dayanır.
0<α alternatifi karşısında, 0=α testi için minimum t değerine sahip belirgin olası
noktaları ile Model AA ve Model CC ile tahmin edilir (Altınay, Galip, 2005).
LP (1997) tarafından elde sonuçlar birden fazla kırılma olduğu durumlarda,
yanlış tanımlamalara karşı sağlam (robust) testlere olan gereksinimi ortaya çıkarmıştır.
LP (1997) geliştirdikleri testle, birim kökle ilgili sonuçların yapısal kırılmaların sayısına
ne kadar duyarlı olduğunu ve iki kırılmalı bir model tahmin edildiğinde bir içsel kırılma
modeli ile elde edilen sonuçların çoğu kez tersine döndüğünü göstermişlerdir.
3.7. Perron (1997) Testi
Perron (1997) çalışmasında, Perron (1989) tarafından ele alınan çoğu makro
iktisadi zaman serisine yönelik bulgularını yeniden değerlendirmiştir. Perron (1989)
çalışmasında, 1929 büyük buhran döneminde trend fonksiyonun sabitinde ve 1973
üretim durgunluğu dönemimde ise trend fonksiyonun eğiminde bir değişime izin
55
verildiğinde makroiktisadi zaman serilerinin çoğunun deterministik bir trend etrafında
durağan olduğunu ifade etmiştir. Farklı eğim ve sabitler için kukla değişkenler
eklenerek ve DF yöntemi genişletilerek test istatistikleri kurulmuştur. Farklı modeller
altında elde edilen kritik değerlerin asimptotik dağılım teorisi, kırılma noktasının dışsal
olarak belirlendiğini, yani seçilen tarihlerin veriden bağımsız olarak seçildiğini
varsaymaktadır. Perron (1989) çalışmasından farklı olarak Perron (1997) çalışmasıyla
önerilen modellerde kırılma tarihi önsel olarak bilinmemekteydi ancak tahmin edilebilir
bir değer olarak ele alınmıştır. Kırılma noktasının tahmini için çeşitli metotlar ve bu
metotlar için sonlu örneklem ve asimptotik dağılımlar verilmiştir. Perron (1997)
çalışmasında, üzerinde durulan bir başka nokta ise, otoregresyondaki budama gecikme
parametresi seçiminin kritik değerler üzerindeki etkisidir.
Perron (1989)’nun dışsallık varsayımına, ilk önemli eleştiri Christiano (1992)
tarafından getirilmiştir. Crhristiano (1992) kırılma tarihinin önsel olarak bilinmediğini,
yani kırılma tarihinin veri ile ilişkili olduğunu varsaymıştır. Perron (1997), test
istatistiklerin sonlu örneklem ve asimptotik dağılımlarının veriler ile kırılma tarihinin
seçimi arasındaki ilişkiye bağlı olmasından dolayı bu varsayımın önemli bir sorun
olduğunu ifade etmiştir. Perron (1989) veriden bağımsız olarak ele alınan kırılma
tarihlerini ex-post olarak değil ex-ante olarak seçilmiştir ve dışsal olarak seçilen bu
tarihler iktisadi teoriyi etkileyen olayları temsil etmek için kullanılmıştır. Bunlara 1929
borsalardaki hızlı düşüş ve uluslar arası ekonomik koordinasyon ve politika
değişiklikleri sonucunda petrol fiyatlarındaki ani dışsal değişimler örnek olarak
gösterilebilir. Bununla beraber birçok dışsal olay, bazı teorilerin ileri sürdüğü önemli
etkileri göstermemiştir. Bu bağlamda kırılma noktalarının seçiminin en azından bir
ölçüde de olsa verilerle ilişkili olması gerekliliği görüşü ağrırlık kazanabilir.
Perron (1997) çalışmasındaki kırılma noktalarının dışsallığı ile ilgili varsayımı,
kırılma tarihleri ile veri arasındaki ilişkinin ölçüsünü araştırmaya yönelik ilk yaklaşım
olarak değerlendirmiştir. Perron (1997) çalışmasında, 1989 çalışmasını referans almış
ve kırılma tarihleri veri ile ilişkili olarak ele alındığında 1989 sonuçlarını doğrulayacak
şekilde, birim kök boş hipotezini reddetmeyi amaçlamıştır.
Perron (1997) yaklaşımı yine zaman serisindeki tek zamanlı bir kırılmanın
varlığını araştırmaya yöneliktir. Bu kırılma noktası olası tüm kırılma noktaları arasından
56
birim kök boş hipotezinin testinde kullanılan t istatistiğini minimize eden değerde
seçilmektedir.
Perron (1997) tarafından kullanılan yöntem ve veri seti, BLS (1992) ve ZA
(1992) tarafından kullanılanlarla benzediğinden, Perron (1997) çalışması adı geçen
çalışmalarla yakından ilişkili ve bu çalışmaların tamamlayıcısı niteliğindedir. Perron
(1997) yaklaşımı ile sözü edilen çalışmaları bazı yönlerden genişletmiştir. Metodolojik
olarak, olası kırılma noktaları üzerindeki birim kök testlerinin minimum değerine
dayanan ardışık testlerin asimptotik dağılımı ele alınmıştır. Perron (1997) ampirik
sonuçlarla ilgili olarak, kendi analizlerinin bu iki çalışma ile ortaya konanlardan daha
kapsamlı ifade etmiştir. Test sonuçları üzerinde budama gecikmesinin seçimine ayrıca
önem verilmesi gereğini vurgulamıştır.
Perron (1997) trend fonksiyonunda meydana gelen tek zamanlı bir kırılmanın
varlığına izin veren birim kök testlerinde kullanılan istatistiksel yöntemi yeniden
gözden geçirmiştir. Perron (1997) yaklaşımında, Perron (1989) tarafından ele alınan üç
modeli dikkate almıştır. Burada trend fonksiyonunda meydana gelen değişim zamanı bT
olarak gösterilmiştir.
Perron (1997) tarafından ele alınan ilk model Yenileşim Aykırı Değer
(Innovatinal Outlier) Modeli olarak adlandırılan modeldir. Bu model boş hipotez ve
alternatif hipotez altında trend fonksiyonunun sadece sabitinde değişime izin
vermektedir. Ayrıca değişimin aşamalı bir şekilde meydana geldiği ve bu değişimin
gürültü fonksiyonun korelasyon yapısına dayandığı varsayılmıştır. 1=α için t istatistiği
kullanılarak birim kök testi gerçekleştirilir. Bu model aşağıda gösterilmektedir.
1Model : ( ) t
k
itittbtt eycyTDtDuy ∑
=−− +∆+++++=
111αδβθµ (3.24)
Burada,
>
=..0
1ddTt
DU bt
( ) +=
=..0
11dd
TtTD b
tb
57
şeklinde ifade edilmiştir.
Model 1 ile verilen bu regresyon sıradan EKK ile tahmin edilmektedir. Bu
regresyon ARMA süreçlerinin otoregresif süreçler ile tahmin edilmesiyle DF (1979) ve
SD (1984) yöntemlerinin bir uzantısı olarak değerlendirilir.
İkinci model bT kırılma zamanında trend fonksiyonun hem sabitinde hem de
eğiminde bir değişime izin vermektedir. Bu regresyonda 1=α şeklindeki birim kök boş
hipotezi t istatistiği kullanılarak test edilmektedir. Model 2 aşağıdaki gibi gösterilmiştir.
2Model : ( ) t
k
itittbttt eycyTDDTtDuy ∑
=−− +∆++++++=
111αδγβθµ (3.25)
Burada,
>
=..0
1ddTt
DT bt
şeklinde ifade edilmiştir.
Model 3, Perron (1989) yaklaşımındaki Toplamsal Aykırı Değer (Additive
Outlier) Modeline uymaktadır. Bu model altında trend fonksiyonun eğiminde bir
değişime izin verilmektedir. Fakat trend fonksiyonun her iki kısmı (kırılma öncesi ve
sonrası) kırılma zamanında birleştirilir. Bu model için iki aşamalı bir yöntem kullanılır.
İlk aşamada aşağıdaki denklem kullanılarak seri trendden arındırılır.
ttt yDTty ~* +++= γβµ (3.26)
>−
=..0
1*
ddTtT
DT bbt
İkinci aşamada, bu regresyonun EKK tahminnden elde edilen aşağıdaki
regresyonda, 1=α şeklindeki birim kök boş hipotezi t istatistiği kullanılarak test edilir.
t
k
ititt eycyy ∑
=−− +∆+=
111
~~ α (3.27)
58
Kırılma tarihi bT ve budama gecikme parametresi k ile incii' model altında
1=α testi için t istatistiği ( )kTit b ,,ˆ =α ( )3,2,1=i şeklinde ifade edilmiştir. Bu
regresyonlarda bT ve budama gecikme parametresi k ’nın bilinmediği varsayılmıştır.
Perron (1997) bT ’nin içsel olarak seçilmesine yönelik iki yeöntemden söz
etmiştir. Bunlardan ilki 1=α testinde t istatistiği minimize eden değerde bT ’nin
seçilmesidir. Test istatistiği ( ) ( ) ( )kTitMinit bTkTb,,ˆ,1
*ˆ αα +∈= ( )3,2,1=i şeklinde
tanımlanmıştır. ( )1*αt ve ( )2*
αt ’nin asimptotik dağılımları olası kırılma tarihlerinin
aralığının örneklemin uç değerlerini dışlayan bazı alt kümelerle sınırlandırılmış olarak
ZA (1992) tarafından ele alınmıştır. İkinci olarak, Model (1) de sabitteki değişimi
gösteren parametrenin t istatistiğini, θ̂
t , ya da Model (2) ve (3)’te eğimdeki değişimin t
istatistiğini, γ̂t , minimize eden bT kırılma zamanı olarak seçilir. 1=α birim kök boş
hipotezi için t istatistiği Model 1 için ( )1*,θαt ve Model (2) ve (3) için ( )it*
,γα ( )3,2=i gibi
bir prosedürden elde edilir. k ’nın seçimiyle ilgili farklı tanımlamalar analiz edildiğinde, *
bT ; ( ) ( ) ( )kTtMinTt bTkTb b,ˆ,1
*ˆ θθ +∈= iken ( ) ( )kTitt b ,,1 *
ˆ*
, αθα = şeklinde ifade edilir.
( )it*,γα ( )3,2=i benzer bir şekilde tanımlanmaktadır. Böyle bir yöntem kırılma zamanın
bilinmemesine yol açmakla beraber analizi büyümedeki durgunluk ve “crash” durumları
ile kısıtlar. Değişimin yönü ile ilgili herhangi önsel bir varsayım yapılmadan kırılma
noktasının seçiminde aynı prosedürün kullanımını da dikkate almıştır. Bu bağlamda,
kırılma tarihi, θ̂
t ya da γ̂t istatistiklerinin mutlak değerlerini maksimum olduğu
değerde seçilir. Uygun test istatistikleri ise, Model (1) için ( )1*, θαt ve Model (2) ve
Model (3) için ( )it*, γα ( )3,2=i şeklinde gösterilir.
Perron (1997) çalışmasında, k ’nın seçiminde veri bağımlı metotlarının
kullanımını önermiştir. Bunun nedeni ise, veri bağımlı metotların, önsel olarak sabit bir
k ’nın seçilmesinden daha kararlı boyut ve daha yüksek güç özelliklerine sahip test
istatistiklerine yol açmalarıdır. Bu bağlamda, k ’nın seçimine yönelik veriye bağımlı iki
yeöntem önermiştir.
Bunlardan ilki, tahmin edilen otoregresyonda son gecikmeli değer ile gösterilen
katsayının t istatistiğine dayanan genelden özele yöntemidir. Bu yöntem *k diyeceğimiz
59
k değerini seçer. Burada bahsedilen *k ’ıncı dereceden bir otoregresyondaki son
gecikme anlamlı olup bundan daha yüksek bir derecede otoregresyondaki son gecikme
anlamsızdır. Simülasyonlarda ve ampirik çalışmalarda asimptotik normal dağılıma
dayalı iki yanlı %10 anlamalılık düzeyinde test kullanılarak son gecikmenin anlamlılığı
araştırılmaktadır. Bu metot "" sigt − olarak ifade edilmektedir.
İkinci yöntem ise, SD (1984)’in ampirik uygulamalarında kullandıkları
yeöntemdir. Tahmin edilen katsayıların üzerinden bir F testi kullanılarak, ek
gecikmelerin birlikte anlamlı olup olmadıklarının testine dayanır. Öncelikle k ’nın
maksimum değeri, maxk , belirlenir. Daha sonra otoregresyon maxk ve ( )1max−k
gecikmeleri ile tahmin edilir. Bu aşama da %10 anlamlılık düzeyinde tek yanlı F testi
kullanılarak, maxk ’ıncı gecikmenin anlamlı olup olmadığına bakılır. Eğer bu gecikme
anlamlı bulunursa, seçilen k değeri maksimum olan değerdir. Ancak bu gecikme
anlamlı bulunmaz ise, model ( )2max−k gecikme ile tahmin edilir. Bu uygulama k ’nın
tek tek azaltılması ile ek gecikmelerin anlamsızlığı reddedilene kadar ya da daha düşük
bazı sınırlar elde edilene kadar devam eder. Ampirik çalışmalarda bu sınır 1=k olarak
alınır. Bu yöntem "" sigF − olarak ifade edilmiştir.
Perron (1997) çalışmasında, AIC gibi bilgi kriterlerine dayalı metotlar yerine
“genelden özele” metodunu kullanmayı tercih etmiştir. Bunun nedeni ise, AIC gibi bilgi
kriterlerinin ARMA süreçlerindeki verilerde birtakım ciddi boyut çarpıklıklarına
ve/veya güç kaybına yol açan cimri (parsimony) modeller seçme eğilimde olmalarıdır.
AIC’nın kullanımı, k ’nın tipik olarak 0 ve 1 gibi çok küçük bir değer olarak
seçilmesine neden olmaktadır. Bunun bir sonucu olarak, tahmin edilen artıkların serisel
korelasyon sergilediği pek çok ampirik çalışma ile gösterilmiştir.
Perron çalışmasında kullandığı istatistiklerim asimptotik ve sonlu örneklem
dağılımlarını türetmiştir. Bunu yaparken veri yaratma sürecini bir rastsal yürüyüş süreci
olarak ele alınmıştır.
ttt eyy += −1 ( )Tt ,...,2,1=
Burada veriler ty 00 = ve te )1,0(iidN ile bir rastsal yürüyüş süreci ile
türetildiğinde simülasyonla 2000 yenileme yapılarak bazı örneklem büyüklükleri kritik
60
değerleri hesaplamıştır. Bu örneklem büyüklükleri, Model (1) için, T=60, 80, 100;
Model (2) için T=70 ve 100; Model (3) için, T=100,150, 200’dür.
k sabit olduğunda Perron (1997) sonlu örneklem dağılımı ile ilgili birkaç önemli
noktayı vurgulamıştır. Tüm durumlarda, k’nın değişimi kırılma zamanın
minizisayonunda k’nın sabit tutulmasını sağlarken kritik değerler oldukça stabildir.
k’nın sabit olduğu bu durumlarda, asimptotik dağılım sonlu örneklem dağılımına iyi bir
yaklaşımdır. bT sabit olarak değil veri bağımlı olarak değerlendirildiğinde, Perron
(1997) çalışmasında elde edilen kritik değer, Perron (1989) çalışması ile
karşılaştırıldığında çok daha düşüktür. Örneğin bT üzerinde minimizasyon koşulunda,
T=100 ve ( )1*α̂t istatistiği ile kritik değer 93,4− iken bT örneklemin ortasında bir sabit
olarak dikkate alındığında kritik değer: 76,3− ’dır.
Burada birinci farkın katsayıları üzerine yinelemeli F testlerine göre seçilen k ile
oluşturulan testler için kritik değerler )( sigFk − ile gösterilmiştir. Otoregresyona
eklenen son gecikme üzerinde t testine göre seçilen k ile oluşturulan testler için kritik
değerler )( sigtk − ile göstermketedir. Sonuç değerleri sigF − kullanımı ile elde
edilen değerlere yakındır. k ’nın seçiminde veri bağımlı metotların kullanıldığında,
asimptotik kritik değerlerin kullanımı sonlu örneklemlerde serbest testlere yol
açacağından asimptotik yaklaşım iyi değildir. Perron, ( )( )3,2,1*ˆ =iitα istatistiklerinin
dağılımı karşılaştırıldığında dağılımın sol kuyruğunda en yüksek kritik değerlerin
Model (3) de meydana geldiğini ifade etmiştir. Bu durum, en yüksek kritik değerlerin
Model (1)’e denk geldiği sabit bT durumu ile çelişkili görülmüştür.
Sabit ya da eğimdeki değişimin t istatistiği bT kırılma noktası, θ̂
t ya da γ̂t ’yi
minimize etmek için seçilen ( )1*,θαt ve ( )it*
,γα ( )3,2=i istatistiklerinin kritik değerleri
dikkate alınmaktadır. Bu durumda, uygun kritik değerler mutlak değer olarak daha
küçüktür. Bu trend fonksiyonunun sabitinde, tek yanlı bir değişimin önsel bir
yüklenimden kaynaklanmaktadır.
θ̂t ya da γ̂t ’in mutlak değer maksimizasyonuyla kırılma tarihi seçimine dayanan
( )1*, θαt ve ( )it*
, γα ( )3,2=i istatistikleri dikkate alındığında ise bu istatistikleri ( )it*α
istatistiği gibi değişimin yönü hakkında önsel bir koşul ileri sürmezler. Dağılımın sol
61
kuyruğunda Model (1) ve Model (3) için ( )1*αt ile ( )1*
, θαt ve ( )3*αt ile ( )3*
, γαt arasında
kritik değerler aslında aynıdır. Bundan dolayı, bu iki modelin iki istatistiği aynı
özelliklere sahiptir. Ancak, aynı durum Model 2 için geçerli değildir. ( )2*αt ile
karşılaştırıldığında dağılımın sol kuyruk kritik değerleri ( )2*, γαt için daha mutlak değer
olarak daha küçüktür. Bu nedenle ( )2*, γαt ’nin daha güçlü bir test olması beklenir.
Perron (1997) çalışmasında, testin boyut ve güç özelliklerinin k ’nın seçimiyle
nasıl etkilendiğini ve bT ’nin seçim prosedürü karşında testin gücünün nasıl değiştiğini
göstermeyi amaçlamıştır. k ’nın seçimine ait sonuçlar değerlendirildiğinde, sürecin
olması gereken derecesinden daha düşük bir k değeri seçilirse aşırı boyut çarpıklığı
meydana geleceği görülmektedir. Çoğu durumda olması gereken boyut mevcut boyuttan
daha büyüktür. Eğer k sürecin gerçek sırası kadar seçilirse olması gereken boyut
nadiren mevcut olan boyutu geçer. Eğer gecikme yapısı parametreleri aşarsa güç kaybı
yaşanır. k ’yı elde etmek için, )( sigFk − ya da )( sigtk − yöntemlerinden biri
kullanıldığında negatif hareketli ortalama bileşeninin olduğu durumlar dışındaki tüm
durumlarda olması gereken boyut, mevcut boyuta yakındır. )( sigtk − ya da
)( sigFk − kullanımında güç oldukça iyidir. Bu iki yöntem iyi boyut ve güç
özelliklerine sahiptirler ve açık bir şekilde sabit bir k kullanımını belirlenmektedir.
Perron (1997) çalışmasında elde ettiği sonuçlar, )( sigtk − yönteminin )( sigFk −
yönteminden daha güçlü olduğunu göstermektedir.
Perron (1997) sabitte ya da eğimde meydana gelen bir değişim karşısında test
istatistiğinin boyutunun nasıl etkilendiğini göstermiştir. ( )1*αt ve ( )1*
,θαt testleri δ
arttıkça fazla büyümektedir. Perron (1997) çalışmasında, eğimdeki değişimle ilgili olan
( )3*αt istatistiği için verilen kritik değerler tablosu ile γ ’daki değişimlerin dikkate
alınan bazı değerler aralığında testin boyutunu etkilemediğini de ortaya koymuştur.
γ ’daki artışlar bazı durumlarda ( )3*,γαt ’da hafif çarpıklıklara neden olmaktadır. Ek
simülasyonlarda, ise daha yüksek γ değerinin aşırı boyut çarpıklığına neden olduğunu
açığa çıkarmıştır.
62
Perron, büyük değişimler sonucu meydana gelen çarpıklıkların aslında bir sorun
olmadığını fakat serilerin çok geniş sabit ya da eğim değişimlerine sahip olduğundan
şüphelenildiği durumlarda deikkatli olunması gerektiğini belirtmiştir.
Perron (1997) kırılma tarihinin içsel olarak belirlendiği bu yaklaşımını, Perron
1989 çalışmasının yerine geçen bir çalışma olmaktan çok sözü geçen çalışmayı
tamamlayan bir yaklaşım olarak değerlendirmiştir.
Perron (1997) G-7 ülkelerine ilişkin savaş sonrası GSMH ve GSYİH serilerinin
bir veri setini analiz etmiştir. Kırılma zamanı, ( )3*αt testi kullanılarak seçilmiştir ve
analiz sonucunda kırılma zamanı seriler için farklı bulunmuştur. ( )3*αt testine ait
sonuçlarda, asimptotik kritik değerler kullanıldığında İtalya hariç diğer ülkelere ait
seriler için birim kök boş hipotezi %5’e yakın anlamlılık düzeyinde reddedilmiştir.
Sonlu örneklem kritik değerleri kullanıldığında genelde sonuçlar o kadar belirgin
değildir. Japonya için birim kök hipotezi güçlü bir şekilde reddedilmiştir. Perron
(1997)’de birim kök durumundan başka, önemli bir yapısal değişikliğin meydana
geldiğini ileri sürmüştür. Kırılma tarihleri her ülke için farklı olsa da bu tarihler birinci
petrol şokunun meydana geldiği 1973 yılına yakın tarihlerdir ve 1971:2 – 1976:3
aralığında değişmektedirler. Perron (1997) çalışmasında kullandığı metodun değişim
tarihinin tutarlı bir tahminini sağlamada doğrudan uyarlanmış bir metot olmadığını ve
bu nedenle kırılma tarihlerinin yaklaşık bir tarih olarak düşünülmesi gerektiğini ifade
etmiştir.
Kırılma noktası seçimi ve veri arasındaki ilişki varsayımı altında kullanılan
istatistiksel prosedür, serilerin 1973 yılları civarında eğimdeki bir değişimle kırıklı bir
trend fonksiyonu etrafında durağan dalgalandıkları hipotezi ile tutarlıdır.
Perron (1997) çalışmasını ZA (1992) ve BLS (1992) ile karşılaştırmıştır.
Sonuçlar ZA (1992) karşılaştırıldığında, burada bazı yöntemsel farklılıklar
özetlenmiştir. Bunlar:
Perron (1997) regresyon (1) ve (2) için tek zaman kuklası ( )tbTD ’yi içermiştir.
Budama gecikmesi seçiminde )( sigt − prosedürü olduğu kadar )( sigF − prosedürü de
kullanılmıştır. Ayrıca kırılma tarihi seçiminde eğimdeki değişim katsayısının bir
anlamlılık testi kullanılmıştır.
63
BLS (1992) ile temel farklılıklar ise birkaç noktada özetlenmiştir. Perron (1997)
çalışmasında kullanılan veri, BLS (1992) tarafından kullanılan veriden, kaynaklar ve
görüş bakımında farklıdır. İkinci olarak, BLS (1992) yaklaşımında boş hipotez altında
eğimde bir değişime izin vermeyen tek adımlı yenileşim aykırı değer modeli
kullanılmıştır. Üçüncü olarak k’nın değeri tüm ülkeler için dört olarak alınmıştır ve bu
değer sekiz olarak belirlendiğinde ya da AIC ve SC gibi bilgi kriterleri kullanıldığında
sonuçların dirençli olduğunu ifade etmişlerdir.
Perron (1997) çalışmasında k’nın seçiminde kendi kullandığı metodun birim kök
testlerinde daha iyi sonuç verdiğini ileri sürmüştür. Verilerin gerçek korelasyon yapısı
bilinmeyeceğinden ve ülkeler arasında farklılık gösterebileceğinden, k’nın değerini
keyfi bir değere sabitlemek ciddi boyut çarpıklığı ve/veya güç kaybına yol
açabilmektedir.
3.8. Vogelsang ve Perron (1998) Testi
Perron (1989, 1990) trenddeki meydana gelen kaymaları iki yöntem ile
modellemiştir. Bunlardan ilki, şokların birden meydana geldiği durumlara uygulanan
AO modeli, diğeri ise, şokların zaman içinde yavaşça kademeli bir şekilde meydana
geldiği durumlara uygun olan IO modelidir. Bu modellerden hareketle Vogelsang ve
Perron (1998), IO ve AO modelleri çerçevesinde, istatistiklerin limit dağılımları birim
kök boş hipotezi altında trend fonksiyonunda bir değişim meydana geldiği durumlarda
türetilmiştir.
VP (1998) çalışmasında önerdikleri yaklaşımın amaçlarını aşağıdaki gibi
özetlemişlerdir. Bu amaçlardan ilki; AO modeli çerçevesinde crash modeli ve değişen
büyüme modeli (changing growth model)’lerinin istatistikleri için asimptotik dağılımlar
türetilmesidir. Kırılma tarihinin DF-t istatistiğinin minimisazyonu ve trend kırığı kukla
değişkeninin parametresinin anlamlılığı kullanılarak istatistikler dikkate alınmıştır.
Ayrıca trend kırığı kukla değişkeninin anlamlılığı kullanılarak seçilen kırılma tarihiyle
IO modeli çerçevesinde her iki model için de asimptotik sonuçlar elde edilmiştir. Bu
sonuçlar boş hipotez altında bir kırılmanın olmadığı varsayımı ile elde edilmiştir. İkinci
amaç; tüm modeller için birim kök boş hipotezi altında bir kırığın meydana geldiği
varsayımı ile asimptotik sonuçlar türetilmesine yöneliktir. Sabitte bir kayma olduğunda
istatistiklerin limit dağılımlarının (limiting distributions) değişmez olduğu fakat eğimde
64
bir kayma olduğunda bu dağılımların değişebileceğini göstermişlerdir. Üçüncü olarak;
sonlu örneklem boyutu ve gücünün ortalama ve eğimdeki kaymadan nasıl etkilendiğini
göstermek için sonlu örneklem simülasyonları kullanılmışlardır.
Ele alınan model ve istatistikler aşağıda verilmiştir;
Bu modellerde önceden var olan çalışmalarla tutarlı olarak trend fonksiyonunda
en fazla bir kırılma meydana geldiği varsayılmıştır. Kırılma tarihi cbT ile gösterilmiştir.
TT cb <<1 ve T örneklem boyutudur (c üst imi doğru kırılma tarihini gösterir). Kırılma
tarihinin bilinmediği varsayıldığından bT kırılma zamanı kullanılarak tahmin edilen
regresyonlar doğru kırılma zamanı cbT kullanılarak elde edilenlerden farklıdır. Aşağıda
AO ve IO modelleri çerçevesinde üçer model ele alınmıştır.
i) Toplamsal Aykırı Değer (AO) Modeli
Bu model değişimin ani bir şekilde meydana geldiği ve değişimin serinin
dinamiklerinden etkilenmediği varsayıldığında kullanılan bir modeldir. Bu modele
ilişkin regresyonlar aşağıda verilmiştir,
:1Model tctt zDUty +++= θβµ (3.28)
:2Model tc
tctt zDTDUty ++++= γθβµ (3.29)
:3Model tc
tt zDTty +++= γβµ (3.30)
Burada, )(1 cb
ct TtDU >= ve ))((1 c
bc
bc
t TtTtDT −>= olarak tanımlanmıştır.
Ayrıca hata terimi tz , tt eLBzLA )()( = olarak tanımlanan bir ),1( qpARMA + sürecidir
( te ),0( 2σiid ). θ ve γ parametreleri olası trend kırıklarının büyüklüklerini ölçer.
Örneğin birim kökün varlığında { }ty ’nin sabiti cbT ’ye kadar 0y ve c
bT ’den sonra θµ +
olarak değerlendirilmiştir.
Vogelsang ve Perron (1998) AO modeli çerçevesinde iki aşamalı bir prosedür
izlemiştir. aşağıdaki regresyonlar EKK ile tahmin edilerek seriler trendden arındırılır.
65
:1Model 1~ttt yDUty +++= θβµ (3.31)
:2Model 2~tttt yDTDUty ++++= γθβµ (3.32)
:3Model 3~ttt yDTty +++= γβµ (3.33)
)(1 bt TtDU >= ve ))((1 bbt TtTtDT −>= olarak tanımlanmıştır.
İkinci aşamada aşağıdaki regresyonda i'1=α test etmek için t istatistiği
kullanılmaktadır.
tk
kj
itik
ij
titbij
t uycyTDy +∆++= ∑∑ = −= −− 11 1~~)( αω (3.34)
tk
k ititt uycyy +∆+= ∑ = −− 133
13 ~~α (3.35)
(3.31)’de 1+k gecikmeli itbTD −)( kukla değişkenine yer verilmesinin nedeni,
α ’nın t istatistiğinin asimptotik dağılımın hataların korelasyon yapısı ile değişmediğini
ve IO modeli ile aynı olduğunu temin etmektir. k ’nın uygun seçimi ile verilerin
korelasyon yapısı karşısında α ’nın t istatistiği değişmiyor ise, Model 3’de tek zaman
kukla değişkenine ihtiyaç yoktur. Bununla beraber, AO modelinin limit dağılımı
(limiting distribition) IO modelinin limit dağılımından farklıdır. (3.31) ve (3.32)
regresyonlarında kullanılan 1=α testinde kullanılan t istatistikleri ),,,(ˆ kTAOjt bα
)3,2,1( =j şeklinde gösterilmiştir. bT kullanılan kırılma zamanı ve k ise gecikme
uzunluğunu göstermektedir.
ii) Yenileşim Aykırı Değer (IO) Modeli
IO modeli zaman içinde daha yavaş bir şekilde meydana gelen değişimler söz
konusu olduğunda uygulanabilir. VP (1998) meydana gelen değişimin dinamik
patikasının herhangi bir formda olabileceğini ve serinin trend fonksiyonuna gelen bir
şok ile yenileşim sürecine gelen bir şokun benzer bir şekilde tepki gösterdiğini
varsayarak, bu dinamiklerin modellenebileceğini ifade etmiştir. Bu varsayım izleyen
66
tanımlamalar kullanılarak elde edilebilir. Birim kök boş hipotezi altında ty aşağıdaki
gibi modellenmektedir:
:1Model
( )ttc
btt eTDLyy +++= − )()(*1 θψβ (3.37)
:2Model
( )tctt
cbtt eDUTDLyy ++++= − γθψβ )()(*
1 (3.38)
:3Model
( )tcttt eDULyy +++= − γψβ )(*
1 (3.39)
Model 3 için eğimdeki bir değişimin uzun dönem etkisi ise γψ )1(* iken,
eğimdeki değişimin ani bir etkisi γ ile ifade edilmiştir. Boş hipotez altında ty üç model
için aşağıdaki gibi verilmiştir.
:1Model
( )ttc
tt eTDLty +++= )()( θψβµ (3.37a)
:2Model
( )tctt
ctt eDUTDLty ++++= γθψβµ )()( (3.38a)
:3Model
( )tctt eDULty +++= γψβµ )( (3.39a)
67
VP (1998), (3.37), (3.38), (3.37a) ve (3.38a) modellerinin yuvalanabileceğini ve
birim kök hipotezinin izleyen DF (1979) tipi regresyonlarının EKK tahmini ile test
edilebileceğini ifade etmişlerdir.
∑ = −− +∆+++++=k
i tititttbt uycyDUTdDty11)( αθβµ (3.40)
∑ = −− +∆++++++=k
i titittttbt uycyDTDUTdDty11)( αγθβµ (3.41)
Model 3 için (3.39) ve (3.39a) modellerinin yuvalaması dikkate alınmamıştır.
Bunun yerine ZA (1992) ve BLS (1992) tarafından ele alınan regresyonlar
kullanılmıştır.
∑ = −− +∆++++=k
i titittt uycyDTty11αγβµ (3.42)
Birim kök boş hipotezi altında (3.40) – (3.42) denklemlerinde 1=α , 0=θ ve
0=γ ’dır. (3.42) boş hipotez altında trendde bir kırılmaya izin vermez. (3.40) – (3.42)
denklemlerinde 1=α boş hipotezini test etmek için t istatistiği kullanılır. t istatistikleri
),,,(ˆ kTIOjt bα )3,2,1( =j şeklinde gösterilmiştir
VP (1998) tanıttıkları testleri tamamlamak için, bT ve k ’nın doğru bir şekilde
belirlenmesi gerektiğini vurgulamışlardır.
VP (1998) bT ’nin seçiminde iki veri bağımlı metot önermişlerdir. Bunlardan
ilki, ),)(,,,(ˆ IOAOmkTmjt b =α istatistiğini minimize eden bT değerinin seçimine
dayanır. bT ’nin bu seçimi büyük olasılıkla birim kök boş hipotezini reddedecek kırılma
tarihlerine uyar. Burada )( α̂tTb bu prosedüre göre seçilen bT değerini göstersin ve
)),(,,( ˆˆ ktTmjt b αα ),,,(inf ˆ kTmjt λαλ Λ∈= t istatistiği sonucunu göstersin. Burada, λ ,
[ ]1.0 aralığında değer almaktadır ve [ ]Tλ , Tλ ’nin tam sayı kısmını gösterir. Bununla
beraber tüm olası kırılma tarihleri dikkate alınmıştır.
bT ’nin seçiminde kullanılan ikinci yaklaşım, bir ya da daha fazla kırılma
parametresinin ),( γθ anlamlılığını test etmek için istatistiklerinin maksimizasyonunu
68
içerir. Model 1 için (3.31) ve (3.40) regresyonlarında θ̂
t ve θ̂
t istatistiklerinin
maksimumları kullanılarak bT seçilir. Bu prosedür kullanılarak elde edilen bT değeri,
)(θ̂
tTb ve )( α̂tTb olarak gösterilir. θ̂t istatistiğinin maksimumu kırılmanın yönü
bilinmediğinde kullanılırken, θ̂
t istatistiği kırılmanın yönünün önsel olarak pozitif
olduğu bilindiğinde ( )0>θ kullanılır. Kırılmanın yönünün negatif olduğu ( )0<θ önsel
olarak biliniyorsa θ̂
t istatistiğinin minimumu kullanılır. PV (1998) kırılmanın yönünün
bilinmesi durumunda daha güçlü testlere sahip olunacağını ifade etmişlerdir. Model 2
için (3.29) ve (3.41) regresyonlarının γ̂t , γ̂t ve γθ ˆ,ˆF istatistiklerinin maksimumları
kullanılarak bT seçilir. γθ ˆ,ˆF İstatistiği 0== γθ ortak hipotezinin sınanmasında
kullanılır. Kırılmanın yönünün pozitif olduğu ( )0>γ önsel olarak biliniyorsa bT ’nin
seçiminde γ̂t istatistiğinin maksimumu kullanılırken, kırılmanın yönünün negatif
olduğu önsel olarak bilindiğinde γ̂t istatistiğinin minimumu kullanılır.
VP (1998), budama gecikmesi k birkaç veri bağımlı metot kullanılarak seçilir.
İlk yöntem Perron (1989, 1990,1997) tarafından kullanılan yöntemdir. Bu yönteme göre
k ; bT nin verilen herhangi bir değeri için birinci farkı alınmış son gecikmeli değişkenin
%10 seviyede anlamlılığına bakılarak belirlenir. En son gecikmeli değerin anlamlı
olmadığı son gecikmede belirlenen k değeri maxk olarak adlandırılır. İkinci yöntemde
ise k , 0 ve maxk aralığındaki değerler için AIC ve SC bilgi kriterlerinin kullanımı ile
seçilir. k ’nın bu kriterlere dayalı seçimi )(aick ve )(sck olarak adlandırılır.
3.9. Lee ve Strazicich (2003, 2004) Testi
Perron 1989 yılında yayımlanan çalışmasında birim kök boş hipotezinin,
alternatifi doğru olduğun zaman, var olan bir yapısal kırılma yok sayıldığında birim kök
boş hipotezinin reddetme olasılığının düştüğünü yani testin gücünde bir azalma
olduğunu göstermiştir. Lee ve Strazicich (2003) çalışmasında, bir kırılmanın yok
sayılması ile testin güç kaybına uğrayacağı gibi, tek kırılmalı testlerde iki ya da fazla
kırılmanın varlığı durumunda, benzer bir güç kaybını beklenmesi gerektiğini ifade
etmişlerdir.
69
Perron (1989) çalışmasını izleyen pek çok çalışmada dışsallık varsayımı önceden
belirlenmiş kırılma tarihinin yanlı olabileceği yönünde eleştirilmiş ve bundan dolayı
yapısal kırılma tarihinin içsel olarak veriye bağımlı bir şekilde tahmin edildiği birim
kök testleri geliştirilmiştir.
LS (2003) çalışmalarında NP (1982) çalışmalarında kullandıkları veri setini
analiz etmişlerdir ve elde ettikleri sonuçları LP (1997) tarafından elde edilen sonuçlarla
karşılaştırmışlardır. Lumsdaine ve Papell (1997)’in iki kırılmaya izin veren birim kök
testi, boş hipotez altında yapısal kırılmaların olmadığı varsayımı altında türetilmiştir. LP
(1997) yaklaşımda, birim kök boş hipotezin reddedilmesi tek başına birim kökün
reddedilmesi anlamına gelmemektedir, ayrıca seride kırılma olmaksızın birim kökün
reddedilmesi anlamına gelebilmektedir. Benzer bir şekilde alternatifi iki kırık altında
trend durağanlığı ifade etmek zorunda da değildir, iki kırılmaya sahip bir birim kök
anlamına da gelebilir. Bu sonuç ampirik çalışmalarda test sonuçlarının dikkatli bir
şekilde yorumlanmasını gerektirir. Boş hipotez altında bir kırılmanın varlığında boş
hipotezin reddedilmesi, aslında yapısal kırılmaya sahip fark durağan bir zaman serisinin
kırılmalara sahip trend durağan bir zaman serisi olduğu şeklinde yanlış yorumlanmasına
yol açabilir. Buna rağmen, bir çok ampirik çalışmada içsel kırılmalı birim kök
testlerinde birim kök boş hipotezinin reddedilmesi trend durağanlığın kanıtı olarak
yorumlanmaktadır.
LP (1997) testinde olduğu gibi, kırılma noktalarının içsel olarak belirlendiği
diğer benzer testlerde, birim kök boş hipotezi altında kırılmaların olmadığını
varsayılmıştır ve kritik değerler bu varsayım altında türetilmiştir. Nunes, Newbold ve
Kaun (1997) ve LS (2003) boş hipotez altında mevcut olan bir yapısal kırılmanın
varlığının yok sayılmasının ZA (1992), LP(1997) gibi içsel kırılmalı birim kök
testlerinin çoğunda boyut çarpılıklarına yol açacağını ifade etmişlerdir. Ayrıca, bu
testler kırılma tarihini yanlış tahmin etmeye meyilli olacaklardır. LS (2001), DF tipi
içsel kırılmalı testlerin asimptotik boş dağılımların kırılma yeri ve büyüklüğünü işaret
eden sorunlu parametrelerden etkilendiğini ve yapısal kırılma durumunda birim kök boş
hipotezinin yanlış olarak reddedildiğini ifade etmişlerdir. (Lee ve Strazcich, 2003).
Lee ve Strazcich (2003, 2004) kırılma zamanının içsel olarak belirlendiği, birim
kök boş hipotezi ve alternatifi altında bir ve iki kırılma olasılığına izin veren bir
70
prosedürü dikkate almışlardır. LS tarafından önerilen bu test, Schimidt ve Phillips
(1992) tarafından önerilen lagrange çarpanları (LM) birim kök testine dayanmaktadır.
Lee ve Strazicich testi, Perron (1989)’da tanımlanan Model A, B ve C’yi
dikkate almışlardır ve veri üretme sürecini aşağıdaki şekilde ifade etmişlerdir;
ttt eZy +′= δ
ttt ee εβ += −1
Burada tZ dışsal değişkenlerin vektörüdür. tε ),0( 2σiid ’dir. Bir yapısal kırılma
için Lee ve Strazicich (2004) iki model ele almışlardır. Bu modeller Perron (1989)
tarafından ele alınan, A ve C modelleridir. Birim kök testi ne ilişkin hipotez 1=β
parametresinin test edilmesine dayanmaktadır. Alternatif hipotez altında tek zamanlı bir
kırılmaya izin veren A modeli için, [ ]',,1 tt DtZ = olarak tanımlanmıştır ve 1+≥ BTt için
1=tD diğer durumlar için 0 olarak verilmiştir. BT yapısal kırılma zamanı ve
( )321 ,,' δδδδ = olarak tanımlanan parametreler vektörüdür. Model C alternatif hipotez
altında sabitte bir kayma ve trendin eğiminde değişimin yer aldığı Peron (1989)’un C
Modeli ile eşdeğerdir. Bu modelde dışsal değişkenlerin vektörü [ ]',,,1 ttt DTDtZ =
olarak tanımlanmıştır. 1+≥ BTt için, Bt TtD −= , diğer durumlar için 0 olarak
tanımlanmıştır (Lee ve Strazicich, 2004).
İki yapısal kırılma için, Model A seviyede iki kaymaya izin verir. Bu model için
[ ]',,,1 21 ttt DDtZ = ve 1+≥ BjTt için 1=jtD , diğer durumlarda 0 olarak tanımlanmıştır.
Seviyede ve trendin eğiminde iki kaymaya izin veren model C için
[ ]',,,,,1 2121 ttttt DTDTDDtZ = ve 1+≥ BjTt için Bjjt TtDT −= , diğer durumlarda 0
olarak tanımlanmıştır. Veri üretme süreci boş hipotez )1( =β ve alternatif hipotez
)1( <β altında kırılmalar içerir.
LS (2003, 2004) testinde birim kök test istatistiği aşağıda verilen regresyon
yardımı ile hesaplanmaktadır.
tttt uSZy ++∆′=∆ −1~φδ
71
∆ birinci fark operatörü, tS~ 8 trendden arındırılmış seridir. Denklemde tZ yerine tZ∆
yer almaktadır. Bu nedenle, tek kırılmalı durum için [ ]ttt DZ ,,1, β∆ şeklinde ifade
edilmektedir. Burada, tt D∆=β ve tt DTD ∆= ’dir. Bu nedenle tβ ve tD sırasıyla
alternatif hipotezde sabitte ve trendde değişime; sıfır hipotezinde ise, bir dönemli
sıçrama ve ortalamada değişime karşılık gelmektedir. İki kırılma olduğu durumlarda
tZ∆ , [ ]tttt DD 2121 ,,,,1 ββ şeklinde ifade edilmektedir. Serinin birim kök içermesi
durumunda, t-testi kullanılarak sınanan sıfır hipotezi 0=φ şeklindedir. Alternatif
hipotez ise, 0<φ olarak gösterilmektedir. LM t-test istatistiği şu şekilde ifade
edilmektedir: (Kasman, S, 2008)
φτρ ~~ = ve,
0:~ =φτ boş hipotezini test eden t istatistiğidir.
L&S (2003, 2004) tek kırımla ve iki kırılmaya izin veren test istatistikleri için 3
varsayımdan bahsetmiştir. Bunlardan ilki, tε yenileşimlerinin PP (1988) tarafından
verilen düzenlilik koşullarını sağladıklarıdır. Bu bağlamda, iki hata varyansı
hesaplanmıştır. Bunların var olduğu ve pozitif oldukları varsayılmıştır.
( )221
2 ...lim TTE εεσ ε ++=
∞→
( )22 ...lim εεσ ++=∞→
ET
Diğer bir varsayım, verilerin yukarıda verilen veri üretme sürecinden türetildiği
ve Model A için [ ]',,,1 21 ttt DDtZ = ile Model C için [ ]',,,,,1 2121 ttttt DTDTDDtZ =
olduğudur. Diğer varsayım ise ∞→T iken jBj TT λ→/ ’dir ),( 21 λλλ =j .
Verilen bu varsayımlar asimptotik dağılımların boş hipotez altında yapısal
kırılmaların konumundan ve boyutundan etkilenmediği ifade eden değişmezlik
özelliğine sahip olduklarını göstermeleri bakımından önemlidir.
8 δψ
~~~txtt ZyS −−= , Tt ,...,2= ; δ
~ise ty∆ ’nin tZ∆ üzerine regresyonundaki katsayılardır. xψ~ ,
xψ ’nin kısıtlı en çok olabilirlik tahmincisidir ve xψ~ = δ~11 Zy − olarak verilmiştir. 1y ve 1Z ; ty ve
tZ ilk gözlem değerlerini göstermektedir.
72
İki kırılmalı LM birim kök testinde kırılma noktalarının )( BjT içsel olarak
tahmininde bir ızgara aramasından (grid search) yararlanmışlardır;
)(~inf λρλρ =LM
)(~inf λτλτ =LM
Kırılma noktalarının seçim yolu, LP (1997) yaklaşımda izlenen yöntemle
aynıdır. Yapısal kırılmanın konumu, tüm olası kırılma noktaları arasında test
istatistiğinin minimum olduğu yerde belirlenmektedir.
LP (2003), iki kırılmalı minimum LM testinin performansını değerlendirmek
için simülasyon deneyleri yapmışlardır. ρLM ve τLM test istatistiklerinin
performansları aynı olduğu için, bunlardan sadece biri üzerinde çalışmışlardır ( τLM ).
LM test istatistiğinin değişmezlik özelliğini göstermek için öncelikle testin dışsal
versiyonu daha sonra içsel versiyonunu tahmin edilmişlerdir.
Dışsal kırılma testinde öncelikle Model A tahmin edilmiştir. Yapılan ilk deneyde
seride kırılma olmadığında iki kırılma varsayımın etkisi incelenmiş ve elde edilen
sonuçlar anlamlı boyut çarpıklığının olmadığını göstermiştir. Yani serilerde kırılma
olmaması halinde kırılmaların varlığına izin vermek testte bir yanılgıya yol
açmayacaktır. İkinci deneyde farklı büyüklükteki ve farklı konumlardaki kırılmalar
kullanılarak testin değişmezlik özelliği araştırılmıştır. Elde edilen sonuçlar testin
değişmezlik özelliğini açıkça ortaya koymuştur. Üçüncü deney kırılma sayısının eksik
belirlenmesinin etkileri incelenmiştir. Yapılan dördüncü deneyle yanlış belirlenen
kırılma noktalarının etkileri incelenmiştir. İki kırılmalı LM birim kök testinde boş
hipotez altında yanlış kırılma noktaları varsayımında dahi çoğunlukla değişmezlik
özelliğini koruduğu ve alternatif hipotez altında bir güç kaybının olduğu ifade
edilmiştir.
LS (2003), Model C için yapılan simülasyon deneyleriyle, iki dışsal kırılmalı
LM birim kök testinin Model A için elde edilen sonuçlara benzer sonuçlar verdiği
göstermişlerdir. Model A’da olduğu gibi boş hipotez altında LM testi halen kırılmaların
boyutundan etkilenmemektedir, ancak kırılmaların konumuna göre değişmezlik özelliği
kaybolmaktadır. En önemlisi boş hipotez altında kırılmaların varlığı durumunda iki
kırılmalı LM testi yüksek reddetme özelliğine sahiptir.
73
İki kırılmalı LM birim kök testi için elde edilen simülasyon sonuçları öncelikle
Model A için verilmiştir. Deney 5 ile farklı kırılma noktaları ve kırılma büyüklükleri
kullanılarak %5 anlamlılık düzeyinde olasılıkları karşılaştırılmıştır. İki içsel kırılmalı
LM birim kök testi boş hipotez altında kırılmaların varlığında iyi bir performansa
sahiptir ve ciddi bir boyut çarpıklığı sergilemez. Bu sonuçlar aynı kritik değerlerin boş
hipotez altında kırılmaların boyutu ve konumuna bakılmadan kullanılabileceğini
göstermektedir.
Elde edilen simülasyon sonuçları, LM birim kök testinin değişmezlik özelliğini
ortaya koymaktadır. Değişmezlik özelliği yanlış reddetmeleri önlemektedir. Bu nedenle
değişmezlik özelliği iki içsel kırılmalı LM birim kök testinin önemli bir özelliğidir.
Böylece yapısal kırılmanın varlığı ya da yokluğuna bakılmadan minimum LM birik kök
istatistiğinin asimptotik boş dağılımı kompakt ve iyi tanımlanış kalır. Başka bir ifade ile
testin asimptotik dağılımı kırılmanın büyüklüğünden ve konumundan etkilenmeyecektir
(Lee ve Strazicich, 2004).
LS (2003) iki kırılmalı LM birim kök testi NP(1982) tarafından analiz edilen
verilere uygulanmıştır. Serisel korelasyonu düzeltmek için, genelleştirilmiş bir versiyon
kullanılmıştır. Ng & Perron (1995) tarafından önerilen ve Perron (1989) tarafından
kullanılan genelden özele yöntemi kullanılarak genelleştirilmiş gecikmeli terimlerin
sayısı belirlenmiştir. En uygun k seçimi iki kırılma noktasının her bir kombinasyonu
için bu şekilde belirlendikten sonra iki içsel kırılmalı LM t istatistiğinin minimum
olduğu yerde kırılma noktaları belirlenmektedir. Her iki olası kırılma noktası
kombinasyonu, uç noktaları elimine etmek için, [ ]TT 9,0,1,0 zaman aralığında
incelenmiştir.
LP testinin kullanımında boş hipotezin, LS (2003) testine göre daha güçlü
reddedildiği sonucuna ulaşılmıştır. %5 anlam düzeyinde LP (1997) testinde NP (1982)
serilerinin 6’sı için boş hipotez reddedilirken, LS (2003) LM testinde 4 seri için boş
hipotez reddedilmiştir.
LS (2003), çoğu makroekonomik zaman serisinde sadece tek bir yapısal
kırılmaya izin verilmesinin çok kısıtlayıcı olabileceğini ifade etmişlerdir. Bu doğrultuda
serilerin seviyesinde ve trendinde kırılmaların konumunun içsel olarak belirlendiği iki
kırılmalı minimum LM testi önermişlerdir. LP(1997) testinin tersine iki kırılmalı LM
testi boş hipotez altında kırılmalın varlığında ıraksamaz. Böylece iki kırılmalı LM birim
74
kök testinin kullanımı ile araştırmacılar aslında kırılmalarla fark durağan olan bir zaman
serisinin, kırılmalara sahip trend durağan bir seri olduğu sonucuna varmayacaklardır.
Özetle iki kırılmalı minimum LM birim kök testi alternatif hipotezde kırıklı bir birim
kök olasılığı içeren LP (1997) testindeki sınırlamalar için bir çözüm sunmaktadır. İki
kırılmalı LM birim kök testinin kullanımı ile boş hipotezin reddedilmesi kesin olarak
trend durağanlığı ifade eder. (Lee ve Strazicich, 2003)
Yapılan son çalışmalar yapısal kırılma durumunda LM tipi testlerin, DF tipi
testlerde bulunmayan, arzulanan özelliklere sahip olduklarını ortaya koymuştur. (Chou,
2007)
3.10. Yapısal Kırılmayı Dikkate Alan Birim Kök Testlerinin Genel Bir
Değerlendirmesi
Bu bölümde ele alınan testlerde sadece sabitte değişime izin veren, sadece trend
fonksiyonunun eğiminde bir değişime izin ve/veya her ikisinde de değişime izin veren
çeşitli testler incelenmiştir. Aynı şekilde yapısal kırılmalı ve zaman trendli zaman
serileri için de farklı modeller açıklanmıştır. Uygun model seçilirken araştırmacılar
zaman serilerinin doğası ile ilgili varsayımlarda bulunmak amacıyla iktisadi teoriye
dayanan kesin yargıları uygulamak durumundadırlar. Fakat bu gibi varsayımlar her
zaman doğru olmayabilir. Bu varsayımlar yanlış belirlenmeye ve tamamen yanlış
sonuçlara yol açabilir. Böyle bir durumda birim kök sınaması için uygun test
yönteminin seçim problemi ile karşılaşılabilir. Belirli bir test metoduyla verilen sonuçlar
kullanılırken iktisadi beklentiler ve mevcut bilgiler göz ardı edilmemelidir. Sonuçların
iktisadi teori ile tutarlılığının sağlanması amacıyla farklı zaman serileri için farklı test
yöntemleri ya da modellerli uygun olabilir. Böyle bir durumda bütün zaman serileri için
sadece tek bir modele bağlı kalmak yerine, farklı yaklaşımların dikkate alınması daha
uygun olacaktır (Shrestha, M.B. ve Chowdhury, K., 2006).
Perron (1989) tarafından ele alınan modelleri tek kırılmalı durumlarda geçerlidir;
ve kırılma zamanı bilinmediğinde uygulanamaz. Perron (1989) tarafından önerilen
yöntem kırılma zamanın bilindiğini varsayımı ile ön sınama problemi ve veri
madenciliğine yol açması nedeniyle eleştirilmektedir. Perron’nu çalışmasını izleyen
Christiano (1992), Zivot ve Andrews (1992), Perron ve Vogelsang (1992), BLP (1992),
Perron (1997), Vogelsang ve Perron (1998) çalışmaları, bir kırılmaya izin veren ve
75
kırılma zamanın bilinmediği, içsel olarak belirlendiği, birim kök test yöntemleri
önermişlerdir (Shrestha, M.B. ve Chowdhury, K., 2006).
ZA modelleri Perron modellerinin bir uzantısıdırlar. DF modellerinin düzeltilmiş
bir uzantısı olan bu modellerde A ve C denklemlerinde DTB kukla değişkeni yer
almaz. Diğer taraftan Perron ve Vogelsang (1992) modellerine DTB değişkenini dahil
etmişlerdir; ancak zaman trendini dışlamışlardır. Perron (1997) yenileşim aykırı değer
(IO1 ve IO2) ve toplamsal aykırı değer modellerinde hem t (zaman trendi) hem de DTB
(kırılma meydana geldiği zaman) yer almaktadır (Shrestha, M.B. ve Chowdhury, K., 2006).
Testlerin gücü dikkate alındığında Perron ve Vogelsang (1992) modeli sağlam
bir model olarak nitelenmiştir. Perron (1997) ve ZA (1992) modellerin test gücü hemen
hemen aynıdır. Ancek Perron (1997) modeli hem DTb hem de t’yi içerdiğinden, sadece
t’yi içeren ZA modelinden daha kapsamlıdır (Shrestha, M.B. ve Chowdhury, K., 2006).
76
BÖLÜM 4
TÜRKİYE’NİN BAZI MAKROİKTİSADİ DEĞİŞKENLERİ ÜZERİNE BİR
UYGULAMA
Çalışmamızın bu bölümünde Türkiye’ye ait bazı makro iktisadi zaman
serilerinin yapısal değişiklik altında durağanlığın sınanması amaçlanmıştır. Bu
bağlamda, serilerin birim kök süreci içerip içermedikleri ve serilerin trend
fonksiyonunda meydana gelen yapısal kırılmaların birim kök süreci üzerindeki etkileri
incelenmiştir. Çalışmamızın uygulama aşamasında üç aylık GSMH, Tüketim, Üç Ay
Vadeli Mevduat Faiz Oranı, Cumhuriyet Altın Fiyatı, Reel Döviz Kur Endeksi, M1 ve
M2 Para Arzı, Tefe, Tüfe ve IMKB100 endeksi değişkenleri 1987Q1-2009Q4 dönemi
için analiz edilmiştir. Veriler TCMB elektronik veri dağıtım sisteminden alınmıştır.
İncelenen veriler sabit fiyatlarla dikkate alınmıştır ve mevsimsel etkilere sahip olan
değişkenler mevsimsel etkilerden arındırıldıktan sonra ilgili serilere birim kök testleri
uygulanmıştır.
Çalışmada, incelenen seriler öncelikle yapısal kırılmaları dikkate almayan ADF,
PP ve KPSS birim kök testleri kullanılarak analiz edilmiştir. Aynı veri seti daha sonra
yapısal kırılmalı birim kök testleri ile analiz edilmiştir. Ele alınan serilerin trend
fonksiyonunda meydana gelen tek zamanlı bir kırılmanın birim kök testleri üzerindeki
etkisini araştırmaya yönelik, Zivot ve Andrews (1992), Perron (1997) ve BLS (1992)
tarafından geliştirilen test yöntemleri; serilerin trend fonksiyonunda meydana gelen
birden çok kırılmanın test edilmesinde ise Lee ve Strazicich (2003) testlerinin
uygulamasına yer verilmiştir. Uygulama kullanılan testler için, WinRats 6.0 paket
programı kullanılmıştır.
4.1. Standart Birim Kök Testlerinin Uygulaması
Seriler ele alınan dönem içerisinde öncelikle standart birim kök testleri ile analiz
edildi. Bu bağlamda birim kök varlığının sınanmasında uygulamalarda yaygın olarak
kullanılan ADF, PP ve KPSS birim kök testlerin uygulamasına yer verilmiştir.
Ele alınan makro iktisadi değişkenlere ait test sonuçları Tablo 1 ‘de verilmiştir.
77
Tablo 1: ADF, PP ve KPSS Birim Kök Test Sonuçları
DEĞİŞKEN
ADF PP KPSS
Test ist.* Olasılık** Test ist. Olasılık LM ist.***
GSMH -2.81690 (0) 0.1952 -2.99270 (3) 0.1401 0.093213
TUKETİM -1.51082 (0) 0.8188 -1.20216 (3) 0.9037 0.172815
IMKB -2.44496 (1) 0.3544 -1.92744 (1) 0.6321 0.283527
TEFE 1.51743 (1) 1.0000 1.85625 (5) 1.0000 0.295087
TUFE -1.70007 (0) 0.7433 -1.56680 (1) 0.7984 0.224631
FAİZ -3.02820 (0) 0.1305 -2.67289 (6) 0.2503 0.315467
KUR -3.42535 (0) 0.0544 -3.44062 (1) 0.0525 0.222700
ALTIN 2.00872 (2) 1.0000 1.85007 (6) 1.0000 0.310986
M1 -2.27571 (0) 0.4424 -2.08506 (1) 0.5468 0.160343
M2 -1.72608 (0) 0.7316 -1.72608 (0) 0.7316 0.208022
* Parantez içindeki değerler gecikme uzunluğunu göstermektedir.Gecikme uzunluğu seçiminde ADF için SIC bilgi kriteri kullanılmıştır. 0.05’in üzerindeki değerler birim kök varlığını ifade eden boş hipotezin red edilemeyeceğini gösterir. ** PP testinde Newey-West bilgi kriteri kullanılmıştır. *** KPSS testi sabit ve trend modeli için %1, %5 ve %10 güven düzeyinde kritik değerler sırasıyla 0.216, 0.146, ve 0.119’dur. (Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin (1992, Table 1)). (Lag Lenght Selection Criteria: Newey-West Bandwidth)
ADF ve PP teslerinde boş hipotez serilerin durağan olmadığını, yani birim kök
içerdiklerini; alternatif hipotez ise serilerde birim kök sürecinin olmadığını ifade
etmektedir. KPSS testinde boş hipotez durağanlığı ifade ederken, alternatif hipotez
durağan dışılığı ifade etmektedir.
Elde edilen sonuçlar %5 anlamlılık düzeyinde değerlendirilmiştir. Tablo 1 ile
özet şeklinde verilen sonuçlar, serilerin seviyede durağan olmadığını ve tüm serilerin
birim kök içerdiklerini ifade etmektedir.
ADF test sonuçlarına göre sadece kur serisi %10 anlamlılık düzeyinde durağan
bir görünüm sergilemektedir. PP test sonuçları da ADF test sonuçlarını destekler
niteliktedir. Sonuçlar %5 anlamlılık düzeyinde değerlendirildiğinde ise, hiçbir seri
seviye de durağan değildir. KPSS test sonuçları KPSS kritik değerleri ile
78
karşılaştırıldığında GSMH serisi hariç diğer tüm seriler için durağanlığı ifade eden
birim kök boş hipotezi reddedilmektedir.
Tablo 2: Birinci Farkı Alınmış Seriler İçin ADF, PP ve KPSS Test Sonuçları
DEĞİŞKEN
ADF PP KPSS
Test ist.* Olasılık** Test ist. Olasılık LM ist.***
D(GSMH) -9.52956 (0) 0.0000 -9.53793 (3) 0.0000 0.034237
D(TUKETİM) -9.47478 (0) 0.0000 -9.47478 (0) 0.0000 0.152381
D(IMKB ) -6.18648 (0) 0.0000 -6.02845 (4) 0.0000 0.024405
D(TEFE ) -1.58606 (1) 0.1057 -2.38101 (1) 0.0175 0.261536
D(TUFE) -10.7603(0) 0.0000 -10.7603 (0) 0.0000 0.077281
D(FAİZ) -8.88986 (1) 0.0000 -12.2356 (8) 0.0000 0.080167
D(KUR) -10.3285 (0) 0.0000 -10.9059 (5) 0.0000 0.049628
D(ALTIN) -2.95498 (2) 0.0035 -7.06245 (4) 0.0000 0.107574
D(M1) -11.5073 (0) 0.0000 -11.5126 (1) 0.0000 0.081989
D(M2) -10.7926 (0) 0.0000 -10.7863 (1) 0.0000 0.080963
* Parantez içindeki değerler gecikme uzunluğunu göstermektedir.Gecikme uzunluğu seçiminde ADF için SIC bilgi kriteri kullanılmıştır. 0.05’in üzerindeki değerler birim kök varlığını ifade eden boş hipotezin red edilemeyeceğini gösterir. **PP testinde Newey-West bilgi kriteri kullanılmıştır. ***KPSS testi sabit ve trend modeli için %1, %5 ve %10 güven düzeyinde kritik değerler sırasıyla 0.216, 0.146, ve 0.119’dur. (Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin (1992, Table 1)). (Lag Lenght Selection Criteria: Newey-West Bandwidth)
Yaygın kullanıma sahip olan ADF, PP ve KPSS testleri ile analiz edilen seriler
birim kök süreci ile karakterize edilmektedir. Serilerin birden fazla birim kök içerip
içermediklerinin belirlenmesi amacıyla, veri setindeki değişkenlerin birinci farkı
alındıktan sonra birim kök testleri tekrar uygulanmıştır. PP ve KPSS testleri TEFE
serisi için, seride birden fazla birim kök olduğunu ifade eden hipotezi
reddedilemeyeceğini göstermektedir.
Diğer tüm seriler için, her üç test istatistiği de birbiri ile tutarlı sonuçlar
vermiştir. Buna göre, 1987Q1-2009Q4 dönemi içerisinde, analiz edilen seriler birinci
farkları alındıktan sonra durağan hale gelmektedir. Dolayısıyla bu seriler birim kök
süreci ile karakterize edilen fark durağan seriler olarak ifade edilebilir.
Makro iktisadi değişkenlerin ekonomik ve sosyal hattaki değişimlere duyarlılığı
ve analiz edilen dönem içinde Türkiye de yaşanan krizler, değişen politika uygulamaları
79
gibi faktörler göz önüne alındığında bu sonuçların ne kadar doğru ve tutarlı olduğu
tartışılabilir.
İzleyen başlık altında verilen sonuçlar, yapısal değişimlerin etkilerini
incelemeye olanak sağlamaktadır.
4.2. Yapısal Kırılmaları Dikkate Alan Birim Kök Testlerinin Uygulaması
4.2.1. Zıvot & Andrews (1992) Test Sonuçları
ZA testinin uygulama aşamasında, öncelikle DU ve DT kukla değişkenlerinin
anlamlılığına bakılır. Model A ya da Model C’den hangisinin kullanılacağına bu
incelemeden sonra karar verilir. Her iki kukla değişkenin anlamlı olması durumunda,
Model C tercih edilirken, DT’nin anlamsız olduğu ve DU’nun da anlamlı olduğu
durumlarda Model A tercih edilmektedir.
Aşağıda verilen tabloda, değişkenler, kukla değişkenlerin anlamlığına göre
Model A ve Model C kullanılarak, birim kök testine tabi tutulmuştur. Bu çalışmada ele
aldığımız değişkenlerden M1 ve TUFE serileri için trend değişkeni anlamsız
bulunmuştur. Bu nedenle bu seriler Model A ile tahmin edilmiştir. Diğer serilerde ise
hem sabit değişkeni hem de eğim değişkeni anlamlı bulunduğundan Model C ile tahmin
edilmişlerdir.
Tablo 3: Zivot ve Andrews (1992) Test Sonuçları
DEĞİŞKEN TB k* MİN.T İSTATİSTİĞİ GSMH 2005:Q1 2 -7.41615
TUKETİM 2000:Q4 0 -5.31888 IMKB 2005:Q3 1 -4.98656 TEFE 1994:Q1 1 -3.64244
TUFE(Model A) 1995:Q1 0 -17.08315 FAİZ 1999:Q4 0 -7.38772 KUR 1990:Q4 0 -4.79648
ALTIN 2005:Q4 2 -1.03002 M1(Model A) 1997:Q1 0 -15.65847
M2 1995:Q2 0 -21.71106 KRİTİK DEĞERLER Tablo kritik değerleri: 1% -5.57 and 5% -5.08**
1% -5.34 and 5% -4.80*** * k gecikme uzunluğunu göstermektedir ve BIC seçim kriterine göre belirlenmiştir. ** Kritik değerler Zivot ve Andrews (1992) Tablo 4’ten alınmıştır. (Model C) *** Kritik değerler Zivot ve Andrews (1992) Tablo 2’den alınmıştır. (Model A)
80
ZA testinde TB ile gösterilen kırılma zamanı içsel olarak belirlenmektedir. ZA
testinde hesaplanan minimum t istatistiği %5 anlamlılık düzeyinde değerlendirilmiştir.
Hesaplanan test istatistiği, ZA (1992) tarafından Ek:3 ile verilen kritik değerlerle
karşılaştırılır9. Hesaplan minimum t istatistiği, %5 anlamlılık düzeyinde, kritik tablo
değerinden büyük olması durumunda TB zamanlarında meydana gelen kırılmayla
durağan olduğu hipotezi kabul edilir, dolayısıyla yapısal kırılma olmadan seride birim
kökün varlığını gösteren temel hipotez reddedilir. Dolayısıyla seride bir yapısal kırılma
olmadan serinin seride birim kökün varlığını gösteren temel hipotez kabul edilmiş
olacaktır. GSMH serisinin 2005 yılının birinci çeyreğinde meydana gelen kırılma ile
durağan olduğunu alternatif hipotezi kabul edilir; dolayısıyla yapısal kırılma olmadan
seride birim kökün varlığını gösteren temel hipotez reddedilmiştir. Üçer aylık frekansta
alınan tüketim serisi için, 2000 yılının dördüncü çeyreğinde meydana gelen kırılmayla
durağan olduğu hipotezi kabul edilir; dolayısıyla yapısal kırılma olmadan seride birim
kökün varlığını gösteren temel hipotez reddedilir. Model A ile incelenen TUFE serisi
için, 1995 yılının birinci çeyreğinde meydana gelen kırılmayla durağan olduğu hipotezi
kabul edilir; dolayısıyla yapısal kırılma olmadan seride birim kökün varlığını gösteren
temel hipotez reddedilmiştir. Faiz değişkeni için, 1999 yılının birinci çeyreğinde
meydana gelen kırılmayla durağan olduğunu ifade eden alternatif hipotezi kabul edilir;
dolayısıyla yapısal kırılma olmadan seride birim kökün varlığını gösteren temel hipotez
reddedilmiştir. M1 değişkeni için, 1997 yılının birinci çeyreğinde ve M2 değişkeni için
1995 yılının ikinci çeyreğinde meydana gelen kırılmayla durağan oldukları hipotezi
kabul edilir; sonuç olarak yapısal kırılma olmadan serilerde birim kökün varlığını
gösteren temel hipotez reddedilmiştir.
Hesaplanan değerler tablo kritik değerlerden küçük ise ilgili değişkenin TB
zamanında meydana gelen yapısal kırılmayla durağan olduğu hipotezi reddedilecektir.
IMKB serisi için 2005’in üçüncü çeyreğinde, TEFE serisi için 1994 yılının birinci
çeyreğinde, kur serisi için 1990 yılının dördüncü çeyreğinde, altın serisi içinse 2005
yılının dördüncü çeyreğinde meydana gelen yapısal kırılmalarla durağan oldukları
hipotezi reddeddilir; dolaysıyla bu seriler için yapısal kırılma olmadan serilerde birim
kökün varlığını gösteren temel hipotez kabul edilir.
9 bkz. Ek:3
81
4.2.2. BLS (1992) Test Sonuçları
BLS (1992) birim kökün varlığını test etmek için yinelenen (recursive),
yuvarlanan (Rolling) ve ardışık (sequential) testleri ve bu testlerin asimptotik
dağılımlarını geliştirmişlerdir. BLS (1992) çalışmalarında açıkladıkları bu test
istatistiklerinin asimptotik kritik değerlerini türetmişlerdir ve kritik değerler 100, 250 ve
500 gözlem için tablolaştırmışlardır10. Yinelenen ve yuvarlanan istatistikler genelde
düşük güç özelliklerine sahip olarak nitelendirildiğinden, iyi güç özelliklerine sahip
testler olarak belirtilen ardışık istatistikler uygulamalarda daha sık kullanılmaktadır.
Çalışmamızda ele aldığımız veri setindeki değişkenler, BLS tarafından önerilen ardışık
testler kullanılarak analiz edilmiştir.
Ardışık istatistikler, tüm örneklem üzerinden hesaplanmaktadır. Hesaplama
işleminde aşağıdaki model ele alınmaktadır.
∑=
−−− ++∆++++=p
itttittt kxyytky
1111211 )(')( εωβαµτµµ
MIN
DFt istatistiği, α ’nın minimum t istatistiğidir ve bu minimum istatistiğe denk
düşen yıl kırılma yılıdır. MAXTF~ trend fonksiyonu kukla değişkenin parametresinin F
istatistiğidir. Bu istatistiği maksimize eden yıl, kırılma yılı olarak alınır ve bu yıla ait
α ’nın t istatistiğinin minimum olup olmadığına bakılır.
Tablo 4: BLS (1992) Test Sonuçları
DEĞİŞKEN
TB
Ardışık Min. ADF t Testi ( MIN
DFt )* F testi ( MAX
TF~ )
GSMH 2002:Q2 -3.22274 109.63972 TUKETİM 2002:Q2 -3.18733 109.63972
IMKB 2002:Q3 -2.92597 319.57903 TEFE 1991:Q1 -1.28477 11892.96364 TUFE 1993:Q3 -1.49381 292.10850 FAİZ 2006:Q2 -2.42453 61.84135 KUR 2006:Q2 -2.83972 41.26036
ALTIN 2005:Q1 -1.42962 738.92585 M1 1996:Q4 -6.34274 613.76920 M2 1995:Q1 -7.50506 1680.81090
* 100 gözlem için %5 ve %10 anlam düzeyinde kritik değerler; -4,48 ve -4,20.
10 Bkz. Ek:4
82
%5 anlamlılık düzeyinde test sonuçları incelendiğinde, ardışık minimum ADF
test istatistiği M1 ve M2 serileri için hesaplanan istatistik değerlerinden mutlak değer
olarak daha küçük kalmaktadır. Dolayısıyla bu seriler için trend kırığının olmadığını
ifade eden boş hipotezi reddedilmektedir. Sonuç olarak, M1 serisinin 1994 yılının
dördüncü çeyreğinde meydana gelen yapısal kırılma ile durağan olduğu; M2 serisinin de
1995 yılının birinci çeyreğinde meydana gelen yapısal kırılma ile durağan olduğu
sonucuna ulaşılır.
Diğer seriler için trend kırığının olmadığını ifade eden. boş hipotez
reddedilememiştir. BLS (1992) testine göre bu seriler deterministik bir trend ile değil
stokastik bir trend ile karakterize edilebilmektedir.
4.2.3. Perron (1997) Test Sonuçları
Perron (1997) yaklaşımı zaman serisindeki tek zamanlı bir kırılmanın varlığını
araştırmaya yöneliktir. Perron (1997) yaklaşımında kırılma zamanı içsel olarak
belirlenmektedir. Belirlenen kırılma noktası olası tüm kırılma noktaları arasından birim
kök boş hipotezinin testinde kullanılan t istatistiğini minimize eden değerde seçilmiştir.
Perron (1997) tarafından kullanılan yöntem ve veri seti, BLS (1992) ve ZA
(1992) tarafından kullanılanlara benzemektedir. Bu nedenle, Perron (1997) çalışması bu
çalışmalarla yakından ilişkilidir ve ayrıca bu çalışmaların tamamlayıcısı niteliğindedir.
Burada hem sabit hem de trend teriminde bir yapısal değişimin gerçekleşmesine
olanak tanıyan Model C dikkate alınmıştır. Buna göre, hesaplanan test istatistiği, %5
anlamlılık düzeyinde ilgili kritik değerden mutlak değerce küçük ise, serinin yapısal
kırılmalı birim kök ile karakterize edilebileceğini söyleyebiliriz. Diğer bir ifade ile,
hesaplanan test istatistikleri ilgili kritik değerlerden mutlak değerce küçük ise, Perron
(1997) birim kök testine göre, serisinin TB zamanında meydana gelen kırılmayla
yapısal kırılmalı birim kök süreci izlediği söylenebilir.
83
Tablo 5: Perron (1997) Test Sonuçları
DEĞİŞKEN TB k MİN. T İSTATİSTİĞİ
GSMH 2004:Q3 0 -13.40526
TUKETİM 2009:Q1 0 -2.43236
IMKB 2004:Q2 7 -3.86691
TEFE 1993:Q2 0 -2.05893
TUFE 1994:Q3 0 -15.47306
FAİZ 1991:Q2 0 -4.62867
KUR 1988:Q4 5 -5.54978
ALTIN 2007:Q4 3 -0.80999
M1 1996:Q3 0 -15.71055
M2 1994:Q4 6 -21.38624
* 70 gözlem için kritik değerleri, % 1, % 5 ve % 10 düzeyinde sırasıyla, -6.32, -5.59 ve -5.29. ** 100 gözlem için kritik değerleri % 1, % 5 ve % 10 düzeyinde sırasıyla,-6.21, -5.55 ve -5.25. *** Sonsuz gözlem için kritik değerleri % 1, % 5 ve % 10 düzeyinde sırasıyla , -5.57, -5.08 ve -4.82. TB kırılma zamanını göstermektedir.
Test sonuçları yorumlanmadan önce kırılma zamanın ve parametrelerin
istatistiki açıdan anlamlı olup olmadığının incelenmesi gerekmektedir. Altın, faiz,
IMKB ve Tefe serileri için belirlenmiş olan kırılma tarihleri istatistiksel açıdan anlamsız
bulunmuştur. Söz konusu dört seri için tahmin edilen kırılma zamanı anlamsız olup, bu
serilerin durağan bir karaktere sahip olmadığı söylenebilir.
Tüketim serisi için belirlenen kırılma zamanı anlamlı olup, bu serinin 2009
yılının birinci çeyreğinde meydana gelen kırılmayla yapısal kırılmalı birim kök süreci
izlediği söyleyebilir. Kur serisinin 1988 yılının dördüncü çeyreğinde bir yapısal kırılma
ile birim kök süreci izlediği sonucuna ulaşılır.
Eğer hesaplanan test istatistiği mutlak değerce kritik değerden büyükse, serinin
yapısal kırılmalı durağan olduğu şeklinde ifade edilebilir. Test sonuçları
değerlendirildiğinde, üç aylık frekansla analiz edilen GSMH serisinin 2004 yılının
üçüncü çeyreğinde meydana gelen kırılmayla yapısal kırılmalı durağan olduğu, TUFE
serisinin 1994’ün üçüncü çeyreğinde meydana gelen yapısal kırılmayla yapısal kırılmalı
durağan olduğu, M1 serisinin 1996 yılının üçüncü çeyreğinde meydana gelen yapısal
84
kırılmalı durağan olduğu ve M2 serisinin 1994 yılının dördüncü çeyreğinde meydana
gelen yapısal kırılmayla yapısal kırılmalı durağan olduğu söylenebilir.
4.2.4. LS (2004) Test Sonuçları
Lee ve Strazcich (2003) kırılma zamanının içsel olarak belirlendiği, birim kök
boş hipotezi ve alternatifi altında iki kırılma olasılığına izin veren testine ilişkin elde
edilen bulgular Tablo 6’da verilmiştir.
LS test sonuçları %5 anlamlılık düzeyinde değerlendirilmiştir. Hesaplanan
minimum t değerleri LS (2003) tarafından verilen kritik tablo değerleri ile
karşılaştırılmıştır. Hesaplanan minimum t istatistiği, kritik tablo değerlerinden mutlak
değer olarak büyük ise, TB zamanlarında meydana gelen kırılmalar ile serinin durağan
olduğu hipotezi kabul edilir; dolayısıyla, seride yapısal kırılma olmadan seride birim
kökün varlığını ifade eden boş hipotez reddedilmiş olur. . İki kırılmalı birim kök testinin
kullanımı ile boş hipotezin reddedilmesi kesin olarak trend durağanlığı ifade etmektedir.
Tablo 6: Lee ve Strazcich (2003) Test Sonuçları
DEĞİŞKEN TB (1)* TB (2)* MİN. T İSTATİSTİĞİ GSMH 2003:04
(-12.6510) 2006:01
(11.0651) -16.0215**
TUKETİM 1996:02 (2.1103)
2001:01 (-3.2352)
-5.6443**
IMKB 2002:02 (2.7979)
2007:03 (-5.7905)
-6.2211**
TEFE 1996:04 (-2.5195)
2002:03 (-7.4296)
-3.8396
TUFE 1994:04 (3.2590)
2004:04 (-4.2626)
-1.0910
FAİZ 1990:03 (1.6486)
1999:03 (-4.5171)
-7.1412**
KUR 1992:01 (2.4346)
1995:01 (-1.0612)
-6.2932**
ALTIN 1998:01 (0.4278)
2006:04 1.0263
-5.7843**
M1 1996:04 (-1.9752)
2006:02 (1.2544)
-10.0610**
M2 1995:01 (1.2023)
1997:03 (1.6560)
-11.1286**
KRİTİK DEĞERLER Kritik değerler: 1% -5.82 ve 5% -5.28 *TB (1) birinci kırılma zamanını, TB (2) ikinci kırılma zamanını göstermektedir. Parantez içinde verilen değerler kırılma zamanlarının t istatistiğini göstermektedir. Koyu renkle verilen değerler kırılma zamanının anlamsız olduğu istatistik değerleridir. **Birim kök boş hipotezinin reddedildiği değişkenlere ait istatistikler.
85
Elde edilen sonuçlara göre, TB kırılma zamanları genel olarak istatistiki açıdan
anlamlıdır. Koyu renkle verilmiş olan t istatistikleri kırılma tarihlerinin istatistiki
bakımdan anlamsız olduğunu göstermektedir.
Test sonuçlarına bakıldığında, GSMH 2003’ün dördüncü ve 2006’nın birinci
çeyreğinde meydana gelen yapısal kırılmalarla trend durağan bir seri olarak
görülmektedir. Tüketim 1996 yılının ikinci çeyreğinde ve 2001 yılının birinci
çeyreğinde meydana gelen kırılmalarla trend durağan bir seridir. IMKB100 endeksi
2002 yılının ikinci çeyreği ve 2007 yılının üçüncü çeyreğinde meydana gelen yapısal
kırılmalarla durağan bir seri olarak ifade edilir.
Tefe ve Tüfe serileri için kırılma zamanları anlamlı olup, bu iki seri için, iki
kırılmalı birim kök boş hipotezi kabul edilir.
Faiz serisi için, 1990 yılının üçüncü çeyreği olarak tahmin edilen birinci kırılma
zamanı anlamlı olup, söz konusu seri 1999 yılının üçüncü çeyreği olarak tahmin edilen
ikinci kırılma zamanında ise anlamsızdır. Bu seri 1990 yılının üçüncü çeyreğinde
meydana gelen yapısal kırılma ile trend durağan bir seri olarak ifade edilir.
Kur serisi için, belirlenen ikinci kırılma zamanı istatistiki olarak anlamsızdır.
1992 yılının birinci çeyreği olarak belirlenen kırılma zamanı ile bu seri trend
durağandır.
Altın serisi için, içsel olarak tahmin edilen her iki kırılma tarihi de istatistiki
açıdan anlamsızdır. Bu seri için, hesaplanan minimum t istatistiği ilgili tablo kritik
değerinden mutlak değerce büyük olduğundan bu serinin durağan olduğu söylenebilir.
M1 serisi için 1996 yılının dördüncü çeyreği olarak tahmin edilen birinci kırılma
zamanı anlam olup, ikinci kırılma zamanı olarak belirlenen kırılma ise anlamsızdır. Bu
nedenle seri 1996 yılında meydana gelen kırılma ile trend durağan bir seri olarak
görülmektedir.
M2 serisi için tahmin edilen iki kırılma zamanı da anlamsızdır. Bu seri kırılmalar
olmadan durağan bir seri olarak ifade edilebilir.
86
87
Tablo 7’de yapısal kırılmaları dikkate alan test sonuçları birlikte
değerlendirilmiştir. Sonuçlar karşılaştırmalı olarak yorumlanmıştır.
GSMH serisi için, uygulanan yapısal kırılmalı birim kök testlerinin tamaınında
tespit edilen kırılma tarihleri anlamlı olup, bu tarihlerde tespit edilen kırılmalara rağmen
serinin durağan bir seyir izlediği sonucuna ulaşılmıştır. Uygulanan testlerde belirlenen
kırılma tarihleri birbirinden farklılıklar göstermektedir.
Tüketim serisi için uygulanan yapısal kırılmalı birim kök testlerinde belirlenen
kırılma tarihleri anlamlıdır. BLS ve Perron (1997) test sonuçlarında kırıklı birim kök
hipotezi reddedilememektedir. Dolayısıyla, tüketim serisi belirlenen tarihlerde meydana
gelen yapısal kırılmalarla durağan olmayan bir seri olarak yorumlanabilir. ZA test
sonuçlarına göre belirlenen tarihte meydana gelen yapısal kırılma ile tüketim serisi trend
durağan bir seridir. Serinin trend fonksiyonunda iki kırılmaya izin veren LS testinde,
belirlenen kırılma tarihleri anlamlı olup kırıklı birim kök hipotezi bu reddedilmektedir.
Dolayısıyla ZA ve LS test sonuçlarına göre tüketim serisi belirlenen tarihlerde meydana
gelen iki kırılma ile durağan bir seri olarak görülmektedir.
IMKB100 endeksi serisi için, ZA ve BLS testleri kırıklı birim kök boş hipotezini
reddedememektedir. ZA ve BLS testlerine göre, IMKB100 endeksi belirlenen kırılma
tarihlerinde meydana gelen yapısal kırılmayla durağan olmayan bir seri olarak
belirlenmiştir. Perron (1997) testinde, belirlenen kırılma tarihi anlamlı değildir. Seride
kırılma olmaksızın bu seri durağan olmayan bir özellik göstermektedir. LS (2003)
testine göre, belirlenen iki kırılma tarihide anlamlı olup kırıklı birim kök hipotezi
reddedilmektedir. Buna göre IMKB100 endeksi belirlenen tarihlerde meydana gelen iki
yapısal kırılma ile durağan bir seridir.
Tefe serisi için uygulanan testlerin tamamında kırıklı birim kök boş hipotezi
reddedilememektedir. Perron (1997) testinde kırılma tarihi anlamsız olmakla birlikte
serinin durağan olmadığı boş hipotezi kabul edilmektedir. Sonuç olarak, Perron (1997)
hariç diğer serilerde belirlenen kırılma tarihleri anlamlı olup, belirlenen tarihlerde
meydana gelen kırılmalarla durağan olmadığını sonucuna ulaşılır.
Tüfe serisi için ZA ve Perron (1997) sonuçları birbirini desteklemektedir.
Kırılma tarihleri anlamlıdır. Kırılma dönemleri aynı olmasa da birbirine yakındır. Bu
testlere göre, tüfe serisi ilgili dönemlerde meydana gelen kırılmalarla durağan bir seri
88
olarak ifade edilir. BLS ve LS test sonuçlarına göre ise, bu seri belirlenen kırılma
tarihlerinde meydana gelen kırılmalarla durağan olmayan bir seri olarak ifade edilir.
Faiz serisi, BLS hariç diğer tüm test sonuçlarına göre belirlenen kırılma
tarihlerinde meydana gelen yapısal kırılma ile durağan bir seri olarak yorumlanır.
İstatistiki açıdan anlamsız olan kırılma tarihleri tabloda koyu renkle verilmiştir.
Perron (1997) ve LS test sonuçlarına göre, kur serisi için boş hipotez
reddedilememektedir. LS testine göre belirlenen ikinci kırılma zamanı istatistiki açıdan
anlamsızdır. Bu iki test sonucuna göre, kur serisi belirlenen kırılma zamanında meydana
gelen tek bir yapısal kırılma ile durağandır. ZA ve BLS test sonuçlarına göre kur serisi,
belirlenen kırılma zamanında meydana gelen yapısal kırılma ile durağan olmayan bir
seridir.
Altın seris için yapısalan test sonuçlarına göre, ZA ve BLS testleri ile belirlenen
kırılma zamanları anlamlıdır ve kırıklı birim kök boş hipotezi reddedilememektedir.
Buna göre, altın serisi belirlenen kırılma zamanında meydana gelen yapısal kırılma ile
durağan olmayan bir seridir. LS ve Perron (1997) testlerinde, belirlenen kırılma
zamanları istatistiki açıdan anlamsız olup, bu iki teste göre seri durağan bir özelliğe
sahiptir.
M1 ve M2 serileri için uygulanan test sonuçlarında, dört test istatistiğinde birbiri
ile tutarlı olduğu görülmektedir. Ancak LS tarafından belirlenen her iki kırılma tarihi
istatistiki açıdan anlamsızdır. İki seri içinde kırıklı birim kök boş hipotezi
reddedilmektedir. Dolayısıyla M1 ve M2 serilerinin belirlenen kırılma tarihlerinde (LS
testinde belirlenen kırılma tarihleri hariç) meydana gelen yapısal kırılmalarla durağan
oldukları sonucuna ulaşılır.
89
SONUÇ
Genel olarak trend, mevsimsel hareketler, konjonktürel hareketler ve rastsal
hareketlerin bileşiminden oluşan zaman serileri, frekansına göre söz konusu bileşenlerin
tümünü ya da bir bölümünü bünyesinde bulundurabilmektedir. Serilerin sahip oldukları
bu bileşenler serilerin durağanlık özelliklerini etkilemektedir. Seriler üzerinde
uygulamalı çalışmalar yapmadan önce mutlaka serinin hangi bileşenin etkisi altında
olduğu tespit edilmeli ve gerekli düzeltmelerden sonra analiz aşamasına geçilmelidir.
Zaman serileri kullanımı ile yapılan ekonometrik çalışmalarda serilerin durağan
olup olmadıklarının belirlenmesi oldukça önemlidir. Durağanlık etkin ve tutarlı
tahminler için gerekli bir koşuldur.
Serilerin durağanlığını araştırmaya yönelik uygulamalı çalışmalarda yaygın
kullanıma sahip olan DF, ADF, PP, DF (1981) ve KPSS testlerini incelenmiştir ve
uygulama aşamasında ADF, PP ve KPSS testlerini kullanarak Türkiye’ye ait makro
iktisadi değişkenlerden oluşan bir veri setini analiz edilmiştir. Söz konusu testler
serilerin trend fonksiyonlarında meydana gelen olası kırılmaları dikkate
almamaktadırlar. Bu durum test sonuçlarının yanlış yorumlanmasını neden olmaktadır.
Başka bir ifade ile, yapısal kırılmaların dikkate alınmaması, aslında deterministik bir
trend etrafında durağan olan bir serinin yanlış olarak stokastik bir trende sahip fark
durağan bir seri olarak yorumlanmasına neden olabilecektir.
Standart birim kök testlerinin yapısal kırılma durumunda birim kök boş
hipotezini kabul etme yönünde yanlı sonuçlar vermesi, yapısal kırılmaları dikkate alan
daha güçlü testlerin geliştirilmesine neden olmuştur. Bu bağlamda, serilerin trend
fonksiyonunda meydana gelen tek kırılmayı ve birden çok kırılmayı dikkate alan birim
kök testleri incelenmiştir. Bu testler; Perron (1989), Christiano (1992), ZA (1992), PV
(1992), BLS (1992), LP (1997), Perron (1997), VP (1998), LS (2003,2004) testleridir.
Bunlarda LP ve LS testleri serilerin trend fonksiyonunda birden çok kırılmaya izin
vermektedirler.
Çalışmamızın uygulama aşamasında 1987-2009 dönemini kapsayan, Türkiye’ye
ait bazı makro iktisadi değişkenler setini analiz edilmiştir. Değişkenlerimiz üçer aylık
frekanslarla dikkate alınmıştır. Öncelikle ADF, PP ve KPSS testlerini kullanılarak
90
serilerin durağanlığı incelenmiştir. Standart birim kök testleri ilgili seriler için birim kök
yokluk hipotezini kabul edilmiştir. Serilerin birinci farkı alındıktan sonra yapılan
analizlerde serilerin durağan hale geldiği, yani söz konusu serilerin fark durağan
oldukları tespit edilmiştir.
Aynı seriler için, serilerde meydana gelen yapısal kırılmaları dikkate birim kök
testleri kullanılarak durağanlık analizi yapılmıtır. Bu aşamada, ZA, BLS, Perron (1997)
ve LS (2003) testleri kullanılmıştır. Test sonuçları genel olarak değerlendirildiğinde
standart birim kök testlerinde fark durağan nitelenen pek çok serinin trend durağan bir
özellik sergilediği şeklinde bir sonuca varılabilir. İncelenen testler arasında bire bir
uyum olmasa da çoğu seri için birim kök boş hipotezi reddedilmiştir. Dört test istatistiği
M1 ve M2 serilerinin durağan olduğu yönünde genel bir sonuç vermektedirler. Ancak
bu testlerle belirlenen kırılma zamanları arasında farklılıklar bulunmaktadır. Bu da
üçüncü bölümde ayrıntılı olarak anlatılan kırılma zamanının belirlenmesine yönelik
kullanılan yöntemlerden kaynaklanmaktadır. Yapısal kırılma testleri karşılaştırmalı
olarak değil de, tek tek ele alındığında serilerden çoğunun belirlenen kırılma
zamanlarında deterministik bir trend ile modellenebilecekleri açık bir şekilde görülür.
91
KAYNAKÇA
Aktan, Hediye (2007), “Yapısal Kırılma, Ortak Bütünleme ve Nedensellik Analizi
DörtÜlke Uygulaması: Türkiye, Yunanistan, Kuzey Kıbrıs Türk
Cumhuriyeti ve Güney Kıbrıs Rum Kesimi”, Yüksek Lisans Tezi,
Marmara Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü, İstanbul.
Akdi, Yılmaz (2003), Zaman Serileri Analizi, Bıçaklar Kitabevi, No:2, Ankara
Altınay, Galip (2005), “Structural Breaks in Long-Term Turkish Macroeconomic
Data,1923-2003”, Applied Econometrics and International Development,
Vol.5-4, 117-130.
Balcılar, Mehmet (1998), “Structural Change and Unit Roots”, Journal of Faculty of the
Economics and Administrative Sciences, Cukurova University, Special
Issue on Econometrics, 8, 355-402, (1998).
Banerjee, Anindya , Robin L. Lumsdaine, and James H. Stock, (1992), “Recursive and
Sequential Tests of the Unit-Root and Trend Break Hypotheses: Theory
and International Evidence”, Journal of Business and Economic
Statistics, 10, 271-287.
Bozkurt, Hilal (2007), Zaman Serileri Analizi, Ekin Kitapevi, Bursa
Box, George E. P., G. M., Jenkins (1976), Time Series Analayses: Forecasting
and Control, Rev. Ed.Holden-Day,Oakland, California.
Çabuk, Altan, M., Balcılar, “What Does A Unit Root Mean? The Statistical and
Economic Interpretation Of Unit Root Processes With A Survey Of Unit
Root Test”, Journal of the Faculty of Economics and Administrative
Sciences, Cukurova University, Special Issue on Econometrics, 8, 289-
332.
Christiano, Lawrence J., (1992). “Searching for Break in GNP,” Journal of
Economicand Business Statistics, 10, 237-249.
Dickey, D. A., W. A. Fuller (1979), “Distribution Of The Estimators ForAutoregressive
Time Series With A Unit Root”, Journal of the American Statistical
Association, Vol. 74, No. 366, pp. 427-431
Dickey, D. A. W. A. Fuller(1981), “Likelihood Ratio Statistics for AutoregressiveTime
Series with a Unit Root”, Econometrica, Vol. 49, No. 4., pp. 1057-1072
92
Dilişen, Başar (2007), “Yapısal Kırılma Durumunda Geliştirilen Birim KökTestleri ve
Uygulaması”, Yüksek Lisans Tezi, Marmara Üniversitesi Sosyal Bilimler
Enstitüsü, İstanbul.
Enders, Walter (1995), Applied Econometric Time Series, Birinci Baskı, Wiley.
Göktaş, Özlem (2000), Durağan Olmayan Zaman Serilerine Koentegrasyon Analizi ve
Bir Uygulama, Doktora Tezi, İstanbul Üniversitesi Sosyal Bilimler
Enstitüsü, İstanbul.
Gujarati, D.N. (2005), Temel Ekonometri, Üçüncü Baskı, İstanbul,33.
Harris R. I. D (1995), Using Cointegration Analaysis in Econometric Modelling,
Harlow, London: Prentice Hall
Kasman, S., D. Ayhan (2008), “Avrupa Birliği’nin Genişleme sürecinde Satın
Alma Gücü Paritesi Sağlanıyor mu?”, 2. Ulusal İktisat Kongresi,
20-22, Şubat 2008.
Kutlar, Aziz (2005), Uygulamalı Ekonometri, İkinci Baskı, Nobel Yayın, No: 769
Kwiatkowski, D., P. C.B. Phillips, P.Schmidt and Y. Shin (1992), “Testing the
Null Hypothesis Of Stationarity Against The Alternative Of A Unit
Root:How Sure Are We That Economic Time Series Have A Unit
Root?”, Journal of Econometrics, 54, pp. 159-178.
Lee, Junsoo, M.C. Strazicich (2003), “Minimum Lagrange Multiplier Unit Root Test
with Two Structural Breaks”, The Review of Economics and Statistics,
Vol. 85, No. 4, pp. 1082-1089
Lee, Junsoo, M.C. Strazicich (2004), “Minimum LM Unit Root Test With One
Structural Breaks”, Manuscript, Department of Economics, Appalachian
StateUniversity, NC.
Lumsdaine, R. L. David H. Papel (1997), “Multiple Trend Breaks and The Unit
Root Hypothesis”, The Review of Economics and Statistics, Vol.
79, No. 2, pp. 212-218.
Maddala, G. S., I.M. Kim (1998), Unit Root Coentegration Test and Sturtural
Change, Cambridge University Pres, UK.
Phillips, P. C. B. (1987a), “Time Series Regression With A Unit Root”,
Econometrica, Vol. 55, No. 2, pp. 277-301.
Phillips, P. C. B., P. Perron(1988), “Testing For A Unit Root in Time Series
Regression”, Biometrika, Vol. 75, No. 2., pp. 335-346.
93
Perron, P., T. Vogelsang (1992), “Nonstationarity And Level Shifts With An
Application to Purchasing Pover Parity”, Journals of Business &
Economic Statistics, Vol. 10, No. 3, pp. 301-320
Perron, Pierre (1989), “The Great Crash, The Oil Price Shock, And The Unit Root
Hypothesis”, Econometrica, Vol. 57, No. 6, pp. 1361-1401
Perron, Pierre (1997), “Further Evidence On Breaking Trend Functions in
Macroeconomic Veriables”, Journal of Econometrics, Vol. 80,
355-385
Tarı, Recep (2006), Ekonometri, Dördüncü Baskı, Kocaeli Üniversitesi, Yayın
No:172
S.E.Said and D.A. Dickey (1984),” Testing For Unit Roots in Autoregressive
Moving Average Models of Unknown Order”, Biometrika,
71(3):599-607
Sevüktekin, M. ve Nargeleçekenler, M.,(2005), Zaman Serileri Analizi, Birinci Baskı,
Nobel Yayın, No:770.
Shrestha, M.B. & Chowdhury, K. (2006), "Financial Liberalization Index for Nepal,"
International Journal of Applied Econometrics and Quantitative Studies,
Euro American Association of Economic Development, vol. 3(1),
pages 41-54.
Tsay, Ruey S. (2002), Analysis of Financial Time Series, Universty of Chicago,
USA.
Vogelsang, T. J., P.Perron (1998), “Additional Tests For A Unit Root Allowing
For A Break In The Trend Function At An Unknown Time”,
International Economic Review, Vol. 39, No. 4, Symposium on
Forecasting and Empirical Methods in Macroeconomics and
Finance, pp. 1073-110.
Yalçın, Yeliz (2003), “Stokastik Birim Kök Süreci Üzerine Bir Araştırma: Teori
ve Uygulama”, Yüksek Lisans Tezi, Gazi Üniversitesi Sosyal
Bilimler Enstitüsü, Ankara .
Yavuz, N. Ç. (2006), “Türkiye’de Turizm Gelirlerinin Ekonomik Büyümeye
Etkisinin Testi: Yapısal Kırılma ve Nedensellik Analizi”, Doğuş
Üniversitesi Dergisi, 7(2), 162-171.
94
Yurdakul, Funda (2000), “Yapısal Kırılmaların Varlığı Durumda Geliştirilen
Birim Kök Testleri”, Gazi Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler
Fakültesi Dergisi, 2/2002, 21–34
Yurdakul, Funda, (2001), “Türkiye’de enflasyon Sürecinde Yapısal Kırılmalar”
Ankara Üniversitesi Siyasal Bilimler Fakültesi Dergisi,
sayı:56,ss.149-169.
Zivot, E., D. W. K. Andrews (1992), “Further Evidence On The Great Crash, The
Oil Price Shock Ans Unit Root Hypothesis”, Journal of Business &
Economic Statics, Vol. 10, No.3, pp. 251-270
Zivot, Eric ve Wang, Jiahui (2002), Modeling Financial Time series With S Plus
http://www.dersnotlari.net/ekonomikkonjoktur.htm
Ziyaret Tarihi:13.02.2009
95
EKLER
EK 1: Değişkenlere Ait Zaman Yolu Grafikleri
9.4
9.6
9.8
10.0
10.2
10.4
88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08
LGSMHQ_SA
20.8
21.0
21.2
21.4
21.6
21.8
22.0
22.2
88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08
LTUKQ_SA
0
40
80
120
160
200
240
280
320
360
88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08
ALTINQ
0
20
40
60
80
100
120
140
88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08
FAIZQ
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08
IMKBQ
80
100
120
140
160
180
200
88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08
KURQ
96
16
20
24
28
32
36
40
44
88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08
LM1Q
20
24
28
32
36
40
44
88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08
LM2Q
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08
TEFEQ
20
24
28
32
36
40
44
88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08
TUFEQ
97
Ek: 2 – Christiano (1992) Tablo 1
98
EK 3: Zivot&Andrews (1992) Kritik Değer Tabloları
99
EK 4: BLS (1992) Kritik Değer Tabloları
Yuvarlanan ve Yenilenen Test İstatistikleri için Kritik Değerler
Ardışık Test İstatistiği için Kritik Değerler
100
EK 5: Perron (1997) Kritik Değer Tablosu
101
102
EK 6: LS (2003) LM Birim Kök Testi İçin Kritik Değerler
T=100 için
103
ÖZGEÇMİŞ
KİŞİSEL BİLGİLER
Adı Soyadı : Esra İĞDE
Adres : Akdeniz Mah. 15. Sok. Defne Apt. Kat:4/11 Antakya/HATAY
Telefon : 0506 2199196
Doğum Tarihi : 10.09.1982
Doğum Yeri : Antakya
Uyruğu : T.C.
Medeni Hali : Bekar
EĞİTİM DURUMU
2007 - 2010 Yüksek Lisans, Çukurova Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü,
Ekonometri Anabilim Dalı, Adana.
2004 – 2007 Çukurova Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi,
Ekonometri Bölümü, Adana.
2003 – 2004 Çukurova Üniversitesi Lisans öncesi İngilizce Hazırlık
2000 – 2002 Marmara Üniversitesi Sosyal Bilimler MYO
Bankacılık Programı
1996 – 1999 Antakya Ticaret Meslek Lisesi
Ortaöğrenim
YABANCI DİLLER : İngilizce (İyi Seviyede)
STAJ VE İŞ DENEYİMİ
2010 - Halk Bank A.Ş. Servis Görevlisi
1998 -1999 Halk Bank A.Ş.
Bankanın çeşitli departmanların da zorunlu meslek stajı.
