Tổng hợp một số bất đẳng thức trong kì thi MO các nước · Câu 2 :Cho các s ố thực dương thỏa mãn : . Chứng minh rằng : 3 ... Đổi biến : nên

1

Tổng hợp một số bất đẳng thức trong kì thi MO các nước

Biên soạn : Khanhaxuan

2

Câu 1 : Cho các số thực không âm thỏa mãn : . Chứng minh rằng :

Bài giải :

Giả sử nên ta được :

Mặt khác theo BĐT Mincosxki ta được :

Nên ta cần chứng minh :

Bình phương hai vế trở thành :

Mặt khác ta để ý rằng :

Nên ta chứng minh với trong đó :

Đến đây ta chỉ cần chứng minh :

Thật vậy : (luôn đúng)

Dấu xảy ra khi

Câu 2 :Cho các số thực dương thỏa mãn : . Chứng minh rằng :

3

Bài giải : (của Khanghaxuan )

Ta biến đổi tương đương :

Lại có :

Nên

Ta cần chứng minh :

Ta có :

Mặt khác , ta có :

Từ và ta có ĐPCM

Câu 3 : Cho là các số thực dương thỏa mãn . CMR :

( USA TST 2010)

Bài giải : (của Khanghaxuan)

Ta có :

Đến đây ta áp dụng AM-GM như sau :

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng lại ta được :

4

Mà . Nên đúng . Vậy ta có ĐPCM

Câu 4 : Cho các số thực dương . Chứng minh rằng :

Bài giải : ( của binhnhaukhong )

Áp dụng BĐT AM-GM ta được :

Lại áp dụng Cauchy – Schawrz ta được :

Mặt khác :


Đặt : . Do đó (luôn đúng )

Câu 5 : Cho các số thực dương thỏa mãn : . CMR :

Bài giải : ( của khanghaxuan )

5

Áp dụng BĐT Minkowski ta được :

Vậy ta có ĐPCM

Câu 6 : Cho là các số thực dương . CMR :

JBMO TST 2015

Bài giải : (của dogsteven)

Ta có :

Đến đây áp dụng BĐT (trong đó ) với ta được :

(ĐPCM)

Câu 7 : Cho là các số thực dương . CMR :


6

Bổ đề : Với mọi ta luôn có :

Quay lại bài toán : Ta có :

Câu 9 : Cho là 1 dãy không tăng gồm các số thực dương . Chứng minh rằng :

Saudi Arabia IMO TST 2014


Ý tưởng : quy nạp

Với , ta cần chứng minh :

Thật vậy

Mặt khác , vì nên ta cần chứng minh : (đúng)

Giả sử BĐT trên đúng tới . Ta sẽ chứng minh nó đúng với . Cụ thể ta cần chứng minh :

Mà ta có :

Nên ta chỉ cần chứng minh :

7

Mà BĐT này luôn đúng do :

Nên đúng hay BĐT được chứng minh

Câu 10 : Chứng minh rằng :

Bài giải : (của Hoang Nhat Tuan)

Bổ đề :

Quay lại bài toán :

Để ý rằng :


Mặt khác ta có :

8

Do đó : (ĐPCM )

Câu 11 : Cho thỏa mãn : . Chứng minh rằng :

(Bosnia Herzezegovina TST 2012)

Bài giải : (của 25 minutes)

Ta có :


Và :

Do đó : (ĐPCM )

Câu 12 : Cho là các số thực thỏa mãn : . Tìm GTNN của :

(Brazil National Olympiad 2008)

Bài giải :

Lời giải 1 : (của khanghaxuan)

9

Ta dự đoán thấy dấu xảy ra và các hoán vị

Ta sẽ chứng minh :

Thật vậy

(luôn đúng )

Vậy ta có ĐPCM

Lời giải 2 : (của nhungvienkimcuong)

Ta cần chứng minh : hay :

Mặt khác , từ giả thiết ta có :

Dễ thấy Nên ta cần chứng minh :

Nếu thì BĐT hiển nhiên đúng .

Nếu thì :

Ta chứng minh :

Mà đúng do : . Nên BĐT được chứng minh .

10

Câu 13 : Cho thỏa : . Chứng minh rằng :

(Balkan MO, 2014)

Bài giải :

Từ giả thiết :

Đặt : thì ta cần chứng minh :

Mặt khác ta có : nên

Mà theo AM-GM thì ta có : ĐPCM

Câu 16 : Cho là các số thực dương thỏa mãn : . CMR :

(APMO)

Bài giải :

Đặt : thì viết lại : với

Ta có :

(do )

11

Câu 17 : Cho không âm thỏa mãn : . CMR :

(Iran MO 2014 , vòng 2)

Bài giải : ( của nhungvienkimcuong )

Dễ thấy , nếu một trong ba số bằng thì BĐT hiển nhiên đúng .

Nên ta chỉ xét trong TH . WLOG

Từ giả thiết

Do đó ta cần chứng minh : hay :

Thật vậy , (ĐPCM )

Câu 18 : Cho là các số thực dương thỏa mãn : . Chứng minh rằng :


Ta để ý rằng :

Thật vậy : luôn đúng do : (đúng )

Nên

Do đó : . Ta cần chứng minh :

Đặt : thì viết lại :

Mặt khác , luôn đúng do :

12

(ĐPCM )

Câu 19 : Cho . CMR :

( Macedonia TST 2007 )


Ta có :

(ĐPCM )

Câu 22 : Cho . CMR :

( India NMO 2007 )


Ta có :


Do đó từ và ta có DDPCM

13

Câu 23 : Cho là các số thực dương thỏa : . Chứng minh rằng :

(JBMO TST 2015)


Với điều kiện thì ĐPCM viết lại :

Ta cần chứng minh luôn đúng thỏa đề bài .

Thật vậy , ta có :

(ĐPCM )

Câu 25 : Cho thỏa mã : . Chứng minh rằng :


Ta có :

Măt khác ta có :

Nên


14

Mà luôn đúng do :

Vậy ta có ĐPCM

Câu 27 : (Mở rộng của câu 25 ) Với thỏa mãn : . CMR :

( nhungvienkimcuong )

Câu 28 : Cho là các số thực . Chứng minh rằng :

(Baltic Way 2012)

Bài giải :

Lời giải 1 : ( của nhungvienkimcuong )

Giả sử : . Ta có :

Do đó ta có ĐPCM .

Lời giải 2 : ( của khanghaxuan )

Giả sử : . Ta cần chứng minh :

Mà (ĐPCM )

15

Câu 30 : Cho là các số thực . CMR :

(Bosnia 2008)

Bài giải : ( Hoang Tung 126 )


(đúng )

Tương tự , ta cũng có :

Từ đó : (ĐPCM )

Câu 31 : Cho là các số thực dương . Chứng minh rằng :

( Korea MO 2006 )


Lời giải 1 : Đặt : nên ĐPCM trở thành :

Mặt khác ta có : và nên ta cần chứng minh :

Thật vậy , ( luôn đúng với )

Nên ta có ĐPCM

16

Lời giải 2 : Ta có :

(ĐPCM )


Bài giải : ( của ducvipdh 12 )

Áp dụng BĐT Cauchy ta có :

Do đó ta cần chứng minh :

Đổi biến : nên ĐPCM viết lại : (luôn đúng )

Vậy ta có ĐPCM

Câu 33 : Cho là các số thực dương . Chứng minh rằng :

( Korea NMO 2012 )


17

Áp dụng BĐT Cauchy – Schawrz ta được :

Tương tự ta cũng có:

Từ ta cần chứng minh :

Mà luôn đúng do : (ĐPCM )

Câu 34 : Cho các số thực thỏa mãn : . Chứng minh rằng :

( Iran TST 2015 )


Ta có :


Mặt khác ,

Hơn nữa ,

18

Ta có : (ĐPCM )

Câu 35 : Cho thỏa : . Chứng minh rằng :

Bài giải : ( của Hoang Tung 126 )

Trước tiên ta sẽ chứng minh :

Thật vậy :

Tương tự

Nên (ĐPCM )

Câu 36 : Cho thỏa mãn : .Chứng minh rằng :

Bài giải : ( của Hoang Tung 126 )


Thật vậy (luôn đúng )

Lập các BĐT tương tự rồi cộng lại ta được :

(ĐPCM )

19

Câu 38 : Cho thỏa mãn : .Chứng minh rằng :

( Baltic 2005 )

Bài giải : ( của Bui Ba Ạnh )

Đặt : thì ta có: . Từ đây ta cần chứng minh :

Thật vậy , điều này tương đương : (luôn đúng )

Vậy bài toán được chứng minh trọn vẹn



Đổi biến : do đó ta cần chứng minh :

Giả sử : và

Đặt :

Do đó ta cần chứng minh :

Nhận thấy : ta sẽ chứng minh :

Ta có :

Nên nên theo định lý Rolle thì có tối đa 2 nghiệm trên

Mà dễ thấy : do đó chỉ có thể đổi dấu tối đa 1 lần trên

Nên

20

Việc còn lại là chứng minh :

Công việc này xin nhường cho bạn đọc



Giả sử :

Nếu : (vô lý )

Nên . Tiếp theo , thay vào . Do đó ta cần chứng minh :

Xét :


Nên . Do đó đúng nên ta có ĐPCM


Bài giải : ( của dogsteven )

Giả sử : , thay trực tiếp ta được :

Đặt : thì :

21


Từ đây , ta chỉ việc chứng minh : . Phần chứng minh này xin dành cho bạn đọc

Bài 42 : Cho không âm . CMR :

Bài giải :

Lời giải 1 : ( của Hoang Tung 126 )

Ta có :

Mặt khác , theo BĐT Schur bậc 4 và Cauchy ta được :

Từ đó ta được ĐPCM

Lời giải 2 : ( của khanghaxuan )

Ta có :

Giả sử : thì ta được :


Nên theo TCII thì ta có ĐPCM

22

Bài 43 : Cho là các số thực dương . CMR :

Bài giải :

Lời giải 1 : ( của Bui Ba Anh )

Đặt : thì ta cần chứng minh : (BĐT Nebsit )

Lời giải 2 : ( của Hoang Tung 126 )

Đặt : thì ta cần chứng minh :

Thật vậy , .

Nên đúng . Vậy ta có ĐPCM

Bài 44 : Cho là các số thực thỏa :

CMR :

Bài giải : ( của Bui Ba Anh )

Áp dụng BĐT BCS ta có :

Mặt khác , chú ý rằng :

Nên (ĐPCM )

23

Bài 45 : Cho thỏa mãn : .CMR :

Bài giải : ( của tonarinototoro )

Áp dụng Cauchy – Schawrz ta được :

Ta chỉ cần chứng minh : . Điều này đúng khi giả sử : lớn nhất .

Vậy bài toán được chứng minh

Câu 46 : Cho thỏa mãn : .CMR :


Mặt khác , ta để ý rằng :

Tương tự ta cũng có :

Cộng các BĐT trên lại , ta được ĐPCM

Bài 47 : Cho thỏa mãn : . CMR :

24


Dễ thấy BĐT tương đương :

Đến đây , áp dụng BĐT AM-GM ta được :

Do đó ta quy về chứng minh :

Mà điều này luôn đúng . Vậy bài toán được chứng minh

Bài 48 : Cho thỏa mãn : .CMR :


Áp dụng BĐT Cauchy – Schawrz ta có :


đúng do :

Vậy ta có ĐPCM

Bài 49 : Cho thỏa mãn : . CMR :


Bổ đề : (1)

Quay lại bài toán : Ta có :

Cộng vế theo vế có :

25

Mặt khác ,

Áp dụng ta được :

Ta cần chứng minh : (luôn đúng )

Vậy bài toán được chứng minh

Documents

Tổng hợp một số bất đẳng thức trong kì thi MO các nước · Câu 2 :Cho các s ố thực dương thỏa mãn : . Chứng minh rằng : 3 ... Đổi biến : nên