5. m (emn+m)dn+n (emn+2m )dm=0 , n (0 )=0

solución :

M (n ,m)=emn+m⟹ ∂M∂m

=nemn+1

N (n ,m )=emn+2m⟹ ∂ N∂n

=memn

∎ LaEDO noesexacta .

2.2xdy=(2 x3− y )dx

solución :

2 xdy=(2 x3− y )dx

2 xdydx

−2x3+ y=0

2 xdydx

+ y=2 x3

dividiendo entre 2x :

dydx

+ y2 x

=x2

⟹ P (x )= 12 x

;Q (x )=x2

⟹ y=e−∫ 1

2xdx

∫ [ (x2)e∫ 12 x

dx ]dx+Cy=e

−12ln x

∫ [ (x2 )e12ln x]dx+C

⟹ y=e− ln x12∫ [ (x2 )eln x

12 ]dx+C

⟹ y=x−12 ∫ [ (x2 ) x

12 ]dx+C

⟹ y=x−12 ∫ x

52 dx+C

⟹ y=x−12 ( x

72

72

+C1)+C⟹ y=2

7x3+x

−12 C 1+C

∎ y=27x3+k ;donde : x

−12 C1+C=k

7. x2dt+(3 xt−4 x3 )dx=0

solución :

x2dtdx

+3xt=4 x3

dividiendo entre : x2

⟹ P (x )=3x;Q ( x )=4 xdonde : dt

dx=dydx

⟹ t=e−∫ 3x dx∫ [ (4 x ) e

∫ 3xdx]dx+C

t=4e−3 ln x∫ [ (x ) e3 ln x ]dx+C

t=4e−ln x3∫ [ ( x )e ln x3 ]dx+C

t=4 x−3∫ [ ( x ) x3 ]d x+C

t=4 x−3∫ x4dx+C

t=4 x−3( x55 +C1)+Ct=45x2+4 x−3C1+C

∎ t=45x2+k ; donde :4 x−3C1+C=k

12. ( y3+x+1 )dx=3 y2dy

solución :

( y3+x+1 )=3 y2 dydx

( y3+x+1 )−3 y2 dydx

=0

3 y2dydx

−( y3+x+1 )=0

dividiendo entre : 3 y2

dydx

− y3=( x+13 ) y−2

donde n=−2

luego hacemos :

z= y1−n= y3⟹ dzdx

=3 y2 y ´

reemplazandoa los valores de :dzdx

=3 y2 y ; z= y3

3 y2dydx

−( y3+x+1 )=0

dzdx

−( z+x+1 )=0

dzdx

−z=x+1

⟹ dzdx

−z=x+1

P ( x )=−1 ;Q ( x )=x+1

u=e−∫−1dx⟹u=ex

⟹ z=ex [∫ ( x+1 ) e−xdx+C ]

⟹ z=ex [∫ x e−xdx+∫ e−x dx+C ]resolviendo por partes el integral :

∫ x e−x dx=¿ (−e−x )x−∫−e−x dx=−x e−x−e−x¿

u=x⟹du=dx

dv=e−x dx⟹ v=∫e− xdx=−e−x

reemplazando :

⟹ z=ex [−x e−x−e− x+∫ e−x dx+C ]

⟹ z=ex [−xe− x−e− x−e−x+C ]

⟹ z=ex [−xe− x−2e−x+C ]

⟹ z=−x−2+exC

⟹ z=−x−2 ;donde : exC=k

∎ y3=−x−2 ;donde : exC=k

4.1+( y ´ )2+ yy ´ ´=0

solución :

1+( y ´ )2+ yy ´ ´=0

Sabiendoque :

v=dydx

; y ´ ´=dvdx

=dvdy

dydx

=vdvdy

reemplazando :

1+( v )2+ y (v dvdy )=0

ordenando :

dvdy

+ vy=−1

yv

dvdy

+ vy=(−1y )v−1…A

Entonces :n=−1

z=v2

d zdy

= dzdv

dvdy

=2v dvdy

reemplazandoen A y multiplicando por2 v :

2vdvdy

+(2v ) vy

=2v (−1y )v−1

2vdvdy

+(2v ) vy

=2v (−1y )v−1

dzdy

+ 2 zy

=−2y

Entonces :P ( y )=2y,Q ( x )=−2

y

u=e−∫ P ( y )dy

u=e−∫( 2y )dy

u=e−2 ln y

u=e−ln y2

u= y−2

⟹ z= y−2[∫(−2y ) y2dy+C]⟹ z= y−2 [ y2+C1+C ]

⟹ z=1+ y−2C1+ y−2C

2.ex , e2x , e3 xen cualquier intervalo I

Solución por ladeterminate el bronskiano

W [ex , e2 x , e3x ]

n=3 ; tenemosque derivar2 veces

f 1 ( x )=ex

f 2 ( x )=e2 x

f 3 ( x )=e3 x

W [ex , e2 x , e3x ]=|ex e2x e3x

ex 2e2x 3e3x

ex 4 e2 x 9e3x|

W [ex , e2 x , e3x ]=e x (18e5x−12e5x )−e2x (9e4 x−3e4x )+e3x (4 e3 x−2e3 x )

W [ex , e2 x , e3x ]=6 e6 x−6e6x+2e6 x

⟹W [ex , e2 x , e3 x ]=2e6 x

⟹2e6 x≠0

∴las funciones ex , e2 x y e3 x son L. I ; pasa porun solo punto

7. x2 ,|x|, x ;encualquier intervalo I

Solución por ladeterminate el bronskiano

W [ x2 ,|x|, x ]

n=3 ; tenemosque derivar2 veces

f 1 ( x )=x2

f 2 ( x )=|x|

f 3 ( x )=x

a¿ Si x ≥0

f 1 ( x )=x2

f 2 ( x )=x

f 3 ( x )=x

W [ x2 , x , x ]=| x2

x x2x 1 12 0 0|

W [ x2 , x , x ]=x2 (0−0 )−x (0−2 )+x (0−2 )

W [ x2 , x , x ]=0

∴las funciones f 1 ( x ) , f 2 ( x ) y f 3 ( x ) son L. D

a¿ Si x<0

Entonces :

f 1 ( x )=x2

f 2 ( x )=−x

f 3 ( x )=x

W [ x2 ,−x , x ]=| x2 −x x2 x −1 12 0 0|

W [ x2 , x , x ]=x2 (0−0 )−x (0−2 )+x (0+2 )

W [ x2 , x , x ]=4 x

∴las funciones f 1 ( x ) , f 2 ( x ) y f 3 ( x ) son L. I

2. x ´ ´+4 x ´−21 x=0

Solución:

x ´ ´+4 x ´−21x=0

x ´=D

⟹D2+4D−21=0

⟹ (D+7 ) (D−3 )=0

D=−7 ; D=3

CASO I :Cuando susraíces sonreales y lineales

Entonces lasolución es :

y=C1 ekx+C2 e

rx

y=C1 e−7x+C2 e

3x

7.( d2 xd t 2−6 dx

dt+9x )

3

=0

Solución:

( x ´ ´−6 x ´+9 x )3=0

x ´=D

⟹ (D2−6D+9 )3=0

⟹ ((D−3 )2 )3=0

⟹ (D−3 ) (D−3 ) (D−3 ) (D−3 ) (D−3 ) (D−3 )=0

⟹D1=3 , D2=3 , D3=3 , D4=3 ,D5=3 ,D6=3

CASO II :Cuando susraíces soniguales .

Entonces lasolución es :

y=C1 eα x+C2 x e

αx

y=C1 e3 x+C2 x e

3x+C3 e3x+C4 x e

3x+C5 e3x+C6 x e

3 x

12.4 y(6)−20 y (5)+25 y (4 )=0

Solución:

4 y(6)−20 y (5 )+25 y (4 )=0

y ´=D

4 D6−20D5+25D4=0

⟹D4 (4D2−20D+25 )=0

⟹D4 (2D−5 )2=0

⟹D1=0 , D2=0 , D3=0 ,D 4=0 , D5=52, D6=

52

CASO II :Cuando susraíces soniguales .

Entonces lasolución es :

y=C1 eαx+C2 x e

αx

y=C1 e0 x+C2 xe

0x+C3e0 x+C4 x e

0 x+C1 e52x+C2 x e

52x