Trabajo Final de Trigonometria

Trabajo de trigonometria primer Quinquimetres

Fausto Zeas

14 de Enero de 2013

[email protected]

Abstract

Este trabajo de trrigonometria nos trata de desarrollar las expasionestrigonometricas de losangulos multiples. nos ayuda a comprobar de formaanalitica, grafica y numerica de los angulos.Se intentará demostrar laexpansión de funcionestrigonométricas de ángulos múltiples nediante laforma analitica consiste en demostrarque las identidades son iguales, lagrafica en cambio se la demuestra mediante los de graficos de las identi-dades. En la demostracion para poder obtener tenemos que reemplazarla variable de la identidad con cualquier valor y sabremos que esta bienporque al reemplazar a los dos lados dela igualdad la respuestas nos darala misma .El objetivo de este trabajo es dar a comocer las diversas formasde resolver las ejercicios de manera facil.

Demostrar que las suguientes igualdades son iden-tidades

1 ejercicio tgx senx + cosx = secx

1.1 Demostacion Analiticasenxcosx sen x + cos x = sec x

sen2

cosx+ cos = sec x

sen2+cos2xcosx = secx

1cosx= secx

sec x = sec

1

1.2 Demostacion Grafica

2 ejercico ctgx - secx cscx (1 - 2 sen2x) = tgx

2.1 Demostacion Analiticacosxsenx -

1cosx -

1senx (1- sen

2x) = tg x

cos2−senxcosx+senxcosx(1−2sen2xsenxcosx = tg x

cos2x(1−2sen2x)sexcosx = tg x

cos2−(1−2(1−cos2))senxcosx = tg x

cos2x(1−2+2−cos2)senxcox = tgx

cos2x−1+2−2cos2senxcosx = tg x

1−cos2xsenxcosx= tg x

sen2xsenxcosx= tg x

sexcosx= tg x

tgx= tgx

2.2 Demotracion Grafica

2

3 Ejercico (tg x + ctg x) sen x cos x = 1

3.1 Demotracion Analitica( senxcosx+

cosxsenx ) sen x cos x

(sen2xcos2x)senxcosxsenxcosx = 1

sen2x cos2x = 1

1 = 1


4 Ejercico seny1+cosy = 1−cosy

seny

4.1 Denotracion Analiticaseny

sen2ycos2y+cosy=1−cosyseny

1senycos2y+cosy=

1−cosyseny

sen2cos2

senycos2y+cosy=1−cosyseny

(1−cos2y)cos2ysenycos2+cosy=

1−cosyseny

3

1−cos2ysenycosy=

1−cosyseny

1−cosyseny = 1−cosy

seny

4.2 Demotacion Grafica

5 Ejercico tg x sen x cos x + sen x cos x ctg x=1

5.1 Demostacion Analiticatg x sen x cos x + sen x cos x ctg x =1

senxcosx sen x cos x + senx cos x cosx

senx=

sen2+ cos2x = 1

5.2 Demostracion Grafica

4

6 Ejercicio cts2x = cos2+(ctg x cos)2

6.1 Demostacion Analiticacos2xsen2x=cos2x + ( cosxsenxcosx)2

cos2

sen2= cos2x + cos4xsen2x

cos2

sen2= sen2x+cos4

sen2x

cos2x = cos2x (cos2x + sen2x)

1=(cos2x+sen2x)


7 Ejercicio (sec y + csc y) (1-ctg y) = (sec y -csc y ) (1 + ctg y)

7.1 Demotacion Analitica(sec y + csc y)(1- ctg y ) = (sec y -csc y)(1+ctg y)

Secy+Cscy-SecyCtgy-CscyCtgy=Secy+SecyCtgy-Cscy-CscyCtgy

1cosy+

1seny+

1cosy ·

cosyseny -

1seny ·

cosyseny -

1seny -

1seny ·

cosysen2y

1cosy+

1sen -

1seny -

cosysen2= 1

cosy -cosysen2y

1cosy -

cosysen2y=

1cosy -

cosysen2y

5


8 Ejercicio sen2z + cos2 z ctg z + 2sen z cos z =tg z + ctg z

8.1 Demotracion Analiticasen2z tg z + cos2z ctgz+2sen z cos z = tgz + ctgz

sen2z· senzcosz ·cos2z · coszsenz+2 ·senz cosz= senz

cosz+coszsenz

sen4z + cos4z +2sen2zcos2z= sen2z+cos2z

sen4z+cos4z+2sen2cos2zcoszsenz - sen

2z+cos2zcoszsenz

(sen2+cos2z)2= 1

(1)2= 1

1 = 1

8.2 Demostracio Grafica

6

9 Ejercicio sen3x + cos3x = (sen x+cos x ) (1-sen x cos x)

9.1 Demostracion Analiticasin3x + cos3x = (sin x + cos x ) (1- sin x cos x)

sin3x + cos3x = sin x - sin2x cos x - (sin x - cos2)

sin3x + cos3 x = sin x (1-cos2 x) + cos x(1-sin2 x)

sin2 x + cos3 x = sin x (1-cos2 x) + cos x (1-sin2 x)

sin3 x + cos3 x = sin x sin2 x + cos x cos2 x

sin3 x + cos3 x = sin3 x + cos3 x


10 Ejercicio sen6x+ cos6x= sen4x- sen 2x cos2x

10.1 Demotracion Analiticasen6 x+cos6 x=sen4 x+cos4 x-1

1=sen4 x+cos4 x-sen6 x-cos6 x

1=-(sen2 x-cos6 x)

1=(sen2 x+cos2 x)

1=1

7

Figure 1: 1=1


11 Ejercicio sen B tg2B + csc B sec2B = 2 tg Bsec + csc B- sen B

11.1 Demostracion AnaliticasenB sen3B

cosB + 1senB+ 1

cos2B=2 ( senBcosB )( 1cosB )− senB

sen3

cos2 +1

senBcos2B= 2 ( senBcosB )+( 1−sen2B)

senB )

sen2+1senBcos2B=( 2senBcos2B )+( 1−sen

2BsenB )

sen2BsenBcos2B=( 2sen

2B+1−sen2Bcos2Bcos2BsenB )

sen2BsenBcos2B= ( 2sen

2B+1−1cos2BsenB )

sen2BsenBcos2=( sen2B

cos2BsenB )


8

12 Ejercicio cos (x+y) cos (x-y) = cos2x - sen2y

12.1 Demotracion Analiticacos(senx cosy-cosx seny)cos(cosx cosy+senx seny)=cos2 x-sen2 y

(senx cos2- x-cos2 xseny)(cos2 xcos2 y+senxseny)=cos2 x-sen2 y

senxcos4 ycos2 x+sen2 xseny cos2 y-cos4 xcos2 y seny-cos2 xsenx sen2 y=cos2x-sen2 y

senx cos2 x cos4 y+sen4 x seny cos2 y-senycos2 y cos2 y-senx sen2 ycos2x=cos2 x-sen2 y

12.2 Demotracio Grafica

13 Ejercico sen (A+B) sen (A-B) = cos2B cos2A

13.1 Demotracion Analitica(sen2 A cosB+cosA senB)(senA cosB-cosA senB)=cos2 B-cos2 A

sen2Acos2-A-senAcosBcosBsenB+senAcosBsenB-sen2 B=cos2 B-cos2

sen2 A-sen2 B=cos2 B-cos2 A


9

14 Ejercico cos(x−y)cos(x+y)=

1+tgx∗tgy1−tgx∗tgy

14.1 Demotracion Analiticacosxcosy+senxsenycosxcosy−senxseny=

senxcosx−

senycosy

1− senxcosx + seny

cosy

cosxcosy+senxsenycosxcosy−senxseny=

1+ senxycosxy

1− senxycosxy

cosxy+senxycosxy−senxy=

cosy+senycosy

cosxy−senxycosxy

cosxy+senxycosxy−senxy=

cos2xy+senxycosxycos2xy−cosxseny


15 Ejercicio tg A - tg B = senABcosAcosB

15.1 Demotracion AnaliticatanA - tanB = senA−b

cosA−B

senAcosA - senBcosA

cosAcosB= sen(A−BcosAcosB

senAcosB−cosAsenBcosAcosB = senAcosB−cosBsenA

cosAcosB

1=1

10


16 Ejercicio cos x sen(y-z)+cosy sen(z-x)+coszsen(x-y)=0

16.1 Demotracion Analiticacos x (sen x cos z - cos z sen ycos z)+cos y (sen z cos x-cos z sen x+cos z)sen x

cos y-cos y-cos x sen y = 0

cos x sen y cos x-cos x sen y cos z+cos x sen y sen z-sen x cos z = 0 sen x cosy cos z-cos x sen y cos z = 0


17 Ejercicio Ctg2x=cos2x +(ctg x cos x)2

17.1 Demotracion Analiticacos2xsen2x=cos2x +( cosxsenxcosx)

cos2

sen2x=cos2x + cos4

sen2x

cos2

sen2x=sen2xcos2x+cos4x

sen2x

cos2x = cos2x (cos2x+sen2x)

1= (cos2x +sen2x)

1=1

11


18 Ejercicio tg(θ−φ)+tgφ1−tg(θ−φ)tgφ =tg θ

18.1 Demotracion Analiticatgφ

1−tg(θ−φ)tgφ= tg φ

1tgθ+tgφ= tgφ

1tg2φ=tgφ- tgφ

1tg2φ=

tg2φ1


19 Ejercicio tan x = sen2x1+cos20

19.1 Demotracion Analiticatan x = 2senxcosx

sen2x+cos2x+cos22x−sen22x

tan x = 2senxcosx2cos22x

tan x = sinxcosx

tanx = tanx

12


20 Ejercicio cosxsen(y-z)+cosy sen(z-x)+cosz sen(x-y)=0

20.1 Demotracion Analiticacos x(sen ycos z-sen zcos y)+cos y(sen zcos x - sen x cos z)+cos z (sen xcos y -

sen y cos x) = 0

cos x sen y cos z - cos x sen z cos y + cos y sen z cos x- cos y sen x cos z + cosz sen x cos y - cos z sen y cos x = 0

cos x sen ycos z - cos x sen z cos y + cos y sen z cos x - cos y sen x cos z + cosz sen x cos y - cos z sen y cos x = 0


13

21 Ejercicio cos5α cos4α+sen5α sen4α = cosα

21.1 Demotracion Analiticacos(x-y)= cos

cos(5-4) =cos

cos(1)-cos

cos=cos


14

22 Ejercicio sen(x+75)cos(x-75)-cos(x+75) sen(x-75)=1

2

22.1 Demostracion analiticasen(x+75)cos(x-75)-sen(x-75)cos(x+75) = 1

2

sen(x-y) = 12

sen[(x+75)-(x-75)] = 12

sen(150) = 12

12 = 1

2


15

23 Ejercicio: cot x = sen2x1−cos2x

23.1 Demostracion analiticacot x = 2senxcosx

sen22x+cos22x−cos22x+sen22x

cot x = 2senxcosx2sen22x

cot x = cosxsenx

23.2 Demostracion grafica

24 Ejercicio: tg x = sen2x1+cos2x

24.1 Demostracion analiticatg x = 2senxcosx

sen2x+cos2x+cos22x−sen22x

tg x = 2senxcosx2cos22x

tg x = senxcosx

tg x = tg x

16


25 Ejercicio: (1+sen2x)1−sen2x = ( tgx+1

tgx−1)2

25.1 Demostracion analitica1+2senxcosx1−senxcosx =

sen2xcos2x

+ 2senxcosx +1

sen2xcos2x

− 2senxcosx +1

senx2+2senxcosx+cos2x

cos2xsen2x−2senxcosx+cos2x

cos2x

2senxcosx1−senxcosx = 2senxcosx

1−senxcosx


26 Ejercicio: cos 2x = (2−sec2x)(sec2x)

26.1 Demostracion analitica1

cos2x (2cos2x - 1) = 2 - (1)

cos2x

(2cos2x−1)cos2x = (2cos2x−1)

cos2x

17


27 Ejercicio: ctg y - tg y = 2 ctg 2y

27.1 Demostracion analiticacosyseny -

senycosy = 2( 1

tg2y )

cos2y−sen2ysenycosy = 2( 1

2tgy

1−tg2y

)

cos2y−sen2y

senycosy = 1−tg2ytgy

cos2y−sen2ysenycosy =

1−sen2y

cos2ysenycosy

senycosy ( cos

2y−sen2ysenycosy ) = cos2y−sen2y

cos2y

cos2y = cos2y


18

28 Ejercicio: 2 csc 2x = sec x csc x


sen2x = 1cosx*

1senx

22senxcosx = 1

cosxsenx


29 Ejercicio: 1sen2x - 2 = 1

sen2x (2cos2x - 1)

29.1 Demostracion analitica1−2sen2xsen2x = 2cos2x−1

sen2x

2 = 2cos2x + 2sen2x

1 = cos2x sen2x


19

30 Ejercicio:cos 2x = cos4x - sen4x

30.1 Demostracion analiticacos 2x = (cos2x + sen2x) (cos2x + sen2x)

cos 2x = 1(cos2x + sen2x)

cos 2x = (cos2x + sen2x)

cos 2x = cos 2x


31 Ejercicio: tg P + ctg P = 2 csc P

31.1 Demostracion analiticasencosP + 1

tgP = 2 csc P

tg P + tg P = 2 csc P

2 csc P = 2 csc P


20

32 Ejercicio: cos 2x = 1−tg2x1+tg2x

32.1 Demostracion analiticacos 2x = sen2x+cos2x− senx

cosx

sen2x+cos2x+ senxcosx

cos 2x = sen2x+cos2x+cos2xsen2x+cos2x

cos 2x = cos 2x


33 Ejercicio: sen 2x = 2tgx1+tg2x

33.1 Demostracion analiticasen 2x = 2tgx

2tg2x

sen 2x = 2 sencos x

2( sencos )2x

sen 2x =2senx2cosx4senx4senx


21

34 Ejercicio: tg (45 + C) + tg (45 - C) = 2 sec2C

34.1 Demostracion analiticatg 45 + tg C+ tg 45 - tg C = 2 sec 2C

2 tg 45 = 2 sec 2C2sen452cos45= 2 sec 2C

12csc45

2cos45 = 2 sec 2C1

2csc45(2cos45) = 2 sec 2C

12cos2C = 2 sec 2C

2 sec 2C = 2 sec 2C


35 Ejercicio: tg (45 + x) - tg (45 - x) = 2 tg 2x

35.1 Demostracion analiticatg 45 + tg x - tg 45 + tg x = 2 tg 2x

tg x + tg x = 2 tg 2x

2tg 2x = 2 tg 2x

22


36 Ejercicio:cot(45−y)cot(45+y)=

1+2senycosy1−2senycosy

36.1 Demostracion analiticacos(45−y)sen(45−y)cos(45+y)sen(45+y)

= 1+2senycosy1−2senycosy

cos45cosy+sen45senysen45cosy−cos45senycos45cosy−sen45senysen45cosy+cos45seny


√4

2 (cosy+seny)2√

22 (cosy−seny)2


(cosy+seny)2

(cosy−seny)2 = 1+2senycosy1−2senycosy

1+2senycosy1−2senycosy = 1+2senycosy

1−2senycosy


23

37 Ejercicio: cos (2x + y) cos (x + 2y) + sen (2x+ y) sen (x + 2y) = cos x cos y + sen x sen y

37.1 Demostracion analiticacos ((2x + y) - (x + 2y)) = cos x cos y + sen x sen y

cos(2x + y -x - 2y) = cos x cos y + sen x sen y

cos (x - y) = cos x cos y + sen x sen y

cos x cos y + sen x sen y = cos x cos y + sen x sen y


38 Ejercicio sen2 x = 14

38.1 Demotracion Analitica

sen=√

14

sen x =(12 )

x= arc sen 12

x = 30

24

39 Ejercicio csc2x = 2

39.1 Demostacion Analiticacsc x =

√2

1sen(x)=

√2

1√2= sen x

x= arc (√22 )

x= 45

40 Ejercicio tg2x -3= 0

40.1 Demostacion Analiticatg2x = 3

tgx =√

3

x = arc tg (√

3)

x=-60

x=60

41 Ejercicio sec2x - 4=0

41.1 Demotacion Analiticasec2x = 4

sec x=√

4

1cosx=

√4

1cosx=2

12=cosx

x=arccos 12

x= 60

x=120

x=240

x=360

25

42 Ejercicio tg 2 x - 3 = 0

42.1 Demostracion Analitica2x = arctg(1)

2x= 45

x= 452

x= 202.5

x=-+ 22.5

43 Ejercicio 2 cos 2x +√3=0

43.1 Demotacion Analitica2 cos 2x =

√3

cos 2x =−√3

2

2x= arc cos(−√3

2 )

x= arcos (−√3

2 )

x=75

x=-75

x=255

x=-255

44 Ejercicio sen22x = 1

44.1 Demostracion Analiticasen22x =1

sen22x =√

1

x= arcsen√

2

x=arcsen√1

2

x=45

26

45 Ejercicio ctg2x2=3

45.1 Demostracion Analiticactgx2=

√3

1tang x

2=√

3

1√3= tanx2

x2=arctang 1√

3

x=2 arctang 1√3

x= 60

46 Ejercico 4cos2 2x -1= 0

46.1 Demostacion Analitica4cos22x=1

cos22x= 14

cos2x=√

14

2x=arc cos√

14

x=arcos√

14

2

x=30

47 Ejercicio sec2x2=2

47.1 Demotacion Analiticasecx2=

√2

1cos x

2=cosx2

1√2= cosx2

x2= arccos x√

2

x=2 arccos 1√2

x=90

27

48 Ejercicio (tg x+ 1)(√3ctg x -1)=0

48.1 Demotacion Analitica(tg x +1 )

[ √3

tg(x) − 1]= 0

√3−tg x +

√3

tx(x) - 1 = 0

- tg2x + (√

3- 1) tg x +√

3 = 0

tg 2x -(√

3-1) tg x -√

3 = 0

tg 2x + ( 1-√

3 ) tg x -√

3= 0

tg x = −(1−√3)+√

(1−√3)2−4(1)(−

√3)

2 = −(1−√3)+√

1−2√3+3+4

√3

2

tg x =√3−1−1−

√3

2 = - 2√3

2 =-1

x = tg−1(-1)

x = 315 = ( 74∏)

x = 135 = ( 34∏)

tg x =√3−1+1+

√3

2 = 2√3

2 =√

3

x = 60 = ( 13∏

)

x =240= ( 43∏)

49 Ejercicio (2 cos x + 1)(sen x - 1)=0

49.1 Demostracion Analiticaposibilidades

a) (1)()

b) (0)(1)

c) (0)(0)

A) 2 cos x +1 = 1

2 cos x = 0

cosx = 0

28

x =∏2 ; 3

2

∏sen x -1 = 0

sen x = 0

x = 2∏,0

B) 2cos x +1

2cos x = -1

cos x = −12

x = 1∏3 , 4

3

∏sen x -1 = 1

sen x = 2

x = no existe

∴B) no es valido

50 Ejercico (4 cos2- 3)(csc+2)=0

50.1 Demotacion AnaliticaPosilidades : a)=(0)(0)

b)=(1)(0)=0

c)=(0)(1)=0

A) 4cos2θ - 3 = 0

cos2θ = 34

cos=√34

cosθ =√32

θ =∏6 ;

11∏6

θ= 5∏6 ; 7

∏6

csc +2 = 01

senθ= -2

senθ = - 12

θ = 7∏6 ; 11

∏6

29

51 Ejercicio 2ctg sen + ctg=0

51.1 Demostracion analitica2 cosθsenθ senθ + cosθ

sen = 0

2 cos + cosθsenθ= 0

2 sen θcosθ+ cosθ - 0

4 sen θ cos2θ= cos2θ

4 sen 2θ= 1

sen2θ = 12

senθ = 12

θ=∏6 ;

5∏6

θ = 11∏6 ; 7

∏6

52 Ejercicio tg2- (1+√3) tg x +

√3 = 0

52.1 Demostracion analitica

tg x = (1+√3)+

√(1+√

3)2−4(1)(√3)

2 = (1+√3)+√

(1−√3)2

2

tg x = (1+√3)+(1−

√3)

2 = 1+√3+1−

√3

2 =1

x = 1+√3+1−

√3

2

x =∏4 ;

5∏4

x= (1+√3)+(1−

√3)

2 = 2√3

2 =√

3

x =∏3 ;

4∏3

53 Ejercicio 2 sen 2 x + (2 -√3) sen x -

√3 = 0

53.1 demostracion analitica

sen x = −(1−√3)+√

(2−√3)2−4(1)(

√3)

4

sen x = (√3−2)+

√(2+√3)2

4 = (√3−2)+(2+

√3)

4

senx = 2√3

4 =√32 x =

∏3 ;

3∏3

sen = −44 = -1 x = 3

∏2

x = 120; 240

30

54 Ejercicio 2 sen x + 3 cos x = 0

54.1 Demostracion analitica2 (1-cos2x) +3cos x = 0

2-2cos2x+3cos x = 0

2sen2x-3cos x-2 = 0

cos = 3+−√32−4∗2∗22∗2

cos x = 3+−54

cos x = 84

cos x = - 12

x = arc cos - 12

x = 120

55 Ejercicio cos2- sen2 = -12

55.1 Demostracion analiticacos2- ( 1 - cos2) = 1

2

2 cos2= 32

cos2=32

2

cos2= 34

cos =√

34

α = arc cos√

34

α = 30

56 Ejercicio 2√3 cos2 = sen x

56.1 Demostracion analitica2√

3-2√

3sen2x = sen x

2√

3sen 2 x + sen x - 2√

3 = 0

31

sen x = −1+−√

1−4(2√3)(−2

√3)

(2√3)2

sen x = −1+−√1+48

4√3

sen x = −1−+74√3

sen x = 64√3= 3

2√3

sen x = 3√3

6

sen x =√32

x = arc sen (√32 )

x = 60

57 Ejercicio sen2y - 2 cos y + 14 = 0

57.1 Demostracion analitica(- 1 cos2y) - 2 cos y + 1

4=0

1- cos 2y + 14 = 0

- cos2y + 2 cos y - 54 = 0

cos y = −8−+√

82−4(4)(−5)2∗4

cos y = −8+−√144

8

cos y = −8+−128

cos y = −8−128 = - 208

cos y = −8+128 = 4

8

cos y = − 12

y = cos−1( 12 )

y = 60

32

58 Ejercicio 4 sec2y - 7 tg2y = 3

58.1 Demostracion analitica4 1cos2y -7

sen2ycos2y = 3

4cos2y -

7(1cos2y)cos2y = 3

4cos2y−

7cos2y+

7cos2ycos2y = 3

−3cos2y = -4

cos2y = 34

cos y =√

34

cos y =√32

y = arc cos (√32 )

y = 30

59 Ejercicio tg B + ctg B = 2

59.1 Demostracion analiticatg2B+ 1= 2tgB

tg2B - 2tgB + 1 = 0

tgy = 1√3

y=30

y=150

y=210

y=330

33

60 Ejercicio sen x + cos x = 0

60.1 Demostracion analiticasenx =-cos x

1= - cosxsenx

senxcosx = 1

tgx=-1

x=135

x=315

61 Ejercicio senx + cosx= 1

61.1 Demostracion analiticasen x + 1 - cos x

sen2x = 1-2cosx +cosx +cos2x

1-cos2x = 1-2cosx + cos2+ cos2x

2cos2x-2cos x = 0

2cos x(cos x-1)=0

cos x =0

cos-1=0

cos x = 1

x = 90

x = 270

x = 0

x = 2Π

34

62 Ejercicio 2 tg2x + 3 sec x = 0

62.1 Demostracion analitica2(sec2x - 1) + 3 sec x = 0

2 sec2x +3 sec x - 2 =0

sec x = −3−+√9−4(2)(−2)6

x=−3+−56

secx = −86 = - 32

sec x = 26= ( 13 )

x = 120

x = 240

63 Ejercicio cos2x + 2 sen x + 2= 0

63.1 Demostracion analitica(1-sen2x ) + 2 sen x +2 =0

-sen2+2sen x +3= 0

sen2x -2 sen x -3 =0

sen x = 2−+√

4−4(1)(−3)4 = 2−+4

4

sen x = 2+44 = 6

4=32

sen x = - 24= - 12

x = 330

x = 210

64 Ejercicios cts2α- 3 csc +3 =0

64.1 Demostracion analiticacsc2α-1-3csα + 3 = 0

css2α- 3 csc α +2 = 0

cscα = 3+−√

9−4(1)(2)2 = 3+4

2

35

cscα = 42 = (2)

cscα = 1

x = 30

x = 90

x =150

65 Ejercicios tg2x + ctg2 x - 2 = 0

65.1 Demostracion analiticatg4x +1-2tg2x = 0

tgx4- 2 tg2x +1

tg2x = 2+−√

4−4(1)(1)2

1+−02 =1

tg x = +-1

x = 45

x = 135

x = 225

x = 315

66 Ejercicios csc x ctg x = 2√3

66.1 Demostracion analitica( 1senx )(

cosxsenx ) = 2

√3

2√

3cos2x + cos x - 2√

3 = 0

2√

3(1- cos 2x ) =cos x

2√

3cos2x + cos x -2√

3=0

cos x = −1−+√

1−4(2√3)(−2

√3)

4√3

= −1+−74√3

cos x = -( 2√3) cos x ( 3

2√3)

x = 30

x = 330

36

67 Ejercicios senx cos x + 14= 0

67.1 Demostracion analiticasen x cos x = - 14

sen2x cos2 x = - 116

sen2x (1- sen2x ) = 116

sen4x -sen2x + 116= 0

sen2x = 1+−√1−4(1)( 1

6 )

2

sen2x = 1−√

34

2

sen2x = 1−+√

34

2

x= 75 x = 105 x = 255 x = 285

x = 15 x= 105 x= 285

68 Ejercicios cos 2x +cos x = -1

68.1 Demostracion analitica-1 + 2 cos2x +cos x = -1

2 cos2 + cos x + 1 = 0

cosx (2 cos x + 1 ) = 0

cos x - 0

x = 90 , 270

2 cos x + 1 = 0

cos x = - 12

x =120, 240

69 Ejercicios 2 sen y= sen 2y

69.1 Demostracion analitica2 sen y = 2 sen y cos y

cos y = 1

y = 0, 2Π= 360

37

70 Ejercicio cos 2x = cos x

70.1 Descripcion analitica2 cos2x -1 = cos x

2cos2x - cos x -1 = 0

cos x = 1+−√

1−4(2)(−1)4

cos x = 1+−34

cos x = 1

cos x = - 12

x = 0 , 360

x = 120 , 240

71 Ejercicio cos 2x = cos2x

71.1 Descripcion analitica2cos 2x - 1 = cos2x

cos2x = 1

cos x = +-1

x = 0 , π , 2π

72 Ejercicio tg (x + 45) = 1 + sen 2x

72.1 Descripcion analiticatgx+tg451−tgxtg45 = 1- sen 2x

tgx+11−tgx = 1 - 2 cos x sen x

senxcosx +1

1− senxcosx

= 1- 2 cos x sen x

senx+cosxcosx−senx = 1-2 cos x sen x

x = 0 , 135 , 180 , 315 , 360

38

73 Ejercicio sen (60 - x) - sen (60 + x) =√

32

73.1 Descripcion analitica

sen 60 cos x - cos 60 sen x - (sen 60 cos x + cos 60 sen x) =√32

√32 cos x - ( 12 ) sen x -

√32 cos x - 1

2 sen x =√32

-sen x =√32

sen x = -√32

x = 300 , 240

74 Ejercicio sen (30 + x) - cos (60 + x) = -√

32


sen 30 cos x + cos 30 sen x - (cos 60 cos x - sen 60 sen x ) = -√32

12cos x +

√32 sen x - 1

2 cos x +√32 sen x = -

√32

√3sen x = -

√32

sen x = - 12

x = 330 , 210

75 Ejercicio tg (45 - x) + ctg (45 - x) = 4

75.1 Descripcion analiticatg45−tgx1+tg45tgx + 1

tg45−tgx1+tg45tgx

= 4

1−tgx1+tgx + 1+tgx

1−tgx = 4

(1 - tg x) (1 - tg x) (1 + tg x)2= 4 (1- tg2x)

1-2 tg x + tg2x +1 + 2 tg x + tg2x = 4 - 1 tg2x

2(1 + tg2x) = 4 (1 - tg2x)

1 + tg 2x - 2 + 2tg2x = 0

3 tg 2x - 1 = 0

tg x = +- 1√3

x = 30 , 150 , 210, 330

39

76 Ejercicio sen x sen x x2 = 1 - cos x


sen x√

1−cosx2 = 1 - cos x

(1 - cos2x)( 1−cosx2 ) = 1 - 2 cos x + cos2x

1−cosx−cos2x+cos3x2 = 1 - 2 cos x + cos2x

cos3x - 3 cos 2x + 3 cos x - 1 = 0

(cos x - 1)3= 0

cos x = 1

x = 0.360

77 Ejercicio sen x2 + cos x = 1

77.1 Descripcion analitica√2−cosx

2 = 1 - cos x

1−cosx2 = 1 - 2 cos x + cos 2x

2 cos2 x - 3 cos x + 1 = 0

cos x = 3+−√

9−4(2)(1)4 = 3+−1

4

cos x = 12

cos x = 1

x = 60, 300

x = 0 , 360

78 Ejercicio csc y + ctg y =√3

78.1 Descripcion analitica1

seny + cosyseny =

√3

1 + cos2y =√

3 sen y

1 + 2 cos2 y + cos4 y =√

3(1 - cos2 y)

cos 4y + (2 +√

3) cos2 y + (1 -√

3) = 0

y = 60

40

79 Ejercicio 3 (sec 2a + ctg2a) = 13


3[

1cos2a + cos2a

sen2a

]= 13

3(

1cos2asen2a

)= 13

3 = 13 sen2a (1 - sen2x)

3 = 13 sen2a - 13 sen4x

13 sen 4x - 13 sen2a + 3 = 0

sen 2x = 13+−√

169−4(13)(3)26 = 13+−

√13

26

x = 53.05 , 143.05 , 36.95 , 126.9

80 Ejercicio sen x = 3cos x

80.1 Demostracion analiticatg x = 3

x = 71 34 , 521 34

81 Ejercicio 2 cos x = cos 2x

81.1 Demostracion analitica2 cos x = 2 cos2x - 1

2 cos 2x - 2 cos x - 1 = 0

cos x = 2+−√

4−4(2)(−1)4

cos x = 2+−√12

4 = 1+−√3

2

x = 111.97

41

82 Ejercicio tg x = tg 2x

82.1 Demostracion analiticatg x = 2tgx

1−tg2x

tg x (1 - tg2x) = 2 tg x

- tg3x + tg x - 2 tg x = 0

tg 3 + tg x = 0

tg x (tg2x + 1) = 0

tg x =0

x= 0,360

tg 2x + 1 = 0

83 Ejercicio 3 cos2x + 5 sen x - 1 = 0

83.1 Demostracion analitica3 (1 - sen2x) + 5 sen x - 1 = 0

-3 sen 2x + 5 sen x +2 = 0

sen x = 5+−√

25−4(3)(−2)6 = 5+−7

6

sen x = - 13

x = 19.47 , 109.47

84 Ejercicio 3 sen x tg x - 5 tg x + 7 = 0

84.1 Demostracion analitica3sen2xcosx - 5senx

cosx + 7 = 0

3 sen 2x - 5 sen x + 7 cos x = 0

3 sen 2x - 5 sen x = -7 cos x

5 sen x - 3 sen2x = 7 cos x

comparo : x = 70 , 32 ; 289 , 28

42

85 Ejercicio csc2x (1 + sen x ctg x) = 2


sen2x (1 + senxcosxsenx ) = 2

1 + cos x = 2 sen2x

1 + cos x = 2 (1 - cos2x)

2 cos 2x + cos x - 1 = 0

cos x = −1+−√

1−4(2)(−1)4 = 1+−3

4

x = 0.2π = 360

x = 120 ; 240

86 Ejercicio tg x + sec2x -3 = 0

86.1 Demostracion analiticatg x + (1 + tg 2x) - 3 = 0

tg2x + tg x -2 = 0

tg x = −1+−√

1−4(1)(−2)2 = −1+−3

2

tg x1= 1

x1= 45 ; 225

tg x2 = -2

x2= 296 , 33 ; 116 , 34

87 Ejercicio sen x + cos 2x = 4 sen 2x - 1

87.1 Demostracion analiticasen x + (1 - 2sen2x) = 4 sen2x - 1

sen x +1 -2 sen2x = 4 sen2x - 1

6 sen 2x - sen x - 2 = 0

sen x = −1+−√

1−4(6)(−2)12 = −1+−

√49

12 = −1+−712

sen x1 = 12

x1 = 30 , 150

sen x2 = - 23x2= 318 , 11 ; 221 , 48

43

88 Ejercicio sen (2 x - 180) = cos x

88.1 Demostracion analiticasen 2 x cos 180 - cos 2x sen 180 = cos x

-2 sen x cos x = cos x

sen x = − 12

-2 sen x cos x - cos x = 0

cos x (2 sen x + 1)

cos x = 0

x = 90 , 270

x = 330 , 210

89 Ejercicio sec (x+ 120) + sec (x - 120) = 2 cosx


cos(x+120) + 1cos(x−120) = 2 cos x

1cosxcos120−senxsen120 + 1

cosxcos120+senxsen120 = 2 cos x1

− 12−√

32 senx

+ 1

− 12 cosx+

√3

2 senx= 2cos x

- 12cos x +√32 sen x + (− 1

2cos x −√32 sen x) = 2 cos x (14cos

2x - 34 sen

2x)

-cos x = 2 cos[14cos

2x− 34 (1− cos2x)

]-cos x = 2 cos

[14cos

2 − 34 + 3

4cos2x]

-cos x = 2 cos x (cos2x - 34 )

-cos x = 2 cos3x - 32cos x

-2 cos x = 4 cos 3x - 3 cos x

4 cos3x - cos x = 0

cos x (4 cos2x-1) = 0

cos x = 0

x = 90 , 270

4 cos2x - 1 = 0

cos x = +- 12x = 60 , 120 , 240 , 300

44

90 Ejercicio cos2x + 2 sen x = 0

90.1 Demostracion analitica(1 - sen 2x ) + 2 sen x = 0

1 +2 sen x - sen 2x = 0

sen x = +2+−√

4−4(−1)(1)2 = 2+−2

√2

2 = 1 +-√

2

x = sen−1(1 +-√

2)

x = 335 , 31 ; 204 , 28

91 Ejercicio sec2x - 4 tg x = 0

91.1 Demostracion analitica(1 + tg2x) - 4 tg x = 0

tg2x - 4 tg x + 1 = 0

tg x = 4+−√

16−4(1)(1)2 = 4+−2

√3

2 = 2+-√

3

x = tg−1 (2+-√

3)

x = 75 , 255

x = 15 , 195

92 Ejercicio 55 sen22x - sen 2x -2=0


sen (2x) = 1√

1−4(1)(−2)2 = 1+3

2

sen x = 1+32 = 2

2x = sen−1(2)

sen 2x = 1−32 = -1

2x = sen−1(1)

2sex = -90

x = -45, 135, 315

45

93 Ejercicio tg2(x2)- tg x2-2 = 0


tg(x2 ) =1+√

1−4(1)(−2)2

x2= tg−1( 1+3

2 )x2= tg−1(2)

x = 126; 52x2 = -45

x= 270

94 Ejercicio 4 sen x +3 cosx = 3

94.1 Descripcion analitica[4senx]

2+3 [3− (cosx)]2

16 sen2x = 9 ( 1-2cosx +cos2x )

16 (1- cos2x ) = 9(1- 2 cosx +9 cos2x

16-16 cos2x - 18 cos x - 7 = 0

cos x = 18+√

182−4(25)(−7)2(25) = 18+

√1024

50 = 18+3250

x = cos−1( 18−3250 )

x = cos−1(1) = 0 , 360

x = cos−1(-0.28) = 106 ; 15

95 Ejercicio 5 senx =4 cos x +4

95.1 Descripcion analitica25 sen2x = 16 cos2x +32 cos x +16

25(1-cos2x) = 16 cos2x +32 cosx +16

-41 cos2x -32 cos x +9 = 0

41 cos2x +32cos x -9 =0

cos x = −32+√

322−4(4)(−9)82 = −32+50

82

x = cos −1(-1) = 180

x = cos (0.22195) = 77◦19′

46

96 Ejercicio senx + sen 2x + sen 3x = 0

96.1 Descripcion analiticasen x + 2 sen x cos x + sen x cos 2x +cos x sen 2x = 0

sen x +2 sen x cos z + sen x (1+2 sen2x ) + cos x ( 2 sen x cos x ) = 0

sen x + 2 sen cos x + sen x - 2 sen 3x + 2 sen x 2 sen cos2 = 0

sen x + 2sen x cos x + sen x - 2 sen3 x + 2 sen x - 2 sen 3x = 0

4 sen x - 4 sen 3x + 2 sen xcos x = 0

2 sen x ( 2-2sen2x+cos )

2 sen x = 0

sen x = 0

x = 0; 360

2 - sen 2x+ cos x

2-(2)sen x + cos x

2-(2) + 2 cos 2x + cos x = 0

cos x ( 2 cos x + 1)= 0

cos x = 0

x = 90 , 270

cos x = - 12

x =120,240

97 jercicio tg x + tg2x +tg3x = 0

97.1 Demotacion Analiticatg x + 2tgx

1−tg2x+ tg (x+2x) = 0

tg x + 2tgx1−tg2x + tgx+tg2x

1−tgxtg2x=0

tg x + 2tgx1−tgx2 +

tgx+ 2tgx

1−tgx2x

1−tgx 2tgx

1−tg2x

=0

47

tg x + 2tgx1−tg2x+

tgx(1−tg2x)+2tgx(1−tg2x)−2tg2x = 0

tg x + 2tgx1−tg2+

tgx−tg3+2tgx1−3tg2x

tg x (1-tg2x)(1-3tg2x)+2tg x (1- 3tg2x)+(3tg x -tg3x )(1-tg2x)=0

(tg x -3tg2x)(1-3tg5x + 2tg x -6tg2x+3tg x -3tg x - tg3x +tg5x = 0

4tg5x -8tg3x-6tg2x + 6 tg x = 0 ÷2

2tg5x -4 tg3x - 3tg2x + 3tgx =0

tg x (2tg4x - 4tg2- 3tg x +3)

2tg4x -4 tg2x + 3=0

tgx = no tiene solucion real

tgx = 0

x = 0,360

98 Ejercicio sen 4 x - cso 3 x = sen 2x

98.1 Descripcion analiticasen ( 2x +2x ) - cos ( x +2x) = 2 senx cosx

sen x (2x) cos (2x) + cos2x sen2x - [ cos x (1-2sen2x ) - senx(2) sen x cos]= 2sen x cos x

2 sen x cosx [1- 2sen2x](2) sen x sen x - [ cosx-2sen2x) - senx (2) sen x cos x] =2sen x cos x

2senx cosx - 8 sen3cosx - cosx +4 sen3x cos - (cosx -2sen2x cos x -2 sen2x cosx= 2 sen2x cos x 2 sen x cos x

4 sen x - 8 sen3x + 4 sen2xcos x= 2 sen x

2 sen x - 8 sen3+ 4 sen2= 0

sen x(2-8sen2x+4 sen2x )

-8 sen2x + 4 sen x +2 = 0

8 sen2x - 4sen x -2 = 0

2sen2- senx -1 = 0

sen x = 1+√

1−4(2)(−1)2(2) = 1+3

4

sen x = 44= 1 x = 90

senx = -12 x = 330; 210

48

99 Ejercicio sen 3x - sen = sen5x

99.1 Demostracion Analiticasen (x+2x) - senx = sen (2x +3x)

senx cosx +cosx sen2x - senx = sen 2x cos3x + cos2x sen3x

senx(1-2sen2x) + cosx (2senx cosx ) - senx = 2senx cosx cos 2x +(1-2sen2x)(sen(x+2x))

senx-2sen3x +2 sen x cos2x - sen x = 2 sen x cos x [cos x cos 2x - sex sen2x]+(1-2sen2x)[ sen x cos 2x + cos x sen 2x]

-2sen3x + 2 senx cos 2x = 2 sen x cos x (2senx cosx)]+ (1-2sen2x [sen x (1-2senx )+cos x (2senx cosx)]+ (1-2 sen2x )[senx (1-2sen2x)+cosx(2senx cosx)]

2sen x -4sen 2x= 2 sen x(1-sen2x ) -4 sen3(1-sen2x) -a sen 3x (1-sen2x) + sen x- 2 sen 3x

2sen x - 2 sen 3x - 2 sen 3x + 4 sen 5x - 4 sen 3x +4 sen 5x

2 sen x - 4 sen2x = 2 sen x - 2sen 3x - 4 sen3x + 4 sen 5x - sen3x +4 sen5x +sen x - 2 sen3x

2 sen x - 2sen3x- 2 sen3x +4 sen5x - 4 sen 3x + 4sen5x

2 sen x - 4 sen2x = 5 sen x - 20 sen3x + 16 sen 5x

16 sen5x - 20 sen2x + 4 sen2x + 3 sen x = 0

sen x(16 sen4- 20 sen2x +4 sen x +3 )= 0

senx = 0

x = 0 ; 360

16 sen 4- 20 sen 2x + 4 sen x +3 = 0

x = no tiene solucion real

100 Ejercicio: ¿Cuales son los angulos agudos deun triangulo rectangulo si la diferencia de loscuadrados de los catetos es igual al doble desu producto?

a = c sen A

49

b= c sen B

ab = c2sen A sen B

a2= c2sen2A

b2= c2sen2B

c2(sen2A - sen2B2)

2 c2sen A sen B

sen2A - sen2B = 2 sen A sen B

[sen(90 +B)]2 - [sen(A+ 90)]

2 = 2 sen (90 + B) sen (90 + A)

[senA]2- [sen(A+ 90)]

2= 2 sen (90 + B) sen (90 +A)

[senA]2- [sen(A+ 90)]

2= 2 sen A sen (90 + A)

sen2A−[senAcos90+cosAsen90]2senA[senAcos90+cosAsen90] =

sen 2A - cos 2A = 2 sen A cos A

sen2A (1 - sen2A) = 2 sen A√

1− sen2A

(2 sen 2A - 1)2= 4 sen2A (1 - sen2A)

4 sen 4A - 4 sen2A +1 = 4 sen2 A - 4 sen 4A

8 sen4- 8 sen2A + 1 = 0

sen2A = 8+−√

64−4(8)(1)16 = 4(2+−

√2)

16 =

= 2+−√2

4

sen A 1= 8 , 25 , 15.81

sen A 2= 58 , 36 , 1.03

101 Ejercicio: ¿Que angulos comprendidos entre90 y 270 satisfacen la ecuacion cos (x + 60)cos (x - 60) = -1

2?

cos (x + 60) cos (x - 60) = − 12

[cosxcos60− senxsen60][cosxcos60 + senxsen60]

50

[12cosx−

√32 senx

] [12cosx+

√32 senx

]= - 12

14cos

2x +√34 sen x cos x -

√34 sen x cos x - 34 sen

2x = − 12

14 (1 - sen2x)- 34 sen

2 x = - 1214 - 1

4 sen2x - 34 sen

2x = - 12+ sen2x = 3

4

sen x = +-√32

x = 60 , 120

Realizar las demostraciones de las siguientes Ex-panciones Trigonometricas de los angulos multi-ples

102 Ejercicio cos2A=12+

12cos2A

102.1 Demostracion Analiticacos2A=cosAcosA-senAsenA

cos2A=cos2AsinA

cos2A=cos2A-(1-cos2A)

cos2A=cos2A-1+cos2A

cos2A=2cos2A-1

1+cos2A=2cos2A

2cos2A=1+cos2A

cos2A= 1+cos2A2

cos2A= 12+

12cos2A

102.2 Demostacion Grafica

51

102.3 Comprovacion Analitica

A=∏6

cos2A=(∏6 )=

12+

cos(2∗∏6 )

2

34=1 1

2+14

34=

34

103 Expancion 2 sin2A=12-

12cos2A

103.1 Demostracion Analiticacos2A=cos2A-sin2A

cos2A=1-sin2A-sin2A

cos2A=1-sin2

2cos2A=1-cos2A

sin2=1-cos2A

cos2A= 12 -

12cos2A


103.3 Comprovacion NumericaA=0

sin2(0)= 12 -

12cos2(0)

0= 12 -

12

0=0

52

104 Expancion cos3A=34cosA+1

4cos3A

104.1 Demostracion Analiticacos3A=cos(A+2A)

cos3A=cosAcosA-sin2AsinA

cos3A=cosA(2cos2A-1)-(2sinAcosA)

cos3A=2cos3A-cosA-(2sin2AcosA)

cos3A=2cos3A-cosA-2sin2A-cosA

cos3A2cos3A-ocsA-2(1-cos2A)cosA

cos3A2cos3A-cosA-2(cos2A-cos3A)

cos3A=2cos3A-cosA-2cosA+2cos3A

cos3A=-3cos3A+4cos3A

4acos3A=3cosA+cos3A

cos3A= 34cosA+

14cos

3A


104.3 Demostracion NumericaA=0

cos3(0)= 34cos(0)+

14cos

3(0)

1=1

53

105 Expancion sin3A=34sinA-1

4sin3A

105.1 Demostracion Analiticasin3A=sin(A+2A)

sin3A=sinA+cos2A+cosA+sin2A

sin3A=sin(1-2sin2A)+cosA(sin2AcosA)

sin3A=sinA-2sin3A+2sinAcos2A

sin3A=sin A-2sin3A+2sin(1-sin2A)

sin3A=sin A-2sin3A+2sinA-2sin3A

sin3A=3sinA-4sin3A

4sin3A= 34 sinA-

14 sin

3



4sin3(0)= 34 sin(0)-

14 sin

3(0)

0=0

106 Expancion cos4A=38+

12cos2A+1

8cos4A

106.1 Demostracion Analiticacos4A=cos(2A+2A)

cos4A+cos2Acos2A-sin2Asin2A

54

cos4A=(2cos2A-1)cos2A-2(2sinAcosA)(2sinAcosA)

cos4A=2cos2Acos2A-cos2A-4sin2Acos2A

cos4A=2cos2A(2cos2A-1)-cos2A-4sin2Acos2A

cos4A=4cos4A-2cos2A-cos2A-cos2A-(1-4cos2A)cos2A

cos4A=4cos4A - 2cos2A - cos2A - (4 - 4cos2A)cos2A

cos4A=4cos4A - 2cos2A - cos2A - cos2A - 4cos2A + 4cos2A

cos4A=8cos4A -6cos2A - cos2A

cos4A=8cos4A -6( 12 + 1

2 cos2A)- cos2A

cos4A=8cos4A - 62 - 6

2cos2A - cos2A

cos4A=8cos4A - 3 - 3cos2A - cos2A

cos4A=8cos4A - 4cos2A - 3

cos4A=4cos2A + 3 + 4cos4A

cos4A= 48 cos2A + 3

8 + 18 cos4A

cos4A= 38+

12cos

2A+ 18cos4A


106.3 Demolstracion NumericaA=0

cos40= 38+

12cos

20+ 18cos

40

1=1

55

107 Expancion sin4A=38-

12cos2A+1

8cos4A

107.1 Demostracion Analiticacos4A=cos(2A+2A)

cos4A=cos2Acos2A-sin2sin2A

cos4A=(cos2A-sin2A)(cos2A-sin2A)-(2sinAcosA)(2sinAcosA)

cos4A=(1 - sin2A - sin2A)(4sen2A(sin2A))

cos4A=(1 - sin2A - sin2A)(4sin2Asin4A)

cos4A=1 - sin2A - 4sin4A - sin4A

cos4A=-(-1 + cos2A - 4sin4A - sen4A

8sin4A = 1 - cos2A + 4cos4A + 2

8sin4A = 3 - cos2A + 4cos4A

sin4A = 38 - 1

2 cos2A + 18 cos4A



sin4(1) = 38 - 1

2 cos2(1) + 18 cos4(1)

0=0

108 Expancion cos5A=58cosA+ 5

16cos3A + 116cos5A

108.1 Desmotracion Analiticacos5A = cos(2A + 3A)

56

cos5A = cos2Acos3A - sin2Asin3A

cos5A = 4cos3A - 3cosAcos2A - sin2A - 3sinA - 4sin3A2sinAcosA

cos5A = 4cos3A - 3cosAcos2A - (-1 - cos2A) - 6sin2AcosA - 8sin4AcosA

cos5A = 4cos3A - 3cosAcos2A - 1 + cos2A - 6(1 - cos2A)cosA - 8(1 - cos2A)(1- cos2A)cosA

cos5A = 16cos5A + 12cos3A + 9cosA

cos5A= 58cosA+

516cos

3A + 116cos

5A



cos5(0)= 58cos(0)+

516cos

3(0) + 116cos

5(0)

1=1

109 Expancion sin5A=58sinA- 5

16sin3A+ 1

16sin5A

109.1 Demostracion Analiticasin5A = sinA(2A + 3A)

sin5A = sin2Acos3A + sin2Acos3A

sin5A = 3sinA - 4sin2Acos2A - sin2A + 2sinAcosA(4cos3A - 5cosA)

57

sin5A = 3sinA - 4sin2A + 4sin4A - sin2A + 2sin4A(1 - sin2A)(1 - sin2A) -2sinA3cos2A

sin5A = 5sinA - 5sin2A + 4sin4A - 2sin3A + 8sin5A

8sin5A = 5sinA - 5sin2A + 4sin4A - 2sin3A + sin5A

sin5A= 58 sinA-

516 sin

3A+ 116 sin

5A



sin5(0)= 58 sin(0)-

516 sin

3(0)+ 116 sin

5(0)

0=0

110 Expancion cos6= 516+

1532cos2A+ 3

16cos4+ 132cos6A

110.1 Demostracion Analiticacos6A = cos(3A + 3A)


cos6A = (4cos3A - 3cosA)(4cos3A - 3cosA) - (3sinA - 4sin3A)(3sinA - 4sin3A)

cos6A = 16cos6A - 12cos4A - 12cos4A + 9cos2A - 9(1 - cos2A + 12(1 -cos2A)(1 - cos2A) - 12(1 - cos2A)

cos6A = 32cos6A + 24cos4A - 30cos2A + 19

32cos6A = cos6A + 24cos4A - 30cos2A + 19

cos6A = cos6A+24cos4A−30cos2+1932

cos6A = 516+

1532cos

2A+ 316cos

4+ 132cos

6A

58



cos6(0) = 516+

1532cos

2(0)+ 316cos

4+ 132cos

6(0)

111 Expancion sin6A = 516 - 15

32cos2A + 316cos4A -

13cos6A

111.1 Demostracion Analiticacos6A = cos(3A + 3A)


cos6A = (4cos3A - 3cosA)(4cos3A - 3cosA) - (3sinA - 4sin3A)(3sinA - 4sin3A)

cos6A = 16cos6A - 12cos4A - 12cos4A + 9cos2A - 9(1 - cos2A) + 12(1 -cos2A)(1 - cos2A) - 12(1 - cos2A)

cos6A = 32cosA + 24cos4A - 30cos2A + 19

32cos6A = cos6A + 24cos4A - 30cos2A + 19

sin6A = 516 - 15

32cos2A + 3

16cos4A - 1

3cos6A


59

111.3 Demotracion NumericaA=0

sin6(0) = 516 - 15

32cos2(0) + 3

16cos4(0) - 1

3cos6(0)

0=0

112 Concluciones:• En estos procesos nos ayudo a comprovar si la expanciones trigonometricas

son diferentes que las identidades o las ecuaciones son correctas o icorrectas

• En este trabajo nos ayudo a demostgra que las identidades expresadas defiferentes maneras son iguales y en este caso sean demostrado cada uno desus pasos

• En la coprovacion al a n encontrar su respuestalo nos ayuda a ver en quenos equivocamos y como salucionar sin ningun proble y ningun problema

• Este rabajo nos ayudo a comprovar todas las funciones su resultado saviendoque las su forma de resolve noas ayudo a sacer todas la ecuaciones plateadas,todas las identidades propuestas sin ningun problema al resolverlas

• las identides nos mostraron las diferentes resolucioes del ejercicio si demodo concreto e interesante sus diferentes proses nos ayudo a comprovarlas graficas propuesta ayudando a ver su sertesa en su resultado

• Trrigonometria Abstract This work treats us to develop multiple losan-gulos trigonometric expasiones. helps us verify analytically, graphicallyand numerically demonstrate the angulos.Se try expanding multiple an-gles funcionestrigonométricas nediante the analytical form is demostrarqueidentities are the same, however the graph shows is the graphics throughthe identities.

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Documents

Trabajo Final de Trigonometria