Traitement de l'image (applications et exercices) partie 1maths.cnam.fr/Membres/wilk/ED-Images.pdf · Traitement de l’image (applications et exercices) partie 1 O. Wilk Lissages

Traitement de l’image(applications et exercices)

partie 1

O. Wilk

Lissages - RestaurationBande annonceLe probleme de baseLissage isotrope ”Fourier”Lissage isotrope ”DF”Lissage isotrope ”EF”Lissage non lineaireLissage tixotropeRestaurationBibliographie - Contact

Exercices


partie 1

O. Wilk

Calcul scientifique/Math/Cnam(sur la base du cours de Ph. Destuynder [1])

decembre 2004


partie 1

O. Wilk


Exercices

Bande annonce


partie 1

O. Wilk


Exercices

Bande annonce

Lisser ... mais sans detruire


partie 1

O. Wilk


Exercices

Bande annonce

Restaurer pour renover


partie 1

O. Wilk


Exercices

Le probleme de base

J(u) = minv∈H1

0J(v)

avec J(v) = 12

∫Ω|v − f |2dΩ + 1

2

∫Ω|∇v |2dΩ.

Rappel de cours :

equivalent au probleme faible (form. var.) : Exo

∀v ∈ H10 (Ω),

∫Ω

uv dΩ + ε

∫Ω

∇u.∇v dΩ =

∫Ω

fv dΩ.

equivalent au probleme fort : Exo −ε∆u + u = f dans Ω

u = 0 sur ∂Ω


partie 1

O. Wilk


Exercices

Le probleme de base

J(u) = minv∈H1

0J(v)

avec J(v) = 12

∫Ω|v − f |2dΩ + 1

2

∫Ω|∇v |2dΩ.

Rappel de cours :


∀v ∈ H10 (Ω),

∫Ω

uv dΩ + ε

∫Ω

∇u.∇v dΩ =

∫Ω

fv dΩ.


u = 0 sur ∂Ω


partie 1

O. Wilk


Exercices

Le probleme de base

J(u) = minv∈H1

0J(v)

avec J(v) = 12

∫Ω|v − f |2dΩ + 1

2

∫Ω|∇v |2dΩ.

Rappel de cours :


∀v ∈ H10 (Ω),

∫Ω

uv dΩ + ε

∫Ω

∇u.∇v dΩ =

∫Ω

fv dΩ.


u = 0 sur ∂Ω


partie 1

O. Wilk


Exercices

Le probleme de base

J(u) = minv∈H1

0J(v)

avec J(v) = 12

∫Ω|v − f |2dΩ + 1

2

∫Ω|∇v |2dΩ.

Rappel de cours :


∀v ∈ H10 (Ω),

∫Ω

uv dΩ + ε

∫Ω

∇u.∇v dΩ =

∫Ω

fv dΩ.


u = 0 sur ∂Ω


partie 1

O. Wilk


Exercices

Lissage isotrope ”Fourier”

minv1

2

ZΩ

|v − f |2dΩ +ε

2

ZΩ

|∇v |2dΩ.

Resolvons le probleme suivant a l’aide de la methode deFourier :

−ε∆u + u = f dans Ω

u = 0 sur ∂Ω(1)

Exercices :

une base de Fourier Exo

le calcul de la solution ”Fourier” Exo

la troncature de la serie ”Fourier” Exo


partie 1

O. Wilk


Exercices


minv1

2

ZΩ

|v − f |2dΩ +ε

2

ZΩ

|∇v |2dΩ.



u = 0 sur ∂Ω(1)

Exercices :





partie 1

O. Wilk


Exercices


minv1

2

ZΩ

|v − f |2dΩ +ε

2

ZΩ

|∇v |2dΩ.



u = 0 sur ∂Ω(1)

Exercices :





partie 1

O. Wilk


Exercices


minv1

2

ZΩ

|v − f |2dΩ +ε

2

ZΩ

|∇v |2dΩ.



u = 0 sur ∂Ω(1)

Exercices :





partie 1

O. Wilk


Exercices


minv1

2

ZΩ

|v − f |2dΩ +ε

2

ZΩ

|∇v |2dΩ.



u = 0 sur ∂Ω(1)

Exercices :





partie 1

O. Wilk


Exercices

Application numerique ”Fourier”

Prob. : la condition limite !

Sol. partielle : Chevauchement des sous images, ...ou DCT avec u = f au bord, ...


partie 1

O. Wilk


Exercices





partie 1

O. Wilk


Exercices





partie 1

O. Wilk


Exercices





partie 1

O. Wilk


Exercices



Sol. partielle :

Chevauchement des sous images, ...ou DCT avec u = f au bord, ...


partie 1

O. Wilk


Exercices



Sol. partielle : Chevauchement des sous images, ...

ou DCT avec u = f au bord, ...


partie 1

O. Wilk


Exercices





partie 1

O. Wilk


Exercices

Lissage isotrope ”Differences Finies”

minv1

2

ZΩ

|v − f |2dΩ +ε

2

ZΩ

|∇v |2dΩ.

Resolvons le probleme suivant a l’aide de l’approximation pardifferences finies :


u = f sur ΓDirichlet∂u∂n = 0 sur ΓNeumann

(2)

Exercices :

une ecriture matricielle ”DF” Exo

la condition limite de Dirichlet ”DF” Exo

la condition limite de Neumann ”DF” Exo


partie 1

O. Wilk


Exercices


minv1

2

ZΩ

|v − f |2dΩ +ε

2

ZΩ

|∇v |2dΩ.




(2)

Exercices :





partie 1

O. Wilk


Exercices


minv1

2

ZΩ

|v − f |2dΩ +ε

2

ZΩ

|∇v |2dΩ.




(2)

Exercices :





partie 1

O. Wilk


Exercices


minv1

2

ZΩ

|v − f |2dΩ +ε

2

ZΩ

|∇v |2dΩ.




(2)

Exercices :





partie 1

O. Wilk


Exercices


minv1

2

ZΩ

|v − f |2dΩ +ε

2

ZΩ

|∇v |2dΩ.




(2)

Exercices :





partie 1

O. Wilk


Exercices

Application numerique ”DF”


partie 1

O. Wilk


Exercices



partie 1

O. Wilk


Exercices



partie 1

O. Wilk


Exercices



partie 1

O. Wilk


Exercices

Lissage isotrope ”Elements Finies”

minv1

2

ZΩ

|v − f |2dΩ +ε

2

ZΩ

|∇v |2dΩ.

Resolvons le probleme faible (formulation variationnelle) al’aide de la methode des elements finis :

∀v ∈ H10 (Ω),

∫Ω

uv dΩ + ε

∫Ω

∇u.∇v dΩ =

∫Ω

fv dΩ.

Rappel de cours et exercices :

Interpolation Exo

Assemblage Exo

Resolution Exo


partie 1

O. Wilk


Exercices


minv1

2

ZΩ

|v − f |2dΩ +ε

2

ZΩ

|∇v |2dΩ.


∀v ∈ H10 (Ω),

∫Ω

uv dΩ + ε

∫Ω

∇u.∇v dΩ =

∫Ω

fv dΩ.


Interpolation Exo

Assemblage Exo

Resolution Exo


partie 1

O. Wilk


Exercices


minv1

2

ZΩ

|v − f |2dΩ +ε

2

ZΩ

|∇v |2dΩ.


∀v ∈ H10 (Ω),

∫Ω

uv dΩ + ε

∫Ω

∇u.∇v dΩ =

∫Ω

fv dΩ.


Interpolation Exo

Assemblage Exo

Resolution Exo


partie 1

O. Wilk


Exercices


minv1

2

ZΩ

|v − f |2dΩ +ε

2

ZΩ

|∇v |2dΩ.


∀v ∈ H10 (Ω),

∫Ω

uv dΩ + ε

∫Ω

∇u.∇v dΩ =

∫Ω

fv dΩ.


Interpolation Exo

Assemblage Exo

Resolution Exo


partie 1

O. Wilk


Exercices


minv1

2

ZΩ

|v − f |2dΩ +ε

2

ZΩ

|∇v |2dΩ.


∀v ∈ H10 (Ω),

∫Ω

uv dΩ + ε

∫Ω

∇u.∇v dΩ =

∫Ω

fv dΩ.


Interpolation Exo

Assemblage Exo

Resolution Exo


partie 1

O. Wilk


Exercices

Application numerique ”EF”

...


partie 1

O. Wilk


Exercices

Lissage non lineaire

minv1

2

ZΩ

|v − f |2dΩ +ε

2

ZΩ

p1 + a× |∇v |2dΩ.

Probleme equivalent a : −εdiv(ϕ′(|∇u|2)∇u) + u = f dans Ω

u = f sur ∂Ω(3)

avec ϕ(t) =√

1 + a× t (a ∈ lR∗).

Exercices :

Deriver la fonctionnelle Exo

Decomposition de l’operateur Exo

Resolution Exo


partie 1

O. Wilk


Exercices


minv1

2

ZΩ

|v − f |2dΩ +ε

2

ZΩ

p1 + a× |∇v |2dΩ.


u = f sur ∂Ω(3)

avec ϕ(t) =√

1 + a× t (a ∈ lR∗).

Exercices :



Resolution Exo


partie 1

O. Wilk


Exercices


minv1

2

ZΩ

|v − f |2dΩ +ε

2

ZΩ

p1 + a× |∇v |2dΩ.


u = f sur ∂Ω(3)

avec ϕ(t) =√

1 + a× t (a ∈ lR∗).

Exercices :



Resolution Exo


partie 1

O. Wilk


Exercices


minv1

2

ZΩ

|v − f |2dΩ +ε

2

ZΩ

p1 + a× |∇v |2dΩ.


u = f sur ∂Ω(3)

avec ϕ(t) =√

1 + a× t (a ∈ lR∗).

Exercices :



Resolution Exo


partie 1

O. Wilk


Exercices


minv1

2

ZΩ

|v − f |2dΩ +ε

2

ZΩ

p1 + a× |∇v |2dΩ.


u = f sur ∂Ω(3)

avec ϕ(t) =√

1 + a× t (a ∈ lR∗).

Exercices :



Resolution Exo


partie 1

O. Wilk


Exercices

Applications numeriques ”non lineaire”


partie 1

O. Wilk


Exercices

Applications numeriques ”non lineaire”

h = 0.1


partie 1

O. Wilk


Exercices

Lissage tixotrope

minv1

2

ZΩ

|v − f |2dΩ +ε

2

ZΩ

|∇v |2dΩ + g

ZΩ

|∇(v − f )|dΩ.

...


partie 1

O. Wilk


Exercices

Restauration

minv1

2

ZB

|v − f |2dΩ +ε

2

ZB∪ω

|∇v |2dΩ.

Resolvons le probleme suivant :

−ε∆u + ξBu = ξB f dans Bavec ξB = 1 dans B et 0 dans ω+ C.L.

(4)


partie 1

O. Wilk


Exercices

Application numerique ”Restauration”


partie 1

O. Wilk


Exercices

Bibliographie

Philippe Destuynder - Analyse, traitement et synthese d’images numeriques -

Collection des cours 2003-2004 - Calcul Scientifique - Cnam/Medias.

Mail de l’auteurPage web de l’auteur

Ce document a ete cree en utilisant LaTeX avec le package Beamer (aide pratique).

mailto:[email protected]

http://www.cnam.fr/maths/Membres/wilk

http://www.geocities.com/kijoo2000/beamer.html


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Exercices

Exercices

...

Documents

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