Transformações do gráfico de uma função

Trabalho final da acção de formação “GEOMETRIA, CÁLCULO E ÁLGEBRA COM O

GEOGEBRA

Realizado por:

Maria Luísa de Sá Martins 09-11-2009

Actividade

Actividade

Matemática 10º ano

TRANSFORMAÇÕES DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO

Objectivo:

� Estudar transformações simples do gráfico de uma função através da utilização das novas tecnologias, nomeadamente com recurso ao software de geometria dinâmica “Geogebra”

Introdução

Cada vez mais os computadores e as novas tecnologias estão presentes

no dia-a-dia de todos. A utilização de software na sala de aula pode beneficiar

grandemente o processo ensino-aprendizagem, uma vez que para além do

fascínio que a informática produz nos mais jovens, de constituir uma forma de

incentivo e motivação, proporciona experiências de aprendizagem muito

importantes para os alunos.

È sabido que a dimensão gráfica é um importante componente do

trabalho matemático pelo que o uso da tecnologia adequada pode auxiliar os

estudantes na compreensão dos conceitos e enriquecer a aprendizagem

matemática, tornando-a mais profunda.

Esta tarefa surge na sequência do estudo das funções quadrática e

cúbica e pretende estudar as transformações sobre os seus gráficos.

Partindo de uma função base e fazendo alterações na variável

dependente e/ou na variável independente surgirão novas funções cuja

representação gráfica poderá ser descrita a partir da função original.

Trata-se de uma tarefa de investigação matemática e exploração que

permitirá a formalização do conhecimento e culminará na escrita formal e

organizada dos resultados obtidos.

O aluno registará as observações que fizer, descrevendo as

propriedades constatadas e retirando as conclusões relativamente aos

resultados obtidos. Desenvolverá assim o seu espírito crítico e a capacidade de

comunicação matemática.

Enquadramento curricular da Actividade

Esta actividade foi concebida para o 10º ano do ensino profissional,

módulo 2 – Funções polinomiais, no tema: transformações e simetrias do

gráfico de uma função, mas pode também ser trabalhada no 10º ano do

ensino secundário na unidade – Funções e Gráficos. Funções polinomiais.

Função módulo inserida no tema: Transformações e simetrias do gráfico de

uma função

Neste ano de escolaridade o programa oficial sugere a realização de

pequenas investigações onde os alunos poderão analisar os efeitos das

mudanças de parâmetros nos gráficos das famílias das funções quadráticas e

cúbicas (considerando apenas a variação de um parâmetro de cada vez);

estudar transformações simples de funções: considerado o gráfico da função

y=f(x), esboçar o gráfico das funções definidas por y=f(x)+a, y=f(x+a), y=af(x),

y=f(ax), com a número real positivo ou negativo, e descrever o resultado com

recurso à linguagem das transformações geométricas.

Aprendizagens visadas Esta actividade permite aos alunos desenvolver as seguintes competências matemáticas:

• a aptidão para fazer e investigar matemática recorrendo à

modelação com uso das tecnologias;

• a capacidade de comunicar oralmente e por escrito as situações

problemáticas e os seus resultados;

• analisar os efeitos das mudanças de parâmetros nos gráficos de

funções;

Desenvolvimento da Actividade

Esta Actividade será realizada numa aula de 90 minutos, destinando-se

60 minutos para a sua resolução e 30 minutos para a discussão geral. Os

alunos serão distribuídos em grupos de 4 elementos. Simultaneamente será

projectada a mesma actividade no quadro interactivo

Aos alunos será entregue uma ficha onde consta a definição das tarefas

e um guião para a sua resolução.

Partindo do gráfico de y = x2 far-se-á uma compressão, uma dilatação,

translação horizontal e vertical do gráfico da função. Far-se-á uma simetria em

relação a Ox. Numa outra tarefa, partindo de uma função cúbica, proceder-se-á

à transformação y = a f(x) e com outra função quadrática será estudada a

transformação y = f(-x). Nestas duas ultimas transformações considerei mais

eficaz e perceptível, para os alunos, se as funções a estudar fossem outras que

não a y = x2 . Os alunos registarão o que vão observando e as respectivas

conclusões. Esta actividade irá sendo orientada e explicada, sempre que julgar

necessário.

Finalmente e partindo da forma canónica da função quadrática,

���� � ��� � �� � os alunos concluirão as transformações ocorridas no

gráfico de y = x2 .

Reflexão Os alunos aderiram bem à actividade, e penso que com bons resultados

ao nível das aprendizagens. Penso que poderia ter sido mais interessante se

os alunos tivessem ao seu dispor um computador, o que não aconteceu. A

actividade foi projectado no quadro interactivo e os alunos foram vendo o que

acontecia quando os parâmetros eram alterados. Não houve uma verdadeira

exploração por parte dos alunos, embora aqueles que quiseram puderam

deslocar-se ao quadro e interagir com ele.

Penso que o essencial foi conseguido e as transformações mais simples

foram compreendidas.

Esta actividade foi recebida naturalmente, uma vez que normalmente os

alunos já trabalham com o quadro interactivo e com a projecção de gráficos,

daí que foi mais uma actividade, não tendo causado qualquer impacto mais

forte.

Em termos pessoais e profissionais penso que a formação foi

enriquecedora, uma vez que não conhecia o programa e com estes

conhecimentos poderei alterar algumas práticas pedagógicas no futuro. Digo

futuro porque actualmente devido a vários factores, entre eles obras de

requalificação, as condições na minha escola não são as melhores. Há apenas

uma sala com quadro interactivo e das minhas turmas só esta tem lá aulas.

Alguns trabalhos dos alunos

Nome __________________________________ Nº ______________ Tarefa 1

Seja f a função real de variável real (f.r.v.r ) definida pela expressão:

f(x) = x2

� Move o selector c (opção mover) Faz c = 2

Indica as transformações sofridas pela função y 3 em relação à função f(x) = x 2

Faz c = - 3 Indica as transformações sofridas pela função y 3 em relação à função f(x) = x 2 Então podemos dizer que

y = f(x) + c

Se c > 0 Então o gráfico desloca-

se para ------------------

Sofre uma translação

__________________

Se c < 0 Então o gráfico desloca-

se para ------------------

Sofre uma translação

__________________

Ficha de trabalho de Matemática

10º ano Transformações do gráfico de uma

função

Novembro 2009

Transformação y = f(x) + c , com c � IR\{0}

Tarefa 2

� Move o selector d (opção mover)

Faz d = 3

Indica as transformações sofridas pela função y 4 em relação à função f(x) = x 2

Faz d = - 3

Indica as transformações sofridas pela função y 4 em relação à função f(x) = x 2 Então podemos dizer que.

y = f(x + d)

Se d > 0

Se d < 0

Então o gráfico desloca-se para ------------------ Sofre uma translação __________________

Então o gráfico desloca-se para ------------------ Sofre uma translação __________________

Tarefa 3

� Move o selector b (opção mover)

Faz b = 0,5 Indica as transformações sofridas pelas abcissas de y2 em relação às abcissas da função f(x) = x 2 para as mesmas ordenadas .

_______________________________________________________________

Transformação y = f (x+d) , com d � IR\{0}

Transformação y = f (bx) , com b � IR\{0}

Faz b = 3 Indica as transformações sofridas pelas abcissas de y2 em relação às abcissas da função f(x) = x 2 para as mesmas ordenadas .

_____________________________________________ _____________________________________________ Então podemos dizer que

y = f(bx)

Se b > 1

Se 0 < b < 1

Então o gráfico

expande/contrai (risca o

que não interessa) na

_________________

Então o gráfico

expande/contrai (risca o

que não interessa) na

__________________

Tarefa 4

� Move o selector a (opção mover)

Faz a = �� Considera agora a função y1 = ����� Indica a transformação sofrida pela função y 1 em relação à função f(x). __________________________________________________________________

Então podemos dizer que

- f(x)

O gráfico da função sofre uma _______________ Relativamente ao eixo__________________

Transformação y = - f (x) , com a � IR\{0}

Tarefa 5

Activa, na zona algébrica, a função y6 e g(x) , e desactiva as restantes funções.

� Move o selector a1 (opção mover)

Faz a1 = 2 Indica as transformações sofridas pelas ordenadas d e y5 em relação às ordenadas da função f(x) = x 2 para as mesmas abcissas

__________________________________________________________

Faz a1 = 0,5

Indica as transformações sofridas pelas ordenadas d e y5 em relação às ordenadas da função f(x) = x 2 para as mesmas abcissas _______________________________________________________________

Então podemos dizer que.

y = a f(x)

Se a > 1

Se 0 < a < 1

Então o gráfico

expande/contrai (risca

o que não interessa) na

_________________

Então o gráfico

expande/contrai (risca o

que não interessa) na

__________________

Transformação y = a f (x) , com a � IR\{0}

Tarefa 6

Activa, na zona algébrica, a função y6 e h(x) , e desactiva as restantes funções.

� Move o selector k (opção mover) Faz k = �� Considera agora a função y6 = ����� Indica a transformação sofrida pela função y 6 em relação à função h(x). _______________________________________________________________ Então podemos dizer que

Y = f(-x)

O gráfico da função sofre uma _______________ Relativamente ao eixo__________________

Exercícios

1. Descreve como podes obter uma representação gráfica da função.

���� � �2 �� � 3�

A partir do gráfico da função ���� � �

2. A representação gráfica de h

ao lado, tem a mesma forma

da representação gráfica da

função i definida por i(x) = 2x2.

Escreve uma expressão algébrica

da função h.

Transformação y = f (-x)