Transformada Z

En matemticas y procesamiento de seales, la Transformada Z convierte una seal que est definida en el dominio del tiempo discreto (que es una secuencia de nmeros reales) en una representacin en el dominio de la frecuencia compleja.

El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podra llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre ms adecuado para la TZ podra haber sido "Transformada de Laurent", ya que est basada en las series de Laurent. La TZ es a las seales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las seales de tiempo continuo.

DefinicinLa transformada Z, al igual que otras transformaciones integrales, puede ser definida como una transformada unilateral o bilateral.

Transformada Z bilateralLa TZ bilateral de una seal definida en el dominio del tiempo discreto x[n] es una funcin X(z) que se define

donde n es un entero y z es, en general, un nmero complejo de la forma

z = Aej

donde A es el mdulo de z, y es la frecuencia (o ngulo en radianes).

Transformada Z unilateralDe forma alternativa, en los casos en que x[n] est definida nicamente para n 0, la transformada Z unilateral de define como

En el procesamiento de seales, se usa esta definicin cuando la seal es causal.

Un ejemplo interesante de la TZ unilateral es la funcin de generacin de probabilidades, donde x[n] es la probabilidad que toma una variable discreta aleatoria en el instante n, y la funcin X(z) suele escribirse como X(s), ya que s = z1. Las propiedades de las transformadas Z son tiles en la teora de la probabilidad.

Transformada Z inversaLa Transformada Z inversa se define

donde es un crculo cerrado que envuelve el origen y la regin de convergencia (ROC). El contorno, , debe contener todos los polos de .

Un caso especial y simple de esta integral circular es que cuando es el crculo unidad (que tambin puede usarse cuando la ROC incluye el crculo unidad), obtenemos la transformada inversa de tiempo discreto de Fourier:

La TZ con un rango finito de n y un nmero finito de z separadas de forma uniforme puede ser procesada de forma eficiente con el algoritmo de Bluestein. La transformada discreta de Fourier (DFT) es un caso especial de la TZ, y se obtiene limitando z para que coincida con el crculo unidad.

Regin de convergencia (ROC)La ROC es una regin del plano complejo donde la TZ de una seal tiene una suma finita.

Ejemplo 1 (Sin ROC)Sea . Expandiendo en obtenemos

Siendo la suma

No hay ningn valor de que satisfaga esta condicin.

Ejemplo 2 (ROC causal)Sea (donde u es la funcin escaln). Expandiendo en obtenemos

Siendo la suma

La ltima igualdad se obtiene con la frmula del sumatorio para series geomtricas, y la igualdad slo se conserva si , lo cual puede ser reescrito para definir de modo . Por lo tanto, la ROC es . En este caso la ROC es el plano complejo exterior al crculo de radio 0,5 con origen en el centro.

Ejemplo 3 (ROC anticausal)Sea (donde u es la funcin escaln). Expandiendo entre obtenemos

Siendo la suma

De nuevo, usando la frmula de sumatorio para series geomtricas, la iguadad slo se mantiene si , de modo que podemos definir como . Aqu, la ROC es , es decir, el interior de un crculo centrado en el origen de radio 0,5.

Conclusin de los ejemplosLos ejemplos 2 y 3 muestran claramente que la transformada de es nica si y slo si se especifica cul es la ROC. Dibujando los grficos de polos y ceros para los casos causal y anticausal, comprobaramos como la ROC de ambos casos no incluye el polo que est en 0,5. Esto se extiende a los casos con mltiples polos: la ROC nunca contiene polos.

En el ejemplo 2, el sistema causal tiene una ROC que incluye , mientras que al sistema anticausal del ejemplo 3 le pertenece una ROC que incluye .

En los sistemas con mltiples polos, es posible tener una ROC que no incluya ni ni . La ROC crea una regin circular. Por ejemplo, tiene dos polos en 0,5 y 0,75. La ROC ser , la cual no incluye ni el origen ni el infinito. Este tipo de sistemas se conoce como sistemas de causalidades mezcladas, ya que contiene un trmino causal y otro anticausal .

La estabilidad de un sistema se puede determinar simplemente conociendo su ROC. Si esta ROC contiene el crculo unidad (p. ej. ) entonces el sistema es estable. En los sistemas anteriores, el sistema causal es estable porque contiene el crculo unidad.

Si tenemos la TZ de un sistema sin su ROC (p.ej., un ambiguo) podemos determinar una nica seal en funcin de que queramos o no las siguientes propiedades:

Estabilidad

Causalidad

Si queremos un sistema estable, la ROC debe contener el crculo unidad. Si queremos un sistema causal, la ROC debe contener al infinito. Si queremos un sistema anticausal, la ROC debe contener al origen.

De este modo, podemos encontrar una seal en el tiempo que sea nica.

Propiedades Linealidad. La TZ de una combinacin lineal de dos seales en el tiempo es la combinacin lineal de sus transformadas en Z.

Desplazamiento temporal. Un desplazamiento de k hacia la derecha en el dominio del tiempo es una multiplicacin por zk en el dominio de Z.

Convolucin. La TZ de la convolucin de dos seales en el tiempo es el producto de ambas en el dominio de Z.

Diferenciacin.

Tabla con los pares ms habituales de la transformada ZSeal, x(n)Transformada Z, X(z)ROC

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Relacin con LaplaceLa TZ bilateral es simplemente la transformada de Laplace bilateral de la seal muestreada

donde es la seal continua muestreada, la n-sima muestra, el perodo de muestreo, y con la sustitucin .

Del mismo modo, la TZ unliateral es simplemente la transformada de Laplace unilateral de la seal ideal muestreada. En ambas se asume que la seal muestreada vale cero para todos los ndices negativos en el tiempo.

Relacin con FourierLa TZ es una generalizacin de la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT). La DTFT puede hallarse evaluando la TZ en o, lo que es lo mismo, evaluada en el crculo unidad. Para determinar la respuesta en frecuencia del sistema, la TZ debe ser evaluada en el crculo unidad.

Ecuacin diferencial de coeficientes lineales constantesLa ecuacin diferencial de coeficientes lineales constantes (LCCD) es una representacin de un sistema lineal basada en la ecuacin de la media autorregresiva.

Ambos trminos de esta ecuacin pueden dividirse por , si no es cero, normalizando la ecuacin LCCD puede ser escrita

Esta forma de la ecuacin LCCD es ms explcita para comprobar que la salida actual se define en funcin de las salidas anteriores , la entrada actual , y las entradas anteriores .

Funcin de transferenciaSe calcula haciendo la TZ de la ecuacin

y dividiendo

Ceros y polosGracias al teorema fundamental del lgebra sabemos que el numerador tiene M races (llamadas ceros) y el denominador tiene N races (llamadas polos). Factorizando la funcin de transferencia

donde es el k-simo cero and es el k-simo polo. Los ceros y polos son por lo general complejos, y por tanto se pueden dibujar en el plano complejo.

En definitiva, los ceros son las soluciones de la ecuacin obtenida de igualar el numerador a cero, mientras que los polos son las de la ecuacin que se obtiene al igualar a cero el denominador.

Se puede factorizar el denominador mediante la descomposicin en fracciones simples, las cuales pueden ser transformadas de nuevo al dominio del tiempo. Haciendo esto obtenemos la respuesta al impulso y la ecuacin diferencial de coeficientes lineales constantes del sistema.

Salida del sistemaSi por un sistema pasa una seal entonces la salida ser . Haciendo una descomposicin en fracciones simples de y la TZ inversa de cada una de ellas puede encontrarse la salida .