If you can't read please download the document
Upload
asmir-sahman
View
99
Download
7
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Dio predavanja za studente
Citation preview
1.1 K BLEM NA NEORJENTISANIM
AN, i ne 0ji1 , ,
Aji, ji1 ,
G najmanje jedanput i za koji je:
Ajisveij ji1s
,
min,
gdje je ijs - broj polazaka kroz granu ji, .
-ovu turu i Euler-ov
put.
Euler- -ov put je
G posjeduje Euler-ovu turu (Euler-ov put) ako i G
Na Sl. 1
Euler-ovu turu.
Sl. 1
Kao primjer Euler-ove ture kroz mre u prikazanu na Sl. 1 mo e da nam poslu i ciklus
badfdcfecbeb ,,,,,,,,,,, .
Na Sl. 2 -ov put.
Sl. 2
b i i Euler-ov put. Takav je na primjer put:
ijfgjhgehbefidfcdaceab ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, .
Na Sl. 3 -ovu turu ni Euler-ov put.
Sl. 3
hfa ,, i g -
ovu turu ni Euler-ov put.
-
ANG , k -ove ture imaju jednaku
Ajisve
ji1,
,
ANG , prolazi najmanje jedanput.
G transform ANG ,
napraviti Euler-ovu turu.
GG G
na Sl. 4.
Sl. 4
fb, povezuje
b f b
S Pneparnog stepena sa N . Jasno je da je PSN oj, to
N ia
ia 1m2a ii . Sa k
k
1i
k
1i
k
1iiii km21m2aN
k
1ii Nm2k
ti
KORAK 1: Prona i sve vorove neparnog stepena u mre i ANG , . Neka ih ima ukupno k , pri emu
je k paran broj.
KORAK 2: Prona imo 2
k, parova ovih vorova takvih da je ukupna du ina grana izme u ovih vorova
minimalna. Drugim rje ima, prona imo 2
k najkra ih puteva izme u uo enih k vorova.
KORAK 3: Za svaki od 2
k parova vorova dodajemo vje ta ke grane paralelne postoje im na najkra em
putu izme u dva vora. Novi graf ANG , ne sadr i vorove neparnog stepena.
KORAK 4: Prona imo Euler-ovu u mre i ANG , . Ova Euler-ova tura predstavlja optimalno rje enje
kineskog po tanskog problema u originalnon mre i ANG , . Du ina ove optimalne ture
jednak je zbiru du ine svih grana mre e ANG , i du ina 2
k najkra ih puteva izme u
uo enih 2
k parova vorova koji su u originalnoj mre i bili vorovi neparnog stepena.
P r i m j e r : Rje itu kineski po tanski problem u slu aju da tura po inje i zavr ava a transportne
mre e prikazane na Sl. 5.
Sl. 5
4 fed ,, i g . Postoje,
ed i gf , gd i ef i fd i ge. Na Sl. 6
ed i gf . Ovim
ed, i
gf , -
aecabdedfgfegda ,,,,,,,,,,,,,,
ed, i gf , prolazi dva puta.
Sl. 6
(29)
Da bi razjasnili ovu konstataciju razmotrimo Sl. 7.
Sl. 7
tsr ,, i q
tr qs ji, . U
tr i qs
sr i qt ji1 , manja od ukupne
tr i qs
ena u neposrednom susjestvu.
1.2 KLASIFIKACIJA PROBLEMA ROTACIJE I REDOVA (LETENJA) NA TRANSPO
tro
govorim o tzv. kombinovanim problemima ro
1
A. - 1. 2.
(kombinovani problem rotacije i
3.
B. - 1. 2.
C. 1. 2.
D. 1. 2. sredstava
E. Karakter zahtjeva za opslugom 1. 2.
F. Mjesta javljanja zahtjeva za opslugom 1. 2. zahtjevi za 3.
G. -
1 L. Bpdin and B. Golden, Classification in Vehicle Routing and Scheduling, Networks, Volume 11, Number 2,
1981, pp. 97-108
1. 2. 3.
H. stava 1. 2. 3.
I. Maksimalno 1. 2. 3.
floti
J. - 1. promjenljivi 2. fiksni
K. Operacije koje se obavljaju 1. prikupljanje 2. 3.
L. Kriterijumska funkcija na osno 1. 2. 3.
M. (zavise od konkretnog problema)
postupkom.
1.3 PROJEKTOVANJE OPTIMALNIH RUTA ZA FLOTU SAOBRA AJNIH SREDSTAVA KOJA TREBA DA OPSLU E SVE VOROVE
TRANSPORTNIH MRE A
m trgovakih putnika treba da posjeti n m B
m rutu najmaB B sa m kopija
n21 B,...B,B kopija povezana sa skupom od n
BB n
a,Bda,Bd...a,Bda,Bd m21
gdje je a
ji B,Bd za m,...,2,1j,i
nm
iB jB s obzirom da je ji B,Bd za
m,...,2,1j,i .
B m zahtjeva u originalnom problemu.
P r i m j e r : Na Sl. 1 4
Sl. 1.
Sl. 1
4321B
4
3
2
1
B
7
06,8
1
3
7
4
06,8
4
06,8
4
7
64,5
4
06,8
7
5
3
4
64.5
5
2 2 kopije baze B
1B i 2B . Nova matrica rastojanja je:
4321BB 2
4
3
2
1
B
B
2
1
7
06,8
4
3
3
7
4
06,8
4
4
06,8
7
7
64,5
64,5
4
06,8
7
5
5
3
5
56,5
5
3
4
56,5
5
121 B414B32B
64,27 .
Spajanjem kopija 1B i 2B B ) dobijaju se 2
sredstva. Ove ture prikazane su na Sl. 2.
Sl. 2
4 4
121 B14B32B
64,25 Sl. 3
Sl. 3
1.4 METOD ZA ODRE IVANJE MINIMALNOG BROJA SAOBRA AJNIH SREDSTAVA NEOPHODNIH ZA OBAVLJANJE ZADATOG REDA
VO NJE (LETENJA) NA TRANSPORTNOJ MRE I
ih za obavljanje
broja aviona neophodnih za obavljanje zadatog rada letenja, A. Levin je 1970. godine 31
Prrije izlaganja metoda A. Levin-
ORJENTISANIM GRAFOM.
Graf A,NG N S i T takva je da:
NTS
0TS
A S T , naziva se BIHROMATSKIM GRAFOM.
*A;T,SG
e podrazumjeva se podjela skupa
N granama koje ih povezuju obrazuju lance. Napomenimo da i da predstavlja
A,NG N lanaca
N N ). Na Sl. 4 prikazan je
2021 x...,,x,x .
Sl. 4
Dekompozicija ovog grafa prikazana je na Sl. 5. Graf je dekomponovan u 9 lanaca. Tri lanca su
6x , lanac 17x i lanac 19x )
Sl. 5
Svakako da nam
Sl. 6.
Sl. 6
Na Sl. 6 prikazan je prostorno-vremenski dijagran sa 14 grada A i grada B , grada B i grada C , grada C i grada B i grada B i grada A .
Jas
planiranih 14 1 , zatim let broj 5 , let broj 7 i na kraju let broj .10
10,7,5,1
e) 7,5,1 i 10
obave prikazan je Sl. 7.
Sl. 7
U ovoj mre ix jx jx
ix jx ix , a
jx ix i ako je momenat planiranog
jx poslije mome ix .
alnom broju
A,NG C broj lanaca u koje je
C...,,2,1k k -
kn . Sa N G
samo jednom lancu, to je:
Nn...nn C21
Dalje je:
C
1k
N C
1kkn CCnk
C
1k
N C1nk
Broj grana u svakom lancu za 1 kn
k , tada je 1nk broj grana lanca k . Jasno da
C
1kk 1n
predstavlja broj grana koje pripadaju lancima u koje je dekomponovan graf G .
D
C
1kk 1nD
odnosno:
CDN
N grafa G fiksiran, to minimiziranje broja lanaca C u kojoj se graf G
D koje pripadaju lancima u koje je
dekomponovan graf G . *A;T,SG koji odgovara grafu A,NG prikazanom na
Sl. 7 Sl. 8.
5x 1x
bihromatskom grafu *A;T,SG 1s 5t .
Sl. 8
Predpostavimo da je kapacitet sveka grane u bihromatskom grafu *
ji At,s jednak 1 . Ukoliko
grana ji x,x G priprada nekom od lanaca u koje smo dekomponovali graf G tada
1 . Ukoliko grana
ji x,x nije dio ni jednog od lanaca u koje je dekomponovan graf G
ji t,s O
Ukoliko u bihromatskom grafu *A;T,SG ji t,s , tada je grana
ji x,x grafa A,NG dio nekog od lanaca u koje smo dekomponovali graf G upan
broj grana koje pripadaju lancima u koje je graf G dekomponovan, D jednak vrijednosti ukupnog toka
ne is
intenziteta jednakog 1 jt
jednakog 1 .
C D
*A;T,SG is
1 jt
akog 1 .
P r i m j e r : Iz
vremenskom dijagramu na Sl. 6. Na Sl. 9
is .
1s i
51 t,s , 61 t,s , 91 t,s , 101 t,s , 131 t,s i
141 t,s . Prvoj od ovih grana 51 t,s dodjelimo tok intenziteta 1 1s
1 61 t,s , 91 t,s , 101 t,s , 131 t,s i 141 t,s da ostene
5t 5t
1 .
Sl. 9
2s 42 t,s , 82 t,s i 102 t,s . Prvoj od
ovih grana, grani 42 t,s dodjelimo tok jednak 1 . Grane 82 t,s i 102 t,s
4t Sl. 10.
Sl. 10
3s 63 t,s , 93 t,s , 103 t,s ,
133 t,s i 143 t,s . Grani 63 t,s dodjeljen je tok intenziteta 1 , dok ostale grane ostaju bez toka Sl. 11.
Sl. 11
4s . Iz njega izlaze grane 64 t,s , 94 t,s , 104 t,s , 134 t,s i 144 t,s . Do
sada smo, po nekom pravilu, uvijek prvoj grani koja polazi iz 1 .
64 t,s 6t 63 t,s
koje postoji tok intenziteta 1 . Stoga dodjelimo tok grani 94 t,s . Grana 104 t,s , 134 t,s i 144 t,s
ostaje bez toka Sl. 12.
Sl. 12
1 granama 75 t,s ,
116 t,s , 107 t,s , 138 t,s , 129 t,s i 1411 t,s ostalih grana koje postoje bihromatskom grafu
Sl. 13
Sl. 13
Sl. 13, u bihromatskom grafu postoji 10 jednak 1
10D
rafu
14N
41014DNC
-
vremenskom dijegramu na Sl. 6 4
Bihromatski graf prikazan na Sl. 13 daje nam informaciju o tome koje grane ulaze u sastav lanaca u koje
51 t,s 51 x,x u grafu
G ulazi u sastav jednog od laSl. 13 prikazan je na Sl. 14.
Sl. 14
Na Sl. 15 prikazane su rute 4
Sl. 15
1.5 PLANIRANJE POSADA U SL NOG VREMENA
dvokratnog radnog vemena kroz razmatranje jednog konkretnog primjera. Autori metoda su B. Benett i R.
-a i R. Potts-a. U
1. 2. Ni jedn 3.
trajanju od najmanje 20 minuta.
4.
Tabela 1
5. Vrijeme provedeno na radu (zbir vremena trajanja prijepodnevne i popodnevne ture) ne smije
6. pop
,2,1 i 3 nazivaju se ispravnim
turama. U prethodnoj tabeli su prikazane ispravne ture
- - - Dodatnih pola puta
i1a i i2a 34...,,2,1i j1b i
j2b 34...,,2,1j
ijd - i -tu prijepodnevnu i
j -tu popodnevnu turu,
ijs - i -tu prijepodnevnu i j -tu
popodnevnu turu.
Jasno je da je:
j1j2i1i2ij bbaad
i1j2ij abs
Vrijeme provedeno na pauzi
provedenog na radu, tj.
ijiji2j1 dsab
to je:
90ds ijij
Vriijeme provedeno na
540dij
720sij
495dza495d
495dza,0
ijij
ij
Ovo vrije
495d2
1495d
2
1ijij
495d5,1495d5,1 ijij
495d2
3495d
2
3ijij
ijc j , jednaki:
495d2
1495d
2
13c ijijij
585s2
1585s
2
1ijij
645s2
1645s
2
1ijij
ijc od vremena provedenog na radu ijd
ijs prikazana je na Sl. 16.
Sl. 16
Uvedimo u razmatranje binarnu promjenljivu ijx :
Jasno je da je:
34
1i
34
1jijij 1xx 34...,,2,1j,i