Trigonometria

Cid de Araujo Moraes

ii

Sumario

1 Trigonometria No Triangulo Retangulo 1

1.1 Razoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Propriedade dos angulos complementares . . . . 2

1.3 Relacao Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Exercıcios 3

3 Valores Notaveis Das Razoes Trigonometricas 5

3.1 Triangulo Equilatero . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2 Quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.3 Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.4 Tabela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Exercıcios 7

5 Lei dos Co-senos 9

5.1 Propriedade Importante . . . . . . . . . . . . . 9

5.2 Lei dos Co-senos . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5.3 Calculando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.4 Sıntese de Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . 10

iv SUMARIO

6 Exercıcios 11

7 Lei dos Senos 17

7.1 Lei dos Senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

7.2 Desigualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

7.3 Demonstracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

8 Exercıcios 19

9 Arcos e Angulos 23

9.1 Orientacao de Arcos e Angulos . . . . . . . . . . 23

9.2 Medidas Angulares . . . . . . . . . . . . . . . . 23

9.3 Comprimento de arco . . . . . . . . . . . . . . . 24

9.4 Menor Determinacao Positiva . . . . . . . . . . 24

10 Exercıcios 25

11 Ciclo Trigonometrico 27

11.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

12 Exercıcios 29

13 Transformacoes 31

13.1 Formulas de adicao e subtracao de arcos . . . . 31

13.2 Novos angulos a partir de antigos . . . . . . . . 31

14 Exercıcios 33

Capıtulo 1

Trigonometria NoTriangulo Retangulo

1.1 Razoes

Dado um triangulo retangulo ABC temos as seguintes razoes:

senx = cateto oposto a xhipotenusa

cosx = cateto adjacente a xhipotenusa

tgx = cateto oposto a xcateto adjacente a x

Mnemonica SOH CAH TOA

Tais razoes dependem somente do angulo e nao do tamanhodo triangulo.

Ex: Dado o triangulo DEF retangulo em D, de catetos 6e 8, calcule as razoes trigonometricas relativas aos angulos Ee F

2 Trigonometria No Triangulo Retangulo

1.2 Propriedade dos angulos comple-

mentares

Como os angulos agudos de um triangulo retangulo sao com-plementares percebemos que para 0◦ < x < 90◦ temos

senx = cos(90◦ − x)

cosx = sen(90◦ − x)

tg(90◦ − x) =1

tgx

1.3 Relacao Fundamental

Dado o triangulo retangulo ABC use o Teorema de Pitagoraspara demonstrar que sen2 x+ cos2 x = 1 para 0◦ < x < 90◦.

Capıtulo 2

Exercıcios

Lista de exercıcios aplicados.

4 Exercıcios

Capıtulo 3

Valores Notaveis DasRazoes Trigonometricas

3.1 Triangulo Equilatero

Calcule as razoes trigonometricas dos angulos de 30◦ e 60◦ us-ando o Teorema de Pitagoras para calcular as medidas necessarias.

3.2 Quadrado

Calcule as razoes trigonometricas do angulo de 45◦ usando oTeorema de Pitagoras para calcular as medidas necessarias.

3.3 Tangente

E facil mostrar que tg x = senxcosx

6 Valores Notaveis Das Razoes Trigonometricas

3.4 Tabela

Capıtulo 4

Exercıcios

8 Exercıcios

Capıtulo 5

Lei dos Co-senos

5.1 Propriedade Importante

Para 0◦ < x < 180◦ temos

senx = sen(180◦ − x)

cosx = cos(180◦ − x)

5.2 Lei dos Co-senos

A Lei dos Co-senos afirma que em qualquer triangulo vale a

igualdade:a2 = b2 + c2 − 2bc cos θ

10 Lei dos Co-senos

5.3 Calculando

Dado um triangulo retangulo de catetos 3 e 4, calcule a medidada hipotenusa.

Calcule a medida do terceiro lado de um triangulo de lados3 e 4 e angulo compreendido igual a 60◦.

Calcule a medida do terceiro lado de um triangulo de lados3 e 4 e angulo compreendido igual a 120◦.

5.4 Sıntese de Clairaut

Da Lei dos Co-senos decorre que se num triangulo tivermosa2 < b2+c2 entao θ e agudo e portanto o triangulo e acutangulo.Se a2 = b2+c2 entao θ e reto e portanto o triangulo e retangulo.Finalmente, se a2 > b2 + c2 entao θ e obtuso e o triangulo eobtusangulo. Pode-se encarar a lei dos co-senos como umaextensao do Teorema de Pitagoras.

Capıtulo 6

Exercıcios

1. Cesgranrio-RJ. Os lados de um triangulo sao 3, 4 e 6.Quanto vale o co-seno do maior angulo interno desse triangulo?

2. Fuvest-SP 1990. Um triangulo T tem lados iguais a4, 5 e 6. O co-seno do maior angulo de T vale...

3. Mack-SP. Calcule a area do triangulo a seguir:

4. Em um triangulo ABC, AB = 3, AC = 5 e BC = 6.Calcule o comprimento da mediana relativa ao lado BC.

5. Uerj 2001♣.

A figura acima representa uma chapa de metal com a formade um triangulo retangulo isosceles em que AB = BC =

12 Exercıcios

CD = 2m. Dobrando-a nas linhas BE e CE , constroi-seum objeto que tem a forma de uma piramide.

Desprezando a espessura da chapa, calcule o co-seno doangulo formado pela aresta AE e o plano ABC.

6. Ufrj 2001. Os ponteiros de um relogio circular me-dem, do centro as extremidades, 2m, o dos minutos, e 1 m, odas horas. Determine a distancia entre as extremidades dosponteiros quando o relogio marca 4 horas.

7. Uerj 1998. Um holofote esta situado no ponto A, a30 metros de altura, no alto de uma torre perpendicular aoplano do chao. Ele ilumina, em movimento de vaivem, umaparte desse chao, do ponto C ao ponto D, alinhados a base B,conforme demonstra a figura abaixo:

Se o ponto B dista 20 metros de C e 150 metros de D, a

13

medida do angulo ∠CAD corresponde a:(a) 60◦ (b) 45◦ (c) 30◦ (d) 15◦

8. Observadores nos pontos A e B localizam um foco deincendio florestal em F . Conhecendo os angulos ∠FAB =45◦, ∠FBA = 105◦ e a distancia AB = 15km, determine asdistancias AF e BF

9. Vunesp-SP. Para calcular a distancia entre duasarvores situadas nas margens opostas de um rio, nos pontosA e B, um observador que se encontra junto a A afasta-se20m da margem, na direcao da reta AB, ate o ponto C edepois caminha em linha reta ate o ponto D, a 40m de C,do qual ainda pode ver as arvores. Tendo verificado que osangulos DCB e BDC medem, respectivamente, cerca de 15◦ e120◦,que valor ele encontrou para a distancia entre as arvores,se usou a aproximacao

√6 = 2, 4?

10. Fuvest 1991. No quadrado ABCD de lado 12temos: AE = 13 e CF = 3. O angulo AEF e agudo, reto ouobtuso? Justifique.

14 Exercıcios

11. Ufrj 2001. Demonstre a lei dos co-senos para umtriangulo acutangulo.

12. Uerj 2009 1º e.q.. Um piso plano e revestido dehexagonos regulares congruentes cujo lado mede 10 cm. Nailustracao de parte desse piso, T , M e F sao vertices comunsa tres hexagonos e representam os pontos nos quais se encon-tram, respectivamente, um torrao de acucar, uma mosca e umaformiga.

Ao perceber o acucar, os dois insetos partem no mesmoinstante, com velocidades constantes, para alcanca-lo. Admitaque a mosca leve 10 segundos para atingir o ponto T . Desprezeo espacamento entre os hexagonos e as dimensoes dos animais.

15

A menor velocidade, em centımetros por segundo, necessariapara que a formiga chegue ao ponto T no mesmo instante emque a mosca, e igual a:

(A)3,5

(B)5,0

(C)5,5

(D)7,0

13. Uerj 2009 2º e.q.. Um atleta faz seu treina-mento de corrida em uma pista circular que tem 400 metrosde diametro. Nessa pista, ha seis cones de marcacao indicadospelas letras A, B, C, D, E e F , que dividem a circunferenciaem seis arcos, cada um medindo 60 graus. Observe o esquema:

O atleta partiu do ponto correspondente ao cone A emdirecao a cada um dos outros cones, sempre correndo em linhareta e retornando ao coneA. Assim, seu percurso correspondeua ABACADAEAFA. Considerando

√3 = 1, 7, o total de

metros percorridos pelo atleta nesse treino foi igual a:

(A)1480

(B)2960

(C)3080

(D)3120

gabcosenosarito

1. −1124

; 2. 1/8; 3. 10√

3; 4. 2√

2; 5.√63

; 6.√

7; 7. b; 8.

AF = 15(√2+√6)

2km , BF = 15

√2 km; 9. 28m; 10. O angulo

e agudo; 11. prova; 12. d; 13. b;

16 Exercıcios

Capıtulo 7

Lei dos Senos

7.1 Lei dos Senos

A Lei dos Senos afirma que em qualquer triangulo, os lados saoproporcionais aos senos dos angulos opostos. O fator de pro-porcionalidade e igual ao dobro do raio do cırculo circunscritoao triangulo.

a

senA=

b

senB=

c

senC= 2R

18 Lei dos Senos

7.2 Desigualdade

Da Lei dos Senos decorre que quanto maior for o lado dotriangulo, maior e o angulo oposto a ele e reciprocamente.Por que?

7.3 Demonstracao

Demonstre a Lei dos Senos

Capıtulo 8

Exercıcios

1. No triangulo abaixo, AC = 4m, BC = 3m e β = 60◦.Calcule senα.

2. Cesgranrio 1994. No triangulo ABC, os lados ACe BC medem 8cm e 6cm, respectivamente, e o angulo A vale30◦. O seno do angulo B vale:

(a) 12

(b) 23

(c) 34

(d) 45

(e) 56

3. Uerj. O triangulo ABC esta inscrito em um cırculode raio R. Se cosA = 3/5, o comprimento do lado BC e:

(a) 2R5

(b) 3R5

(c) 4R5

(d) 6R5

(e) 8R5

4. O triangulo ABC e inscrito a uma circunferenciade raio R = 2, como mostra a figura seguinte. Se a area do

20 Exercıcios

triangulo ABC e igual a sen A+sen B, determine o valor destaarea.

5. Fuvest . Em um triangulo ABC o lado AB mede 4√

2e o angulo C, oposto ao lado AB, mede 45◦. Determine o raioda circunferencia que circunscreve o triangulo.

6. Ita. Um navio, navegando em linha reta, passa pelospontos A, B, C. O comandante, quando o navio esta em A,observa um farol L, e calcula o angulo ∠LAC = 30◦. Aposnavegar 4 milhas ate B, verifica o angulo ∠LBC = 75◦. Quan-tas milhas separam o farol do ponto B?

7. Unicamp Sejam A, B e C pontos de uma circun-ferencia, tais que AB = 2km, BC = 1km e a medida doangulo ABC seja de 135◦.

a) Calcule o raio dessa circunferencia.

b) Calcule a area do triangulo ABC

8. Determine os angulos B e C de um triangulo ABC,para o qual A = 15◦, sen B =

√32

e sen C =√22

.

9. Num triangulo ABC, B = 105◦, b =√22

e c =√6−√2

2.

Calcule as medidas dos angulos A e C.

21

10. Determine x e y no triangulo abaixo.

11. Mackenzie 1999. Supondo√

3 = 1, 7, a area dotriangulo da figura vale:

(a) 1, 15 (b) 1, 25 (c) 1, 30 (d) 1, 35 (e) 1, 45

12. Determine o raio da circunferencia circunscrita aum triangulo de lados 40cm, 40cm e 48cm.

Gabarito♣1. 3

√3

8; 2. b; 3. e; 4. 11/8; 5. 4; 6. 2

√2; 7. a)

√5+2√2

2,

b)√22

; 8. B = 120◦, C = 45◦; 9. A = 30◦, C = 45◦; 10.

x =√

3, y =√6+√2

2; 11. d; 12. 25;

22 Exercıcios

Capıtulo 9

Arcos e Angulos

9.1 Orientacao de Arcos e Angulos

Quando trabalhamos com arcos e angulos convenciona-se queo sentido e positivo quando e descrito no sentido anti-horario.O sentido negativo e o sentido horario.

9.2 Medidas Angulares

Dizemos que um radiano e o arco cujo comprimento e igual aoraio da circunferencia na qual se encontra o arco a ser medido.

Dizemos que um grau corresponde a 1360

da circunferenciana qual se encontra o arco a ser medido. As unidades estaorelacionadas da seguinte forma: π rad = 180◦ E costumesuprimir a unidade rad. Assim, quando nao houver unidadeangular indicada sub-entende-se que e o radiano. Nao pode-mos suprimir o sımbolo ◦ da unidade grau.

24 Arcos e Angulos

9.3 Comprimento de arco

Mostre que o comprimento do arco de circunferencia de raio re angulo central θ mede S = θr

9.4 Menor Determinacao Positiva

Dado o arco 37π3

calcular sua menor determinacao positiva.

SOLUCAO:37π3

= 6·6π3

+ π3

= 6 ·2π+ π3

logo a menor determinacao positivae π

3.

Capıtulo 10

Exercıcios

26 Exercıcios

Capıtulo 11

Ciclo Trigonometrico

11.1 Definicao

Considere o cırculo de raio 1 centrado na origem do sistemacartesiano. Dado um arco medindo θ radianos podemos mar-car o ponto final P deste arco no cırculo unitario, usandoorientacao positiva, a partir do semi-eixo horizontal positivo.Desta forma definimos sen θ como o numero real que e a projecaoortogonal do ponto P sobre o eixo vertical Oy; cos θ como onumero real que e a projecao ortogonal do ponto P sobre o eixohorizontal Ox. Assim temos −1 ≤ sen θ ≤ 1 para todo anguloθ. Analogamente temos −1 ≤ cos θ ≤ 1 para todo angulo θ.Considerando a reta r tangente ao cırculo no ponto (1, 0) e Q oponto de intersecao do prolongamento da reta OP com a retar temos que tg θ e o numero real que e a projecao ortogonaldo ponto Q sobre o eixo vertical Oy. Com isso vemos que tg θpode assumir qualquer valor real.

28 Ciclo Trigonometrico

Capıtulo 12

Exercıcios

30 Exercıcios

Capıtulo 13

Transformacoes

13.1 Formulas de adicao e subtracao

de arcos

sen(a± b) = sen a cos b± sen b cos a

cos(a± b) = cos a cos b∓ sen a sen b

tg(a± b) =tg a± tg b

1∓ tg a tg b

13.2 Novos angulos a partir de anti-

gos

Calcule as razoes trigonometricas dos angulos de 15◦ e 75◦.

32 Transformacoes

Capıtulo 14

Exercıcios

34 Exercıcios

Referencias Bibliograficas

[1] Geogebra, software gratuito de geometria dinamica:http://www.geogebra.org

[2] Iezzi, Gelson Matematica: Volume Unico, 4ª ed., EditoraAtual (2007)

[3] Dante, Luiz Roberto Matematica: Contexto e Aplicacoes,3ª ed., Editora Atica (2008)