tribonometria Ëxplicacion-Ejercicios muy bien

8/6/2019 tribonometria xplicacion-Ejercicios muy bien

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318 MATEMTICAS 4. B ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.

OBJETIVO 1

NOMBRE: CURSO: FECHA:

RAZONES TRIGONOMTRICAS7

Dado un tringulo rectngulo,definimos las razones trigonomtricasde uno de sus ngulos agudos :

Completa las igualdades y comprueba que las razones trigonomtricas son independientes del tamaodel tringulo elegido.

Aplicando el teorema de Pitgoras a cada uno de los tres

tringulos de menor a mayor tamao, hallamos b, b' y b'':

b=

b' =

b'' =

sen = sen = = sen = =

cos = cos = = cos = =

tg = tg = = tg = =b

c

''

''

=

b

c

'

'

=

4 3

4

b

c= =

3

13

c

a

''

''

=

c

a

'

'

=

c

a

=

1

2

b''

10

5 3

10=

b'

8

4 3

8=

b

2

3

2=

10 5 75 3 25 5 32 2 = = =

8 4 48 3 16 4 32 2 = = =

2 1 32 2 =

1

Halla las razones trigonomtricas de los ngulos A$ y B$.2

seno

sen =

(cateto opuesto dividido

entre hipotenusa)

b

a

tangente

tg =

(cateto opuesto dividido

entre cateto contiguo)

b

c

coseno

cos =

(cateto contiguo dividido

entre hipotenusa)

c

a

b

b

A$ B$

1 3

3 90

8

1

2

6

2

b'

b''

a

c

Determina las razones trigonomtricasdel ngulo en el tringulo de la figura.

EJEMPLO

sen =b

a=

3

5tg =

b

c=

3

4cos =

c

a=

4

5

55

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7

ADAPTACINC

URRICULAR

OBJETIVO 2


RAZONES TRIGONOMTRICAS DE LOS NGULOS DE 30, 45 Y 60

Completa la tabla con las razones trigonomtricas de ngulos notables.2

Deduce las razones trigonomtricas del ngulo de 30 a partir del tringulo equiltero anterior.

Las razones trigonomtricas del ngulo de 30 son:

sen30 = ; cos30 = ; tg30 =l

l

/

/

/

/

2

3 2

1 2

3 2= =

l

l

=

3 2/l

l

/2 1

2=

1

Las razones trigonomtricas de los ngulos de 30 y 60se deducen a partir de un tringulo equiltero de lado l.

Aplicando el teorema de Pitgoras, calculamos su altura:

h2 = l2 (l/2)2 = l2 l2/4 = 3l2/4 h= l


sen60 = cos60 = tg60 =l

l

= =

3 2

2

3 2

1 23

/

/

/

/

l

l

/2 1

2=

l

l

=

3 2 3

2

/

3 2/

Las razones trigonomtricas del ngulo de 45

se deducen a partir de un cuadrado y su diagonal.

Aplicando el teorema de Pitgoras, calculamos

la diagonal:

d2 = l2 + l2 = 2 l2 d= l


sen45 = cos45 = tg45 =l

l= 1

l

l

= =

2

1

2

2

2

l

l

= =

2

1

2

2

2

2

sen 0 1 0 1 0

1 0 1 0 1

0 1 no existe 0 no existe 0

cos

tg

0 30 45 60 90 180 270 360

30

60

l

2

l

45

l d

l

h

1

2

3

2

3

33

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7

Completa la siguiente tablacon los signos que correspondana las razones trigonomtricasindicadas.

1

Escribe, para cada cuadrante, el signo del seno, el coseno y la tangente.2

La circunferencia goniomtrica o crculo unitarioes una circunferencia de radio la unidad.

Sobre dicha circunferencia, el valor del seno coincide

con el segmento ABy el coseno con el segmento OA.

sen = = AB cos = = OA

La tangente coincide con el segmento MN, que es tangente

a la circunferencia, ya que:

tg =

En el primer cuadrante: En el segundo cuadrante:

sen > 0 sen > 0

cos > 0 cos < 0

tg > 0 tg < 0

En el tercer cuadrante: En el cuarto cuadrante:

sen < 0 sen < 0

cos < 0 cos > 0

tg > 0 tg < 0

AB

OA

MN

OM

MNMN= = =

1

OA

1

AB

1

seno coseno tangente

+ + +

O A M

N

B

1

1sen

cos

1sen

cos

sen

cos

sen

cos

OBJETIVO 3


RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS CUALESQUIERA

sen +

+

+

cos

tg

40 70 110 210 300

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7

ADAPTACINC

URRICULAR

Halla las razones trigonomtricas del ngulo de 75, sabiendo que las razones de 15 son:

sen15 = 0,259 cos15 = 0,966 tg15 = 0,268

1

Calcula las razones trigonomtricas del ngulo de 155, sabiendo que las razones de 25 son:

sen25 = 0,423 cos25 = 0,906 tg25 = 0,466

2

ngulos complementarios son aquellos cuya suma vale 90.El cateto opuesto al ngulo de 90 (BC) es igual al cateto contiguoa (OA): sen (90 ) = cos

El cateto contiguo al ngulo de 90 (OC) es igual al cateto opuestoa (AB): cos (90 ) = sen

tg (90 ) =1

tg

sen

cos

cos

sen

( )

( )

90

90

= =

ngulos suplementarios son aquellos cuya suma vale 180.

El cateto opuesto al ngulo de 180 (CD) es igual al cateto opuestoa (AB): sen (180 ) = sen

El cateto contiguo al ngulo de 180 (OC) es el contrario del cateto contiguoa (OA): cos (180 ) = cos

tg (180 ) = tgsen

cos

sen

cos

( )

( )

180

180

=

=

C B

AO

90

C

D

O A

B180 +

OBJETIVO 4


RAZONES DE NGULOS COMPLEMENTARIOS Y SUPLEMENTARIOS

Determina las razones trigonomtricas del ngulo = 60, sabiendo que las razones del ngulo de 30

(60 = 9030) son:

EJEMPLO

sen30 =

sen60 = cos30 =3

2

1

2cos30 =

cos60 = sen30 =1

2

3

2tg30 =

tg60 =1

30

1

1 33

tg /= =

1

3

3

3=

Obtn las razones trigonomtricas del ngulo = 120, sabiendo que las razones del ngulo de 60(120 = 180 60) son:

EJEMPLO

sen60 =

sen120 = sen60 =

cos60 =

cos120 = cos60 =

tg60 =

tg120 = tg60 = 3

3

1

2

1

2

3

2

3

2

F

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OBJETIVO 5


RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS DE DISTINTOS CUADRANTES7

Halla las razones trigonomtricas del ngulo de 45 (encuentra en la tabla del objetivo 2las razones del ngulo de 45).

1

Halla las razones trigonomtricas del ngulo de 100, sabiendo que 100 = 90 + 10.

sen10 = 0,174 cos10 = 0,985 tg10 = 0,176

2

Los ngulos opuestos son los que miden igual, pero tienen distinto signo.El cateto opuesto al ngulo (AB') es el contrario al cateto opuesto

a (AB): sen() = sen

El cateto contiguo al ngulo (OA) es igual al cateto contiguo

a (OA): cos() = cos

tg() = tg=sen

cos

NGULOS QUE DIFIEREN EN 90

El cateto opuesto al ngulo de 90 + (A'B') es el contrario al cateto

contiguo a (OA): sen(90 + ) = cos

El cateto contiguo al ngulo de 90 + (OA') es igual al contrario del cateto

opuesto a (AB): cos(90 + ) = sen

tg(90 + ) = 1

tg

sen

cos

cos

sen

( )

( )

90

90

+

+

=

=

B

O A

B'

90 + B

AOA'

B'

Obtn las razones trigonomtricas del ngulo = 20, sabiendo que las razones del ngulo de 20 son:

EJEMPLO

sen20 = 0,342

sen(20) = sen20 = 0,342

cos20 = 0,940

cos(20) = cos20 = 0,940

tg20 = 0,364

tg(20) = tg20 = 0,364

Halla las razones trigonomtricas del ngulo = 120, conociendo las razones del ngulo de 30.

sen120 = cos30 =

cos120 = sen30 = tg120 = = = 1

1 33

/

1

30tg

1

2

3

2

EJEMPLO

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Halla las razones trigonomtricas del ngulo = 240, conociendo las razones del ngulo de 60.

EJEMPLO


7

ADAPTACINC

URRICULAR

Halla las razones trigonomtricas del ngulo de 250, sabiendo que:

sen70 = 0,940 cos70 = 0,342 tg70 = 2,747

Ten en cuenta que 250 = 180 + 70.

3

Halla las razones trigonomtricas de los siguientes ngulos.4

a) 135

Como 135 pertenece al segundo cuadrante,

resulta que 135 = 180

sen135 = =

cos135 = =

tg135 = = 1

2

2

2

2

b) 210

Como 210 es mayor de 180, pertenece al

tercer cuadrante, pues 210 = 180 +

sen210 = =

cos210 =

tg210 = =3

3

= 3

2

1

2

NGULOS QUE DIFIEREN EN 180

El cateto opuesto al ngulo de 180 + (A'B') es el contrario al cateto

opuesto a (AB): sen (180 + ) = sen

El cateto contiguo al ngulo de 180 + (OA') es igual al contrario del cateto

contiguo a (OA): cos (180 + ) =cos

tg (180 + ) = = tgsen

cos

sen

cos

( )

( )

180

180

+

+=

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS MAYORES DE 90: Reduccin al primer cuadrante

Las razones trigonomtricas de cualquier ngulo superior a 90 se pueden expresar en funcin

de las razones de otro ngulo perteneciente al primer cuadrante.

1.er caso: para ngulos del segundo cuadrante.

= 180

2.o caso: para ngulos del tercer cuadrante.

= 180 +

3.er caso: para ngulos del cuarto cuadrante.

= 360

sen240 = sen60 = cos240 = cos60 = tg240 = tg60 = 31

2

3

2

180 + B

AO

A'

B'

360

180

180 +

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7

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS MAYORES DE 360

Si el ngulo es mayor de 360, hay que hallar su ngulo equivalente, restando el nmero entero de veces

que contiene a 360. Sus razones trigonomtricas son iguales que las del ngulo equivalente resultante.

Halla las razones trigonomtricas de los ngulos.5

a) 840

Divide 840 entre 360 y expresa:

840 = 360 +

sen840 = sen =

cos840 = cos =

tg840 = tg = 3

3

2

c) 1.320

Divide 1.320 entre 360 y expresa:

1.320 = 360 +

sen1.320 = sen =

cos1.320 = cos =

tg1.320 = tg = 3

b) 3.915

Divide 3.915 entre 360 y expresa:

3.915 = 360 +

sen3.915 = sen =

cos3.915 = cos =

tg3.915 = tg =

d) 780

Divide 780 entre 360 y expresa:

780 = 360 +

sen780 = sen =

cos780 = cos =

tg780 = tg =

c) 330

Como 330 pertenece al cuarto cuadrante,

resulta que 330 = 360 30.

sen330 = =

cos330 = =

tg330 = = 3

3

3

2

12

d) 420

A qu cuadrante pertenece el ngulo de 420?

Si hacemos 420 = 360 + 60, vemos que est

situado en el primer cuadrante.

sen420 = sen60 =

cos420 = cos60 =

tg420 = tg60 =

Determina las razones trigonomtricas del ngulo = 1.470.

Dividimos 1.470 entre 360:

1.470 = 360 4 + 30 dividendo = divisor cociente + resto

EJEMPLO

sen1.470 = sen30 = cos1.470 = cos30 = tg1.470 = tg30 =3

3

3

2

1

2

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7


OBJETIVO 6

RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN NGULO

ADAPTACINC

URRICULAR

RELACIN FUNDAMENTAL DE LA TRIGONOMETRA: sen2+

cos

2=

1Esta relacin se obtiene al aplicar el teorema de Pitgoras en un tringulo rectngulo,

junto con la relacin que se deduce de la definicin de tangente:

tg =

Conociendo una de las razones trigonomtricas de un ngulo, podemos calcular las restantes razones.

sen

cos

Sabiendo que sen= 0,78; halla cos y tg.1

Dado cos= 0,32; obtn sen y tg.2

Sabiendo que tg= 5, calcula sen y cos.3

Sabiendo que cos= , calcula el seno y la tangente de dicho ngulo.

tg sencos

//

= = =3 5

4 534

sen cos = = = =1 1 1625

925

35

2

4

5

EJEMPLO

Dado tg= 2, calcula sen y cos.

Llamamos sen = xy cos =y. Las relaciones entre las razones trigonomtricas son:

= 2 x= 2y

x2 +y2 = 1 (2y)2 +y2 = 1 4y2 +y2 = 1 5y2 = 1 y= = 0,447

x= 2y= 2 0,447 = 0,894 = sen

y= cos = 0,447

1

50 2= ,

x

y

EJEMPLO

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7

Calcula, en cada tringulo, los lados y ngulos que se indican.1

Halla el rea del siguiente tringulo.

Trazamos la altura y, fijndonos en uno de los dos tringulos

que se forman, hallamos hy la mitad de la base, .a

2

2

b) y b

c

b

30

8

ac

66,8

7

b

39

8 8

a

a

b c

3060

3 5

4040

40m 40m

c) , by c

d) a, by c

a) , ay c

OBJETIVO 7


APLICACIONES DE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS

Calcula lo que miden los lados a y b, y el ngulo del tringulode la figura.

Como los tres ngulos de un tringulo suman 180, tenemos que:

180 = 90 + 37 + = 180 127 = 53

Para calcular el otro cateto, b, aplicamos la definicin de tg37

y usamos la calculadora para hallar tg37:

tg37 = b= 4 0,75 = 3

Para hallar la hipotenusa apodemos utilizar tres mtodos:

1.o Aplicar el teorema de Pitgoras.

2.o Utilizar la definicin de sen37.

3.o Usar la definicin de cos37.

b

4

EJEMPLO

a

b

37

4

Vamos a usar el segundo mtodo:

sen37 = a= = 53

0 6,

3

a

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7

ADAPTACINC

URRICULAR

Calcula la altura h y las distancias x y 60 xde la figura.Utiliza las tangentes de los ngulos de 40 y 30.

3

Halla los valores de h y x.4

Determina la altura del rbol que, visto desde dos posiciones,distantes 30 m entre s, forma la siguiente figura.

5

40 30

60 x

h

x

x

x

30 45

h

60 45

30 + x

h

30 m

60

5 m

Desde un punto vemos el extremo superior del campanariode la iglesia bajo un ngulo de 50. Si nos alejamos 100 m,

lo vemos bajo un ngulo de 35. Halla la altura del campanarioy la distancia a la que nos encontramos inicialmente.

Este tipo de problemas se resuelven utilizando las tangentes

de los dos ngulos:

tg50 = h= 1,192x

tg35 = h= 0,7(100+ x)

Igualando ambas, resulta:

1,192 x= 0,7(100 + x) = 70 + 0,7x 0,492x= 70 x= 142,3 m

Sustituyendo en la primera de las ecuaciones, tenemos que la altura

del campanario es:

h= 1,192x= 1,192 142,3 = 169,6 m

h

x100+

h

x

EJEMPLO

35 50

h

x100 m

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OBJETIVO 8


MEDIDA DE NGULOS EN RADIANES7

Un radin es el ngulo cuyo arco tiene igual longitud que el radio de una circunferencia.Como la longitud de cualquier circunferencia es 2r, la equivalencia entre grados y radianes es:

360 = 2 radianes

Podemos comprobar grficamente esta equivalencia, ya que 2 = 6,28, que es el nmero de secciones

en las que se cumple que el arco es igual al radio en el que podemos dividir la circunferencia.

Convierte en radianes los ngulos de la tabla.1

Convierte en radianes los ngulos correspondientes a cada casilla.2

360 2 radianes

30 x x =

= =

30 2

360

2

12 6

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

0 2

r

B

A

G

A

r 0,28 r

135

225

315

45 2

B C D E F G A

F

E

D

C

Expresa en radianes los ngulos de 90, 180 y 270.

Convertimos los grados en radianes aplicando una regla de tres:

EJEMPLO

360 2 radianes

90 x

x =

=

90 2

360 2

360 2 radianes

180 x

x =

=

180 2

360

360 2 radianes

270 x x =

=

=

270 2

360

3 2

4

3

2

2

3

2

3

2

2

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