Embed Size (px)
DESCRIPTION
formule
Citation preview
Trigonometrijske funkcije
sin cos
tan
sec
α α
α α
α α
= =
= =
= =
a
c
b
ca
b
b
ac
b
c
a
ctg
cosec
B β
α γ A C
ca
b
(a) Omjer između nasuprotne katete i hipotenuze zovemo SINUS kuta.
(b) Omjer između priležeće katete i hipotenuze zovemo KOSUNOS kuta.
(c) Omjer između nasuprotne i priležeće katete zovemo TANGENS kuta.
(d) Omjer između priležeće i nasuprotne katete zovemo KOTANGENS kuta.
(e) Omjer između hipotenuze i priležeće katete zovemo SEKANS kuta.
(f) Omjer između hipotenuze i nasuprotne katete zovemo KOSEKANS kuta.
I. kvadrant
c tg α
tg α
si n α α
c o s α
II. kvadrant
c tg α
si n α 1 8 0 - α
c o s α
tg α
sin (180° - α) = sin αcos (180° - α) = - cos αtg (180° - α) = - tg αctg (180° - α) = - ctg α
III. kvadrant
c tg α
tg α
1 8 0 + α c o s α
si n α
sin (180° + α) = - sin αcos (180° + α) = - cos αtg (180° + α) = tg αctg (180° + α) = ctg α
IV. kvadrant
c tg α
c o s α
3 6 0 - α s in α
tg α
sin (360° - α) = - sin αcos (360° - α) = cos αtg (360° - α) = - tg αctg (360° - α) = - ctg α
Trigonometrijske funkcije negativnih kutova
ctg (− α)
cos(− α)
− α sin (− α) tg (− α)
sin (-α) = - sin αcos (-α) = cos αtg (-α) = - tg αctg (-α) = - ctg α
Trigonometrijske funkcije komplementarnih kutova
sin α = cos (90° - α)cos α = sin (90° - α)tg α = ctg (90° - α)ctg α = tg (90° - α)
Trigonometrijske funkcije suplementarnih kutova
sin α = sin (180° - α)cos α = - cos (180° - α)tg α = - tg (180° - α)ctg α = - ctg (180° - α)
Trigonometrijske funkcije suprotnih kutova
sin α = - sin (- α) = - sin (360° - α)cos α = cos ( - α) = cos (360° - α)tg α = - tg ( - α) = - tg (360° - α)ctg α = - ctg (- α) = - ctg (360° - α)
Trigonometrijski Pitagorin poučak
sin cos2 2 1α α+ = 1= ctg tg α⋅α
Izračunavanje ostalih funkcija kuta ako je zadana jedna od njih
sin
cos sin
sin
cosα
α α
α αα
αα
= −
=
=
1
1
2
tg
ctg tg
tg
tg
tg
tg
ctg tg
α
αα
α
αα
αα
sin
cos
=+
=+
=
1
1
1
1
2
2
cos
sin cos
sin
cosα
α ε
α αα
αα
= −
=
=
1
1
2
tg
ctg tg
ctg
ctg
ctg
ctg
tg ctg
α
αα
αα
α
αα
sin
cos
=+
=+
=
1
1
1
1
2
2
Formule pretvorbe
sin sin sin cos
sin sin cos sin
cos cos cos cos
cos cos sin sin
α βα β α β
α βα β α β
α βα β α β
α βα β α β
+ =+ −
− =+ −
+ =+ −
− = −+ −
22 2
22 2
22 2
22 2
( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
sin cos sin sin
cos cos cos cos
sin sin cos cos
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
= + + −
= + + −
= − − +
1
21
21
2
Funkcije dvostrukog kuta
sin sin cos
cos cos sin
2 2
2
2
21
2 2
α α α
α α α
ααα
αα
α
=
= −
=
=−
tg 2tg
1- tg
ctg ctg
2ctg
2
2
Funkcije polovine kuta
sincos
coscos
cos
sincos
sin
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
α α
α α
α αα
α αα
= −
= +
= −
= +
tg
ctg
Sinusov poučak
Stranice trokuta odnose se kao sinusi njima suprotnih kuteva
a : b : c = sin α : sinβ : sin γ
Omjer stranice i sinusa njoj suprotnog kuta jednak je promjeru opisane kružnice
a b cR
sin sin sinα β γ= = = 2
Radius upisane kružnice
( ) ( ) ( )ϕ α β γ= − = − = −s a s b s ctg
2tg
2tg
2gdje je
sa b c= + +
2
Cosinusov poučak
a b c bc
b a c ac
c a b ab
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
2
= + −
= + −
= + −
cos
cos
cos
α
β
γ
Adicioni teoremi
( )( )
( )
( )
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
α β α β α β
α β α β α β
α βα β
α β
α βα ββ α
± = ±
± =
± =±
⋅
± =⋅±
tg tg tg
1 tg tg
ctg ctg ctg
ctg ctg
1
Univezalna supstitucija
tt
t
t
t
t
t
= =−
=+
=−+
tg , tg
αα
α α
2
2
1
2
1
1
1
2
2
2
2sin , cos
Trigonometrijske formule za površinu trokuta
P bc
P ac
P ab
=
=
=
1
21
21
2
sin
sin
sin
α
β
γ
Pa
Pb
Pc
=
=
=
2
2
2
2
2
2
sin sin
sin
sin sin
sin
sin sin
sin
β γα
α γβ
α βγ
P R
Pabc
RP s
=
=
= ⋅
2
4
2 sin sin sinα β γ
ϕ
α sin α cos α tg α ctg α
0 0° 0 1 0 -
π/6 30°2
1
2
3
3
33
π/4 45°2
2
2
2 1 1
π/3 60°2
32
13
3
3
π/2 90° 1 0 - 0
2π/3 120°2
3 - 2
1- 3 -
3
3
3π/4 135°2
2 -2
2 -1 -1
5π/6 150°2
1-
2
3 -3
3 - 3
π 180° 0 -1 0 -
3π/2 270° -1 0 - 0
2π 360° 0 1 0 -
