Upload
doankhue
View
263
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
www.pintarmatematika.web.id - 1
TRIGONOMETRI
Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen
Sin α = r
y
r y
Cosα = r
x
α
x Tanα = x
y
Hubungan Fungsi Trigonometri : 1. 2sin α + 2cos α = 1
2. tan α = αα
cos
sin
3. sec α = αcos
1
4. cosec α = αsin
1
5 . cotan α = αα
sin
cos
6. 2tan α + 1 = 2sec α 7. 2cotan α + 1 = 2cosec α
Rumus-rumus Penjumlahan dan Pengurangan : 1. sin (A + B) = sin A cos B + cos A Sin B
2. sin (A - B) = sin A cos B - cos A Sin B
3. cos (A + B) = cos A cos B – sin A Sin B 4. cos (A - B) = cos A cos B + sin A Sin B
5. tan (A + B) = BA
BA
tan.tan1
tantan
−+
6. tan (A - B) = BA
BA
tan.tan1
tantan
+−
Rumus-rumus Sudut Rangkap :
1. sin 2A = 2 sin A cosA 2. cos 2A = 2cos A - 2sin A
3. tan 2A = 2)(tan1
tan2
A
A
−
Rumus Jumlah Fungsi : Perkalian ���� jumlah/selisih 1. 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) 2 2 cos A sin B = sin (A+B) – sin (A-B) 3 2 cos A cos B= cos (A+B) + cos (A-B) 4. -2sin A sin B = cos (A+B) – cos(A-B) Jumlah/selisih ���� perkalian
1. Sin A + sin B = 2 sin 2
1 (A + B) cos
2
1(A –B)
2. Sin A - sin B = 2 cos 2
1 (A + B) sin
2
1(A –B)
3. cos A + cos B = 2 cos2
1 (A + B) cos
2
1(A –B)
4. cos A - cos B = - 2 sin2
1 (A + B) sin
2
1(A –B)
www.pintarmatematika.web.id - 2
Sudut-sudut istimewa :
Tanda-tanda fungsi pada setiap kuadrant :
II I Sin + Semua + III IV Tan + Cos +
Hubungan nilai perbandingan sudut di semua kuadrant: Kuadrant I Sin (900 - θ ) = cos θ Cos (900 - θ ) = sin θ tan (900 - θ ) = cotan θ Kuadratn II : Sin (1800 - θ ) = sin θ Cos (1800 - θ ) = -cos θ tan (1800 - θ ) = -tan θ
Kuadrant III : Sin (1800+ θ ) = -sin θ Cos (1800+ θ ) = -cos θ tan (1800 + θ ) = tan θ
Kuadrant IV : Sin (3600 - θ ) = -sin θ Cos (3600 - θ ) = cos θ tan (3600 - θ ) = -tan θ
Aturan sinus dan cosinus C b γ a α β A c B aturan sinus
αsin
a =
βsin
b =
γsin
c
Aturan cosinus 1. 2a = 2b + 2c - 2bc cos α 2. 2b = 2a + 2c - 2ac cos β 3. 2c = 2a + 2b - 2ab cos γ Luas Segitiga
Luas segitiga = 2
1 ab sin γ
= 2
1 ac sin β
= 2
1 bc sin α
α 00 030 045 060 090
Sin 0 2
1 21 2 2
1 3 1
Cos 1 2
1 3 21 2 2
1 0
Tan 0 3
1 3 1 3 ~
Kuadrant I α
Kuadrant II 0180 - α
Kuadrant III 0180 + α
Kuadrant IV 0360 - α
Sin + + - - Cos + - - + Tan + - + -
www.pintarmatematika.web.id - 3
Hubungan Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub :
P(x,y) � koordinat cartesius P(r,0α )� koordinat kutub y
0α x
P (x,y) → P (r, 0α )
r = 22 yx +
0α didapat dari tan 0α = x
y
P (r, 0α ) → P (x,y) x = r cos 0α ; y = r sin 0α jadi , p (x,y) = p(r cos 0α , r sin 0α )
Nilai Maksimum dan Minimum
1. Jika y = k cos (x + nπ ) dengan k > 0 maka a. maksimum jika y = k dimana cos (x + nπ ) = 1 sehingga (x + nπ )= 0 b. minimum jika y = -k dimana cos (x + nπ ) = -1 sehingga (x + nπ )= π 2. Jika y = k sin (x + nπ ) dengan k > 0 maka
a. maksimum jika y = k dimana sin (x + nπ ) = 1
sehingga (x + nπ )= 2
π
b. minimum jika y = -k dimana sin (x + nπ ) = -1
sehingga (x + nπ )= 2
3π
Persamaan dan pertidaksamaan Trigonometri 1. Persamaan Rumus umum penyelesaian persamaan trigonometri adalah : a. sin x = sin α , maka 1x = α + k. 0360
2x = ( 0180 - α ) + k. 0360 b. cos x = cos α , maka 2,1x = ± α + k. 0360
c. tan x = tan α , maka x = α + k. 0180
Persamaan umum trigonometri adalah : a cos x + b sin x = c : dimana c = k cos (x - α )
dengan k = 22 ba + : persamaan lengkapnya: a cos x + b sin x = k cos (x - α ) = c
α didapat dari tan α = a
b
Syarat agar persamaan a cos x + b sin x = c mempunyai jawaban adalah : c2 ≤ a2 + b2
2. Pertidaksamaan Pertidaksamaan-pertidaksamaan trigonometri seperti sin ax ≤ c, cos ax ≥ c dan sebagainya dapat diselesaiakan dengan menggunakan langkah-langkah umum pertidaksamaan seperti : - Diagram garis bilangan - Grafik fungsi trigonometri
www.pintarmatematika.web.id - 4
Fungsi Trigonometri: 1. Fungsi Sinus : f(x) = sin x
. Ciri-ciri grafik fungsi sinus (sinusoida) y = sin x a. Mempunyai nilai maksimum 1 dan nilai minimu -1 b. Mempunyai amplitudo � ½ ( nilai maksimum – nilai minimum) = ½ (1 – (-1)) = ½ .(2) = 1 c. Memiliki Periode sebesar 2π
d. Periodisitas fungsi : sin (x + k.2π ) = sin x, k ∈ bilangan bulat 2. Fungsi Cosinus : f(x) = cos x
Ciri-ciri grafik fungsi cosinus : y = cos x a. Mempunyai nilai maksimum 1 dan nilai minimu -1 b. Mempunyai amplitudo � ½ ( nilai maksimum – nilai minimum) = ½ (1 – (-1)) = ½ .(2) = 1 c. Memiliki Periode sebesar 2π d. Periodisitas fungsi : cos (x + k.2π ) = cos x, k ∈ bilangan bulat
www.pintarmatematika.web.id - 5
2. Fungsi Tangen : f(x) = tan x
Ciri-ciri grafik fungsi y = tan x adalah : a. Nilai maksimum = +~ (positif tidak terhinggaa) dan nilai minimum = - ~ (minus tak terhingga) b. Mempunyai perioda sebesar π c. Periodaisitas fungsi tan (x +k. π ) = tan x, k ∈ bilangan bulat
www.pintarmatematika.web.id - 6
Contoh Soal : Soal-soal UN2010 – UN2012 UN2010
1. Himpunan penyelesaian persamaan 2cos2
x – 3 cos x +
1 = 0 untuk 0 < x < 2π adalah ….
A.
6
5,
6
ππ C.
3
2,
3
ππ E.
3
4,
3
2 ππ
B.
6
11,
6
ππ D.
3
5,
3
ππ
Jawab:
2cos2 x – 3 cos x + 1 = 0 ; misal cos x = y
2y2
- 3y + 1 = 0
(2y -1) (y -1) = 0
2y-1 = 0
y = 2
1� cos x =
2
1
x = 600 (
3
π) dan 300
0 (
3
5π)
y-1 = 0
y = 1 � cos x = 1
x = 00 dan 360
0 (2π ) � tidak memenuhi 0 < x < 2π
Himpunan penyelesaiannya adalah
3
5,
3
ππ
Jawabannya adalah D
UN2010
2. Hasil dari =−++++−
00
00
)30cos()30cos(
)60sin()60sin(
αααα
.…
A. - 3 C. 3
13 E. 3
B. -3
13 D. 1
Jawab:
2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B)
2 cos A cos B= cos (A+B) + cos (A-B)
=−++++−
00
00
)30cos()30cos(
)60sin()60sin(
αααα
00
00
)30cos()30cos(
)60sin()60sin(
αααα
−++−++
= 00
00
cos30cos2
cos60sin2
αα
= 0
0
30cos
60sin
=
32
1
32
1
= 1
Jawabannya adalah D
UN2010
3. Diketahui (A+B) = 3
π dan sin A sin B =
4
1. Nilai dari
cos (A – B) = ….
A. –1 C. 2
1 E. 1
B. -2
1 D.
4
3
Jawab:
-2sin A sin B = cos (A+B) – cos(A-B) � sin A sin B
= - 2
1{ cos (A+B) – cos(A-B)}
- 2
1{ cos (A+B) – cos(A-B)} =
4
1
- 2
1{ cos (
3
π) – cos(A-B)} =
4
1
www.pintarmatematika.web.id - 7
- 2
1{
2
1 – cos(A-B)} =
4
1
2
1 – cos(A-B) = -
4
2 = -
2
1
2
1+
2
1 = cos(A-B)
cos(A-B) = 1
Jawabannya adalah E
UN2011
4. Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + cos x = 0,
00 ≤ � ≤ 180
0 adalah....
A. {450, 120
0} C. {60
0, 135
0} E. {60
0, 180
0}
B. {450, 135
0} D. {60
0, 120
0}
Jawab:
cos 2x + cos x = 0
cos 2x = 2cos x -
2sin x = 2cos x – (1 -
2cos x)
= 22cos x - 1
sehingga
cos 2x + cos x = 2 2cos x - 1 + cos x = 0
(2 cos x - 1 )(cos x + 1) = 0
2 cos x – 1 = 0 cos x + 1 = 0
2 cos x = 1 cos x = -1
cos x = 2
1 x = 1800 (di kuadran ke-2)
x = 600
Himpunan penyelesaiannya adalah 600 atau 180
0
Jawabannya adalah E
UN2011
5. Nilai ��� ������ ���
�� ����� ��� = .....
A. - √3 B. −1
2√3 C. −
1
3√3
D. ��√3 E. √3
Jawab:
cos A - cos B = - 2 sin2
1 (A + B) sin
2
1(A –B)
Sin A - sin B = 2 cos 2
1 (A + B) sin
2
1(A –B)
��� ������ ���
�� ����� ��� =
��� ��������������
�����������
� �����������������
�����������
= ���
�������
� ����������
= - �� ����
��� ����
= - ��√�
��
= √3
Jawabannya adalah E UN2011
6. Diketahui (A+B) = �
� dan Sin A Sin B =
�
�, Nilai dari cos (A- B) = …
A. -1 B. - �
� C.
�
� D.
�
� E. 1
Jawab:
(A+B) = �
� maka cos (A+B) = cos
�
� = Cos 60
0 =
�
�
cos (A+B) = CosA Cos B – Sin A Sin B �
� = CosA Cos B –
�
� � CosA Cos B =
�
� + �
� = �
�
cos (A- B) = cos A cos B + sin A Sin B = �
� + �
� = 1
Jawabannya adalah E
www.pintarmatematika.web.id - 8
UN2012
7. Himpunan penyelesaian persamaan cos2x -2cos x = -1;
0 < x < 2π adalah ....
A. { 0, �
� π,
�
� π, 2π } C. { 0,
�
� π, π,
�
� π } E.
{ 0, �
� π, π }
B. { 0, �
� π,
�
� π, 2π } D. { 0,
�
� π,
�
� π }
Jawab:
cos2x = cos2x – sin
2x
= cos2x – (1 – cos
2x)
= 2 cos2x - 1
cos2x -2cos x = -1
2 cos2x – 1 – 2 cos x + 1 = 0
2 cos2x – 2cos x = 0
cos2x – cos x = 0
cosx . (cosx – 1) = 0
cos x = 0 ; cos x = 1
cos x = cos �
� cos x = cos 0
0
cos x = cos α , maka 2,1x = ± α + k. 0360
cos x = cos �
�
1x = �
� + 0. 2π ; 2x =-
�
� + 1. 2π
= �
� =
��
�
cos x = cos 00
1x = 0 + 0. 2π ; 2x = 0 + 1. 2π
= 0 = 2π
karena intervalnya 0 < x < 2π,
maka nilai yang memenuhi adalah �
� dan
��
�
Tidak ada jawaban
UN2012
8. Nilai dari sin 75° - sin165° adalah ....
A. �
� √2 D.
�
� √2
B. �
� √3 E.
�
� √6
C. �
� √6
Jawab:
Sin A - sin B = 2 cos 2
1 (A + B) sin
2
1(A –B)
sin 75° - sin165 = 2 cos 2
1 (75
0 + 165
0) sin
2
1(75
0 –165
0)
= 2 cos 2
1. 240
0 sin
2
1(-90
0)
= 2 cos 1200 sin (-45
0)
sin –� = - sin �
cos –� = cos �
tan –� = tan �
Cos (1800 - θ ) = - cos θ
= 2 cos (1800 – 60
0) . – sin 45
0
= - 2 cos 600. – sin 45
0
= 2. ½ . ½ √2
= ½ √2
Jawabannya D
UN2012
9. Diketahui α – β = �
� dan sin α . sin β =
�
� dengan α dan β
merupakan sudut lancip. Nilai cos (α + β) = ...
A. 1 B. �
� C.
�
� D.
�
� E. 0
Jawab:
cos (A + B) = cos A cos B – sin A Sin B
cos (A - B) = cos A cos B + sin A Sin B
� cos A cos B = cos (A - B) - sin A Sin B
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
= cos (α - β) - sin α sin β - sin α sin β
= cos �
� – ¼ - ¼
= ½ - ½ = 0
Jawabannya E