TRIGONOMETRÍA - 5TO

IEI MARA AUXILIADORAMATEMTICA Lic. Jenny Tcunan Palacios --- 5to Sec LA MERCED

SISTEMA RADIAL CIRCULAR (R)La unidad de medida en este sistema es el radin (1 rad.), el cual se define como el ngulo central que subtiende en toda circunferencia un arco de igual longitud que la de su radio.

( < 1vta = 2( rad

OBSERVACIONES

1 rad < > 57 17 44

1 rad < 1 > gAproximaciones de ((

( = 3,1416

( =

( =

RELACIN ENTRE SISTEMAS EQUIVALENCIAS FUNDAMENTALES

m 1vta < > 360 < > 400g < > 2( rad

(2( rad < > 360 ( ( rad < > 180

(2( rad < > 400g ( ( rad < > 200g

(360 < > 400g ( 9 < > 10gFACTORES DE CONVERSIN

Son fracciones equivalentes a la unidad y se obtienen dividiendo dos cantidades equivalentes, colocando en el numerador una medida en la unidad deseada y en el denominador se coloca su equivalente en la unidad a eliminar.

Ejemplo:

Convertir 36 a radianes, como: ( rad < > 180

Entonces:

Luego:

36 < >

FRMULA DE CONVERSIN

Se utiliza slo cuando las medidas del ngulo estn expresadas en las unidades principales de medida, es decir grados y radianes.

m S > R

si: m ( es negativa ( C < S < R

PARA TODO NGULO EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL

m ( = S

( # de grados = S

(

m ( = 60 S( # de minutos = 60S

m ( = 3600 S( # de segundos = 3600 S

PARA TODO NGULO EN EL SISTEMA CENTESIMAL m ( = Cg

S( # de grados = C

(

m ( = 100 Cm ( # de minutos = 100C

m ( = 10 000 CR ( # de segundos = 10000C

COMPLEMENTO Y SUPLEMENTO DE UN NGULO m ( = S

Valores

S

(

m ( = Cg

( numricos

C

m ( = R rad de (

R

m = (90 S) Valores

90 - S

Comp.m = (100 C)g( numricos

100-C

de ( m = rad

m = (180 S)

180-S

(

m = (200 C)g( Valores

200-C

m = (( - R) rad numricos (-R

1. Dada la siguiente equivalencia:

11g < > a b

calcular b a

a) 45b) 46c) 47

d) 48e) 49

2. Halle el valor de a para que se verifique la igualdad:

a) 11/8b) 55/4c) 10/9

d) 9/4e) 1/5

3. Siendo S y C los nmeros de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ngulo que cumple con:

S = 3x2 2x 2

C = 2x2 + 4x

Calcular dicho ngulo en radianes, si x es un nmero entero y positivo.

a) 17(/20b) 13(/20c) 11(/20

d) 9(/20e) 7(/20

4. Si se tiene que: (a b)2 = 4ab, calcule el valor de:

a) 120b) 122c) 124

d) 126e) 128

5. Calcular:

a) 0,1b) 0,2c) 0,3

d) 0,4e) 0,5

6. Si:

Calcular (a+b) en radianes

a) (/10b) (/12c) (/15

d) (/18e) (/20

7. Determine el valor de n en la igualdad:

a) 2b) 4c) 6

d) 8e) 10

8. Siendo S y C los nmeros convencionales, para los cuales se tiene que:

calcule el valor de:

a) 1b) 3c) 5

d) 7e) 9

1. Calcular el valor de

a) 19/13b) 21/13c) 29/13

d) 22/13e) 25/13

2. Si se verifica : rad < > x y z

calcular el Suplemento de (x + y + z)

a) 80b) 81c) 82

d) 62e) 85

3. Si se cumple que: (a + b)2 = 4ab

calcular el valor de: M =

a) 11b) 21c) 31

d) 41e) 51

4. Calcular la medida radial de ngulo de modo que sus medidas sexagesimal (S) y centesimal (C), verifiquen:

S = x2 + x + 4

C = x2 + x + 6

5. Los ngulos de un tringulo son:

x4 = a b c ; (x + 1)g; (x 1)g .

Hallar

a) 1b) 3c) 5

d) 7e) 9

6. La suma de los nmeros que representan el suplemento de un ngulo en grados centesimales y el complemento del ngulo en grados sexagesimales es igual a 5. Halle la medida radial del ngulo.

a) 3(/5radb) 3(/5radc) 3(/rad

d) 3(/10rade) 3(/8rad

7. Se ha ideado un nuevo sistema para medir ngulos en el cual el nmero de unidades de un ngulo en este sistema es igual a la quinta parte de la suma del nmero en grados centesimales y el doble del nmero en grados sexagesimales de dicho ngulo. A cuntos radianes equivales 80 unidades de este nuevo sistema?

a) 3(/7radb) 2(/7radc) 4(/7rad

d) (/7rade) 5(/7rad

8. Se tiene 2 ngulos, tales que el nmero de grados centesimales de uno de ellos es igual al nmero de grasos sexagesimales del otro, y la diferencia del nmero de grados centesimales de este ltimo y el nmero de grados sexagesimales del primero es 19. Determinar la suma de los nmeros de radianes de estos ngulos.

a) 19(/20b) 17(/20c) 13(/20

d) 11(/20e) 9(/20

CIRCUNFERENCIA Y CRCULO

Longitud de la circunferencia: L( = 2(r

rea del crculo:

A( = (r2SECTOR CIRCULAR

para que el sector este definido se tendr que:

0 < m central < m 1 vuelta

0rad (rad

2(rad

LONGITUD DEL ARCO (L) REA DEL SECTOR (A)

Longitud de arco: L = (r

rea del sector:

A =

PROPIEDAD

(Radio constante)

TRAPECIO CIRCULAR

Bases del trapecio: LAB y LCD Separacin de bases: AD = BC = R r

Para que el trapecio exista, se debe cumplir:

0 < m central < m 1 vuelta

0rad (rad

2(rad

0 < ( < 2(

REA DEL TRAPECIO CIRCULAR (A )NGULO CENTRAL

rea del trapecio circular

A =

Valor numrico del ngulo central ( =

(0 < ( < 2 ()

1. De la figura calcular el permetro del sector circular AOB.

a) 16b) 18c) 20

d) 22e) 24

2. Del esquema mostrado calcule el valor de L

a) 33(mb) 7(mc) 9(m

d) 5(me) 10(m

3. Determine el valor de L en el esquema mostrado:

a) 5b) 7c) 9

d) 10e) 12

4. Determine la longitud de arco de un sector cuyo ngulo central mide (x/3) rad y su radio mide (6x) m; sabiendo adems que el permetro de este sector es de 110m.

a) 110 mb) 30 mc) 40 m

d) 50 me) 60 m

5. Si a un sector circular se le duplica el ngulo central y a su radio se le disminuye en 3m, se obtendr un nuevo sector de longitud de arco igual a la mitad de la longitud del arco inicial. Determine el radio del nuevo sector.

a) 5 mb) 4 mc) 3 m

d) 2 me) 1 m

6. Si a un sector circular se le triplica el radio y a su ngulo central se le disminuye en 36; se obtendr un nuevo sector de longitud de arco igual al doble de la longitud del arco inicial. Determine la medida del nuevo ngulo central.

a) ((/10)radb) ((/5)radc) (2(/5)rad

d) (3(/5)rade) (3(/10)rad

7. Si el rea del sector circular POQ es 20m2, hallar (

a) 8/5b) 4/3c) 5/3

d) 3/5e) 2/3

8. Del esquema mostrado determine el valor de (, si se tiene que la suma de las reas de los sectores sombreados es (/2 m2

a) ((/3) radb) ((/4)radc) ((/6)rad

d) ((/8)rade) ((/12)rad

1. En la figura mostrada determine el valor de L sabiendo que el trapecio circular ABCD tiene 72 m2 de rea.

a) 1m

b) 2m

c) 3 m

d) 4m

e) 5 m

2. En el esquema mostrado determine el rea de la regin sombreada.

a) 22(2

b) 34 (2

c) 54(2

d) 44(2

e) 64(23. Si a un sector circular le cuadruplicamos su ngulo central y aumentamos 5m a su radio, se obtendr que el sector resultante tiene un rea que es 49 veces el rea del sector inicial. Determine el radio del sector resultante.

a) 1 mb) 3 mc) 5 m

d) 7 me) 9 m

4. Si: S1 + S2 = 7( u2, calcular x

a) (/3

b) (/4

c) (/5

d) (/6

e) (/8

5. Determine el rea del sector sombreado, si el trapecio circular ABCD tiene un rea de 48(m2a) 2(m2

b) 4(m2

c) 6(m2

d) 8(m2

e) 10(m2

6. De la figura calcular el rea del trapecio circular ABCD, si BD = h y DOC = ( radianes.

a)

b)

c)

d)

e)

7. En la figura mostrada, siendo L1, L2 y L3, nmeros enteros y consecutivos, determine el valor de:

a) 2b) 4c) 6

d) 8e) 10

8. De la figura calcular: ,OE=EC=CA

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 2.5

(*) Cuando una rueda (aro, disco, .........) va rodando sobre una superficie plana.

n : Nmero de vueltas al ir desde A hasta B.

(g : Nmero de radiantes del ngulo de giro (A hasta B).

L : Longitud que recorre la rueda.

(*) Cuando una rueda (aro, disco) va rodando sobre una superficie curva.

(*) Ruedas unidas por una faja tangencial o en contacto.

Se cumple:

(1r1 = (2r2

n1r1 = n2r2

L1 = L2(*) Ruedas unidades por su centros.

Se cumple:

(1 = (2

n1 = n2

1. Calcular el nmero de vueltas que da la rueda de radio R, al trasladarse desde P hasta chocar con la pared.

a) D/2(Rb) D/(Rc) D-R/2(R

d) D-R/(Re) D-2R/2(R

2. Cuntas vueltas da la rueda, si el bloque desciende hasta llegar al piso?, siendo h= 120(cm

a) 5

b) 10

c) 12

d) 18

e) 24

3. De la figura mostrada determinar cuntas vueltas da la rueda de radio r sobre la pista circular de centro O, al recorrer el tramo AB (R = 9r).

a) 1

b) 1,5

c) 2

d) 2,5

e) 3

4. Una rueda de radio r gira sin resbalar por un camino circular de radio R, como se muestra en la figura. Calcular cuntas dar hasta que llegue a su posicin inicial. (R=5r)

a) 5b) 6c) 7

d) 8e) 9

5. Calcular el nmero de vueltas que da la rueda de radio r al recorrer el circuito desde A hasta B.

a) 2r/Rb) r/2Rc) R/2r

d) 2R/re) R/r

6. Cuntas vueltas da la rueda en ir desde A hasta C?, sabiendo que AB= 13(m.

a) 1,5b) 2,5c) 3,5

d) 4,5e) 5,5

7. Se tiene dos ruedas en contacto, cuyos radios se encuentran en la relacin de 5 a 2. Determine cuntas vueltas dar la rueda menor, cuando la mayor de 4/5 d vuelta.

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

8. En el sistema adjunto cuando el engranaje de menor radio gira 1.25 vueltas, cul ser la distancia entre los puntos A y B, si inicialmente estn diametralmente opuestos.

a) 4b) 6c) 2

d) 2

e) 2

1. En la figura, se muestran dos ruedas fijas A y B; cuando A gira (2n 4), B gira (3n + 4) vueltas.

Calcular n.

a) 5b) 7c) 10

d) 12e) 17

2. Se tiene dos ruedas en contacto cuyos radios estn en la relacin de 2 a 5. Determinar el ngulo que girar la rueda menor, cuando la rueda mayor de 4 vueltas.

a) 4(b) 5(c) 10(d) 20(e) 40(3. Del sistema determinar cuntas vueltas gira la rueda C, cuando la rueda A da 12 vueltas.

a) 15b) 25c) 30

d) 42e) 45

4. Los radios de la rueda de una bicicleta son (x +1) m y (x-1). Si la rueda mayor da (x-2) vueltas y la menor (x-1) vueltas, cuntas vueltas en total darn las dos ruedas?

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

5. Una bicicleta recorre 40( cm. Si los radios de sus ruedas miden 2cm y 5cm respectivamente. Calcular la suma del nmero de vueltas que dan dichas ruedas.

a) 14b) 15c) 16

d) 18e) 20

6. Calcular la longitud de arco recorrido por A, si la longitud de arco recorrido por C es 12(. (RA = 1; RB = 4; RC = 3)

a) 12(b) 13(c) 14(d) 15(e) 16(7. Del esquema mostrado si el bloque A desciende hasta el suelo y el bloque B sube el triple de lo que recorre A, calcule:

a) 5

b) 4

c) 3

d) 2

e) 1

8. En el sistema de poleas calcular el ngulo que gira la rueda D, si la rueda A le damos una vuelta completa.

(RB = 8RA; y RD = 5RC)

a) 9b) 10c) 18

d) 20e) 90

TRINGULOS RECTNGULO

Se denomina as a todo tringulo en el cual uno de sus ngulos es recto; los lados que determinan el ngulo recto son los catetos del tringulo, el lado mayor es la hipotenusa y se opone al ngulo recto.

Catetos: ( CA = b ( CB = a

Hipotenusa : ( AB = c

ngulos agudos : CAB y CBA

( mCB = ( ( mCA = (

TEOREMA DE PITGORAS

AB2 = CA2 + CB2

( c2 = a2 + b2NGULOS AGUDOS COMPLEMENTARIOS

mCB = + mCA = 90 ( ( + ( = 90

CLCULO DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS

El valor de las razones trigonomtricas de ngulos agudos, se determinan en un tringulo rectngulo, estableciendo la divisin entre las longitudes de sus lados tomados de dos en dos y con respecto a uno de sus ngulos agudos.

ObservacinPara todo ngulo agudo ( se cumplir:

0 < Sen( < 1Tg( > 0

Sec( > 1

0 < Cos( < 1Ctg( > 0Csc( > 1

RAZONES TRIGONOMETRICAS RECPROCAS

Se denomina as a las siguientes razones trigonomtricas:

Seno Cosecante

Coseno Secante

Tangente Cotangente

PROPIEDADES DE LAS RECPROCAS

El producto de dos razones recprocas referidas al mismo ngulo, es igual a la unidad.

Sen(. Csc( = 1 (Csc( =

Cos(. Sec( = 1( Sec( =

Tg(. Ctg( = 1( Ctg( =

Nota

Sen( . Csc( = 1

Si: Cos(. Sec( = 1

(( = (

Tg( . Ctg( = 1

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE NGULOS COMPLEMENTARIOSLlamadas tambin Co-Razones Trigonomtricas, son las siguientes:

Seno Coseno

Tangente Cotangente

Secante Cosecante

PROPIEDAD DE LAS CO-RAZONES

Las razones trigonomtricas de todo ngulo agudo, son respectivamente iguales a las co-razones trigonomtricas de su complemento.

Sen( = Cos(90-()

RT(() = Co-RT(90-()

Tg( = Ctg(90-()

Sec( = Csc(90-()

Nota

Si:

RT(() = Co-RT(() (( + ( = 90

Complemento

TRINGULOS RECTNGULOS NOTABLES

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE NGULOS NOTABLES

3060

Sen1/2/2

Cos/21/2

Tg/3

Ctg

/3

Sec2/32

Csc22/3

45

Sen/2

Cos/2

Tg1

Ctg1

Sec

Csc

3753

Sen3/54/5

Cos4/53/5

Tg3/44/3

Ctg4/33/4

Sec5/45/3

Csc5/35/4

1. Sean a, b y c los lados de un tringulo rectngulo ABC (B = 90), simplificar:

E = a2Ctg2A + c2Ctg2C

a) 2a2b) 2b2c) 2c2d) b2 a2e) a2 + b22. Del grfico obtener Cos(

a) 2/3b) 3/4 c) 1/4

d) 3/8e) 1/2

3. Sabiendo que ( es un ngulo agudo y que Ctg( = 20/21. Calcular:

E = 4Cos( + Sen(a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

4. Si: Tg( = y Cos( = (( + ( agudos), Calcular:

N = 2Cos( + 7 Sen(a) 14b) 18c) 20

d) 24e) 26

5. En un tringulo ABC(AB = BC) se sabe que SenB = 0.6. Calcular TgA.

a) 1/3b) 1/2 c) 2

d) 3e) 4

6. Calcular el rea de un trapecio rectngulo, sabiendo que su altura mide 6 m, su permetro es 34 m y el coseno de su ngulo agudo es 0.8

a) 24 m2b) 36 m2c) 40 m2d) 54 m2e) 6027. De la figura calcular Tg2(

a) /3b) 2/3c) /2

d) 3/2e)

8. Calcular el permetro de un tringulo ABC, sabiendo que:

35TgB = 5TgA = 12 y AB = 80 m

a) 180 m b) 160 m c) 140 m

d) 200 me) 240 m

1. En la figura ABCD es un cuadrado. Calcular Tg(, sabiendo que Sec( = 2.6

a) 4/3b) 6c) 8

d) 3/4 e) 5/13

2. De la figura calcular:

M = 10Csc( + 13 Cos(

a) 29b) 31c) 26

d) 36e) 38

3. Si ( + ( son ngulos agudos y complementarios, calcular:

P = Sen ( + Sen2( + Tg(Tg(a) 0b) 1c) 2

d) 1.5e) 2.5

4. ABCD es un cuadrado y 2DE = 3AD. Calcular Tg(

a) 1/4 b) 1/2 c) 2/3

d) 3/4e) 3/2

5. Simplificar:

a) 0b) 1c) 1

d) 1/2e) 1/2

6. Si AB = BC, Calcular : P = Ctg( - Csc(

a) -

b) -

c) /2

d)

e) 2

7. Si se cumple Sen(2a + b) = Cos(a + 2b), Calcular:

a) 1b) 2c) 1.5

d) 2.5e) 3

8. Calcular: x + y, sabiendo que:

Cos (3x + 10) Csc(y 40!) = 1

Ctg(2y - 65) = Tg(55-x)

a) 60b) 66

c) 74

d) 80e) 86

RELACIN DE ELEMENTOS EN EL TRINGULO RECTNGULO

Si en un tringulo rectngulo, se conoce un lado y uno de los ngulos agudos, se podr calcular los lados restantes del modo siguiente:

Se divide el lado que se quiere calcular (incgnita) entre el lado que se conoce (dato), determinando as una razn trigonomtrica del ngulo dado, despejando de esta igualdad el lado que se quiere calcular.

1er Caso: (Conocido un ngulo agudo y la hipotenusa)

2do Caso: (Conocido un ngulo agudo y su cateto adyacente)

3er CASO: (Conocido un ngulo agudo y su cateto opuesto)

REA DE REGIONES TRIANGULARES

PARA TRINGULOS RECTNGULOS

PARA TODO TRINGULO Nota

TRINGULOS RECTNGULOS ADICIONALES (Aproximados)

NGULO VERTICALSe llama as a aquellos ngulos que estn contenidos en planos verticales. Los ngulos verticales determinados en el instante en el cual se realiza una observacin ser materia de nuestro estudio, estos ngulos se determinan en el punto desde el cual se realiza la observacin y sus lados son dos lneas imaginarias trazadas desde dicho punto, las cuales permitirn la observacin.

Segn su ubicacin estos ngulos sern ngulos de elevacin, ngulos de depresin o ngulos de observacin.

CONSIDERACIONES PARA RESOLVER PROBLEMAS

La estatura de las personas se deber considerar hasta sus ojos.

Toda persona u objeto que posea una altura, ser considerada perpendicular al nivel del suelo, a no ser que se indique otra situacin. De no indicarse desde qu altura se realiza la observacin y no siendo esta altura la incgnita del problema, se deber considerar que se est observando desde un punto del suelo.

1. Del grfico mostrado calcule Tg(

a) -1b) -1b)

d) +1e) +1

2. Del grfico calcular el valor de:

S = Ctg( - 2 Ctg(

a) 1b) 2c) 1/2

d)

e) 0

3. Hallar CD en trmino de m y (

a) mSen(b) mCos(c) mTg(d) mCtg(e) mSec(Csc(4. De la figura calcular:

a) 1

b) 2

c) 1/2

d) 2/5

e) 3/2

5. Si ABCD es un trapecio issceles, hallar R en trminos de b y (

a) b/(1+Sen()b) bCos(/(1+Sen()

c) bSen(/(1+Sec()d) bSen(/(1+Cos()

e) bCos(/(1+Cos()

6. De la figura calcular Sen(

a) 1.2

b) 1.4

c) 1.6

d) 1.8

e) 2

7. En la figura: AB = BD. Calcular

M = Tg( + Tg( en trminos de (

a) Sen(b) Cos(c) Tg(d) Sec(e) Csc(8. Expresar Tgx en funcin de (

a) 2Tg(+Ctg(b) 2Ctg(-Tg(c) Tg(+Ctg(d) 2Tg(-Ctg(e) Tg(-Ctg(

1. Del grfico calcular:

P = Ctg( - Tg(

a)

b) 2c) 2

d) 4e) 5

2. De la figura Calcular Cos(

a) 1/ 2b) 2/3 c) 3/4

d) 4/5e) 5/6

3. Calcular el lado de un cuadrado inscrito en un tringulo issceles de lado desigual a y uno de los ngulos iguales mide (a) a(2Ctg( + 1)b)

c)

d)

e) a(3Ctg( - 1)

4. De la figura calcular la superficie del cuadriltero.

a) 20 Sen(b) 24 Sen(c) 25 Sen(d) 30 Sen(e) 28 Sen(5. De la figura, calcular:

a) Cos(Sec2(

b) Cos2(Sec(c) Cos(Sec3(d) Cos3(Sec3(e) Cos3(Sec(6. Calcule el valor de Sen(, si ABCD es un cuadrado.

a) 8/65

b) 8/75

c) 8/85

d) 8/55

e) 8/95

7. En un paralelogramo las distancias del punto de insercin de las diagonales a los lados no paralelos son a y b. Sabiendo que uno de los ngulos del paralelogramo es (, determine el permetro del paralelogramo.

a) 4(a+b)Csc(b) 4(a+b)Sec(c) 4(a+b)Tg(d) 4(a+b)Sen(e) 4(a+b)Cos(8. De la figura mostrada determine el valor de d, en trminos de a y b

a) (a-b)(Sen(+Cos()

b) (a-b)(Sen(+Ctg()

c) (a-b)(Csc(+Tg()

d) (a-b)(Sec(-Tg()

e) (a-b)(Csc(-Ctg()

1. De la figura Calcular el valor de:

E = csc( - cot (

a) 1

b) 3

c) 5

d) 7

e) 9

2. De la figura calcular el valor de:

P = (sen ( - cos ()

a) 5

b) 3

c) 2

d) 1

e) 2

3. De la figura, Hallar:

E = (sen( + cos() csc(

a) 17/24

b) 24/17

c) 7/24

d) 17/24

e) 7/24

4. Si cot( = 2.4 siendo ( un ngulo estndar del tercer cuadrante, calcular el valor de:

E = 2sen( + cos(a) 2b) 1c) 1/2

d) 1e) 2

5. Siendo ( un ngulo en posicin estndar del II cuadrante, donde tan ( = , calcular:

P = 3 + (sen( + cos()

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

6. Si el punto (-1; -3) pertenece al lado final de un ngulo en posicin estndar (.Calcular:

R = sen ( . cot (a) 1/

b) 2/

c) 3/

d) 4/

e) /10

7. Calcular:

a) 2b)

c) 1/2

d) 2e)

8. Del grfico, hallar : Q =

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

1. Siendo ( y ( ngulos del II y III cuadrante respectivamente, hallar el signo de:

a) +b) -c) (+)

d) Ceroe) Faltan datos

2. Indicar el signo de:

a) +b) -c) + y -

d) Cero e) F.D.

3. A qu cuadrante pertenece el ngulo (, si se cumple:

cos ( < cos ((/2)

tan ( > tan (a) ICb) IICc) IIIC

d) IVCe) Ninguno

4. Del grfico, hallar tan(; si OABC es un cuadrado:

a) 2

b) 1/2

c) 1/3

d) 3

e) 1/2

5. Hallar a si tan ( = 3

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

6. Si ( < x < 2( y sen x = tan 2(, calcular el valor de:

P = sen

a) 5b) 2c) 3

d) 4e) 0

7. a y b son complementarios, adems se cumple:

(tan()2tan(+3 = (cot()tan(+1; ( ( IVC

Calcular : M = sen ( + cos (a) /5b) -/5c) /10

d) -/10e) /15

1. Cul de los siguientes valores es el mayor?

a) sen 40b) sen 100c) sen 160

d) sen 220

e) sen 280

2. Cul de los siguientes valores es el menor?

a) cos20b) cos100c) cos160

d) cos260

e) cos320

3. En la CT hallar el rea de la regin sombreada:

a) sen(b) cos(c) 1/2sen(d) 1/2sen(e) 1

4. En la circunferencia trigonomtrica mostrada:

cos( = y OM = MB. Calcular el rea de la regin triangular OMP.

a) 1/6

b) 1/3

c) 1/4

d) 1/2

e) 2/3

5. Si: < y < (, entonces:

I. sen x > sen y

II. cos x < cos y

III. sen x < cos y

4Son verdaderas:

a) Slo Ib) Slo IIc) Slo III

d) I y IIe) I y III

6. Hallar los valores de k si:

cos ( =

a) [-1; 2]b) [-2; 1]c) [-3; 2]

d) [-1; 3]e) [-1; 1]

7. Si: senx = ; hallar la suma de todos los valores enteros que puede tomar a.

a) 6b) 7c 8

d) 9e) 10

8. Calcular A.B donde A y B representan los valores mnimo y mximo de la expresin:

P = A + B cos x

a) 15b) 6c) 8

d) 15e) 16

1. Si: ( ( IIIC y cos ( = ; entonces el intervalo de k es:

a) ]-5; 3[b) ]0; 2/3[c) ]-3; 2/3[

d) ]-2/3; 0[e) ]3; 2/3[

2. Si: ( y ( son arcos diferentes, calcular la diferencia entre los valores mximo y mnimo de la expresin:

a) 2b) 3c) 4

d) 5e) 6

3. Afirmar si es (V) o (F):

I. sen 2 < sen 3

II. cos 5 < cos 6

III. sec 4 tan 6 > 0

a) VVVb) FFVc) FVF

d) VFFe) FFF

4. Del grfico calcular el rea de la regin sombreada, si BP = PQ = QB

a) 1/3 sen (b) 1/3 cos (c) 1/3 sen (d) 1/3 cos (e) 1/6 sen(5. De la figura calcular d

a)

b)

c)

d)

e)

6. Calcular el valor de:

a) 1/2b) 1/3c)1/4

d) 1/5e) 1/6

7. Si: < x < indicar la variacin de:

2sen x + 3

a) [4; 5]b) ]4; 5[c) [4; 5[

d) ]4; 5]e) ]4; 5]

8. En la CT hallar el rea de la regin sombreada:

a) sen(b) cos(c) 1/2sen(d) 1/2cos(e) 1

1. Reducir:

A= (1cos2x) (1+cot2x) + (1 sen2x)(1+tan2x)

a) 0b) 2c) 2

d) 1e) 1

2. Reducir la siguiente expresin trigonomtrica:

0 < x < 90

a) secxb) tanxc) 1

d) 0e) N.A.

3. Simplificar:

H = 16(sen6 x + cos6 x) 24(sen4 x + cos4x) + 10 (sen2 x + cos2x)

a) 0b) 1c) 1

d) 1e) -2

4. Simplificar:

E = tan2x + cot2 x + 2 sec2x . csc2x

a) 0b) 1c) 2

d) 3e) 4

5. Reducir la siguiente expresin trigonomtrica:

K = (1+sen2x)+2(1+sen2x)(1+cos2x)

+(1+cos2x)

a) 0b) 1c) 3

d) 9e) 27

6. Simplificar:

a) 4b) 2c) 1

d) 1/4 e) 1/2

7. Simplificar:

a) 1b) tanxc) tan3x

d) cotxe) cot3x

8. Reducir:

a) secxb) senxc) cosh

d) cscxe) 1

1. Encontrar n de tal manera que se cumpla: (senx + cosx) . (tanx + cotx) = n + cscx

a) sen xb) sec xc) cos x

d) cscxe) tan x

2. Calcular:

z = (tan 50 + csc40) . (cot 40. sec50)

a) 1b) 1c) 0

d) 2e) 2

3. Si: tanx + cotx = 3

Calcular:

a) 6b) 9c) 12

d) 18e) 36

4. Si: senx cosx = ; hallar:

T = 5. sen x . cos x - 1

a) 0b) 1c) 3

d) 5e) 1/5

5. Si: cosx + cos3x = 1; hallar:

W = sen2x + sen4x

a) 2b) 2c) 0

d) 1e) 1

6. Si: cscx + cotx = 10; encontrar:

U = cscx + cotx

a) 100b) 10c) 1

d) 0.1e) 0.01

7. Si: sen3x + csc2x = 7; 270 < x < 360

encontrar : R = 2. senx + cosx . cotx

a) 3b) 1/3c) 3

d) 1/3e) 1

8. Simplificar la expresin:

a) 1b) tanxc) cotx

d) secxe) cscx

1. Reducir:

M =

a) tan(b) cot(c) tan(d) cot(e) 1

2. Hallar el valor de:

A = sen(5(/12) . cos(5(/12)

a) 1b) 1/2 c) 1/4

d) 1/8e) 1/16

3. Si X e Y son las medidas de dos ngulos agudos tales que cosX = 12/13, tan Y = 15/8; calcular el equivalente de: sen (X+Y)

a) 221/220b) 220/221c) 22/221

d) 21/220e) 220/21

4. Indicar el equivalente de:

E = . Sen (45 - x)

a) cosx. senx

b) cosx + senx

c) senx - cosx

d) cosx senx

e) 2(cosx senx)

5. La expresin:

P = , ser igual a:

a) tanx coty

b) cotx + tany

c) tanx + coty

d) 1-tany. Tanx

e) cotx tany

6. Calcular:

a) 1b) 1c)

d) /2e) -

7. Simplificar:

W = sen(60-x).cos (30 + x)

+ cos (60 - x) sen (30 + x)

a) 0b) 1c) sen(30- 2x)

d) 1e) sen (2x 30)

8. Si: tan (( + () = 33 y tan ( = 3

Hallar el valor de: tan (.

a) 30b) 0.03c) 100/3

d) 0.3e) 10/3

1. Hallar el valor de tan( del grfico adjunto, si: CM = 1, DM = 2 y BC = 3

a) 1

b) 1/5

c) 5

d) 1/6

e) 6

2. Hallar el valor equivalente aproximado de:

K = tan 8 / cot16

a) 1/24b) 24c) 7/24

d) 24/7e) 1/7

3. Hallar:

J = (tan15 - tan75)/(1+tan15. Tan75)

a) 1b)

c) -/3

d) /3e) -

4. Calcular el valor de tan( del grfico.

a) 1

b) 1/2

c) 2

d) 1/3

e) 3

5. Encontrar el valor de.

a) 1b) 2c) 1/2

d) 0e) Necesito tablas

6. Hallar:

A = tan 35 + cot 80 + cot 55 . tan 10

a) 3b) 2c) 1

d) 9e) Necesito tablas

7. Siendo A y B y C las medidas de los ngulos internos de un tringulo ABC, simplificar:

L = (tanA + tanB + tanC). CotA. CotB. CotC

a) 0b) 1c) 2

d) 3e) 6

8. Reducir:

a) 1b) 1c) 0

d) 3e) 5

1. Reducir:

a) 1b) 0c) 1

d) 2e) -1/2

2. Calcular:

E = 3csc150 + tg225 - sec300

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

3. Simplificar:

A = sen170.csc190+6sen150-2cos180

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

4. Si: x + y = 180, calcular:

a) 2b) 3c) 1

d) 2e) 0

5. Calcular:

a) 14b) 14c) 12

d) 12e) 10

6. Reducir la expresin:

a) 0b) 1c) 1

d) 2e) 2

7. Simplificar:

a) 1b) 2c) -1

d) 2e) 0

8. Reducir:

a) 1b) 2c) 0

d) 1e) 2

1. Calcular:

A = 4cos(-120) 3cot(-315) + 4sec(-300)

a) 1b) 2c) 3

d) 3e) 2

2. Dado un tringulo ABC, calcular:

a) 1b) 2c) 3

d) 1e) 2

3. Si: x + y = 2(, calcular:

A = senx + tan+ seny+tan

a) senxb) 2senxc) -tan

d) 2tan

e) 0

4. Calcular:

A=2tan+sensec((-x)+3sen

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

5. Simplificar:

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

6. Calcular:

A = 2tan43- 2cos147( + 6sen61

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

7. ( + ( son suplementarios, reducir:

a) 1b) 1c) -tan(d) -tan(e) -cos(8. Afirmar si es (V) o (F):

( ) sec (90 + x) = cscx

( ) cot (270 - x) = tanx

( ) csc (270 + x) = secx

a) FFFb) FFVc) VVF

d) FVFe) FVV

1. Simplificar:

a) senxb) cscxc) cosx

d) secxe) tanx

2. Calcular:

a) 1b) 2c) 3

d) 1/2e) 1/3

3. Si: x = , Calcular:

E = 4senx. Cos3x 4sen3x . cosx

a) -1b) 1c) 1/2

d)

e) /2

4. Reducir:

a) 0b) 1c) 2

d) 2cot2xe) cot4x

5. Reducir la expresin:

; 0 < ( < 90

a) tan (b) tan 2(c) tan2(d) tan2(e) cot(6. Reducir:

E =

a) cot(b) 2cot(c) tan(d) 2tan(e) 1

7. Calcular:

M = (2+cos35) . (1 cos35) + sen20

a) 0b) 1c) 1

d) 2e) 2

8. Si: 2a + b = 90, calcular:

a) 0b) 1c) 2

d) 1e) 2

1. Siendo: tanx = 0.5, Hallar:

R = tan2x.cotx

a) 1b) 2c) 4/3

d) 8/3e) 2/3

2. Hallar:

a) 1b) /2c) 1

d) -/2e)

3. Hallar a:

a) 18

b) 12

c) 9

d) 6

e) 3

4. Conociendo que:

tan = m. Hallar: cosx

a)

b)

c)

d)

e)

5. Indicar el equivalente:

a) cot

b) tan

c) cotx

d) 2cot

e) tanx

6. Calcular:

a) 1b) 2c) 3

d) 1/2e) 1/3

7. Simplificar:

A = cot

a) tan + 4(b) 2tan(c) tan4(d) 2tan(e) 2cot2(8. Reducir:

a) 1b) senxc) 2

d) cosxe) 1/2

1. Si: cos( = ; 0 < ( < 90

Hallar: sen

a)

b)

c)

d)

e)

2. Si:

cos( = < ( < 2(calcular: sen

a)

b) -

c)

d) -

e) -

3. Si:

25cos2x 4= 0; 180 < x < 270

calcular: tan

a)

b)

c) -

d) -

e) -

4. Calcular:

a)

b) 1c) 1

d) -

e)

5. Reducir:

a) 2sen

b) 2cos

c) 2tan

d) 2sen2

e) 2cos2

6. Si la siguiente igualdad es una identidad:

hallar: m + n

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

7. Si: csc80 + tan10 = a

Calcular : cot50

a) ab) 2ac) a-1

d) 2a-1e)

8. Reducir:

a) 1b) sen40c)sen 50

d) cos80e) sen80

1. De la siguiente igualdad:

cot14 - n sec34 = tan 14 - 2tan 28

hallar: n

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

2. Reducir:

M = 4sen350 - 3sen50

a) 1/2 b) 1/2c) 1

d) 1e)

3. Reducir:

a) cos2xb) 2cos2xc) cosx

d) 2cosxe) 1

4. Siendo:

sen; calcular: senx

a) 1b) -

c)

d)

e) -

5. Si: senx cosx = , calcular: sen6x

a)

b)

c)

d)

e)

6. Si: tan

hallar: cot3x

a)

b)

c)

d)

e)

7. Si:

sec = 3sen

hallar: cos 2x

a)

b)

c)

d)

e)

8. Si: cosx = -1/5; 180 < x < 270

Hallar: sen

a)

b)

c)

d)

e)

Cuando se elige el buen camino, nunca es tarde para empezar de nuevo.

Nadie lleg a la cumbre, acompaado del miedo.

ACTIVIDAD EN AULA

ACTIVIDAD DOMICILIARIA

7yg

4x

ACTIVIDAD EN AULA


EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

ACTIVIDAD EN AULA


ACTIVIDAD EN AULA


EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

ACTIVIDAD EN AULA


ACTIVIDAD EN AULA


(a 1; 4a 1)

ACTIVIDAD EN AULA


ACTIVIDAD EN AULA


ACTIVIDAD EN AULA


ACTIVIDAD EN AULA


ACTIVIDAD EN AULA


ACTIVIDAD EN AULA


Sub rea: Trigonometra

5 Secundaria

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TRIGONOMETRÍA - 5TO