Trigonometria a l’Estany d’Ivars i Vila-sana

IES Terres de Ponent Mollerussa 4t d’ESO

Curs

2010-2011

A

4t ESO Trigonometria a l’Estany d’Ivars i Vila-sana

INS Terres de Ponent 2

Autors: Diana Martínez Cullerés

Albert Pelàez Carrera

Alba Grañó Miret

Aitor Soler Sanchez

4t ESO Trigonometria a l’Estany d’Ivars i Vila-sana

INS Terres de Ponent 3

Índex

INTRODUCCIÓ ..................................................................................... 4

CÀLCUL DE L’ALTURA DEL NIU DE LA CIGONYA ..................................................... 5

CÀLCUL DE L’ALTURA DE LA TORRE D’OBSERVACIÓ (1) ............................................ 6

CÀLCUL DE L’ALTURA DE LA TORRE D’OBSERVACIÓ (2) ............................................ 7

CÀLCUL DE L’ALTURA DE L’ARBRE I LA DISTÀNCIA AL CAMÍ ......................................... 8

CÀLCUL DE L’ALTURA DEL NIU DE LA CIGONYA (2)................................................. 9

CÀLCUL DE L’ALTURA DE L’OBSERVATORI.........................................................10

CÀLCUL DE L’AMPLADA I LA LLARGADA MÀXIMES DE L’ESTANY. ESTIMACIÓ DE LA SUPERFÍCIE. .....11

ORGANITZACIÓ...................................................................................12

COL�LABORACIÓ .................................................................................12

4t ESO Trigonometria a l’Estany d’Ivars i Vila-sana

INS Terres de Ponent 4

Introducció

El currículum de l’educació secundària obligatòria afirma: “Les matemàtiques són un instrument de coneixement i anàlisi de la realitat (...). Les capacitats que potencia el currículum de matemàtiques han d’ajudar l’alumnat a establir raonaments quantitatius sobre situacions de la vida real i sobre el món que ens envolta (...). La competència matemàtica (...) difícilment s’adquireix si no s’orienta l’aprenentatge dels continguts de manera que possibiliti la seva utilització fora de les classes de matemàtiques(...).

La competència matemàtica s’ha d’adquirir a partir de contextos que tinguin sentit tant per l’alumnat com per al coneixement matemàtic que es pretén desenvolupar.”

D’acord amb l’anterior, el Departament de Matemàtiques amb el suport del Consell Comarcal del Pla d’Urgell, organitza una sortida a l’Estany d’Ivars i Vila-sana amb l’objectiu d’utilitzar els conceptes de trigonometria del currículum de 4t d’ESO, i més concretament de resolució de triangles, per a resoldre problemes de mesura en aquest espai natural de la seva comarca.

En els darrers anys la nostra comarca del Pla d’Urgell ha recuperat l’Estany d’Ivars i Vila-sana, un paratge natural que a més dels seus múltiples atractius ens ofereix la possibilitat d’utilitzar la trigonometria i la semblança per a l’obtenció de mesures indirectes de molts dels elements que formen part d’aquest entorn. Les relacions trigonomètriques ens serviran per determinar longituds i mesures d’angles i podrem resoldre problemes utilitzant la trigonometria del triangle.

Treballarem en grup, entès com un treball de cooperació i acceptació de les idees dels companys i de les diferents estratègies emprades en la realització d’un càlcul, d’una mesura o en el procés de resolució del problema.

Utilitzarem eines TIC: ordinadors, calculadores, màquines de fotografia i vídeo. Programari específic: Google Earth , Google Maps, GeoGebra i Paint Shop Pro. Mitjans clàssics com la cinta mètrica i mitjans tecnològics actuals com el taquímetre, el làser i el GPS.

Finalment, contrastarem els resultats, analitzarem els motius de les possibles discrepàncies i buscarem la millor solució per a cada problema.

4t ESO Trigonometria a l’Estany d’Ivars i Vila-sana

INS Terres de Ponent 5

Càlcul de l’altura del niu de la cigonya

Dades: Angle alpha: 82,316º Distància des de el goniòmetre a la torre: 31m Altura del goniòmetre: 1,63m

Resolució i concepte matemàtic utilitzat:

100 - 82,316 ------------- x = 17,684

90/100 = 82,316/x 100/90 = 17,684/x

x = 17,684*90/100 = 15,915

x = 15,915º

tg15,915º = h/31

tg15,915º*31 = h

h = 8,839 + 1,63 h = 10,469m

Solució: L’altura del niu de cigonya és de 10,469.

4t ESO Trigonometria a l’Estany d’Ivars i Vila-sana

INS Terres de Ponent 6

Càlcul de l’altura de la torre d’observació (1)

Dades:

Angle alpha=28, 93º (Geogebra)

Distància “x”= 14,4m

Resolució i concepte matemàtic utilitzat:

tan 28,93= h/14,4

h= 14,4 tan 28,93 = 7,96m

Solució: L’alçada del mirador és de 7,96m.

4t ESO Trigonometria a l’Estany d’Ivars i Vila-sana

INS Terres de Ponent 7

Càlcul de l’altura de la torre d’observació (2)

Dades: Ombra persona: 137cm � 1,37 m

Altura persona: 174cm � 1,74m

Ombra Torre: 491cm � 4,91m

Altura Torre: ?

Resolució i concepte matemàtic utilitzat:

1,37m ______ 1,74m

4,91m ______ x

x=> 1,74�4,91/1,37

x= 6,24m

Solució: L’altura de la Torre és 6,24m

4t ESO Trigonometria a l’Estany d’Ivars i Vila-sana

INS Terres de Ponent 8

Càlcul de l’altura de l’arbre i la distància al cam í

Dades: Altura persona(de peus a ulls)= 1,56

Angle A= 34º

Angle B= 40º

Distància= x+2,5

Resolució i concepte matemàtic utilitzat:

Tan34º=h/x+2,5

Tan40º=h/x

Aïllem la h:

Tan34º�(x+2,5)=h

Tan40º�x=h

Tan34º�(x+2,5)=tan40º�x

2,5�tan34º=tan40º�x-tan34º�x

2,5�tan34º=x�(tan40º-tan34º)

x=2,5�tan34º/(tan40º-tan34º)

x=9,425

Substituïm la x a la equació: Tan40º�x=h

h=tan40º�9,425=7,909m

SUMAR ALÇADA=> 7,909+1,56=8,969m

Solució: L’altura de l’arbre és 8,969m

h

x

A

2.50

B

4t ESO Trigonometria a l’Estany d’Ivars i Vila-sana

INS Terres de Ponent 9

Càlcul de l’altura del niu de la cigonya (2)

Dades: Amplada del camí= 7,6m Distància= x+7,6

Angle A= 32º(esquerra) Angle B= 48º(mig)

Angle C= 16º(dreta) Alçada total= y

Y= h+z h= altura del niu

Resolució i concepte matemàtic utilitzat:

Tan32º=y/7,6+x

Tan48º=y/x Aïllem la y i igualem:

y=(7,6+x)�tan32º y=x�tan48º

(7,6+x)�tan32º=x�tan48º 7,6�tan32º+x�tan32º=x�tan48º

7,6�tan32º=x�tan48º-x�tan32º 7,6�tan32º=x(tan48º-tan32º)

x=(7,6�tan32º)/(tan48º-tan32º) x=9,7768m

Substituïm la x a la equació: y=x�tan48º

y=(7,6�tan32º)/(tan48º-tan32º)�tan48º=9.7768�tan48º y= 10.8582m

Ara calcularem la z per a saber la h:

tan16º=z/9,7768 z=tan16º�9,7768=2,803 m

Sabem que h=y-z: h=10,8582-2,803=8,05 m

Solució: L’altura del niu de la cigonya és 8,05m.

h

z

x 7.6 m

A B C

y

4t ESO Trigonometria a l’Estany d’Ivars i Vila-sana

INS Terres de Ponent 10

Càlcul de l’altura de l’observatori

Dades: Distància= 4m

Angle A= 41º

Altura ulls persona= 1,60

Resolució i concepte matemàtic utilitzat:

Tan41º=h/4

h=4�tan41º

h=3,48m

Altura total= 3,48+1,60=5,06m

Per comprovar la solució vam comptar i mesurar els 47 llistons del mirador i la solució va ser 5,233m aproximadament.

Solució: L’altura de l’observatori és 5,06m.

4 m

41º

4t ESO Trigonometria a l’Estany d’Ivars i Vila-sana

INS Terres de Ponent 11

Càlcul de l’amplada i la llargada màximes de l’esta ny. Estimació de la superfície.

Dades:

Sabem que A= 12,5cm, i sabem l’escala: 200m=1.5cm.

Sabem que h és 5,4 i l’escala és 1,5/200.

Resolució i concepte matemàtic utilitzat:

Mitjançant una regla de 3 sabrem:

1,5__________200

12,5_________x

x=1.666,6667 m

1,5_________200

5,4_________h

h= 720 m

Solució: L’amplada màxima de l’estany és 1.666,6667m = 1.67km i la llargada màxima és 720m = 0.72km.

x

h

4t ESO Trigonometria a l’Estany d’Ivars i Vila-sana

INS Terres de Ponent 12

Organització

INS Terres de Ponent

Col·laboració

Consell Comarcal del Pla d’Urgell