Môc lôc Néi dung : trang

phÇn I: §ÆT VÊN §Ò 2-3PhÇn II: néi dung A ) quy tr×nh gi¶i bµi to¸n b»ng ph¬ng ph¸p vÐc t¬ 4-5b) c¸c bµi tËp minh ho¹ 6-12

i) dµnh cho häc sinh trung b×nh kh¸ 6-8ii) dµnh cho häc sinh kh¸ giái 9-11

C) BµI TËP THAM KH¶O 12D) KÕT LUËN 12

1

PHÇN I ®Æt vÊn ®Ò

I ) Lý do chän ®Ò tµi

1) Tõ thùc tÕ gi¶ng d¹y : - ë s¸ch gi¸o khoa ch¬ng tr×nh míi hiÖn nay ®· gi¶m t¶i nhiÒu

, phÇn vect¬ trong kh«ng gian ®îc tr×nh bµy kü cµng h¬n, khuyÕn khÝch ®îc häc sinh sö dông h¬n so víi ch¬ng tr×nh cò. Song ë s¸ch gi¸o khoa, kÓ c¶ s¸ch bµi tËp vµ c¸c tµi liÖu tham kh¶o còng cha ®a ra ph¬ng ph¸p cô thÓ cho tõng phÇn mµ chØ ®a ra c¸c vÝ dô råi gi¶i. mµ thêi lîng ch¬ng tr×nh nga kh«ng cã thêi gian ®Ó gi¸o viªn híng dÉn cô thÓ cho häc sinh.

- ChÊt lîng häc sinh trêng thpt dtnt thÊp h¬n so víi c¸c trêng thpt ë miÒn xu«i, häc lùc l¹i ph©n ho¸ kh«ng ®ång ®Òu . khi häc phÇn vect¬ trong kh«ng gian th× ®a sè häc sinh cßn lóng tóng trong viÖc chän vµ thùc hiÖn c¸c phÐp biÕn ®æi vÒ vect¬, c¸c em cã xu thÕ chon ph¬ng ph¸p th«ng thêng ( ®ßi hái ph¶i cã t duy, trÝ tëng tîng cao vµ ph¶i vÏ h×nh phøc t¹p ), ®iÒu nµy lµ khã ®èi víi ®a sè häc sinh. nªn nhiÒu bµi to¸n dÉn ®Õn phøc t¹p vµ dÉn ®Õn c¸c em ng¹i häc m«n h×nh. Trong khi NhiÒu bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian, nÕu gi¶i b»ng ph¬ng ph¸p vect¬ th× lêi gi¶i sÏ ng¾n gän vµ ®Æc biÖt tr¸nh ®îc viÖc ph¶i vÏ h×nh phøc t¹p.

-2) Tõ thùc tÕ kh¸ch quan : - ViÖc sö dông thµnh th¹o ph¬ng ph¸p vect¬ sÏ gióp häc sinh

cã thÓ lµm nhanh mét sè bµi tËp tr¾c nghiÖm, ®iÒu nµy lµ phï hîp víi xu thÕ häc vµ thi hiÖn nay.

- Trong c¸c ®Ò thi ®¹i häc nh÷ng n¨m gÇn ®©y th× c¸c bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian, ®¸p ¸n kh«ng ®a ra ph¬ng ph¸p gi¶i b»ng vect¬. §iÒu nµy ®· lµm cho häc sinh vµ gi¸o viªn Ýt chó träng vµo ph¬ng ph¸p vect¬, do ®ã häc sinh cha thÊy ®îc nh÷ng u viÖt cña ph¬ng ph¸p nµy.

- ViÖc sö dông thµnh th¹o ph¬ng ph¸p vect¬ sÏ gióp häc sinh cã thÓ lµm nhanh mét sè bµi tËp tr¾c nghiÖm, ®iÒu nµy lµ phï hîp víi xu thÕ häc vµ thi hiÖn nay

- Häc sinh häc tèt ph¬ng ph¸p vect¬ ë h×nh häc líp 11 lµ tiÒn ®Ò ®Ó häc tèt ph¬ng ph¸p vect¬ vµ täa ®é trong kh«ng gian ë h×nh häc gi¶i tÝch líp 12.

2

II) tÝnh khoa häc :

- §Ò tµi ®îc x©y dùng dùa trªn c¸c kh¸i niÖm vµ c¸c phÐp to¸n cña vect¬, mçi phÇn ®Òu cã ph¬ng ph¸p gi¶i cô thÓ,

- c¸c vÝ dô ®a tõ dÔ ®Õn khã häc sinh cã thÓ ®äc vµ tù nghiªn cøu .

- ®Ì tµi ®îc tr×nh bµy theo mét tr×nh tù khoa häc. Tõ ®ã gióp häc sinh tiÕp cËn dÔ dµng vµ sö dông thµnh th¹o ph¬ng ph¸p nµy.

III) tÝnh kh¶ thi vµ ph¹m vi ¸p dông: - §Ò tµi cã tÝnh kh¶ thi cao bëi v×: c¸c kh¸i niÖm vµ c¸c phÐp to¸n vÒ vect¬ trong

kh«ng gian lµ t¬ng tù nh trong mÆt ph¼ng mµ häc sinh ®· ®-îc häc ë líp 10, líp 11 do ®ã nã kh«ng xa l¹ víi häc sinh.

- C¸c bµi to¸n ë phÇn dµnh cho häc sinh trung b×nh ®îc lÊy tõ bµi tËp sgk vµ sbt cã thªm phÇn gi¶i thÝch ®Î häc sinh dÔ ®äc dÔ hiÓu.

- Cã nhiÒu bµi to¸n ë phÇn dµnh cho häc sinh kh¸ giái ®îc trÝch tõ c¸c ®Ò thi ®¹i häc nh÷ng n¨m gÇn ®©y vµ ®îc tr×nh bµy lêi gi¶i b»ng ph¬ng ph¸p vect¬ nªn sÏ khuyÕn khÝch ®îc häc sinh vËn dông ph¬ng ph¸p nµy.

- §Ò tµi ®îc ¸p dông cho häc sinh líp 11 vµ 12.

3

PhÇn 2 - Néi dung

A quy tr×nh gi¶i bµi to¸n b»ng ph ¬ng ph¸p vÐc t¬ 1) quy tr×nh

B íc 1 : lùa chän mét bé ba vÐc t¬ kh«ng ®ång ph¼ng lµm hÖ vÐc t¬ gèc . Nªn

- chän bé ba vÐc t¬ xuÊt ph¸t tõ mét ®Ønh.- u tiªn chän c¸c vÐc t¬ d· biÕt ®é dµi vµ gãc cña cña hai vecf

t¬ t¬ng øng(®Æc biÖt lµ gãc vu«ng).B íc 2 : chuyÓn c¸c gi¶ thiÕt ,kÕt luËn h×nh häc cña bµi to¸n sang “ ng«n ng÷ vÐc t¬” vµ biÓu diÔn c¸c vÐc t¬ liªn quan theo hÖ vÐc t¬ gèc 2) c¸c d¹ng h×nh häc chuyÓn ®æi c¬ b¶n:

4

Gi¶ thiÕt h×nh häc Ng«n ng÷ vÐc t¬ (cã thÓ)NÕu M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB

G lµ träng t©m tam gi¸c ABC

G lµ träng t©m tø diÖn ABCD

3)c¸c d¹ng bµi tËp c¬ b¶nBµi to¸n 1: Chøng minh ®êng th¼ng song song víi mÆt ph¼ng:

§Ó chøng minh , ta chøng minh: Bµi to¸n 2: Chøng minh hai mÆt ph¼ng song song ta chøng minh trong mÆt ph¼ng nµy chøa hai ®êng th¼ng c¾t nhau cïng song song víi mÆt ph¼ng kia.( sö dông bµi to¸n 1 hai lÇn)Bµi to¸n 3: Chøng minh hai ®êng th¼ng vu«ng gãc : §Ó chøng minh a b ta chøng minh , trong ®ã lÇn lît lµ chØ ph¬ng cña a vµ b.Bµi to¸n 4: Chøng minh ®êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng :

§Ó chøng minh ta chøng minh Bµi to¸n 5 : Chøng minh hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc ta chøng minh trong mÆt nµy chøa mét vect¬ vu«ng gãc víi hai vect¬ kh«ng cïng ph¬ng n»m trong mÆt kia Bµi to¸n 6: C¸c bµi to¸n vÒ gãc*) Gäi lµ gãc gi÷a hai ®êng th¼ng a vµ b. lÇn lît lµ chØ ph-

¬ng cña a vµ b. Khi ®ã :

*) Gäi lµ gãc gi÷a ®êng th¼ng a vµ mÆt ph¼ng(P). 5

C¸ch1: Ta ®a vÒ bµi to¸n x¸c ®Þnh gãc cña ®êng th¼ng a vµ ®-êng th¼ng a’ lµ h×nh chiÕu cña a lªn (P) .sau ®ã thùc hiÖn nh bµi to¸n x¸c ®Þnh gãc cña hai ®êng th¼ng .

C¸ch2: Ta ®a vÒ bµi to¸n x¸c ®Þnh gãc cña ®êng th¼ng a vµ ®-êng th¼ng b lµ h×nh chiÕu cña a lªn (P) vµ chó ý

( trong ®ã lÇn lît lµ chØ ph¬ng cña a

vµ b)*): Gäi lµ gãc gi÷a hai mÆt ph¼ng (P) vµ (Q). lÇn lît lµ vÐc t¬ chØ ph¬ng lÇn lît n»m trªn hai ®êng th¼ng vu«ng gãc víi hai mÆt ph¼ng (P) vµ (Q). .

Khi ®ã :

Bµi to¸n7: X¸c ®Þnh kho¶ng c¸ch(tõ ®iÓm tíi mÆt ph¼ng , gi÷a hai ®êng th¼ng chÐo nhau ): ta ®a vÒ bµi to¸n tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm, do ®ã ta cã ph¬ng ph¸p sau:

§Ó tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm vµ ta biÕn ®æi (trong ®ã lµ bé ba vect¬ ®«i mét kh«ng cïng ph-

¬ng, ®îc xuÊt ph¸t tõ mét ®iÓm vµ , c¸c tÝch v« híng , , lµ tÝnh ®îc vµ

B)C¸c bµi tËp minh ho¹:I )dµnh cho häc sinh trung b×nh kh¸

VÝ dô1 Cho tø diÖn . Gäi lµ träng t©m tam gi¸c . lµ ®iÓm n»m trªn ®o¹n CD sao cho Chøng minh :

Gi¶i: §Æt : V× nªn Gäi lµ trung ®iÓm cña , khi ®ã :

6

M

I

G

D

c

b

a

C

B

A

.

ë vÝ dô nµy ta ®· chon hÖ vÐc t¬ gèc cïng ®iÓm ®Çu lµ ATa ®· chuyÓn ®æi c¸c gi¶ thuyÕt,kÕt luËn h×nh häc sang ng«n ng÷ vect¬ :V× nªn

VÝdô2 (Bµi tËp 4 SGK trang 91 Cho h×nh hép . Gäi lÇn lît lµ trung ®iÓm cña vµ . Gäi lÇn lît lµ träng t©m cña c¸c tø diÖn vµ

.Chøng minh : .Gi¶i: §Æt :

lµ träng t©m cña tø diÖn nªn

lµ träng t©m cña tø diÖn nªn

Tõ ®ã:

N hËn xÐt : NÕu kh«ng sö dông ph¬ng ph¸p vect¬ th× bµi to¸n nµy sÏ rÊt khã vÏ h×nh v× x¸c ®Þnh ®îc träng t©m cu¶ hai tø diÖn ta ph¶i vÏ rÊt nhiÒu ®êng vµ ®¬ng nhiªn viÖc chøng minh cñng nh vËy.ë vÝ dô nµy ta ®· chon hÖ vÐc t¬ gèc cïng ®iÓm ®Çu lµ ATa ®· chuyÓn ®æi c¸c gi¶ thuyÕt h×nh häc sang ng«n ng÷ vect¬

lµ träng t©m cña tø diÖn nªn lµ träng t©m cña tø diÖn nªn

VÝdô3 Cho h×nh hép . Gäi lÇn lît lµ trung ®iÓm cña

. Chøng minh: 7

c

ba

N

M

D/

C/B/

A/

D

CB

A

c B/

P

b

a

N

M

D/

C/

A/

D

CB

A

Gi¶i: §Æt : Ta co ,

(1)

, (2)

Tõ (1) vµ (2) ta suy ra VÝ dô 4: Cho h×nh l¨ng trô tam gi¸c ®Òu cã tÊt c¶ c¸c c¹nh ®Òu b»ng . lµ trung ®iÓm cña . Chøng minh Gi¶i: §Æt : V× lµ l¨ng trô tam gi¸c ®Òu nªnta cã:

,

VÝ dô 5:Cho h×nh chãp cã . Gäi lÇn lît lµ trùc t©m tam gi¸c vµ . Chøng minh .

Gi¶i:

Ta cã: Khi ®ã:

VÝ dô 6:

8

M

cb

a

C/B/

A/

CB

A

K

H

C

B

A

S

Cho h×nh chãp cã ®¸y lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh . vµ

. Gäi lÇn lît lµ trung ®iÓm cña . TÝnh gãc gi÷a hai ®êng th¼ng vµ .Gi¶i:§Æt : Ta cã :

vµ

Gäi lµ gãc gi÷a hai ®êng th¼ng vµ , th×

II) dµnh cho häc sinh kh¸ giái

VÝdô1 Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu cã ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh . lµ ®iÓm ®èi xøng cña qua trung ®iÓm cña . lÇn lît lµ

trung ®iÓm cña vµ . Chøng minh . ( trÝch ®Ò thi §H khèi B n¨m 2007 )Gi¶i: Gäi . Khi ®ã §Æt : Ta cã :

9

cb

a M

N

S

B

C

A

c

b

a

P

N

M

E

O

S

D

CB

A

VÝ dô 2: Cho h×nh chãp cã ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh . Tam gi¸c

®Òu vµ n»m trong mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi ®¸y. Gäi lÇn lît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh . Chøng minh: ( trÝch ®Ò thi §H khèi A n¨m 2007 )Gi¶i: Gäi lµ trung ®iÓm cña

§Æt: Ta cã:

VÝ dô 3: Cho h×nh chãp cã ®¸y lµ h×nh ch÷ nhËt , , =

., lµ trung ®iÓm cña . Chøng minh : .

( trÝch ®Ò thi §H khèi B n¨m 2006 )Gi¶i:§Æt : Ta cã : vµ (1)

(2)Tõ (1) vµ (2) VÝ dô 4Cho h×nh chãp cã ®¸y lµ h×nh thang. ,

. C¹nh bªn vu«ng gãc víi ®¸y vµ . Gäi lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña trªn . TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®Õn mÆt ph¼ng . ( §Ò thi ®¹i häc khèi D n¨m 2007)

Gi¶i

10

c

ba

P

N

M

H

S

D

B

C

A

b

c

aD

M

B C

A

S

H

D

B C

A

S

§Æt Ta cã:

Gäi lµ ch©n ®êng vu«ng gãc h¹ tõ lªn mÆt ph¼ng Khi ®ã :

VÝ dô 5: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu cã ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh . lµ ®iÓm ®èi xøng cña qua trung ®iÓm cña .

lÇn lît lµ trung ®iÓm cña vµ . TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a vµ . ( trÝch ®Ò thi §H khèi B n¨m 2007 ) Gi¶i: §Æt : Ta cã :

Gäi lµ ®o¹n vu«ng gãc chung cña vµ , ta cã:

11

c

b

a

P

N

M

E

O

S

D

CB

A

C) Bµi tËp tham kh¶o : Bµi 1: cho tø diÖn ABCD . Gäi lÇn lît lµ träng t©m cña c¸c tam gi¸c ABC, ACD, ABD . Chøng minh r»ng // (BCD).Bµi 2:Cho h×nh chãp cã ®¸y lµ h×nh thoi c¹nh t©m .

, c¹nh bªn . lÇn lît lµ trung ®iÓm cña . Chøng minh Bµi 3: Cho h×nh chãp tø gi¸c cã ®¸y lµ h×nh thang vu«ng t¹i vµ , , ,

.a) TÝnh gãc gi÷a vµ .b) Gäi I lµ trung ®iÓm cña CD. TÝnh c«sin cña gãc hîp bëi hai mÆt ph¼ng vµBµi4: Cho h×nh l¨ng trô tam gi¸c . Gäi M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña vµ G lµ träng t©m .

a) Chøng minh Chøng minh Bµi 5:Cho tø diÖn , cã , . Tam gi¸c vu«ng t¹i , c¸c ®iÓm thuéc vµ thuéc sao cho .

TÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng theo vµ .Bµi 6:h×nh chãp S.ABC cã ®¸y lµ tam gi¸c ®Òu abc c¹nh 7a , cã c¹nh SC vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng ®¸y (ABC) vµ SC= 7a.

a) tÝnh gãc gi÷a SA vµ BC.b) TÝnh kháang c¸ch gi÷a hai ®êng th¼ng chÐo nhau SA vµ BC.

Bµi 7: Cho lËp ph¬ng cã c¹nh b»ng a. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®êng th¼ng vµ .

D) KÕt luËn

“ Ph¬ng ph¸p vect¬ gi¶i to¸n h×nh häc kh«ng gian ” gióp häc sinh cã thÓ chuyÓn bµi to¸n phøc t¹p thµnh bµi to¸n ®¬n gi¶n vµ sö dônh c¸c phÐp biÓn ®æi vect¬ ®Ó thùc hiÖn. Tuy nhiªn, ®©y kh«ng ph¶i ph¬ng ph¸p tèi u cho tÊt c¶ c¸c bµi to¸n .V× vËy khi gi¶i

12

to¸n h×nh häc kh«ng gian häc sinh cÇn lu ý lùa chän ,kÕt hîp c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c nhau ®Ó gi¶i to¸n mét c¸ch ®¬n gi¶n nhÊt. MÆc dï ®· cã nhiÒu cè g¾ng song ®Ò tµi vÉn cßn nhiÒu chç cÇn ph¶i bæ sung. V× vËy t«i rÊt mong cã sù gãp ý cña b¹n ®äc, ®ång nghiÖp vµ häc sinh.

Thanh ho¸ ngµy 20 th¸ng 3n¨m 2010 Gi¸o viªn

13