()Submitted on 1 Jan 1948
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Étude sur les courants de Foucault A. Golombani
To cite this version: A. Golombani. Étude sur les courants de Foucault. J. Phys. Radium, 1948, 9 (11), pp.273-286. 10.1051/jphysrad:01948009011027300. jpa-00234132
Par A. GOLOMBANI.
Sommaire. - Les équations de l’Électromagnétisme classique applicables dans l’hypothèse du
« cylindre indéfini », permettent, néanmoins, dans l’état « quasi stationnaire », de calculer les champs résultants en chaque point d’un conducteur tubulaire d’axe parallèle au champ inducteur, mais de longueur finie et grande par rapport au diamètre.
L’intégration des champs rendue possible par les propriétés particulières des fonctions de Bessel permet de calculer le flux total résultant et la variation du flux initial à l’intérieur du solénoïde contenant le noyau.
Les énergies localisées s’en déduisent. Et, de là, les variations de self et de résistance de l’enrou- lement ainsi que la self et la résistance propres du noyau tubulaire, fonctions de ses dimensions radiales et de la fréquence des oscillations. On parvient enfin aisément à l’étude de facteurs très importants dans la technique des bobines
destinées aux circuits oscillants pour toutes fréquences : le facteur de qualité, la perméabilité appa- rente et la résistance de pertes.
LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. SÉRIE VIII, TOME IX, NOVEMBRE 1948.
Un noyau tubulaire magnétique et conducteur, long par rapport à son diamètre, est placé dans un solénoïde indéfini qui produit un champ magnétique uniforme, sinusoïdal, de pulsation m, parallèle à son axe. La fréquence des oscillations est telle que la longueur d’onde correspondante est grande par rapport aux dimensions du tube. Dans ces condi- tions, le système se trouve dans un état quasi station- naire, ce qui permet de définir l’uniformité du champ dans un domaine limité.
Soit (r, 0, z) le système de coordonnées cylin- driques (fig. I) qu’impose la symétrie du problème.
Fig. i.
+
Appelons avec Planck Ce = Hejwt [2] le champ magnétique global résultant des interactions du
-
Le champ électrique G se réduit à sa compo- sante be = h. Le champ magnétique se réduit à la
composante jé= _ ce. Tous deux sont indépendants de z et 0 et restent donc fonction de r et f. D’ailleurs,
- +
-
avec 80 = -L? (c vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide), (1.3) entraîne
-
et en posant q = iw, on aboutit à l’équation dee
Bessel :
tion
représente donc une onde de pénétration convergente dans la cavité (1). De plus, t désignant la densité de courant
+ - Jé et v étant harmoniques, en passant aux valeurs imaginaires, on déduit
Sans passer par l’intermédiaire de ï, on peut, d’ailleurs, écrire
qui, par (1.4) donne (1.5).
2° DANS LE MÉTAL, - Appelons y la conducti- bilité du métal, y et E sa perméabilité et son pou- voir inducteur spécifique supposés constants. En
employant immédiatement la notation imaginaire, les équations de Maxwell s’écrivent
-
Le terme EjWb correspond au courant de dépla- cement et 4Ri au courant de conduction. Le rapport du premier au second vaut, en ( f étant
2"’{
la fréquence). Le quotient E pour les métaux étant de l’ordre de 10-17, on peut donc négliger le courant de déplacement devant celui de conduction, même pour des fréquences très élevées. Cependant, cette approximation n’est légitime que si la longueur d’onde des oscillations est grande devant les dimen- sions du conducteur (2). Dans cette hypothèse de
(1) Jo(s) fonction de Bessel d’ordre zéro est égale à I
pour s = o, mais N,, (s) devient infinie quand s + o. (2) Pour f == 10’0 par exemple 1. = 3 cm.
phénomènes quasi stationn aires, on peut alors définir un champ magnétique uniforme dans un domaine limité. Dans ces conditions, on peut écrire
et, en posant p = I on aboutit à la solutionÍ ;: 1-1:’; (1) complète de l’équation de Bessel qui est
Il y a, cette fois, superposition de deux ondes, l’une due à JO, convergente, qui reste finie puisque r ne devient pas infini, l’autre divergente correspon- dant à la fonction de Neumann qui reste également finie puisque r ne s’annule pas (3).
Enfin, le champ électrique dans le métal tangent aux lignes de courant circulaires, est
Pour achever le calcul de H et h, il reste à déter- miner les constantes A, B, C.
CONTINUITÉ. - Appelons ro et Ti les rayons exté- rieur et intérieur du tube. Exprimons la continuité du champ électrique et du champ magnétique (qui sont tangentiels) au contact du métal et de la cavité. On obtient les deux équations suivantes :
Il continu :
h continu :
Enfin, sur la surface extérieure ~ ~ Ho donne une troisième relation
Si l’on remarque que est très petit
En tenant compte de la relation
C est la constante d’Euler: o,55~2..2Vo~~/) devient infini quand s ~ o. Au contraire, Jpsç 2013/~ est infini pour s infini.
275
et en posant =1 (s rayon réduit), on déduit des égalités (1.11), (1.12), (1.13) : p
(Sans produire d’ambiguïté, on peut simplifier l’écriture en supprimant l’indice zéro des fonc- tions Jo et No).
2. Calcul des flux. - Le flux magnétique total se compose :
10 du flux à travers le métal d’épaisseur
20 du flux dans la cavité de rayon r,
CALCUL
Or
Donc
En utilisant les relations
et
En remplaçant A, .B, C par leur valeur et en
supprimant momentanément afin d’alléger l’écri-
ture le symbole 1’-j après les variables so et si dans J, J’, N, N’, on obtient tous calculs faits
Plaçons-nous d’abord dans le cas où les rayons « réduits » s4 et si sont grands. Dans ces conditions,
276
J, N et leurs dérivées J’, 1~’ peuvent être exprimées par leurs valeurs asymptotiques qui sont
En effectuant les calculs et en posant - - s, - si (o- est l’épaisseur réduite), on trouve fir_alement
Le flux total résultant à travers la section droite du noyau est
VARIATION DE FLUX. - Avant l’introduction dans le champ du tube magnétique et conducteur, le flux était
1 Il’
Supposons maintenant c petit (c’est-à-dire e = r.o - r, petit devant p). On peut remplacer les exponentielles par leurs développements en série :
En négligeant - devant l’unité, la variation à4J
s’écrit finalement
(l’indice zéro de la variable s peut être supprimé).
APPLICATION. - C’est cette valeur de ~~ qui doit intervenir dans la mesure de la perméabilité des
La variation de flux est donc
soit
l’unité O0 et produite par l’introduction de la
substance est
La partie purement magnétique de cette varia- tion (y = o) est
La contribution qu’apportent les courants de
(S Un calcul direct donnerait
277
qu’on peut écrire ’
le déphasage de sur .po est - QS . Par rapport à la f. e. m. induite eo il est égal à
L 1 AOy
t d.. d,Le module de vers i si s augmente indé-(DO
finiment et b AOy - 2013 ’ Enfin, si ’-2-,L2 est grand 2JJL P. 03BC2
lorsque (7 tend vers i, AOy tend vers 1 (6). Par
contre, (Po tend vers zéro si s augmente indéfi- O0
niment ou si 0’ tend vers zéro La variation d’amplitude due aux seuls courants
induits, rapportée à celle qui est due au seul magné- tisme, est
Nous verrons plus loin que le module de l’inten- sité totale dans le noyau est I,, =
Ho c s .
4R03BCV 4 +1 u2
Si s croît à a-s constant, Is et tg q restent inchangés, Mais à varie comme s2.ainsi que
o 0 . Mais A varie comme s .
EXEMPLE. - Cas d’un tube de nickel (en couche cylindrique mince).
ce qui correspond à un rayon de 5 mm et une épais- seur e = 2 p (~ = micron). On trouve .1 = o,gg.
Les courants de Foucault n’introduisent qu’une variation égale au centième de celle due au magné- tisme seul. De plus, tg Q = JS = 10-,.
5 AO03BC 7 »
.1 1-P, varie comme O, tandis varie comme :7 s. 0 à
0 (a) Pour des couches métalliques minces G"2 S2 4.
Dans les mêmes conditions, avec s = 5o (r=25 mm) on aurait obtenu A = 0,75 et tgQ = 5.10-4. Le
je .2-S2 ,
terme étant très petit pour des couches minces:J.’2 devant 4, l’importance des courants induits croît comme le carré du rayon
Supposons qu’on opère à une fréquence plus élevée : 105 avec = I o. Alors p = o, 1 mm.
S. r ’"" mm, s ’"" 50. S. e 1 03BC, on ,.,..,Si r == 5 mm, s = 5o. Si e == - p, on a OE == 5.
Dans ces conditions, l’importance des courants induits devient environ sept fois plus grande que celle due au magnétisme seul 2.io-2). On est donc obligé, en haute fréquence, d’employer de très petits rayons. Avec s = 5 (r = o,5 mm), on
aurait, dans les mêmes conditions, A = 1 2013 2013 = o,g3.100
Et avec s = 2,5 (r = o,25 = g8,3 pour 100. En définitive, l’étude du magnétisme des couches
minces en haute ou moyenne fréquence conduit à utiliser des dépôts cylindriques pour lesquels s est petit, c’est-à-dire de petits rayons (à ’sera voisin de I et p négligeable). On peut arriver facilement à ce résultat par projection cathodique cylindrique sur des tubes de verre, de silice, etc. (1).
3. Force électro motrice induite dans le solé- noïde. Intensité dans le noyau. - La variation de flux A4J produit dans le solénoïde une f. é. m. induite
Dans l’hypothèse de s grand et a- petit, cette f. é. m. a pour valeur
En admettant que l’enroulement inducteur porte
(1) Dans la théorie, on a supposé que la cavité était le vide. Dans le cas d’un diélectrique, il suint de remplacer la vitesse c
par V = 20132013. Pour du verre, u. = 1, S = Les calculs B 03BCE
V"
restent absolument inchangés ainsi que toutes les approxi- mations.
(8) Dans tout l’exposé, je suppose pour simplifier quel le solénoïde porte une spire par centimètre et que le noyau a une longueur unité. Si le solénoïde porte n spires par centimètre et si le noyau a une longueur I, les valeurs de Rl et Li seront multipliées par n2 1. Les valeurs de (î, divisées par 1, les valeurs de W multipliées par 1.
278
une spire par centimètre, on a Ho = 4 7": l p, l pétant l’intensité maxima qui parcourt l’enroulement.
Remarquons, dès maintenant, que l’expression de e (3 .1 ) permet de calculer l’intensité totale du courant induit. En effet, le coefficient d’induction mutuelle du solénoïde et du tube d’épaisseur c et de rayon s est
Donc l’intensité induite est
Nous retrouverons cette valeur directement.
L’expression de e qui est complexe indique qu’une partie de la f. é. m. induite :
produit un accroissement de résistance du solé- noïde représenté par le coefficient de - I,,. Par
contre, le coefficient de Ip dans le terme
représente une variation d’inductance de l’enrou- lement (positive ou négative).
L’accroissement de résistance
correspond à une dépense d’énergie sous forme d’effet
Joule dans le tube 12 soit
Lorsque 0- varie (0- « I) cette énergie passe par un .
maximum pour
en posant - (9). Tous les termes du V2R03BCyw
développement obtenus, en supposant ,j s petit, sont indépendants de p. En fait, seul le premier terme, e = ~--=
2
est important. D’autre part, si y est trés grand, les phénomènes d’aimantation superfi- cielle interviennent et les équations de départ n’en tiennent pas compte. L’indépendance de e optima vis-à-vis de est donc un peu illusoire dans ce cas.
2 li- ,
,S
la tangente à l’origine de la courbe de l’énergie en r jL- -. -, y w .
~
Fig. 2.
(toujours dans l’hypothèse ~. pas très grand), mais l’inclinaison à l’origine est inversement proportion- nelle à ~/ ~a . Toutes les autres variables contribuent à l’acuité du phénomène, particulièrement le
rayon (r3). Le premier terme donnant la valeur optima e =
a été trouvé la première fois par J. J. Thomson [4] qui évalua la quantité de chaleur produite dans l’in- duit en utilisant la valeur moyenne du vecteur de
Poynting (1a). Depuis, le phénomène a été étudié
théoriquement et expérimentalement par G. Ribaud. Dans de nombreuses publications, ses résultats confirment l’existence et l’exactitude de la valeur
optima [3].
(1) Un développement de plus poussé conduirait à une valeur de l’épaisseur optima
n ro ,
A partir de maintenant, nous désignons par e la cons-
tante / 2 T:
- qui a les dimensions d’une longueur (effet
de peau). (10) Voir plus loin [paragr. 5, form. (~ .10)] le calcul de la
chaleur dégagée dans le cas du cylindre plein.
279
CALCUL DE L’INTENSITÉ ET DE LA DENSITÉ DE COURANT. - Dans le métal, on a les relations sui- vantes :
En remplaçant .H par sa valeur, on a
et
le calcul donne
Comme précédemment, l’écriture a été simplifiée en mettant Jso ou Nso à la place de J,,,V-- 1 ou -1 En remplaçant B et C par leur valeur (1.15), (1.1 ~), on trouve
En remplaçant J, J’, N, NI par leurs valeurs
asymptotiques (2.3), on obtient finalement
et, en faisant u petit,
ou
avec
Puisque a- est petit, on peut prendre pour densité de
(11) On retrouve bien la valeur de 1, (3.2) obtenue par l’intermédiaire de et M. Remarquons que c’est le terme en quadrature avec le champ qui correspond à l’énergie Joule.
courant i = ij = Ii soit e
Si e tend vers zéro, la densité superficielle i, _ ~~~ ry r~>
est décalée de 7" sur Ho ainsi que hs=ls. A ce moment,9 ...,
la f. é. m. induite est évidemment 1
montre que si e croît, l’amplitude de h diminue. Mais la composante réelle RH0r2w2ye
passeMais la composante réelle 1+4R2e2r2w2y2 passe .
par un maximum pour e - 7 a 9’-L A ce
moment, Y = R. -. /..l. l
4. Variations de self et de résistance de l’inducteur. Résistance et self de l’induit. -
La connaissance de permet, par l’intermédiaire de la f. é. m. e écrite sous la forme complexe, de calculer l’augmentation de résistance de l’enrou- lement et sa variation de self. On a trouvé, pour la f. é. m. induite, l’expression
d’où l’augmentation de résistance de l’enroulement
Elle passe par un maximum pour o = s et vaut ce qui correspond bien à une
2y03BC énergie Joule
symétrique par rapport à e et y :
on voit que si w y est très grand, Rl tend
Remarquons enfin que si la ’
2Rrew
correspondant à Rl maximum est faible, il est néces- saire, pour observer ce maximum, d’avoir une grande valeur de pour une épaisseur donnée.
580
soit
qui présente un minimum pour
Pour 1, cette valeur de e devient rapidement égale à la valeur e = ~‘ qui est l’épaisseur optima correspondant au maximum d’effet Joule.
CALCUL DE LA RÉSISTANCE ET DE LA SELF DU TUBE. - Écrivons que la puissance dépensée par effet Joule dans l’enroulement est égale à la puis- sance dépensée par effet Joule dans le tube. Nous avons vu que la valeur de Ii’ dans le tube
H20 o2 S2i 1était 2 j«2. Il vient donc, en appelant Ol, 16R203BC2 , o2s2 ’
03BC2 la résistance du tube
d’où
(12) La valeur R = 21:,. est celle que 1 on pourrait calculer ,je’
directement en supposant une densité de courant uniforme dans une couronne d’épaisseur e, de rayon r et de conducti- bilité y.
(par unité de longueur) et
En appelant £ la self du tube, un calcul identique portant sur la valeur imaginaire de e :
conduit à écrire
ce qui donne
Ainsi, lorsqu’un tube métallique magnétique est placé dans un champ magnétique sinusoïdal, son
rayon r étant grand et son épaisseur e petite, vis-à-vis de p p = 1 , il se produit une distributionB de courants dans l’épaisseur du tube telle que la self qui en résulte est .
La présence de e en dénominateur semble indiquer que 1-’ peut devenir extrêmement grand si e tend vers zéro (13).
f! passe par un minimum pour
si F est assez grand. Enfin,
(13) Le coefficient de self d’un circuit parcouru par un courant i et dont l’épaisseur tend vers zéro devient infini.
Le champ ~1 à une distance d augmente, en effet, indéfiniment si d - o, à moins que 1 tende plus rapidement que d vers zéro. En fait, la façon dont nous avons obtenu (4.5) ne nous permet évidemment pas de faire tendre e vers zéro. Le
terme est toujours petit.- "
En dehors de ces valeurs, si cay est très grand,
Nous avons ainsi calculé 1" et iR dans le cas du tube : s grand, 7 petit. Le calcul peut être conduit dans n’importe quel cas
et de manière identique par l’intermédiaire de Mais il faut évidemment utiliser, dès l’instant où l’on ne se place plus dans des cas limites, les tables de fonctions de Bessel (14).
5. Cas du cylindre plein. - Comme nous le verrons plus loin, ce cas est très important dans la pratique. Les équations de départ sont évidemment beaucoup plus simples que pour le tube. Toujours en négligeant le courant de déplacement devant celui de conduction, elles donnent Le coefficient de la fonction de Neumann étant nul et H devant être égal à Ho pour s = so, on obtient immédiatement
Supposons : petit.
On en déduit, après calcul,
(en mettant s à la place de so pour alléger l’écriture). 20 s grand. - Ici,
en appelant Rs et I, les parties réelles et imaginaires
(14) Ainsi, la transformation d’un cylindre plein en tube entraîne l’apparition de la fonction de Neumann dans les
équations des champs et de la densité de courant. En même temps, apparaît, sur la face interne du tube, une couche de courant. Ce n’est que lorsque la fréquence devient suffisamment élevée que la couche interne disparaît. Il ne reste plus que la couche externe pour laquelle ;~ = (Le flux interne est
nul.) Si l’inducteur et le noyau sont de même nature, le cou- rant et l’induction dans l’inducteur, se reproduisent à ce
moment dans le noyau comme des images réflétées.
En remplaçant Rs et I, par ces valeurs dans
et en faisant s grand dans l’expression obtenue, on obtient ii Ce résultat est évident, le
LI- ’" Y
champ dû à la nappe de courants superficiels devant s’opposer au champ inducteur pour créer un champ résultant nul sur l’axe du cylindre.
Nota. - Pour les grandes valeurs de s, la formule asymptotique donnant est
qui, par la relation
simples pour les fonctions
Les fonctions M et N interviennent très souvent dans les calculs (Tableau I, fig. 3).
282
(en supprimant l’indice zéro à s).
D’où
Comme précédemment, on en déduit une augmen= tation de résistance primaire
La puissance dépensée par effet Joule est
’
La variation de self L, du primaire sera donnée par
Soit
Le coefficient de self apparent pour la hauteur icm est donc S’il croît avec >, c’est tout simplement parce que l’hypothèse du cylindre indéfini supprime le champ démagnétisant. La self Jfi du noyau sera donnée par l’égalité
D’ où
s’annule donc pour p. == i, ce qui est normal.
j /8La valeur r = V83 E n’est pas acceptable, puisque, par hypothèse, r s.
2° s grand.
et, en supprimant l’indice zéro à so, comme aupa-
283
On en déduit, pour la chaleur dégagée dans le noyau,
Remarquons que, dans l’expression générale de ~~ obtenue dans le cas du tube (2 . 7), si o n’est pas petit, la partie principale de A(D a pour valeur
D’où
qui est identique à la valeur de e trouvée direc- tement (5.9). Tout se passe donc à ce moment comme si le cylindre était plein.
Si l’on fait le rapport de l’énergie dépensée dans le tube pour l’épaisseur optima (3.3), à celle
dépensée dans le tube plein de même rayon exté- rieur (et de même nature), on trouve
Ce rapport étant beaucoup plus grand que I, la chaleur dégagée dans le tube est beaucoup plus grande que dans le cylindre plein (15). En employant les valeurs asymptotiques (5.4)
pour Jo et J,,, on aboutit à une énergie
L’augmentation de résistance du primaire est donc
et la ,variation de self
(15) Je n’insiste pas sur cette discussion, qui a déjà été approfondie théoriquement et expérimentalement par G. Ribaud [31. D’autre part, Marc Jouguet a fait une étude complète des
valeurs Rl et Li dans le cas du cylindre plein et de l’ellip- soïde [6].
Cette valeur tend vers la limite évidente -+ ;:2 r2 ou y augmente indéfiniment (16). Enfin, L, s’annule
pour r == t/ 2013±2013 == 1l.Z. Si ia est assez grand, ce V 2Rwy
c
zéro peut s’observer et correspond d’ailleurs à un maximum de L1 CD. Cependant, pour des valeurs de ~. élevées, ce résultat n’est pas à retenir, car nos équations de départ ne tiennent pas compte du champ démagnétisant. Pour cette raison, on ne peut pas déduire des
expressions de Ri et L, que, lorsque 03BC croît indéfi- niment .R1 devient infini positif et L, infini négatif. D’ailleurs, une théorie identique portant sur la sphère ou l’ellipsoïde montre que .~1 tend vers une limite finie, tandis que R1 tend vers zéro quand j croît indéfiniment.
Cependant, pour des valeurs normales de 1-j-, les variations de W,. en fonction de [1. ont qualitati- vement la même allure pour la sphère et le cylindre indéfini. La puissance absorbée croît avec p. [6] (17).
CALCUL DE LA RÉSISTANCE ET DE LA SELF DU NOYAU. - On déduit aisément des égalités
et
représente la section utile 1
Ainsi, la self propre du noyau pour la distribution de courant existante comporte une partie constante
et une partie variable 2Rr V2R03BC qui décroît si ü)ywy croît. -La première partie correspond à la localisation superficielle du courant à la limite.
(is) Je suppose néanmoins que w reste toujours inférieur à une limite telle que la longueur d’onde correspondante soit grande devant les dimensions du noyau, afin de négliger les courants de déplacement devant ceux dus à la conduction.
(17) Notons aussi que les phénomènes d’aimantation super- ficielle qui prennent naissance pour y très grand, ne modifient
pas la valeur de l’intensité superficielle dans le 4R
cas du cylindre indéfini.
284
REMARQUE. 2013 Supposons que, dans un champ magnétique alternatif, on place un tube constitué par des spires jointives d’épaisseur e et de rayon moyen r, au nombre de n par centimètre. Si r est
grand et e petit vis-à-vis de E, on a vu que cR., == ~^;‘’~ . Si l’on déroule les n spires, on forme un cylindre de diamètre e, de longueur 2Rnr qui, placé parallè- lement au champ prend une résistance
-2étant petit par rapport à ê.
r>> Donc, (Ils = 2 R r2 Rc. r étant grand par rapporte2
à e, 6ts est beaucoup plus grand que Rc. Pour les selfs, on a de même
_ , 1 _, ’B
et
avec n = I et r grand par rapport à 8, on trouve e
1 7U
que Ls = çzj - - f(, ,8 E4 * - 1 Au point de vue des puissances dépensées dans
chaque cas, on aura
Si, en particulier, e = "2013 ? on tire
e étant petit vis-à-vis de s, l’enroulement du conduc- teur favorise la production d’énergie Joule.
6. Self et résistance de pertes d’une bobine. Surtension. - Nous avons jusqu’ici raisonné sur 1.p et sa dérivée par rapport au temps pour calculer £, cu, Li, Rl. En opérant sur 2013 . (+1 + $2)bt
ou (Dl + O2 = Y est le flux résultant total, il est
évident qu’on est conduit à considérer la self totale de la bobine (enroulement et noyau) ainsi que l’indique l’équation
où U est la tension aux extrémités et R~ la résis- tance électrique de l’enroulement. Le flux ut == ~1 + ~2 étant complexe, ’~ = ’~7 - j ~.; ~,
(6.1) peut s’écrire
,
correspond à une induc- Ip
tance L. Nous allons calculer dans chaque cas les ’valeurs de L et R1 de façon à exprimer le quo-
tient LU’ qui caractérise la surtension, ou facteur Ri
, i de qualité de la bobine. Le rapport p." = O0 o nous
, .., 03BCa , i donnera la perméabilité apparente et r = 1 - _ 03BCO0, ; u le facteur de réduction du flux de la bobine.
l’
Remarquons que (D, est le flux à travers l’enrou- lement en l’absence de noyau. Donc est le flux à travers le noyau pour des oscillations de très basse fréquence.
Lw Le facteur Ri ne tient compte que des
pertes par courants de Foucault. En réalité, pour déterminer le facteur de qualité réel de la bobine, il faudrait tenir compte :
10 due la résistance de l’enroulement; 20 des pertes par hystérésis et par effet de retard. Dans ces conditions, on aboutit à la formule
dans laquelle ~,l constante de l’effet de retard est
indépendante de c~ et Ho; oc constante de Rayleigh règle la montée quadratique de la courbe d’induc- tion (1s).
D’autre part, dans le calcul de QF, nous suppo- sons B en tous points du corps. En r éalité, si l’on veut tenir compte de l’hystérésis et de l’effet de retard dans le domaine de Rayleigh, il faut écrire le développement de B
en ne considérant que le terme fondamental de
pulsation oj (20).
(18) Nous supposons n = i. U correspond donc à la diffé- rence de potentiel sur cm de longueur du solénoïde. Pour n spires et une longueur de noyau 1, il faut multiplier R1 et L par l dans tous les cas envisagés.
(19) Les trois angles QF, .) ,,1 ’ï: xjf° étant petits, le principe 5 j, a
de superposition s’applique. Mais l’expérience montre
que, pour des poudres, E,, n’est pas toujours indépendant d e et H~.
(2°) D’ailleurs, la théorie montre que la présence de termes en cos 3 w 1 « produit des voix voisines » sur les lignes de
transport à différentes ondes porteuses, car la pulsation tombe, en général, dans une autre bande de fréquence. Mais ce terme parasite est proportionnel à R~ résistance de pertes par hystérésis. D’où l’intérét à réduire R,..
285
Enfin, les bobines étant toriques, dans la majorité des cas, il n’y a pas de champ démagnétisant dù aux extrémités.
CAS DU CYLINDRE PLEIN. - a. s pefit (r ; E). - Les équations précédentes nous donnent
Donc,
et
d’où
Donc, F, Y) ~ I. Q F est inversement propor- tionnel à s2. On en tire d’ailleurs la formule connue
qui donne la résistance de pertes par courants de Foucault en fonction de l’inductance.
l’intermédiaire des valeurs asymptotiques, on trouve
D’où
Si s est grand, i. Ri
son module i ~~ ; N 2 ‘~ tend vers zéro si s augmente indéfiniment.
Son module ! 1°f) = 2 = I tend vers zéro si,
s r GR03BCyw
s augmente indéfiniment. 1. Cas du tube (s > 1, ~ I). - Les résultats sont
évidemment plus complexes.
De l’expression
En utilisant la valeur de » déjà calculée (2.7), on obtient
qui donne
Lorsque c tend vers zéro, s étant constant ce qui est normal.
Donc r -~ o, puisque e E et E tend alors vers zéro. Enfin,
ce qui donne
d’où
Si p. est grand, o- étant petit, pour des valeurs de s de quelques unités Qp peut être très grand. On voit aussi que si s - x (à r constant) Ql: -~ o et o
a s constant sc. De plus, Q f, passe par un 1
minimum Pour a == 2013201320132013 ]J et croît ensuite "
(ü 1). Ce minimum peut d’ailleurs s’écrire
Pour des valeurs de y très faibles (poudres ou semi- conducteurs), w peut se trouver en dehors de la
gamme de fréquence d’utilisation : le minimum ne s’observera pas.
286
Signalons que la résistance de pertes Ri passe par un maximum pour o- =r ~S , ce qui donne
Si la nécessité conduit à la construction d’un noyau tubulaire, il y a donc intérêt à se tenir éloigné de la condition (j === 2 :J..
s
Dans l’ensemble, une augmentation de p fait croître et une augmentation de 1 fait décroître QF et p..a. Il faut donc éviter qu’un accroissement de 1-,t dans la fabrication du noyau s’accompagne d’un accroissement de y. De cette façon, QF et Il,, pour- ront rester importants.
CONCLUSION. -- Les qualités d’une bobine
dépendent de QF et n. Dans le cas du cylindre plein, ces deux paramètres sont fonction de s seulement
Pour un matériau donné (ia, y donnés) et une même fréquence QF croît si r décroît (toujours dans
. l’hypothèse r > ~). D’où l’intérêt de la division du matériau servant de noyau. Par contre, si s croît, QF-i, d’où amortissement du circuit oscillant contenant la bobine. Notons aussi qu’une diminu- tion de ’Y ou r augmente Qr~ et fJ-a. Mais une dimi- nution de li. augmente Qr et diminue N t,.
Enfin, r et M étant donnés, 03BCa varie comme V03BC., , Mais QF varie comme 20132013 ’ Une augmentation
, 03BCy
de li. fait donc croître et décroître QF. Il y a donc intérêt à diminuer y. Autrement dit, deux
noyaux de même t..t, peuvent avoir des surtensions différentes si leur pi, est différent et inversement. La technique actuelle recherche donc des noyaux
de forte résistivité (poudres agglomérées de substances ferro-magnétiques et même semi-conductrices) qui possèdent cependant une valeur de p assez grande pour conserver un fJ-a important. Mais une difficulté surgit dans cette voie car les pertes par hystérèse sont proportionnelles au coefficient oc de Rayleigh.
Je donne ci-dessous quelques valeurs obtenues au laboratoire du Magnétisme à Bellevue (Tableau II).
Qu’il me soit permis, pour terminer, d’exprimer ma reconnaissance à MM. Ribaud et Bauer, qui ont bien voulu s’intéresser à ce travail, ainsi qu’à M. Bou-
taric, qui a mis à ma disposition une utile docu- mentation.
Manuscrit reçu le 5 juillet 1948.
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