Upload
joko-supriyanto
View
141
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
I. Pendahuluan
Perpindahan panas merupakan salah satu bagian penting dalam permasalahan kalor
atau panas. Perpindahan panas dapat terjadi pada sebuah benda ke benda lainnya yang
bersentuhan maupun tidak apabila terjadi perbedaan temperature antara kedua benda.
Hal ini dapat berlangsung dalam tiga bentuk yang berbeda yaitu konduksi, konveksi dan
radiasi.
Peristiwa konduksi, konveksi dan radiasi selalu terjadi di alam dalam berbagai cara
yang berbeda – beda. Meski dalam betuk abstrak yang tidak terlihat namun dapat selalu
dirasakan oleh panca indera manusia
Dalam tinjauan komputasi konsep – konsep yang bersifat abstrak seperti
perpindahan panas dapat di analisa kedalam bentuk nyata melalui pembuatan simulasi.
Komputasi merupakan solusi untuk memecahkan masalah – masalah analitik yang
kompleks menjadi perumusan numerik untuk penyelesaian secara interaktif dengan
bantuan komputer.
Fortran merupakan salah satu bahasa pemrograman yang dapat digunakan untuk
menggambarkan konsep – konsep abstrak perpindahan panas agar dapat terlihat jelas
mengenai fenomena yang terjadi pada perpindahan panas.
II. Dasar Teori
II. 1. Perpidahan Panas
Perpindahan panas adalah bentuk kalor yang dapat berpindah dari benda yang
bersuhu tinggi ke benda yang bersuhu rendah. dan berlangsung sampai terjadi
suhu kesetimbangan. Suhu kesetimbangan adalah kondisi ketika proses
perpindahan panas berhenti yang ditandai dengan kesamaan suhu dari kedua
benda yang mengalami proses perpindahan panas. Sedangkan kalor ini merupakan
suatu bentuk energi atau dapat juga didefinisikan sebagai jumlah panas yang ada
dalam suatu benda. Kecepatan perpindaha panas tergantung pada perbedaan suhu
antara kedua bahan, semakin besar perbedaan suhu antara kedua bahan, maka
semakin besar kecepatan pindah panas antara kedua bahan tersebut.
Perbedaan suhu antara sumber panas dan penerima panas merupakan gaya tarik
dalam pindah panas. Peningkatan perbedan suhu akan meningkatkan gaya
tarik sehingga meningkatkan kecepatan pindah panas.
Distribusi temperatur merupakan hal yang penting untuk mengetahui aliran
kalor. Distribusi temperatur dan perpindahan kalor merupakan sesuatu yang
menarik pada banyak penelitian dan aplikasi teknik, seperti dalam merancang
penukar kalor inti reaktor nuklir, system pemanas dan sistem pendingin ruangan,
serta sistem energi solar.
Dalam pembagiannya perpindahan kalor dibagi menjadi tiga mekanisme
perpindahan kalor yaitu : konduksi, konveksi dan radiasi.
II. 1. 1. Perpindahan Panas Konduksi
Perpindahan kalor konduksi adalah perpindahan energi yang terjadi pada
medium yang diam (padat atau zat yang dapat mengalir) apabila terdapat
gradien temperatur dalam medium tersebut.
Laju perpindahan panas konduksi dinyatakan dengan persamaan :
Dimana :
Qx = Laju perpindahan panas (W)
A = Luas penampang dimana panas mengalir (m2)
dTdx
= Gradien suhu pada penampang, atau laju perubahan suhu T terhadap
jarak dalam arah aliran panas x
K = Konduktivitas thermal bahan (W/m oC)
II. 1. 2. Perpindahan Panas Konveksi
Perpindahan panas konveksi terjadi antara permukaan dengan fluida yang
mengalir apabila keduanya pada temperatur yang berbeda. Ketika fluida melaju
melalui benda padat, dan dengan temperatur yang berbeda, perpindahan kalor
terjadi diantara fluida dan permukaan padat sebagai hasil dari pergerakan
fluida.
Mekanisme perpindahan ini disebut sebagai konveksi, ketika pergerakan
fluida berperan dalam laju perpindahan kalor. Jika pergerakan fluida
disebabkan oleh mekanisme dari luar secara paksa seperti oleh blower, pompa,
atau fan, mekanisme laju kalor dapat dikatakan sebagai konveksi paksa (forced
convection). Jika pergerakan fluida dikontrol sebagai hasil dari perbedaan
massa jenis (densitas) yang disebabkan oleh perbedaan temperatur diantara
fluida, mekanisme dari laju kalor dapat dikatakan sebagai konveksi
bebas/natural (free/natural convection).
II. 1. 3. Perpindahan Panas Radiasi
Berbeda dengan mekanisme konduksi dan konveksi, dimana perpindahan
panas terjadi melalui bahan antara, panas juga dapat berpindah melalui daerah-
daerah hampa. Mekanisme perpindahan panas di daerah hampa terjadi karena
adanya radiasi elektromagenetik. Jadi radiasi adalah energi yang dipancarkan
oleh bahan tertentu dalam bentuk gelombang elektromagnetik (photon) sebagai
hasil dari perubahan konfigurasi elektron dari atom atau molekul.
Energi radiasi matahari berupa gelombang elektromagnetik yang
merambat pada ruang hampa di angkasa luar. Lapisan terluar matahari sebagai
sumber pancaran radiasi ekuivalen dengan benda hitam (black body) yang
bersuhu 6000 oC. Laju pemancaran energi matahari ini sangat besar yaitu
3,8x1023 kW. Dari total energi radiasi matahari ini hanya sebagian kecil saja
yang ditangkap bumi di luar atmosfer, yaitu 1,7x1014 kW
Laju radiasi maksimum yang dapat dipancarkan dari sebuah permukaan
(blackbody) pada suhu absolut diberikan oleh hukum Stefan-Boltzmann
Q = (W/m2)
Dimana : σ=5,67 x10−8W /m2. K4
II. 2. Metode Beda Hingga
Metode beda hingga merupakan metode klasik yang dipergunakan
sebagai pendekatan dalam menghitung turunan numerik dalam rangka
menyelesaikan suatu pemodelan yang memiliki bentuk persamaan
diferensial. Metode beda hingga dapat diturunkan dengan dua cara, yaitu
dengan deret Taylor dan dengan hampiran polinom interpolasi. Kedua cara
tersebut menghasilkan rumus beda hingga yang sama.
Deret Taylor
f ( x+ Δx)=f ( x )+( Δx ) ∂ f∂ x
+( Δx)2
2 !∂2 f∂ x2
+( Δx )3
3 !∂3 f∂ x3
+⋯
Pendekatan beda hingga untuk turunan pertama
Pendekatan beda maju (forward difference)
Pendekatan beda mundur (backward difference)
Pendekatan beda tengah (central difference)
Pendekatan beda hingga untuk turunan kedua
Untuk turunan kedua pendekatan yang biasa dipakai adalah pendektan beda
tengah(central difference)
Metode beda hingga yang diaplikasikan pada kasus perpindahan panas,
meliputi : Metode FTCS (Forward in Time Central in Space), Metode
Laasonen, Metode Crank-Nicolson
II. 2. 1. Metode FTCS ( Forward in Time Central in Space)
Metode FTCS merupakan gabungan dari pendekatan beda hingga yakni
turunan pertama terhadap waktu dengan beda maju dan turunan kedua terhadap
ruang dengan beda tengah sehingga Solusi FTCS termasuk ke dalam solusi
solusi stabil bersyarat dengan syarat kestabilan α
ΔtΔx
≤12 .
2
2
x
f
2
211
2
2 2x
x
fff
x
f iii
x
f
f ( x−Δx )=f ( x )−( Δx) ∂ f∂ x
+( Δx)2
2!∂2 f∂ x2
−( Δx )3
3 !∂3 f∂ x3
+⋯
f ( x+ Δx)=f ( x )+∑n=1
∞ ( Δx)n
n !∂n f∂ xn
∂ f∂ x
=f i+1−f i
Δx+Ο( Δx )
∂ f∂ x
=f i−f i−1
Δx+Ο( Δx)
∂ f∂ x
=f i+1−f i−1
2 Δx+Ο( Δx )2
Skema metode FTCS
Dimana : i = indeks ruang
n = indeks waktu
Diskretisasi persamaan konduksi 1D dengan metode FTCS
Turunan waktu didiskretisasi dengan pendekatan beda maju
Turunan ruang didiskretisasi dengan pendekatan beda tengah
Sehingga :
II. 2. 2. Metode Laasonen
Dimana : i = indeks ruang
n = indeks waktu
Diskretisasi persamaan konduksi 1D dengan metode Laasonen
Turunan waktu didiskretisasi dengan pendekatan beda maju
∂T∂ t
=α∂2 T∂ x2
∂T∂ t
=T i
n+1−T in
Δt+Ο ( Δx )
∂2T∂ x2
=T i−1
n −2 T in +T i+1
n
( Δx )2+Ο ( Δx )2
T in+1−T i
n
Δt=α
T i−1n −2T i
n+T i+1n
( Δx )2
T i
n+1 =T i
n+ αΔt
( Δx )2(T i−1
n −2T in +T i+1
n )
∂T∂ t
=α∂2 T∂ x2
∂T∂ t
=T i
n+1−T in
Δt+Ο ( Δx )
Turunan ruang didiskretisasi dengan pendekatan beda tengah
Sehingga :
Persamaan diatas disebut persamaan tridiagonal matriks Dimana :
Persamaan Tridiagaonal matriks dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut :
T1 dan Tnx berada pada kondisi batas (boundary candition)Untuk menyelesaikan persamaan tridiagonal matriks digunakan Algoritma Thomas (dalam program komputer berupa Subroutine Tridi)
d2d3d4dnx-2dnx-1
=
T1T2T3T4Tnx-2Tnx-1Tnx
a2 b2 c2 a3 b3 c3 a4 b4 c4
anx-2 bnx-2 cnx-2 anx-1 bnx-1 cnx-1
∂2T∂ x2
=T i−1
n+1−2 T in+1+T i+1
n+1
( Δx )2+Ο ( Δx )2
T in+1−T i
n
Δt=α
T i−1n+1−2T i
n+1+T i+1n+1
( Δx )2
⇔T in+1−T i
n =αΔt
( Δx )2(T i−1
n+1−2T in+1+T i+1
n+1 )
⇔−αΔt
( Δx )2(T i−1
n+1−2T in+1+T i+1
n+1)+T in+1=T i
n
⇔−αΔt
( Δx )2T i−1
n+1+(1+2αΔt
( Δx )2 )T in+1−αΔt
( Δx )2T i+1
n+1 =T in
⇔ai T i−1n+1+bi T i
n+1+c iT i+1n+1 =d i
a i=−αΔt
( Δx )2
b i=1+2αΔt
( Δx )2
c i=−αΔt
( Δx )2
d i=T in
II. 2. 3. Metode Crank-Nicolson
Dimana : i = indeks ruangn = indeks waktu
Diskretisasi persamaan konduksi 1D dengan metode Crank-Nicolson
Turunan waktu didiskretisasi dengan pendekatan beda maju Turunan ruang didiskretisasi dengan pendekatan beda tengah
Metode Crank-Nicoson terdiri dari dua langkah waktu yaitu :
Langkah waktu ( nàn+1/2) Diskretisasi turunan waktu
Diskretisasi turunan ruang
Langkah waktu ( n+1/2àn+1) Diskretisasi turunan waktu
Diskretisasi turunan ruang
∂T∂ t
=α∂2 T∂ x2
∂T∂ t
=T i
n+1 /2−T in
( Δt /2 )+Ο ( Δx )
∂2T∂ x2
=T i−1
n −2 T in +T i+1
n
( Δx )2+Ο ( Δx )2
T in+1/2−T i
n
( Δt /2 )=α
T i−1n −2T i
n+T i+1n
( Δx )2
∂T∂ t
=T i
n+1−T in+1 /2
( Δt /2 )+Ο ( Δx )
∂2T∂ x2
=T i−1
n+1−2 T in+1+T i+1
n+1
( Δx )2+Ο ( Δx )2
Jika langkah waktu ( nàn+1/2) dan ( n+1/2àn+1) dijumlahkan menjadi :
+
Dimana :
Persamaan tridiagonal matriks diselesaikan dengan Algoritma thomas
III. Penyelesaian Kasus Perpindahan Panas
Sebuah plat besi mempunyai temperatur 27 oC dengan tebal plat 90 mm.
Kemudian plat tersebut di panaskan pada kedua sisinya masing – masing 100oC dan
45oC secara konstan. Apabila massa jenis besi = 7874 Kg/m3, kalor jenis besi = 448
J/KgoC dan konduktifitas termal besi 78 W/m oC. Hitunglah distribusi temperatur pada
besi tersebut selama a) 0,20 detik b) 20 detik. Gunakan metode FTCS, Metode
Laasonen dan Metode Crank-Nicolson.
2
11
111
211
122
2/ x
TTT
x
TTT
t
TT ni
ni
ni
ni
ni
ni
nnii
T in+1−T i
n+1 /2
( Δt /2 )=α
T i−1n+1−2T i
n+1 +T i+1n+1
( Δx )2
T in+1/2−T i
n
( Δt /2 )=α
T i−1n −2T i
n+T i+1n
( Δx )2
T in+1−T i
n+1 /2
( Δt /2 )=α
T i−1n+1−2T i
n+1 +T i+1n+1
( Δx )2
⇔−αΔt
2 ( Δx )2T i−1
n+1+(1+αΔt
( Δx )2 )T in+1−
αΔt
2 ( Δx )2T i+1
n+1 =
T in+αΔt
2 ( Δx )2(T i−1
n −2T in +T i+1
n )
⇔ai T i−1n+1+bi T i
n+1+c iT i+1n+1 =d i
a i=−αΔt
2 ( Δx )2bi=1+
αΔt
( Δx )2
c i=−αΔt
2 ( Δx )2d i=T i
n+αΔt
2 ( Δx )2(T i−1
n −2T in+T i+1
n )
III. 1. Metode FTCS ( Forward in Time Central in Space )
Plat Besi
100oC 45oC
90 mm
27oC
ρ = 7874 Kg/m3
Cp = 448 J/KgoC
k = 78 W/m oC
a) Program FTCS untuk t = 0,2 detik
Hasil Program FTCS untuk t = 0.2 detik
b) Program FTCS untuk t = 20 detik
Hasil Program FTCS untuk t = 20 detik
III. 2. Metode Laasonen
a) Program Laasonen untuk t = 0,2 detik
Hasil Program Laasonen untuk t = 0,2 detik
b) Program Laasonen untuk t = 20 detik
Hasil Program Laasonen untuk t = 20 detik
III. 3. Metode Crank-Nicolson
a) Program Crank – Nicolson untuk t = 0.2 detik
Hasil Program Crank – Nicolson untuk t = 0.2 detik
b) Program Crank – Nicolson unyuk t = 20 detik
Hasil Program Crank – Nicolson untuk t = 20 detik
IV. Kesimpulan
Dari uraian dan persoalan kasus perpindahan panas konduksi 1 dimensi tersebut
dapat diambil berbagai kesimpulan sebagai berikut :
a. Perpindahan panas mengalir dari bagian yang bertempatur tinggi ke bagian yang
bertemperatur rendah.
b. Metode beda hingga mampu mempresentasikan perpindahan panas yang terjadi
pada plat besi sehingga dapat di ketahui besarnya distribusi temperature serta arah
persebarannya secara 1 dimensi.
c. Dari ketiga metode beda hingga yaitu metode FTCS, metode Laasonen dan Crank –
Nicolson mempunyai tingkat ketelitian yang berbeda – beda.
d. Penyelesaian permasalahan perpindahan panas konduksi 1 dimensi menggukan
komputasi dapat mempersingkat waktu.
V. Daftar Pustaka
Cengel, Yunus A.; 2003,” Heat Transfer A Practical Approach 2nd edition” McGraw-.
Hill Companies Inc, New York.
Hoffman, Klaus A & Chiang, Steve T. , 2000, “ Computational Fluid Dynamics 4th Vol 1
“,Vicita, Texas.
Incropera, Frank P. & DeWitt, David P. 1996,” Fundamental of Heat and Mass Transfer
4th Edition ”, United States of America, John Wiley & Sons.
Universitas Pendidikan Ganesha,”
http://www.mediabali.net/fisika_hypermedia/perpindahan_kalor.html”, 26 Oktober
2012.
TUGAS
KOMPUTASI PERPINDAHAN PANAS
“ Simulasi Numerik Perpindahan Panas Konduksi 1 Dimensi Menggunakan Pendekatan Beda Hingga “
Di Susun Oleh :
Nama : Joko Supriyanto
NIM : I0409026
JURUSAN TEKNIK MESIN FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2012