I N D I C E G E N E R A L

ítulo L Interes simple

h D e f i n i c i o n e s . — 2. D e d u c c i ó n de l a f o r m u l a . — 5. Las f ó r m u l a s deducidas de la f u n d a m e n t a l . — -1. L a constante del i n t e r é s . E j em­p los .— ï , L I t i e m p o expresado en meses o d í a s . E j e m p l o s . — 6. E r r o r que se cornete al tomar el a ñ o e o m e r c i i l en lugar de l natu­r a l . — 7. F ó r m u l a de l m o n t o , es deci r , del cap i ta l y los intereses reunidos. E j e m p l o s . — S. L o s d e m á s e lementos en f u n c i ó n del m o n t o . — 9. A d v e r t e n c i a . — 10. L l i n t e r é s en f u n c i ó n d e l m o n t o . E j e m p l o s . — 11. R e l a c i ó n entre los intereses tomando c o m o base el a ñ o comerc ia l y el na tura l . E j e m p l o s . — 12. Tasas equivalentes. E j e m p l o s . — 1>. T i e m p o en que se dupl ica u n capi ta l a i n t e r é s s i m p l e . — I V . Observac iones .— 14. Problemas .

í t u l o I I . I n t e r e s compuesto

1$. Gene ra l idades .— 16. F ó r m u l a del m o n t o de un capi ta l a i n ­te rés compues to . D e d u c c i ó n . E j e m p l o s . — 17. F ó r m u l a de l inte­rés . D e d u c c i ó n . — 18. Consecuenc ias de la f ó r m u l a de l i n t e r é s . E l capi ta l en f u n c i ó n del i n t e r é s . E l i n t e r é s en f u n c i ó n del m o n t o . E l m o n t o en f u n c i ó n de l i n t e r é s . — 10. D i f e renc i a entre el i n t e r é s s imple y el i n t e r é s compues to y relaciones entre u n o y o t ro . L a equivalencia de u n tanto de i n t e r é s s imple a otro de i n t e r é s com­puesto. E j e m p l o . — 20 . C á l c u l o de l cap i ta l . E j e m p l o . — 2 1 . C á l c u ­l o de l t i empo . E j e m p l o . E l t i empo en f u n c i ó n del i n t e r é s . E j e m ­p l o . — 22 . C á l c u l o de la tasa. E j e m p l o . Fa tasa en f u n c i ó n de l i n t e r é s . — 2>. Tasas proporcionales y tasas equivalentes. E j e m ­p l o . — 24. C o m p a r a c i ó n entre las tasas proporcionales y las equ i ­valentes. R e l a c i ó n entre el i n t e r é s y la frecuencia de acumula­c i ó n . — 24 ' . R e l a c i ó n entre el m o n t o y la Frecuencia de capi ta l i ­z a c i ó n . I n t r o d u c c i ó n del n ú m e r o e en la m a t e m á t i c a f inanciera . E j e m p l o s . — 2 4 " . C a p i t a l i z a c i ó n c o n t i n u a . C a p i t a l i z a c i ó n discon­t inua . F.l tanto i n s t a n t á n e o 8.— 2-T". A m p l i a c i ó n sobre las tasas equivalentes. F l tanto n o m i n a l . A m p l i a c i o n e s sobre el tanto ins­t a n t á n e o 8. E l tanto ¡ h desarrollado en serie en f u n c i ó n de i . E l tanto efectivo i desarrollado en serie en f u n c i ó n de ir-. E j e m p l o s . A m p l i a c i ó n sobre el tanto n o m i n a l Su desarrollo en serie en f u n c i ó n de i . S e i desarrollad*»s en serie c u f u n c i ó n u n o de otro. E j e m p l o s . E l tanto i n s t a n t á n e o cu f u n c i ó n de un tanto n o m i n a l v r e c í p r o c a m e n t e . E j e m p l o s . — 2 4 , v . Problemas.

1217

m s Í N D I C E C;EM-:RAL

Capi tu lo III. L a capital ización en fracciones de ano. EJ tiempo f i C¡C C 1 O I I - 1 T Í O t . ! t , - • * * i » - » • - • t •

25. Capitalización de los intereses pu: periodo* de tiempo inferio­re* al año. Ejemplos.— 25*. E l tipo de interés que se da en el problema es el efectúo correspondiente al período de capitalizieion o a otro distinto. Ejemplo.— 26. Ticmpu fraccionario. Generali­zación de la fórmula fundamental. Convenio exponencial. Ejem­plos. Convenio lineal. El monto. Ejemplo. E l valor actual, Ejeiiiplo. E l tiempo. Ejemplo. La tasa. Fiemplo. ta sustitu­ción del factor ( l + ~]7 * ' ) Voí c l Ktöf + E s t u ü i o ü e i

error cometido. Fiemplo.— 26'. Ampliación ¡sobre la convención lineal. E l monto y el valor actual. E l tiempo. Ejemplo, l a Usa. Ejemplo.— 27. Tiempo cu el cual se duplica un capítol a interés compuesto. Ejemplo. Serie de Merca toi.— 27*. Casos pait ¡cuines del ínteres compuesto. Ejemplos.

Capi tulo I V . Tablas numéricas de í ínteres compuesto; Resolu­ción de Jos* problemas poi medio de las mismas -

28. Tabla de los logaritmos de (I - i ; . — 29. Tabla del valor final de ECO en el tiempo n a la tasa unitaria i . Formación do la tabla y manejo de la misuu.— V). Cálculo del monto, a) F l tiempo y la tasa K hallan en la tabla. F.jcmplo. b¡ E l ticni|>o no K naife cu la tabla. Ejemplo. Se admite que la diferencia de los tiempo-, es proporcioir.il a la diferencia de los morítí». J¿uc la interpolación proporcional da para d monto mi resultado poi exceso. Rcprcscn-ración gráfica, lutrrrxilación tangencial. Que la interpolación tan­gencial da para d monto un « a n d o pOí defecto. Rcpiescn lición gráfica, c) 1.a tasa no se halla en la tabla. Ejemplo. Se admite que la diferencia de l.is tasas es proporcional a la diferencia de lo* montos. Ejemplo.— 31. Observaciones I? fntrrpolación propor­cional o lined. Que da también para el monto un resoltado por exceso. Representación gráfica de b función cuando 1J Varittje es i . 2* Interpolación tangencial. Da el monto por defecto. Re­presentación gráfica. Ejemplo Que no a indifeuiitc en la inter­polación tangencial partir de cualquiera de los dos montos s, o *, que dan las tablas. Representación gráfica. 3* Advrrtcncias sobre la práctica comente OL lomar pan el monto la inedia aritmética de los montos, pmporcioiial y tangencial. Ejemplo.— 32. Cálculo del capital primitivo. Fomacinn de la tabla de valores actuales cuando el monto es b unidid. a; Formación de la tabla- b) E l tiempo no se encuentra en la tabla. Interpolación proporcional. Que da para el capital primitivo un resultado por exceso. Rcpre sentación gráfica. ínteipolaeión tangencial. y « c se obtiene >in va­lor por defecto. Representación gráfica, cj La tasa no se encuen-

INDICE G E N E R A L 1219

Un en la tabla. Ejemplo. Interpolación proporcional que da un valor por exceso, Interpolación tangencial que da un valor por de­fect n. Representación gráfica. Ejemplo.— 33. Cálculo del interés. B) r . l tiempo no se hulla en la tabla. Ejemplo, b; L a tasa no se halla en la tabla, Ejemplo.— 31. Cálculo del tiempo. Interpola­ción lineal que da para el tiempo un valor por defecto. Ejemplo. Interpolación langencial t¡tíe d;i para el tiempo píi resultado poi exceso. Representación £ráfie;¡. Ejemplo.— 3?. Cálculo de la tasa. Interpolación proporcional. Ejemplo. Ouc da nn vnlor para la tasa por defecto. Interpolación tangencial que da para la tasa un va­lor por exceso. Representación gráfica. Ejemplo.—• 36. Los intereses se pagan por anticipado. Ejemplo.— 37. Tabla número 9. E l tanto nominal en función del tanto real. Ejemplo,— 3S. ' labia número 8. E l tanto rea) en función del tanto nominal. Ejemplo.— 39. 6Ü'. Problemas varios resueltos.— 61. Problemas a resolver.

C a p í t u l o V , Descuentos . Descuentos a interés simple 173

62. Definiciones.— 63. Descuento racional o matemát ico .— 64. Deducción de la fórmula fundamental. Ejemplo.— 6S. D e l pro­blema inverso del descuento racional. Ejemplos.— 66. D e l valor nominal y del actual.— 57. 6S. 69. Ejemplos.— 70. Valor actual y descuento expresados en función del nominal de 1,00 peso.— 71. AdvcrLencia. Ejemplo.- 72. Regla: el descuento se halla mul-liplicando él nominal por el descuento de 1,00 peso y dividiendo el producto por el monto de 1,00 peso. Ejemplo.— 73. Caso cu que los documentos descontados devengan inicies. Ejemplo. 74. Calificación de a b m ñ n que se d.i al descuento comercial. Ejcm-plo¿ 75. Observación.- 76. Descuento comercial o bauc;m'o. Definición y fórmula fundamental.— 77. E l lanío de descuento y el tanto de interés, uno en función del otro— 78. Del problema inverso del descuento comercial.— 79. Del valor nominal y del actual.— SO. Ejemplos.— -SI. Piabkaua> : icsolvei de los dos des-Cuentos.

C a p i t u l o V I . Descuentos a i n t e r é s compuesfo 191

82. Clases de este descuento.— S3. Descuento verdadero. Defini­ción.— S4. Descuento exterior impropio. Definición.— 85. Des­cuento exterior propio o descuento baucario compuesto.— Defi­nición.

Descticufo inferior

86. Descuento interior o verdadero. Deducción de las fórmulas.— 87. Ejemplos.- 88. La relación cutre el descuento verdadero y el descuento comercial a inlerés simple. Ejemplos.- 89. Relación

IN 0 ICE G E N E R A L

entre el descuento verdadero y c! descuenln racional. Ejemplo.— 9Ü. E l descuento verdadero continuo.— 91. RjcntrplóS,

Descuentos exteriores

92. Descuento exterior propio. Tipo de ínteres y tipo de descuen­to. L.is tórmulas en función de esta última lasa. Ejemplos.— 93. Los tipos de descuento, a) d en función de i . frj i en función de d. d) E l tanto nominal de descuento, 1? E l tanto real en función del nommai. 29 LI tanto Teal del intervalo en función dc'i tanto rea* anual. 39 E l lanío Annal nominal en función del teáL 49 E l tanto nominal de descuento en rucien del nominal de inte­rés e inversamente. 59 E l lanío nominal cu función de v. 69 E l tanto ical de interés en función del nommai de descuento. 79 E l tipo nominal de dcscucnlo en función del lipo Teal de interés. $9 E l tanto real de descuente en funeion del lauto nominal de in­terés. 99 E l tipo nominal d<¿ inicies en función del tipo real de descuento, e; E l tanto instantáneo de descuento. 1° 6 en función de v. 29 ß en función di. d. 39 ti en función de íi. '19 5 en fun­ción de f/;. lanto nominal de descuerno. ?9 í}. en función de Ü-69 E l tipo instantáneo de interés y el tipo instantáneo de descuen­to. "9 (k tanto real del intervalo en función de 5. e inversamente.— 94. E l descuento baneario conhnuo. Ejemplos.— 95. E l descuenío bancario coui]>ucsto relacionado t on gl descuento verdadero. Ejem­plo,— 96. E l descuento tamcano compuesto relacionado con el descuento a interés simple. Ejemplos.— 97. Cálculos de amortiza­ción o depreciación. *¿S. E l método del descuento compuesto. Ejemplos.— 99. E l descuento cxlcrior impropio. Fórmulas. Ejem­plos.— 100. Las faehir.-.s di- descuento. Ejemplo.— 101. IJn valor actual ejuc sea snlmuiliípln del nominal.— 102. Problemas varios resueltos.

C a p í t u l o V i l . V e n c i m i e n t o e o r n ú n

109. Generalidades.— l i t ) . Capitales equivalentes. Ejemplos.— 111. Capitales equivalentes cuando son descontados a h misma lasa, investigación de un capital equivalente a otro dado. Ejcm pin.— 112. Más sobre la investigación del capital equivalente. Ejemplo.— 113. Los capitales equivalentes eu el descuento inte­rior y en el descuento Comercüi] simple. Ejemplos.— 114. Los capitales equivalentes en el descuerno interior y en el racional sim­ple. Ejemplos. Observación. Método convencional o comercial. Ejemplo.— 115. Que sólo debe empleaise el descuento verdade­ro.—• 116. Vencñnien tu común . Caso ncneril. Fórmula. Valoi del pago único. Ejemplos. Dos modos de operar.— 117. Fórmula del se­gundo modo y su simplificación si los valores présenles son Igua les— U S . E l problema inverso del vencimiento común . ;;) Inves­tigación de la fecba de vencimiento del pago único. Ejemplo.

INDICE G E N E R A L 1221

Discusión de la fórmula. Observación. Ejemplo, bj Investigación do. la tasa. Ejemplo. Que en general la tasa como incógnita dc-i&rtrlc de una ecuación de grado superior. Regla para resolver una ecuación de es 11 : tipo originada por el vencimiento común . Ejem­plos. La interpolai ion proporcional cuando se lian hallado dos va­lores para el primer miembro oV ecuación, uno positivo v otro negativo, muy próximos a cero cpie es el segundo miembro de la ecuación. Necesidad entonces de admitir cjue las diferencias de las tasas son proporcionales a las diferencias del primer miembro de la ecuación, cuando se lia reducido el segundo a cero. CJ Investi­gación del importe de uno de los pagarés. Ejemplo, d) Investigar eion del vencimiento de uno de los pagarés. Ejemplo.— 119. Breve referencia al vencimiento común a interés simple. Motivos que limitan su empleo cu la práctica. Ejemplo.— L2Ö a 124. Ejem­plos resuellos.- 125. Tasa común de desencolo. Ejemplo.— I2t>. [.os pagarés devengan intereses.— 127. Emblemas a TCSOIVCT-

G a p i h i l o V I I I . V e n c i m i e n t o med io o pJa/o medio 292

123. Definiciones y ecuación del plazo medio.'— 129. Averiguación del plazo medio. Ejemplo. Influencia del punto de partida cu la longitud de los cálculos.— 1 30. Averiguación de la tasa. Ejemplo. Resolución de la ecuación ríe grado superior que se origina.— 131. Hallar la fecha de uno de los pagarés. Ejemplo. — 132. Casos parí icukrcs. Los diferentes pagares líe neu el mismo valor. Ejem­plo.— 1>>. Los diferentes pagos son de igual valor y en Ire los ven-cimicnlos media el mismo intervalo de tiempo, Ejemplo.— 154. Cuando son dos solamente los pagos iguales. Ejemplo. Que en el interés compuesto el plazo medio no coincide con la media aritmé­tica de los plazos.— 159, Problemas a resolver,

C a p í t u l o I X . ATiMÏiééclcs à rentas. Vencimiento medio de una rcn tíi * - - - » - - - - - » * * > a i • .* • • i l * a * * * * » * * 5 08

136, Preliminares. Definición de la renta y de la anualidad. Div i ­sion en rentas constantes y variables.— 137. Rentas anuales, tri­mestrales, etc.— 158. División de las rentas según el fin que se persigue.— 139. Una clasificación gpiicräl. Gjeí'tás e inciertas. V i ­talicias. Temporales o a plazo y perpetuas. Enteras y fraccionadas.— 140. La clasificación según el momento del período en c|iic se paga la cuota: normales u ordinarias, es decir, de pago por atrasado o a termino vencido y de pago por adelantado,— 141, L a clasificación en inmediatas, diferidas y anticipadas.— 142. L a clasificación de las rentas presentada en un Cuadro con t i gráfico representativo de cada una de ellas. Ej::iupln.s de representación.— 143. E l problema fundamental. Valor presente O actual y monto o valor filial de una miititi— 144- Lo- símbolos.— M r Vencimiento medio de una

1222 INDICE GENERAL

renta.— 146. Rentas inmediatas de pago vencido. Kjcmp'o. |Á-ir.-.«.lu! i de pago udefcmtsdo. Ejemplo.— HT. Rentas diferidas or­dinarias. Ejemplo. Diferida du pago adelantado. Ejemplo.— 148. Rentas anticipadas ordinarias. Anticipada de pago por adelantada Kjcmplo." H ù . Rentas constantes peipetuas«— 150, Rentas vit»' lîcins.— 151. Rentas variables.

Capitulo X . Rentas enteras. El valor actual o presente de tina

152. Objeto de c*tudio de este capitulo.— 1>3. Korma general del valor actual de una renta. Renta diferida v;iliable de pago por aira-sado. Deducción de la fónnula.— 154. Renta diferida variable de pago adelantado. Fórmula.— 155. Kenia inmediata variable tic pago por atrasado. Fórmula.— 156. Renta inmediata variable de pago por adelantado. Formate-— 157- Renta anticipada sanable de pago ppi Atrasado; Fórmula.— 158. Renta anticipada variable de pago poi adelantado, Knrinula.- 159. E l valor actual en las rautas constan­tes pe: pe tuas, a? l a inmediata de pago atusado, bi 1.4 inmediata perpetua paridera por adelantado. c¡ Las perpetuas diferidas de pago atrasado, ti) La perpetua diferida de pago por adelantado, ej La perpetua anticipada de pago atrasado, i) La perpetua anti­cipada de pago ix>r adelantado. Fórmulas correspondientes a ca<h una de ellas. Ejemplos.— 160. El valor actual en las rentas varia­ble« perpetuas.— 161. Que no pueden decrecer en una cantidad constante.— 162. La procesión geométrica decreciente, l-'óruinla. Ejemplo.— 16?. E l valor actual de las rentas Variables a p\jzo cuando la variación cumple determinada % condiciones, a) Anuali­dades variables en progresión aritmética. Fórmulas, n) La tazón de la procesión es igual al primer ténnino. Fórmula. Kjemplo. c) Lis demás fórmulas que corresponden a olía clase de Tentas en progresión aritmética se deducen de la anterior, d) l a progresión aritmética es decreciente. Kónruib. Ejemplo. t¿) Anualidades varia­bles en progresión geométrica. Formula. Ejemplo, i) La razón í| es igual a ( l + i ) . Resolver la indeterminación que resulta. V'ónuu-la. Ejemplo.— 161. Rentas variables. Valor actual. Reunión de las fórmulas deducidas. Rentas variables perpetuas. Valor actual.— 165, T'.l paso a las renias constantes en las temporales. Rentas cous-tailles. Valor actual. Renta inmediata pagadera por atrasado. Renta inmediata pagadera por adelantado. Diferida de pago atrasado. Di­ferida de pago adelantado. Anticipada de pago abasado.. Anticipada de pago adelantado.- 166. E l paso a las fórmulas unitarias en las rentas temporales. Rentas constantes. Valor actual de las rentas cuando h cuota es 1,00 peso. Inmediata dr pago a trisado. De pago adelantado. Diferida de pago atrasado. De pago adelantado. Anti­cipada de pago atrasarlo. De pago adelantado. Formólas dé todas ellas.— 16*. Ejemplo^— 169. Renta* continuas. F l valor actual-Fórmulas. Advertencia importante. Ejemplos.— 170. La tabla del

INDICE CKNF.RM 122>

1 - V «

valor actual de la anualidad de 1 -0(1 peso. Fórmula: a— = ir! i

Formación de la tabla.— 1.1. E l tiempo CXCcde del calculado en las tablas. Ejemplo.

Capi tu lo X L Renías cuteras. E l monto o calor final de una renta 37(J

172. Forma general del monto de una renta. La renta variable anti­cipada de pago por atrasado. Deducción de la fórmula. Ejemplos.— 175. E l nionlo ifi periodos después del último pago.— 174. Varia­ble anticipada de pago adelantado. Fórmula.— 176. Variable in­mediata de pago atrasado. Fórmula.— 177. Renta inmediata de pago adelantado. Fórmula.— 178. Variable diferida de pago atra­sado. Fórmula.— 179. Variable diferida de pago adelantado. Fórmu­la. - ISO. Que t i monto es el mismo pau las tres clases de renta de pago atrasado v el mismo ixira las tres de pago adelantado. Fórmu­las.— ISI. E l valor final en las rentas variables a plazo, cuando la variación de los pagos cumple determinadas condiciones, a) Los tér­minos de la renta varían en progresión aritmética, Fórmulas. Ejem­plo, b) F l valor aetual de la renta de que .se trate, como base para obtener el monto, CXCCpto en las diferidas, c) La primera cuota es igual a la razón de la progresión. Fórmula. Ejemplo, clj I i i pro­gresión aritmética decreciente. Fórmula, c; Los pagos vanan en progresión geométrica. Fórmula, f.i Caso en que la rayón q es igual al factor l l |- i). Se quita la indeterminación que resulta cu la fórmula general. Ejemplos. Uno en progresión aritmética en que el ultimo término es igual a la razón, g) Simplificación de la fórmu­la aplicada al problema precedente. 29 E|cmplo.— 1K2. E l paso a las renias constantes. La renta constante de pago atrasado. Fórmu­la.— iS>. E l monto de la renta constante de pago adelantado. Fónnula.— l S l . E l monto en la diferida de pago atrasado. Fórmu­la.— 155. E l monto en la difenda de pago adelantado, Kiruiula.— IS6. Anticipada de pago atrasado. Fónnula.— 187. Anticipada de pago adelantado. Fórmula.— 189. E l valor de una renta en una íe-elrj intermedia. Interpretaciones. Ejemplos, e?) Otra manera de llegar a los mismos resultados. Ejemplo.— 190. Si la renta es de tér­minos desiguales.— 191. E l montó y el valor aetual. La relación entre ambos valores.— 192-19?. Transformaciones en las fónuu-| : ( ^ — ]94. Kn las diferidas no se puede capitalizar el valor actual para obtener el DiOnlO.— 19). Ejemplos, del 19 al 7<?— 196. Ren­tas continuas. E l valor finid. Ejemplo. Observación. Ejemplo.— 197. L;i tabla del valor final de la anualidad de 1.00 peso. Forma

( 1 -I í i í - 1 ción. Fónnula: s—.= — •• 198. E l Unnpo excede del

Tl|] i calculado en las tablas. Ejemplo.— 194. Problemas a resolver.

INDICE GENERAL

Capi tu lo X I I . Rentas ordinarias .inmediatas. Y-iïoi presente o actúa/ . : . . . . . . . . . . . 403

200. Preliminares.— 201. Renins constantes temporales. Inmedia­ta ordinaria. Formula del valor presente o actual. 2C2. En fun­ción del tanío de dcseucnLo. VurmuLis.— 203. Rentas pagaderas por tracciones de periodo.— 20-î. Lus pagos fraccionados y la capi­talización de intereses coinciden pero la rusa su liullu icfeiida a pe­ríodo distinto. F'órmnías. Ejemplos.— 205; E l p.-so de las rentas enteras a las rentas de pa^os fraccionados e inversamente. 206. K l

valor—. 207. Otras fórmulas del valor actual de la renta de pago

fraccionado.— 20$. La duración de la renta consta de un número h de intervalos o subperíodos Ultç no $¡ uiúltipk) de k, Fórmulas. — 209. E i numero de intervalos de pago y capital¡zación nn compone un periodo. Fórmula.— 210. Advertencia.— 211. Casos en que no coincida el fraccionamiento de la renta con el de la capitalización. Form tilas. I o Se hace un solo pago por año y se capitaliza k veces al airó. Fórmula. Ejemplo. Z° Se lineen p pngos por año y Se capi­taliza anualmente. Kjemplo. 3° aj Se liaren p pagos por año y »c capitaliza k veces al año. bi E l número de capitalizaciones es dis-

P tmlo del número de pagos, pero el eocienle — es nn número eti­

le tero. Fórmula. Ejemplo, c] Capitalizaciones V pagos son cu dishntí)

k número, pero el eoeiente — es entero. Ejemplo, d) p y k son dis­tintos pero ninguno de ellos es divisible por el otro. Ejcmplo-212. E l intervalo de un pago a otio es mavor de un año v la ca­pitalización SÉ hace fc veces al año. Fóumila,— 213. E l intervalo de los pi'gos es mayor de un año y el de In rrapilídizáción lanibiéu. L'ÓTmülu.— 211. Rentas variables a pla¿Q. E\ valor presente o ac­tual cu las ordinarias irtmcçliataSi— 21í . Las Cuotas se mantienen combantes -durante un cierto número :1c períodos cada ve/. Ejem­plo.— 216. Los grupos son del mismo número de períodos. Ejemplo.— 217. Las cuotas varían en progresión aritmética. Formu­las.— 218. E l primer término y la ra/.ón son iguales. Fórmula.-— 219. La progresión decreciente. Fórmula.— 220. E l último pago igual a la ráioít; Fórmula-.— 221. La renta umlana e:i progresión aiilmétiea. La renta creciente. Fónnula. Ejemplos.— 222. La de­creciente o decreasing aii/niily. Observación. Ejemplo.— 223. Las rentas varían en progresión geométrica. Fórmulas. Ejemplos.— 221. La uv/.ón o es i^ual a (1 £ i ) . Ejemplos.— 225. Rentas variables pagaderas por fracciones de año. 19 Fagos arbitrarios. Ejemplo. 29 E n progresión aritmética.,a) Los pagos fraccionados y los de los períodos forman Iodos ellos una progresión arilme'tiea. Fórmula. Ejemplo, h) Las cuotas anuales están en progresión aritmética y los pagos fraccionados también, pero éstos suman la cuota anual. Ejem­plo. Advertencia. Ejemplo. 3" En progresión geométrica. Fómiuli.

I N D I C E G E N E R A L

¡i) L a serie completa de los pagos es una progresión geomét r i ca , sin que deba cumpl i r otra cond ic ión , Formula . Ivcmplo . b; Las cuotas anuales y los pagos fraccionados forman dos progresiones geomé­tricas; las sumas de ambas progresiones son idén t icas . E jemplo . 226. Dos ejemplos resueltos.— 227. C u a n d o los periodos de pago v de acumulac ión de intereses no coinciden en las rentas varia­bles. L a progresión a r i tmé t ica , aj Los pagos fraccionados sólo están sujetos a la cond ic ión de formar una progresión a r i tmé t i ca . F ó r m u ­las, hj Les cuotas anuales están en progresión ar i tmét ica v los pa­gos fraccionados t a m b i é n pero éstos suman en un a ñ o la cuota iUiual. F ó r m u l a s . — 22S. Los per íodos ce pago v capi tal ización no coinciden en la progres ión geomét r i ca , aj Los pagos parciales sólo están sujetos a la .condición de formar nnn progres ión geomét r i ca . F o r m tila, b) L o s pagos fraccionados, en progresión geomét r i ca , han de cumpl i r a d e m á s la cond ic ión de que los l icclios en un a ñ o sumen la cuota anual. F ó r m u l a . — 229. Tipos distintos de in te rés . Ejem­plos.— 230. Intereses anticipados. Ejemplos.— 232. Es tudio y re­presen tac ión gráfica de la función a— .. 233. E l desarrollo c:i sc-

ric de la función a—... n J

pitulo XIII. Röritäs ordinarias îmitëtSiûtM- til valor de la anu -íid;id o cüófcj en función del vaJur actual . . . .

254; L a anualidad en la renta constante, h ó r m u l n s . E j emplo .— 235. Anua l idad de impos ic ión y anualidad de amor t i zac ión , aj Las anualidades de impos ic ión , h) Anua l idad de amor t i zac ión . Éjem

i 1 p!o.— 236. LL.S relaciones entre v . v entre s— v

Ä—- ' a — • n * n\ n{

a—. 1" Diferencia entre los inversos de a— y .s—. Ejemplo. 29 L a MI n ' n i

relación por cociente entre ambas anualidades. 59 L a diferencia en­tre dos anualidades ele amor t i zac ión cuando los Hcnipös difieren

en un periodo; en general, diferencia — • . siendo p y a—- a—

n cualesquiera (p < n ). 4 o Diferencia entre dos anualidades de im­posición cuando los tiempos difieren en un periodo; cu general

diferencia . siendo p v n cualesquiera (p < n ) . s— s—

Pi " 1 H Suma del valor ifctual y del valor final cuyos sub índ ices son complementarios al -nuncio lo la l ele periodos de la renta. 69 La d i ­ferencia entre el valor final y el actual de una renta. 7 n L a dife­rencia de los valores actuales de dos renias que difieren en un pe­r íodo: en general, cuando difieren cu d periodos. n —rr en

ÍNDICE GENERAL

función de a—- 9° Relación de dos valores actuales referidos a n

tiempos distinto* u \ m« IÖ9 Diferencia de los montos que difie­ren en un período, s s—f. en eeneral, cuando difieren en

i í - r i ! n | d períodos, s . — s . 1 1 ° Relación por cociente de los mon

r u + t l | H R

toa referidos a tiempos distintos, — , 237. Las rentas pagadt m

ras por fracciones de año. 19 Los pagos fraccionados y la capi­talización coinciden hallándose referida la lasa además a la misma fracción de año. Fórmula. 2° Los pagos fraccionados y la capita­lización coinciden, pero la tasa se halla referida a período distinto. Fórmulas. Ejemplo. 39 Capitalización y pagos coinciden, pero la renta tiene de duración h intervalos o subperíodos, número que no es múltiplo de k. Fórmulas. Ejemplo. 49 Capitalización y pagos coinciden, pero el número m de intervalos no llega a componer mi período. Fórmula. Ejemplo.— 238. Los pagos y las capitalizaciones no coinciden. Fórmula. 19 Se hace un solo pago por año y se ca­pitaliza k veces al año. Fórmula. Ejemplo. 29 Se hacen p pagos por año y se capitaliza anualmente. Fórmula. Ejemplo. >9 Se hacen p

P pagos por año y se capitaliza 1c veces por año, pero el cociente -g-

es entero. Fórmula. Ejemplo. 49 Capitalizaciones y pagos son en distinto número, pero el cociente — es entero. Fónnula. Ejemplo.

p 59 p y fe son distintos y además ninguno de ellos es divisible por el otro. Fiemplo. 69 E l intervalo de un pago a otro es mayor de un año y la capitalización se hace k veces aï año. Fórmula. Ejemplo. 79 E l intervalo de los pagos es mayor de un año y la capitalización es anual. Fórmula.— 239. Rentas variables a plazo. La anualidad en las ordinarias. Fórmula.— 240. Los términos varían en progre­sión aritmética, a) Renta creciente. Investigación del primer ter­mino. Fónnula. Ejemplo, b] Investigación "de la razón. Fórmula. Ejemplo, c) Renta decreciente, investigación del primer término y la razón. Fórmulas. Ejemplo, d) E l primer término y la razón son iguales. Fórmula. Ejemplo, ej E l último término y la razón son iguales. Fórmula. Ejemplo.— 241. Los términos varían en pro­gresión geométrica. Fórmula. Ejemplo.— 242. La anualidad e i 1 ^ rentas variables pagaderas por fracciones de año. En progresión arit­mética. 19 Los pagos fraccionados y los de los períodos forman to­dos ellos una progresión aritmética. Fórmulas. Ejemplo. 29 Las cuo­tas anuales eí>tári cu progresión aritmética y los pagos fraccionados también, pero éstos suman la cuota anual. Ejemplo.— 243. En pro­gresión geométrica. Fórmula. Ejemplos.—- 244. Tablai numéricas para el cálculo de la anualidad.— 2'IÇ. Cálculo de la anualidad. Ejemplos.— 246. Problemas a resolver.

I N D I C E G E N I : R A I . 122"

Capítulo XIV. Renias ordinarias inmediatas. Cálenlo del tiempo en función del valor actual 33-

247. L a fó rmr ik i F.l cálculo por logaritmos.— 24S. E l cá lculo pör las tablas financieras. E j emplo .— 2 4 ° . Caso cu que el cociente

A - ,

no se li.tlle en las tablas, o Jo que es lo mismo, caso en que R

no resulte un n ú m e r o entero de p e r í o d o s . — 250. Modif icac ión del valor actual o de la cuota. E j e m p l o . — 231. Agregando a la úl t ima

anualidad un pago suplementario cuyo importe es —j- — ^"Tj"^ x

x (1 4- i ) " ' . E jemplo .— 252. Haciendo «ni fin del t iempo n =

= n ' + f un uauo especial cavo importe o s / A A — A X ( l 4-- • 1 \ i l l n'\) •

4- i ) * . F ó r m u l a del pago. E jemplo . Adver tencia .— 233. F.l criterio de hacer un pago al final del a ñ o n' | 1. F ó r m u l a del pago. Ejem­plo .— 254. Se satisfacen n ' pagos solamente y su monto se acumula hasta que el valor actual sea idén t i co al dado en el problema. Ejem­p lo .— 255. E l tiempo en las rentas constantes pagaderas por frac­ciones de a ñ o . E j emplo .— 236. Los intervalos de capi ta l ización no coinciden con el fraccionamiento de b renta. E j e m p l o . — 257. Se hace un solo pago por a ñ o y se capitaliza k veces al a ñ o . E j emplo .— 258. Se hacen p pagos por a ñ o y se capitaliza anualmente. E jem­plo .— 259. Capitalizaciones y pagos son en dist into n ú m e r o pero

el cociente - j - es un n ú m e r o entero. F i e m p l o . — 260. Capital iza-

ciones v pagos son en distinto n ú m e r o pero el cociente — es un P

n ú m e r o entero. E j e m p l o . — 261. F.l intervalo de un pago a o l i o es mayor de un a ñ o y se capitaliza k veces al a ñ o . E j emplo .— 262. Rentas variables a plazo. E l t iempo en función del valor actual. Renta en progresión a r i tmé t i ca . E j emplo .— 263. S i el primer tér­mino es igual a la razón . E j e m p l o . — 264. S i el ú l t i m o termino y la razón son iguales. E j emplo .— 263. Fin progresión a r i tmét ica decreciente. E jemplo .— 266. Rentas en progresión geomét r i ca . E l t iempo en función del valor actual. E jemplo .— 267. q = f I 1 i). Ejemplo-— 268. K l t iempo en las rentas variables pagaderas por fracciones de a ñ o . E n progresión a r i tmé t i ca . Ejemplo. - 269. Se da la soma anual que ha de pagarse. E j emplo .— 270. E n progre­sión geomét r i ca . E jemplo .— 271. Cuando los datos se refieren a las cuotas anuales. E j e m p l o . - 272. La fónnula poniendo en ella los valores de q ' y R ' , sin calcularlos previamente.— 273. Problemas a resolver.

1-28 ÍNDICE G E N E R A L

C a p i t u l ó X V . MMim ordinarias inmediatas . L a rasa en f u n c i ó n de l valor achia) —

274. Generalidades.— 275. U n Üir.itc superior y un límite inte­rior del valor de i . — 276. Cálculo de i por medio de las tablas fi­nancieras, a) Empleo de la tabla de valores a—. Ejemplo. Iutei-

n

potación lineal. Segunda interpolación lineal- Representación grá­

fica, b? Utilizando la tabla de valores . Interpolación pío-« i 1

porcional. Ejemplo. Segunda interpolación lineal, n C o m u l a c i ó n

de los resultados que dan las tablas a— v - <lj La oirrec-n ' a—

1 n ción del tipo dado por las tablas. Ejemplo, el Las fórmulas ante­riores modificadas. Ejemplo.—-277. E l empleo de las diferencias. La rórmula de Newton, a) Definición de diferencias. Dirercn-cias de diversos órdenes, bj •Vpliwicityies, e) 'Tabla de la función y — 5 X - . d) L a diferencia de orden p en función de los valores fot V i , . . - 7 yp de la serie dada, ej K l termino y¿ en función del pri­mer término y6 y de sus p diferencias. E j e m p l o — f.) Direrencias de polinomios. 'Observaciones. 1* Que se necesita contar eon i? - f - ' l valores numéricos del polinomio para llegar a la diferencia de orden u. 2^ Diferencias de un orden igual al grado del polino­mio. 3^ Que las diferencias de un orden igual al de la función son independientes de la variable x. 4s* Que la? diferencias dec re ecu a medida que es menor el incremento y mayor el orden de las mismas. 5$ Formación inmediata de la diferencia de orden ir. M Erimer término de una diferencia de ciraicmicr orden. 7^ Que en las matemáticas financieras sólo interesa el caso en <piy los in­crementos dados a la variable x forman progresión aritmética, g) E l empleo de las diferencias para la formación de tablas numéricas;. L a interpolación. Ejemplo,— Ji) Fórmula de Newton. Llegar a ella utilizando las diferencias de 'factoriales, i) Para las tablas más comentes en la práctica, j) Escribir la fórmula de Newton para la ra¿ón igual a 1 y para la razón igual a h. Observaciones a la fórmu­la de Newton. Interpolación cuadrática. Interpelación cúbica. Eno-Tcs de la fórmula de Newton. Ejemplo. Interpolación lineal. Inter­polación cuadrática. Interpolación cúbica.

C a p í t u l o X V I . R e n i a s ordinarias inmediatas . E l monto o valor f i r ia i y la anua l idad en f u n c i ó n de l m o n t o

279. R u i la inmediata pagadera por atrasado. E l - valor final, l 'órnm-la- E n función del tanto de descuento y del tanto instantáneo.— 280. Rentas constantes pagaderas por tracciones de período. Fórmu­las.— 2S1. Los pagos fraccionados y la capitalización coinciden.

JNüICL G E N E R A L 1

pero Ja lasa sc halla referida a período distinto. Fórmula. Ejem­plo.— 282. La duración ¿c la renta es de h subperíodo? y este número, no es múltiplo de k. Fónnula . Ejemplos.— 2&3. E l nu­mero de subpc7;odo;; de pago v capitalización no componen r.n año. Fórmulas .—2SI. Cuando no coincide el fraccionamiento dé­la renta con el de lu capitalización. Ejemplos.— 285. Se hace un ¿OJO page por año v se capitaliza k veces al ano. Fórmula .— 2S6. Se hacen p pagos por año y se capitaliza anualmente. Fórmula. Ejemplo.— 2S7. Lus pagos y las capitalizaciones no coinciden, jprö

P el enciente — es un número entero. Fórmula. Ejemplo.— 2Ss.

K • , 1' ... * „ „ .; Cuando el cociente — es entero. I-ormula.— 289; L l intervalo

P fle un pago a ota» es niavoi de un ano v la capitalización se hace k veces por año. F ó r m u h . Ejemplo.— 290. E l i u tma lo de los pagos es mayor de ua a ñ o y la capilalr/acióii es :mn;il. Formula;— 291. E l iuluivalo dt: los paraos es mavor de un año y el de la capitaliza­ción también. Fórmula. Ejemplo.— 292. Rentas variables a plazo. E l valor final en las ordinarias inmediatas.— 293, Las cuotas se mantienen enlatantes durante un cierto número de periodos cada vez. Ejemplo'.— 294. Los grupos son del mismo número dt peno-dos.— 293, Las cuotas varían en progresión aritmética. Fórmulas.— 296. Si el primer término y la razón son iguales. Fórmula. 237. La progresión aritmética decreciente. Fórmulas. Ejemplo.— 29H. E l últ imo pago igual a la Tazón. Fórmula .— 299. L a renta unitaria en progresión aritmética. L a creciente o increasing annuity. Fórmula. Ejemplo.— 300. La decreciente o deéreasírrg ammíty Fónnu la .— 301. Las rentas varían en progresión gcc-mcinca. Fónnuia .— 302. Caso en que la razón q es igual a (1 i ) . Fórmula .— 303. Las rentas variables pagaderas por fracrioucs de año. E l monto.— 304. Pagos arbitrarios. Ejemplo,— 305. En progresión aritmética de pagos fraccionados. Los pagos fraccionado* v los de los ]triodos cumplen sólo h condición de formar en su conjunto una progre­sión aritmética, Forminas. Ejemplo.— Î06. Las cuotas anuales están en progresión aritmética v los pagos fraccionados también, pero de estos los que se hacen en un año suman la cuota anual. Ejemplos.— ^07. E l primer término y la Tazón sou (guilles. I'juili­píos.— 303. La progresión decreciente. 19 Los pagos fraccionados sólo están sujetos a cumul ÍT la condición de formar en su conjunto una progresión aritmética, Foiumla. Ie? Las c ió las anuales están rn -jro.grcs-ón aritmética y los pagos fraccionados también, pero éstos deben sumar la cuota anual que es dada. Ejemplo. Î9 E l último p:.go igrtál a la razón. Fórmula. Ejemplos.— 309. La pro gresión gioinélrica en los liados fraccionados.— 310. E l conjunto de ellos furnia una progresión geométrica v no ha de Cumplii otra condición. 311 Los fiacciouados h:m de sumar la cuma anual Ejemplo.— -12. K l caso particular de ser la r;.zón c/ igual a ( i q- i ) . Ejemplo.— 31 >. Cuando los períodos de pago y de

1230 ÍNDICE G E N E R A L

acumulación de intereses no coinciden en las rentas variables. La progresión aritmética. Ejemplo.— 314. Cuando la progresión es geométrica. Los pagos sólo han de formar en sil conjunto pro­gresión geométrica.— 315. Los pagos que se hacen en un a ñ o suman la cuota anual.— 316. Tipos distintos de interés. Ejemplo.— 317. Inrereses anticipados. Ejemplo.— 318. Renta afectada de cargas fiscales.— 319. Estudio v representación gráfica de la función

. 320. E l desarrollo en serie de la función s—.. i i i " |r

C a p i t u l o X V U . Rentas ordinar ias inmediatas , El t i empo y ía tasa en f u n c i ó n de l monto 704

321. Las rentas constantes enteras. E l tiempo, a) E l calculo poi logaritmos, b) E l cálculo por las tablas financieras. Ejemplo.—

322. Caso en que el cociente — no se halle cu las tablas.

E l tiempo, a) Modificación del valor finid o de la cuota.. Ejem­plo, b) Alteración de la última anualidad, a la que se agrega un pago suplementario cuyo importe es S—•:- X v r — S j . Exprc-

sión del últ imo pago R„. c \ Unciendo al fin del tiempo n _ u' + f nn paso especial euvo importe es S—-. — S - . X (1 + i V . Ex-

n | i i r ¡i presión de este úl t imo pago, dj E l criterio de hacer un pago espe­cial al Finalizar el año n ' - r 1. Expresión de este úl t imo pago. e) E l criterio de no hacer más que n f pagos y acumular su monto hasta que se obtenga un valoi idéntico al dado en el problema. Ejemplos. L a tasa, a) Empico de la tabla de valores s—.- Rcpic-

sentación gráfica. Interpolación lineal. Ejemplo. Segunda mterpo-

Ltción lineal, b) Empleo de la tabla de valores . Represen-

n | i ración gráfica. Interpolación lineal, e) La interpolación tangencial. Representación gráfica. Ejemplo, d) L a corrección del tipo dado por las labias, ej U n a modificación aplicable a las fórmulas [71Î] v |716J que da los mejores resultados. Ejemplo. 323. Rentas constantes pagaderas por fracciones de per íodo . - 324. Los pagos fraccionados y la capitalización coinciden pero là tasa st Tcficre a período distinto. Ejemplo. E l tiempo. Ejemplo.— 323. Cuando no coincide el fraccionamiento de la renta con el de la capitaliza­ción. Fórmulas. E l tiempo. La tasa. Ejemplo.— 326. Se hace un solo pago por año y se capitaliza k veces al año. La tasa. Ejemplo.— 327. Se hacen p pagos por año y se capitalizu anualmente. E l tiempo. La tasa. Ejemplo.— 32S. Capitalizaciones y pagos

son en distinto número, pero el cociente -y- es c i l ic io . L: i tasa.

ÎNDICK C f N H R A L 1251

Ejemplo,— 529. Pago y capitalización no coinciden, peto el co-k

cíente — es un número CtitCfO. E l tiempo. La tasa.- 330. E l P

intervalo de un pago a olio es mayor de un año y la capitalización se hace k veces al año. E l tiempo. La tasa.— 331. K l intervalo de los pagüü es mayor He un año y h capitalización es anual. La Usa. Ejemplo.— 332. E l intervalo de los pagos es mayor de 1 año y el de la capitalización también. E l tiempo. La tasa. Ejemplo, Rentas variables. Las cuotas varían en progresión aritmética. La rasa. Ejem­plo.— 334. 1-1 primer término y 1J I J / Ó U son iguales. E l tiempo. Ejemplo, La tasa. 335. La progresión aritmética decreciente.— 336. F.l último pago igual a la razón,— 337. Las rentas varían eil progresión geométrica.— 33$. Caso en que h razón q es igual a (1 -4- i ) . La tasa.— 339. Las tenias variables pagaderas por fraccio­nes de año. Progresión aritmética. E l conjunto de los pagos fnnrtfl j) opresión aritmética sin cumplir otra condición. F.l tiempo. La tasa. Ejemplo.— 340. Los pago* fraccionados ban de sumar la cuota anual. E l tiempo. Ejemplo. La tasa.— 341. F.l primer término v la razón son iguales. 342. La progresión decreciente.— 343. La progresión geométrica'. E l conjunto de los pagos forma progre­sión geométrica sin cumplir otra condición. E l tiempo. La tesa. -344. Los pagos fraccionados lian de sumarla cuota anual. La tasa.— 54S. Ca»o particular: o = (1 4- i). 1-a Usa.— 346. Los períodos de pago y capitalización no coinciden en las rental variables. Pro­gresión aritmética. Ejemplo. 1.1 tasa. - 347. Progresión geomé­trica. E l conjunto de los i>a£o* forma progresión geometries. LI tiempo. La rasa.— 34$, Los pagos que se liaren en un ario Suman la cuota anual. La tasa.

Cap i tu lo W i l l . Rentas diferidas y anticipadas. Las ordinarias ÍJ de pago por atrasado 786

349. Generalidades.— 350. Valor actual. Renta diferida orduii-ria. Fórmula.— 35L Valor actual. Renta anticipada ordinaria. I'óniiula.— 352. Valor aetual. Unificación de las fórmulas de la renta diferida y de la anticipada.— 33?. Valor final. Renta diferida Ordinaria*—- 354. Valor lin.tl. Rcnla anticipada ordinaria.-— 555. E l tiempo. Número de períodos en las diferentes y anticipadas. l'Vu amias. 356. Cáleulo del hrnipo diferido o anticipado. Ejem­plo.— 357. Calculo de la anualidad.— 358. Cálculo del tipo de interés. Ejemplo*— 359. Rentas constantes fraccionadas. Cálculo del valor actual. Fórmulas.— 360. Rentas constantes fraccionadas. E l monto.— 561. Renins constantes fraccionada F l tiempo. Ejem­plo.— 362. Cálculo del tiempo diferido o anticipado en estas ren­tas.— 363. Cálculo de la cuota.— 364. Calculo de la tasa. Fiem­plo. - 365. Rentas constantes fraccionadas. F l intervalo de pago no coincide con el de capiralizaeam. E l valor" actual. Ejemplo.—

INDICE GENERAL

>66. E l sfiloi fuisl do las mismas cáitás faccionadas.— 367. E l ticuîpu en las diferidas y anticipadas pata esta misma clase de ven­tas.-— 368. E l tiempo diferido o anticipado en esta clase de ren­tas.— 369. Cálculo de lu cuula.—• 370. Investigación de la tasa. 371. Rentas variables diferidas y anticipadas. E l valor actual en las ordinarias. La pj'ogrcsiôïi aritmética.—- E l monto.— 173. E l tiempo. Ejemplo.— 374. En anualidad o cuota.— 373. La tasa. Eieiirplü.— 5/6. E l primci término v la razón son iguales. 377. La piagresión aritmética decreciente.— 378. E l último pago igual a la razón.— 379. L.r> rentas varían en progresión geomé­trica.— 350. Caso en que la razón q es igual a • 1 + i ) . — 3S1. Rentas variables pagaderas por fracciones de año. Los pagos rrac-ciouados v los que se hacen al final de cada periodo cumplen sólo la cond ición de formar en su conjunto una progresión aritméti­ca.— 382. Las cuotas anuales están en progresión aritmcLica \ los pagos fraccionados también, pero de éstos los que se lineen en un año suman la cuota anual. Ejemplo.— 3S3. En progresión geomé­trica. La -serie completa de los pagos no está sujeta a otra condi­ción que la de formar en su conjunto una progresión geométrica.-— 384. Las cuotas anuales y los pagos Frac io na dos forman dos progre­siones. I-as .sumas de ambas progresiones son idénticas.— 385-Rentas variables. E l período de los pagos uo coincide con el de la capitalización. 1*? La progresión aritmética. Ejemplo. Advertencia. 29 La progresión geométrica. Advertencia.— 386. T.as rentas continuas diferida1; y anticipadas. Ejemplo.— 3S7. I.a capitali­zación continua en las rentas diferidas y anticipadas. Ejemplo:

Capi tu lo X I X . /-as rentas cíe pago por acícraíitado. .Inmediatas.

diferidas y anticipadas , . 864

388. Generalidades. Tipo de inicies y tipo de descuento. 38^. Constantes enteras de pago adelantado. E l valor actual y el valoi final, a) Cálculo de la cuota, b) Cálculo del tiempo. Ejemplo, c) Cálculo de la tasa. Ejemplo. d¡ La capitalización continua.— 390. Las tentai constantes pagaderas por fracciones de año. Ejem­plos sobre las lasas.— 391. I.a duración de la renta consta de mi número íi de intervalos o subperiodos que no es múltiplo de k. Ejemplos sobre el tiempo y la tasa.- 392. F l número de inter­valos de pago y capitalización h no llega a componer un periodo.— 393. Las rentas constantes pagadera* por fracciones de aiin pero en las cuales el periodo de los pagos no coincide eon el periodo de

k n capitalización. F l cocicnlc — es entero. E l cociente -L- es entero.

R & Se hace un solo pago por ano y se capiluli/i k veces al airo. Se hacen p pagos por año y se capitaliza anu-iluieute. E l intervalo de un pago a olio es mayor de nn aíio y se npilaliza k veces al año. E l intervalo de los pagos es mayor de un año y la capitaliza-

i M l i C h CiKNKKAL 1233

ción es anual. E l intervalo de los pagos es mavor de un año y el de In cupiralizaciôn también. Ejemplo; Extcntióu de las fórmulas nrccïrdrntes a las diferidas y anticipadas. Ejemplos.— 394. Las rentas v.iTiab!es pagaderas por adelantado, a] Inmediatas, diferí-da> y .mlieip'das en progresión aritmética. Ejemplo. Ci^os par­ticulares. 1? E l primer término y la razón son iguales. Ejemplo. 2" F l último pago igual a la razón. Ejemplo. 39 La renta unita lia cu progresión aritmética creciente. Ejemplo. La decreasing acmuiíy, In lias rentas varían en progresión geométrica. Caso par tieuLi:. La lazón r¡ es igual a ; 1 4- i ) . Ejemplo. « 393. Rencas va­riables fiaecionaóas. í.as de pago adelantado, a; Variables fraccio­nadas aritméticas. I o Los pagos parciales que se liacen antes del fui del año y el que se hace ai fin del ano. cumplen solo la con* dicton di' lidiarse todos ellos en progresión aritmética. 2'.1 L i s ruóla», amulet están en progresión aritmética y los pagos íiaccio-nr.dos también, pero de éstos los que se hacen en un año «uir.an la cuota anoal. Í>« Variables fraccionadas gcomélricas. 1? La serie completa de los pagos no cumple más condición que la de formar en su conjunto una piugrestfii eoomelnea. Ejemplo. 29 Las cuo tas anuales y los pagos íiacooiwdos forman dos progresiones geo­metries, pero lo> pagos parciales que se hacen en un año suman la cuota anual. Enripio.— 396. Rentas variables fraccionadas. Lds de pago adelantado. E l fraceion¡uniento de la cunta anual no coin­cide cou cl de la capitalización de intereses. ¿) En progresión aritmética. 1? tal sola condición que cumplen los payos C Í la de formar en su conjunto una progresión aritmética. Ejemplo. 29 Los pagos fiaccionados e haDañ en progresión aritmética; pero los que se lucen rr. r.n año suman ¡a Cuota Anual, h) En progresión geo-métri.a. 19 Los jugos han de cuuipb'i U soin condición de hallarse en progresión geométrica. Ejemplo. 2" Lus pagos parciales en pro giesión geométrica cumplen Ir. condición de que su sumí es igual a la de la* cuotas anuales que también forman progresión de la misma ¿lase. Ejemplos.

C a p í t u l o X}í. Rentas perpetuas, [nmccJiaíav. diferidas y amk-i-píltlii.S . . . . . . . . . . . . • . . . • • Vé»™

307. Generalidades.-- 39H. F l monto o Wílpi final de las rentas perpetuas.— 399. El valor actúa! cu las lentas enteras. Capitali­zación continua. Formulas. |£jemp(o¿ luía renta temporal es la diferencia de dos perpetuas. Ejemplo. +00. Pagaderas por frac­cione* de año. l , r caso. Fórmulas. 29 caso. Fórmulas. Ejemplo.— I'M. Rentas perpetuas continuas, Fórmulas.— 102. F.l intervalo

do un paso .1 otro es mayor de mi año y la Capitali/aciÓn sr hace k Veces al año. Fórmulas. Ejemplo.— íOS. E l intervalo de lo. pagos ts mayor de un año y cl de I; < : jn» di/acón l.inihiéu. Fórmulas.— -104. Reatas variables pCrpehins. F: i progresión aritmética. Fórmula. Ejemplo.— Els'. Rentas variables perpetuas. En pingresión geo

i N j r C E CENER VI.

métrica. Fórmulas.— 406. Las rentas variables pagaderas por fláCr ciones de dúo. En progresión aritmética. l i r caso. 29 caso. Ejem­plo.— 407. Las rentas variables pagaderas por fracciones de año en progresión geométrica. 1 e r- caso. Ejemplo. 29 caso.— 403. Cuando no coinciden los pagos fraccionados y la capitalización de intereses. 19 Progresión aritmética. Fórmulas. Ejemplos. 29 caso. Ea progresión geométrica. Fórmulas.— 409. E l significado de la palabra capital ¡¿ación en las reutas perpetuas. Ejemplos.— 410. T.os costos capitalizados. Fórmalas. Ejemplos* 4 Í L Equivalencia de los costo» capitalizados. Ejemplos.— 412. Gastos t|iie prolon­gan la duración de un activo. Fórmulas. Ejemplos.— 413. U n ejemplo típico de nuestro medio.— 414. Problemas a resolver.

C a p í t u l o X X L Aigunos problemas especiales sobre las rentas . • 1024

413. Las cuentas corrientes a-interés compuesto. Saldo. Ejemplo. Observación importante.— 116. Conversión de uu capital en renta. Ejemplo.— 417. Conversión de una renta cu capital. Ejemplo.-— 4 Í 8 . Conversión de una renta en otra. Ejemplo.— 419. Problemas 3 resolver.

Capi tu lo X X I I . Fago ríe /as deudas por medio de anualidades . - 1033

420. Preliminares.— 421. Préstamo reembólsame por medio de un pago único con abono periódico de intereses, aj Cancelación an­ticipada de toda la deuda. Fórmulas, b) Cancelación anticipada de parte de la deuda. Fórmulas.— 422. Préstamo reemboisablc por medio de un pago ímico sin abono periódico de los intereses, a) Cancelación anticipada de toda la deuda. L'óríuuks. b) Cance­lación anttópada de paite de la deuda l * ' r caso. 2'-' caso. > r-caso. Ejemplo.— 123. Procedimientos de amortización a base de anualidades.— 124. E l fondo de amortización o sinking fund. Los problemas que se derivan del mismo. Fórmulas. 42>. Volido de amortización. E l tiempo. Ejemplos*— 426. Fondo de amorti­zación, isi tasa. Ejemplo.— 427. Fondo de amortización. Su im­porte en un momento cualquiera determinado. Ejemplos. Cuadro del fondo de amortización.—s 42S. E l fondo de amortización. Can­celación anticipada. 19 E l prestatario o deudor solicita la cance­lación del préstamo. 29 La rescisión del contrato la pide el presta­mista. 39 I A rescisión interesa al deudor v al acreedor. Ejemplo.— 429. Varios problemas sub:c ol fondo de amortización. Del 19 al 49— 430. Valoración de un préstamo en un momento cualquiera de su vigencia. Usufructo y nuda propiedad. Propiedad plena, aj E l cálculo a un solo tipo de inlerés, el (pie rifle en el préstamo. 6) Dividendo fraccionado. Ejemplo.— 431. Tipos diferentes de interés. E l del préstamo y el del mercado financiero, a) Dividendo anual. U) Dividendo fraccionado.. 432. Caso en que el reembolso

INDICK GENERAL 1235

de lu dpUtb no :C hace por cl nominal sino pur una cantidad distinta C f t . í)w ideado anual, b; Dividendo fraccionado-— 4>3. Valoración de una deuda en mi ¡oslante cualquiera cuire dos pagn* consecutivos del dividendo. Precio crin interés. Precio electivo o tat a) Un procedimiento práctico para hallar el valor o el pre­cio flat de una deuda en un momento hk í, comprendido entre Ins dividendos ht y hk 4- 1. Formula cuwcspoudiciHe a este príi-cediuiiLiito pirético. t-a fórmula produce el mismo resultado que cl que se obtient interpolando en las 1.1 I r de oHligaeioues j su-mando al precio con interés así obtenido la parte VCiiCÍdn del cupón corriente- Ejemplo. Observaciones I?» V* y 3* h) Otro método practico pjrn hallar el precio efectivo fie las obligaciones cuando falta iHfetfM de mi periodo de cupón hasta el vcriritnioitñ, Fónuu-las. Eicmplo.— 4>4. ProcedimÍL-ntos exactor pata hallar lo* precio* entre fechas de eupóu. Puntos IV ni 5 V'óiiiinlas. Ejemplo. Observaciones:— 435* E! para de bu iteuitvs por el mtíodo do amortisation.— 456. Amortización por medio de una anualidad consente, hótinub fundamental. Ejemplo.— 437* ?«8 cuatro loimu-lrtS principal*», 1.a çuoiâ de umortiwicttri, la cuota de interés, el capital pendiente y el capital amortizado* I ¡jemptn;— 43S* Fl cuadro de lunrirtización. Ejemplo.— 4W. Cancelación anticipada del picUarnn. Ejemplo, Rclwccr el cuadro en caso de reemlmlsn

parcial-— 440. Valoración tic una deuda que Eanriuna por el mé­todo rf** amortización a cuota romtantc en un mumeíito cualquiera de su vigencia. -441. Valoración a un tanto dútiutu del de pres-truno.— 442. Negociación del préstamo en el mom:irto h. Ilxit-fnicto, nuda propiedad y valor de h deuda. Advertencia.- 115. CUM> en que la valoración se hace entre di*s fechas ce pago del divitlendOi Ejemplo.— 4-H. Reconstitución del capital por el pres­tamista r— 445* Vencimiento fliCtlio de las Quoins* di las partes de amortización y de la? de intereses.— 416. T,n amortización a Cuota constante uon pago pñí¡éí¡w*£l6 de Ins intereses, aj La cuota de amortización de! capital. b¡ T.n cunta constante tntal R. c) La cuota de interés, dj Kl capital residual, e) E l capital amortizado. Ejemplo. Cuadro de anräitftatiAn. Olïscrvaciôn.— 447. Valor» ción de un prosterno con pago anticipado de \vy intereses en un inflante h cualquiera de m vigencia. I ' Nuda pmpiedad- 2? Lsti-fruchi. >0 Valor. Ejemplo. 4*? Vt;uciiiiiciilos medios.— 448. Amor­tización de un í deuda por medio de inri renta ctl p:rçresiôn arit­mética! ;ji Deuda icsrdual cu un momento h. h) IM eiro!:i de in­terés en el momento Ji. el l*i Cnohi lió amortización del capital en el ínomcutn h, di El capital n:nort:/¡ d.i liavta el fin dèl periodo il . Ejemplo. CU:K1TU de amoiliyjiciciii.— *4 lí. Límite- que impon:; Ll realidad financiera a lo* valores (le R, y de r. Gráfico.— 4>0 Vali>i¡KÍóu (leí préstamo en nn momento iludo h* Usufructo y liüda propalad. 19 Valor, 2 o Nuda propiedad. ^ Uimftwtû, 49 Ejemplo/— 451- I-i JIUO: libación poi medio de una xn\:i cu progresión gctimctrlra. 19 IVnrla residual en un momento CUSl-quiem I*. 2? La cuota de interés en el liiQlilcfltO / i . I-ii cunU

1236 I M M C E G E N E R A T .

de amortización del capital en cl instante h. 4 o E l capita! amor­ti/ado.— 152. Límites que impone cl problema Teal financiero a los valores de R t y de q. 153. Valor, nuda propiedad y usufructo de la deuda en un instante h cualquiera de su vigencia. I o Valor­en el instante h, 29 Nuda propiedad. 3 o Usufructo. Ejemplo. Cuadro de amortización.— 454. E l préstamo se extingre mediante cuotas en progresión aritmética, peio es constante la parle de amor­tización del capital, aj Cuota total, b) Cuota de interés, e) Ca­pital pendiente de reembolso, d) Capital amortizado, c) Valor, nuda propiedad y usufructo en el instante h. 19 Valor. 29 Nuda propiedad. 39 Usufructo.— 45?. E n los pagos anuales Lis parles destinadas a la amortización del capital forman progresión arit­mética. Cuota máxima. Capital pendicnle. Capital amortizado. Cuota de interés. Cuota de amortización. Ejemplo. Cuadro de amortización.— 436. Cuotas amortizadoias múlt iples de la úl t ima. Importe A del préstamo. Capital pendiente al fin del año h. Ca­pital amortizado. La cuota anual K * . La citóla de interés i ; . . — 45". Amortización igual a una parte alícuota del capita! pendiente. La fónnula general ce la p^itc de amortización. E l canit.1 pendiente. E l capilal amortizado. 1.a cuota anual Rh. La parte de inicies í;.. Ejemplo. Cuadro de amortización.

C a p i t u l o X X U E F ó r m u l a s especiales para el cálculo de la tasa en las anual idades 1189

4?B. Fónnula de B.-iuV Deducción paTa la renta inmediata de -wgo vencido, bijcmplo.—- 4S9. L a f ó n n u k de Báüy en la:> rentas dife­ridas.-— 460. L a fórmula de Baüy en las rentas anticipadas.— 461. l a misma fónnula en las rentas de pago adelantado. - 462. La fórmula de Roily en función del monto. Ejemplo.— 463. Fórmula de Estrugo. Deducción paira la renta inmediata de pago vencido. Ejemplo.— 464. La investigación de la lasa naciendo uso de \ús series.— 465. Utilizando las tazones trigonométricas. Ejemplo.— 466. E l empleo de la diferencial en la in ves ligación ce la tasa. Ejemplo.— -167. Caso en que el número de años o periodos es muy elevado.— 468. Fórmula de Därmen. Ejemplo.