Corso di Laurea in FisicaAnno Accademico 2010–2011

Analisi II

Esercizi per il tutorato - Foglio 5

Il Teorema della funzione implicita (o del Dini).

1.1. Verificare che dalle seguenti equazioni si puo esplicitare, nell’intorno del punto indicato,un’unica funzione delle variabili suggerite:

(a) x + 2y + x sin y = 0, P0 = (0, 0), y = φ(x);

(b) x2ey+z+z3 − log(1 + xy) = 9, P0 = (3, 0, 0), y = φ(x, z);

(c) 2xy2 −√

x + y + 2− 1 = 3, P0 = (3,−1), x = φ(y);

(d) xey + y + 2 = 0, P0 = (0,−2), y = φ(x);

(e) sinxz + yz2 − x(y2 − 1) = 0, P0 = (3, 1, 0), z = φ(x, y);

(f) xyz2 − 5y3ez + 5 = 0, P0 = (−1, 1, 0), y = φ(x, z);

(g) x2z2 − ex+z + 1 = 0, P0 = (0, 0), z = φ(x);

(h) y5 + logx + y

2− xy = 0, P0 = (1, 1), y = φ(x).

Soluzione:

(a) Detta F (x, y) = x + 2y + x sin y, si ha che F (P0) = 0 e ∂F∂y (P0) = 2 6= 0.

(b) Detta F (x, y, z) = x2ey+z+z3 − log(1 + xy)− 9, si ha che F (P0) = 0 e ∂F∂y (P0) = 6 6= 0.

(c) Detta F (x, y) = 2xy2 −√

x + y + 2− 4, si ha che F (P0) = 0 e ∂F∂x (P0) = 7

4 6= 0.

(d) Detta F (x, y) = xey + y + 2, si ha che F (P0) = 0 e ∂F∂y (P0) = 1 6= 0.

(e) Detta F (x, y, z) = sin xz + yz2 − x(y2 − 1), si ha che F (P0) = 0 e ∂F∂z (P0) = 3 6= 0.

(f) Detta F (x, y, z) = xyz2 − 5y3ez + 5, si ha che F (P0) = 0 e ∂F∂y (P0) = −15 6= 0.

(g) Detta F (x, z) = x2z2 − ex+z + 1, si ha che F (P0) = 0 e ∂F∂z (P0) = −1 6= 0.

(h) Detta F (x, y) = y5 + log x+y2 − xy, si ha che F (P0) = 0 e ∂F

∂y (P0) = 92 6= 0.

1.2. Si consideri l’equazioneexy + x− y − 1 = 0.

Verificare che essa definisce implicitamente nell’intorno di (0, 0) un’ unica funzione y = y(x)tale che y(0) = 0. Calcolare y′(0). Sol. y′(0) = 1.

1.3. Si consideri l’equazione

ex−y + x2 − y2 − e(x + 1) = −1.

Verificare che essa definisce implicitamente nell’intorno di (0,−1) un’unica funzione y = y(x)tale che y(0) = −1. Calcolare y′(0). Sol. y′(0) = 0.

1.4. Si consideri l’equazionex2 + yz2 − y2|x| = 1.

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(i) Verificare che essa definisce implicitamente nell’intorno di (−1, 0, 1) un’unica funzioney = y(x, z) tale che y(−1, 1) = 0. Calcolare quindi la derivata parziale di y rispetto x in(−1, 1) Sol. ∂y

∂x (−1, 1) = 2.

(ii) Teorema di Dini permette di concludere che la stessa equazione definisce univocamentenell’intorno di (−1, 0, 1) anche una funzione z = z(x, y) tale che z(−1, 0) = 1? Sol. No.

Il Teorema di inversione locale.

2.1. Verificare che i seguenti campi vettoriali sono invertibili nell’intorno del punto indicato:

F (x, y, z) = (xyz, x2 + y2 + z4, x + 3z), P0 = (1, 1,−1); Sol : det JF (P0) = 2 6= 0

F (x, y) = (x2 + y2, xy), P0 = (1, 0); Sol : detJF (P0) = 2 6= 0

F (x, y, z) = (x + y − 2z, 2x− z, x2 + y2 + z2), P0 = (1, 0,−3); Sol : det JF (P0) = 10 6= 0

F (x, y) = (ex cos y, ex sin y), P0 = (−2, 1). Sol : det JF (P0) = e−2 6= 0

2.2. Sulla base del Teorema di inversione locale, determinare A ⊂ R2 formato da tutti i puntinell’intorno di quali i seguenti campi vettoriali siano invertibili:

F (x, y) = (e2x sin y, e2x cos y); Sol: A = R2;

F (x, y) = (xy + y2, 2x + 3y); Sol: A = {(x, y) ∈ R2 : y 6= −2x};

F (x, y) = (exy, 2x− 4y); Sol: A = {(x, y) ∈ R2 : y 6= −1/2}.

2.3. Calcolare il dominio del seguente campo vettoriale e sulla base del Teorema di inversionelocale, determinare i punti nell’intorno di quali e’ invertibile.

F (x, y) = (log(1 + xy), (1 + xy)2).

(Soluzione. D = Dom F = {(x, y) ∈ R2 : x = 0 oppure y > − 1x se x > 0 oppure y <

− 1x se x < 0}.

In nessun punto dell’aperto D il teorema di inversione locale garantisce che F e’ localmenteinvertibile).

Coordinate polari nel piano.

3.1. Disegnare nel piano cartesiano i punti P0 = (ρ, θ) aventi le seguenti coordinate polari:

P0 = (2, π/3); P0 = (1,3π

2); P0 = (1, 3π); P0 = (

√2, π/4); P0 = (1, π); P0 = (3, π/2).

3.2. Scrivere i seguenti punti del piano in coordinate polari:

P0 = (1,−1); P0 = (2, 3); P0 = (1, 1); P0 = (0,−3); P0 = (−1,−√

3); P0 = (2, 0).

Soluzione.

P0 =(√

2,74π); P0 =

(√13, arctan

32

); P0 =

(√2,

π

4

);

P0 =(3,

32π); P0 =

(2,

43π); P0 = (2, 0).

2

3.3. Disegnare nel piano cartesiano le curve aventi le seguenti equazioni polari:

ρ = 3; ρ = 2; ρ = 0;

θ = π/2; θ = π/4; θ = −π/3.

3.4. Disegnare i seguenti sottoinsiemi del piano cartesiano:

A = {(ρ, θ) : 1 ≤ ρ ≤ 2, θ ∈ [0, π]};

A = {(ρ, θ) : ρ ≥ 1, θ ∈ [π/4, π]};

A = {(ρ, θ) : ρ ≤ 3, θ ∈ [π/2, 3π/2]}.

3.5. Descrivere in coordinate polari i seguenti sottoinsiemi del piano cartesiano:

A = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0}; Sol : A = {(ρ, θ) : 0 ≤ ρ ≤ 1, θ ∈ [0, π2 ] ∪ [ 32π, 2π]}

o A = {(ρ, θ) : 0 ≤ ρ ≤ 1, θ ∈ [−π2 , π

2 ]}

A = {(x, y) : |y| ≤ x}; Sol : A = {(ρ, θ) : ρ ≥ 0, θ ∈ [0, π4 ] ∪ [ 74π, 2π]}

o A = {(ρ, θ) : ρ ≥ 0, θ ∈ [−π4 , π

4 ]}

A = {(x, y) : 1 ≤ x2 + y2 ≤ 6, y ≥ 0}; Sol : A = {(ρ, θ) : 1 ≤ ρ ≤√

6, 0 ≤ θ ≤ π}

A = {(x, y) : x2 + y2 − 2x ≤ 0}. Sol : A = {(ρ, θ) : 0 ≤ ρ ≤ 2 cos θ, θ ∈ [−π, π]}

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